第3章 模糊模式识别

其中 x2 不在 μ1 ， μ2 之间， x* = x1，于是有
AD
B
=
A( x* )
=
e⎛ −⎜ ⎝
μ2 σ2
− μ1 +σ1
⎞2 ⎟ ⎠
而
Ac D Bc = ∨ [(1− A(x)) ∧ (1− B(x))] = 1 x∈R
由格贴近度公式，得
。 N
(
A,
B)
=
e⎛ −⎜ ⎝
μ2 σ2
− μ1 +σ1
按最大隶属原则，可判别 1.78 米相对属于高
个子。
10
而 H (1.76) = 0.6 ， M (1.76) = 0.8 ， L(1.76) = 0
因此 x0 = 1.76 属于中等个子。
②阈值原则：设 Ai ∈ F(X ) ， i =1,2,", n ，对
x0 ∈ X , 对 取 定 的 水 平 α ∈[0,1] ， 若 存 在
∧
性质 5 A ⊆ B ⇒ AD B = a ； AD B = b
性质 6
AD
Ac
≤
1 2
；
∧
AD
Ac
≥
1 2
性质 7
A
⊆
B
⇒
ADC
≤
B
DC
，
A
∧
D
C
≤
∧
BDC
。
证明：仅证性质 1 中第二式。
(A D B)c = 1− ∨ (A(x) ∧ B(x)) x∈X
= ∧ {1−[ A(x) ∧ B(x)]} x∈ X
(A,C) ≤ (A, B) 同理
( A,C) ≤ (B,C)
于是 (A,C) ≤ (A, B) ∧ (B,C) 。 定义 3.4 设 A, B ∈ F(X ) ，令
7
∧
N ( A, B) = ( A D B) ∧ ( AD B)c
称 N(A, B) 为模糊集合 A与 B 的格贴近度。
当 X 有限时，
第 6 讲 模糊模式识别
（第三章 模糊模式识别）
一、模式识别一般原理
1.模式识别的概念 模式识别是人工智能的一个重要方面，也
是一门独立的学科。 模式：用数学描述的信息结构或观察信
号。 模式识别就是把要辨别的对象，通过与已
知模式进行比较，从而确定出它和哪一个模式 相类同的过程。 2.模式识别系统
人们识别事物时，首先要对事物进行观 察，抓住特点，分析比较，才能加以判断和辨 别，而机器进行模式识别也同样要有这些过 程。因此模式识别系统通常由以下四个部分构 成：
2
2）如何度量特征之间的相似性？
1．模糊集合的贴近度
贴近度是度量两个模糊集合接近（相似）
程度的数量指标，公理化定义如下：
定义 3.1 设 A, B,C ∈ F (X ) ，若映射
N : F ( X ) × F ( X ) → [0,1]
满足条件：
① N ( A, B) = N (B, A) ；
② N(A, A) =1, N(X ,φ) = 0 ；
∧
AD B = ∧ ( A(x) ∨ B(x)) x∈X
分别为模糊集合 A, B 的内积和外积。 定义 3.3 设 A∈ F(X ) ，令
a = ∨ A(x) x∈X
a = ∧ A(x) x∈X
a 和 a 分别称为模糊集合 A 的峰值和谷
值。 设 A, B,C ∈ F(X ) ，内积和外积满足下面性
质：
5
性质 1 对偶律
( ) ⎜⎛
A
∧
D
B
⎟⎞
c
⎝⎠
= Ac D Bc ，
AD B
c
=
∧
Ac D Bc
∧
性质 2 A D B ≤ a ∧ b ； AD B ≥ a ∨ b
∧
性质 3 A D A = a ； AD A = a
性质 4
∨
B∈F ( X
(
)
AD
B)
=
a
；
∧
∧ (AD B) = a
B∈F ( X )
①传感器部分：这是获取信息的过程。比 如摄像头就象人的眼睛，把图像信息变为电信
1
号，麦克风象人的耳朵，获取声音信号，又如 霍尔元件可以感受磁场，压电陶瓷可以把力转 换为电信号等等。
②预处理部分：这是对信息进行前端处理 的过程。它把传感器送来的信号滤除杂波并作 规范化、数字化。
③特征提取部分：这是从信号中提取一些 能够反映模式特征的数据的过程。
1 n
⎛ ⎜⎝
n i =1
( A( xi )
−
B ( xi ))2
⎞1 ⎟ ⎠
2
若 X = [a,b] ⊆ R ,则
( ) ∫ N2 ( A, B) = 1−
1 b−a
b
( A(x) −
B(x))2 dx
1
2
a
N2(A, B) 称为欧几里得贴近度。
③最大最小贴近度
设 X = {x1, x2,..., xn} ，则
病 A 或病 B 的特点检查相应的项目，根据检查
结果，做出最后的诊断（识别）。
③择近原则：设 Ai , B ∈ F ( X ) ，i =1,2,",n ，若
11
N
(
Ai0
,
B)
=
max{N i
(
Ai
,
B)}
则判别 B 与 Ai0 为同一类，或者说 B 是 Ai0 。 这个原则称为择近原则，其中 B 是待识别
= ∧ ((1− A(x)) ∨ (1− B(x))) x∈ X
= ∧ ( Ac (x) ∨ Bc (x)) x∈ X
∧
= Ac D Bc 。
＃
6
引理 3.1 设 A, B ∈ F(X ) ，令
∧
( A, B) = ( A D B) ∧ ( A D B)c
则有下面结论成立： ① 0 ≤ ( A, B) ≤ 1 ； ② (A, B) = (B, A) ； ③ ( A, A) = a ∧ (1− a) ； ④ A ⊆ B ⊆ C ⇒ (A,C) ≤ (A, B) ∧ (B,C) 。
,
1.65 ≤ x < 1.75
⎪⎩1,
x ≤ 1.65
给定待识别身高 x ∈ X ，计算 H (x), M (x), L(x) ，
按最大隶属原则判别 x 属于哪种个子。
如，当 x0 = 1.78 ， x1 = 1.76 时，将 x0 = 1.78 代入 三个标准模糊集 H , M , L 得：
H (1.78) = 0.8 ， M (1.78) = 0.4 ， L(1.78) = 0
数 σ 0.3 0.3 0.3 0.3 0.2
试 问 ， 若 待 识 别 小 麦 B 的 参 数 为 μ = 3.43 ， σ = 0.28 ，应归属于哪种类型？
解：选格贴近度公式计算，由例 3.2 知：
∧
−( μ2 −μ1 )2
N ( A, B) = ( A D B) ∧ ( A D B)c = e σ2 +σ1
i1,i2,",ik ∈{1, 2,", n} ，使
Aij (x0 ) ≥ α , ( j = 1, 2,", k)
则 判 别 x0 相 对 地 隶 属 于 Ai1 ∩ Ai2 ∩" ∩ Aik ； 若
n
∨
i =1
Ai (x0 )
<
α
，不能识别，此时需要查找原因另
作分析。
在例 3.3 中，如给定α = 0.6 ，按阈值原则，
④识别判断部分：这是根据提取的特征， 按照某种归类原则，对输入的模式进行判断的 过程。
二、模糊模式识别
模糊模式识别主要是指用模糊集合表示 标准模式，进而进行识别的理论和方法。主要 涉及到三个问题：（1）用模糊集合表示标准模 式；（2）度量模糊集合之间的相似性；（3）模 糊模式识别的原则。
例 3.1 邮政编码识别问题 识别：0，1，2，……，9 关键：1）如何刻化，0，1，……，9（如 何选取特征？）（区分）
图 3-1 模糊集合 A, B 隶属函数图像
解： A D B = ∨ ( A(x) ∧ B(x)) = A(x∗) x∈R
令 解得
A(x)
=
B(x)
，即
⎛ ⎜ ⎝
x
− μ1 σ1
⎞2 ⎟ ⎠
=
⎛ ⎜ ⎝
x
− μ2 σ2
⎞2 ⎟ ⎠
x1
=
σ1μ2 σ1
+ σ 2μ1 +σ2
8
x2
=
σ 2μ1 σ2
− σ1μ2 − σ1
N6 ( A, B)
=
∫X
2∫X ( A ∩ B)(x)d μ A(x)d μ + ∫X B(x)d μ
=
2∫X ( A(x) ∧ B(x))d μ ∫X A(x)d μ + ∫X B(x)d μ
上面的贴近度可供应用时选择。
3．格贴近度
定义 3.2 设 A, B ∈ F(X ) ，称
A D B = ∨ ( A(x) ∧ B(x)) x∈X
⎞2 ⎟ ⎠
4．模糊模式识别原则
①最大隶属原则：设 Ai ∈ F(X ) ，i = 1, 2,", n ， 对 x0 ∈ X , 若
Ai0 (x0 ) = max {A1(x0 ), A2 (x0 ),", An (x0 )}
则认为（判别） x0 相对地隶属于 Ai0 。 例 3.3 设 X = [0, 3] 为身高论域（单位：
米），对任意 x ∈ X ， 识别 x 是高个子，中等 个子，还是矮个子。
解： 首先确定“高个子”H ，“中等个子” M 和“矮个子”L 三个模糊集合。也即建立标
9
准模式。假设三个模糊集合的隶属函数分别 为：
⎧1,
x ≥ 1.8
H
(x)
=
⎪⎪ x −1.7 ⎨⎪1.8 −1.7
,
1.7 ≤ x < 1.8
③若 A ⊆ B ⊆ C ，则
N ( A,C) ≤ N ( A, B) ∧ N (B,C) 。
则称 N(A, B) 为模糊集合 A 与 B 的贴近度。
N 称为 F(X ) 上的贴近度函数。
这个定义实际上是对贴近度提出了几个
准则，并没给出具体的贴近度。
2．常用的贴近度
①海明贴近度
若 X = {x1, x2,..., xn} ，则
∑ N1 (
A,
B)
=
1
−
1 n
n i =1
A(xi ) − B(xi )
若 X = [a,b] ⊆ R ,则
3
∫ N1
(
A,
B)
Δ
=1
−
b
1 −
a
b
A(x) − B(x) dx
a
N1(A, B) 称为海明贴近度。
②欧几里得贴近度
若 X = {x1, x2,..., xn} ，则
∑ N 2 ( A, B ) = 1 −
n
n
N
(Leabharlann Baidu
A,
B
)
=
{∨[ i =1
A(
xi
)
∧
B(
xi
)]}
∧
{1
−
∧[
i =1
A(
xi
)
∨
B
(
xi
)]}
例 3.2 设 是实 A(x)
=
−⎛⎜
e⎝
x − μ1 σ1
⎞2 ⎟ ⎠
,
B(x)
=
−⎛⎜
e⎝
x−μ2 σ2
⎞2 ⎟ ⎠
数域上的模糊集，求 N ( A, B) 。模糊集合 A, B 的 隶属函数如图 3-1 所示。
对象， Ai 为标准模式。 例 3.4 小麦亲本的识别。以每株小麦的
百粒重量为对象，统计出五个亲本模型，每个
亲本可以用一个正态模糊集合表示，如表 3-1
所示：
表 3-1 五个亲本模型对应的参数值
亲本名
早熟 矮杆 大粒 高肥 中肥
A1
A2
A3 丰产 A4 丰产 A5
参 μ 3.7 2.9 5.6 3.9 3.7
n
∑ ( A(xi ) ∧ B(xi ))
N3( A, B) =
i =1 n
∑ ( A(xi ) ∨ B(xi ))
i =1
N3(A, B) 称为最大最小贴近度。
④算术平均贴近度
n
∑ 2 ( A(xi ) ∧ B(xi ))
N4 ( A, B) =
i =1 n
n
∑ A(xi ) + ∑ B(xi )
特别地，若 a = 1 ， a = 0 ，则 (A, A) =1。
下面证明④式。 证明：根据性质 5，由 A ⊆ C 得
∧
( A,C) = ( A D C) ∧ ( ADC)c = a ∧ (c)c
由A⊆ B得
∧
( A, B) = ( A D B) ∧ ( AD B)c = a ∧ (b)c
因为 b ≤ c ，从而 (b)c ≥ (c )c ，所以
⎪⎩0,
x < 1.7
⎧1,
1.7 ≤ x < 1.75
⎪ ⎪
x −1.65
,
M (x) = ⎪⎨⎪1.17.8−−1.x65 ,
⎪1.8 −1.75
1.65 ≤ x < 1.7 1.75 ≤ x < 1.8
⎪⎩0,
其它
⎧0,
x > 1.75
L(
x)
=
⎪⎪ 1.75 − x ⎨⎪1.75 −1.65
x0 = 1.78 属于高个子；x1 = 1.76 既属于高个子也属 于中等个子。
应用中如果出现一个对象同时隶属于多
个模式，常常需要做进一步识别。这类似于设
备事故诊断和对人进行医疗诊断。例如，我们
经常遇到某人感到不舒服，医生根据症状初步
诊断（识别）可能是得了病 A 或病 B ，为了进
一步确诊（识别）是病 A 或病 B ，一般要根据
i =1
i =1
N4(A, B) 称为算数平均贴近度。
⑤测度贴近度
4
设 A(x), B(x) 是测度空间 ( X ,σ ( X ), μ) 上可测 函数，则可定义
N5 ( A, B)
=
∫X ∫X
( A ∩ B)(x)d μ ( A ∪ B)(x)d μ
=
∫X ∫X
(A(x) ∧ (A(x) ∨
B(x))d μ B(x))d μ
由此可得：
N ( A1, B) = 0.8052 ， N ( A2, B) = 0.4339 ，
N ( A3, B) = 0 ，
N ( A4, B) = 0.5186 ，
12
N ( A5, B) = 0.7288 。 按择近原则，小麦 B 应归属于 A1，即 B 为 早熟型。 共同点：都需要建立标准模式 差别是：用最大隶属原则识别时，待识别 对象是论域中的元素，不需要用模糊集合表 示；用择近原则识别时，待识别对象也要用模 糊集合表示。