三角形2
13.3.2等边三角形(2) 课件(共19张PPT)
∴ Rt△BDE中， DB=2DE=12
E
B
∵ AD是∠BAC的平分线, DE⊥AB, DC⊥AC
∴DC=DE=6
∴BD=DC+DB=18.
课后作业
教材83页习题13.3第14、15题．
解：∵ DE⊥AC，BC⊥AC，∠A =30°，
∴ BC = 1 AB，DE = 1 AD．
2
2
B D
∴ BC =3.7（m）．
又 AD = 1 AB，
2
A EC
∴DE = 1 AD =1.85（m） ．
2
答：立柱BC 的长是3.7 m，DE 的长是1.85 m．
小试牛刀
1．如图，一棵树在一次强台风中于离地面8米
4
证明： ∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴BC＝
1 2
AB，∠B＝60°
∵CD是高，
∴∠CDB＝90°,∠B＝60°，
∴∠BCD＝30°，
∴BD＝ 1 BC， ∴BD＝1 AB.
2
4
课堂小结
今天我们收获了哪些知识？ （畅所欲言）
1、含30°角的直角三角形的性质是什么？ 2、需要注意什么？
实战演练
1
∴ BC = 2 AB．
B
C
合作探究
B
A 归纳总结：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，
那么它所对的直角边等于斜边的一半.
符号语言：∵∠C =90°, ∠A=30°
1
C
∴ BC = 2 AB．
典例精析
例.如图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB的中点，立柱BC、 DE 垂直于横梁AC，AB =7.4 cm，∠A =30°，立柱BC、DE 要多长？
1-1认识三角形(2)
三角形任何两边的和大于第三边, 三角形任何两边的和大于第三边,三角形任何 两边的差小于第三边. 两边的差小于第三边. 应用性质:判断三条线段能否构成一个三角形. 应用性质:判断三条线段能否构成一个三角形.
锐 角
①
②
③
④
⑤ 锐角三角形 ③ ⑤
⑥ 直角三角形 ① ④ ⑥
⑦ 钝角三角形 ② ⑦
由三角形一条边的延长线与另一条 相邻的边所组成的角叫做这个三角 形的外角 A
5 6
∠ 1,∠ 3, ∠ 5
4 1 2
B 3
C
D
如图： 如图： （1）△BCD的外角是_____ BCD的外角是_____ 的外角是 ∠1 ______的外角 △ADC 的外角， （2）∠2是______的外角， 又是______的外角 △ADE 又是______的外角 ______
1、下列各组数不可能是一个三角形的边长的是（ C ） 下列各组数不可能是一个三角形的边长的是（
A. 5,12, 13
B. 5, 7 , 7
C. 5, 6, 12 D. 101, 102, 103 . 2、在∆ABC中，若AB = 3，BC=5,
2 < AC 则第三边AC的取值范围是______ < 8
B D
2 1
A
E C
AEC的外角是 _____ （3） △ AEC的外角是∠AED
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和 不相邻
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和。 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和。 不相邻的两个内角和
27 12.3.2 等边三角形(2)
中，如果 一个锐角 等于30 30° 等于30°， 那么它所 对的直角 边等于斜 一半。 边的一半 边的一半。
如图， 例5 如图，是屋架设计图的一部 是斜梁AB的中点，立柱BC AB的中点 BC、 分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE 在直 垂直于横梁AC，AB=7.4 m，∠A=30°, 垂直于横梁AC AC， m， A=30° 角三角形 立柱BC、DE要多长？ 立柱BC DE要多长 BC、 要多长？
A
D D B C B A C
出发， 例2：如图，上午 时，一条渔船从 出发，以12 ：如图，上午9时 一条渔船从A出发 海里/时的速度向正北航行 时的速度向正北航行， 时到达 时到达B处 海里 时的速度向正北航行，11时到达 处，从A、 、 B两处望小岛 ，测得∠NAC=150， ∠NBC=300， 两处望小岛C，测得∠ 两处望小岛 若小岛周围12.3海里内有暗礁，问该渔船继续向 海里内有暗礁， 若小岛周围 海里内有暗礁 正北航行有无触礁的危险？ 正北航行有无触礁的危险？ N C D
D B A
E
6、等腰三角形一腰上的高线等于腰长的一半， 、等腰三角形一腰上的高线等于腰长的一半， 则此三角形的三个角的度数分别是_________ 则此三角形的三个角的度数分别是 ____________________________________ ° 30° 75° 75° 15° 15° 150° 30°、 75°、 75°或15°、15°、 150
第十二章 轴对称
12.3.2 等边三角形（2） 等边三角形（
义务教育课程标准实验教科书——人教版——八年级上册
回顾: 回顾:
图形 概念
三边 相等 的三 角形 是等 边三 角形
性质
性质：三 性质： 个角都相 等，并且 每个角都 等于60 等于600.
认识三角形(2)
初中数学七年级下册 苏科版
回 顾 思思考 考 回顾
你还记得 “过一点画已知直线的垂线” 吗?
画法
过三角形 的一个顶点，你能画出 它的对边的垂线吗?
0 42 5 3 4 5 1 2
3
4
5
6
A
B
C
0
1
2 0 3 1 4 205 31
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5 7
B
D
C3
做一做
锐角三角形的三条高
每人准备一个锐角三角形纸片。 (1) 你能画出这个三角形的三条高吗? (2) 你能用折纸的办法得到它们吗? (3) 这三条高之间有怎样的位置关系？ 将你的结果与同伴进行交流. 锐角三角形的三条高是 在三角形的内部还是外部? 锐角三角形的三条高交于同一点. 锐角三角形的三条高 都在三角形的内部。
17
C D
A
折痕AD即为三角形的∠A的角平分线。
B
10
三形的角平分线的定义
以前所学的“角平分线 ”是一条射线， “三角形的角平分线” 还是射线 吗? 在三角形中，一个内角 B 的平分线与它的对边相交， 这个角的顶点与交点之间的 线段叫三角形的角平分线。 线段 注意
!
A 1 2
D ∠1=∠2 图5−10
p126
折、画钝角三角形的三条高
在纸上画出一个钝角三角形。 (2) 你能折出钝角三角形的 A 三条高吗？ 你能画出钝 角三角形的三条高吗？ 为了便于折出BC边上的高， 需要把CB延长。 为了便于折出AB边上的高， 需要把AB延长。 D D B B A
F F C C
E F D B E
BC边上的高是在三角形的 内部还是外部? 外部 AB边上的高呢？
北师大新版七年级下册《第4章 三角形》2含解析版答案
北师大新版七年级下册《第4章三角形》一、选择题（共11小题）1．如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C＝90°，∠B＝45°，∠E＝30°，则∠BFD的度数是（）A．15°B．25°C．30°D．10°2．如图，点C在AB的延长线上，∠A＝35°，∠DBC＝110°，则∠D的度数是（）A．65°B．70°C．75°D．95°3．如图，▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为（）A．BE＝DF B．BF＝DE C．AE＝CF D．∠1＝∠24．如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．如图，已知∠ABC＝∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（）A．∠A＝∠D B．AB＝DC C．∠ACB＝∠DBC D．AC＝BD6．如图，在△ABC中，AB＞AC，点D、E分别是边AB、AC的中点，点F在BC边上，连接DE、DF、EF，则添加下列哪一个条件后，仍无法判断△FCE与△EDF全等（）A．∠A＝∠DFE B．BF＝CF C．DF∥AC D．∠C＝∠EDF7．如图，下列条件中，不能证明△ABC≌△DCB的是（）A．AB＝DC，AC＝DB B．AB＝DC，∠ABC＝∠DCBC．BO＝CO，∠A＝∠D D．AB＝DC，∠DBC＝∠ACB8．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是（）A．1对B．2对C．3对D．4对9．如图，AE∥DF，AE＝DF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的（）A．AB＝CD B．EC＝BF C．∠A＝∠D D．AB＝BC10．如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（）A．CB＝CD B．∠BAC＝∠DAC C．∠BCA＝∠DCA D．∠B＝∠D＝90°11．如图，△ABC和△DEF中，AB＝DE、∠B＝∠DEF，添加下列哪一个条件无法证明△ABC ≌△DEF（）A．AC∥DF B．∠A＝∠D C．AC＝DF D．∠ACB＝∠F二、填空题（共12小题）12．如图，OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，OA＝OB，则图中有对全等三角形．13．如图，在▱ABCD中，E、F为对角线AC上两点，且BE∥DF，请从图中找出一对全等三角形：．14．如图，点B、A、D、E在同一直线上，BD＝AE，BC∥EF，要使△ABC≌△DEF，则只需添加一个适当的条件是．（只填一个即可）15．如图，在△ABC与△ADC中，已知AD＝AB，在不添加任何辅助线的前提下，要使△ABC ≌△ADC，只需再添加的一个条件可以是．16．如图，已知AB＝BC，要使△ABD≌△CBD，还需添加一个条件，你添加的条件是．（只需写一个，不添加辅助线）17．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD．请添加一个适当的条件，使△ABD ≌△CDB．（只需写一个）18．如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB＝DE，BE＝CF，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF．19．将一副直角三角板如图摆放，点C在EF上，AC经过点D．已知∠A＝∠EDF＝90°，AB ＝AC．∠E＝30°，∠BCE＝40°，则∠CDF＝．20．如图，已知△ABC中，AB＝AC，点D、E在BC上，要使△ABD≌ACE，则只需添加一个适当的条件是．（只填一个即可）21．如图，AC、BD相交于点O，∠A＝∠D，请补充一个条件，使△AOB≌△DOC，你补充的条件是（填出一个即可）．22．如图，点B，F，C，E在同一直线上，BF＝CE，AB∥DE，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是（只需写一个，不添加辅助线）．23．如图，AC与BD相交于点O，且AB＝CD，请添加一个条件，使得△ABO≌△CDO．三、解答题（共7小题）24．如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE＝∠BCE＝∠ACD＝90°，且BC＝CE，求证：△ABC与△DEC全等．25．如图，∠B＝∠D，请添加一个条件（不得添加辅助线），使得△ABC≌△ADC，并说明理由．26．已知：如图，点C为AB中点，CD＝BE，CD∥BE．求证：△ACD≌△CBE．27．如图，点C，F在线段BE上，BF＝EC，∠1＝∠2，请你添加一个条件，使△ABC≌△DEF，并加以证明．（不再添加辅助线和字母）28．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．求证：△BED≌△CFD．29．如图，△ABC和△DAE中，∠BAC＝∠DAE，AB＝AE，AC＝AD，连接BD，CE，求证：△ABD ≌△AEC．30．如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE＝∠BCE＝∠ACD＝90°，且BC＝CE．请完整说明为何△ABC与△DEC全等的理由．北师大新版七年级下册《第4章三角形》参考答案与试题解析一、选择题（共11小题）1．如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C＝90°，∠B＝45°，∠E＝30°，则∠BFD的度数是（）A．15°B．25°C．30°D．10°【分析】先由三角形外角的性质求出∠BDF的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论．【解答】解：∵Rt△CDE中，∠C＝90°，∠E＝30°，∴∠BDF＝∠C+∠E＝90°+30°＝120°，∵△BDF中，∠B＝45°，∠BDF＝120°，∴∠BFD＝180°﹣45°﹣120°＝15°．故选：A．2．如图，点C在AB的延长线上，∠A＝35°，∠DBC＝110°，则∠D的度数是（）A．65°B．70°C．75°D．95°【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【解答】解：由三角形的外角性质得，∠D＝∠DBC﹣∠A＝110°﹣35＝75°．故选：C．3．如图，▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为（）A．BE＝DF B．BF＝DE C．AE＝CF D．∠1＝∠2【分析】利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定分别得出三角形全等，再进行选择即可．【解答】解：A、当BE＝FD，∵平行四边形ABCD中，∴AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（SAS），故此选项错误；C、当AE＝CF无法得出△ABE≌△CDF，故此选项符合题意；B、当BF＝ED，∴BE＝DF，∵平行四边形ABCD中，∴AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（SAS），故此选项错误；D、当∠1＝∠2，∵平行四边形ABCD中，∴AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（ASA），故此选项错误；故选：C．4．如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据全等三角形的判定得出点P的位置即可．【解答】解：要使△ABP与△ABC全等，点P到AB的距离应该等于点C到AB的距离，即3个单位长度，故点P的位置可以是P1，P3，P4三个，故选：C．5．如图，已知∠ABC＝∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（）A．∠A＝∠D B．AB＝DC C．∠ACB＝∠DBC D．AC＝BD【分析】本题要判定△ABC≌△DCB，已知∠ABC＝∠DCB，BC是公共边，具备了一组边对应相等，一组角对应相等，故添加AB＝CD、∠ACB＝∠DBC、∠A＝∠D后可分别根据SAS、ASA、AAS能判定△ABC≌△DCB，而添加AC＝BD后则不能．【解答】解：A、可利用AAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；B、可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；C、利用ASA判定△ABC≌△DCB，故此选项不符合题意；D、SSA不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意；故选：D．6．如图，在△ABC中，AB＞AC，点D、E分别是边AB、AC的中点，点F在BC边上，连接DE、DF、EF，则添加下列哪一个条件后，仍无法判断△FCE与△EDF全等（）A．∠A＝∠DFE B．BF＝CF C．DF∥AC D．∠C＝∠EDF 【分析】根据三角形中位线的性质，可得∠CEF＝∠DFE，∠CFE＝∠DEF，根据SAS，可判断B、C；根据三角形中位线的性质，可得∠CFE＝∠DEF，根据AAS，可判断D．【解答】解：A、∠A与∠DEF没关系，故A错误；B、BF＝CF，F是BC中点，点D、E分别是边AB、AC的中点，∴DF∥AC，DE∥BC，∴∠CEF＝∠DFE，∠CFE＝∠DEF，在△CEF和△DFE中，∴△CEF≌△DFE（ASA），故B正确；C、点D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE∥BC，∴∠CFE＝∠DEF，∵DF∥AC，∴∠CEF＝∠DFE在△CEF和△DFE中，∴△CEF≌△DFE（ASA），故C正确；D、点D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE∥BC，∴∠CFE＝∠DEF，，∴△CEF≌△DFE（AAS），故D正确；故选：A．7．如图，下列条件中，不能证明△ABC≌△DCB的是（）A．AB＝DC，AC＝DB B．AB＝DC，∠ABC＝∠DCBC．BO＝CO，∠A＝∠D D．AB＝DC，∠DBC＝∠ACB【分析】本题要判定△ABC≌△DCB，已知BC是公共边，具备了一组边对应相等．所以由全等三角形的判定定理作出正确的判断即可．【解答】解：根据题意知，BC边为公共边．A、由“SSS”可以判定△ABC≌△DCB，故本选项错误；B、由“SAS”可以判定△ABC≌△DCB，故本选项错误；C、由BO＝CO可以推知∠ACB＝∠DBC，则由“AAS”可以判定△ABC≌△DCB，故本选项错误；D、由“SSA”不能判定△ABC≌△DCB，故本选项正确．故选：D．8．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是（）A．1对B．2对C．3对D．4对【分析】根据已知条件“AB＝AC，D为BC中点”，得出△ABD≌△ACD，然后再由AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，推出△AOE≌△EOC，从而根据“SSS”或“SAS”找到更多的全等三角形，要由易到难，不重不漏．【解答】解：∵AB＝AC，D为BC中点，∴CD＝BD，∠BDO＝∠CDO＝90°，在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD；∵EF垂直平分AC，∴OA＝OC，AE＝CE，在△AOE和△COE中，，∴△AOE≌△COE；在△BOD和△COD中，，∴△BOD≌△COD；在△AOC和△AOB中，，∴△AOC≌△AOB；故选：D．9．如图，AE∥DF，AE＝DF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的（）A．AB＝CD B．EC＝BF C．∠A＝∠D D．AB＝BC【分析】由条件可得∠A＝∠D，结合AE＝DF，则还需要一边或一角，再结合选项可求得答案．【解答】解：∵AE∥DF，∴∠A＝∠D，∵AE＝DF，∴要使△EAC≌△FDB，还需要AC＝BD，∴当AB＝CD时，可得AB+BC＝BC+CD，即AC＝BD，故选：A．10．如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（）A．CB＝CD B．∠BAC＝∠DAC C．∠BCA＝∠DCA D．∠B＝∠D＝90°【分析】要判定△ABC≌△ADC，已知AB＝AD，AC是公共边，具备了两组边对应相等，故添加CB＝CD、∠BAC＝∠DAC、∠B＝∠D＝90°后可分别根据SSS、SAS、HL能判定△ABC ≌△ADC，而添加∠BCA＝∠DCA后则不能．【解答】解：A、添加CB＝CD，根据SSS，能判定△ABC≌△ADC，故A选项不符合题意；B、添加∠BAC＝∠DAC，根据SAS，能判定△ABC≌△ADC，故B选项不符合题意；C、添加∠BCA＝∠DCA时，不能判定△ABC≌△ADC，故C选项符合题意；D、添加∠B＝∠D＝90°，根据HL，能判定△ABC≌△ADC，故D选项不符合题意；故选：C．11．如图，△ABC和△DEF中，AB＝DE、∠B＝∠DEF，添加下列哪一个条件无法证明△ABC ≌△DEF（）A．AC∥DF B．∠A＝∠D C．AC＝DF D．∠ACB＝∠F【分析】根据全等三角形的判定定理，即可得出答．【解答】解：∵AB＝DE，∠B＝∠DEF，∴添加AC∥DF，得出∠ACB＝∠F，即可证明△ABC≌△DEF，故A、D都正确；当添加∠A＝∠D时，根据ASA，也可证明△ABC≌△DEF，故B正确；但添加AC＝DF时，没有SSA定理，不能证明△ABC≌△DEF，故C不正确；故选：C．二、填空题（共12小题）12．如图，OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，OA＝OB，则图中有 3 对全等三角形．【分析】由OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，得到PE＝PF，∠1＝∠2，证得△AOP≌△BOP，再根据△AOP≌△BOP，得出AP＝BP，于是证得△AOP≌△BOP，和R t△AOP ≌R t△BOP．【解答】解：OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，∴PE＝PF，∠1＝∠2，在△AOP与△BOP中，，∴△AOP≌△BOP，∴AP＝BP，在△EOP与△FOP中，，∴△EOP≌△FOP，在R t△AEP与R t△BFP中，，∴R t△AEP≌R t△BFP，∴图中有3对全等三角形，故答案为：3．13．如图，在▱ABCD中，E、F为对角线AC上两点，且BE∥DF，请从图中找出一对全等三角形：△ADF≌△CBE．【分析】由平行四边形的性质，可得到等边或等角，从而判定全等的三角形．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∠DAC＝∠BCA，∵BE∥DF，∴∠DFC＝∠BEA，∴∠AFD＝∠BEC，在△ADF与CBE中，，∴△ADF≌△CBE（AAS），故答案为：△ADF≌△CBE．14．如图，点B、A、D、E在同一直线上，BD＝AE，BC∥EF，要使△ABC≌△DEF，则只需添加一个适当的条件是BC＝EF或∠BAC＝∠EDF．（只填一个即可）【分析】BC＝EF或∠BAC＝∠EDF，若BC＝EF，根据条件利用SAS即可得证；若∠BAC＝∠EDF，根据条件利用ASA即可得证．【解答】解：若添加BC＝EF，∵BC∥EF，∴∠B＝∠E，∵BD＝AE，∴BD﹣AD＝AE﹣AD，即BA＝ED，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）；若添加∠BAC＝∠EDF，∵BC∥EF，∴∠B＝∠E，∵BD＝AE，∴BD﹣AD＝AE﹣AD，即BA＝ED，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA），故答案为：BC＝EF或∠BAC＝∠EDF15．如图，在△ABC与△ADC中，已知AD＝AB，在不添加任何辅助线的前提下，要使△ABC ≌△ADC，只需再添加的一个条件可以是DC＝BC或∠DAC＝∠BAC．【分析】添加DC＝BC，利用SSS即可得到两三角形全等；添加∠DAC＝∠BAC，利用SAS 即可得到两三角形全等．【解答】解：添加条件为DC＝BC，在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SSS）；若添加条件为∠DAC＝∠BAC，在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SAS）．故答案为：DC＝BC或∠DAC＝∠BAC16．如图，已知AB＝BC，要使△ABD≌△CBD，还需添加一个条件，你添加的条件是∠ABD ＝∠CBD或AD＝CD．．（只需写一个，不添加辅助线）【分析】由已知AB＝BC，及公共边BD＝BD，可知要使△ABD≌△CBD，已经具备了两个S 了，然后根据全等三角形的判定定理，应该有两种判定方法①SAS，②SSS．所以可添∠ABD＝∠CBD或AD＝CD．【解答】解：答案不唯一．①∠ABD＝∠CBD．在△ABD和△CBD中，∵，∴△ABD≌△CBD（SAS）；②AD＝CD．在△ABD和△CBD中，∵，∴△ABD≌△CBD（SSS）．故答案为：∠ABD＝∠CBD或AD＝CD．17．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD．请添加一个适当的条件AB＝CD，使△ABD≌△CDB．（只需写一个）【分析】先根据平行线的性质得∠ABD＝∠CDB，加上公共边BD，所以根据“SAS”判断△ABD≌△CDB时，可添加AB＝CD．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，而BD＝DB，∴当添加AB＝CD时，可根据“SAS”判断△ABD≌△CDB．故答案为AB＝CD．18．如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB＝DE，BE＝CF，请添加一个条件AC＝DF（或∠B＝∠DEF或AB∥DE），使△ABC≌△DEF．【分析】可选择利用SSS或SAS进行全等的判定，答案不唯一，写出一个符合条件的即可．【解答】解：①添加AC＝DF．∵BE＝CF，∴BC＝EF，∵在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS）．②添加∠B＝∠DEF．∵BE＝CF，∴BC＝EF，∵在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）．③添加AB∥DE．∵BE＝CF，∴BC＝EF，∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEF，∵在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）．故答案为：AC＝DF（或∠B＝∠DEF或AB∥DE）．19．将一副直角三角板如图摆放，点C在EF上，AC经过点D．已知∠A＝∠EDF＝90°，AB ＝AC．∠E＝30°，∠BCE＝40°，则∠CDF＝25°．【分析】由∠A＝∠EDF＝90°，AB＝AC．∠E＝30°，∠BCE＝40°，可求得∠ACE的度数，又由三角形外角的性质，可得∠CDF＝∠ACE﹣∠F＝∠BCE+∠ACB﹣∠F，继而求得答案．【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝90°，∴∠ACB＝∠B＝45°，∵∠EDF＝90°，∠E＝30°，∴∠F＝90°﹣∠E＝60°，∵∠ACE＝∠CDF+∠F，∠BCE＝40°，∴∠CDF＝∠ACE﹣∠F＝∠BCE+∠ACB﹣∠F＝45°+40°﹣60°＝25°．故答案为：25°．20．如图，已知△ABC中，AB＝AC，点D、E在BC上，要使△ABD≌ACE，则只需添加一个适当的条件是BD＝CE．（只填一个即可）【分析】此题是一道开放型的题目，答案不唯一，如BD＝CE，根据SAS推出即可；也可以∠BAD＝∠CAE等．【解答】解：BD＝CE，理由是：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），故答案为：BD＝CE．21．如图，AC、BD相交于点O，∠A＝∠D，请补充一个条件，使△AOB≌△DOC，你补充的条件是AB＝CD（答案不唯一）（填出一个即可）．【分析】添加条件是AB＝CD，根据AAS推出两三角形全等即可．【解答】解：AB＝CD，理由是：∵在△AOB和△DOC中∴△AOB≌△DOC（AAS），故答案为：AB＝CD（答案不唯一）．22．如图，点B，F，C，E在同一直线上，BF＝CE，AB∥DE，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是AB＝DE（只需写一个，不添加辅助线）．【分析】求出BC＝EF，∠ABC＝∠DEF，根据SAS推出两三角形全等即可．【解答】解：AB＝DE，理由是：∵BF＝CE，∴BF+FC＝CE+FC，∴BC＝EF，∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠DEF，在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SAS），故答案为：AB＝DE．23．如图，AC与BD相交于点O，且AB＝CD，请添加一个条件∠A＝∠C，使得△ABO≌△CDO．【分析】首先根据对顶角相等，可得∠AOB＝∠COD；然后根据两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，要使得△ABO≌△CDO，则只需∠A＝∠C即可．【解答】解：∵∠AOB、∠COD是对顶角，∴∠AOB＝∠COD，又∵AB＝CD，∴要使得△ABO≌△CDO，则只需添加条件：∠A＝∠C．（答案不唯一）故答案为：∠A＝∠C．（答案不唯一）三、解答题（共7小题）24．如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE＝∠BCE＝∠ACD＝90°，且BC＝CE，求证：△ABC与△DEC全等．【分析】根据同角的余角相等可得到∠3＝∠5，结合条件可得到∠1＝∠D，再加上BC＝CE，可证得结论．【解答】解：∵∠BCE＝∠ACD＝90°，∴∠3+∠4＝∠4+∠5，∴∠3＝∠5，在△ACD中，∠ACD＝90°，∴∠2+∠D＝90°，∵∠BAE＝∠1+∠2＝90°，∴∠1＝∠D，在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（AAS）．25．如图，∠B＝∠D，请添加一个条件（不得添加辅助线），使得△ABC≌△ADC，并说明理由．【分析】已知这两个三角形的一个边与一个角相等，所以再添加一个对应角相等即可．【解答】解：添加∠BAC＝∠DAC．理由如下：在△ABC与△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（AAS）．26．已知：如图，点C为AB中点，CD＝BE，CD∥BE．求证：△ACD≌△CBE．【分析】根据中点定义求出AC＝CB，根据两直线平行，同位角相等，求出∠ACD＝∠B，然后利用SAS即可证明△ACD≌△CBE．【解答】证明：∵C是AB的中点（已知），∴AC＝CB（线段中点的定义）．∵CD∥BE（已知），∴∠ACD＝∠B（两直线平行，同位角相等）．在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（SAS）．27．如图，点C，F在线段BE上，BF＝EC，∠1＝∠2，请你添加一个条件，使△ABC≌△DEF，并加以证明．（不再添加辅助线和字母）【分析】先求出BC＝EF，添加条件AC＝DF，根据SAS推出两三角形全等即可．【解答】AC＝DF．证明：∵BF＝EC，∴BF﹣CF＝EC﹣CF，∴BC＝EF，在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（SAS）．28．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．求证：△BED≌△CFD．【分析】首先根据AB＝AC可得∠B＝∠C，再由DE⊥AB，DF⊥AC，可得∠BED＝∠CFD＝90°，然后再利用AAS定理可判定△BED≌△CFD．【解答】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△BED和△CFD中，，∴△BED≌△CFD（AAS）．29．如图，△ABC和△DAE中，∠BAC＝∠DAE，AB＝AE，AC＝AD，连接BD，CE，求证：△ABD ≌△AEC．【分析】根据∠BAC＝∠DAE，可得∠BAD＝∠CAE，再根据全等的条件可得出结论．【解答】证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△AEC中，，∴△ABD≌△AEC（SAS）．30．如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE＝∠BCE＝∠ACD＝90°，且BC＝CE．请完整说明为何△ABC与△DEC全等的理由．【分析】根据∠BCE＝∠ACD＝90°，可得∠3＝∠5，又根据∠BAE＝∠1+∠2＝90°，∠2+∠D＝90°，可得∠1＝∠D，继而根据AAS可判定△ABC≌△DEC．【解答】解：∵∠BCE＝∠ACD＝90°，∴∠3+∠4＝∠4+∠5，∴∠3＝∠5，在△ACD中，∠ACD＝90°，∴∠2+∠D＝90°，∵∠BAE＝∠1+∠2＝90°，∴∠1＝∠D，在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（AAS）．。
1.1认识三角形(2)
问题导学：
直角三角形可以用符号 “Rt△”表示,直角三角形 ABC可以写成“Rt△ABC”. 把直角所对的边称为直角三 角形的斜边, 夹直角的两条 边称为直角边.
C
直 角 边A
直角边 B
直角三角形有许多性质,你能发现它的两个 锐角之间有什么关系吗?
直角三角形的两个锐角互余.
自学检测：
如图，在△ABC中，D为BC上的一点， ∠ADB=90°，∠1=∠B。若按角分类，△ABC 是什么形状的三角形？为什么？
A 2
1
B
D
C
巩固练习： 认一认：将下面的这些三角形进行分类
④
①
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
③⑤
① ④ ⑥
②⑦
巩固练习：
１、在△ABC中∠A：∠B：∠C＝１：２：3，则 △ABC是（ B ） A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、不能确定
2、判断： （1）一个三角形的三个内角可以都小于 60°； （ × ） （2）一个三角形最多只能有一个内角是钝 角或直角； （ √ ）
1.1认识三角形(2)
温故互查：（二人小组完成）
1、三角形的定义
？ ？。
由不在同一直线上的三条线段，首尾顺次相接 所组成的图形叫做三角形.
2、三角形的三个内角有什么关系
三角形三个内角的和等于180
在△ABC中，∠A+∠B+∠C=1800
问题导学：
（１）下图中小明所拿三角形被遮住的两个内 角是什么角？小颖的呢？试着说明理由．
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= A B C H D G F 360 度
M
E
人教版小学四年级数学下册《三角形》第2课时 三角形的特性(2)【教案】
第2课时三角形的特性（2）◎教学笔记▷教学内容教科书P59例2，完成P59“做一做”，P63“练习十五”第2题。
▷教学目标1.通过动手操作和观察比较，使学生认识三角形的稳定性。
2.在观察、实验中了解三角形的稳定性在实践中有广泛的应用，培养学生观察、操作的能力和应用数学知识解决问题的能力。
3.体验数学与生活的联系,培养学生学习数学的兴趣。
▷教学重点知道三角形的稳定性。
▷教学难点了解三角形的稳定性在实践中有广泛的应用。
▷教学准备课件,小棒,教具三角尺和学具三角尺，三角形和四边形框架，中间加一条对角线的四边形框架。
▷教学过程一、创设情境，导入新课师：看看图中哪儿有三角形。
（课件出示图片）【学情预设】学生观察图片，回答问题，课件中相应显示学生找到的三角形。
【设计意图】找出事物中的三角形,感受三角形在现实生活中的广泛应用,并为认识三角形的稳定性积累经验。
师：我们生活中有非常多的东西都被设计成三角形，你觉得这里面有什么道理？【学情预设】学生可能会说：起到固定的作用，这样做能使物体更加牢固……师：这里到底有什么奥秘呢？今天这节课我们就来研究三角形的特性。
［板书课题：三角形的特性（2）］二、动手操作，理解感知1.从唯一性的角度初步理解三角形的稳定性。
课件出示教科书P59例2。
（1）学生拿出小棒动手操作。
（2）小组内交流汇报结果。
（3）推选小组代表上台汇报，说说你发现了什么。
【学情预设】学生只能摆出一种形状和大小相同的三角形,却能摆出多个形状、大小不同的四边形。
师：我们摆出的三角形形状、大小完全相同，这是怎么回事呢？教师拿出形状相同的教具三角尺和学具三角尺让学生观察，使学生明确：角度确定形状，边长确定大小。
师：都是同样长的小棒，为什么四边形就能摆出那么多种呢？【学情预设】结合刚才观察三角尺的经验，学生能得出：角度发生了改变，使得形状会随之改变。
【设计意图】通过操作和观察对比，使学生体会到三角形的3条边确定了,其相应的形状、大小也就确定了,所以无论怎么围，所围的三角形大小、形状不变；而围出的四边形大小、形状可以发生变化。
认识三角形(2)
任意画一个锐角△ABC,请你画出BC边上的高. A
友情提示：
垂直的记号； 垂足的字母. C B D 三角形高线的说法：AD是Δ ABC的高；AD是Δ ABC中BC边 上的高；AD垂直于BC，垂足为D；∠ADB=∠ADC=90°. （1）锐角三角形有几条高？你能把它们都画出来吗？ （2）这三条高之间有怎样的位置关系？将你的结果与同伴进 行交流. （3）锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部? （4）你能用折纸的方法得到这三条高吗?
1.如图： （1）AC是哪些三角形的边? （2）若AB⊥CD，垂足为D，则CD是哪些三角形的高? （3）若E是BC中点，则AE是哪个三角形的中线?
A D B
A M B C （ 第 2题 ）
F
E C （ 第 1题 ）
2. 如图，已知BM是Δ ABC的中线，AB=5cm, BC=3cm，Δ ABM与Δ BCM周长差是多少？Δ ABM与 Δ BCM的面积有什么关系？
A
B
D E
F
C
课堂作业
1.如图（1）， （1）当 = 时， AD是△ABC的中线. （2）当 = 时，ED是△BEC的角平分线. （3）当AD⊥BC时，BD是△ 的高，又是△
A E
图（1） 图（2）
的高.
A
B
D
C
B
C
2.如图（2），在△ABC中，分别画出中线AD、角平分线BE、 高CF.
课后探究
（3）尝试：小组内分工合作，分别画出 锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 的3条角平分线. （4）三角形的3条角平分线之间有什么关 系？请将你的发现结果与同学交流.
三角形的三条角平分线都在三 角形的内部，并且交于一点.
人教版春季四年级 第八讲 三角形(二) 基础版-教培星球
第8讲三角形（二）知识点三：三角形的内角和1、三角形的内角和是180°。
四边形的内角和是360°。
一个三角形中至少有两个锐角，每个三角形都至多有一个直角；每个三角形都至多有一个钝角。
可以根据最大的角判断三角形的类型。
最大的角是哪类角，就属于那类三角形。
最大的角是直角，就是直角三角形。
最大的角是钝角，就是钝角三角形。
2、图形的拼组：（1）当两个三角形有一条边长度相等时，就可以拼成四边形。
（2）任何两个（完全一样）的三角形可以拼成一个平行四边形。
并且将不同的等边重合，还可以拼出不同形状的四边形。
（3）两个（完全一样）的直角三角形可以拼成（平行四边形）或（长方形）或（等腰三角形）。
（4）用两个相同的等腰直角三角形可以拼成一个平行四边形、一个正方形、一个大的等腰直角三角形。
（5）三个相同的三角形能拼成梯形；三个相同的等腰三角形能拼成一个等腰梯形。
（6）至少需要两个三角形，才可以拼四边形。
至少需要三个相同的三角形才可以拼梯形。
至少用（2个）直角三角形可以拼成一个长方形。
至少用（3个）等边三角形可以拼成一个等腰梯形。
至少用（2个）等边三角形可以拼成一个平行四边形。
（7）多个三角形可以拼出各种美丽的图案。
密铺：可以进行密铺的图形有长方形、正方形、三角形以及正六边形考点1：三角形的内角和【典例1】（渭滨区期末）在一个三角形中，有两个锐角，则第三个角（）A．一定是锐角B．一定是直角C．一定是钝角D．可能是锐角【典例2】（临朐县期末）一个等腰三角形中，一个底角是70°，它的顶角是（）A．70°B．40°C．70°或40°D．100°【典例3】（陕州区期末）将两个完全一样的直角三角形拼成一个大三角形，这个大三角形的内角和是（）A．90°B．180°C．270°D．360°【典例4】（湖滨区期末）如图，如果角1＝50°，角2＝25°，那么角3＝°，角4＝°．考点2：画指定要求的三角形及高【典例1】（洪山区期末）在下面的点子图上分别画一个等腰三角形、一个钝角三角形、锐角三角形．【典例2】（龙口市期中）先算一算，填一填，再分别画出三角形底边上的高。
1.2直角三角形(2)
直角三角形全等的证明 HL
学习目标（1分钟）
1.掌握判定直角三角形全等的斜边、直角边 条件； 2.能用“HL”解决实际问题；
自学指导1（1分钟，自学5分钟）
看P18 —P20的内容：思考回答 1.两边及其中一边的对角对应相等的两个 三角形全等吗? 2.如果其中一边的所对的角是直角呢? 3.直角三角形全等判定的内容？ 4. 如何证明？
B B′
C
A C′
A′
驶向胜利 的彼岸
自学指导2（1分钟）
看P21第3题内容：思考回答 1. 如何用三角尺作角平分线？ 2. 添加条件为
？
同学们自学5分钟后竞赛抢答
体验：用三角尺作角平分线
如图:在已知∠AOB的两边OA,OB上分别取点M,N,使OM=ON;
再过点M作OA的垂线,
过点N作OB的垂线,两垂线交于点P,
△ABC≌△A′B′C′ (SSS)
证明： ∵∠C=∠C′=90° 分析:
B
B′
C
A C′
A′
直角三角形全等的判定定理三种语言
定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
(简称为：斜边,直角边或“HL”).
如图,在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中, ∵AC=A′C ′, AB=A′B′(已知), ∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL).
∴∠A=∠A'(全等三角形的对应角相等)．
∠A=∠A' ，AC=A'C' ，∠ACB=∠A'C'B' ，
∴△ABC≌△A'B'C' (ASA) ．
课堂小结, 畅谈收获：
1．“HL”定理 2. 用三角尺作已知角的平分线，并说明理由． 3．总结：直角三角形全等的判定方法．
1.1认识三角形(2)
是△ABC的角平分线.已知∠BAC=82°∠C=40°，与
求∠DAE的大小。
高
解： ∵
AE是BC边上的角平分线, 且∠BAC=82°
1
∴ ∠EAC= ∠BAC=41°
2
Hale Waihona Puke ∵ AD是△ABC的高,B
A DE
线 有 关 C的
例∴ 1∠你ADC=还90°有其他解法吗?
计
算 ∵ ∠DAC+ ∠ADC+ ∠C =180° ((三根角形据三什内角么的?和)等于180°)
直角三角形的三条高
A
F
交于直角顶点。
议一议：
DB
C
钝角三角形的三条高
交于一点吗？
E
它们所在的直线交于一点吗？ O
钝 角三角形的三条高不相交于一点
钝角三角形的三条高所在直线交于一点
12
高 条数
位置
锐角三角形
3
都在三角 形内部
垂足 交点
在相应顶点的 对边上
在三角形内部
图形
A
B
C
直角三角形 3
直角边上的高分别 与另一条直角边重 合，还有一条高在 三角形内部
三角形的三条中线会交于同一 点，称之为三角形的重心．
如图，过△ABC的顶点A，
你能画它对边BC的垂线吗？
A
通过两个问题的引出，教师
引导学生回忆过一个已知点
画已知直线的垂线的方法，
B
并总结画图的规律：
D
C
一落，二靠，三画。
记垂足为D，线段AD即为：三角形的高。
在三角形中，过一个顶点作它对边的垂线段，
①是直角的顶点 ②在斜边上
在直角顶点
三角形2
一、选择题（每空？ 分，共？ 分）1、三角形的三个内角之比为1:3:5，则这个三角形是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形2、下列图案是由斜边相等的等腰直角三角形按照一定的规律拼接而成的．依此规律，第9个图案中的三角形与第一个图案中的三角形能够全等的共有（ ）个。
49 B.64 C.81． D.1003、希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如：. 他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数。
下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）（A ）289 （B ）1024 （C ）1225 （D ）13784、如图，将矩形纸片沿对角线折叠，使点落在处，交于，若，则在不添加任何辅助线的情况下，图中的角（虚线也视为角的边）有（ ）A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个 5、.如图，把一个长方形纸片沿EF 折叠后,点D 、C 分别落在D ′、C ′的位置，若∠EFB ＝65°，则∠AED ′等于 A.50°B.55°C.60°D.65°6、如图，在△ABC中，已知∠B和∠C的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E。
若BD+CE=9，则线段DE的长为( )A．9 B．8 C．7 D．67、如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于E，F两点，∠BEF的平分线交CD于点G，若∠EFG=72°，则∠EGF等于（）A．36° B．54° C．72° D．108°8、在同一平面内，有8条互不重合的直线，，若，∥，，∥……以此类推，则和的位置关系是（）A．平行 B．垂直 C．平行或垂直 D．无法确定9、一个两边平行的纸条，如下图那样折叠一下，则∠1的度数是（）A．30° B．40° C．50° D．60°10、如下图，AB∥CD，EG⊥AB，垂足为G，若∠1=58°，则∠E度数等于（）A．58° B．32° C．29° D．22°11、如图a∥b∥c，，，则的值为（）A． B． C． D．二、填空题（每空？分，共？分）12、已知一个角的补角是118°37’，那么这个角的余角是。
中考复习第一轮课件28三角形(2)
B
E ）
C
F
【思维拓展】
例1.(2007安徽).如图，D，E分别是△ABC的边BC 和AB上的点，△ABD与△ACD的周长相等，△CAE 与△CBE的周长相等。设BC=a，AC=b，AB=c。 ⑴求AE和BD的长； ⑵若∠BAC=90°，△ABC的面积为S， 求证：S=AE· BD 解⑴∵△ABD与△ACD的周长相等，BC＝a， abc AC＝b，AB＝c，∴AB＋BD=AC＋CD= 2 。 a bc abc abc c ∴BD= ；同理AE= 2 2 2 1 ⑵∵∠BAC=90°，∴ a b c ,S= 2 bc a bc abc 由⑴知 AE· BD= 2 × 2 =
【考题精析】
例2.(2007浙江杭州)一个等腰三角形的一个外角等于 110°，则这个三角形的三个角应该为（ ）。 解析：首先容易确定等腰三角形一个外角为110°的 相邻的内角为70°，其次讨论这个内角为等腰三角 形的顶角和底角两种情形：当此内角为等腰三角形 顶角时，这个三角形的三个角为： 70°,55° ,55°. 当此内角为等腰三角形底角时，这个三角形的三个 角为： 70°,70° ,40°. 点评:考察三角形的边或角时,一要注意三角形形成的 条件:任意两边之和大于第三边;二要注意等腰三角形 的顶角和底角问题.当考题指向不明时,一定要采取分 类讨论的思想,把符合条件的保留下来,不符合条件的 应坚决弃之.
△ABD和△ACE, △ABE和△ACD,
B D
图1
E
C
【考题精析】
（2）证法一：如图2，分别过点D,B作CA,DE的平 行线，两线交于F点，DF与AB交于G点． F 所以， ∠ACE=∠FDB． G 在△AEC和△FBD中 B D E 又CE=BD，可证:△AEC≌△FBD 所以，AC=FC,AE=FB． 在 △AGD中,AG+ DG>AD， 在△BFG中，BG+FG>FB， 所以，AG+DG-AD>0． BG+FG-FB>0． 所以． AG+DG+BG+FG-AD-FB>0 即．AB+FD>AD+FB 所以．AB+AC>AD+AE 其它证法略.本题综合考查了三角形中的众多的知识点.
1.2 直角三角形(2)
小结
拓展
回味无穷
• 直角三角形全等的判定定理: 定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(斜 边,直角边或HL). 公理:三边对应相等的两个三角形全等（SSS）. 公理:两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）. 公理:两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）. 推论:两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 （AAS）. • 综上所述,直角三角形全等的判定条件可归纳为: 一边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等; 两边对应相等的两个直角三角形全等;
切记!!!命题:两边及其中一边的对角对应相等
的两个三角形不一定全等.
即(SSA)是一个假冒产品!!!
独立 作业
知识的升华
P9习题1.5 1,2题.
祝你成功！
独立作业
1
习题1.5
A 1.已知:如图,D是△ABC的BC边上 的中点,DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别 为E,F,且DE=DF. 求证: △ABC是等腰三角形. F 分析:要证明△ABC是等腰三角形, D B 就需要证明AB=AC; 从而需要证明∠B=∠C; 进而需要证明∠B∠C所在的△BDF≌△CDE;
问题探讨
从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋， 横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比 门框高2尺。另一个醉汉教他沿着门的两个对角 斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了。 你知道竹竿有多长吗？
请根据这一问题列出方程。（只列不解）
设：竹竿x尺，得
x 4
2
x 2 x
2
2
回顾 & 思考
1 三角形全等的判定
公理:三边对应相等的两个三角形全等（SSS）. 公理:两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）. 公理:两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）. 推论:两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 （AAS）. 想一想: 两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等? 两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全 等. 如果其中一边的所对的角是直角呢?
全等三角形 2
2. 能够重合的两个三角形 叫做全等三角形。 全等于 3.“全等”用符号“ ≌ ”来表示，读作 “ ” 4.全等三角形的 对应边 和 对应角 分别相等 5.书写全等式时要求把对应字母放在对应的位置上 6.哪些图形的 运动可以得到全等图形？
作业:
（1）课本第4页第1及第2题
（2）完成习题上的其他题目
4.请指出下列全等三角形中相等的边和相等角
1、 △ ABE ≌ △ ACF 2、 △ BCE ≌ △ CBF
3、 △ BOF ≌ △ COE
通过这节课的学习，你有 什么收获？
Hale Waihona Puke 课 堂 小 结1.能够重合的两个图形叫做 全等形 。
对应顶点 其中：互相重合的顶点叫做＿＿＿ 对应边 互相重合的边叫做＿＿＿＿ 对应角 互相重合的角叫做＿＿＿
结论：平移,翻折,旋转前后 全等 的图形＿＿。
惠高杨庆凡制作
A
能否记作 ∆ABC≌ ∆DEF?
D
B
F
C
E
应该记作：∆ABC≌ ∆DFE 原因:A与D、B与F、C与E对应。对应 顶点要写在对应位置上。
惠高杨庆凡制作
全等三角形的对应边相等 全等三角形的对应角相等
全等三角形的周长相等； 全等三角形的面积相等。
惠高杨庆凡制作
A
D
O B A
1、若△AOC≌△BOD，对应 边是 ，对应角是 ； C
2、若△ABD≌△ACD，对应边 是 ，对应角是 ；
B 3、若△ABC≌△CDA,对应 边是 ，对应角是 ； A
D
C D
从以上你能总结出找全等三角 形的对应边,对应角的规律吗?
B
C
寻找对应元素的规律
（1）有公共边的，公共边是对应边； （2）有公共角的，公共角是对应角； （3）有对顶角的，对顶角是对应角；
初二数学—三角形 (2)
知识要点 1. 三角形的三边关系:
(1) 三角形两边的和大于第三边 (2) 三角形两边的差小于第三边
2. 判断三条已知线段a、b、c能否 组成三角形.
当a最长,且有b+c>a时,就可构成三角形.
3. 确定三角形第三边的取值范围:
两边之差<第三边<两边之和.
4. 三角形的主要线段
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，
又 C ABC BDC
D C ABC 2x0
DBC ABC ABD 2x0 x0 x0
B
C 又 C DBC BDC 1800
2x x 2x 1800
5x 1800
x 360,即 D B C 360
4∠A+∠C=300°，则△ABC是（ ）
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等边三角形 D.无法确定
解：由题意可得
2A B 60
4A C 300
A B C 180
解得A= 60° ，B= 60° ，C= 60° 则是等边三角形
20.在△ABC中，∠C比∠A+∠B 还大30°，
A
B
C
10. 三角形外角和定理
三角形的外角和等于3600
A A
B
C
B
C
11.三角形的外角与内角的关系
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.
12. 三角形的分类
(1) 按角分
锐角三角形
(2) 按边分
三角形 钝角三角形 直角三角形
三角形
不等边三角形
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课
题
第2课时 三角形的高，中线，与角平分线 年 级 四初二
授课对象
编写人
时 间
学习目标
1.认识并会画出三角形的高线，利用其解决相关问题；
2.认识并会画出三角形的中线，利用其解决相关问题；
3.认识并会画出三角形的角平分线，利用其解决相关问题；
学习重点、难点
重点: 认识三角形的高线、中线与角平分线，并会画出图形 难点: 画出三角形的高线、中线与角平分线．
教学过程
T （测试）
一、前置铺垫：
下列长度的三个线段能否组成三角形？
（1）3，6，8 （2）1，2，3 （3）6，8，2 二、新知探究：
知识点一：认识并会画三角形的高线，利用其解决相关问题 自学课本65页三角形的高并完成下列各题： 1、作出下列三角形三边上的高：
2、上面第1图中，AD 是△ABC 的边BC 上的高，则∠ADC=∠ = °
3、由作图可得出如下结论：（1）三角形的三条高线所在的直线相交于 点；（2）锐角三角形的三条高相交三角形的 ；（3）钝角三角形的三条高所在直线相交三角形的 ；（4）直角三角形的三条高相交三角形的 ；（5）交点我们叫做三角形的垂心。
4、对应练习：如图所示，画△ABC 的一边上的高，下列画法正确的是（ ）．
知识点二：认识并会画三角形的中线，利用其解决相关问题 自学课本65页三角形的中线并完成下列各题： 1、 作出下列三角形三边上的中线
A C
B A C
B A
C
B
A
2、AD 是△ABC 的边BC 上的中线，则有BD = =
2
1
， 3、由作图可得出如下结论：（1）三角形的三条中线相交于 点；（2）锐角三角形的三条中线相交三角形的 ；（3）钝角三角形的三条中线相交三角形的 ；（4）直角三角形的三条中线相交三角形的 ；（5）交点我们叫做三角形的重心。
4、对应练习：如图，D 、E 是边AC 的三等分点，图中有 个三角形，BD 是三角形 中 边上的中线，BE 是三角形 中 边________上的中线；
知识点三：认识并会画三角形的角平分线，利用其解决相关问题 自学课本66页三角形的角平分线并完成下列各题： 1、作出下列三角形三角的角平分线：
2、AD 是△ABC 的∠BAC 的角平分线，则∠BAD=∠ =
3、由作图可得出如下结论：（1）三角形的三条角平分线相交于 点；（2）锐角三角形的三条角平分线相交三角形的 ；（3）钝角三角形的三条角平分线相交三角形的 ；（4）直角三角形的三条角平分线相交三角形的 ；（5）交点我们叫做三角形的内心。
4、对应练习：如图，已知∠1=
2
1
∠BAC ，∠2 =∠3，则∠BAC 的平分线为 ，∠ABC 的平分线为 .
S （归纳）
一、前置铺垫：
下列长度的三个线段能否组成三角形？
（1）3，6，8 （2）1，2，3 （3）6，8，2 二、新知探究：
知识点一：认识并会画三角形的高线，利用其解决相关问题 自学课本65页三角形的高并完成下列各题： 1、作出下列三角形三边上的高：
2、上面第1图中，AD 是△ABC 的边BC 上的高，则∠ADC=∠ = °
3、由作图可得出如下结论：（1）三角形的三条高线所在的直线相交于 点；（2）锐角三角形的三条高相交三角形的 ；（3）钝角三角形的三条高所在直线相交三角形的 ；（4）直角三角形的三条高相交三角形的 ；（5）交点我们叫做三角形的垂心。
A C
B A
C B A C B A C
B
4、对应练习：如图所示，画△ABC 的一边上的高，下列画法正确的是（ ）．
知识点二：认识并会画三角形的中线，利用其解决相关问题 自学课本65页三角形的中线并完成下列各题： 2、 作出下列三角形三边上的中线
2、AD 是△ABC 的边BC 上的中线，则有BD = =
2
1
， 3、由作图可得出如下结论：（1）三角形的三条中线相交于 点；（2）锐角三角形的三条中线相交三角形的 ；（3）钝角三角形的三条中线相交三角形的 ；（4）直角三角形的三条中线相交三角形的 ；（5）交点我们叫做三角形的重心。
4、对应练习：如图，D 、E 是边AC 的三等分点，图中有 个三角形，BD 是三角形 中 边上的中线，BE 是三角形 中 边________上的中线；
知识点三：认识并会画三角形的角平分线，利用其解决相关问题 自学课本66页三角形的角平分线并完成下列各题： 1、作出下列三角形三角的角平分线：
2、AD 是△ABC 的∠BAC 的角平分线，则∠BAD=∠ =
3、由作图可得出如下结论：（1）三角形的三条角平分线相交于 点；（2）锐角三角形的三条角平分线相交三角形的 ；（3）钝角三角形的三条角平分线相交三角形的 ；（4）直角三角形的三条角平分线相交三角形的 ；（5）交点我们叫做三角形的内心。
4、对应练习：如图，已知∠1=
2
1
∠BAC ，∠2 =∠3，则∠BAC 的平分线为 ，∠ABC 的平分线为 .
总结：三角形的高、中线、角平分线都是一条线段。
三、达标练习：
1．课本69页第4题。
1．三角形的角平分线是（ ）．
A ．直线
B ．射线
C ．线段
D ．以上都不对
A
C B A
C
B A C
B A
C B
2．下列说法：①三角形的角平分线、中线、高线都是线段；•②直角三角形只有一条高线；③三角形的中线可能在三角形的外部；④三角形的高线都在三角形的内部，并且相交于一点，其中说法正确的有（）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3.如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，AF是△ABC的中线，写出图中所有相等的角
和相等的线段。
5．（选做）在△ABC中，AB=AC，AC边上的中线BD把三角形的周长
分为12cm和15cm两部分，求三角形各边的长．
6.（选做）课本70页第8题
四、课堂小结：本节课你学到了那些知识？
五、课后作业：
1．如图所示，已知△ABC：
（1）过A画出中线AD；（2）画出角平分线CE；（3）作AC边上的高．2．课本70页第9题
板书设计
教学反思：
E
（典
例）
P
（练
习）A
C
B D
E
F
A
B C
课后反思。