杭高2017学年第一学期12月考高三数学试卷

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杭州市2017届高三上第一次教学质量检测数学试卷及答案解析(理)含解析(原始打印版)

2016-2017学年浙江省杭州市高三(上)第一次教学质量检测数学试卷(理科)一、选择题:本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={x|x2﹣2x≥0}，B={x|﹣1＜x≤2}，则(∁R A)∩B=()A．{x|﹣1≤x≤0}B．{x|0＜x＜2}C．{x|﹣1＜x＜0}D．{x|﹣1＜x≤0}2．若sinx﹣2cosx=，则tanx=()A．B．C．2 D．﹣23．某几何体的三视图如图所示(单位:cm)，则该几何体的侧面PAB的面积是()A．B．2 C．D．4．命题:“∃x0∈R，x02+1＞0或x0＞sinx0”的否定是()A．∀x∈R，x2+1≤0且x≤sinxB．∀x∈R，x2+1≤0或x≤sinxC．∃x0∈R，x+1≤0且x0＞sinx0D．∃x0∈R，x+1≤0或x0≤sinx05．设x，满足f(a)f(b)f(c)＜0(0＜a＜b＜c)，若函数f(x)存在零点x0，则() A．x0＜a B．x0＞a C．x0＜c D．x0＞c6．设点P为有公共焦点F1、F2的椭圆M和双曲线Г的一个交点，且cos∠F1PF2=，椭圆M的离心率为e1，双曲线Г的离心率为e2．若e2=2e1，则e1=()A．B．C． D．7．在Rt△ABC中，∠C是直角，CA=4，CB=3，△ABC的内切圆交CA，CB于点D，E，点P是图中阴影区域内的一点(不包含边界)．若=x+y，则x+y的值可以是()A．1 B．2 C．4 D．88．记S n是各项均为正数的等差数列{a n}的前n项和，若a1≥1，则()A．S2m S2n≥S m+n 2，lnS2m lnS2n≤ln2S m+nB．S2m S2n≤S m+n 2，lnS2m lnS2n≤ln2S m+nC．S2m S2n≥S m+n 2，lnS2m lnS2n≥ln2S m+nD．S2m S2n≤S m+n 2，lnS2m lnS2n≥ln2S m+n二、填空题:本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.9．设ln2=a，ln3=b，则e a+e b=．(其中e为自然对数的底数)10．设函数f(x)=﹣ln(﹣x+1)；g(x)=，则g(﹣2)=；函数y=g(x)+1的零点是．11．设实数x，y满足不等式组，若z=2x+y，则z的最大值等于，z的最小值等于．12．设直线l1:(m+1)x﹣(m﹣3)y﹣8=0(m∈R)，则直线l1恒过定点；若过原点作直线l2∥l1，则当直线l1与l2的距离最大时，直线l2的方程为．13．如图，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，∠BCD=90°，且BC=CD=3．将△ABC 沿BC的边翻折，设点A在平面BCD上的射影为点M，若点M在△BCD内部(含边界)，则点M的轨迹的最大长度等于；在翻折过程中，当点M位于线段BD上时，直线AB 和CD所成的角的余弦值等于．14．设x＞0，y＞0，且(x﹣)2=，则当x+取最小值时，x2+=．15．已知，是非零不共线的向量，设=+，定义点集M={K|=}，当K1，K2∈M时，若对于任意的r≥2，不等式||≤c||恒成立，则实数c的最小值为．三、解答题(本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 16．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，(1)求C；(2)若，求a，b，c．17．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，平面A1BC⊥平面A1ABB1．(1)求证:AB⊥BC；(2)设直线AC与平面A1BC所成的角为θ，二面角A1﹣BC﹣A的大小为φ，试比较θ和φ的大小关系，并证明你的结论．18．设数列{a n}满足a1=，a n=a n2+a n+1(n∈N*)．+1(1)证明:≥3；(2)设数列{}的前n项和为S n，证明:S n＜3．19．设点A，B分别是x，y轴上的两个动点，AB=1．若=λ(λ＞0)．(Ⅰ)求点C的轨迹Г；(Ⅱ)过点D作轨迹Г的两条切线，切点分别为P，Q，过点D作直线m交轨迹Г于不同的两点E，F，交PQ于点K，问是否存在实数t，使得+=恒成立，并说明理由．20．设二次函数f(x)=ax2+2bx+c(c＞b＞a)，其图象过点(1，0)，且与直线y=﹣a有交点．(1)求证:；(2)若直线y=﹣a与函数y=|f(x)|的图象从左到右依次交于A，B，C，D四点，若线段AB，BC，CD能构成钝角三角形，求的取值范围．2016-2017学年浙江省杭州市高三(上)第一次教学质量检测数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={x|x2﹣2x≥0}，B={x|﹣1＜x≤2}，则(∁R A)∩B=()A．{x|﹣1≤x≤0}B．{x|0＜x＜2}C．{x|﹣1＜x＜0}D．{x|﹣1＜x≤0}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出集合A以及它的补集，然后求解交集即可．【解答】解:集合A={x|x2﹣2x≥0}={x|x≤0或x≥2}，B={x|﹣1＜x≤2}，则∁R A={x|0＜x＜2}(∁R A)∩B={x|0＜x＜2}．故选:B．2．若sinx﹣2cosx=，则tanx=()A．B．C．2 D．﹣2【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】由已知可得sinx=2cosx+，两边平方，整理可得:5cos2x+4+4cosx=0，解得:cosx=﹣，可求sinx，利用同角三角函数基本关系式即可求值．【解答】解:∵sinx﹣2cosx=，∴sinx=2cosx+，∴两边平方得:sin2x=1﹣cos2x=4cos2x+5+4cosx，整理可得:5cos2x+4+4cosx=0，解得:cosx=﹣，解得:sinx=2×(﹣)+=，∴tanx===﹣．故选:A．3．某几何体的三视图如图所示(单位:cm)，则该几何体的侧面PAB的面积是()A．B．2 C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知:该几何体是一个三棱锥，底面是一个正三角形，后面的侧棱与底面垂直．【解答】解:由三视图可知:该几何体是一个三棱锥，底面是一个正三角形，后面的侧棱与底面垂直．∴该几何体的侧面PAB的面积==．故选:D．4．命题:“∃x0∈R，x02+1＞0或x0＞sinx0”的否定是()A．∀x∈R，x2+1≤0且x≤sinxB．∀x∈R，x2+1≤0或x≤sinxC．∃x0∈R，x+1≤0且x0＞sinx0D．∃x0∈R，x+1≤0或x0≤sinx0【考点】命题的否定．【分析】利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．【解答】解:因为全称命题是否定是特称命题，所以，命题:“∃x0∈R，x02+1＞0或x0＞sinx0”的否定为:∀x∈R，x2+1≤0且x≤sinx．故选:A．5．设x，满足f(a)f(b)f(c)＜0(0＜a＜b＜c)，若函数f(x)存在零点x0，则()A．x0＜a B．x0＞a C．x0＜c D．x0＞c【考点】函数零点的判定定理．【分析】确定函数为增函数，进而可得f(a)、f(b)、f(c)中一项为负的、两项为正的；或者三项都是负的，分类讨论，结合函数的零点存在定理，从而得到答案．【解答】解:∵y=2x在(0，+∞)上是增函数，y=log x在(0，+∞)上是减函数，可得x在(0，+∞)上是增函数，由0＜a＜b＜c，且f(a)f(b)f(c)＜0，∴f(a)、f(b)、f(c)中一项为负的、两项为正的；或者三项都是负的．即f(a)＜0，0＜f(b)＜f(c)；或f(a)＜f(b)＜f(c)＜0．由于实数x0是函数y=f(x)的一个零点，当f(a)＜0，0＜f(b)＜f(c)时，a＜x0＜b，此时B成立．当f(a)＜f(b)＜f(c)＜0时，x0＞c＞a．综上可得，B成立．故选:B．6．设点P为有公共焦点F1、F2的椭圆M和双曲线Г的一个交点，且cos∠F1PF2=，椭圆M的离心率为e1，双曲线Г的离心率为e2．若e2=2e1，则e1=()A．B．C． D．【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．【分析】如图所示，设椭圆与双曲线的标准方程分别为:=1，﹣=1(a i，b i＞0，a1＞b1，i=1，2)，a12﹣b12=a22+b22=c2，c＞0．设|PF1|=m，|PF2|=n．可得m+n=2a1，n﹣m=2a2，由于cos∠F1PF2=，在△PF1F2中，由余弦定理可得:(2c)2=m2+n2﹣2mn•，结合e2=2e1，化简整理即可得出．【解答】解:如图所示，设椭圆与双曲线的标准方程分别为:=1，﹣=1(a i，b i＞0，a1＞b1，i=1，2)，a12﹣b12=a22+b22=c2，c＞0．设|PF1|=m，|PF2|=n．则m+n=2a1，n﹣m=2a2，解得m=a1﹣a2，n=a1+a2，由cos∠F1PF2=，在△PF1F2中，由余弦定理可得:(2c)2=m2+n2﹣2mn•，∴4c2=(a1﹣a2)2+(a1+a2)2﹣(a1﹣a2)(a1+a2)，化为5c2=a12+4a22，∴+=5．∵e2=2e1，∴e1=，故选:C．7．在Rt△ABC中，∠C是直角，CA=4，CB=3，△ABC的内切圆交CA，CB于点D，E，点P是图中阴影区域内的一点(不包含边界)．若=x+y，则x+y的值可以是()A．1 B．2 C．4 D．8【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】求出内切圆半径，根据三点共线原理得出x+y分别对于1，2，4，8时P点的轨迹，从而判断出答案．【解答】解:设圆心为O，半径为r，则OD⊥AC，OE⊥BC，∴3﹣r+4﹣r=5，解得r=1．连结DE，则当x+y=1时，P在线段DE上，排除A；在AC上取点M，在CB上取点N，使得CM=2CD，CN=2CE，连结MN，∴=+．则点P在线段MN上时， +=1，故x+y=2．同理，当x+y=4或x+y=8时，P点不在三角形内部．排除C，D．故选:B．8．记S n是各项均为正数的等差数列{a n}的前n项和，若a1≥1，则()A．S2m S2n≥S m+n 2，lnS2m lnS2n≤ln2S m+nB．S2m S2n≤S m+n 2，lnS2m lnS2n≤ln2S m+nC．S2m S2n≥S m+n 2，lnS2m lnS2n≥ln2S m+nD．S2m S2n≤S m+n 2，lnS2m lnS2n≥ln2S m+n【考点】等差数列的性质．【分析】举出符合条件的数列，采用验证得答案．【解答】解:由S n是各项均为正数的等差数列{a n}的前n项和，可采用取特殊数列方法验证排除，如:数列1，2，3，4，5，6，…取m=1，n=1，则S2m=S2=3，S2n=S4=10，S m+n=S3=6，∴S2m S2n=S2S4=30＜36==S m+n2，lnS2m lnS2n=ln3•ln10＜ln26=ln2S m+n．故选:B．二、填空题:本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.9．设ln2=a，ln3=b，则e a+e b=5．(其中e为自然对数的底数)【考点】对数的运算性质．【分析】直接利用导数的运算法则化简求解即可．【解答】解:ln2=a，ln3=b，则e a+e b=e ln2+e ln3=2+3=5．故答案为:5．10．设函数f(x)=﹣ln(﹣x+1)；g(x)=，则g(﹣2)=﹣ln3；函数y=g(x)+1的零点是1﹣e．【考点】函数零点的判定定理；函数的值．【分析】g(﹣2)=f(﹣2)，令g(x)=﹣1，对x进行讨论，列方程组解出x即可．【解答】解:∵当x＜0时，g(x)=f(x)，∴g(﹣2)=f(﹣2)=﹣ln3．令y=g(x)+1=0得g(x)=﹣1，∴或，解得x=1﹣e．故答案为:﹣ln3，1﹣e．11．设实数x，y满足不等式组，若z=2x+y，则z的最大值等于2，z的最小值等于0．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解:由约束条件作出可行域如图，化z=2x+y为y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过O时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为0；当直线过A(1，0)时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为2．故答案为:2，0．12．设直线l1:(m+1)x﹣(m﹣3)y﹣8=0(m∈R)，则直线l1恒过定点(2，2)；若过原点作直线l2∥l1，则当直线l1与l2的距离最大时，直线l2的方程为x+y=0．【考点】恒过定点的直线；点到直线的距离公式．【分析】直线l1:(m+1)x﹣(m﹣3)y﹣8=0(m∈R)，化为:m(x﹣y)+(x+3y﹣8)=0，可得，解出可得直线l1恒过定点(2，2)．过原点作直线l2∥l1，可设l2方程为:(m+1)x﹣(m﹣3)y=0，经过两点(0，0)与(2，2)的直线方程为:y=x．则当直线l1与l2的距离最大时，l2与直线y=x垂直．即可得出．【解答】解:∵直线l1:(m+1)x﹣(m﹣3)y﹣8=0(m∈R)，化为:m(x﹣y)+(x+3y﹣8)=0，可得，解得x=y=2，则直线l1恒过定点(2，2)．过原点作直线l2∥l1，可设l2方程为:(m+1)x﹣(m﹣3)y=0，则经过两点(0，0)与(2，2)的直线方程为:y=x．则当直线l1与l2的距离最大时，l2与直线y=x垂直．直线l2的方程为x+y=0．故答案分别为:(2，2)；x+y=0．13．如图，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，∠BCD=90°，且BC=CD=3．将△ABC 沿BC的边翻折，设点A在平面BCD上的射影为点M，若点M在△BCD内部(含边界)，则点M的轨迹的最大长度等于；在翻折过程中，当点M位于线段BD上时，直线AB和CD所成的角的余弦值等于．【考点】异面直线及其所成的角；轨迹方程．【分析】点A的射影M的轨迹为CD的中位线，可得其长度；当点M位于线段BD上时，取BC中点为N，AC中点为P，可得∠MNP或其补角即为直线AB和CD所成的角，由已知数据和余弦定理可得．【解答】解:由题意可得点A的射影M的轨迹为CD的中位线，其长度为CD=；当点M位于线段BD上时，AM⊥平面ACD，取BC中点为N，AC中点为P，∴∠MNP或其补角即为直线AB和CD所成的角，则由中位线可得MN=CD=，PC=AB=，又MP为RT△AMC斜边AC的中线，故MP=AC=，∴在△MNP中，由余弦定理可得cos∠MNP==，故答案为:；．14．设x＞0，y＞0，且(x﹣)2=，则当x+取最小值时，x2+=12．【考点】基本不等式．【分析】当x+取最小值时，(x+)2取最小值，变形可得(x+)2=+由基本不等式和等号成立的条件可得．【解答】解:∵x＞0，y＞0，∴当x+取最小值时，(x+)2取最小值，∵(x+)2=x2++，(x﹣)2=，∴x2+=+，∴(x+)2=+≥2=16，∴x+≥4，当且仅当=即x=2y时取等号，∴x2++=16，∴x2++=16，∴x2+=16﹣=12，故答案为:12．15．已知，是非零不共线的向量，设=+，定义点集M={K|=}，当K1，K2∈M时，若对于任意的r≥2，不等式||≤c||恒成立，则实数c的最小值为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由=+，可得A，B，C共线，再由向量的数量积的几何意义可得KC为∠AKB的平分线，由角平分线的性质定理可得==r，可得K的轨迹为圆，求得圆的直径与AB的关系，即可得到所求最值．【解答】解:由=+，可得A，B，C共线，由=，可得||cos∠AKC=||cos∠BKC，即有∠AKC=∠BKC，则KC为∠AKB的平分线，由角平分线的性质定理可得==r，即有K的轨迹为圆心在AB上的圆，由|K1A|=r|K1B|，可得|K1B|=，由|K2A|=r|K2B|，可得|K2B|=，可得|K1K2|=+=|AB|=|AB|，由r﹣在r≥2递增，可得r﹣≥2﹣=，即有|K1K2|≤|AB|，即≤，由题意可得c≥，故c的最小值为．故答案为:．三、解答题(本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)16．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，(1)求C；(2)若，求a，b，c．【考点】正弦定理；平面向量数量积的运算．【分析】(1)先利用正弦定理把题设条件中的边转化成角的正弦，进而利用两角和的公式化简整理求的cotC的值，进而求得C．(2)根据求得ab的值，进而利用题设中和正弦定理联立方程组，求得a，b和c．【解答】解:(1)由得则有=得cotC=1即、(2)由推出；而，即得，则有解得．17．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，平面A1BC⊥平面A1ABB1．(1)求证:AB⊥BC；(2)设直线AC与平面A1BC所成的角为θ，二面角A1﹣BC﹣A的大小为φ，试比较θ和φ的大小关系，并证明你的结论．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】(1)过点A在平面A1ABB1内作AD⊥A1B于D，推导出AD⊥面A1BC，AD⊥BC，AA1⊥BC，从而BC⊥侧面A1ABB1，由此能证明AB⊥BC．(2)连结CD，求出∠ACD是直线AC与平面A1BC所成的角，∠ABA1是二面角A1﹣BC﹣A的平面角，从而∠ACD=θ，∠ABA1=φ，由此能求出θ＜φ．【解答】证明:(1)过点A在平面A1ABB1内作AD⊥A1B于D，∵面A1BC⊥面A1ABB1，面A1BC∩面A1ABB1=A1B，∴AD⊥面A1BC，∵BC⊂平面A1BC，∴AD⊥BC，∵AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥BC，∵AA1∩AD=A，∴BC⊥侧面A1ABB1，∵AB⊂面A1ABB1，∴AB⊥BC．解:(2)连结CD，由(1)知∠ACD是直线AC与平面A1BC所成的角，又∠ABA1是二面角A1﹣BC﹣A的平面角，设∠ACD=θ，∠ABA1=φ，在Rt△ADC中，sin，在Rt△ADB中，sinφ=，∵AB＜AC，∴sinθ＜sinφ，∵，∴θ＜φ．18．设数列{a n}满足a1=，a n=a n2+a n+1(n∈N*)．+1(1)证明:≥3；(2)设数列{}的前n项和为S n，证明:S n＜3．【考点】数列的求和；数列递推式．=a n2+a n+1(n∈N*)．可得a n＞0，变形=a n++1，【分析】(1)数列{a n}满足a1=，a n+1利用基本不等式的性质即可证明；(2)由(1)可得a n a n．可得．可得当n≥2时，≤+1≤…≤=2．即可证明．=a n2+a n+1(n∈N*)．【解答】证明:(1)∵数列{a n}满足a1=，a n+1∴a n＞0，∴=a n++1≥+1=3，当且仅当a n=1时取等号，∴≥3．(2)由(1)可得a n a n．+1∴．∴当n≥2时，≤≤…≤=2．∴S n≤2=2×=3．∵a n≠1，∴S n＜3．19．设点A，B分别是x，y轴上的两个动点，AB=1．若=λ(λ＞0)．(Ⅰ)求点C的轨迹Г；(Ⅱ)过点D作轨迹Г的两条切线，切点分别为P，Q，过点D作直线m交轨迹Г于不同的两点E，F，交PQ于点K，问是否存在实数t，使得+=恒成立，并说明理由．【考点】轨迹方程．【分析】(Ⅰ)由题意可知，C在线段BA的延长线上，设出A(m，0)，B(0，n)，可得m2+n2=1，再设C(x，y)，由向量等式把m，n用含有x，y的代数式表示，代入m2+n2=1可得点C的轨迹Г；(Ⅱ)分别设出E，F，K的横坐标分别为:x E，x F，x K，点D(s，t)，可得直线PQ的方程为:，再设直线m的方程:y=kx+b，得到t=ks+b，进一步求得x K，联立直线方程与椭圆m的方程，利用根与系数的关系得到x E+x F，x E x F，求得为定值2得答案．【解答】解:(Ⅰ)由题意可知，C在线段BA的延长线上，设A(m，0)，B(0，n)，则m2+n2=1，再设C(x，y)，由=λ(λ＞0)，得(x﹣m，y)=λ(m，﹣n)，∴，得，代入m2+n2=1，得；(Ⅱ)设E，F，K的横坐标分别为:x E，x F，x K，设点D(s，t)，则直线PQ的方程为:，设直线m的方程:y=kx+b，∴t=ks+b，得，将直线m代入椭圆方程得:，∴=．∴=•=2．验经证当m的斜率不存在时成立，故存在实数t=2，使得+=恒成立．20．设二次函数f(x)=ax2+2bx+c(c＞b＞a)，其图象过点(1，0)，且与直线y=﹣a有交点．(1)求证:；(2)若直线y=﹣a与函数y=|f(x)|的图象从左到右依次交于A，B，C，D四点，若线段AB，BC，CD能构成钝角三角形，求的取值范围．【考点】二次函数的性质．【分析】(1)函数f(x)的其图象与直线y=﹣a有交点，得到ax2+2bx+c+a=0有实根，根据判别式即可求出答案，(2)点A与点D，点B与点C关于对称轴对称，设|AB|=|CD|=m，|BC|=n，根据线段AB，BC，CD能构成钝角三角形，得到m，n的关系，再设x1，x2是方程ax2+2bx+c+a=0的两根和x3，x4是方程ax2+2bx+c﹣a=0的两根，代入计算即可．【解答】解:(1)∵a+2b+c=0，c＞b＞a，∴a＜0，c＞0，∵﹣a﹣2b＞b＞a，∴﹣＜＜1，∵函数f(x)的其图象与直线y=﹣a有交点，∴ax2+2bx+c+a=0有实根，即△=4b2﹣4a(c+a)=4b2+8ab≥0，∴4()2+8•≥0，知≤﹣2或≥0，综上所述可得0≤＜1，(2)∵点A与点D，点B与点C关于对称轴对称，设|AB|=|CD|=m，|BC|=n，∵线段AB，BC，CD能构成钝角三角形，∴，得n＜2m＜n，∴2n＜2m+n＜(+1)n，∴2|BC|＜|AD|＜(+1)|BC|，设x1，x2是方程ax2+2bx+c+a=0的两根，则|BC|=，设x3，x4是方程ax2+2bx+c﹣a=0的两根，则|AD|=，∴2＜＜(+1)，解得﹣1+＜＜﹣1+2016年10月18日。

浙江省2017-2018学年高三上学期12月月考数学试卷Word版含解析

浙江省2017-2018学年高三上学期12月月考数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．A）=（）1．全集U=R，A={x|﹣2≤x≤1}，B={x|﹣1≤x≤3}，则B∪（∁UA．{x|1＜x≤3} B．{x|﹣2＜x≤3} C．{x|x＜﹣2或x≥﹣1} D．{x|x＜﹣2或x＞3}2．复数等于（）A．﹣i B． i C．﹣i D．i3．设x，y∈R，则x＞y＞0是|x|＞|y|的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件4．已知空间三条直线l、m、n．若l与m异面，且l与n异面，则（）A．m与n异面B．m与n相交C．m与n平行D．m与n异面、相交、平行均有可能5．某几何体的三视图如图所示，则它的体积为（）A．8﹣ B．8﹣C．8﹣2πD．6．已知x、y满足约束条件，则Z=x2+y2+2x+1的最小值是（）A．B．C．2D．1647．已知向量={cosα，sinα}， ={cosβ，sinβ}，那么（）A．B．C．D．与的夹角为α+β8．设双曲线的﹣个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共7小题，前4题每题两空，每空3分，后3题每空4分，共36分．9．设等差数列{an }中，S3=42，S6=57，则an= ，当Sn取最大值时，n= ．10．展开式中只有第六项二项式系数最大，则n= ，展开式中的常数项是．11．已知随机变量ξ的分布列如图所示，则函数a= ，E（ξ）= ．12．设函数f（x）=，若f（a）=﹣，则a= ，若方程f（x）﹣b=0有三个不同的实根，则实数b的取值范围是．13．设x、y∈R+且=1，则x+y的最小值为．14．已知矩形ABCD的面积为8，当矩形周长最小时，沿对角线AC把△ACD与折起，则三棱锥D﹣ABC的外接球的体积为．15．已知直线y=a交抛物线y=x2于A，B两点，若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为．三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知函数，且函数f（x）的最小正周期为π．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（B）=1， =，且a+c=4，试求b2的值．17．如图，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．（Ⅰ）求证AD⊥BM；（Ⅱ）点E是线段DB上的一动点，当二面角E﹣AM﹣D大小为时，试确定点E的位置．18．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=﹣与x=1时都取得极值．（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间；（2）若对x∈[﹣1，2]，不等式f（x）＜c2恒成立，求c的取值范围．19．已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．又设P（4，0），A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB交椭圆C于另一点E．（1）求椭圆C的方程；（2）证明：直线AE与x轴相交于定点Q；（3）求的取值范围．20．已知正数数列{an }的前n项和为Sn，满足an2=Sn+Sn﹣1（n≥2），a1=1．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn =（1﹣an）2﹣a（1﹣an），若bn+1＞bn对任意n∈N*恒成立，求实数a的取值范围．浙江省2017-2018学年高三上学期12月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．全集U=R，A={x|﹣2≤x≤1}，B={x|﹣1≤x≤3}，则B∪（∁A）=（）UA．{x|1＜x≤3} B．{x|﹣2＜x≤3} C．{x|x＜﹣2或x≥﹣1} D．{x|x＜﹣2或x＞3}【考点】补集及其运算；并集及其运算．【分析】由全集R和集合A，求出集合A的补集，然后把集合A的补集和集合B的解集画在数轴上，根据并集的意义即可求出集合B和集合A补集的并集．【解答】解：由全集U=R，A={x|﹣2≤x≤1}，A={x|x＜﹣2或x＞1}，得到∁U又B={x|﹣1≤x≤3}，根据题意画出图形，如图所示：A）={x|x＜﹣2或x≥﹣1}．则B∪（∁U故选C2．复数等于（）A．﹣i B． i C．﹣i D．i【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】直接利用复数的除法运算化简求值．【解答】解： ==．故选：D．3．设x，y∈R，则x＞y＞0是|x|＞|y|的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据不等式的性质结合充分必要条件的定义分别判断其充分性和必要性即可．【解答】解：x＞y＞0”一定能推出“|x|＞|y|”．当|x|＞|y|，当x=﹣2时，y=﹣1时，成立，则推不出x＞y＞0故“x＞y＞0”是“|x|＞|y|”的充分非必要条件，故选：A4．已知空间三条直线l、m、n．若l与m异面，且l与n异面，则（）A．m与n异面B．m与n相交C．m与n平行D．m与n异面、相交、平行均有可能【考点】平面的基本性质及推论．【分析】可根据题目中的信息作图判断即可．【解答】解：∵空间三条直线l、m、n．若l与m异面，且l与n异面，∵m与n可能异面（如图3），也可能平行（图1），也可能相交（图2），故选D．5．某几何体的三视图如图所示，则它的体积为（）A ．8﹣B ．8﹣C ．8﹣2πD ．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，该几何体为正方体内挖去一个圆锥．【解答】解：由题意可知，该几何体为正方体内挖去一个圆锥，正方体的边长为2，圆锥的底面半径为1，高为2，则正方体的体积为V 1=23=8，圆锥的体积为V 2=•π•12•2=，则该几何体的体积为V=8﹣，故选A ．6．已知x 、y 满足约束条件，则Z=x 2+y 2+2x+1的最小值是（）A ．B ．C ．2D ．164【考点】简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=x 2+y 2表示点（﹣1，0）到可行域的点的距离的平方，故只需求出点（﹣1，0）到可行域的距离的最小值即可．【解答】解：如图，作出约束条件可行域，Z=x 2+y 2+2x+1=Z=（x+1）2+y 2是点（x ，y ）到（﹣1，0）的距离的平方，故最小值为原点到直线x+2y ﹣3=0的距离的平方，即为=，故选：B．7．已知向量={cosα，sinα}， ={cosβ，sinβ}，那么（）A．B．C．D．与的夹角为α+β【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】根据向量的模的计算公式可知与都是单位向量，方向任意，可判定B、D的真假，根据向量数量积可判定选项A、D的真假．【解答】解：∵=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），∴•=cosαcosβ+sinαsinβ=cos（α﹣β），•不一定为0，故选项A不正确；与都是单位向量，方向任意，故选项B不正确；=0，故选项C正确；与的夹角任意，故选项D不正确．故选C．8．设双曲线的﹣个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质；两条直线垂直的判定．【分析】先设出双曲线方程，则F ，B 的坐标可得，根据直线FB 与渐近线y=垂直，得出其斜率的乘积为﹣1，进而求得b 和a ，c 的关系式，进而根据双曲线方程a ，b 和c 的关系进而求得a 和c 的等式，则双曲线的离心率可得．【解答】解：设双曲线方程为，则F （c ，0），B （0，b ）直线FB ：bx+cy ﹣bc=0与渐近线y=垂直，所以，即b 2=ac所以c 2﹣a 2=ac ，即e 2﹣e ﹣1=0，所以或（舍去）二、填空题：本大题共7小题，前4题每题两空，每空3分，后3题每空4分，共36分． 9．设等差数列{a n }中，S 3=42，S 6=57，则a n = 20﹣3n ，当S n 取最大值时，n= 6 ．【考点】等差数列的前n 项和．【分析】设等差数列{a n }的公差为d ，由S 3=42，S 6=57，可得3a 1+d=42，d=57，解出可得a n ，令a n ≥0，解得n 即可得出．【解答】解：设等差数列{a n }的公差为d ，∵S 3=42，S 6=57，∴3a 1+d=42，d=57，解得a 1=17，d=﹣3．则a n =17﹣3（n ﹣1）=20﹣3n ，令a n =20﹣3n ≥0，解得n ≤=6+．∴当S n 取最大值时，n=6．故答案为：20﹣3n ，6．10．展开式中只有第六项二项式系数最大，则n= 10 ，展开式中的常数项是180 ．【考点】二项式系数的性质．【分析】由展开式中只有第六项二项式系数最大，可得n=10．再利用的通项公式即可得出．【解答】解：∵展开式中只有第六项二项式系数最大，∴n=10．==2r，解得r=2．∴的通项公式：Tr+1∴常数项为： =180．故答案为：10，180．11．已知随机变量ξ的分布列如图所示，则函数a= 0.3 ，E（ξ）= 1 ．【考点】离散型随机变量及其分布列．【分析】根据随机变量的概率和为1，求出a的值，再计算数学期望E（ξ）．【解答】解：根据随机变量ξ的分布列知，0.3+0.4+a=1，解得a=0.3；所以E（ξ）=0×0.3+1×0.4+2×0.3=1．故答案为：0.3，1．12．设函数f（x）=，若f（a）=﹣，则a= 或，若方程f（x）﹣b=0有三个不同的实根，则实数b的取值范围是（﹣，0）．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】通过讨论a＞0，a＜0，得到关于a的方程，求出a的值即可；求出f（x）的值域，问题转化为b=f（x）的交点问题，求出b的范围即可．【解答】解：若﹣4a2=﹣，解得：a=﹣，若a2﹣a=﹣，解得：a=，故a=﹣或；x＜0时，f（x）＜0，x＞0时，f（x）=﹣，f（x）的最小值是﹣，若方程f（x）﹣b=0有三个不同的实根，则b=f（x）有3个交点，故b∈（﹣，0）；故答案为：﹣或；（﹣，0）．13．设x、y∈R+且=1，则x+y的最小值为16 ．【考点】基本不等式．【分析】将x、y∈R+且=1，代入x+y=（x+y）•（），展开后应用基本不等式即可．【解答】解：∵=1，x、y∈R+，∴x+y=（x+y）•（）==10+≥10+2=16（当且仅当，x=4，y=12时取“=”）．故答案为：16．14．已知矩形ABCD的面积为8，当矩形周长最小时，沿对角线AC把△ACD与折起，则三棱锥D﹣ABC的外接球的体积为．【考点】球的体积和表面积．【分析】先利用基本不等式，确定矩形周长最小时，矩形为正方形，求得边长，再利用沿对角线AC把△ACD折起，则三棱锥D﹣ABC的外接球的球心为AC的中点，求得半径，根据球的体积公式，即可求得结论．【解答】解：设矩形ABCD的边长分别为x、y，则xy=8，矩形周长为2（x+y）≥4=8，当且仅当x=y=2时，矩形周长最小，沿对角线AC把△ACD折起，则三棱锥D﹣ABC的外接球的球心为AC的中点，∵AC=4，∴球的半径为2，∴三棱锥D﹣ABC的外接球的体积等于π×23=．故答案为：．15．已知直线y=a交抛物线y=x2于A，B两点，若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为[1，+∞）．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】如图所示，可知A，B，设C（m，m2），由该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，可得=0．即可得到a的取值范围．【解答】解：如图所示，可知A，B，设C（m，m2），，．∵该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，∴=．化为m2﹣a+（m2﹣a）2=0．∵m，∴m2=a﹣1≥0，解得a≥1．∴a 的取值范围为[1，+∞）．故答案为[1，+∞）．三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知函数，且函数f（x）的最小正周期为π．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（B）=1， =，且a+c=4，试求b2的值．【考点】解三角形；三角函数中的恒等变换应用；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】（Ⅰ）将三角函数化简，由函数f（x）的最小正周期求出ω的值，从而可得函数f （x）的解析式；（Ⅱ）在△ABC中，f（B）=1，可求B=，根据=可得ac=3，利用a+c=4，可得a2+c2=16﹣6，利用余弦定理可求b2的值．【解答】解：（Ⅰ） =sinωx+cosωx﹣1=2sin（ωx+）﹣1，∵函数f（x）的最小正周期为π，∴ω=2∵f（x）=2sin（2x+）﹣1；（Ⅱ）在△ABC中，f（B）=1，则2sin（2B+）=1，∴2B+=，∴B=；∴=，∴accos=，∴ac=3∵a+c=4，∴a2+c2=16﹣6∴b2=a2+c2﹣2accos=16﹣9．17．如图，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．（Ⅰ）求证AD⊥BM；（Ⅱ）点E是线段DB上的一动点，当二面角E﹣AM﹣D大小为时，试确定点E的位置．【考点】与二面角有关的立体几何综合题．【分析】（Ⅰ）先证明BM⊥AM，再利用平面ADM⊥平面ABCM，证明BM⊥平面ADM，从而可得AD ⊥BM；（Ⅱ）作出二面角E﹣AM﹣D的平面角，利用二面角E﹣AM﹣D大小为时，即可确定点E的位置．【解答】（Ⅰ）证明：∵长方形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点∴AM=BM=∴BM⊥AM∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM⊂平面ABCM∴BM⊥平面ADM∵AD⊂平面ADM∴AD⊥BM；（Ⅱ）过点E作MB的平行线交DM于F，∵BM⊥平面ADM，∴EF⊥平面ADM在平面ADM中，过点F作AM的垂线，垂足为H，则∠EHF为二面角E﹣AM﹣D平面角，即∠EHF=设FM=x，则DF=1﹣x，FH=在直角△FHM中，由∠EFH=，∠EHF=，可得EF=FH=∵EF∥MB，MB=，∴，∴∴∴当E位于线段DB间，且时，二面角E﹣AM﹣D大小为．18．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=﹣与x=1时都取得极值．（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间；（2）若对x∈[﹣1，2]，不等式f（x）＜c2恒成立，求c的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出f′（x），因为函数在x=﹣与x=1时都取得极值，所以得到f′（﹣）=0且f′（1）=0联立解得a与b的值，然后把a、b的值代入求得f（x）及f′（x），然后讨论导函数的正负得到函数的增减区间；（2）根据（1）函数的单调性，由于x∈[﹣1，2]恒成立求出函数的最大值值为f（2），代入求出最大值，然后令f（2）＜c2列出不等式，求出c的范围即可．【解答】解；（1）f（x）=x3+ax2+bx+c，f'（x）=3x2+2ax+b由解得，f'（x）=3x2﹣x﹣2=（3x+2）（x﹣1），函数f（x）的单调区间如下表：所以函数f（x）的递增区间是（﹣∞，﹣）和（1，+∞），递减区间是（﹣，1）．（2），当x=﹣时，f（x）=+c为极大值，而f（2）=2+c，所以f（2）=2+c为最大值．要使f（x）＜c2对x∈[﹣1，2]恒成立，须且只需c2＞f（2）=2+c．解得c＜﹣1或c＞2．19．已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．又设P（4，0），A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB交椭圆C于另一点E．（1）求椭圆C的方程；（2）证明：直线AE与x轴相交于定点Q；（3）求的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；平面向量数量积的运算；直线与圆的位置关系．【分析】（1）利用以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切，可求b 的值，再利用椭圆的离心率为，即可求出椭圆C 的方程；（2）设A （x 0，y 0），B （x 0，﹣y 0），将直线PB ：y=代入椭圆，可得[3+]x 2﹣+﹣12=0，从而可得E 的坐标，从而可得直线AE 的方程，进而可知直线AE 与x 轴相交于定点Q ；（3）由（2）知x 1+x 0=，x 1x 0=，y 1y 0==，=x 1x 0﹣y 1y 0，从而可得=，设5﹣2x 0=t ，进而可确定的取值范围．【解答】（1）解：∵以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切，∴b=，∵椭圆的离心率为，∴∴，∴，∴椭圆C 的方程为（2）证明：设A （x 0，y 0），B （x 0，﹣y 0）将直线PB ：y=代入椭圆，可得[3+]x 2﹣+﹣12=0设E （x 1，y 1），则x 1+x 0===∴，∴y 1=∴直线AE ：化简可得∴直线AE 与x 轴相交于定点Q ：（1，0）（3）解：由（2）知x 1+x 0=，x 1x 0=，y 1y 0==∵=x 1x 0﹣y 1y 0，∴=﹣=设5﹣2x 0=t ，∵x 0∈（﹣2，2），∴t ∈（1，9）∴=﹣+∵t ∈（1，9），∴∴（﹣4，]20．已知正数数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a n 2=S n +S n ﹣1（n ≥2），a 1=1．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n =（1﹣a n ）2﹣a （1﹣a n ），若b n+1＞b n 对任意n ∈N *恒成立，求实数a 的取值范围．【考点】数列与不等式的综合；数列递推式．【分析】（1）由 a n 2=S n +S n ﹣1（n ≥2），可得a n ﹣12=S n ﹣1+S n ﹣2 （n ≥3）．两式相减可得 a n ﹣a n ﹣1=1，再由a 1=1，可得{a n }的通项公式．（2）根据{a n }的通项公式化简b n 和b n+1，由题意可得b n+1﹣b n =2n+a ﹣1＞0恒成立，故a ＞1﹣2n 恒成立，而1﹣2n 的最大值为﹣1，从而求得实数a 的取值范围．【解答】解：（1）∵a n 2=S n +S n ﹣1（n ≥2），∴a n ﹣12=S n ﹣1+S n ﹣2 （n ≥3）．两式相减可得a n 2 ﹣a n ﹣12=S n ﹣s n ﹣2=a n +a n ﹣1， ∴a n ﹣a n ﹣1=1，再由a 1=1，∴正数数列{an}是以1为首项，以1为公差的等差数列，∴an=n．（2）∵bn =（1﹣an）2﹣a（1﹣an），∴bn+1=（1﹣an+1）2﹣a（1﹣an+1）．即bn =（1﹣n）2﹣a（1﹣n）=n2+（a﹣2）n+1﹣a，bn+1=[1﹣（n+1）]2﹣a[1﹣（n+1）]=n2+an．故bn+1﹣bn=2n+a﹣1，再由bn+1＞bn对任意n∈N*恒成立可得2n+a﹣1＞0恒成立，故a＞1﹣2n恒成立．而1﹣2n的最大值为1﹣2=﹣1，故a＞﹣1，即实数a的取值范围（﹣1，+∞）．。

2016-2017学年浙江省杭州市高三(上)期末数学试卷

2016-2017学年浙江省杭州市高三（上）期末数学试卷一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）若集合A={x||x﹣1|≤1}，B={﹣2，﹣1，0，1，2}，则集合A∩B=（）A．{0，2}B．{﹣2，2}C．{0，1，2}D．{﹣2，﹣1，0}2．（4分）命题“|x|+|y|≠0”是命题“x≠0或y≠0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（4分）有五条线段长度分别为1、3、5、7、9，从这5条线段中任取3条，则所取3条线段能构成一个三角形的概率为（）A．B．C．D．4．（4分）设复数ω=﹣+i，则1+ω=（）A．﹣ω B．ω2C．D．5．（4分）已知直线2x+y﹣2=0经过椭圆的上顶点与右焦点，则椭圆的方程为（）A．B．C．D．6．（4分）已知x1＞0，x2＞0，x1+x2＜ex1x2（e为自然对数的底数），则（）A．x1+x2＞1 B．x1+x2＜1 C．+＜D．+＞7．（4分）设O是△ABC的内心，AB=c，AC=b，若，则（）A．B．C．D．8．（4分）若不等式（ax+3）（x2﹣b）≤0对任意的x∈[0，+∞）恒成立，则（）A．ab2=9 B．a2b=9，a＜0 C．b=9a2，a＜0 D．b2=9a9．（4分）在△ABC中，AC=5，+﹣=0，则BC+AB=（）A．6 B．7 C．8 D．910．（4分）设函数f（x）=ax2+bx+c（a＞b＞c）的图象经过点A（m1，f（m1））和点B（m2，f（m2）），f（1）=0，若a2+（f（m1）+f（m2）•a+f（m1）•f（m2）=0，则（）A．b≥0 B．b＜0 C．3a+c≤0 D．3a﹣c＜0二、填空题（本大题共7小题，第11-14题每小题6分，15-17题每小题6分，共36分）11．（6分）lg2+lg5=；=．12．（6分）已知双曲线，则其渐近线方程为，离心率为．13．（6分）已知随机变量ξ的分布列为：若，则x+y=，D（ξ）=．14．（6分）设函数f（x）=xlnx，则点（1，0）处的切线方程是；函数f （x）=xlnx的最小值为．15．（4分）在（x﹣）2006的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，当x=时，S等于．16．（4分）若实数x，y满足，则由点P（2x﹣y，x+y）形成的区域的面积为．17．（4分）设函数f（x）=2ax2+2bx，若存在实数x0∈（0，t），使得对任意不为零的实数a，b均有f（x0）=a+b成立，则t的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共74分）18．（14分）设．（1）求函数f（x）的最小正周期与值域；（2）设△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A为锐角，，若f（A）=1，求A，b．19．（15分）在平面直角坐标系内，点A（0，1），B（0，﹣1），C（1，0），点P 满足．（1）若k=2，求点P的轨迹方程；（2）当k=0时，若，求实数λ的值．20．（15分）设函数．（1）证明：；（2）证明：．21．（15分）已知P，Q为椭圆上的两点，满足PF2⊥QF2，其中F1，F2分别为左右焦点．（1）求的最小值；（2）若，设直线PQ的斜率为k，求k2的值．22．（15分）设数列{a n}满足．（1）证明：；（2）证明：．2016-2017学年浙江省杭州市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）若集合A={x||x﹣1|≤1}，B={﹣2，﹣1，0，1，2}，则集合A∩B=（）A．{0，2}B．{﹣2，2}C．{0，1，2}D．{﹣2，﹣1，0}【分析】求出A中绝对值不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：﹣1≤x﹣1≤1，解得：0≤x≤2，即A=[0，2]，∵B={﹣2，﹣1，0，1，2}，∴A∩B={0，1，2}，故选：C．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（4分）命题“|x|+|y|≠0”是命题“x≠0或y≠0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合逆否命题的等价性进行判断即可．【解答】解：命题的等价形式：若x=0且y=0，则|x|+|y|=0，则为真命题，反之若|x|+|y|=0，则若x=0且y=0，即若x=0且y=0是|x|+|y|=0，成立的充要条件，则命题“|x|+|y|≠0”是命题“x≠0或y≠0”的充要条件，故选：C．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据逆否命题的等价性进行转化是解决本题的关键．3．（4分）有五条线段长度分别为1、3、5、7、9，从这5条线段中任取3条，则所取3条线段能构成一个三角形的概率为（）A．B．C．D．【分析】由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件是从五条线段中取三条共有C53种结果，而满足条件的事件是3、5、7；3、7、9；5、7、9，三种结果，根据古典概型公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生包含的所有事件是从五条线段中取三条共有C53种结果，而满足条件的事件是3、5、7；3、7、9；5、7、9，三种结果，∴由古典概型公式得到P==，故选：B．【点评】本题考查古典概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题可以列举出所有事件，概率问题同其他的知识点结合在一起，实际上是以概率问题为载体，主要考查的是另一个知识点．4．（4分）设复数ω=﹣+i，则1+ω=（）A．﹣ω B．ω2C．D．【分析】本题是关于这个特殊的复数的运算，它的相反数，平方，负倒数，共轭复数，平方的导数之间的关系，应该熟练掌握，并且应该记住这些量之间的关系．【解答】解：∵复数ω=﹣+i，∴1+ω=1+（﹣）=，根据ω的特点得到结果，故选：C．【点评】本题考查特殊复数的运算，借助于加减乘除运算可以得到结论，复数的加减乘除运算是比较简单的问题，在高考时有时会出现，若出现则是要我们一定要得分的题目．5．（4分）已知直线2x+y﹣2=0经过椭圆的上顶点与右焦点，则椭圆的方程为（）A．B．C．D．【分析】求出直线与坐标轴的解交点，推出椭圆的a，b，即可得到椭圆方程．【解答】解：直线2x+y﹣2=0经过椭圆的上顶点与右焦点，可得c=1，b=2，可得a=，则椭圆的方程为：．故选：A．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．6．（4分）已知x1＞0，x2＞0，x1+x2＜ex1x2（e为自然对数的底数），则（）A．x1+x2＞1 B．x1+x2＜1 C．+＜D．+＞【分析】推导出（x1+x2）（）≥4，＜e，由此能推导出＞1．【解答】解：∵x1＞0，x2＞0，x1+x2＜ex1x2（e为自然对数的底数），∴==＜e，而（x1+x2）（）=1++1≥2+2=4．即（x1+x2）（）≥4，又＜e，∴＞1．故选：A．【点评】本题考查有理数指数幂，是中档题，解题时要认真审题，注意有理数指数幂性质、运算法则的合理运用．7．（4分）设O是△ABC的内心，AB=c，AC=b，若，则（）A．B．C．D．【分析】利用O为△ABC内角平分线的交点，则有a×+b×+c×=0，再利再利用三角形中向量之间的关系，将等式变形为=+，利用平面向量基本定理即可解．【解答】解：设O是△ABC的内心，AB=c，AC=b，则a×+b×+c×=0，∴a×+b×（+）+c×（+）=0，∴（a+b+c）=b+c，∴=+，∵，∴λ1=，λ2=，∴=故选：A．【点评】本题考查向量知识，考查平面向量基本定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．8．（4分）若不等式（ax+3）（x2﹣b）≤0对任意的x∈[0，+∞）恒成立，则（）A．ab2=9 B．a2b=9，a＜0 C．b=9a2，a＜0 D．b2=9a【分析】设f（x）=ax+3，g（x）=x2﹣b，分别讨论a=0，b=0时的情况，结合图象判断即可．【解答】解：∵（ax+3）（x2﹣b）≤0对任意x∈[0，+∞）恒成立，∴当x=0时，不等式等价为﹣3b≤0，即b≥0，当x→+∞时，x2﹣b＞0，此时ax+3＜0，则a＜0，设f（x）=ax+3，g（x）=x2﹣b，若b=0，则g（x）=x2＞0，函数f（x）=ax+3的零点为x=﹣，则函数f（x）在（0，﹣）上f（x）＞0，此时不满足条件；若a=0，则f（x）=3＞0，而此时x→+∞时，g（x）＞0不满足条件，故b＞0；∵函数f（x）在（0，﹣）上f（x）＞0，则（﹣，+∞））上f（x）＜0，而g（x）在（0，+∞）上的零点为x=，且g（x）在（0，）上g（x）＜0，则（，+∞）上g（x）＞0，∴要使（ax+3）（x2﹣b）≤0对任意x∈[0，+∞）恒成立，则函数f（x）与g（x）的零点相同，即﹣=，∴a2b=9，故选：B．【点评】本题考查了构造方法、考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．9．（4分）在△ABC中，AC=5，+﹣=0，则BC+AB=（）A．6 B．7 C．8 D．9【分析】作△ABC的内切圆，设O为圆心，r为半径，圆O与三边AB、BC、AC的切点依次为D、E、F，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF．则tan=，tan=，tan=，再由已知条件求出AC=5BD，进一步求出BD的值，则BC+AB的答案可求．【解答】解：作△ABC的内切圆，设O为圆心，r为半径，圆O与三边AB、BC、AC的切点依次为D、E、F，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF．则tan=，tan=，tan=．∵+﹣=0，∴，∴AF+CF=5BD，即AC=5BD，又∵AC=5，∴BD=1，∴BE=BD=1，∴BC+AB=（BE+CE）+（BD+AD）=（CE+AD）+（BE+BD）=AC+2BD=7．故选：B．【点评】本题考查了三角函数的化简求值，作出△ABC的内切圆是解本题的关键，属于中档题．10．（4分）设函数f（x）=ax2+bx+c（a＞b＞c）的图象经过点A（m1，f（m1））和点B（m2，f（m2）），f（1）=0，若a2+（f（m1）+f（m2）•a+f（m1）•f（m2）=0，则（）A．b≥0 B．b＜0 C．3a+c≤0 D．3a﹣c＜0【分析】分别判断出a＞0，c＜0，根据b2﹣4a（a+c）=b（b+4a）=b（3a﹣c）≥0，求出3a﹣c＞0，从而判断出b≥0．【解答】解：∵函数f（x）=ax2+bx+c（a＞b＞c），满足f（1）=0，∴a+b+c=0．若a≤0，∵a＞b＞c∴b＜0，c＜0，则有a+b+c＜0，这与a+b+c=0矛盾，∴a＞0成立．若c≥0，则有b＞0，a＞0，此时a+b+c＞0，这与a+b+c=0矛盾，∴c＜0成立．∵a2+[f（m1）+f（m2）]•a+f（m1）•f（m2）=0∴[a+f（m1）]•[a+f（m2）]=0，∴m1，m2是方程f（x）=﹣a的两根∴△=b2﹣4a（a+c）=b（b+4a）=b（3a﹣c）≥0而a＞0，c＜0∴3a﹣c＞0，∴b≥0．故选：A．【点评】本题考查了二次函数的性质，考查转化思想，是一道中档题．二、填空题（本大题共7小题，第11-14题每小题6分，15-17题每小题6分，共36分）11．（6分）lg2+lg5=1；=1．【分析】根据指数幂和对数运算性质计算即可．【解答】解：lg2+lg5=lg（2×5）=lg10=1，=3﹣=3﹣2=1，故答案为：1，1【点评】本题考查了指数幂和对数运算性质，属于基础题．12．（6分）已知双曲线，则其渐近线方程为，离心率为．【分析】根据双曲线方程为标准方程，求得a，b，c，从而可求双曲线的几何性质．【解答】解：双曲线的标准方程得：，∴a=2，b=1，∴c2=a2+b2=5，∴c=∴则其渐近线方程为，离心率：，故答案为：；．【点评】本题以双曲线方程为载体，考查双曲线的标准方程，考查双曲线的几何性质，属于基础题．13．（6分）已知随机变量ξ的分布列为：若，则x+y=，D（ξ）=．【分析】由题意可得：x+y+=1，﹣1×x+0+1×+2y=，解得x，y．再利用D（ξ）计算公式即可得出．【解答】解：由题意可得：x+y+=1，﹣1×x+0+1×+2y=，解得x=，y=．∴D（ξ）=×+×+×+=．故答案为：，【点评】本题考查了随机变量的分布列与数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．（6分）设函数f（x）=xlnx，则点（1，0）处的切线方程是x﹣y﹣1=0；函数f（x）=xlnx的最小值为﹣．【分析】求出函数的导数，求出切点的导数，得到曲线的斜率，然后求解切线方程；利用导数判断函数的单调性求解函数的最小值即可．【解答】解：求导函数，可得y′=lnx+1x=1时，y′=1，y=0∴曲线y=xlnx在点x=1处的切线方程是y=x﹣1即x﹣y﹣1=0．令lnx+1=0，可得x=，x∈（0，），函数是减函数，x＞时函数是增函数；所以x=时，函数取得最小值：﹣．故答案为：x﹣y﹣1=0；﹣．【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，函数的单调性以及最值的求法，求出切线的斜率是关键，15．（4分）在（x﹣）2006的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，当x=时，S等于﹣23008．【分析】利用二项式定理将二项式展开，令x分别取，﹣得到两个等式，两式相减，化简即得．【解答】解：设（x﹣）2006=a0x2006+a1x2005+…+a2005x+a2006则当x=时，有a0（）2006+a1（）2005+…+a2005（）+a2006=0（1）当x=﹣时，有a0（）2006﹣a1（）2005+…﹣a2005（）+a2006=23009（2）（1）﹣（2）有a1（）2005+…+a2005（）=﹣23009¸即2S=﹣23009则S=﹣23008故答案为：﹣23008．【点评】本题考查二项式定理的展开式形式及赋值法求系数和．16．（4分）若实数x，y满足，则由点P（2x﹣y，x+y）形成的区域的面积为1．【分析】令2x﹣y=a，x+y=b将x，y用a，b表示，代入变量x，y满足，然后画出区域，利用三角形面积公式计算出面积即可【解答】解：设，；代入x，y的关系式得：易得阴影面积S=×2×1=1；故答案为：1【点评】本题主要考查二元一次不等式组表示的几何意义，以及区域面积的度量，属于基础题．17．（4分）设函数f（x）=2ax2+2bx，若存在实数x0∈（0，t），使得对任意不为零的实数a，b均有f（x0）=a+b成立，则t的取值范围是（1，+∞）．【分析】对任意不为零的实数a，b均有f（x0）=a+b成立等价于（2x﹣1）b=（1﹣2x2）a，分x=或x≠两种情况讨论，即可求出t的范围．【解答】解：f（x）=a+b成立等价于（2x﹣1）b=（1﹣2x2）a，当x=时，左边=0，右边≠0，不成立，当x≠时，（2x﹣1）b=（1﹣2x2）a等价于=，设k=2x﹣1，则x=，则===（﹣k﹣2），∵x∈（0，t），（t＜），或x∈（0，）∪（，t），（t＞），∴k∈（﹣1，2t﹣1），（t＜），或k∈（﹣1，0）∪（0，2t﹣1），（t＞），（*）∵∀a，b∈R，∴=（﹣k﹣2），在（*）上有解，∴（﹣k﹣2），在（*）上的值域为R，设g（k）=（﹣k）﹣1，则g（k）在（﹣∞，0），（0，+∞）上单调递减，∴，解得t＞1，故答案为：（1，+∞）【点评】本题考查了函数的单调性的应用，关键是构造函数，属于难题．三、解答题（本大题共5小题，共74分）18．（14分）设．（1）求函数f（x）的最小正周期与值域；（2）设△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A为锐角，，若f（A）=1，求A，b．【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f （x）=sin（2x ﹣）（x∈R），利用正弦函数的性质即可求解．（2）由题意可得sin（2A﹣）=1．由A为锐角，可求2A﹣∈（﹣，），利用正弦函数的性质可求A的值，进而利用余弦定理解得b的值．【解答】（本题满分14分）解：（1）化简得：f （x）=sin（2x﹣）（x∈R），所以最小正周期为π，值域为[﹣1，1]．…（7分）（2）因为f （A）=sin（2A﹣）=1．因为A为锐角，所以2A﹣∈（﹣，），所以2A﹣=，所以A=．由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，得b2﹣4b+4=0．解得b=2．…（14分）【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，利用正弦函数的性质，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．19．（15分）在平面直角坐标系内，点A（0，1），B（0，﹣1），C（1，0），点P 满足．（1）若k=2，求点P的轨迹方程；（2）当k=0时，若，求实数λ的值．【分析】（I）设P（x，y），求出=（x，y﹣1），=（x，y+1），=（x﹣1，y）．通过k=2，，化简求解点P的轨迹方程即可．（II）通过k=0，推出，得到x2+y2=1．化简|λ+|2=（2﹣2λ2）y+2λ2+2（y∈[﹣1，1]）．然后求解表达式的最值即可．【解答】（本题满分15分）解：（I）设P（x，y），则=（x，y﹣1），=（x，y+1），=（x﹣1，y）．因为k=2，所以，所以（x，y﹣1）▪（x，y+1）=2[（x﹣1）2+y2]，化简整理，得（x﹣2）2+y2=1，故点P的轨迹方程为（x﹣2）2+y2=1．…（7分）（II）因为k=0，所以，所以x2+y2=1．所以|λ+|2=λ22+2=λ2[x2+（y﹣1）2]+x2+（y+1）2=（2﹣2λ2）y+2λ2+2（y∈[﹣1，1]）．当2﹣2λ2＞0时，即﹣1＜λ＜1，（|λ+|max）2=2﹣2λ2+2λ2+2=4≠16，不合题意，舍去；当2﹣2λ2≤0时，即λ≥1或λ≤﹣1时，（|λ+|max）2=2λ2﹣2+2λ2+2=16，解得λ=±2．…（8分）【点评】本题考查轨迹方程的求法，向量的综合应用，考查转化思想以及计算能力．20．（15分）设函数．（1）证明：；（2）证明：．【分析】（1）令g（x）=f （x）﹣x2+x﹣，化简求导，判断g（x）的单调性，求出最值即可得到结果．（2）求出导数，设h（x）=2x3+4x2+2x﹣1，求出h′（x）求出 f （x）max，结合（1）推出结果．【解答】（本题满分15分）证明：（1）令g（x）=f （x）﹣x2+x﹣，即g（x）=+x﹣，所以，所以g（x）在上递减，在上递增，所以g（x）≥=0，所以f （x）≥x2﹣x+．…（7分）（2）因为，x∈[0，1]，设h（x）=2x3+4x2+2x﹣1，h′（x）=6x2+8x+2，因为h（0）=﹣1，h（1）=7，所以存在x0∈（0，1），使得f′（x）=0，且f （x）在（0，x0）上递减，在（x0，1）上递增，所以f （x）max={ f （0），f （1）}=f （1）=．由（1）知，f （x）≥x2﹣x+=≥，又=，，所以＜f （x）≤．…（8分）【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．21．（15分）已知P，Q为椭圆上的两点，满足PF2⊥QF2，其中F1，F2分别为左右焦点．（1）求的最小值；（2）若，设直线PQ的斜率为k，求k2的值．【分析】（1）通过（O为坐标原点），推出，即可求的最小值．（2）利用OP⊥OQ．推出线段PQ中点的横坐标为．设直线PQ的方程为y=kx+b，联立直线与椭圆方程组，设P（x1，y1），Q（x2，y2），利用韦达定理，推出1+2k2=﹣4kb，①通过x1x2+y1y2=0，求出4k2b2+2k3b﹣2k2+3b2+kb﹣2=0，②，然后求解即可．【解答】（本题满分15分）解：（1）因为（O为坐标原点），显然，所以的最小值为2．…（5分）（2）由题意，可知OP⊥OQ．又F2P⊥F2Q，所以PQ是两个直角三角形POQ和PF2Q的公共斜边，即得线段PQ的中点到O，F2两点的距离相等，即线段PQ中点的横坐标为．设直线PQ的方程为y=kx+b，联立椭圆方程，得（1+2k2）x2+4kbx+2b2﹣2=0．设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=﹣．又因为x1+x2=1，所以1+2k2=﹣4kb，①另一方面，x1x2=，y1y2=．由x1x2+y1y2=0，得，即4k2b2+2k3b﹣2k2+3b2+kb﹣2=0，②由①②，得﹣20k4﹣20k2+3=0，解之得．…（15分）【点评】本题考查直线与椭圆位置关系的综合应用，向量在几何中的应用，考查转化思想以及计算能力．22．（15分）设数列{a n}满足．（1）证明：；（2）证明：．【分析】（1）依题意知a n＞0，故a n+1＞a n+＞a n，a k+1=a k+＜a k+，从而可得，累加可证结论成立；（2）分n=1与n≥2两类讨论，对于后者，利用放缩法即可证得（n ∈N*）．【解答】（本题满分15分）证明：（I）易知a n＞0，所以a n+1＞a n+＞a n，所以a k=a k+＜a k+，+1所以．所以，当n≥2时，=，所以a n＜1．又，所以a n＜1（n∈N*），＜1（n∈N*）．…（8分）所以a n＜a n+1（II）当n=1时，显然成立．由a n＜1，知，所以，所以，所以，所以，当n≥2时，=，即．所以（n∈N*）．…（7分）【点评】本题考查数列递推式，突出考查等放缩法证明不等式的应用，考查转化思想与推理运算能力，属于难题．。

2017年浙江省高考数学真题试题含答案

2017年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学本试题卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至4页。

满分150分。

考试用时120分钟。

考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置上。

2．答题时，请按照答题纸上―注意事项‖的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。

参考公式：球的表面积公式锥体的体积公式24S R =π13V Sh =球的体积公式其中S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高 343V R =π 台体的体积公式其中R 表示球的半径 1()3a b V h S S =柱体的体积公式其中S a ，S b 分别表示台体的上、下底面积 V =Shh 表示台体的其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知}11|{<<-=x x P ，}02{<<-=x Q ，则=Q P A ．)1,2(- B ．)0,1(- C ．)1,0(D ．)1,2(--【答案】A【解析】取Q P ,所有元素，得=Q P )1,2(-.2．椭圆22194x y +=的离心率是 A．3B．3C ．23D ．59【答案】B【解析】e ==，选B. 3．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是A ．π2+1 B ．π2+3 C ．3π2+1 D ．3π2+3 【答案】A 【解析】2π111π3(21)1322V ⨯=⨯⨯+⨯⨯=+，选A. 4．若x ,y 满足约束条件03020x x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则z =x +2y 的取值范围是A ．[0,6]B ．[0,4]C ．[6，+∞]D ．[4,+∞]【答案】D【解析】可行域为一开放区域，所以直线过点(2,1)时取最小值4，无最大值，选D. 5．若函数f (x )=x 2+ ax +b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M – mA ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关【答案】B【解析】因为最值在2(0),(1)1,()24a a fb f a b f b ==++-=-中取，所以最值之差一定与b无关，选B.6．已知等差数列[a n ]的公差为d ，前n 项和为S n ，则―d >0‖是―S 4 + S 6‖>2S 5的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】4652S S S d +-=，所以为充要条件，选C.7．函数y=f (x )的导函数()y f x '=的图像如图所示，则函数y=f (x )的图像可能是【答案】D【解析】原函数先减再增，再减再增，因此选D.8．已知随机变量ξ1满足P （1ξ=1）=p i ，P （1ξ=0）=1—p i ，i =1，2.若02D()ξ C ．1E()ξ>2E()ξ，1D()ξ<2D()ξD ．1E()ξ>2E()ξ，1D()ξ>2D()ξ8.【答案】A【解析】112212(),(),()()E p E p E E ξξξξ==∴<111222121212()(1),()(1),()()()(1)0D p p D p p D D p p p p ξξξξ=-=-∴-=---< ，选A.9．如图，已知正四面体D –ABC （所有棱长均相等的三棱锥），PQR 分别为AB ，BC ，CA 上的点，AP=PB ，2BQ CRQC RA==，分别记二面角D –PR –Q ，D –PQ –R ，D –QR –P 的平面较为α,β,γ，则A ．γ<α<βB ．α<γ<βC ．α<β<γD ．β<γ<α【答案】B【解析】设O 为三角形ABC 中心，则O 到PQ 距离最小，O 到PR 距离最大，O 到RQ 距离居中，而高相等，因此αγβ<<所以选B10．如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O ，记1·I OAOB ＝，2·I OB OC ＝，3·I OC OD ＝，则A ．I １,所以0(,O B OC O A OBO C O DOA⋅>>⋅>⋅<<选C非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

平面向量与极化恒等式练习题

平面向量与极化恒等式练习题1. （2017学年杭高高三上12月月考15）已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos 4cos 3b A a B ==，10c =，P 为ABC △内切圆上一点，则214b PA PB +⋅的取值范围是．2. （2018学年台州高一下期末17）已知平面向量a ，b ，c 满足：||6-=a b ，且()()5-⋅-=-a c b c ，则()⋅+c a b 的最小值为．3. （2020届义乌一模16）已知平面向量a ，b ，c 满足74⋅=a b ，3-=a b ，()()2--=-a c b c ，则c 的取值范围是．4. （2018学年杭州周边重点高三上期中16）已知平面向量a ，b ，c 满足2==a b ，a ，b 的夹角为3π，2240-⋅-⋅+=c a c b c ，则()+⋅a c b 的最大值为．5. （2019学年杭二高三上开学考8）如图，已知等腰梯形ABCD 中，24AB DC ==，AD BC ==E是DC 的中点，P 是线段BC 上的动点，则EP BP ⋅的最小值是（）A ．0B ．95-C ．45-D ．16. （2018学年上虞高三上期末17）向量a ，b ，c 满足()21==-=⋅+-=a b a b c a b c ，则-c a 的取值范围为．7. （2019届衢州五校联考16）在ABC △中，BC CA CA AB ⋅=⋅，2BA BC +=，且2,33ππB ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则BA BC ⋅的取值范围是．8. （2018届宁波十校5月模拟16）已知点M 为单位圆221x y +=上的动点，点O 为坐标原点，点A 在直线2x =上，则AM AO ⋅的最小值为．B9. （2018届浙江五校联考5）如图，设A 、B 是半径为2的圆O 边上的两个动点，点C 为AO 的中点，则CO CB ⋅的取值范围是 A ．[]1,3- B ．[]1,3 C ．[]3,1-- D ．[]3,1-10. （2019学年七彩阳光联盟高三上开学考17）已知向量,a b 满足4=a ，()t t -∈R b a 的最小值为1，当()⋅-b a b 最大时，2-=a b ．11. （2017学年杭二高三上期中16）在半径为1的扇形AOB 中，60AOB =︒∠，C 为弧AB 上的动点，AB与OC 交于点P ，则OP BP ⋅的最小值是．12. （2013浙江理7）设ABC △，0P 是边AB 上一定点，满足014P B AB =，且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B P C ⋅≥⋅，则（） A ．90ABC ∠=︒B ．90BAC ∠=︒C ．AB AC =D ．AC BC =13. （2019学年湖州高三上期末17）正方形ABCD 的边长为2，E ，M 分别为BC ，AB 的中点，点P 是以C 为圆心，CE 为半径的圆上的动点，点N 在正方形ABCD 的边上运动，则PM PN ⋅的最小值是．14. （2016学年9+1联盟高一下期中10）平面内三个非零向量()1,2,3a i i =满足12a a ⊥，11a a i i +-=（规定41a a =），则（） A ．()1min 0a a i i +⋅= B ．()1min 1a a i i +⋅=-C ．()1max 34a a i i +⋅=D ．()1max 23a a i i +⋅=15. （2016学年杭州高一下期末23）在ABC △中，P 在ABC △的三边上，MN 是ABC △外接圆的直径．若2AB =，3BC =，4AC =，则PM PN ⋅的取值范围是．16. （2020届浙江十校3月模拟16）已知平面向量a ，b 满足21+=a b ，且()1⋅-=a a b ，则-a b 的取值范围为．。

2017年高考浙江数学试题及答案(word解析版)

2017年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）【2017年浙江，1，4分】已知{|11}P x x =-<<，{20}Q x =-<<，则P Q =（）（A ）(2,1)- （B ）(1,0)- （C ）(0,1) （D ）(2,1)-- 【答案】A【解析】取,P Q 所有元素，得P Q =(2,1)-，故选A ．【点评】本题考查集合的基本运算，并集的求法，考查计算能力．（2）【2017年浙江，2，4分】椭圆22194x y +=的离心率是（）（A ）133 （B ）53 （C ）23 （D ）59【答案】B【解析】94533e -==，故选B ．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．（3）【2017年浙江，3，4分】某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是（）（A ）12π+ （B ）32π+（C ）312π+ （D ）332π+【答案】A【解析】由几何的三视图可知，该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，圆锥的底面圆的半径为1，三棱锥的底面是底边长2的等腰直角三角形，圆锥的高和棱锥的高相等均为3，故该几何体的体积为2111π3(21)13222V π⨯=⨯⨯+⨯⨯=+，故选A ．【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图得出原几何体的结构特征，是基础题目．（4）【2017年浙江，4，4分】若x ，y 满足约束条件03020x x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的取值范围是（）（A ）[]0,6 （B ）[]0,4（C ）[]6,+∞ （D ）[]4,+∞【答案】D【解析】如图，可行域为一开放区域，所以直线过点()2,1时取最小值4，无最大值，故选D ．【点评】本题考查线性规划的简单应用，画出可行域判断目标函数的最优解是解题的关键．（5）【2017年浙江，5，4分】若函数()2f x x ax b =++在区间[]01，上的最大值是M ，最小值是m ，则–M m （）（A ）与a 有关，且与b 有关（B ）与a 有关，但与b 无关（C ）与a 无关，且与b 无关（D ）与a 无关，但与b 有关【答案】B【解析】解法一：因为最值在2(0),(1)1,()24a a fb f a b f b ==++-=-中取，所以最值之差一定与b 无关，故选B ．解法二：函数()2f x x ax b =++的图象是开口朝上且以直线2a x =-为对称轴的抛物线，①当12a->或02a-<，即2a <-，或0a >时，函数()f x 在区间[]0,1上单调，此时()()10M m f f a -=-=，故M m -的值与a 有关，与b 无关；②当1122a ≤-≤，即21a -≤≤-时，函数()f x 在区间0,2a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递减，在,12a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递增，且()()01f f >，此时()2024a aM m f f ⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭，故M m -的值与a 有关，与b 无关；③当1022a ≤-<，即10a -<≤时，函数()f x 在区间0,2a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递减，在,12a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递增，且()()01f f <，此时()2024a a M m f f a ⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，故M m -的值与a 有关，与b 无关．综上可得：M m -的值与a 有关，与b 无关，故选B ．【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．（6）【2017年浙江，6，4分】已知等差数列[]n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则“0d >”是“4652S S S +>”的（）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由()46511210212510S S S a d a d d +-=+-+=，可知当0d >时，有46520S S S +->，即4652S S S +>，反之，若4652S S S +>，则0d >，所以“0d >”是“4652S S S +>”的充要条件，故选C ．【点评】本题借助等差数列的求和公式考查了充分必要条件，属于基础题．（7）【2017年浙江，7，4分】函数()y f x =的导函数()y f x '=的图像如图所示，则函数()y f x =的图像可能是（）（A ）（B ）（C ）（D ）【答案】D【解析】解法一：由当()0f x '<时，函数f x （）单调递减，当()0f x '>时，函数f x （）单调递增，则由导函数()y f x ='的图象可知：()f x 先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最后单调递增，排除A ，C ，且第二个拐点（即函数的极大值点）在x 轴上的右侧，排除B ，，故选D ．解法二：原函数先减再增，再减再增，且0x =位于增区间内，故选D ．【点评】本题考查导数的应用，考查导数与函数单调性的关系，考查函数极值的判断，考查数形结合思想，属于基础题．（8）【2017年浙江，8，4分】已知随机变量1ξ满足()11i P p ξ==，()101i P p ξ==-，1,2i =．若12102p p <<<，则（）（A ）12E()E()ξξ<，12D()D()ξξ<（B ）12E()E()ξξ<，12D()D()ξξ>（C ）12E()E()ξξ>，12D()D()ξξ< （D ）12E()E()ξξ>，12D()D()ξξ< 【答案】A【解析】112212(),(),()()E p E p E E ξξξξ==∴<111222()(1),()(1)D p p D p p ξξ=-=-，121212()()()(1)0D D p p p p ξξ∴-=---<，故选A ．【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望和方差等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．（9）【2017年浙江，9，4分】如图，已知正四面体–D ABC （所有棱长均相等的三棱锥），PQR分别为AB ，BC ，CA 上的点，AP PB =，2BQ CRQC RA==，分别记二面角––D PR Q ， ––D PQ R ，––D QR P 的平面较为α，β，γ，则（）（A ）γαβ<< （B ）αγβ<< （C ）αβγ<< （D ）βγα<< 【答案】B【解析】解法一：如图所示，建立空间直角坐标系．设底面ABC ∆的中心为O ．不妨设3OP =．则()0,0,0O ，()0,3,0P -，()0,6,0C -，()0,0,62D ，()3,2,0Q，()23,0,0R -，()23,3,0PR =-，()0,3,62PD =，()3,5,0PQ =，()33,2,0QR =--，()3,2,62QD =--．设平面PDR 的法向量为(),,n x y z =，则0n PR n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，可得23303620x y y z ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，可得()6,22,1n =-，取平面ABC 的法向量()0,0,1m =．则1cos ,15m n m n m n⋅==-，取1arccos 15α=．同理可得：3arccos 681β=． 2arccos95γ=．∵1231595681>>．∴αγβ<<．解法二：如图所示，连接OD OQ OR ，，，过点O 发布作垂线：OE DR ⊥，OF DQ ⊥，OG QR ⊥，垂足分别为E F G ，，，连接PE PF PG ，，．设OP h =．则cos ODR PDR S OES PE α∆∆==22OE OE h =+．同理可得：22cos OF OF PF OF h β==+c ，22cos OG OG PG OG hγ==+．由已知可得：OE OG OF >>．∴cos cos cos αγβ>>，αβγ，，为锐角．∴α＜γ＜β，故选B ．【点评】本题考查了空间角、空间位置关系、正四面体的性质、法向量的夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．（10）【2017年浙江，10，4分】如图，已知平面四边形ABCD ，AB BC ⊥，2AB BC AD ＝＝＝，3CD ＝，AC 与BD 交于点O ，记1·I OAOB ＝，2·I OB OC ＝，3·I OC OD ＝，则（）（A ）123I I I << （B ）132I I I << （C ）312I I I << （D ）223I I I <<【答案】C【解析】∵AB BC ⊥，2AB BC AD ===，3CD =，∴22AC =，∴90AOB COD ∠=∠>︒，由图象知OA OC <，OB OD <，∴0OA OB OC OD >⋅>⋅，0OB OC ⋅>，即312I I I <<，故选C ．【点评】本题主要考查平面向量数量积的应用，根据图象结合平面向量数量积的定义是解决本题的关键．第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．（11）【2017年浙江，11，4分】我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度。

浙江省杭州高级中学2017届高三第一学期期中考试试卷编辑

浙江省杭州高级中学2017届第一学期期中考试高三数学试题一、选择题 : 本大题共10小题, 每小题4分, 共40分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}x y x P -==3，{}2≥=x x Q ，则=Q P （）A.[]3,0B.[]3,2C.[)+∞,2D.[)+∞,3 2.已知双曲线:C )0(116222>=-a y ax 的一个焦点为)0,5(，则双曲线C 的渐近线方程为（） A.1234=±y x B.0414=±y x C.0916=±y x D.034=+y x3.某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该多面体的各条棱长中最长棱的长度为（）A.2B.3C.5D.74.若y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤-0302x y x y x ，则y x z +=2的最大值是（）A.3B.4C.5D.65.已知R c b a ∈,,，函数c bx ax x f ++=2)(，若)1()4()0(f f f >=，则下列结论中正确的是（）A.04,0=+>b a aB.04,0=+b a aD.02,0=+”是“数列{}n a 为递减数列”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件7.设随机变量ξ服从)31,6(~B ，则)2(=ξP 的值是（）A.24320B.72920C.24380D.729808.如图，在边长为2的正方形ABCD 中，F E 、分别为CD AD 、的中点，连接BF ，交CE AC 、于H G 、两点，记HF HE I GC GF I GB GA I ⋅=⋅=⋅=321,,，则321,,I I I 的大小关系是（）A.321I I I <<B.231I I I <<C.123I I I <<D.132I I I <<9. 方程1916-=+yy xx 的曲线即为函数)(x f y =的图象，对于函数)(x f y =，有如下结论：（1）)(x f 在R 上单调递减；（2）函数x x f x F 3)(4)(+=不存在零点；（3）函数)(x f y =的值域是R ；（4）)(x f 的图象不经过第一象限.其中正确的个数是（）A.1B.2C.3D.410.已知函数1)(1-=x x f ，131)(2+=x x f ，2)()(2)()()(2121x f x f x f x f x g -++=，若[]5,1,-∈b a ，且当[]b a x x ,,21∈时，0)()(2121>--x x x g x g 恒成立，则a b -的最大值为（） A.2 B.3 C.4 D.5二、填空题：本大题有7小题, 前4小题每小题6分,后3小题每题4分共36分. 请将答案填写在横线上.11.设复数i a z i a z 23,2321-=+=，其中i 是虚数单位，若12z z 为纯虚数，则实数=a ；=1z . 12.已知5)12)(23(xx x a x -+的展开式中的各项系数和为4，则实数=a ；2x 项的系数为 . 13.安排甲、乙、丙、丁、戊5名大学生去杭州、宁波、金华三个城市进行暑期社会实践，每个城市至少安排一人，则不同的安排方式共有种；其中学生甲被单独安排去金华的概率是 .14. 如图点O 是边长为1的等边三角形ABC 的边BC 中线AD 上一点，且OD AO 2=，过O 的直线交边AB 与M ，交边AC 与N ，记θ=∠AOM ，则θ的取值范围为；2211ON OM +的最小值为 .15.若直线034=+-a y x 与圆122=+y x 相切，则实数=a .16.已知数列{}n a 中，01>a ，且231n n a a +=+，若n n a a >+1对任意正整数n 恒成立，则1a 的取值范围是 . 17.若向量b a ,满足1422=+⋅+b b a a ，则b a +2的最大值为 .三、解答题：本大题共5小题，共74分。

嘉兴市2017届高三上学期期末考试数学试卷(WORD版)

市2016-2017学年第一学期高三数学期末试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．若复数z=11mii++（i是虚数单位）是实数，则实数m= （▲）A．1 B．2 C．12D．322．若a∈R，则“a＞0”是“1aa+≥2”的（▲）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件3．已知直线a，b和平面α，则下列命题正确的是（▲）A．若a∥b，b∥α，则a∥αB．a⊥b，b⊥α，则a∥αC．若a∥b，b⊥α，则a⊥αD．若a⊥b，b∥α，则a⊥α4．设数列{a n}是等差数列，且a2=﹣2，a8=6，数列{a n}的前n项和为S n，则S9= （▲）A．27 B．18 C．20 D．95．sin，cos，tan的大小关系为（▲）A．sin＜cos＜tan B．cos＜sin＜tanC．sin＜tan＜cos D．tan＜sin＜cos6．已知任意两个向量，不共线，若=+，=+2，=2﹣，=﹣，则下列结论正确的是（▲）A．A，B，C三点共线B．A，B，D三点共线C．A，C，D三点共线D．B，C，D三点共线7．下列函数中既是奇函数，又在区间[﹣1，1]上单调递增的是（▲）A．f（x）=12x-B．f（x）=sin（2x+）C．f（x）=3﹣x﹣3x D．f（x）=x+tanx 8．若，则a2= （▲）A．B．C．D．9．如图，△ABC中，AB=BC，∠ABC=120°，若以A，B为焦点的双曲线的渐近线经过点C，则该双曲线的离心率为（▲）A．B．C．D．10．已知a、b、c∈R，a＞b＞c，a+b+c=0，若实数x，y满足不等式组，则目标函数z=2x+y（▲）A．有最大值，无最小值B．无最大值，有最小值C．有最大值，有最小值D．无最大值，无最小值二、填空题（共7小题，多空题6分，单空题4分，满分36分）11．（6分）已知集合M={x||x﹣1|≤2}，N={x|2x＞1}，则M∩N=__▲____，M∪∁R N=__▲____．12．（6分）已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则此三棱锥的体积是▲cm3，表面积是▲cm2．13．（6分）已知α、β都是锐角，cosα=，cos（α+β）=﹣，则tanα=__▲______，cosβ=__▲______．14．（6分）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则恰好选到2名男生和1名女生的概率为，所选3人中至少有1名女生的概率为__▲______．15．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的两焦点为F1，F2，A，B分别是椭圆的左顶点和上顶点，若线段AB上存在点P，使PF1⊥PF2，则椭圆的离心率的取值围为___▲_____ ．16．若对于任意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a2]满足log a x+log a y=3，则实数a的取值围是__▲______．17．如图，已知E，F分别是形ABCD的边AB、CD的中点，现将形沿EF折成60°的二面角，则异面角直线AE与BF所成角的余弦值是__▲______ ．三、解答题（共5小题，满分74分）18．（14分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且=．（1）求角A的大小；（2）若a=，b=2c，求△ABC的面积．19．（15分）已知单调递增的等比数列{a n}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=a n•a n，S n=b1+b2+…+b n，求使S n+n•2n+1＞50成立的正整数n的最小值．20．（15分）如图，平面ABE⊥平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，∠CBA=90°，AD∥BC∥EF，△ABE为等边三角形，AB=2，BC=2，AD=4，EF=3（Ⅰ）求证：平面CDF⊥平面ABCD；（Ⅱ）求直线AF与平面CDF所成角的正切值．21．（15分）已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点．（Ⅰ）求F点坐标；（Ⅱ）试问在x轴上是否存在一点T（不与F重合），使∠ATF=∠BTF？若存在，求出T点坐标；若不存在，请说明理由．（Ⅲ）若P是抛物线上异于A，B的任意一点，l1是抛物线的准线，直线PA、PB分别交l1于点M、N，求证：•为定值，并求出该定值．22．（15分）已知函数f（x）=x﹣lnx，g（x）=．（1）求f（x）的最小值；（2）求证：f（x）＞g（x）；（3）若f（x）+ax+b≥0，求的最小值．2016-2017学年省市高三（上）期末数学试卷参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．A．2．C．3．C．4．B．5．C．6．B．7．D．8．C．9．D．10．C．二、填空题（共7小题，多空题6分，单空题4分，满分36分）11．{x|x≤3} ．12． 2 cm3，5+3+ cm2．13．tanα= 4 ，cosβ= ．14．，．15．．16．[2，+∞）．17．．三、解答题（共5小题，满分74分）18．【解答】解：（1）△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且==，化简可得b2+c2﹣a2=﹣bc，∴cosA==﹣，∴A=．（2）∵△ABC中，a=，b=2c，∴a2=b2+c2﹣2bc•cosA=5c2﹣4c•（﹣）=7，∴c=1，∴△ABC的面积为bc•sinA=•2•=．19．解：（1）设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q．依题意，有2（a3+2）=a2+a4，代入a2+a3+a4=28，可得a3=8，∴a2+a4=20，…（2分）即，解之得或…又∵数列{a n}单调递增，所以q=2，a1=2，∴数列{a n}的通项公式为a n=2n．…（6分）（2）因为，所以S n=﹣（1×2+2×22+…+n•2n），2S n=﹣[1×22+2×23+…+（n﹣1）•2n+n•2n+1]，两式相减，得S n=2+22+23+…+2n﹣n•2n+1=2n+1﹣2﹣n•2n+1．…（10分）要使S n+n•2n+1＞50，即2n+1﹣2＞50，即2n+1＞52．易知：当n≤4时，2n+1≤25=32＜52；当n≥5时，2n+1≥26=64＞52．故使S n+n•2n+1＞50成立的正整数n的最小值为5．…（12分）20．【解答】（Ⅰ）证明：如图所示，取AB，CD的中点H，G，连接GH，GF，EH，则HG∥AD∥BC ∥EF，∵BC=2，AD=4，∴HG=3，∵EF=3，∴EF=HG，∴四边形EFGH是平行四边形，∴FG∥EH∵△ABE为等边三角形，∴EH⊥AB，∵平面ABE⊥平面ABCD，平面ABE∩平面ABCD=AB，∴EH⊥平面ABCD，∴FG⊥平面ABCD，∵FG⊂平面CDF，∴平面CDF⊥平面ABCD；（Ⅱ）解：连接AG，由题意，可得CD=4，∠ADC=60°，∵AD=4，∴AG=，∴AG⊥GD，∵平面CDF⊥平面ABCD，平面CDF∩平面ABCD=CD∴AG⊥平面CDF，∴∠AFG为直线AF与平面CDF所成角，∵AG=，FG=3，∴tan∠AFG=，即直线AF与平面CDF所成角的正切值为．21．【解答】解：（Ⅰ）抛物线方程知F（1，0）；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线l的方程为x=my+1（m≠0），代入y2=4x得y2﹣4my﹣4=0，△=16m2+16＞0恒成立，假设存在T（a，0）满足题意，则k AT+k BT==0∴﹣8m+4m（1﹣a）=0，∴a=﹣1，∴存在T（﹣1，0）；（Ⅲ）设P（x0，y0），则直线PA的方程为：y﹣y1=当x=﹣1时，y=，即M点纵坐标为y M=，同理可得N点纵坐标为y N=．∴y M y N=×=∴═y M y N+（﹣1）•（﹣1）=﹣3为定值22．解答】（1）解：f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=1﹣=，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，令f′（x）＞0，解得：x＞1，∴f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，∴f（x）的最小值是f（1）=1；（2）证明：g（x）=，g′（x）=，令g′（x）＞0，解得：0＜x＜e，令g′（x）＜0，解得：x＞e，故g（x）在（0，e）递增，在（e，+∞）递减，故g（x）max=g（e）=，由（1）f（x）min=f（1）=1＞g（e）=，故f（x）＞g（x）；（3）解：f（x）+ax+b≥0，即x﹣lnx+ax+b≥0．∴b≥lnx﹣ax﹣x，令h（x）=lnx﹣ax﹣x，h′（x）==，若a+1≤0，则h′（x）＞0，h（x）为增函数，无最大值；若a+1＞0，由h′（x）＞0，得0＜x＜，由h′（x）＜0，得x＞，∴h（x）在（0，）上为增函数，在（）上为减函数，∴h（x）≤h（）=﹣1﹣ln（a+1）．∴b≥﹣1﹣ln（a+1），∴．设φ（a）=．则φ′（a）=，由φ′（a）＞0，得a＞e﹣1；由φ′（a）＜0，得﹣1＜a＜e﹣1．∴φ（a）≥φ（e﹣1）=．∴的最小值为．。

2017年高考浙江卷数学试题word

绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学本试题卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至4页。

满分150分。

考试用时120分钟。

考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置上。

2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。

参考公式：球的表面积公式锥体的体积公式24S R =π13V Sh =球的体积公式其中S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高 343V R =π台体的体积公式其中R 表示球的半径 1()3a b V h S S =柱体的体积公式其中S a ，S b 分别表示台体的上、下底面积 V =Shh 表示台体的学！科网高其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知}11|{<<-=x x P ，}02{<<-=x Q ，则=Q P A ．)1,2(-B ．)0,1(-C ．)1,0(D ．)1,2(--【答案】A【解析】取Q P ,所有元素，得=Q P )1,2(-.2．椭圆22194x y+=的离心率是A．133B．53C．23D．59【答案】B【解析】94533e-==，选B.3．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是A．π2+1 B．π2+3 C．3π2+1 D．3π2+3 【答案】A【解析】2π1211π3(21)1322V⨯=⨯⨯+⨯⨯=+，选A.4．若x,y满足约束条件3020xx yx y≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则z=x+2y的取值范围是A．[0,6] B．[0,4] C．[6，+∞]D．[4,+∞]【答案】D【解析】可行域为一开放区域，所以直线过点(2,1)时取最小值4，无最大值，选D. 5．若函数f(x)=x2+ ax+b在区间[0,1]上的最大值是M，最小值是m，则M–m A．与a有关，且与b有关B．与a有关，但与b无关C．与a无关，且与b无关D．与a无关，但与b有关【答案】B【解析】因为最值在2(0),(1)1,()24a a fb f a b f b ==++-=-中取，所以最值之差一定与b 无关，选B.6．已知等差数列[a n ]的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4 + S 6”>2S 5的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】4652S S S d +-=，所以为充要条件，选C.7．函数y=f (x )的导函数()y f x '=的图像如图所示，则函数y=f (x )的图像可能是【答案】D【解析】原函数先减再增，再减再增，因此选D.8．已知随机变量ξ1满足P （1ξ=1）=p i ，P （1ξ=0）=1—p i ，i =1，2.若02D()ξ C ．1E()ξ>2E()ξ，1D()ξ<2D()ξD ．1E()ξ>2E()ξ，1D()ξ>2D()ξ8.【答案】A 【解析】112212(),(),()()E p E p E E ξξξξ==∴<111222121212()(1),()(1),()()()(1)0D p p D p p D D p p p p ξξξξ=-=-∴-=---<，选A.9．如图，已知正四面体D –ABC （所有棱长均相等的三棱锥），PQR 分别为AB ，BC ，CA 上的点，AP=PB ，2BQ CRQC RA==，分别记二面角D –PR –Q ，D –PQ –R ，D –QR –P 的平面较为α,β,γ，则A ．γ<α<βB ．α<γ<βC ．α<β<γD ．β<γ<α【答案】B【解析】设O 为三角形ABC 中心，则O 到PQ 距离最小，O 到PR 距离最大，O 到RQ 距离居中，而高相等，因此αγβ<<所以选B10．如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O ，记1·I OA OB ＝，2·I OB OC ＝，3·I OC OD ＝，则A ．I １ ,所以0(,)OB OC OA OB OC OD OA OC OB OD ⋅>>⋅>⋅<< 选C非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

浙江省杭州高级中学2017届高三2月高考模拟考试数学试题Word版含答案

浙江省杭州高级中学 2017 届高三2月高考模拟考试第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合{}21110,24,,2x M x x N xx N +⎧⎫=-≤=<<∈⎨⎬⎩⎭则M N =（） A ．{}1,0- B ．{}1 C ．{}1,0,1- D ．{}02. 已知函数()()21121,13xx f x f x x ⎧-<≤⎪=⎨-+<≤⎪⎩，则函数()()()2g x f f x =-在区间(]1,3-上的零点个数是（）A ． 1B ．2C ． 3D ．4 3. 已知227xyA == ，且112x y+= ，则A 的值是( )A ． 7B ．．± D ． 984．设ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则“90C ∠>”的一个充分非必要条件是 ( )A ．222sin sin sin A B C ++- D ．sin A <cos B5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意正整数n ，13n n a S +=，则下列关于{}n a 的论断中正确的是（）A ．一定是等差数列B ．一定是等比数列C. 可能是等差数列，但不会是等比数列 D ．可能是等比数列，但不会是等差数列 6. 已知不等式组40410x y x y +-≤⎧⎨-+≤⎩所表示的平面区域为M ，不等式组23302230x y x y --≥⎧⎨+-≤⎩所表示的平面区域为N ，若M 中存在点在圆()()()222:310C x y r r -+-=>内，但N 中不存在点在圆内，则r 的取值范围是（）A ．⎛ ⎝⎦B ．⎝ C. ( D ．⎛ ⎝⎦ 7. 已知双曲线方程为()()()222210,0,0,,0,,x y a b A b C b a b -=>>-B 是双曲线的左顶点，F 是双曲线的左焦点，直线AB 与FC 相交于D ，若双曲线离心率为2，则BDF ∠的余弦值为( )A B 8．如图，点P 在正方体1111ABCD A BC D -的表面上运动，且P 到直线BC 与直线11C D 的距离相等，如果将正方体在平面内展开，那么动点P 的轨迹在展开图中的形状是（）A ．B ．C. D.第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（本大题有 7小题, 多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36分.把答案填答题卷的相应位置）9. 在等差数列{}n a 中，2145,12a a a =+=，则n a = ，设()211n n b n N a *=∈-，则数列{}n b 的前n 项的和n S = .10. 已知空间几何体的三视图如图所示 ,则该几何体的表面积是；几何体的体积是 .11．函数()()sin ,0,02y x x R ωϕωϕπ=+∈>≤<的部分图象如图，则函数表达式为；若将该函数向左平移 1个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12倍得到函数()g x = ．12.设圆2212x y +=与抛物线24x y =相交于,A B 两点，F 为抛物线的焦点，若过点F 且斜率为1的直线与抛物线和圆交于四个不同的点，从左至右依次为1234,,,P P P P ，则1234PP P P +的值，若直线m 与抛物线相交于,M N 两点，且与圆相切，切点D在劣弧AB 上，则MF NF +的取值范是． 13.设,,a b c 为正数，且123b ca ++=，则23223a bc ac ab +++的最大值为．14.在ABC ∆和AEF ∆中，B 是EF 的中点，1,6,AB EF BC CA ====2AB AE AC AF ⋅+⋅= ，则EF 与BC的夹角的余弦值等于．15. 如图，正四面体ABCD 的顶点C 在平面α内，且直线BC 与平面α所成角为15，顶点B 在平面α上的射影为点O ，当顶点A 与点O 的距离最大时，直线CD 与平面α所成角的正弦值为__________．三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16. 在ABC ∆中，,,a b c 分别为,,A B C ∆所对边，()4,2cos tan sin .2Ca b A A +=-= （1）求边长c 的值;（2）若E 为AB 的中点，求线段EC 的范围．17. 在矩形ABCD 中，AB AD ==，将ABD ∆沿BD 折起，使得点A 折起至A '，设二面角A BD C '--的大小为θ．（1）当90θ=时，求A C '的长；（2）当1cos 4θ=时，求BC 与平面A BD '所成角的正弦值．18.设函数()()23,2f x x ax a g x ax a =-++=-．（1）若函数()()()h x f x g x =-在[]2,0-上有两个零点，求实数a 的取值范围；（2）若存在0x R ∈，使得()00f x ≤与()00g x ≤同时成立，求实数a 的最小值． 19. 如图,焦点在x 轴的椭圆，离心率2e =，且过点A ()2,1-，由椭圆上异于点A 的P 点发出的光线射到A 点处被直线1y =反射后交椭圆于Q 点(Q 点与P 点不重合)．（1）求椭圆标准方程；（2）求证：直线PQ 的斜率为定值；（3）求OPQ ∆的面积的最大值．20. 数列{}n a 定义为10a >，11a a =，2112n n n a a a +=+，n N *∈ （1）若()1012a a a a =>+，求1210111222a a a ++++++ 的值；（2）当0a >时，定义数列{}n b ，()112k b a k =≥，11n b +=-数(),i j i j ≤，使得2112i j b b a a +=++．如果存在，求出一组(),i j ，如果不存在，说明理由．试卷答案一、选择题1-5: DCBBC 6-8:DCB二、填空题9.21n +44n n + 10.288π+ 124π+ 11. sin 44y x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭cos2y x π=12.222⎡⎤+⎣⎦13. 3 14. 2cos 3θ=三、解答题16. (1)22c a b c =+⇒=(2)方法一：易得()222214742a b CE b b a b +=-=-+=-又)13a c bb CE bc a+>⎧⇒<<∈⎨+>⎩方法二：以AB 所在直线为x 轴，中垂线为y 轴，则C 的轨迹方程是()221043x y y +=≠，三角代换，可得[)22cos33,4CE θ=+∈故)CE ∈17. （1）在图 1中，过A 作BD 的垂线交BD 于E ，交DC 于F ，则410AD AB AE BD ⋅===，从而2,1,8DE EF BE === 如图 2，以,DA DC 所在直线分别为,x y 轴，建立空间直角坐标系4A ⎫'⎪⎪⎝⎭，()CA C '==（2）当1cos 4θ=时，A F '由余弦定理知90A FE '∠=又易知BD ⊥平面A FE '，故有BD A F '⊥ 所以A F '⊥平面ABCD(A '故(DA '=，又()DB =求得A BD '的法向量()1n =又()CB =设BC 与平面A BD '成角为θ，111sin cos ,CB n CB n CB n θ⋅=<>==⋅18.（I ）由已知()()()22330h x f x g x x ax a =-=-++=在[]2,0-上有两个不同的实数解，所以()()22770033020412120h a h a a a a ⎧-=+≥⎪=+≥⎪⎨-≤≤⎪⎪∆=-->⎩，即120a a a a ⎧⎪≥-⎪⎪-≤≤⎨⎪⎪<>⎪⎩解得312a -≤<（II ）由已知，()()2000301202x ax a ax a ⎧-++≤⎪⎨-≤⎪⎩ ()()12+得203x a ≤-，得3a ≥，再由()2得02x ≤，由()1得()20013a x x -≥+，得01x >于是，问题等价于：3a ≥，且存在(]01,2x ∈满足20030x ax a -++≤令(]010,1t x =-∈，2003421x a t x t+≥=++-因为 ()42t t tϕ=++ 在(]0,1 上单调递减，所以 ()()17t ϕϕ≥=，即 7a ≥ 故实数a 的最小值为 7.19. 解：（1）设椭圆方程为()222210,0x y a b a b+=>>，c e a ==，椭圆经过点()2,1- ∴椭圆方程为22163x y += （2）设直线AP 方程为 ()21y k x =++，则直线AQ 的方程为 ()21y k x =-++由2221163y kx k x y =++⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()()222124218840k x k k x k k +++++-=0∆>，设()11,P x y , 由()2,1A -可得()211224214422,1212k k k k x x k k -+--+-==++，222244224,1212k k k k P kk ⎛⎫--+-+∴ ⎪++⎝⎭ 同理可得222244224,1212k k k k Q k k ⎛⎫-++-- ⎪++⎝⎭ 2222222424121214424421212PQk k k kk k k k k k k k k ---+-++==--++--+-++（3）由（2）,设PQ 的方程为y x m =-+.由22163y x m x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩联立得：2234260x mx m -+-=,令0∆>，得33m -<<设()()1122,,,P x y Q x y ，则21212426,33m m x x x x -+=⋅=,()221699m PQ -∴=设原点O 到直线的距离为d ，则222m d =()222222919492OPQ m m S PQ d ∆-∴==≤当m =时，OPQ ∆20. ()()11212,22n n n n n na a a a a a +++==+ 所以11112n n n a a a +=-+ 故11112n n n a a a +=-+ 所以121011*********2222a a a a a a a a++++=-=-=+++ （2）由11n b +=-得11n b ++=()21112n n b b ++=+所以21112n n n b b b ++=+当1k b a =时，由212212b b b =+知22212k a b b =+ 又21112k k k a a a --=+，数列{}n a 递增，所以21k b a -= 类似地，321,k t k t b a b a --+==又21212a a a += ))2111112a a +==101a = 1012i j b b a a +=+所以111012k i k j a a a a -+-++=+存在正整数(),i j i j ≤，112,110k i k j -+=-+=11,9i k j k =-=-存在一组()(),11,9i j k k =--。

浙江省杭州市2017届高三上学期教学质量检测数学试题 Word版含答案

2016学年杭州市高三年级第一学期教学质量检测数学检测试卷选择题部分（共40分）一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.若集合}1|1||{≤-=x x A ，}2,1,0,1,2{--=B ，则集合=B A （）A. }2,0{B. }2,2{-C. }2,1,0{D. }0,1,2{-- 2.命题“0||||≠+y x ”是命题“0≠x 或0≠y ”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件3.有五条长度分别为1，3，5，7，9的线段，若从这五条线段中任取三条，则所取三条线段能构成一个三角形的概率为（） A.101 B. 103 C. 21 D. 1074.设复数i 2321+-=ω（其中i 是虚数单位），则=+ω1（） A. ω- B. 2ω C. ω1-D.21ω5.已知直线022=-+y x 经过椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 的上顶点与右焦点，则椭圆的方程为（）A. 14522=+y xB. 1422=+y x C. 14922=+y x D. 14622=+y x 6.已知21212100x ex x x x x <+>>，，（e 为自然对数的底数），则（） A. 121>+x x B. 121<+x x C.e x x 11121<+ D. ex x 11121>+7.设O 是ABC ∆的内心，b AC c AB ==，，若AC AB AO 21λλ+=，则（）A.c b =21λλB. c b =2221λλC. 2221b c =λλD. bc=2221λλ8.若不等式0))(3(2≤-+b x ax 对任意的),0(+∞∈x 恒成立，则（）A. 92=ab B. 092<=a b a ， C. 092<=a a b ， D. a b 92=9.在ABC ∆中，5=AC ，02tan52tan12tan1=-+B C A，则=+AB BC （）A. 6B. 7C. 8D. 910.设函数)()(2c b a c bx ax x f >>++=的图象经过点))(,(11m f m A 和点))(,(22m f m B ，0)1(=f .若0)()())()((21212=⋅+⋅++m f m f a m f m f a ，则（）A. 0≥bB. 0<bC. 03≤+c aD. 03<-c a 非选择题部分（共110分）二、填空题（本大题共7小题，第11-14题每小题6分，15-17题每小题4分，共36分） 11.=+5lg 2lg ________；313log 822-=________.12.双曲线1422=-y x 的渐近线方程是________，离心率是________. 13.已知随机变量ξ的分布列为：若3)(=ξE ，则=+y x ________，=)(ξD _________. 14.设函数x x x f ln )(=，则点)0,1(处的切线方程是________；函数x x x f ln )(=的最小值为_________.15.在2016)2(-x 的二项展开式中，含x 的奇次幂的项之和为S ，当2=x 时，=S ________.16.若实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-≤+-102012x y x y x ，则由点),2(y x y x P +-形成的区域的面积为_________.17.设函数bx ax x f 22)(2+=，若存在实数),0(0t x ∈，使得对任意不为零的实数b a ,均有b a x f +=)(0成立，则t 的取值范围是________.三、解答题（本大题共5小题，共74分）18.（本题满分14分）设)(21cos sin 3sin )(2R x x x x x f ∈-+=. （1）求函数)(x f 的最小正周期与值域；（2）设ABC ∆内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，A 为锐角，432==c a ，，若1)(=A f ，求b A ,.19.（本题满分15分）在平面直角坐标系内，点)01()1,0()1,0(，，，C B A -，点P 满足2||PC k BP AP =⋅.（1）若2=k ，求点P 的轨迹方程；（2）当0=k 时，若4||max =+BP AP λ，求实数λ的值.20.（本题满分15分）设函数]1,0[11)(2∈++=x x x x f ，. （1）证明：9894)(2+-≥x x x f ；（2）证明：23)(8168≤<x f .21.（本题满分15分）已知Q P ,为椭圆1222=+y x 上的两点，满足22QF PF ⊥，其中21,F F 分别为左右焦点.（1）求||21PF +的最小值；（2）若)()(2121QF QF PF PF +⊥+，设直线PQ 的斜率为k ，求2k 的值.22.（本题满分15分）设数列}{n a 满足)(312211*+∈+==N n na a a a n n n ，.（1）证明：)(11*+∈<<N n a a n n ；（2）证明：)(12*∈+≥N n n na n . 2016学年杭州市高三年级第一学期教学质量检测数学参考答案及评分标准二、填空题：（本大题共7小题，第11-14题，每小题6分，15-17每小题4分，共36分）11．1,1 12．y ＝±12x13．12，119 14．y ＝x －1；－1e15．－2302316．117．()1,+∞三、解答题：（本大题共5小题，共 74分）18．（本题满分14分）解：（I ）化简得：f (x )＝sin(2x －π6)（x ∈R ），所以最小正周期为π，值域为[－1,1]．………………………………7分（II ）因为f (A )＝sin(2A －π6)＝1．因为A 为锐角，所以2A －π6∈(－π6,5π6)，所以2A －π6＝π2，所以A ＝π3．由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得b 2－4b ＋4＝0．解得b ＝2． ………………………………7分19．（本题满分15分）解：（I ）设P (x ,y )，则AP ＝(x ,y －1)，BP ＝(x ,y ＋1)，PC＝(x －1,y )．因为k ＝2，所以 22||AP BP PC ⋅=，所以 (x ,y －1)▪(x ,y ＋1)＝2[(x －1)2＋y 2]，化简整理，得 (x －2)2＋y 2＝1，故点P 的轨迹方程为 (x －2)2＋y 2＝1．……………………………7分（II ）因为k ＝0，所以0AP BP ⋅=，所以 x 2＋y 2＝1．所以 |λAP ＋BP |2＝λ2AP 2＋BP 2＝λ2[x 2＋(y －1)2]＋x 2＋(y ＋1)2＝(2－2λ2) y ＋2λ2＋2（y ∈[－1,1]）．当2－2λ2＞0时，即－1＜λ＜1， (|λAP ＋BP|max )2＝2－2λ2＋2λ2＋2＝4≠16，不合题意，舍去；当2－2λ2≤0时，即λ≥1或λ≤－1时， (|λAP ＋BP|max )2＝2λ2－2＋2λ2＋2＝16，解得λ＝±2．………………………………8分 20．（本题满分15分）解：（I ）令g (x )＝f (x )－x 2＋49x －89，即g (x )＝11x +＋49x －89，所以22248521)(25)()=9(1)9(1)x x x x g x x x +--+'=++（，所以g (x )在102⎛⎫ ⎪⎝⎭，上递减，在112⎛⎫⎪⎝⎭，上递增，所以g (x )≥12g ⎛⎫⎪⎝⎭＝0，所以f (x )≥x 2－49x ＋89． ………………………………7分（II ）因为3222421()(1)x x x f x x ++-'=+，x ∈[0,1]，设h (x )＝2x 3＋4x 2＋2x －1，h ′(x )＝6x 2＋8x ＋2，因为h (0)＝－1，h (1)＝7，所以存在x 0∈(0,1)，使得f ′(x )＝0，且f (x )在(0, x 0)上递减，在(x 0,1)上递增，所以 f (x )max ＝{ f (0)，f (1)}＝f (1)＝32．由（I ）知，f (x )≥x 2－49x ＋89＝2268981x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≥6881，又12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝11126881>，277368=989181f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以6881＜f (x )≤32． ………………………………8分21．（本题满分15分）解: （I ）因为122PF PF PO +=（O 为坐标原点），显然min ||1PO =，所以12||PF PF +的最小值为2． ………………………………5分（II ）由题意，可知OP OQ ⊥．又22F P F Q ⊥，所以PQ 是两个直角三角形POQ 和PF 2Q 的公共斜边，即得线段PQ 的中点到O ，F 2两点的距离相等，即线段PQ 中点的横坐标为12．设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋b ，联立椭圆方程，得(1＋2k 2)x 2＋4kbx ＋2b 2－2＝0．设P (x 1,y 1)，Q (x 2,y 2)，则x 1＋x 2＝－2412kbk +．又因为 x 1＋x 2＝1，所以 1＋2k 2＝－4kb ，（1）另一方面，x 1x 2＝222212b k -+，y 1y 2＝222222212k b k kb b k -+++．由x 1x 2＋y 1y 2＝0，得2222222222201212b k b k kb b k k--+++=++，即 4k 2b 2＋2k 3b －2k 2＋3b 2＋kb －2＝0，（2）由（1）（2），得－20k 4－20k 2＋3＝0，解之得2k =10分 22．（本题满分15分）证明：（I ）易知a n ＞0，所以a n ＋1＞a n ＋22na n＞a n ，所以 a k ＋1＝a k ＋22k a k ＜a k ＋12k k a a k+，所以21111k k a a k+-<．所以，当n ≥2时，111121122111111111111()3[1]3[1()](1)1n n n n k k k k n k k a a a a a k k k k k ----====+=-->->-+=-+---∑∑∑∑ 13[11]111nn n =-+-=>--，所以a n ＜1．又1113a =<，所以a n ＜1（n ∈N *），所以 a n ＜a n ＋1＜1（n ∈N *）． ………………………………8分（II ）当n ＝1时，显然成立．由a n ＜1，知2122k k k k k a a a a a k k +=+<+，所以2121k k k a a k +>+，所以2211122221111k k k k k k k k k a k a a a a a a a a k k k k +++=+>+⋅=+++，所以211111k k a a k +->+，所以，当n ≥2时，111121111111111111111()33()1(1)1n n n n k k k k n k k a a a a a k k k k k ----====+=--<-<-=--+++∑∑∑∑ 1213(1)n n n +=--=，即21n na n >+．所以21n na n ≥+（n ∈N *）． ………………………………7分。

浙江省杭州市高三上学期期末数学试题

2017学年第一学期杭州市高三年级教学质量检测数学试题卷选择题部分（共40分）一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.设集合{||2|2}A x x =+≤，[0,4]B =，则()R C AB =（）A ．RB ．{0}C ．{|,0}x x R x ∈≠D ．∅2.双曲线2214y x -=的渐近线方程为（）A ．12y x =± B ．2y x =± C．y = D．y =3.设数列{}n a 的通项公式为*2()n a kn n N =+∈则“2k >”是“数列{}n a 为单调递增数列”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 4.若函数()f x 的导函数'()f x 的图像如图所示，则（）A ．函数()f x 有1个极大值，2个极小值B ．函数()f x 有2个极大值，2个极小值 C. 函数()f x 有3个极大值，1个极小值 D ．函数()f x 有4个极大值，1个极小值5.若直线y x =与曲线x m y e +=（m R ∈，e 为自然对数的底数）相切，则m =（） A ．1 B ．2 C.-1 D ．-26.设不等式组01y x y y mx ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，所表示的区域面积为()S m R ∈.若1S ≤，则（）A ．2m ≤-B ．20m -≤≤ C.02m <≤ D ．2m ≥7.设函数2()1x f x b a =+-（0a >且1a ≠）则函数()f x 的奇偶性（） A ．与a 无关，且与b 无关 B ．与a 有关，且与b 有关 C. 与a 有关，且与b 无关 D ．与a 无关，但与b 有关8.在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，90BAC ∠=︒，,D E 分别是,BC AB 的中点，AB AC ≠，且AC AD >.设PC 与DE 所成角为α，PD 与平面ABC 所成角为β，二面角P BC A --为γ，则（）A ．αβγ<<B ．αγβ<< C. βαγ<< D ．γβα<<9.设函数2()(,)f x x ax b a b R =++∈，记M 为函数|()|y f x =在[1,1]-上的最大值，N 为||||a b +的最大值.（）A ．若13M =，则3N =B ．若12M =，则3N = C.若2M =，则3N = D ．若3M =，则3N =10.在四边形ABCD 中，点,E F 分别是边,AD BC 的中点，设AD BC m ⋅=，AC BD n ⋅=.若AB =1EF =，CD = ）A ．21m n -=B ．221m n -= C. 21m n -= D ．221n m -=非选择题部分（共110分）二、填空题（本大题共7小题，第11-14题，每题6分，15-17每小题4分，共36分）11.设复数52z i=-（其中i 为虚数单位），则复数z 的实部为，虚部为．12.在一次随机试验中，事件A 发生的概率为p ，事件A 发生的次数为ξ，则期望E ξ= ，方差D ξ的最大值为．13.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，a =，3b =，sin 2sin C A =，则sin A = ；设D 为AB 边上一点，且2BD DA =，则BCD ∆的面积为． 14.如图是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为；表面积为．15.在二项式25()()ax a R x+∈的展开式中，若含7x 的项的系数为-10，则a = ．16.有红，黄，蓝三种颜色的小球（除颜色外均相同）各4只，都分别标有字母,,,A B C D ．任意取出4只，字母各不相同且三种颜色齐备的取法有种． 17.已知单位向量2,e e 的夹角为3π，设122a e e λ=+，则当0λ<时，||a λ+的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共74分）18.设向量(23sin ,cos )a x x =-，(cos ,2cos )b x x =，()1f x a b =⋅+. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若方程2()||()f x t t t R =-∈无实数解，求t 的取值范围.19.如图，在三棱锥A BCD -中，60BAC BAD DAC ∠=∠=∠=︒，2AC AD ==，3AB =.（Ⅰ）证明：AB CD ⊥；（Ⅱ）求CD 与平面ABD 所成角的正弦值. 20.设函数22()()1f x x R x =∈+. （Ⅰ）求证：2()1f x x x ≥-++；（Ⅱ）当[1,0]x ∈-时，函数()2f x ax ≥+恒成立，求实数a 的取值范围.21.已知椭圆22:132x y C +=，直线:(0)l y kx m m =+≠，设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点.（Ⅰ）若||m >，求实数k 的取值范围；（Ⅱ）若直线,,OA AB OB 的斜率成正等比数列（其中O 为坐标原点），求OAB ∆的面积的取值范围.22.设数列{}n a 满足13a =，2*1(1)20()nn n a a a n N +-++=∈. （Ⅰ）求证：1n a >；（Ⅱ）求证：12n n a a +<<；（Ⅲ）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：1222()233()23n n n S n -≤-≤-.试卷答案一、选择题1-5:CBABC 6-10:ADACD二、填空题11.2，1 12. p ；1413. 5；2 14. 3；315.-2 16. 36 17. (1,2)-三、解答题18.解：（Ⅰ）因为2()1cos 2cos 1f x a b x x x =⋅+=-+2sin(2)6x π=-，故()f x 的最小正周期为π.（Ⅱ）若方程2()||f x t t =-无解，则2max ||()2t t f x ->=，所以22t t ->或22t t -<-，由22t t ->解得2t >或1t <-；由22172()022t t t -+=-+>，故不等式22t t -<-无解，所以2t >或1t <-.19.解：（Ⅰ）∵60BAC CAD DAB ∠=∠=∠=︒，3AB =，2AC AD ==， ∴ABC ABD ∆∆≌，BC BD =.取CD 的中点M ，连接,AM BM ，则CD AM ⊥，CD BM ⊥，又AM BM M ⋂=，∴CD ⊥平面ABM ， ∴AB CD ⊥.（Ⅱ）在ABD ∆中，根据余弦定理，得2222cos607BD AB AD AB AD =+-⋅︒=，所以BD =1DE =，所以BE =AE =所以222AB BE AE =+，即AE BE ⊥. 方法一：设CD 到平面ABD 的距离为h ，CD 与平面ABD 所成的角为α，因为A BCD C ABD V V --=，即1133ABE ABD CD S h S ∆∆⋅=⋅，所以122132sin 602ABEABDCD S h S ∆∆⋅⋅===⋅⋅⋅︒，所以sin h CD α=，所以CD 与平面ABD. 方法二：则以AE 为z 轴，BE 为x 轴，CE 为y 轴，建立坐标系，则(0,1,0)A ，,(0,1,0)B -，C，D .所以(0,2,0)CD =-，(6,0,AB =，(0,1,AD =-. 设平面ABD 的法向量为(,,)m x y z ，则0y =-=⎪⎩，取m=，则cos ,CDm ==即CD 与平面ABD.20.解：（Ⅰ）原不等式等价于4310x x x --+≥，设43()1g x x x x =--+，所以322'()431(1)(41)g x x x x x x =--=-++，当(,1)x ∈-∞时，'()0g x <，()g x 单调递减；当(1,)x ∈+∞时，'()0g x >，()g x 单调递增. 又因为min ()(1)0g x g ==，所以()0g x >. 所以2()1f x x x ≥-++.（Ⅱ）当[1,0]x ∈-时，()2f x ax ≥+恒成立，即221xa x -≥+恒成立. 当0x =时，2201xx -=+；当[1,0)x ∈-时，而222111()x x x x --≤=++--，所以1a ≥.21.解：（Ⅰ）联立方程22132x y +=和y kx m =+，得222(23)6360k x kmx m +++-=，所以222(6)4(23)(36)0km k m ∆=-+->，所以2223m k <+，所以2233k +>，即213k >，解得k >或k <. （Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122623kmx x k-+=+，21223623m x x k -=+，设直线,OA OB 的斜率12,k k ，因为直线,,OA AB OB 的斜率成等比数列，所以2121212y y k k k x x ==，即21212()()kx m kx m k x x ++=，化简，得22236k k +=，即223k =.因为12|||AB x x -=，原点O 到直线AB的距离|h m ==，所以OAB S∆1||2AB h =⋅=2233(6)222m m +-=，当m =OA 或OB 的斜率不存在，等号取不到，所以2S ∈. 22.解：（Ⅰ）整理得121n n na a a +=+-，因为12111n n na a a +=+-≥>，故1n a >. （Ⅱ）又因为1223n n n a a a +-=+-(2)(1)nn na a a --=，因为1n a >，所以12n a +-与2n a -同号，所以12n a +-与12a -同号，因为12a >，所以12n a +>，那么1210n n na a a +-=-<，则1n n a a +<，所以12n n a a +<<. （Ⅲ）由（Ⅱ）知1(2)(1)2n n n n a a a a +---=，故12112n n na a a +-=--，因为112n a a +<<，所以111121123n a a <-≤-=，故1212223n n a a +-≤≤-，所以1112()2()23n n n a ++≤-≤，不等式三边同时求和，得122(1())23(1())23n n n S n -≤-≤-，所以1222()233()23n n n S n -≤-≤-.。

数学卷·2017届浙江省杭州市高三上学期教学质量检测(2017.01)

2016学年杭州市高三年级第一学期教学质量检测数学检测试卷选择题部分（共40分）一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.若集合}1|1||{≤-=x x A ，}2,1,0,1,2{--=B ，则集合=B A I （）A. }2,0{B. }2,2{-C. }2,1,0{D. }0,1,2{-- 2.命题“0||||≠+y x ”是命题“0≠x 或0≠y ”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件3.有五条长度分别为1，3，5，7，9的线段，若从这五条线段中任取三条，则所取三条线段能构成一个三角形的概率为（） A.101 B. 103 C. 21 D. 1074.设复数i 2321+-=ω（其中i 是虚数单位），则=+ω1（） A. ω- B. 2ω C. ω1-D.21ω5.已知直线022=-+y x 经过椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 的上顶点与右焦点，则椭圆的方程为（）A. 14522=+y xB. 1422=+y x C. 14922=+y x D. 14622=+y x 6.已知21212100x ex x x x x <+>>，，（e 为自然对数的底数），则（） A. 121>+x x B. 121<+x x C.e x x 11121<+ D. ex x 11121>+ 7.设O 是ABC ∆的内心，b AC c AB ==，，若AC AB AO 21λλ+=，则（）A.c b =21λλB. c b =2221λλC. 2221b c =λλD. bc =2221λλ 8.若不等式0))(3(2≤-+b x ax 对任意的),0(+∞∈x 恒成立，则（）A. 92=ab B. 092<=a b a ， C. 092<=a a b ， D. a b 92=9.在ABC ∆中，5=AC ，02tan52tan12tan1=-+B C A，则=+AB BC （）A. 6B. 7C. 8D. 910.设函数)()(2c b a c bx ax x f >>++=的图象经过点))(,(11m f m A 和点))(,(22m f m B ，0)1(=f .若0)()())()((21212=⋅+⋅++m f m f a m f m f a ，则（）A. 0≥bB. 0<bC. 03≤+c aD. 03<-c a 非选择题部分（共110分）二、填空题（本大题共7小题，第11-14题每小题6分，15-17题每小题4分，共36分） 11.=+5lg 2lg ________；313log 822-=________.12.双曲线1422=-y x 的渐近线方程是________，离心率是________. 13.已知随机变量ξ的分布列为：若3)(=ξE ，则=+y x ________，=)(ξD _________. 14.设函数x x x f ln )(=，则点)0,1(处的切线方程是________；函数x x x f ln )(=的最小值为_________.15.在2016)2(-x 的二项展开式中，含x 的奇次幂的项之和为S ，当2=x 时，=S ________.16.若实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-≤+-102012x y x y x ，则由点),2(y x y x P +-形成的区域的面积为_________.17.设函数bx ax x f 22)(2+=，若存在实数),0(0t x ∈，使得对任意不为零的实数b a ,均有b a x f +=)(0成立，则t 的取值范围是________.三、解答题（本大题共5小题，共74分）18.（本题满分14分）设)(21cos sin 3sin )(2R x x x x x f ∈-+=. （1）求函数)(x f 的最小正周期与值域；（2）设ABC ∆内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，A 为锐角，432==c a ，，若1)(=A f ，求b A ,.19.（本题满分15分）在平面直角坐标系内，点)01()1,0()1,0(，，，C B A -，点P 满足2||k =⋅.（1）若2=k ，求点P 的轨迹方程；（2）当0=k 时，若4||max =+BP AP λ，求实数λ的值.20.（本题满分15分）设函数]1,0[11)(2∈++=x x x x f ，. （1）证明：9894)(2+-≥x x x f ；（2）证明：23)(8168≤<x f .21.（本题满分15分）已知Q P ,为椭圆1222=+y x 上的两点，满足22QF PF ⊥，其中21,F F 分别为左右焦点.（1）求||21PF +的最小值；（2）若)()(2121QF PF +⊥+，设直线PQ 的斜率为k ，求2k 的值.22.（本题满分15分）设数列}{n a 满足)(312211*+∈+==N n n a a a a n n n ，.（1）证明：)(11*+∈<<N n a a n n ；（2）证明：)(12*∈+≥N n n na n . 2016学年杭州市高三年级第一学期教学质量检测数学参考答案及评分标准二、填空题：（本大题共7小题，第11-14题，每小题6分，15-17每小题4分，共36分）11．1,1 12．y ＝±12x13．12，119 14．y ＝x －1；－1e15．－2302316．117．()1,+∞三、解答题：（本大题共5小题，共 74分）18．（本题满分14分）解：（I ）化简得：f (x )＝sin(2x －π6)（x ∈R ），所以最小正周期为π，值域为[－1,1]．………………………………7分（II ）因为f (A )＝sin(2A －π6)＝1．因为A 为锐角，所以2A －π6∈(－π6,5π6)，所以2A －π6＝π2，所以A ＝π3．由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得b 2－4b ＋4＝0．解得b ＝2． ………………………………7分19．（本题满分15分）解：（I ）设P (x ,y )，则AP u u u r ＝(x ,y －1)，BP u u r＝(x ,y ＋1)，PC u u u r ＝(x －1,y )．因为k ＝2，所以 22||AP BP PC ⋅=u u u r u u r u u u r，所以 (x ,y －1)▪(x ,y ＋1)＝2[(x －1)2＋y 2]，化简整理，得 (x －2)2＋y 2＝1，故点P 的轨迹方程为 (x －2)2＋y 2＝1．……………………………7分（II ）因为k ＝0，所以0AP BP ⋅=u u u r u u r，所以 x 2＋y 2＝1．所以 |λAP u u u r ＋BP u u r |2＝λ2AP u u u r 2＋BP u u r2＝λ2[x 2＋(y －1)2]＋x 2＋(y ＋1)2＝(2－2λ2) y ＋2λ2＋2（y ∈[－1,1]）．当2－2λ2＞0时，即－1＜λ＜1， (|λAP u u u r ＋BP u u r|max )2＝2－2λ2＋2λ2＋2＝4≠16，不合题意，舍去；当2－2λ2≤0时，即λ≥1或λ≤－1时， (|λAP u u u r ＋BP u u r|max )2＝2λ2－2＋2λ2＋2＝16，解得λ＝±2．………………………………8分 20．（本题满分15分）解：（I ）令g (x )＝f (x )－x 2＋49x －89，即g (x )＝11x +＋49x －89，所以22248521)(25)()=9(1)9(1)x x x x g x x x +--+'=++（，所以g (x )在102⎛⎫⎪⎝⎭，上递减，在112⎛⎫ ⎪⎝⎭，上递增，所以g (x )≥12g ⎛⎫⎪⎝⎭＝0，所以f (x )≥x 2－49x ＋89． ………………………………7分（II ）因为3222421()(1)x x x f x x ++-'=+，x ∈[0,1]，设h (x )＝2x 3＋4x 2＋2x －1，h ′(x )＝6x 2＋8x ＋2，因为h (0)＝－1，h (1)＝7，所以存在x 0∈(0,1)，使得f ′(x )＝0，且f (x )在(0, x 0)上递减，在(x 0,1)上递增，所以 f (x )max ＝{ f (0)，f (1)}＝f (1)＝32．由（I ）知，f (x )≥x 2－49x ＋89＝2268981x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≥6881，又12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝11126881>，277368=989181f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以6881＜f (x )≤32． ………………………………8分21．（本题满分15分）解: （I ）因为122PF PF PO +=u u u r u u u u r u u u r（O 为坐标原点），显然min ||1PO =u u u r，所以12||PF PF +u u u r u u u r的最小值为2． ………………………………5分（II ）由题意，可知OP OQ ⊥．又22F P F Q ⊥，所以PQ 是两个直角三角形POQ 和PF 2Q 的公共斜边，即得线段PQ 的中点到O ，F 2两点的距离相等，即线段PQ 中点的横坐标为12．设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋b ，联立椭圆方程，得(1＋2k 2)x 2＋4kbx ＋2b 2－2＝0．设P (x 1,y 1)，Q (x 2,y 2)，则x 1＋x 2＝－2412kbk +．又因为 x 1＋x 2＝1，所以 1＋2k 2＝－4kb ，（1）另一方面，x 1x 2＝222212b k-+，y 1y 2＝222222212k b k kb b k -+++．由x 1x 2＋y 1y 2＝0，得2222222222201212b k b k kb b k k --+++=++，即 4k 2b 2＋2k 3b －2k 2＋3b 2＋kb －2＝0，（2）由（1）（2），得－20k 4－20k 2＋3＝0，解之得2k =．………………10分 22．（本题满分15分）证明：（I ）易知a n ＞0，所以a n ＋1＞a n ＋22na n＞a n ，所以 a k ＋1＝a k ＋22k a k ＜a k＋12k k a a k +，所以21111k k a a k+-<．所以，当n ≥2时，111121122111111111111()3[1]3[1()](1)1n n n n k k k k n k k a a a a a k k k k k ----====+=-->->-+=-+---∑∑∑∑ 13[11]111nn n =-+-=>--，所以a n ＜1．又1113a =<，所以a n ＜1（n ∈N *），所以 a n ＜a n ＋1＜1（n ∈N *）． ………………………………8分（II ）当n ＝1时，显然成立．由a n ＜1，知2122k k k k k a a a a a k k +=+<+，所以2121k k k a a k +>+，所以2211122221111k k k k k k k k k a k a a a a a a a a k k k k +++=+>+⋅=+++，所以211111k k a a k +->+，所以，当n ≥2时，111121111111111111111()33()1(1)1n n n n k k k k n k k a a a a a k k k k k ----====+=--<-<-=--+++∑∑∑∑ 1213(1)n n n +=--=，即21n na n >+．所以21n na n ≥+（n ∈N *）． ………………………………7分。

2017年12月杭高高三月考

杭高2017学年第一学期12月考高三数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知集合}421|{≤<=xx A ，)}1ln(|{-==x y x B ，则=B A （）A. }21|{<≤x xB. }21|{≤<x xC. }20|{≤<x xD. }20|{<≤x x 2.复数iiz -=1（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3.已知非零向量,，“b a //”是“)//(+”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 4.已知函数)(x f 的图像如图所示，则)(x f 的解析式可能是（） A. 3121)(x x x f --=B. 3121)(x x x f +-=C. 3121)(x x x f -+=D.3121)(x x x f ---= 5.已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），这个几何体的体积是（） A. 2cm 3 B. 4cm 3 C. 6cm 3 D. 12cm3（第5题图）（第7题图）6.某学校高三年级共有两个实验班，四个普通班，现每个班指定1人，对各班的卫生进行检查，若每班只安排一人检查，且实验班学生不检查实验班，则不同安排方法的种数是（） A. 360 B. 288 C. 168 D. 1447.如图，椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点为F ，过F 的直线交椭圆于B A ,两点，点C 是点A 关于原点的对称点，若AB CF ⊥，AB CF =，则椭圆的离心率为（）A.13- B. 32- C. 36- D.368.正实数z y x ,,满足ez x z ≤≤2且x z y z =ln （其中e 为自然对数的底数），则xyln 的取值范围是（） A. ),1[+∞ B. ]1,1[-e C. )1,(--∞e D. ]2ln 21,1[+9.已知3tan tan =βα，则)(cos 2018)cos()cos(2βαβαβα++-+的最大值是（） A. 2019 B. 2016 C. 1008 D. 50410.已知321,,x x x 是函数xx x x ax x f ln ln )(2--+=三个不同的零点，且321x x x <<，设)3,2,1(ln 1=-=i x x M i i i ，则=3221M M M （）A. 1B. 1-C. eD.e1 二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11.函数ax f x x -+=212)(是奇函数，则=a _______，使3)(>x f 成立的x 的取值范围为________.12.已知双曲线)0(122>=-m my x 的离心率是2，则=m ________；以该双曲线的右焦点为圆心且与其渐近线相切的圆的方程是________.13.已知函数x x x f cos sin )(-=，则)(x f 的值域是_______；设)(x f '是)(x f 的导函数，若)(21)(x f x f ='，则=+)42tan(πx ________.14.甲、乙、丙三人参加某次招聘会，若甲应聘成功的概率为94，乙、丙应聘成功的概率均为)30(3<<t t，且三人是否应聘成功是相互独立的.若甲、乙、丙都应聘成功的概率是8116，则t 的值是_______；设ξ表示甲、乙两人中被聘用的人数，则ξ的数学期望是________.15.已知ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若34cos cos ==B A a b ，10=c ，P 为ABC ∆内切圆上一点，则b ⋅+241的取值范围是_________. 16.设函数222)2(ln )()(a x a x x f -+-=，其中0>x ，R a ∈，存在0x 使得54)(0≤x f 成立，则实数a 的值为_______.17.已知b a y x ,,,是实数，满足12=-x xy ，0222=+++a bx ax xy ，则224b a +的最小值是________.三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18.（本题满分14分）已知函数x x x x f 22sin 32sin cos 3)(--=.（1）求函数)(x f 的单调递增区间；（2）若56)(0=x f ，]2,0[0π∈x ，求02cos x 的值.19.（本题满分15分）如图，四棱锥ABCD P -，底面ABCD 为菱形，⊥PA 平面ABCD ，2==AB PA ，E 为CD 的中点，3π=∠ABC .（1）求证：直线⊥AE 平面PAB ；（2）求直线AE 与平面PCD 所成角的正弦值.20.（本题满分15分）已知函数)1ln()(x xx f +=.（1）当0>x 时，证明：22)(+<x x f ；（2）如果不等式x x f kx +>+1)()1(对)(x f 定义域内一切值都成立，求实数k 的所有可能的值.21.（本题满分15分）已知抛物线)0(2:2>=p px y C 及x 轴上一点M ，过点M 的直线l 与抛物线C 交于B A ,两点.（1）若直线l 的倾斜角为43π，且p AB 2||≤，求点M 的横坐标的取值范围；（2）设||1||1BM AM t +=，若对给定的点M ，t 的值与直线l 位置无关，此时的点M 称为抛物线C 的“平衡点”，问抛物线C 的“平衡点”是否存在？若存在，求出所在“平衡点”坐标；若不存在，请说明理由.22.（本题满分15分）已知数列}{n a 中，11=a ，)(21*+∈+=N n a a a n n n .设)(2)21ln(1*-∈+=N n a b n n n . （1）求证：121)21(0++<-<n n n b b ；求证：)(1)23(115221221221221222321*∈--≤++++++++N n a a a a n n。