2016-2017学年人教A版必修四 平面向量的坐标运算 双基限时练
人教A版高中数学必修四平面向量的坐标运算(2)
►Suffering is the most powerful teacher of life. 苦难是人生最伟大的老师。 ►For man is man and master of his fate. 人就是人，是自己命运的主人。 ►A man can't ride your back unless it is bent. 你的腰不弯，别人就不能骑在你的背上。
,y 2
)
2
练习：
1、若M(3, 2), N(5, 1), 且 MP 1 MN ,
则点P的坐标为( B )
2
A．( 8， 1)
C．(1，
3 2
)
B．( 1， 3 )
2
D．(8，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1)
2、已知A(0，1)，B(1，2)，C(3，4)，则 AB 2BC __(__3_，____3_)__．
3
思考： 引进直角坐标系后，向量可
以用坐标表示．那么，怎样用坐 标反映两个向量的平行？如何用 坐标反映平面图形的几何关系？
4
3、向量平行的坐标表示: 设 a (x1, y1),b (x2, y2),其中b 0,
a // b 存在唯一实数，使 a b.
a b可 写 成
( x1, y1 ) ( x2 , y2 ),
即
此题中 当p1p pp2时，P点坐标如何呢
y P2
y P2
P P
P1
P1
O
x
O
x
(2)
11
说明：
本题证法较多，利于开阔我们 的思路，同时四种证法各有千秋， 证法二、证法三和证法四都是向量 中常用的方法，还有一定美感，而 证法四是最常用且最简单的一种方 法．
(完整版)必修四平面向量的坐标运算(附答案)
平面向量的坐标运算[学习目标] 1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来．知识点一 平面向量的坐标表示(1)向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．(2)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x ，y 使得a ＝x i ＋y j ，则有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，a ＝(x ，y )叫做向量的坐标表示．(3)向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若A (x ，y )，则OA →＝(x ，y )，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)．思考 根据下图写出向量a ，b ，c ，d 的坐标，其中每个小正方形的边长是1.答案 a ＝(2,3)，b ＝(－2,3)，c ＝(－3，－2)，d ＝(3，－3)．知识点二 平面向量的坐标运算(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和．(2)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差．(3)若a ＝(x ，y )，λ∈R ，则λa ＝(λx ，λy )，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．(4)已知向量AB →的起点A (x 1，y 1)，终点B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)．思考 已知a ＝OA →，b ＝OB →，c ＝OC →，如下图所示，写出a ，b ，c 的坐标，并在直角坐标系内作出向量a ＋b ，a －b 以及a －3c ，然后写出它们的坐标．答案易知：a ＝(4,1)，b ＝(－5,3)，c ＝(1,1)，OD →＝a ＋b ＝(－1,4)，BA →＝a －b ＝(9，－2)，OF →＝a －3c ＝(1，－2)．题型一 平面向量的坐标表示例1 已知边长为2的正三角形ABC ，顶点A 在坐标原点，AB 边在x 轴上，C 在第一象限，D 为AC 的中点，分别求向量AB →，AC →，BC →，BD →的坐标．解 如图，正三角形ABC 的边长为2，则顶点A (0,0)，B (2,0)，C (2cos 60°，2sin 60°)，∴C (1，3)，D (12，32)， ∴AB →＝(2,0)，AC →＝(1，3)，BC →＝(1－2，3－0)＝(－1，3)，BD →＝(12－2，32－0)＝(－32，32)．跟踪训练1 在例1的基础上，若E 为AB 的中点，G 为三角形的重心时，如何求向量CE →，AG →，BG →，GD →的坐标？解 由于B (2,0)，E (1,0)，C (1，3)，D (12，32)，G (1，33)， 所以CE →＝(1－1,0－3)＝(0，－3)，AG →＝(1，33)， BG →＝(1－2，33－0)＝(－1，33)， GD →＝(12－1，32－33)＝(－12，36)． 题型二 平面向量的坐标运算例2 已知平面上三点A (2，－4)，B (0,6)，C (－8,10)，求(1)AB →－AC →；(2)AB →＋2BC →；(3)BC →－12AC →. 解 ∵A (2，－4)，B (0,6)，C (－8,10)．∴AB →＝(0,6)－(2，－4)＝(－2,10)，AC →＝(－8,10)－(2，－4)＝(－10,14)，BC →＝(－8,10)－(0,6)＝(－8,4)．∴(1)AB →－AC →＝(－2,10)－(－10,14)＝(8，－4)．(2)AB →＋2BC →＝(－2,10)＋2(－8,4)＝(－18,18)．(3)BC →－12AC →＝(－8,4)－12(－10,14)＝(－3，－3)．跟踪训练2 已知a ＝(－1,2)，b ＝(2,1)，求：(1)2a ＋3b ；(2)a －3b ；(3)12a －13b . 解 (1)2a ＋3b ＝2(－1,2)＋3(2,1)＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)．(2)a －3b ＝(－1,2)－3(2,1)＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1)． (3)12a －13b ＝12(－1,2)－13(2,1) ＝⎝⎛⎭⎫－12，1－⎝⎛⎭⎫23，13＝⎝⎛⎭⎫－76，23.。
高中数学人教A版必修4课件：2.3.3 平面向量的坐标运算
解:(1)2a+3b=2(-1,2)+3(2,1)=(-2,4)+(6,3)=(4,7). (2)a-3b=(-1,2)-3(2,1)=(-1,2)-(6,3)=(-7,-1). (3) ������ − ������ = (−1,2) − (2,1) = - ,1 −
1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 2 1 , 3 3
题型一
题型二
题型三
题型四
题型四
易错辨析
易错点
忽略平行四边形顶点的不同排列顺序致错
【例 4】 设平行四边形三个顶点坐标为 A(0,0),B(0,b),C(a,c),求 第四个顶点 D 的坐标. 错解 :设第四个顶点的坐标为 D(x,y),如图 ,则 ������������ = (������ , ������), ������������ = (������ , ������ − ������), 由 ������������ = ������������ , 得(a,c)=(x,y-b). ������ = ������, ������ = ������, ∴ ������ = ������-������. ∴ ������ = ������ + ������, 即点 D 的坐标为(a,b+c)
= - ,
7 2 6 3
.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型二
用已知向量表示其他向量
【例 2】 若向量 a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),试用 a,b 表示 c. ������ + ������ = -1, 解:设 c=xa+yb,则(-1,2)=(x,x)+(y,-y)=(x+y,x-y),∴ ������-������ = 2. 解得 ������ = , ������ = - .
高一数学人教A版必修四教案：2.3.3平面向量的坐标运算Word版含答案
.
学生通过平移也可以发现 : 向量 AB 的模与向量 OP 的模是相等的 .
由此 ,我们可以得出平面内两点间的距离公式 :
| AB |=| OP |= ( x1 x 2 )2 ( y1 y 2 ) 2 .
教师对总结完全的同学进行表扬 ,并鼓励学生 ,只要善于开动脑筋 翅膀 ,就一定能获得意想不到的收获 .
λ使得 a=λb,
活动 :教师引导推证 :设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中 b≠a,
由 a=λb,(x1,y1)= λ2(,xy2)
x1
x 2 , 消去 λ得， x1 y2-x2 y1=0.
y1
y2.
讨论结果 :a∥b(b≠0)的充要条件是 x1y 2-x2y 1=0. 教师应向学生特别提醒感悟 : 1°消去 λ时不能两式相除 ,∵ y1、y 2 有可能为 0,而 b≠0,∴ x2、 y2 中至少有一个不为 0.
y2 均无意义 .因此 y1
x2
x1
y2 是向量 a、b 共线的充分不必要条件 . x2
由此也看出向量的应用更具一般性 ,更简捷、实用 ,让学生仔细体会这点 .
讨论结果 :① x1y2-x2y1=0 时 ,向量 a、 b(b≠0)共线 . ②充分不必要条件 .
提出问题
a 与非零向量 b 为共线向量的充要条件是有且只有一个实数 那么这个充要条件如何用坐标来表示呢？
又 2×6-3 ×4=∴0, AB ∥ AC ,且直线 AB、直线 AC 有公共点 A,
∴ A、 B、 C 三点共线 .
点评 :本例的解答给出了判断三点共线的一种常用方法
,其实质是从同一点出发的两个向
量共线 ,则这两个向量的三个顶点共线 .这是从平面几何中判断三点共线的方法移植过来的
高中数学人教A版必修4课件：2.3.3《平面向量的坐标运算》
始点A
终点B
AB
（ 1， 2 ） （ 2， 3 ）
( 3 , －4 ) 终点坐标减 去向量坐标
（ 1， 1 ）
( －2 , 7 )
终点坐标减 去始点坐标
（ 1， 3 ）
始点坐标加 上向量坐标
3.1.3
例3.如图，已知 四边形 的四个顶点A、B、C，D的坐标分
别是（-2，1）、（-1，3）、（3，4），(2,2)求证四边形 ABCD是平行四边形.
－4
(3,－1）
3.1.3
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
例2:已知A、B两点的坐标，求 AB ,
BA的坐标。
⑴ A (3,5) , B (6,9) ; ⑵ A(－3,4) , B(6,3)
⑶ A (0,3) , B (0,5) ; ⑷ A (3,0), B(8,0)
3.1.3
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
3.1.3
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
1．能准确表述向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标 运算法则，并能进行相关运算，进一步培养学生的运算能力； 2．通过学习向量的坐标表示，使学生进一步了解数形结合
思想，认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力.
3.1.3
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
1．平面向量基本定理的内容？什么叫基底？
a b x1 x2 , y1 y2
a b x1 x2 , y1 y2
结论：两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量 相应坐标的和（差）。
3.1.3
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
向量的数乘运算
若 R, a ( x1, y1 ), 则
a a ( x1i y1 j) x1i y1 j
人教A版高中数学必修四 2.3《平面向量的基本定理及坐标表示》教学设计
2.3《平面向量的基本定理及坐标表示》教学设计【教学目标】1．了解平面向量基本定理；2．理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；3．能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 【导入新课】 复习引入： 1． 实数与向量的积实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa .（1）|λa |=|λ||a|；（2）λ>0时，λa 与a 方向相同；λ<0时，λa 与a 方向相反；λ=0时，λa=0. 2．运算定律结合律：λ(μa )=(λμ)a ；分配律：(λ+μ)a =λa +μa ， λ(a +b )=λa+λb.3. 向量共线定理向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa .新授课阶段一、平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e .探究：(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2) 基底不惟一，关键是不共线；(3) 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解； (4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a，1e ，2e 唯一确定的数量. 二、平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a += (1)1 我们把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作 ),(y x a = (2)2 其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○2○2式叫做向量的坐标表示.与．a 相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．),(y x .特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=.如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作a OA =，则点A 的位置由a 唯一确定. 设yj xi +=，则向量的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.三、平面向量的坐标运算（1）若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=.两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.设基底为i 、j ，则b a +)()(2211j y i x j y i x +++=j y y i x x )()(2121+++=，即b a +),(2121y y x x ++=，同理可得b a -),(2121y y x x --=.（2）若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=.一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.=-=( x 2，y 2) -(x 1，y 1)= (x 2- x 1，y 2- y 1).（3）若),(y x a =和实数λ，则),(y x a λλλ=.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 设基底为i 、j ，则a λ)(yj xi +=λyj xi λλ+=，即),(y x a λλλ=.例1 已知A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，求AB的坐标.例2 已知a =(2，1)，b =(-3，4)，求a +b ，a -b ，3a +4b的坐标.例3 已知平面上三点的坐标分别为A(-2，1)，B(-1，3)， C(3，4)，求点D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.解：当平行四边形为ABCD 时，由=，得D 1=(2，2).当平行四边形为ACDB 时，得D 2=(4，6)，当平行四边形为DACB 时，得D 3=(-6，0). 例4 已知三个力1F (3，4)， 2F (2，-5)，3F (x ，y)的合力1F +2F +3F =，求3F 的坐标.解：由题设1F +2F +3F =，得：(3，4)+ (2，-5)+(x ，y)=(0，0)， 即：320,450,x y ++=⎧⎨-+=⎩ ∴5,1.x y =-⎧⎨=⎩∴3F (-5，1).例5 已知a =(2,1), b =(－3,4),求a ＋b ，a －b，3a ＋4b 的坐标.解：a ＋b＝（2,1）+（-3,4）=(－1，5)， a －b＝（2,1）-（-3,4）=(5，－3)，3a＋4b ＝3（2,1）+4（-3,4）=（6,3）+（-12,16）=(－6，19).点评：利用平面向量的坐标运算法则直接求解.例6 已知平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别为（-2，1）、（-1，3）（3，4），求顶点D 的坐标.解：设点D 的坐标为（x,y ）,即 3- x=1,4-y=2. 解得x=2,y=2.所以顶点D 的坐标为（2，2）.(1,3)(2,1)(1,2),(3,4)(,)(3,4),,AB DC x y x y AB DC =---==-=--=且(1,2)(3,4).x y ∴=--另解：由平行四边形法则可得例7 经过点(2,3)M -的直线分别交x 轴、y 轴于点,A B ，且||3||AB AM =，求点,A B的坐标.解：由题设知，,,A B M 三点共线，且||3||AB AM =，设(,0),(0,)A x B y ， ①点M 在,A B 之间，则有3AB AM =， ∴(,)3(2,3)x y x -=--.解之得：3,3x y =-=， 点,A B 的坐标分别为(3,0),(0,3)-.②点M 不在,A B 之间，则有3AB AM =- ，同理，可求得点,A B 的坐标分别为3(,0)2-，(0,9)-.综上，点,A B 的坐标分别为(3,0),(0,3)-或3(,0)2-，(0,9)-. 例8. 已知三点(2,3),(5,4),(7,10)A B C ，若AM AB AC λ=-，试求实数λ的取值范围，使M 落在第四象限.解：设点(,)M x y ，由题设得(2,3)(3,)(5,7)(35,7)x y λλλλ--=-=--， ∴33,4x y λλ=-=-， 要使M 落在第四象限，则330,40x y λλ=->=-<， 解之得14λ<<.例8 已知向量(8,2),(3,3),(6,12),(6,4)a b c p ====，问是否存在实数,,x y z 同时满足两个条件：(1);(2)1p xa yb zc x y z =++++=？如果存在，求出,,x y z 的值；如果不存在，请说明理由.(2(1),13)(3(1),43)(3,1),BD BA BC =+=----+---=- (1,3)(3,1)(2,2).OD OB BD =+=-+-=解：假设满足条件的实数,,x y z 存在，则有8366,23124,1.x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解之得：1,21,31.6x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩∴满足条件的实数111,,236x y z ===. 课堂小结（1）理解平面向量的坐标的概念； （2）掌握平面向量的坐标运算；（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线. 作业 见同步练习 拓展提升1.设,1e 2e是同一平面内两个不共线的向量，不能以下各组向量中作为基底的是（ ） A. 1e ，2e B. 1e +2e ，2e C. 1e ，22e D.1e ，1e +2e2. 设,1e 2e是同一平面内所有向量的一组基底，则以下各组向量中，不能作为基底的是（ ）A. 1e +2e 和1e -2eB. 31e -22e 和41e -62eC. 1e+22e 和21e +2e D. 1e +2e 和2e3. 已知,1e 2e 不共线，a =1λ1e +2e ，b =4 1e +22e，并且a ，b 共线，则下列各式正确的是（ ）A. 1λ=1，B. 1λ=2，C. 1λ=3，D. 1λ=44.设=a +5b ，=-2a +8b ，=3a -3b，那么下列各组的点中三点一定共线的是（ ）A. A ，B ，CB. A ，C ，DC. A ，B ，DD. Ｂ，Ｃ，Ｄ ５．下列说法中，正确的是（ ）①一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底； ③零向量不可作为基底中的向量.Ａ．①② Ｂ．①③ Ｃ．②③ Ｄ①②③６．已知,1e 2e是同一平面内两个不共线的向量，那么下列两个结论中正确的是（ ） ①1λ1e +2λ2e（1λ，2λ为实数）可以表示该平面内所有向量；②若有实数1λ，2λ使1λ1e +2λ2e＝0 ，则1λ＝2λ＝０.Ａ．① Ｂ．② Ｃ．①② Ｄ．以上都不对７．已知ＡＭ＝△ＡＢＣ的ＢＣ边上的中线，若＝a，＝b ，则＝（ ） Ａ．21（ a － b ） Ｂ． －21（ a － b ） Ｃ．－21（ a ＋b ） Ｄ．21（ a ＋b ）８．已知ＡＢＣＤＥＦ是正六边形，AB ＝a，AE ＝b ，则BC ＝（ ） Ａ．21（ a － b ） Ｂ． －21（ a － b ）Ｃ．a ＋21b Ｄ．21（ a ＋b ）９．如果３1e +４2e ＝a ，２1e +３2e ＝b ，其中a ，b 为已知向量，则1e＝ ，2e＝ .１０．已知,1e 2e 是同一平面内两个不共线的向量，且＝２1e +ｋ2e ，＝1e+３2e ，＝２1e－2e，如果Ａ，Ｂ，Ｄ三点共线，则ｋ的值为 .１１．当ｋ为何值时，向量a ＝４1e +２2e ，b ＝ｋ1e ＋2e 共线，其中1e 、2e是同一平面内两个不共线的向量.１２．已知：1e 、2e 是不共线的向量，当ｋ为何值时，向量a ＝ｋ1e +2e与b ＝1e ＋ｋ2e共线？参考答案1．C 2.B 3.B 4.C5．C 6.C 7.D 8.D 9.7923,44a b a b+-－ 10.－811．②③⑤ 12.k=2。
人教A版高中数学必修四课件2.3《平面向量的坐标运算》.pptx
不共线的两向量e1,e2叫做这一平面内所有 向量的一组基底.
平面的基底有多少组? 无数组
（一）平面向量坐标的概念
在直角坐标系内，我们分别
y
(1)取基底:与x轴方向,y轴方向相同
的两个单位向量i、j作为基底.
a
(2)任得作到一实个数向对量: a，
由平面向量基本定理，有且只
有一对实数x、y，使得a=xi+yj. j
O
x
1 3 x x 2
2 4 y
y
2
顶点D的坐标是（2，2）
变式：已知平面上三点的坐标分别为
A(2,1),B(1,3),C(3,4)，求点D的坐标使这四
点构成平行四边形四个顶点。 y
D2
解：当平行四边形为ADCB时，B
C
由得ABD1D=C(2,2)
A
D1
D3
O
x
当平行四边形为ACDB时，
uuur
Q AB 1, 2 x, y 2,1,
即12xy21
x3
y
1
即B 3,-1.
例5：已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C
的坐标分别为（-2，1）、（-1，3）、（3，4），
求顶点D的坐标。
y
4
B(-1,3))
C(3,4)
3
2
A(-2,1) 1
-6
-4
-2
O
-1
D(x,y)
2
练习:在同一直角坐标系内画出下列向量.
r
r
(1)a (1, 2) (2)b (1, 2)
. 解：
y A(1, 2)
r
a
o
x
y
人教新课标A版高一数学《必修4》2.3.3 平面向量的坐标运算
→ 跟踪训练 1 已知点 A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，AP＝ → → AB＋λAC(λ∈R)，点 P 在第三象限，求 λ 的取值范围．
新课引入
1：任意向量的坐标与表示该向量的有向线段的
起点、终点的具体位置无关系，只与其相对位
置有关.
2：当把坐标原点作为向量的起点，这时向量的 坐标就是向量终点的坐标.
学习目标
向量的坐标表示，实际上是向量的代数表示形式， 引入向量的坐标表示后，可使向量运算完全代数 化，将数与形紧密结合起来，从而使许多问题的 解决转化为我们熟知的数量运算，使问题得以简 化．
根据平面向量基本定理，一定存在实数 m，n， → → → → → 使得AD＋BD＋CD＝mAB＋nAC， ∴(－12，8)＝m(1，3)＋n(2，4)， 即(－12，8)＝(m＋2n，3m＋4n)．
m＋2n＝－12， m＝32， 可得 解得 3m＋4n＝8， n＝－22.
→ → → → → ∴AD＋BD＋CD＝32AB－22AC.
第二章 平面向量
2.3.3 平面向量的坐标运算
新课引入
那么如何才能将平面向量的坐标运算应用到综合实
例去呢？
新课引入
我们知道在直角坐标系内，平面内的每一个点都可 以用一对有序实数来表示，且点与坐标是一一对应
的。既然向量的起点和终点的坐标是确定的，那么
向量也可以用一对实数来表示吗？
人教A版数学必修四第二章2.3《平面向量的坐标表示与运算》(共20张PPT)
解：设c→=x→a+→yb，即 （4，2）=x(1,1)+y(-1,1) =(x,x)+(-y,y)
X-y=4
解得
X+y=2
X=3
y=-1
=(x-y，x+y) c→=3→a-→b,故选B
随堂演练：
1、下列说法正确的有（ B ）个 （1）向量的坐标即此向量终点的坐标。 （2）位置不同的向量其坐标可能相同。 （3）一个向量的坐标等于它的始点坐标减去它的终点坐标。 （4）相等的向量坐标一定相同。 A2、：已1 知M→NB=（：-21，2）C：，3则-3M→ND等：于4 （ C ） A3、、已（知-3a→，=3（）1B，、3）（，-6→，b=3（）-C2、，（1）3，，-则6）→b-Da→、等（于-（4，C-1）） A、（-3，2）B、（3，-2）C、（-3，-2）D、（-2，-3） 4、已知A→B=（5，7），λAB→=（10，14）则实数λ=___2_
探索研究
设得问出： 向已 量知a r向b r量,a ra r b r(，x1， λa→y的1)坐，标b r 表(示x2， 吗？y2)，你能
r rrr rr 解 ： a b ( x 1 i r y 1 j ) r( x 2 i y 2 j )
(x1 x2)i(y1y2)j
即 a b (x 1 x 2 ,y 1 y 2 ) 同理可得
a b (x 1 x 2 ,y 1 y 2)
结论：两个向量和与差的坐标分别等 于这两个向量相应坐标的和与差.
（2）实数与向量的积的坐标表示
r
已 知 R ， 向 量 a (x ， y )， 那 么
a r _ _ ( _ x _ r i _ _ _ y _ u j r _ ) _ _ _ _ x _ r i _ _ _ _ y _ r _ j
2016-2017年数学·人教A版必修4课件：2.3.3平面向量的坐标运算
第一页，编辑于星期五：十七点 四十七分。
2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2．3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
2．3.3 平面向量的坐标运算
第二页，编辑于星期五：十七点 四十七分。
[学习目标] 1.掌握平面向量的正交分解及其坐标表 示，理解平面向量与坐标之间的对应关系(重点、难 点)． 2.掌握平面向量的坐标运算，能准确运用向量的 加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则进行有关的 运算(重点)．
第三页，编辑于星期五：十七点 四十七分。
[知识提炼·梳理] 1．平面向量正交分解的定义 把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量． 2．平面向量的坐标表示 (1)基底：在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i，j 作为基底．
第四页，编辑于星期五：十七点 四十七分。
(2)坐标：对于平面内的一个向量 a，有且仅有一对实 数 x，y，使得 a＝xi＋yi，则有序实数对(x，y)叫做向量 a 的坐标．
第二十页，编辑于星期五：十七点 四十七分。
[变式训练] 已知 O 是坐标原点，点 A 在第一象限， |O→A|＝4 3，∠xOA＝60°，则向量O→A的坐标为________．
解析：设点 A(x，y)， 则 x＝|O→A|cos 60°＝4 3cos 60°＝2 3， y＝|O→A|sin 60°＝4 3sin 60°＝6， 即 A(2 3，6)，所以O→A＝(2 3，6)． 答案：(2 3，6)
已知 A(x1，y1)， B(x2，y2)，则A→B＝ (x2－x1，y2－y1)
温馨提示 向量既有几何表示下图形的几何运算，又 有坐标表示下的代数运算，说明向量是数形结合的载体．
第八页，编辑于星期五：十七点 四十七分。
说课稿数学必修四人教A版2.3.3平面向量的坐标运算
2.3.3《平面向量的坐标运算》说课稿一、说教材1、教学目的和作用本节内容在教材中有着承上启下的作用，它是在学生对平面向量的基本定理有了充分的认识和正确的应用后产生的，同时也为下一节定比分点坐标公式和中点坐标公式的推导奠定了基础。
此外，对立体几何的学习也有着深远的意义。
2、教学目标⑴知识与能力：会用坐标表示平面向量的加减与数乘运算；能用两端点的坐标，求所构造向量的坐标；⑵过程与方法：体会向量是处理几何问题的工具. 培养细心、耐心的学习习惯，提高分析问题的能力。
⑶情感态度、价值观：通过引导激发学生的学习兴趣并引发学生思考，充分调动学生的学习积极性。
3、教学重点、难点及依据重点：平面向量的坐标运算。
难点：对平面向量坐标表示的理解。
4、课时安排和教具准备我打算用一个课时的时间来讲授这一节内容，使用的教具是直尺、多媒体。
二、说学情在教学过程中注重因材施教，只有了解了学生的现实状况才能够进行针对性的教学，这样才能取得相应的教学效果。
培养学生的抽象思维能力，所以在教学过程中应该循序渐进，加深他们对基础知识的理解，并加强课堂巩固训练。
三、说教法和依据教学时我打算采用老师引导式方法，使用导学案教学，充分发挥以学生为学习的主体，他们对课程的兴趣和积极性对于他们的学习过程有着极为重要的作用， 课堂上可以采用小组讨论的和学生发言的方式，调动学生参与的积极性，因为学生是学习的主体，所以要注重学生主体性的发挥。
四、说教学过程一、自主学习（一）知识链接：知识回顾：(1)向量→→j ,i 是同一平面内两个相互垂直的单位向量，且方向分别与x 轴y 轴方向相同，a 为这个平面内任一向量，则向量a 可用→→j ,i 表示为 。
也可用坐标表示为 。
如：j 4i 5a += = 。
j i b 32-=→= 。
=-→→b a →a 3=（二）自主探究：（预习教材P96—P98）探究：平面向量的坐标运算问题1：已知()11,a x y =，()22,b x y =，λ为一实数，你能用单位向量→→j ,i 来表示a b +，a b -，a λ吗？+a b =___________; -a b =_____________; λa =_____________ 问题2：已知()11,a x y =，()22,b x y =，你能用坐标来表示a b +，a b -，a λ的坐标吗？+a b =_________________ _。
人教A版数学必修四第二章2.3.3《平面向量的坐标运算》教学课件(共24张PPT)
实 数 与 向 量 的 积 等 的 于 坐 用 标 这 个 实 数 乘 原来向量的相应坐标
【例1】 已知 ar =（2, 1），br =（-3,4），
求 a r b r， a r b r， 3 a r 4 b r的坐标.
跟踪练习：
1.已知向量
其中x叫做
r a
在x轴上的
ya
坐标，y叫做 ar 在y轴上
的坐标, 上式叫做向量 j
x
的坐标表示.
Oi
x
【课前练习】 如图，分别用基
底 i , j表示向量 a，b， c，d，并求出它们的 坐标 .
二、新知探究
思考： 已知 a(x1, y1),b(x2, y2),你能得出
ab, ab, a的坐标吗？
ab(x1 x2, y1 y2)
ab(x1 x2, y1 y2) 两 个 向 量(差 和)的 坐 标 分 别 等 于 这 向 两 量 个 相 应 坐 标 的 (差和 ).
ab(x1 x2, y1 y2) ab(x1 x2, y1 y2) 两 个 向 量(差 和)的 坐 标 分 别 等 于 这 向 两 量 个 相 应 坐 标 的 (差和 ).
uuur A B = （x2 - x1 , y2 - y1）
(5)
ar
r //b
rr (b0) 的 等 价 条 件 是 ：
x1y2x2y10
四、课堂作业：
课本101页习题2.3A组1、2、3题
谢谢
【 例 2 】 如 图 ， 已 知 A (x1,y1),B (x2,y2),求
u u u r
A B 的 坐 标 .
y
A(x1, y1)
高中数学必修四(人教新A版)教案19平面向量的坐标运算
分析：掌握求向量的加、减、实数与向量的积的坐标
解：
例5．已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C坐标分别为（-2，1）、（-1，3）、（3，4），求顶点D的坐标。
分析：若向量相等，则它们的坐标相等
解：
（四）变式训练、巩固提高
③体会向量运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来的数形结合的数学思想。
课后
反思
已知a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a-b=(x1-x2,y1-y2)
3．数乘向量的坐标运算
已知a=(x,y)和实数λ，则λa=（λx,λy）
4．能否证明？
教师提出问题，学生动手解题。
教师完善。
通过学生动手实践、观察、比较得出向量的线性运算法则，发展学生的理性思维能力。
高中数学必修四课时教案
1．P100，T1，2，3
2．已知O是平行四边形ABCD的对角线的交点，AD=（2，5），AB=（-2，3），则CD坐标为_______DO坐标为_______CO坐标为_______.
体会数形结合思想
学生完成
教师讲评
教
学
小
结
①理解平面向量的坐标的表示a=xi+yj=(x,y).
②掌握平面向量的坐标运算：a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=(x1+x2,y1+y2)；a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a-b=(x1-x2,y1-y2)；a=(x,y)和实数λ，则λa=（λx,λy）。
情感态度价值观
激发学生善于发现、勇于探索的精神；树立事物
在一定条件下互相转化的辨证唯物主义的观点。
人教A版高中数学必修四平面向量的坐标运算课件
1、平面向量的正交分解
把一个向量分解成两个互相垂直的向量
2、平 面向 量的坐标表示
a xi yj (x, y)
（i , j分别是与 x轴、y轴方向相同的两个单位 向量）
3、起点在原点的向量的坐标表示
若A (x, y)，则OA (x, y)
创设问题情境，引入课题
我们知道向量的加法、减法以及实数与向量的积这几 种运算的结果仍是向量，而向量是可以用坐标来表示的， 因此，这些运算的结果也能用坐标来表示，那么如果是坐 标的话，我们该如何来表示呢？
向量的坐标就是其终点坐标，那么，对于起点不 在原点的向量，又该如何来确定其坐标？若已知 其起点坐标和终点坐标，如何求出此向量的坐标？
人教Ａ版高中数学必修四第二章2.3.3 平面向 量的坐 标运算 课件( 共17张P PT)
人教Ａ版高中数学必修四第二章2.3.3 平面向 量的坐 标运算 课件( 共17张P PT)
求出图中的向量的坐标，并观察其坐标与其起点坐标、 终点坐标之间有何关系？
y
B1
B(4,5)
AB的坐标等于终点B的坐标
a AB (2，3)
减去起点A的坐标.
1
A (2,2) A1
j
O i1
x
人教Ａ版高中数学必修四第二章2.3.3 平面向 量的坐 标运算 课件( 共17张P PT)
人教Ａ版高中数学必修四第二章2.3.3 平面向 量的坐 标运算 课件( 共17张P PT)
人教Ａ版高中数学必修四第二章2.3.3 平面向 量的坐 标运算 课件( 共17张P PT)
例2：已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标 分别是（- 2，1）、（- 1，3）、（3，4），求
顶点D的坐标.
人教A版高中数学必修四教案平面向量的坐标运算
2．3．3平面向量的坐标运算教学目的：（1）理解平面向量的坐标的概念；（2）掌握平面向量的坐标运算；（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.教学重点：平面向量的坐标运算教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性.教学过程：一、复习引入：1．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ11e +λ22e(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量二、讲解新课：1．平面向量的坐标运算思考1：已知：),(11y x a =，),(22y x b =，你能得出b a +、b a -、a λ的坐标吗？设基底为i 、j ，则b a +)()(2211j y i x j y i x +++=j y y i x x )()(2121+++= 即b a +),(2121y y x x ++=，同理可得b a -),(2121y y x x --=（1） 若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.（2）若),(y x a =和实数λ，则),(y x a λλλ=.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.设基底为i 、j ，则a λ)(yj xi +=λyj xi λλ+=，即),(y x a λλλ=实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。
思考2：已知),(11y x A ，),(22y x B ，怎样求B A 的坐标？ （3） 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=AB =OB -OA =( x2， y2) - (x1，y1)= (x2- x1， y2- y1)一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.思考3：你能标出坐标为(x2- x1， y2- y1)的P 点吗？ 向量AB 的坐标与以原点为始点、点P 为终点的向量的坐标是相同的。
高一数学人教A版必修四2.3.3平面向量的坐标运算教案
=（-2+3，1+4）
=（1, 5）
例2：已知A（1，1），B（-1，5），以及 ，分别求
的坐标。
小结
这节课我们主要是学习了平面向量的加法、减法以及数乘运算的坐标表示，同学们一定要掌握其运算规律，认真解题，保证不出错误。
4.有向线段坐标运算
(3)如图，已A(x1,y1),B(x2,y2)，求 的坐标.
=(x2,y2) - (x1,y1)
=(x2-x1,y2-y1)
结论3:一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段终点的坐标减去始点的坐标.
典例讲解
（难点巩固）
例1：已知a=（-2，1），b=（3，4），求a+b,a-b及3a-4b的坐标．
一、复习引入
我们知道如果给出两个向量的坐标，a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，那么由平面向量基本定理和平面向量在平面直角坐标系中的坐标表示，我们可用与x轴、y轴同向的两个单位向量i、j，使得
a=(x1，y1)=x1i＋y1j
b=(x2，y2)=x2i＋y2j
那么根据向量的线性运算性质，向量a＋b，a－b，λa（λ∈R）如何分别用基底i、j来表示呢？
学科数学年级/册源自高一（必修4）教材版本
人教版
课题名称
第二章 2.3.3《平面向量的坐标运算》
难点名称
平面向量线性运算的坐标运算
难点分析
从知识角度分析为什么难
根据已经学过的平面向量的正交分解，学生能自己推导得出其及其坐标表示，并能用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算。
从学生角度分析为什么难
学生虽已经学过的平面向量的正交分解，但在自己推导得出其及其坐标表示时还有困难，所以加以引导让同学们能用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算。
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双基限时练(十九)
1．已知两点A (2，－1)，B (3,1)，与AB →
平行且方向相反的向量a 可能是( ) A ．(1，－2) B ．(9,3) C ．(－1,2)
D ．(－4，－8)
解析 AB →
＝(3－2,1＋1)＝(1,2)， ∵(－4，－8)＝－4(1,2)， ∴(－4，－8)满足条件． 答案 D
2．已知A (3，－6)，B (－5,2)，且A ，B ，C 三点在一条直线上，则C 点坐标不可能是( ) A ．(－9,6) B ．(－1，－2) C ．(－7，－2)
D ．(6，－9) 解析 设C (x ，y )，则AC →
＝(x －3，y ＋6)，AB →
＝(－8，8)． ∵A ，B ，C 三点在同一直线上，∴x －3－8
＝
y ＋6
8
，即x ＋y ＋3＝0，将四个选项分别代入x
＋y ＋3＝0验证可知，不可能的是C.
答案 C
3．若向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，c ＝(4,2)满足(k a ＋b )∥c ，则k ＝( ) A ．3 B ．－3 C.13
D ．－13
解析 k a ＋b ＝(k －1，k ＋1)，
由(k a ＋b )∥c ，得2(k －1)－4(k ＋1)＝0，解得k ＝－3. 答案 B
4．若a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3
2
，sin α
，b ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫sin α，13，且a ∥b ，则锐角α为( ) A ．30° B ．45° C ．60°
D ．75°
解析 由a ∥b ，得32³13－sin α²sin α＝0，∴sin 2
α＝12，
∴sin α＝±2
2
，又α为锐角，∴α＝45°.故选B. 答案 B
5．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b 等于( ) A ．(－5，－10) B ．(－4，－8) C ．(－3，－6)
D ．(－2，－4)
解析 ∵a ∥b ，∴m ＋4＝0，∴m ＝－4，b ＝(－2，－4)．
则2a ＋3b ＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(2,4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)． 答案 B
6．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则m n
等于( ) A.12 B ．2 C ．－12
D ．－2
解析 m a ＋n b ＝m (2,3)＋n (－1,2) ＝(2m －n,3m ＋2n )，
a －2
b ＝(2,3)－2(－1,2)＝(4，－1)，
又m a ＋n b 与a －2b 平行，
∴(2m －n )(－1)－(3m ＋2n )³4＝0，
即14m ＋7n ＝0，∴m n ＝－1
2
.
答案 C
7．向量a ＝(n,1)与b ＝(4，n )共线且方向相同，则n ＝________.
解析 ∵a ∥b ，∴n 2
－4＝0，∴n ＝2或n ＝－2，又∵a 与b 方向相同，∴n ＝2. 答案 2
8．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，c ＝(－1,2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________. 解析 a ＋b ＝(2－1，－1＋m )＝(1，m －1)，由(a ＋b )∥c ，得1³2－(m －1)³(－1)＝0，解得m ＝－1.
答案 －1
9．若点A ，B 的坐标分别为(2，－2)，(4,3)，向量a ＝(2k －1,7)，且a ∥AB →
，则k 的值为________．
解析 AB →
＝(2,5)，由a ∥AB →
可得(2k －1)³5－7³2＝0，解得k ＝19
10.
答案
1910 10．已知△ABC 的顶点A (2,3)和重心G (2，－1)，则BC 边上的中点的坐标是________． 解析 设BC 边上的中点为D (x ，y )，
则AG →
＝2GD →
，∴⎩⎪⎨⎪⎧
2＝2＋2x 1＋2，
－1＝3＋2y
1＋2，解得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝2，
y ＝－3.
答案 (2，－3)
11．已知AB →＝(6,1)，BC →＝(x ，y )，CD →＝(－2，－3)，且BC →∥DA →
，试确定x ，y 的关系式． 解 因为AB →＝(6,1)，BC →
＝(x ，y )，CD →
＝(－2，－3)， 所以AD →
＝AB →＋BC →
＋CD →， ＝(6,1)＋(x ，y )＋(－2，－3) ＝(4＋x ，y －2)．
又因为BC →∥DA →
，所以BC →∥AD →
. 所以x (y －2)－y (4＋x )＝0，
xy －2x －4y －xy ＝0，故x ＋2y ＝0.
12．已知a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)． (1)求3a ＋b －2c ；
(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m 、n ； (3)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k . 解 (1)3a ＋b －2c ＝(0,6)．
(2)∵a ＝m b ＋n c ，∴(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)＝(－m ＋4n,2m ＋n )．
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
－m ＋4n ＝3，
2m ＋n ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝5
9，n ＝8
9.
(3)由a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)，(a ＋k c )∥(2b －a )，得2³(3＋4k )－(－5)³(2＋k )＝0，∴k ＝－16
13
.
13.
如图，已知两点P (－1,6)和Q (3,0)，延长线段QP 到A ，使|AP →
|＝1
3
|PQ →|，求A 点坐标．
解 解法一：若P 为终点，Q 为起点，则A (x ，y )分QP →
所成的比λ＝－4. ∴x ＝3－4³ －1 1－4＝－73
，
y ＝
0－4³61－4＝8，∴A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－73，8. 解法二：若Q 为起点，A 为终点，则P 分QA →
所成的比λ＝3.设A (x ，y )，则－1＝3＋3x 1＋3，
∴x ＝－73，6＝3y 1＋3，∴y ＝8，∴A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－73，8.。