第八届全国大学生数学竞赛决赛(非数学类)参考答案

省市
⃝
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三、 (本题满分 14 分)
四、 (本题满分 14 分)
⃝
设 f pxq 为 p´8, `8q 上连续的周期为 1 的周期函数 且满足 0 ď f pxq ď 1 与 证明：当 0 ď x ď 13 时，有
ż1
f pxq dx “ 1
0
␣ ( 设函数 f px, y, zq 在区域 Ω “ px, y, zq|x2 ` y2 ` z2 ď 1 上具有连续的二阶偏导数, 且满足 B2 f B2 f B2 f a 2 ` ` “ x ` y2 ` z2 B x2 B y2 B z2
2 2 2 Ω
£
ˆ
˙
dS
⃝
(4)
ż ?x
f pt q dt `
0
ż ?x`27
f pt q dt `
0
ż ?13´x
f pt q dt “
0
ż3
f pt q dt `
0
ż6
f pt q dt `
0
ż2
f pt q dt
0
(10 分) 将 p3q、p4q 代入 p2q 并整理得 1 I“ 2
¡
Ω
学校
根据周期性, 以及
n´2 1 1 Ñ , 所以 lim nbn “ . nÑ8 2pn ´ 1q 2 2 8 ÿ 根据比较判别法可知, 级数 bn 发散 而当 n Ñ 8 时, cn “
n“1
(10 分)
⃝
恒等式
密封线 答题时不要超过此线
|Bt ` 2017A| “ |Bt |
取 t “ 0, 得
姓名
|B ` 2017A| “ |B|
计算
座位号
ż ?x
f pt q dt `
0
ż ?x`27
f pt q dt `
0
ż ?13´x
f pt q dt ď 11
0
并给出取等号的条件。
˙ ¡ˆ Bf Bf Bf dxdydz I“ x `y `z Bx By Bz
Ω 2 2 2
考场号
证明. 由条件 0 ď f pxq ď 1, 有
Ñ 解. 记球面 Σ : x ` y ` z “ 1 外侧的单位法向量为 Ý n “ pcos α , cos β , cos γ q, 则 ż ?13´x
ż1
0
`
f pxq dx “ 1, 有
˘a x2 ` y2 ` z2 dv 1 ´ p x 2 ` y2 ` z 2 q żπ
0
ż3
f pt q dt `
0
ż6
f pt q dt `
0
ż2
f pt q dt “ 11
0
ż1
f pt q dt “ 11
0
(14 分)
“
所以取等号的充分必要条件是 x “ 9
|E ` 2017B´1 A “ 1| |B ` 2017A| “ |B||E ` 2017B´1 A| “ |B|
(10 分) (II) 若 B 不可逆, 则存在无穷多个数 t , 使 Bt “ t E ` B 可逆, 且有 ABt “ Bt A. 利用 (I) 的结论, 有
˙ 8 ˆ ÿ 1 1 1 ´ ´ an ´ C ą k ´ 1 2pk ´ 1q2 k k“n`1 ˙ 8 ˆ 8 ÿ ÿ 1 1 1 bn 发散。因为 记 bn “ ´ ´ , 下面证明正项级数 k ´ 1 2pk ´ 1q2 k n“ 1 k“n`1 ˙ 8 ˆ ÿ 1 1 1 cn fi n ´ ´ k ´ 1 k 2pk ´ 1qpk ´ 2q k“n`1 ˙ 8 ˆ ÿ 1 1 1 1 ă nbn ă n ´ ´ “ k ´ 1 k 2kpk ´ 2q 2 k“n`1
所以 0 ă x ă
(10 分)
ˆ
n´ 2 的整数部分为
1
答案：18 4 1 5. 曲线 L1 : y “ x3 ` 2xp0 ď x ď 1q 绕直线 L2 : y “ x 旋转所生成的旋转曲面的面积 3 3 ? ? 5p2 2 ´ 1q 答案： π 3
学校
π 时, 有 2
4 1 1 2 ă 2´ 2 ă 2 π x tan x 3 (14 分)
则 f px, yq “ 答案： f px, yq “ e´x sin y
π 时, φ 1 pxq ą 0, 从而 φ pxq 单调递增，又 φ p0q “ 0, 因此 φ pxq ą 0, 即 2
x3 cos x ´ sin3 x ă 0
准考证号
⃝
˜
3. 已知 A 为 n 阶可逆反对称矩阵, b 为 n 元列向量, 设 B “ 答案：n 4.
¸2
ai bi
ď
n ÿ i“1
a2 i
n ÿ i“ 1
b2 i , 等号当 ai 与 bi 对应成比例时成立.
£
Σ
⃝
有
Bf dS “ Bn
£
Σ
px2 ` y2 ` z2 q
Bf dS Bn
(2) (5 分)
密封线 答题时不要超过此线
姓名
?
c c c ? ? ? ? 1 2 3 x ` x ` 27 ` 13 ´ x “ 1 ¨ x ` 2 ¨ px ` 27q ` ¨ p13 ´ xq 2 3 2 c c 2 1 3 ď 1 ` 2 ` ¨ x ` px ` 27q ` p13 ´ xq “ 11 3 2 2
n ÿ
n ÿ 1
省市
⃝
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Ω
(3)
c
3 p13 ´ xq , 2
即x “ 9 (10 分)
£
Σ
准考证号
Bf px ` y ` z q dS “ Bn
2 2 2
所以
ż ?x
f pt q dt `
0
ż ?x`27
f pt q dt `
0
ż ?13´x
f pt q dt ď 11
0
特别当 x “ 9 时，有
Bf Bf Bf px ` y ` z q cos α ` cos β ` cos γ Bx By Bz Σ ˙ ¡ˆ Bf Bf Bf “2 x `y `z dv Bx By Bz Ω ˙ ˆ 2 ¡ B f B2 f B2 f ` px2 ` y2 ` z2 q ` ` dv B x2 B y2 B z2
(8 分)
且等号成立的充分必要条件是： 1 2 x “ px ` 27q “ 2 3
对两边都利用高斯公式，得 ˙ £ £ˆ Bf Bf Bf Bf dS “ cos α ` cos β ` cos γ dS Bn Bx By Bz Σ Σ ˙ £ˆ 2 B f B2 f B2 f “ ` ` dv B x2 B y2 B z2
x ă lnp1 ` xq ă x, 有 1`x ˆ ˙ 1 n 1 1 1 1 “ ´ ln 1 ` ď ´ n´11 “ 0 an ´ an´1 “ ´ ln n n´1 n n´1 n 1 ` n´ 1 (2 分)
学校
˙ n ˆ k k ÿ 1 an “ ´ ln ´ ln k k“2 k ´ 1 k“2 k k´1 k“1 ˆ ˙ȷ „ n ÿ 1 1 ´ ln 1 ` “ 1` k k ´ 1 k “2 „ ȷ n ÿ 1 1 1 ě 1` ´ “ ą0 k k´1 n k “2
1
´1 2 cos 3 x 2 1 2 4 “ cos 3 x ` cos´ 3 x ´ 1 3 3
(6 分)
cos 3 x ` 1 cos´ 3 x sin2 x 3
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2
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一、 填空题 (本题满分 30 分, 共 5 小题, 每小题 6 分) 1. 过单叶双曲面 x2 y2 ` ´ 2z2 “ 1 与球面 x2 ` y2 ` z2 “ 4 的交线且与直线 4 2
´1 ´1 ´1 k ´1 k k ´1
座位号
所以 tan u 单调减少有下界, 故 lim an 存在 nÑ8 ˙ 8 ˆ ÿ 1 (2) 显然, 以 an 为部分和的级数为 1 ` ´ ln n ` lnpn ´ 1q , 则 n n“ 2 该级数收敛于 C, 且 an ´ C ą 0, 用 rn 记作该级数的余项, 则
第八届全国大学生数学竞赛决赛试卷参考答案 ` ˘
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非数学类, 2017 年 3 月 18 日
(14 金融工程 ´ 白兔兔)
二、 (本题满分 14 分)
座位号
绝密 ‹ 启用前
考试形式： 闭卷 考试时间： 150 分钟 满分： 100 分
题号 满分 一 30 二 14 三 14 四 14 五 14 六 14 总 分 100
由均值不等式, 得
密封线 答题时不要超过此线
#
姓名
x“0 3y ` z “ 0
垂直的平面方程为 答案：y ´ 3z “ 0 所以当 0 ă x ă
¯ 2 1 1´ 2 2 3 2 4 cos 3 x ` cos´ 3 x “ cos 3 x ` cos 3 x ` cos´ 4 x 3 3 3 a ą
(14 分)
六、 (本题满分 14 分) 设 an “
n ÿ 1
k k“1
´ ln n
因此, 正项级数
8 ÿ n“1 nÑ8
8 ÿ n“1
准考证号
1. 证明：极限 lim an 存在 2. 设 lim an “ C 讨论级数
nÑ8
pan ´ Cq 发散。
(14 分) ♢
⃝
pan ´ Cq 的敛散性
解. (1) 利用不等式：当 x ą 0 时，
π 4 1 1 2 证明： 2 ă 2 ´ 2 ă 2 π x tan x 3 ´ 1 1 π¯ 证明. 设 f pxq “ 2 ´ 2 0 ă x ă ,则 x tan x 2
设0ăxă f 1 pxq “ ´ 2 2 cos x 2px3 cos x ´ sin3 xq ` “ x3 sin3 x x3 sin3 x (1) (3 分)
考场号
得分 注意：1. 所有答题都须写在试卷密封线右边, 写在其他纸上一律无效. 2. 密封线左边请勿答题, 密封线外不得有姓名及相关标记. 3. 如答题空白不够, 可写在当页背面, 并标明题号.
´ sin x π¯ 令 φ pxq “ ? ´ x 0 ă x ă ,则 3 2 cos x
φ pxq “
100 ÿ n“ 1
A
bT
¸ b , 则 rankpBq “ 0
´ π¯ 由 p1q 式得 f 1 pxq<0 从而 f pxq 在区间 0, 单调递减 2 由于 ˙ ˆ 1 4 1 lim´ f pxq “ lim´ 2 ´ 2 “ 2 x tan x π xÑ π xÑ π 2 2 ˙ 1 1 tan2 x ´ x2 lim f p x q “ lim ´ “ lim xÑ0` x2 tan2 x x Ñ 0` x Ñ 0` x2 tan2 x tan x ` x tan x ´ x “ lim ˆ lim x Ñ 0` xÑ0` x tan2 x x 1 3 x 2 3 “ “ 2 ˆ lim x Ñ 0` x 3 3
3 2 2 3
cos 3 x ` cos 3 x ` cos´ 4 x “ 1
˙ ˛n ¨ ˆ 1 ´ π¯ ˚ f 0, y ` n ‹ Bf ‹ “ ecot y 2. 设可微函数 f px, yq 满足 “ ´ f px, yq , f 0, “ 1, 且 lim ˚ nÑ8 ˝ Bx 2 f p0, yq ‚
1 2 π “ 6
ż 2π
0
dθ
sin φ dφ
ż1
0
p1 ´ ρ 2 qρ 3 dρ
(14 分) ♢
省市
⃝
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五、 (本题满分 14 分) 设 n 阶方阵 A, B 满足 AB “ A`B
证明：若存在正整数 k 使 Ak “ O (O 为零矩阵), 则行列式 |B ` 2017A| “ |B| 证明. 由 AB “ A ` B ùñ pA ´ EqpB ´ Eq “ E, 则 pA ´ EqpA ´ Eq “ pB ´ EqpA ´ Eq 化简可得到 AB “ BA (4 分) (I) 若 B 可逆, 则由 AB “ BA 得 B A “ AB , 从而 pB Aq “ pB q A “ O, 所以 B A 的特征
f pt q dt ` f pt q dt ď
0
ż ?x
f pt q dt `
0
ż ?x`27
0
?
x`
?
x ` 27 `
?
13 ´ x (3 分)
Bf Bf Bf Bf “ cos α ` cos β ` cos γ Bn Bx By Bz
(2 分) 考虑曲面积分等式
˜
利用离散柯西不等式, 即
n ÿ i“1
(5 分)
⃝
˙ ˙ ˙ 8 ˆ ˆ 8 ˆ ÿ ÿ 1 1 1 an ´ C “ ´rn “ ´ ´ ln k ` lnpk ´ 1q “ ln 1 ` ´ k k´1 k k“n`1 k“n`1
根据泰勒公式，当 x ą 0 时，lnp1 ` xq ą x ´ x2 , 所以 2
考场号
值全为 0，则 E ` 2017B´1 B 的特征值全为 1, 因此