2. 凸分析2
史树中 凸分析参考答案
史树中凸分析参考答案
什么是史树？
史树（Genealogy）实际上就是构成谱系的一系列个体（人类或非
人类）和家庭关系之间的联系。
它可以用来帮助我们了解和追踪某一
地区或特定家庭的历史、非人类物种的发展，也可以帮助我们研究某
些种族的起源。
史树也可以用来研究社会、法律、军事以及宗教等方
面的发展。
什么是凸分析？
凸分析（Convex Analysis）是一种统计分析方法，该方法旨在解
决多元数据的可视化以及分析凸形函数的构成组成和寻找最优解等问题。
此外，凸分析还可以应用于人类和非人类家谱关系（社会关系）、多项式函数以及信号处理等方面，旨在发现家谱中的凹凸变化或构成
团体等。
史树中凸分析参考答案
史树中凸分析的具体用途主要有以下几点：
1、可以用来分析两个特定家庭之间的关系，比如血缘关系、配偶
构成的最短距离等。
2、可以用来查明社会地位的差异，以及在家谱内人物彼此之间互
动以及家庭利益的分配。
3、可以用来研究跨越整个家族的形态，并分析家谱的发展过程，
以及家谱群体的构成。
4、可以用来研究多样化的家庭价值观以及家谱构成的对应结构，
以及家谱社会系统之间的关联。
5、可以用来研究社会发展，探讨多种变迁以及传承问题。
此外，史树中凸分析还可以作为更广泛的研究的重要参考工具，
比如比较社会结构和历史现象，理解物种适应以及物种进化的过程等。
凸分析的基本概念
注意在我们的定义中，定义域 C 为凸集是函数 f : C → 现在我们介绍凸函数的几种拓展定义. 函数 f : C →
先决条件. 因此当称某函数为凸函数时， 通常默认其定义域为凸集. 函数 (strictly convex)， 如果其满足式 (1.1) 且不等式处处被严格满足， 即 式 (1.1) 对所有满足 x = y 的向量 x, y ∈ C 及所有 α ∈ (0, 1) 都取不等号. 函数 f : C → 件是 C 为凸集. 一个凸函数的典型例子是仿射函数 (affine function)，这类函数形如 f (x) = a x + b，其中 a ∈
n n
使得(x, w) ∈ epi(f ) ,
(自变量 x 的空间) 上的投影. 如果把 f 的定义
域限制为其有效定义域，函数的上图不变. 类似地，如果扩展 f 的定义域到 并对任意 x ∈ / X 定义函数值为 f (x) = ∞，新函数的上图和有效定义域 亦不变.
图 1.1.4 扩充实值的凸函数和非凸函数， 及其分别的上图和有效定义域.
1.1
凸集与凸函数
本章将介绍凸集合与凸函数相关的基本概念，这些内容将贯穿本书所 有的后续章节. 附录 A 列举了本书将用到的线性代数和实分析的定义、符 号和性质. 首先我们给出凸集合的定义如下 (见图 1.1.1). 定义 1.1.1
n
的子集 C 被称为凸集， 如果其满足 ∀ x, y ∈ C, ∀ α ∈ [0, 1]
n
0, j = 1 , · · · , r },
中的一组向量. 线性代数中介绍的子空间则是多面体
锥的一种特例， 同时多面体锥则是多面体的一种特例.
1.1.1
凸函数
现在我们给出实值凸函数的定义 (见图 1.1.3). 定义 1.1.2 令 C 为
运筹学2凸分析
帅天平
北京邮电大学数学系 Email:tpshuai@, Tel:62281308,Rm:主楼814
§2，凸分析与凸函数
TP SHUAI 1
2. 凸集与凸函数
•2.1 凸集与锥
Df 2.1 设S 为n维欧氏空间R 中的一个集合。若对 任意两点x (1) , x ( 2 ) S 及每个实数 [0,1], 有 x (1) (1- ) x ( 2 ) S 则称S 为凸集。x (1) (1 - ) x ( 2 ) 称为x (1) 和x ( 2 )的凸组合。
i 1 m
TP SHUAI
5
2. 凸集与凸函数
运用定义不难验证如下命题：
命题2.1 设S1和S2为R 中两个凸集, 是实数, 则
n
1,S1 {x x S1}为凸集。
2，S1 S2为凸集 (1) (2) (1) (2) 3，S1 S2 ={x +x x S1 ,x S2 }为凸集 (1) (2) (1) (2) 4，S1 S2 ={x -x x S1 ,x S2 }为凸集 Df 2.3 集合T R n的凸包是指所有包含T的凸集的
TP SHUAI 14
x
d1 0
d2
2. 凸集与凸函数
• 2. 2 凸集分离定理
Df 2.7，设S1和S2是R n中两个非空集合，H {x pT x } 为超平面。若对x S1 , 有pT x ，对于x S 2 , 有 pT x （或情形恰好相反），则称超平面H 分离集合 S1和S2 .若S1 S 2 H , 则称H 正常分离S1和S 2。若S1 H , S2 H , 则称H 严格分离S1和S 2。若 S1 H () {x | pT x }, 0, S 2 H , 则称H 强分离 S1和S2。
2凸分析
2. 凸集与凸函数
Df 2.5 非空凸集中的点 x 称为极点 极点,若 x=λx1+(1-λ)x2 , 极点 λ∈(0,1) , x1 ,x2 S, 则 x=x1=x2.换言之,x不能表示成S中两个不 同点的凸组合. x1 x S x5 x x4 x
2
y
x3
由上可知,任何有界凸集中任一点都可表成极点的凸组合.
2. 凸集与凸函数
Def 2.6. 设非空凸集S⊂Rn, Rn中向量d≠0 称为S的一个回收方 一个回收方 一个 向(方向 若对每一 x∈S, R(x.d)={x+λd| λ≥0 }⊂S.S的所有方向 方向), 方向 构成的尖锥称为S的回收锥,记为0+S 不同的方向,若对任意λ>0, 方向d1和d2 称为S的两个不同的方向 不同的方向 都有 d1≠λd2；方向d称为S的极方向extreme direction ,若 d=λd1+(1-λ)d2, λ∈(0,1),d1 ,d2 是S的两个方向,则有 d=d1=d2. 换言之d不能表成它的两个不同方向的凸锥组合 d x0 x0 d d
y
x3
2. 凸集与凸函数
命题2.2若集合S ⊆
Df 2.4设有集合C ⊂ 集，则称C为凸锥.
n
为凸集，则它的闭包S 也是凸集。
n
, 若对每一点x ∈ C ,当λ取
任何非负数时，都有λx ∈ C , 称C为锥, 又若C为凸
例2. ，向量集α(1), α(2),..., α(k)的所有非负线性组合 3 构成的集合 {∑ λ i α(i) λ i ≥ 0,i = 1,2,..., k}为凸锥。
2. 凸集与凸函数
• 2. 2 凸集分离定理
Df 2.7，设S1和S2是
数学中的凸优化与凸分析
数学中的凸优化与凸分析凸优化和凸分析是数学中重要的分支领域，它们在诸多应用领域都有着广泛的应用。
本文将介绍凸优化和凸分析的基本概念、性质以及它们在实际问题中的应用。
一、凸集与凸函数在进一步探讨凸优化和凸分析之前，我们先来了解一些基本概念。
首先是凸集和凸函数。
1. 凸集凸集是指集合中任意两点的连线上的点都属于该集合。
具体地，对于任意$x, y$属于集合$C$和$0\leq\lambda\leq 1$，满足$\lambda x+(1-\lambda)y$也属于$C$，则$C$是一个凸集。
2. 凸函数凸函数是定义在凸集上的实值函数，满足对于集合内的任意$x,y$和$0\leq\lambda\leq 1$，有$f(\lambda x+(1-\lambda)y)\leq \lambdaf(x)+(1-\lambda)f(y)$。
简单来说，凸函数的任意两点的连线上的函数值都不超过连线两端的函数值。
二、凸优化凸优化是指优化问题的目标函数是凸函数，约束条件是凸集的优化问题。
凸优化问题有着许多重要的性质和算法。
1. 凸优化问题的一般形式凸优化问题的一般形式可以表示为：$$\begin{align*}\text{minimize}\quad &f(x)\\\text{subject to}\quad &x\in C\end{align*}$$其中，$f(x)$是凸函数，$C$是凸集。
2. 凸优化问题的性质凸优化问题具有以下性质：（1）全局最优解是局部最优解。
这意味着在凸优化问题中，存在一个全局最优解，同时该最优解也是局部最优解。
（2）凸优化问题无局部最优解和全局最优解之间的鞍点。
凸优化问题不存在鞍点，因此可以通过寻找局部最优解来获得全局最优解。
3. 典型凸优化问题凸优化问题在实践中有着广泛的应用，以下是一些典型的凸优化问题：（1）线性规划问题（Linear Programming，简称LP）$$\begin{align*}\text{minimize}\quad &c^Tx\\\text{subject to}\quad &Ax\leq b\\&x\geq 0\end{align*}$$（2）二次规划问题（Quadratic Programming，简称QP）$$\begin{align*}\text{minimize}\quad &\frac{1}{2}x^TPx+q^Tx+r\\\text{subject to}\quad &Gx\leq h\\&Ax=b\end{align*}$$（3）半正定规划问题（Semidefinite Programming，简称SDP）$$\begin{align*}\text{minimize}\quad &\langle C,X\rangle\\\text{subject to}\quad &\langle A_i,X\rangle=b_i,\quad i=1,\ldots,m\\&X\succeq 0\end{align*}$$三、凸分析凸分析是研究凸集和凸函数性质的数学分支，它主要研究凸集的性质以及凸函数的导数和二阶导数。
凸分析与优化范文
凸分析与优化范文凸分析是数学的一个分支，主要研究凸函数和凸集合的性质、性质、性质、性质、性质，以及优化问题的求解方法。
它有广泛的应用，包括经济学、工程学、计算机科学等领域。
凸函数在凸分析中起着核心的作用。
一个函数f(x) 在定义域D上是凸函数，当且仅当对于任意的x1, x2∈D和0≤t≤1，都有 f(tx1+(1-t)x2) ≤ tf(x1)+(1-t)f(x2)。
也就是说，凸函数的曲线上的两点之间的线段始终位于曲线的上方。
对凸函数进行研究，可以得到一系列重要的性质。
其中一些性质如下：凸函数的导函数是递增的，所以凸函数的曲线上的任意两点之间的斜率不减；凸函数的局部极小值也是全局极小值，所以可以通过寻找局部极小值来找到全局极小值；凸函数的极小化问题具有唯一最优解等等。
这些性质对于优化问题的求解和设计有重要意义。
凸集合是凸分析的另一个重要概念。
一个集合S称为凸集合，当且仅当对于任意的x1, x2∈S和0≤t≤1，有tx1+(1-t)x2∈S。
也就是说，凸集合中的任意两点之间的线段始终在集合内部。
凸集合具有许多重要性质，比如凸集合的交、并、凸组合仍然是凸集合；凸集合的闭包是凸集合；凸集合的内部、边界、闭包也都是凸集合等等。
基于凸函数和凸集合的性质，可以引出优化问题的定义。
给定一个凸函数f(x)和一个凸集合S，求解优化问题：min f(x)x∈S这个问题的目标是找到在凸集合S上使得函数f(x)取得最小值的点x*。
优化问题的求解可以通过不同的算法来实现，比如梯度下降法、共轭梯度法、牛顿法等等。
凸优化是研究凸函数和凸集合相关问题的一个分支。
它主要研究如何高效地求解凸优化问题，从而得到最优解。
凸优化问题具有许多重要的特点，比如凸优化问题的局部最优解也是全局最优解，凸优化问题具有唯一最优解等等。
因此，凸优化问题的求解方法能够保证得到最优解，并且具有较高的效率和可靠性。
凸分析与优化在实际应用中有着广泛的应用。
在经济学中，凸优化被用于求解生产、消费等经济模型中的最优决策问题；在工程学中，凸优化被用于信号处理、图像处理、机器学习等领域中的模型训练和参数优化问题；在计算机科学中，凸优化被用于求解网络流、图像分割等问题。
最优化理论与算法(二)凸分析
• 多面集 {x|Ax0}也是凸锥，称为多面锥。
约定: 非空集合S生成的凸锥,是指可以表示成S中有限 个元素的非负线性组合(称为凸锥组合)的所有点所构成 的集合,记为coneS. 若S凸,则
coneS=K(S) ∪{0}
2013-11-10 9
2. 凸集与凸函数
Df 2.5 非空凸集中的点 x 称为极点,若 x=x1+(1-)x2 , (0,1) , x1 ,x2 S, 则 x=x1=x2.换言之,x不能表示成S中两个 不同点的凸组合. x1 x S x5 x x4
2013-11-10 4
2. 凸集与凸函数
Df 2.2 给定m个向量, x1 ,..., x m R n ,以及满足 i 1的
i 1 m
非负实数 i R, i 1,.., m, 称向量1 x1 ... m x m 为 {x1 , ..., x m }的凸组合.
2013-11-10
11
2. 凸集与凸函数
例2. 集合S {(x1 , x 2 ) x 2 | x1 | 4 凡是与向量(0,1)T 夹角 45的向量 都是它的方向。 T， 1,1)T 是其仅 (1,1) ( 有的两个极方向
Th2. 若多面体P的极点(极方向)存在的话,则极点 3 (极方向)的数目一定有限.
(2)函数f在开集intS内是连续的. (3)函数f的水平集L(f,)={x|x ∈ S,f(x) ≤}, ∈ R
2凸分析
2 m
恒有 x ＋ x ＋ ...＋
x
m
S.
设 S 为非空凸集，
x S ， x 是凸集 S 的极点， 称 中的任意一个成立1 x 不能表示成 ）
S 中两个不同点的凸组合
1 2
（2）若假设 x x ( 1 ) x , ( 0 ,1 ), x S , x S , 则必有 x x x .
n
p x d 为凸集 .
T
H H
x R |
n
p x d ,
T
x R |
n
p x d 为凸集 .
T
定义：有限个半空间的
交
x
称为多面集。
|
Ax b
凸集的性质
设 S 1 , S 2 R , 且 S 1 , S 2 均为凸集，
n
为实数，则
S1 ;
2
2
n
f 在 S 上二次可微， 为
x S
.
若 f ( x ) 0 , x S , 则 f ( x ) 在 S 上为严格凸函数 ( 逆定理不成立 )
凸规划
设有规划 (P )
是研究凸函数求极值的问题。
min f ( x ) g i ( x ) 0 ( i 1 ,2 ,..., m ) s .t .
1 2 1 2
则称 f 为 S 上的凸函数
严格凸函数（严格凹函数）
( 凹函数 )。
凸函数的几何意义：
凸函数的性质
设 f 1， f 2 是定义在 S 上的凸函数，实数
0 ,则
f ; f 1 f 2 也是定义在
n
S 上的凸函数。
凸函数知识点总结
凸函数知识点总结一、基本概念1.1 凸集在讨论凸函数之前，首先需要了解凸集的概念。
凸集是指对于集合中的任意两个点，连接这两个点的线段仍然完全包含在这个集合中。
即对于集合中的任意两个点a和b，线段[a,b]上的所有点都属于该集合。
在数学上，给定一个集合S，如果对于任意的x、y∈S和0≤t≤1，tx+(1−t)y∈S，就称S是凸集。
1.2 凸函数在了解了凸集的概念之后，可以进一步理解凸函数。
在一个实数集上，如果一个函数f(x)满足如下性质：对于任意的x1和x2以及0≤t≤1，有f(tx1+(1−t)x2)≤tf(x1)+(1−t)f(x2)，那么函数f(x)就是凸函数。
也就是说，对于函数上的任意两点x1和x2，连接这两个点的线段上的所有点(x)对应的函数值f(x)，都位于连接这两个点的线段上。
可以用一条直线来连接这两点，并且在这条直线的下方。
1.3 凸函数的图形在笛卡尔坐标系中，凸函数的图形呈现出一种特殊的形状。
它们通常是上凸的（在图像的上方），或者是下凸的（在图像的下方）。
这种凸性质是凸函数的重要特征，也是区分它们与其他函数的重要标志。
二、性质凸函数有许多重要的性质，这些性质对于理解和应用凸函数都非常重要。
下面列举了一些凸函数的一些重要性质：2.1 一阶导数的性质首先，凸函数在其定义域上是连续且可导的。
其次，凸函数的导数是递增的。
也就是说，对于凸函数f(x)，在它的定义域内，如果x1<x2，那么f'(x1)≤f'(x2)。
2.2 二阶导数的性质在凸函数的定义域内，凸函数的二阶导数必须是非负的。
也就是说，如果f(x)是凸函数，那么它的二阶导数f''(x)≥0。
2.3 凸函数的上确界如果一个凸函数在其定义域上是有上界的，那么它的上确界也存在，并且是有限的。
这是因为凸函数的定义保证了它在定义域上是有界的，并且在定义域上是递增的。
因此，上确界也必然存在。
2.4 凸函数的极值凸函数的极小值点是唯一的，而且在极小值点的函数值是整个定义域上的最小值。
第三章凸分析(管理数学基础)
3、下面我们看两个证明集合为凸集的例子： 例1：证明线性规划的可行域D x R n | Ax b，x 0 是 一个凸集。 证：任取D中两个元素，要证其两者凸组合仍属于D即可。 取D中x和y， [0，。则有： 1] A[ x (1 ) y ] Ax (1 ) Ay b (1 )b b。 而 x (1 ) y 0，故 x (1 ) y D, 所以D是一个凸集。 例2：对任p R n，p 0， R1，集合H {x R n | pT x } 称为以p为法向量的超平面。超平面H 是R n中的凸集。 因为对任x，y H， [0，，有： 1] pT [ x (1 ) y ] pT x (1 ) pT y (1 ) ， 说明 x (1 ) y H。
第二节 凸函数与次微分
一、凸函数 1、定义：设X 是R n中的凸集，f : X R1，若对于任 意的x，y X ， [0，，有 1] f ( x (1 ) y ) f ( x ) (1 ) f ( y )， 则称f 为X 上的凸函数；若以上不等式中不等号是严 格的，则称f 为严格凸函数；若函数( f )是凸函数， 则称f 是凹函数；若f 既是凸函数又是凹函数，则称 f 为仿射函数。
第三章 凸分析
第一节 凸集与凸集分离定理
一、凸集 1、定义：设集合C R n， 1，若C中任意两点x和y 0 的凸组合 x (1 ) y C，则称C是一个凸集。 2、几何意义：在二维中，x和y的凸组合 x (1 ) y即 为x和y的连线。所以在二维中，若集中任意两点连线段仍属 原集合，则原集合为凸集。
'
(3)求f (0)： 由(2)有，f (0) [11] ，。
2凸性
第二章 凸性本章主要内容：凸集的概念及其性质 多胞形的概念及其表示定理 凸函数的概念及性质 凸函数的判别方法 凸规划的概念及基本性质教学目的及要求：理解凸集的概念并掌握其性质，理解多胞形的概念并掌握其表示定理；理解凸函数的概念及性质，掌握凸函数的判别方法，理解凸规划的概念及基本性质。
教学重点：凸规划的基本性质．教学难点：多胞形的表示定理．教学方法：启发式．教学手段：多媒体演示、演讲与板书相结合．教学时间：4学时．教学内容：§2.1 凸集定义 1212,,,,,,,nm m x x x R R λλλ∀∈∈ ，称1mi i i x λ=∑为点12,,,m x x x 的线性组合．当1211,,,,0m i m i λλλλ==≥∑ ，称1mi i i x λ=∑为点12,,,m x x x 的凸组合．当1211,,,,0m i m i λλλλ==>∑ ，称1m i i i x λ=∑为点12,,,m x x x 的严格凸组合． 当12,,,0m λλλ≥ ，称1mi i i x λ=∑为点12,,,m x x x 的凸锥组合．定义 设n S R ⊆，如果12,,[0,1]x x S λ∀∈∀∈，有12(1)x x S λλ+-∈，则称S 为n R 中的凸集．定理1 任意多个凸集的交集是凸集．定理2 设12,n S S R ⊆是凸集，R λ∈，则（1）12121122{|,}S S x x x S x S +=+∈∈是凸集；（2）12121122{|,}S S x x x S x S -=-∈∈是凸集；（3）1111{|}S x x S λλ=∈是凸集．定理3 n S R ⊆是凸集的充要条件是12122,,,,,,,,m m m x x x S x x x ∀≥∀∈ 的一切凸组合都属于S ．定义 设n S R ⊆，则S 中任意有限个点的所有凸组合所构成的集合称为S 的凸包，记为()H S ，即11(){|,0,1,2,,,1,}m mi i i i i i i H S x x S i m m N λλλ+===∈≥==∈∑∑ ．其中N +为所有正整数的集合．特别地，若12{,,,}k S x x x = ，则称()H S 是由12,,,k x x x 所生成的凸包．定理4 设n S R ⊆，则()H S 是n R 中所有包含S 的凸集的交集．定义 设0,n S R x S ⊆∈，如果,(0,)x S λ∀∈∀∈+∞，有00()x x x S λ+-∈，则称S 是以0x 为顶点的锥，如果锥S 又是凸集，则称S 为凸锥．定义 设12,n S S R ⊆是非空集合，如果,0,n p R p R α∃∈≠∈使12{|,},{|,}n T n T S H x x R p x S H x x R p x αα-+⊆=∈≤⊆=∈≥，则称超平面{|,}n T H x x R p x α=∈=分离集合1S 和2S ．定理5 设n S R ⊂为非空闭凸集，\n y R S ∈，则存在唯一的x S ∈，使 inf{}0x y x y x S -=-∈>．定理6 设n S R ⊂为非空闭凸集，\n y R S ∈，则,0,n p R p R α∃∈≠∈，使 ,T T p x p y x S α≤<∀∈，即存在超平面{|,}n T H x x R p x α=∈=分离y 和S ．定理7 设,m n n A R b R ⨯∈∈，则下列两个关系式组有且仅有一组有解：0,0T Ax b x ≤>；,0T A y b y =≥．定理8 设m n A R ⨯∈，则下列两个关系式组有且仅有一组有解：0Ax ≤；0,0,0T A y y y =≥≠．定理9 设,m n p n A R B R ⨯⨯∈∈，则关系式组0,0Ax Bx <=；无解当且仅当,0,0m u R u u ∃∈≥≠和p v R ∈满足0T T A u B v +=．§2.2 多胞形的表示定理定义 n R 中有限个半空间的交集称为多胞形．非空有界的多胞形称为多面体．设,m n m A R b R ⨯∈∈，记{|,0}K x Ax b x ==≥．把K 中矩阵A 的第j 列j p 称为x 的第j 个分量j x 对应的列向量．定义 设n S R ⊆是凸集，0x S ∈，若0x 不能表示成S 中两个不同的点的严格凸组合，则称0x 为S 的极点．定理1 若K ≠∅，则K 必有极点．定理2 设x K ∈，则x 为K 的极点的充分必要条件是x 的非零分量对应的列向量线性无关．推论3 K 的极点个数是有限的．定理4 若K ≠∅，则00ˆˆ{|,}K K K x y x K y K =+=+∈∈， 其中11ˆ{|0,1,2,,,1}k ki i i i i i K x i k λλλ===≥==∑∑ ，12,,,kx x x 为K 的全部极点， 0{|,0,0}n K y y R Ay y =∈=≥．推论5 设K ≠∅，则K 有界的充分必要条件是0{0}K =．推论6 设K 是非空有界集，12,,,k x x x 为K 的全部极点，则x K ∈的充分必要条件是10(1),1k i i i i k λλ=∃≥≤≤=∑，使1ki i i x x λ==∑．定义 设n S R ⊆是非空凸集，,0,n d R d ∈≠ 如果,,0x d S x S λλ+∈∀∈∀>，则称d 是S 的一个方向．又设1d 和2d 是S 的两个方向，若0α∃>，使12d d α=，则称1d 和2d 是相同的方向．如果S 中的方向d 不能表示为两个不相同的方向的正的线性组合，则称d 为S 的极方向．定理7 设K ≠∅，则d 为K 的方向的充分必要条件是0,0,0d d Ad ≥≠=． 推论8 设K ≠∅，则K 为有界集的充分必要条件是K 没有方向． 若记0{|0,1,0}T K y Ay e y y ===≥，其中(1,1,,1)T n e R =∈ ，则有如下结论： 当K ≠∅时，d 为K 的极方向当且仅当1T d e d 为0K 的极点． 当K 为无界集时，设0K 的全部极点为12,,,l d d d ，记01{|0,1,2,,}lj j jj K d j l μμ==≥=∑ ． 定理9 若K 为无界集，则 00K K=． 定理10 若K 为无界集，K 的全部极点为12,,,(1)k x x x k ≥ ，K 的全部极方向为12,,,(1)l d d d l ≥ ，则x K ∈的充分必要条件是：10(1),1k i i i i k λλ=∃≥≤≤=∑和0(1)j j l μ≥≤≤使11k l i i j j i j x x d λμ===+∑∑．定义 设12,,,n k x x x R ∈ ，则称由12,,,k x x x 所生成的凸包为n R 中的多面体．如果21311,,,k x x x x x x --- 线性无关，则称n R 中的多面体12({,,,})k H x x x 是n R 中以12,,,k x x x 为顶点的单纯形．定理11 设12,,,n k x x x R ∈ ，则（1） 多面体12({,,,})k H x x x 中的极点必定是某个(1)r x r k ≤≤；（2） 如果12({,,,})k H x x x 是单纯形，那么它的极点的全体就是顶点的全体．定义 设n S R ⊆为多胞形，设12,x x S ∈为两个不同的极点， 012x x x ∀∈，如果34,x x S ∃∈使得0x 为34x x 的内点，就一定有3412,x x x x ∈，则称1x 和2x 是S 的相邻极点，此时，线段12x x 称为S 的棱．定理12 单纯形中任何两个相异的顶点都是相邻的极点．§2.3 凸函数定义 设n S R ⊆是非空凸集，:f S R →，如果12,x x S ∀∈及[0,1]λ∈，都有 1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-，则称()f x 为S 上的凸函数．如果1212,,x x S x x ∀∈≠及(0,1)λ∈，都有1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-<+-，则称()f x 为S 上的严格凸函数．如果()f x -为S 上的凸函数，则称()f x 为S 上的凹函数．如果()f x -为S 上的严格凸函数，则称()f x 为S 上的严格凹函数． 定理1 设()f x 是凸集n S R ⊆上的凸函数，121,,,,0(1,2,,),1kk i i i x x x S i k λλ=∈≥==∑ ，则 11()()k ki i i i i i f x f x λλ==≤∑∑．定理2 设12(),(),,()k f x f x f x 是凸集n S R ⊆上的凸函数，则1()(),0(1,2,,)ki i i i x f x i k ϕλλ==≥=∑ ，和 1()max ()i i k x f x φ≤≤=都是S 上的凸函数．定义 设,:,n S R f S R R α⊆→∈，称(,){|,()S f x x S f x αα∈≤ 为函数()f x 在集合S 上关于数α的水平集．定理3 设()f x 是凸集n S R ⊆上的凸函数，则R α∀∈，水平集(,)S f α是凸集．定理4 设n S R ⊆是非空开凸集，:f S R →在S 上可微，则 ()f x 为S 上的凸函数的充分必要条件是2112112()()()(),,T f x f x f x x x x x S ≥+∇-∈．()f x 为S 上的严格凸函数的充分必要条件是211211212()()()(),,,T f x f x f x x x x x S x x >+∇-∈≠．定理5 设n S R ⊆是非空开凸集，:f S R →在S 上具有二阶连续偏导数，则 ()f x 为S 上的凸函数的充分必要条件是 ,()x S f x ∀∈在x 处的Hesse 矩阵2()f x ∇是半正定矩阵．定理6 设n S R ⊆是非空开凸集，:f S R →在S 上具有二阶连续偏导数，如果2,()x S f x ∀∈∇是正定矩阵，则()f x 是S 上的严格凸函数．定理7 设:n f R R →为二次函数，即1()2T T f x x Qx b x c =++，其中Q 是n 对称矩阵，则（1）()f x 为n R 上的凸函数的充分必要条件是Q 为半正定矩阵；（2）()f x 为n R 上的严格凸函数的充分必要条件是Q 为正定矩阵．§2.4 凸规划定义 设n S R ⊆为凸集，()f x 是S 上的凸函数，则称规划问题m i n ()x S f x ∈为凸规划问题．例 1 当()f x 是n R 上的凸函数时，无约束最优化问题min ()n x Rf x ∈是凸规划问题．例2 设,,m n m n A R b R c R ⨯∈∈∈，则线性规划问题min ;,0T c x Ax b x ⎧⎪=⎨⎪≥⎩s.t. （LP ）是凸规划问题．证明 因为（LP ）的目标函数T c x 是线性函数，所以是凸函数．又由于（LP ）的可行域{|,,0}n K x x R Ax b x =∈=≥是多胞形，因此K 是凸集，从而（LP ）是凸规划．例3 设n S R ⊆为开凸集，()f x 是S 上的凸函数，()(1,2,,)i g x i m = 是S 上的凹函数，()(1,2,,)j h x j l = 是n R 上的线性函数，则下面三个规划问题min ();()0,1,2,,,j f x h x j l ⎧⎨==⎩s.t. min ();()0,1,2,,,i f x g x i m ⎧⎨≥=⎩ s.t. min ();()0,1,2,,,()0,1,2,,i j f x g x i m h x j l ⎧⎪≥=⎨⎪==⎩s.t.都是凸规划问题．证明 记 1{|,()0,1,2,,}n j S x x R h x j l =∈== ， 2{|,()0,1,2,,}n i S x x R g x i m =∈≥= ，312S S S = ．要证明上面三个规划问题为凸规划问题，只要证明12,S S 和3S 为n R 中的凸集．因为()(1,2,,)j h x j l = 都是线性函数，所以1S 是l 个超平面的交集，从而1S 为凸集．又由于()(1,2,,)i g x i m -= 均为凸函数，因此各水平集(,0){|,()0}(1,2,,)n i i S g x x R g x i m -=∈≥=都是凸集．于是21(,0)mi i S S g ==- 也是凸集，从而312S S S = 是凸集． 定理1 凸规划问题min ()x Sf x ∈的任何局部极小点都是全局极小点，且它的极小点的集合为凸集．证明 用反证法证明定理的前一部分．设x S ∈为凸规划问题m i n ()x Sf x ∈的局部极小点，即存在x 的某个δ邻域()N x δ，使()(),()f x f x x N x S δ≤∀∈ ．若x 不是全局极小点，则存在xS ∈ ，使()()f x f x < ．由于()f x 为S 上的凸函数，因此 (0,1)λ∀∈，有((1))()(1)()()f x xf x f x f x λλλλ+-≤+-< ． 当λ充分接近1时，可使(1)()x xN x S δλλ+-∈ ，于是()((1))f x f x x λλ≤+- ，矛盾．从而x 是全局极小点．由以上证明可知，()f x 在S 上的极小值也是它在S 上的最小值．设最小值为α，则凸规划问题min ()x Sf x ∈的极小点的集合是水平集(,)S f α，它是凸集． 定理2 在凸规划问题min ()x S f x ∈中，若()f x 为S 上的严格凸函数，且x 为其局部极小点，则x 是它的唯一的全局极小点．证明 由定理1知，x 是全局极小点．假设x也是其全局极小点，且x x ≠ ，则()()f xf x = ，从而由()f x 为S 上的严格凸函数知 1111()()()()2222f x x f x f x f x +<+= ， 这与x 为全局极小点相矛盾．所以min ()x S f x ∈的全局极小点必唯一．。
凸分析
凸分析凸分析是数学中的一个分支，主要研究凸集和凸函数的性质及其应用。
它在优化问题、经济学、工程学等领域具有广泛的应用。
本文将介绍凸集、凸函数、凸优化等基本概念，并探讨凸分析在实际问题中的应用。
一、凸集和凸函数首先，我们来了解凸集的概念。
一个集合称为凸集，当且仅当对于该集合中的任意两个点，连接这两个点的线段仍然在集合内部。
换言之，如果集合中的任意两点连线上的所有点都属于该集合，那么该集合就是凸集。
凸函数是定义在凸集上的实值函数。
一个函数在定义域上是凸的，如果对于定义域内的任意两个点，函数值在这两点所连线上的所有点的函数值都不大于（或不小于）这两个点所对应的函数值。
换言之，如果函数的值沿着它的定义域内的任意一条线段都或者是递增的，或者是递减的，那么该函数就是凸函数。
二、凸分析的基本原理凸分析依赖于凸集和凸函数的重要性质。
其中，凸函数有很多重要的性质，如凸函数的导数是递增的，凸函数的局部最小值也是全局最小值等。
通过这些性质，我们可以利用凸函数来解决不等式约束的优化问题，进而提高问题的最优解。
凸分析还研究了凸函数的次导数和次微分，并且使用它们来证明了很多关于凸函数的重要定理。
这些定理为凸分析提供了强大的工具和方法，使得我们能够更好地理解和解决实际问题。
三、凸优化与应用凸优化是凸分析的一个重要应用领域。
它研究的是在凸函数下的优化问题，考虑了约束条件下的最优解。
凸优化问题具有较好的求解性质，有许多高效的算法和工具可用于解决各种实际问题。
凸优化在经济学、金融学、工程学等领域具有广泛的应用。
例如，在经济学中，我们常常需要在有限资源下最大化效益或者最小化成本，凸优化问题对于这类问题的求解非常有效。
在金融学中，我们可以使用凸优化来构建投资组合，以实现风险最小化或者收益最大化。
在工程学中，凸优化可用于电力系统、通信网络等领域的优化设计。
此外，凸分析还具有在信号处理、机器学习等领域的应用。
例如，在信号处理中，我们可以利用凸分析的方法来降低噪声、提取信号特征等。
非线性最优化理论凸分析
非线性最优化理论和凸分析是数学领域中重要的两个分支，它们在优化问题和凸集合方面发挥着关键作用。
以下简要介绍它们的基本概念：
1. 非线性最优化理论：
-非线性最优化理论研究的是在目标函数或约束条件为非线性情况下的最优化问题。
-最优化问题可以形式化为找到使目标函数取得最大值或最小值的变量取值。
-非线性最优化问题通常包括局部最优解和全局最优解的寻找。
2. 凸分析：
-凸分析是研究凸集合和凸函数性质的数学分支。
-凸集合是对于任意两点的连线上的所有点都在该集合内的集合，而凸函数则满足在定义域内的任意两点间的函数值都在这两点连线上。
-凸集合和凸函数有许多重要性质，如局部最小值即为全局最小值等。
在实际应用中，非线性最优化理论和凸分析经常结合使用，尤其在机器学习、数据分析、工程优化等领域。
通过凸分析的方法，可以更好地理解和解决非线性最优化问题，帮助优化算法更快地收敛到最优解，并且保证最优解的准确性和稳定性。
2凸分析
2. 凸集与凸函数
Df 2.5 非空凸集中的点 x 称为极点,若 x=x1+(1-)x2 , (0,1) , x1 ,x2 S, 则 x=x1=x2.换言之,x不能表示成S中两个不 同点的凸组合. x1 x S x5 x x4
x
2
y
x3
由上可知,任何有界凸集中任一点都可表成极点的凸组合.
Th2. 若多面体P的极点(极方向)存在的话,则极点 3 (极方向)的数目一定有限.Leabharlann . 凸集与凸函数• 表示定理
Th2.4 若多面体P={xRn|Ax b}, r(A)=n则: (1)P的极点集是非空的有限集合,记为{xk } kK j} (2)记P的极方向集为{d (约定P不存在极方向时J=) jJ 则 P conv{x k | k K } cone{d j | j J }
y r 2 ) 0(k,m )
2
所以为柯西列，必有极限,且由S为闭集知。 此极限点必在S中。 下证明唯一性
2. 凸集与凸函数
ˆ 设有x S, ˆ x y x y r. 1 ˆ 由S为凸集，有 （x+x） S, 由 Schwartz 不等式 2 1 1 1 ˆ ˆ y- （x+x） x y x y r, 2 2 2 1 1 1 ˆ ˆ 再由r的定义 y- （x+x） x y x y r 2 2 2 ˆ ˆ y x (y x) || y x ||| ||| y x || | | 1 1,因否则导出y S, 矛盾。
n
使得对点x clS, 有
p T y p T x。
1 2 1 2 1 2 1
S 2 H , 则称H 严格分离S1和S 2。若 S1 H () {x | pT x }, 0, S 2 H , 则称H 强分离 S1和S2。
凸分析与优化范文
凸分析与优化范文在凸分析与优化中，凸集和凸函数是两个核心概念。
凸集是指对于集合中的任意两个点，它们之间的线段也属于这个集合。
凸函数是指函数在定义域上的任意两个点之间的线段上的函数值都不大于这两个点对应的函数值之和。
凸集和凸函数具有许多重要的性质和特征，这些性质和特征成为凸分析的基础。
凸优化是凸分析与优化中的一个重要研究方向，它主要研究凸集上的凸函数的最小化问题。
凸优化问题是指在给定的凸集上寻找一个凸函数的最小值。
凸优化问题具有良好的性质，往往可以通过有效的算法在有限时间内求解。
凸优化问题的经典例子包括线性规划、二次规划、半正定规划等。
凸分析与优化在实际问题中的应用非常广泛。
在经济学中，凸分析与优化常用于研究消费者行为、生产函数、市场均衡等问题。
在工程学中，凸分析与优化常用于研究最优控制、系统优化、信号处理等问题。
在计算机科学中，凸分析与优化常用于研究机器学习、图像处理、数据挖掘等问题。
在运筹学中，凸分析与优化常用于研究调度问题、网络流问题、组合优化问题等。
凸分析与优化的研究方法主要包括对凸集和凸函数的性质和特征进行研究，以及对凸优化问题的算法和理论进行研究。
在对凸集和凸函数的性质和特征的研究中，常用的方法包括对凸函数的导数、二阶导数进行分析，研究凸集和凸函数的单调性、凸性等性质。
在对凸优化问题的算法和理论的研究中，常用的方法包括利用凸性、对偶性等性质设计求解算法，研究凸优化问题的最优解的存在性、唯一性等理论性质。
总之，凸分析与优化是数学中的一个重要分支，它研究凸集、凸函数、凸优化以及相关的理论和方法。
凸分析与优化在实际问题的建模、分析和求解中有着广泛的应用，涉及到经济学、工程学、计算机科学、运筹学等各个领域。
凸分析与优化的研究方法主要包括对凸集和凸函数的性质和特征进行研究，以及对凸优化问题的算法和理论进行研究。
硕士研究生凸分析考试大纲
内蒙古工业大学《凸分析》课程考试大纲一、课程简介本课程主要介绍凸分析的基本理论和方法，重点介绍凸集分离定理，多面体、多面锥和多面体集，凸函数的微分性质，凸规划等，为后继课程非光滑分析和最优化理论与方法的学习打下良好基础，同时也为阅读有关的专业文献作好准备。
二、课程考试内容及所占比重1. 预备知识（约20%）理解n维欧式空间nR上邻域、开集、闭集和紧集的概念及其性质。
了解多元函数的连续性和半连续性，掌握紧集上连续函数的性质。
理解多元函数和向量值函数的微分概念及其性质，掌握多元函数和向量值函数的求导方法。
重点掌握紧集上连续函数的性质（命题1.2.3和推论1.2.4），多元函数的导数、方向导数等概念以及中值定理，熟悉命题1.3.1-1.3.5，会证明命题1.3.1和1.3.3。
理解向量值函数的概念和Jacob矩阵，熟悉向量值函数的中值定理(1.4.22)以及估计式(1.4.23)-(1.4.25)，熟悉命题1.4.1-1.4.4。
2. 凸集（约40%）理解仿射集、超平面与仿射变换等概念，理解仿射相关、仿射无关、仿射组合和仿射基等概念，掌握仿射集的性质以及仿射集与子空间的关系。
理解凸集、凸包、单纯形和凸锥等概念，掌握凸集的性质。
了解凸集的相对内部等拓扑概念。
理解凸集的分离与支撑等概念，掌握凸集的几种分离定理，熟悉闭凸集的两种表示定理。
理解凸集上的投影概念及其性质，熟悉线性不等式组的各种选择定理。
理解多面体、多面锥和多面体集的概念及其性质。
了解切锥和法锥。
重点掌握这一章中的基本概念和定理结论，会证明定理2.1.9，2.2.1-2.2.4,2.2.7,2.2.13,2.3.18-2.3.19,2.5.1,2.5.2(i)-(iii),2.5.4。
3. 凸函数（约40%）理解凸函数的概念及其性质，熟悉凸函数的等价命题。
了解凸函数的闭包和连续性。
理解凸函数的次微分概念，掌握凸函数次微分的性质，会求简单函数的次微分，了解次微分的几何性质。
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命题2.6 若F是多面体P={x n |Ax b}的一个极大面 I 是P的不等式指标集, 则k I , 使得不等式(a k )T x bk 为极大面F的表示,即 F P {x | (a ) x bk }
命题2.8 若多面体P={xRn|Ax b},r(A)=n-k,则P有维数 为k的面,但不存在维数小于k的正常面.
Df 2.19 非空凸集中的点 x 称为极点,若 x=x1+(1-)x2 , (0,1) , x1 ,x2 S, 则 x=x1=x2.换言之,x不能表示成S中两个不 同点的凸组合. x1 x5 x x x S 2
2. 凸集与凸函数
x4 y x3
2. 凸集与凸函数
由上可知,任何有界凸集中任一点都可表成极点的凸组合. Def 2.20. 设非空凸集SRn, Rn中向量d0 称为S的一个回收 方向(方向), 若对每一 xS, R(x.d)={x+d| 0 }S.S的所有方 向构成的尖锥称为S的回收锥,记为0+S 方向d1和d2 称为S的两个不同的方向,若对任意>0, 都有 d1d2方向d称为S的极方向extreme direction ,若 d=d1+(1-)d2, (0,1),d1 ,d2 是S的两个方向,则有 d=d1=d2. 换言之d不能表成它的两个不同方向的凸锥组合 d x0 x0 d d
d1
d2
2. 凸集与凸函数
2.5.1 基本性质
Df2.21 设SRn是非空凸集,函数f:SR,若对任意x1, x2∈S,和 每一λ∈(0, 1)都有 f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2) 则称f是S上的凸函数.若上面的不等式对于xy严格成立,则 称f是S上的严格凸函数. 若-f是S上的凸函数,则称f是S上的凹函数.若-f是S上的严格 凸函数,则称f是S上的严格凹函数.
2. 凸集与凸函数
2. 凸集与凸函数
Th2.17 设 f 是一凸函数，则对任意的xRn 和 d(0 )Rn，f在x处沿方向d的方向导数存在。
证：令 2 1 0, f 是凸函数，g ( ) f ( x d )故 1 1 g (1 ) f ( x 1d ) f ( ( x 2 d ) (1 ) x) 2 2 1 1 f ( x 2 d ) (1 ) f ( x) 2 2 f ( x 1d ) f ( x) f ( x 2 d ) f ( x) 即 1 2
2. 凸集与凸函数
•2.4 多面集(体)理论介绍 1,多面体的维数
命题2.4 若仿射集M={x∈Rn |Ax=b}非空,则M中仿射无关 的向量组的最大数目是n+1-r(A).
考虑多面体
P {x ¡ {x ¡
n
| (a i )T x bi , i }
n
| Ax b}
其中I表示不等式的指标集, 矩阵AT (a1 , a 2 ,..., a|I | ), 向量b (b1 , b2 ,..., b|I | )T .
2. 凸集与凸函数
命题2.9设多面体P {x n Ax b}非空, 则 (1), x为P的极点 x为P的一个0维面; (2) d 为P的极方向 射线R (0, d ) {d | }为 多面锥P 0 {x | Ax 0}的一个一维面.
推论2.5若多面体P的极点(极方向)存在的话,则极点 (极方向)的数目一定有限.
2. 凸集与凸函数
• 表示定理
Th2.16 若多面体P={xRn|Ax b}, r(A)=n则: (1)P的极点集是非空的有限集合,记为{xk } kK j} (2)记P的极方向集为{d (约定P不存在极方向时J=) jJ 则 k j
P conv{x | k K } cone{d | j J }
2. 凸集与凸函数
即 g (1 ) g (0) g ( 2 ) g (0) 1 2 f ( x d ) f ( x ) g ( ) g (0) 由此知差商G ( ) 是 0的非减函数， 又g ( )也是凸的, 对 0, 0, 有 g (0) g ( ( )) g ( ) g ( )
n k T
2. 凸集与凸函数
3,多面体的最小不等式表示
命题2.7假设I 和I 分别为多面体P {x | Ax b}
n
的等式和不等式指标集,则有如下结论: (1)若不等式(a k )T x bk (k I )是多面体P的面F1的表 示并且 dim( F1 ) dim( P) 1, 则该不等式是冗余的. (2)若面F2是多面体P的一个极大面, 则对于( A, b)中所有 表示极大面F的不等式,至少有一个不等式是非冗余的. 2
x n
Hale Waihona Puke kK jJ k 1, k 0, k K , j 0, j J kK
x k xk j d j
(3)指标集J是空集当且仅当P是有界集合,即多胞形.
2. 凸集与凸函数
推论2.6 若多面体S={x|Ax=b,x≥0}非空,则S必有极点. 表示定理另一形式:设 X 为非空多面体. 则存在有限个极点 x1, …, xk , k>0. 进一步,存在有限个极方向 d1, …, dl, l>0 当且 仅当 X 无界. 进而, xX 的充要条件是 x 可以表为 x1, …, xk 的凸组合和d1, …, dl的非负线性组合(凸锥组合). x1 x x2 y 0 x3
b (b1 , b2 ,..., bm )T n ,则可用( A, b)表示P, 记 I {i I | x P,(a i )T x bi }; I {i I | x P,(a i )T x bi } I \ I .
2. 凸集与凸函数
I 和I 分别称为P的等式和不等式指标集. 记( AE , b E )和(AI , b I )分别是由( A, b)中对应的行组成的, ( AE , b E )和(AI , b I )分别称为多面体表示( A, b)的等式和 不等式集, 则 P {x | A x b , A x b }
i T
P {x n | ( a i )T x bi , i 1, 2,..., t}.
2. 凸集与凸函数
(2)若 dim( P) n - k , k 0, 则多面体 P {x n | ( a i )T x bi , i 1,2,..., k , ( a ) x bi , i k 1,..., k t}.
2. 凸集与凸函数
若P的维数dim(P)=k,则包含多面体P的仿射集的最 小维数为k,由此可证P中仿射无关的点的最大数目是 k+1.特别的,dim(P)=n,此时称P为满维数多面体. 下面定理表明:若P不是满维数多面体,则对于P中 所有点来说,至少有一个表示P的不等式实际上可 以替换成等式. 设指标集I {1,2,..., m}, A (a1 , a 2 ,..., a m )T mn ,
2. 凸集与凸函数
Th 2.15(1)满维数的多面体P { x | Ax b}
n
具有包含有限个线性不等式的最小表示, 并且 在不等式等价的意义下, 该最小表示是唯一的. 特别的, 对P的每个极大面Fi (i 1, 2,..., t ), 存在 Fi的一个不等式表示(a ) x bi使得多面体
2. 凸集与凸函数
Df 2.17设P {x n | Ax b, A |I | n , b |I |}, 若 J I , 使得P {x n | ( a i )T x bi , i J } 但是对j J , 有P {x n | ( a i )T x bi , i J \ { j}} 则不等式组(a k )T x bk ( k J )称为多面体P的一个 最小不等式表示(简称最小表示) .
Df 2.18 设I 和( AE , b E )分别是多面体P {x n | Ax b} 等式指标集和等式集, 相对于多面体P来说, 我们称 ( p ) x 1和( p ) x 2为等价不等式, 是指 0, u
1 T 2 T |I |
,
p1 p2 使得 ( AE , b E )T u 1 2
2. 凸集与凸函数
例 集合S {(x1 , x 2 ) x 2 | x1 | 凡是与向量(0,1)T 夹角 45的向量 都是它的方向。 ， 1,1) 是其仅 (1,1) (
T T
有的两个极方向
例 设S {x Ax b, x 0} ,d是非零向量。 证明,d是S的方向 d 0且Ad 0.
F {x n | (a i )T x bi (i I F ),( a i )T x bi (i I F )} 其中I I F I , I F I \ I F .
(2.8)
推论2.4 任意一个多面体P只有有限个不同的面.
2. 凸集与凸函数
2.凸集与凸函数
即 g (o) g ( ) g ( ) g (0) 由此知G ( )在 0有下界， 从而极限存在，且 f ( x d ) f ( x ) f ( x d ) f ( x ) lim inf o 0 从而Df ( x, d )存在
i T
其中{((a ) , bi ) | i 1,2,..., k}是多面体P的等式集
i T
( AE , b E )中极大线性无关的行向量组, 不等式 (a i )T x bi (i k 1,..., k t )属于极大面Fi的不等式 表示的等价类.