一种四翼混沌模型的扩展及其应用

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在（ ） ２ 中令 ａ＝５ ， ０ ｂ＝７ Ｃ＝１ ， ＝２ ， ， ３ｄ ０ ｅ＝７ ＝７， 通过 计算 机仿 真实 验 ， 现该 系 统会 出现 混 发 沌现 象 ， 混 沌 吸引子 如 图 ｉ 示 。从 图 １中可 以明显 看 出系统 可 以产生 四翼 混沌 吸引 子 ， 其 所 上下 两 个 吸引子 可 以相互 穿越 ， 成真 正 的双翼 状 ， 示 出复 杂 的动力 学行 为 。 形 展
收 稿 日期 ：０ １１．７ ２ １．２ １
作者简介 ： 马文涛 （９ ９ ） 男 ， １７ 一 ， 陕西省 眉县人 ， 西安航 空技 术高 等专科学 校助教 ， 士 ， 硕 主要研究方 向为数 字图像 处理 、 息安全 ； 信 赵芳玲 （ ９ ６ ） 女 ， １６ 一 ， 陕西省渭南市人 ， 西安航 空技术 高等专科 学校 副教授 ， 主要研 究方 向为应用
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２ ０ ２ ０ ｘ ２ ２ ０
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２ ０ ２ ０
２ Ｏ ２ ０
图 １ 四翼 混 沌吸 引子
２ 混沌 特 性分 析
２ １ 初值敏 感 性分 析 ．
混沌系统的一个主要特性就是对初值具有敏感依赖性 ， 这里分别计算初始点 Ｙ 。＝ ［．５ ， １９４７
图 ３给 出 了其各 分 量 随着 时间变 化 的动 态 Ｌａｕｏ ｙｐ ａｖ指数谱 ， 见模 型 （ ） 可 ２ 具有 混沌 特 性 ， 以 可 构 建一 个 真正 的 四翼 混 沌 吸引子 。
２ ３ 功 率谱 分 析 ．
功 率谱 是判 断混 沌 时 间序列 的一 个指 标 ， 它把 复杂 的时 间序 列分 解成 不 同频率 的叠加 ， 体现 混
第２ ８卷第 ２期
［ 文章 编号 ］６ ３— ９ ４ ２ １ ）２— ０７— ７ １７ ２４ （０ ２ ０ ０３ ０
一
种 四翼 混 沌 模 型 的扩 展 及 其 应 用
马文涛 ， 赵 芳玲
（ 西安航空技术 高等专科 学校 基础部 ，陕西 西安 ７ ０７ ） １０ ７
［ 摘
要 ］ 高维 混沌 系统在 保 密通信 中表 现 出许 多优 良特 性 ， 用反 馈控 制 方 法 ， 一 使 将
一
图 ２ 初值 敏 感性 测试 ２ ２ 最大 Ｌ ａｕ ｏ 指数分 析 ． ｙｐ ｎｖ
Ｌａｕ ｏ指数 是衡 量 系 统 动力 学 特 性 ｙｐｎｖ 的一 个 重要 定 量 指 标 ， 于 系 统 是 否 存 在 对 动力 学 混 沌 ， 以 从 最 大 Ｌａｕｏ指 数 是 可 ｙｐ ｎｖ
１ 四翼 混 沌模 型 的 扩 展
文献 ［ ］ 出一 种可 以产 生真 正 四翼混 沌 吸引子 混沌 模 型 ， 方程 组 （ ） ６提 如 １ 所示 ：
ｌ＝ ａ ｘ １ （ ２一 ）＋ＸＸ ， ２３４ ｚ＝ ＋ ）－ＸＸＸ ￣ ｚ － ｌ３４ （） １
３ ： 一 ＣＸ３ ＋ ｅ ｘ２ ＋ Ｘｌ ２ Ｘ Ｘ４ ，
个 四翼 混沌模 型进 行 扩展 ， 得到 了一 个五 维 四 翼 混 沌模 型 。通 过 实验 和 分析 发 现 该模 型
具有两个正的最大Ｌａｕｏ￣数 ， ｙｐ ｎｖ 而且具有连续的功率谱 ， 明其具有一定的混沌行为， 表
具有 四翼 吸 引子 。最后将 该 混 沌模 型生成 的 序 列修 正后 应 用 于彩 色图像 加 密机 制 中 ， 实
， ，
＝ １２ ３ ４ ５ ，， ，，，
（） ３
［ ｘ ）一 ｍａ （
ｆ＜ｓ ，
。 ｈｅ ｓ ｔ ｒ０
在式 （ ） ３ 中引入一个非常小的阈值 ｓ 来控制序列的大小 ， 该闽值也可 以作为一个密钥。
将 随机 序列应 用 到 图像 加 密需 要对 随机 序列 的随机 性 进行 验 证 ， 此从 随机 序 列 的独 立 性 和 在
分量 的误差 轨线 交织 趋近 于 ０， 可经过 大 概 ５秒 时 间后 ， 误差 具 有很 大 的跳 动 ， 明在 后续 的时刻 ， 说 各分 量 的值 出现 了很 大 的变化 ， 较高 的跳 变特 性 ， 有 因此 显示 系统 对初值 具 有很强 的敏 感依 赖性 。
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一
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Ｑ 等 通 过 研究 建立 了一 个 四维 混沌 模 型 ， 模 型 具有 复 杂 的 动力 学 行 为 ， 产生 两 个 共存 ｉ 该 可 的吸 引子 。王繁 珍 等 对 等提 出的 四维 自治混 沌系 统进 行研究 ， 现该 系统 产生 的 四翼 吸 引子 发 并 非真 实 的 ， 而是 因为 吸引子 靠得 太近 和数 值误 差 所产 生 的 一种 假 象 ， 了消 除这 种假 象 ， 入 一 为 引 个线 性状 态 反馈 控制 项 ， 坏 了原 系统 的一 些相 似性 ， 而使受 控 系统 能产 生穿越 上下 吸 引域 的界 破 从 限的主对 角 和次对 角 混沌 吸 引子 ， 且 随着参 数 的演 化 ， 并 上下 混沌 吸引子 与对 角混 沌 吸引子融 合成
数学 。
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陕西理工学 院学报 （ 自然科学版 ）
第２ ８卷
验证了该系统满足混沌系统所具备的特性 ， 具有复杂 的动力学特性 。为了验证该系统所产生 的混 沌序列应用于数字图像加密的可行性 ， 对修正后 的序列从独立性和均匀性两方面进行了检验 ， 发现 其满足加密系统的要求 ， 并设计了一种加解密算法对彩色图像进行加密 ， 获得了理想 的加密效果。
由于 ｖ ：
Ｏ， １ Ｘ
＋
ＯＸ， ２
＋
Ｏ， ３ Ｘ
＋
Ｏ－ ４ ｑ （ ，
＋
ＯＸ ５
：一。＋ｂ—ｃ —ｄ：一７ ＜０， 以模 型 （ ） ６ 所 ２ 是耗 散 的 。
模型的收敛速度以指数增长 ， ａ ／ｄ ＝ｅ ， 即 ｖ ｔ ¨ 也就是在 ｆ 一∞ 过程 中， 包含模型轨线的每个体
０３ ５ ０ ６３， ．６ ］和 Ｙ ．４ ， ．３ ０４ ３８ １＝ ［．５ １９４７×１ 。 ０ ３５ ０６ ３ ０ ４３８ ０ １４５］ ０ ， ．４ ， ．３ ， ．６ ， ．２ 的各 分量 的
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第 ２期
马文涛 ， 赵芳玲
一种 四翼混沌模 型的扩展及其应用
误差轨线 ， 中两个初始值只是在第一个元素之 间具有 １ 。 其 Ｏ 的误差 。从 图２可以看到在初始时各
ＬＥｌ ＝ ４． ３ ６ ５ ２， ＬＥ２ ＝ ４． ２ ８ ４ ３， ＬＥ３ ＝ 一 １ ． ０ ３ ０ ０ ２， ＬＥ４ ＝ 一２ ０ ０ ０． ０． ０ Ｌ Ｅ ＝ 一０． ３１ ３ 。 ２
图 ３ 混沌模 型各 分 量 的Ｌ ａ ｕ ｏ ￣数 动 态 ｙｐ ｎ ｖ
统在不改变原系统产生 四翼吸引子的特性 的前提下 ， 以产生高维混沌序列 ， 可 如方程组（ ） ２ 所示 ：
ｘ １＝ａ ｘ １ （ ２一 ）＋ＸＸ ， ２３４ ２ ＝ｂ ｌ＋ ）一Ｘ ３４ （ ２ １ ， ３＝一Ｃ３＋Ｘ ２４＋ ， Ｘ ｌ ５
４ ＝ ｅ １一 ｄ ４＋ Ｘ１ ３， ｘ ｘ ２
一
个 真正 的四翼混 沌 吸引 子 。邓斌 等 采用 双极 化轴 的方法 ， 一个 混沌 系统 的双 翼 吸引 子 变 为 将
四翼吸引子。乔晓华等 利用混沌反馈控制方法 ， 在增广 Ｌ ｎ系统 中引入一个线性状态控制器 ， 构 造 了新 三 维混 沌 系统— —广 义增 广 Ｌ ｎ系 统 ， 系统 可 以产生 四翼 吸 引子 。 该
否大 于零 做 直 观 的判 断 ， 即若 系 统 的最 大
Ｌａｕｏ指数 大 于 零 ， 认 为 系 统 是 混 沌 ｙｐｎｖ 则 的。对 于模 型 （ ） 当取 以 上 参 数 时计 算 ２ ， 得 到 的最大 Ｌａｕｏ指数 ｋ＝４ ８４３， ｙｐ ｎｖ ．２ 并 且 有 两个 正 的 Ｌａｕｏ 指 数 ， ｙｐ ａｖ 分别 为
０ 引 言
混沌系统所具有的对初值和系统参数的敏感特性 ， 可以克服传统 图像加密方法不能全部 寓于 密钥 之 中的 缺 陷 ， 得 其 在 信 息 加 密 中得 到 了 广 泛 应 用 卫 。而 高 维 超 混 沌 系 统 比只 有 一 个 使 ｊ Ｌａｕ ｏ指数的低维混沌系统 的动力学行为更复杂 ， ｙｐ ｎｖ 且在针对 图像 、 语音 、 视频等信号的信息安 全领域 ， 希望所使用 的加密信号具有极宽的频谱带宽 ， 四翼混沌吸引子模型所产生的信号正好具有 这一动力学特性 ， 因此将产生该类信号的高维超混沌系统用于保密系统则能得到更好 的加密效果。 现 在对 于具 有 四翼 吸 引子混 沌模 型 的构建 、 析和 实现 已经 得到 了研究 者 的广 泛关注 ＿ 。 分 ５
２１ ０ ２年 ４月
陕西理 工学院学报 （ 自然科 学版 ）
Ｊｕ ａ ｏ ｈ ａｘ Ｕ ｉ ｒ ｔ ｏ ｅｈ ｏ ｇ Ｎ ｔｒｌ ｃ ｎｅＥ ｉｏ ） ｏ ｒｌ ｆ ａｎ ｉ ｎｖ ｓｙ ｆ ｃｎｌ ｙ（ ａ ａ Ｓｉ ｃ ｄｔｎ ｎ Ｓ ｅ ｉ Ｔ ｏ ｕ ｅ ｉ
Ａｐ ． ０１ ｒ２ ２ Ｖｏ ． Ｎｏ ２ １２８ ．
２ ５ 混沌序 列 的修 正 ．
为 了将 该混 沌模 型所 生产 的混 沌序 列应 用 于 图像 加 密 ， 里 需要 对 模 型 中各 分 量 产生 的混 沌 这 序列 值进 行 修正 。首 先使得 修 正 的序列 ∈ （ １ 采用 式 （ ） ０，）， ３ 来进 行修 正 ：
ｌ＝ａ ｓ ）一ｆ ｏ （ ｂ （ ） ， ｂ（ ｌ ｒ ａ ｓ ） ｏ
４ ： 一 ｄ ４＋ Ｘ ２ ， ｘ １ ３
反馈控制 （ ｅｂｃ ｏｔ １技术根据系统反馈信息可以对系统进行有效 的控制 ， ｆ ｄａｋｃｎ ｏ） ｅ ｒ 在控制领域得到