绝对值案例分析学生版

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北师大版数学七年级上册2.3绝对值优秀教学案例

三、教学策略
（一）情景创设
1.结合生活实际，创设有趣的情景，引导学生发现绝对值的概念，感受绝对值在生活中的应用。如，通过描述两个人之间的距离，引导学生理解绝对值的含义。
2.利用多媒体技术，展示动态的绝对值图形，让学生直观地感受绝对值与距离的关系，提高学生的空间想象力。
3.设计具有挑战性的问题，激发学生的思考，引导学生从不同角度探究绝对值的性质。
2.采用多元化评价方式，关注学生的知识掌握程度、能力培养和情感态度，充分发挥评价的诊断、反馈和激励功能。如，通过课堂表现、作业完成情况和小组合作成果等方面，全面评价学生的学习效果。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用生活实例导入，如描述两个人之间的距离，引导学生思考距离的表示方法。
2.提出问题：“如何用数学符号表示两个人之间导学生回顾之前学过的知识，如有理数的平方，为引入绝对值概念做铺垫。
（二）讲授新知
1.引入绝对值的概念，解释绝对值的含义和性质，如|a|表示a与0之间的距离。
2.通过示例讲解绝对值的性质，如正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。
3.运用数形结合的方法，引导学生理解绝对值与距离的关系，如在坐标系中展示绝对值的应用。
2.注重培养学生的主体地位，鼓励学生主动探究，培养学生的自主学习能力。
3.引导学生体会数学的严谨性，培养学生的数学素养，为学生后续学习打下坚实基础。
4.培养学生团结协作、共同探讨的良好学习氛围，提高学生的人际沟通能力。
5.通过解决实际问题，培养学生关注社会、关爱他人的情感态度，提高学生的社会责任感。
3.教师对作业进行批改和反馈，了解学生的学习情况，为下一步教学提供依据。
五、案例亮点
1.生活实例导入：通过生动的生活实例，如描述两个人之间的距离，引导学生思考距离的表示方法，从而自然引入绝对值的概念。这种教学方式能够激发学生的学习兴趣，使学生感受到数学与生活的紧密联系。

高中数学绝对值函数的应用实例及解题方法

高中数学绝对值函数的应用实例及解题方法绝对值函数是高中数学中常见的一种函数形式，它在数学建模和实际问题中具有广泛的应用。

本文将通过具体的实例，来介绍绝对值函数的应用和解题方法，帮助高中学生更好地理解和掌握这一知识点。

一、求解绝对值不等式绝对值不等式是绝对值函数应用的重要形式之一。

我们以一个简单的例子开始，假设有如下的不等式：|2x - 1| < 3要求解这个不等式，我们可以将其拆分为两个不等式，即：2x - 1 < 3 和 2x - 1 > -3解得：x < 2 和 x > -1所以，原始的不等式的解集为 -1 < x < 2。

这个例子展示了如何通过拆分不等式来求解绝对值不等式，这也是解决绝对值不等式常用的方法之一。

二、求解含有绝对值的方程除了不等式，绝对值函数还常常出现在方程的解中。

我们以一个实际问题为例，来说明如何求解含有绝对值的方程。

例题：某地的温度每天都在变化，已知温度的变化规律可以用函数T(t) = |t - 5| - 3来表示，其中t表示时间（单位：小时），T(t)表示温度（单位：摄氏度）。

现在要求解在什么时间温度为0度。

解答：根据题意，我们需要求解方程|t - 5| - 3 = 0。

将绝对值函数的定义展开，得到两个方程：t - 5 - 3 = 0 或者 -(t - 5) - 3 = 0解得：t = 8 或者 t = 2所以，温度为0度的时间有两个解，分别是t = 8和t = 2。

这个例子展示了如何通过将绝对值函数的定义展开，来求解含有绝对值的方程。

这是解决这类问题常用的方法之一。

三、绝对值函数在距离和模型中的应用绝对值函数在距离和模型中的应用也是高中数学中的重要内容。

我们以一个典型的例子来说明。

例题：甲、乙两地相距200公里，甲地有一辆车以每小时50公里的速度往乙地行驶，乙地有一辆车以每小时40公里的速度往甲地行驶。

问多少小时后，两车相遇？解答：设两车相遇的时间为t小时，则甲地车行驶的距离为50t公里，乙地车行驶的距离为40t公里。

《绝对值》教学案例

《绝对值》教学案例白银市平川区红会学校吴子兴案例背景：数学课程标准强调：“从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模式的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展”。

《绝对值》这节课是我在2016年平川区“一师一优课、一课一名师”活动中的一节录像课。

教学设计的目的是让学生主动地参与教学活动，并通过一系列探索性问题及游戏，让学生在掌握新知识的同时，体验成功的快乐。

教学目标：1.知识与技能理解绝对值的概念，能求一个数的绝对值，会利用绝对值比较两个负数的大小。

2.过程与方法通过运用“||”来表示一个数的绝对值，培养学生的数感和符号感，达到发展学生抽象思维的目的。

通过探索求一个数绝对值的方法和两个负数比较大小方法的过程，让学生学会通过观察发现规律、总结方法，发展学生的实践能力，培养创新意识；通过对“议一议”的思考和讨论，培养学生有条理地用语言表达解决问题的方法。

3.情感与态度通过“想一想”“议一议”“做一做”问题的思考及回答，培养学生积极参与数学活动，并在数学活动中体验成功，锻炼学生克服困难的意志，建立自信心，发展学生清晰地阐述自己观点的能力以及培养学生合作探索、合作交流、合作学习的新型学习方式。

教材分析1．地位和作用绝对值知识是解决有理数比较大小、距离等知识的重要依据，同时它也是我们后面学习有理数运算的基础。

2．教学重点和难点理解绝对值的概念；求一个数的绝对值；比较两个负数的大小。

学生状况分析学生已经认识数轴，并且知道了相反数的概念，能够用数轴上的点来表示有理数，也已经知道数轴上的一个点与原点的距离，会比较这些距离的大小。

案例设计：(一)创设问题情境情景一：师：同学们，你们的家在学校的哪一边?(学生说出了家在学校的方位，学生有的说东边，有的说西边.......) 师：同学们，你们从家里到学校大概有多远?( 学生根据自己的经历，说出自己估计的数据)师：无论你们家在学校的哪个方向，家和学校之间都有一定的生：是。

华东师大版数学七年级上册优秀教学案例：2.4绝对值

2.作业反馈：教师及时批改学生的作业，给予评价和指导，帮助学生巩固所学知识。
五、案例亮点
1.生活情境导入：通过生活情境的导入，使学生能够直观地感受到绝对值在实际生活中的应用，提高了学生的学习兴趣，增加了学生的学习积极性。
2.小组合作学习：通过小组合作学习的方式，培养了学生的团队合作能力和解决问题的能力，同时也提高了学生的表达能力和逻辑思维能力。
6.教学评价多元化：教师采用了多元化的评价方式，不仅关注学生的知识掌握程度，还关注他们的学习过程、情感态度和合作能力，使评价更加全面、客观。
7.教学内容与过程详细：教师对每个教学环节进行了详细的规划和设计，使教学内容与过程紧密相连，提高了教学效果。
本节课主要内容是让学生理解绝对值的概念，掌握绝对值的性质，并能运用绝对值解决实际问题。在教学过程中，我充分考虑学生的认知规律和学习兴趣，以生活情境导入，让学生感受绝对值在实际生活中的应用。在课堂活动中，我鼓励学生积极参与，通过小组讨论、探究活动等形式，让学生在实践中体验绝对值的意义，培养学生的合作意识和解决问题的能力。同时，我注重个体差异，给予每个学生充分的关注和指导，使他们在原有基础上得到提高。
2.采用自主学习、合作探究的方式，让学生在实践中体验绝对值的意义，培养他们的合作意识和解决问题的能力。
3.教师引导学生通过举例、归纳、总结等方法，探索绝对值的性质，培养他们的归纳总结能力和逻辑思维能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学的兴趣，感受数学的趣味性和实用性，提高他们的学习积极性。
2.通过对绝对值的学习，使学生认识到数学与生活的紧密联系，增强他们的数学应用意识。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.生活情境：以计算两地之间的距离为例，让学生思考如何表示两地之间的距离。引导学生发现，无论两地距离多远，都可以用一条线段来表示，线段的长度就是两地之间的距离。

北师大版七年级数学上册2.3绝对值优秀教学案例

本案例将着重关注以下几个方面：
1.借助生活实例，引导学生理解绝对值的含义；
2.设计具有针对性的练习题，帮助学生巩固绝对值的概念；
3.通过小组讨论、合作探究等形式，培养学生的团队协作能力和沟通能力；
4.注重个体差异，给予每个学生充分的关注和引导，使他们在课堂上充分展示自己，提高自信心。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.理解绝对值的概念，掌握绝对值的性质和运算规律；
2.能够运用绝对值解决实际生活中的问题，提高学生的数学应用能力；
3.了解绝对值在数学中的重要作用，为后续学习不等式、函数等知识奠定基础。
（二）过程与方法
1.通过生活实例引入绝对值的概念，引导学生感受数学与生活的紧密联系；
2.设计具有梯度的练习题，培养学生独立思考、解决问题的能力；
3.引导学生思考绝对值在实际生活中的应用，如“如何在实际问题中运用绝对值解题？”，让学生将所学知识运用到实际生活中，提高解决问题的能力。
（三）小组合作
1.学生分组进行讨论，共同探讨绝对值的性质和运算规律，鼓励学生发表自己的观点和看法，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
2.设计具有挑战性的小组任务，如让学生设计一个关于绝对值的应用题，并互相解答，提高学生的创造力和解决问题的能力。
（五）作业小结
1.布置相关的作业题目，让学生巩固所学知识，如运用绝对值解实际问题，让学生将理论知识运用到实际生活中。
2.要求学生在作业中运用所学知识，结合自己的生活经验，提出自己的问题，培养学生的创新思维和解决问题的能力。
3.在下一节课开始时，让学生分享自己的作业成果，互相学习和交流，提高学生的表达能力和沟通能力。
3.组织小组竞赛，鼓励学生积极参与，提高学习积极性和课堂氛围。

七年级数学人教版上册1.2.4绝对值优秀教学案例

2.设计一系列的练习题和活动，让学生在实际操作中探索和发现绝对值的性质，培养学生的观察、分析和解决问题的能力。
3.利用数轴和图形工具，帮助学生直观地理解绝对值的概念和性质，提高学生的空间想象能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学的兴趣和自信心，让学生感受到数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的内在动力。
此外，我还设计了一个小组合作环节，让学生分组讨论绝对值的性质，并总结出规律。这样既能培养学生的团队合作精神，又能提高他们的思考和表达能力。在课堂总结环节，我让学生用自己的语言复述绝对值的概念和性质，以确保他们真正理解和掌握了所学知识。
整个教学案例紧扣教材内容，注重培养学生的实际操作能力和思维能力，力求使他们在轻松愉快的氛围中掌握绝对值的知识。通过这份案例，我相信学生们能够更好地理解绝对值的概念，并能在实际题中灵活运用。
3.数形结合的教学策略：利用数轴和图形工具，帮助学生直观地理解绝对值的概念和性质。通过观察和分析图形，学生能够更好地理解绝对值的意义，提高他们的空间想象能力。
4.教学目标全面：本节课的教学目标涵盖了知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三个部分。通过情景创设、问题导向、小组合作等策略，学生能够在掌握绝对值知识的同时，培养团队合作精神、提高解决问题的能力，并培养对数学的兴趣和自信心。
3.强调绝对值的重要性和实用性，激发学生对绝对值学习的兴趣和动力。
（五）作业小结
1.布置相关的作业题，让学生巩固和加深对绝对值的理解和应用。
2.鼓励学生在作业中尝试不同的解题方法，培养学生的创新思维和解决问题的能力。
3.要求学生在作业中认真思考和解答，培养学生的自主学习和自我评价的能力。
五、案例亮点
1.生活实例导入：通过设计小明乘坐地铁的故事，将绝对值的概念与实际生活情境相结合，使学生能够更好地理解和贴近绝对值的意义和应用。这样的导入方式能够激发学生的兴趣和好奇心，提高他们对本节课的学习动力。

人教版七年级数学上册1.2.4绝对值优秀教学案例

4.重视反思与评价，帮助学生建立自信心，提高学习效果。
1.提出具有挑战性和引导性的问题，激发学生的思考和探究欲望。
2.引导学生从问题中发现线索，通过自主学习和合作交流，找到解决问题的方法。
3.在问题解决过程中，关注学生的思维过程，及时给予指导和鼓励，帮助学生建立自信心。
（三）小组合作
1.将学生分成若干小组，鼓励学生之间的合作与交流。
2.设计具有层次性和探究性的任务，引导学生进行小组讨论和合作完成。
3.关注小组合作的过程，培养学生的团队合作意识、交流能力和解决问题的能力。
（四）反思与评价
1.引导学生对所学知识进行总结和反思，巩固记忆，提高理解能力。
2.鼓励学生主动参与评价，培养学生的自我认知和自我调整能力。
3.采用多元化评价方式，关注学生的知识掌握程度、思维过程和情感态度，全面评价学生的学习成果。
3.培养学生的团队合作意识，让他们在合作交流中互相学习、互相帮助，共同提高。
三பைடு நூலகம்教学重点与难点
1.教学重点：让学生理解和掌握绝对值的概念和基本性质，能够运用绝对值解决实际问题。
2.教学难点：让学生理解绝对值的概念，以及如何运用绝对值解决实际问题。
四、教学过程
1.导入：通过生活实例引入绝对值的概念，让学生感受到数学与生活的紧密联系。
2.设计一系列具有层次性的练习题，让学生在实践中掌握绝对值的基本性质。
3.采用启发式教学，引导学生主动探究、合作交流，培养学生的数学思维能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣和自信心，让他们感受到自己在数学学习上的进步和成就。
2.培养学生积极思考、勇于探索的学习态度，让他们明白学习数学不仅仅是为了应付考试，更是为了培养思维能力和解决实际问题的能力。

绝对值案例分析

《绝对值》教学案例分析隰县教科局教研室尹晋明《初中数学课程标准》指出：在数学课程中，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想。

为了适应时代发展对人才培养的需要，数学课程还要特别注重发展学生的应用意识和创新意识。

绝对值一节是七年级学生学习了数轴及如何把一个有理数在数轴上表示出来的基础上学习的，其中最基本的内容是理解相反数的概念，教材的安排是先给出绝对值的定义：我们把数轴上表示数A的点与原点的距离，叫做数A的绝对值。

接着教师应用举例：师：｜5｜= ____ ｜0｜= ____ ｜-5｜=____生根据绝对值的定义，得到答案：5、0、5师生总结得到如下三条性质；（教材中的黑体字）一个正数的绝对值是它本身0的绝对值是0一个负数的绝对值是它的相反数后面的教学是性质的应用。

这个教学片段看起来很顺，但在课后的作业中或考试中会出现这样的问题：例如：1、如果｜a｜= a, 则a____；2、如果｜a｜= -a,则a____。

大部分学生会第一个填写a﹥0；第二个填写a﹤0。

而正确答案是第一个填a≧0；第二个填a≦0。

导致错误的原因是学生直接倒用上面的性质，学生这样想因为a是a本身，所以a是正数（应用第一条）；-a是a的相反数，所以a是负数（应用第三条）。

这里将0的特殊性忘了，“0的相反数是0”所以0既可以看作0本身，也可以看作0的相反数。

学生的数形结合思想、数感、符号意识这些核心概念还没有得到充分发展，绝对值的性质还没有真正理解。

出了错以后再去纠正，学生也是似懂非懂，因为学生的第一印象较深，一旦形成，很难改变。

我想我们教师在绝对值教学时，能不能将绝对值的性质中的三条改为两条：正数和0的绝对值是它本身负数和0的绝对值是它的相反数。

这样一来，学生就会清楚，如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数就是正数或0；如果一个数的绝对值是它的相反数，那么这个数就是负数或0；这样将教材中的性质进行重组，效果就会很好，学生在做上面那两个填空题是就不会犯错了。

七年级数学上册《绝对值》优秀教学案例

七年级数学上册《绝对值》优秀教学案例
一、案例背景
《绝对值》是七年级数学上册的一个重要教学内容，它既是对有理数概念的拓展，又是学生建立数轴观念的关键。本案例以学生已掌握的有理数知识为基础，通过实际问题的引入，让学生感知到绝对值在生活中的应用，进而激发他们的学习兴趣。在教学过程中，注重启发学生思考，引导他们通过小组合作、探究交流等方式，深入理解绝对值的概念及其性质，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。此外，本案例还强调对学生个体差异的关注，尊重每个学生的认知特点，提供不同难度的练习题，使他们在掌握绝对值知识的同时，增强自信心，体验数学学习的乐趣。在整个教学过程中，教师将以人性化、启发式的语言引导学生，让他们在轻松愉快的氛围中探索数学的奥秘。
二、教学目标
（一）知识与技能
1. 让学生掌握绝对值的概念，能够正确理解并运用绝对值表示有理数。
2. 培养学生运用数轴来直观表示绝对值，并能解决与之相关的问题。
3. 使学生掌握绝对值的性质，如正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，零的绝对值是零等。
4. 培养学生运用绝对值解决实际问题的能力，例如在数轴上表示距离、温度变化等。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
在导入新课的环节，我将利用学生的已有知识作为切入点，通过以下步骤引导学生进入绝对值的学习：
1. 复习有理数的概念，包括正数、负数和零，以及它们在数轴上的表示。
2. 提问：“当我们只关心数的大小，不关心其正负时，我们应该如何表示它呢？”
3. 展示生活中与距离有关的例子，如两地的距离、温度变化等，让学生感受到绝对值在生活中的应用。
4. 通过数轴上的点来引出绝对值的概念，例如点A和原点的距离，无论A在原点的左侧还是右侧，距离都是正数。

绝对值的趣味故事

绝对值的趣味故事绝对值，在数学中是一个非常常见的概念。

它表示一个数距离原点的距离，忽略正负号，始终为非负数。

然而，除了数学上的定义之外，绝对值还有许多有趣的故事和应用。

第一则趣味故事发生在一个小学数学课上。

老师正在讲解绝对值的概念，为了让学生更好地理解，她给出了一个问题：“如果小明家离学校有5公里，而小王家离学校有3公里，那么谁住得离学校更远呢？”学生们立刻兴奋地举起手来，纷纷回答道：“小明住得更远！”老师微笑着解释道：“实际上，小明虽然住得更远，但我们计算绝对值时会忽略正负号，所以小王离学校更远。

”学生们恍然大悟，发现原来绝对值还可以这样用。

第二个趣味故事发生在一次商业谈判中。

两家公司在价格谈判中产生了分歧，双方争执不下。

最终，他们找到了一个数学家作为调解员。

数学家耐心地听取了双方的理由后，提出了一个新的解决方案：将双方提出的价格取绝对值后相加，得出的结果就是两家公司最终的价格。

这种方法既考虑了双方的利益，又兼顾了公平性，最终成功地解决了矛盾。

绝对值的故事还可以延伸到生活的方方面面。

比如，在日常生活中，我们常常会遇到负面情绪的困扰，而“转化绝对值”法则就是一个很好的方法。

也就是说，当我们遇到消极的情绪时，可以尝试将其转化为积极思维，忽略负面因素，从而使自己更加乐观向上。

绝对值，在数学上是一个简单的概念，但在生活中却有着丰富的内涵和应用。

通过了解绝对值的故事，我们可以更好地理解这一概念，并将其运用到实际生活中，做到积极向上，化解矛盾，并且更好地处理人际关系。

希望每个人都能从绝对值的趣味故事中找到启发，让生活变得更加有趣和美好。

绝对值计算的常见错误与纠正：人教版教学实例分享

绝对值计算的常见错误与纠正：人教版教学实例分享绝对值是数学中常见的概念，它是指一个数与零的距离。

在数学教学中，绝对值的计算是一个基础而且重要的内容。

然而，由于学生对于绝对值的概念理解不深刻，常常容易出现错误的情况。

本文将通过人教版教学实例分享，介绍绝对值计算中常见的错误以及相应的纠正方法。

一、绝对值的定义和性质在介绍绝对值的计算错误之前，我们先来回顾一下绝对值的定义和性质。

对于任意实数a，其绝对值记作|a|，定义为：1. 若a≥0，则|a|=a；2. 若a<0，则|a|=-a。

绝对值的主要性质包括：1. |a|≥0，绝对值非负；2. 若a≥0，则|a|=a，即正数的绝对值是其本身；3. 若a<0，则|a|=-a，即负数的绝对值是其相反数。

了解了绝对值的定义和性质，我们可以更好地理解绝对值计算中的常见错误，并能够有针对性地进行纠正。

二、常见的绝对值计算错误1. 错误：混淆正数与负数的绝对值在计算绝对值时，有些学生会混淆正数与负数的绝对值计算方法。

他们可能会错误地认为正数的绝对值就是该数本身，负数的绝对值就是去掉负号。

例如，对于|-3|，有些学生会错误地计算为3。

2. 错误：运算时忽略负号在进行绝对值计算时，有些学生可能会不注意负号，忽略了负数的负号符号。

例如，对于|-4|+3，他们可能会错误地计算得7，而忽略了-4的负号。

3. 错误：将绝对值只作用于括号内部数值在解决绝对值运算中的复杂表达式时，一些学生可能误认为绝对值只作用于括号内部的数值，而不考虑其它部分。

例如，对于|3+5|，他们可能会错误地将结果计算为8，而忽略了绝对值的作用范围应该是整个表达式。

三、常见错误的纠正方法1. 纠正方法：理解正数与负数的绝对值计算方法为了正确计算绝对值，学生需要充分理解正数与负数的绝对值计算方法。

正数的绝对值是其本身，即|a|=a（a≥0）；负数的绝对值是其相反数的绝对值，即|a|=-a（a<0）。

平淡出真知——《绝对值》案例分析

2013-12新视角【引言】这是一节校内的数学公开课，上课的老师是我校资深的卢老师，他以其独特的教学风格，深受学生的爱戴，所教过的学生数学素养普遍较高。

本节课的教学内容：苏科版七年级上册2.3绝对值。

《义务教育数学课程标准》在初中阶段要求学生掌握求有理数的绝对值的方法，知道a的含义（这里的a表示有理数）。

【实录】师：小明的家在学校西边3km处，小丽的家在学校东边2km 处，你会用数轴上的点表示小明家、学校、小丽家的位置吗？学生画数轴后，部分学生停笔了。

师（及时提醒）：我们一般把什么规定为正方向？生：正东方向。

（恍然大悟状）小明在最左边的位置，学校在中间，小丽家在右边。

（化解学生的方位不分的危机。

）师：如何表示三处的位置呢？生（积极思考状）：把数轴上的1个单位长度看成1km，学校在中间，那么它所对的点当做原点比较好，那么表示2这个数的点就是小丽家，表示-3这个数的点就是小明家。

（课后与本同学交流，得知她有预习的习惯。

）师：非常好！结合下面的学习内容，我们一般把学校标在原点处，当然学校也可以标在别处。

由于小明家到学校的距离是3km，可知-3的点到原点的距离是3，那么2的点到原点的距离是多少呢？齐：是2。

师：我们把数轴上表示一个数的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值。

如，-3的点到原点的距离是3，于是-3的绝对值是3，2的点到原点的距离是2，则2的绝对值是2，那么0的绝对值是什么？生（想了想）：0。

老师又在数轴上任取了几个点，让学生回答这些数的绝对值，所有的学生都答对了。

师：我们如何表示一个数的绝对值呢？例如，把4的绝对值记为|4|，-3.5的绝对值记为|-3.5|，那么-3、2的绝对值如何表示？生：3、2。

师：根据绝对值的定义，我们知道|4|=4，|-3.5|=3.5，那么|-3|、|2|的值呢？生：-3=3，2=2。

师：非常好，下面我们学习比较数的绝对值的大小。

你会比较-3，-6的绝对值大小吗？生（脱口而出）：会。

分类讨论思想解绝对值问题例析

樊宏标分类讨论思想解绝对值问题例析分类讨论思想是以概念的划分、集合的分类为基础的思想方法.它是为了解决因各种因素制约着的数学问题,使原本变幻的不定的问题,分解成若干个相对确定的问题,再各个击破,从而获得完整的解答.分类讨论必须遵循三条原则:一是对全体分类对象做到既不重复,也不遗漏,二是每次分类按同一标准进行,三是连续多级分类,要按层次逐级进行,如何分类必须根据问题的具体背景而定.利用分类讨论思想解题在高考中是常见内容,现就绝对值问题作一剖析,希望对同学们有所启发.一、求绝对值函数中参数的取值范围例1若函数f(x)=a|x-b|+2在[0, +)上为增函数,则实数a,b的取值范围是.解:首先对b的值分类讨论:函数f(x)在[0,+)上为增函数,显然应有b0;其次,再对a的值进行讨论:当a=0时,显然不能满足f(x)在[0,+)上为增函数的要求;当a<0时,函数f(x)的图像是从点(b,2)引出的两条射线,且当x b时,函数在[b,+)上为减函数,也不符合要求,舍去;当a>0时,函数f(x)在[b,+)上为增函数.评注:本题是含有绝对值符号和两个参数的分段函数问题,是一个典型的二级讨论问题,它对考生分类讨论思维的缜密性有较高的要求.二、讨论绝对值函数的性质例设为常数,函数f(x)=x+|x|+,x R()讨论f(x)的奇偶性;()求f(x)的最小值.解:()首先讨论f(x)的奇偶性,由于y=x2+1是偶函数,所以f(x)的奇偶性取决于|x-a|.由于y=|x|是偶函数,所以第一次分类应分为a=0及a0讨论.(1)当a=0时,f(x)=x2+|x|+1为偶函数.(2)当a0时,f(x)=x2+|x-a|+1为非奇非偶函数.()再求f(x)的最小值,为此需去掉f(x)解析式中的绝对值符号.就要对x分x a 和x<a讨论.(1)当x a时,f(x)=x2-x+a+1=(x-12)2+a+34,为求x a时f(x)的最小值,要研究f(x)图像的对称轴x=12相对于a 的不同位置.当a12时,f(x)在(-,a]上为减函数,则f(a)最小,即f m i n(x)=f(a)=a2+1.当a>12时,f(x)在(-,12)上是减函数,在(12,a)是增函数,于是f(12)最小,即f m i n(x)=f(12)=a+34.(2)当x a时,f(x)=x2+x-a+1=(x+12)2-a+34.此时,要研究f(x)图像的对称轴x=相对于的不同位置数理化学习(高中版)2a2-a1.-12a.19当a-12,f(x)在[a,-12)是减函数,在(-12,+)上是增函数,则f(-12)最小,即f m i n(x)=f(-12)=34- a.当a>-12时,f(x)在[a,+)是增函数,则f(a)最小,即f m i n(x)=f(a)=a2+1.综合以上,f(x)的最小值是f m i n(x)=34-a,(a-12),a2+1,(-12<a12), 34=a,(a>12)评析:本题经历了三次分类讨论的过程:第一次,为讨论函数f(x)的奇偶性,对a=0,a 0分类;第二次,为去掉绝对值符号,对x a 和x<a分类;第三次,为求函数f(x)的最小值对a12,a>12和a-12,a>-12分类.三、解含绝对值的不等式例3解关于x的不等式:|x-a|x> a.解:因为x0,原不等式同解于:()x>0,|x-a|>ax,或()x<0,|x-a|<ax.(1)当a=0时,化为x>0,|x|>0,或x<0,|x|<0.解集为{x|x>0}.(2)当a>0成立,显然()无解.()化为x>0,x-a>ax或x-a<-a x,即x>,()x>或x<+当a=1时,化为x>0,x<12.解集为:{x|0<x<12}.当a>1时,化为x>0,x<a1-a或x<a1+a,即x>0,x<a1+a.解集为{x|0<x<a1+a}.当0<a<1时,化为x>0,x>a1-a或x<a1+a.因为a1-a>a1+a>0,所以解集为{x|0<x<a1+a或x>a1-a}.(3)当a<0时,由()得x>0.化为x>0或x<0,-ax<x-a<ax,即x>0或x<0,x<a1-a,(1+a)x> a.则x>0或x<a1-a,(1+a)x> a.当a=-1时,化为x>0或x<-12,解集为{x|x>0或x<-12}.当a<-1时,化为x>0或x<a1-a,x<a1+a.因为<<+所以解集为数理化学习(高中版)1-a aa1a.a1-aa1a.20{x|x>0或x<a1-a}.当-1<a<0时,化为x>0或x<a1-a,x>a1+a.因为a1+a<a1-a<0,所以解集为{x|x>0或a1+a<x<a1-a}.评注:本题看似平淡,实则平中见奇,常中见新,题目以简洁的形式出现,把一次不等式、绝对值不等式、分式不等式及含参不等式很自然地结合在一起,很好地体现了新教材对这些不等式的解法的基本要求,并对变量x及参数a 的双重标准进行分类讨论.浙江省绍兴县柯桥中学(312030)赵传义灵活新颖综合交融的数列试题近几年高考数列试题灵活新颖,综合交融,考查了学生一般数学能力.局部不难,但综合起来就有一定的深度.强调知识的交融性,在知识的交汇处命题,要求学生对试题有分解能力,有确认的能力.一、与解几结合例1设P1(x1,y1),P2(x2,y2),,P n(x n,y n)(n3,n N)是二次曲线C上的点,且a1=|OP1|2,a2=|OP2|2,,a n=|OP n|2构成了一个公差为d(d0)的等差数列,其中O是坐标原点.记S n=a1+a2++a n.(1)若C的方程为x2100+y225=1,n=3.点P1(10,0)及S3=255,求点P3的坐标;(只需写出一个)(2)若C的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0).点P1(a,0),对于给定的自然数n,当公差d 变化时,求S n的最小值;(3)请选定一条除椭圆外的二次曲线C及上的一点,对于给定的自然数,写出符合条件的点,,,存在的充要条件,并说明理由.分析:该题的主要条件是长度的平方成等差数列,并且点在二次曲线上,又给出前n项和的记法,在形式上或第一印象给人无法下手的感觉,也就是将条件发散开来后后续手段不多.这时不要慌,要静下心来看看接下来的各小问是将条件向哪个方向发展的.(1)明确了C的方程,给出点P1及S3,求P3.由P1为(10,0),得a1=100.(这里注意!a1=|OP1|2,在条件中给出的不是a1=|OP1|似乎给我们思考带来了一定的方便,但这里又给我们因思维定势犯错误埋下了伏笔,事实上就本题而言a n=|OP n|并不比a n=|OP n|2解决起来困难).又由S3=255=32(a1+a3),得.a3=70即|OP3|2=70.所以x23100+y2325=1,x23+y23=70,得x23=60,y23=10所以3的坐标可以为(5,)数列在这里仅仅起到了由|O|=数理化学习(高中版)C P1nP1P2P n P2110.P1210021。

《绝对值》典型例题

《绝对值》典型例题例1求下列各数的绝对值，并把它们用“＞”连起来．87-，91+，0，－1.2 分析首先可根据绝对值的意义，即正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0来求出各数的绝对值．在比较大小时可以根据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”比较出2.187->-，其他数的比较就容易了．解 .2.12.1,00,9191,8787=-==+=- .2.187091->->>+ 说明：利用绝对值只是比较两个负数．例2求下列各数的绝对值：（1）－38；（2）0.15；（3）)0(<a a ；（4）)0(3>b b ；（5）)2(2<-a a ；（6）b a -．分析：欲求一个数的绝对值，关键是确定绝对值符号内的这个数是正数还是负数，然后根据绝对值的代数定义去掉绝对值符号，(6)题没有给出a 与b 的大小关系，所以要进行分类讨论．解：（1）|-38|＝38；（2）|+0.15|＝0.15；（3）∵a ＜0，∴|a |＝－a ；（4）∵b ＞0，∴3b ＞0，|3b|＝3b ；（5）∵a ＜2，∴a -2＜0，|a -2|＝-(a -2)＝2-a ；（6）⎪⎩⎪⎨⎧<-=>-=-).();(0);(b a a b b a b a b a b a说明：分类讨论是数学中的重要思想方法之一，当绝对值符号内的数(用含字母的式子表示时)无法判断其正、负时，要化去绝对值符号，一般都要进行分类讨论．例3一个数的绝对值是6，求这个数．分析根据绝对值的意义我们可以知道，绝对值是6的数应该是6±．说明：互为相反数的两个数的绝对值相等．例4 计算下列各式的值（1）272135-+++-；（2）21354543-+--；（3）71249-⨯-；（4）.21175.0-÷- 分析这些题中都带有绝对值符号，我们应先计算绝对值再进行其他计算．解（1）83272135272135=++=-+++-；（2）2162135454321354543=+-=-+--；（3）1057124971249=⨯=-⨯-；（4）.5.021175.021175.0=÷=-÷- 说明：在去掉绝对值之后，要注意能简算的要简算，如（2）题．例5 已知数a 的绝对值大于a ，则在数轴上表示数a 的点应在原点的哪侧？分析确定表示a 的点在原点的哪侧，其关键是确定a 是正数还是负数．由于负数的绝对值是它的相反数正数，所以可确定a 是负数．解由于负数的绝对值是它的相反数，所以负数的绝对值大于这个负数；又因为0和正数的绝对值都是它本身，所以a 是负数，故表示数a 的点应在原点的左侧．说明：只有负数小于其本身的绝对值，而0和正数都等于自己的绝对值．例6 判断下列各式是否正确(正确入“T”，错误入“F”)：（1）a a =-；（）（2）a a -=-；（）（3）)0(≠=a aa a a；（）（4）若|a |＝|b|，则a ＝b ；（）（5）若a ＝b ，则|a |＝|b|；（）分析：判断上述各小题正确与否的依据是绝对值的定义，所以思维应集中到用绝对值的定义来判断每一个结论的正确性．判数(或证明)一个结论是错误的，只要能举出反例即可．如第(2)小题中取a ＝1，则-|a |＝-|1|＝-1，而|-a |＝|-1|＝1，所以-|a |≠|-a |．在第(4)小题中取a ＝5，b ＝-5等，都可以充分说明结论是错误的．要证明一个结论正确，须写出证明过程．如第(3)小题是正确的．证明步骤如下：当0>a 时，1==a a a a ，而1==a a a a ，aa a a =∴成立；当0<a 时，1-=-=aa a a ，而1-=-=a a a a ，a a a a=∴也成立．这说明0≠a 时，总有成立．此题证明的依据是利用的定义，化去绝对值符号即可．解：其中第(2)、(4)、小题不正确，(1)、(3)、(5)小题是正确的．说明：判断一个结论是正确的与证明它是正确的是相同的思维过程，只是在证明时需要写明道理和依据，步骤都要较为严格、规范．而判断一个结论是错误的，可依据概念、性质等知识，用推理的方法来否定这个结论，也可以用举反例的方法，后者有时更为简便．例7 若0512=-++y x ，则y x +2等于（）．分析与解：“任意有理数的绝对值一定为非负数．”利用这一特点可得012≥+x ；05≥-y ．而两个非负数之和为0，只有一种可能：两非负数均为0．则012=+x ，21-=x ；05=-y ，5=y ．故452122=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=+y x ．说明：任意有理数的绝对值一定为非负数，因为它表示的是一个数在数轴上的对应点到原点的距离．绝对值的这个特性今后会经常用到．几个非负数的和为0，则每一个非负数都是0．例8 计算)5(13>-+-x x x ．分析：要计算上式的结果，关键要弄清x -3和1-x 的符号，再根据正数的绝对值等于本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0．可求上式的结果，又∵5>x ，故03<-x ，而01>-x ．解：又∵5>x ，∴03<-x ，01>-x ， ∴421313-=-+-=-+-x x x x x ．说明：利用绝对值的代数定义灵活化简含绝对值的式子同，首先应确定代数式的符号．另外，要求出负数的相反数．。

绝对值的应用

绝对值的应用码头铺中学张霞在中学数学中，绝对值是在学习代数知识中的一个重点知识，尤其是在求代数式的值、化简代数式、求最大值最小值以及解不等式等中有着极其广泛的应用。

在此，笔者对绝对值的应用做了一定的归纳和总结。

1、求代数式的值例1、|x-y|+|y-3|=0，求2x+y 的值。

分析：对于任何的x 、y 而言，|x+y|和|y-3|都是大于或等于0的，而两个大于或等于0的式子相加等于0，则只有一种情况，就是那两个式子都等于0。

则有x-y=0，y-3=0，从而可以求出x 与y 的值，也就能得出要求的代数式的值了。

解：由|x-y|+|y-3|=0可知，有⎩⎨⎧=-=-030y y x ，从而解得⎩⎨⎧==33y x ，则2x+y=2×3+3=9。

例2、若|x-y+3|与|x+y-1999|互为相反数，求yx y x -+的值。

分析：由|x-y+3|与|x+y-1999|互为相反数，可得该两个绝对值相加是等于0的，从而此题就变成了与例1相类似的了。

解：由|x-y+3|与|x+y-1999|互为相反数，可得|x-y+3|+|x+y-1999|=0，则有⎩⎨⎧=-+=+-0199903y x y x ，解得⎩⎨⎧==1001998y x ，有y x y x -+=10019981001998-+=-31999。

注：此题也可以不需求出x 、y 的值，只将x+y 、x-y 的解出即可，即由⎩⎨⎧=-+=+-0199903y x y x 得出⎩⎨⎧=+-=-19993y x y x ，然后将其代入所求代数式中即可。

2、化简代数式例3、化简|x+2|+|x-3|+|x+5|分析：要去掉三个绝对值符号，就要同时确定三个绝对值符号里的代数式的正负性，可采用零点分段法讲数轴分成四段再化简。

解：由x+2=0,x-3=0,x+5=0,分别求得零点值x=-2，x=3，x=-5-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4当x ≤-5时，原式=-(x+2)+[-(x-3)]+[-(x+5)]=-4-3x当-5＜x ≤-2时，原式=-（x+2）+[-(x-3)]+ (x+5)=6-x当-2＜x ≤3时，原式=x+2+[-(x-3)]+ (x+5)=10+x当x ＞3时，原式= x+2+(x-3) + (x+5)=4+3x3、求最大值、最小值例4、求|x-1|+|x-3|的最小值。