016.二次函数的应用(B)

（1）求经过O、B三点的抛物线的解析式，并确定顶点M的坐标；
（2）用含t的代数式表示点P、点Q的坐标；
（3）如果将△OPQ绕着点P按逆时针方向旋转90°，是否存在t，使得△OPQ的顶点O或顶点Q在抛物线上？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；
（4）求出S与t的函数关系式.
【答案】解：（1）∵抛物线过原点O（0，0）.
∵Rt△PCM与Rt△AOC相似，∴ 或
若m<-2，则MC=4-m，当 时， ，
解得： （舍），此时P(-4，-4)……………………………8分
当 时 ，
解得： （舍），此时P(-10，-28)…………………………………10分
若m>4，则MC=m-4，
当 时， ，
解得： （舍）， （舍）………………………………………12分
39.
三、解答题
1.(2014年福建省漳州市，25，14分)已知抛物线l： （a，b，c均不为0）的顶点为M，与y轴的交点为N。我们称以N为顶点，对称轴是y轴且过点M的抛物线为抛物线l的衍生抛物线，直线MN为抛物线l的衍生直线.
(1)如图,抛物线y=x2-2x-3的衍生抛物线的解析式是，衍生直线的解析式是
∴点 在 轴上
作 轴于点
∵点H为FD中点
∴M为FG中点
同理可得D为SO中点
∴点D的坐标为
(3)可求得 的解析式为
过点Q作 轴交GE于点T,可设 ,则
∴
①当 时
②当 时,
综上可得
∵
由函数 图象得
又∵
∴
4.（2014贵州省安顺市，26，14分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AB=DC，BC在x轴上，点A在y轴的正半轴上，点A、D的坐标分别为A(0，2)，D(2，2)，AB= ，连接AC。
∴OB= = =2
则B(-2，0)，根据等腰梯形的轴对称性可得C点坐标为（4,0）………………1分
设直线的函数解析式为y=kx+b
∴ ∴ ∴ …………………………3分
（2）过A、C、D三点得抛物线的解析式为y=
∴ ∴ ∴ ………………6分
（3）∵P（m，n）（n<0）在抛物线 上，
∴m>4,或m<-2，n= <0。∴PM=
A．
B．
C．
D．
考点：
动点问题的函数图象．
分析：
根据三角形的面积即可求出S与t的函数关系式，根据函数关系式选择图象．
解答：
解：①当0≤t≤4时，S= ×t×t= t2，即S= t2．
该函数图象是开口向上的抛物线的一部分．
故B、C错误；
②当4＜t≤8时，S=16﹣ ×（t﹣4）×（t﹣4）= t2，即S=﹣ t2+4t+8．
（1）（2分）请分析表格中销售量p与x的关系，求出销售量p与x的函数关系；
（2）（4分）求该超市销售该新商品第x天获得的利润y元关于x的函数关系式；
（3）（4分）这50天中，该超市第几天获得利润最大？最大利润为多少？
【答案】解：（1） ；
（2）
（3）当 时， ．
∴x=20时，y的最大值为3200元．
（1）（3分）求m的值及抛物线 的函数表达式；
（2）（5分）设点 ，若F是抛物线 对称轴上使得△ADF的周长取得最小值的点，过F任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线 于 两点，试探究 是否为定值？请说明理由；
（3）（4分）将抛物线C1作适当平移，得到抛物线 ，若当 时， 恒成立，求m的最大值．
第24题图
(2)若一条抛物线的衍生抛物线和衍生直线分别是y=-2x2+1和y=-2x+1，求这条抛物线的解析式;
(3)如图，设（1）中的抛物线y=x2-2x-3的顶点为M，与y轴交点为N，将它的衍生直线MN先绕点N旋转到与x轴平行，再沿y轴向上平移1个单位得到直线n，P是直线n上的动点.是否存在点P，使得△POM为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标：若不存在，请说明理由吗.
∴OQ/=OP/×cos45°=2t× = t.∴AQ/=OQ/－OA= t－ = （t－1）.
∴ = =（t--1）2.∴S=t2－（t－1）2=2t－1.
（方法二：S= ）
③如图，当 ＜t＜2时，设P//Q//交BC于点F，交AB于点E/.
则S= .
∵ ，
∴S=t2－（t－1）2－ =－2t2+8t－ .
该函数图象是开口向下的抛物线的一部分．
故A错误．
故选：D．
点评：
本题考查了动点问题的函数图象．本题以动态的形式考查了分类讨论的思想，函数的知识和等腰直角三角形，具有很强的综合性．
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当 时 ，
解得： （舍），此时P(6，-4)
综上所述，点P的坐标为(-4，-4)，(6，-4)，(-10，-28)。………………………………14分
5.（2014湖北黄冈市，25，13分）（13分）已知，如图所示，在四边形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C，A（1，－1），B（3，－1），动点P从点O出发，沿着x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动.过点P作PQ垂直于直线OA，垂足为点Q，设点P移动的时间为t秒（0＜t＜2），△OPQ与四边形OABC重叠部分的面积为S.
当 时， ．
∴x=25时，y的最大值为3150元．
∴该超市第20天获得最大利润为3200元．
7.（2014年湖北省鄂州市，24，12分）（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系xoy中，一次函数 的图象与x轴交于A（－1，0），与y轴交于点C．以直线x=2为对称轴的抛物线 经过A、C两点，并与x轴正半轴交于点B．
一、选择题
1.(2014北京中考，8，4分)已知点A为某封闭图形边界上一定点，动点P从点A出发，沿其边界顺时针匀速运动一周，设点P运动的时间为x，线段AP的长为y，表示y与x的函数关系大致如右图所示，则该封闭图形可能是
【答案】A
2.（2014年甘肃省兰州市15，4分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是边长为4的正方形，平行于对角线BD的直线l从O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动到直线l与正方形没有交点为止．设直线l扫过正方形OBCD的面积为S，直线l运动的时间为t（秒），下列能反映S与t之间函数关系的图象是（ ）
【答案】解：（1）将点A（－1，0）的坐标代入 ，得 ．
∴ ．∴B（0， ）．∵抛物线经过A、B两点且对称轴是x=2，
∴ 解得
∴抛物线 ．
（2）要使△ADF周长最小，只需AF＋DF最小．
∵A与B关于x=2对称，∴只需BF＋DF最小．
又∵BF＋DF≥BD，∴F为BD与x=2的交点．
令x=1，得y= ，∴M（1， ）
（3）若以BC为底边（如图1），则AP∥BC，BC=2，
易得P1（-2，0），此时AP=3，显然BC≠AP，则P1（-2，0）符合；
若以AB为底边（如图2），则CP∥AB，∴kCP=kAB，
∵A（4，0），B（2，-3），∴kAB=
∴yCP= ，
令 =
得：
∴x1=0，x2=6
∴可设经过A、B、O三点的抛物线解析式为y=ax2+bx（或直接设y=ax2+bx+c）
将A（1，－1），B（3，－1）代入y=ax2+bx中，得 .∴ .
∴y= － .顶点M的坐标为（2，－ ）.
（2）∵点A坐标为（1，－1）.∴∠COA=45°.∴△OPQ为等腰直角三角形.
过Q作QD⊥x轴于D.∵OP=2t，
(1)若抛物线 经过G、O、E三点,则它的解析式为；
(2)如果四边形OHMN为平行四边形,求点D的坐标；
(3)在(1)(2)的条件下,直线MN与抛物线l交于点R,动点Q在抛物线l上且在R、E两点之间(不含点R、E)运动,设ΔPQH的面积为S,当 时,确定点Q的横坐标的取值范围.
【答案】解:(1)
(2)∵
（方法二：S= .）
∴S=
6.（2014年湖北省鄂州市，23，10分）（本题满分10分）大学生小张利用暑假50天在一超市勤工俭学，被安排销售一款成本为40元/件的新型商品，此类新型商品在第x天的销售量p件与销售的天数x的关系如下表：
x(天)
1
2
3
…
50
p(件)
118
116
114பைடு நூலகம்
…
20
销售单价q(元/件)与x满足：当 时， ；当 时， ．
∴OD= OP= ×2t=t，DQ= OP=t.
∴点P坐标为：P（2t，0）.点Q坐标为：（t，－t）
（3）当△OPQ绕点P逆时针旋转90°后，点O坐标为（2t，－2t），点Q的坐标为（3t，－t），
①若点O在y= － 上，
则 ，2t2-t=0.∴t1=0，t2= .
∵0＜t＜2.∴t= .∴t= 时点Q（1，－1）在y= － 上
【答案】(1)抛物线y=x2-2x-3的衍生抛物线的解析式是y=-x2-3.
衍生直线的解析式是y=-x-3.
(2)由 解得
∴抛物线与y轴的交点M(0,1),抛物线的顶点为N(1,-1).
∵设y=a(x-1)2-1,把M(0,1)代入得∴1=a-1,解得a=2
∴这条抛物线的解析式y=2(x-1)2-1.
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