2020年中考数学考点02 整式及因式分解-数学考点一遍过

考点02整式及因式分解
一、代数式
代数式的书写要注意规范，如乘号“×”用“·”表示或省略不写；分数不要用带分数；除号用分数线表示等.
二、整式
1．单项式：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式，所有字母指数的和叫做单项式的次数，数字因数叫做单项式的系数.
2．多项式：由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数，其中不含字母的项叫做常数项.
3．整式：单项式和多项式统称为整式.
4．同类项：多项式中所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项.
5．整式的加减：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.
6．幂的运算：a m·a n=a m+n；（a m）n=a mn；（ab）n=a n b n；a m÷a n=m n
a .
7．整式的乘法：
（1）单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.
（2）单项式与多项式相乘：m（a+b+c）=ma+mb+mc.
（3）多项式与多项式相乘：（m+n）（a+b）=ma+mb+na+nb.
8．乘法公式：
（1）平方差公式：22
()()a b a b a b +-=-.
（2）完全平方公式：222
()2a b a ab b ±=±+.
9．整式的除法：
（1）单项式除以单项式，把系数、同底数的幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式含有的字
母，则连同它的指数作为商的因式.
（2）多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加. 三、因式分解
1．把一个多项式化成几个因式积的形式，叫做因式分解，因式分解与整式乘法是互逆运算. 2．因式分解的基本方法：（1）提取公因式法：()ma mb mc m a b c ++=++. （2）公式法：
运用平方差公式：²
²()()a b a b a b -=+-. 运用完全平方公式：22²
2()a ab b a b ±+=±. 3．分解因式的一般步骤：
（1）如果多项式各项有公因式，应先提取公因式; （2）如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法：
为两项时，考虑平方差公式； 为三项时，考虑完全平方公式；
为四项时，考虑利用分组的方法进行分解;
（3）检查分解因式是否彻底，必须分解到每一个多项式都不能再分解为止. 以上步骤可以概括为“一提二套三检查”.
考向一代数式及相关问题
1.用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式.
2.用数值代替代数式里的字母，按照代数式里的运算关系，计算后所得的结果叫做代数式的值.
典例1某商品进价为每件x 元，销售商先以高出进价50%销售，因库存积压又降价20%出售，则现在的售价为元.
A ．()()150%120%x ++
B ．()150%20%x +⋅
C ．()()150%120%x +-
D ．()150%20%x +-
【答案】C
【解析】根据题意：销售商先以高出进价50%销售后的售价为：()150%x +，然后又降价20%出售，此时的售价为：()()150%120%x +-.故选C.
【名师点睛】此题考查的是列代数式，解决此题的关键是找到各个量之间的关系，列代数式.
1．（2019•海南）当m =–1时，代数式2m +3的值是 A ．–1 B ．0
C ．1
D ．2
2．下列式子中，符合代数式书写格式的是 A ．a c ÷ B ．5a ⨯
C ．
2n m
D ．112
x
考向二整式及其相关概念
单项式与多项式统称整式.
观察判断法:要准确理解和辨认单项式的次数、系数；判断是否为同类项时，关键要看所含的字母是否相同，相同字母的指数是否相同．
多项式的次数是指次数最高的项的次数．同类项一定要先看所含字母是否相同，然后再看相同字母的指数是否相同．
考虑特殊性:单独一个数或字母也是单项式;单项式的次数是指单项式中所有字母指数的和，单独的一个常数的次数是0.
典例2下列说法中正确的是
A ．2
5
xy -的系数是–5 B ．单项式x 的系数为1，次数为0
C ．222xyz -的次数是6
D ．xy ＋x –1是二次三项式 【答案】D
【解析】A.2
5
xy -的系数是–15，则A 错误；
B.单项式x 的系数为1，次数为1，则B 错误；
C.222xyz -的次数是1+1+2=4，则C 错误；
D.xy ＋x –1是二次三项式，正确，故选D.
3．按某种标准把多项式分类，334x -与2221a b ab +-属于同一类，则下列多项式中也属于这一类的是 A ．1abc - B ．53x y -+ C ．22x x +
D ．222a ab b -+
4．下列说法正确的是 A ．2a 2b 与﹣2b 2a 的和为0
B ．
223a πb 的系数是2
3
π，次数是4次 C ．2x 2y ﹣3y 2﹣1是三次三项式 D ．3x 2y 3与﹣
32
13
x y 是同类项 考向三规律探索题
解决规律探索型问题的策略是：通过对所给的一组（或一串）式子及结论，进行全面细致地观察、分析、比较，从中发现其变化规律，并由此猜想出一般性的结论，然后再给出合理的证明或加以应用.
典例3（2019•十堰）一列数按某规律排列如下：11212312341213214321
，，，，，，，，，，…，若第n 个数为
5
7
，则n = A ．50 B ．60 C ．62
D ．71
【答案】B
【解析】1121231234
1213214321，，，，，，，，，，…，可写为：1121231234()()()1
213214321，，，，，，，，，，…，
∴分母为11开头到分母为1的数有11个，分别为12345667891011
11109877554321
，，，，，，，，，，，，
∴第n 个数为5
7
，则n =1+2+3+4+…+10+5=60，故选B ．
【名师点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律．
5．（2019•武汉）观察等式：2+22=23-2；2+22+23=24-2；2+22+23+24=25-2，…，已知按一定规律排列的一组数：250、251、252、…、299、2100．若250=a ，用含a 的式子表示这组数的和是 A ．2a 2-2a B ．2a 2-2a -2 C ．2a 2-a
D ．2a 2+a
6．（2019•滨州）观察下列一组数：a 1=
13，a 2=35，a 3=69，a 4=1017，a 5=1533
，…， 它们是按一定规律排列的，请利用其中规律，写出第n 个数a n =__________．（用含n 的式子表示）
典例4如图，用棋子摆成的“上”字：
第一个“上”字第二个“上”字第三个“上”字
如果按照以上规律继续摆下去，那么通过观察，可以发现： （1）第四、第五个“上”字分别需用 和 枚棋子． （2）第n 个“上”字需用 枚棋子．
（3）如果某一图形共有102枚棋子，你知道它是第几个“上”字吗？
【答案】（1）18，22；（2）4n+2；（3）102.
【解析】（1）∵第一个“上”字需用棋子4×1+2=6枚；
第二个“上”字需用棋子4×2+2=10枚；
第三个“上”字需用棋子4×3+2=14枚；
∴第四个“上”字需用棋子4×4+2=18枚，第五个“上”字需用棋子4×5+2=22枚，
故答案为：18，22；
（2）由（1）中规律可知，第n个“上”字需用棋子4n+2枚，
故答案为：4n+2；
（3）根据题意，得：4n+2=102，
解得n=25，
答：第25个“上”字共有102枚棋子．
7．如图，用黑白两种颜色的菱形纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案，若第n个图案中有2017个白色纸片，则n的值为
A．672 B．673
C．674 D．675
8．如图，图案均是用长度相等的小木棒，按一定规律拼搭而成，第一个图案需4根小木棒，则第6个图案需小木棒的根数是
A．54 B．63
C．74 D．84
考向四幂的运算
幂的运算法则是进行整式乘除法的基础，要熟练掌握，解题时要明确运算的类型，正确运用法则；在运算的过程中，一定要注意指数、系数和符号的处理．
典例5下列运算错误的是 A ．（m 2）3=m 6 B ．a 10÷a 9=a
C ．x 3·x 5=x 8
D ．a 4+a 3=a 7
【答案】D
【解析】A 、（m 2）3=m 6，故此选项正确，不符合题意； B 、a 10÷a 9=a ，故此选项正确，不符合题意； C 、x 3·x 5=x 8，故此选项正确，不符合题意；
D 、a 4和a 3不是同类项不能合并，故此选项错误，符合题意． 故选D ．
【名师点睛】本题考查了幂的乘方、同底数幂的乘法和除法法则，熟记法则是解决此题的关键，注意此题是选择错误的，不用误选．
9．下列计算中，结果是a 7的是 A ．a 3–a 4 B ．a 3·a 4
C ．a 3+a 4
D ．a 3÷a 4
10．阅读下面的材料，并回答后面的问题
材料：由乘方的意义，我们可以得到
2351010(1010)(101010)101010101010⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=， 347(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)-⨯-=-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-=-．
于是，就得到同底数幂乘法的运算性质：
问题：（1）计算：①4
6
11()()2
2
-⨯-；②23
3(3)⨯-．
（2）将33332222+++写成底数是2的幂的形式；
（3）若252018
()()()()p x y x y x y x y -•-•-=-，求p 的值.
考向五整式的运算
整式的加减，实质上就是合并同类项，有括号的，先去括号，只要算式中没有同类项，就是最后的结果；多项式乘多项式的运算中要做到不重不漏，应用乘法公式进行简便计算，另外去括号时，要注意符号的变化，最后把所得式子化简，即合并同类项．
典例6 已知a ﹣b =5，c +d =﹣3，则（b +c ）﹣（a ﹣d ）的值为 A ．2 B ．﹣2 C ．8
D ．﹣8
【答案】D
【解析】根据题意可得：（b +c ）﹣（a ﹣d ）=（c +d ）﹣（a ﹣b ）=﹣3﹣5=﹣8，故选D ．
11．一个长方形的周长为68a b +，相邻的两边中一边长为23a b +，则另一边长为
A ． 45a b +
B ．a b +
C ． 2a b +
D ．7a b +
12．已知2
1
3
x a b 与
15y ab 的和是8
15
x y a b ，则x y -等于 A ．–1 B ．1 C ．–2
D ．2
典例7 若（x +2）（x –1）=x 2+mx –2，则m 的值为
A．3 B．–3
C．1 D．–1
【答案】C
【解析】因为（x+2）（x–1）=x2–x+2x–2=x2+x–2=x2+mx–2，所以m=1，故选C．
13．已知（x+3）（x2+ax+b）的积中不含有x的二次项和一次项，求a，b的值．
考向六因式分解
因式分解的概念与方法步骤
①看清形式：因式分解与整式乘法是互逆运算．符合因式分解的等式左边是多项式，右边是整式乘积的形式．
②方法：（1）提取公因式法；（2）运用公式法.
③因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．公式包括平方差公式与完全平方公式，要能用公式法分解必须有平方项，如果是平方差就用平方差公式来分解，如果是平方和需要看还有没有两数乘积的2倍，如果没有两数乘积的2倍还不能分解．
一“提”（取公因式），二“用”（公式）．要熟记公式的特点，两项式时考虑平方差公式，三项式时考虑完全平方公式.
典例8下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是
A．（x+1）（x–1）=x2–1 B．x2–2x+1=x（x–2）+1
C．x2–4y2=（x–2y）2D．x2+2x+1=（x+1）2
【答案】D
【解析】A、右边不是积的形式，故本选项错误；
B、右边不是积的形式，故本选项错误；
C 、x 2–4y 2=（x +2y ）（x –2y ），故本项错误；
D 、是因式分解，故本选项正确． 故选D ．
14．下列因式分解正确的是
A ．x 2–9=（x +9）（x –9）
B ．9x 2–4y 2=（9x +4y ）（9x –4y ）
C ．x 2–x +
14=（x −14
）2 D ．–x 2–4xy –4y 2=–（x +2y ）2
典例9把多项式x 2﹣6x +9分解因式，结果正确的是 A ．（x ﹣3）2
B ．(x ﹣9）2
C ．（x +3）（x ﹣3）
D ．（x +9）（x ﹣9）
【答案】A
【解析】x 2﹣6x +9=（x ﹣3）2，故选A ．
15．分解因式：()2
224a a +--=_________________．
16．已知a ﹣b =1，则a 3﹣a 2b +b 2﹣2ab 的值为
A ．﹣2
B ．﹣1
C ．1
D ．2
1．已知长方形周长为20cm ，设长为x cm ，则宽为 A ．20x - B ．
202
x
- C ．202x -
D ．10x -
2．已知3a ﹣2b =1，则代数式5﹣6a +4b 的值是 A ．4
B ．3
C ．﹣1
D ．﹣3
3．在0，﹣1，﹣x ，13a ，3﹣x ，12x -，1
x
中，是单项式的有 A ．1个 B ．2个 C ．3个
D ．4个
4．若多项式()2
21
5134
m
x y m y -
+-是三次三项式，则m 等于 A ．-1 B ．0 C ．1
D ．2
5．如果2x 3m y 4与–3x 9y 2n 是同类项，那么m 、n 的值分别为 A ．m =–3，n =2 B ．m =3，n =2 C ．m =–2，n =3
D ．m =2，n =3
6．下列算式的运算结果正确的是 A ．m 3•m 2=m 6
B ．m 5÷m 3=m 2（m ≠0）
C ．（m −2）3=m −5
D ．m 4﹣m 2=m 2
7．计算（﹣ab 2）3的结果是 A ．﹣3ab 2 B ．a 3b 6 C ．﹣a 3b 5
D ．﹣a 3b 6
8．已知x ＋y =–1，则代数式2019–x –y 的值是 A ．2018 B ．2019
C ．2020
D ．2021
9．三种不同类型的纸板的长宽如图所示，其中A 类和C 类是正方形，B 类是长方形，现A 类有1块，B 类有4块，C 类有5块.如果用这些纸板拼成一个正方形，发现多出其中1块纸板，那么拼成的正方形的边长是
A ．m +n
B ．2m +2n
C ．2m +n
D ．m +2n
10．把多项式ax 3-2ax 2+ax 分解因式，结果正确的是
A ．ax （x 2-2x ）
B ．ax 2（x -2）
C ．ax （x +1）（x -1）
D ．ax （x -1）2
11．观察下图“
”形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出n 的值为
A ．241
B ．113
C ．143
D ．271
12．如图，从左到右在每个小格子中填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都
相等．若前m 个格子中所填整数之和是1684，则m 的值可以是
9
a b
c
—5
1
…
A ．1015
B ．1010
C ．1012
D ．1018
13．若229a kab b +-是完全平方式，则常数k 的值为 A ．±6 B ．12 C ．±2
D ．6
14．若有理数a ，b 满足225a b +=，2()9a b +=，则4ab -的值为
A ．2
B ．–2
C ．8
D ．–8
15．下列说法中，正确的个数为
①倒数等于它本身的数有0，±1；②绝对值等于它本身的数是正数；③–
32
a 2
b 3
c 是五次单项式；④2πr 的系数是2，次数是2；⑤a 2b 2–2a ＋3是四次三项式；⑥2ab 2与3ba 2是同类项． A ．4 B ．3 C ．2
D ．1
16．按照如图所示的计算机程序计算，若开始输入的x 值为2，第一次得到的结果为1，第二次得到
的结果为4，…第2017次得到的结果为
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
17．已知单项式13
12
a x y --
与23b xy -是同类项，那么a b -的值是___________. 18．分解因式：3x 3﹣27x =__________．
19．某种商品的票价为x 元，如果按标价的六折出售还可以盈利20元，那么这种商品的进价为
__________元（用含x 的代数式表示）．
20．下面是按一定规律排列的代数式：a 2、3a 4、5a 6、7a 8、…，则第10个代数式是__________． 21．如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，
第3幅图中有5个菱形，如果第n 幅图中有2019个菱形，那么n =__________．
22．观察下列等式：
第1个等式：a 1=
11111323⎛⎫=⨯- ⎪⨯⎝⎭； 第2个等式：a 2=
111135235⎛⎫=⨯- ⎪⨯⎝⎭； 第3个等式：a 3=111157257⎛⎫=⨯- ⎪⨯⎝⎭
； …
请按以上规律解答下列问题：
（1）列出第5个等式：a 5=_____________； （2）求a 1+a 2+a 3+…+a n =49
99
，那么n 的值为______________． 23．已知21a =+，求代数式223a a -+的值.
24．已知2210x x +-=，求432441x x x ++-的值．
25．如图，在一块长为a ，宽为2b 的长方形铁皮中，以2b 为直径分别剪掉两个半圆.
（1）求剩下的铁皮的面积（用含a ，b 的式子表示）； （2）当a =4，b =1时，求剩下的铁皮的面积是多少（π取3）．
26．已知：2277A B a ab -=-，且2467B a ab =-++．
（1）求A 等于多少；
（2）若2
1(2)0a b ++-=，求A 的值．
27．定义新运算：对于任意数a，b，都有a⊕b=（a﹣b）（a2+ab+b2）+b3，等式右边是通常的加法、减法、乘法及乘方运算，比如5⊕2=（5﹣2）（52+5×2+22）+23=3×39+8=
117+8=125．
（1）求3⊕（﹣2）的值；
（2）化简（a﹣b）（a2+ab+b2）+b3．
28．阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2=（a±b）2．请根据阅读材料解决下列问题：
（1）填空：a2﹣4a+4=__________．
（2）若a2+2a+b2﹣6b+10=0，求a+b的值．
（3）若a、b、c分别是△ABC的三边，且a2+4b2+c2﹣2ab﹣6b﹣2c+4=0，试判断△ABC的形状，并说明理由．
1．（2019•锦州）下列运算正确的是
A．x6÷x3=x2B．（-x3）2=x6 C．4x3+3x3=7x6D．（x+y）2=x2+y2 2．（2019•上海）下列运算正确的是
A．3x+2x=5x2B．3x-2x=x
C．3x·2x=6x D．3x÷2x
2 3
3．（2019•滨州）若8x m y与6x3y n的和是单项式，则（m+n）3的平方根为A．4 B．8
C．±4 D．±8 4．（2019•毕节市）如果3ab2m-1与9ab m+1是同类项，那么m等于A．2 B．1
C．-1 D．0 5．（2019•海南）当m=-1时，代数式2m+3的值是
A．-1 B．0
C．1 D．2 6．（2019•台州）计算2a-3a，结果正确的是
A．-1 B．1
C．-a D．a 7．（2019•怀化）单项式-5ab的系数是
A．5 B．-5
C．2 D．-2
8．（2019•黄石）化简1
3
（9x-3）-2（x+1）的结果是
A．2x-2 B．x+1
C．5x+3 D．x-3
9．（2019•连云港）计算下列代数式，结果为x5的是
A．x2+x3B．x·x5
C．x6-x D．2x5-x5
10．（2019•眉山）下列运算正确的是
A．2x2y+3xy=5x3y2B．（-2ab2）3=-6a3b6
C．（3a+b）2=9a2+b2D．（3a+b）（3a-b）=9a2-b2 11．（2019•绥化）下列因式分解正确的是
A．x2-x=x（x+1）B．a2-3a-4=（a+4）（a-1）C．a2+2ab-b2=（a-b）2D．x2-y2=（x+y）（x-y）12．（2019•湘西州）因式分解：ab-7a=__________．
13．（2019•常德）若x2+x=1，则3x4+3x3+3x+1的值为__________．14．（2019•南京）分解因式（a-b）2+4ab的结果是__________．15．（2019•赤峰）因式分解：x3-2x2y+xy2=__________．
16．（2019•绥化）计算：（-m3）2÷m4=__________．
17．（2019•湘潭）若a+b=5，a-b=3，则a2-b2=__________．
18．（2019•乐山）若3m=9n=2．则3m+2n=__________．
19．（2019•怀化）合并同类项：4a2+6a2-a2=__________．
20．（2019•绵阳）单项式x-|a-1|y与2x1b-y是同类项，则a b=__________．21．（2019•兰州）化简：a（1-2a）+2（a+1）（a-1）．
22．（2019•凉山州）先化简，再求值：（a+3）2-（a+1）（a-1）-2（2a+4），其中a
1
2 =-．
23．（2019•安徽）观察以下等式：
第1个等式：211 111 =+，
第2个等式：211 326 =+，
第3个等式：211 5315 =+，
第4个等式：211 7428 =+，
第5个等式：211 9545 =+，
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式：__________；
（2）写出你猜想的第n个等式：__________（用含n的等式表示），并证明．
24．（2019•自贡）阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+…+22017+22018的值，采用以下方法：设S=1+2+22+…+22017+22018①，
则2S=2+22+…+22018+22019②，
②-①得2S-S=S=22019-1，
∴S=1+2+22+…+22017+22018=22019-1．
请仿照小明的方法解决以下问题：
（1）1+2+22+…+29=__________；
（2）3+32+…+310=__________；
（3）求1+a+a2+…+a n的和（a>0，n是正整数，请写出计算过程）．
1．【答案】C
【解析】把m =–1代入代数式2m +3中，得2m +3=2×（–1）+3=1．故选C ． 2．【答案】C
【解析】A ．正确的格式为：
a
c
，即A 项不合题意， B ．正确的格式为：5a ，即B 项不合题意， C ．符合代数式的书写格式，即C 项符合题意， D ．正确的格式为：3
2
x ，即D 项不合题意， 故选C ．
【名师点睛】本题考查了代数式，正确掌握代数式的书写格式是解题的关键． 3．【答案】A
【解析】334x -与2221a b ab +-都是三次多项式，只有A 是三次多项式，故选A ． 4．【答案】C
【解析】A 、2a 2b 与-2b 2a 不是同类项，不能合并，此选项错误； B 、
23πa 2b 的系数是2
3
π，次数是3次，此选项错误； C 、2x 2y -3y 2-1是三次三项式，此选项正确； D 、3x 2y 3与﹣32
13
x y 不是同类项，此选项错误； 故选C ． 5．【答案】C
变式拓展
【解析】∵2+22=23-2；2+22+23=24-2；2+22+23+24=25-2；… ∴2+22+23+…+2n =2n +1-2，
∴250+251+252+…+299+2100=（2+22+23+…+2100）-（2+22+23+…+249）=（2101-2）-（250-2）=2101-250， ∵250=a ，∴2101=（250）2·2=2a 2，∴原式=2a 2-a ．故选C ．
【名师点睛】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的难点在于得出规律：2+22+23+…+2n =2n +1-2． 6．【答案】
1
(1)
22n n n +++
【解析】观察分母，3，5，9，17，33，…，可知规律为2n +1， 观察分子的，1，3，6，10，15，…，可知规律为
(1)
2
n n +， ∴a n =1
(1)
(1)22122n n n n n n +++=++，故答案为：1(1)
22
n n n +++． 【名师点睛】此题考查了规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键． 7．【答案】A
【解析】当有1个黑色纸片时，有4个白色纸片； 当有2个黑色纸片时，有437+=个白色纸片； 当有3个黑色纸片时，有43310++=个白色纸片； 以此类推，当有n 个黑色纸片时，有()431n +-个白色纸片. 当()4312017n +-=时，化简得32016n =，解得672n =.故选A. 故选C ． 8．【答案】A
【解析】拼搭第1个图案需4=1×(1+3)根小木棒， 拼搭第2个图案需10=2×
(2+3)根小木棒， 拼搭第3个图案需18=3×
(3+3)根小木棒， 拼搭第4个图案需28=4×(4+3)根小木棒， …
拼搭第n 个图案需小木棒n (n +3)=n 2+3n 根. 当n =6时，n 2+3n =62+3×6=54. 故选A.
【名师点睛】本题考查图形的变化规律，找出图形之间的关系，得出数字之间的运算规律，利用规律解决问题.
9．【答案】B
【解析】A 、不是同类项不能合并，故此选项错误；
B 、a 3·a 4=a 3+4=a 7，故此选项正确；
C 、不是同类项不能合并，故此选项错误；
D 、a 3÷a 4=a 3–4=a –1=
1a ，故此选项错误． 故选B ．
【名师点睛】本题考查了同底数幂的乘法和除法法则，熟记法则是解决此题的关键． 10．【解析】（1）①4646101011111()()()
()()22222+-⨯-=-=-=； ②23232353(3)3333+⨯-=-⨯=-=-；
（2）33333325222224222+++=⨯=⨯=；
（3）∵252018()()()()p x y x y x y x y -⋅-⋅-=-，
∴2＋p ＋5＝2018，
解得：p ＝2011．
【名师点睛】本题主要考查的是同底数幂的乘法，正确理解材料中同底数幂乘法的运算性质是解题的关键．
11．【答案】B
【解析】∵长方形的周长为68a b +，
∴相邻的两边的和是34a b +,
∵一边长为23a b +，
∴另一边长为342334()23a b a b a b a b a b +-+=+--=+，
故选B.
【名师点睛】由长方形的周长=（长+宽）×
2，可求出相邻的两边的和是3a +4b ,再用3a +4b 减去2a ＋3b ，即可求出另一边的长.
12．【答案】A 【解析】∵21
3x a b 与15y ab 的和是815x y a b ，∴213x a b 与15
y ab 是同类项，∴1,2x y ==，
∴121x y -=-=-.故选A.
13．【解析】原式=x 3+ax 2+bx +3x 2+3ax +3b =x 3+ax 2+3x 2+3ax +bx +3b
=x 3+（a +3）x 2+（3a +b ）x +3b ，
由题意可知：a +3=0，3a +b =0，
解得a =–3，b =9．
14．【答案】D 【解析】A ．原式=（x +3）（x –3），选项错误；
B ．原式=（3x +2y ）（3x –2y ），选项错误；
C ．原式=（x –12
）2，选项错误； D ．原式=–（x 2+4xy +4y 2）=–（x +2y ）2，选项正确．
故选D ．
15．【答案】(a +4)(a -2)
【解析】()2
224a a +--=228(4)2()a a a a +-=+-. 16．【答案】C
【解析】a 3﹣a 2b +b 2﹣2ab =a 2（a ﹣b ）+b 2﹣2ab =a 2+b 2﹣2ab =（a ﹣b ）2=1．
故选C ． 1．【答案】D
【解析】∵矩形的宽=
2
矩形周长−长，∴宽为：（10-x ）cm ．故选D ． 2．【答案】B
【解析】∵3a ﹣2b =1，
∴5﹣6a +4b =5﹣2（3a ﹣2b ）=5﹣2×
1=3， 故选：B ．
3．【答案】D 【解析】根据单项式的定义可知，只有代数式0，﹣1，﹣x,13
a,是单项式，一共有4个.故选D. 考点冲关
4．【答案】C 【解析】由题意可得，()123,104
m m +=-
+≠，解得1m =±且1m ≠-． 则m 等于1，故选C ．
5．【答案】B
【解析】∵2x 3m y 4与–3x 9y 2n 是同类项，
∴3m =9,4=2n ，
∴m =3，n =2.
故选：B.
6．【答案】B
【解析】A 、m 3•m 2=m 5，故此选项错误；
B 、m 5÷m 3=m 2（m ≠0），故此选项正确；
C 、（m −2）3=m −6，故此选项错误；
D 、m 4-m 2，无法计算，故此选项错误；
故选：B ．
7．【答案】D
【解析】（﹣ab 2）3=﹣a 3b 6，故选：D ．
8．【答案】C
【解析】∵–x –y =–（x +y ），∴2019–x –y =2019–（x +y ）=2019–（–1）=2020，故选C ．
【名师点睛】此题考查代数式求值，难度不大．
9．【答案】D
【解析】∵所求的正方形的面积等于一张正方形A 类卡片、4张正方形B 类卡片和4张长方形C 类卡片的和，
∴所求正方形的面积=m 2+4mn +4n 2=（m +2n ）2，
∴所求正方形的边长为m +2n ．
故选：D.
10．【答案】D
【解析】原式=ax （x 2﹣2x +1）=ax （x ﹣1）2，故选：D ．
11．【答案】A
【解析】∵15=2×8﹣1，∴m =28=256，则n =256﹣15=241，故选A ．
【名师点睛】本题主要考查数字的变化类，解题的关键是得出第n 个图形中最上方的数字为2n ﹣1，左下数字为2n ，右下数字为2n ﹣（2n ﹣1）．
12．【答案】B
【解析】由题意可知：9+a +b =a +b +c ，∴c =9．
∵9-5+1=5，1684÷
5=336…4， 且9-5=4，∴m =336×
3+2=1010．故选：B ． 13．【答案】A
【解析】由完全平方公式可得：236kab a b k -=±⨯=±,.故选A.
【名师点睛】做此类问题的重点在于判断完全平方式的结构特点.
14．【答案】D
【解析】由()²9a b +=，得²²29a b ab ++=，又²²5a b +=，则2954ab =-=，所以
(2)448ab -=⨯-=-.故选D.
15．【答案】D
【解析】①倒数等于它本身的数有±
1，故①错误， ②绝对值等于它本身的数是非负数，故②错误， ③2332
a b c -是六次单项式，故③错误， ④2πr 的系数是2π，次数是1，故④错误，
⑤2223a b a -+是四次三项式，故⑤正确，
⑥22ab 与23ba 不是同类项，故⑥错误.
故选D.
【名师点睛】单项式中的数字因数就是单项式的系数，所有字母的指数的和就是多项式的次数. 16．【答案】A
【解析】当x =2时，第一次输出结果=12×2=1；
第二次输出结果=1+3=4；
第三次输出结果=4×12
=2，； 第四次输出结果=12×
2=1， …
2017÷3=672…1．
所以第2017次得到的结果为1．
故选A ．
17．【答案】3 【解析】∵1312
a x y --与23
b xy -是同类项， ∴1132a b
-=⎧⎨=-⎩， 解得21a b =⎧⎨=-⎩
， ∴a b -=3.
故答案为3.
18．【答案】3x （x +3）（x ﹣3）
【解析】3x 3﹣27x =3x （x 2﹣9）=3x （x +3）（x ﹣3）．
【名师点睛】本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力．一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 19．【答案】0.6x –20
【解析】根据题意进价为：0.6x –20.故答案为0.6x –20.
【名师点睛】此题考查列代数式，难度不大．
20．【答案】19a 20
【解析】∵a 2，3a 4，5a 6，7a 8，…
∴单项式的次数是连续的偶数，系数是连续的奇数，
∴第10个代数式是：（2×10﹣1）a 2×10=19a 20．
故答案为：19a 20．
【名师点睛】此题主要考查了单项式，正确得出单项式次数与系数的变化规律是解题关键． 21．【答案】1010
【解析】根据题意分析可得：第1幅图中有1个．
第2幅图中有2×
2﹣1=3个． 第3幅图中有2×
3﹣1=5个． 第4幅图中有2×
4﹣1=7个． …．
可以发现，每个图形都比前一个图形多2个．
故第n 幅图中共有（2n ﹣1）个．
当图中有2019个菱形时，2n ﹣1=2019，解得n =1010，
故答案为：1010．
【名师点睛】本题考查规律型中的图形变化问题，难度适中，要求学生通过观察，分析、归纳并发现其中的规律．
22．【答案】11119112911⎛⎫
=⨯- ⎪⨯⎝⎭,49
【解析】(1)观察等式,可得以下规律：()()1
11
1212122121n a n n n n ⎛
⎫
==- ⎪-+-+⎝⎭， ∴51
1
1
1.9112911a ⎛⎫
==⨯- ⎪⨯⎝⎭
（2）12311111111111
12323525722121n a a a a n n ⎛
⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+++⋯+=⨯-+⨯-+⨯-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
L
1149
122199n ⎛⎫
=-= ⎪+⎝⎭，
解得：n =49.
故答案为（1）1
1
119112911⎛⎫
=⨯- ⎪⨯⎝⎭；（2）49.
23．【解析】223a a -+=221a a -++2=（a −1）2+2
当a =2+1时，原式=（2+11-）2+2=（2）2+2=2+2=4.
24．【解析】由已知，得221x x +=，
则432441x x x ++-
=222241x x x x ++-（）
=2241x x +-
=2221x +-（）
=2–1
=1．
【名师点睛】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解解决证明问题．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．
25．【解析】（1）长方形的面积为：a ×2b =2ab ，
两个半圆的面积为：π×b 2=πb 2，
∴阴影部分面积为：2ab –πb 2．
（2）当a =4，b =1时，
∴2ab –πb 2=2×4×1–3×1=5．
【名师点睛】本题考查列代数式，涉及代入求值，有理数运算等知识，解题的关键是根据题意正确列出代数式.
26．【解析】（1）∵2277A B a ab -=-，2 467B a ab =-++，
∴()222246777A B A a ab a ab -=--++=-，
∴()()2222
7724677781214A a ab a ab a ab a ab =-+-++=--++ 2514a ab =-++.
（2）依题意得：10a +=，20b -=，
∴1a =-，2b =．
∴22514(1)5(1)2143A a ab =-++=--+⨯-⨯+=．
【名师点睛】考查了整式的化简求值、非负数的性质、绝对值、平方根的知识．整式的加减运算实际上就是去括号、合并同类项.
27．【解析】（1）3⊕（﹣2）
=（3+2）×[32+3×（﹣2）+（﹣2）2]+（﹣2）3
=5×7﹣8
=27．
（2）（a ﹣b ）（a 2+ab +b 2）+b 3
=a 3+a 2b +ab 2﹣a 2b ﹣ab 2﹣b 3+b 3
=a 3．
【名师点睛】此题考查有理数的混合运算，掌握运算法则是解题关键．
28．【解析】（1）2244(2)a a a -+=-Q ，故答案为：2(2)a -；
（2）2226100a a b b ++-+=Q ，
22(1)(3)0a b ∴++-=，
1a ∴=-，3b =，
2a b ∴+=；
（3）ABC △为等边三角形．理由如下：
222426240a b c ab b c ++---+=Q ，
222()(1)3(1)0a b c b ∴-+-+-=，
0a b ∴-=，10c -=，10b -=
1a b c ∴===，
ABC ∴△为等边三角形．
【名师点睛】本题考查配方法的运用，非负数的性质，完全平方公式，等边三角形的判定.解题的关键是构建完全平方式，根据非负数的性质解题．
1．【答案】B
【解析】∵x 6÷
x 3=x 3，∴选项A 不符合题意； ∵（-x 3）2=x 6，∴选项B 符合题意；
∵4x 3+3x 3=7x 3，∴选项C 不符合题意； ∵（x +y ）2=x 2+2xy +y 2，∴选项D 不符合题意．故选B ．
【名师点睛】此题主要考查了同底数幂的除法的运算方法，幂的乘方与积的乘方的运算方法，合并同类项的方法，以及完全平方公式的应用，要熟练掌握．
2．【答案】B
【解析】A ．原式=5x ，故A 错误；C ．原式=6x 2，故C 错误；D ．原式32
=，故D 错误，故选B ． 【名师点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型． 3．【答案】D
【解析】由8x m y 与6x 3y n 的和是单项式，得m =3，n =1．
（m +n ）3=（3+1）3=64，64的平方根为±
8．故选D ． 直通中考
【名师点睛】本题考查了同类项，同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点．
4．【答案】A
【解析】根据题意可得：2m-1=m+1，解得m=2，故选A．
【名师点睛】此题考查同类项问题，关键是根据同类项的定义得出m的方程．
5．【答案】C
【解析】将m=-1代入2m+3=2×（-1）+3=1，故选C．
【名师点睛】本题考查代数式求值；熟练掌握代入法求代数式的值是解题的关键．
6．【答案】C
【解析】2a-3a=-a，故选C．
【名师点睛】本题考查了合并同类项法则的应用，能熟记合并同类项法则的内容是解此题的关键．7．【答案】B
【解析】单项式-5ab的系数是-5，故选B．
【名师点睛】本题考查单项式，注意单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．
8．【答案】D
【解析】原式=3x-1-2x-2=x-3，故选D．
【名师点睛】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
9．【答案】D
【解析】A、x2与x3不是同类项，故不能合并同类项，故选项A不合题意；
B、x·x5=x6，故选项B不合题意；
C、x6与x不是同类项，故不能合并同类项，故选项C不合题意；
D、2x5-x5=x5，故选项D符合题意．故选D．
【名师点睛】本题主要考查了合并同类项的法则：系数下降减，字母以及其指数不变．10．【答案】D
【解析】A．2x2y和3xy不是同类项，故不能合并，故选项A不合题意；
B．（-2ab2）3=-8a3b6，故选项B不合题意；
C．（3a+b）2=9a2+6ab+b2，故选项C不合题意；
D．（3a+b）（3a-b）=9a2-b2，故选项D符合题意．故选D．
【名师点睛】本题主要考查了合并同类项的法则、幂的运算性质以及乘法公式，熟练掌握相关
公式是解答本题的关键．
11．【答案】D
【解析】A、原式=x（x-1），错误；B、原式=（a-4）（a+1），错误；
C、a2+2ab-b2，不能分解因式，错误；
D、原式=（x+y）（x-y），正确．故选D．
【名师点睛】此题考查了提公因式法、十字相乘法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12．【答案】a（b-7）
【解析】原式=a（b-7），故答案为：a（b-7）．
【名师点睛】此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是正确找出公因式．
13．【答案】4
【解析】∵x2+x=1，∴3x4+3x3+3x+1=3x2（x2+x）+3x+1=3x2+3x+1=3（x2+x）+1=3+1=4，故答案为：4．
【名师点睛】本题考查了因式分解的应用；把所求多项式进行灵活变形是解题的关键．14．【答案】（a+b）2
【解析】（a-b）2+4ab=a2-2ab+b2+4ab=a2+2ab+b2=（a+b）2．故答案为：（a+b）2．
【名师点睛】此题主要考查了运用公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
15．【答案】x（x-y）2
【解析】原式=x（x2-2xy+y2）=x（x-y）2，故答案为：x（x-y）2．
【名师点睛】此题考查了提公因式与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
16．【答案】m2
【解析】（-m3）2÷m4=m6÷m4=m2．故答案为：m2．
【名师点睛】此题主要考查了积的乘方运算以及整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
17．【答案】15
【解析】∵a+b=5，a-b=3，∴a2-b2=（a+b）（a-b）=5×3=15，故答案为：15．
【名师点睛】本题考查了平方差公式，能够正确分解因式是解此题的关键．
18．【答案】4
【解析】∵3m=32n=2，∴3m+2n=3m·32n=2×2=4，故答案为：4．
【名师点睛】此题考查幂的乘方与积的乘方，关键是根据幂的乘方与积的乘方解答．
19．【答案】9a 2
【解析】原式=a 2（4+6-1）=9a 2，故答案为：9a 2．
【名师点睛】本题考查合并同类项，合并同类项时要注意以下三点：
①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数；
②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；
③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．
20．【答案】1
【解析】由题意知-|a -1|1b =-≥0，∴a =1，b =1，则a b =（1）1=1，故答案为：1．
【名师点睛】此题考查了同类项的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握同类项的定义，难度一般．
21．【解析】原式=a -2a 2+2（a 2-1）
=a -2a 2+2a 2-2
=a -2．
【名师点睛】本题主要考查平方差公式及单项式的乘法，熟练运用公式及运算规则是解题的关键．
22．【解析】原式=a 2+6a +9-（a 2-1）-4a -8
=2a +2．
将a 12=-代入原式=2×（12
-）+2=1． 【名师点睛】本题主要考查整式的混合运算，灵活运用两条乘法公式：完全平方公式和平方差公式是解题的关键，同时，在去括号的过程中要注意括号前的符号，若为负号，去括号后，括号里面的符号要改变．
23．【解析】（1）第6个等式为：21111666=+，故答案为：21111666
=+． （2）21121(21)
n n n n =+--， 证明：∵右边=112112(21)(21)21
n n n n n n n -++==---=左边．
∴等式成立， 故答案为：21121(21)
n n n n =+--． 【名师点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据已知等式得出21121(21)
n n n n =+--的规律，并熟练加以运用． 24．【解析】（1）设S =1+2+22+…+29①，
则2S =2+22+…+210②，
②-①得2S -S =S =210-1，
∴S =1+2+22+…+29=210-1，故答案为：210-1．
（2）设S =3+3+32+33+34+…+310①，
则3S =32+33+34+35+…+311②，
②-①得2S =311-1，
所以S =11312
-， 即3+32+33+34+…+310=11312-， 故答案为：11312
-． （3）设S =1+a +a 2+a 3+a 4+…+a n ①，
则aS =a +a 2+a 3+a 4+…+a n +a n +1②，
②-①得：（a -1）S =a n +1-1，
a =1时，不能直接除以a -1，此时原式等于n +1，
a 不等于1时，a -1才能做分母，所以S =111
n a a +--， 即1+a +a 2+a 3+a 4+…+a n =111n a a +--． 【名师点睛】本题考查了规律型：数字的变化类：认真观察、仔细思考，善用联想，利用类比的方法是解决这类问题的方法．。