第五讲函数图像及其变换

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函数的图像及其变换归纳总结

函数的图像及其变换归纳总结一、课标要求：函数是现代数学中最基本的概念，是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学语言和工具，在解决实际问题汇总发挥重要作用。

函数是贯穿高中数学课程的主线。

1．函数概念与性质本单元的学习，可以帮助学生建立完整的函数概念，不仅把函数理解为刻画变量之间依赖关系的数学语言和工具，也把函数理解为实数集合之间的对应关系；能用代数运算和函数图象揭示函数的主要性质；在现实问题中，能利用函数构建模型，解决问题。

（1）函数概念①在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念（参见案例2），体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用。

了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域。

②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数，理解函数图象的作用。

③通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。

（2）函数性质①借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义。

②结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义。

③结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义。

2．幂函数、指数函数、对数函数幂函数、指数函数与对数函数是最基本的、应用最广泛的函数，是进一步研究数学的基础。

本单元的学习，可以帮助学生学会用函数图象和代数运算的方法研究这些函数的性质；理解这些函数中所蕴含的运算规律；运用这些函数建立模型，解决简单的实际问题，体会这些函数在解决实际问题中的作用。

内容包括：幂函数、指数函数、对数函数。

（1）幂函数（2）指数函数（3)对数函数二、知识梳理1.图像的变换（1）两个函数图象间的变换及函数关系：【会根据变换写解析式】平移变换：（2）翻折变换：（3）伸缩变换：（4）(对称变换)两个函数图象间的对称性及函数关系：【会根据对称性写解析式】2.函数图像的应用（1）.利用函数图像确定函数解析式利用函数图像确定函数解析式时,要注意综合应用奇偶性、单调性等相关性质，同时结合自变量与函数值的对应关系.（2）利用函数图像研究两函数图像交点的个数利用函数图像研究两函数图像交点的个数时,常将两函数图像在同一坐标系内作出,利用数形结合求解参数的取值范围.（3）利用函数图像研究不等式当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时,常将不等式问题转化为两函数图像的上、下关系问题,从而利用数形结合求解.（4）利用函数图像研究方程根的个数【会读图】读出定义域，值域，最值，极值，零点，解集，单调性，奇偶性（对称性），周期性，有界性，渐近线．【会作图】熟练掌握一些基本函数图象．作图时，抓住关键点（端点、最值点、极值点、零点、与y轴的交点、对称中心等），关键线（对称轴、渐近线），利用好函数性质（奇偶性、单调性、周期性等）．三、查缺补漏1.识图，辩图（1）从函数的定义域,判断图像左右的位置；（2）从函数的值域,判断图像的上下位置；（3）从函数的单调性,判断图像的变化趋势；（4）从函数的奇偶性,判断图像的对称性；（5）从函数的周期性,判断图像的循环往复.2.图像的变换3.图像的应用四、常用二级结论：1.函数图像对称性2. 二次函数3.经典不等式．三年真题：。

函数图像的变换PPT

总结词
当函数图像在y轴方向上伸缩时，其形状和位置会发生变化，但对称性保持不变。
详细描述
沿y轴伸缩是指保持x轴不变，只改变y轴的长度。当y增大时，整个函数图像向上平移；当y减小时，整个函数图像向下平移。这种变换不会改变函数的值，只是改变了图像在y轴上的位置。
同时沿x轴和y轴伸缩
总结词
当函数图像在x轴和y轴方向上都发生伸缩时，其形状和位置会发生变化，但对称性保持不变。
03
伸缩变换
沿x轴伸缩
总结词
当函数图像在x轴方向上伸缩时，其形状和位置会发生变化，但对称性保持不变。
详细描述
沿x轴伸缩是指保持y轴不变，只改变x 轴的长度。当x增大时，整个函数图像向右平移；当x减小时，整个函数图像向左平移。这种变换不会改变函数的值，只是改变了图像在x轴上的位置。
沿y轴伸缩
详细描述
旋转角度的大小对函数图像的形状和位置有直接影响。例如，当一个正弦函数图像顺时针旋转90度时，它将变成一个余弦函数图像；而当它逆时针旋转90度时，它将变成一个正切函数图像。此外，旋转角度也会影响图像的位置，例如，当图像逆时针旋转30度时，图像上的所有点都会沿着顺时针方向移动
30度。
旋转变换实例
总结词
旋转变换是指函数图像绕原点旋转的过程。
详细描述
旋转变换可以通过将直角坐标转换为极坐标来实现。例如，函数$y = f(x)$的图像绕原点逆时针旋转$theta$角度后，新的函数可以表示为$y = f(rcostheta), x = rsintheta$。
复合变换实例
总结词
复合变换是指同时进行平移、伸缩和旋转变换的过程。
与顺时针旋转相反，如果函数图像按照逆时针方向旋转，那么图像上的每一个点都会沿着顺时针方向移动。例如，如果一个函数图像是关于x轴对称的，那么当它逆时针旋转90度时，原来的对称轴将变成垂直轴，而原来的y 轴将变成水平轴。

函数图像的变换优秀课件

函数图像的变换优秀课件
平移变换—水平平移
f(x+2)=(x+2)2
y f(x)=x2
-2 O
f(x-2)=(x-2)2
2
x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
平移变换—水平平移
小结：
y=f(x) 沿 x轴
y=f(x+a) 当a>0时，向左平移 a个单位当a<0时，向右平移
|a|个规单律位：左加右减
平移变换—竖直平移 y=x2 +1
1 1 , 1 0,1 2
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
-1
y (1) x 2
-2
-3
y
4
y log2x
3
y log2x1
-4 -3 -2 -1
2
1,1
1
4,2 4,1
1,0
x 0 1 2 1 , 1 3 4
-1 2 1,1
ylog2x1
-2 1 , 2 2
（x,y)换成（x,-y)
1、 y f (x) 关于y轴对称 yf(x) 3、y f (x) 关于原点对称 yf(x)
（x,y)换成（-x,y)
（x,y)换成（-x,-y)
三、适应练习Ⅰ
1、y x2 与 y x2 的图像关于______x__轴_____对称；
2、 f (x)2x1 与g(x)21x的图像关于_____y__轴______对称；
y f(x)=x2
1
O -1
y=x2 -1 x
平移变换—竖直平移
小结：
y=f(x)沿 y轴 y =f(x) +a
当a>0时，向上平移a个单位当a<0时，向下平移|a|个单位

数学中的函数图像与变换

数学中的函数图像与变换数学是一门抽象而纯粹的学科，其中一个重要的概念就是函数。

函数是数学中最基本的概念之一，它描述了一种特定的关系，将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。

函数的图像是对函数关系的可视化呈现，而函数的变换则是对函数图像进行的操作和变化。

函数的图像是通过将函数的输入值与输出值进行配对而得到的。

在直角坐标系中，函数的图像可以用曲线来表示。

对于一元函数来说，其图像是在平面上的一条曲线，而对于二元函数来说，其图像则是在三维空间中的一个曲面。

通过观察函数的图像，我们可以得到函数的一些特性和性质。

函数的图像可以通过一些基本的变换来进行操作和变化。

其中最基本的变换有平移、伸缩和反射。

平移是指将函数的图像沿着坐标轴的方向进行移动，而保持形状不变。

伸缩是指将函数的图像沿着坐标轴的方向进行拉伸或压缩，从而改变函数的幅度。

反射是指将函数的图像关于坐标轴进行对称，从而改变函数的正负。

除了基本的变换之外，还有一些特殊的函数变换，如平方函数、立方函数和指数函数等。

这些函数变换可以改变函数的形状和性质。

例如，平方函数将输入值的平方作为输出值，使得函数的图像变得更加陡峭。

立方函数则将输入值的立方作为输出值，使得函数的图像变得更加平缓。

指数函数则将输入值的指数作为输出值，使得函数的图像呈现出指数增长或指数衰减的特点。

函数的图像和变换在数学中有着广泛的应用。

它们可以用来描述物理现象、经济模型和工程问题等。

例如，在物理学中，函数的图像可以用来描述运动的轨迹和物体的变化。

在经济学中，函数的图像可以用来描述供求关系和市场变化。

在工程学中，函数的图像可以用来描述信号的传输和系统的响应。

总之，数学中的函数图像和变换是一门重要而有趣的学科。

通过观察函数的图像和进行函数的变换，我们可以深入理解函数的性质和特点。

函数的图像和变换不仅在数学中有着广泛的应用，还可以帮助我们解决现实生活中的问题。

因此，学习和掌握函数图像和变换的知识对于我们的数学学习和实际应用都具有重要的意义。

函数的图像及其变换

的图像可由y＝f(x)的图像向上平移b个单位而得到．总之，对于平移变换，记忆口诀为：左加右减，上加下减．
(2)对称变换 y＝f(－x)与y＝f(x)的图像关于 y轴 y＝－f(x)与y＝f(x)的图像关于 x轴对称；对称；对称；
y＝－f(－x)与y＝f(x)的图像关于原点
y＝|f(x)|的图像可将y＝f(x)的图像在x轴下方的部分
AD，当点C落在X轴上时，h′＝CF，显然AD＝CF，即当“中心点”M位于最高处时，“最高点”与X轴的距离相等，选项B不符，故选A.
【答案】 A
·高中总复习（第1轮）·理科数学 ·全国版
立足教育开创未来
► 探究点3 判断、证明函数的单调性题型三：函数图象的应用及对称问题 3. 已知f(x)=| x2 -4x+3|. (1)求f(x)的单调区间; (2)求m的取值范围，使方程f(x)=mx有4个不同实根.
方法二 y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图像分别由y＝f(x) 与y＝f(－x)的图像同时向右平移一个单位而得，又y＝f(x) 与y＝f(－x)的图像关于y轴对称． ∴y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图像关于直线x＝1对称．
【答案】 (1)g(x)＝－ln(x－1) (2)D
变式
(1)已知函数 f(2x＋1)是奇函数，则函数 y＝f(2x) )
【解析】如图所示，不妨设正三角形ABC的边长为a，记“中心点”M与X轴的距离为h，记“最高点”与 X轴的距离为h′.由图可知，当三段弧的中点落在X轴上时，h最小，此时h＝MD；当点A、B、C落在X轴上时， h最大，h＝MC，故“中心点”M的位置先低后高，呈周期性变化，排除选项C与D.当点D落在X轴上时，h′＝

函数图像的变换

函数图像的变换函数图像的变换1、平移变换函数y = f(x)的图像向右平移a个单位得到函数y = f(x - a)的图像;向上平移b个单位得到函数y =f(x)+ b 的图像 ;左平移a个单位得到函数y = f(x + a)的图像;向下平移b个单位得到函数y =f(x)- b 的图像(a ，b>0)。

2、伸缩变换函数 y = f(x)的图像上的点保持横坐标不变纵坐标变为原来的k倍(01时，伸)得到函数 y = k f(x)的图像;函数 y = f(x)的图像上的点保持纵坐标不变横坐标变为原来的1/k倍(01时，缩)得到函数y = f(k x)的图像(k>0，且 k ≠1)。

3、对称变换(1)函数y = f(x)的图象关于y轴对称的图像为 y =f(-x);关于x轴对称的图像为y =-f(x);关于原点对称的图像为y =-f(-x)。

(2)函数y = f(x)的图象关于x=a对称的图像为y =f(2a-x);关于y=b对称的图像为y =2b-f(x);关于点(a，b)中心对称的图像为y =2b-f(2a-x)。

(3)绝对值问题①函数 y =f(x)x轴及其上方的图像保持不变，把下f(bx)=f(2a -bx)成立，则函数 f(x)的图像关于x=a对称;(b≠0)(3)若函数 f(x)满足：对任意的实数x，都有f(a + x)=-f(a -x)成立，则函数 f(x)的图像关于点(a,0)对称;(4)若函数 f(x)满足：对任意的实数x，都有f(bx)=-f(2a -bx)成立，则函数 f(x)的图像关于(a,0)对称;(b≠0)(5)若函数 f(x)满足：对任意的实数x，都有f(a + x)=2b -f(a -x)成立，则函数 f(x)的图像关于点(a,b)对称;(6)若函数 f(x)满足：对任意的实数x，都有f(x)=2b -f(2a -x)成立，则函数 f(x)的图像关于(a,b)对称。

第五讲正切函数图象与性质、函数图象及其变换(高一)

第五讲正切函数的图象与性质、函数的图象及其变换一、知识清单1、正切函数的图象：正切曲线是由被相互平行的直线()2x k k Zπ=+∈所隔开的无穷多支曲线组成的2．正切函数的性质：（1）定义域：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠z k k x x ,2|ππ；（2）值域：R （3）周期性：π=T ；（4）奇函数；（5）单调性：在开区间z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++-ππππ2,2内，函数单调递增。

（6）对称中心：y（7）当时，当时，当时.3.函数的周期.4.用五点法画y=Asin(ωx+φ)的简图①当画函数sin()y A x ωϕ=+在x ∈R 上的图象时，一般令30,,,,2,wx πφπππ+=即可②当画函数sin()y A x ωϕ=+在某个指定区间上的图象时，一般先求出x ωϕ+的范围，然后在这个范围内，选取特殊点，连同区间的两个端点一起列表。

5、函数y=sinx 的图象经变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象的步骤二、随堂演练1.比较大小(1)tan167° tan173°； (2)tan(411π-) tan(513π-).2.函数y=tan(4π-x)的定义域是( ) A.{x|x≠4π，x ∈R } B.{x|x≠-4π，x ∈R }C.{x|x≠kπ+4π，k ∈Z ，x ∈R } D.{x|x≠kπ+43π，k ∈Z ，x ∈R }3.直线y=a(a 为常数)与正切曲线y=tanωx(ω是常数且ω＞0)相交，则相邻两交点间的距离是A.πB.ωπ2 C.ωπD.与a 的值有关4.函数y=2tan(3x-4π)的一个对称中心是( ) A.(3π，0) B.(6π，0) C.(-4π，0) D.(-2π，0)5．将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( )A.cos 2y x =B.cos 21y x =+C.)42sin(1π++=x y D.1cos 2y x =-6.将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动10π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（）A.sin(2)10y x π=-B.y =sin(2)5x π-C.y =1sin()210x π-D.1sin()220y x π=- 7.已知函数()sin()(,0)4f x x x R πϖϖ=+∈>的最小正周期为π，为了得到函数()cos g x x ϖ=的图象，只要将()y f x =的图象 ( )A.向左平移8π个单位B.向右平移8π个单位C.向左平移4π个单位D.向右平移4π个单位 8.将函数()sin()f x x ωϕ=+的图像向左平移2π个单位。

高考复习函数图象及其变换课件

函数图象及其变换是数学中的核心知识点，对于培养学生的逻辑思维、数学素养和创新能力具有重要作用。
需要进一步研究和探讨的问题
对于一些复杂的函数图象及其变换，需要深入研究其性质和特点，探讨其在实际问题中的应用。
在函数图象及其变换的教学中，如何更好地结合几何直观和代数推导，让学生更好地理解和掌握相关知识点，是一个值得探讨的问题。
详细描述
通过函数图象的平移、对称、伸缩等变换，可以直观地观察到函数性质的变化，如函数的周期性可以通过观察图象的重复规律来理解，函数的奇偶性可以通过观察图象的对称性来理解。
04
高考中函数图象及其变换的考查方式与解题策略
CHAPTER
考查方式
函数图象的识别与绘制
考生需要能够根据函数表达式识别其图象的基本形状，并能够根据给定的条件绘制出函数的图象。
谢谢
THANKS
将函数图象沿x轴方向向左或向右移动，对应于函数解析式中的 x替换为x±h。
将函数图象沿y轴方向向上或向下移动，对应于函数解析式中的 y替换为y±k。
伸缩变换
伸缩变换
将函数图象在x轴或y轴方向上进行缩放。
横向伸缩
将函数图象在x轴方向上压缩或拉伸，对应于函数解析式中的x替换为λx（λ>1为拉伸，0<λ<1为压缩）。
掌握基本方法
Байду номын сангаас对于如何绘制函数图象、如何进行图象变换等基本方法，考生需要熟练掌握，并能灵活运用。
多做练习
通过大量的练习，提高考生对函数图象及其变换的理解和掌握程度，培养考生的解题思维和技巧。
高考真题解析
真题一
给出函数$f(x) = sin x$的图象，要求考生通过平移得到函数$g(x) = sin(x + frac{pi}{6})$的图象。

高一数学函数的图像及其变换

【知识要点归纳】一．初等函数图像二．函数图像的四种变换规律1.平移变换：利用平移变换，可以由函数y=f(x)的图象演变出以下三种函数图象：)(a x f y ±=,b x f y ±=)(,b a x f y ±±=)(的图象。

平移变换是位置变换，这三种图象与y=f(x)图象的位置关系列表如下:函数解析式与f(x)图象位置关系口诀)(a x f y ±=b x f y ±=)(b a x f y ±±=)(2.翻折变换：利用翻折变换，可以由函数y=f(x)的图象变换出以下2种函数图象，y=f(|x|)和y=|f(x)|的图象。

这2种函数图象与图象y=f(x)的关系如下：解析式与)(x f y =图象的关系口诀|)(|x f y =|)(|x f y =综合专题５函数的图像及其变换3.对称变换：利用对称变换，可以由函数y=f(x)的图象变换出以下3种函数图象y=-f(x),y=f(-x),y=-f(-x)的图象。

这3种函数图象与图象y=f(x)的对称关系列表如下：解析式与)(x f y =图象的关系对称点坐标)(x f y −= )(x f y −= )(x f y −−=4.伸缩变换：利用伸缩变换，由y=f(x)图象可演变出以下三种函数图象：y=f(kx)、y=af(x)、y=af(kx)（a 、k 为正常数）。

函数解析式与f(x)图象点的坐标关系y=f(kx)y=af(x)y=af(kx)【经典例题】例1：画出132−+=x x y 的图象；例2：求函数)1lg(2+=x y 沿向量)2,1(−=a G平移后的解析式例3：为了得到函数3lg10x y +=的图像，只需把函数lg y x =的图像上所有的点（） A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度例3：设偶函数f(x)满足f(x)=2x-4 (x ≥0），则(){}20x f x −>= （）（A ）{}24x x x <−>或（B ）{}04 x x x <>或（C ）{}06 x x x <>或（D ）{}22 x x x <−>或例4：在同一坐标系下作出下列函数的图象，并指出它们的关系. ⑴f (x )=x 2-2x -1 ； ⑵g (x )= x 2+2x -1 ； ⑶h (x )=-x 2+2x +1； ⑷s (x )= -x 2-2x +1；例5：函数22log 2xy x−=+的图像（A ）关于原点对称（B ）关于主线y x =−对称（C ）关于y 轴对称（D ）关于直线y x =对称例6：函数()412x xf x +=的图象A. 关于原点对称B. 关于直线y=x 对称C. 关于x 轴对称D.关于y 轴对称例7：作出函数图像：（1）1||22−−=x x y （2）|12|2−−=x x y例8：作出下列函数的图象并写出其单调区间：（1）3||22++−=x x y（2）|65|2−−=x x y（3）y=1-|1-x|（4）xy ⎟⎠⎞⎜⎝⎛=21例9：直线1y =与曲线2y x x a =−+有四个交点，则a 的取值范围是 .例10：已知函数()|lg |f x x =.若a b ≠且，()()f a f b =，则a b +的取值范围是 (A)(1,)+∞ (B)[1,)+∞(C) (2,)+∞(D) [2,)+∞例11：定义域和值域均为[]a a ,−（常数0>a ）的函数()x f y =和()x g y =的图像如图所示，给出下列四个命题：（1）方程()[]0=x g f 有且仅有三个解；（2）方程()[]0=x f g 有且仅有三个解；（3）方程()[]0=x f f 有且仅有九个解；（4）方程()[]0=x g g 有且仅有一个解。

函数图像及其变换PPT优秀课件

从图象的左右分布，分析函数的定义域；从图象的上下分布，分析函数的值域；从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
1．要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数等各种基本初等函数的图象．
(1)y＝|xx3|；(2)y＝xx＋－21； (3)y＝|log2x－1|；(4)y＝2|x－1|.
【解析】
(1)y＝x－2 x2
(x＞0) (x＜0)
，利用二次
函数的图象作出其图象，如图①.
(3)先作出y=log2x的图象，再将其图象向下平移一个单位，保留x轴上及x轴上方的部分，
将x轴下方的图象翻折到x轴上方，即得 y=|log2x-1|的图象，如图③.
(4)选择描点法或图象变换法作出相数图象要标出特殊的线(如渐近线)和特殊的点，以显示图象的主要特征，处理这类问题的关键是找出基本函数，将函数的解析式分解为只有单一变换的函数链，然后依次进行单一变换，最终得到所要的函数图象．
作出下列函数的大致图像：
(4)先作出y=2x的图象，再将其图象在y轴左边的部分去掉，并作出y轴右边的图象关于y轴对称的图象，即得y=2|x|的图象，再将y=2|x|的图象向右平移一个单位，即得y=2|x-1|的图象，如图④.
由图象求解析式
如图所示，函数的图象由两条射线及抛物线的一部分组成，求函数解析式．
【思路点拨】分段求函数解析式，再合成分段函数形式，本题分别设为一次函数和二次函数形式，应抓住特殊点 (0,2)，(1,1)，(2,2)，(3,1)和(4,2)．
函数图像及其变换
1．几种函数的图像函数

函数图象的变换PPT

总结词
水平平移是指函数图像在水平方向上移动一定的距离。
详细描述
水平平移不改变函数的值，只是改变了图像的位置。对于函数y=f(x)，若图像向右平移a个单位，则新的函数为y=f(x-a)；若图像向左平移a个单位，则新的函数为y=f(x+a)。
垂直平移
总结词
垂直平移是指函数图像在垂直方向上移动一定的距离。
函数图象的变换
• 函数图象变换概述 • 平移变换 • 伸缩变换 • 翻折变换 • 旋转变换 • 应用实例
01
函数图象变换概述
函数图象变换的定义
01
函数图象变换是指通过平移、伸缩、翻转等几何变换操作，改变函数图象的位置、形状和大小。
02
这些变换操作可以通过代数表达式或矩阵变换来实现，使得函数图象在坐标系中按照特定的规则进行移动、旋转和缩放。
详细描述
当函数图像在y轴方向上伸缩时，其形状和大小会发生变化，但x轴上的比例保持不变。例如，将函数y=f(x)的图像在y轴方向上放大2倍，得到新的函数y=2f(x)。
斜向伸缩
要点一
总结词
斜向伸缩是指同时沿x轴和y轴方向对函数图像进行放大或缩小。
要点二
详细描述
当函数图像在x轴和y轴方向上同时伸缩时，其形状和大小会发生变化，x轴和y轴上的比例都会改变。例如，将函数 y=f(x)的图像在x轴方向上放大2倍，在y轴方向上放大3倍，得到新的函数y=3f(2x)。
逆时针旋转
总结词
当函数图像按照逆时针方向旋转时，其形状和大小也不会发生变化，同样只是位置发生了移动。
详细描述
与顺时针旋转相反，当函数图像按照逆时针方向旋转一定的角度时，每个点的坐标同样会发生变化，但方向是远离原点。同样地，这种变化也可以用三角函数的性质来描述。

函数的图象变换共26页

已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
1、不要轻言放弃，否则对不起自己。
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．卡耐基。
梦境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有久久不会退去的余香。
函数的图象变换 4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮回里有你。

函数图像与变换(完整版)

x ( , 2) 时，f (x) 的解析式是).1A.xB.x2 C.x2D.1 2x例 3 ：下列函数中，同时满足两个条件 ①xR ，f (12 x )f(12 x )0 ；②当 6 x时，f '(x ) 0 的一个函数是(A.f (x ) sin(2 x )B.f (x ) cos(2 x 3)C.f (x ) sin(2 x )D.f (x ) cos(2 x函数的图像及变换对称变换翻折变换y f(| x |)翻折 y | f (x)| 翻折、函数图像的变换左右平移平移变换上下平移横坐标不变，纵坐标伸缩伸缩变换纵坐标不变，横坐标伸缩1)对称变换 (几种常用对应点的对称变换)关于点 P(a,b)对称： (x, y) (2a x,2b y) (点对称)例 1：已知 f (x) x 2 2x ，且 g(x)与 f(x)关于点 (1,2)对称，求 g(x) 的解析式 . (相关点法)例 2：已知函数 y f (x)的图像关于直线 x 1对称，且当 x (0, )时，有 f(x) 1，则当 x①关于形如 y f ( x) 的图像画法：关于 x 轴对称： (x,y) (x, y) 关于 y 轴对称： (x,y) ( x,y) 关于原点对称： (x,y) ( x, y) 关于 y x 对称： (x, y) (y,x)关于 yx 对称： (x,y) ( y, x)关于直线 x a 对称： (x, y) (2a x, y) (轴对称) 关于 y x b 对称： (x,y) (y b,x b)关于 y x b 对称： (x,y) (b y, x b)当x 0 时，y f (x) ；当x 0 时，y f ( x)y f ( x)为偶函数，关于y轴对称，即把x 0时y f ( x)的图像画出，然后x 0时的图像与x 0的图像关于y 轴对称即可得到所求图像.②关于形如y f (x) 的图像画法当f (x) 0时，y f (x) ；当f(x) 0时，y f(x)先画出y f (x)的全部图像，然后把y f (x)的图像x轴下方全部关于x轴翻折上去，原x轴上方的图像保持不变，x 轴下方的图像去掉不要即可得到所求图像.例3：画出下列函数的图像.( 1) y log1x ( 2) y x22x 82例4: 设函数f (x) x24x 5 .( 1)在区间[ 2,6] 上，画出函数f (x) 的图像；( 2)设集合A x f(x) 5 ，B ( , 2] [0,4] [6, ) .试判断集合A、B之间的关系，并给出证明；(3)当k 2时，求证：在区间[ 1,5]上，y kx 3k 的图像位于函数f(x)图像的上方.① 左右平移把函数y f (x)的全部图像沿x轴方向向左( a 0 )或向右( a 0)平移a 个单位即可得到函数y f (x a) 的图像②上下平移把函数y f (x)的全部图像沿y轴方向向上 (a 0 )或向下( a 0)平移a 个单位即可得到函数y f (x) a 的图像例4：将函数y lg(3 x 2) 1 按向量a ( 2,3) 平移后得到新的图象解析式为例5: 把一个函数的图象按向量a ( ,2) 平移后得到的图象的解析式为y sin(2 x ) 2 ，84则原来函数的解析式.Ⅰ.将函数y f (x)的全部图像中的每一点横坐标不变，纵坐标伸长(a 1)或缩短(0 a 1)为原来的a 倍得到函数y af (x)(a 0) 的图像.Ⅱ. 将函数y f (x) 的全部图像中的每一点纵坐标不变，横坐标伸长(a 1)或缩短(0 a 1)为原来的1倍得到函数y f (ax)(a 0) 的图像.a例6：已知函数f(x) 22x 1 lg(x 2) ，把函数y f (x)的图像关于y轴对称，然后向右平移1个单位，最后纵坐标保持不变，横坐标变为原来的2倍得到g(x) 的图像，求g( x)的解析式.例7：已知函数f (x) log2(x 1)，将y f (x)的图像向左平移1个单位，再将图像上所有点纵坐标伸长到原来的2 倍，得到函数y g(x) 的图像.( 1)求y g(x) 的解析式和定义域；( 2)求函数F(x) f(x 1) g( x)的最大值.练习】1. 为了得到函数 y 2x 3 1的图像，只需要把函数 y 2x 的图像上所有的点( A. 向右平移 3 个单位长度，再向下平移 1个单位长度 B. 向左平移 3 个单位长度，再向下平移 1个单位长度 C. 向右平移 3 个单位长度，再向上平移 1个单位长度 D. 向左平移 3 个单位长度，再向上平移 1个单位长度2. 下面四个图形中，与函数 y 2 log 2 x(x 1)的图像关于 y x 对称的是( )的图像与函数 y log 4 x 的图像的交点的个数为( )A. a 1,b 0B. a 1,b RC. a 1,b 0D.5.已知 f(x) x 12，且g(x)与 f(x)关于点 ( 1,0)对称，求 g(x)的解析式. x6. 画出下列函数的图像( 1) y ln x22) y x 2 x 67. 函数 f (x) 2x 和 g(x) x 3的图像的示意图如图所示，设两函数的图像交于点A(x 1,y 1)，3. 若函数 y f (x)(x R) 满足 f (x 2) f (x) ，且 x [ 1,]时， f(x) x ，则函数 y f (x)A.3B.4C.6D.84. 将函数 y b a 的图像向右平移xa像如果关于直线 y x 对称，那么(2 个单位长度后又向下平移 ).2 个单位，所得到的函数图像与原图a 0,b RB(x2, y2)，且x1 x2 .1)请指出示意图中曲线C1,C2 分别对应于哪一个函数；(2)若x1 [a,a 1],x2 [b,b 1]，且a,b 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 ,12 ，指出a,b的值，并说明理由；(3)结合函数图像的示意图，判断f (6), g(6), f (2010), g(2010) 的大小关系.8.已知函数f (x)和g(x)的图像关于原点对称，且f (x) x2 2x.( 1)求函数g(x) 的解析式；( 2)解不等式g(x) f (x) x 1 ；(3)若h(x) g(x) f (x) 1在［ 1,1］上是增函数，求实数的取值范围6. 已知函数y f (x) ，把函数y f (x)的图像向左平移 1 个单位，然后横坐标保持不变，纵坐标变为原来的 3 倍再向下平移 3 个单位得到g(x) 的图像，求g(x) 的解析式.补充：请把相应的幂函数图象代号填入表格2 1 13 4①y x 3；②y x 2；③y x 2；④y x 1；⑤y x 3；⑥y x 2；⑦y x 3；15⑧ y x 2 ；⑨ y x 3 .函数代号① ② ③ ④⑤⑥⑦⑧⑨⑩图象代号常规函数图像有：对数函数：逆时针旋转, 底数越来越小记住口诀指数函数：逆时针旋转，底数越来越大对数函数：逆时针旋转, 底数越来越小幂函数：逆时针旋转，指数越来越大其它象限图象看函数奇偶性确定。

函数图像的变化与性质

04
复杂函数图像分析方法
分段函数图像分析
分段定义理解
分段函数在不同区间上有不同的定义，需分别理解各区间上的函数表达式及性质。
关键点确定
找出分段点、不可导点等关键点，这些点往往是函数图像发生变化的位置。
各区间图像描绘
根据各区间上的函数表达式，分别描绘出对应的函数图像。
图像整合
将各区间上的图像进行整合，得到完整的分段函数图像。
周期性
若函数具有周期性，即存在正数T使得对于所有x都有$f(x+T) = f(x)$，则函数图像会呈现出周期性的重复特征。
奇偶性
若函数为奇函数或偶函数，则其图像会呈现出相应的对称性。奇函数的图像关于原点对称，而偶函数的图像关于y轴对称。
03
函数性质在图像上的表现
单调性在图像上的判断方法
指数函数的图像是一条从原点出发的射线，底数决定了射线的倾斜程度。当底数大于1时，射线向右上方倾斜；当底数小于1时，射线向右下方倾斜。
对数函数的图像是一条过定点 (1,0) 的曲线，底数决定了曲线的弯曲程度。当底数大于1时，曲线向上凸；当底数小于1 时，曲线向下凸。
三角函数的图像包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。它们的图像具有周期性、对称性和有界性等特点。
伸缩变换
横向伸缩
函数图像的横坐标发生变化，由$f(x)$变为$f(ax)$（$a>0$），当$a>1$时图像横向压缩，当$0<a<1$时图像横向拉伸。
纵向伸缩
函数图像的纵坐标发生变化，由$f(x)$变为$af(x)$（$a>0$），当$a>1$时图像纵向拉伸，当$0<a<1$时图像纵向压缩。

函数图象变换的四种方式

函数图象变换的四种方式一，平移变换。

（1）水平平移：要由函数y=f(x)的图象得到函数y=f(x+a)的图象，只要将f(x)的图象向左平移a个单位。

要由函数y=f(x)的图象得到函数y=f(x-a)的图象，只要将f(x)的图象向右平移a个单位。

（简记：左加右减，这里的a>0。

）（2）上下平移：要由函数y=f(x)的图象得到函数y=f(x)+a的图象，只要将f(x)的图象向上平移a个单位。

要由函数y=f(x)的图象得到函数y=f(x)-a的图象，只要将f(x)的图象向下平移a个单位。

（简记：上加下减，这里的a>0）二，对称变换。

（1）y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称。

所以由f(x)的图象得到f(-x)的图象，只需将f(x)的图象以y轴为对称轴左右翻折就可得到f(-x)的图象。

(简记：左右翻折)（2）y=f(x)与y=-f(x)的图象关于x轴对称。

所以由f(x)的图象得到-f(x)的图象，只需将f(x)的图象以x轴为对称轴上下翻折就可得到-f(x)的图象。

(简记：上下翻折)（3）y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称。

所以由f(x)的图象得到-f-(x)的图象，只需将f(x)的图象以原点为对称中心旋转180度就可得到-f(-x)的图象。

(简记：旋转180度)三，翻折变换。

（1）如何由y=f(x)的图象得到y=f(|x|)的图象先画出函数y=f(x) y轴右侧的图象，再作出关于y轴对称的图形（简记：右不动，左对称）（2）如何由y=f(x)的图象得到y=|f(x)|的图象先画出函数y=f(x)的图象，再将x轴下方的图象以x轴为对称轴翻折到x轴上方去。

（简记：上不动，下上翻）四，伸缩变换。

(1)如何由函数y=f(x)的图象得到函数y=af(x)的图象（a>0）可将函数f(x)的图象上每个点的纵坐标变为原来的a倍，横坐标不改变，就可得到函数af(x)的图象。

（2）如何由函数y=f(x)的图象得到函数y=f(ax)的图象（a>0）可将函数f(x)的图象上每个点的横坐标变为原来的1/a倍，纵坐标不改变，就可得到函数f(ax)的图象。