高中数学 第一章导数及其应用1.3.1导数在研究函数中的应用第1课时函数的单调性学案新人教A版选修2_2
高中数学 第一章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中
1．3.1 函数的单调性与导数(一)学习目标 1.理解导数与函数的单调性的关系.2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间．知识点一函数的单调性与导函数的关系思考观察图中函数f(x)，填写下表．梳理一般地，设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，则在区间(a，b)内，(1)如果f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)如果f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减．知识点二利用导数判断函数的单调性的一般步骤(1)确定函数y＝f(x)的定义域；(2)求导数y′＝f′(x)；(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为增区间；(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为减区间．1．函数f(x)在定义域上都有f′(x)<0，则函数f(x)在定义域上单调递减．( ×) 2．函数f(x)在某区间内单调递增，则一定有f′(x)>0.( ×)类型一函数图象与导数图象的应用例1 已知函数y＝f(x)的定义域为[－1,5]，部分对应值如下表．f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示.给出下列关于函数f(x)的说法：①函数y＝f(x)是周期函数；②函数f(x)在[0,2]上是减函数；③如果当x∈[－1，t]时，f(x)的最大值是2，那么t的最大值为4；④当1<a<2时，函数y＝f(x)－a有4个零点．其中正确说法的个数是( )A．4 B．3C．2 D．1考点函数的单调性与导数的关系题点根据导函数的图象确定原函数图象答案 D解析依题意得，函数f(x)不可能是周期函数，因此①不正确；当x∈(0,2)时，f′(x)<0，因此函数f(x)在[0,2]上是减函数，②正确；当x∈[－1，t]时，若f(x)的最大值是2，则结合函数f(x)的可能图象分析可知，此时t的最大值是5，因此③不正确；注意到f(2)的值不明确，结合函数f(x)的可能图象分析可知，将函数f(x)的图象向下平移a(1<a<2)个单位长度后相应曲线与x轴的交点个数不确定，因此④不正确．故选D.反思与感悟(1)函数的单调性与其导函数的正负的关系：在某个区间(a，b)内，若f′(x)>0，则y＝f(x)在(a，b)上单调递增；如果f′(x)<0，则y＝f(x)在这个区间上单调递减；若恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)是常数函数，不具有单调性．(2)函数图象变化得越快，f′(x)的绝对值越大，不是f′(x)的值越大．跟踪训练1 已知y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，则所给四个图象中，y＝f(x)的图象大致是( )考点 函数的单调性与导数的关系 题点 根据导函数图象确定原函数图象 答案 C解析 当0<x <1时，xf ′(x )<0，∴f ′(x )<0，故f (x )在(0,1)上为减函数； 当x >1时，xf ′(x )>0，∴f ′(x )>0， 故y ＝f (x )在(1，＋∞)上为增函数． 故选C.类型二 利用导数求函数的单调区间 命题角度1 不含参数的函数求单调区间 例2 求下列函数的单调区间． (1)y ＝12x 2－ln x ；(2)y ＝x ＋bx(b >0)．考点 利用导数求函数的单调区间 题点 利用导数求不含参数函数的单调区间 解 (1)函数y ＝12x 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)，又y ′＝(x ＋1)(x －1)x.若y ′>0，即⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)(x －1)>0，x >0，解得x >1；若y ′<0，即⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)(x －1)<0，x >0，解得0<x <1.故函数y ＝12x 2－ln x 的单调递增区间为(1，＋∞)；单调递减区间为(0,1)．(2)函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b x ′＝1－b x 2， 令f ′(x )>0，则1x2(x ＋b )(x －b )>0，所以x >b 或x <－b .所以函数的单调递增区间为(－∞，－b )，(b ，＋∞)． 令f ′(x )<0，则1x2(x ＋b )(x －b )<0，所以－b <x <b 且x ≠0.所以函数的单调递减区间为(－b ，0)，(0，b )． 反思与感悟 求函数y ＝f (x )的单调区间的步骤 (1)确定函数y ＝f (x )的定义域． (2)求导数y ′＝f ′(x )．(3)解不等式f ′(x )>0，函数在解集所表示的定义域内为增函数． (4)解不等式f ′(x )<0，函数在解集所表示的定义域内为减函数．跟踪训练2 函数f (x )＝(x 2＋2x )e x(x ∈R )的单调递减区间为____________． 考点 利用导数求函数的单调区间 题点 利用导数求不含参数函数的单调区间 答案 (－2－2，－2＋2) 解析 由f ′(x )＝(x 2＋4x ＋2)e x<0， 即x 2＋4x ＋2<0，解得－2－2<x <－2＋ 2.所以f (x )＝(x 2＋2x )e x的单调递减区间为(－2－2，－2＋2)． 命题角度2 含参数的函数求单调区间例3 讨论函数f (x )＝12ax 2＋x －(a ＋1)ln x (a ≥0)的单调性．考点 利用导数求函数的单调区间题点 利用导数求含参数函数的单调区间 解 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ax ＋1－a ＋1x ＝ax 2＋x －(a ＋1)x.(1)当a ＝0时，f ′(x )＝x －1x， 由f ′(x )>0，得x >1，由f ′(x )<0，得0<x <1. ∴f (x )在(0,1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数．(2)当a >0时，f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a ＋1a (x －1)x，∵a >0，∴a ＋1a>0. 由f ′(x )>0，得x >1，由f ′(x )<0，得0<x <1. ∴f (x )在(0,1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数．综上所述，当a ≥0时，f (x )在(0,1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数． 反思与感悟 (1)讨论参数要全面，做到不重不漏．(2)解不等式时若涉及分式不等式要注意结合定义域化简，也可转化为二次不等式求解． 跟踪训练3 设函数f (x )＝e x－ax －2，求f (x )的单调区间． 考点 利用导数求函数的单调区间 题点 利用导数求含参数函数的单调区间解 f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝e x－a . 若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增． 若a >0，则当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0； 当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增． 综上所述，当a ≤0时，函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；当a >0时，f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增.1．函数f (x )＝x ＋ln x ( ) A ．在(0,6)上是增函数 B ．在(0,6)上是减函数C ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上是减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，6上是增函数D ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，6上是减函数 考点 函数的单调性与导数的关系题点 利用导数值的正负号判定函数的单调性 答案 A2．若函数f (x )的图象如图所示，则导函数f ′(x )的图象可能为( )考点 函数的单调性与导数的关系 题点 根据原函数图象确定导函数图象 答案 C解析 由f (x )的图象可知，函数f (x )的单调递增区间为(1,4)，单调递减区间为(－∞，1)和(4，＋∞)，因此，当x ∈(1,4)时，f ′(x )>0，当x ∈(－∞，1)或x ∈(4，＋∞)时，f ′(x )<0，结合选项知选C.3．函数f (x )＝3＋x ·ln x 的单调递增区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e B ．(e ，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e考点 利用导数求函数的单调区间题点 利用导数求不含参数函数的单调区间 答案 C解析 f ′(x )＝ln x ＋1，令f ′(x )>0， 即ln x ＋1>0，得x >1e.故函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞. 4．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调递减区间为[－1,2]，则b ＝________，c ＝________. 考点 利用导数求函数的单调区间 题点 已知单调区间求参数值 答案 －32－6解析 f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，由题意知，f ′(x )＝0即3x 2＋2bx ＋c ＝0的两根为－1和2. 由⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2＝－2b3，－1×2＝c3，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－32，c ＝－6.5．试求函数f (x )＝kx －ln x 的单调区间． 考点 利用导数求函数的单调区间 题点 利用导数求含参数函数的单调区间 解 函数f (x )＝kx －ln x 的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝k －1x ＝kx －1x.当k ≤0时，kx －1<0，∴f ′(x )<0， 则f (x )在(0，＋∞)上单调递减． 当k >0时，由f ′(x )<0，即kx －1x<0， 解得0<x <1k；由f ′(x )>0，即kx －1x >0，解得x >1k. ∴当k >0时，f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，1k ，单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1k，＋∞.综上所述，当k ≤0时，f (x )的单调递减区间为(0，＋∞)；当k >0时，f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，1k ，单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ，＋∞.1．导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度．2．利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0；(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间.一、选择题1．如图是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，则下列判断正确的是( )A．在区间(－2,1)上，f(x)是增函数B．在(1,3)上，f(x)是减函数C．在(4,5)上，f(x)是增函数D．在(－3，－2)上，f(x)是增函数考点函数的单调性与导数的关系题点利用导数值的正负号判定函数的单调性答案 C解析由图知当x∈(4,5)时，f′(x)>0，所以在(4,5)上，f(x)是增函数．2．函数y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能是( )考点函数的单调性与导数的关系题点根据原函数图象确定导函数图象答案 D解析∵函数f(x)在(0，＋∞)，(－∞，0)上都是减函数，∴当x>0时，f′(x)<0，当x<0时，f′(x)<0，故选D.3．已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)的图象只可能是所给选项中的( )考点函数的单调性与导数的关系题点根据导函数的图象确定原函数的图象答案 C解析∵导数的正负确定了函数的单调性，∴从函数f′(x)的图象可知，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝a(a>0)，∴函数在(－∞，0)上单调递减，在(0，a)上单调递增，在(a，＋∞)上单调递减，故选C. 4．函数f(x)＝x e－x的一个单调递增区间是( )A．[－1,0] B．[2,8]C．[1,2] D．[0,2]考点利用导数求函数的单调区间题点 利用导数求不含参数的函数的单调区间 答案 A解析 因为f ′(x )＝e x －x e x(e x )2＝(1－x )·e －x>0，又因为e －x>0，所以x <1.5．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝x e xC ．y ＝x 3－xD ．y ＝ln x －x考点 函数的单调性与导数的关系题点 利用导数值的正负号判定函数的单调性 答案 B解析 B 项中，y ＝x e x，y ′＝e x＋x e x＝e x(1＋x )， 当x ∈(0，＋∞)时，y ′>0， ∴y ＝x e x在(0，＋∞)内为增函数．6.函数f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，若△ABC 为锐角三角形，则下列不等式一定成立的是( )A ．f (cos A )<f (cosB ) B ．f (sin A )<f (cos B )C ．f (sin A )>f (sin B )D ．f (sin A )>f (cos B )考点 利用导数研究函数的单调性 题点 比较函数值的大小 答案 D解析 根据图象知，当0<x <1时，f ′(x )>0， ∴f (x )在区间(0,1)上是增函数．∵△ABC 为锐角三角形，∴A ，B 都是锐角且A ＋B >π2，则0<π2－B <A <π2，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－B <sin A ，∴0<cos B <sin A <1，∴f (sin A )>f (cos B )．7．定义在R 上的函数f (x )，若(x －1)·f ′(x )<0，则下列各项正确的是( )A ．f (0)＋f (2)>2f (1)B ．f (0)＋f (2)＝2f (1)C ．f (0)＋f (2)<2f (1)D ．f (0)＋f (2)与2f (1)大小不定 考点 利用导数研究函数的单调性 题点 比较函数值的大小 答案 C解析 ∵(x －1)f ′(x )<0，∴当x >1时，f ′(x )<0，x <1时，f ′(x )>0，则f (x )在(1，＋∞)上单调递减，在(－∞，1)上单调递增， ∴f (0)<f (1)，f (2)<f (1)， 则f (0)＋f (2)<2f (1)． 二、填空题8．若函数f (x )的导函数为f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则函数f (x ＋1)的单调递减区间是________． 考点 利用导数求函数的单调区间题点 利用导数求不含参数的函数的单调区间 答案 (0,2)解析 由f ′(x )＝x 2－4x ＋3，f ′(x ＋1)＝(x ＋1)2－4(x ＋1)＋3＝x 2－2x ，令f ′(x ＋1)<0，解得0<x <2， 所以f (x ＋1)的单调递减区间是(0,2)．9.在R 上可导的函数f (x )的图象如图所示，则关于x 的不等式xf ′(x )<0的解集为________．考点 函数的单调性与导数的关系 题点 利用单调性确定导数值的正负号 答案 (－∞，－1)∪(0,1) 解析 由xf ′(x )<0可得，⎩⎪⎨⎪⎧x >0，f ′(x )<0或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，f ′(x )>0，由题图可知当－1<x <1时，f ′(x )<0， 当x <－1或x >1时，f ′(x )>0， 则⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－1<x <1或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，x <－1或x >1，解得0<x <1或x <－1，∴xf ′(x )<0的解集为(0,1)∪(－∞，－1)． 10．已知函数f (x )＝k ex －1－x ＋12x 2(k 为常数)，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线与x 轴平行，则f (x )的单调递增区间为____________． 考点 利用导数求函数的单调区间 题点 利用导数求含参数的函数的单调区间 答案 (0，＋∞) 解析 f ′(x )＝k ex －1－1＋x ，∵曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线与x 轴平行， ∴f ′(0)＝k ·e －1－1＝0，解得k ＝e ， 故f ′(x )＝e x＋x －1. 令f ′(x )>0，解得x >0，故f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．11．已知函数f (x )＝2x 3＋ax 2＋1(a 为常数)在区间(－∞，0)，(2，＋∞)上单调递增，且在区间(0,2)上单调递减，则a 的值为________． 考点 利用导数求函数的单调区间 题点 已知单调区间求参数值 答案 －6解析 由题意得f ′(x )＝6x 2＋2ax ＝0的两根为0和2，可得a ＝－6.12．定义在R 上的函数f (x )满足f (1)＝1，f ′(x )<2，则满足f (x )>2x －1的x 的取值范围是________．考点 利用导数研究函数的单调性 题点 构造法的应用 答案 (－∞，1)解析 令g (x )＝f (x )－2x ＋1， 则g ′(x )＝f ′(x )－2<0， 又g (1)＝f (1)－2×1＋1＝0，当g (x )>g (1)＝0时，x <1，∴f (x )－2x ＋1>0， 即f (x )>2x －1的解集为(－∞，1)． 三、解答题13．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象经过点P (0,2)，且在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0. (1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)求函数y ＝f (x )的单调区间． 考点 利用导数求函数的单调区间题点 利用导数求不含参数的函数的单调区间 解 (1)由y ＝f (x )的图象经过点P (0,2)，知d ＝2， ∴f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋2，f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c . 由在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0， 知－6－f (－1)＋7＝0，即f (－1)＝1.又f ′(－1)＝6，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2b ＋c ＝6，－1＋b －c ＋2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧2b －c ＝－3，b －c ＝0，解得b ＝c ＝－3，故所求函数解析式是f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2. (2)f ′(x )＝3x 2－6x －3.令f ′(x )>0，得x <1－2或x >1＋2； 令f ′(x )<0，得1－2<x <1＋ 2.故f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2的单调递增区间为(－∞，1－2)，(1＋2，＋∞)，单调递减区间为(1－2，1＋2)． 四、探究与拓展14．已知函数f (x )＝x 2＋2cos x ，若f ′(x )是f (x )的导函数，则函数f ′(x )的大致图象是( )考点 函数的单调性与导数的关系 题点 根据导数确定函数的图象 答案 A解析 设g (x )＝f ′(x )＝2x －2sin x ， 则g ′(x )＝2－2cos x ≥0，所以函数g (x )＝f ′(x )在R 上单调递增，故选A.15．已知函数f (x )＝x －2x＋a (2－ln x )，a >0，试讨论f (x )的单调性．考点 利用导函数求函数的单调区间 题点 利用导数求含参数的函数的单调区间 解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1＋2x 2－a x ＝x 2－ax ＋2x 2.令g (x )＝x 2－ax ＋2，其判别式Δ＝a 2－8.(1)当Δ<0，即0<a <22时，对一切x >0，都有f ′(x )>0，此时f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数；(2)当Δ＝0，即a ＝22时，当且仅当x ＝2时，有f ′(x )＝0，对定义域内其余的x 都有f ′(x )>0，此时f (x )也是(0，＋∞)上的单调递增函数；(3)当Δ>0，即a >22时，方程g (x )＝0有两个不同的实根：x 1＝a －a 2－82，x 2＝a ＋a 2－82，0<x 1<x 2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↗↘↗即f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－82和⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－82，＋∞上单调递增；在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－82，a ＋a 2－82上单调递减.。
高中数学 第一章 导数及其应用 1_3 导数在研究函数中的应用(第1课时)课堂探究 新人教A版
高中数学 第一章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的应用（第1课时）课堂探究 新人教A 版选修2-2探究一 求函数的单调区间 求可导函数单调区间的步骤：(1)利用导数求函数f (x )的单调区间，实质上是转化为解不等式f ′(x )＞0或f ′(x )＜0，不等式的解集就是函数的单调区间．(2)利用导数求单调区间时，要特别注意不能忽视函数的定义域，在解不等式f ′(x )＞0[或f ′(x )＜0]时，要在函数定义域的前提之下求解．(3)如果函数的单调区间不止一个时，要用“和”“及”等连接，而不能写成两个区间并集的形式．【典型例题1】求下列函数的单调区间： (1)y ＝12x 2－ln x ；(2)y ＝x 3－2x 2＋x ；(3)y ＝12x ＋sin x ，x ∈(0，π)．思路分析：先求函数的定义域，再求f ′(x )，解不等式f ′(x )＞0或f ′(x )＜0，从而得单调区间．解：(1)∵函数的定义域为(0，＋∞)， 又∵y ＝12x 2－ln x ，∴y ′＝x －1x ＝x 2－1x.①令y ′＞0，即x 2－1x＞0，∵x ＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1>0，x >0，∴x ＞1.②令y ′＜0，即x 2－1x＜0，∵x ＞0，∴x 2－1＜0，∴0＜x ＜1.∴函数y ＝f (x )的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0,1)． (2)∵y ＝x 3－2x 2＋x ，∴定义域为R ，y ′＝3x 2－4x ＋1. ①令3x 2－4x ＋1＞0，得x ＞1或x ＜13.②令3x 2－4x ＋1＜0，得13＜x ＜1.∴函数y ＝x 3－2x 2＋x 的增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13和(1，＋∞)，减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1.(3)∵y ＝12x ＋sin x ，∴y ′＝12＋cos x ，①令y ′＞0，得cos x ＞－12.又∵x ∈(0，π)，∴0＜x ＜2π3. ②令y ′＜0，得cos x ＜－12.又∵x ∈(0，π)，∴2π3＜x ＜π.∴函数y ＝12x ＋sin x 的增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3，减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，π.探究二 判断含有参数的函数的单调性1．用导数研究函数的单调性，关键是判断导函数的符号，可把导函数转化为基本初等函数(能因式分解的因式分解)后，利用函数的图象直观判断符号．2．这类问题的求解过程中，导函数f ′(x )的符号往往由二次函数来决定，常与二次方程、二次不等式、二次函数的图象相结合．在分类讨论时，往往依据函数类型、开口方向、是否有根、根是否在定义域内、两根的大小关系等来分类，分类要做到不重不漏．【典型例题2】讨论函数f (x )＝12ax 2＋x －(a ＋1)ln x (a ≥0)的单调性．思路分析：先求定义域，求f ′(x )，再观察a 对f ′(x )＞0或f ′(x )＜0的约束情况进行分类讨论．解：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ax ＋1－a ＋1x ＝ax 2＋x －(a ＋1)x，(1)当a ＝0时，f ′(x )＝x －1x， 由f ′(x )＞0，得x ＞1；由f ′(x )＜0，得0＜x ＜1. 所以，f (x )在(0,1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数；(2)当a ＞0时，f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a ＋1a (x －1)x，因为a ＞0，所以－a ＋1a＜0. 由f ′(x )＞0，得x ＞1；由f ′(x )＜0，得0＜x ＜1. 所以，f (x )在(0,1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数；综上所述，a ≥0时，f (x )在(0,1)内为减函数；在(1，＋∞)内为增函数． 探究三 已知函数的单调性求参数的取值范围 已知单调性求参数的范围常用以下两种方式：(1)子区间法：即先求出y ＝f (x )的单调区间A ，然后分析已知区间同A 的关系．注意区间端点值能否取到．(2)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意．【典型例题3】(1)已知函数f (x )＝2ax －x 3，x ∈(0,1)，a ＞0，若f (x )在(0,1)上是增函数，则a 的取值范围是__________．(2)已知函数f (x )＝ax －ln x 在(0,2)上不单调，则a 的取值范围是__________． 思路分析：(1)求f (x )的单调增区间A ，使(0,1)⊆A ；再由f (x )在(0,1)上是增函数⇒f ′(x )≥0，检验“＝”．(2)f (x )在(0,1)上不单调，可得y ＝f ′(x )在(0,2)上有变号零点．解析：(1)方法一：∵f ′(x )＝2a －3x 2，令f ′(x )＞0，由a ＞0，x ＞0可解得0＜x ＜2a3， ∴f (x )的递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a 3. 又∵f (x )在(0,1)上是增函数，∴(0,1)⊆⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a 3. ∴2a 3≥1，即a ≥32. ∴a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞. 方法二：∵f ′(x )＝2a －3x 2，f (x )在(0,1)上是增函数， ∴f ′(x )≥0在(0,1)上恒成立，∴2a －3x 2≥0，即a ≥32x 2.又∵x ∈(0,1)，∴32x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，即a ≥32.检验a ＝32时，符合题意．∴a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞. 方法三：∵f ′(x )＝2a －3x 2，f (x )在(0,1)上是增函数， ∴f ′(x )≥0在(0,1)上恒成立． 又∵f ′(x )为二次函数，且开口向下，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′(0)≥0，f ′(1)≥0，a >0，解得a ≥32.∴a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞. (2)f ′(x )＝a －1x ＝ax －1x，①当a ≤0时，f ′(x )＜0，即f (x )在(0,2)上单调递减，不合题意．②当a ＞0时，令f ′(x )＝0，得x ＝1a.∵f (x )在(0,2)上不单调，∴0＜1a ＜2，得a ＞12.答案：(1)⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞探究四 导函数图象与原函数图象间的关系研究一个函数的图象与其导函数的图象之间的关系时，要注意抓住各自的关键要素．对原函数，我们重点考查其图象在哪个区间上单调递增，哪个区间上单调递减；而对于导函数，则应考查其函数值在哪个区间上大于零，哪个区间上小于零，并考查这些区间与原函数的单调区间是否一致．【典型例题4】设f ′(x )是函数f (x )的导数，y ＝f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )的图象最有可能是选项中的( )解析：由y ＝f ′(x )的图象得：当－1＜x ＜1时，f ′(x )＞0，所以y ＝f (x )在(－1,1)上单调递增．因为当x ＜－1和x ＞1时，f ′(x )＜0，所以y ＝f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上分别单调递减．综合选项得只有B 正确．答案：B探究五 易错辨析易错点：对导数与函数单调性的关系理解不到位【典型例题5】已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－x ＋1在R 上是减函数，求a 的取值范围． 错解：求函数的导数f ′(x )＝3ax 2＋6x －1.当f ′(x )＜0时，f (x )是减函数，则f ′(x )＝3ax 2＋6x －1＜0(x ∈R )，故⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0，解得a ＜－3.错因分析：“f ′(x )＜0(x ∈(a ，b ))”是“f (x )在(a ，b )上单调递减”的充分不必要条件，在解题过程中易误作是充要条件，如f (x )＝－x 3在R 上递减，但f ′(x )＝－3x 2≤0.正解：求函数的导数f ′(x )＝3ax 2＋6x －1.(1)当f ′(x )＜0时，f (x )是减函数，则f ′(x )＝3ax 2＋6x －1＜0(x ∈R )，故⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0，解得a ＜－3.(2)当a ＝－3时，f (x )＝－3x 3＋3x 2－x ＋1＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －133＋89，易知此时函数也在R 上是减函数．综上a 的取值范围是a ≤－3.。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.1 导数在研究函数中的应用—单调性说课稿2 苏教版选修2-2
导数在研究函数中的应用—单调性一、教材分析本节课，是苏教版选修2-2第一章第3节课。
它承接导数的定义和运算，开启了导数在函数中应用的研究，是导数应用的基础知识，地位重要．二、学情分析学生前面已经学习了导数的定义和简单函数四则运算的导数公式，尤其是已经有了“割线逼近切线”这种数学思想，这为本节课提供了充分的思想方法准备．并且，在本节课开头设置的三个问题中，有的问题可以用单调性定义解决，有些通过观察可以直接判断，而有些则并不能一眼看出单调性，这就触动学生要寻找新的解题方法，探索新的思路。
通过数学问题的导引，带领学生走进课堂．在实际教学中，考虑到学生比较容易局限于观察图象，得出结论，缺乏严谨的推理。
事实上，图象只能提供直观感受，并不能作为说理依据。
教师就要引导学生共同思考：怎样从已有的单调性的定义中，找出合理、可行、有效的方法。
师生共同观察、思考、猜想、证明，最终得出结论，比较圆满地完成一个数学知识的学习过程，体验数学发现的乐趣，拓宽师生的数学视野．三、教学目标1 .探索并了解函数的单调性和函数导数的关系；2.比较初等方法与导数方法在研究函数性质过程中的异同，体现导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性．四、教学重点、难点我认为本节课的重点是从单调性的定义出发，逐步建立单调性与导数之间的关系。
其间，既有代数变形，又有图形直观；既有大胆的猜想，又有严密推理。
教师和学生在这些思想方法之间灵活穿梭、切换，既有激烈地思想交锋，又有严密地逻辑推理，让看似平静的课堂充满了智慧的碰撞。
五、教学方法与教学手段教师从课本章头图引入课题，自然地把导数和单调性结合起来。
教师通过设置问题串，从“会”到“不会”，激发学生学习兴趣，展开探究。
教师利用多媒体PPT和几何画板，动态演示，确定研究方向，最终得出结论。
六、教学过程教师为了能够真正体现“要提高学生独立获取数学知识，并用数学语言表达问题的能力”这个新课程理念，设计了10个环节。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.1 导数在研究函数中的应用—单调性教案9 苏教版选修2-2
江苏省徐州市高中数学第一章导数及其应用1.3.1 导数在研究函数中的应用—单调性教案9 苏教版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（江苏省徐州市高中数学第一章导数及其应用1.3.1 导数在研究函数中的应用—单调性教案9 苏教版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为江苏省徐州市高中数学第一章导数及其应用1.3.1 导数在研究函数中的应用—单调性教案9 苏教版选修2-2的全部内容。
导数在研究函数中的应用—单调性1.教学目标:(1）知识与技能：了解函数单调性与导数的关系,会求不超过3次的多项式函数的单调区间。
（2)过程与方法：通过初等方法与导数方法在研究函数过程中的比较，体会导数方法在研究函数性质中的一般性与有效性,同时感受和体会数学自身发展的一般规律.(3）情感、态度与价值观：使学生对变量数学的思想方法有新的感悟，进一步发展学生的思维能力、应用意识,促进学生全面认识数学价值，体会数学的广泛应用!2。
教学重点：利用导数研究函数的单调性。
教学难点：引导学生发现函数的单调性与其导数的关系.3。
教学方法：本节课采用以问题为主线引发学生数学思维活动，探索概念并加以完善和应用。
教学手段:运用多媒体辅助教学。
4.教学过程：（一)课前导入，巩固已学方法概念，点明课题问题1：我们刚刚经过二十四节气的大雪，那下一个节气是什么？冬至：俗话说‘夏至短，冬至长’，所以，冬至这一天白昼时间最短，夜的时间最长,从冬至起，夜间变短，白天变长。
师点明课题：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，刻画函数变化趋势的知识就是函数的单调性，这节课我就和同学们一起来再研究函数的单调性（板书:单调性）问题2：我们已学过的函数有哪些？ 教师从中选取几个，并列表呈现出来： y x =，2y x =，1y x=，ln y x = 问题3：已学过哪些确定函数单调区间的方法？问题4:函数单调性的定义内容是什么?（学生活动：思考，并回答）设计意图：引导学生复习巩固已学过的函数以及确定函数单调区间的方法、函数单调性的定义——刻画函数变化趋势的本质和理论依据！（二）创设情境,引出问题.问题1：你能确定函数：3y x x=-，ln xyx=的单调区间吗？(学生活动:利用定义法和图像法去尝试！）教师点明:这些简单函数通过四则运算构造出的函数拓宽了我们研究的范围，但是已有的研究函数单调性方法呈现了局限性，看来我们要寻找—新的解决方法!设计意图:奥苏贝尔认为，有意义的学习需要把学生的学习建立在已有的学习经验基础上，本节课的情境设置着眼于学生最近发展区，以学生熟悉的函数通过简单的四则运算组合出新函数去研究单调性，制造强烈认知冲突，从而引发学生积极思考,体现了用导数研究函数单调性的必要性，同时也让学生感受数学自身发展的一般规律。
高中数学第1章导数及其应用1.3导数在研究函数中的应用1.3.1单调性222数学
第十六页，共三十八页。
判断或证明函数的单调性
求证函数 f(x)＝sin x＋tan x 在－π2，π2内为增函数． 【证明】 因为 f(x)＝sin x＋tan x 在－π2，π2内恒有意义，
且
f′(x)＝(sin
x)′＋(tan
x)′＝cos
x＋(sin
x)′cos
x－(cos cos2x
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由函数单调性求参数的取值范围 已知函数 f(x)＝x3－ax－1.若 f(x)在 R 上为增函数，求实数 a 的取值范围． 【解】 f′(x)＝3x2－a. 因为 f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数， 所以 f′(x)＝3x2－a≥0 在(－∞，＋∞)上恒成立， 即 a≤3x2 对 x∈R 恒成立． 因为 3x2≥0，所以只需 a≤0. 又因为 a＝0 时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)＝x3－1 在 R 上是增函数，所 以 a≤12/130/2，021 即实数 a 的取值范围为(－∞，0]．
答案：④
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求函数的单调区间 求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝x3－x； (2)f(x)＝3x2－2ln x.
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【解】 (1)函数的定义域为 R， f′(x)＝3x2－1＝( 3x＋1)( 3x－1)，
令
f′(x)>0
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1．导数与函数的单调性
一般地，在某区间上函数 y＝f(x)的单调性与导数有如下关系：
导数
函数的单调性
f′(x)>0 f′(x)<0
高中数学 第1章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的应用 1.3.2 极大值与极小值课件 苏
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值 57 ↘ 极小值－7 ↗
由上表可知：当 x＝－3 时 f(x)有极大值 57.
当 x＝1 时，f(x)有极小值－7.
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们休息一 看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐对身体
(2)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－x32＋3x＝3(xx－2 1)，令 f′(x) ＝0 解得 x＝1， 并且当 0<x<1 时，f′(x)<0，当 x>1 时，f′(x)>0. 所以当 x＝1 时 f(x)有极小值是 f(1)＝3.
x (－∞，0)
0
(0，2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值－2 ↘ 极小值－6
↗
①当 a－1≥2，即 a≥3 时，f(x)在(a－1，a＋1)内为增函数，无极
值；
②当 0<a－1<2，即 1<a<3 时，2<a＋1<4， f(x)在(a－1，a＋1)内有极小值 f(2)＝－6，无极大值； ③当 a－1＝0，即 a＝1 时， f(x)在(a－1，a＋1)内为减函数，无极值． ④当 a－1<0，即 0<a<1 时，1<a＋1<2， f(x)在(a－1，a＋1)内有极大值 f(0)＝－2，无极小值．
解：由 f′(x)＝1－ax＝x－x a(x>0)知， (1)当 a≤0 时，f′(x)>0，函数 f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数 f(x)无极值；
高中数学第一章导数及其应用1.3导数在研究函数中的应用1.3.1函数的单调性与导数课件新人教A版选修
原函数图象变化 越来越陡峭 越来越平缓 越来越平缓 越来越陡峭
【微思考】
1.回忆函数单调性的常规定义，分析用导数研究函
数的单调性与常规定义的联系？
提示：增函数时有
也即
，
对0，式从子而为y增求函极数限.，f若(xx极11) 限 fx值(2x大2 )于＞00，则导数大xy于＞0
x
减函数时有 f (x1 ) f (x也2)即＜0 ， y＜0 对式子 y求极限x，1 若x2极限值小于0，x 则导数小于0， 从而为减x函数.
当0＜x＜1时，xf′(x)＜0，所以f′(x)＜0，函数y=f(x) 单调递减； 当x＞1时，xf′(x)＞0，所以f′(x)＞0，函数y=f(x)单 调递增.
5.函数y=x-ln x的单调递减区间是
.
【解析】定义域是(0,+∞),由 y 1 1 0 及定义域 得0<x<1,单调递减区间是(0,1). x
【解析】选C.y′=-6x，故当x∈(-1，0)时，y′＞0；
当x∈(0，1)时，y′＜0，所以原函数在区间(-1，1)
上先增后减.
4.已知函数y=xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是 函数f(x)的导函数)，下列四个图象中为y=f(x)的大致 图象的是( )
【解析】选C.由题图知：当x＜-1时，xf′(x)＜0，所 以f′(x)＞0，函数y=f(x)单调递增； 当-1＜x＜0时，xf′(x)＞0，所以f′(x)＜0，函数 y=f(x)单调递减；
结论：函数变化的快慢与导数间的关系
一般地，如果一个函数在某一范围内导数的_绝__对__值__ _____，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数 较大 的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数
高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.1 导数在研究函数中的应用—单调性教案5 苏教版选修2-2
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导数在研究函数中的应用-—单调性【教学分析】1.教材分析本节课是高中数学苏教版教材选修2-2第1.3。
1节导数在研究函数单调性中的应用.这节内容是导数作为研究函数的工具的起点，是本节的重点,学生对本节的收获直接影响着后面极值、最值的学习。
函数单调性是高中阶段讨论函数“变化”的一个最基本的性质.学生在中学阶段对于单调性的学习共分为三个阶段:第一阶段，在初中以具体函数为载体，从图形直观上感知单调性;第二阶段在高中学习必修一时，用运算的性质研究单调性；第三阶段就是在本节课中,用导数的性质研究单调性。
本节内容属于导数的应用,是本章的重点，学生在学习了导数的概念、几何意义、基本函数的导数、导数的四则运算的基础上学习本节内容。
学好它既可加深对导数的理解，又为研究函数的极值和最值打好基础，具有承前启后的重要作用.研究过程蕴含了数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想方法,以及研究数学问题的一般方法,即从特殊到一般，从简单到复杂,培养了学生应用导数解决实际问题的意识.2.学情分析《普通高中数学新课程标准(实验）》中要求：结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数间的关系。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.1 导数在研究函数中的应用—单调性教案1 苏教版选修2-2
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导数在研究函数中的应用——单调性【教学目标】(1）知识与技能：通过实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的单调性,会求一些简单的非初等函数的单调区间．（2）过程与方法：经历运用导数研究函数单调性的探求过程．通过对问题的探究，体会知识的类比迁移,以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法．（3)情感态度与价值观：通过初等方法与导数方法在研究函数性质过程中的比较，体会导数在研究函数性质中的一般性和有效性，同时感受和体会数学自身发展的一般规律．【教学重点、难点】重点：利用导数研究函数的单调性，会求一些简单的非初等函数的单调区间;难点：发现和揭示导数的正、负与函数单调性的关系．【教学方法与教学手段】教学方法：启发式与试验探究式相结合．教学手段:几何画板、PPT 、实物投影．【教学过程】一、问题情境问题1：确定函数2()43f x x x =-+的单调区间．问题2:你能确定函数3()3f x x x =-的单调区间吗？问题3:判断函数的单调性的常用方法有哪些?(定义法、图象法)问题4：单调性是对函数变化趋势（上升或下降的陡峭程度）的刻画，除此以外还有什么知识也刻画了函数变化的趋势？（设计意图：以问题形式复习相关的旧知识,引出新问题，通过创设问题情境，使学生产生强烈的问题意识，积极主动地参与到学习中.）二、建构数学思考1：导数与切线斜率有什么关系？曲线切线斜率变化与图象的升降有什么关系?(几何画板演示)思考2：函数2()43f x x x =-+的导数的解析式是什么？回答导数在相应单调区间上的正负. （设计意图：在几何画板的动态演示中，让学生反复观察图形来感受导数在研究函数单调性中的作用，一方面加强学生对导数本质的认识,把他们从抽象的定义中解放出来；另一方面体现数形结合这一重要的思想方法在数学学习中的意义和作用。
高中数学第一章导数及其应用1.3导数在研究函数中的应用1.3.1函数的单调性与导数(二)
∴当 x>0 时，不等式 ln(1＋x)>x－12x2 成立.
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证明
达标 检测 (dábiāo)
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1.已知命题p：对任意x∈(a，b)，有f′(x)>0，q：f(x)在(a，b)内是单调递增(dìzēng)
的，则p是q的
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跟踪训练 2 已知 x>0，证明不等式 ln(1＋x)>x－12x2 成立. 证明 设 f(x)＝ln(1＋x)－x＋12x2， 则 f′(x)＝1＋1 x－1＋x＝1＋x2 x.
当x>－1时，f′(x)>0， 则f(x)在(－1，＋∞)内是增函数.
∴当x>0时，f(x)>f(0)＝0.
2m≥－2， ∴m＋1≤2，
2m<m＋1，
得－1≤m<1.
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解析( jiě 答案
4.函数 y＝ax－ln x 在12，＋∞上单调递增，则 a 的取值范围为_[_2_，__＋__∞_)__. 解析 y′＝a－1x，由题意知，
当 x∈12，＋∞时，y′≥0， 即 a≥1x在12，＋∞上恒成立，
No ＋a－1.。综上知5≤a≤7.。所以F(x)≥F(a)>0，。则f(x)在(－1，＋∞)内是增函数.。D.既不充分也不必要条件
Image
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成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是 否满足题意；
②先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f(x)
高中数学 第一章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的应用 1.3.2 函数的极值与导数导学案
湖北省松滋市高中数学第一章导数及其应用1.3 导数在研究函数中的应用1.3.2 函数的极值与导数导学案新人教A版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（湖北省松滋市高中数学第一章导数及其应用1.3 导数在研究函数中的应用1.3.2 函数的极值与导数导学案新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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1。
3。
2函数的极值与导数【学习目标】1.理解极大值、极小值的概念；2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；3。
掌握求可导函数的极值的步骤。
重点难点重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤.难点：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤。
【使用说明与学法指导】1。
课前用20分钟预习课本P26—29内容。
并完成书本上练、习题及导学案上的问题导学.2.独立思考，认真限时完成，规范书写.课上小组合作探究,答疑解惑.【问题导学】1.极小值点与极小值的定义（1）特征：函数()y f x=在点x a=的函数值()f a比他在点x a=附近其他点的函数值都小，且()0f a'=。
（2）实质：在点x a=附近左侧()0f x'<，右侧()0f x'>。
（3)极小值点是：点a ，极小值是()f a。
2。
极大值点与极大值的定义（1）特征：函数()y f x=在点x b=的函数值()f b比他在点x b=附近其他点的函数值都大，且()0f b'=。
高中数学第1章导数及其应用1.3导数在研究函数中的应用1.3.3函数的最大(小)值与导数
令 f′(x)＝0 解得 x＝－ 2(－ 2∉[－1，3]，故舍去)或
x＝ 2.
当 x 变化时，f′(x)与 f(x)的变化情况如下表：
x －1 (－1， 2)
2
( 2，3) 3
f′(x)
－
0
＋
f(x) 10
↘
极小值－8 2 ↗ 18
∴当 x＝ 2时，f(x)有最小值 f( 2)＝－8 2； 当 x＝3 时，f(x)有最大值 f(3)＝18.
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【问题3】 结合问题1、2，思考极值与最值有什么 关系？
答案 区别：(1)函数的最值是比较整个定义域内的 函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近的函数值得 出的．
(2)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有 一个，而函数的极值可能(kěnéng)不止一个，也可能(kěnéng)一 个也没有，函数的最大值一定不小于它的最小值．
(3)极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取 得．
联系：极值有可能是最值，最值不在端点处取得的可
导函数，其最值一定是极值，同时区间(a，b)内若只有一
个极值，则极值一定为最值． 12/12/2021
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【问题(wèntí)4】 求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大 值与最小值的步骤是什么？
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3．函数的极值与最值的区别 区别
极 值
是在局部对函数值 的比较，表示函数在 __某__一__点_(_yī_d_iǎ_n)_附的近 局 部性质.
极值可能有 多个，也可 能没有.
只能在区 间内取得.
最 值
是 函 函 的数 情数在值况在整的._个整_比_区个_较_(z间_h，ě_n上g_考g_è)区对上查间最 最 个.多大
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1.3.1 导数在研究函数中的应用 第1课时 函数的单调性
一、教学目标：
1．会从几何直观了解可微函数的单调性与其导数之间的关系，并会灵活应用；
2．会用导数判断或证明函数的单调性；
3．通过对可微函数单调性的研究，加深学生对函数导数的理解，提高学生用导数解决实际问题的能力，增强学生数形结合的思维意识． 二、教学重点：正确理解“用导数法判别函数的单调性”的思想方法，并能灵活应用． 教学难点：灵活应用导数法去解决函数单调性的有关问题的能力，以及解题善于运用数形结合的思想方法．
三、教学用具：多媒体
四、教学过程
1．复习引入
问题1 对于函数34)(2+-==x x x f y ，利用函数单调性的定义讨论它在R 上的单调性．（此题是教科书中引例的变式．多媒体展示）
教师引导学生独立完成，并请学生上台板演，以帮助学生复习函数单调性的有关知识．点评学生的解答后，展示教师的推演过程与函数图象，理清学生的思路．
略解：对任意R 21∈<x x ，有)4)(()()(21212121-+-=-=-x x x x x f x f y y ． 当221<<x x 时，有021>-y y ，知)(x f 在其中是减函数；
当212x x <<时，有021<-y y ，知)(x f 在其中是增函数．
2．新授
（多媒体画面中，问题1的解答消失，问题1与图形适当调整位置，并增加展示出图象上点))(,(00x f x 处的切线随0x 变化的动画．给出问题2）
问题2 对于函数34)(2
+-=x x x f ，它的增减性与函数图象在相应区间上的切线的斜率有何联系？
从动画中学生不难看出：在区间),2(+∞内，函数为增函数，切线的斜率为正；在区间)2,(-∞内，函数为减函数，切线的斜率为负；在2=x 时，函数的切线的斜率为0．
（画面中问题1、2与图形适当调整位置，给出问题3）
问题3 对于函数34)(2+-==x x x f y ，它的增减性与函数在相应区间上导数的正负符号有何联系？
因函数在某点处的导数就是函数在该点的切线的斜率，或从动画中学生易知：函数在区间),2(+∞内导数为正；在区间)2,(-∞内导数为负；在2=x 时，函数的切线的斜率为0．
分段展示结论：一般地，设函数)(x f y =在某个区间可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数；如果在某区间内恒有0)(='x f ，则)(x f 为常数．
特别说明第三点：)(x f 在某区间内为常数，当且仅当0)(=x f 在该区间内“恒有”之时．否则可能只是“驻点”（曲线在该点处的切线与x 轴平行）．
3．例题与练习
例1 （展示教科书上的例1）
题解可引导学生自己完成，教师加以完善．然后向学生展示教师的书写格式与此函数的图象，使学生能清楚解题时应如何表达书写为好．最后可提示学生，)(,0)1(x f f ='在1=x 处改变了增减性，)(x f 改变了正负符号，为下一节的学习作铺垫．
练习：教科书第134页练习1．
学生独立完成并请上台板演．点评时注意学生的思路、符号、术语、书写格式是否合理．然后向学生展示教师的推演过程与函数的图象，以帮助学生理清思路．（解题过程略）
例2 （展示教科书上的例2）
师生共同完成，展示教师的解答与此函数的图象，加深学生的理解．说明在1=x 和2=x 处函数改变增减性，导数为0．一是使学生能更清楚在何种情况下)(x f 为常数，而不是驻点；二是为下一节课学习函数的极值埋下伏笔．（解题过程略）
特别说明：利用导数法去探讨可微函数的单调性，一般要比定义法简捷，提醒学生在以后解题时可多尝试使用此法．
练习2教科书习题
补充练习1函数53)(2
3--=x x x f 的单调递增区间是_____________．
略解：由0)2(363)(2>-=-='x x x x x f ，得增区间为)0,(-∞与),2(+∞．
补充练习2 已知函数31232)(23+-+=x x x x f ，则函数)(x f 在（－2，1）内是（ ）
A ．单调递减
B ．单调递增
C ．可能递增也可能递减
D ．以上都不成立
略解：当)1,2(-∈x 时，有0)1)(2(6)(<-+='x x x f ，递减．故选A ．
补充练习3 已知函数x x x f ln )(=，则（ ）
A ．在),0(+∞上递增
B ．在),0(+∞上递减
C ．在⎪⎭⎫
⎝⎛e 1,0上递增 D ．在⎪⎭
⎫ ⎝⎛e 1,0上递减 略解：当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈e x 1,0时，01ln )(<+='x x f ，递减．故选D ．
补充练习4 函数1+-=x e y x 的递减区间是_______________．
略解：要使01<-='x e y ，只需0<x ，故递减区间为)0,(-∞．
补充练习5 证明函数22x x y -=
在区间（0，1）上单调递减，而在区间（1，2）上单调递增．
略证：由)
2(1x x x y --='，在（0，1）上0>'y ，增；在（1，2）上0<'y ，减． 补充练习6 讨论函数x x y sin 2-=在)2,0(π内的单调性．
略解：因x y cos 21-='，由0>'y ，得
353ππ<<x ，增．由0<'y ，得30π<<x ，ππ235<<x ，减．
4．归纳小结
（1）函数导数与单调性的关系：0)(>'x f 时，增函数；0)(<'x f 时，减函数．用导数去研究函数的单调性比用定义法更为简便．
（2）本节课中，用导数方法去研究函数单调性问题是中心，灵活应用导数法去解题是目的，适当的见识与练习是达到目的最佳手段，数形结合是应使学生养成的良好思维习惯．
五、布置作业
教科书习题3.7第1、2题
课外研究题。