2018高考一轮复习：第二节命题及其关系、充分条件与必要条件
2018年高考数学(人教A版)一轮复习课件：1.2命题及其关系、充分条件与必要条件
所以m≥- 1 .
4
即当方程有实根时,m也可能大于0,故其逆命题为假.
【规律方法】 1.一些常见词语及其否定 词语 否定 是 不是 都是 都不是 等于 大于
不都是 至少一个是 不等于 不大于
2.命题真假的判断方法 (1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判 断. (2) 利用原命题与逆否命题 , 逆命题与否命题的等价关 系进行判断.
A⊆B B⊆A
A B
B A A=B
2.互为逆否命题关系的运用
p 是q 的充分不必要条件 , 等价于 ¬q 是 ¬p 的充分不必要
条件.
【小题快练】 链接教材 练一练
1.(选修1-1P10T3(2)改编)“(x-1)(x+2)=0”是“x=1” 的 ( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】选C.当y≥0时,x>y⇔x>|y|;当y<0时x>|y|
⇒x>y但x>y x>|y|.所以“x>y”是“x>|y|”的必要
不充分条件.
5.(2017·焦作模拟)已知命题α :如果x<3,那么x<5;
命题β :如果x≥3,那么x≥5;命题γ :如果x≥5,那么
x≥3.关于这三个命题之间的关系.下列三种说法正确 的是 ( )
(2)原命题为“若z1,z2互为共轭复数,则|z1|=|z2|”, 关于逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下, 正确的是 ( ) B.假,假,真 D.假,假,假
A.真,假,真 C.真,真,假
【解题导引】(1)原命题的逆否命题书写格式是否定结
2018版高考一轮数学文科：第2讲-命题及其关系、充分条件与必要条件ppt课件
教学参考│课前双基巩固│课堂考点探究│教师备用例题
考试说明
1．理解命题的概念． 2．了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四 种命题的 相互关系． 3．理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．
教学参考
考情分析
考点 命题的四种形式 充要条件的判断 充要条件的应用
[ 解析 ] A 根据数量积的 定义，a· b＝ a· bcos θ， 由 a· b＝ a· b可得 cos θ ＝1， 根据向量所成角的范 围得到 θ＝0，所以 a∥b； 若 a∥b，可得向量 a 与向 量 b 共线， 即所成的角为 0 或π，所以 a· b＝± a· b， 故选 A.
真题在线
■ [2016－2015]其他省份类似高考真题
1．[2015· 山东卷] 设 m∈R，命题“若 m>0，则方 程 x2＋x－m＝0 有实根”的逆否命题是( A．若方程 x2＋x－m＝0 有实根，则 m>0 B．若方程 x2＋x－m＝0 有实根，则 m≤0 C．若方程 x2＋x－m＝0 没有实根，则 m>0 D．若方程 x2＋x－m＝0 没有实根，则 m≤0 )
常用结论 1．充分条件、必要条件的两个结论： (1)若 p 是 q 的充分不必要条件，q 是 r 的充分不必要条件，则 p 是 r 的充分不必要条件； (2)若 p 是 q 的充分不必要条件，则綈 q 是綈 p 的充分不必要条件．
课前双基巩固
2．充分条件、必要条件与集合的关系 p 成立的对象构成的集合为 A，q 成立的对象构成的集合为 B p 是 q 的充分条件 p 是 q 的必要条件 p 是 q 的充分不必要条件 p 是 q 的必要不充分条件 p 是 q 的充要条件 A⊆B B⊆A A B B A A＝B
(全国通用)2018年高考数学 考点一遍过 专题02 命题及其关系_充分条件与必要条件(含解析)文
考点02命题及其关系、充分条件与必要条件1．理解命题的概念.2．了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系. 3．理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.一、命题及其关系1．命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题(2)四种命题间的关系(3)常见的否定词语(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动． 二、充分条件与必要条件 1．充分条件与必要条件的概念(1)若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件； (2)若p ⇒q 且q /⇒p ，则p 是q 的充分不必要条件； (3)若p /⇒q 且q ⇒p ，则p 是q 的必要不充分条件； (4) 若p ⇔q ，则p 是q 的充要条件；(5) 若p /⇒q 且q /⇒p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件. 2．必记结论(1)等价转化法判断充分条件、必要条件①p 是q 的充分不必要条件⇔q ⌝是p ⌝的充分不必要条件； ②p 是q 的必要不充分条件⇔q⌝是p ⌝的必要不充分条件； ③p 是q 的充要条件⇔q ⌝是p ⌝的充要条件；④p 是q 的既不充分也不必要条件⇔q ⌝是p ⌝的既不充分也不必要条件. (2)集合判断法判断充分条件、必要条件若p 以集合A 的形式出现，q 以集合B 的形式出现，即p ：A ={x |p (x ) }，q ：B ={x |q (x ) }，则 ①若A B ⊆，则p 是q 的充分条件； ②若B A ⊆，则p 是q 的必要条件； ③若A B ⊂≠，则p 是q 的充分不必要条件； ④若B A ⊂≠，则p 是q 的必要不充分条件； ⑤若A B =，则p 是q 的充要条件；⑥若A B ⊂≠且B A ⊂≠，则p 是q 的既不充分也不必要条件.考向一四种命题的关系及其真假的判断四种命题的关系及其真假的判断是高考中的一个热点，多以选择题的形式出现，难度一般不大，往往会结合其他知识点(如函数、不等式、三角、向量、立体几何等)进行综合考查.常见的解法如下： 1．判断四种命题间关系的方法①由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题． ②原命题和逆否命题、逆命题和否命题有相同的真假性，解题时注意灵活应用. 2．命题真假的判断方法①给出一个命题，要判断它是真命题，需经过严格的推理证明；而要说明它是假命题，则只需举一反例即可．②由于原命题与其逆否命题为等价命题，有时可以利用这种等价性间接地证明命题的真假.典例1 （2017年高考北京卷）能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若a ＞b ＞c ，则a +b ＞c ”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为___________. 【答案】−1，−2，−3（答案不唯一）【解析】()123,1233->->--+-=->-，矛盾，所以−1，−2，−3可验证该命题是假命题. 【名师点睛】解答本题时利用赋值的方式举反例进行验证，答案不唯一．1．已知命题“2,410x ax x ∀∈++>R ”是假命题，则实数a 的取值范围是 A ．()4,+∞ B ．(]0,4 C ．(],4-∞D ．[)0,4典例2 命题“0,0a ab ==若则”的逆否命题是 A ．0,0ab a ≠≠若则 B ．0,0a ab ≠≠若则 C ．0,0ab a =≠若则D ．0,0ab a ==若则【答案】A【解析】原命题的逆否命题为“若0ab ≠，则0a ≠ ”，故选A.【方法点睛】将原命题的条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定．2．下列说法正确的是A ．命题：“存在四边相等的四边形不是正方形”，该命题是假命题.B ．命题“已知A 、B 为一个三角形的两内角，若A B >，则sin sin A B >”的逆命题为真命题C ．“若a b >，则221a b >-”的否命题为“若a b <，则221a b <-”D ．“1a =”是“直线10x ay -+=与直线20x ay +-=互相垂直”的充要条件考向二充分、必要条件的判断充分条件与必要条件的判断是高考命题的热点，多以选择题形式出现，作为载体，考查知识面广，常与函数、不等式、三角函数、平面向量、立体几何、解析几何等知识综合考查.常见的解法如下： 1．命题判断法设“若p ，则q ”为原命题，那么：(1)原命题为真，逆命题为假时，则p 是q 的充分不必要条件； (2)原命题为假，逆命题为真时，则p 是q 的必要不充分条件； (3)当原命题与逆命题都为真时，则p 是q 的充要条件；(4)当原命题与逆命题都为假时，则p 是q 的既不充分也不必要条件． 2．集合判断法（同必记结论） 3．等价转化法（同必记结论）典例3 （2017年高考天津卷）设x ∈R ，则“20x -≥”是“|1|1x -≤”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由20x -≥，可得2x ≤，由|1|1x -≤，可得111x -≤-≤，即02x ≤≤， 因为{}{}022x x x x ⊂≤≤≤≠，所以“20x -≥”是“|1|1x -≤”的必要而不充分条件，故选B ．【名师点睛】本题考查充要条件的判断，从定义来看，若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，若q p ⇒，则p 是q 的必要条件，若p q ⇔，则p 是q 的充要条件；从集合的角度看，若A B ⊆，则A 是B 的充分条件，若B A ⊆，则A 是B 的必要条件，若A B =，则A 是B 的充要条件，若A 是B 的真子集，则A 是B 的充分而不必要条件，若B 是A 的真子集，则A 是B 的必要而不充分条件．3．设θ∈R ，则“ππ||1212θ-<”是“1sin 2θ<”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件典例4若条件:1p x ≤，且p ⌝是q 的充分不必要条件，则q 可以是 A ．1x > B ．0x > C ．2x ≤D ．10x -<<【答案】B【技巧点睛】有关探求充要条件的选择题，破题关键是：首先，判断是选项“推”题干，还是题干“推”选项；其次，利用以小推大的技巧，即可得结论．4．命题:e,ln 0p x a x ∀>-<“”为真命题的一个充分不必要条件是 A ．1a ≤ B ．1a < C ．1a ≥D ．1a >考向三充分、必要条件的应用充分、必要条件的应用主要涉及根据充要条件求解参数的取值范围，具体解法如下：1．解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（组）求解.2．求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.典例5 已知命题p ：“关于x 的方程240x x a -+=有实根”，若p ⌝为真命题的充分不必要条件为31a m >+，则实数m 的取值范围是A ．[)1,+∞ B ．()1,+∞ C ．(),1-∞D ．(],1-∞【答案】B5．已知条件，条件，且是的充分不必要条件，则的取值范围是 A ． B ． C ．D ．1．已知命题“若，则”为真命题，则下列命题中一定为真命题的是 A ．若，则 B ．若，则C ．若，则D ．若，则2．设m ∈R ，命题：若0m >，则20x x m +-=有实根的否命题是A ．若0m >，则20x x m +-=没有实根B ．若0m <，则20x x m +-=没有实根C ．若0m ≤，则20x x m +-=有实根D ．若0m ≤，则20x x m +-=没有实根 3；命题乙：30α≠且150α≠，则甲是乙的 A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既不充分条件也不必要条件4．“若，则，都有成立”的逆否命题是A ．有成立，则B ．有成立，则C ．有成立，则D ．有成立，则5．“240x x -<”的一个充分不必要条件是 A ．04x << B ．02x << C ．0x >D ．4x <6．下列有关命题的说法正确的是A ．“21x =”是“1x =”的充分不必要条件B ．“x =2时,x 2－3x +2=0”的否命题为真命题C ．直线1l ：210ax y ++=，2l ：220x ay ++=，12l l ∥的充要条件是D ．命题 “若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题7．已知()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则“120x x +>”是“()()121f x f x ⋅<”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知,m n 是两条互相垂直的直线，α是平面，则n α∥是m α⊥的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．设,a b 都是非零向量，下列四个条件，使A ．=a bB ．2=a bC ．∥a b 且D ．∥a b 且方向相同10:p ”，条件:q”，若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是 A ．()3,5 B ．[]3,5 C ．()2,4D ．[]2,41．（2017年高考浙江卷）已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2017年高考北京卷）设m ,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．（2016年高考天津卷）设0>x ，y ∈R ，则“y x >”是“||y x >”的A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．（2016年高考上海卷）设a ∈R ，则“1>a ”是“12>a ”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．（2016年高考四川卷）设p :实数x ，y 满足1x >且1y >，q : 实数x ，y 满足2x y +>，则p 是q 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件1．【答案】C【解析】当命题为真时，由0a >且0∆<可得4a >，故命题为假时，4a ≤，故选C ． 2．【答案】B3．【答案】A 【解析】πππ||012126θθ-<⇔<<1sin 2θ⇒<，但0θ=时1sin 02θ=<，不满足ππ||1212θ-<，所以“ππ||1212θ-<”是“1sin 2θ<”的充分而不必要条件，故选A ． 4．【答案】B【解析】由题意得()min ln ,e,ln 11a x x x a <>∴>∴≤,因为()(],1,1,⊂-∞-∞≠因此命题p 的一个充分不必要条件是1a <,选B. 5．【答案】B 【解析】由条件,解得或;因为是的充分不必要条件，所以是的充分不必要条件，有，故选B.1．【答案】C【解析】依据原命题与逆否命题的等价性可知：命题“若，则”的逆否命题“若，则”是真命题，故应选C.2．【答案】D【解析】命题：若0m >，则20x x m +-=有实根的否命题为“若0m ≤，则20x x m +-=没有实根”.故选D ． 3．【答案】A【解析】因为30150α=︒︒或是30α≠且150α≠的充分不必要条件，选A.4．【答案】D【解析】由原命题与逆否命题的关系可得：“若，则，都有成立”的逆否命题是 “有成立，则”.本题选D.5．【答案】B【解析】因为()2404004x x x x x -<⇒-<⇒<<，充分不必要条件是其真子集，所以只有02x <<满足条件，故选B.6．【答案】D7．【答案】C【解析】考查充分性：因为120x x +>，且函数()f x 是R 上的单调递减函数，则：()()121211,22x xf x f x ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()1212112x x f x f x +⎛⎫⋅=< ⎪⎝⎭，即()()121f x f x ⋅<，充分性成立；以上过程可以逆向推倒，即必要性满足.综上，“120x x +>”是“()()121f x f x ⋅<”的充分必要条件.本题选C. 8．【答案】D【解析】若,m n n α⊥∥，则,m α可能垂直、平行、相交或m 在面α内，即n ∥α不是m ⊥α的充分条件，若,m n m α⊥⊥，则,n α可能平行或n 在面α内，即n ∥α不是m ⊥α的必要条件，所以n ∥α是m ⊥α的既不充分也不必要条件.故选D.9．【答案】 D 表示与a 方向相同的单位向量，因此成立的充要条件是a 与b 同向即可，故选D ．10．【答案】A【解析】s所以()[]3,5f x ∈，又当时，()()2,2f x m m ∈-+，若p 是q 的充分不必要条件，则23{25m m -<+>，所以35m <<，故选A.1．【答案】C 【名师点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式，通过套入公式与简单运算，可知4652S S S d +-=，结合充分必要性的判断，若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，若p q ⇐，则p 是q 的必要条件，该题“0d >”⇔“46520S S S +->”，故互为充要条件．2．【答案】A【解析】若0λ∃<，使λ=m n ，则两向量,m n 反向，夹角是180︒，那么c o s 1800⋅=︒=-<m n m n m n ；若0⋅<m n ，那么两向量的夹角为(]90,180︒︒，并不一定反向，即不一定存在负数λ，使得λ=m n ，所以是充分而不必要条件，故选A.3．【答案】C【解析】34,3|4|>-<-,所以充分性不成立；||x y y x y >≥⇒>，所以必要性成立，故选C.4．【答案】A【解析】2211,11a a a a >⇒>>⇒>或1a <-，所以是充分不必要条件，故选A ．5．【答案】A【解析】由题意，1x >且1y >，则2x y +>，而当2x y +>时不能得出，1x >且1y >.故p 是q 的充分不必要条件，选A.【名师点睛】本题考查充分性与必要性的判断问题，首先是分清条件和结论，然后考察条件推结论，结论推条件是否成立.这类问题往往与函数、三角、不等式等数学知识结合起来考．有许多情况下可利用充分性、必要性和集合的包含关系得出结论．。
18高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第二节命题及其关系、充分条件与必要条件课件文
解析：①命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命 题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，显然①为真命 题；②不全等的三角形的面积也可能相等，故②为假命 题；③原命题正确，所以它的逆否命题也正确，故③为 真命题；④若ab是正整数，但a，b不一定都是正整数， 例如a＝－1，b＝－3，故④为假命题． 答案：①③
[由题悟法]
充要条件的3种判断方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断； (2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进 行判断； (3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把 判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以 否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的某种条 件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的某种条件．
[小题纠偏]
1．设a，b均为非零向量，则“a∥b”是“a与b的方向相 同”的________条件．
答案：必要不充分 2．“在△ABC中，若∠C＝90° ，则∠A，∠B都是锐角”
的否命题为：________________．
解析：原命题的条件：在△ABC 中，∠C＝90° ， 结论：∠A，∠B 都是锐角．否命题是否定条件和结论．
2．(2017· 衡阳联考)设p：x2－x－20>0，q：log2(x－5)<2，则p 是q的 A．充分不必要条件 C．充要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ( )
解析：∵x2－x－20>0，∴x>5或x<－4，∴p：x>5或x< －4．∵log2(x－5)<2，∴0<x－5<4，即5<x<9，∴q： 5<x<9，∵{x|5<x<9} {x|x>5或x<－4}，∴p是q的必要不 充分条件．故选B． 答案：B
【课标通用】2018届高考数学(理)一轮课件：2-命题及其关系、充分条件和必要条件
等于圆的半径,所以直线与圆相切,故③为真命题.故选 C.
考点3
考点4
试做真题
高手必备 萃取高招 对点精练
4.(2017北京,理13)能够说明“设a,b,c是任意实数,若a>b>c,则a+b>c” 是假命题的一组整数a,b,c的值依次为 . 【答案】 -1,-2,-3(答案不唯一) 【解析】 答案不唯一,如令a=-1,b=-2,c=-3,则a>b>c,而a+b=-3=c, 能够说明“设a,b,c是任意实数,若a>b>c,则a+b>c”是假命题.
考点3
考点4
试做真题
高手必备 萃取高招 对点精练
1.(2017广西南宁一模)下列有关命题的说法正确的是( ) A.命题“若x2=4,则x=2”的否命题为“若x2=4,则x≠2” B.命题“∃x∈R,x2+2x-1<0”的否定是“∀x∈R,x2+2x-1>0” C.命题“若x=y,则sin x=sin y”的逆否命题为假命题 D.若“p∨q”为真命题,则p,q至少有一个为真命题 【答案】 D 一个命题的否命题是对命题的条件和结论同时否定, 对于A,只否定结论,未否定条件,故A错;对于B,命题“∃x∈R,x2+2x1<0”的否定是“∀x∈R,x2+2x-1≥0”,故B错;对于C,命题“若x=y,则sin x=sin y”是真命题,所以该命题的逆否命题为真命题,故C错;对于D, 若“p∨q”为真命题,则p,q至少有一个为真命题是正确的,故选D.
【答案】 C V'= πr3= π
4 3 4 3
4 3 设球半径为 R,缩小后半径为 r,则 V= πR , 3 3 1 1 4 1 ������ = × πR3,所以该球体积缩小到原来的 ,故①为 2 8 3 8 1 2 1 2
2018届高三数学文一轮复习课件：1-2 命题及其关系、充分条件与必要条件 精品
微考点
充分条件、必要条件的应用
【典例 5】设条件 p：2x2－3x＋1≤0；条件 q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，
若綈 p 是綈 q 的必要不充分条件，则实数 a 的取值范围是________。
解析：由 2x2－3x＋1≤0 得12≤x≤1， 由 x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0 得 a≤x≤a＋1。
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：解不等式|x－2|＜1 可得，1＜x＜3，解不等式 x2＋x－2＞0 可得，x ＜－2 或 x＞1，所以“|x－2|＜1”是“x2＋x－2＞0”的充分而不必要条件。
答案：A
4．(2015·重庆卷)“x＞1”是“log1 (x＋2)＜0”的( )
2
A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
命题为 p⇒綈 q 但綈 qA⇒/ p，所以 p 是綈 q 的充分不必要条件，故选 A。 答案：A
[规律方法] 充要条件的三种判断方法 (1)定义法：根据 p⇒q，q⇒p 进行判断。 (2)集合法：根据 p，q 成立的对应的集合之间的包含关系进行判断。 (3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化 为其逆否命题进行判断。这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如 “xy≠1”是“x≠1 或 y≠1”的何种条件，即可转化为判断“x＝1 且 y＝1”是 “xy＝1”的何种条件。
＜an，n∈N＋，则{an}为递减数列”，关于其逆命
题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( A )
A．真，真，真
B．假，假，真
C．真，真，假
D．假，假，假
解析：(1)f′(x)＝ex－m，由f(x)在(0，＋∞)上是增函数知f′(x)≥0，即 m≤ex在x∈(0，＋∞)上恒成立，又ex＞1，从而m≤1，则原命题是真命题。对 于A，否命题写错，故A错；对于B，逆命题写对，但逆命题是真命题，故B 错；对于C，逆否命题写错，故C错；对于D，逆否命题写对，且为真命题，故 选D。
高考数学一轮总复习 第一章 1.2命题及其关系、充分条件与必要条件
思维升华
(1)写一个命题的其他三种命题时，需注意： ①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写； ②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提. (2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题 需举出反例即可. (3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真
师生共研
题型二 充分、必要条件的判定
(2)设n∈N*，则一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条 解析 由Δ＝16－4n≥0，得n≤4， 又n∈N*，则n＝1,2,3,4. 当n＝1,2时，方程没有整数根； 当n＝3时，方程有整数根1,3， 当n＝4时，方程有整数根2.综上可知，n＝3或4.
核心素养之逻辑推理
HEXINSUYANGZHILUOJITUILI
(2)已知条件p：x>1或x<－3，条件q：5x－6>x2，则綈p是綈q的
√A.充分不必要条件
C.充要条件
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
解析 由5x－6>x2，得2<x<3，即q：2<x<3.
所以q⇒p，p⇏q，所以綈p⇒綈q，綈q⇏綈p，
所以綈p是綈q的充分不必要条件，故选A.
思维升华
解 由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴P＝{x|－2≤x≤10} 由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.
1－m≤1＋m， 则1－m≥－2， ∴0≤m≤3.
1＋m≤10，
引申探究
若本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条 解 若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，
3.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q，则p是q的 充分 条件，q是p的 必要 条
p是q的 充分不必要 条件
2018版高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第2讲命题及其关系充分条件与必要条件课件理
A⇔B与綈B⇔綈A的等价关系，对于条件或结论是否定形式
[易错防范]
1.当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保
留大前提. 2.判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结 构，可以先把命题改写成“若p，则q”的形式. 3.判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确 理解“p的一个充分而不必要条件是q”等语言.
p q且q p
诊断自测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT展示 )
(1)“x2＋2x－3<0”是命题.(
)
(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”.( (3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.( )
(4)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成 立”.( )
题为假命题，只需举出反例.
(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同 真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可 转化为判断其等价命题的真假.
【训练 1】 已知：命题“若函数 f(x)＝ex－mx 在(0，＋∞)上是增 函数，则 m≤1”，则下列结论正确的是( )
A.否命题是“若函数 f(x)＝ex－mx 在(0， ＋∞)上是减函数， 则m ＞1”，是真命题 B.逆命题是“若 m≤1，则函数 f(x)＝ex－mx 在(0，＋∞)上是增 函数”，是假命题
(2)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命
题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( A.真、假、真 C.真、真、假 B.假、假、真 D.假、假、假 )
解析 (1)根据逆否命题的定义可以排除A，D；由x2－3x－4 ＝0，得x＝4或－1，所以原命题为假命题，所以其逆否命题 也是假命题.
命题及其关系、充分条件与必要条件
题组二:走进教材 1.(选修1-1P8T2改编)命题“若x,y都是偶数,则x+y也 是偶数”的逆否命题是 ( ) A.若x+y是偶数,则x与y不都是偶数 B.若x+y是偶数,则x与y都不是偶数 C.若x+y不是偶数,则x与y不都是偶数 D.若x+y不是偶数,则x与y都不是偶数
【解析】选C.若命题为“若p,则q”,命题的逆否命题 为“若非q,则非p”,所以原命题的逆否命题是“若x+y 不是偶数,则x与y不都是偶数”.
【解析】选B.根据原命题和其逆否命题的条件和结论
的关系,得命题“若x2>y2,则x>y”的逆否命题是“若
x≤y,则x2≤y2”.
3.“在△ABC中,若C=90°,则A,B都是锐角”的否命题 为________. 【解析】原命题的条件:在△ABC中,C=90°, 结论:A,B都是锐角.否命题是否定条件和结论,即“在 △ABC中,若C≠90°,则A,B不都是锐角”. 答案:在△ABC中,若C≠90°,则A,B不都是锐角
【解析】①若a>b>0,则 1 1 成立;
ab
②若a>0>b,则, 1 >0, 1 <0,所以 1 1 不成立;
a
b
ab
③若0>a>b,则 1 1 <0成立.
ab
综上,只需选取符合“a>0>b”的一组a,b,就能说明原
命题是假命题.
例如,a=1,b=-1;a=2,b=-1等. 答案:1,-1(答案不唯一)
“ad=bc”等价于“ b d ”,
ac
“a,b,c,d成等比数列”等价于“ b c d ”,
abc
所以“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的必要而不
第一章 第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件
第二节命题及其关系、充分条件与必要条件1.理解命题的概念．2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．突破点一命题及其关系[基本知识]1．命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及相互关系3．四种命题的真假关系(1)若两个命题互为逆否命题，则它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)“x2＋2x－8<0”是命题．()(2)一个命题非真即假．()(3)四种形式的命题中，真命题的个数为0或2或4.()(4)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．()答案：(1)×(2)√(3)√(4)×二、填空题1．命题“若x2<4，则－2<x<2”的否命题为________________，为________(填“真”或“假”)命题．答案：若x2≥4，则x≥2或x≤－2真2．设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是____________________．答案：若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0 3．有下列几个命题：(1)“若a >b ，则1a >1b ”的否命题；(2)“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题； (3)“若|x |<4，则－4<x <4”的逆否命题． 其中真命题的序号是________．解析：(1)原命题的否命题为“若a ≤b ，则1a ≤1b ”，假命题；(2)原命题的逆命题为“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，真命题；(3)原命题为真命题，故逆否命题为真命题．答案：(2)(3)[全析考法]考法一 命题真假的判断[例1] 下面的命题中是真命题的是( ) A ．y ＝sin 2x 的最小正周期为2πB ．若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根同号，则ca >0 C ．如果M ⊆N ，那么M ∪N ＝MD ．在△ABC 中，若AB ―→·BC ―→>0，则B 为锐角 [解析] y ＝sin 2x ＝1－cos 2x 2，T ＝2π2＝π，故A 为假命题；当M ⊆N 时，M ∪N ＝N ，故C 为假命题；在三角形ABC 中，当AB ―→·BC ―→>0时，向量AB ―→与BC ―→的夹角为锐角，B 应为钝角，故D 为假命题，故选B.[答案] B [方法技巧]判断命题真假的思路方法(1)判断一个命题的真假时，首先要弄清命题的结构，即它的条件和结论分别是什么，然后联系其他相关的知识进行判断．(2)当一个命题改写成“若p ，则q ”的形式之后，判断这个命题真假的方法： ①若由“p ”经过逻辑推理，得出“q ”，则可判定“若p ，则q ”是真命题； ②判定“若p ，则q ”是假命题，只需举一反例即可． 考法二 四种命题的关系[例2] (1)(2019·长春质监)命题“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是( )A ．若x 2≥1，则x ≥1或x ≤－1B ．若－1<x <1，则x 2<1C ．若x >1或x <－1，则x 2>1D ．若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1(2)(2019·广东中山一中第一次统测)下列命题中为真命题的是( ) A ．命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题 B ．命题“若x >1，则x 2>1”的否命题 C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题 D ．命题“若x 2>0，则x >1”的逆否命题[解析] (1)命题的形式是“若p ，则q ”，由逆否命题的知识，可知其逆否命题为“若綈q ，则綈p ”的形式，所以“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是“若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1”．故选D.(2)命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题为“若x >|y |，则x >y ”，是真命题，故A 正确；命题“若x >1，则x 2>1”的否命题为“若x ≤1，则x 2≤1”，是假命题，故B 错误；命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题为“若x ≠1，则x 2＋x －2≠0”，是假命题，故C 错误；命题“若x 2>0，则x >1”的逆否命题为“若x ≤1，则x 2≤0”，是假命题，故D 错误．选A.[答案] (1)D (2)A [方法技巧]四种命题的关系及真假判断(1)判断关系时，先分清命题的条件与结论，再分析每个命题的条件与结论之间的关系，注意四种命题间关系的相对性．(2)命题真假的判断方法①直接判断法：若判断一个命题为真，需经过严格的推理证明；若说明为假，只需举一反例．②间接判断法：转化成等价命题，再判断．[集训冲关]1.[考法二]命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )A ．若α≠π4，则tan α≠1B ．若α＝π4，则tan α≠1C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π4解析：选C 否定原命题的结论作条件，否定原命题的条件作结论所得的命题为逆否命题，可知C 正确．2.[考法一、二]原命题为“若z 1，z 2互为共轭复数，则|z 1|＝|z 2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A ．真，假，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假解析：选B 因为原命题为真，所以它的逆否命题为真；若|z 1|＝|z 2|，当z 1＝1，z 2＝ －1时，这两个复数不是共轭复数，所以原命题的逆命题为假，故否命题也为假．故选B.3.[考法一]定义“正对数”：ln ＋x ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0<x <1，ln x ，x ≥1.现有四个命题：①若a >0，b >0，则ln ＋(a b )＝b ln ＋a ； ②若a >0，b >0，则ln ＋(ab )＝ln ＋a ＋ln ＋b ；③若a >0，b >0，则ln ＋⎝⎛⎭⎫a b ≥ln ＋a －ln ＋b ； ④若a >0，b >0，则ln ＋(a ＋b )≤ln ＋a ＋ln ＋b ＋ln 2. 其中的真命题有________(写出所有真命题的编号)． 解析：对于①，当a ≥1时，a b ≥1， 则ln ＋(a b )＝ln a b ＝b ln a ＝b ln ＋a ；当0<a <1时，0<a b <1，则ln ＋(a b )＝0，b ln ＋a ＝0， 即ln ＋(a b )＝b ln ＋a ，故①为真命题．同理讨论a ，b 在(0，＋∞)内的不同取值，可知③④为真命题． 对于②，可取特殊值a ＝e ，b ＝1e，则ln ＋(ab )＝0，ln ＋a ＋ln ＋b ＝1＋0＝1，故②为假命题． 综上可知，真命题有①③④. 答案：①③④突破点二 充分条件与必要条件[基本知识]1．充分条件与必要条件的概念若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件 p 是q 的充分不必要条件p ⇒q 且qpp是q的必要不充分条件p q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p q且q p 2.p成立的对象构成的集合为A，q成立的对象构成的集合为Bp是q的充分条件A⊆Bp是q的必要条件B⊆Ap是q的充分不必要条件A Bp是q的必要不充分条件B Ap是q的充要条件A＝B一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．()(2)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．()(3)“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的必要不充分条件．()答案：(1)√(2)√(3)×二、填空题1．“x＝3”是“x2＝9”的________条件(填“充分不必要”或“必要不充分”)．答案：充分不必要2．“ab>0”是“a>0，b>0”的________条件．答案：必要不充分3．xy＝1是lg x＋lg y＝0的________条件．解析：lg x＋lg y＝lg(xy)＝0，∴xy＝1且x>0，y>0.所以“lg x＋lg y＝0”成立，xy＝1必成立，反之无法得到x>0，y>0.因此“xy＝1”是“lg x＋lg y＝0”的必要不充分条件．答案：必要不充分4．设p，r都是q的充分条件，s是q的充要条件，t是s的必要条件，t是r的充分条件，那么p是t的________条件，r是t的________条件(用“充分不必要”“必要不充分”“充要”填空)．解析：由题知p⇒q⇔s⇒t，又t⇒r，r⇒q，故p是t的充分不必要条件，r是t的充要条件．答案：充分不必要 充要[全析考法]考法一 充分条件与必要条件的判断[例1] (1)(2018·北京高考)设a ，b ，c ，d 是非零实数，则“ad ＝bc ”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2018·天津高考)设x ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”是“x 3＜1”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)a ，b ，c ，d 是非零实数，若a <0，d <0，b >0，c >0，且ad ＝bc ，则a ，b ，c ，d 不成等比数列(可以假设a ＝－2，d ＝－3，b ＝2，c ＝3)．若a ，b ，c ，d 成等比数列，则由等比数列的性质可知ad ＝bc .所以“ad ＝bc ”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的必要而不充分条件．(2)由⎪⎪⎪⎪x －12＜12，得0＜x ＜1，则0＜x 3＜1， 即“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”⇒“x 3＜1”； 由x 3＜1，得x ＜1，当x ≤0时，⎪⎪⎪⎪x －12≥12， 即“x 3＜1”“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”． 所以“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”是“x 3＜1”的充分而不必要条件． [答案] (1)B (2)A[方法技巧] 充分、必要条件的判断方法 利用定义判断 直接判断“若p ，则q ”“若q ，则p ”的真假．在判断时，确定条件是什么、结论是什么从集合的角度判断利用集合中包含思想判定．抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，即可解决充分必要性的问题利用等价转化法条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假[例2] (2019·大庆质检)已知p ：x ≤1＋m ，q ：|x －4|≤6.若p 是q 的必要不充分条件，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(－∞，9]C ．[1,9]D ．[9，＋∞)[解析] 由|x －4|≤6，解得－2≤x ≤10，因为p 是q 的必要不充分条件，所以m ＋1≥10，解得m ≥9.故选D.[答案] D [方法技巧]根据充分、必要条件求参数范围的思路方法(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间关系列出关于参数的不等式(组)求解．(2)求解参数的取值范围时， 一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．[集训冲关]1.[考法一]已知m ，n 为两个非零向量，则“m ·n <0”是“m 与n 的夹角为钝角”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 设m ，n 的夹角为θ，若π2<θ<π，则cos θ<0，所以m ·n <0；若θ＝π，则m ·n＝－|m |·|n |<0.故“m ·n <0”是“m 与n 的夹角为钝角”的必要不充分条件．故选B.2.[考法一]已知α，β均为第一象限角，那么“α>β”是“sin α>sin β”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选D α＝7π3，β＝π3均为第一象限角，满足α>β，但sin α＝sin β，因此不满足充分性；α＝－5π3，β＝π6均为第一象限角，满足sin α>sin β，但α<β，因此不满足必要性．故选D.3.[考法二]设M 为实数区间，a >0且a ≠1，若“a ∈M ”是“函数f (x )＝log a |x －1|在(0,1)上单调递增”的充分不必要条件，则区间M 可以是( )A ．(1，＋∞)B ．(1,2)C ．(0,1)D.⎝⎛⎭⎫0，12 解析：选D 由函数f (x )＝log a |x －1|在(0,1)上单调递增可知0<a <1，由题意及选项知区间M 可以是⎝⎛⎭⎫0，12.故选D. 4.[考法二]已知p ：(x －m )2>3(x －m )是q ：x 2＋3x －4<0的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为________________．解析：p 对应的集合A ＝{x |x <m 或x >m ＋3}，q 对应的集合B ＝{x |－4<x <1}． 由p 是q 的必要不充分条件可知B A ， ∴m ≥1或m ＋3≤－4，即m ≥1或m ≤－7. 答案：(－∞，－7]∪[1，＋∞)[课时跟踪检测] 1．(2019·合肥模拟)命题“若a 2＋b 2＝0，则a ＝0且b ＝0”的逆否命题是( ) A ．若a ≠0或b ≠0，则a 2＋b 2≠0 B ．若a 2＋b 2≠0，则a ≠0或b ≠0 C ．若a ＝0或b ＝0，则a 2＋b 2≠0 D ．若a 2＋b 2≠0，则a ≠0且b ≠0解析：选A 原命题的逆否命题为“若a ≠0或b ≠0，则a 2＋b 2≠0”．故选A. 2．(2018·天津高考)设x ∈R ，则“x 3＞8”是“|x |＞2”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由x 3＞8⇒x ＞2⇒|x |＞2，反之不成立， 故“x 3＞8”是“|x |＞2”的充分而不必要条件． 3．下列命题中为真命题的是( ) A ．mx 2＋2x －1＝0是一元二次方程B ．抛物线y ＝ax 2＋2x －1与x 轴至少有一个交点C ．互相包含的两个集合相等D ．空集是任何集合的真子集解析：选C A 中，当m ＝0时，是一元一次方程，故是假命题；B 中，当Δ＝4＋4a <0，即a <－1时，抛物线与x 轴无交点，故是假命题；C 是真命题；D 中，空集不是本身的真子集，故是假命题．4．(2019·合肥调研)“a >1”是“3a >2a ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 因为y ＝⎝⎛⎭⎫32x 是增函数，又a >1，所以⎝⎛⎭⎫32a >1，所以3a >2a ；若3a >2a ， 则⎝⎛⎭⎫32a >1＝⎝⎛⎭⎫320，所以a >0，所以“a >1”是“3a >2a ”的充分不必要条件，故选A. 5．已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的12，则其体积缩小到原来的18；②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等； ③直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝12相切．其中真命题的序号为( ) A ．①②③ B ．①② C ．①③D ．②③解析：选C 对于命题①，设球的半径为R ，则43π⎝⎛⎭⎫R 23＝18·43πR 3，故体积缩小到原来的18，命题正确； 对于命题②，若两组数据的平均数相同，则它们的标准差不一定相同，例如数据：1,3,5和3,3,3的平均数相同，但标准差不同，命题不正确；对于命题③，圆x 2＋y 2＝12的圆心(0,0)到直线x ＋y ＋1＝0的距离d ＝12＝22，等于圆的半径，所以直线与圆相切，命题正确．6．(2019·咸阳模拟)已知p ∶m ＝－1，q ：直线x －y ＝0与直线x ＋m 2y ＝0互相垂直，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由题意得直线x ＋m 2y ＝0的斜率是－1，所以－1m 2＝－1，m ＝±1.所以p 是q 的充分不必要条件．故选A.7．(2019·重庆调研)定义在R 上的可导函数f (x )，其导函数为f ′(x )，则“f ′(x )为偶函数”是“f (x )为奇函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )．∴[f (－x )]′＝[－f (x )]′＝－f ′(x )， ∴f ′(－x )＝f ′(x )，即f ′(x )为偶函数；反之，若f ′(x )为偶函数，如f ′(x )＝3x 2，f (x )＝x 3＋1满足条件，但f (x )不是奇函数，所以“f ′(x )为偶函数”是“f (x )为奇函数”的必要不充分条件．故选B.8．(2019·抚州七校联考)A，B，C三个学生参加了一次考试，A，B的得分均为70分，C的得分为65分．已知命题p：若及格分低于70分，则A，B，C都没有及格．则下列四个命题中为p的逆否命题的是()A．若及格分不低于70分，则A，B，C都及格B．若A，B，C都及格，则及格分不低于70分C．若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分D．若A，B，C至少有一人及格，则及格分高于70分解析：选C根据原命题与它的逆否命题之间的关系知，命题p的逆否命题是若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分．故选C.9．(2019·济南模拟)原命题：“a，b为两个实数，若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”，下列说法错误的是()A．逆命题为：a，b为两个实数，若a，b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2，为假命题B．否命题为：a，b为两个实数，若a＋b<2，则a，b都小于1，为假命题C．逆否命题为：a，b为两个实数，若a，b都小于1，则a＋b<2，为真命题D．a，b为两个实数，“a＋b≥2”是“a，b中至少有一个不小于1”的必要不充分条件解析：选D原命题：a，b为两个实数，若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1；逆命题：a，b为两个实数，若a，b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2；否命题：a，b为两个实数，若a＋b<2，则a，b都小于1；逆否命题：a，b为两个实数，若a，b都小于1，则a＋b<2.逆否命题显然为真，故原命题也为真；若a＝1.2，b＝0.5，则a＋b≥2不成立，逆命题为假命题，所以否命题为假命题．所以“a＋b≥2”是“a，b中至少有一个不小于1”的充分不必要条件．故选D.10．已知：p：x≥k，q：(x＋1)(2－x)<0，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是()A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)C．[1，＋∞) D．(－∞，－1]解析：选B由q：(x＋1)(2－x)<0，得x<－1或x>2，又p是q的充分不必要条件，所以k>2，即实数k的取值范围是(2，＋∞)，故选B.11．在原命题“若A∪B≠B，则A∩B≠A”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．解析：逆命题为“若A∩B≠A，则A∪B≠B”；否命题为“若A∪B＝B，则A∩B＝A”；逆否命题为“若A∩B＝A，则A∪B＝B”．全为真命题．答案：412．已知命题“若m －1<x <m ＋1，则1<x <2”的逆命题为真命题，则m 的取值范围是________．解析：由已知得，若1<x <2成立，则m －1<x <m ＋1也成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤1，m ＋1≥2.∴1≤m ≤2. 答案：[1,2]13．条件p ：1－x <0，条件q ：x >a ，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________．解析：p ：x >1，若p 是q 的充分不必要条件，则p ⇒q ，但qp ，也就是说，p 对应的集合是q 对应的集合的真子集，所以a <1.答案：(－∞，1)14．(2019·湖南十校联考)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝Aq n ＋B (q ≠0)，则“A ＝－B ”是“数列{a n }为等比数列”的____________条件．解析：若A ＝B ＝0，则S n ＝0，数列{a n }不是等比数列．如果{a n }是等比数列，由a 1＝S 1＝Aq ＋B ，得a 2＝S 2－a 1＝Aq 2－Aq ，a 3＝S 3－S 2＝Aq 3－Aq 2，∴a 1a 3＝a 22，从而可得A ＝－B ，故“A ＝－B ”是“数列{a n }为等比数列”的必要不充分条件．答案：必要不充分15．(2019·湖南长郡中学模拟)已知函数f (x )＝4sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －23cos 2x －1，p ：π4≤x ≤π2，q ：|f (x )－m |<2，若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围． 解：化简解析式，得f (x )＝4·1－cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4＋x 2－23cos 2x －1＝2sin 2x －23cos 2x ＋1＝4sin ( 2x －π3 )＋1. 当π4≤x ≤π2时，π6≤2x －π3≤2π3， 则12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1，所以f (x )∈[3,5]． 当|f (x )－m |<2时，f (x )∈(m －2，m ＋2)．又p 是q 的充分不必要条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －2<3，m ＋2>5，所以3<m <5. 即实数m 的取值范围为(3,5).。
高考一轮复习第1章集合与常用逻辑用语第2讲命题及其关系充分条件与必要条件
第二讲命题及其关系、充分条件与必要条件知识梳理·双基自测知识点一命题及四种命题之间的关系1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①若两个命题互为逆否命题，则它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．知识点二充分条件与必要条件若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且qpp是q的必要不充分条件pq且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分又不必要条件pq且qp重要结论1．若A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；(3)若A＝B，则p是q的充要条件；(4)若A B，则p是q的充分不必要条件；(5)若A B，则p是q的必要不充分条件；(6)若A B且AB，则p是q的既不充分也不必要条件．2．充分条件与必要条件的两个特征：(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”．(2)传递性：若p 是q 的充分(必要)条件，q 是r 的充分(必要)条件，则p 是r 的充分(必要)条件，即“p ⇒q 且q ⇒r ”⇒“p ⇒r ”(“p ⇐q 且q ⇐r ”⇒“p ⇐r ”)．注意：不能将“若p ，则q”与“p ⇒q ”混为一谈，只有“若p ，则q”为真命题时，才有“p ⇒q ”，即“p ⇒q ”⇔“若p ，则q”为真命题．双基自测题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)语句x 2－3x ＋2＝0是命题．( × )(2)命题“三角形的内角和是180°”的否命题是“三角形的内角和不是180°”．( × ) (3)已知集合A ，B ，则A∪B＝A∩B 的充要条件是A ＝B ．( √ ) (4)“α＝β”是“tan α＝tan β”的充分不必要条件．( × ) (5)“若p 不成立，则q 不成立”等价于“若q 成立，则p 成立”．( √ )[解析] (4)当α＝β＝π2时，tan α、tan β都无意义．因此不能推出tan α＝tan β，当tan α＝tan β时，α＝β＋k π，k∈Z，不一定α＝β，因此是既不充分也不必要条件．题组二 走进教材2．(选修2－1P 8T3改编)下列命题是真命题的是( A ) A ．矩形的对角线相等 B ．若a>b ，c>d ，则ac>bd C ．若整数a 是素数，则a 是奇数 D ．命题“若x 2>0，则x>1”的逆否命题3．(选修2－1P 10T4改编)x 2－3x ＋2≠0是x≠1的充分不必要条件． [解析] x ＝1是x 2－3x ＋2＝0的充分不必要条件． 题组三 走向高考4．(2020·天津，2，5分)设a∈R，则“a>1”是“a 2>a ”的( A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 易知a>1⇒a 2>a ，而a 2>a ⇒a<0或a>1，所以“a>1”是“a 2>a ”的充分不必要条件． 5．(2015·山东，5分)设m∈R，命题“若m>0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是( D ) A ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m>0 B ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m≤0 C ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m>0 D ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m≤0 [解析] 由原命题和逆否命题的关系可知D 正确．6．(2018·北京，5分)能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0，2]都成立，则f(x)在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是f(x)＝sin_x(答案不唯一)．[解析]这是一道开放性试题，答案不唯一，只要满足f(x)>f(0)对任意的x∈(0，2]都成立，且函数f(x)在[0，2]上不是增函数即可．如f(x)＝sin x，答案不唯一．考点突破·互动探究KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU考点一命题及其关系——自主练透例1 (1)(2021·新高考八省联考)关于x的方程x2＋ax＋b＝0，有下列四个命题：甲：x＝1是该方程的根；乙：x＝3是该方程的根；丙：该方程两根之和为2；丁：该方程两根异号．如果只有一个假命题，则该命题是( A )A．甲B．乙C．丙D．丁(2)(2021·长春模拟)已知命题α：如果x<3，那么x<5，命题β：如果x≥3，那么x≥5，则命题α是命题β的( A )A．否命题B．逆命题C．逆否命题D．否定形式(3)(多选题)下列命题为真命题的是( CD )A．“若a2<b2，则a<b”的否命题B．“全等三角形面积相等”的逆命题C．“若a>1，则ax2－2ax＋a＋3>0的解集为R”的逆否命题D．“若3x(x≠0)为有理数，则x为无理数”的逆否命题(4)命题“若a＋b＝0，则a，b中最多有一个大于零”的否定形式为若a＋b＝0，则a，b都大于零，否命题为若a＋b≠0，则a，b都大于零．[解析](1)若乙、丙、丁正确，显然x1＝－1，x2＝3，两根异号，x1＋x2＝2，故甲错，因此选A．(2)命题α：如果x<3，那么x<5，命题β：如果x≥3，那么x≥5，则命题α是命题β的否命题．(3)对于A ，否命题为“若a 2≥b 2，则a≥b”，为假命题；对于B ，逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形”，是假命题；对于C ，当a>1时，Δ＝－12a<0，原命题正确，从而其逆否命题正确，故C 正确；对于D ，原命题正确，因此该命题的逆否命题也正确，D 正确．故选C 、D ．(4)否定形式：若a ＋b ＝0，则a ，b 都大于零．否命题：若a ＋b ≠0，则a ，b 都大于零． 名师点拨 MING SHI DIAN BO(1)由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，如果命题不是“若p ，则q”的形式，应先改写成“若p ，则q”的形式；如果命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提不变．(2)判断一个命题为真命题，要给出严格的推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出反例． (3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．考点二 充分必要条件考向1 充分条件与必要条件的判断——师生共研 方法1：定义法判断例2 ( 2020·北京，9，4分)已知α，β∈R，则“存在k∈Z 使得α＝k π＋(－1)kβ”是“sinα＝sin β”的( C )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)充分性：已知存在k∈Z 使得α＝k π＋(－1)kβ，(ⅰ)若k 为奇数，则k ＝2n ＋1，n∈Z，此时α＝(2n ＋1)π－β，n∈Z，sin α＝sin(2n π＋π－β)＝sin(π－β)＝sin β；(ⅱ)若k 为偶数，则k ＝2n ，n∈Z，此时α＝2n π＋β，n∈Z，sin α＝sin(2n π＋β)＝sin β. 由(ⅰ)(ⅱ)知，充分性成立．(2)必要性：若sin α＝sin β成立，则角α与β的终边重合或角α与β的终边关于y 轴对称，即α＝β＋2m π或α＋β＝2m π＋π，m∈Z，即存在k∈Z 使得α＝k π＋(－1)kβ，必要性也成立，故选C ． 方法2：集合法判断例3 (2020·天津一中高三月考)设x∈R，则“|x－1|<4”是“x －52－x >0”的( B )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 解绝对值不等式可得－4<x －1<4，即－3<x<5， 将分式不等式变形可得x －5x －2<0，解得2<x<5，因为(2，5)(－3，5)，所以“|x－1|<4”是“x －52－x >0”的必要而不充分条件．方法3 等价转化法判断例4 (1)给定两个条件p ，q ，若¬ p 是q 的必要不充分条件，则p 是¬q 的( A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)“已知命题p ：cos α≠12，命题q ：α≠π3”，则命题p 是命题q 的( A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)因为¬ p 是q 的必要不充分条件，则q ⇒¬ p ，但¬pq ，其逆否命题为p ⇒¬q ，但¬qp ，所以p 是¬q 的充分不必要条件．(2) ¬p ：cos α＝12，¬q ：α＝π3，显然¬q ⇒¬p ，¬p ¬q ，∴¬q 是¬p 的充分不必要条件，从而p 是q 的充分不必要条件，故选A ．另解：若cos α≠12，则α≠2kπ±π3(k∈Z)，则α也必然不等于π3，故p ⇒q ；若α≠π3，但α＝－π3时，依然有cos α＝12，故q p.所以p 是q 的充分不必要条件．故选A ． 名师点拨 MING SHI DIAN BO有关充要条件的判断常用的方法(1)根据定义判断：①弄清条件p 和结论q 分别是什么；②尝试p ⇒q ，q ⇒p.若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件；若q ⇒p ，则p 是q 的必要条件；若p ⇒q ，qp ，则p 是q 的充分不必要条件；若pq ，q ⇒p ，则p 是q 的必要不充分条件；若p ⇒q ，q ⇒p ，则p 是q 的充要条件．(2)利用集合判断 记法 A ＝{x|p(x)}，B ＝{x|q(x)} 关系 ABBAA ＝BAB 且BA结论p 是q 的充分不必要条件p 是q 的必要不充分条件p 是q 的充要条件p 是q 的既不充分也不必要条件断¬q 是¬p 的什么条件．〔变式训练1〕(1)指出下列各组中，p 是q 的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．①非空集合A ，B 中，p ：x∈(A∪B)，q ：x∈B；②已知x ，y∈R，p ：(x －1)2＋(y －2)2＝0，q ：(x －1)(y －2)＝0； ③在△ABC 中，p ：A ＝B ，q ：sin A ＝sin B ； ④对于实数x ，y ，p ：x ＋y≠8，q ：x≠2或y≠6.(2)(2020·天津部分区期末)设x∈R，则“x 2－2x<0”是“|x－1|<2”的( A ) A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)①显然x∈(A∪B)不一定有x∈B，但x∈B 一定有x∈(A∪B)，所以p 是q 的必要不充分条件．②条件p ：x ＝1且y ＝2，条件q ：x ＝1或y ＝2，所以p ⇒q 但qp ，故p 是q 的充分不必要条件． ③在△ABC 中，A ＝B ⇒sin A ＝sin B ；反之，若sin A ＝sin B ，因为A 与B 不可能互补(三角形三个内角之和为180°)，所以只有A ＝B ，故p 是q 的充要条件．④易知¬p ：x ＋y ＝8，¬q ：x ＝2且y ＝6，显然¬q ⇒¬p ，但¬p ¬q ，所以¬q 是¬p 的充分不必要条件，根据原命题和逆否命题的等价性知，p 是q 的充分不必要条件．(2)解不等式x 2－2x<0得0<x<2，解不等式|x －1|<2得－1<x<3，所以“x 2－2x<0”是“|x－1|<2”的充分不必要条件．故选A ．考向2 充要条件的应用——多维探究 角度1 充要条件的探究例 5 (多选题)下列函数中，满足“x 1＋x 2＝0”是“f(x 1)＋f(x 2)＝0”的充要条件的是( BC )A ．f(x)＝tan xB ．f(x)＝3x －3－xC ．f(x)＝x 3D ．f(x)＝log 3|x|[解析] 因为f(x)＝tan x 是奇函数，所以x 1＋x 2＝0⇒f(x 1)＋f(x 2)＝0，但f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝0时，π4＋3π4≠0，不符合要求，所以A 不符合题意；因为f(x)＝3x －3－x 和f(x)＝x 3均为单调递增的奇函数，所以满足“x 1＋x 2＝0”是“f(x 1)＋f(x 2)＝0”的充要条件，符合题意；对于选项D ，由f(x)＝log 3|x|的图象易知不符合题意，故选BC ．注：满足条件的函数是奇函数且单调． 角度2 利用充要条件求参数的值或取值范围例6 已知P ＝{x|x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x|1－m ≤x ≤1＋m}．若x ∈P 是x∈S 的必要条件，则m 的取值范围是[0，3]．[解析] 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x≤10， 所以P ＝{x|－2≤x≤10}，由x∈P 是x∈S 的必要条件，知S ⊆P.则⎩⎪⎨⎪⎧1－m≤1＋m ，1－m≥－2，1＋m≤10，所以0≤m≤3. 所以当0≤m≤3时，x∈P 是x∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0，3]．[引申1]若本例将条件“若x∈P 是x∈S 的必要条件”改为“若x∈P 是x∈S 的必要不充分条件”，则m 的取值范围是[0，3]．[解析] 解法一：由(1)若x∈P 是x∈S 的必要条件，则0≤m ≤3，当m ＝0时，S ＝{1}，不充分；当m ＝3时，S ＝{x|－2≤x≤4}也不充分，故m 的取值范围为[0，3]．解法二：若x∈P 是x∈S 的必要且充分条件，则P ＝S ，即⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10⇒m 无解，∴m 的取值范围是[0，3]．[引申2]若本例将条件“若x∈P 是x∈S 的必要条件”变为“若非P 是非S 的必要不充分条件”，其他条件不变，则m 的取值范围是[9，＋∞)．[解析] 由(1)知P ＝{x|－2≤x≤10)， ∵非P 是非S 的必要不充分条件， ∴S 是P 的必要不充分条件，∴P ⇒S 且SP. ∴[－2，10] [1－m ，1＋m]．∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m≤－2，1＋m>10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m<－2，1＋m≥10. ∴m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)． 名师点拨 MING SHI DIAN BO充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)一定要注意端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．(3)注意区别以下两种不同说法：①p 是q 的充分不必要条件，是指p ⇒q 但qp ；②p 的充分不必要条件是q ，是指q ⇒p 但pq.(4)注意下列条件的等价转化：①p 是q 的什么条件等价于¬q 是¬p 的什么条件，②p 是¬q 的什么条件等价于q 是¬ p 的什么条件．〔变式训练2〕(1)(角度1)(多选题)(2020·江西赣州十四县市高三上期中改编)角A ，B 是△ABC 的两个内角．下列四个条件下，“A>B”的充要条件是( ABD )A ．sin A>sinB B ．cos A<cos BC ．tan A>tan BD ．cos 2A<cos 2B(2)(角度2)(2021·山东省实验中学高三诊断)已知p ：x≥k，q ：(x ＋1)(2－x)<0.如果p 是q 的充分不必要条件，那么实数k 的取值范围是( B )A ．[2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(－∞，－1][解析] (1)当A>B 时，根据“大边对大角”可知，a>b ，由于a sin A ＝bsin B ，所以sin A>sin B ，则A 是“A>B”的充要条件；由于0<B<A<π，余弦函数y ＝cos x 在区间(0，π)内单调递减，所以cos A<cosB ，则B 是“A>B”的充要条件；当A>B 时，若A 为钝角，B 为锐角，则tan A<0<tan B ，则C 不是“A>B”的充要条件；当cos 2A<cos 2B ，即1－sin 2A<1－sin 2B ，所以sin 2A>sin 2B ，所以D 是“A>B”的充要条件；故选A 、B 、D ．(2)由q ：(x ＋1)(2－x)<0，可知q ：x<－1或x>2.因为p 是q 的充分不必要条件，所以x≥k ⇒x<－1或x>2，即[k ，＋∞)是(－∞，－1)∪(2，＋∞)的真子集，故k>2.故选B ．名师讲坛·素养提升MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG抽象命题间充要条件的判定例7 已知p 是r 的充分不必要条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，现有下列命题：①r 是q 的充要条件；②p 是q 的充分不必要条件；③r 是q 的必要不充分条件；④¬p 是¬s 的必要不充分条件；⑤r 是s 的充分不必要条件，则正确命题的序号是( B )A ．①④⑤B ．①②④C ．②③⑤D ．②④⑤[分析] 本题涉及命题较多，关系复杂，因此采用“图解法”．[解析] 由题意得p，显然q ⇒r 且r ⇒s ⇒q ，即q ⇔r ，①正确；p ⇒r ⇒s ⇒q 且qp ，②正确；r⇔q ，③错误；由p ⇒s 知¬ s ⇒¬ p ，但sp ，∴¬ p ¬ s ，④正确；r ⇔s ，⑤错误．故选B ．名师点拨 MING SHI DIAN BO命题较多、关系复杂时，画出各命题间关系图求解，简洁直观，一目了然． 〔变式训练3〕若p 是r 的必要不充分条件，q 是r 的充分条件，则p 是q 的必要不充分条件． [解析] 由题意可知q ⇒rp ，∴p 是q 的必要不充分条件．。
【高考数学】2018最新高三数学课标一轮复习课件：1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件(PPT课件)
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2.四种命题及其关系 (1)四种命题的表示及相互之间的关系
(2)四种命题的真假关系 ①互为逆否的两个命题 等价 ( 同真 或 同假 ②互逆或互否的两个命题 不等价 .
). 偶数 个.
③在四种形式的命题中真命题的个数只能是
第一章
知识梳理 双击自测
1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件
条件.
关闭
满足条件p的集合A={x|x<1},满足条件q的集合B={x||x|<1}.
满足条件r的集合C={x|-1<x<1}.
由于A⫌B,故p是q的必要不充分条件; 由于C⫋A,故r是p的充分不必要条件;
由于B=C,故q是r的充要条件. 必要不充分 充分不必要 充要
解析
关闭
答案
第一章
知识梳理 双击自测
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(3)充分条件和必要条件与集合的关系: (p成立的对象的集合为A,q成立的对象的集合为B)
p 是 q 的 充分不必要 条 p⇒q,且 q p 件 p 是 q 的 必要不充分 条 q⇒p,且 p q 件 p是q的 件 A 与 B 关系:
A是B的真子集
A 与 B 关系:
B是A的真子集
A 与 B 关系:
第一章
1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件
考情概览 知识梳理 核心考点 学科素养
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2017 2016 2015 2014 2013 高考对这部分知识考查主要两个方面,一是命题及其关 系判断,一般都是以其他数学知识为载体进行考查,难度 考向分 往往较大;二是充分条件和必要条件的判定,多数是与函 析 数、不等式、三角函数、立体几何、解析几何等知识 点进行结合命题,一般是低档题或中档题为主,两者题型 多为选择题. 年份
2018-2019年高三人教版A版数学(理)高考一轮复习课件：第一章 第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件
知识点二
又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论． 必备方法 由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，
因ห้องสมุดไป่ตู้当判断一个命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否 命题的真假．
知识点一
[自测练习]
1．命题“若 x2＋3x－4＝0，则 x＝－4” 的逆否命题及其真假性为( C ) A．“若 x＝－4，则 x2＋3x－4＝0”为真 命题 B．“若 x≠－4，则 x2＋3x－4≠0”为真 命题 C．“若 x≠－4，则 x2＋3x－4≠0”为假 命题 D．“若 x＝－4，则 x2＋3x－4＝0”为假 命题
2
试题
解析
A 中逆命题为“若 x>|y|，则 x>y”是真命题； B 中否命题为“若 x≤1，则 x2≤1”是假命题； C 中否命题为“若 x≠1，则
题组训练
C．命题“若 x＝1，则 x ＋x－2＝0”的 否命题 D．命题“若 x >0，则 x>1”的逆否命题
2
2
x2＋x－2≠0”是假命题； D 中原命题是假命题，从而 其逆否命题也为假命题．
考点一
试题
解析
题组训练
3 ． 以 下 关 于 命 题 的 说 法 正 确 的 有 对于①， 若 log2a>0＝log21， 则 ②④ 填写所有正确命题的序号)． ________( a>1，所以函数 f(x)＝logax 在 ①“若 log2a>0，则函数 f(x)＝logax(a>0， 其定义域内是增函数，故①不 a≠1) 在其定义域内是减函数”是真命 正确；对于②，依据一个命题 题； 的否命题的定义可知，该说法 ②命题“若 a＝0，则 ab＝0”的否命题 正确；对于③，原命题的逆命 是“若 a≠0，则 ab≠0”； 题是“若 x＋y 是偶数，则 x， ③命题“若 x，y 都是偶数， 则 x＋y 也是 y 都是偶数”，是假命题， 如1 偶数”的逆命题为真命题； ＋3＝4 是偶数， 但 3 和 1 均为 ④命题“若 a∈M， 则 b∉M”与命题“若 奇数，故③不正确；对于④， b∈M，则 a∉M”等价．
2018版高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1.2命题及其关系、充分条件与必要条件课件理新人教A版
①綈 q 是綈 p 的充分不必要条件⇔p 是 q 的充分不必要条件； ②綈 q 是綈 p 的必要不充分条件⇔p 是 q 的必要不充分条件； ③綈 q 是綈 p 的充要条件⇔p 是 q 的充要条件.
1.[2017· 山东淄博模拟]“a ＝ 2”是“函数 f(x) ＝ x2－ 2ax －3 在区间[2，＋∞)上为增函数”的( A A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 )
由 x2－8x－20≤0 得－2≤x≤10，
∴P＝{x |－2≤x≤10}， 由 x∈P 是 x∈S 的必要条件，知 S⊆ P. 1－m≤1＋m， 则1－m≥－2， 1＋m≤10，
∴0≤m≤3.
所以当 0≤m≤3 时，x∈ P 是 x∈S 的必要条件，即所求 m 的取值范围是[0,3]．
考点2
充分条件、必要条件 的判定
充要条件
答案： 充分 子集 充要
必要
充分不必要
真子集 包含
必要不充分
真
A ＝B
既不充分也不必要
1.充要条件的易混点：混淆条件的充分性和必要性．
必要不充分 条件． “x(x－1)＝0”是“x＝1”的_____________
解析：x(x－1)＝0⇒x＝0 或 x＝1；反之，由 x＝ 1 可得 x(x －1)＝0.故“x(x－1)＝0”是“x＝1”的必要不充分条件．
解析： 若 “(a － b)a2≥0” ，则 “a≥b” 不成立，故 “(a － b)a2≥0” 不 是 “a≥b” 的 充 分 条 件 ； 若 “a≥b” ， 则 “(a － b)a2≥0”成立， 故“(a－b)a2≥0”是“a≥b”的必要条件， 故选 B.
考点3
充分条件、必要条件 的应用
高三一轮复习_第一章___第二节___命题及其关系、充分条件与必要条件
d是实数，若a＋c＝b＋d，则a与b，c与d都相等”，假．
否命题“已知a，b，c，d是实数，若a与b，c与d不都相等， 则a＋c≠b＋d”，假．
逆否命题“已知a，b，c，d是实数，若a＋c≠b＋d，则a与
b，c与d不都相等”，真．
解：(1)命题的否定：
若x2－5x－14＝0， 则x≠7且x≠－2.假命题． (2)命题的否定： 已知a，b，c，d是实数， 若a＝b，c＝d，则a＋c≠b＋d，假命题． 保持例题条件不变，试 写出它们的否定，并
m>0 由 2 Δ ＝ 4 m ＋ 1 －4mm＋3<0 m>0 ⇒ m>1
⇒m>1.
故⑤正确．
答案： ②③⑤
5．已知P：x＋y≠2011；Q：x≠2000且y≠11，则P是Q的
________条件．
解析： P ¿ Q且Q ¿ P ∴P是Q的既不充分也不必要条件． 答案：既不充分也不必要
(2)|x－1|<2的解集是A＝{x|－1<x<3}，x2－x－6<0的解
集是B＝{x|－2<x<3}，
∵A B，所以p是q的充分不必要条件． (3)因为命题“若xy≠0则x≠0或y≠0”的逆否命题是“若x ＝0且y＝0则xy＝0”显然是真命题，所以p⇒q； 又因为命题“若x≠0或y≠0则xy≠0”的逆否命题是“若xy
否命题为假命题． 答案：B
1 1 3．“x>2”是“x< ”的 2 A．充分不必要条件 C．充要条件 B．必要不充分条件
(
)
D．既不充分也不必要条件
1 1 1 1 解析：x>2⇒x< ，但x< ¿ x>2. 2 2 1 1 ∴“x>2”是“x< ”的充分不必要条件． 2