高考数学课时训练6-6

＋b＋c＝0，求证 b2－ac< 3a”索的因应是( )
A．a－b>0
B．a－c>0
C．(a－b)(a－c)>0
D．(a－b)(a－c)<0
解析：由题意知 b2－ac< 3a⇐b2－ac<3a2⇐(a＋c)2－ac<3a2⇐a2＋2ac＋c2－ac－3a2<0⇐－
2a2＋ac＋c2<0⇐2a2－ac－c2>0⇐(a－c)(2a＋c)>0⇐(a－c)(a－b)>0.
(2)证明：假设{an＋1}是等比数列，则对任意的 k∈N＋， (ak＋1＋1)2＝(ak＋1)(ak＋2＋1)， a2k＋1＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1， a21q2k＋2a1qk＝a1qk－1·a1qk＋1＋a1qk－1＋a1qk＋1， ∵a1≠0，∴2qk＝qk－1＋qk＋1. ∵q≠0，∴q2－2q＋1＝0， ∴q＝1，这与已知矛盾．
7．已知点 An(n，an)为函数 y＝ x2＋1图象上的点，Bn(n，bn)为函数 y＝x 图象上的点， 其中 n∈N*，设 cn＝an－bn，则 cn 与 cn＋1 的大小关系为________．
解析：由条件得 cn＝an－bn＝ n2＋1－n＝ n2＋11＋n，∴cn 随 n 的增大而减小．∴cn＋1<cn.
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A 组 考点基础演练
一、选择题
1．(2015 年大连模拟)设 S 是至少含有两个元素的集合，在 S 上定义了一个二元运算“*”(即
对任意的 a，b∈S，对于有序元素对(a，b)，在 S 中有唯一确定的元素 a*b 与之对应)，若对
任意的 a，b∈S，有 a*(b*a)＝b，则对任意的 a，b∈S，下列等式中不恒成立的是( )
A．(a*b)*a＝a
B．[a*(b*a)]*(a*b)＝a
C．b*(b*b)＝b
D．(a*b)*[b*(a*b)]＝b
解析：由已知条件可得对任意 a，b∈S，a*(b*a)＝b，则 b*(b*b)＝b，[a*(b*a)]*(a*b)
＝b*(a*b)＝a，(a*b)*[b*(a*b)]＝(a*b)*a＝b，即选项 B、C、D 中的等式均恒成立，仅选项
解析：(1)设{an}的前 n 项和为 Sn，
当 q＝1 时，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；
当 q≠1 时，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，
①
qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn，
②
①－②得，(1－q)Sn＝a1－a1qn，
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∴Sn＝a111－－qqn，∴Sn＝naa1111，－－qqq＝n1，，q≠1.
所以 3(ab＋bc＋ca)≤1，即 ab＋bc＋ca≤13. (2)因为ab2＋b≥2a，bc2＋c≥2b，ca2＋a≥2c， 故ab2＋bc2＋ca2＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)， 即ab2＋bc2＋ca2≥a＋b＋c，所以ab2＋bc2＋ca2≥1.
f22f＋3f4＋f23f＋5f6＋f24f＋7f8＝2ff12＋2ff34＋2ff56＋2ff78＝16.
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答案：D
5．已知 a>0，b>0，如果不等式2a＋1b≥2am＋b恒成立，那么 m 的最大值等于(
)
A．10 C．8 解析：∵a>0，b>0，∴2a＋b>0.
B．9 D．7
答案：a※b＋c＝b※a＋c 三、解答题
9．已知 a，b，m 为非零实数，且 a2＋b2＋2－m＝0，a12＋b42＋1－2m＝0.
(1)求证：a12＋b42≥a2＋9 b2；
(2)求证：m≥72.
解析：(1)(分析法)要证a12＋b42≥a2＋9 b2成立，只需证a12＋b42(a2＋b2)≥9，
A 中的等式不恒成立．故选 A.
答案：A
2．(2014 年安阳模拟)若 a<b<0，则下列不等式中成立的是( )
11 A.a<b
B．a＋1b>b＋1a
C．b＋1a>a＋1b
b b＋1 D.a<a＋1
解析：(特值法)取 a＝－2，b＝－1，验证 C 正确．
答案：C
3．(2015 年张家口模拟)分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设 a>b>c，且 a
少有一个实根”时，要做的假设是( ) A．方程 x3＋ax＋b＝0 没有实根 B．方程 x3＋ax＋b＝0 至多有一个实根 C．方程 x3＋ax＋b＝0 至多有两个实根 D．方程 x3＋ax＋b＝0 恰好有两个实根
解析：反证法中否定结论需全否定，“至少有一个”的否定为“一个也没有”．
答案：A
2．设{an}是公比为 q 的等比数列． (1)推导{an}的前 n 项和公式； (2)设 q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列．
答案：C
4．已知函数 f(x)满足：f(a＋b)＝f(a)·f(b)，f(1)＝2，则f21f＋1f2＋f22f＋3f4＋f23f＋5f6
＋f24f＋7f8＝(
)
A．4ຫໍສະໝຸດ Baidu
B．8
C．12
D．16
解析：根据 f(a＋b)＝f(a)·f(b)，得 f(2n)＝f2(n)．又 f(1)＝2，则fnf＋n1＝2.由f21f＋1f2＋
即证 1＋4＋ba22＋4ba22≥9，即证ba22＋4ba22≥4.
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根据基本不等式，有ba22＋4ba22≥2
ba22·4ba22＝4 成立，
所以原不等式成立．
(2)(综合法)因为 a2＋b2＝m－2，a12＋b42＝2m－1，
由(1)，知(m－2)(2m－1)≥9，即 2m2－5m－7≥0，解得 m≤－1 或 m≥72.
因为 a2＋b2＝m－2>0，a12＋b42＝2m－1>0，所以 m≥72.
10．在△ABC 中，三个内角 A，B，C 对应的边分别为 a，b，c，且 A，B，C 成等差数
列，a，b，c 成等比数列，求证：△ABC 为等边三角形．
证明：由 A，B，C 成等差数列，有 2B＝A＋C.①
因为 A，B，C 为△ABC 的内角，所以 A＋B＋C＝π.②
∴假设不成立，故{an＋1}不是等比数列． 3．(2013 年高考新课标全国卷Ⅱ)设 a，b，c 均为正数，且 a＋b＋c＝1，证明：
(1)ab＋bc＋ac≤13； (2)ab2＋bc2＋ca2≥1. 证明：(1)由 a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac 得 a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由题设得(a＋b＋c)2＝1， 即 a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.
答案：cn＋1<cn 8．(2014 年荆门一模)若记号“※”表示求两个实数 a 和 b 的算术平均数的运算，即 a ※b＝a＋2 b，则两边均含有运算符号“※”和“＋”，且对于任意 3 个实数 a，b，c 都能成
立一个等式可以是________． 解析：∵a※b＝a＋2 b，b※a＝b＋2 a，∴a※b＋c＝b※a＋c.
由①②得，B＝3π.③
由 a，b，c 成等比数列，有 b2＝ac.④
由余弦定理及③可得，
b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac. 再由④得，a2＋c2－ac＝ac.即(a－c)2＝0，因此 a＝c.从而有 A＝C.⑤
由②③⑤得，A＝B＝C＝π3.
所以△ABC 为等边三角形．
B 组 高考题型专练 1．(2014 年高考山东卷)用反证法证明命题“设 a，b 为实数，则方程 x3＋ax＋b＝0 至
∴不等式可化为 m≤2a＋1b(2a＋b)＝5＋2ba＋ab.∵5＋2ba＋ab≥5＋4＝9，即其最小值
为 9，∴m≤9，即 m 的最大值等于 9. 答案：B 二、填空题
6．(2015 年华师附中一模)如果 a a＋b b>a b＋b a，则 a，b 应满足的条件是________．
解析：∵a a＋b b>a b＋b a⇔( a－ b)2·( a＋ b)>0⇔a≥0，b≥0 且 a≠b. 答案：a≥0，b≥0 且 a≠b