1995年IMO中国国家队选拔考试试题

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IMO历届试题

IMO历届试题2010年第51届国际奥林匹克数学竞赛（IMO）试题及答案1．△ABC的内心为I，三角形内一点P满足∠PBA+∠PCA=∠PBC+∠PCB．求证，AP ≥AI，而且等号当且仅当P=I时成立．证：∠PBC+∠PCB= 12(∠ABC+∠ACB)=∠IBC+∠ICB，故∠PBI=∠PCI，从而P，B，C，I四点共圆．但由内外角平分线相垂直知B，C，I与BC 边上的旁切圆心T 共圆，且IT是这个圆的直径，IT的中点O为圆心．由于A，I，T共线(∠BAC的平分线)，且P在圆周上，AP+PO≥AO=AI+IO，PO=IO，故AP≥AI．等号当且仅当P为线段AO与圆周的交点即P=I时成立．2．正2006 边形P 的一条对角线称为好的，如果它的两端点将P 的边界分成的两部分各含P的奇数条边．P的边也是好的．设P被不在P的内部相交的2003 条对角线剖分为三角形．试求这种剖分图中有两条边为好的等腰三角形个数的最大值．解：对于剖分图中的任一三角形ABC，P的边界被A，B，C分为3段，A-B段所含P 的边数记作m(AB)．由于m(AB)+ m(BC)+ m(CA)=2006，故等腰三角形若有两条好边，它们必是两腰．称这样的等腰三角形为好三角形．考虑任一好三角形ABC(AB=AC)．A-B 段上若有别的好三角形，其两腰所截下的P 的边数为偶数．由于剖分图中的三角形互不交叉，而A-B 段上P 的边数为奇数，故A-B 段上必有P的一边α不属于更小的腰段，同理A-C段上也有P的一边β不属于更小的腰段，令△ABC 对应于{α，β}．由上述取法，两个不同的好三角形对应的二元集无公共元，因此好三角形不多于20062=1003 个．设P=A1A2…A2006，用对角线A1A2k+1(1≤k≤1002)及A2k+1A2k+3(1≤k≤1001)所作的剖分图恰有1003 个好三角形．因此，好三角形个数的最大值是1003．3．求最小实数M ，使得对一切实数 a ，b ，c 都成立不等式2222222222|()()()|()ab a b bc b c ca c a M a b c -+-+-++≤解：222222()()()ab a b bc b c ca c a -+-+-()()()()a b b c c a a b c =----++．设a b x b c y c a z a b c s -=-=-=++=，，，，则22222221()3a b c x y z s ++=+++．原不等式成为22222()9||(0)M x y z s xyzs x y z +++++=≥．x y z ，，中两个同号而与另一个反号．不妨设 x y ，≥0．则2221||()2z x y x y x y =+++，≥，2()4x y xy +≥．于是由算术－几何平均不等式222222223()(())2x y z s x y s +++++≥＝22222111(()()())222x y x y x y s ++++++6223414())42()||162||8x y s x y s xyzs +=+≥(≥即9232M =时原不等式成立．等号在21s x y ===，，2z =-，即::(23):2:(23)a b c =+-时达到，故所求的最小的9232M =．4．求所有的整数对（x y ，），使得212122x x y +++=．解：对于每组解（x y ，），显然0x ≥，且()x y -，也是解．0x =时给出两组解(02)±，．设x y ，>0，原式化为12(21)(1)(1)x x y y ++=+-．1y +与1y -同为偶数且只有一个被4整除．故3x ≥，且可令12x y m ε-=+ ，其中m 为正的奇数，1ε=±．代入化简得2212(8)x m m ε--=-．若1ε=，2801m m -=≤，．不满足上式．故必1ε=-，此时22212(8)2(8)x m m m -+=--≥，解得3m ≤．但1m =不符合，只有3m =，4x =，23y =．因此共有4组整数解(02)(423)±±，，，．5．设()P x 为n 次(n >1)整系数多项式，k 是一个正整数．考虑多项式()(((())))Q x P P P x = ，其中 P 出现k 次．证明，最多存在 n 个整数t ，使得()Q t t =．证：若Q 的每个整数不动点都是 P 的不动点，结论显然成立．设有整数0x 使得00()Q x x =，00()P x x ≠．作递推数列 1()(012)i i x P x i +== ，，．它以 k 为周期．差分数列1(12)i i i x x i -∆=-= ，，的每一项整除后一项．由周期性及10∆≠，所有||i ∆ 为同一个正整数u ．令121111min{}m k m m m m m m x x x x u x x x x x x -++-==-=-= ，，，，，．数列的周期为 2．即0x 是 P 的2-周期点．设 a 是P 的另一个2-周期点，() b P a =(允许b =a )．则0a x -与1b x -互相整除，故01||||a x b x -=-，同理01||||b x a x -=-．展开绝对值号，若二者同取正号，推出01x x =，矛盾．故必有一个取负号而得到01a b x x +=+．记01x x C +=，我们得到：Q 的每个整数不动点都是方程 ()P x x C +=的根．由于P 的次数n 大于 1，这个方程为n 次．故得本题结论．6．对于凸多边形P 的每一边b ，以b 为一边在P 内作一个面积最大的三角形．证明，所有这些三角形的面积之和不小于P 的面积的两倍．证：过P 的每个顶点有唯一的直线平分P 的面积，将该直线与P 的边界的另一交点也看作 P 的顶点(允许若干个相继顶点共线)．每两条面积平分线都交于 P 内．P 可看成一个 2n 边形122-12n n A A A A ，每条对角线i i n A A +是P 的面积平分线(i =1，2，…，n ，2i n i A A +=)．设i i n A A +与11i i n A A +++交于 i O (i n i O O +=)，由面积关系得到，11()()i i i i i n i n S O A A S O A A ++++=△△，11i i i i i i n i i n O A O A O A O A ++++= ，故i i n i iO A O A +和11i i n i i O A O A +++中必有一个不小于 1，于是以 1i i A A +为一边在 P 内作的面积最大的三角形的面积11111()max{()()}2()i i i n i i i n i i i i i S A A S A A A S A A A S O A A +++++++≥△，△≥△．对于每条有向线段i i n A A +，P 内部的每一点T 或在它的左侧或在它的右侧．由于T 在11n A A + 和12111n n n A A A A +++= 的相反侧，故必有i 使得T 在i i n A A + 和11i i n A A +++的相反侧，从而Ｔ在1i i i O A A +△或1i i n i n O A A +++△中．即211ni i i i O A A P +=⊇ △．于是221111()2()2()nnii i i i i i S A AS O A A S P ++==∑∑≥△≥P 中同一边上的各个1()i i S A A +之和就是该边上的面积最大的内接三角形面积．。

1995年全国初中奥林匹克化学竞赛试题及答案

1995年全国初中奥林匹克化学竞赛原子量：H －1 C －12 N －14 O －16 Na －23Mg －24 Al －27 S －32 Cl －35.5 K －39 Ca －40 Fe －56 Cu －64 Zn －65 Ag －108 Ba －137一、（本题共40分）下列小题分别有1个或2个正确答案，把正确答案的编号填在括号里。

1.天原化工厂是氯碱工业的现代化工厂，原料食盐用水溶解制得饱和食盐水，在电解前要除去杂质（如氯化钙、硫酸钙、氯化镁），通常要加入的试剂是（） ①AgNO 3 ②BaCl 2 ③NaOH ④Na 2CO 3 ⑤Ca(OH)2(A) ①②③ （B ）②③④ （C ）①④⑤ （D ）②③⑤2.下列各组物质中，前者属纯净物，后者属混合物的是（）（A ）汽油丁烷（B ）钢生铁（C ）水水煤气（D ）乙烯聚氯乙烯3.下列叙述中正确的是（）（A ）混合物中元素一定呈化合态。

（B ）某物质中只含有一种元素，该物质一定是纯净物。

（C ）同素异形体之间的转变一定是化学变化。

（D ）某纯净物质不是化合物就是单质。

4.有H +1、O －2、C +4、Ca +2四种元素，按指定化合价最多可以组成化合物的种数是（）（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）85.X 、Y 两种元素的化合价分别是+1、－2，它们跟硫元素共同形成化合物的分子式是（）（A ）X 2SY （B ）XSY 4 （C ）X 2SY 3 （D ）X 2SY 46.下列溶液通入气体后与下图中的曲线变化相符的是（）（A ）氯化钠溶液中不断通入氯化氢气体（B ）澄清石灰水中不断通入二氧化碳气体（C ）盐酸中不断通入氨气（D ）碳酸钠溶液中不断通入氯化氢气体7. 碳元素与某非金属元素R 可形成化合物CR X ，已知在一个分子中各原子的电子数之和为74，则R 的原子序数和X 的值分别是（）（A ）16，2 (B)35，4 (C)17，4 (D)26，38.将NaNO 3和KC1两种饱和溶液混合后无晶体析出，在加热蒸发时开始有晶体析出，此晶体是（）（A ）NaCl (B)KNO 3 (C)KCl (D)NaNO 39.在实验室里用硝酸钠、盐酸、纯碱、石灰石和蒸馏水五种试剂，无法制取的物质是（） pH 值 7通往气体的量（A ）二氧化碳（B ）氢气（Ｃ）烧碱（D ）浓硝酸10.下列各组物质的溶液，不加任何试剂就能将其一一区别出来的是（）（A ）BaCl 2、CuSO 4、NaOH 、NaCl（B ）Na 2SO 4、BaCl 2、K 2CO 3、KNO 3（C ）FeCl 3、NaOH 、H 2SO 4、Ba(NO 3)2（D ）NaCl 、Na 2CO 3、Zn(NO 3)2、H 2SO 411.某一饱和硫酸铜溶液中，加入含18O 的带标记的无水硫酸铜粉末a 克，则如果保持温度不变，其结果是（）（A ）无水硫酸铜不再溶解，a 克粉末不变（B ）溶液中可找到带标记的SO 42－，而且白色粗末变为蓝色晶体，其质量大于a 克（C ）溶液中可找到带标记的SO 42－，而且白色粗末变为蓝色晶体，其质量小于a 克（D ）溶液中溶解与结晶体达到平衡状态，有部分带标记的SO 42－进入溶液，但固体粉末仍是a 克。

IMO中国国家集训队选拔考试(1995-2010)

© 1994-2006 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
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的列数为红点编号 ,设第 1 行的 6 个红点为 1 、2 、3 、4 、 5 、6 ,第 2 行的 5 个红点为 1 、7 、8 、9 、10. 第 3 行也有 5 个红点 ,后 14 行各 4 个红点.
考察 7 、8 、9 、10 这 4 列的红点分布情况. 这时 , 后 15 行中每行 4 个方格中至多 1 个红点. 如果某行中有 1 个红点 ,则该行最后 7 个方格中的红点数为 2 或 3 (只有 1 行为 3) . 由于这 4 列中每列的红点与后 7 列只能组成 7 个不同的“红点对”, 故每列后 15 个方格中至多 3 个红点 ,这 4 列组成的 17 ×4 的方格表中至多 16 个红点.
·(1b++
a) c
2
.
引理 2 设
a1 =
1 4
, an =
1 4
(1 +
an - 1 ) 2 , n ≥2.
则 an 满足 0 < an < 1.
n
∑ 引理 3 对任意
n ≥1 ,
Ak
k =1
≤δ(
n
1 + 1)
+ 1 an ,
且可以取等号.
证明 :由引理 1 ,有
( x1
+
x1 …+
1 xn

1995年全国初中数学联合竞赛试题及解答

OM 为△CDG 的中位线，所以 OM 1 CG 1 (CE GE) 1 (CE DF)
2
2
2
所以
N

2S△OAB

AB OM

AB
1 (CE 2

DF )

1 2
AB CE

1 2
AB DF
|
S△CAB
S△DAB
|
M
C
O G
F
A
M EB
D
6．设实数 a ， b 满足不等式 || a | (a b) || a | a b || ，则（
第一试
一、选择题：（本题满分 42 分，每小题 7 分）
1．已知 a 355 ， b 444 ， c 533 ，则有（）
A. a b c
B. c b a
C. c a b
【答】C.
c 53 11 12511 24311 35 11 a 25611 44 11 b ．
N 2S△OAB ，则（
）
A． M N .
B． M N .
C． M N .
D． M ， N 的大小关系不确定.
【答】 B. 分别过点 C、O、D 作 AB 的垂线 CE、OM、DF，垂足分别为 E、M、F，连接 DM 并
延长交 CE 于点 G.. 易证△FMD≌△EMG，则 DF＝GE
2
，n
2
2

n
2
2
，2

1
．
6
A
D
F
C
G

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（波兰）2. 设a)A?x?2x?1?x?2x?1?A，试在以下3种情况下分别求出x的实数解： 2；b)A=1；c)A=2。

（罗马尼亚）3. a、b、c 都是实数，已知关于 cos x 的二次方程acos2x?bcosx?c?0试用 a,b,c 作出一个关于 cos 2x 的二次方程，使它的根与原来的方程一样。

当a=4,b=2,c=-1 时比较 cos x 和 cos 2x 的方程式。

（匈牙利）4. 试作一直角三角形使其斜边为已知的c，斜边上的中线是两直角边的几何平均值。

（匈牙利）5. 在线段AB上任意选取一点M，在AB的同一侧分别以 AM、MB 为底作正方形AMCD、 MBEF，这两个正方形的外接圆的圆心分别是 P、Q，设这两个外接圆又交于 M、N。

a) 求证：AF、BC 相交于N点；b) 求证：不论点M如何选取，直线MN都通过定点S；c) 当M在A与B之间变动时，求线段PQ的中点的轨迹。

（罗马尼亚）6. 两个平面P、Q 的公共边为 p，A 为P上给定一点，C为Q上给定一点，并且这两点都不在直线p上。

试作一等腰梯形ABCD（AB平行于CD），使得它有一个内切圆，并且顶点B、D 分别落在平面P和Q上。

（捷克斯洛伐克）第二届（1960年）罗马尼亚锡纳亚（Sinaia，Romania）1. 找出所有具有下列性质的三位数N：N能被11整除且商等于N的各位数字的平方和。

（保加利亚）2. 寻找使下式成立的实数x：（匈牙利）1?4x2?2x2?2x?9 3. 直角三角形ABC的斜边BC的长为a，将它分成n等份（n为奇数），令α为从A点向中间的那一小段线段所张的锐角，从A到BC边的高长为h，求证：（罗马尼亚）tan??4nh n2?1a4. 已知从A、B两点引出的高线长ha、hb以及从 A引出的中线长ma，求作三角形ABC。

世界青少年奥林匹克数学竞赛(中国区)选拔赛九年级数学试题(含答案)

2017考生须知：本卷考试时间60分钟考试期间,九年级试题(A 卷一、选择题：本大题共10小题，1．若反比例函数ky x=的图象经过点（-1 定经过点（）. (A)(2,-1) (B)(12-,2) 2．钟表的轴心到分针针端的长为5cm ，过的弧长是( ). (A)103cm π (B) 203cm π (C) 3．已知方程组42ax by ax by -=⎧⎨+=⎩的解为21x y =⎧⎨=⎩ (A)4 (B)6 4．小亮早晨从家骑车到学校，先上坡后下坡，行程情况如图所示．若返回时上坡、下坡的速度仍保持不变，那么小明从学校骑车回家用的时间是（）.(A) 37.2分钟 (B) 48分钟 5．如图，路灯距地面 8 米，身高 1 . 6 米的小明从距离灯的底部（点O ) 20米的点A 处，沿AO 所在的直线行走14米到点B (A ）变长3.5 米 (B ）变长2.5米 (C ）变短3.5米 (D ）变短2.5米6．如图，B 是线段AC 的中点，过点C 的直线l 与AC 成600的角，在直线l 上取一点P ，使∠APB ＝300，则满足条件的点P 的个数是（） (A) 3个 (B) 2个 (C) l 个 (D ）不存在7．若方程3x 2-10x + m = 0有两个同号不等的实数根，则m 的取值范围是（）(A) m ≥0 (B) m >0 (C)0<m<253 (D) 0<m ≤2538．在△ABC 中，BM ＝6，点A, C, D 分别在MB ，BN ，NM 上，四边形ABCD 为平行四边形，∠NDC ＝∠MDA ， ABCD 的周长是（）(A)24 (B)18 (C)16 (D)129．在下列图形中，沿着虚线将长方形剪成两部分，那么由这两部分既能拼成平行四边形又能拼成三角形和梯形的是（）10．已知点平分∠BAC ，交BC 于点E ，则直线AE 对应的函数表达式是（）(A)y x = (B)y=x-2 (C)1y - (D)2y - 二、填空题：本大题共6小题，共18分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分．13．随着中国综合国力的提升，近年来全球学习汉语的人数不断增加．据报道，2005年海外学习汉语的学生人数已达38 200 000人），用科学记数法表示为人（保留 3 个有效数字）.14．已知⊙O 1，和⊙O 2的半径分别为3cm 和5cm ，两圆的圆心距 O 1O 2=6cm ，则两圆的位置关系是 . 15．计算24111a aa a++--的结果是 . 16．要在一个矩形纸片上画出半径分别是4cm 和1cm 的两个外切圆，该矩形纸片面积的最小值．．．是 .17．在平面直角坐标系中，已知点P 0的坐标为（1, 0 )，将点P 0绕着原点O 按逆时针方向旋转600得点P 1，延长OP 1到点P 2，使OP 2=2OP 1，再将点P 2绕着原点O 按逆时针方向旋转600得点P 3，则点P 3的坐标是 .18．右图是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是a ，则六边形的周长是 .姓名 _ 赛区 -------------------装----- 界青少年奥林匹三、解答题：本大题共7小题，共52分,解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.19.（本题满分6分）解不等式组，并把其解集在数轴上表示出来：33213(1)8x x x x-⎧+≥⎪⎨⎪--<-⎩20.（本题满分6分）某单位欲从内部招聘管理人员一名，对甲、乙、丙三名候选人进行了笔试和面试两项测试，三人的测试成绩如下表所示：根据录用程序，组织200名职工对三人利用投票推荐的方式进行民主评议，三人得票率（没有弃权票，每位职工只能推荐1人）如上图所示，每得一票记作1分．(l ）请算出三人的民主评议得分；(2）如果根据三项测试的平均成绩确定录用人选，那么谁将被录用（精确到 0.01 )?(3）根据实际需要，单位将笔试、面试、民主评议三项测试得分按 4 : 3 : 3 的比例确定个人成绩，那么谁将被录用？21.（本题满分6分）近年来，由于受国际石油市场的影响，汽油价格不断上涨．请你根据下面的信息，帮小明计算今年5月份汽油的价格．22.（本题满分 6 分）两个全等的含300, 600角的三角板ADE 和三角板ABC 如图所示放置，E,A,C 三点在一条直线上，连结BD ，取BD 的中点M ，连结ME ，MC ．试判断△EMC 的形状，并说明理由．23.（本题满分8分）已知关于x的二次函数2212m y x mx +=-+与2222m y x mx +=--，这两个二次函数的图象中的一条与x 轴交于A, B 两个不同的点．(l ）试判断哪个二次函数的图象经过A, B 两点； (2）若A 点坐标为（-1, 0)，试求B 点坐标；(3）在（2）的条件下，对于经过A, B 两点的二次函数，当x 取何值时，y 的值随x 值的增大而减小？24.（本题满分8分）如图，在△ABC 中，AB=AC=1，点D,E 在直线BC 上运动．设BD=x , CE=y(l ）如果∠BAC=300，∠DAE=l050，试确定y 与x 之间的函数关系式；(2）如果∠BAC=α,∠DAE=β,当α, β满足怎样的关系时，(l ）中y 与x 之间的函数关系式还成立？试说明理由．25.（本题满分12分）半径为2.5的⊙O 中，直径AB 的不同侧有定点C 和动点P ．已知BC ：CA ＝4 : 3，点P 在 AB 上运动，过点C 作CP 的垂线，与PB 的延长线交于点O(l ）当点P 与点C 关于AB 对称时，求CQ 的长；(2）当点P 运动 AB 到的中点时，求CQ 的长；(3）当点P 运动到什么位置时，CQ 取到最大值？求此时CQ 的长．分）甲、乙、丙的民主评议得分分别为：50 分，80 分，701501518.751.8x x-=-………………………………………………………………5分整理，得x2- l.8x - 14.4 =0 …………………………………………………………………7分解这个方程，得x1=4.8，x2=-3 ………………………………………………………………10分经检验两根都为原方程的根，但x2＝-3 不符合实际意义，故舍去．……………………11分答：今年5月份的汽油价格为 4.8元／升．………………………………………………12分22.（本题满分6分）解：△EMC是等腰直角三角形．…………………………………………………2分证明：由题意，得DE=AC，∠DAE＋∠BAC900.∠DAB=900. …………………………………………………………………………3分连接AM．∵DM=MB∴MA=12DB=DM,∠MDA=∠MAB=450.∴∠MDE=∠MAC=1050∴△EDM≌△CAM∴EM=MC,∠DME=∠AMC………………………………………………………8分又∠EMC=∠EMA+∠AMC=∠EMA+∠DME=900∴CM⊥EM……………………………………………………………………………11分所以△EMC是等腰直角三角形……………………………………………………12分23.（本题满分8分）解：(l）对于关于x的二次函数y =221,2mx mx+-+由于△＝(-m ) 2-4×l×212m+=-m2-2<0,所以此函数的图象与x轴没有交点………………………………………………1分对于关于x的二次函数y =2222mx mx+--.由于△＝(-m ) 2-4×l×21()2m+=-m2-2<0,所以此函数的图象与x轴没有交点对于关于x的二次函数222,2my x mx+=--由于2222()41()340,2mm m+∆=--⨯⨯-=+>所以此函数的图象与x轴有两个不同的交点.故图象经过A、B两点的二次函数为222,2my x mx+=--…………………3分(2 )将A(-1,0)代入2222my x mx+=--，得2212mm++-=0.整理，得m2-2m = 0 .解之，得m=0，或m =2．…………………………………………………………5分当m =0时，y＝x2-1．令y = 0，得x2-1 = 0.解这个方程，得x1=-1，x2=1此时，B点的坐标是 B (l,0)．………………………………………………………6分当m=2时，y=x2-2x-3.令y=0，得x2-2x-3=0.解这个方程，得x1=-1，x2=3此时，B点的坐标是B（3，0）. ……………………………………………………8分(3) 当m =0时，二次函数为y＝x2-1，此函数的图象开口向上，对称轴为x=0，所以当x<0时，函数值y 随：的增大而减小．…………………………………………10分当m=2时，二次函数为y = x2-2 x-3 = (x-1)2-4, 此函数的图象开口向上，对称轴为x = l，所以当x < l 时，函数值y随x的增大而减小.…………………………12分24 .（本题满分8分）解：(l）在△ABC中，AB=AC =1，∠BAC=300,∴∠ABC＝∠ACB=750,∴∠ABD＝∠ACE=1050, …………1分∵∠DAE=1050.∴∠DAB＝∠CAE=750,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=750,∴∠CAE＝∠ADB…………………………………………………………3分∴△ADB∽△EAC…………………………………………………………4分∴AB BDEC AC=即11,y=1xxy=所以……………………………………………………6分(2）当α、β满足关系式0902αβ-=时，函数关系式1y=x成立．………8分理由如下：要使1y=x ，即A B B DE C A C=成立，须且只须△ADB∽△EAC.由于∠ABD ＝∠ECA ，故只须∠ADB ＝∠EAC. …………………………9分又∠ADB+∠BAD=∠ABC=0902α-,∠EAC+∠BAD=β-α, ……………………………………………………11分所以只0902α-=β-α,须即0902αβ-=.………………………………12分25.（本题满分12分）解：( l ）当点P 与点C 关于AB 对称时，CP ⊥AB ，设垂足为D.∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB=900.∴AB=5,AC:CA=4:3, ∴BC=4, AC=3.又∵AC ·BC=A B ·CD∴1224,.55CD PC ==……………………………………………2分在Rt △ACB 和Rt △PCQ 中，∠ACB ＝∠PCQ=900, ∠CAB ＝∠CPQ ， Rt △ACB ∽Rt △PCQ ∴432,.35AC BC BC PC CQ PC PC CQ AC ==== ……4分(2）当点P 运动到弧AB 的中点时，过点B 作BE ⊥PC 于点E （如图）.∵P 是弧AB 的中点，∴045,PCB CE BE BC ∠====6分又∠CPB=∠CAB ∴∠CPB= tan ∠CAB=43∴3tan 42BE PE BE CPB ===∠而从2PC PE EC =+=……8分由（l）得，41423CQ PC ==………………………………………9分(3）点P 在弧AB 上运动时，恒有4.3BC PC CQ PC AC == 故PC 最大时，CQ 取到最大值．………………………………………11分当PC 过圆心O ，即PC 取最大值5时，CQ 最大值为203……………12分。

世界少年奥林匹克数学竞赛_(中国区)选拔赛全国总决赛

世界少年奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛全国总决赛五年级初赛试题--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------考生须知：1. 每位考生将获得“题目及草稿纸一份”。

2. 本卷共120分3. 比赛期间，不得使用计算工具或手形。

五年级试卷（本试卷满分120分，考试时间120分钟）一、填空题（每空3分，共45分）1. 九九重阳节，一批老人决定乘若干辆至多可乘32人的大巴前去兵马俑，如果打算每辆车坐22个人，就会有一个人没有座位；如果少开一辆车，那么这批老人刚好平均分乘余下的大巴。

那么有（）个老人，原有（）辆大巴。

2. 在1—100的100个数中取出两个不同数相加，使其和是3的倍数，问有（）种不同取法。

3. 有5050张数字卡片，其中1张上写着数字“1”，2张上写着数字“2”；3张上写着数字“3”；……99张上写着数字“99”；100张上写着数字“100”。

现在要从中任意取出若干张，为了确保抽出的卡片中至少有10张完全相同的数字，至少要抽出（）张卡片。

4. 将100个小球放入依次排列的36个盒子中。

如果任意相邻的5个盒子中的小球总数均为14，且第1个盒中有2个小球。

求第36个盒子中小球的个数（）5. 一个大于0的整数A 加上一个大于1的整数B 后是一个完全平方数，A 加B 的平方后仍是一个完全平方数，当满足条件的B 最小时，A 是（）。

6. 在6点和7点之间，两针（）时刻重合？7. 1995的数字和是1+9+9+5=24。

那么小于2000的四位数中数字和等于24的数有（）个。

8. 求自然数21 0 0+31 0 1+41 0 2的个位数字是（）。

9. 父子二人在雪地散步，父亲在前，每步80厘米，儿子在后，每步60厘米，其中有一些脚印与父亲重合，在120米内一共留下（）个脚印。

1995年第三十六届IMO试题(不含答案)

第三十六届（1995年）
加拿大多伦多（Toronto ，Canada ）
1. 设A 、B 、C 、D 是按顺序在一条线上的四个不同的点。

分别以AC 和BD 为直径的圆交于X 和Y 。

直线XY 交BC 于Z 。

设P 是直线XY 上不同于Z 的一点。

直线CP 交以AC 为直径的圆于C 和M ，直线BP 交以BD 为直径的圆于B 和N 。

求证：直线AM 、DN 、XY 共点。

（保加利亚）
2. 设a 、b 、c 为正整数且abc =1。

证明：
3331113()()()2
a b c b c a c a b ++≥+++。

（俄罗斯）
3. 找到所有满足条件的大于3的整数n ，使平面上存在n 个点A 1，…，A n ，任意三点都不共线，实数r 1，…，r n 使得对于1≤i ＜j ＜k ≤n ，△A i A j A k 的面积是r i +r j +r k 。

（捷克）
4. 找到x 0的最大值，使得存在一个由正实数组成的数列x 0，x 1，…，x 1995，有x 0=x 1995，且对于i =1，…，1995，都有11212i i i i x x x x --+=+。

（波兰）
5. 设ABCDEF 为凸六边形且AB=BC=CD 以及DE=EF=F A ，使∠BCD =∠EF A =3π。

假设G 和H 是六边形的内点，使得∠AGB=∠DHE=23π。

求证：AG+GB+GH+DH+HE ≥CE 。

（新西兰）
6. 设p 是奇质数。

有多少个{1,2，…，2p }的p 元子集A ，其元素的和可被p 整除？（波兰）。

1995年全国初中数学竞赛试题及答案.doc

1995年全国初中数学联赛试题第一试一、选择题1．已知a＝355,b＝444,c＝533,则有［]A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜bA．1B．2 C．3 D．43．如果方程(x－1)(x2－2x－m)＝0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m的取值范围是4．如果边长顺次为25、39、52与60的四边形内接于一圆，那么此圆的周长为［]A．62πB．63πC．64πD．65π5．设AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的直径，且与弦AB相交，记M＝｜S△CAB－S△DAB｜，N＝2S△OAB，则[ ]A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．M、N的大小关系不确定6．设实数a、b满足不等式｜｜a｜－(a＋b)｜＜｜a－|a＋b｜｜，则[ ]A．a＞0且b＞0B．a＜0且b＞0C．a＞0且b＜0D．a＜0且b＜0二、填空题1．在12，22，32…，952这95个数中，十位数字为奇数的数共有____个。

4．以线段AB为直径作一个半圆，圆心为O，C是半圆周上的点，且OC2＝AC·BC，则∠CAB＝______．第二试一、已知∠ACE＝∠CDE＝90°，点B在CE上，CA＝CB＝CD，经A、C、D三点的圆交AB于F（如图）求证F为△CDE的内心。

二、在坐标平面上，纵坐标与横坐标都是整数理由。

三、试证：每个大于6的自然数n，都可以表示为两个大于1且互质的自然数之和。

1995年全国初中数学联赛参考答案第一试一、选择题1．讲解：这类指数幂的比较大小问题，通常是化为同底然后比较指数，或化为同指数然后比较底数，本题是化为同指数，有c＝(53)11＝12511＜24311＝(35)11＝a＜25611＝(44)11＝b。

选C。

利用lg2＝0.3010，lg3＝0.4771计算lga、lgb、lgc也可以，但没有优越性。

2．讲解：这类方程是熟知的。

先由第二个方程确定z＝1,进而可求出两个解：(2，21，1)、(20，3，1)．也可以不解方程组直接判断：因为x≠y(否则不是正整数)，故方程组①或无解或有两个解，对照选择支，选B。

IMO预选题1995

SHORLISTED PROBLEMS FOR THE 36st IMOCanada, 1995ALGEBRA1. Let a, b and c be positive real numbers such that abc = 1. Prove that 23)(13≥+åsym c b a .2. Let a and b be non-negative integers such that ab ≥ c 2, where c is an integer. Prove that there is a number n and integers x 1, x 2, ..., x n , y 1, y 2, ..., y n such that ab y x b y a x i i i i ===ååå,,22.3. Let n ≥ 3 be an integer. Let a 1, a 2, ..., a n be real numbers, where 2 ≤ a i ≤ 3 for i = 1, 2, ,..., n.If S = a 1 + a 2 + ... + a n , prove that n S a a a a a a cyc 22321232221−≤−+−+å.4. Let a, b and c be given positive real numbers. Determine all positive real numbers x, y and z such that x + y + z = a + b + c and 4xyz - (a 2x + b 2y + c 2z) = abc .5. Let R be the set of real numbers. Does there exist a function f : R → R which simultaneously satisfies the following three conditions?• (a) There is a positive number M such that -M ≤ f (x ) ≤ M for all x .• (b) The value of f (1) is 1.• (c) If x ≠ 0, then f(x + 1/x 2) = f(x) + (f(1/x))2.6. Let n be an integer, n ≥ 3. Let x 1, x 2, ..., x n be real numbers such that x i < x i+1 for 1 ≤ i ≤ n - 1. Prove that ååå=−=<−−>−n j j n i i j i j i x j x i n x x n n 211)1()(2)1(.GEOMETRY7. Let A, B, C and D be four distinct points on a line, in that order. The circles with diameters AC and BD intersect at the points X and Y. The line XY meets BC at the point Z. Let P be a point on the line XY different from Z. The line CP intersects the circle with diameter AC at the points C and M, and the line BP intersects the circle with diameter BD at the points B and N. Prove that the lines AM, DN and XY are concurrent.8. Let A, B and C be non-collinear points. Prove that there is a unique point X in the plane of ABC such that XA 2 + XB 2 + AB 2 = XB 2 + XC 2 + BC 2 = XC 2 + XA 2 + CA 2.9. The incircle of ABC touches BC, CA and AB at D, E and F, respectively. X is a point inside ABC such that the incircle of XBC touches BC at D also, and touches CX and XB at Y and Z, respectively. Prove that EFZY is a cyclic quadrilateral.10. An acute triangle ABC is given. Points A 1 and A 2 are taken on the side BC (with A 2 between A 1 and C), B 1 and B 2 on the side AC (with B 2 between B 1 and A) and C 1 and C 2 on the side AB (with C 2 between C 1 and B) so that ∠AA 1A 2 = ∠AA 2A 1 =∠BB 1B 2 ∠BB 2B 1 = ∠CC 1C 2 = ∠CC 2C 1. The lines AA 1, BB 1 and CC 1 bound a triangle, and the linesAA 2, BB 2 and CC 2 bound a second triangle. Prove that all six vertices of these two triangles lie on a single circle.11. Let ABCDEF be a convex hexagon with AB = BC = CD, DE = EF = FA, and ∠BCD = ∠EFA = 60°. Let G and H be two points in the interior of the hexagon such that ∠AGB = ∠DHE = 120°. Prove that AG + GB + GH + DH + HE ≥ CF.12. Let A 1A 2A 3A 4 be a tetrahedron, G its centroid, and A 1', A 2', A 3' and A 4' the points where the circumsphere of A 1A 2A 3A 4 intersects GA 1, GA 2, GA 3 and GA 4, respectively. Prove that GA 1·GA 2·GA 3·GA 4 ≤ GA 1'·GA 2'·GA 3'·GA 4' and 1/GA 1' + 1/GA 2' + 1/GA 3' + 1/GA 4' ≤ 1/GA 1 + 1/GA 2 + 1/GA 3 + 1/GA 4.13. O is a point inside a convex quadrilateral ABCD of area S. K, L, M and N are interior points of the sides AB, BC, CD and DA, respectively. If OKBL and OMDN are parallelograms, prove that 21S S S +≥, where S 1 and S 2 are the areas of ONAK and OLCM, respectively.14. Let ABC be a triangle. A circle passing through B and C intersects the sides AB and AC again at C' and B', respectively. Prove that BB', CC' and HH' are concurrent, where H and H' are the orthocentres of triangles ABC and AB'C' respectively.NUMBER THEORY & COMBINATORICS15. Let k be a positive integer. Prove that there are infinitely many perfect squares of the form n ·2k - 7, where n is a positive integer.16. Let Z denote the set of all integers. Prove that, for any integers A and B, one can find an integer C for which M 1 = {x 2 + A x + B, x ∈ Z } and M 2 = {2x 2 + 2x + C, x ∈ Z } do not intersect.17. Determine all integers n > 3 such that there exist n points A 1, A 2, ..., A n in the plane, and real numbers r 1, r 2, ..., r n satisfying the following two conditions:(a) no three of the points A 1, A 2, ..., A n lie on a line.(b) for each triple i, j, k (1 ≤ i < j < k ≤ n ); the triangle A i A j A k has area equal to r i + r j + r k .18. Find all positive integers x and y such that x + y 2 + z 3 = xyz , where z is the greatest common divisor of x and y .19. At a meeting of 12k people, each person exchanges greetings with exactly 3k +6 others. For any two people, the number of people who exchange greetings with both is the same. How many people are there at the meeting?20. Let p be an odd prime number. Find the number of subsets A of {1, 2, ..., 2p } such that A has exactly p elements, and the sum of all the elements in A is divisible by p .21. Does there exist an integer n > 1 which satisfies the following condition: The set of positive integers can be partitioned into n non-empty subsets, such that an arbitrary sum of n – 1 integers, one taken from each of any n – 1 of the subsets, lies in the remaining subset.22. Let p an odd prime. Determine positive integers x and y for which x ≤ y and y x p −−2 is non-negative and as small as possible.SEQUENCES23. Does there exist a sequence F(1), F(2), F(3), ... of non-negative integers which simultaneously satisfies the following three conditions:(a) Each of the integers 0, 1, 2, ... occurs in the sequence.(b) Each positive integer occurs in the sequence infinitely often.(c) For any n ≥ 2, F(F(n 163) ) = F(F(n )) + F(F(361)).24. Find the maximum value of x 0 for which there exists a sequence of positive real numbers x 0, x 1, ..., x 1995 satisfying the two conditions:(a) x 0 = x 1995; (b) ii i i x x x x 12211+=+−− for each i = 1, 2, ..., 1995. 25. For an integer x > 1, let p (x ) be the least prime that does not divide x , and define q (x ) to be the product of all primes less than p (x ). In particular, p (1) = 2. For x having p (x ) = 2, defineq (x ) = 1. Consider the sequence x 0, x 1, x 2, ... defined by x 0 = 1 and )()(1n n nn x q x p x x =+. Find all n such that x n = 1995.26. Suppose that x 1, x 2, x 3, ... are positive real numbers for which å−==10n j j n nnx x for n = 1, 2, 3, .... Prove that for all n we have n n n x 2122121−<≤−−.27. For positive integers n , the numbers f (n ) are defined inductively as follows: f (1) = 1, and for every positive integer n , f (n +1) is the greatest integer m such that there is an arithmetic progression of positive integers a 1 < a 2 < ... < a n and f (a 1) = f (a 2) = ... = f (a n ). Prove that there are positive integers a and d such that f (an + b ) = n + 2 for every positive integer n .28. Let N denote the set of all positive integers. Prove that there exists a unique function f : N → N satisfying: f (m + f (n )) = n + f (m + 95) for all m and n in N . What is the value of å=191)(k k f ?。

1995IMO中国国家队选拔(第十届)

对 3 次多项式情形同样的结论是否成立？对 5 次多项式情形同样的结论是否成立？
1995 第 36 届 IMO 于 1995 年 7 月 13 日～7 月 25 日在加拿大多伦多举行
中国国家队队员是
柳耸山东实验中学
金牌
常成哈尔滨师大附中
金牌
朱辰畅湖北武钢三中（高二）金牌
王海栋华东师大二附中
金牌
林逸舟山东实验中学
银牌
姚一隽复旦大学附中
银牌
普及数学知识，传播奥林文化，快递竞赛信息。
三、21 人参加一次考试，试卷共有 15 道是非题。已知每两人答对的题中至少有一道是相同的。问答对人数最多的题最少有多少人答对？请说明理由。
M
第二天
N A
θ P Bl
{ } 四、设 S = A = (a1,"", a8 ) ai = 0或1,i = 1,"",8 。对于 S 中的两个元素 A = (a1,"", a8 ) 和
8
∑ B＝ B = (b1,"",b8 ) ，记 d ( A, B) ＝ ai − bi ，并称其为 A 和 B 之间的距离。 i =1
问 S 中最多能取出多少个元素，它们之中任何两个的距离≥5？五、甲乙二人对一个至少 4 次的多项式 x2n + x2n−1 + x2n−2 +"" + x +1玩填数游戏：二人轮流选定
《数学奥林匹克报》
Mathematical Olympiad Express
IMO 中国国家队选拔考试
1995 第 9 届
第一天
一、求不能表示成 3a − 2b 的最小素数 p 。这里 a 和 b 是非负整数。

1995年全国初中奥林匹克化学竞赛试题参考答案

1995年全国初中奥林匹克化学竞赛试题参考答案1．B 2．CD 3．CD 4．C 5．CD 6．D 7．C 8．A 9．D 10．AD11．B 12．B 13．AD 14．AC 15．D 16．B 17·B 18．A 19．BD 20．D21．(1)2NaCl＋2H2O2NaOH＋H2↑＋Cl2↑(2)2Cl2＋2Ca(OH)2=CaCl 2＋Ca(ClO)2＋2H2O22．Al2O3·2SiO2·2H2O，CaO·3SiO2·A12O3·3H2O，3MgO·4SiO2·H2023．CF3Br；CF2Cl；C2F4Br224．2AsH3＋3O2=As2O3＋3H2O25．①ZnCO3ZnO＋CO2↑②2ZnO＋C 2Zn＋CO2↑③2Cu2O＋C 4Cu＋CO2↑26．①过滤除去污泥。

②向滤液中加入过量的铁粉，使Ag还原为Ag。

⑧过滤，将Ag和过量的铁粉从溶液中分离出来。

④将混有Fe粉的Ag用稀H2SO4处理，使Fe溶解。

⑤过滤，分离出银。

⑥将③、⑤两步的滤液合并，蒸发浓缩，冷却结晶。

⑦过滤，得硫酸亚铁晶体。

加热晶体使其失去结晶水得到FeSO427．如上图，在玻璃管中加水，在试管中加水，照图连接好装置后，向试管中加入NH4NO3晶体，可观察到弯曲玻璃管左边液面上升，右边液面下降,说明物质溶于水时有吸热现象发生。

产生上述现象的原因是NH4NO3溶于水时扩散(物理)过程吸收的热量大于水合(化学)过程放出的热量，敌表现为溶液温度降低，广口瓶内气压减小，故左边液面上升，右边液面下降.28．(1)0.18；(2)黑色固体逐渐变为红色；C管中有无色液体出现；D的内管向外推动。

(3)2NH3＋3CuO3Cu十N2↑＋3H2029．(1)在试管中加入固体混合物，并加热。

(2)加热的固体残渣冷却后加水溶解。

(3)向溶液中加入足量的BaCl2溶液。

imo试题答案

imo试题答案一、选择题1. 以下哪个选项是IMO历史上最年轻的金牌获得者？A. 彼得·舒尔茨B. 陶哲轩C. 陈景润D. 约翰·纳什答案：B. 陶哲轩2. IMO竞赛中，每天的试题解答时间是多少小时？A. 3小时B. 4小时C. 5小时D. 6小时答案：C. 5小时3. IMO试题通常由哪个组织提供？A. 各国数学奥林匹克委员会B. 国际数学联合会C. 主办国的数学学会D. 国际奥林匹克委员会答案：C. 主办国的数学学会4. 在IMO竞赛中，参赛者需要解决多少个问题？A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个答案：B. 4个5. IMO试题的答案需要满足什么条件？A. 必须是唯一的B. 必须是普遍接受的C. 必须是简洁的D. 必须是证明过程完整的答案：D. 必须是证明过程完整的二、填空题1. IMO竞赛始于______年，首届比赛在______举行。

答案：1959年，罗马尼亚2. 每位参赛者在IMO竞赛中每天需要解答______个问题，共计______分。

答案：3个，45分3. IMO试题的难度通常分为三个等级，分别是______、______和______。

答案：简单、中等、困难4. 参赛者在IMO竞赛中获得的最高分是______分。

答案：42分5. 根据IMO规则，每个国家可以派出最多______名参赛者。

答案：6名三、解答题1. 请简述IMO竞赛的评分标准。

答：IMO竞赛的评分标准非常严格。

每个问题的满分为7分，参赛者需要提供完整且正确的解答过程才能获得满分。

评委会根据解答的正确性、完整性和逻辑性来评分。

如果解答过程中有错误或者不完整，将会扣除相应的分数。

每个参赛者需要在两天内解答四个问题，每天三个问题，总分42分。

2. 描述IMO竞赛的选拔过程。

答：各国选拔参加IMO竞赛的选手通常通过国内数学奥林匹克竞赛进行选拔。

选拔过程包括初赛、复赛和最终的国家集训队选拔。

在国家集训队中，选手们会接受高强度的培训和模拟比赛，最终选拔出最优秀的选手代表国家参加国际数学奥林匹克竞赛。

1995年中国数学奥林匹克试题解答

1995年中国数学奥林匹克试题解答常庚哲;苏淳【期刊名称】《中等数学》【年(卷),期】1995(000)002【摘要】一、证明（i）如果a1≤b1,则由递推关系式立知ai≤bi,i=2,…,n,结论显然成立。

（ii）如果存在2≤i0≤n-1,使ai0≤bi0且ai0+1≤bi0+1,则当i0=n-1时,立得结论;而当2≤i0≤n-2时,由递推关系式亦知,对一切i≥i0+2,均有ai≤bi,从而结论亦成立。

【总页数】3页(P14-16)【作者】常庚哲;苏淳【作者单位】[1]第十届全国数学冬令营主试委员会;[2]第十届全国数学冬令营主试委员会【正文语种】中文【中图分类】G634.605【相关文献】1.2006年中国数学奥林匹克（第21届全国中学生数学冬令营）试题解答 [J],2.第2届中国东南地区数学奥林匹克试题解答 [J], 吴伟朝3.2004年中国数学奥林匹克冬令营试题解答 [J], 陶平生4.1995年中国数学奥林匹克(第10届全国中学生数学冬令营,合肥) [J],5.1994中国数学奥林匹克试题解答 [J],因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。