2016年秋季新版北师大版九年级数学下册1.2 30°,45°,60°角的三角函数值
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3a 3 2a 2
，tan 30°=
a 1 3 3 3a 3
.
45°,60°角的三角函数值
【做一做】 (1)60°角的三角函数值分别是多少?你是怎样得到的?
sin 60°=
3a 3 ，cos 2a 2
60°
a 1 2a 2
3a ，tan 60° 3 . a
(2)45°角的三角函数值分别是多少?你是怎样得到的?
,故①错误；∵sin A=
1 2
3 3
1 2
，∴∠A=30°，
∴∠B=60°，∴cos B= ∴tan A=tan 30°=
，故②正确;∵∠A=30°，
，故③正确；∵∠B=60°，
∴tan B=tan 60°= 3 ，故④正确.故填②③④.
4.如图(1)所示,以O为圆心,任意长为半径画弧,与射线OM
1 解析:原式=6×1-2× 2
( D )
检测反馈
=5.故选D.
(1 tan 60) 2 的值是 ( B )
2.式子2cos 30°-tan 45°A.2 3 -2 B.0 C.2 3
D.2
解析:原式 =2 3 1 ( 3 1) 3 1 3 1 0.故选B.
2
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC,现给出下列结论:①
；②cos B= ；③tan A= ；④tan B= 3 .其中 正确的结论是 ②③④ .(只需填上正确结论的序号) sin A=
3 2
1 2
3 3
解析:如图所示,∵在Rt△ABC中,∠C=90°，AB=2BC， ∴sin A=
1 2
∴CE=CD+AB≈25.95+1.5=27.45≈27.5(m). 答:此时风筝离地面的高度约是27.5 m.
解: (1)sin30°+cos45°
1 2 1 2 . 2 2 2
(2) sin260°+cos260°-tan45°
3 1 2 1 2 2
2
3 1 1 4 4
0.
如图(1)所示,一个小孩荡秋千,秋千链子的长度为2.5 m,当 秋千向两边摆动时,摆角恰好为60°,且两边的摆动角相同, 求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差(结果 精确到0.01 m). （1） 解:如图（2）所示,根据题意可知,
∠AOD
1 60 30 , 2
OD=2.5m,
3 OC OD cos 30 2.5 2.165(m). 2
OC cos 30 , OD
∴AC=2.5-2.165≈0.34(m). ∴最高位置与最低位置的高度差约为0.34m.
1.计算6tan 45°-2cos 60°的结果是 A.4 3 B.4 C.5 3 D.5
5.如图所示,小明在公园里放风筝,拿风 筝线的手B离地面的高度AB为1.5 m,风 筝飞到C处时的线长BC为30 m,这时测得 ∠CBD=60°,求此时风筝离地面的高 度.(结果精确到0.1 m, 3 ≈1.73)
CD 解:在直角三角形BCD中,sin∠CBD= BC
,
∴CD=BC· sin∠CBD=30×sin 60°=15 3 ≈25.95(m).
九年级数学· 下 新课标[北师]
第一章
直角三角形的边角关系
30°，45°，60°角的三角函数值
学习新知
检测反馈
学习新知 问题思考 同学们,老师用我们常用的三角板拼成 一棵松树,你从图片中发现了哪些锐角呢?
30°角的三角函数值
有关这副三角板的边角关系的知 识,你已经了解哪些? (1)直角三角形中,30°角所对的直角边是斜边的一半; (2)45°角所在的直角三角形的两直角边相等. 能利用上面的性质得出sin 30°等于多少吗? 我们不妨设30°角所对的边为a(如图所示),根据“直角三角 形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”的性质,可得斜边 a 1 等于2a,所以sin 30°= 2a 2 . 根据勾股定理得较长的直角边长为 3a，所以cos 30°=
如图所示,设其中一条直角边为a,则另 一条直角边也为a,根据勾股定理可得斜 边为 2 a.由此可求得: sin 45°= cos 45°=
a 1 2 2 2a 2 a 1 2 2 2a 2
， ，
1 . tan 45°= a a
三角函数 正弦sinα 锐角α
余弦 cosα
正切tanα
交于点A,再以A为圆心,AO长为半径画弧,两弧交于点B,画
射线OB,则cos∠AOB的值等于
1 2
Hale Waihona Puke Baidu
.
解析:如图(2)所示,连接AB,由画出图形的过程可知 OA=OB,AO=AB,∴OA=AB=OB,即三角形OAB为等边三角 1 1 形,∴∠AOB=60°,∴cos∠AOB=cos 60° = .故填 . 2 2
300 450 600
1 2 2 2 3 2
3 2 2 2 1 2
3 3
1
3
由于30°,45°,60°三个特殊角的三角函数值的分母都 可以变化成一样的,只是分子不同,所以30°,45°,60°角 的三角函数值可以利用口诀“一二三,三二一,三九二十七” 进行记忆.
计算:
(1)sin30°+cos45°; (2) sin260°+cos260°-tan45°.
，tan 30°=
a 1 3 3 3a 3
.
45°,60°角的三角函数值
【做一做】 (1)60°角的三角函数值分别是多少?你是怎样得到的?
sin 60°=
3a 3 ，cos 2a 2
60°
a 1 2a 2
3a ，tan 60° 3 . a
(2)45°角的三角函数值分别是多少?你是怎样得到的?
,故①错误；∵sin A=
1 2
3 3
1 2
，∴∠A=30°，
∴∠B=60°，∴cos B= ∴tan A=tan 30°=
，故②正确;∵∠A=30°，
，故③正确；∵∠B=60°，
∴tan B=tan 60°= 3 ，故④正确.故填②③④.
4.如图(1)所示,以O为圆心,任意长为半径画弧,与射线OM
1 解析:原式=6×1-2× 2
( D )
检测反馈
=5.故选D.
(1 tan 60) 2 的值是 ( B )
2.式子2cos 30°-tan 45°A.2 3 -2 B.0 C.2 3
D.2
解析:原式 =2 3 1 ( 3 1) 3 1 3 1 0.故选B.
2
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC,现给出下列结论:①
；②cos B= ；③tan A= ；④tan B= 3 .其中 正确的结论是 ②③④ .(只需填上正确结论的序号) sin A=
3 2
1 2
3 3
解析:如图所示,∵在Rt△ABC中,∠C=90°，AB=2BC， ∴sin A=
1 2
∴CE=CD+AB≈25.95+1.5=27.45≈27.5(m). 答:此时风筝离地面的高度约是27.5 m.
解: (1)sin30°+cos45°
1 2 1 2 . 2 2 2
(2) sin260°+cos260°-tan45°
3 1 2 1 2 2
2
3 1 1 4 4
0.
如图(1)所示,一个小孩荡秋千,秋千链子的长度为2.5 m,当 秋千向两边摆动时,摆角恰好为60°,且两边的摆动角相同, 求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差(结果 精确到0.01 m). （1） 解:如图（2）所示,根据题意可知,
∠AOD
1 60 30 , 2
OD=2.5m,
3 OC OD cos 30 2.5 2.165(m). 2
OC cos 30 , OD
∴AC=2.5-2.165≈0.34(m). ∴最高位置与最低位置的高度差约为0.34m.
1.计算6tan 45°-2cos 60°的结果是 A.4 3 B.4 C.5 3 D.5
5.如图所示,小明在公园里放风筝,拿风 筝线的手B离地面的高度AB为1.5 m,风 筝飞到C处时的线长BC为30 m,这时测得 ∠CBD=60°,求此时风筝离地面的高 度.(结果精确到0.1 m, 3 ≈1.73)
CD 解:在直角三角形BCD中,sin∠CBD= BC
,
∴CD=BC· sin∠CBD=30×sin 60°=15 3 ≈25.95(m).
九年级数学· 下 新课标[北师]
第一章
直角三角形的边角关系
30°，45°，60°角的三角函数值
学习新知
检测反馈
学习新知 问题思考 同学们,老师用我们常用的三角板拼成 一棵松树,你从图片中发现了哪些锐角呢?
30°角的三角函数值
有关这副三角板的边角关系的知 识,你已经了解哪些? (1)直角三角形中,30°角所对的直角边是斜边的一半; (2)45°角所在的直角三角形的两直角边相等. 能利用上面的性质得出sin 30°等于多少吗? 我们不妨设30°角所对的边为a(如图所示),根据“直角三角 形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”的性质,可得斜边 a 1 等于2a,所以sin 30°= 2a 2 . 根据勾股定理得较长的直角边长为 3a，所以cos 30°=
如图所示,设其中一条直角边为a,则另 一条直角边也为a,根据勾股定理可得斜 边为 2 a.由此可求得: sin 45°= cos 45°=
a 1 2 2 2a 2 a 1 2 2 2a 2
， ，
1 . tan 45°= a a
三角函数 正弦sinα 锐角α
余弦 cosα
正切tanα
交于点A,再以A为圆心,AO长为半径画弧,两弧交于点B,画
射线OB,则cos∠AOB的值等于
1 2
Hale Waihona Puke Baidu
.
解析:如图(2)所示,连接AB,由画出图形的过程可知 OA=OB,AO=AB,∴OA=AB=OB,即三角形OAB为等边三角 1 1 形,∴∠AOB=60°,∴cos∠AOB=cos 60° = .故填 . 2 2
300 450 600
1 2 2 2 3 2
3 2 2 2 1 2
3 3
1
3
由于30°,45°,60°三个特殊角的三角函数值的分母都 可以变化成一样的,只是分子不同,所以30°,45°,60°角 的三角函数值可以利用口诀“一二三,三二一,三九二十七” 进行记忆.
计算:
(1)sin30°+cos45°; (2) sin260°+cos260°-tan45°.