Whitham-Broer-Kaup-Like 方程组的精确解和守恒律
Whitham—Broer—Kaup方程行波解的分支
第２ 卷 ７
第 ２期
桂 林 电 子 科 技 大 学 学 报
Ｊ ｕ ｎａ ｆ Ｇｕ ｌｎ Ｕｎ ｖ ｒ ｉｙ ｏｆＥｌ ｃ ｒ ｎ ｃ Ｔｅ ｈ ｏｌｇ ｏ ｒ ｌｏ ｉｉ ｉ ｅ ｓ ｔ ｅ ｔ ｏ ｉ ｃ ｎ ｏ ｙ
Ｖｏ ＿ ７ Ｎｏ ２ ｌ２ ， ．
立 波解 、 扭结 波和反扭结波解和无穷多光滑周 期波解。并在不 同的参 数条件下 ， 给出了光滑孤立波 解、 扭结波和反 扭结波解和光滑周期波解 存在的各类充分条件 ， 并求 出了上述所 有的显示精确行波解 。
关 键词 ： 滑 孤 立波 ， 结 波 和 反 扭 结 波 ， 滑 周 期 波 ， ｈｔａ Ｂ ｏ ｒＫ ｕ 光 扭 光 Ｗ ｉ ｍ—ｒ ｅ— ａ ｐ方 程 ｈ 中 图分 类 号 ： ７． ０１５ ２ 文献标识码 ： Ａ 文章 编号 ： ６ ３８ ８ ２ ０ ）２０ ２ —５ １ ７ —０ Ｘ（０ ７ ０ —１ ３０
（ ｈ ｏ ｆ ａ ｈ ｍ ａ ｉ ｎ ｏ ｕ ａｉｎ ｌ ｃｅ ｃ ， ｕｌ ｎｖ ｒｉ ｆＥｌ ｔｏ ｉ Ｔ ｈ ｏ ｏ ｙ Ｇｕｌ ４ ０ ４， ｉａ ｃ ｓ ｏ ｌ ｔ ｅ ｔ ｓａ ｄ Ｃ ｍｐ ｔ ｔ ａ ｉｎ ｅ Ｇ ｉｎ Ｕ ｉ ｅｓｔ ｏ ｅ ｒ ｎｃ ｅ ｎ ｌｇ ， ｉ ｎ ５ １ ０ Ｃｈｎ ） ｏ Ｍ ｃ ｏ Ｓ ｉ ｙ ｃ ｃ ｉ
１ 问题 的提 出
在 Ｂ ｕ ｓ ｅｑ近 似下 ， ｏ ｓｉ ｓ ｎ Ｗｈｔａ Ｂ ｏ ｒＫａ ｐ获 ｉ ｍ— ｒｅ— ｕ ｈ
其 中 ｆ 波速 ， 是 把式 （ ） 入式 （ ） ２代 １ 并关 于 积分 得 ：
（ｂ ｎ ｚ 吉３ 。 ＋ 一 “ 一 ＋
（ 。 ｇ１ “ ＋ ｇ ｆ 一 ） ２＋ ｃ １ ｇ （） ３
ornstein- ulhenbeck过程
ornstein- ulhenbeck过程
Ornstein-Uhlenbeck过程是由S. R. 琼斯在1924年提出的一种
随机过程。
它是一个连续的随机过程，描述了一个物理系统在受到随
机外力作用下回归到平衡状态的过程。
在数学上，Ornstein-Uhlenbeck过程是一个具有回归到均值的随机微分方程。
这个过程被广泛应用于经济学、金融学和物理学等领域，特别是在描述股票价格、利率和粒子在流体中的扩散等方面。
Ornstein-Uhlenbeck过程的数学表达式为：
dX(t) = θ(μ - X(t)) dt + σ dW(t)
其中，X(t)是随机过程在时间t的值，θ是回归速度参数，μ
是平均值，σ是扩散参数，dW(t)是布朗运动（随机微分项）。
根据方程，随机过程X(t)在没有外部干扰时会以回归速度θ向
平均值μ回归。
而随机微分项dW(t)则表示了随机外力对过程的影响，它满足布朗运动的性质。
Ornstein-Uhlenbeck过程具有平稳性和马尔可夫性质，使得它具有很好的数学性质和应用价值。
它可以用来描述自然界和人类社会中
的许多现象和过程，尤其在金融市场中的股票价格和利率模型中得到
广泛应用。
直接拟解法求Boussinesq方程组的精确解
SCIENCE &TECHNOLOGY INFORMATION科技资讯直接拟解法求Boussinesq 方程组的精确解李伟李丽(渤海大学数学科学学院辽宁锦州121013)摘要：微分方程包含常微分方程和偏微分方程。
由于非线性偏微分方程是偏微分方程的重要内容，求微分方程的解是微分方程研究的重要内容，从而求非线性偏微分方程的解是微分方程研究内容中的重中之重。
很多重大的物理科学问题和信息技术问题都与非线性偏微分方程的研究紧密相关。
一般来说，求非线性偏微分方程的解是不容易的。
经过科研工作者不断努力已经找到了大量的求解方法。
该文借助于行波变换法，直接拟解法和齐次法解得了Boussinesq 的新解。
这种方法也具有一定的普遍性，可以求一些非线性偏微分方程的解。
关键词：行波变换精确解拟解齐次平衡法中图分类号：O175.2文献标识码：A文章编号：1672-3791(2021)10(c)-0166-03Exact Solution for Solving Boussinesq Equations by Using DirectQuasi SolutionLI WeiLI Li(College of Mathematics and Physics,Bohai University,Jinzhou,Liaoning Province,121013China)Abstract:Differential equations include ordinary differential equations and partial differential equations.Because nonlinear partial differential equation is an important content of partial differential equation,the solution of differ‐ential equation is the important content of differential equation research,so the solution of nonlinear partial differ‐ential equation is the most important content of differential equation research.Many important physical science and information technology problems are closely related to the study of nonlinear partial differential equations.Generally speaking,it is not easy to find the solution of nonlinear partial differential equations.Through the continuous efforts of scientific researchers,a large number of solutions have been found.In this paper,a new solution of Boussinesq is obtained by means of Traveling Wave Transformation method,Direct Quasi solution and Homogeneous solution.This method also has certain universality,and can find the solutions of some nonlinear partial differential equations.Key Words:Travelling wave transform;Exact solution;Quasi solution;Homogeneous Balance method通过科研工作者对非线性偏微分方程求解的深入研究，获得了许多求解的方法，如齐次平衡法[1-3]、有理函数变换法[4]、行波变换法[5-6]、辅助函数法、Riccati 方程法[7-8]、同伦分析法[9]。
【俗说量子】对称性展现数学之美，杨振宁奠基粒子物理
【俗说量子】对称性展现数学之美，杨振宁奠基粒子物理原创Linvo Linvo说宇宙 2022-06-11 18:00 发表于湖南- 文字版 -上回说到，贝尔原本是想通过自己的贝尔不等式，去推翻玻尔他们对EPR思想实验的量子解释。
但谁曾料到，等实验真的做出来后，结果竟然啪啪打脸。
原本还打算输出一波，结果却给对方送了人头。
（泊松直呼内行）贝尔及贝尔不等式有小伙伴还是不理解，贝尔不等式怎么就能检验隐变量是否存在了呢？其实如果仔细了解下这个不等式的推导过程你就知道，因为它本质是从逻辑出发推导出来的。
仅就核心本质来说，它和理论本身没有太大关系。
其实到这里，我们已经把量子力学早期的基础部分介绍得差不多了。
之前介绍的差不多都是20世纪上半叶的事。
接下来呢，我会再介绍些距离我们不是那么远的上世纪50年代后的进展。
量子理论到了“下半场”，“低垂的果实”已经越来越少了，颠覆性的突破不再那么容易出现。
如果“上半场”是在拓荒，那么“下半场”主要是在打地基和盖楼。
“下半场”中出现的名词，也不再像量子纠缠啊、量子隧穿什么的那么直白和耳熟能详，比如今天要说的这个杨-米尔斯理论。
从牛顿的经典力学，到后来爱因斯坦的广义相对论，四大基本力中，引力是最先被我们所认识的。
此后第二个被理论成功描述的基本力，就是电磁力。
早先，麦克斯韦通过一组简洁而优美的方程组，率先把电和磁完成了统一。
这个著名的麦克斯韦方程组，体现了电磁学里的一个重要特点：电荷守恒。
如果某处突然出现一个负电荷，那么在另一处一定会出现一个与之对应的正电荷。
麦克斯韦方程组早先的电磁学可以说是建立在自然现象基础上的，主要来源于物理学中的实验。
但是后来德国数学家赫尔曼·外尔根据电荷守恒这种局域对称性，通过自创的规范场理论，直接从数学上推导出了等效于麦克斯韦方程组的电磁学方程。
此后像是库伦定律、法拉第定律这些实验规律，也都可以从对称性出发，直接在数学层面上推导出来。
赫尔曼·外尔在泡利的推动下，这第一个规范场论得以在物理学界传播开来。
几个守恒律方程的精确解
几个守恒律方程的精确解
目前，守恒律方程在物理学中具有十分重要的地位，它们能够为科学家提供一种可靠的描述系统的模型。
在复杂的物理系统中，守恒律方程能够帮助人们分析系统行为，更有效地描述其运动状态，从而强化计算能力。
在物理学中，守恒律有四种，即动量守恒律，线性动量守恒律，质量守恒律和能量守恒律。
它们分别表达了一系列不同的动力学情况，并且每种守恒律都有自己精确的解。
动量守恒律的精确解可用来描述物体的运动状态，它可以通过使用Virial定理以及 Lagrange 乘子方法来得到。
线性动量守恒律的精确解是关于速度和位置的一组方程式，它们可以通过使用Jacobi-Hamilton 乘子法获得。
质量守恒律的精确解可以用来描述物体的质量变化，可以通过使用高斯-贝叶斯定理获得。
最后，能量守恒律的解也可以使用Virial定理实现，用于描述物体的能量变化。
以上就是四种守恒律的精确解，它们有助于更清晰和精确地描述物体的动量，质量和能量流动。
它们使科学家能够以更简单的方式来处理复杂的物理系统，促进了物理研究的进步。
whitham-broer-kaup方程新的精确解
whitham-broer-kaup方程新的精确解Whitham-Broer-Kaup方程是一种非线性偏微分方程，它可以用来描述物理系统中的波动
现象。
它是由Whitham，Broer和Kaup在1960年代提出的，它的解决方案可以用来描
述物理系统中的波动现象。
近年来，Whitham-Broer-Kaup方程的精确解一直是研究者们
所关注的焦点。
最近，研究人员提出了一种新的精确解法来解决Whitham-Broer-Kaup方程。
这种新的精
确解法基于一种叫做“组合积分”的技术，它可以将复杂的非线性方程转换为一系列简单的
线性方程，从而使得解决Whitham-Broer-Kaup方程变得更加容易。
这种新的精确解法可以有效地解决Whitham-Broer-Kaup方程，并且可以更好地描述物理
系统中的波动现象。
此外，这种新的精确解法还可以更好地模拟物理系统中的复杂过程，
从而更好地理解物理系统中的波动现象。
总之，研究人员提出的新的精确解法可以有效地解决Whitham-Broer-Kaup方程，并且可
以更好地描述物理系统中的波动现象。
这种新的精确解法可以为研究者们提供更多的帮助，从而更好地理解物理系统中的波动现象。
体系经典作用函数 哈密顿雅可比方程
体系经典作用函数哈密顿雅可比方程下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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克拉伯龙方程推论三推理
克拉伯龙方程推论三推理摘要：一、克拉伯龙方程概述二、克拉伯龙方程推论三的推理过程三、克拉伯龙方程推论三的应用案例四、克拉伯龙方程推论三的启示和影响正文：一、克拉伯龙方程概述克拉伯龙方程，又称克劳修斯方程，是由德国物理学家克劳修斯于1852 年提出的，描述了热力学过程的熵变。
该方程在热力学领域具有重要地位，被广泛应用于研究热力学系统的熵变、温度、压力等物理量的变化。
克拉伯龙方程为：ΔH = TΔS - PΔV，其中ΔH 表示系统焓的变化，T 表示系统的温度，ΔS 表示系统熵的变化，P 表示系统的压强，ΔV 表示系统体积的变化。
二、克拉伯龙方程推论三的推理过程克拉伯龙方程推论三是指在热力学过程中，当系统经历一个循环过程时，系统的熵变ΔS 可以表示为：ΔS = Σ(ΔH_i/T_i)，其中ΔH_i 表示系统在第i 个过程中的焓变化，T_i 表示系统在第i 个过程中的温度。
推论三的推理过程如下：1.假设热力学系统经历一个循环过程，从初始状态到最终状态，过程中经历了多个热力学过程。
2.根据克拉伯龙方程，可以得到系统在每个过程中的熵变：ΔS_i =ΔH_i/T_i。
3.将所有过程的熵变相加，得到系统在整个循环过程中的总熵变：ΔS = Σ(ΔS_i)。
4.由于循环过程中系统最终回到初始状态，所以总熵变为零：ΔS = 0。
5.将步骤2 代入步骤4，得到：0 = Σ(ΔH_i/T_i)。
6.根据熵的物理意义，熵是系统微观状态的概率度量，熵增原理表明，系统的熵在任何过程中都不会减小。
因此，在循环过程中，系统的总熵变必须为零，即Σ(ΔH_i/T_i) = 0。
7.由此可得：ΔS = Σ(ΔH_i/T_i)。
三、克拉伯龙方程推论三的应用案例推论三在热力学循环、热机效率、相变过程等方面具有广泛应用。
例如，在研究热机效率时，可以利用推论三计算循环过程中各个热力学过程的熵变，从而分析热机效率的制约因素。
在相变过程中，推论三可以用于研究相变过程中熵的变化规律，从而揭示相变过程中的物理机制。
斯莱脱规则
斯莱脱规则（原创实用版）目录1.斯莱脱规则的定义和背景2.斯莱脱规则的应用范围和具体内容3.斯莱脱规则的优势和局限性4.斯莱脱规则的实际应用案例5.斯莱脱规则的启示和未来发展正文1.斯莱脱规则的定义和背景斯莱脱规则（Slater"s Rule）是一种用于计算简单化学反应平衡常数的经验公式，由英国化学家 Percy W.S.Slater 于 1937 年提出。
在化学反应中，平衡常数（K）表示反应物与生成物在达到平衡时浓度比的乘积，而斯莱脱规则则提供了一种估算 K 值的简便方法。
2.斯莱脱规则的应用范围和具体内容斯莱脱规则主要适用于弱酸和弱碱的离子平衡反应，例如：H2CO3 H+ + HCO3-、NH3 + H2O NH4+ + OH-等。
其具体内容包括：若弱酸（或弱碱）的离解常数（Ka 或 Kb）已知，则可利用斯莱脱规则估计其共轭碱（或共轭酸）的 K 值。
具体公式为：Ka（共轭碱）= Kw / Ka（弱酸）；Kb（共轭酸）= Kw / Kb（弱碱），其中 Kw 为水的离子积常数，其值为 1.0 x 10^-14。
3.斯莱脱规则的优势和局限性斯莱脱规则的优势在于简便易行，只需根据已知的 Ka 或 Kb 值即可快速估算出共轭碱或共轭酸的 K 值。
然而，它仅适用于弱酸和弱碱的离子平衡反应，对于其他类型的化学反应，例如强酸强碱反应、氧化还原反应等，斯莱脱规则并不适用。
4.斯莱脱规则的实际应用案例例如，对于弱酸 H2CO3，已知其 Ka 值为 4.5 x 10^-7，根据斯莱脱规则，可得共轭碱 HCO3-的 Kb 值为：Kb（HCO3-）= Kw / Ka（H2CO3）= 1.0 x 10^-14 / 4.5 x 10^-7 ≈ 2.2 x 10^-8。
5.斯莱脱规则的启示和未来发展尽管斯莱脱规则有一定的局限性，但它在化学反应平衡研究中仍具有重要意义。
它启示我们在研究化学反应平衡时，可以从已知的 Ka 或 Kb 值出发，快速估算出共轭碱或共轭酸的 K 值，从而更全面地了解反应的平衡特性。
Whitham-Broer-Kaup-Like 方程组的精确解和守恒律
(3)
这 里 ( x, t ), ( x, t ) 是 待 定 函 数 ， 并 且在 转 换
{u , H , x, t} {U , , , } 下要求 U ( , ), ( , ) 也满足
2 2
(11)
1t 1x u 2 x H 1xx 2 xxx 0 , 2t 1x 2 x u 2 xx 0 ,
拉氏量函数
L 1 ut uu x H x u xx 2 H t Hu x u xxx H xx
(9)
这里 , 由(8)式决定。 从定理1能够看到方程(9)其实是一个自贝克隆变 换，它给出了WBKL新旧精确解之间的关系。WBKL 方程组的 u ( x, t ) 有如下形式的解[12]：
u ( ) V 2 coth
2C2t C4 x t C2U C1 2C2 U C1 t C2 x 2t U 2 x t U U x C3 C4 x t C1 1 C2 2 C3 3 C4 4
Jinqian Yu, Xiqiang Liu, Tingting Wang
School of Mathematicas Science, Liaocheng University, Liaocheng Email: yujinqiand@ Received: Mar. 8th, 2011; revised: Apr. 6th, 2011; accepted: Apr. 7th, 2011.
广义的WBKL方程和HS-KdV方程的微分不变量、微分不变方程
广义的WBKL方程和HS-KdV方程的微分不变量、微分不变
方程
雷桂英;宋军锋
【期刊名称】《长春师范大学学报》
【年(卷),期】2024(43)4
【摘要】以数学物理等领域中两个重要的非线性发展方程为研究对象,即广义的Whitham-Broer-Kaup-Like(WBKL)方程组和广义的HS-KdV方程组.WBKL方程描述了长波在浅水中的双向传播,此方程也可约化为变形的Boussinesq方程、色散长波方程、Whitham-Broer-Kaup方程等.由于WBKL方程和广义的Hirota-Satsuma耦合KdV方程的非线性和经典活动标架法的局限性,运用最新的等变活动标架理论,通过选择合适的群轨道横截面进行规范化,进而得到活动标架,同时借助符号计算系统Maple避免了复杂的高阶微分计算,切实有效地求得了WBKL方程组和广义的HS-KdV方程组的微分不变量、微分不变量代数以及微分不变方程.所得到的结果可用于深入研究WBKL方程和广义的HS-KdV方程解的不变性、等价性和对称性,以及海洋、大气、水波等非线性运动的趋势和规律.
【总页数】9页(P1-9)
【作者】雷桂英;宋军锋
【作者单位】陕西师范大学数学与统计学院
【正文语种】中文
【中图分类】O175.29
【相关文献】
1.二阶线性微分方程不变量解法的新类型
2.不变量在六阶变系数线性微分方程中的应用
3.广义变系数KdV-Burgers方程的微分不变量及群分类
4.偏微分方程：带跳反射倒向随机微分方程与相应的积分-偏微分方程障碍问题
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克莱姆法解方程
克莱姆法解方程
克莱姆法是一种求解线性方程组的方法。
如果方程组的系数矩阵的行列式不为零，则可以使用克莱姆法求解。
例如，考虑下面的二元一次方程组：
a11x1 + a12x2 = b1
a21x1 + a22x2 = b2
首先计算出系数矩阵A的行列式D：
|a11 a12|
|a21 a22|
D = a11*a22 - a12*a21
如果D不等于零，则方程组有唯一解。
接下来，分别用b1和b2替换A的第一列和第二列，得到两个新的矩阵B1和B2：
B1 = |b1 a12|
|b2 a22|
B2 = |a11 b1|
|a21 b2|
求出这两个矩阵的行列式：
D1 = b1*a22 - b2*a12
D2 = a11*b2 - a21*b1
最后，解得方程组的解：
x1 = D1/D
x2 = D2/D
需要注意的是，如果D等于零，则这个方法无法求解方程组。
另外，使用克莱姆法求解大型方程组会非常费时，因此在实际应用中往往采用更高效的方法。
C.-R.方程的推广及其应用
C.-R.方程的推广及其应用
孙小强
【期刊名称】《赣南师范学院学报》
【年(卷),期】2008(29)3
【摘要】利用多元函数方向导数的概念与矩阵变换等方法推广了C.-R.方程,给出了解析函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的实部与虚部关于任意两个方向v1,v2的方向导数((е)u/(е)v1,(е)v/(е)v1)与((е)u/(е)v2,(е)v/(е)v2 )之间的关系,利用所得结果对复变函数可徽的一个充要条件做了改进,相应的结论对解析函数也成立.
【总页数】4页(P41-44)
【作者】孙小强
【作者单位】西北师范大学数学与信息科学学院,兰州,730070
【正文语种】中文
【中图分类】O174.5
【相关文献】
1.推广的简单方程方法对两个非线性发展方程的应用 [J], 盖立涛;苏道毕力格;鲍春玲
2.气体不平衡状态理论方程的推广应用(Ⅶ)液体定压比热容理论方程 [J], 张克武;张宇英
3.推广的Riccati方程有理展开法在(2+1)维Burgers方程中的应用 [J], 王丹
4.变量分离方程法的推广及其应用 [J], 斯仁道尔吉
5.推广的简单方程方法对Whitham-Broer-Kaup-Like方程组的应用(英文) [J], 苏道毕力格;王晓民
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物理化学课件克氏方程
这就是Clapeyron方程，可应用于任何纯物质的 两相平衡系统 设有1
dp vap H m dT T vapVm
dp fus H m dT T fusVm
dp sub H m dT T subVm
说明了压力随温度的变化率（单组分相图上两 相平衡线的斜率）受焓变和体积变化的影响。
Clausius-Clapeyron方程
对于气-液两相平衡，并假设气体为理想气体， 将液体体积忽略不计，则
vap H dp vap H m dT TV (g) T (nRT / p)
d ln p vap H m dT RT 2
Trouton（楚顿）规则
vap H m Tb
88 J K mol
1
1
可以用来粗略地计算摩尔蒸发焓
适用于分子不缔合的液体。对极性大的液
体和沸点在150 K以下的液体不适用。
多组分系统
两种或两种以上的物质（或称为组分）所形成
的系统称为多组分系统。
多组分系统可以是均相的，也可以是多相的。 混合物 多组分均匀系统中，各组分均可选用相同的方
第四章 相平衡
克氏、克-克方程
多组分系统分类及组成表示方法
单组分系统的两相平衡——Clapeyron方程
在一定温度和压力下，任何纯物质达到两相平 衡时，在两相中Gibbs自由能相等
G* (B, ) G* (B, ) m m
若温度改变dT，则压力改变dp，达新的平衡时
dG* (B, ) dG* (B, ) m m 根据热力学基本公式 dG SdT Vdp ，有
B的物质的量与系统中总的物质的量之比称为B的 物质的量分数，又称为摩尔分数，单位为1。
1.4 克莱姆法则
11
11
0 0 1
(1 )2 ( 2)
当 D 0 时，即 1 或 2 时，
此方程组有非零解。
13
例5 试问当λ为何值时，齐次线性方程组
( 3)x1 x2 0 4x1 ( 1)x2 0 4x1 8x2 ( 2)x3 0
r2 r3 0 5 0 6 5 0 6
r3 r4
0 1 2 11 0 3 22
r4 2r1
0 3 3 11
73
x1
73 139
27
3、用克莱姆法则求解方程组
x1 x2 x3 x4 5 解
15 1 1
x1 2x2 x3 x4 2x1 3x2 x3 5
cay
abz
3abc
解 111 1 1
D a b c 0 ba
bc ca ab 0 c(a b)
1 ca b(a c)
1 (a b)(c a)
1 (a b)(b c)(c a)
c b
21
2、用克莱姆法则求解方程组
111
x yz abc
a11
x2
a21 a11
a21
b1 b2 D2 a12 D a22 D 0
这样求解二元一次方程组归结为求三个二阶行列式
的值。同样用此方法可解n元一次方程组。
3
定理1（克莱姆法则） 见教材P37
当含有 n 个方程，n 个未知数的线性方程组
a11x1 a12x2 a1n xn b1
1 5 1 3 1 6 0 2
解.
数学名词汉译
C1 连续可微（光滑）函数的集合C2 二次连续可微函数的集合N 自然数集Z 整数集Q 有理数集R 实数集维欧式空间Rn nAbsolute value 绝对值Action set 行动集合（博弈论）Adjoint 伴随矩阵Argmax 极大值解的集合Argmin 极小值解的集合Axiom 公理Backwards induction 逆向归纳法Base （线性空间的）基Bellman equation 贝尔曼方程Bellman principal of optimality 贝尔曼最优化原理Bertrand oligopoly 伯特兰寡头Best-response 最优反应（对策）Bound， bounded 界，有界的Bordered Hessian matrix 加边海塞矩阵Brouwer fixed point theorem 布劳维尔不动点定理Budget correspondence 预算对应Cantor 康托，数学家Cartesian product 笛卡尔乘积Cauchy sequence 柯西序列Cauchy-Schwartz inequality 柯西-施瓦兹不等式Closed ball 闭球Closed graph 闭图Closed set 闭集Closure 闭包Cofactor 余因子Commutative 可交换的Compact set 紧集Compactification 紧化Comparative dynamics 比较动态Complement 补（集）Complementary slackness 互补松弛性Complete metric space 完备度量空间Concave 凹Constraint 约束Continuously differentiable 连续可微Contraction mapping 压缩映射Converge （pointwise，uniform）收敛（点态，一致）Convex 凸Coordinate 坐标Correspondence 对应Semi-continuous 半连续性Cover 覆盖Critical point 极值点Dedekind cuts 戴德金分割Demand （correspondence， curve）需求（对应，曲线）Denseness of rationals 有理数的稠密性Derivative 导数Determinant 行列式Dimension （n-dimensional Euclidean space）维度 (n 维欧式空间) Differentiability 可微性Diminishing marginal utility 递减的边际效用Directional derivative 方向导数Discount factor 贴现因子（折扣因子）Discriminant （二次方程的）判别式Divergent sequence 发散序列Domain 定义域Dynamic programming 动态规划Endowment （初始）赋予的财产，天赋等Equality constraints 等式约束Euclidean space 欧几里得空间，欧式空间Even number 偶数Expected utility 期望效用Field 域Finite subcover 有限子覆盖Finite-horizon dynamic programming 有限期动态规划First-order conditions 一阶条件Fixed point theorem 不动点定理Function 函数Game 博弈Global maximum （minimum）全局最大值（小值）Greatest element 最大的元素Hessian 海塞Hyperplance 超平面Implicit function theorem 隐函数定理Infimum （inf）最大下界（缩写为 inf）Infinite-horizon dynamic programming 无穷期动态规划Inner product 内积Integer 整数Integration 积分Intermediate value theorem 中值定理Interior （集合的）内部Intersection 交集Inverse 逆Inverse function theorem 反函数定理Irrational number 无理数Kakutani fixed point theorem 角谷静夫不动点定理Kuhn-Tucker theorem 库恩-塔克定理Lagrange’s method 拉格朗日方法Lim sup （lim inf）上极限（下极限）Limit 极限Linearly dependent （independent）线性相关（不相关，独立）Local maximum （minimum）局部最大值（最小值）Lower bound 下界Lower-semicontinuous correspondence 下半连续对应Mapping 映射Matrix 矩阵Maximization problem 最大化问题Maximum 最大值Mean value theorem 均值定理Metric space 度量空间Monotone，monotonic 单调，单调的Nash equilibrium 纳什均衡Necessary conditions 必要条件Negative semi-definite matrix 半负定矩阵Norm，normed space 范数，赋范空间Normal form games 标准式博弈，策略式博弈Odd number 奇数Open ball （cover，set）开球（覆盖，集合）Optimization problem 最优化问题Parameter space 参数空间Pareto optimum 帕累托最优解Partial derivative 偏导数Payoff function 支付函数Permutation 变换，置换Players 博弈的参与人Pointwise convergence 点态收敛Portfolio 组合Positive semidefinite 半正定Prime number 质数，素数Quadratic form 二次型Quantifier 量词，数量词Quasi-concave，convex function 拟凹，拟凸函数Range 值域Rank of matrix 矩阵的秩Rational number 有理数（比例数）Real number system 实数系Second-order condition 二阶条件Separable 可分的Separating hyperplane theorem 超平面分离定理Sequence 序列Set 集合Shadow price 影子价格Stationary dynamic programming 平稳的动态规划问题Strategy set 策略集合Strict convex function 严格凸的函数Subsequence，subspace，subset 子序列，子空间，子集Sufficient conditions 充分条件Supremum，（sup）上确界（缩写为 sup）Symmetry 对称Tarski fixed point theorem 塔尔斯基不动点定理Taylor’s theorem 泰勒定理Topological space 拓扑空间Triangle inequality 三角不等式Trigonometric function，series 三角函数，三角级数Uniform convergence 一致收敛Union 集合的并Upper bound 上界Utility function 效用函数。
拉乌尔定律适用于稀溶液中的溶剂※克方程
选择性是离子交换树脂对不同反离子亲和力强弱的反映：与树脂亲和力强的离子选择 性高，可取代树脂上亲和力弱的离子。室温下，在低浓度离子的水溶液中，多价离子比单 价离子优先交换到树脂上，如： Na+<Ca2+<La3+<Th4+ 在低浓度和室温条件下，等价离子的选择性随原子序数的增加而增加，如： Li<Na<K<Rb<Cs Mg<Ca<Sr<Ba F<Cl<Br<I 对于高浓度反离子的溶液，多价离子的选择性随离子浓度的增高而减小。
根据吸附剂表面与被吸附物之间作用力的不同，吸附可分为物理吸附与化学吸附。 物理吸附是被吸附的流体分子与固体表面分间的作用力为分子间吸引力，即所谓的范德 华力(Vanderwaals)。因此，物理吸附又称范德华吸附，它是一种可逆过程。当固体表面 分子与气体或液体分子间的引力大于气体或液体内部分子间的引力时，气体或液体的分子 就被吸附在固体表面上。从分子运动观点来看，这些吸附在固体表面的分子由于分子运动， 也会从固体表面脱离而进入气体(或液体)中去，其本身不发生任何化学变化。随着温度的 升高，气体(或液体)分子的动能增加，分子就不易滞留在因体表面上，而越来越多地逸入 气体(或液体中去，即所谓“脱附”。这种吸附—脱附的可逆现象在物理吸附中均存在。 工业上就利用这种现象，借改变操作条件，使吸附的物质脱附，达到使吸附剂再生，回收 被吸附物质而达到分离的目的。物理吸附的特征是吸附物质不发生任何化学反应，吸附过 化学吸附是固体表面与被吸附 物间的化学键力起作用的结果。这类型的吸附需要一定的活化能，故又称“活化吸附”。 这种化学键亲和力的大小可以差别很大，但它大大超过物理吸附的范德华力。化学吸附放 出的吸附热比物理吸附所放出的吸附热要大得多，达到化学反应热这样的数量级。而物理 吸附放出的吸附热通常与气体的液化热相近。化学吸附往往是不可逆的，而且脱附后，脱 附的物质常发生了化学变化不再是原有的性状，故其过程是不可逆的。化学吸附的速率大 多进行得较慢，吸附平衡也需要相当长时间才能达到，升高温度可以大大地增加吸附速率。 对于这类吸附的脱附也不易进行，常需要很高的温度才能把被吸附的分子逐出去。人们还 发现，同一种物质，在低温时，它在吸附剂上进行的是物理吸附，随着温度升高到一定程 度，就开始发生化学变化转为化学吸附，有时两种吸附会同时发生。化学吸附在催化作用 过程中占有很重要的地位。
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Abstract: By using the modified CK’s direct method, we derive the symmetry group theorem of WBKL equations. The new exact solutions of WBKL equations are obtained by applied the symmetry group theorem and the old solutions. Based on the above theorem and the adjoint equations, we derive the conservation laws of WBKL equations. Keywords: WBKL Equations; CK’s Direct Method; Symmetry; Exact Solutions; Conservation Laws
(14)
2 csch (c2 x c1c2 t c3 V (c2 t c4 ))
这里 V , 为任意常数， 1 。 注1 类似地， 利用不同的种子解， 重复利用定理1
.
(15)
Copyright © 2011 Hanspub
PM
14
于金倩等 | Whitham-Broer-Kaup-Like 方程组的精确解和守恒律
(9)
ห้องสมุดไป่ตู้
这里 , 由(8)式决定。 从定理1能够看到方程(9)其实是一个自贝克隆变 换，它给出了WBKL新旧精确解之间的关系。WBKL 方程组的 u ( x, t ) 有如下形式的解[12]：
u ( ) V 2 coth
2C2t C4 x t C2U C1 2C2 U C1 t C2 x 2t U 2 x t U U x C3 C4 x t C1 1 C2 2 C3 3 C4 4
(13) 并 且 这 些 对 称 之 间 的 算 子 关 系 为
[ 1 , 2 ] 1 , [ 1 , 3 ] [ 3 , 4 ] 0
2
2
, [ 1 , 4 ] 3
,
(10)
[ 2 , 3 ] 3 , [ 2 , 4 ] 2 4 。
其中 ci (i 1, 2,3, 4) 为任意常数。 根据上述过程，我们有下面的对称群定理：
(8)
C2 x C1t C3
定理 1 若 U U ( , ), ( , ) 是 WBKL 方程 组的解，那么下述解也是
2 u c1 c2U ( , ), H c2 ( , )
Jinqian Yu, Xiqiang Liu, Tingting Wang
School of Mathematicas Science, Liaocheng University, Liaocheng Email: yujinqiand@ Received: Mar. 8th, 2011; revised: Apr. 6th, 2011; accepted: Apr. 7th, 2011.
2. WBKL 方程组的新精确解
假设方程组有满足如下形式的对称群：
u ( x, t ) 1 ( x, t ) 1 ( x, t )U ( , ) H ( x, t ) 2 ( x, t ) 2 ( x, t ) ( , )
1 , 1, 0 为色散长波方程[10,11]。 3
csch
注 2 由 (13) 式可以看出方程组 (1) 和 (2) 满足四维 的李代数 1 , 2 , 3 , 4 ，同时他们也能通过标准的李群 方法得到。
其中 x Vt ， 为任意常数， 1 ，把定理
1作用到(10)式，我们可以得到WBKL方程组的新的精
确解
x 0 ， 1x 0 ， 2 x 0
(7)
把 (7) 代入 (6) 可得一系列的关于 1 , 2 , 1 , 2 , 和
的决定方程组，解之可得 2 1 c1 , 2 0, 1 c2 , 2 c2 , 2 c2 x c1c2t c3 , c2 t c4
2 立，必须使 U 4 ,U , 的系数等于零，可得
(U ) (C2 x C1t C3 )U x (2C2t C4 )U t C2U C1 , ( ) (C2 x C1t C3 ) x (2C2t C4 ) t 2C2
(12) 这里由(12)表达的 是WBKL方程组的对称。对 称群的等价算子表达式为
L D j Dk uijk
D j W
uL
ij
L Dk uijk
D j Dk W
L u
上述条件下(16)满足守恒方程 Dx (C1 ) Dt (C 2 ) 0 ，且向量 C (C1 , C 2 ) 组成为
C1 1u 2 H 1x 2 xx C2 u C1 C2 x C1t C3 u x 2C2 t C4 ut 2C2 u x C2 x C1t C3 u xx 2C2 t C4 utx 1 2 x 1 2 x 2C2 H C2 x C1t C3 H x 2C2 t C4 H t 2 3C2 H x C2 x C1t C3 H xx 2C2 t C4 H tx 3C2 u xx C2 x C1t C3 u xxx 2C2 t C4 utxx 2
定理2 每个李点对称，李贝克隆变换和方程组(1) 和(2)的对称都给出了WBKL方程组和共轭方程组的一
个守恒律。并且守恒向量 (C1 , C 2 ) 由下述表达式确定
L L Ci i L W Dj uij ui
其中 W j u j 。
u x, t c1 c2V c2 2
4. WBKL 方程组的守恒律
在本节，我们将通过WBKL方程组的共轭方程组 和对称来研究它的守恒律[13]，共轭方程组有下述形式
2 2
coth c2 x c1c2 t c3 V c t c4 c2 ( )
ijk
(16)
W 1 C2u C1 (C2 x C1t C3 )u x (2C2t C4 )ut ，
W 2 2C2 H (C2 x C1t C3 ) H x (2C2t C4 ) H t ，
因此我们考虑三阶拉氏量，利用定理2和公式(16) 计算方程组的守恒律， 1 C2 x C1t C3 ， 2 2C2t C4 ， 1 C2u C1 ， 2 2C2 H ，
Pure Mathematics 理论数学, 2011, 1, 12-14
doi:10.4236/pm.2011.11003 Published Online April 2011 (/journal/pm/)
Exact Solutions and Conservation Laws of Whitham-Broer-Kaup-Like Equations
2 2
(11)
1t 1x u 2 x H 1xx 2 xxx 0 , 2t 1x 2 x u 2 xx 0 ,
拉氏量函数
L 1 ut uu x H x u xx 2 H t Hu x u xxx H xx
PM
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于金倩等 | Whitham-Broer-Kaup-Like 方程组的精确解和守恒律
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方程组，即
U UU U 0 (U ) U 0
(4) (5)
能够得到不同种类的精确解。 因此我们推广了文献[12] 的结论。
4U ，并且函数 F ( x, t , , ,U , ,) 与 4
这里 是无穷小参数， 且 C1 , C2 , C3 和 C4 是任意常 数。那么方程(9)可记作
u U (U ), H ( ) ,
U 4 ,U 2 , 无关，为了保证(6)式对任意的函数 U , 成
1. 引言
在本文中，应用改进的CK直接方法，我们将考虑 Whitham-Broer-Kaup-Like(WBKL)方程组[1]：
ut uu x H x u xx 0 H t ( Hu ) x u xxx H xx 0
在文献 [12] 中作者利用 G G 扩展函数方法得 到WBKL 方程组的三种带参数的函数解 , 包括双曲函 数解，三角函数解，有理函数解。当参数取一定的值 时，可从双曲函数解中得到一些孤立波解。 本文利用修正的CK直接方法得到其对称， 并通过 群理论建立新旧解之间的关系，推广了已有文献中的 结果。最后通过所求的对称得到了方程组的守恒律。 本文求得的守恒律和对称群还没有出现在已有的文 献中。
(1) (2)
此方程组在数学物理中具有十分重要的地位，其中 , 和 是 任 意 实 常 数 。 当 1 ， 为 Whitham-Broer-Kaup 方程[2] ，许多数学家和物理学家 对此方程进行了细致的研究并取得很大进展，求出此 方程存在爆破解、周期解和行波解等，详细内容参看 文献[3-7]，当 0, 1 为长波方程的近似方程，当 1, 0 为 变 形 的 Boussinesq 方 程 [8,9] ， 当