第4章5孤立奇点

9
四、极点的阶 极点的阶 −m −1 关于 ( z − z0 ) 的最高幂为 ( z − z0 ) 如果 洛朗级数中
+ c0 + c1( z − z0 ) +... + cn ( z − z0 )n +... −m [c− m +... + c−1 ( z − z0 )m −1+ c0( z − z0 )m = ( z − z0 ) + c1 ( z − z0 )m +1 +... + cn ( z − z0 )m + n +...] 其中 c− m ≠ 0, 则 z0 称为 f ( z ) 的m阶极点 中括号里的幂级数在 z0某个邻域内 收敛, 其和函数 收敛, g ( z ) 在 z0 解析, 且 g ( z0 ) = c− m ≠ 0, 解析, 综上所述 如果 z0 是 f ( z ) m阶极点, 则存在函数 g ( z ) 在 的 极点, g( z ) z0 解析, 且 g ( z0 ) ≠ 0 使 f ( z ) = 解析, ( z − z0 ) m
6
定理4.27 定理4.27
z0为 f ( z ) 的本性奇点
不存在， ⇔ lim f ( z ) 不存在，不为 ∞ . z→ z
0
例如 z = 0 是 因为 lim
e
1 x
x → 0−
e = 0, e
1 z
1 z 的本性奇点 1 x
x→0
lim +
e = +∞,
∞.
7
lim
z→ 0 →
不存在，不为 不存在，
z (1 − z )
1.
孤立奇点的分类: 孤立奇点的分类: f ( z ) 在 0 < | z − z0 | < δ 内的 洛朗级数 内的洛朗级数
没有 负幂项， z0为 f ( z ) 的可去奇点 幂项， 幂项， 有有限多个 负幂项，z0 为 f ( z ) 的极点 z 有无穷多个负幂项， 0为 f ( z ) 的本性奇点 幂项， z e − 1 = 1 + 1 z + 1 z 2 ... + z = 0是 什么奇点 可去 2! 3!
16
cos z 1 π (4) = 的奇点: 为整数) tan z sin z 的奇点: z = kπ , kπ + 2 (k 为整数) 其中: 其中: z = kπ 是它的 一阶极点
z
z→ 0 →
1 1 2 1 3 = 1 − z + z − z +... 2 4 3
ln(1 + z) lim
z
1 = lim = 1, z→ 0 → 1+ z
z = 0是 可去奇点
4
二、极点 若 f ( z ) 在 0 < | z − z0 | < δ 内 的洛朗级数 例如 有有限多个 负幂项， z0为 f ( z ) 的极点 幂项， 则
.
定理4.26 定理4.26
z0
为
f ( z )的极点 ⇔lim f ( z ) = ∞
z → z0
5
三、本性奇点 若 f ( z ) 在 0 < | z − z0 | < δ 内 的洛朗级数 本性奇点 奇点。 有无穷多个 负幂项， z0为 f ( z ) 的本性奇点。 幂项， 则 例如
1 z−a
e
z
不 不存在， 为 存在， e −1 所以 z = 1 是它的 本性奇点. 1 本性奇点 奇点.
z
e
1 1− z
∞
1− z
所以 z = i 2kπ 是它的 极点 一阶极点 一阶极点
12
g 阶数的运算设 z0为 f ( z ) 的m阶零点、( z ) 的n阶零点
零点, 则z0 为 f ( z ) ⋅ g ( z ) 的m+n阶零点, f (z) m > n, z 0 为 的(m-n)阶零点, 零点,
e
| z |< ∞
2
例如
sinz
z
1 2 1 4 =1− z + z 3! 5!
+...
z = 0是 什么奇点 可去奇点
sinz
z
1 1 1 2 = 2 − + z +... 3 z 3! 5!
z = 0是 什么奇点 极点
1 −1 1 −3 1 −5 sin = z − 3! z + 5! z +L z
0 0
13
例1
( z − 1) ( z − 2) 函数 f ( z ) = 有什么类型的奇点？ 有什么类型的奇点？ 3 (sin π z )
2 3
如果是极点, 指出它的阶. 如果是极点, 指出它的阶.
f ( z ) 的所有奇点为 3 z = 0, ±1, ±2, ±3, ±4,... 是 (sin π z ) 的三阶零点 其中 z = ±1 是 z 2 − 1 的一阶零点
1 证明 lim z sin z→ 0 → z
2
不存在，不为 ∞ 存在，
动点 z 沿实轴 趋于
证
当 z =x 时
2
1 1 2 z sin = x sin x z 1 当 z= 时 动点 z 沿正虚轴 趋于 0 iy − y y → +∞ y 1 1 e −e z 2 sin = 2 sin iy = z ( iy ) −i2 y2 1 2 结论正确 z = 0 是 z sin
即 f ( z ) = c− m ( z − z0 )− m +... + c−1 ( z − z0 )
−1
定理
z0是 f ( z ) 的m阶极点
g( z ) 且 g ( z0 ) ≠ 0 使 f ( z ) = ( z − z0 ) m 推论 如果函数 g ( z ) 在 z0 解析, 且 g ( z0 ) ≠ 0 解析, g( z ) 则z0是 ( z − z )m 的m阶极点 0 z−2 五阶极点 例如 ( z − 1)5 有五阶极点 z = 1 z−2 三阶极点 z = 4 一阶极点 2 3 有一阶极点 z = ± i , 三阶极点 ( z + 1) ( z − 4) z−2 四阶极点 二阶极点 有二阶极点 z = 0, 四阶极点 z = ± i 2 2 4 z ( z + 1) 1 1 二阶极点 有二阶极点 z = 1 = 2 3 2 一阶极点 11 z − z − z +1 ( z − 1) ( z + 1) 一阶极点z = −1
15
4 五 z 2 sin z 的 三阶零点
例2 下列函数 有什么奇点？ 有什么奇点？ 如果是极点, 指出它的阶. 如果是极点, 指出它的阶.
z (1) (1 + z 2 ) (1 + e π z ) 2 1 + z = 0 ⇒ z = ±i πz 1 + e = 0 ⇒ z = ± i , ±3i , ±5i , ±7 i ,... 原函数 的奇点 z = ± i , ±3i , ±5i , ±7 i ,...
1 的孤立奇点: 的孤立奇点: z = 0, z = 1 当 0 < | z | < 1 时 2 z (1 − z )
1 1 1 = 2⋅ = 2 (1 + z + z 2 + z 3 + ... + z n +...) z 1− z z −1 −2 + z + ... + z n +... = z + z +1 1 lim =∞ 是它的 极点 z=0 z→ 0 → z 2 (1 − z )
−π 0 π 1
i 4π i 2π
0 − i 2π − i 4π
1 为整数) 奇点: 的孤立奇点: kπ (k 为整数) sin z 1 0, ±1, ±2, ±3,... 3 的孤立奇点为 (sin π z ) 1 为整数) 奇点: 的孤立奇点: i 2kπ (k 为整数) z e −1 1 由 e z − 1 = 0 得 z = Ln1 = i 2kπ
⇔ 存在函数 g( z ) 在 z
0
解析, 解析,
87页10 87页 (12) 解
e −1
z
e
1 1− z
有什么孤立奇点？ 有什么孤立奇点？ 如果是极点, 指出它的阶. 如果是极点, 指出它的阶.
孤立奇点为 z = 1, z = i 2kπ
z→1 →
因为 lim
因为 lim
z → i 2 kπ
=∞ e −1
是( z − 2)3的三阶零点 z=2 所以 z = ±1 是 f ( z ) 的二阶极点 可去奇点 z = 2 是 f ( z ) 的可去奇点 z = 0, −2, ±3, ±4, ±5,... 是 f ( z ) 的三阶极点
14
解
1 − ez 的 ( A) 选择题 1. z = 0 是函数 f ( z ) = 2 z sin z
§5 孤立奇点 孤立奇点
若 f ( z ) 在 z0 处不解析, 但是在 z0 解析, 解析, 的一个去心邻域 0 < | z − z0 | < δ 内解析, 则 z0 称为 f ( z ) 的孤立 奇点. 若 初等函数 f ( z ) 奇点. 无定义， 内解析， 在 z0 处无定义， 但在 0 < | z − z0 | < δ 内解析， ， 内有定义， 内有定义 孤立奇点 则 z0 为 f ( z ) 的孤立奇点 δ 1 奇点: 的孤立奇点: 0, 例如 2 z0
e
z = a 是它的 本性奇点. 本性奇点 奇点.
1 −2 = 1 +( z − a) + (z − a) 2!
−1
+ ...
1 1 1 −3 −1 sin + ( z − a)−5 + ... = ( z − a) − ( z − a ) 5! 3! z−a
z = a 是它的本性奇点. 本性奇点 奇点.
没有 负幂项，则 z0为 f ( z ) 的可去奇点。 奇点。 幂项，
例如
可去奇点 存在。 定理4.24 定理4.24 z0 为 f ( z ) 的可去奇点 ⇔ lim f ( z ) 存在。 z→ z
e − 1= lim lim
z
z→ 0 →
0
z
e =1 z→ 0 →
z
z = 0是 可去奇点
ln(1 + z)
1 1 −2 −1 z = 1+z + z + ... 2! 1 2 1 3 1 4 z e = 1+ z + z + z + z +... 2! 3! 4!
e 2 z
z z
1 1 1 1 2 = 2 + + + z +... z z 2! 4!
z = 0是 什么奇点 极点
z = 0是 本性奇点 什么奇点
其中 z = ± i 是它的 二阶极点
z = ±3i , ±5i , ±7 i ,... 是它的 一阶极点
1 的奇点 z = 0, ±2π i , ±4π i , ±6π i ,... (2) 2 z z ( e − 1)
z = 0 是它的 三阶极点 z = ±2π i , ±4π i , ±6π i ,... 是它的 一阶极点
g( z ) f (z) m = n, z 0 为 可去奇点 奇点, 的可去奇点, g( z ) f (z) m < n, z0 为 极点, 的(n- m)阶 极点, g( z ) n sinzz )m⋅ϕ 1 ( z ) g 是 = ( − z0 极点。 ) ⋅ϕ 2 。 f ( z ) = ( z − 0 的奇点 z = 0 ( z )它的z二阶极点( z ) 例如 ?阶极点, 极点, 3 z ϕ 1 ( z ), ϕ 2 ( z ) 在 z0 处解析,ϕ 1 ( z0 ) ≠ 0, ϕ 2 ( z0 ) ≠ 0 处解析, ( z − z0 )m ⋅ϕ 1 ( z ) (ϕ 1− zϕ 1)( z−) ⋅ϕ 1 ( z ) ( z) m n z 0 f (z) == = n ⋅ϕ 2 ( z ) (ϕ 2 (ϕ ) )n−)m⋅ϕ 2 ( z ) z − z2(z (z − z ) g( z )
→0
x →0
0
→∞
8
1 本性奇点 的孤立奇点为 z = 1 为本性奇点 87页10 (6) sin 87页 1− z
(9) (7)
e = e ⋅e
−1
z 1− z
1 1− z
本性奇点 奇点. z = 1 是它的 本性奇点.
e
z−
1 z
本性奇点 奇点. 的孤立奇点: z = 0 是它的 本性奇点. 孤立奇点 奇点:
A C
二阶极点 本性奇点 本性奇点
B D
可去奇点 可去奇点 非孤立奇点
1− e 2. z = 0是函数 f ( z ) = z 4 sin z 的 ( D )
z2
A C
本性奇点 本性奇点 四阶极点
zz2
B D
可去奇点 可去奇点 三阶极点
因为 z = 0 是 1 − e 1− e
一阶零点 的 二阶零点
2
本性奇点 z = 0 是 什么奇点
1 −1 1 −3 1 z sin = z − z + z +L z = 0 是 什么奇点 本性 5! 3! z 1 3 1 5 1 7 sinz = z − z + z − z +... | z |< ∞ 3 3! 5! 7!
一、可去奇点 若 f ( z ) 在 0 < | z − z0 | < δ 内 的洛朗级数 可去奇点