三明市普通高中毕业班质量检查文科数学试题含答案word版

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2020年三明市高三毕业班质量检查测试文科数学试卷

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2020 年三明市高三毕业班质量检查测试文科数学
注意事项：
1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、准考证号．考生要
认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否
一致．
2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改
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8．已知△ ABC 的三边分别为 a,b,c ，且满足 a2 b2 c2 3ab ，则△ ABC 的最大内角
为
A． 60
B． 90
C． 120
D． 150
9．如图，网格纸上小正方形的边长为1 ，粗线画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥外
接球的体积是
A. b c a
B. c b a
C. a b c
D. b a c
7．在平面直角坐标系 xOy 中，已知角的顶点在坐标原点，始边与 x 轴正半轴重合，终
边经过点 P( 2 , 1) ，则 cos 2
A． 2 2 3
B． 1 3
C． 1 3
D． 2 2 3
文科数学试题第 1 页（共 5 页）
f (x) 2x2 12x 18 ，函数 g(x) f (x) loga ( x 1) ．现给出以下命题：
① f (x) 是周期函数；② y f (x) 的图象关于直线 x 1 对称；③当 a 1 时， g(x) 在
(0， ) 内有一个零点；④当 0 a 3 时， g(x) 在 R 上至少有六个零点． 3
动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．非选择题用 0.5 毫米黑色签字笔在答题
卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．

福建省三明市2024届普通高中高三毕业班质量检测数学试题(解析版)

三明市2024年普通高中高三毕业班质量检测数学试题（本试卷总分150分，考试时间120分钟.）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线:2l y x =+与圆224x y +=相交于,A B 两点，则AB =（）A.B. C.2D.4【答案】B 【解析】【分析】根据圆的相关知识即可求得AB 弦长.【详解】由已知圆224x y +=，圆心为()0,0，半径2r =所以圆心到直线:2l y x =+距离d ==所以AB ==故选：B2.已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B，C 的对边，37a b c ===，，则A C +的值为（）A.π6B.π3C.2π3 D.5π6【答案】C 【解析】【分析】利用余弦定理求出角B 即可得解.【详解】在ABC中，由余弦定理得222222371cos 22372a cb B ac +-+-===⨯⨯，而0πB <<，则π3B =，所以2π3A C +=.故选：C3.随机变量2~(,)N ξμσ，函数()²4f x x x ξ=-+没有零点的概率是12，则μ的值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】D 【解析】【分析】根据函数()²4f x x x ξ=-+没有零点，求得4ξ>，结合题意可得出142()P ξ>=，继而由正态分布的对称性，可得答案.【详解】由函数()²4f x x x ξ=-+没有零点，得1640,4ξξ∆=-<∴>，函数()²4f x x x ξ=-+没有零点的概率是12，即142()P ξ>=,结合2~(,)N ξμσ，可知4μ=，故选：D 4.若223323211log 333,,a b c ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（）A.c a b >> B.c b a>> C.a b c>> D.b c a>>【答案】A 【解析】【分析】根据幂函数的单调性可判断,a b 的大小，利用对数函数的单调性判断a 的范围，即可得答案.【详解】由题意得22223333,22113333a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎝==⎭⎝⎭⎭，由于23y x =在(0,)+∞上单调递增，故222333211133a b ⎛⎫⎛⎫=>== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭>；而23log y x =在(0,)+∞上单调递减，故223312log log 133c =>=，故c a b >>，故选：A5.各种不同的进制在生活中随处可见，计算机使用的是二进制，数学运算一般使用的是十进制，任何进制数均可转换为十进制数，如八进制数8(3750)转换为十进制数的算法为3210387858082024⨯+⨯+⨯+⨯=．若将八进制数67777 个转换为十进制数，则转换后的数的末位数字是（）A.3B.4C.5D.6【答案】A 【解析】【分析】换算后由等比数列求和得681-，改写成()61021--，利用二项式定理展开即可求解．【详解】543210678777787878787878⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭ 个5432107(888888)=⨯+++++()66618781102118-=⨯=-=---061515156066666C 10C 10(2)C 10(2)C 10(2)1=⋅+⋅⋅-++⋅⋅-+⋅⋅-- 05141505606666610[C 10C 10(2)C 10(2)]C 10(2)1=⨯⋅+⋅⋅-++⋅⋅-+⋅⋅-- 因为0514150566610[C 10C 10(2)C 10(2)]⨯⋅+⋅⋅-++⋅⋅- 是10的倍数，所以换算后这个数的末位数字即为666C 10(2)1⋅⋅--的末位数字，由666C 10(2)164163⋅⋅--=-=，末位数字为3，故选：A ．6.函数()sin()(0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的部分图象如图所示，其中,A B 两点为图象与x 轴的交点，C 为图象的最高点，且ABC 是等腰直角三角形，若3OB OA =- ，则向量AO 在向量AC上的投影向量的坐标为（）A.11(,)44-- B.11(,44C .11(,)22-- D.11(,22【答案】B【解析】【分析】首先求出πAB ω= ，过点C 作CD AB ⊥于点D ，由ABC 是等腰直角三角形，表示出,,,A B C D的坐标，由()f x 最大值为1，即可求出ω，根据投影向量计算公式计算即可．【详解】112ππ22T ωω=⨯=，则πAB ω= ，过点C 作CD AB ⊥于点D ，因为ABC 是等腰直角三角形，所以π,4AD BD CD CAD ==∠=，因为3OB OA =- ，所以π3ππππ(,0),(,0),(,0),(,44442A B D C ωωωωω=-，因为()f x 最大值为1，所以π12ω=，解得π2=ω，所以111(,0),(,0),(,1)222A D C =-，则1(,0),(1,1)2AO AC == ，则AO 在AC上的投影向量的坐标为：12211cos (1,1)(,)22244AC AO CAD AC∠⋅=⨯=，故选：B ．7.已知抛物线(220x py p =>）的焦点为F ，第一象限的两点A ，B 在抛物线上，且满足||||3,||AF BF AB -==.若线段AB 中点的横坐标为3，则p 的值为（）A.2 B.3C.4D.5【答案】B 【解析】【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，由||||3AF BF -=可得123y y -=，结合弦长以及已知求出1AB k =，利用212AB x x k p+=，即可求得答案.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，由||||3AF BF -=得12322p p y y ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即得123y y -=；又1221||1||2ABAB y y k =+⨯-=，解得21AB k =，由于A ，B 在第一象限内，故1AB k =，则2221212121212212ABx y y x x p p k x x x x x p-=+-===--，而线段AB 中点的横坐标为3，则126x x +=，故61,32p p=∴=，故选：B8.已知函数()1132e e 33x x f x x x x --=-+-+，若实数,x y 满足()()223242f x f y +-=，则x y +的最大值为（）A.1B.52C.5D.303【答案】C 【解析】【分析】先证明()()223242f xf y+-=，进而可得223242x y +-=，设x y t +=，则直线x y t +=与椭圆22326x y +=有交点，联立方程，则0∆≥，即可得解.【详解】()()()()3231e e 13131e e 1x x x x f x x x x x --+=-++-+++=-++，()()()()3231e e 13131e e 1x x x x f x x x x x ---+=-+-+--++-+=--+，则()()112f x f x ++-+=，又因为()()223242f xf y+-=，所以223242x y +-=，即22326x y +=，设x y t +=，则直线x y t +=与椭圆22326x y +=有交点，联立22326x y t x y +=⎧⎨+=⎩，得2254260x tx t -+-=，则()221620260t t ∆=--≥，解得t ≤≤，所以x y +的最大值为.故选：C.【点睛】关键点点睛：证明()()223242f xf y+-=，可得223242x y +-=，是解决本题的关键.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.i 是虚数单位，下列说法正确的是（）A.2024i 1=-B.若1i 22ω=--，则2ωω=C.若1,C z z =∈，则2z -的最小值为1D.若43i -+是关于x 的方程()²0,R x px q p q ++=∈的根，则7q =【答案】BC 【解析】【分析】根据复数的乘方即可判断A ；根据复数的乘法运算及共轭复数的定义即可判断B ；设()i ,R z x y x y =+∈，再根据1z =，求出,x y 的关系，再结合复数的模的公式即可判断C ；根据方程的复数根互为共轭复数即可判断D .【详解】对于A ，()()1012101220242i i 11==-=，故A 错误；对于B ，若13i 22ω=--，则221313i 2222ωω⎛⎫=--=-+= ⎪ ⎪⎝⎭，故B 正确；对于C ，设()i ,R z x y x y =+∈，由1z =1=，即2210y x =-≥，所以11x -≤≤，则[]21,3z -===，所以2z -的最小值为1，故C 正确；对于D ，若43i -+是关于x 的方程()²0,R x px q p q ++=∈的根，则43i --也是关于x 的方程()²0,R x px q p q ++=∈的根，所以()()43i 43i 25q -+--==，故D 错误.故选：BC .10.假设甲袋中有3个红球和2个白球，乙袋中有2个白球和2个红球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋，混匀后再从乙袋中任取2个球.下列选项正确的是（）A.从甲袋中任取2个球是1个红球1个白球的概率为35B.从甲、乙两袋中取出的2个球均为红球的概率为120C.从乙袋中取出的2个球是红球的概率为37150D.已知从乙袋中取出的是2个红球，则从甲袋中取出的也是2个红球的概率为1837【答案】ACD 【解析】【分析】根据给定条件，结合古典概率公式、条件概率公式及全概率公式逐项计算判断得解.【详解】从甲袋中取出2个球有i 个红球的事件为,0,1,2i A i =，从乙袋中取出2个球红球的事件为B ，22025C 1()C 10P A ==，1132125C C 3()C 5P A ==，23225C 3()C 10P A ==，22026C 1(|C 15)P B A ==，()23126C 1|C 5P B A ==，24226C 2(|C 5)P B A ==，对于A ，从甲袋中任取2个球是1个红球1个白球的概率为13()5P A =，A 正确；对于B ，从甲、乙两袋中取出的2个球均为红球的概率为22323()(|)10525P A P B A =⨯=，B 错误；对于C ，从乙袋中取出的2个球是红球的概率211313237101555105150()()(|)i i i P B P A P B A ==⨯+⨯+=⨯=∑，C 正确；对于D ，从乙袋中取出的是2个红球，则从甲袋中取出的也是2个红球的概率222232()(|)()18105(|)37()()37150P A B P B A P A P A B P B P B ⨯====，D 正确.故选：ACD11.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别为11AB BC C D ，，的中点，则下列说法正确的是（）A.若点P 在正方体的表面上，且0PE PG ⋅=，则点P 的轨迹长度为24πB.若三棱锥1F C CE -的所有顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为14πC.过点1,,E F D 的平面截正方体1111ABCD A B C D -+D.若用一张正方形的纸把此正方体完全包住，不考虑纸的厚度，不将纸撕开，则所需纸的面积的最小值为32【答案】BCD 【解析】【分析】由0PE PG ⋅=得到点P 一定在球面上，又因为点P 在正方体的表面上，可以得到P 的轨迹为6个半径为1的圆，进而得到轨迹长度；求有一条侧棱垂直于底面的三棱锥1F C CE -的外接球表面积，即求半径，根据CEF △外接圆半径结合勾股定理即可求得；利用平行找到过1,,E F D 三点的截面，进而求的截面周长；利用正方形的对角线长度求得正方形面积.【详解】A 选项，因为0PE PG ⋅=，所以P 在以EG 为直径的球面上，又因为E 、G 分别是AB 和11C D 的中点，结合棱切球与各个面的交点为各条棱的中点，得到该球是正方体的棱切球，又由P 在正方体的表面上，所以P 的轨迹为6个半径为1的圆，所以P 的轨迹长度为6212ππ⨯=，故A 错误；B 选项，即求三棱锥1FC CE -即1C CEF -的外接球，在CEF △中，由余弦定理得222cos 210EC EF CF CEF EC EF +-∠==⋅⋅，所以sin 10CEF ∠=，由正弦定理得2sin 1010CF r CEF ==∠r 是CEF △外接圆半径，所以102r =，因为侧棱1CC ⊥面CEF ，所以外接球半径2221571222CC R r ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，所以球O 的表面积为2742142R π=π⨯=π，故B 正确；C选项，如图延长FE 交DA 的延长线于点P ，可得到EFB EPA ≅ ，所以1AP BF ==，连接1PD 交1AA 于点Q ，由11PAQ D A Q 得11112AQ AP QA D A ==，所以Q 是1AA 上靠近A 的三等分点，连接1D Q ，作1FR D Q 交1CC 于点R ，则R 是靠近C 的三等分点，连接1D R ，则五边形1EFRD Q 即为所求截面，FE ===，133EQ ====，12133QD ====，12133D R ====，3RF ====，所以周长为1113213213133333FE EQ QD D R RF ++++=+++=C 正确；D 选项，由正方体的侧面展开图，结合上图可以看出五个正方形及上下左右四个三角形组成一个正方形，可知要想把正方体完全包住，正方形PSQT 即为所求正方形，对角线长为1+2+2+2+1=8，所以面积为188322⨯⨯=，故D 正确；故选：BCD.三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知从小到大排列的一组数据：1，5，a ，10，11，13，15，21，42，57，若这组数据的极差是其第30百分位数的7倍，则a 的值为_____.【答案】6【解析】【分析】确定极差，求出第30百分位数的表达式，结合题意列式求解，即得答案.【详解】由题意知这组数据的极差是57156-=，由于1030%3⨯=，故第30百分位数为102a +，故10567,62a a +=⨯∴=，故答案为：613.已知关于x 的不等式()()2e 390xx k x k x ⎡⎤--++≤⎣⎦对任意()0,x ∈+∞均成立，则实数k 的取值范围为_____.【答案】1,3e⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】分当e 0x x k -≤且()2390x k x -++≥对任意()0,x ∈+∞均成立时，和当e 0x x k -≥且()2390x k x -++≤对任意()0,x ∈+∞均成立时，两种情况讨论，分离参数，进而可得出答案.【详解】当e 0x x k -≤对任意()0,x ∈+∞均成立时，则e xxk ≥对任意()0,x ∈+∞均成立，令()()0e x x f x x =>，则()1ex xf x -'=，当01x <<时，()0f x ¢>，当1x >时，()0f x '<，所以函数()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()()max 11ef x f ==，所以1ek ≥，当()2390x k x -++≥对任意()0,x ∈+∞均成立时，则2993x k x x x++≤=+对任意()0,x ∈+∞均成立时，因为96x x +≥=，当且仅当9x x =，即3x =时取等号，所以min 96x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以36k +≤，所以3k ≤，所以，当e 0x x k -≤且()2390x k x -++≥对任意()0,x ∈+∞均成立时，1e k ≥且3k ≤，即1,3e k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；当e 0x x k -≥且()2390x k x -++≤对任意()0,x ∈+∞均成立时，即e xx k ≤且93k x x+≥+对任意()0,x ∈+∞均成立时，因为9x x+在()0,x ∈+∞上无最大值，所以此时没有k 满足，综上，实数k 的取值范围为1,3e⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为：1,3e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.14.记{}()**1,2,3,,N ,m k N m m A =∈ 表示k 个元素的有限集，()S E 表示非空数集E 中所有元素的和，若集合(){}*,|m k k k m M S A A N =⊆，则4,3M =_____，若(),2817m S M ≥，则m 的最小值为_____.【答案】①.{6,7,8,9}②.21【解析】【分析】第一空，根据集合新定义可写出3A 的所有可能情况，即可求得答案；第二空，由题意求出,2{3,4,5,,21}m M m =- ，利用等差数列的求和公式列不等式，结合解一元二次不等式求出m 的范围，即可求得答案.【详解】当4,3m k ==时，{}43*1,2,3,4,N A =表示3个元素的有限集，由*k m A N ⊆可知3{1,2,3}A =或3{1,2,4}A =或3{1,3,4}A =或3{2,3,4}A =，故4,3{6,7,8,9}M =；由题意知,2{3,4,5,,21}m M m =- ，故由(),2817m S M ≥可得()(212)3218172m m --+-≥，即()(23)1817m m -+≥，解得16561214m +≥=或165614m -≤（舍去），结合*N m ∈，故m 的最小值为21，故答案为：{6,7,8,9}；21【点睛】关键点睛：本题考查了集合新定义问题，解答本题的关键在于理解题中所给新定义的含义，明确其内容，进而结合解不等式，即可求解.四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.如图，多面体PABCD 中，PBD △和CBD △均为等边三角形，平面ABD ⊥平面,2,3PBD BD PC ==.（1）求证：BD PC ⊥;（2）求平面ABD 与平面PBC 夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）3913【解析】【分析】（1）取BD 的中点M ，连接,PM MC ，证明BD ⊥平面CPM ，即可证明结论；（2）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面ABD 与平面PBC 的法向量，根据空间角的向量求法，即可求得答案.【小问1详解】证明：取BD 的中点M ，连接,PM MC ，因为PBD △和CBD △均为等边三角形，故,BD PM BD CM ⊥⊥，而,,PM CM M PM CM =⊂ 平面CPM ，故BD ⊥平面CPM ，PC ⊂平面CPM ，故BD PC ⊥；【小问2详解】以M 为坐标原点，以,MB MC所在直线为,x y 轴，过点M 作平面BCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，平面ABD ⊥平面PBD ，平面ABD ⋂平面PBD BD =，PM ⊂平面PBD ，BD PM ⊥，故PM ⊥平面ABD ，PBD △和CBD △均为等边三角形，2,BD PC ==，60PM MC PC PMC ︒∴===∠=()()330,,,,1,0,022P C B ⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭，()33331,,,,0,,2222BP BC MP ⎛⎫⎛⎫∴=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设平面PBC 的法向量为(,,)m x y z =，00m BP m BC ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩，即330220x y z x ⎧-++=⎪⎨⎪-+=⎩，令y =m = ，平面ABD 的法向量可取为330,,22MP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ ，设平面ABD 与平面PBC 夹角为θ，39cos cos ,|13MP m MP m MP mθ⋅∴=〈〉=== ，故平面ABD 与平面PBC夹角的余弦值为13.16.已知函数()sin cos(f x x x ωω=+)6π+（其中0ω>）其中图象的两条相邻对称轴间的距离为2π.（1）若()f x 在(0,)m 上有最大值无最小值，求实数m 的取值范围；（2）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度；再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到()g x 的图象，设1()()2h x g x x =+，求()h x 在(2,)-ππ的极大值点.【答案】（1）7,1212ππ⎛⎤⎥⎝⎦（2）43π-和23π【解析】【分析】（1）化简函数()f x ，利用周期求出()f x 解析式，再结合正弦函数图象求解即可.（2）先根据图象的平移伸缩变换得到()h x 的解析式，再求导求其极大值点即可.【小问1详解】13()sin 22f x x xωω=+sin(x ω=)3π+(0)>ω因为图象相邻对称轴间的距离为2π，所以周期22T ππ=⨯=，即ω22T π==，因此()sin(2)3f x x π=+，当(0,)x m ∈时，2(,2)333x m πππ+∈+若()f x 在(0,)m 有最大值无最小值，由正弦函数图象得只需32232m πππ<+≤，解得71212m ππ<≤，即m 的取值范围为7(,]1212ππ.【小问2详解】将()f x 的图象向右平移6π个单位得sin[2()]sin 263y x x ππ=-+=再将图象所有点横坐标变为原来2倍得()sin g x x =，所以()()sin 22x xh x g x x =+=+1()cos 2h x x '=+，(2,)x ∈-ππ令()0h x '=得1cos 2x =-，解得43x π=-或23x π=-或23x π=，当4(2,)3x π∈-π-时，()0h x '>，()h x 单调递增，当42(,33x ππ∈--时，()0h x '<，()h x 单调递减，当22(,33x ππ∈-时，()0h x '>，()h x 单调递增，当2(,)3x ππ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减，所以()h x '的极大值点为43π-和23π.17.某校开设劳动教育课程，为了有效推动课程实施，学校开展劳动课程知识问答竞赛，现有家政、园艺、民族工艺三类问题海量题库，其中家政类占14，园艺类占14，民族工艺类占12.根据以往答题经验，选手甲答对家政类、园艺类、民族工艺类题目的概率分别为224555，，，选手乙答对这三类题目的概率均为1.2（1）求随机任选1题，甲答对的概率；（2）现进行甲、乙双人对抗赛，规则如下：两位选手进行三轮答题比赛，每轮只出1道题目，比赛时两位选手同时回答这道题，若一人答对且另一人答错，则答对者得1分，答错者得1-分，若两人都答对或都答错，则两人均得0分，累计得分为正者将获得奖品，且两位选手答对与否互不影响，每次答题的结果也互不影响，求甲获得奖品的概率.【答案】（1）35（2）4411000【解析】【分析】（1）利用全概率公式，即可求得答案；（2）求出乙答对的概率，设每一轮比赛中甲得分为X ，求出X 的每个值对应的概率，即可求得三轮比赛后，甲总得分为Y 的每个值相应的概率，即可得答案.【小问1详解】记随机任选1题为家政、园艺、民族工艺试题分别为事件()1,2,3i A i =,记随机任选1题，甲答对为事件B ，则()()()()()()123123111224,,,|,|,|442555P A P A P A P B A P B A P B A ======，则()()()()()()()112233|||P B P A P B A P A P B A P A P B A =++12121434545255=⨯+⨯+⨯=；【小问2详解】设乙答对记为事件C ，则()()()()()()()112233|||P C P A P C A P A P C A P A P C A =++11111114242222=⨯+⨯+⨯=，设每一轮比赛中甲得分为X ，则()()()()313115210P X P BC P B P C ⎛⎫====⨯-= ⎪⎝⎭，()()()()3131101152522P X P BC BC P BC P CB ⎛⎫⎛⎫==⋃=+=⨯+-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()311(1)1525P X P BC ⎛⎫=-==-⨯= ⎪⎝⎭，三轮比赛后，设甲总得分为Y ，则()33273101000P Y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()22331272C 102200P Y ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，()22123331312791C C 1021051000P Y ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以甲最终获得奖品的概率为()()()2727279441321100020010001000P P Y P Y P Y ==+=+==++=.18.已知数列{}n a满足2*121N n nn n a a a a n +-⋅⋅=∈ ，．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若不等式()2114nn n tS S --≤对任意的*N n ∈恒成立，求实数t 的取值范围；（3）记221log n nb a =)*N n +<∈ ．【答案】（1）2n n a =（2）25[9,3-（3）证明见解析【解析】【分析】（1）当1n =时求出1a ，2n ≥时，用121121n nn n a a a a a a a a --⋅⋅⋅=，即可求解；（2）由2n n a =得出n S ，由()2114n nn tS S --≤得()2114nnnS t S +-≤，根据对勾函数的单调性及n S 的值，即可求出t 得范围；（3）由（1）得12n b n==，根据放缩法得<即可证明．【小问1详解】当1n =时，212a ==，当2n ≥时，212112212n n n nn n n n a a a a a a a a -+-==⋅⋅⋅== ，1n =时成立，所以2n n a =．【小问2详解】由2nn a =得，12(12)2212n n n S +-==--，显然*N n ∈时，n S 单调递增，12n S S ≥=，由()2114n nn tS S --≤得，()2114nnn S t S +-≤，又21414n n n n S S S S +=+≥，当且仅当14n nS S =时，即n S =时等号成立，因为1232,6,14S S S ===，12S S <<，且11149S S +=，2214253S S +=，3131141415S S S S +=>+，所以当1n =时，()1119114S S t +≤=-，解得9t ≥-，当2n =时，()222142531S S t +≤=-，解得253t ≤，所以25[9,3t ∈-．【小问3详解】证明：由（1）得2222111log log 22n n n b a n===11222n n -==，=====++<+++=+=-<．19.已知平面直角坐标系xOy 中，有真命题：函数(0,0)ny mx m n x=+≥>的图象是双曲线，其渐近线分别为直线y mx =和y 轴．例如双曲线4y x=的渐近线分别为x 轴和y 轴，可将其图象绕原点O 顺时针旋转π4得到双曲线228x y -=的图象．（1）求双曲线1y x=的离心率；（2）已知曲线22:2E x y -=，过E 上一点P 作切线分别交两条渐近线于,A B 两点，试探究AOB 面积是否为定值，若是，则求出该定值；若不是，则说明理由；（3）已知函数3332y x x=+的图象为Γ，直线:30l x +-=，过F 的直线与Γ在第一象限交于,M N 两点，过,M N 作l 的垂线，垂足分别为,C D ，直线,MD NC 交于点H ，求MNH △面积的最小值．【答案】（1（2）是定值2（3）312【解析】【分析】（1）设双曲线的实轴长为20a >，虚轴长为20b >，由双曲线1y x=的两条渐近线为x 轴和y 轴得出a b =，根据离心率公式计算即可；（2）不妨设(,)P m n 是双曲线22:2E x y -=在第一象限的点，则m n >>，222m n -=，n =，y '=，得出过点P 的切线方程，与两渐近线方程联立，得出点,A B 得坐标，由OA OB ⊥即可得出AOB S ；（3）由题意将函数3332y x x=+，:30l x +-=，点F ，,M N ，,C D ，H 绕原点O 顺时针旋转π3，得到双曲线2213x y -=，3:2l x '=，(2,0),,,,,F M N C D H ''''''，再得出直线M D ''与N C ''的交点为7(,0)4H '，结合韦达定理及对勾函数的单调性，即可求出MNH △面积的最小值．【小问1详解】设双曲线1y x=的实轴长为20a >，虚轴长为20b >，因为双曲线1y x=的两条渐近线为x 轴和y 轴，所以两渐近线之间的夹角为π2，所以a b =，所以c e a ===．【小问2详解】不妨设(,)P m n 是双曲线22:2E x y -=在第一象限的点，则m n >>，222m n -=，n =，y '=，则过点P的切线方程为：)()m y n x m x m n -=-=-，即2m m y x n n n=-+，与双曲线渐近线y x =±联立，即2m m y x n n n y x ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，2m m y x n n n y x ⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩，解得2x m n =-或2x m n =+，设2222(,),(,)A B m n m n m n m n---++，则OA m n ==-,OB m n==+，因为OA OB ⊥，所以22114222AOB S OA OB m n m n m n=⋅=⨯⨯==-+- ，所以AOB 面积是定值2．【小问3详解】由3332y x x =+的图象是双曲线，渐近线为y轴与直线3y x =，则两渐近线的夹角为π3，故b a =，两渐近线夹角的平分线所在直线方程为y =，联立32y y x x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩得，3232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或3232x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则双曲线的a =，所以1b =，则将3332y x x=+图象绕原点O 顺时针旋转π3得到双曲线2213x y -=的图象，直线:30l x -=与x 轴夹角为π6，故直线l 的图象绕原点O 顺时针旋转π3得到直线3:2l x '=，同理可得点F ，,,,,M N C D H 绕原点O 顺时针旋转π3得到(2,0),,,,,F M N C D H ''''''，且点,M N ''为2213x y -=右支上的点，设1122(,),(,)M x y N x y ''，则1233(,),(,)22C yD y ''，由题知，过(2,0)F '的直线斜率不为0，设该直线M N ''方程2x my =+，因为点,M N ''为2213x y -=右支上的点，所以33M N k ''>且33M N k ''<-，所以m <<，由22213x my x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得，22(3)410m y my -++=，212(1)0m ∆=+>，12122241,33m y y y y m m -+==--，则12124y y m y y +=-，即12124y y my y +=-，因为由图象知直线M D ''的斜率存在，所以12132M D y y k x ''-=-，故直线M D ''的方程为：12213(322y y y y x x --=--，令0y =，2121122121212311(()333222222y x y my my y y x y y y y y y ---+--=+=+=---，由12124y y my y +-=得，121222121213313744222424y y y y y x y y y y -+-=+=+=+=--，所以直线M D ''过定点7(,0)4，同理可得直线N C ''也过定点7(,0)4，所以直线M D ''与N C ''的交点为7(,0)4H '，则12111224M N H S H F y y '''=⨯⨯-=⨯''==21m t +=，14t ≤<则22221116(3)(4)8m t m t t t+==--+-，因为函数168y t t =+-在[1,4)上单调递减，(0,9]y ∈，则111698t t≥+-，即22211(3)9m m +≥-所以33412M N H S '''≥= ，故MNH △面积的最小值为12．【点睛】方法点睛：当三角形三个顶点均为动点时，求面积比较困难，此时可以将其中一个或两个点转化为定点（或证明为顶点），再研究三角形面积的最值．。

2020年三明市高三毕业班质量检查测试文科数学试题

准考证号___________姓名____________（在此卷上答题无效）2020 年三明市高三毕业班质量检查测试文科数学本试卷共5 页．满分150 分．注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、准考证号．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．非选择题用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束后，考生必须将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数52z i=-，其中i 为虚数单位，则复数z = A ．105+33i B ．2+i C ．10533i - D ．2i -2．设集合A={}3x x ≤，B {}2=log 1xx ≥，则A B =IA ．[0,2]B ．[1, 2]C ．[2 , 3]D ．[3,)+∞3．要得到函数2sin y x =的图象，只需将函数2sin()4y x π=+的图象A ．向左平移4π个单位 B ．向右平移4π个单位 C ．向上平移4π个单位 D ．向下平移4π个单位4．已知直线230mx y ++=与直线3(1)0x m y m +-+=平行，则实数mA ．2-B ．3C ．5D ．2-或35．将编号为001，002，003，…，300的300个产品，按编号从小到大的顺序均匀的分成若干组，采用每小组选取的号码间隔一样的系统抽样方法抽取一个样本，若第一组抽取的编号是003，第二组抽取的编号是018，则样本中最大的编号应该是A ．283B ．286C ．287D ．288 6．设320.440.4log ,log ,2a b c ===，则 a, b, c 的大小关系为A. b <c<aB. c <b <aC. a <b <cD. b<a <c7．在平面直角坐标系xOy 中，已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点P(2 ,1)，则cos 2=αA 22B ．13C ．13- D ．228．已知△ABC 的三边分别为a ,b ,c ，且满足2223a b c ab +=-，则△ABC 的最大内角为A ．60°B ．90°C ．120°D ．150° 9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥外接球的体积是A ．43π B ．53π C ．63π D ．73π 10．已知正方形ABCD 的边长为1，点M 满足12DM MC =u u u u r u u u u r，设AM 与BD 交于点G ，则AG AC ⋅=u u u r u u u rA ．1B ．2C ．3D ．411．在生活中，我们常看到各种各样的简易遮阳棚. 现有直径为2m 的圆面，在圆周上选定一个点固定在水平的地面上，然后将圆面撑起，使得圆面与南北方向的某一直线平行，做成简易遮阳棚. 设正东方向射出的太阳光线与地面成30°角，若要使所遮阴影面的面积最大，那么圆面与阴影面所成角的大小为 A ．30° B ．45° C ． 60° D ．75°12．已知F 1, F 2 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，点 A 为双曲线右的点．若△AF 1F 2的内切圆与x 轴切于点M ，且13F M b =，则该双曲线的离心率为 A 2 B 3 C ．2 D 5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设曲线xy e x =+在0x =处的切线方程为1y ax =+，则实数a 的值为____． 14．已知x >0, y >0，则12(2)()x y x y++的最小值为_________． 15．若(0,)2παβ∈，，且510cos ,cos 510αβ==，则+=_______αβ 16．已知 f (x )是定义域为R 的偶函数，对x R ∀∈，有(2)()f x f x +=，且当[2,3]x ∈时，2()21218f x x x =-+-，函数(1)()()log x ag x f x +=-．现给出以下命题： ① f (x )是周期函数；②()y f x =的图象关于直线x=1对称；③当a >1时，()g x 在(0，+∞)内有一个零点；④当303a <<时，g(x)在R 上至少有六个零。

2020年三明市高三毕业班质量检查测试文科数学答案

mx1 2 mx2 2 ....................................... 10 分
x1
x2
2mx1x2 2(x1 x2 ) x1x2
2m
4 m2
2
4
4m m2
4
2 ................ 12 分
m2
20．解：（1）根据揽收快件重量的频率分布直方图，得到其价格的频率分布表如下：
2 2(2 22 23 2n ) (2n 1) 2n1 2 22 (1 2n ) (2n 1) 2n1 ......................... 10 分
1 2 6 2n2 (2n 1) 2n1 6 (2n 3) 2n1 ．........... 11 分
17．解：（1）设等差数列 an 的公差为 d(d 0) ，因为 S1 , S2 , S4 成等比数列，
所以 S22 S1S4 ， .................................................... 1 分所以 (a1a2 )2 a1(a1a2 a3 a4 ) ，
价格
8
10
12
14
16
频率
0.45
0.25
0.15
0.1
0.05
所以平均价格为80.45 10 0.25 12 0.15 14 0.116 0.05........2 分 10.1元． ........................................... 4 分
（2）①表中数据填写如下：
所以 BG CD ， BG // CD ，则 PH QI ， PH // QI ，
所以四边形 HPQI 为平行四边形,，则 HI // PQ ，........................ 4 分

市高中毕业班质量检查文科数学试题

2014年三明市普通高中毕业班质量检查文科数学本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）．本试卷共6页．满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上，请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效．3．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．参考公式：样本数据12,x x ，…，n x 的标准差锥体体积公式22121[()()()]n s x x x x x x n ---=-+-++- (13)V Sh =其中x -为样本平均数其中S 为底面面积，h 为高柱体体积公式球的表面积、体积公式V Sh = 2344,3S R V R ==ππ其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i 是虚数单位，那么复数(1i)i -等于A ．1i -+B ．1i +C ．1i --D ．1i - 2．已知集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =<，则A B I 为A ．{|0}x x <B ．{|01}x x <<C ．{|12}x x <<D ．{|2}x x >3．观察下列关于变量x 和y 的三个散点图，它们从左到右的对应关系依次是A ．正相关、负相关、不相关B ．负相关、不相关、正相关C ．负相关、正相关、不相关D ．正相关、不相关、负相关 4．命题：“0>∀x ，都有02≥-x x ”的否定是A ．0x ∀≤，都有20x x ->B ．0x ∀>，都有02≤-x x C ．0∃>x ，使得02<-x x D ．0x ∃≤，使得20x x -> 5．函数32()34f x x x =-+-的单调递增区间是A ．)0,(-∞B ．(2,0)-C ．(0,2)D ．),2(+∞ 6. 某程序框图如图所示，若输入2x π=，则该程序运行后输出的b a ,值分别是A ．0,1 B. 1,1 C. 1,0 D. 0,0开始输入xx a sin = x b cos =?b a <a m =b a =mb =是否输出b a ,结束7．直线0x y +=与圆22(2)4x y -+=相交所得线段的长度为A B ．2 D ．8．某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积是A ．1B ．2C ．22+ D ．329．若y x ,均为区间)1,0(的随机数，则20x y ->的概率为A ．81 B ．41 C ．21D ．4310. 对于函数()f x 在定义域内的任意实数x 及(0)x m m +>，都有()()0f x f x -+=及()()f x m f x +>成立，则称函数()f x 为“Z 函数”.现给出下列四个函数：(0),()(0);x g x x ≥=<⎪⎩()()ln 0,()ln()0;x x u x x x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩ 1()h x x x=+；()cos v x x =.其中是“Z 函数”的是A ．()g xB ．()h xC ．()u xD ．()v x11．在边长为2的等边ABC ∆中，D 是AB 的中点，E 为线段AC 上一动点，则⋅的取值范围是A ．23[,3]16 B ．23[,2]16 C ．3[,3]2D ．[2,9] 12．设函数()f x 的导函数为()f x '，那么下列说法正确的是 A.若()'0fx =o ，则x o 是函数()f x 的极值点B. 若x o 是函数()f x 的极值点，则()'0fx =oC. 若x o 是函数()f x 的极值点，则()'f x o 可能不存在 D.若()'0fx =o 无实根，则函数()f x 必无极值点第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡相应位置． 13．在等差数列{}n a 中，若34=a ,则=7S ．14. 已知椭圆的焦点是双曲线的顶点，双曲线的焦点是椭圆的长轴顶点，若两曲线的离心率分别为,,21e e 则12e e ⋅=______.15．已知0,0,a b >>若直线01:21=++y a x l 与直线03)1:22=+-+by x a l （互相垂直，则ab 的最小值是．16．定义(,)n F A B 表示所有满足{}12,,,n A B a a a =⋅⋅⋅U 的集合,A B 组成的有序集合对(,)A B 的个数．试探究12(,),(,),F A B F A B ⋅⋅⋅，并归纳推得(,)n F A B =_________.正视图俯视图侧视图三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）某校为了解高一期末数学考试的情况，从高一的所有学生数学试卷中随机抽取n 份试卷进行成绩分析，得到数学成绩频率分布直方图（如图所示），其中成绩在[50,60)的学生人数为6.（Ⅰ）估计所抽取的数学成绩的众数；（Ⅱ）用分层抽样的方法在成绩为[80,90)和[90,100]这两组中共抽取5个学生，并从这5个学生中任取2人进行点评，求分数在[90,100]恰有1人的概率.18．（本小题满分12分）将数列{}n a 按如图所示的规律排成一个三角形数表，并同时满足以下两个条件：①各行的第一个数125,,,a a a ⋯构成公差为d 的等差数列；②从第二行起，每行各数按从左到右的顺序都构成公比为q 的等比数列.若11=a ，43=a ，53a =. （Ⅰ）求q d ,的值；（Ⅱ）求第n 行各数的和T .19．（本小题满分12分）如图，在三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，AC PD ⊥于点D ，且22==AD DC ，2:1:=EC PE PC E 上一点，为，（Ⅰ）求证：；平面PAB DE //（Ⅱ）；平面求证：平面ABC PDB ⊥ （Ⅲ）若32==AB PD ，，ο60=∠ABC ，求三棱锥ABC P -的体积．1a2a 3a 4a5a 6a 7a 8a 9a……PABECD20．（本小题满分12分）已知抛物线22y px =（0p >）的准线与x 轴交于点(1,0)M -．（Ⅰ）求抛物线的方程，并写出焦点坐标；（Ⅱ）是否存在过焦点的直线AB （直线与抛物线交于点A ，B ），使得三角形MAB 的面积MAB S D =AB 的方程；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分12分）设向量12(,),a a =a 12(,)b b =b ，定义一种向量积12121122(,)(,)(,)a a b b a b a b ⊗=⊗=a b ．已知向量1(2,)2=m ，(,0)3π=n ，点),(00y x P 为x y sin =的图象上的动点，点),(y x Q 为)(x f y =的图象上的动点，且满足OQ OP =⊗+u u u r u u u rm n （其中O 为坐标原点）．（Ⅰ）请用0x 表示OP ⊗u u u rm ；（Ⅱ）求)(x f y =的表达式并求它的周期；（Ⅲ）把函数)(x f y =图象上各点的横坐标缩小为原来的14倍（纵坐标不变），得到函数 )(x g y =的图象.设函数=)(x h t x g -)(()t ∈R ，试讨论函数)(x h 在区间[0,]2π内的零点个数.22．（本小题满分14分）已知函数()(e)(ln 1)f x x x =--(e 为自然对数的底数）．（Ⅰ）求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（Ⅱ）若m 是()f x 的一个极值点，且点11(,())A x f x ，22(,())B x f x 满足条件：1212ln()ln ln 2x x x x ⋅=⋅+.（ⅰ）求m 的值；（ⅱ）求证：点A ，B ，(,())P m f m 是三个不同的点，且构成直角三角形．2014年三明市普通高中毕业班质量检查文科数学试题参考解答及评分标准一、选择题：1．B 2．B 3．D 4．C 5．C 6．A 7．D 8．A 9．D 10．A 11．A 12．B 二、填空题：13．21； 14．1； 15．2； 16．3n．三、解答题：17．解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知：样本的众数为75． ……………………………3分（Ⅱ）由频率分布直方图可得：第三组[50,60)的频率：0.012100.12⨯=，所以60.1250n =÷=， ………………………………………………………………4分∴第四组[80,90)的频数：0.024105012⨯⨯=；第五组[90,100]的频数：0.01610508⨯⨯=；用分层抽样的方法抽取5份得：第四组[80,90]抽取：125320⨯=；第五组[90,100]抽取：85220⨯=． …………7分记抽到第四组[80,90)的三位同学为123,,A A A ，抽到第五组[90,100]的两位同学为12,B B 则从5个同学中任取2人的基本事件有：1213111223(,),(,),(,),(,),(,),A A A A A B A B A A2122(,),(,)A B A B ，313212(,),(,),(,)A B A B B B ，共10种．其中分数在[90,100]恰有1人有：111221223132(,),(,),(,),(,),(,),(,)A B A B A B A B A B A B ，共6种．∴所求概率：63105P == ． ………………………………………………………12分 18．解：（Ⅰ）依题意得512a a d =+，312d ∴=+，所以1d =． ……………………………………………2分又321()a a q a d q ==+Q ，2q =，所以q d ,的值分别为1,2． …………………………………6分（Ⅱ）记第n 行第1个数为A ，由（1）可知：1(1)A a n d n =+-=， ………………7分又根据此数表的排列规律可知：每行的总个数构成一个以1为首项，2为公差的等差数列，所以第n 行共有(21)n -个数， ………………………………9分∴第n 行各数为以n 为首项，2q =为公比的等比数列，因此其总数的和2121(12)212n n n T n n ---==--g ． …………………………12分 19．解：（Ⅰ）2,//PE ADDE PA EC DC==∴Q，……2分 ,PAB DE 平面⊄Θ,PAB PA 平面⊂；平面PAB DE //∴ ………………3分（Ⅱ）因为平面⊥PAC 平面ABC ，且平面PAC I 平面ABC AC =，PD ⊂平面PAC ，AC PD ⊥，所以PD ⊥平面ABC ， ……………6分又⊂PD 平面PAC ，所以平面⊥PAC 平面ABC ．…………7分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知PD ⊥平面ABC ．法一：ABC ∆中，,3=AB ,60ο=∠ABC 3=AC ，由正弦定理ABCAC ACB AB ∠=∠sin sin ，得1sin 2ACB ∠=，因为AC AB >，所以ACB ABC ∠<∠，则6ACB π∠=，因此2CAB π∠=， …………8分△ABC 的面积233332121=⋅⋅=⋅=∆AB AC S ABC ． …………………………10分所以三棱锥ABC P -的体积13P ABC ABC V S PD -∆=⨯⨯3=． …………………………12分法二：ABC ∆中，3=AB ，ο60=∠ABC 3=AC ，由余弦定理得：ο60cos 2222⋅⋅-+=BC AB BC AB AC，所以260AC -=，所以AC AC ==舍去）． …………………………………8分 △ABC 的面积233233232160sin 21=⋅⋅⋅=⋅⋅=∆οBC AB S ABC ． ……………10分所以三棱锥ABC P -的体积13P ABC ABC V S PD -∆=⨯⨯3=． ……………………12分 20．解法一：（Ⅰ）由已知得：12p-=-，从而抛物线方程为24y x =，焦点坐标为(1,0)F ． ……………………4分（Ⅱ）由题意，设:AB 1x ty =+，并与24y x =联立，得到方程：2440y ty --=， …………………………………………………6分PABECD设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则124y y t +=，124y y ⋅=-．…………………7分121||(||||)2MAB MAF MBS S S S MF y y D D D =+=?∵120y y ⋅<，∴12||||y y+12||y y =-==， ……9分又||2MF =，∴122MAB S D =创……………………………………10分解得1t =?， ………………………………………………………………11分故直线AB 的方程为：1x y =±+．即10x y +-=或10x y --=．…………………12分解法二：（Ⅰ）（同解法一）（Ⅱ）当AB x ⊥轴时，||24AB p ==，11||||24422MAB S MF AB D =?创=，不符合题意． ……………………………………………………………5分故设:AB (1)y k x =-（0k ¹），并与24y x =联立，得到方程：2222(24)0k x k x k -++=， ……………………………6分设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则212224k x x k ++=，121x x =． …………………7分 12||=AB x x p ++224(1)=k k +，点M 到直线AB的距离为d ==， ………………9分∴221141||22MAB k S AB dk D +=?创（）== …………10分解得1k =?， …………………………………………………………11分故直线AB 的方程为：(1)y x =±-．即10x y +-=或10x y --=． ………12分21．解：（Ⅰ）000011(2,)(2,sin )22OP x y x x ⊗==u u u r m ， ……………2分（Ⅱ）OQ OP =⊗+u u u r u u u rQ m n ，所以000011(,)(2,sin )(,0)(2,sin )2332x y x x x x ππ=+=+，……………………4分因此002,31sin ,2x x y x π⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即003,2sin 2,x x x y π⎧-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩ ………………………………6分所以11()sin()226y f x x π==-，它的周期为4π． ………………………………8分（Ⅲ）)62sin(21)(π-=x x g 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,0π上单调递增，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡23ππ，上单调递减，又111(0),(),()43224g g g ππ=-==， ……………………………10分时，或当4141-21<≤=t t 函数)(x h 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π内只有一个零点；时，当2141<≤t 函数)(x h 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π内有两个零点；当14t <-或14t >时，函数)(x h 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π内没有零点． …………………………12分 22．解：（Ⅰ）e()ln f x x x'=-， ……………………………………2分 (1)e f '=-，又(1)e 1f =-， …………………………………………4分所以曲线()y f x =在1x =处的切线方程为(e 1)e(1)y x --=--，即e 2e 10x y +-+=． …………………………5分（Ⅱ）（ⅰ）对于e()ln f x x x '=-，定义域为(0,)+?．当0e x <<时，ln 1x <，e 1x -<-，∴e()ln 0f x x x'=-<；当e x =时，()110f x '=-=；当e x >时，ln 1x >，e 1x ->-，∴e()ln 0f x x x'=->， ………………8分所以()f x 存在唯一的极值点e ，∴e m =，则点P 为(e,0)． …………………9分（ⅱ）若1e x =，则122ln ln 1x x x =+，122ln ln 2ln 2x x x ⋅+=+，与条件1212ln ln ln 2x x x x ⋅=⋅+不符，从而得1e x ¹．同理可得2e x ¹． ………………………………………………10分若12x x =，由1212ln ln ln 2x x x x ⋅=⋅+211(ln )2ln 20x x ⇒-+=，此方程无实数解，从而得12x x ¹． ………………………………………………………11分由上可得点A ，B ，P 两两不重合．又1122(e,())(e,())PA PB x f x x f x ⋅=-⋅-u u u r u u u r121212(e)(e)(e)(e)(ln 1)(ln 1)x x x x x x =--+----121212(e)(e)(ln ln ln 2)x x x x x x =---+0=从而PA PB ⊥，点A ，B ，P 可构成直角三角形． ………………………14分。

普通高中毕业班质量检查(文科数学)参考答案

20XX 年福建省普通高中毕业班质量检查（文科数学）文科数学试题参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分． 1．D 2．C 3．B 4．A 5．B 6．A 7．B 8．A 9．C 10．B 11．C 12．D二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分16分． 13．8； 14．7； 15．01a <≤； 16．22n m -．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．本小题主要考查古典概型、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．满分12分．解：(Ⅰ)因为11=+7+75+9+95=8=858555x x x y ⋅⋅+⋅+⋅+A B （7），（6+），由=x x A B ，得17x y +=． ① ………………………………………2分因为222211=1+1+0.25+1+2.25=1.1=4+8+0.25+0.25+855x y ⎡⎤--⎣⎦A B ，s （）s （）（），由22=A B s s ，得228+8=1x y --（）（）． ② …………………………………………4分由①②解得89x y =⎧⎨=⎩，，或98.x y =⎧⎨=⎩，因为x y <，所以8,9x y ==． ………………………………………6分 (Ⅱ) 记被检测的5件B 种元件分别为12345,,,,B B B B B ，其中2345,,,B B B B 为正品，从中任取2件,共有10个基本事件，列举如下:()12,B B ，()13,B B ，()14,B B ，()15,B B ，()23,B B ，()24,B B ，()25,B B ，()34,B B ，()35,B B ，()45,B B ， ………………………………………8分记“2件都为正品”为事件C ，则事件C 包含以下6个基本事件：()23,B B ，()24,B B ，()25,B B ，()34,B B ，()35,B B ，()45,B B .……………………………10分所以63()105P C ==，即2件都为正品的概率为35. ………………………………………12分 18．本小题主要考查三角函数的图象与性质、两角和与差三角公式、二倍角公式、三角函数的恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分．解法一：(Ⅰ)因为())4f x x π=+，………………………………………3分所以121243f ππππ⎛⎫⎛⎫=+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭……………………………6分 (Ⅱ)()cos sin g x x x =-. …………………………………………………………7分下面给出证明：因为()()22(cos sin )(sin cos )cos sin cos2,g x f x x x x x x x x =-+=-=所以()cos sin g x x x =-符合要求．……………………………………………………9分又因为()cos sin 4g x x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，…………………………………………10分由222,4k x k πππππ+<+<+得3722,44k x k ππππ+<<+ 所以()g x 的单调递增区间为372244k k ππππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，k ∈Z .………………………………11分又由224k x k ππππ<+<+,得32244k x k ππππ-<<+, 所以()g x 的单调递减区间为32244k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭，，k ∈Z .………………………………12分解法二：(Ⅰ)因为()21sin 2,f x x =+⎡⎤⎣⎦所以231sin 1262fππ⎡⎤⎛⎫=+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，………………………………3分又因为0,12f π⎛⎫>⎪⎝⎭所以122f π⎛⎫=⎪⎝⎭．………………………………6分 (Ⅱ)同解法一．解法三：(Ⅰ)sin cos sin cos 1212123434f πππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭sincoscossincoscossinsin34343434ππππππππ=-++…………………3分1122222222=-++2=………………………………6分 (Ⅱ)同解法一．注：若通过()()cos 2xg x f x =得到()g x 或由()()(cos sin )(cos sin )g x f x x x x x =+-两边同时约去()f x 得到()g x 不扣分．19．本小题主要考查三视图、直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，几何体的体积等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力；考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想．满分12分．解法一：（Ⅰ）由三视图可知，几何体111C B A ABC -为三棱柱，侧棱1111C B A AA 底面⊥，1111C A C B ⊥,且41==AC AA ，2=BC ．………………………………………2分1111C B A AA 平面⊥ ，11111111,C B AA C B A C B ⊥∴⊂平面， …………………3分 11111111,A C A AA C A C B =⊥ ，1111ACC A C B 平面⊥∴．……………………5分又1111C AB C B 平面⊂ ， C C AA C AB 1111平面平面⊥∴．………………………6分（Ⅱ）过点E 作11//C B EF 交1AC 于F ，由（Ⅰ）知，11ACC A EF 平面⊥，即EF 为C AA E 1-三棱锥的高. ………7分1111191C B A ABC C AA E V V --= ，,9131111AA S EF S ABC C AA ⋅=⋅∴∆∆ ……………………8分1111442443292EF ⎛⎫⎛⎫∴⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得32=EF .……………………9分在Rt ABC ∆中，AB ===在1Rt ABB ∆中，16AB ===，……………………10分由111C B EFAB AE =， ……………………11分得22326C B EFAB AE 111=⨯=⋅=. ……………………12分解法二：（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）过点E 作11//C B EF 交1AC 于F ，由（Ⅰ）知，11ACC A EF 平面⊥，即EF 为C AA E 1-三棱锥的高. ………7分11111111133C AA B C B A A C B A ABC V V V ---== ，111111113191C AA B C B A ABC C AA E V V V ---==∴ ………8分,313131111111C B S EF S C AA C AA ⋅⨯=⋅∴∆∆,3111C B EF =∴ ………9分在ABC Rt ∆中，5224AB 2222=+=+=BC AC ，在1ABB Rt ∆中，()6452AB 222121=+=+=BB AB ，……………………10分由111C B EFAB AE =， ……………………11分得2AB 31AE 1==. ……………………12分 20．本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力和应用意识，考查函数与方程思想.满分12分.解：（Ⅰ）设“十二五”期间，该城市共排放SO 2约y 万吨，依题意，20XX 年至20XX 年SO 2的年排放量构成首项为9.3，公差为0.3-的等差数列，……………3分所以()55159.3(0.3)=43.52y ⨯-=⨯+⨯-（万吨）．所以按计划“十二五”期间该城市共排放SO 2约43．5万吨．……………………6分（2）由已知得， 20XX 年的SO 2年排放量9.60.32=9-⨯（万吨），……………………7分所以20XX 年至2020年SO 2的年排放量构成首项为9，公比为1p -的等比数列，…………………9分由题意得891p ⨯-（）＜6，即1p -＜832，所以10.9505p -<，解得 4.95%p >.所以SO 2的年排放量每年减少的百分率p 的取值范围4.95%1p <<<……………………12分21．本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查分类与整合思想、数形结合思想、化归与转化思想．满分12分．解：（Ⅰ）当0,1a b ==-时，()e x f x x =-，()e 1x f x '=-，……………………1分所以，当(,0)x ∈-∞时，()0f x '<；当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>；……………………3分所以函数()f x 的单调递减区间为(),0-∞，单调递增区间为(0,)+∞．……………………4分（Ⅱ）因为()2x f x e ax b '=++，所以()(),P t f t 处切线的斜率()2t k f t e at b '==++，所以切线l 的方程为()()()22t ty e at bt e at bx t -++=++-，令0x =，得()21ty t e at =-- ()01t <<.………………………………………………5分当01t <<时，要使得点Q 的纵坐标恒小于1，只需()211tt e at --<，即()2110tt e at -++>()01t <<.……………… 6分令()()211tg t t e at =-++，则()()2tg t t e a '=+，………………………………………………………… 7分因为01t <<，所以1te e <<，①若21a ≥-即12a ≥-时，20te a +>，所以，当()0,1t ∈时，()0g t '>，即()g t 在()0,1上单调递增，所以()(0)0g t g >=恒成立，所以12a ≥-满足题意.………………………………8分 ②若2a e ≤-即2e a ≤-时，20te a +<，所以，当()0,1t ∈时，()0g t '<，即()g t 在()0,1上单调递减，所以()(0)0g t g <=，所以2ea ≤-不满足题意.………………………………………9分 ③若21e a -<<-即122e a -<<-时，0ln(2)1a <-<.则t 、()g t '、()g t 的关系如下表：所以()()ln(2)00g a g -<=，所以22a -<<-不满足题意.………………………………11分综合①②③，可得，当12a ≥-时，()0g t >()01t <<时，此时点Q 的纵坐标恒小于1.…………12分22．本小题主要考查抛物线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分14分．解法一：（Ⅰ）把4S x =，4S y =代入22y px =，得248p =，……………………2分所以2p =，………………………………………………………………………3分因此，抛物线E 的方程24y x =．…………………………………………………4分（Ⅱ）因为抛物线E 的焦点为()1,0F ，设()()1122,,,S x y T x y ，依题意可设直线:1l my x =-，由241y x my x ⎧=⎨=-⎩，得2440y my --=，则121244.y y m y y +=⎧⎨⋅=-⎩， ①……………………6分又因为11:AS y l y x x =，22:AT y l y x x =，所以111,y M x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，221,y N x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以12211,y MT x y x ⎛⎫=++⎪⎝⎭，21121,y NS x y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， ……………………7分又因为()()1221121211y y y x y x x x ⎛⎫⎛⎫++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭……………………………………8分2221121241411144y y y y y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22122112*********4y y y y y y y y y y ⎛⎫⎛⎫=+++-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()21121212144y y y y y y y y -=-+()22121212164y y y y y y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， ② 把①代入②，得()221212121604y y y y y y ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，…………………………………………………10分即()()12211212110y y y x y x x x ⎛⎫⎛⎫++-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以//MT NS ，又因为M 、T 、N 、S 四点不共线，所以MT //NS ．……………………………………………11分（Ⅲ）设抛物线2:4E y x =的顶点为A ，定点()(),00G g g ≠，过点G 的直线l 与抛物线E 相交于S 、T 两点，直线AS 、AT 分别交直线x g =-于M 、N 两点，则MT //NS ．……………………14分解法二：（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）因为抛物线E 的焦点为()1,0F ，设()()221122,2,,2S t t T t t ，……………………5分依题意,可设直线:1ST l my x =-，由241y x my x ⎧=⎨=-⎩得2440y my --=，则1212224,224,t t m t t +=⎧⎨⋅=-⎩所以12124,1.t t m t t +=⎧⎨⋅=-⎩………………………………………………………………………………7分又因为2:2AS l y t x =-，1:2AT l y t x =-，所以()21,2M t -，()11,2N t -，………………………………………………………………………10分所以0MT k =，0NS k =，………………………………………………………………………………10分又因为M 、T 、N 、S 四点不共线，所以MT //NS .…………………………………………………11分（Ⅲ）同解法一. 解法三：（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）因为抛物线E 的焦点为()1,0F ，设()()1122,,,S x y T x y ，依题意，设直线:1l my x =-，由241y x my x ⎧=⎨=-⎩得2440y my --=，则121244y y m y y +=⎧⎨⋅=-⎩，…………………………………………6分又因为11:AS y l y x x =，22:AT y l y x x =，所以111,y M x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，221,y N x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，又因为212y y x ⎛⎫--⎪⎝⎭2212111222224404y y y y y y y y x y y +=+=+=+==，……………………………………9分所以212y y x =-，所以NS 平行于x 轴；同理可证MT 平行于x 轴；又因为M 、T 、N 、S 四点不共线，所以MT //NS .…………………………………………………11分（Ⅲ）同解法一. …………………………………………………14分。

普通高中毕业班质量检查(文科数学)试卷及答案

20XX 年福建省普通高中毕业班质量检查文科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)．本试卷共5页．满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．参考公式：样本数据x 1，x 2， …，x n 的标准差锥体体积公式s=222121()()()n x x x x x x n⎡⎤-+-++-⎣⎦… V =31Sh 其中x 为样本平均数其中S 为底面面积，h 为高柱体体积公式球的表面积、体积公式V =Sh24S R =π，343V R =π 其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题共60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U =R ，集合{}31|<≤-=x x A ，{}0,2,4,6B =，则A B ⋂等于A ．{}0,2B ．{}1,0,2-C ．{}|02x x ≤≤D ．{}|12x x -≤≤ 2．执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为3，则输出的y 的值为A ．4B ．5C ．8D ．103．某几何体的俯视图是正方形，则该几何体不可能是Ａ．圆柱Ｂ．圆锥Ｃ．三棱柱Ｄ．四棱柱4．函数()221x x f x x -=-的定义域是A ．()0,2B ．[]0,2C ．()()0,11,2⋃D ．[)(]0,11,2⋃ 5．“1a =”是“方程22220x y x y a +-++=表示圆”的Ａ．充分而不必要条件Ｂ．必要而不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件6．向圆内随机投掷一点，此点落在该圆的内接正n ()3,n n N ≥∈边形内的概率为n P ，下列论断正确的是A ．随着n 的增大，n P 减小B ．随着n 的增大，n P 增大C ．随着n 的增大，n P 先增大后减小D ．随着n 的增大，n P 先减小后增大7．已知0ω>，2π<ϕ，函数()sin()f x x =+ωϕ的部分图象如图所示．为了得到函数()sin g x x =ω的图象，只要将()f x 的图象 A ．向右平移4π个单位长度 B ．向右平移8π个单位长度 C ．向左平移4π个单位长度 D ．向左平移8π个单位长度 8．已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，且在),0[+∞单调递增，若(lg )0f x <，则x 的取值范围是A ．(0,1)B ．(1,10)C ．(1,)+∞D ．(10,)+∞9．若直线ax by ab +=（0,0a b >>）过点()1,1，则该直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为A ． 1B ．2C ．4D ． 8 10．若ABC ∆满足2A π∠=，2AB =，则下列三个式子：①AB AC ，②BA BC ，③CA CB 中为定值的式子的个数为A ．0B ．1C ．2D ．311．已知双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的离心率为2，一条渐近线为l ，抛物线2C ：24y x =的焦点为F ，点P 为直线l 与抛物线2C 异于原点的交点，则PF = A ．2 B ． 3 C ．4 D ．512．已知()g x '是函数()g x 的导函数，且()()f x g x '=，下列命题中，真命题是A ．若()f x 是奇函数，则()g x 必是偶函数B ．若()f x 是偶函数，则()g x 必是奇函数C ．若()f x 是周期函数，则()g x 必是周期函数D ．若()f x 是单调函数，则()g x 必是单调函数第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡相应位置． 13．复数()1i i +=__________． 14．已知1sin 3α=，则cos 2α=__________． 15．已知y x ,满足4000x y x y y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =-的最大值是__________．16．在平面直角坐标系xOy 中， Ω是一个平面点集，如果存在非零平面向量a ，对于任意P ∈Ω，均有Q ∈Ω，使得OQ OP a =+，则称a 为平面点集Ω的一个向量周期．现有以下四个命题：①若平面点集Ω存在向量周期a ，则ka (),0k k ∈≠Z 也是Ω的向量周期； ②若平面点集Ω形成的平面图形的面积是一个非零常数，则Ω不存在向量周期； ③若平面点集(){},0,0x y x y Ω=>>，则()1,2b =为Ω的一个向量周期；④若平面点集()[][]{},0x y y x Ω=-=（[]m 表示不大于m 的最大整数），则()1,1c =为Ω的一个向量周期．其中真命题是＿＿＿＿（写出所有真命题的序号）．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，432a a =，26S =。

福建省三明市普通高中毕业班质量检查文科数学.5

福建省三明市普通高中毕业班质量检查文科数学本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．考生作答时，将答案答在答题卡上，请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效。

3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性（签）笔或碳素笔书写，字体工整、笔记清楚。

4．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

5．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

参考公式：样本数据11,,n x x x …，的标准差锥体体积公式13V Sh =222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-… 其中S 为底面面积，h 为高其中x 为样本平均数球的表面积、体积公式柱体体积公式V Sh = 2344,3S R V R ππ==其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填涂在答题卡上。

1．已知复数121,2z i z i =-=+，那么12z z ⋅的值是A ．1i -B ． 3i +C ． 1i +D ． 3i -2．设全集U R =，集合{}{}29,14M x x N x x=-，则()uM N 等于A ．{}3x x-B ．{}34x xx -≥或C ．{}4x x ≥D ． {}34x x-≤3．已知直线:20l x y ++=与圆()()22:112C x y -++=，则圆心C 到直线l 的距离是A ．22B ．2C 2D ．224．已知向量()()2,3,1,2a b ==-，若ma b +与2a b -平行，则实数m 等于A ．-2B ．2C ．12D ．12-5．设命题:p a b ；命题22:q ac bc ；则p 是q 的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线AC 与1A D 所成角的大小为A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°７．已知函数()sin()(,0,0,||)2f x A x x R A πωϕωϕ=+∈>><的图象，（部分）如图所示，则()f x 的解析式是A ．()2sin()()6f x x x R ππ=+∈B ．()2sin(2)()6f x x x R ππ=+∈C ．()2sin()()3f x x x R ππ=+∈ D ．()2sin(2)()3f x x x R ππ=+∈（第７题图） 8．设l m n 、、是互不重合的直线，αβ、是不重合的平面，则下列命题为真命题的是 A ．,,,l n l n αβαβ⊥⊂⊂⊥若则 B ． ,,l l αβαβ⊥⊂⊥若则C ． ,,//l n m n l m ⊥⊥若则D ． ,//,l l αβαβ⊥⊥若则9．已知抛物线24y x =，以（1，1）为中点作抛物线的弦，则这条弦所在的直线的方程为 A ．210x y -+= B ． 210x y --=C ． 230x y +-=D ． 230x y +-=10．已知定义域为R 的函数()y f x =，它的图像关于直线2x =成轴对称，又关于点（3，0）成中心对称，且()21f =-，则()0f 的值等于A ．0B ．1C ．-1D ．211．已知03,02a b ≤≤≤≤，设事件A 为“关于x 的方程2220x ax b ++=有实根”，则事件A 发生的概率为A ．13B ．12C ．23D ．5612．若函数()f x 和()g x 只有定义域不同，而对应法则和值域都相同，则称()f x 和()g x 为“同族函数”。

高三毕业班质量检查测试数学(文)试题 Word版含解析

2020年三明市高三毕业班质量检查测试文科数学本试卷共5页.满分150分注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、准考证号.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答.在试题卷上作答，答案无效.3.考试结束后，考生必须将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知复数52z i=-，其中i 为虚数单位，则复数z =（） A.10533i + B. 2i +C.10533i - D. 2i -【答案】B 【解析】【分析】直接利用复数的除法法则计算得解. 【详解】由题得55(2)5(2)22(2)(2)5i i z i i i i ++====+--+. 故选：B.【点睛】本题主要考查复数的除法运算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 2.设集合{}3A x x =≤，{}2log 1B x x =≥，则AB =（）A. []0,2B. []1,2C. []2,3D. [)3,+∞【答案】C 【解析】【分析】解出集合B ，利用交集的定义可求得集合A B .【详解】{}{}2log 12B x x x x =≥=≥，{}3A x x =≤，因此，[]2,3A B =.故选：C.【点睛】本题考查交集的计算，同时也考查了对数不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.3.要得到函数y x =的图象，只需将函数4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（）A. 向左平移4π个单位 B. 向右平移4π个单位 C. 向上平移4π个单位 D. 向下平移4π个单位【答案】B 【解析】【分析】由题意利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，得出结论．【详解】解：只需将函数)4y x π=+的图象向右平移4π个单位，即可得到函数y x =的图象，故选：B ．【点睛】本题主要考查函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，属于基础题． 4.已知直线230mx y ++=与直线3(1)0x m y m +-+=平行，则实数m =（） A. 2- B. 3C. 5D. 2-或3【答案】A 【解析】【分析】根据有斜率的两条直线平行的条件列式可解得结果. 【详解】当1m =时，显然不符合题意，所以1m ≠，由230mx y ++=得322m y x =--，由3(1)0x m y m +-+=得311my x m m =----，所以321321mm m m ⎧-=-⎪⎪-⎨⎪-≠-⎪-⎩，解得2m =-.故选：A.【点睛】本题考查了两条直线平行的条件，属于基础题.5.将编号为001，002，003，…，300的300个产品，按编号从小到大的顺序均匀的分成若干组，采用每小组选取的号码间隔一样的系统抽样方法抽取一个样本，若第一组抽取的编号是003，第二组抽取的编号是018，则样本中最大的编号应该是（） A. 283 B. 286 C. 287 D. 288【答案】D 【解析】【分析】先求样本间隔，然后计算抽查样本容量，结合系统抽样的定义进行求解即可. 【详解】样本间隔为18315-=，即抽取样本数为3001520÷=，则最大的样本编号为31519288+⨯=，故选：D.【点睛】本题主要考查系统抽样的应用，求出样本间隔和样本容量是解决本题的关键，属于基础题.6.设0.4.440log ,log 232,a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（）A. b c a <<B. c b a <<C. a b c <<D.b ac <<【答案】D 【解析】【分析】可以得出0.440.4031,20,21log log <<<>，从而得出a ，b ，c 的大小关系．【详解】解：4440log 1log 3log 41=<<=，0.40.4log 2log 10<=，0.40221>=，b ac ∴<<．故选：D ．【点睛】本题考查了对数的运算，对数函数和指数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．7.在平面直角坐标系xOy中，已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点P，则cos2=α（）A.3B.13C.13-D.3-【答案】B 【解析】【分析】先由角α的终边过点1)P，求出cosα，再由二倍角公式，即可得出结果.【详解】解：因为角α的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点1)P，所以cosα==，因此21cos22cos13=-=αα.故选：B【点睛】本题主要考查三角函数的定义，以及二倍角公式，熟记三角函数的定义与二倍角公式即可，属于基础题.8.已知△ABC的三边分别为a，b，c，且满足222a b c+=-，则△ABC的最大内角为（）A. 60︒B. 90︒C. 120︒D. 150︒【答案】D【解析】【分析】根据余弦定理求出角C即可得到答案.【详解】由222a b c+=-得222cos22a b cCab+-==-，因为0Cπ<<，所以150C=，所以C 为最大角. 故选：D.【点睛】本题考查了余弦定理，属于基础题.9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥外接球的体积是（）A. 43πB. 53πC. 63πD. 73π【答案】A 【解析】【分析】根据三视图还原几何体如下，其外接球的体积即为棱长为2的正方体的外接球的体积，公式求解即可.【详解】根据三视图可知该几何体为棱长为2的正方体的一个角（如图），所以该几何体的外接球即为棱长为2的正方体的外接球，所以半径22222232R ++==343=433ππ=V .故选：A【点睛】本题主要考查由三视图还原几何体，以及外接球体积的计算. 10.已知正方形ABCD 的边长为1，点M 满足12DM MC =，设AM 与BD 交于点G ，则AG AC ⋅=（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A 【解析】【分析】以A 为原点，AB 和AD 分别为x 和y 轴建立平面直角坐标系，因12DM MC =，所以M 为线段CD 的靠近点D 的三等分点，即1(,1)3M ，由(1,0)B 、(0,1)D 可知，直线BD 的方程为：1y x =-+；由(0,0)A 、1(,1)3M 可知直线AM 的方程为：3y x =，联立两条直线的方程，求得点G 点坐标即可得解.【详解】解：以A 为原点，AB 和AD 分别为x 和y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则(0,0)A ，(1,0)B ，(1,1)C ，(0,1)D ，12DM MC =，M ∴为线段CD 的靠近点D 的三等分点，1(,1)3M ∴，∴直线BD方程为：1y x =-+；直线AM 的方程为：3y x =，联立13y x y x =-+⎧⎨=⎩，解得1434x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴点13(,)44G ．∴1313(,)(1,1)1114444AG AC ==⨯+⨯=．故选：A ．【点睛】本题考查平面向量的数量积运算，建立坐标系，借助平面向量的坐标运算可以达到事半功倍的效果，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．11.在生活中，我们常看到各种各样的简易遮阳棚.现有直径为2m 的圆面，在圆周上选定一个点固定在水平的地面上，然后将圆面撑起，使得圆面与南北方向的某一直线平行，做成简易遮阳棚.设正东方向射出的太阳光线与地面成30︒角，若要使所遮阴影面的面积最大，那么圆面与阴影面所成角的大小为（） A. 30︒ B. 45︒C. 60︒D. 75︒【答案】C 【解析】【分析】根据题意分析出阴影面是椭圆面，根据椭圆的面积公式，将面积最大转化为椭圆的长轴长最大，在三角形中利用正弦定理可求得结果.【详解】依题意分析可知，阴影面是椭圆面，椭圆的短轴长22b =m ，如图：圆的直径AB 在地面的投影为AC ，则AC 为椭圆的长轴，BAC ∠为圆面与阴影面所成二面角的平面角，30BCA ∠=，根据椭圆的面积公式可得||2S ab AC ππ==⋅，所以要使椭圆的面积最大，只要||AC 最大即可，在△ABC 中，由正弦定理可得||||sin sin AC AB ABC BCA=∠∠，所以||4sin AC ABC =∠，当90ABC ∠=时，||AC 取得最大值4，此时，60BAC ∠=，所以圆面与阴影面所成角的大小为60. 故选：C.【点睛】本题考查了平行投影，考查了二面角的平面角，考查了椭圆的面积公式，考查了正弦定理，考查了分析问题的能力，属于中档题.12.已知1F ，2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，点A 为双曲线右支上的点.若12AF F △的内切圆与x 轴切于点M ，且13F M b =，则该双曲线的离心率为（）A. 2B. 3C. 2D. 5【答案】C 【解析】【分析】设内切圆与1AF 、2AF 分别相切于点P 、Q ，则||||AP AQ =，根据切线长定理易知2121||||||23F M F F F M c b =-=-，由双曲线的定义可得12||||2F M F M a -=，可得3b a c =+，再结合222b c a =-，可求得2c a =，由离心率ce a=得解．【详解】解：如图所示，设内切圆与1AF 、2AF 分别相切于点P 、Q ，则||||AP AQ =，1||3F M b =，12||2F F c =，2||23F M c b ∴=，由双曲线的定义可知，12||||2AF AF a -=，12(||||)(||||)2AP PF AQ QF a ∴+-+=，即12||||2F M F M a -=，∴3(23)2b c b a -=3b a c =+，又222b c a =-，2223()()c a a c ∴-=+，解得2c a =或c a =-（舍)，∴离心率2ce a==．故选：C ．【点睛】本题考查双曲线的定义与性质，考查学生的分析能力和运算能力，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设曲线xy e x =+在0x =处的切线方程为1y ax =+，则实数a 的值为________.【答案】2 【解析】【分析】求出原函数的导函数，得到函数在0x =处的导数，则答案可求．【详解】解：由xy e x =+，得1x y e '=+，∴00|12x y e ='=+=．又曲线xy e x =+在0x =处的切线方程为1y ax =+， 2a ∴=．故答案为：2．【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查基本初等函数的导函数，属于基础题．14.已知0x >，0y >，21x y +=，则12(2)x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最小值为________. 【答案】8. 【解析】【分析】利用21,x y +=由()12424y xx y x y x y ⎛⎫++=++⎪⎝⎭，利用基本不等式可得结果. 【详解】解：因为0,0,21,x y x y >>+=所以()12424y x x y x y x y ⎛⎫++=++⎪⎝⎭4448≥+=+=, 当且仅当12x y =时，即11,42x y ==等号成立，所以12x y+的最小值是为8，故答案为：8.【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.15.已知α、β锐角，cos α=，cos β=αβ+=________．【答案】34π【解析】【详解】由已知有sin ,sin 510αβ==，得()cos cos cos sin sin 5105102αβαβαβ+=-=-⨯=-．因为α、β为锐角，从而，34παβ+=． 16.已知()f x 是定义域为R 的偶函数，对x R ∀∈，有(2)()f x f x +=，且当[2,3]x ∈时，2()21218f x x x =-+-，函数()()()lo ||1g a g x f x x =-+.现给出以下命题：①()f x 是周期函数；②()y f x =的图象关于直线1x =对称；③当1a >时，()g x 在(0,)+∞内有一个零点；④当0a <时，()g x 在R 上至少有六个零.其中正确命题的序号为________. 【答案】①②④ 【解析】【分析】①根据x R ∀∈，有(2)()f x f x +=，利用周期函数的定义判断；②根据()f x 是定义域为R 的偶函数，有()()f x f x -=，再结合(2)()f x f x +=判断；③令()()()lo ||10g a g x x x f -+==，即()()log ||1a f x x =+，在同一坐标系中作出()(),log ||1a y f x y x ==+，用数形结合法判断；④在同一坐标系中作出()(),log ||1a y f x y x ==+，用数形结合法判断.【详解】①因为对x R ∀∈，有(2)()f x f x +=，所以()f x 是周期函数，故正确； ②因为()f x 是定义域为R 的偶函数，所以()()f x f x -=，又因为对x R ∀∈，有(2)()f x f x +=，所以(2)()()f x f x f x +==-，即(2)()f x f x -=，所以()y f x =的图象关于直线1x =对称，故正确；③当1a >时，令()()()lo ||10g a g x x x f -+==，即()()log ||1a f x x =+，在同一坐标系中作出()y f x =()|1log |a x y =+的图象如图所示：所以()g x 在(0,)+∞内无零点，故错误； ④当30a <时，令()1()log ||a h x x =+，在同一坐标系中作出()y f x =，()1log ()||a y h x x ==+ 的图象如下图所示：(0)(2)2,(0)0(0)f f h f ==-=>，而30(2)log 32(2)a a h f <=>-=，当(0,)x ∈+∞时，()y f x =与()y h x =至少有三个交点，()y f x =与()y h x =为偶函数，()y f x ∴=与()y h x =至少有六个交点，所以()g x 在R 上至少有六个零点，故正确. 所以正确命题的序号为①②④ 故答案为：①②④【点睛】本题主要考查函数奇偶性、周期性的应用，函数的零点，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，11a =，且1S 、2S 、4S 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令2n nn b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）()*21n a n n N =-∈（2）16(23)2n nTn +=+-⋅【解析】【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为()d d ≠0，由2214S S S =及11a =解得2d =，从而可得结果；（2）根据错位相减法可求得结果.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为()d d ≠0，因为1S ，2S ，4S 成等比数列，所以2214S S S =，所以()()21211234a a a a a a a +=+++，那么()()2111246a d a a d +=+，所以2d =或0d =（舍去）又因为11a =，则()*21n a n n N=-∈（2）由（1）得2(21)2n nn n b a n =⋅=-⋅，所以数列{}n b 的前n 项和23123252(21)2n n T n =⨯+⨯+⨯++-⋅①，所以23121232(23)2(21)2n n n T n n +=⨯+⨯++-⋅+-⋅②，由①②相减得2312222222(21)2nn n T n +-=+⨯+⨯+⋯+⨯--⋅()231222222(21)2n n n +=-++++⋯+--⋅ ()212122(21)212n n n +-=-+--⋅-21162(21)26(23)2n n n n n +++=-+--⋅=---⋅.所以16(23)2n n T n +=+-⋅.【点睛】本题考查了等比中项，考查了等差数列通项公式，考查了错位相减法，属于中档题. 18.在四棱锥E ABCD -中，EC ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为梯形，//AD BC ，AD AB ⊥，1222AB BC AD ===，3EC =，5ED =，点P ，Q 分别为线段AB ，CE 的中点.（1）证明：//PQ 平面ADE ；（2）求点P 到平面ADE 的距离. 【答案】（1）证明见解析；（2）334【解析】【分析】（1）取BE 中点F ，连接PF ，QF ，先证平面//PQF 平面ADE ，再根据平面与平面平行的性质可得//PQ 平面ADE ；（2）根据P ADE E APD V V --=以及三棱锥的体积公式可求得结果. 【详解】（1）取BE 中点F ，连接PF ，QF ，因为//QF BC ，//AD BC ，所以//QF AD ，因为QF平面ADE ，AD ⊂平面ADE ，所以//QF 平面ADE ，又//PF AE ，同理可得//PF 平面ADE ，又QF PF F ⋂=，QF ，PF ⊂平面PQF ，所以平面//PQF 平面ADE ，又PQ ⊂平面PQF ，所以//PQ 平面ADE .（2）设点P 到平面ADE 的距离d ，连接AC 、PD ，因为42AD =2AP =AD AB ⊥，所以124242APD S ∆==，又EC ⊥面ABCD ，则EC 为三棱锥E APD -的高，所以1143433E APD APD V S EC -∆=⨯=⨯⨯=，因为在ABC中，AB BC ==AB BC ⊥，所以4AC =，所以在直角ACE △中，5AE =，因为在等腰三角形ADE 中，5DE AE ==，AD =所以12ADE S ∆=⨯= 因为P ADE E APD V V --=，所以143d ⨯=，所以d =. 【点睛】本题考查了平面与平面平行的判定定理，考查了平面与平面平行的性质，考查了利用等体积法求点面距，考查了三棱锥的体积公式，属于中档题. 19.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到直线4340x y -+=的距离为85.（1）求抛物线C 的方程；（2）直线2y mx =+与抛物线C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，设直线OA 的斜率为1k ，直线OB 的斜率为2k ，求12k k +的值. 【答案】（1）24y x =（2）2 【解析】【分析】（185=，解方程即得抛物线C 的方程；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程组24,2,y x y mx ⎧=⎨=+⎩得到韦达定理，再计算121212y y k k x x +=+121222mx mx x x ++=+()12121222mx x x x x x ++=，再把韦达定理代入化简即得解.【详解】解：（1）抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭因为焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭到直线4340x y -+=的距离为85，85=，解得2p =或6p =-（舍去）. 所以抛物线C 的方程为24y x =.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，依题意0m ≠，联立方程组24,2,y x y mx ⎧=⎨=+⎩消去y 得22(44)40m x m x +-+=，所以>0∆，由韦达定理可得12244m x x m -+=，1224x x m=，又因为112y mx =+，222y mx =+，所以121212y y k k x x +=+ 121222mx mx x x ++=+ ()221212122444222224m m mx x x x m m x x m -⋅+⋅++===故122k k +=.【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，考查直线和抛物线的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20.近几年，电商行业的蓬勃发展带动了快递业的迅速增长，快递公司揽收价格一般是采用“首重+续重”的计价方式.首重是指最低的计费重量，续重是指超过首重部分的计费重量，不满一公斤按一公斤计费.某快递网点将快件的揽收价格定为首重（不超过一公斤）8元，续重2元/公斤（例如，若一个快件的重量是0.6公斤，按8元计费；若一个快件的重量是1.4公斤，按8元2+元110⨯=元计费）.根据历史数据，得到该网点揽收快件重量的频率分布直方图如下图所示（1）根据样本估计总体的思想，将频率视作概率，求该网点揽收快件的平均价格；（2）为了获得更大的利润，该网点对“一天中收发一件快递的平均成本i y （单位：元）与当天揽收的快递件数i x （单位：百件）()1,2,3,4,5i =之间的关系”进行调查研究，得到相关数据如下表：每天揽收快递件数i x （百件） 23458每件快递的平均成本i y （元） 5.6 4.8 4.4 4.3 4.1根据以上数据，技术人员分别根据甲、乙两种不同的回归模型，得到两个回归方程：方程甲：(1)ˆ0.2 5.6yx =-+，方程乙：(2)4ˆ 3.5yx=+. ①为了评价两种模型的拟合效果，根据上表数据和相应回归方程，将以下表格填写完整（结果保留一位小数），分别计算模型甲与模型乙的残差平方和1Q ，2Q ，并依此判断哪个模型的拟合效果更好（备注：ˆˆi i i ey y =-称为相应于点(),i i x y 的残差，残差平方和21ˆnii Q e==∑；②预计该网点今年6月25日（端午节）一天可以揽收1000件快递，试根据①中确定的拟合效果较好的回归模型估计该网点当天的总利润（总利润=（平均价格-平均成本）×总件数）.【答案】（1）10.1元（2）①填表见解析；10.46Q =；20.03Q =；模型乙的拟合效果较好②6200元【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图得出快件价格的频率分布表，再计算平均价格；（2）①分别把i x 代入两模型方程，计算预报值和残差平方和； ②把10x =代入回归方程，得出平均成本，再计算利润．【详解】解：（1）根据揽收快件重量的频率分布直方图，得到其价格的频率分布表如下：所以平均价格为80.45100.25120.15140.1160.05⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=10.1元.（2）①表中数据填写如下：计算可得：222221(0.4)0.20.40.3(0.1)0.46Q =-++++-=；2222(0.1)0.1(0.1)0.03Q =-++-=.因为21Q Q <，所以模型乙的拟合效果较好.②模型乙的回归方程为(2)4ˆ 3.5yx=+，当一天揽收件数为1000时，则收发一件快递的平均成本为43.5 3.910+=，可以估计该网点当天的总利润为(10.1 3.9)10006200-⨯=元.【点睛】本题考查了频率分布直方图，回归分析，属于中档题． 21.已知函数()=1,f x nx ax a R -∈.（1）讨论函数f x （）的单调性；（2）证明：当1a =时，34()5f x x x <-.【答案】（1）当0a 时，函数()f x 在(0,)+∞单调递增；当0a >时，函数()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）根据()ln (0)f x x ax x =->，求导得到11()'-=-=ax f x a x x，结合函数的定义域，分0a 和0a >两种情况讨论求解.（2）当1a =时，()ln (0)f x x x x =->，将证明34()5f x x x <-，转化为证明31ln 0(*)5x x x +->成立，令31()ln (0)5h x x x x x =+->，用导数法结合零点存在定理证明()0h x >即可.【详解】解法一：（1）因为()ln (0)f x x ax x =->，所以11()'-=-=axf x a x x，当0a 时，()0f x '>，即函数()f x 在(0,)+∞单调递增；当0a >时，令()0f x '>，即10ax ->，解得10x a<<；令()0f x '<，即10ax -<，解得1x a>，综上所述：当0a 时，函数()f x 在(0,)+∞单调递增；当0a >时，函数()f x 10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减. （2）当1a =时，()ln (0)f x x x x =->，欲证34()5f x x x <-，只需证34ln 5x x x x -<-，即证明31ln 0(*)5x x x +->，令31()ln (0)5h x x x x x =+->，所以3211155()355x x h x x x x '+-=+-=，令3()155(0)x x x x ϕ=+-，已知函数()x ϕ在[0,)+∞单调递增. 又(0)5ϕ=-，(1)11ϕ=，所以存在唯一0(0,1)x ∈，使得()00x ϕ=，所以当()00,x x ∈时，()0x ϕ<，即()0h x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0x ϕ>，即()0h x '>；所以函数()h x 在()00,x 单调递减，在()0,x +∞单调递增.当0x x =时，()min 030001()ln 5h x h x x x x ==+-，因为0(0,1)x ∈，所以0ln 0x <，所以()00h x >，即()0()0h x h x >，所以不等式(*)成立，即当1a =时，34()5f x x x <-. 解法二：（1）同解法一（2）当1a =时，()ln (0)f x x x x =->，由（1）知：()f x 在(0,1)为增函数，在(1,)+∞为减函数，所以max ()(1)1f x f ==-，所以()1f x -，即ln 1x x ≤-. 欲证34()5f x x x <-，只需证34()5f x x x <-，即证31ln 5x x x <+，即证3115x x x -<+，即只需证3410(*)5x x -+>，令34()1(0)5h x x x x =-+>，则24()35h x x '=-，令()0h x '>得x >；令()0h x '<得0x <<，所以函数()h x 在0,15⎛ ⎝⎭为减函数，在15⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭为增函数，所以min ()1015225h x h ⎛==-> ⎝⎭，所以不等式(*)成立，即当1a =时，34()5f x x x <-. 【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性，导数与不等式的证明以及零点存在定理，还考查了分类讨论、转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.（二）选考题：本题满分10分.请考生在22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线1C 的参数方程为cos ,sin x m y αα=+=⎧⎨⎩（α为参数，0m >），曲线2C 的极坐标方程为()=2sin 0n n ρθ>，点P 是1C 与2C 的一个交点，其极坐标为4π⎫⎪⎭，.设射线00:0,02l πθθρθ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭＜＜与曲线1C 相交于O ，A 两点，与曲线2C 相交于O ，B 两点.（1）求m ，n 的值；（2）求2||||OA OB +的最大值.【答案】（1）1m =；1n =（2）【解析】【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用点的坐标求出结果．（2）利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．【详解】解：（1）将曲线1C 的参数方程化成普通方程：22()1x m y -+=， P 的直角坐标为(1,1).因为P 在1C 上，所以2(1)11m -+=，解得1m =.因为P 在2C=，解得1n =.（2）曲线1C 化为极坐标方程：2cos ρθ=.设A 的极坐标为()11,ρθ，B 的极坐标为()22,ρθ，则112cos ρθ=，222sin ρθ=. 因为A ，B 分别是0θθ=与1C ，2C 的交点，所以120θθθ==.所以10202cos ,2sin .ρθρθ=⎧⎨=⎩故()120002||||24cos 2sin OA OB ρρθθθϕ+=+=+=+，其中ϕ为锐角，且tan 2ϕ=.因为()0sin 1θϕ+，当02πθϕ=-时等号成立.所以2||||OA OB +的最大值为【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．选修4-5：不等式选讲23.设函数()|2|f x x x =-+，集合M 为不等式()0f x ＜的解集.（1）求集合M ；（2）当m ，n M ∈时，证明：3mn n +>+.【答案】（1）{|x x <x >（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）对x 分三类讨论去掉绝对值，解得结果再相并可得结果；（2）两边平方再作差比较可证不等式成立.【详解】（1）当x <((20x x -++++<，解得x <当3x <-((20x x ++++<，解得x <当3x -时，原不等式化为((20x x +-++<，解得x >所以{|M x x =<x >.（2）欲证|3||mn m n +>+成立，只需证22(3)|)mn m n +>+成立.因为222222(3)|)339mn m n m n m n +-+=--+.()()2233m n =--.又由m ，n M ∈，得23m >，23n >.所以22(3)||)0mn m n +-+>，即22(3)||)mn m n +>+成立.所以|3|||mn m n +>+成立.【点睛】本题考查了分类讨论法解绝对值不等式，考查了比较法证明不等式，平方后再作差是解题关键，属于中档题.。

福建省三明市高三5月质量检测文科数学试题+Word版含解

2018年三明市普通高中毕业班质量检查测试文科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若命题：，则为( )A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：由题意结合特称命题的否定方法否定所给的命题即可.详解：特称命题的否定为全称命题，修改量词，否定结论，故若命题：，则为.本题选择B选项.点睛：本题主要考查特称命题的否定，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2. 已知集合，，则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题意首先求得集合A,B，然后进行交集运算即可求得最终结果.详解：求解二次不等式可得：，结合交集的定义可得：.表示为集合的形式即.本题选择C选项.点睛：本题主要考查集合的表示方法，交集的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3. 若复数满足是虚数单位，则复数的共轭复数 ( )A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由题意首先求得复数z，然后求解其共轭复数即可求得最终结果.详解：由题意可得：，结合共轭复数的定义可知：.本题选择D选项.点睛：本题主要考查复数的四则运算法则，共轭复数的概念等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4. 已知向量，，且，则( )A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由向量平行的充分必要条件首先求得实数t的值，然后结合向量的坐标运算法则求得向量的模即可.详解：由向量平行的充分必要条件可得：，则：，即：，，据此可得向量的模.本题选择B选项.点睛：本题主要考查平面向量的模的计算，平面向量数量积的坐标运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5. 《中国诗词大会》节目以“赏中华诗词、寻文化基因、品生活之美”为宗旨，邀请全国各个年龄段、各个领域的诗词爱好者共同参与诗词知识竞赛．现组委会要从甲、乙等五位候选参赛者中随机选取2人进行比拼，记“甲被选上且乙不被选上”为事件，则事件的概率为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由题意结合排列组合的知识求得所有事件的数量和满足题意的事件的数量，然后利用古典概型计算公式求解概率值即可.详解：由题意可知：从甲、乙等五位候选参赛者中随机选取2人，由种方法，甲被选上且乙不被选上有种方法，则事件的概率为本题选择A选项.点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.6. 若为数列的前项和，且，则等于( )A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题意首先求得数列的通项公式，然后结合通项公式求解前n项和即可.详解：当时，，据此可得：，当时：，两式作差可得：，则：，据此可得数列是首项为2，公比为2的等比数列，其前8项和为：.本题选择C选项.点睛：给出与的递推关系，求a n，常用思路是：一是利用转化为a n的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S n的递推关系，先求出S n与n之间的关系，再求a n. 7. 已知定义在上的奇函数，当时，恒有，且当时，，则( )A. 0B.C.D.【答案】D【解析】分析：首先确定函数的周期性和函数的奇偶性，然后结合所给的函数的解析式求解的值即可.详解：由题意可知，函数是周期为2的奇函数，则：，，据此可得：.本题选择D选项.点睛：本题主要考查函数的周期性，函数的奇偶性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8. 将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上每个点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，则的可能取值为( )A. B.C. D.【答案】A【解析】分析：首先求得函数的解析式，然后结合函数平移变换和伸缩变换的规律考查所给的选项即可求得最终结果.详解：函数的解析式：，逐一考查所给的选项：A.，向左平移个单位,得到函数的解析式，再将所得图象上每个点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的解析式，即，符合题意；B.，向左平移个单位,得到函数的解析式，再将所得图象上每个点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的解析式，即，不合题意；C.，向左平移个单位,得到函数的解析式，再将所得图象上每个点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的解析式，即，不合题意；D.，向左平移个单位,得到函数的解析式，再将所得图象上每个点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的解析式，即，不合题意；本题选择A选项.点睛：本题主要考查三角函数的平移变换与伸缩变换，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9. 执行如图所示的程序框图，如果输入的是，输出的结果是7，则判断框中的“”应填入（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题意首先确定流程图的功能，然后结合输出结果确定判断框内的表达式即可.详解：由题意可得，若输出结果为，则该流程图的功能是：计算的值，裂项求和可得：，输出结果为，则最后求得的，结合选项可知判断框中的“”应填入.本题选择C选项.点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．(3)按照题目的要求完成解答并验证．10. 已知某几何体的三视图如图所示，网格线上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为( )A. B. C. 18 D.【答案】C【解析】分析：由题意首先确定该三视图对应的几何体，然后结合几何体的空间结构求解该组合体的体积即可.详解：如图所示，在棱长为3的正方体中，题中所给的三视图为该正方体截去三棱锥所得的几何体，该几何体的体积：.本题选择C选项.点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．11. 函数的零点个数为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：将原问题转化为两个函数交点个数的问题，绘制函数图像，数形结合即可求得最终结果.详解：函数的零点满足：，即，则原问题等价于求解函数与的交点的个数，在同一个平面直角坐标系中绘制函数图象如图所示，观察可得，函数图象的交点个数为3个，故函数的零点个数为3.本题选择C选项.点睛：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．12. 已知双曲线的左,右焦点分别是，过的直线与的右支交于两点，分别是的中点，为坐标原点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则的离心率是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由题意首先确定所给双曲线中的几何关系，然后利用勾股定理结合题意即可确定双曲线的离心率.详解：如图所示，由题意可得：，结合是以为直角顶点的等腰直角三角形可得：，结合可得：，令,则，，在中:,整理计算可得：，在中:,即，计算可得：.本题选择D选项.点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知中心是坐标原点的椭圆过点，且它的一个焦点为，则的标准方程为________．【答案】【解析】分析：由题意利用待定系数法求得a,b的值即可求得椭圆的标准方程.详解：椭圆的焦点位于轴，则设椭圆的方程为，椭圆过点，则：,①它的一个焦点为，则，②①②联立可得：，则的标准方程为.点睛：求椭圆的标准方程有两种方法：①定义法：根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程．②待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．14. 在等差数列中，若，则________．【答案】【解析】分析：由题意结合积化和差公式和等差数列的性质即可求得最终结果.详解：由题意结合和差化积公式可得：据此可得：0.点睛：本题主要考查和差化积公式及其应用，等差数列的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15. 若直线将平面区域划分为面积成的两部分，则实数的值等于________．【答案】或【解析】分析：首先绘制不等式组表示的平面区域，然后结合题意和对称性确定实数a的值即可.详解：绘制不等式组表示的平面区域如图所示，由题意可知，该平面区域的面积：，直线的斜率为，当时，如图所示，联立方程组：可得：，此时，解得：，由对称性可知，也满足题意.综上可得：实数的值等于或.点睛：简单的线性规划有很强的实用性，线性规划问题常有以下几种类型：（1）平面区域的确定问题；（2）区域面积问题；（3）最值问题；（4）逆向求参数问题．而逆向求参数问题，是线性规划中的难点，其主要是依据目标函数的最值或可行域的情况决定参数取值．16. 如图，正方形的边长为，点分别在边上，且．将此正方形沿切割得到四个三角形，现用这四个三角形作为一个三棱锥的四个面，则该三棱锥的内切球的体积为________．【答案】【解析】分析：由题意首先确定几何体的空间结构，然后利用体积相等求得内切球半径，最后求解内切球的体积即可.详解：如图所示，在长宽高分别为的长方体中，三棱锥即为题中所给的四个面组成的三棱锥，该三棱锥的体积：，在△AB1C，由勾股定理易得：，由余弦定理可得：，则，故，该三棱锥的表面积为：，设三棱锥外接球半径为,则：，即：，该三棱锥的体积：.点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17题～21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22、23题为选考题，考生根据要求做答．17. 在△中，，，点在边上，且.（1）若，求；（2）若，求△的周长.【答案】（1）；（2）.【解析】分析：解法一：由题意可得，则.结合余弦定理有. （1）在△中，由余弦定理，解方程可得，所以，在△中，由正弦定理可得，结合大边对大角可得，则 .（2）设，则，从而，．在△中，由余弦定理得解方程可得．故△周长为．解法二：如图，已知，，所以，则.在△中，根据余弦定理，，所以.（1）在△中，由余弦定理有，解方程可得，再次利用余弦定理可得，则．故，．（2）同解法一．详解：解法一：如图，已知，，所以，则.在△中，根据余弦定理，，所以.（1）在△中，，，，由余弦定理，所以，解得，所以，在△中，由正弦定理，所以，，由，，，在△中，由，得，故，所以，所以 .（2）设，则，从而，故．在△中，由余弦定理得，因为，所以，解得．所以．故△周长为．解法二：如图，已知，，所以，则. 在△中，根据余弦定理，，所以.（1）在△中，，，，由余弦定理，所以，解得，由余弦定理，又因为，所以．所以，所以．（2）同解法一．点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．18. 在四棱锥中，与相交于点，点在线段上，，且平面．（1）求实数的值；（2）若，, 求点到平面的距离．【答案】（1）；（2）.【解析】分析：解法一：（1）由平行线的性质可得，结合线面平行的性质定理有．据此可得．(2) 由题意可知为等边三角形，则，结合勾股定理可知且，由线面垂直的判断定理有平面，进一步有平面平面．作于，则平面．即为到平面的距离．结合比例关系计算可得到平面的距离为．解法二：（1）同解法一．（2）由题意可得为等边三角形，所以，结合勾股定理可得且，则平面．设点到平面的距离为，利用体积关系：，即．求解三角形的面积然后解方程可得到平面的距离为．详解：解法一：（1）因为,所以即．因为平面，平面，平面平面，所以．所以，即．(2) 因为，所以为等边三角形，所以，又因为，，所以且，所以且，又因为，所以因为平面，所以平面平面．作于，因为平面平面，所以平面．又因为平面，所以即为到平面的距离．在△中，设边上的高为，则，因为，所以，即到平面的距离为．解法二、（1）同解法一．（2）因为，所以为等边三角形，所以，又因为，，所以且，所以且，又因为，所以平面．设点到平面的距离为，由得，所以，即．因为，，，所以，解得，即到平面的距离为．点睛：本题主要考查线面平行的应用，面面垂直的性质及其应用，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19. 已知顶点是坐标原点的抛物线的焦点在轴正半轴上，圆心在直线上的圆与轴相切，且关于点对称．（1）求和的标准方程；（2）过点的直线与交于，与交于，求证：．【答案】（1）,；（2）证明见解析.【解析】分析：（1）设的标准方程为，由题意可设．结合中点坐标公式计算可得的标准方程为．半径，则的标准方程为．（2）设的斜率为，则其方程为，由弦长公式可得．联立直线与抛物线的方程有．设，利用韦达定理结合弦长公式可得．则．即．..........................................详解：（1）设的标准方程为，则．已知在直线上，故可设．因为关于对称，所以解得所以的标准方程为．因为与轴相切，故半径，所以的标准方程为．（2）设的斜率为，那么其方程为，则到的距离，所以．由消去并整理得：．设，则，那么．所以．所以，即．点睛：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．20. 近年来，随着我国汽车消费水平的提高，二手车流通行业得到迅猛发展．某汽车交易市场对2017年成交的二手车交易前的使用时间（以下简称“使用时间”）进行统计，得到频率分布直方图如图1．图1 图2（1）记“在年成交的二手车中随机选取一辆，该车的使用年限在”为事件，试估计的概率；（2）根据该汽车交易市场的历史资料，得到散点图如图2，其中(单位：年)表示二手车的使用时间，(单位：万元)表示相应的二手车的平均交易价格．由散点图看出，可采用作为二手车平均交易价格关于其使用年限的回归方程，相关数据如下表（表中，）：①根据回归方程类型及表中数据，建立关于的回归方程；②该汽车交易市场对使用8年以内(含8年)的二手车收取成交价格的佣金，对使用时间8年以上(不含8年)的二手车收取成交价格的佣金．在图1对使用时间的分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值．若以2017年的数据作为决策依据，计算该汽车交易市场对成交的每辆车收取的平均佣金．附注：①对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为；②参考数据：．【答案】（1）；（2）①，②万元.【解析】分析：（1）由频率分布直方图得，该汽车交易市场2017年成交的二手车使用时间在的频率为，在的频率为，则．（2）①由得，即关于的线性回归方程为．其中，则关于的线性回归方程为，据此可得②根据①中的回归方程和图1，对成交的二手车可预测：使用时间在的平均成交价格为，对应的频率为；使用时间在的平均成交价格为，对应的频率为；使用时间在的平均成交价格为，对应的频率为；使用时间在的平均成交价格为，对应的频率为；使用时间在的平均成交价格为，对应的频率为，则该汽车交易市场对于成交的每辆车可获得的平均佣金为万元.详解：（1）由频率分布直方图得，该汽车交易市场2017年成交的二手车使用时间在的频率为，在的频率为所以．（2）①由得，即关于的线性回归方程为．因为，所以关于的线性回归方程为，即关于的回归方程为②根据①中的回归方程和图1，对成交的二手车可预测：使用时间在的平均成交价格为，对应的频率为；使用时间在的平均成交价格为，对应的频率为；使用时间在的平均成交价格为，对应的频率为；使用时间在的平均成交价格为，对应的频率为；使用时间在的平均成交价格为，对应的频率为所以该汽车交易市场对于成交的每辆车可获得的平均佣金为万元.点睛：本题主要考查非线性回归方程及其应用，离散型随机变量的分布列等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.21. 已知函数．（1）若曲线在处切线的斜率为，求此切线方程；（2）若有两个极值点，求的取值范围，并证明：．【答案】（1）；（2）,证明见解析.【解析】分析：（1）由函数的解析式可得，利用可得，则切点为，切线方程为．（2）结合(1)中导函数的解析令，得．构造函数，令，则，利用导函数研究函数的单调性可知在递增，在递减，所以．结合题意可得的取值范围是．由极值点的性质可得不妨设，则，，结合的单调性可得，据此有，即．详解：（1）∵，∴，解得，∴，故切点为，所以曲线在处的切线方程为．（2），令，得．令，则，且当时，；当时，；时，．令，得，且当时，；当时，．故在递增，在递减，所以．所以当时，有一个极值点；时，有两个极值点；当时，没有极值点．综上，的取值范围是．因为是的两个极值点，所以即…①不妨设，则，，因为在递减，且，所以，即…②．由①可得，即，由①，②得，所以．点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．（二）选考题：共10分．请考生在（22）、（23）两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分．选修4－4：坐标系与参数方程22. 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交于两点，求.【答案】（1），；（2）【解析】分析：解法一：（1）消去参数可得的普通方程为，则极坐标方程为．极坐标方程化为直角坐标方程可得的直角坐标方程为．（2）设的极坐标分别为，则，联立极坐标方程可得，则，结合三角函数的性质计算可得．解法二：（1）同解法一（2）曲线表示圆心为且半径为1的圆．联立直线参数方程的标准形式与圆的方程可得，结合参数的几何意义知，则解法三：（1）同解法一（2）曲线表示圆心为且半径为1的圆．的普通方程为，由弦长公式可得，则是等边三角形，， .详解：解法一：（1）由得的普通方程为，又因为，所以的极坐标方程为．由得，即，所以的直角坐标方程为．（2）设的极坐标分别为，则由消去得，化为，即，因为，即，所以，或，即或所以．解法二：（1）同解法一（2）曲线的方程可化为，表示圆心为且半径为1的圆．将的参数方程化为标准形式(其中为参数)，代入的直角坐标方程为得，，整理得，，解得或．设对应的参数分别为，则．所以，又因为是圆上的点，所以解法三：（1）同解法一（2）曲线的方程可化为，表示圆心为且半径为1的圆．又由①得的普通方程为，则点到直线的距离为，所以，所以是等边三角形，所以，又因为是圆上的点，所以 .点睛：本题主要考查直线的参数方程，圆的参数方程，参数方程与普通方程、极坐标方程之间的转化等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.选修4－5：不等式选讲23. 已知函数，，．（1）当时，解关于的不等式；（2）若对任意，都存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）当时，，零点分段求解不等式可得的解集为．（2）原问题等价于．结合绝对值三角不等式的性质可得．结合二次函数的性质可得．据此求解不等式可得的取值范围为．详解：（1）当时，，则当时，由得，，解得；当时，恒成立；当时，由得，，解得．所以的解集为．（2）因为对任意，都存在，使得不等式成立，所以．因为，所以，且，…①当时，①式等号成立，即．又因为，…②当时，②式等号成立，即．所以，整理得，，解得或，即的取值范围为．点睛：绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。

2022福建三明普通高中毕业班质量检查试卷及解析—文科数学

2022福建三明普通高中毕业班质量检查试卷及解析—文科数学本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）．本试卷共6页．满分150分．考试时刻120分钟．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上，请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效．3．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破旧，考试终止后，将本试卷和答题卡一并交回．参考公式：样本数据12,x x ，…，nx 的标准差锥体体积公式s =13V Sh= 其中x-为样本平均数其中S 为底面面积，h 为高柱体体积公式球的表面积、体积公式V Sh = 2344,3S R V R ==ππ 其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{11}M x x =-≤≤,{0,1,2}N =，则MN 为A ．}1{B ．}1,0{C ．}2,1,0{D ．}10|{≤≤x x 2．“12≥x ”是“1≥x ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3．已知平面向量(3,1),(,3)x ==-a b ，若⊥a b ，则实数x 等于 A ．3- B ．1- C ．1 D ．34．已知i 是虚数单位，且复数(1)1i ()m m m -+-是纯虚数，则实数m 的值为 A ． 1- B ．1 C ．0或1 D ．05．阅读如图所示的程序框图，运算相应程序，若输入的1m =，则输出m 应为 A ．1 B ． 2C ． 3D ． 4开始输入m输出m结束否是lg 1m m ⋅≥1m m =+（第5题图）6．已知10<<x ，若21,,a x b c xx===．则A ．c b a >>B ．a c b >>C ．a b c >>D ．b a c >> 7．若α是第四象限角，且5tan 12α=-，则sin α=A ．513-B ．15-C ．15D ．5138．已知n m ,是两条不同的直线，γβα,,是三个不同的平面，下列命题正确的是A ．若αα//,//n m ，则n m //．B ．若γαβα⊥⊥,，则γβ//．C ．若βα//,//m m ，则βα//．D ．若βα⊥⊥m m ,，则βα//．9．如图是甲、乙两个学生的8次数学单元考试成绩的茎叶图．现有如下结论： ①乙甲＝X X ； ②乙的成绩较稳固；③甲的中位数为83； ④乙的众数为80。

2021年三明市普通高中毕业班质量检查文科数学试卷

2021年三明市普通高中毕业班质量检查文科数学试卷2021年三明市普通高中毕业班质量检查文科数学本试卷分第i卷（选择题）和第ⅱ卷（非选择题）．本试卷共6页．满分150分后．考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．学生答题时，将答案答在答题卡上，恳请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内答题，远远超过答题区域书写的答案违宪，在草稿纸、试题卷上答题违宪．3．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．参考公式：样本数据x1,x2，…，xn的标准差锥体体积公式112s?[(x1?x)?(x2?x)?…?(xn?x)2]v?sh3n其中x为样本平均数其中s为底面面积，h为低柱体体积公式球的表面积、体积公式vshs4r2,v43r3其中s为底面面积，h为低其中r为球的半径第i卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分后，共60分后，在每小题得出的四个选项中，只有一项就是合乎题目建议的．1．若子集a＝{x|x??2}，b＝{x|?3?x?3}，则a?b等同于a．{x|x??2}b．{x|?2?x?3}c．{x|x??3}d．{x|?3?x?3}开始输入x2．已知a(0,?3)，b(3,3)，c(x,?1)，若ab与bc共线，则x等于a．5b．1c．?1d．?53．输入x?1时，运行如图所示的程序，输出的x值为a．4b．5c．7d．94．设立函数f(x)?x2?5x?6,x?[0,5]，若从区间[0,5]内随机挑选出一个实数x0,则所选取的实数x0满足f(x0)?0的概率为a．0.2b．0.3c．0.4d．0.5n?1n?n?1n?4是输出x否x?x?2结束5.右图是某空间几何体的直观图，则该几何体的侧视图是直面方向abcd6．若函数f(x)的定义域为r，那么“?x0?r，f(?x0)??f(x0)”就是“f(x)为奇函数”的a．充分而不必要条件c．充分必要条件2b．必要而不充分条件d．既不充分也不必要条件y27．未知双曲线x?2?1(b?0)的一条渐近线为y?2x，且右焦点与抛物线by2?2px(p?0)的焦点重合，则常数p的值为a．3b．5c．23d．258．若直线(1?a)x?y?1?0与圆x2?y2?2x?0切线，则a的值就是a．1，?1b．2，?2c．1d．?19．在△abc中，角a,b,c面元的边分别为a,b,c，若a?7,b?5,c?8的面积s等同于a．10b．103c．20d．20310．未知甲、乙两种相同品牌的pvc管材都可以截成a、b、c三种规格的成品配件，且每种pvc管同时沙尔霍罗德区三种规格的成品个数如下表中：品牌甲（根）品牌乙（根）a规格成品（个）21b规格成品（个）11c规格成品（个）12，则△abc现在至少须要a、b、c三种规格的成品配件分别就是6个、5个、6个，若甲、乙两种pvc管材的价格分别是20元/根、15元/根，则完成以上数量的配件所需的最低成本是a．70元b．75元c．80元d．95元k2111．未知函数y?f(x)的导函数为f?(x)?e?x?（其中e为自然对数的底数，k为实ekx数）,且f(x)在r上不是单调函数，则实数k的取值范围是a．(??,?22)b．(?,0)22c．(0,2)2d．(2,??)212．在透明塑料制成的正方体容器中灌进1体积的水，密封后可以任一放置，那么容器内水6面形状可能将就是：①三角形；②梯形；③长方形；④五边形．其中恰当的结果就是a．①②③b．①③④c．②③④d．①②③④第ⅱ卷（非选择题共90分后）二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡相应位置．213．未知复数z?1?i（其中i就是虚数单位），则z?z?_________.14．若函数y?1?2sin2x图象的对称中心就是(x0,0)，则正数x0的最小值就是______.2x(x0),15．已知函数f(x)??若直线y?m与函数f(x)的图象有两个不同的交点，则实logx(x?0),?2数m的值域范围就是.16．对于二次函数f(x)?ax2?bx?c，有下列命题：①若f(p)?q,f(q)?p,(p?q)，则f(p?q)??(p?q)；②若f(p)?f(q)(p?q)，则f(p?q)?c；③若f(p?q)?c(p?q)，则p?q?0或f(p)?f(q).其中一定恰当的命题就是______________.（写下所有恰当命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）未知等差数列?an?(n?n)的前n项和为sn，且a3?5,s3?9.(i)求数列?an?的通项公式；(ii)设立等比数列?bn?(n?n)，若b2?a2,b3?a5，谋数列?bn?的前n项和tn.18．（本小题满分12分）在某次综合素质测试中，共建有40个考室，每个考室30名学生．在考试完结后，为调查其测试前的培训辅导情况与测试成绩的相关性，提取每个考室中座位号为05的学生，统计数据了他们的成绩，获得如图所示的频率分布直方图．（ⅰ）在这个调查采样中，用到的是什么抽样方法？（ⅱ）写出这40个考生成绩的众数、中位数（只写结果）；（ⅲ）若从成绩在[60,70)的学生中任提取2人，谋成绩在[65,70)的学生至少存有一人的概率.19．（本小题满分12分后）已知函数f(x)?sin(?x??)(??0,0)在一个周期内的部分对应值如下表：xy??4010?612?40?2?13?40（i）谋f(x)的解析式；（ii）设立函数h(x)?f(x?20．（本小题满分12分后）在空间几何体pq?abc中，pa?平面abc，平面qbc?平面abc，ab?ac，qb?qc．（i）求证：pa//平面qbc；4)f(x)，x?[,]，谋h(x)的最大值和最小值．44qpc（ii）如果pq?平面qbc，澄清：vq?pbc?vp?abc．21．（本小题满分12分后）abx2y2在平面直角坐标系x?y中，经过点d(?1,0)的动直线l，与椭圆c：2?2?1ab（a?b?0）平行于a，b两点.当l?y轴时，当l?x轴时，|ab|?4，|ab|?3．（ⅰ）谋椭圆c 的方程；（ⅱ）若ab的中点为m，且|ab|?2|om|，求直线l的方程．22．（本小题满分14分）未知函数f(x)?xlnx?2x?k在x0处为获得极值，且x0恰好就是f(x)的一个零点．（ⅰ）谋实数k的值，并写下函数f(x)的单调区间；（ⅱ）设l1、l2分别是曲线y?f(x)在点p1(x1,y1)和p2(x2,y2)（其中x1?x2）处的切线，且l1?l2．①若l1与l2的倾斜角互补，求x1与x2的值；②若x1??1,e?（其中e就是自然对数的底数），谋x1?x2的值域范围．2021年三明市普通高中毕业班质量检查文科数学参考答案及评分标准一、选择题1-5．cbcaa6-10．bddbc11-12．cd二、填空题13．1?3i14．三、解答题17．求解：（ⅰ）由s3?9，得3a2?9，所以a2?3．（2分后）又因为a3?5，所以公差d?2．（4分）从而an?a2?(n?2)d?2n?1．（6分）（ⅱ）由上可得b2?a2?3，b3?a5?9，所以公比q?3，（8分）从而bn?b2?qn?2?3n，（10分）15．0?m?116．②③4a1(1?qn)1?(1?3n)1n所以tn(3?1)．…………（12分后）1?q1?3218．求解：（ⅰ）系统抽样．(2分后)（ⅱ）众数就是77.5，中位数就是77.5．??(6分后)（ⅲ）从图中所述，成绩在[60,65)的人数为：，(7分后)m1?0.01?5?40?2（人）成绩在[65,70)的人数为：．(8分)m2?0.02?5?40?4（人）设立成绩在[60,65)的学生为a,b，成绩在[65,70)的学生为c,d,e,f，则所有基本事件有：（a,b）,(a,c),(a,d),(a,e),(a,f),(b,c),(b,d),(b,e),(b,f),(c,d),(c,e),(c,f),(d,e),(d,f),(e,f),共15种，(10分后)。