考研定积分详解

13
例3. 求
(1998考研)
解: 将数列适当放大和缩小,以简化成积分和形式
n n kπ 1 sin n 1 k 1 n n
n
sin knπ 1 k 1 n k
n
kπ 1 sin n n k 1
n lim 1 n n 1
n
已知
1 kπ 1 2 lim sin sinπ x d x , 0 n n n π k 1
n

b
a
f ( x )dx .
T2 T1
变速直线运动的路程
s lim v ( i )t i v ( t )dt .
0 i 1
4
n
2.存在定理
定理的证明省略,只要求记住结论.
定理1. 设函数f ( x )在[a, b]上连续
f ( x )在区间[a, b]上可积.
定理2. 设函数f ( x )在[a, b]上有界, 且只有有限个间断点

b
a
f ( x )dx f ( t )dt f ( u)du
a
b
b
a
(4)当 f ( x)在区间[a, b]上的定积分存在时,称f ( x)在[a, b]上可积.
否则称 f ( x)在区间[a, b]上不可积. (5) 曲边梯形面积 A lim f ( i )xi
0 i 1
定理： f ( x ) C[0,1] 或者

1 n i 1 lim f ( ) n n n i 1
f ( x )dx
0
p p
1 n i lim f ( ) n n n i 1
1

p
1
0
f ( x )dx
1 2 n 例1. 用定积分表示极限: lim n n p 1 p p p n 1 1 2 n i p 解: lim lim p 1 n n n n n i 1

1 0
x dx
12
p
例2. 用定积分表示极限:
n 1 i i 1 解: 原式 lim sin(π ) lim sin(π ) n n n n i 1 n n i 1
n 1

1 0
sinπ x d x
o
1 n
2 n
n 1 n
1
x
1 n 1 iπ π 1 1 n n i i π 1π 1 π ( sin ) f sin 另解 : 原式 lim f sin x d x lim ( x )d x f ( xlim ) C [0,1] 定理： n π n n n in n 0n π 0 n i 1 1 i 1 n 1 1 n i 1 f ( x )d x f( ) 或者 lim π ( n1) π π x n n o n 2π 0 i 1 n n n
一个确定的 常数
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一个确定的 常数
无数个函 数
一个函数

b
a
f ( x )dx与 f ( x )dx； f ( x )dx , a f ( x )dx的联系：
a
b
x


a
f ( x )dx f ( x )dx a
b
d b f ( x )dx 0 dx a
d f ( x )dx f ( x ) dx
d x f ( x )dx f ( x ) dx a


b a
f ( x )dx f ( x )dx C
a
x
f ( x )dx f ( x )dx a a
x
a
b

f ( x )dx lim
曲边梯形的面积;
2) 当f ( x ) 0时， f ( x )dx A 曲边梯形面积的负值;
y
y f ( x)
A
o a
y a o b x
b
A y f ( x)
y
y f ( x)
x
a
A1
O
A3
A2
b
x
3)当f ( x )在[a, b]上有正有负时,
面积的代数和.
b

b
a
f ( x )dx 表示各部分
x

x
x a
f (t )dt

b
a
f ( x )dx lim f (t )dt
x b a
(b瑕点)
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二、与概念有关的问题
☆定积分定义
O

i 1 n
b a
f ( x )dx lim f ( i )x i
0
i 1
n
ab
i n
1
x
1 i xi , 取 i . n n







2
e dx b xdx
使

2
a
e dx xdx b) f ( x )dx f ( )(b a ). (a
0 0
8
说明:

b
a
f ( x )dx f ( )( b a )
• 积分中值定理对
• 可把

b a
f ( x )d x
F ( 3)
3 0
f ( t )dt

0
3
1 3 f ( t )dt ( ) 8 2 8
F (3) F (3) ！
F (2) F ( 2)？
16
d x 2 2 A tf ( x t ) d t ____ . f ( x ) 连续，则 例5. 设 0 dx ( A) xf ( x 2 ); ( B) xf ( x 2 ); (C )2 xf ( x 2 ); ( D) 2 xf ( x 2 ).
解: 令x t u, tdt du,
2 2
1
2

x
0
tf ( x 2 t 2 )dt
0 x2
1 1 x f ( u) ( )du 0 f ( u)du, 2 2
2
x2 d x d 1 2 2 故 tf ( x t )dt f ( u)du dx 0 dx 2 0 1 f ( x 2 ) 2 x xf ( x 2 ). 2 d x 100 100 sin ( x t ) d t ________ sin x 练习： 求 0 dx
第五章
一、基本内容
定 积 分
二、与概念有关的问题 三、定积分的计算方法 四、典型例题与解答
1
一、基本内容
1.定积分的定义:
a x0 x1 x2 xn b ,
f (
i 1
n
i
) x i 总趋于确定的极限 I , 则称此极限 I 为函数
上的定积分简称:积分, 记作： f ( x )d x
面积取正号；在x轴下方的面积取负号.
y
y f ( x)
a
A1
A3 A2 O A4
2 3 4 5
A5 b x

b
a
f ( x )dx A1
A A A A
4
? f ( x ) dx 思考： (1) A1 A2 A3 A4 A5 a 2 a a ? . (2) a 2 x 2 dx
0 x
3 F (3) F ( 3) 8
F (2) F ( 2)

2
15
F ( x ) f ( t )dt
0
x
F (2) f ( t )dt 0 2
2
F (3)，F (2)，F ( 3)，F ( 2) ？ 3 1 3 F (3) f (t )dt 0 2 8 8
0
i 1
n
被 积 函 数
被 积 表 达 式
积 分 变 量
积 分 和
注意： (1)
பைடு நூலகம்

b
a
定与不定的区别？ f ( x )dx与 f ( x )dx的区别：

b
a
f ( x )dx是一个确定的常数.
f ( x )dx是f ( x )的所有原函数.
3
与 i 的取法无关. (2)定积分与区间的分割方法无关， 而与积分变量 (3)积分值仅与被积函数及积分区间有关， 使用什么字母表示无关.即
f ( x )在区间[a, b]上可积.
定理3. 设函数f ( x )在[a, b]上只有有限个第一类间断点,
f ( x )在区间[a, b]上可积.
故改变积分区间内有限个点处的函数值,不影响积分值.
5
3.定积分的几何意义
1) 当f ( x ) 0时， f ( x)dx A
a b a
b
2 利用夹逼准则可知 I . π
n n 1 1 1 1 k 1 n 1 k 1 n k k 1 n
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n
例4. 如图连续函数 y f ( x )在区间[3, 2],[2, 3]上的图像 ,在区间 [2, 0],[0, 2]上的 分别是直径为1 的上、下半圆周 1 则下列结论正确的是（C ） 5 3 B. F (3) F (2) A. F (3) F ( 2) 4 4 5 3 D. F ( 3) F ( 2) C. F ( 3) F (2) 4 4 图形分别是直径为 2 的下、上半圆周,设F ( x ) f (t )dt

a a
b
b
b
a b
a
a
c
b

b
a
a
c
a
dx b a .
b b
2 4 4 2 max 4 (5)年数 (估值定理 ) I= M x xdx f ( x ), m min f ( x ) , (11 1, 2, 3) 设 ln sin , J = ln cot x d x , K = ln cos xdx, 例. 比较积分值0 e [d x x d x [ a , b ] a,b ] 和 的大小 . 0 0 b 0 0 m (b a ) f ( x )dx) M (b a ). (a b) 则I , J则 ,K 的大小关系为 B x a [ 2, 0] 解: e x , x ( A) I J K , ( B) I K J , (C ) J I K , ( D ) K J I . 2 2 (6) 定积分中值公式 0 0 则至少存在一点 x x
a b
即

b
a
f ( i ) x i f ( x )d x lim 0
i 1
n
o a x1
i xi 1 xi b x
2
此时称 f ( x ) 在 [ a , b ] 上可积 .
积分上限
[a , b] 称为积分区间

积分下限
b a
f ( x )d x lim f ( i ) x i
a
x
6.以下几个符号的区别与联系


b
f ( x )dx


b a
f ( x )dx

x
x a
f ( x )dx


a
f ( x )dx
1)以上几个符号存在的条件及概念.
2)在存在的情况下,它们的区别与联系.
a
f ( x )dx与
f ( x )dx;

a
f ( x )dx ,
a
f ( x )dx 的区别：
17
例6. 设
解法1:
f (x )
3
1 f (e ) 3
解法2: 对已知等式两边求导, 得
f (e ) f ( u) d u f (1)
1
e

e 1
f ( u)d u f (e ) f (1)
n
b f ( x )d x lim f ( ) x i i f ( x )d x A2 A 即 a 0 A 1 3 i 1 a

6

b
a
f ( x )dx 的几何意义： 它是介于x轴,函数f ( x )的图形及两条
直线x a, x b 之间的各部分面积的代数和. 且x轴上方的
0
7
b
4.定积分的性质 (性质中涉及到的定积分均存在) (1) 线性性： [k1 f ( x) k2g( x)]dx k1 f ( x)dx k2 g( x )dx
(2) 可加性： f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx (3) (4) 若 f ( x ) g( x ), 则 f ( x )dx g( x )dx . (a b)
ba 理解为 f ( x ) 在[a, b]上的平均值 .
f ( )
因
故它是有限个数的平均值概念的推广.
1 n lim f ( i ) n n i 1
9
5.积分上限函数
( x ) f ( t )dt
a
x
认识它吗？
( x ) [ f ( t )dt ] f ( x )