全国通用版201x版高考数学一轮复习第五单元三角函数及其恒等变换高考研究课一三角函数的3个基本考点-
全国通用版2019版高考数学一轮复习第五单元三角函数及其恒等变换高考研究课一三角函数的3个基本考点__定义
________. 解析：由 tan α＝－13，得 sin α＝ －13cos α，
将其代入 sin2α＋cos2α＝1，得190cos2α＝1，∴cos2α＝190，
易知 cos α＜0，∴cos α＝－31010， sin α＝ 1100，
故
sin α＋cos α＝－
10 5.
答案：－
10 5
2．在平面直角坐标系中，点 M(3，m)在角 α 的终边上，点 N(2m，
4)在角 α＋π4的终边上，则 m＝
()
A．－6 或 1
B．－1 或 6
C．6
D．1
解析：由题意得，tan α＝m3 ，tanα＋π4＝24m＝m2 ，∴m2 ＝
11＋ －mm33 ，∴m＝－6 或 1. 答案：A
＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)
＝－asin α－bcos β
＝－(asin α＋bcos β)＝－3.
即 f(2 017)＝－3. 答案：D
2．已知 sin α 是方程 5x2－7x－6＝0 的根，α 是第三象限角，
则sinco－sαπ2－－3α2πsicnosπ23＋2π－ α α·tan2(π－α)＝________. 解析：∵方程 5x2－7x－6＝0 的根为－35或 2，
4 A.5
3 B.5
4，y＝3，r＝|OP|＝ －42＋32＝
5，故 cos α＝xr＝－54＝－45. 答案：D
3．(2014·全国卷Ⅰ)若 tan α>0，则
()
A．sin 2α>0
B．cos α>0
C．sin α>0
D．cos 2α>0
故 2sin αcos α＝－79.
全国通用近年高考数学一轮复习第五单元三角函数及其恒等变换高考达标检测(十五)三角函数的3个基本考点
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高考达标检测（十五）三角函数的3个基本考点—-定义、公式和关系一、选择题1.如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点B，C在圆O上，且B错误!，点C在第一象限，∠AOC＝α，BC＝1，则cos错误!＝( ）A．－错误!B．－错误!C。
35D. 错误!解析:选B 由已知可得OB＝1，即圆O的半径为1，又因为BC＝1，所以△OBC是等边三角形,所以cos错误!＝cos错误!＝－sin错误!＝－sin∠BOA＝－错误!.2．(2018·江西六校联考）点A(sin 2 018°，cos 2 018°)位于（) A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析:选C 因为sin 2 018°＝sin（11×180°＋38°)＝－sin 38°＜0,cos 2 018°＝cos（11×180°＋38°)＝－cos 38°＜0，所以点A（sin 2 018°,cos 2 018°)位于第三象限．3．若sin θcos θ＝错误!，则tan θ＋错误!的值是( )A．－2 B．2C．±2 D。
2019年高考数学(理科)一轮复习通用版：第五单元 三角函数及其恒等变换
第五单元三角函数及其恒等变换教材复习课“三角函数及其恒等变换”相关基础知识一课过1．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S＝{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．2．弧长、扇形面积公式设扇形的弧长为l，圆心角大小为α(rad)，半径为r，则l＝|α|r，扇形的面积为S＝12lr＝12|α|·r2.3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin α＝y，cos α＝x，tan α＝yx(x≠0)．(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．(3)三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．[小题速通]1．(2018·济南模拟)已知sin θ－cos θ>1，则角θ的终边位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选B由已知得(sin θ－cos θ)2>1，即1－2sin θcos θ>1，sin θcos θ<0，所以sinθ>0>cos θ，所以角θ的终边在第二象限．2．已知α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，且cos α＝24x ，则x ＝( ) A. 3 B ．±3 C ．－ 2D ．－ 3解析：选D 依题意得cos α＝x x 2＋5＝24x ＜0，由此解得x ＝－3，选D. 3．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α(0<α<π)的弧度数为( )A.π3B.π2C. 3D ．2解析：选C 设圆半径为r ，则其内接正三角形的边长为3r ，所以3r ＝αr ，故α＝ 3. 4．已知扇形的半径r ＝10 cm ，圆心角α为120°，则扇形的面积为________cm 2. 解析：因为120°＝2π3，由扇形的面积公式可得S ＝12αr 2＝12×2π3×102＝1003π(cm 2)． 答案：1003π 5．在与2 010°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为________． 解析：2 010°＝676π＝12π－5π6， ∴与2 010°终边相同的角中绝对值最小的角的弧度数为－5π6. 答案：－5π6[清易错]1．注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．2．角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．3．已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况． 1．下列说法正确的是( )A ．三角形的内角必是第一、二象限角B ．第一象限角必是锐角C ．不相等的角终边一定不相同D ．若β＝α＋2k π(k ∈Z )，则α和β终边相同 答案：D2．已知点P ⎝⎛⎭⎫32，－12在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )A.5π6B.2π3 C.11π6D.5π3解析：选C 因为点P⎝⎛⎭⎫32，－12在角θ的终边上，所以角θ的终边在第四象限，且tan θ＝－33. 又θ∈[0,2π)，所以θ＝11π6.3．已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，则sin α＋cos α＝________. 解析：设α终边上任一点为P (－4a,3a )， 当a ＞0时，r ＝5a ，sin α＝35，cos α＝－45；当a ＜0时，r ＝－5a ，sin α＝－35，cos α＝45.故sin α＋cos α＝15或－15.答案：±151．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系 sin 2α＋cos 2α＝1； (2)商数关系 tan α＝sin αcos α.2．诱导公式3．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β； cos(α∓β)＝cos_αcos_β±sin_αsin_β； tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.4．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin_αcos_α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α1－tan 2α.[小题速通]1．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，tan(α－π)＝－34，则sin α＋cos α的值是( ) A ．±15 B.15 C ．－15 D ．－75解析：选C 由α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，tan(α－π)＝tan α＝－34<0，得α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝－34cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1，解得sin α＝35，cos α＝－45，则sin α＋cos α＝－15.2．已知sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝35，则cos(π－2α)的值为( ) A.2425 B.725 C ．－725D ．－2425解析：选B 由sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝35，可得cos α＝35，则cos(π－2α)＝－cos 2α＝1－2cos 2α＝725. 3．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，则sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝________. 解析：因为cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，所以sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝sin π2－⎝⎛⎭⎫π6－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33. 答案：334．已知tan α＝2，则sin α＋cos α2sin α＋cos α＝________.解析：因为tan α＝2，所以原式＝sin α＋cos α2sin α＋cos α＝tan α＋12tan α＋1＝35.答案：355．计算：sin 250°1＋sin 10°＝________.解析：sin 250°1＋sin 10°＝1－cos 100°2(1＋sin 10°)＝1－cos (90°＋10°)2(1＋sin 10°)＝1＋sin 10°2(1＋sin 10°)＝12.答案：12[清易错]1．利用平方关系解决问题时，要注意开方运算结果的符号，需要根据角的范围进行确定．2．在使用两角和与差的余弦或正切公式时运算符号易错． 1．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＋cos α＝33，则cos(2 018π－2α)＝( ) A ．±63B ．－53C ．－63D ．±53解析：选B 将sin α＋cos α＝33两边平方，化简可得sin 2α＝－23， 因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＋cos α＝33>0， 所以α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，2α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，所以cos 2α<0， 则cos(2 018π－2α)＝cos 2α＝－1－sin 22α＝－53. 2．若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝13，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则sin α的值为( ) A.4－26B.4＋26C.718D.23解析：选A 由cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝13，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，可得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝223，则sin α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π4－π4＝223×22－13×22＝4－26.正弦、余弦、正切函数的图象与性质正弦、余弦、正切函数的图象与性质1．函数y ＝1－2sin 22x 的最小正周期是( ) A.π4 B.π2 C.2π3D ．π解析：选B 因为函数y ＝1－2sin 22x ＝cos 4x ，所以函数的最小正周期T ＝π2.2．若函数f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上的最大值为1，则ω＝( ) A.14 B.13 C.12D.32解析：选C 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，所以ωx ∈⎣⎡⎦⎤0，ωπ3，又因为函数f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上的最大值为1，所以ωπ3＝π6，则ω＝12. 3．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π，则f ⎝⎛⎭⎫π8＝( ) A ．1 B.12 C ．－1D ．－12解析：选A 由题设知2πω＝π，所以ω＝2，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，所以f ⎝⎛⎭⎫π8＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π8＋π4＝sin π2＝1.4．(2018·杭州模拟)若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( )A.π2B.2π3C.3π2D.5π3解析：选C 由已知f (x )＝sin x ＋φ3是偶函数，可得φ3＝k π＋π2(k ∈Z)，即φ＝3k π＋3π2(k∈Z)，又φ∈[0,2π]，所以φ＝3π2. 5．若函数f (x )＝sin ω x (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω等于( )A.23 B.32 C ．2D ．3解析：选B ∵f (x )＝sin ω x (ω>0)过原点，∴当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 是增函数；当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π2ω时，y ＝sin ωx 是减函数． 由f (x )＝sin ωx (ω>0)在⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增， 在⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减知，π2ω＝π3，∴ω＝32. [清易错]1．正切函数的图象是由直线x ＝k π＋π2(k ∈Z)隔开的无穷多支曲线组成，单调增区间是⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π，k ∈Z ，不能说它在整个定义域内是增函数，如π4<3π4，但是tan π4>tan 3π4，正切函数不存在减区间．2．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．3．研究三角函数单调性、对称中心、奇偶性及对称轴时易忽视“k ∈Z ”这一条件． 1．(2018·石家庄一模)函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z) B.⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z) C.⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z) D.⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z) 解析：选B 由k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z)得，k π2－π12＜x ＜k π2＋5π12(k ∈Z)，所以函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z)． 2．函数f (x )＝sin(－2x )，x ∈[0,2π]的单调递增区间是________________． 解析：f (x )＝sin(－2x )＝－sin 2x ， 令2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π4≤x ≤k π＋3π4，k ∈Z ，所以函数f (x )在[0,2π]上的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤π4，3π4，⎣⎡⎦⎤5π4，7π4. 答案：⎣⎡⎦⎤π4，3π4，⎣⎡⎦⎤5π4，7π4函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用 [过双基]1．用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示： x －φω －φω＋π2ωπ－φω 3π2ω－φω 2π－φω ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π y ＝A sin(ωxA－A法一 法二[小题速通]1．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π上的简图是( )解析：选A 令x ＝0，得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝－32，排除B 、D.由f ⎝⎛⎭⎫－π3＝0，f ⎝⎛⎭⎫π6＝0，排除C ，故选A.2．将函数y ＝sin 2x 的图象先向左平移π6个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的函数解析式是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1 解析：选B 由题意可得函数的解析式为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋1＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1.3.函数f (x )＝33sin ωx (ω>0)的部分图象如图所示，点A ，B 是图象的最高点，点C 是图象的最低点，且△ABC 是正三角形，则f (1)＋f (2)＋f (3)的值为( )A.92B.932 C ．93＋1D.9(3＋1)2解析：选D 因为△ABC 是正三角形， 所以△ABC 的高是63， 则△ABC 的边长是12，即函数f (x )＝33sin ωx (ω>0)的周期为12， 所以ω＝π6，f (x )＝33sin π6x ，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＝33sin π6＋33sin π3＋33sin π2＝9(3＋1)2.4.如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫x ∈R ，A >0，ω>0，0<φ<π2在区间⎣⎡⎦⎤－π6，5π6上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将y ＝sin x (x ∈R)的图象上所有的点( )A ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变C ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变D ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变解析：选D 由图象可知，A ＝1，周期T ＝π，所以ω＝2，又sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ＝0且0<φ<π2，所以φ＝π3，则y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，由图象变换可知选D. [清易错]1．由y ＝A sin ωx 的图象得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时，需平移的单位数应为⎪⎪⎪⎪φω，而不是|φ|.2．要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数．1．要得到函数y ＝cos(2x ＋1)的图象，只要将函数y ＝cos 2x 的图象( ) A ．向左平移1个单位 B ．向右平移1个单位 C ．向左平移12个单位D ．向右平移12个单位解析：选C ∵y ＝cos(2x ＋1)＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋12， ∴只要将函数y ＝cos 2x 的图象向左平移12个单位即可．2．函数y ＝cos(2x ＋φ)(－π≤φ<π)的图象向右平移π2个单位后，与函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象重合，则φ＝________.解析：将y ＝cos(2x ＋φ)的图象向右平移π2个单位后得到y ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π2＋φ的图象，化简得y ＝－cos(2x ＋φ)，又可变形为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ－π2.由题意可知φ－π2＝π3＋2k π(k ∈Z)，所以φ＝5π6＋2k π(k ∈Z)，结合－π≤φ<π，知φ＝5π6.答案：5π6一、选择题1.(2018·杭州模拟)如图所示，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠AOP ＝θ，则点P 的坐标是( )A ．(cos θ，sin θ)B ．(－cos θ，sin θ)C ．(sin θ，cos θ)D ．(－sin θ，cos θ)解析：选A 由三角函数的定义知x P ＝cos θ，y P ＝sin θ，故选A.2．若α＝k ·360°＋θ，β＝m ·360°－θ(k ，m ∈Z)，则角α与β的终边的位置关系是( ) A ．重合 B ．关于原点对称 C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称解析：选C 角α与θ终边相同，β与－θ终边相同． 又角θ与－θ的终边关于x 轴对称． ∴角α与β的终边关于x 轴对称．3．已知sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝12，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π3的值是( ) A.12 B.23 C ．－12D ．1解析：选C 由已知得cos α＝12，sin α＝－32，∴cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＝12cos α＋32sin α＝－12.4．(2018·淄博调研)已知tan α＝2，则sin 2α－sin αcos α的值是( ) A.25 B ．－25C ．－2D ．2解析：选A sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1 ，把tan α＝2代入，原式＝25.5．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2，x ∈R ，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数解析：选B ∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－cos 2x ，∴f (x )是最小正周期为π的偶函数． 6．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( ) A ．关于直线x ＝π3对称B ．关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称 C ．关于直线x ＝－π6对称D ．关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称解析：选B ∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，∴ω＝2，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 经验证可知f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋π3＝sin π＝0， 即⎝⎛⎭⎫π3，0是函数f (x )的一个对称点．7．将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数( ) A ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递减 B ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增 C ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递减 D ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递增 解析：选B 平移后的函数为y ＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π2＋π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3，增区间：－π2＋2k π≤2x －2π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，即π12＋k π≤x ≤7π12＋k π，k ∈Z ，令k ＝0时，π12≤x ≤7π12，故所得图象对应的函数在⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增，在⎣⎡⎦⎤－π6，π3上不单调，故选B. 8.(2018·河北衡水中学调研)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的部分图象如图所示，下面结论错误的是( )A ．函数f (x )的最小正周期为2π3B ．函数f (x )的图象可由g (x )＝A cos ωx 的图象向右平移π12个单位长度得到 C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π12对称D ．函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π4，π2上单调递增解析：选D 函数的最小正周期T ＝2⎝⎛⎭⎫11π12－7π12＝2π3，选项A 正确；由T ＝2π3得ω＝3.又f ⎝⎛⎭⎫7π12＝A cos ⎝⎛⎭⎫7π4＋φ＝0，所以φ＝k π－5π4(k ∈Z)．又f ⎝⎛⎭⎫π2＝A cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋φ＝A sin φ＝－23，所以sin φ<0，φ＝－π4＋2k π(k ∈Z)，即f (x )＝A cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4，函数g (x )＝A cos 3x 的图象向右平移π12个单位长度得到的图象对应的函数的解析式为y ＝g ⎝⎛⎭⎫x －π12＝A cos ⎣⎡⎦⎤3⎝⎛⎭⎫x －π12＝A cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4＝f (x )，选项B 正确；当x ＝π12时，f (x )＝A ，因此函数f (x )的图象关于直线x ＝π12对称，选项C 正确；当x ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2时，3x －π4∈⎝⎛⎭⎫π2，5π4，故函数f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，π2上不是单调递增的，选项D 错误．二、填空题9．函数f (x )＝sin x －4sin 3x 2cos x2的最小正周期为________．解析：f (x )＝sin x －2sin 2x 2sin x ＝sin x cos x ＝12sin 2x ，所以函数的最小正周期T ＝π.答案：π10．在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴为始边作锐角α，它的终边与单位圆相交于点A ，且点A 的横坐标为513，则tan ⎝⎛⎭⎫π－α2的值为________． 解析：由题意知cos α＝513，因为α为锐角，所以cos α2＝1＋cos α2＝313，sin α2＝ 1－cos 2α2＝213，所以tan ⎝⎛⎭⎫π－α2＝－tan α2＝－sinα2cos α2＝－23. 答案：－2311．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则φ＝________.解析：由图象知A ＝1，T ＝4⎝⎛⎭⎫7π12－π3＝π， 故ω＝2，再由2×π3＋φ＝π2，得φ＝－π6.答案：－π612．函数f (x )＝log 21＋sin 2xsin x ＋cos x的最大值为________．解析：因为1＋sin 2x sin x ＋cos x ＝(sin x ＋cos x )2sin x ＋cos x ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4∈(0，2]， 又因为函数y ＝log 2x 是增函数，所以，当1＋sin 2x sin x ＋cos x ＝2时，函数f (x )＝log 2 1＋sin 2x sin x ＋cos x 取得最大值为12.答案：12三、解答题13．设函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6()ω>0，x ∈R 的最小正周期为π2. (1)求f (x )的解析式；(2)利用“五点作图法”，画出f (x )在长度为一个周期的闭区间上的简图； (3)已知f ⎝⎛⎭⎫α4＋π12＝95，求cos α的值． 解：(1)∵T ＝2πω＝π2⇒ω＝4，∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6. (2)列表：(3)∵f ⎝⎛⎭⎫α4＋π12＝3sin ⎣⎡⎦⎤4⎝⎛⎭⎫α4＋π12＋π6 ＝3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝3cos α＝95，∴cos α＝35. 14．已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫3sin x 4，1，n ＝⎝⎛⎭⎫cos x 4，cos 2x4，记f (x )＝m ·n . (1)若f (x )＝1，求cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的值； (2)在锐角△ABC 中，(2a －c )cos B ＝b cos C ，求f (2A )的取值范围．解：(1)f (x )＝m ·n ＝3sin x 4cos x 4＋cos 2x 4＝32sin x 2＋12cos x 2＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＋12， 由f (x )＝1，得sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＝12， 所以cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＝12. (2)因为(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， 所以2sin A cos B －sin C cos B ＝sin B cos C ， 所以2sin A cos B ＝sin(B ＋C )，因为A ＋B ＋C ＝π， 所以sin(B ＋C )＝sin A ，且sin A ≠0，所以cos B ＝12，又0<B <π2，所以B ＝π3.则A ＋C ＝2π3，A ＝2π3－C ，又0<C <π2，0<A <π2， 则π6<A <π2，得π3<A ＋π6<2π3， 所以32<sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6≤1， 又因为f (2A )＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＋12，故函数f (2A )的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤3＋12，32.15．(2018·青岛模拟)已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ωx ＋π6＋a (ω>0)图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求a 和ω的值；(2)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间． 解：(1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6＋a ＝4cos ωx ·32sin ωx ＋12cos ωx ＋a＝23sin ωx cos ωx ＋2cos 2ωx －1＋1＋a ＝3sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋1＋a ＝2sin2ωx ＋π6＋1＋a .当sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＝1时，f (x )取得最大值2＋1＋a ＝3＋a ， 又f (x )图象上最高点的纵坐标为2，∴3＋a ＝2， ∴a ＝－1.又f (x )图象上相邻两个最高点的距离为π，∴f (x )的最小正周期T ＝π，∴2ω＝2πT ＝2，∴ω＝1.(2)由(1)得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z. 令k ＝0，得π6≤x ≤2π3，∴函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π6，2π3. 高考研究课(一)三角函数的3个基本考点——定义、公式和关系 [全国卷5年命题分析]诱导公式5年1考 变角求值三角函数的定义[典例] (1)点P 从(－1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动 8π3弧长到达点Q ，则点Q 的坐标为________．(2)已知角α的终边上一点P (－3，m )(m ≠0)，且sin α＝2m4，求cos α，tan α的值． [解析] (1)设点A (－1,0)，点P 从(－1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动 8π3弧长到达点Q ，则∠AOQ ＝8π3－2π＝2π3(O 为坐标原点)，所以∠xOQ ＝π3，cos π3＝12，sin π3＝32，所以点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，32.答案：⎝⎛⎭⎫12，32(2)由题设知x ＝－3，y ＝m ，∴r 2＝|OP |2＝()－32＋m 2(O 为原点)，r ＝3＋m 2. ∴sin α＝m r ＝2m 4＝m22，∴r ＝3＋m 2＝22， 即3＋m 2＝8，解得m ＝±5.当m ＝5时，r ＝22，x ＝－3，y ＝5， ∴cos α＝－322＝－64， tan α＝－153；当m ＝－5时，r ＝22，x ＝－3，y ＝－5， ∴cos α＝－322＝－64， tan α＝153.[方法技巧](1)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P 的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．(2)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．[即时演练]1．已知角α终边与单位圆x 2＋y 2＝1的交点为P ⎝⎛⎭⎫12，y ，则sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝( )A ．－12B.12 C ．－32D ．1解析：选A 因为角α终边与单位圆x 2＋y 2＝1的交点为P ⎝⎛⎭⎫12，y ，所以cos α＝12， 所以sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝cos 2α＝2cos 2α－1＝－12. 2．在平面直角坐标系中，点M (3，m )在角α的终边上，点N (2m ，4)在角α＋π4的终边上，则m ＝( )A ．－6或1B ．－1或6C ．6D ．1解析：选A 由题意得，tan α＝m 3，tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝42m ＝2m ，∴2m ＝1＋m 31－m 3，∴m ＝－6或1.诱导公式[典例] (1)(2018·淄博模拟)已知sin ⎝⎛⎭7π12＋α＝23，则cos ⎝⎭⎫α－11π12＝________； (2)化简：1－2sin 40°cos 40°cos 40°－1－sin 250°＝________.[解析] (1)cos ⎝⎛⎭⎫α－11π12＝cos ⎝⎛⎭⎫11π12－α ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π12＋α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π12＋α， 而sin ⎝⎛⎭⎫7π12＋α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π12＋α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π12＋α＝23， 所以cos ⎝⎛⎭⎫α－11π12＝－23. (2)原式＝sin 240°＋cos 240°－2sin 40°cos 40°cos 40°－cos 250°＝|sin 40°－cos 40°|cos 40°－cos 50°＝cos 40°－sin 40°cos 40°－sin 40°＝1.[答案] (1)－23 (2)1[方法技巧]利用诱导公式化简三角函数的思路和要求思路方法：(1)分析结构特点，选择恰当公式； (2)利用公式化成单角三角函数； (3)整理得最简形式． 化简要求：(1)化简过程是恒等变形；(2)结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值． [即时演练]1．已知函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，且f (4)＝3，则f (2 017)的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．3D ．－3解析：选D ∵f (4)＝a sin(4π＋α)＋b cos(4π＋β) ＝a sin α＋b cos β＝3，∴f (2 017)＝a sin(2 017π＋α)＋b cos(2 017π＋β) ＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β) ＝－a sin α－b cos β ＝－(a sin α＋b cos β)＝－3. 即f (2 017)＝－3.2．已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，α是第三象限角，则sin ⎝⎛⎭⎫－α－3π2cos ⎝⎛⎭⎫3π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋α·tan 2(π－α)＝________.解析：∵方程5x 2－7x －6＝0的根为－35或2，又α是第三象限角，∴sin α＝－35，∴cos α＝－1－sin 2α＝－45，∴tan α＝sin αcos α＝34，∴原式＝cos α(－sin α)sin αcos α·tan 2α＝－tan 2α＝－916.答案：－916同角三角函数的基本关系同角三角函数的基本关系是三角变换的基础，也是高考命题的热点，难度不大，属低档题.,常见的命题角度有：(1)知弦求弦、切问题； (2)知切求弦问题；(3)sin α±cos α，sin αcos α的关系应用问题； (4)已知tan α，求f (sin α，cos α)值问题. 角度一：知弦求弦、切问题1．已知cos α＝k ，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则sin(π＋α)＝( ) A ．－1－k 2 B.1－k 2 C ．±1－k 2D ．－k解析：选A 由cos α＝k ，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，得sin α＝1－k 2， ∴sin(π＋α)＝－sin α＝－1－k 2，故选A.2．已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－12，α∈(0，π)，则cos α＝( ) A.12 B ．－12C.32D ．－32解析：选D 因为α∈(0，π)，所以α＋π3∈⎝⎛⎭⎫π3，4π3， 又因为sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－12，所以α＋π3＝7π6，即α＝5π6， 则cos α＝－32. 角度二：知切求弦问题3．已知tan(α－π)＝34，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝( ) A.45 B ．－45C.35D ．－35解析：选B 由tan(α－π)＝34，得tan α＝34，又因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，所以α为第三象限角， 所以sin α＝－35，cos α＝－45.所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝cos α＝－45.角度三：sin α±cos α，sin αcos α的关系应用问题4．(2018·揭阳模拟)已知sin αcos α＝18，且5π4＜α＜3π2，则cos α－sin α的值为( )A ．－32B.32C ．－34D.34解析：选B ∵5π4＜α＜3π2，∴cos α＜0，sin α＜0且|cos α|＜|sin α|，∴cos α－sin α＞0，又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，∴cos α－sin α＝32. 5．已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝23⎝⎛⎭⎫π2＜α＜π，则sin α－cos α＝________.解析：由sin (π－α)－cos(π＋α)＝23， 得sin α＋cos α＝23， 将式子两边平方得1＋2sin αcos α＝29，故2sin αcos α＝－79.∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－⎝⎛⎭⎫－79＝169. 又∵π2＜α＜π，∴sin α＞0，cos α＜0.∴sin α－cos α＝43.答案：43角度四：已知tan α，求f (sin α，cos α)值问题6．已知α是三角形的内角，且tan α＝－13， 则sin α＋cos α＝________.解析：由tan α＝－13，得sin α＝ －13cos α，将其代入 sin 2α＋cos 2α＝1，得109cos 2α＝1，∴cos 2α＝910，易知cos α＜0， ∴cos α＝－31010， sin α＝1010，故 sin α＋cos α＝－105. 答案：－1057．已知tan(α＋β)＝2，tan(α－β)＝3，则sin 2αcos 2β的值为________．解析：sin 2αcos 2β＝sin[(α＋β)＋(α－β)]cos[(α＋β)－(α－β)]＝sin (α＋β)cos (α－β)＋cos (α＋β)sin (α－β)cos (α＋β)cos (α－β)＋sin (α＋β)sin (α－β) ＝tan (α＋β)＋tan (α－β)1＋tan (α＋β)tan (α－β)＝2＋31＋2×3＝57. 答案：57[方法技巧]同角三角函数基本关系式的应用技巧1．(2016·全国卷Ⅲ)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝( )A.6425 B.4825 C ．1D.1625解析：选A 因为tan α＝34，所以cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝1＋4tan αtan 2α＋1＝1＋4×34⎝⎛⎭⎫342＋1＝6425. 2．(2014·大纲卷)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝( ) A.45 B.35 C ．－35D ．－45解析：选D 记P (－4,3)，则x ＝－4，y ＝3，r ＝|OP |＝(－4)2＋32＝5，故cos α＝x r ＝－45＝－45.3．(2014·全国卷Ⅰ)若tan α>0，则( ) A ．sin 2α>0 B ．cos α>0 C ．sin α>0D ．cos 2α>0解析：选A 由tan α>0，可得α的终边在第一象限或第三象限，此时sin α与cos α同号，sin 2α＝2sin αcos α>0，故选A.4．(2016·全国卷Ⅰ)已知θ是第四象限角，且sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝________. 解析：由题意知sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，θ是第四象限角， 所以cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＞0， 所以cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝45. tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－π2 ＝－sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫θ＋π4cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－45×53＝－43.答案：－43一、选择题1.如图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点B ，C 在圆O 上，且B ⎝⎛⎭⎫45，－35，点C 在第一象限，∠AOC ＝α，BC ＝1，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α＝( ) A ．－45B ．－35C.35D.45解析：选B 由已知可得OB ＝1，即圆O 的半径为1， 又因为BC ＝1，所以△OBC 是等边三角形， 所以cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π3－α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝－sin ∠BOA ＝－35. 2．(2018·江西六校联考)点A (sin 2 018°，cos 2 018°)位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选C 因为sin 2 018°＝sin(11×180°＋38°) ＝－sin 38°＜0，cos 2 018°＝cos(11×180°＋38°) ＝－cos 38°＜0，所以点A (sin 2 018°，cos 2 018°)位于第三象限． 3．若sin θcos θ＝12，则tan θ＋cos θsin θ的值是( )A ．－2B ．2C ．±2D.12解析：选B tan θ＋cos θsin θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1cos θsin θ＝2. 4．(2018·江西五校联考)cos 350°－2sin 160°sin (－190°)＝( )A ．－ 3B ．－32C.32D. 3解析：选D 原式＝cos (360°－10°)－2sin (180°－20°)－sin (180°＋10°)＝cos 10°－2sin (30°－10°)－(－sin 10°)＝cos 10°－2⎝⎛⎭⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°＝3sin 10°sin 10°＝ 3.5．已知A (x A ，y A )是单位圆(圆心在坐标原点O )上任意一点，将射线OA 绕O 点逆时针旋转30°，交单位圆于点B (x B ，y B )，则x A －y B 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[－2，2]C ．[－1,1]D.⎣⎡⎦⎤－12，12 解析：选C 设沿x 轴正方向逆时针旋转到射线OA 的角为α，根据三角函数的定义得x A ＝cos α，y B ＝sin(α＋30°)，所以x A －y B ＝cos α－sin(α＋30°)＝－32sin α＋12cos α＝sin(α＋150°)∈[－1,1]．6．(2018·日照模拟)已知－π2＜α＜0，sin α＋cos α＝15，则1cos 2α－sin 2α的值为( )A.75 B.725 C.257D.2425解析：选C ∵sin α＋cos α＝15，∴1＋sin 2α＝125，即sin 2α＝－2425，又∵－π2<α<0，∴cos α－sin α>0.∴cos α－sin α＝1－sin 2α＝75，∴1cos 2α－sin 2α＝1(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝257. 二、填空题 7．若tan α＝3，则sin (α－π)＋cos (π－α)sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝________.解析：因为tan α＝3，所以sin (α－π)＋cos (π－α)sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α－cos αcos α－sin α＝tan α＋1tan α－1＝2.答案：28．(2018·枣庄模拟)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a (|a |≤1)，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ的值是________．解析：由题意知，cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－θ ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝－a .sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π6－θ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a ， ∴cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝0. 答案：09．(2018·成都一诊)在直角坐标系xOy 中，已知任意角θ以坐标原点O 为顶点，以x 轴的非负半轴为始边，若其终边经过点P (x 0，y 0)，且OP ＝r (r ＞0)，定义：sicos θ＝y 0－x 0r ，称“sicos θ”为“θ的正余弦函数”，若sicos θ＝0，则sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝________. 解析：因为sicos θ＝0，所以y 0＝x 0，所以θ的终边在直线y ＝x 上，所以当θ＝2k π＋π4，k ∈Z 时，sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫4k π＋π2－π3＝cos π3＝12；当θ＝2k π＋5π4，k ∈Z 时，sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫4k π＋5π2－π3＝cos π3＝12.综上得sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝12. 答案：12三、解答题10．已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，求10sin α＋3cos α的值． 解：设α终边上任一点为P (k ，－3k )， 则r ＝k 2＋(－3k )2＝10|k |. 当k ＞0时，r ＝10k ， ∴sin α＝－3k 10k ＝－310，1cos α＝10k k ＝10， ∴10sin α＋3cos α＝－310＋310＝0； 当k ＜0时，r ＝－10k ，∴sin α＝－3k －10k ＝310，1cos α＝－10k k ＝－10，∴10sin α＋3cos α＝310－310＝0. 综上，10sin α＋3cos α＝0. 11．已知cos(α－7π)＝－35，求sin(3π＋α)·tan ⎝⎛⎭⎫α－7π2的值． 解：∵cos(α－7π)＝cos(7π－α)＝cos(π－α)＝－cos α ＝－35，∴cos α＝35.∴sin(3π＋α)·tan ⎝⎛⎭⎫α－7π2 ＝sin(π＋α)·⎣⎡⎦⎤－tan ⎝⎛⎭⎫7π2－α ＝sin α·tan ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α·sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α ＝sin α·cos αsin α＝cos α＝35.12．已知α为第三象限角，f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π2·cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α·tan (π－α)tan (－α－π)·sin (－α－π).(1)化简f (α)；(2)若cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，求f (α)的值． 解：(1)f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π2·cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α·tan (π－α)tan (－α－π)·sin (－α－π)＝(－cos α)·sin α·(－tan α)(－tan α)·sin α＝－cos α.(2)∵cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，∴－sin α＝15， 从而sin α＝－15.又α为第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－265， ∴f (α)＝－cos α＝265.1．若sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝m ，且β为第三象限角，则cos β的值为( ) A.1－m 2 B ．－1－m 2 C.m 2－1D ．－m 2－1解析：选B 因为m ＝sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝sin [(α－β)－α]＝sin(－β)，所以sin β＝－m .因为β为第三象限角，所以cos β＝－1－sin 2β＝－1－m 2.2．化简cos 2(n π＋x )·sin 2(n π－x )cos 2[(2n ＋1)π－x ](n ∈Z)的结果为________．解析：当n 为偶数，即n ＝2k (k ∈Z)时，原式＝cos 2(2k π＋x )·sin 2(2k π－x )cos 2[(2×2k ＋1)π－x ]＝cos 2x ·sin 2(－x )cos 2(π－x )＝cos 2x ·(－sin x )2(－cos x )2＝sin 2x ； 当n 为奇数，即n ＝2k ＋1(k ∈Z)时， 原式＝cos 2[(2k ＋1)π＋x ]·sin 2[(2k ＋1)π－x ]cos 2{[2×(2k ＋1)＋1]π－x }＝cos 2[2k π＋(π＋x )]·sin 2[2k π＋(π－x )]cos 2[2×(2k ＋1)π＋(π－x )]＝cos 2(π＋x )·sin 2(π－x )cos 2(π－x )＝(－cos x )2sin 2x (－cos x )2＝sin 2x ，故化简的结果为sin 2x . 答案：sin 2x 高考研究课(二)三角函数的1个常考点——图象与性质 [全国卷5年命题分析][典例] (1) (2)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为________．(3)函数f (x )＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4的值域为________． [解析] (1)要使函数y ＝lg(2sin x －1)＋1－2cos x 有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧2sin x －1＞0，1－2cos x ≥0，即⎩⎨⎧sin x ＞12，cos x ≤12.解得2k π＋π3≤x <2k π＋5π6，k ∈Z.即函数的定义域为⎣⎡⎭⎫2k π＋π3，2k π＋5π6，k ∈Z.(2)∵0≤x ≤9， ∴－π3≤π6x －π3≤7π6，∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3≤1， 故－3≤2sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3≤2.即函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3(0≤x ≤9)的最大值为2，最小值为－ 3.所以最大值与最小值的和为2－ 3.(3)f (x )＝cos 2x ＋sin x ＝－sin 2x ＋sin x ＋1 ＝－⎝⎛⎭⎫sin x －122＋54， 又∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4， ∴sin x ∈⎣⎡⎦⎤－22，22， ∴f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－22，54.[答案] (1)⎣⎡⎭⎫2k π＋π3，2k π＋5π6，k ∈Z (2)2－ 3 (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－22，54[方法技巧]1．三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数图象来求解． 2．三角函数最值或值域的求法(1)直接法：直接利用sin x 和cos x 的值域求解．(2)化一法：把所给三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域．(3)换元法：把sin x 、cos x 、sin x cos x 或sin x ±cos x 换成t ，转化为二次函数求值域． [即时演练]1．函数y ＝|sin x |＋sin x 的值域为( ) A ．[－1,1] B ．[－2,2] C ．[－2,0]D ．[0,2]解析：选D ∵y ＝|sin x |＋sin x＝⎩⎪⎨⎪⎧2sin x ，sin x ≥0，0，sin x ＜0. 又∵－1≤sin x ≤1，∴y ∈[0,2]， 即函数的值域为[0,2]．2．在△ABC 中，sin A cos B ＝－(2sin C ＋sin B )cos A ，则函数f (x )＝2sin 2x ＋sin(2x －A )在区间⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值为________． 解析：由sin A cos B ＝－(2sin C ＋sin B )cos A ，可得sin(A ＋B )＝－2sin C cos A ，即sin C ＝－2sin C cos A . 因为sin C ≠0，所以cos A ＝－12，则A ＝2π3，所以f (x )＝2sin 2x ＋sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3＝32sin 2x －32cos 2x ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，所以2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3， 所以f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫π4＝32. 答案：323．求函数y ＝sin x ＋cos x ＋3cos x sin x 的最值． 解：令t ＝sin x ＋cos x ，则t ∈[－2，2]． ∵(sin x ＋cos x )2－2sin x cos x ＝1， ∴sin x cos x ＝t 2－12，∴y ＝32t 2＋t －32，t ∈[－2，2]，∵对称轴t ＝－13∈[－2，2]，∴y min ＝f ⎝⎛⎭⎫－13＝32×19－13－32＝－53， y max ＝f (2)＝32＋ 2.[典例] (2017·x (x ∈R)． (1)求f ⎝⎛⎭⎫2π3的值；(2)求f (x )的最小正周期及单调递增区间．[思路点拨] (1)欲求f ⎝⎛⎭⎫2π3的值，把x ＝2π3直接代入f (x )的解析式求解；(2)欲求函数f (x )的性质问题，应把f (x )的解析式化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式，再求其最小正周期及单调增区间．[解] (1)由sin2π3＝32，cos 2π3＝－12， 得f ⎝⎛⎭⎫2π3＝⎝⎛⎭⎫322－⎝⎛⎭⎫－122－23×32×⎝⎛⎭⎫－12＝2. (2)由cos 2x ＝cos 2x －sin 2x 与sin 2x ＝2sin x cos x ，得 f (x )＝－cos 2x －3sin 2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 所以f (x )的最小正周期是π. 由正弦函数的性质，令π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z)． [方法技巧]1．求三角函数单调区间的2种方法2．1．已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上是减函数，则ω的取值范围是________． 解析：由π2＜x ＜π，得π2ω＋π4＜ωx ＋π4＜πω＋π4，由题意知⎝⎛⎭⎫π2ω＋π4，πω＋π4⊆π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z)且2πω≥2×⎝⎛⎭⎫π－π2，则⎩⎨⎧π2ω＋π4≥π2＋2k π，k ∈Z ，πω＋π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，且0＜ω≤2，故12≤ω≤54. 答案：⎣⎡⎦⎤12，542．函数f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x 的递减区间是________．解析：f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x ＝12sin 2x ＋12(cos 2x ＋1)＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋12， 由2k π＋π2≤2x ＋π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ，可得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8，k ∈Z ，所以函数f (x )的递减区间是⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8，k ∈Z. 答案：⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8，k ∈Z1．(2016·山东高考)函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是( ) A.π2 B ．π C.3π2D ．2π解析：选B 法一：∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x ) ＝4⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x ⎝⎛⎭⎫32cos x －12sin x＝4sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，∴T ＝2π2＝π.法二：∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x ) ＝3sin x cos x ＋3cos 2x －3sin 2x －sin x cos x ＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴T ＝2π2＝π.故选B.2．已知函数f (x )＝3sin ωx cos ωx －4cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π，且f (θ)＝12，则f ⎝⎛⎭⎫θ＋π2＝( )A ．－52B ．－92C ．－112D ．－132解析：选B f (x )＝32sin 2ωx －2cos 2ωx －2，因为函数f (x )的最小正周期为π，所以ω＝1， 又f (θ)＝32sin 2θ－2cos 2θ－2＝12，即32sin 2θ－2cos 2θ＝52， 则f ⎝⎛⎭⎫θ＋π2＝32sin(2θ＋π)－2cos(2θ＋π)－2＝－32sin 2θ＋2cos 2θ－2＝－92. 角度二：三角函数的奇偶性3．已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋ 3 cos(x ＋θ)⎝⎛⎭⎫θ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2是偶函数，则θ的值为( ) A ．0 B.π6 C.π4D.π3解析：选B 据已知可得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋θ＋π3， 若函数为偶函数，则必有θ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z)，又由于θ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，故有θ＋π3＝π2，解得θ＝π6， 经代入检验符合题意． [方法技巧]若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则φ＝k π＋π2(k ∈Z)，同时，当x ＝0时，f (x )取得最大或最小值；若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则φ＝k π(k ∈Z)，同时，当x ＝0时，f (x )＝0.角度三：三角函数的对称性4．若函数f (x )＝3sin(2x ＋θ)＋cos(2x ＋θ)(0<θ<π)的图象关于⎝⎛⎭⎫π2，0对称，则函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，π6上的最小值是( ) A ．－1 B ．－ 3 C ．－12D ．－32解析：选B f (x )＝3sin(2x ＋θ)＋cos(2x ＋θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋θ＋π6，则由题意，知f ⎝⎛⎭⎫π2＝2sin ⎝⎛⎭⎫π＋θ＋π6＝0，又0<θ<π，所以θ＝5π6，所以f (x )＝－2sin 2x ，f (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，π6上是减函数，所以函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，π6上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫π6＝－2sin π3＝－3，故选B. 5．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6－1(ω>0)的导数f ′(x )的最大值为3，则f (x )的图象的一条对称轴的方程是( )A ．x ＝π9B ．x ＝π6C ．x ＝π3D ．x ＝π2解析：选A f ′(x )＝ωcos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6，因为导数f ′(x )的最大值为3，所以ω＝3，则f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6－1，令3x ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π3＋π9，k ∈Z ，令k ＝0，可得x ＝π9，故选A.[方法技巧]对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．角度四：三角函数性质的综合应用6．已知函数f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3(x ∈R)，下列结论错误的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为π B ．函数f (x )图象关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0对称C ．函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是减函数 D ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称解析：选C 函数f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的最小正周期为π，且f ⎝⎛⎭⎫5π12＝0，f ⎝⎛⎭⎫π6＝3，则函数f (x )图象关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0对称，函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，因此A 、B 、D 正确，令2k π≤2x －π3≤π＋2k π，k ∈Z ，得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z ，所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上不单调，故C 错误．7．(2018·福建连城模拟)已知函数f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)若当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2时，关于x 的方程f (x )－m ＝2有解，求实数m 的取值范围． 解：(1)f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos 2x ＝1－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1， 则函数f (x )的最小正周期为π. 令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z)，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z)，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z)． (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2时，2x －π3∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎣⎡⎦⎤12，1，所以f (x )∈[2,3]， 而f (x )＝m ＋2，所以m ＋2∈[2,3]，即m ∈[0,1]．1．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( ) A ．f (x )的一个周期为－2πB ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π单调递减解析：选D 根据函数解析式可知函数f (x )的最小正周期为2π，所以函数的一个周期为－2π，A 正确；。
2019年精选高考数学(文科)一轮复习通用版：第五单元 三角函数及其恒等变换
第五单元三角函数及其恒等变换教材复习课“三角函数及其恒等变换”相关基础知识一课过1．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S＝{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．2．弧长、扇形面积公式设扇形的弧长为l，圆心角大小为α(rad)，半径为r，则l＝|α|r，扇形的面积为S＝12lr＝12|α|·r2.3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin α＝y，cos α＝x，tan α＝yx(x≠0)．(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．(3)三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．[小题速通]1．(2018·济南模拟)已知sin θ－cos θ>1，则角θ的终边位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选B由已知得(sin θ－cos θ)2>1，即1－2sin θcos θ>1，sin θcos θ<0，所以sinθ>0>cos θ，所以角θ的终边在第二象限．2．已知α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，且cos α＝24x ，则x ＝( ) A. 3 B ．±3 C ．－ 2D ．－ 3解析：选D 依题意得cos α＝x x 2＋5＝24x ＜0，由此解得x ＝－3，选D. 3．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α(0<α<π)的弧度数为( )A.π3B.π2C. 3D ．2解析：选C 设圆半径为r ，则其内接正三角形的边长为3r ，所以3r ＝αr ，故α＝ 3. 4．已知扇形的半径r ＝10 cm ，圆心角α为120°，则扇形的面积为________cm 2. 解析：因为120°＝2π3，由扇形的面积公式可得S ＝12αr 2＝12×2π3×102＝1003π(cm 2)． 答案：1003π 5．在与2 010°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为________． 解析：2 010°＝676π＝12π－5π6， ∴与2 010°终边相同的角中绝对值最小的角的弧度数为－5π6. 答案：－5π6[清易错]1．注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．2．角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．3．已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况． 1．下列说法正确的是( )A ．三角形的内角必是第一、二象限角B ．第一象限角必是锐角C ．不相等的角终边一定不相同D ．若β＝α＋2k π(k ∈Z )，则α和β终边相同 答案：D2．已知点P ⎝⎛⎭⎫32，－12在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )A.5π6B.2π3 C.11π6D.5π3解析：选C 因为点P⎝⎛⎭⎫32，－12在角θ的终边上，所以角θ的终边在第四象限，且tan θ＝－33. 又θ∈[0,2π)，所以θ＝11π6.3．已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，则sin α＋cos α＝________. 解析：设α终边上任一点为P (－4a,3a )， 当a ＞0时，r ＝5a ，sin α＝35，cos α＝－45；当a ＜0时，r ＝－5a ，sin α＝－35，cos α＝45.故sin α＋cos α＝15或－15.答案：±151．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系 sin 2α＋cos 2α＝1； (2)商数关系 tan α＝sin αcos α.2．诱导公式3．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β； cos(α∓β)＝cos_αcos_β±sin_αsin_β； tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.4．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin_αcos_α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α1－tan 2α.[小题速通]1．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，tan(α－π)＝－34，则sin α＋cos α的值是( ) A ．±15 B.15 C ．－15 D ．－75解析：选C 由α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，tan(α－π)＝tan α＝－34<0，得α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝－34cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1，解得sin α＝35，cos α＝－45，则sin α＋cos α＝－15.2．已知sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝35，则cos(π－2α)的值为( ) A.2425 B.725 C ．－725D ．－2425解析：选B 由sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝35，可得cos α＝35，则cos(π－2α)＝－cos 2α＝1－2cos 2α＝725. 3．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，则sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝________. 解析：因为cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，所以sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝sin π2－⎝⎛⎭⎫π6－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33. 答案：334．已知tan α＝2，则sin α＋cos α2sin α＋cos α＝________.解析：因为tan α＝2，所以原式＝sin α＋cos α2sin α＋cos α＝tan α＋12tan α＋1＝35.答案：355．计算：sin 250°1＋sin 10°＝________.解析：sin 250°1＋sin 10°＝1－cos 100°2(1＋sin 10°)＝1－cos (90°＋10°)2(1＋sin 10°)＝1＋sin 10°2(1＋sin 10°)＝12.答案：12[清易错]1．利用平方关系解决问题时，要注意开方运算结果的符号，需要根据角的范围进行确定．2．在使用两角和与差的余弦或正切公式时运算符号易错． 1．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＋cos α＝33，则cos(2 018π－2α)＝( ) A ．±63B ．－53C ．－63D ．±53解析：选B 将sin α＋cos α＝33两边平方，化简可得sin 2α＝－23， 因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＋cos α＝33>0， 所以α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，2α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，所以cos 2α<0， 则cos(2 018π－2α)＝cos 2α＝－1－sin 22α＝－53. 2．若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝13，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则sin α的值为( ) A.4－26B.4＋26C.718D.23解析：选A 由cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝13，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，可得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝223，则sin α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π4－π4＝223×22－13×22＝4－26.正弦、余弦、正切函数的图象与性质正弦、余弦、正切函数的图象与性质1．函数y ＝1－2sin 22x 的最小正周期是( ) A.π4 B.π2 C.2π3D ．π解析：选B 因为函数y ＝1－2sin 22x ＝cos 4x ，所以函数的最小正周期T ＝π2.2．若函数f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上的最大值为1，则ω＝( ) A.14 B.13 C.12D.32解析：选C 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，所以ωx ∈⎣⎡⎦⎤0，ωπ3，又因为函数f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上的最大值为1，所以ωπ3＝π6，则ω＝12. 3．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π，则f ⎝⎛⎭⎫π8＝( ) A ．1 B.12 C ．－1D ．－12解析：选A 由题设知2πω＝π，所以ω＝2，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，所以f ⎝⎛⎭⎫π8＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π8＋π4＝sin π2＝1.4．(2018·杭州模拟)若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( )A.π2B.2π3C.3π2D.5π3解析：选C 由已知f (x )＝sin x ＋φ3是偶函数，可得φ3＝k π＋π2(k ∈Z)，即φ＝3k π＋3π2(k∈Z)，又φ∈[0,2π]，所以φ＝3π2. 5．若函数f (x )＝sin ω x (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω等于( )A.23 B.32 C ．2D ．3解析：选B ∵f (x )＝sin ω x (ω>0)过原点，∴当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 是增函数；当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π2ω时，y ＝sin ωx 是减函数． 由f (x )＝sin ωx (ω>0)在⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增， 在⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减知，π2ω＝π3，∴ω＝32. [清易错]1．正切函数的图象是由直线x ＝k π＋π2(k ∈Z)隔开的无穷多支曲线组成，单调增区间是⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π，k ∈Z ，不能说它在整个定义域内是增函数，如π4<3π4，但是tan π4>tan 3π4，正切函数不存在减区间．2．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．3．研究三角函数单调性、对称中心、奇偶性及对称轴时易忽视“k ∈Z ”这一条件． 1．(2018·石家庄一模)函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z) B.⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z) C.⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z) D.⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z) 解析：选B 由k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z)得，k π2－π12＜x ＜k π2＋5π12(k ∈Z)，所以函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z)． 2．函数f (x )＝sin(－2x )，x ∈[0,2π]的单调递增区间是________________． 解析：f (x )＝sin(－2x )＝－sin 2x ， 令2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π4≤x ≤k π＋3π4，k ∈Z ，所以函数f (x )在[0,2π]上的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤π4，3π4，⎣⎡⎦⎤5π4，7π4. 答案：⎣⎡⎦⎤π4，3π4，⎣⎡⎦⎤5π4，7π4函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用 [过双基]1．用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示： x －φω －φω＋π2ωπ－φω 3π2ω－φω 2π－φω ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π y ＝A sin(ωxA－A法一 法二[小题速通]1．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π上的简图是( )解析：选A 令x ＝0，得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝－32，排除B 、D.由f ⎝⎛⎭⎫－π3＝0，f ⎝⎛⎭⎫π6＝0，排除C ，故选A.2．将函数y ＝sin 2x 的图象先向左平移π6个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的函数解析式是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1 解析：选B 由题意可得函数的解析式为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋1＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1.3.函数f (x )＝33sin ωx (ω>0)的部分图象如图所示，点A ，B 是图象的最高点，点C 是图象的最低点，且△ABC 是正三角形，则f (1)＋f (2)＋f (3)的值为( )A.92B.932 C ．93＋1D.9(3＋1)2解析：选D 因为△ABC 是正三角形， 所以△ABC 的高是63， 则△ABC 的边长是12，即函数f (x )＝33sin ωx (ω>0)的周期为12， 所以ω＝π6，f (x )＝33sin π6x ，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＝33sin π6＋33sin π3＋33sin π2＝9(3＋1)2.4.如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫x ∈R ，A >0，ω>0，0<φ<π2在区间⎣⎡⎦⎤－π6，5π6上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将y ＝sin x (x ∈R)的图象上所有的点( )A ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变C ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变D ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变解析：选D 由图象可知，A ＝1，周期T ＝π，所以ω＝2，又sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ＝0且0<φ<π2，所以φ＝π3，则y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，由图象变换可知选D. [清易错]1．由y ＝A sin ωx 的图象得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时，需平移的单位数应为⎪⎪⎪⎪φω，而不是|φ|.2．要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数．1．要得到函数y ＝cos(2x ＋1)的图象，只要将函数y ＝cos 2x 的图象( ) A ．向左平移1个单位 B ．向右平移1个单位 C ．向左平移12个单位D ．向右平移12个单位解析：选C ∵y ＝cos(2x ＋1)＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋12， ∴只要将函数y ＝cos 2x 的图象向左平移12个单位即可．2．函数y ＝cos(2x ＋φ)(－π≤φ<π)的图象向右平移π2个单位后，与函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象重合，则φ＝________.解析：将y ＝cos(2x ＋φ)的图象向右平移π2个单位后得到y ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π2＋φ的图象，化简得y ＝－cos(2x ＋φ)，又可变形为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ－π2.由题意可知φ－π2＝π3＋2k π(k ∈Z)，所以φ＝5π6＋2k π(k ∈Z)，结合－π≤φ<π，知φ＝5π6.答案：5π6一、选择题1.(2018·杭州模拟)如图所示，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠AOP ＝θ，则点P 的坐标是( )A ．(cos θ，sin θ)B ．(－cos θ，sin θ)C ．(sin θ，cos θ)D ．(－sin θ，cos θ)解析：选A 由三角函数的定义知x P ＝cos θ，y P ＝sin θ，故选A.2．若α＝k ·360°＋θ，β＝m ·360°－θ(k ，m ∈Z)，则角α与β的终边的位置关系是( ) A ．重合 B ．关于原点对称 C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称解析：选C 角α与θ终边相同，β与－θ终边相同． 又角θ与－θ的终边关于x 轴对称． ∴角α与β的终边关于x 轴对称．3．已知sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝12，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π3的值是( ) A.12 B.23 C ．－12D ．1解析：选C 由已知得cos α＝12，sin α＝－32，∴cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＝12cos α＋32sin α＝－12.4．(2018·淄博调研)已知tan α＝2，则sin 2α－sin αcos α的值是( ) A.25 B ．－25C ．－2D ．2解析：选A sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1 ，把tan α＝2代入，原式＝25.5．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2，x ∈R ，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数解析：选B ∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－cos 2x ，∴f (x )是最小正周期为π的偶函数． 6．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( ) A ．关于直线x ＝π3对称B ．关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称 C ．关于直线x ＝－π6对称D ．关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称解析：选B ∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，∴ω＝2，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 经验证可知f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋π3＝sin π＝0， 即⎝⎛⎭⎫π3，0是函数f (x )的一个对称点．7．将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数( ) A ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递减 B ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增 C ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递减 D ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递增 解析：选B 平移后的函数为y ＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π2＋π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3，增区间：－π2＋2k π≤2x －2π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，即π12＋k π≤x ≤7π12＋k π，k ∈Z ，令k ＝0时，π12≤x ≤7π12，故所得图象对应的函数在⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增，在⎣⎡⎦⎤－π6，π3上不单调，故选B. 8.(2018·河北衡水中学调研)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的部分图象如图所示，下面结论错误的是( )A ．函数f (x )的最小正周期为2π3B ．函数f (x )的图象可由g (x )＝A cos ωx 的图象向右平移π12个单位长度得到 C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π12对称D ．函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π4，π2上单调递增解析：选D 函数的最小正周期T ＝2⎝⎛⎭⎫11π12－7π12＝2π3，选项A 正确；由T ＝2π3得ω＝3.又f ⎝⎛⎭⎫7π12＝A cos ⎝⎛⎭⎫7π4＋φ＝0，所以φ＝k π－5π4(k ∈Z)．又f ⎝⎛⎭⎫π2＝A cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋φ＝A sin φ＝－23，所以sin φ<0，φ＝－π4＋2k π(k ∈Z)，即f (x )＝A cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4，函数g (x )＝A cos 3x 的图象向右平移π12个单位长度得到的图象对应的函数的解析式为y ＝g ⎝⎛⎭⎫x －π12＝A cos ⎣⎡⎦⎤3⎝⎛⎭⎫x －π12＝A cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4＝f (x )，选项B 正确；当x ＝π12时，f (x )＝A ，因此函数f (x )的图象关于直线x ＝π12对称，选项C 正确；当x ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2时，3x －π4∈⎝⎛⎭⎫π2，5π4，故函数f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，π2上不是单调递增的，选项D 错误．二、填空题9．函数f (x )＝sin x －4sin 3x 2cos x2的最小正周期为________．解析：f (x )＝sin x －2sin 2x 2sin x ＝sin x cos x ＝12sin 2x ，所以函数的最小正周期T ＝π.答案：π10．在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴为始边作锐角α，它的终边与单位圆相交于点A ，且点A 的横坐标为513，则tan ⎝⎛⎭⎫π－α2的值为________． 解析：由题意知cos α＝513，因为α为锐角，所以cos α2＝1＋cos α2＝313，sin α2＝ 1－cos 2α2＝213，所以tan ⎝⎛⎭⎫π－α2＝－tan α2＝－sinα2cos α2＝－23. 答案：－2311．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则φ＝________.解析：由图象知A ＝1，T ＝4⎝⎛⎭⎫7π12－π3＝π， 故ω＝2，再由2×π3＋φ＝π2，得φ＝－π6.答案：－π612．函数f (x )＝log 21＋sin 2xsin x ＋cos x的最大值为________．解析：因为1＋sin 2x sin x ＋cos x ＝(sin x ＋cos x )2sin x ＋cos x ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4∈(0，2]， 又因为函数y ＝log 2x 是增函数，所以，当1＋sin 2x sin x ＋cos x ＝2时，函数f (x )＝log 2 1＋sin 2x sin x ＋cos x 取得最大值为12.答案：12三、解答题13．设函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6()ω>0，x ∈R 的最小正周期为π2. (1)求f (x )的解析式；(2)利用“五点作图法”，画出f (x )在长度为一个周期的闭区间上的简图； (3)已知f ⎝⎛⎭⎫α4＋π12＝95，求cos α的值． 解：(1)∵T ＝2πω＝π2⇒ω＝4，∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6. (2)列表：(3)∵f ⎝⎛⎭⎫α4＋π12＝3sin ⎣⎡⎦⎤4⎝⎛⎭⎫α4＋π12＋π6 ＝3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝3cos α＝95，∴cos α＝35. 14．已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫3sin x 4，1，n ＝⎝⎛⎭⎫cos x 4，cos 2x4，记f (x )＝m ·n . (1)若f (x )＝1，求cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的值； (2)在锐角△ABC 中，(2a －c )cos B ＝b cos C ，求f (2A )的取值范围．解：(1)f (x )＝m ·n ＝3sin x 4cos x 4＋cos 2x 4＝32sin x 2＋12cos x 2＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＋12， 由f (x )＝1，得sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＝12， 所以cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＝12. (2)因为(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， 所以2sin A cos B －sin C cos B ＝sin B cos C ， 所以2sin A cos B ＝sin(B ＋C )，因为A ＋B ＋C ＝π， 所以sin(B ＋C )＝sin A ，且sin A ≠0，所以cos B ＝12，又0<B <π2，所以B ＝π3.则A ＋C ＝2π3，A ＝2π3－C ，又0<C <π2，0<A <π2， 则π6<A <π2，得π3<A ＋π6<2π3， 所以32<sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6≤1， 又因为f (2A )＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＋12，故函数f (2A )的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤3＋12，32.15．(2018·青岛模拟)已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ωx ＋π6＋a (ω>0)图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求a 和ω的值；(2)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间． 解：(1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6＋a ＝4cos ωx ·32sin ωx ＋12cos ωx ＋a＝23sin ωx cos ωx ＋2cos 2ωx －1＋1＋a ＝3sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋1＋a ＝2sin2ωx ＋π6＋1＋a .当sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＝1时，f (x )取得最大值2＋1＋a ＝3＋a ， 又f (x )图象上最高点的纵坐标为2，∴3＋a ＝2， ∴a ＝－1.又f (x )图象上相邻两个最高点的距离为π，∴f (x )的最小正周期T ＝π，∴2ω＝2πT ＝2，∴ω＝1.(2)由(1)得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z. 令k ＝0，得π6≤x ≤2π3，∴函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π6，2π3. 高考研究课(一)三角函数的3个基本考点——定义、公式和关系 [全国卷5年命题分析]诱导公式5年1考 变角求值三角函数的定义[典例] (1)点P 从(－1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动 8π3弧长到达点Q ，则点Q 的坐标为________．(2)已知角α的终边上一点P (－3，m )(m ≠0)，且sin α＝2m4，求cos α，tan α的值． [解析] (1)设点A (－1,0)，点P 从(－1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动 8π3弧长到达点Q ，则∠AOQ ＝8π3－2π＝2π3(O 为坐标原点)，所以∠xOQ ＝π3，cos π3＝12，sin π3＝32，所以点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，32.答案：⎝⎛⎭⎫12，32(2)由题设知x ＝－3，y ＝m ，∴r 2＝|OP |2＝()－32＋m 2(O 为原点)，r ＝3＋m 2. ∴sin α＝m r ＝2m 4＝m22，∴r ＝3＋m 2＝22， 即3＋m 2＝8，解得m ＝±5.当m ＝5时，r ＝22，x ＝－3，y ＝5， ∴cos α＝－322＝－64， tan α＝－153；当m ＝－5时，r ＝22，x ＝－3，y ＝－5， ∴cos α＝－322＝－64， tan α＝153.[方法技巧](1)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P 的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．(2)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．[即时演练]1．已知角α终边与单位圆x 2＋y 2＝1的交点为P ⎝⎛⎭⎫12，y ，则sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝( )A ．－12B.12 C ．－32D ．1解析：选A 因为角α终边与单位圆x 2＋y 2＝1的交点为P ⎝⎛⎭⎫12，y ，所以cos α＝12， 所以sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝cos 2α＝2cos 2α－1＝－12. 2．在平面直角坐标系中，点M (3，m )在角α的终边上，点N (2m ，4)在角α＋π4的终边上，则m ＝( )A ．－6或1B ．－1或6C ．6D ．1解析：选A 由题意得，tan α＝m 3，tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝42m ＝2m ，∴2m ＝1＋m 31－m 3，∴m ＝－6或1.诱导公式[典例] (1)(2018·淄博模拟)已知sin ⎝⎛⎭7π12＋α＝23，则cos ⎝⎭⎫α－11π12＝________； (2)化简：1－2sin 40°cos 40°cos 40°－1－sin 250°＝________.[解析] (1)cos ⎝⎛⎭⎫α－11π12＝cos ⎝⎛⎭⎫11π12－α ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π12＋α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π12＋α， 而sin ⎝⎛⎭⎫7π12＋α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π12＋α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π12＋α＝23， 所以cos ⎝⎛⎭⎫α－11π12＝－23. (2)原式＝sin 240°＋cos 240°－2sin 40°cos 40°cos 40°－cos 250°＝|sin 40°－cos 40°|cos 40°－cos 50°＝cos 40°－sin 40°cos 40°－sin 40°＝1.[答案] (1)－23 (2)1[方法技巧]利用诱导公式化简三角函数的思路和要求思路方法：(1)分析结构特点，选择恰当公式； (2)利用公式化成单角三角函数； (3)整理得最简形式． 化简要求：(1)化简过程是恒等变形；(2)结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值． [即时演练]1．已知函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，且f (4)＝3，则f (2 017)的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．3D ．－3解析：选D ∵f (4)＝a sin(4π＋α)＋b cos(4π＋β) ＝a sin α＋b cos β＝3，∴f (2 017)＝a sin(2 017π＋α)＋b cos(2 017π＋β) ＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β) ＝－a sin α－b cos β ＝－(a sin α＋b cos β)＝－3. 即f (2 017)＝－3.2．已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，α是第三象限角，则sin ⎝⎛⎭⎫－α－3π2cos ⎝⎛⎭⎫3π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋α·tan 2(π－α)＝________.解析：∵方程5x 2－7x －6＝0的根为－35或2，又α是第三象限角，∴sin α＝－35，∴cos α＝－1－sin 2α＝－45，∴tan α＝sin αcos α＝34，∴原式＝cos α(－sin α)sin αcos α·tan 2α＝－tan 2α＝－916.答案：－916同角三角函数的基本关系同角三角函数的基本关系是三角变换的基础，也是高考命题的热点，难度不大，属低档题.,常见的命题角度有：(1)知弦求弦、切问题； (2)知切求弦问题；(3)sin α±cos α，sin αcos α的关系应用问题； (4)已知tan α，求f (sin α，cos α)值问题. 角度一：知弦求弦、切问题1．已知cos α＝k ，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则sin(π＋α)＝( ) A ．－1－k 2 B.1－k 2 C ．±1－k 2D ．－k解析：选A 由cos α＝k ，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，得sin α＝1－k 2， ∴sin(π＋α)＝－sin α＝－1－k 2，故选A.2．已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－12，α∈(0，π)，则cos α＝( ) A.12 B ．－12C.32D ．－32解析：选D 因为α∈(0，π)，所以α＋π3∈⎝⎛⎭⎫π3，4π3， 又因为sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－12，所以α＋π3＝7π6，即α＝5π6， 则cos α＝－32. 角度二：知切求弦问题3．已知tan(α－π)＝34，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝( ) A.45 B ．－45C.35D ．－35解析：选B 由tan(α－π)＝34，得tan α＝34，又因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，所以α为第三象限角， 所以sin α＝－35，cos α＝－45.所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝cos α＝－45.角度三：sin α±cos α，sin αcos α的关系应用问题4．(2018·揭阳模拟)已知sin αcos α＝18，且5π4＜α＜3π2，则cos α－sin α的值为( )A ．－32B.32C ．－34D.34解析：选B ∵5π4＜α＜3π2，∴cos α＜0，sin α＜0且|cos α|＜|sin α|，∴cos α－sin α＞0，又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，∴cos α－sin α＝32. 5．已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝23⎝⎛⎭⎫π2＜α＜π，则sin α－cos α＝________.解析：由sin (π－α)－cos(π＋α)＝23， 得sin α＋cos α＝23， 将式子两边平方得1＋2sin αcos α＝29，故2sin αcos α＝－79.∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－⎝⎛⎭⎫－79＝169. 又∵π2＜α＜π，∴sin α＞0，cos α＜0.∴sin α－cos α＝43.答案：43角度四：已知tan α，求f (sin α，cos α)值问题6．已知α是三角形的内角，且tan α＝－13， 则sin α＋cos α＝________.解析：由tan α＝－13，得sin α＝ －13cos α，将其代入 sin 2α＋cos 2α＝1，得109cos 2α＝1，∴cos 2α＝910，易知cos α＜0， ∴cos α＝－31010， sin α＝1010，故 sin α＋cos α＝－105. 答案：－1057．已知tan(α＋β)＝2，tan(α－β)＝3，则sin 2αcos 2β的值为________．解析：sin 2αcos 2β＝sin[(α＋β)＋(α－β)]cos[(α＋β)－(α－β)]＝sin (α＋β)cos (α－β)＋cos (α＋β)sin (α－β)cos (α＋β)cos (α－β)＋sin (α＋β)sin (α－β) ＝tan (α＋β)＋tan (α－β)1＋tan (α＋β)tan (α－β)＝2＋31＋2×3＝57. 答案：57[方法技巧]同角三角函数基本关系式的应用技巧1．(2016·全国卷Ⅲ)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝( )A.6425 B.4825 C ．1D.1625解析：选A 因为tan α＝34，所以cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝1＋4tan αtan 2α＋1＝1＋4×34⎝⎛⎭⎫342＋1＝6425. 2．(2014·大纲卷)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝( ) A.45 B.35 C ．－35D ．－45解析：选D 记P (－4,3)，则x ＝－4，y ＝3，r ＝|OP |＝(－4)2＋32＝5，故cos α＝x r ＝－45＝－45.3．(2014·全国卷Ⅰ)若tan α>0，则( ) A ．sin 2α>0 B ．cos α>0 C ．sin α>0D ．cos 2α>0解析：选A 由tan α>0，可得α的终边在第一象限或第三象限，此时sin α与cos α同号，sin 2α＝2sin αcos α>0，故选A.4．(2016·全国卷Ⅰ)已知θ是第四象限角，且sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝________. 解析：由题意知sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，θ是第四象限角， 所以cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＞0， 所以cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝45. tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－π2 ＝－sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫θ＋π4cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－45×53＝－43.答案：－43一、选择题1.如图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点B ，C 在圆O 上，且B ⎝⎛⎭⎫45，－35，点C 在第一象限，∠AOC ＝α，BC ＝1，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α＝( ) A ．－45B ．－35C.35D.45解析：选B 由已知可得OB ＝1，即圆O 的半径为1， 又因为BC ＝1，所以△OBC 是等边三角形， 所以cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π3－α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝－sin ∠BOA ＝－35. 2．(2018·江西六校联考)点A (sin 2 018°，cos 2 018°)位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选C 因为sin 2 018°＝sin(11×180°＋38°) ＝－sin 38°＜0，cos 2 018°＝cos(11×180°＋38°) ＝－cos 38°＜0，所以点A (sin 2 018°，cos 2 018°)位于第三象限． 3．若sin θcos θ＝12，则tan θ＋cos θsin θ的值是( )A ．－2B ．2C ．±2D.12解析：选B tan θ＋cos θsin θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1cos θsin θ＝2. 4．(2018·江西五校联考)cos 350°－2sin 160°sin (－190°)＝( )A ．－ 3B ．－32C.32D. 3解析：选D 原式＝cos (360°－10°)－2sin (180°－20°)－sin (180°＋10°)＝cos 10°－2sin (30°－10°)－(－sin 10°)＝cos 10°－2⎝⎛⎭⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°＝3sin 10°sin 10°＝ 3.5．已知A (x A ，y A )是单位圆(圆心在坐标原点O )上任意一点，将射线OA 绕O 点逆时针旋转30°，交单位圆于点B (x B ，y B )，则x A －y B 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[－2，2]C ．[－1,1]D.⎣⎡⎦⎤－12，12 解析：选C 设沿x 轴正方向逆时针旋转到射线OA 的角为α，根据三角函数的定义得x A ＝cos α，y B ＝sin(α＋30°)，所以x A －y B ＝cos α－sin(α＋30°)＝－32sin α＋12cos α＝sin(α＋150°)∈[－1,1]．6．(2018·日照模拟)已知－π2＜α＜0，sin α＋cos α＝15，则1cos 2α－sin 2α的值为( )A.75 B.725 C.257D.2425解析：选C ∵sin α＋cos α＝15，∴1＋sin 2α＝125，即sin 2α＝－2425，又∵－π2<α<0，∴cos α－sin α>0.∴cos α－sin α＝1－sin 2α＝75，∴1cos 2α－sin 2α＝1(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝257. 二、填空题 7．若tan α＝3，则sin (α－π)＋cos (π－α)sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝________.解析：因为tan α＝3，所以sin (α－π)＋cos (π－α)sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α－cos αcos α－sin α＝tan α＋1tan α－1＝2.答案：28．(2018·枣庄模拟)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a (|a |≤1)，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ的值是________．解析：由题意知，cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－θ ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝－a .sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π6－θ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a ， ∴cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝0. 答案：09．(2018·成都一诊)在直角坐标系xOy 中，已知任意角θ以坐标原点O 为顶点，以x 轴的非负半轴为始边，若其终边经过点P (x 0，y 0)，且OP ＝r (r ＞0)，定义：sicos θ＝y 0－x 0r ，称“sicos θ”为“θ的正余弦函数”，若sicos θ＝0，则sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝________. 解析：因为sicos θ＝0，所以y 0＝x 0，所以θ的终边在直线y ＝x 上，所以当θ＝2k π＋π4，k ∈Z 时，sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫4k π＋π2－π3＝cos π3＝12；当θ＝2k π＋5π4，k ∈Z 时，sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫4k π＋5π2－π3＝cos π3＝12.综上得sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝12. 答案：12三、解答题10．已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，求10sin α＋3cos α的值． 解：设α终边上任一点为P (k ，－3k )， 则r ＝k 2＋(－3k )2＝10|k |. 当k ＞0时，r ＝10k ， ∴sin α＝－3k 10k ＝－310，1cos α＝10k k ＝10， ∴10sin α＋3cos α＝－310＋310＝0； 当k ＜0时，r ＝－10k ，∴sin α＝－3k －10k ＝310，1cos α＝－10k k ＝－10，∴10sin α＋3cos α＝310－310＝0. 综上，10sin α＋3cos α＝0. 11．已知cos(α－7π)＝－35，求sin(3π＋α)·tan ⎝⎛⎭⎫α－7π2的值． 解：∵cos(α－7π)＝cos(7π－α)＝cos(π－α)＝－cos α ＝－35，∴cos α＝35.∴sin(3π＋α)·tan ⎝⎛⎭⎫α－7π2 ＝sin(π＋α)·⎣⎡⎦⎤－tan ⎝⎛⎭⎫7π2－α ＝sin α·tan ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α·sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α ＝sin α·cos αsin α＝cos α＝35.12．已知α为第三象限角，f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π2·cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α·tan (π－α)tan (－α－π)·sin (－α－π).(1)化简f (α)；(2)若cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，求f (α)的值． 解：(1)f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π2·cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α·tan (π－α)tan (－α－π)·sin (－α－π)＝(－cos α)·sin α·(－tan α)(－tan α)·sin α＝－cos α.(2)∵cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，∴－sin α＝15， 从而sin α＝－15.又α为第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－265， ∴f (α)＝－cos α＝265.1．若sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝m ，且β为第三象限角，则cos β的值为( ) A.1－m 2 B ．－1－m 2 C.m 2－1D ．－m 2－1解析：选B 因为m ＝sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝sin [(α－β)－α]＝sin(－β)，所以sin β＝－m .因为β为第三象限角，所以cos β＝－1－sin 2β＝－1－m 2.2．化简cos 2(n π＋x )·sin 2(n π－x )cos 2[(2n ＋1)π－x ](n ∈Z)的结果为________．解析：当n 为偶数，即n ＝2k (k ∈Z)时，原式＝cos 2(2k π＋x )·sin 2(2k π－x )cos 2[(2×2k ＋1)π－x ]＝cos 2x ·sin 2(－x )cos 2(π－x )＝cos 2x ·(－sin x )2(－cos x )2＝sin 2x ； 当n 为奇数，即n ＝2k ＋1(k ∈Z)时， 原式＝cos 2[(2k ＋1)π＋x ]·sin 2[(2k ＋1)π－x ]cos 2{[2×(2k ＋1)＋1]π－x }＝cos 2[2k π＋(π＋x )]·sin 2[2k π＋(π－x )]cos 2[2×(2k ＋1)π＋(π－x )]＝cos 2(π＋x )·sin 2(π－x )cos 2(π－x )＝(－cos x )2sin 2x (－cos x )2＝sin 2x ，故化简的结果为sin 2x . 答案：sin 2x 高考研究课(二)三角函数的1个常考点——图象与性质 [全国卷5年命题分析][典例] (1) (2)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为________．(3)函数f (x )＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4的值域为________． [解析] (1)要使函数y ＝lg(2sin x －1)＋1－2cos x 有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧2sin x －1＞0，1－2cos x ≥0，即⎩⎨⎧sin x ＞12，cos x ≤12.解得2k π＋π3≤x <2k π＋5π6，k ∈Z.即函数的定义域为⎣⎡⎭⎫2k π＋π3，2k π＋5π6，k ∈Z.(2)∵0≤x ≤9， ∴－π3≤π6x －π3≤7π6，∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3≤1， 故－3≤2sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3≤2.即函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3(0≤x ≤9)的最大值为2，最小值为－ 3.所以最大值与最小值的和为2－ 3.(3)f (x )＝cos 2x ＋sin x ＝－sin 2x ＋sin x ＋1 ＝－⎝⎛⎭⎫sin x －122＋54， 又∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4， ∴sin x ∈⎣⎡⎦⎤－22，22， ∴f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－22，54.[答案] (1)⎣⎡⎭⎫2k π＋π3，2k π＋5π6，k ∈Z (2)2－ 3 (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－22，54[方法技巧]1．三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数图象来求解． 2．三角函数最值或值域的求法(1)直接法：直接利用sin x 和cos x 的值域求解．(2)化一法：把所给三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域．(3)换元法：把sin x 、cos x 、sin x cos x 或sin x ±cos x 换成t ，转化为二次函数求值域． [即时演练]1．函数y ＝|sin x |＋sin x 的值域为( ) A ．[－1,1] B ．[－2,2] C ．[－2,0]D ．[0,2]解析：选D ∵y ＝|sin x |＋sin x＝⎩⎪⎨⎪⎧2sin x ，sin x ≥0，0，sin x ＜0. 又∵－1≤sin x ≤1，∴y ∈[0,2]， 即函数的值域为[0,2]．2．在△ABC 中，sin A cos B ＝－(2sin C ＋sin B )cos A ，则函数f (x )＝2sin 2x ＋sin(2x －A )在区间⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值为________． 解析：由sin A cos B ＝－(2sin C ＋sin B )cos A ，可得sin(A ＋B )＝－2sin C cos A ，即sin C ＝－2sin C cos A . 因为sin C ≠0，所以cos A ＝－12，则A ＝2π3，所以f (x )＝2sin 2x ＋sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3＝32sin 2x －32cos 2x ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，所以2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3， 所以f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫π4＝32. 答案：323．求函数y ＝sin x ＋cos x ＋3cos x sin x 的最值． 解：令t ＝sin x ＋cos x ，则t ∈[－2，2]． ∵(sin x ＋cos x )2－2sin x cos x ＝1， ∴sin x cos x ＝t 2－12，∴y ＝32t 2＋t －32，t ∈[－2，2]，∵对称轴t ＝－13∈[－2，2]，∴y min ＝f ⎝⎛⎭⎫－13＝32×19－13－32＝－53， y max ＝f (2)＝32＋ 2.[典例] (2017·x (x ∈R)． (1)求f ⎝⎛⎭⎫2π3的值；(2)求f (x )的最小正周期及单调递增区间．[思路点拨] (1)欲求f ⎝⎛⎭⎫2π3的值，把x ＝2π3直接代入f (x )的解析式求解；(2)欲求函数f (x )的性质问题，应把f (x )的解析式化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式，再求其最小正周期及单调增区间．[解] (1)由sin2π3＝32，cos 2π3＝－12， 得f ⎝⎛⎭⎫2π3＝⎝⎛⎭⎫322－⎝⎛⎭⎫－122－23×32×⎝⎛⎭⎫－12＝2. (2)由cos 2x ＝cos 2x －sin 2x 与sin 2x ＝2sin x cos x ，得 f (x )＝－cos 2x －3sin 2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 所以f (x )的最小正周期是π. 由正弦函数的性质，令π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z)． [方法技巧]1．求三角函数单调区间的2种方法2．1．已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上是减函数，则ω的取值范围是________． 解析：由π2＜x ＜π，得π2ω＋π4＜ωx ＋π4＜πω＋π4，由题意知⎝⎛⎭⎫π2ω＋π4，πω＋π4⊆π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z)且2πω≥2×⎝⎛⎭⎫π－π2，则⎩⎨⎧π2ω＋π4≥π2＋2k π，k ∈Z ，πω＋π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，且0＜ω≤2，故12≤ω≤54. 答案：⎣⎡⎦⎤12，542．函数f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x 的递减区间是________．解析：f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x ＝12sin 2x ＋12(cos 2x ＋1)＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋12， 由2k π＋π2≤2x ＋π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ，可得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8，k ∈Z ，所以函数f (x )的递减区间是⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8，k ∈Z. 答案：⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8，k ∈Z1．(2016·山东高考)函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是( ) A.π2 B ．π C.3π2D ．2π解析：选B 法一：∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x ) ＝4⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x ⎝⎛⎭⎫32cos x －12sin x＝4sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，∴T ＝2π2＝π.法二：∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x ) ＝3sin x cos x ＋3cos 2x －3sin 2x －sin x cos x ＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴T ＝2π2＝π.故选B.2．已知函数f (x )＝3sin ωx cos ωx －4cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π，且f (θ)＝12，则f ⎝⎛⎭⎫θ＋π2＝( )A ．－52B ．－92C ．－112D ．－132解析：选B f (x )＝32sin 2ωx －2cos 2ωx －2，因为函数f (x )的最小正周期为π，所以ω＝1， 又f (θ)＝32sin 2θ－2cos 2θ－2＝12，即32sin 2θ－2cos 2θ＝52， 则f ⎝⎛⎭⎫θ＋π2＝32sin(2θ＋π)－2cos(2θ＋π)－2＝－32sin 2θ＋2cos 2θ－2＝－92. 角度二：三角函数的奇偶性3．已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋ 3 cos(x ＋θ)⎝⎛⎭⎫θ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2是偶函数，则θ的值为( ) A ．0 B.π6 C.π4D.π3解析：选B 据已知可得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋θ＋π3， 若函数为偶函数，则必有θ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z)，又由于θ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，故有θ＋π3＝π2，解得θ＝π6， 经代入检验符合题意． [方法技巧]若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则φ＝k π＋π2(k ∈Z)，同时，当x ＝0时，f (x )取得最大或最小值；若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则φ＝k π(k ∈Z)，同时，当x ＝0时，f (x )＝0.角度三：三角函数的对称性4．若函数f (x )＝3sin(2x ＋θ)＋cos(2x ＋θ)(0<θ<π)的图象关于⎝⎛⎭⎫π2，0对称，则函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，π6上的最小值是( ) A ．－1 B ．－ 3 C ．－12D ．－32解析：选B f (x )＝3sin(2x ＋θ)＋cos(2x ＋θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋θ＋π6，则由题意，知f ⎝⎛⎭⎫π2＝2sin ⎝⎛⎭⎫π＋θ＋π6＝0，又0<θ<π，所以θ＝5π6，所以f (x )＝－2sin 2x ，f (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，π6上是减函数，所以函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，π6上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫π6＝－2sin π3＝－3，故选B. 5．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6－1(ω>0)的导数f ′(x )的最大值为3，则f (x )的图象的一条对称轴的方程是( )A ．x ＝π9B ．x ＝π6C ．x ＝π3D ．x ＝π2解析：选A f ′(x )＝ωcos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6，因为导数f ′(x )的最大值为3，所以ω＝3，则f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6－1，令3x ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π3＋π9，k ∈Z ，令k ＝0，可得x ＝π9，故选A.[方法技巧]对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．角度四：三角函数性质的综合应用6．已知函数f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3(x ∈R)，下列结论错误的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为π B ．函数f (x )图象关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0对称C ．函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是减函数 D ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称解析：选C 函数f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的最小正周期为π，且f ⎝⎛⎭⎫5π12＝0，f ⎝⎛⎭⎫π6＝3，则函数f (x )图象关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0对称，函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，因此A 、B 、D 正确，令2k π≤2x －π3≤π＋2k π，k ∈Z ，得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z ，所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上不单调，故C 错误．7．(2018·福建连城模拟)已知函数f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)若当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2时，关于x 的方程f (x )－m ＝2有解，求实数m 的取值范围． 解：(1)f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos 2x ＝1－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1， 则函数f (x )的最小正周期为π. 令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z)，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z)，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z)． (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2时，2x －π3∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎣⎡⎦⎤12，1，所以f (x )∈[2,3]， 而f (x )＝m ＋2，所以m ＋2∈[2,3]，即m ∈[0,1]．1．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( ) A ．f (x )的一个周期为－2πB ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π单调递减解析：选D 根据函数解析式可知函数f (x )的最小正周期为2π，所以函数的一个周期为－2π，A 正确；。
高考总复习一轮数学精品课件 第5章 三角函数、解三角形 第4节 三角恒等变换
3.sin α±cos α= 2sin(α± ).
4
4.函数 y=asin ωx±bcos ωx 的最大值是 2 + 2 ,最小值是- 2 + 2 ,最小正
2
周期为 .
|ω|
自主诊断
题组一 思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“ ”,错误的画“×”)
π 7π
π 7π
D,x∈(4 , 12)时,2x∈(2 , 6 ),f(x)不单调,故 D 错误.故选 C.
研考点
精准突破
考点一
三角函数式的化简
2 18°×(3 2 9°- 2 9°-1)
例 1(1)(2024·重庆模拟)式子
化简的结果为
6°+ 3 6°
1
A.
B.1
C. 3 或- 3
2
D. 3
解析 因为 tan α,tan β 是方程 x2+3 3x+4=0 的两根,
所以 tan α+tan β=-3 3,tan αtan β=4,所以
tan+tan
tan(α+β)=
1-tantan
= 3.
因为 tan α+tan β=-3 3,tan αtan β=4,
1. 1- =
2sin2 .(
× )
2.y=3sin x+4cos x 的最大值是 7.( × )
3.半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆用得来的.(
θ
4.tan2
=
θ
1+ θ
=
1- θ
全国通用2023高中数学必修一第五章三角函数知识点归纳总结(精华版)
全国通用2023高中数学必修一第五章三角函数知识点归纳总结(精华版)单选题1、已知函数y =√2sin(x +π4)，当y 取得最小值时，tanx 等于（ ） A ．1B ．−1C ．√32D ．−√32答案：A分析：由正弦函数的性质，先求出当y 取得最小值时x 的取值，从而求出tanx . 函数y =√2sin(x +π4)，当y 取得最小值时，有x +π4=2kπ+3π2，故x =2kπ+5π4，k ∈Z ．∴tanx =tan (2kπ+5π4)=tan (π4)=1，k ∈Z ． 故选：A ．2、中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜在扇面上写字作画.如图，是书画家唐寅（1470—1523）的一幅书法扇面，其尺寸如图所示，则该扇而的面积为（ ）A ．704cm 2B ．352cm 2C ．1408cm 2D ．320cm 2 答案：A解析：设∠AOB =θ，OA =OB =r ，由题意可得：{24=rθ64=(r +16)θ ，解得r ，进而根据扇形的面积公式即可求解．如图，设∠AOB =θ，OA =OB =r ， 由弧长公式可得：{24=rθ64=(r +16)θ ， 解得：r =485，所以，S 扇面=S 扇形OCD −S 扇形OAB =12×64×(485+16)−12×24×485=704cm 2．故选：A ．3、将x 轴正半轴绕原点逆时针旋转30°，得到角α，则下列与α终边相同的角是（ ） A ．330°B ．−330°C ．210°D ．−210° 答案：B分析：写出终边相同的角α的集合，进而选出正确答案. 由题意得：{α|α=30°+k ⋅360°,k ∈Z }，当k =−1时，α=−330°，B 正确，其他选项经过验证均不正确. 故选：B4、要得到函数y =sin (2x +π6)的图象，可以将函数y =cos (2x −π6)的图象（ ） A ．向右平移π12个单位长度B ．向左平移π12个单位长度C ．向右平移π6个单位长度D ．向左平移π6个单位长度答案：A分析：利用诱导公式将平移前的函数化简得到y =sin (2x +π3)，进而结合平移变换即可求出结果.因为y =cos (2x −π6)=sin (2x −π6+π2)=sin (2x +π3)，而y =sin [2(x −π12)+π3]，故将函数y =cos (2x −π6)的图象向右平移π12个单位长度即可， 故选：A. 5、已知sinα=2√67，cos (α−β)=√105，且0<α<3π4，0<β<3π4，则sinβ=（ ）A ．9√1535B ．11√1035C ．√1535D ．√1035答案：A解析：易知sinβ=sin(α−(α−β))，利用角的范围和同角三角函数关系可求得cosα和sin (α−β)，分别在sin (α−β)=√155和−√155两种情况下，利用两角和差正弦公式求得sinβ，结合β的范围可确定最终结果. ∵sinα=2√67<√22且0<α<3π4，∴0<α<π4，∴cosα=√1−sin 2α=57.又0<β<3π4，∴−3π4<α−β<π4，∴sin (α−β)=±√1−cos 2(α−β)=±√155. 当sin (α−β)=√155时， sinβ=sin(α−(α−β))=sinαcos (α−β)−cosαsin (α−β) =2√67×√105−57×√155=−√1535， ∵0<β<3π4，∴sinβ>0，∴sinβ=−√1535不合题意，舍去； 当sin (α−β)=−√155，同理可求得sinβ=9√1535，符合题意.综上所述：sinβ=9√1535.故选：A .小提示：易错点睛：本题中求解cosα时，易忽略sinα的值所确定的α的更小的范围，从而误认为cosα的取值也有两种不同的可能性，造成求解错误.6、时钟花是原产于南美热带雨林的藤蔓植物，从开放到闭合与体内的一种时钟酶有关.研究表明，当气温上升到20°C 时，时钟酶活跃起来，花朵开始开放；当气温上升到28°C 时，时钟酶的活性减弱，花朵开始闭合，且每天开闭一次.已知某景区一天内5~17时的气温T （单位：°C ）与时间t （单位：h ）近似满足关系式T =20−10sin (π8t −π8)，则该景区这天时钟花从开始开放到开始闭合约经历（ ）(sin 3π10≈0.8)A ．1.4hB ．2.4hC ．3.2hD ．5.6h 答案：B分析：由函数关系式T =20−10sin (π8t −π8)分别计算出花开放和闭合的时间，即可求出答案.设t 1时开始开放，t 2时开始闭合，则20−10sin (π8t 1−π8)=20,又t 1∈[5,17]，解得t 1=9，20−10sin (π8t 2−π8)=28，∴sin (π8t 2−π8)=−45,由sin 3π10≈0.8得sin 13π10≈−45，∴π8t 2−π8=13π10,∴t 2=575,∴t 2−t 1=125=2.4.故选：B.7、已知角α的终边与单位圆的交点P (45,35)，则sin (π−α)=（ ） A ．−35B ．−45C ．35D ．45答案：C分析：首先根据三角函数的定义求得sinα，然后根据诱导公式求得正确结果. 依题意sinα=35√(35)2+(45)2=35，sin (π−α)=sinα=35.故选：C8、已知扇形的圆心角为3π4，半径为4，则扇形的面积S 为（ ）A ．3πB ．4πC ．6πD ．2π 答案：C解析：利用S =12αr 2即可求得结论.由扇形面积公式得：S =12×3π4×42=6π.故选：C.9、如图，为一半径为3m 的水轮，水轮圆心O 距离水面2m ，已知水轮自点A 开始1min 旋转4圈，水轮上的点P 到水面距离y (m )与时间x (s )满足函数关系y ＝A sin(ωx ＋φ)＋2，则有（ ）A ．ω＝2π15，A ＝3B ．ω＝152π，A ＝3C ．ω＝2π15，A ＝5D ．ω＝152π，A ＝5答案：A分析：根据最大值及半径求出A ，根据周期求出ω. 由题目可知最大值为5，∴ 5＝A ×1＋2⇒A ＝3． T =604=15，则ω=2πT=2π15．故选:A10、要得到函数y =3sin(2x +π4)的图象，只需将函数y =3sin2x 的图象（ ）. A ．向左平移π4个单位长度B ．向右平移π4个单位长度C ．向左平移π8个单位长度D ．向右平移π8个单位长度答案：C分析：根据函数图象平移的性质：左加右减，并结合图象变化前后的解析式判断平移过程即可. 将y =3sin2x 向左移动π8个单位长度有y =3sin2(x +π8)=3sin(2x +π4)，∴只需将函数y =3sin2x 的图象向左平移π8个单位长度，即可得y =3sin(2x +π4)的图象.故选：C 填空题11、已知tanθ=2，则sinθ−cosθ2sinθ+cosθ=___．答案：15##0.2分析：分子分母同除以cosθ，弦化切，进行求解. 分子分母同除以cosθ得：sinθ−cosθ2sinθ+cosθ=tanθ−12tanθ+1=2−14+1=15所以答案是：1512、已知120°的圆心角所对的弧长为4πm ，则这个扇形的面积为_________m 2． 答案：12π分析：选求出半径，再用扇形面积公式计算即可. 由题意，120°=2π3，且圆心角所对的弧长为4πm ，∴2π3R =4π，解得R =6，∴扇形的面积为S =12×4π×6=12π(m 2)．所以答案是：12π．13、若tan2α=14，则tan (α+π4)+tan (α−π4)=______． 答案：12解析：将tan (α+π4)+tan (α−π4)展开代入tan2α=14即可.tan (α+π4)+tan (α−π4)=tanα+tan π41−tanα⋅tan π4+tanα−tan π41+tanα⋅tan π4=tanα+11−tanα+tanα−11+tanα=(tanα+1)2−(tanα−1)2(1−tanα)(1+tanα)=4tanα1−tan 2α=2×2tanα1−tan 2α=2tan2α因为tan2α=14，所以tan (α+π4)+tan (α−π4)=12. 所以答案是：12．解答题14、函数f (x )=Asin (2ωx +φ)(A >0,ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示.(1)求A ，ω，φ的值；(2)将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，若α∈[0,π]，且g (α)=√2，求α的值.答案：(1)A =2，ω=1，φ=π6 (2)5π24或11π24分析：（1）根据函数f (x )的部分图象即可求出A ，ω，然后代入点(5π12,0)，由|φ|<π2即可求出φ的值； （2）根据三角函数的图象变换先求出函数g (x )的解析式，然后利用g (α)=√2，结合α∈[0,π]即可确定α的值. （1）解：由图可知，A =2，34T =5π12+π3，所以T =π，即2π2ω=π，所以ω=1. 将点(5π12,0)代入f (x )=2sin (2x +φ)得5π6+φ=2k π+π，k ∈Z ， 又|φ|<π2，所以φ=π6； （2）解：由（1）知f (x )=2sin (2x +π6)，由题意有g (x )=2sin [2(x −π6)+π6]=2sin (2x −π6)，所以g (α)=2sin (2α−π6)=√2，即sin (2α−π6)=√22， 因为α∈[0,π]，所以2α−π6∈[−π6,11π6]， 所以2α−π6=π4或3π4，即α=5π24或α=11π24，所以α的值为5π24或11π24.15、△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B =150°. （1）若a =√3c ，b =2√7，求△ABC 的面积； （2）若sin A +√3sin C =√22，求C . 答案：（1）√3；（2）15°.分析：（1）已知角B 和b 边，结合a,c 关系，由余弦定理建立c 的方程，求解得出a,c ，利用面积公式，即可得出结论；（2）方法一 ：将A =30°−C 代入已知等式，由两角差的正弦和辅助角公式，化简得出有关C 角的三角函数值，结合C 的范围，即可求解.（1）由余弦定理可得b 2=28=a 2+c 2−2ac ⋅cos150°=7c 2， ∴c =2,a =2√3,∴△ABC 的面积S =12acsinB =√3； （2）[方法一]：多角换一角 ∵A +C =30°，∴sinA +√3sinC =sin(30°−C)+√3sinC=12cosC +√32sinC =sin(C +30°)=√22， ∵0°<C <30°,∴30°<C +30°<60°， ∴C +30°=45°,∴C =15°. [方法二]：正弦角化边由正弦定理及B =150°得2R =asinA =csinC =bsinB =2b ．故sinA =a2b ,sinC =c2b ．由sinA+√3sinC=√2，得a+√3c=√2b．2又由余弦定理得b2=a2+c2−2ac⋅cosB=a2+c2+√3ac，所以(a+√3c)2=2(a2+c2+√3ac)，解得a=c．所以C=15°．【整体点评】本题考查余弦定理、三角恒等变换解三角形，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.其中第二问法一主要考查三角恒等变换解三角形，法二则是通过余弦定理找到三边的关系，进而求角.。
(新课改省份专用)高考数学一轮复习第五节三角恒等变换讲义
[基本知识]1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．()(2)在锐角△ABC中，sin A sin B和cos A cos B大小不确定．()(3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．()(4)公式a sin x＋b cos x＝a2＋b2sin(x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关．()答案：(1)√(2)×(3)×(4)×二、填空题1．已知tan α＝2，则tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝________.解析：∵tan α＝2，∴tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝13.答案：132．化简cos 18°cos 42°－cos 72°sin 42°的值为________．解析：法一：原式＝cos 18°cos 42°－sin 18°sin 42°＝cos(18°＋42°)＝cos 60°＝12.法二：原式＝sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°＝sin(72°－42°)＝sin 30°＝12.答案：123.3cos 15°－4sin 215°cos 15°＝________.解析：3cos 15°－4sin 215°cos 15°＝3cos 15°－2sin 15°·2sin 15°cos 15°＝3cos 15°－2sin 15°·sin 30°＝3cos 15°－sin 15°＝2cos(15°＋30°)＝2cos 45°＝ 2.答案： 24．设sin α＝2cos α，则tan 2α的值为________． 解析：由题可知，tan α＝sin αcos α＝2，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－43. 答案：－43[全析考法]考法一 三角函数式的化简求值1．三角函数式化简的一般要求：(1)函数名称尽可能少；(2)项数尽可能少；(3)尽可能不含根式；(4)次数尽可能低、尽可能求出值．2．常用的基本变换方法有：异角化同角、异名化同名、异次化同次，降幂或升幂，“1”的代换，弦切互化等．[例1] (1)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝( )A ．－32B ．－12C.12D.32(2)化简：2cos 2α－12tan ⎝⎛⎭⎫π4－αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α＝________ .[解析] (1)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 17°＋30－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 17°cos 30°＋cos 17°sin 30°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°＝12.(2)法一：原式＝cos 2α－sin 2α2×1－tan α1＋tan α⎝⎛⎭⎫sin π4cos α＋cos π4sin α2＝cos 2α－sin 2α1＋tan α1－tan αcos α＋sin α2＝cos 2α－sin 2α⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin αcos α⎝ ⎛⎭⎪⎫1－sin αcos αcos α＋sin α2＝1.法二：原式＝cos 2α2tan ⎝⎛⎭⎫π4－αcos 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝cos 2αcos 2α＝1.[答案] (1)C (2)1[方法技巧] 三角函数式的化简要遵循“三看”原则考法二 三角函数的给值求值(角)[例2] (1)(2019·辽宁师大附中期末)若α，β均为锐角且cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，则sin ⎝⎛⎭⎫32π＋2β＝( ) A ．－12B.12 C ．－32D.32(2)(2019·福州外国语学校适应性考试)已知A ，B 均为钝角，sin 2A2＋cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＝5－1510，且sin B ＝1010，则A ＋B ＝( ) A.3π4 B.5π4 C.7π4D.7π6[解析] (1)∵α，β均为锐角，∴0<α＋β<π. ∵cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，∴sin α＝437，sin(α＋β)＝5314.∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝⎝⎛⎭⎫－1114×17＋5314×437＝12. ∴sin ⎝⎛⎭⎫32π＋2β＝－cos 2β＝1－2cos 2β＝12.故选B. (2)因为sin 2A2＋cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＝5－1510，所以1－cos A 2＋12cos A －32sin A ＝5－1510，即12－32sin A ＝5－1510，解得sin A ＝55. 因为A 为钝角，所以cos A ＝－1－sin 2A ＝－ 1－⎝⎛⎭⎫552＝－255.由sin B ＝1010，且B 为钝角，可得cos B ＝－1－sin 2B ＝－ 1－⎝⎛⎭⎫10102＝－31010.所以cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝⎝⎛⎭⎫－255×⎝⎛⎭⎫－31010－55×1010＝22. 又A ，B 都为钝角，即A ，B ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以A ＋B ∈(π，2π)，故A ＋B ＝7π4，故选C.[答案] (1)B (2)C [方法技巧]1．给值求值问题的求解思路 (1)化简所求式子．(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)． (3)将已知条件代入所求式子，化简求值． 2．给值求角问题的解题策略 (1)讨论所求角的范围．(2)根据已知条件，选取合适的三角函数求值． ①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是⎝⎛⎭⎫0，π2，选正、余弦函数皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦函数较好；若角的范围为⎝⎛⎭⎫－π2，π2，选正弦函数较好．(3)由角的范围，结合所求三角函数值写出要求的角．[集训冲关]1.[考法二]已知sin 2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( )A.16 B.13 C.12D.23解析：选A ∵sin 2α＝23，∴cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π22＝1－sin 2α2＝1－232＝16.故选A.2.[考法一](1＋tan 18°)·(1＋tan 27°)的值是( ) A. 3 B ．1＋ 2C ．2D ．2(tan 18°＋tan 27°)解析：选C (1＋tan 18°)(1＋tan 27°)＝1＋tan 18°＋tan 27°＋tan 18°tan 27°＝1＋ tan 45°(1－tan 18°tan 27°)＋tan 18°·tan 27°＝2.故选C.3.[考法二]若cos ⎝⎛⎭⎫π8－α＝16，则cos ⎝⎛⎭⎫3π4＋2α的值为( )A.1718 B ．－1718C.1819 D ．－1819解析：选A ∵cos ⎝⎛⎭⎫π8－α＝16，∴cos ⎝⎛⎭⎫π4－2α＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π8－α－1＝2×⎝⎛⎭⎫162－1＝－1718， ∴cos (3π4＋2α )＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π4－2α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π4－2α＝1718.故选A.4.[考法二]定义运算⎪⎪⎪⎪a c b d ＝ad －bc .若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪sin αcos α sin βcos β＝3314，0<β<α<π2，则β＝________.解析：依题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝3314.又0<β<α<π2，∴0<α－β<π2，故cos(α－β)＝1－sin 2α－β＝1314，而cos α＝17，∴sin α＝437，于是sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝437×1314－17×3314＝32，故β＝π3.答案：π3突破点二 三角恒等变换的综合问题利用三角恒等变换将三角函数化简后研究图象及性质是高考的热点．在高考中以解答题的形式出现，考查三角函数的值域、最值、单调性、周期、奇偶性、对称性等问题．[典例] (2019·北京朝阳期末)已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2－cos 2x . (1)求函数f (x )的最小正周期； (2)求证：当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )≥0.[解] (1)因为f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＋sin 2x －cos 2x ＝1＋sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋1，所以函数f (x )的最小正周期为π.(2)证明：由(1)可知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋1.当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1，2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋1∈[0，2＋1]．当2x －π4＝－π4，即x ＝0时，f (x )取得最小值0.所以当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )≥0.[方法技巧]求函数周期、最值、单调区间的方法步骤(1)利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋t 或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋t 的形式；(2)利用公式T ＝2πω(ω>0)求周期；(3)根据自变量的范围确定ωx ＋φ的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为求二次函数的最值；(4)根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋t 或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋t 的单调区间．[针对训练](2019·襄阳四校期中联考)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－x cos x －sin 2(π－x )－12. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)若f (α)＝3210－1，且α∈⎝⎛⎭⎫π8，3π8，求f ⎝⎛⎭⎫α－π8的值．解：(1)∵f (x )＝sin x cos x －sin 2x －12＝12(sin 2x ＋cos 2x )－1＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－1，∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z ，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.(2)∵f (α)＝22sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4－1＝3210－1， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝35.由α∈⎝⎛⎭⎫π8，3π8知2α＋π4∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝－45.∴f ⎝⎛⎭⎫α－π8＝22sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α－π8＋π4－1＝22sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2α＋π4－π4－1 ＝22⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4cos π4－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4sin π4－1 ＝22×⎝⎛⎭⎫35×22＋45×22－1＝－310.。
高考数学一轮复习第五单元三角函数及其恒等变换学案文
【2019最新】精选高考数学一轮复习第五单元三角函数及其恒等变换学案文教材复习课“三角函数及其恒等变换”相关基础知识一课过1．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S＝{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．2．弧长、扇形面积公式设扇形的弧长为l，圆心角大小为α(rad)，半径为r，则l＝|α|r，扇形的面积为S＝lr＝|α|·r2.3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)．(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．(3)三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．1．(2018·济南模拟)已知sin θ－cos θ>1，则角θ的终边位于( )B．第二象限A．第一象限D．第四象限C．第三象限解析：选B 由已知得(sin θ－cos θ)2>1，即1－2sin θcos θ>1，sin θcosθ<0，所以sin θ>0>cos θ，所以角θ的终边在第二象限．2．已知α是第二象限角，P(x，)为其终边上一点，且cos α＝x，则x＝( )A.B．±3D．－3C．－解析：选D 依题意得cos α＝＝x＜0，由此解得x＝－，选D. 3．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α(0<α<π)的弧度数为( )B.πA.2D．2C.解析：选C 设圆半径为r，则其内接正三角形的边长为r，所以r＝αr，故α＝. 4．已知扇形的半径r＝10 cm，圆心角α为120°，则扇形的面积为________cm2.解析：因为120°＝，由扇形的面积公式可得S＝αr2＝××102＝π(cm2)．答案：π5．在与2 010°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为________．解析：2 010°＝π＝12π－，∴与2 010°终边相同的角中绝对值最小的角的弧度数为－.答案：－5π6[清易错]1．注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．2．角度制与弧度制可利用180°＝πrad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．3．已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况．1．下列说法正确的是( )A．三角形的内角必是第一、二象限角B．第一象限角必是锐角C．不相等的角终边一定不相同D．若β＝α＋2kπ(k∈Z)，则α和β终边相同答案：D2．已知点P在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )A. B.2π3C. D.5π3解析：选C 因为点P在角θ的终边上，所以角θ的终边在第四象限，且tan θ＝－.又θ∈[0,2π)，所以θ＝.3．已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，则sin α＋cos α＝________.解析：设α终边上任一点为P(－4a,3a)，当a＞0时，r＝5a，sin α＝，cos α＝－；当a＜0时，r＝－5a，sin α＝－，cos α＝.故sin α＋cos α＝或－.答案：±151．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系sin2α＋cos2α＝；(2)商数关系tan α＝.2．诱导公式sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β；cos(α∓β)＝cos_αcos_β±sin_αsin_β；tan(α±β)＝.4．二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 2α＝2sin_αcos_α；cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；tan 2α＝.1．已知α∈，tan(α－π)＝－，则sin α＋cos α的值是( )A．± B. C．－D．－75解析：选C 由α∈，tan(α－π)＝tan α＝－<0，得α∈，sin α＝－cos α，代入sin2α＋cos2α＝1，解得sin α＝，cos α＝－，则sin α＋cos α＝－.2．已知sin＝，则cos(π－2α)的值为( )A. B.725C．－D．－2425解析：选B 由sin＝，可得cos α＝，则cos(π－2α)＝－cos 2α＝1－2cos2α＝.3．已知cos＝，则sin＝________.解析：因为cos＝，所以sin＝sin－＝cos＝.答案：334．已知tan α＝2，则＝________.解析：因为tan α＝2，所以原式＝＝＝.答案：355．计算：＝________.解析：＝＝＝＝.答案：12[清易错]1．利用平方关系解决问题时，要注意开方运算结果的符号，需要根据角的范围进行确定．2．在使用两角和与差的余弦或正切公式时运算符号易错．1．已知α∈，sin α＋cos α＝，则cos(2 018π－2α)＝( )A．± B．－53C．－D．±53解析：选B 将sin α＋cos α＝两边平方，化简可得sin 2α＝－，因为α∈，sin α＋cos α＝>0，所以α∈，2α∈，所以cos 2α<0，则cos(2 018π－2α)＝cos 2α＝－＝－.2．若cos＝，α∈，则sin α的值为( )A. B.4＋26C. D.23解析：选A 由cos＝，α∈，可得sin＝，则sin α＝sin＝×－×＝.正弦、余弦、正切函数的图象与性质正弦、余弦、正切函数的图象与性质函数y＝sin x y＝cos x y＝tan xB.πA.2C.D．π解析：选B 因为函数y＝1－2sin22x＝cos 4x，所以函数的最小正周期T＝.2．若函数f(x)＝2sin ωx(0<ω<1)在区间上的最大值为1，则ω＝( )A.B.13C.D.32解析：选C 因为x∈，所以ωx∈，又因为函数f(x)＝2sin ωx(0<ω<1)在区间上的最大值为1，所以＝，则ω＝.3．已知函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π，则f＝( )B.1A．12C．－1D．－12解析：选A 由题设知＝π，所以ω＝2，f(x)＝sin，所以f＝sin＝sin ＝1. 4．(2018·杭州模拟)若函数f(x)＝sin(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( )A.B.2π3D.5πC.3解析：选C 由已知f(x)＝sin是偶函数，可得＝kπ＋(k∈Z)，即φ＝3kπ＋(k∈Z)，又φ∈[0,2π]，所以φ＝. 5．若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω等于( )B.3A.2C．2D．3解析：选B ∵f(x)＝sin ω x(ω>0)过原点，∴当0≤ωx≤，即0≤x≤时，y＝sin ωx是增函数；当≤ωx ≤，即≤x ≤时，y＝sin ωx是减函数．由f(x)＝sin ωx(ω>0)在上单调递增，在上单调递减知，＝，∴ω＝.[清易错]1．正切函数的图象是由直线x＝kπ＋(k∈Z)隔开的无穷多支曲线组成，单调增区间是，k∈Z，不能说它在整个定义域内是增函数，如<，但是tan>tan，正切函数不存在减区间．2．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．3．研究三角函数单调性、对称中心、奇偶性及对称轴时易忽视“k∈Z”这一条件．1．(2018·石家庄一模)函数f(x)＝tan 的单调递增区间是( ) A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z)解析：选B 由k π－＜2x －＜k π＋(k∈Z)得，－＜x ＜＋(k∈Z)，所以函数f(x)＝tan 的单调递增区间为(k∈Z)．2．函数f(x)＝sin(－2x)，x∈[0,2π]的单调递增区间是________________． 解析：f(x)＝sin(－2x)＝－sin 2x ， 令2k π＋≤2x≤2k π＋，k∈Z， 得k π＋≤x≤k π＋，k∈Z，所以函数f(x)在[0,2π]上的单调递增区间是，. 答案：，⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，7π41．用五点法画y ＝Asin(ωx ＋φ)一个周期内的简图用五点法画y ＝Asin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：2．法一 法二 1．函数y ＝sin 在区间上的简图是( )解析：选A 令x ＝0，得y ＝sin ＝－，排除B 、D.由f ＝0，f ＝0，排除C ，故选A. 2．将函数y＝sin 2x的图象先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的函数解析式是( )B．y＝sin＋1A．y＝sin＋1D．y＝sin＋1C．y＝sin＋1解析：选B 由题意可得函数的解析式为y＝sin＋1＝sin＋1.f(x)＝3sin ωx(ω>0)的部分图象如图所示，点A，B是 3.函数点，点C是图象的最低点，且△ABC是正三角形，则f(1)图象的最高＋f(2)＋f(3)的值为( )B.93A.2D.3＋C．9＋12解析：选D 因为△ABC是正三角形，所以△ABC的高是6，则△ABC的边长是12，即函数f(x)＝3sin ωx(ω>0)的周期为12，所以ω＝，f(x)＝3sin x，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＝3sin ＋3sin ＋3sin ＝.函数y＝Asin(ωx＋φ)在区间上的图象，为了得到 4.如图是图象，只需将y＝sin x(x∈R)的图象上所有的点这个函数的( ) A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变解析：选D 由图象可知，A＝1，周期T＝π，所以ω＝2，又sin＝0且0<φ<，所以φ＝，则y＝sin，由图象变换可知选D.[清易错]1．由y＝Asin ωx的图象得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，需平移的单位数应为，而不是|φ|.2．要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数．1．要得到函数y＝cos(2x＋1)的图象，只要将函数y＝cos 2x的图象( ) A．向左平移1个单位B．向右平移1个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位解析：选C ∵y＝cos(2x＋1)＝cos ，∴只要将函数y＝cos 2x的图象向左平移个单位即可．2．函数y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ<π)的图象向右平移个单位后，与函数y＝sin的图象重合，则φ＝________.解析：将y＝cos(2x＋φ)的图象向右平移个单位后得到y＝cos的图象，化简得y＝－cos(2x＋φ)，又可变形为y＝sin.由题意可知φ－＝＋2kπ(k∈Z)，所以φ＝＋2kπ(k∈Z)，结合－π≤φ<π，知φ＝.答案：5π6一、选择题1.(2018·杭州模拟)如图所示，在直角坐标系xOy中，射线OP 交单位圆O于点P，若∠AOP＝θ，则点P的坐标是( ) A．(cos θ，sin θ) B．(－cos θ，sin θ)C．(sin θ，cos θ) D．(－sin θ，cos θ)解析：选A 由三角函数的定义知xP＝cos θ，yP＝sin θ，故选A.2．若α＝k·360°＋θ，β＝m·360°－θ(k，m∈Z)，则角α与β的终边的位置关系是( )A．重合 B．关于原点对称C．关于x轴对称D．关于y轴对称解析：选C 角α与θ终边相同，β与－θ终边相同．又角θ与－θ的终边关于x轴对称．∴角α与β的终边关于x轴对称．3．已知sin＝，α∈，则cos的值是( )A. B.23C．－D．1解析：选C 由已知得cos α＝，sin α＝－，∴cos＝cos α＋sin α＝－.4．(2018·淄博调研)已知tan α＝2，则sin2α－sin αcos α的值是( )A. B．－25C．－2 D．2解析：选A sin2α－sin αcos α＝＝，把tan α＝2代入，原式＝.5．设函数f(x)＝sin，x∈R，则f(x)是( )A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数解析：选B ∵f(x)＝sin＝－cos 2x，∴f(x)是最小正周期为π的偶函数．6．已知函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( ) A．关于直线x＝对称B．关于点对称C．关于直线x＝－对称D．关于点对称解析：选B ∵f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π，∴ω＝2，即f(x)＝sin.经验证可知f＝sin＝sin π＝0，即是函数f(x)的一个对称点．7．将函数y＝3sin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数( ) A．在区间上单调递减B．在区间上单调递增C．在区间上单调递减D．在区间上单调递增解析：选B 平移后的函数为y＝3sin＝3sin，增区间：－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，即＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，令k＝0时，≤x≤，故所得图象对应的函数在上单调递增，在上不单调，故选B.8.(2018·河北衡水中学调研)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的部分图象如图所示，下面结论错误的是( ) A．函数f(x)的最小正周期为2π3B．函数f(x)的图象可由g(x)＝Acos ωx的图象向右平移个单位长度得到C．函数f(x)的图象关于直线x＝对称D．函数f(x)在区间上单调递增解析：选D 函数的最小正周期T＝2＝，选项A正确；由T＝得ω＝3.又f＝Acos＝0，所以φ＝kπ－(k∈Z)．又f＝Acos＝Asin φ＝－，所以sin φ<0，φ＝－＋2kπ(k∈Z)，即f(x)＝Acos，函数g(x)＝Acos 3x的图象向右平移个单位长度得到的图象对应的函数的解析式为y＝g＝Acos＝Acos＝f(x)，选项B正确；当x ＝时，f(x)＝A，因此函数f(x)的图象关于直线x＝对称，选项C正确；当x∈时，3x－∈，故函数f(x)在上不是单调递增的，选项D错误．二、填空题9．函数f(x)＝sin x－4sin3cos的最小正周期为________．解析：f(x)＝sin x－2sin2sin x＝sin xcos x＝sin 2x，所以函数的最小正周期T＝π.答案：π10．在平面直角坐标系xOy中，以x轴为始边作锐角α，它的终边与单位圆相交于点A，且点A的横坐标为，则tan的值为________．解析：由题意知cos α＝，因为α为锐角，所以cos＝＝，sin＝＝，所以tan＝－tan＝－＝－.答案：－2311．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则φ＝________.解析：由图象知A＝1，T＝4＝π，故ω＝2，再由2×＋φ＝，得φ＝－.答案：－π612．函数f(x)＝log2的最大值为________．解析：因为＝＝sin x＋cos x＝sin∈(0，]，又因为函数y＝log2x是增函数，所以，当＝时，函数f(x)＝log2 取得最大值为.答案：12三、解答题13．设函数f(x)＝3sin的最小正周期为.(1)求f(x)的解析式；(2)利用“五点作图法”，画出f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图；(3)已知f＝，求cos α的值．解：(1)∵T＝＝⇒ω＝4，∴f(x)＝3sin.(2)列表：(3)∵f＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＋π12＋π6＝3sin ＝3cos α＝，∴cos α＝. 14．已知向量m ＝，n ＝，记f(x)＝m·n. (1)若f(x)＝1，求cos 的值；(2)在锐角△ABC 中，(2a －c)cos B ＝bcos C ，求f(2A)的取值范围． 解：(1)f(x)＝m·n＝sin cos ＋cos2＝sin ＋cos ＋＝sin ＋， 由f(x)＝1，得sin ＝， 所以cos ＝1－2sin2＝.(2)因为(2a －c)cos B ＝bcos C ，由正弦定理得(2sin A －sin C)cos B ＝sin Bcos C ，所以2sin Acos B －sin Ccos B ＝sin Bcos C ， 所以2sin Acos B ＝sin(B ＋C)，因为A ＋B ＋C ＝π， 所以sin(B ＋C)＝sin A ，且sin A≠0，所以cos B ＝， 又0<B<，所以B ＝.则A ＋C ＝，A ＝－C ，又0<C<，0<A<， 则<A<，得<A ＋<， 所以<sin≤1，又因为f(2A)＝sin ＋， 故函数f(2A)的取值范围是.15．(2018·青岛模拟)已知函数f(x)＝4cos ωx·sin ωx ＋＋a(ω>0)图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求a 和ω的值；(2)求函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间．解：(1)f(x)＝4cos ωx·sin＋a＝4cos ωx·sin ωx＋cos ωx＋a＝2sin ωxcos ωx＋2cos2ωx－1＋1＋a＝sin 2ωx＋cos 2ωx＋1＋a＝2sin2ωx＋＋1＋a.当sin＝1时，f(x)取得最大值2＋1＋a＝3＋a，又f(x)图象上最高点的纵坐标为2，∴3＋a＝2，∴a＝－1.又f(x)图象上相邻两个最高点的距离为π，∴f(x)的最小正周期T＝π，∴2ω＝＝2，∴ω＝1.(2)由(1)得f(x)＝2sin，由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.令k＝0，得≤x≤，∴函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间为.高考研究课(一)三角函数的3个基本考点——定义、公式和关系[全国卷5年命题分析][典例] Q，则点Q的坐标为________．(2)已知角α的终边上一点P(－，m)(m≠0)，且sin α＝，求cos α，tan α的值．[解析] (1)设点A(－1,0)，点P从(－1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动弧长到达点Q ，则∠AOQ＝－2π＝(O 为坐标原点)，所以∠xOQ＝，cos ＝，sin ＝，所以点Q 的坐标为.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32(2)由题设知x ＝－，y ＝m ，∴r2＝|OP|2＝2＋m2(O 为原点)，r ＝. ∴sin α＝＝＝， ∴r ＝＝2，即3＋m2＝8，解得m ＝±. 当m ＝时，r ＝2，x ＝－，y ＝， ∴cos α＝＝－， tan α＝－； 当m ＝－时，r ＝2，x ＝－，y ＝－， ∴cos α＝＝－， tan α＝. [方法技巧](1)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P 的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．(2)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．[即时演练]1．已知角α终边与单位圆x2＋y2＝1的交点为P ，则sin ＝( ) A ．－ B.12 C ．－D ．1解析：选A 因为角α终边与单位圆x2＋y2＝1的交点为P ，所以cos α＝， 所以sin ＝cos 2α＝2cos2α－1＝－.2．在平面直角坐标系中，点M(3，m)在角α的终边上，点N(2m ，4)在角α＋的终边上，则m ＝( )A ．－6或1B ．－1或6C ．6D ．1解析：选A 由题意得，tan α＝，tan ＝＝，∴＝，∴m＝－6或1.诱导公式[典例] ________； (2)化简：＝________. [解析] (1)cos ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫11π12－α ＝cos ＝－cos ，而sin ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α ＝cos ＝， 所以cos ＝－. (2)原式＝sin240°＋cos240°－2sin 40°cos 40°cos 40°－cos250°＝＝＝1.[答案] (1)－ (2)1 [方法技巧]利用诱导公式化简三角函数的思路和要求思路方法：(1)分析结构特点，选择恰当公式；(2)利用公式化成单角三角函数；(3)整理得最简形式．化简要求：(1)化简过程是恒等变形；(2)结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．[即时演练]1．已知函数f(x)＝asin(πx ＋α)＋bcos(πx ＋β)，且f(4)＝3，则f(2 017)的值为( )A．－1 B．1C．3 D．－3解析：选D ∵f(4)＝asin(4π＋α)＋bcos(4π＋β)＝asin α＋bcos β＝3，∴f(2 017)＝asin(2 017π＋α)＋bcos(2 017π＋β)＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＝－asin α－bcos β＝－(asin α＋bcos β)＝－3.即f(2 017)＝－3.2．已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，则·tan2(π－α)＝________.解析：∵方程5x2－7x－6＝0的根为－或2，又α是第三象限角，∴sin α＝－，∴cos α＝－＝－，∴tan α＝＝，∴原式＝·tan2α＝－tan2α＝－.答案：－9161知弦求弦、切问题；2知切求弦问题；3sin4已知f sin 值问题角度一：知弦求弦、切问题1．已知cos α＝k，α∈，则sin(π＋α)＝( )C．± D．－k解析：选A 由cos α＝k，α∈，得sin α＝，∴sin(π＋α)＝－sin α＝－，故选A.2．已知sin＝－，α∈(0，π)，则cos α＝( )A. B．－12C. D．－32解析：选D 因为α∈(0，π)，所以α＋∈，又因为sin＝－，所以α＋＝，即α＝，则cos α＝－.角度二：知切求弦问题3．已知tan(α－π)＝，且α∈，则sin＝( )A. B．－45C. D．－35解析：选B 由tan(α－π)＝，得tan α＝，又因为α∈，所以α为第三象限角，所以sin α＝－，cos α＝－.所以sin＝cos α＝－.角度三：sin α±cos α，sin αcos α的关系应用问题4．(2018·揭阳模拟)已知sin αcos α＝，且＜α＜，则cos α－sin α的值为( )A．－ B.32C．－ D.34解析：选B ∵＜α＜，∴cos α＜0，sin α＜0且|cos α|＜|sin α|，∴cosα－sin α＞0，又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×＝，∴cos α－sin α＝.5．已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝，则sin α－cos α＝________.解析：由sin(π－α)－cos(π＋α)＝，得sin α＋cos α＝，将式子两边平方得1＋2sin αcos α＝，故2sin αcos α＝－.∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－＝.又∵＜α＜π，∴sin α＞0，cos α＜0.∴sin α－cos α＝.答案：43角度四：已知tan α，求f(sin α，cos α)值问题6．已知α是三角形的内角，且tan α＝－，则sin α＋cos α＝________.解析：由tan α＝－，得sin α＝－cos α，将其代入 sin2α＋cos2α＝1，得cos2α＝1，∴cos2α＝，易知cos α＜0，∴cos α＝－， sin α＝，故 sin α＋cos α＝－.答案：－1057．已知tan(α＋β)＝2，tan(α－β)＝3，则的值为________．解析：＝α＋β＋α－βα＋β－α－β＝α＋βα－β＋α＋βα－βα＋βα－β＋α＋βα－β＝α＋β＋α－β1＋α＋βα－β＝＝.答案：57[方法技巧]同角三角函数基本关系式的应用技巧1A. B.4825C．1 D.1625解析：选A 因为tan α＝，所以cos2α＋2sin 2α＝＝＝＝.2．(2014·大纲卷)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝( )A. B.35C．－D．－45解析：选D 记P(－4,3)，则x＝－4，y＝3，r＝|OP|＝＝5，故cos α＝＝＝－.3．(2014·全国卷Ⅰ)若tan α>0，则( )A．sin 2α>0 B．cos α>0C．sin α>0 D．cos 2α>0解析：选A 由tan α>0，可得α的终边在第一象限或第三象限，此时sin α与cos α同号，sin 2α＝2sin αcos α>0，故选A.4．(2016·全国卷Ⅰ)已知θ是第四象限角，且sin ＝，则tan ＝________. 解析：由题意知sin ＝，θ是第四象限角， 所以cos ＞0， 所以cos ＝ ＝. tan ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π2 ＝－sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－×＝－. 答案：－43 一、选择题1.如图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点B ，C 在圆O 上，且B ，点C 在第一象限，∠AOC＝α，BC ＝1，则cos＝( )A ．－B ．－35 C.D.45解析：选B 由已知可得OB ＝1，即圆O 的半径为1， 又因为BC ＝1，所以△OBC 是等边三角形，所以cos ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－sin ＝－sin∠BOA＝－.2．(2018·江西六校联考)点A(sin 2 018°，cos 2 018°)位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选C 因为sin 2 018°＝sin(11×180°＋38°) ＝－sin 38°＜0，cos 2 018°＝cos(11×180°＋38°) ＝－cos 38°＜0，所以点A(sin 2 018°，cos 2 018°)位于第三象限． 3．若sin θcos θ＝，则tan θ＋的值是( ) A ．－2 B ．2 C ．±2D.12解析：选B tan θ＋＝＋＝＝2. 4．(2018·江西五校联考)＝( ) A ．－ B ．－32 C.D.3解析：选D 原式＝－－－－＋＝cos 10°－－－－＝＝＝.5．已知A(xA ，yA)是单位圆(圆心在坐标原点O)上任意一点，将射线OA 绕O 点逆时针旋转30°，交单位圆于点B(xB ，yB)，则xA －yB 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[－，]C ．[－1,1]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12解析：选C 设沿x 轴正方向逆时针旋转到射线OA 的角为α，根据三角函数的定义得xA ＝cos α，yB ＝sin(α＋30°)，所以xA －yB ＝cos α－sin(α＋30°)＝－sin α＋cos α＝sin(α＋150°)∈[－1,1]．6．(2018·日照模拟)已知－＜α＜0，sin α＋cos α＝，则的值为( ) A. B.725 C.D.2425解析：选C ∵sin α＋cos α＝，∴1＋sin 2α＝，即sin 2α＝－，又∵－<α<0，∴cos α－sin α>0.∴cos α－sin α＝＝， ∴＝＝. 二、填空题7．若tan α＝3，则＝________. 解析：因为tan α＝3，所以＝＝＝2. 答案：28．(2018·枣庄模拟)已知cos ＝a(|a|≤1)，则cos ＋sin 的值是________．解析：由题意知，cos ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ ＝－cos ＝－a. sin ＝sin ＝cos ＝a ， ∴cos ＋sin ＝0. 答案：09．(2018·成都一诊)在直角坐标系xOy 中，已知任意角θ以坐标原点O 为顶点，以x 轴的非负半轴为始边，若其终边经过点P(x0，y0)，且OP ＝r(r ＞0)，定义：sicos θ＝，称“sicos θ”为“θ的正余弦函数”，若sicos θ＝0，则sin ＝________.解析：因为sicos θ＝0，所以y0＝x0，所以θ的终边在直线y ＝x 上，所以当θ＝2k π＋，k∈Z 时，sin ＝sin ＝cos ＝；当θ＝2k π＋，k∈Z 时，sin ＝sin ＝cos ＝.综上得sin ＝.答案：12 三、解答题10．已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，求10sin α＋的值． 解：设α终边上任一点为P(k ，－3k)， 则r ＝＝|k|.当k＞0时，r＝k，∴sin α＝＝－，＝＝，∴10sin α＋＝－3＋3＝0；当k＜0时，r＝－k，∴sin α＝＝，。
全国通用版高考数学一轮复习第五单元三角函数及其恒等变换学案文
第五单元 三角函数及其恒等变换教材复习课“三角函数及其恒等变换”相关基础知识一课过1．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S ＝{β|β＝α＋2k π，k ∈Z}．2．弧长、扇形面积公式设扇形的弧长为l ，圆心角大小为α(rad)，半径为r ，则l ＝|α|r ，扇形的面积为S ＝12lr ＝12|α|·r 2. 3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx(x ≠0)．(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．(3)三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦． [小题速通]1．(2018·济南模拟)已知sin θ－cos θ>1，则角θ的终边位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选B 由已知得(sin θ－cos θ)2>1，即1－2sin θcos θ>1，sin θcos θ<0，所以sin θ>0>cos θ，所以角θ的终边在第二象限．2．已知α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，且cos α＝24x ，则x ＝( ) A. 3 B ．± 3 C ．－ 2D ．－ 3解析：选D 依题意得cos α＝x x 2＋5＝24x ＜0，由此解得x ＝－3，选D. 3．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α(0<α<π)的弧度数为( )A.π3B.π2C. 3D ．2解析：选C 设圆半径为r ，则其内接正三角形的边长为3r ，所以3r ＝αr ，故α＝ 3. 4．已知扇形的半径r ＝10 cm ，圆心角α为120°，则扇形的面积为________cm 2. 解析：因为120°＝2π3，由扇形的面积公式可得S ＝12αr 2＝12×2π3×102＝1003π(cm 2)．答案：1003π5．在与2 010°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为________． 解析：2 010°＝676π＝12π－5π6，∴与2 010°终边相同的角中绝对值最小的角的弧度数为－5π6.答案：－5π6[清易错]1．注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．2．角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．3．已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况． 1．下列说法正确的是( ) A ．三角形的内角必是第一、二象限角 B ．第一象限角必是锐角 C ．不相等的角终边一定不相同D ．若β＝α＋2k π(k ∈Z)，则α和β终边相同 答案：D 2．已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )A.5π6B.2π3 C.11π6D.5π3解析：选C 因为点P ⎝⎛⎭⎪⎫32，－12在角θ的终边上，所以角θ的终边在第四象限，且tan θ＝－33. 又θ∈[0,2π)，所以θ＝11π6. 3．已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，则sin α＋cos α＝________. 解析：设α终边上任一点为P (－4a,3a )， 当a ＞0时，r ＝5a ，sin α＝35，cos α＝－45；当a ＜0时，r ＝－5a ，sin α＝－35，cos α＝45.故sin α＋cos α＝15或－15.答案：±151．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系sin 2α＋cos 2α＝1；(2)商数关系 tan α＝sin αcos α.2．诱导公式3．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos _αsin_β； cos(α∓β)＝cos_αcos_β±sin _αsin_β； tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.4．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin_αcos_α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α1－tan 2α. [小题速通]1．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，tan(α－π)＝－34，则sin α＋cos α的值是( )A ．±15 B.15 C ．－15 D ．－75解析：选C 由α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，3π2，tan(α－π)＝tan α＝－34<0，得α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sinα＝－34cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1，解得sin α＝35，cos α＝－45，则sin α＋cos α＝－15.2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝35，则cos(π－2α)的值为( )A.2425 B.725C ．－725D ．－2425解析：选B 由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝35，可得cos α＝35，则cos(π－2α)＝－cos 2α＝1－2cos 2α＝725.3．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝________.解析：因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝sin π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33. 答案：334．已知tan α＝2，则sin α＋cos α2sin α＋cos α＝________.解析：因为tan α＝2，所以原式＝sin α＋cos α2sin α＋cos α＝tan α＋12tan α＋1＝35.答案：355．计算：sin 250°1＋sin 10°＝________.解析：sin 250°1＋sin 10°＝1－cos 100°＋＝1－＋＋＝1＋sin 10°＋＝12. 答案：12[清易错]1．利用平方关系解决问题时，要注意开方运算结果的符号，需要根据角的范围进行确定． 2．在使用两角和与差的余弦或正切公式时运算符号易错．1．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＋cos α＝33，则cos(2 018π－2α)＝( )A ．±63 B ．－53 C ．－63D ．±53解析：选B 将sin α＋cos α＝33两边平方，化简可得sin 2α＝－23， 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＋cos α＝33>0，所以α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，2α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，所以cos 2α<0，则cos(2 018π－2α)＝cos 2α＝－1－sin 22α＝－53. 2．若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝13，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin α的值为( ) A.4－26B.4＋26C.718D.23解析：选A 由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝13，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝223， 则sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4＝223×22－13×22＝4－26.正弦、余弦、正切函数的图象与性质1．函数y ＝1－2sin 22x 的最小正周期是( ) A.π4 B.π2 C.2π3D ．π解析：选B 因为函数y ＝1－2sin 22x ＝cos 4x ，所以函数的最小正周期T ＝π2.2．若函数f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上的最大值为1，则ω＝( )A.14 B.13 C.12D.32解析：选C 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，所以ωx ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，ωπ3，又因为函数f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上的最大值为1，所以ωπ3＝π6，则ω＝12.3．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝( )A ．1 B.12 C ．－1D ．－12解析：选 A 由题设知2πω＝π，所以ω＝2，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π8＋π4＝sin π2＝1.4．(2018·杭州模拟)若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( )A.π2B.2π3C.3π2D.5π3解析：选C 由已知f (x )＝sin x ＋φ3是偶函数，可得φ3＝k π＋π2(k ∈Z)，即φ＝3k π＋3π2(k ∈Z)，又φ∈[0,2π]，所以φ＝3π2. 5．若函数f (x )＝sin ω x (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω等于( )A.23 B.32 C ．2D ．3解析：选B ∵f (x )＝sin ω x (ω>0)过原点，∴当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 是增函数；当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π2ω时，y ＝sin ωx 是减函数． 由f (x )＝sin ωx (ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减知，π2ω＝π3，∴ω＝32.[清易错]1．正切函数的图象是由直线x ＝k π＋π2(k ∈Z)隔开的无穷多支曲线组成，单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π，k ∈Z ，不能说它在整个定义域内是增函数，如π4<3π4，但是tan π4>tan 3π4，正切函数不存在减区间．2．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．3．研究三角函数单调性、对称中心、奇偶性及对称轴时易忽视“k ∈Z”这一条件． 1．(2018·石家庄一模)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z)B.⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z)D.⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z)解析：选B 由k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z)得，k π2－π12＜x ＜k π2＋5π12(k ∈Z)，所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z)． 2．函数f (x )＝sin(－2x )，x ∈[0,2π]的单调递增区间是________________． 解析：f (x )＝sin(－2x )＝－sin 2x ， 令2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π4≤x ≤k π＋3π4，k ∈Z ，所以函数f (x )在[0,2π]上的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4，⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，7π4.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4，⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，7π41．用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：法一 法二[小题速通]1．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的简图是( )解析：选A 令x ＝0，得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－32，排除B 、D.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，排除C ，故选A.2．将函数y ＝sin 2x 的图象先向左平移π6个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的函数解析式是( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1 解析：选B 由题意可得函数的解析式为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1.3.函数f (x )＝33sin ωx (ω>0)的部分图象如图所示，点A ，B 是图象的最高点，点C 是图象的最低点，且△ABC 是正三角形，则f (1)＋f (2)＋f (3)的值为( )A.92B.932C ．93＋1D.3＋2解析：选D 因为△ABC 是正三角形， 所以△ABC 的高是63， 则△ABC 的边长是12，即函数f (x )＝33sin ωx (ω>0)的周期为12， 所以ω＝π6，f (x )＝33sin π6x ，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＝33sin π6＋33sin π3＋33sin π2＝3＋2.4.如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫x ∈R ，A >0，ω>0，0<φ<π2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将y＝sin x (x ∈R)的图象上所有的点( )A ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变C ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变D ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变解析：选D 由图象可知，A ＝1，周期T ＝π，所以ω＝2，又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝0且0<φ<π2，所以φ＝π3，则y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，由图象变换可知选D.[清易错]1．由y ＝A sin ωx 的图象得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时，需平移的单位数应为⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω，而不是|φ|.2．要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数．1．要得到函数y ＝cos(2x ＋1)的图象，只要将函数y ＝cos 2x 的图象( ) A ．向左平移1个单位 B ．向右平移1个单位 C ．向左平移12个单位D ．向右平移12个单位解析：选C ∵y ＝cos(2x ＋1)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12， ∴只要将函数y ＝cos 2x 的图象向左平移12个单位即可．2．函数y ＝cos(2x ＋φ)(－π≤φ<π)的图象向右平移π2个单位后，与函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象重合，则φ＝________. 解析：将y ＝cos(2x ＋φ)的图象向右平移π2个单位后得到y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＋φ的图象，化简得y ＝－cos(2x ＋φ)，又可变形为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ－π2.由题意可知φ－π2＝π3＋2k π(k ∈Z)，所以φ＝5π6＋2k π(k ∈Z)，结合－π≤φ<π，知φ＝5π6.答案：5π6一、选择题1.(2018·杭州模拟)如图所示，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠AOP ＝θ，则点P 的坐标是( )A ．(cos θ，sin θ)B ．(－cos θ，sin θ)C ．(sin θ，cos θ)D ．(－sin θ，cos θ)解析：选A 由三角函数的定义知x P ＝cos θ，y P ＝sin θ，故选A.2．若α＝k ·360°＋θ，β＝m ·360°－θ(k ，m ∈Z)，则角α与β的终边的位置关系是( )A ．重合B ．关于原点对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称解析：选C 角α与θ终边相同，β与－θ终边相同． 又角θ与－θ的终边关于x 轴对称． ∴角α与β的终边关于x 轴对称．3．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝12，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3的值是( ) A.12 B.23 C ．－12D ．1解析：选C 由已知得cos α＝12，sin α＝－32，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＝12cos α＋32sin α＝－12.4．(2018·淄博调研)已知tan α＝2，则sin 2α－sin αcos α的值是( ) A.25 B ．－25C ．－2D ．2解析：选A sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1，把tan α＝2代入，原式＝25.5．设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2，x ∈R ，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数解析：选B ∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝－cos 2x ，∴f (x )是最小正周期为π的偶函数． 6．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( ) A ．关于直线x ＝π3对称B ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称C ．关于直线x ＝－π6对称D ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称 解析：选 B ∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，∴ω＝2，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.经验证可知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋π3＝sin π＝0，即⎝⎛⎭⎪⎫π3，0是函数f (x )的一个对称点．7．将函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数( )A ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递减 B ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递增C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递减D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递增 解析：选B 平移后的函数为y ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＋π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3，增区间：－π2＋2k π≤2x －2π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，即π12＋k π≤x ≤7π12＋k π，k ∈Z ，令k ＝0时，π12≤x ≤7π12，故所得图象对应的函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上不单调，故选B.8.(2018·河北衡水中学调研)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的部分图象如图所示，下面结论错误的是( )A ．函数f (x )的最小正周期为2π3B ．函数f (x )的图象可由g (x )＝A cos ωx 的图象向右平移π12个单位长度得到C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π12对称D ．函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫π4，π2上单调递增解析：选D 函数的最小正周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12－7π12＝2π3，选项A 正确；由T ＝2π3得ω＝3.又f ⎝⎛⎭⎪⎫7π12＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π4＋φ＝0，所以φ＝k π－5π4(k ∈Z)．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋φ＝A sinφ＝－23，所以sin φ<0，φ＝－π4＋2k π(k ∈Z)，即f (x )＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4，函数g (x )＝A cos3x 的图象向右平移π12个单位长度得到的图象对应的函数的解析式为y ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＝A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝⎛⎭⎪⎫x －π12＝A cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π4＝f (x )，选项B 正确；当x ＝π12时，f (x )＝A ，因此函数f (x )的图象关于直线x ＝π12对称，选项C 正确；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2时，3x －π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，5π4，故函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫π4，π2上不是单调递增的，选项D 错误．二、填空题9．函数f (x )＝sin x －4sin 3x 2cos x2的最小正周期为________．解析：f (x )＝sin x －2sin 2x 2sin x ＝sin x cos x ＝12sin 2x ，所以函数的最小正周期T ＝π.答案：π10．在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴为始边作锐角α，它的终边与单位圆相交于点A ，且点A 的横坐标为513，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫π－α2的值为________．解析：由题意知cos α＝513，因为α为锐角，所以cos α2＝1＋cos α2＝313， sin α2＝1－cos2α2＝213， 所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫π－α2＝－tan α2＝－sinα2cosα2＝－23.答案：－2311．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则φ＝________.解析：由图象知A ＝1，T ＝4⎝⎛⎭⎪⎫7π12－π3＝π，故ω＝2，再由2×π3＋φ＝π2，得φ＝－π6.答案：－π612．函数f (x )＝log 21＋sin 2xsin x ＋cos x的最大值为________．解析：因为1＋sin 2xsin x ＋cos x ＝x ＋cos x 2sin x ＋cos x＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4∈(0，2]，又因为函数y ＝log 2x 是增函数，所以，当1＋sin 2x sin x ＋cos x ＝2时，函数f (x )＝log 2 1＋sin 2x sin x ＋cos x 取得最大值为12.答案：12三、解答题13．设函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6()ω>0，x ∈R 的最小正周期为π2. (1)求f (x )的解析式；(2)利用“五点作图法”，画出f (x )在长度为一个周期的闭区间上的简图；(3)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＋π12＝95，求cos α的值．解：(1)∵T ＝2πω＝π2⇒ω＝4，∴f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6.(2)列表：(3)∵f ⎝⎛⎭⎪⎫α4＋π12＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＋π12＋π6 ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝3cos α＝95，∴cos α＝35.14．已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x 4，1，n ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos x 4，cos 2x4，记f (x )＝m ·n .(1)若f (x )＝1，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的值； (2)在锐角△ABC 中，(2a －c )cos B ＝b cos C ，求f (2A )的取值范围．解：(1)f (x )＝m ·n ＝3sin x 4cos x 4＋cos 2x 4＝32sin x 2＋12cos x 2＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12， 由f (x )＝1，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12.(2)因为(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， 所以2sin A cos B －sin C cos B ＝sin B cos C ， 所以2sin A cos B ＝sin(B ＋C )，因为A ＋B ＋C ＝π， 所以sin(B ＋C )＝sin A ，且sin A ≠0，所以cos B ＝12，又0<B <π2，所以B ＝π3.则A ＋C ＝2π3，A ＝2π3－C ，又0<C <π2，0<A <π2，则π6<A <π2，得π3<A ＋π6<2π3， 所以32<sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6≤1，又因为f (2A )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＋12，故函数f (2A )的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤3＋12，32. 15．(2018·青岛模拟)已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ωx ＋π6＋a (ω>0)图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求a 和ω的值；(2)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间． 解：(1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＋a ＝4cos ωx ·32sin ωx ＋12cos ωx ＋a ＝23sin ωx cos ωx ＋2cos 2ωx －1＋1＋a ＝3sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋1＋a ＝2sin2ωx ＋π6＋1＋a .当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＝1时，f (x )取得最大值2＋1＋a ＝3＋a ， 又f (x )图象上最高点的纵坐标为2，∴3＋a ＝2， ∴a ＝－1.又f (x )图象上相邻两个最高点的距离为π，∴f (x )的最小正周期T ＝π，∴2ω＝2πT＝2，∴ω＝1.(2)由(1)得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， 由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z.令k ＝0，得π6≤x ≤2π3，∴函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3.高考研究课(一)三角函数的3个基本考点——定义、公式和关系 [全国卷5年命题分析][典例] (1)点P 从(－1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动 3 弧长到达点Q ，则点Q的坐标为________．(2)已知角α的终边上一点P (－3，m )(m ≠0)，且sin α＝2m4，求cos α，tan α的值．[解析] (1)设点A (－1,0)，点P 从(－1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动 8π3 弧长到达点Q ，则∠AOQ ＝8π3－2π＝2π3(O 为坐标原点)，所以∠xOQ ＝π3，cos π3＝12，sin π3＝32，所以点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32(2)由题设知x ＝－3，y ＝m ，∴r 2＝|OP |2＝()－32＋m 2(O 为原点)，r ＝3＋m 2.∴sin α＝m r＝2m 4＝m 22， ∴r ＝3＋m 2＝22， 即3＋m 2＝8，解得m ＝± 5.当m ＝5时，r ＝22，x ＝－3，y ＝5，∴cos α＝－322＝－64， tan α＝－153；当m ＝－5时，r ＝22，x ＝－3，y ＝－5， ∴cos α＝－322＝－64， tan α＝153.[方法技巧](1)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P 的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．(2)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．[即时演练]1．已知角α终边与单位圆x 2＋y 2＝1的交点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，y ，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝( )A ．－12B.12 C ．－32D ．1解析：选A 因为角α终边与单位圆x 2＋y 2＝1的交点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，y ，所以cos α＝12，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝cos 2α＝2cos 2α－1＝－12.2．在平面直角坐标系中，点M (3，m )在角α的终边上，点N (2m ，4)在角α＋π4的终边上，则m ＝( )A ．－6或1B ．－1或6C ．6D ．1解析：选A 由题意得，tan α＝m 3，tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝42m ＝2m ，∴2m ＝1＋m31－m 3，∴m ＝－6或1.诱导公式[典例] (1)(2018·淄博模拟)已知sin ⎝⎛⎭⎪⎫12＋α＝3，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－11π12＝________；(2)化简：1－2sin 40°cos 40°cos 40°－1－sin 250°＝________. [解析] (1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－11π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫π12＋α，而sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π12＋α＝23，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－11π12＝－23. (2)原式＝sin 240°＋cos 240°－2sin 40°cos 40°cos 40°－cos 250° ＝|sin 40°－cos 40°|cos 40°－cos 50°＝cos 40°－sin 40°cos 40°－sin 40°＝1.[答案] (1)－23 (2)1[方法技巧]利用诱导公式化简三角函数的思路和要求思路方法：(1)分析结构特点，选择恰当公式； (2)利用公式化成单角三角函数； (3)整理得最简形式． 化简要求：(1)化简过程是恒等变形；(2)结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值． [即时演练]1．已知函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，且f (4)＝3，则f (2 017)的值为( )A ．－1B ．1C ．3D ．－3解析：选D ∵f (4)＝a sin(4π＋α)＋b cos(4π＋β) ＝a sin α＋b cos β＝3，∴f (2 017)＝a sin(2 017π＋α)＋b cos(2 017π＋β) ＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β) ＝－a sin α－b cos β ＝－(a sin α＋b cos β)＝－3. 即f (2 017)＝－3. 2．已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，α是第三象限角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·tan 2(π－α)＝________.解析：∵方程5x 2－7x －6＝0的根为－35或2，又α是第三象限角，∴sin α＝－35，∴cos α＝－1－sin 2α＝－45，∴tan α＝sin αcos α＝34，∴原式＝cos α－sin αsin αcos α·tan 2α＝－tan 2α＝－916.答案：－916知弦求弦、切问题；知切求弦问题；α已知tan f α值问题角度一：知弦求弦、切问题1．已知cos α＝k ，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则sin(π＋α)＝( ) A ．－1－k 2B.1－k 2C ．±1－k 2D ．－k解析：选A 由cos α＝k ，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，得sin α＝1－k 2，∴sin(π＋α)＝－sin α＝－1－k 2，故选A.2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－12，α∈(0，π)，则cos α＝( )A.12 B ．－12C.32D ．－32解析：选D 因为α∈(0，π)，所以α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，4π3，又因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－12，所以α＋π3＝7π6，即α＝5π6，则cos α＝－32. 角度二：知切求弦问题3．已知tan(α－π)＝34，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝( )A.45 B ．－45C.35D ．－35解析：选B 由tan(α－π)＝34，得tan α＝34，又因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，所以α为第三象限角，所以sin α＝－35，cos α＝－45.所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝cos α＝－45. 角度三：sin α±cos α，sin αcos α的关系应用问题4．(2018·揭阳模拟)已知sin αcos α＝18，且5π4＜α＜3π2，则cos α－sin α的值为( )A ．－32B.32C ．－34D.34解析：选B ∵5π4＜α＜3π2，∴cos α＜0，sin α＜0且|cos α|＜|sin α|，∴cosα－sin α＞0，又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，∴cos α－sin α＝32. 5．已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＜α＜π，则sin α－cos α＝________.解析：由sin(π－α)－cos(π＋α)＝23， 得sin α＋cos α＝23， 将式子两边平方得1＋2sin αcos α＝29，故2sin αcos α＝－79.∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－79＝169.又∵π2＜α＜π，∴sin α＞0，cos α＜0.∴sin α－cos α＝43.答案：43角度四：已知tan α，求f (sin α，cos α)值问题6．已知α是三角形的内角，且tan α＝－13， 则sin α＋cos α＝________.解析：由tan α＝－13，得sin α＝ －13cos α，将其代入 sin 2α＋cos 2α＝1，得109cos 2α＝1，∴cos 2α＝910，易知cos α＜0， ∴cos α＝－31010， sin α＝1010，故 sin α＋cos α＝－105. 答案：－1057．已知tan(α＋β)＝2，tan(α－β)＝3，则sin 2αcos 2β的值为________．解析：sin 2αcos 2β＝sin[α＋β＋α－β]cos[α＋β－α－β]＝sin α＋βcos α－β＋cos α＋βsin α－βcos α＋βcos α－β＋sin α＋βsin α－β＝tan α＋β＋tan α－β1＋tan α＋βtan α－β＝2＋31＋2×3＝57.答案：57[方法技巧]同角三角函数基本关系式的应用技巧1．(2016·全国卷Ⅲ)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝( )A.6425 B.4825 C ．1D.1625解析：选 A 因为tan α＝34，所以cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝1＋4tan αtan 2α＋1＝1＋4×34⎝ ⎛⎭⎪⎫342＋1＝6425. 2．(2014·大纲卷)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝( ) A.45 B.35 C ．－35D ．－45解析：选D 记P (－4,3)，则x ＝－4，y ＝3，r ＝|OP |＝－2＋32＝5，故cos α＝x r ＝－45＝－45. 3．(2014·全国卷Ⅰ)若tan α>0，则( ) A ．sin 2α>0 B ．cos α>0 C ．sin α>0D ．cos 2α>0解析：选A 由tan α>0，可得α的终边在第一象限或第三象限，此时sin α与cos α同号，sin 2α＝2sin αcos α>0，故选A.4．(2016·全国卷Ⅰ)已知θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________.解析：由题意知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，θ是第四象限角，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＞0，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝ 1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝45.tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π2＝－sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－45×53＝－43.答案：－43一、选择题1.如图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点B ，C 在圆O 上，且B ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35，点C 在第一象限，∠AOC ＝α，BC ＝1，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－α＝( )A ．－45B ．－35C.35D.45解析：选B 由已知可得OB ＝1，即圆O 的半径为1， 又因为BC ＝1，所以△OBC 是等边三角形， 所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－sin ∠BOA ＝－35. 2．(2018·江西六校联考)点A (sin 2 018°，cos 2 018°)位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选C 因为sin 2 018°＝sin(11×180°＋38°) ＝－sin 38°＜0，cos 2 018°＝cos(11×180°＋38°) ＝－cos 38°＜0，所以点A (sin 2 018°，cos 2 018°)位于第三象限． 3．若sin θcos θ＝12，则tan θ＋cos θsin θ的值是( )A ．－2B ．2C ．±2D.12解析：选B tan θ＋cos θsin θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1cos θsin θ＝2.4．(2018·江西五校联考)cos 350°－2sin 160°－＝( )A ．－ 3B ．－32C.32D. 3 解析：选D 原式＝－－－－＋＝cos 10°－－－－＝cos 10°－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°＝3sin 10°sin 10°＝ 3.5．已知A (x A ，y A )是单位圆(圆心在坐标原点O )上任意一点，将射线OA 绕O 点逆时针旋转30°，交单位圆于点B (x B ，y B )，则x A －y B 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[－2，2]C ．[－1,1]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 解析：选C 设沿x 轴正方向逆时针旋转到射线OA 的角为α，根据三角函数的定义得x A ＝cos α，y B ＝sin(α＋30°)，所以x A －y B ＝cos α－sin(α＋30°)＝－32sin α＋12cos α＝sin(α＋150°)∈[－1,1]．6．(2018·日照模拟)已知－π2＜α＜0，sin α＋cos α＝15，则1cos 2α－sin 2α的值为( )A.75B.725C.257D.2425解析：选C ∵sin α＋cos α＝15，∴1＋sin 2α＝125，即sin 2α＝－2425，又∵－π2<α<0，∴cos α－sin α>0.∴cos α－sin α＝1－sin 2α＝75，∴1cos 2α－sin 2α＝1α＋sin αα－sin α＝257. 二、填空题 7．若tan α＝3，则α－π＋π－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝________.解析：因为tan α＝3，所以α－π＋π－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α－cos αcos α－sin α＝tan α＋1tan α－1＝2.答案：28．(2018·枣庄模拟)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a (|a |≤1)，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ的值是________．解析：由题意知，cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－a .sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝0.答案：09．(2018·成都一诊)在直角坐标系xOy 中，已知任意角θ以坐标原点O 为顶点，以x 轴的非负半轴为始边，若其终边经过点P (x 0，y 0)，且OP ＝r (r ＞0)，定义：sicos θ＝y 0－x 0r，称“sicos θ”为“θ的正余弦函数”，若sicos θ＝0，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ－π3＝________. 解析：因为sicos θ＝0，所以y 0＝x 0，所以θ的终边在直线y ＝x 上，所以当θ＝2k π＋π4，k ∈Z 时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k π＋π2－π3＝cos π3＝12；当θ＝2k π＋5π4，k ∈Z时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k π＋5π2－π3＝cos π3＝12.综上得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ－π3＝12.答案：12三、解答题10．已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，求10sin α＋3cos α的值． 解：设α终边上任一点为P (k ，－3k )， 则r ＝k 2＋－3k2＝10|k |.当k ＞0时，r ＝10k ， ∴sin α＝－3k10k＝－310，1cos α＝10k k ＝10，∴10sin α＋3cos α＝－310＋310＝0；当k ＜0时，r ＝－10k ，∴sin α＝－3k －10k ＝310，1cos α＝－10kk＝－10， ∴10sin α＋3cos α＝310－310＝0.综上，10sin α＋3cos α＝0.11．已知cos(α－7π)＝－35，求sin(3π＋α)·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－7π2的值． 解：∵cos(α－7π)＝cos(7π－α)＝cos(π－α)＝－cos α＝－35，∴cos α＝35.∴sin(3π＋α)·tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－7π2＝sin(π＋α)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2－α＝sin α·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α ＝sin α·cos αsin α＝cos α＝35.12．已知α为第三象限角，f (α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋απ－α－α－π－α－π.(1)化简f (α)；(2)若cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值．解：(1)f (α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋απ－α－α－π－α－π＝－cos αα－tan α－tan αα＝－cos α.(2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，∴－sin α＝15， 从而sin α＝－15.又α为第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－265，∴f (α)＝－cos α＝265.1．若sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝m ，且β为第三象限角，则cos β的值为( )A.1－m 2B ．－1－m 2C.m 2－1D ．－m 2－1解析：选B 因为m ＝sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝sin[(α－β)－α]＝sin(－β)，所以sin β＝－m .因为β为第三象限角，所以cos β＝－1－sin 2β＝－1－m 2. 2．化简cos2n π＋x2n π－xcos2n ＋π－x ](n ∈Z)的结果为________．解析：当n 为偶数，即n ＝2k (k ∈Z)时， 原式＝cos 2k π＋x2k π－xcos2k ＋π－x ]＝cos 2x ·sin 2－xcos 2π－x ＝cos 2x －sin x 2－cos x 2＝sin 2x ；当n 为奇数，即n ＝2k ＋1(k ∈Z)时， 原式＝cos 2k ＋π＋x ]·sin 2k ＋π－x ]cos2k ＋＋1]π－x }＝cos 2[2k π＋π＋x 2[2k π＋π－x cos 2k ＋π＋π－x＝cos2π＋x2π－xcos 2π－x＝－cos x 2sin 2x －cos x 2＝sin 2x ，故化简的结果为sin 2x . 答案：sin 2x 高考研究课(二)三角函数的1个常考点——图象与性质 [全国卷5年命题分析][典例] (1)． (2)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为________．(3)函数f (x )＝cos 2x ＋sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4的值域为________．[解析] (1)要使函数y ＝lg(2sin x －1)＋1－2cos x 有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧2sin x －1＞0，1－2cos x ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＞12，cos x ≤12.解得2k π＋π3≤x <2k π＋5π6，k ∈Z.即函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫2k π＋π3，2k π＋5π6，k ∈Z.(2)∵0≤x ≤9， ∴－π3≤π6x －π3≤7π6，∴－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3≤1，故－3≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3≤2.即函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3(0≤x ≤9)的最大值为2，最小值为－ 3.所以最大值与最小值的和为2－ 3.(3)f (x )＝cos 2x ＋sin x ＝－sin 2x ＋sin x ＋1 ＝－⎝⎛⎭⎪⎫sin x －122＋54，又∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，∴sin x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22， ∴f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－22，54. [答案] (1)⎣⎢⎡⎭⎪⎫2k π＋π3，2k π＋5π6，k ∈Z (2)2－ 3 (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－22，54 [方法技巧]1．三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数图象来求解． 2．三角函数最值或值域的求法(1)直接法：直接利用sin x 和cos x 的值域求解．(2)化一法：把所给三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域．(3)换元法：把sin x 、cos x 、sin x cos x 或sin x ±cos x 换成t ，转化为二次函数求值域．[即时演练]1．函数y ＝|sin x |＋sin x 的值域为( ) A ．[－1,1] B ．[－2,2] C ．[－2,0]D ．[0,2]解析：选D ∵y ＝|sin x |＋sin x＝⎩⎪⎨⎪⎧2sin x ，sin x ≥0，0，sin x ＜0.又∵－1≤sin x ≤1，∴y ∈[0,2]， 即函数的值域为[0,2]．2．在△ABC 中，sin A cos B ＝－(2sin C ＋sin B )cos A ，则函数f (x )＝2sin 2x ＋sin(2x－A )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值为________．解析：由sin A cos B ＝－(2sin C ＋sin B )cos A ，可得sin(A ＋B )＝－2sin C cos A ，即sin C ＝－2sin C cos A . 因为sin C ≠0，所以cos A ＝－12，则A ＝2π3，所以f (x )＝2sin 2x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3＝32sin 2x －32cos 2x ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，所以2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3，所以f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝32.答案：323．求函数y ＝sin x ＋cos x ＋3cos x sin x 的最值． 解：令t ＝sin x ＋cos x ，则t ∈[－2，2]． ∵(sin x ＋cos x )2－2sin x cos x ＝1， ∴sin x cos x ＝t 2－12，∴y ＝32t 2＋t －32，t ∈[－2，2]，∵对称轴t ＝－13∈[－2，2]，∴y min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝32×19－13－32＝－53，y max ＝f (2)＝32＋ 2.[典例] x cos x (x ∈R)． (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3的值；(2)求f (x )的最小正周期及单调递增区间． [思路点拨] (1)欲求f ⎝⎛⎭⎪⎫2π3的值，把x ＝2π3直接代入f (x )的解析式求解；(2)欲求函数f (x )的性质问题，应把f (x )的解析式化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式，再求其最小正周期及单调增区间．[解] (1)由sin 2π3＝32，cos 2π3＝－12，得f ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322－⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－23×32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2.(2)由cos 2x ＝cos 2x －sin 2x 与sin 2x ＝2sin x cos x ，得f (x )＝－cos 2x －3sin 2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.所以f (x )的最小正周期是π. 由正弦函数的性质，令π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z)．[方法技巧]1．求三角函数单调区间的2种方法21．已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上是减函数，则ω的取值范围是________．解析：由π2＜x ＜π，得π2ω＋π4＜ωx ＋π4＜πω＋π4，由题意知⎝ ⎛⎭⎪⎫π2ω＋π4，πω＋π4⊆π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z)且2πω≥2×⎝⎛⎭⎪⎫π－π2，则⎩⎪⎨⎪⎧π2ω＋π4≥π2＋2k π，k ∈Z ，πω＋π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，且0＜ω≤2，故12≤ω≤54. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54 2．函数f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x 的递减区间是________．解析：f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x ＝12sin 2x ＋12(cos 2x ＋1)＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋12，由2k π＋π2≤2x ＋π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ，可得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8，k ∈Z ，所以函数f (x )的递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8，k ∈Z.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8，k ∈Z常见的考查角度有：三角函数的周期性； 三角函数的奇偶性； 三角函数的对称性； 三角函数性质的综合应用. 角度一：三角函数的周期性1．(2016·山东高考)函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是( )A.π2 B ．π C.3π2D ．2π解析：选B 法一：∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x ) ＝4⎝⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x －12sin x＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴T ＝2π2＝π.法二：∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x ) ＝3sin x cos x ＋3cos 2x －3sin 2x －sin x cos x ＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴T ＝2π2＝π.故选B.2．已知函数f (x )＝3sin ωx cos ωx －4cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π，且f (θ)＝12，则f ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π2＝( ) A ．－52B ．－92C ．－112D ．－132解析：选B f (x )＝32sin 2ωx －2cos 2ωx －2，因为函数f (x )的最小正周期为π，所以ω＝1，又f (θ)＝32sin 2θ－2cos 2θ－2＝12，即32sin 2θ－2cos 2θ＝52， 则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2＝32sin(2θ＋π)－2cos(2θ＋π)－2＝－32sin 2θ＋2cos 2θ－2＝－92.角度二：三角函数的奇偶性3．已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋ 3 cos(x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2是偶函数，则θ的值为( )A ．0 B.π6 C.π4D.π3解析：选B 据已知可得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋θ＋π3， 若函数为偶函数，则必有θ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z)，又由于θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，故有θ＋π3＝π2，解得θ＝π6，经代入检验符合题意． [方法技巧]若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则φ＝k π＋π2(k ∈Z)，同时，当x ＝0时，f (x )取得最大或最小值；若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则φ＝k π(k ∈Z)，同时，当x ＝0时，f (x )＝0.角度三：三角函数的对称性4．若函数f (x )＝3sin(2x ＋θ)＋cos(2x ＋θ)(0<θ<π)的图象关于⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0对称，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的最小值是( )A ．－1B ．－ 3C ．－12D ．－32解析：选B f (x )＝3sin(2x ＋θ)＋cos(2x ＋θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋θ＋π6，则由题意，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π＋θ＋π6＝0，又0<θ<π，所以θ＝5π6，所以f (x )＝－2sin 2x ，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上是减函数，所以函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－2sin π3＝－3，故选B.5．设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6－1(ω>0)的导数f ′(x )的最大值为3，则f (x )的图象的一条对称轴的方程是( )A ．x ＝π9B ．x ＝π6C ．x ＝π3D ．x ＝π2解析：选A f ′(x )＝ωcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，因为导数f ′(x )的最大值为3，所以ω＝3，则f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6－1，令3x ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π3＋π9，k ∈Z ，令k ＝0，可得x ＝π9，故选A.[方法技巧]对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．角度四：三角函数性质的综合应用6．已知函数f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3(x ∈R)，下列结论错误的是( )A ．函数f (x )的最小正周期为πB ．函数f (x )图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0对称C ．函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是减函数 D ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称解析：选C 函数f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的最小正周期为π，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝3，则函数f (x )图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0对称，函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，因此A 、B 、D正确，令2k π≤2x －π3≤π＋2k π，k ∈Z ，得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z ，所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上不单调，故C 错误．。
2018-2019学年高考数学(文科)一轮复习通用版：第五单元 三角函数及其恒等变换
第五单元三角函数及其恒等变换教材复习课“三角函数及其恒等变换”相关基础知识一课过1．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S＝{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．2．弧长、扇形面积公式设扇形的弧长为l，圆心角大小为α(rad)，半径为r，则l＝|α|r，扇形的面积为S＝12lr＝12|α|·r2.3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin α＝y，cos α＝x，tan α＝yx(x≠0)．(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．(3)三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．[小题速通]1．(2018·济南模拟)已知sin θ－cos θ>1，则角θ的终边位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选B由已知得(sin θ－cos θ)2>1，即1－2sin θcos θ>1，sin θcos θ<0，所以sinθ>0>cos θ，所以角θ的终边在第二象限．2．已知α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，且cos α＝24x ，则x ＝( ) A. 3 B ．±3 C ．－ 2D ．－ 3解析：选D 依题意得cos α＝xx 2＋5＝24x ＜0，由此解得x ＝－3，选D. 3．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α(0<α<π)的弧度数为( )A.π3B.π2C. 3D ．2解析：选C 设圆半径为r ，则其内接正三角形的边长为3r ，所以3r ＝αr ，故α＝ 3. 4．已知扇形的半径r ＝10 cm ，圆心角α为120°，则扇形的面积为________cm 2. 解析：因为120°＝2π3，由扇形的面积公式可得S ＝12αr 2＝12×2π3×102＝1003π(cm 2)．答案：1003π 5．在与2 010°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为________． 解析：2 010°＝676π＝12π－5π6，∴与2 010°终边相同的角中绝对值最小的角的弧度数为－5π6.答案：－5π6[清易错]1．注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．2．角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．3．已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况． 1．下列说法正确的是( )A ．三角形的内角必是第一、二象限角B ．第一象限角必是锐角C ．不相等的角终边一定不相同D ．若β＝α＋2k π(k ∈Z )，则α和β终边相同答案：D 2．已知点P ⎝⎛⎭⎫32，－12在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )A.5π6B.2π3 C.11π6D.5π3解析：选C 因为点P⎝⎛⎭⎫32，－12在角θ的终边上，所以角θ的终边在第四象限，且tan θ＝－33. 又θ∈[0,2π)，所以θ＝11π6.3．已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，则sin α＋cos α＝________. 解析：设α终边上任一点为P (－4a,3a )， 当a ＞0时，r ＝5a ，sin α＝35，cos α＝－45；当a ＜0时，r ＝－5a ，sin α＝－35，cos α＝45.故sin α＋cos α＝15或－15.答案：±151．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系 sin 2α＋cos 2α＝1； (2)商数关系 tan α＝sin αcos α.2．诱导公式3．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β； cos(α∓β)＝cos_αcos_β±sin_αsin_β； tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.4．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin_αcos_α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α1－tan 2α.[小题速通]1．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，tan(α－π)＝－34，则sin α＋cos α的值是( ) A ．±15 B.15 C ．－15 D ．－75解析：选C 由α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，tan(α－π)＝tan α＝－34<0，得α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝－34cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1，解得sin α＝35，cos α＝－45，则sin α＋cos α＝－15.2．已知sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝35，则cos(π－2α)的值为( ) A.2425 B.725 C ．－725D ．－2425解析：选B 由sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝35，可得cos α＝35，则cos(π－2α)＝－cos 2α＝1－2cos 2α＝725. 3．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，则sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝________. 解析：因为cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，所以sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝sin π2－⎝⎛⎭⎫π6－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33. 答案：334．已知tan α＝2，则sin α＋cos α2sin α＋cos α＝________.解析：因为tan α＝2，所以原式＝sin α＋cos α2sin α＋cos α＝tan α＋12tan α＋1＝35.答案：355．计算：sin 250°1＋sin 10°＝________.解析：sin 250°1＋sin 10°＝1－cos 100°2(1＋sin 10°)＝1－cos (90°＋10°)2(1＋sin 10°)＝1＋sin 10°2(1＋sin 10°)＝12.答案：12[清易错]1．利用平方关系解决问题时，要注意开方运算结果的符号，需要根据角的范围进行确定．2．在使用两角和与差的余弦或正切公式时运算符号易错． 1．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＋cos α＝33，则cos(2 018π－2α)＝( ) A ．±63B ．－53C ．－63D ．±53解析：选B 将sin α＋cos α＝33两边平方，化简可得sin 2α＝－23， 因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＋cos α＝33>0， 所以α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，2α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，所以cos 2α<0， 则cos(2 018π－2α)＝cos 2α＝－1－sin 22α＝－53. 2．若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝13，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则sin α的值为( ) A.4－26B.4＋26C.718D.23解析：选A 由cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝13，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，可得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝223，则sin α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π4－π4＝223×22－13×22＝4－26.正弦、余弦、正切函数的图象与性质1．函数y ＝1－2sin 22x 的最小正周期是( ) A.π4 B.π2 C.2π3D ．π解析：选B 因为函数y ＝1－2sin 22x ＝cos 4x ，所以函数的最小正周期T ＝π2.2．若函数f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上的最大值为1，则ω＝( )A.14B.13C.12D.32解析：选C 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，所以ωx ∈⎣⎡⎦⎤0，ωπ3，又因为函数f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上的最大值为1，所以ωπ3＝π6，则ω＝12. 3．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π，则f ⎝⎛⎭⎫π8＝( ) A ．1 B.12 C ．－1D ．－12解析：选A 由题设知2πω＝π，所以ω＝2，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，所以f ⎝⎛⎭⎫π8＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π8＋π4＝sin π2＝1.4．(2018·杭州模拟)若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( )A.π2B.2π3C.3π2D.5π3解析：选C 由已知f (x )＝sin x ＋φ3是偶函数，可得φ3＝k π＋π2(k ∈Z)，即φ＝3k π＋3π2(k∈Z)，又φ∈[0,2π]，所以φ＝3π2. 5．若函数f (x )＝sin ω x (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω等于( )A.23 B.32 C ．2D ．3解析：选B ∵f (x )＝sin ω x (ω>0)过原点，∴当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 是增函数；当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π2ω时，y ＝sin ωx 是减函数． 由f (x )＝sin ωx (ω>0)在⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减知，π2ω＝π3，∴ω＝32. [清易错]1．正切函数的图象是由直线x ＝k π＋π2(k ∈Z)隔开的无穷多支曲线组成，单调增区间是⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π，k ∈Z ，不能说它在整个定义域内是增函数，如π4<3π4，但是tan π4>tan 3π4，正切函数不存在减区间．2．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．3．研究三角函数单调性、对称中心、奇偶性及对称轴时易忽视“k ∈Z ”这一条件． 1．(2018·石家庄一模)函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z) B.⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z) C.⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z) D.⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z) 解析：选B 由k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z)得，k π2－π12＜x ＜k π2＋5π12(k ∈Z)，所以函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z)． 2．函数f (x )＝sin(－2x )，x ∈[0,2π]的单调递增区间是________________． 解析：f (x )＝sin(－2x )＝－sin 2x ， 令2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π4≤x ≤k π＋3π4，k ∈Z ，所以函数f (x )在[0,2π]上的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤π4，3π4，⎣⎡⎦⎤5π4，7π4. 答案：⎣⎡⎦⎤π4，3π4，⎣⎡⎦⎤5π4，7π4函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用1．用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：法一 法二[小题速通]1．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π上的简图是( )解析：选A 令x ＝0，得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝－32，排除B 、D.由f ⎝⎛⎭⎫－π3＝0，f ⎝⎛⎭⎫π6＝0，排除C ，故选A.2．将函数y ＝sin 2x 的图象先向左平移π6个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的函数解析式是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1 解析：选B 由题意可得函数的解析式为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋1＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1.3.函数f (x )＝33sin ωx (ω>0)的部分图象如图所示，点A ，B 是图象的最高点，点C 是图象的最低点，且△ABC 是正三角形，则f (1)＋f (2)＋f (3)的值为( )A.92B.932 C ．93＋1D.9(3＋1)2解析：选D 因为△ABC 是正三角形， 所以△ABC 的高是63， 则△ABC 的边长是12，即函数f (x )＝33sin ωx (ω>0)的周期为12， 所以ω＝π6，f (x )＝33sin π6x ，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＝33sin π6＋33sin π3＋33sin π2＝9(3＋1)2.4.如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫x ∈R ，A >0，ω>0，0<φ<π2在区间⎣⎡⎦⎤－π6，5π6上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将y ＝sin x (x ∈R)的图象上所有的点( )A ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变C ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变D ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变解析：选D 由图象可知，A ＝1，周期T ＝π，所以ω＝2，又sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ＝0且0<φ<π2，所以φ＝π3，则y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，由图象变换可知选D. [清易错]1．由y ＝A sin ωx 的图象得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时，需平移的单位数应为⎪⎪⎪⎪φω，而不是|φ|.2．要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数．1．要得到函数y ＝cos(2x ＋1)的图象，只要将函数y ＝cos 2x 的图象( ) A ．向左平移1个单位 B ．向右平移1个单位 C ．向左平移12个单位D ．向右平移12个单位解析：选C ∵y ＝cos(2x ＋1)＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋12， ∴只要将函数y ＝cos 2x 的图象向左平移12个单位即可．2．函数y ＝cos(2x ＋φ)(－π≤φ<π)的图象向右平移π2个单位后，与函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象重合，则φ＝________.解析：将y ＝cos(2x ＋φ)的图象向右平移π2个单位后得到y ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π2＋φ的图象，化简得y ＝－cos(2x ＋φ)，又可变形为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ－π2.由题意可知φ－π2＝π3＋2k π(k ∈Z)，所以φ＝5π6＋2k π(k ∈Z)，结合－π≤φ<π，知φ＝5π6.答案：5π6一、选择题1.(2018·杭州模拟)如图所示，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠AOP ＝θ，则点P 的坐标是( )A ．(cos θ，sin θ)B ．(－cos θ，sin θ)C ．(sin θ，cos θ)D ．(－sin θ，cos θ)解析：选A 由三角函数的定义知x P ＝cos θ，y P ＝sin θ，故选A.2．若α＝k ·360°＋θ，β＝m ·360°－θ(k ，m ∈Z)，则角α与β的终边的位置关系是( ) A ．重合 B ．关于原点对称 C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称解析：选C 角α与θ终边相同，β与－θ终边相同． 又角θ与－θ的终边关于x 轴对称． ∴角α与β的终边关于x 轴对称．3．已知sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝12，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π3的值是( ) A.12 B.23 C ．－12D ．1解析：选C 由已知得cos α＝12，sin α＝－32，∴cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＝12cos α＋32sin α＝－12. 4．(2018·淄博调研)已知tan α＝2，则sin 2α－sin αcos α的值是( ) A.25 B ．－25C ．－2D ．2解析：选A sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1 ，把tan α＝2代入，原式＝25.5．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2，x ∈R ，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数解析：选B ∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－cos 2x ，∴f (x )是最小正周期为π的偶函数． 6．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( ) A ．关于直线x ＝π3对称B ．关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称 C ．关于直线x ＝－π6对称D ．关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称解析：选B ∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，∴ω＝2，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 经验证可知f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋π3＝sin π＝0， 即⎝⎛⎭⎫π3，0是函数f (x )的一个对称点．7．将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数( ) A ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递减 B ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增 C ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递减 D ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递增 解析：选B 平移后的函数为y ＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π2＋π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3，增区间：－π2＋2k π≤2x －2π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，即π12＋k π≤x ≤7π12＋k π，k ∈Z ，令k ＝0时，π12≤x ≤7π12，故所得图象对应的函数在⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增，在⎣⎡⎦⎤－π6，π3上不单调，故选B.8.(2018·河北衡水中学调研)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的部分图象如图所示，下面结论错误的是( )A ．函数f (x )的最小正周期为2π3B ．函数f (x )的图象可由g (x )＝A cos ωx 的图象向右平移π12个单位长度得到 C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π12对称D ．函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π4，π2上单调递增解析：选D 函数的最小正周期T ＝2⎝⎛⎭⎫11π12－7π12＝2π3，选项A 正确；由T ＝2π3得ω＝3.又f ⎝⎛⎭⎫7π12＝A cos ⎝⎛⎭⎫7π4＋φ＝0，所以φ＝k π－5π4(k ∈Z)．又f ⎝⎛⎭⎫π2＝A cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋φ＝A sin φ＝－23，所以sin φ<0，φ＝－π4＋2k π(k ∈Z)，即f (x )＝A cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4，函数g (x )＝A cos 3x 的图象向右平移π12个单位长度得到的图象对应的函数的解析式为y ＝g ⎝⎛⎭⎫x －π12＝A cos ⎣⎡⎦⎤3⎝⎛⎭⎫x －π12＝A cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4＝f (x )，选项B 正确；当x ＝π12时，f (x )＝A ，因此函数f (x )的图象关于直线x ＝π12对称，选项C 正确；当x ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2时，3x －π4∈⎝⎛⎭⎫π2，5π4，故函数f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，π2上不是单调递增的，选项D 错误．二、填空题9．函数f (x )＝sin x －4sin 3x 2cos x2的最小正周期为________．解析：f (x )＝sin x －2sin 2x 2sin x ＝sin x cos x ＝12sin 2x ，所以函数的最小正周期T ＝π.答案：π10．在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴为始边作锐角α，它的终边与单位圆相交于点A ，且点A 的横坐标为513，则tan ⎝⎛⎭⎫π－α2的值为________． 解析：由题意知cos α＝513，因为α为锐角，所以cos α2＝1＋cos α2＝313， sin α2＝ 1－cos 2α2＝213，所以tan ⎝⎛⎭⎫π－α2＝－tan α2＝－sinα2cos α2＝－23. 答案：－2311．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则φ＝________.解析：由图象知A ＝1，T ＝4⎝⎛⎭⎫7π12－π3＝π， 故ω＝2，再由2×π3＋φ＝π2，得φ＝－π6.答案：－π612．函数f (x )＝log 21＋sin 2xsin x ＋cos x的最大值为________．解析：因为1＋sin 2xsin x ＋cos x ＝(sin x ＋cos x )2sin x ＋cos x＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4∈(0，2]， 又因为函数y ＝log 2x 是增函数，所以，当1＋sin 2x sin x ＋cos x ＝2时，函数f (x )＝log 2 1＋sin 2xsin x ＋cos x取得最大值为12.答案：12三、解答题13．设函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6()ω>0，x ∈R 的最小正周期为π2. (1)求f (x )的解析式；(2)利用“五点作图法”，画出f (x )在长度为一个周期的闭区间上的简图； (3)已知f ⎝⎛⎭⎫α4＋π12＝95，求cos α的值． 解：(1)∵T ＝2πω＝π2⇒ω＝4，∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6. (2)列表：(3)∵f ⎝⎛⎭⎫α4＋π12＝3sin ⎣⎡⎦⎤4⎝⎛⎭⎫α4＋π12＋π6 ＝3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝3cos α＝95，∴cos α＝35. 14．已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫3sin x 4，1，n ＝⎝⎛⎭⎫cos x 4，cos 2x4，记f (x )＝m ·n . (1)若f (x )＝1，求cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的值； (2)在锐角△ABC 中，(2a －c )cos B ＝b cos C ，求f (2A )的取值范围．解：(1)f (x )＝m ·n ＝3sin x 4cos x 4＋cos 2x 4＝32sin x 2＋12cos x 2＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＋12， 由f (x )＝1，得sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＝12， 所以cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＝12.(2)因为(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， 所以2sin A cos B －sin C cos B ＝sin B cos C ， 所以2sin A cos B ＝sin(B ＋C )，因为A ＋B ＋C ＝π， 所以sin(B ＋C )＝sin A ，且sin A ≠0，所以cos B ＝12，又0<B <π2，所以B ＝π3.则A ＋C ＝2π3，A ＝2π3－C ，又0<C <π2，0<A <π2，则π6<A <π2，得π3<A ＋π6<2π3， 所以32<sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6≤1， 又因为f (2A )＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＋12， 故函数f (2A )的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤3＋12，32.15．(2018·青岛模拟)已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ωx ＋π6＋a (ω>0)图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求a 和ω的值；(2)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间． 解：(1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6＋a ＝4cos ωx ·32sin ωx ＋12cos ωx ＋a＝23sin ωx cos ωx ＋2cos 2ωx －1＋1＋a ＝3sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋1＋a ＝2sin2ωx ＋π6＋1＋a .当sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＝1时，f (x )取得最大值2＋1＋a ＝3＋a ， 又f (x )图象上最高点的纵坐标为2，∴3＋a ＝2， ∴a ＝－1.又f (x )图象上相邻两个最高点的距离为π，∴f (x )的最小正周期T ＝π，∴2ω＝2πT ＝2，∴ω＝1.(2)由(1)得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z. 令k ＝0，得π6≤x ≤2π3，∴函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π6，2π3. 高考研究课(一)三角函数的3个基本考点——定义、公式和关系 [全国卷5年命题分析][典例] (1)点P 从(－1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动 8π3弧长到达点Q ，则点Q 的坐标为________．(2)已知角α的终边上一点P (－3，m )(m ≠0)，且sin α＝2m4，求cos α，tan α的值． [解析] (1)设点A (－1,0)，点P 从(－1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动8π3弧长到达点Q ，则∠AOQ ＝8π3－2π＝2π3(O 为坐标原点)，所以∠xOQ ＝π3，cos π3＝12，sin π3＝32，所以点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，32.答案：⎝⎛⎭⎫12，32(2)由题设知x ＝－3，y ＝m ，∴r 2＝|OP |2＝()－32＋m 2(O 为原点)，r ＝3＋m 2.∴sin α＝m r ＝2m 4＝m22，∴r ＝3＋m 2＝22，即3＋m 2＝8，解得m ＝±5.当m ＝5时，r ＝22，x ＝－3，y ＝5， ∴cos α＝－322＝－64， tan α＝－153；当m ＝－5时，r ＝22，x ＝－3，y ＝－5， ∴cos α＝－322＝－64， tan α＝153.[方法技巧](1)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P 的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．(2)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．[即时演练]1．已知角α终边与单位圆x 2＋y 2＝1的交点为P ⎝⎛⎭⎫12，y ，则sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝( ) A ．－12B.12 C ．－32D ．1解析：选A 因为角α终边与单位圆x 2＋y 2＝1的交点为P ⎝⎛⎭⎫12，y ，所以cos α＝12， 所以sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝cos 2α＝2cos 2α－1＝－12. 2．在平面直角坐标系中，点M (3，m )在角α的终边上，点N (2m ，4)在角α＋π4的终边上，则m ＝( )A ．－6或1B ．－1或6C ．6D ．1解析：选A 由题意得，tan α＝m 3，tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝42m ＝2m ，∴2m ＝1＋m 31－m 3，∴m ＝－6或1.诱导公式[典例] (1)(2018·淄博模拟)已知sin ⎝⎛⎭7π12＋α＝23，则cos ⎝⎭⎫α－11π12＝________； (2)化简：1－2sin 40°cos 40°cos 40°－1－sin 250°＝________.[解析] (1)cos ⎝⎛⎭⎫α－11π12＝cos ⎝⎛⎭⎫11π12－α ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π12＋α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π12＋α， 而sin ⎝⎛⎭⎫7π12＋α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π12＋α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π12＋α＝23， 所以cos ⎝⎛⎭⎫α－11π12＝－23. (2)原式＝sin 240°＋cos 240°－2sin 40°cos 40°cos 40°－cos 250° ＝|sin 40°－cos 40°|cos 40°－cos 50°＝cos 40°－sin 40°cos 40°－sin 40°＝1.[答案] (1)－23 (2)1[方法技巧]利用诱导公式化简三角函数的思路和要求思路方法：(1)分析结构特点，选择恰当公式； (2)利用公式化成单角三角函数； (3)整理得最简形式． 化简要求：(1)化简过程是恒等变形；(2)结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值． [即时演练]1．已知函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，且f (4)＝3，则f (2 017)的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．3D ．－3解析：选D ∵f (4)＝a sin(4π＋α)＋b cos(4π＋β)＝a sin α＋b cos β＝3，∴f (2 017)＝a sin(2 017π＋α)＋b cos(2 017π＋β) ＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β) ＝－a sin α－b cos β ＝－(a sin α＋b cos β)＝－3. 即f (2 017)＝－3.2．已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，α是第三象限角，则sin ⎝⎛⎭⎫－α－3π2cos ⎝⎛⎭⎫3π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋α·tan 2(π－α)＝________.解析：∵方程5x 2－7x －6＝0的根为－35或2，又α是第三象限角，∴sin α＝－35，∴cos α＝－1－sin 2α＝－45，∴tan α＝sin αcos α＝34，∴原式＝cos α(－sin α)sin αcos α·tan 2α＝－tan 2α＝－916.答案：－9161．已知cos α＝k ，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则sin(π＋α)＝( ) A ．－1－k 2 B.1－k 2 C ．±1－k 2D ．－k解析：选A 由cos α＝k ，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，得sin α＝1－k 2，∴sin(π＋α)＝－sin α＝－1－k 2，故选A.2．已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－12，α∈(0，π)，则cos α＝( ) A.12 B ．－12C.32D ．－32解析：选D 因为α∈(0，π)，所以α＋π3∈⎝⎛⎭⎫π3，4π3， 又因为sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－12，所以α＋π3＝7π6，即α＝5π6， 则cos α＝－32. 角度二：知切求弦问题3．已知tan(α－π)＝34，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝( ) A.45 B ．－45C.35D ．－35解析：选B 由tan(α－π)＝34，得tan α＝34，又因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，所以α为第三象限角， 所以sin α＝－35，cos α＝－45.所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝cos α＝－45. 角度三：sin α±cos α，sin αcos α的关系应用问题4．(2018·揭阳模拟)已知sin αcos α＝18，且5π4＜α＜3π2，则cos α－sin α的值为( )A ．－32B.32C ．－34D.34解析：选B ∵5π4＜α＜3π2，∴cos α＜0，sin α＜0且|cos α|＜|sin α|，∴cos α－sin α＞0，又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，∴cos α－sin α＝32. 5．已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝23⎝⎛⎭⎫π2＜α＜π，则sin α－cos α＝________.解析：由sin (π－α)－cos(π＋α)＝23， 得sin α＋cos α＝23， 将式子两边平方得1＋2sin αcos α＝29，故2sin αcos α＝－79.∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－⎝⎛⎭⎫－79＝169. 又∵π2＜α＜π，∴sin α＞0，cos α＜0.∴sin α－cos α＝43.答案：43角度四：已知tan α，求f (sin α，cos α)值问题6．已知α是三角形的内角，且tan α＝－13， 则sin α＋cos α＝________.解析：由tan α＝－13，得sin α＝ －13cos α，将其代入 sin 2α＋cos 2α＝1，得109cos 2α＝1，∴cos 2α＝910，易知cos α＜0， ∴cos α＝－31010， sin α＝1010，故 sin α＋cos α＝－105. 答案：－1057．已知tan(α＋β)＝2，tan(α－β)＝3，则sin 2αcos 2β的值为________．解析：sin 2αcos 2β＝sin[(α＋β)＋(α－β)]cos[(α＋β)－(α－β)]＝sin (α＋β)cos (α－β)＋cos (α＋β)sin (α－β)cos (α＋β)cos (α－β)＋sin (α＋β)sin (α－β)＝tan (α＋β)＋tan (α－β)1＋tan (α＋β)tan (α－β)＝2＋31＋2×3＝57.答案：57[方法技巧]同角三角函数基本关系式的应用技巧1．(2016·全国卷Ⅲ)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝( )A.6425 B.4825 C ．1D.1625解析：选A 因为tan α＝34，所以cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝1＋4tan αtan 2α＋1＝1＋4×34⎝⎛⎭⎫342＋1＝6425. 2．(2014·大纲卷)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝( ) A.45 B.35 C ．－35D ．－45解析：选D 记P (－4,3)，则x ＝－4，y ＝3，r ＝|OP |＝(－4)2＋32＝5，故cos α＝x r ＝－45＝－45.3．(2014·全国卷Ⅰ)若tan α>0，则( ) A ．sin 2α>0 B ．cos α>0 C ．sin α>0D ．cos 2α>0解析：选A 由tan α>0，可得α的终边在第一象限或第三象限，此时sin α与cos α同号，sin 2α＝2sin αcos α>0，故选A.4．(2016·全国卷Ⅰ)已知θ是第四象限角，且sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝________. 解析：由题意知sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，θ是第四象限角， 所以cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＞0， 所以cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝45. tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－π2 ＝－sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫θ＋π4cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－45×53＝－43.答案：－43一、选择题1.如图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点B ，C 在圆O 上，且B ⎝⎛⎭⎫45，－35，点C 在第一象限，∠AOC ＝α，BC ＝1，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α＝( ) A ．－45B ．－35C.35D.45解析：选B 由已知可得OB ＝1，即圆O 的半径为1， 又因为BC ＝1，所以△OBC 是等边三角形， 所以cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π3－α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝－sin ∠BOA ＝－35. 2．(2018·江西六校联考)点A (sin 2 018°，cos 2 018°)位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选C 因为sin 2 018°＝sin(11×180°＋38°) ＝－sin 38°＜0，cos 2 018°＝cos(11×180°＋38°) ＝－cos 38°＜0，所以点A (sin 2 018°，cos 2 018°)位于第三象限． 3．若sin θcos θ＝12，则tan θ＋cos θsin θ的值是( )A ．－2B ．2C ．±2D.12解析：选B tan θ＋cos θsin θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1cos θsin θ＝2.4．(2018·江西五校联考)cos 350°－2sin 160°sin (－190°)＝( )A ．－ 3B ．－32C.32D. 3解析：选D 原式＝cos (360°－10°)－2sin (180°－20°)－sin (180°＋10°)＝cos 10°－2sin (30°－10°)－(－sin 10°)＝cos 10°－2⎝⎛⎭⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°＝3sin 10°sin 10°＝ 3.5．已知A (x A ，y A )是单位圆(圆心在坐标原点O )上任意一点，将射线OA 绕O 点逆时针旋转30°，交单位圆于点B (x B ，y B )，则x A －y B 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[－2，2]C ．[－1,1]D.⎣⎡⎦⎤－12，12 解析：选C 设沿x 轴正方向逆时针旋转到射线OA 的角为α，根据三角函数的定义得x A ＝cos α，y B ＝sin(α＋30°)，所以x A －y B ＝cos α－sin(α＋30°)＝－32sin α＋12cos α＝sin(α＋150°)∈[－1,1]．6．(2018·日照模拟)已知－π2＜α＜0，sin α＋cos α＝15，则1cos 2α－sin 2α的值为( )A.75 B.725 C.257D.2425解析：选C ∵sin α＋cos α＝15，∴1＋sin 2α＝125，即sin 2α＝－2425，又∵－π2<α<0，∴cosα－sin α>0.∴cos α－sin α＝1－sin 2α＝75，∴1cos 2α－sin 2α＝1(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝257. 二、填空题 7．若tan α＝3，则sin (α－π)＋cos (π－α)sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝________.解析：因为tan α＝3，所以sin (α－π)＋cos (π－α)sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α－cos αcos α－sin α＝tan α＋1tan α－1＝2.答案：28．(2018·枣庄模拟)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a (|a |≤1)，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ的值是________．解析：由题意知，cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－θ ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝－a .sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π6－θ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a ， ∴cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝0. 答案：09．(2018·成都一诊)在直角坐标系xOy 中，已知任意角θ以坐标原点O 为顶点，以x 轴的非负半轴为始边，若其终边经过点P (x 0，y 0)，且OP ＝r (r ＞0)，定义：sicos θ＝y 0－x 0r ，称“sicos θ”为“θ的正余弦函数”，若sicos θ＝0，则sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝________. 解析：因为sicos θ＝0，所以y 0＝x 0，所以θ的终边在直线y ＝x 上，所以当θ＝2k π＋π4，k ∈Z 时，sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫4k π＋π2－π3＝cos π3＝12；当θ＝2k π＋5π4，k ∈Z 时，sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫4k π＋5π2－π3＝cos π3＝12.综上得sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝12. 答案：12三、解答题10．已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，求10sin α＋3cos α的值． 解：设α终边上任一点为P (k ，－3k )， 则r ＝k 2＋(－3k )2＝10|k |.当k ＞0时，r ＝10k ， ∴sin α＝－3k 10k＝－310，1cos α＝10k k ＝10， ∴10sin α＋3cos α＝－310＋310＝0； 当k ＜0时，r ＝－10k ，∴sin α＝－3k－10k＝310，1cos α＝－10k k ＝－10， ∴10sin α＋3cos α＝310－310＝0. 综上，10sin α＋3cos α＝0.11．已知cos(α－7π)＝－35，求sin(3π＋α)·tan ⎝⎛⎭⎫α－7π2的值． 解：∵cos(α－7π)＝cos(7π－α)＝cos(π－α)＝－cos α ＝－35，∴cos α＝35.∴sin(3π＋α)·tan ⎝⎛⎭⎫α－7π2 ＝sin(π＋α)·⎣⎡⎦⎤－tan ⎝⎛⎭⎫7π2－α ＝sin α·tan ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α·sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α ＝sin α·cos αsin α＝cos α＝35.12．已知α为第三象限角，f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π2·cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α·tan (π－α)tan (－α－π)·sin (－α－π).(1)化简f (α)；(2)若cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，求f (α)的值． 解：(1)f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π2·cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α·tan (π－α)tan (－α－π)·sin (－α－π)＝(－cos α)·sin α·(－tan α)(－tan α)·sin α＝－cos α.(2)∵cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，∴－sin α＝15， 从而sin α＝－15.又α为第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－265，∴f (α)＝－cos α＝265.1．若sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝m ，且β为第三象限角，则cos β的值为( ) A.1－m 2 B ．－1－m 2 C.m 2－1D ．－m 2－1解析：选B 因为m ＝sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝sin [(α－β)－α]＝sin(－β)，所以sin β＝－m .因为β为第三象限角，所以cos β＝－1－sin 2β＝－1－m 2.2．化简cos 2(n π＋x )·sin 2(n π－x )cos 2[(2n ＋1)π－x ](n ∈Z)的结果为________．解析：当n 为偶数，即n ＝2k (k ∈Z)时， 原式＝cos 2(2k π＋x )·sin 2(2k π－x )cos 2[(2×2k ＋1)π－x ]＝cos 2x ·sin 2(－x )cos 2(π－x )＝cos 2x ·(－sin x )2(－cos x )2＝sin 2x ； 当n 为奇数，即n ＝2k ＋1(k ∈Z)时， 原式＝cos 2[(2k ＋1)π＋x ]·sin 2[(2k ＋1)π－x ]cos 2{[2×(2k ＋1)＋1]π－x } ＝cos 2[2k π＋(π＋x )]·sin 2[2k π＋(π－x )]cos 2[2×(2k ＋1)π＋(π－x )]＝cos 2(π＋x )·sin 2(π－x )cos 2(π－x )＝(－cos x )2sin 2x (－cos x )2＝sin 2x ，故化简的结果为sin 2x . 答案：sin 2x 高考研究课(二)三角函数的1个常考点——图象与性质 [全国卷5年命题分析][典例] (1) (2)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为________．(3)函数f (x )＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4的值域为________． [解析] (1)要使函数y ＝lg(2sin x －1)＋1－2cos x 有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧2sin x －1＞0，1－2cos x ≥0，即⎩⎨⎧sin x ＞12，cos x ≤12.解得2k π＋π3≤x <2k π＋5π6，k ∈Z.即函数的定义域为⎣⎡⎭⎫2k π＋π3，2k π＋5π6，k ∈Z. (2)∵0≤x ≤9， ∴－π3≤π6x －π3≤7π6，∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3≤1， 故－3≤2sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3≤2. 即函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3(0≤x ≤9)的最大值为2，最小值为－ 3.所以最大值与最小值的和为2－ 3.(3)f (x )＝cos 2x ＋sin x ＝－sin 2x ＋sin x ＋1 ＝－⎝⎛⎭⎫sin x －122＋54， 又∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4， ∴sin x ∈⎣⎡⎦⎤－22，22，∴f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－22，54.[答案] (1)⎣⎡⎭⎫2k π＋π3，2k π＋5π6，k ∈Z (2)2－ 3 (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－22，54[方法技巧]1．三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数图象来求解． 2．三角函数最值或值域的求法(1)直接法：直接利用sin x 和cos x 的值域求解．(2)化一法：把所给三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域．(3)换元法：把sin x 、cos x 、sin x cos x 或sin x ±cos x 换成t ，转化为二次函数求值域． [即时演练]1．函数y ＝|sin x |＋sin x 的值域为( ) A ．[－1,1] B ．[－2,2] C ．[－2,0]D ．[0,2]解析：选D ∵y ＝|sin x |＋sin x＝⎩⎪⎨⎪⎧2sin x ，sin x ≥0，0，sin x ＜0. 又∵－1≤sin x ≤1，∴y ∈[0,2]， 即函数的值域为[0,2]．2．在△ABC 中，sin A cos B ＝－(2sin C ＋sin B )cos A ，则函数f (x )＝2sin 2x ＋sin(2x －A )在区间⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值为________． 解析：由sin A cos B ＝－(2sin C ＋sin B )cos A ，可得sin(A ＋B )＝－2sin C cos A ，即sin C ＝－2sin C cos A . 因为sin C ≠0，所以cos A ＝－12，则A ＝2π3，所以f (x )＝2sin 2x ＋sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3＝32sin 2x －32cos 2x ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6.因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，所以2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3， 所以f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫π4＝32. 答案：323．求函数y ＝sin x ＋cos x ＋3cos x sin x 的最值． 解：令t ＝sin x ＋cos x ，则t ∈[－2，2]． ∵(sin x ＋cos x )2－2sin x cos x ＝1， ∴sin x cos x ＝t 2－12，∴y ＝32t 2＋t －32，t ∈[－2，2]，∵对称轴t ＝－13∈[－2，2]，∴y min ＝f ⎝⎛⎭⎫－13＝32×19－13－32＝－53， y max ＝f (2)＝32＋ 2.[典例] (2017·x (x ∈R)． (1)求f ⎝⎛⎭⎫2π3的值；(2)求f (x )的最小正周期及单调递增区间．[思路点拨] (1)欲求f ⎝⎛⎭⎫2π3的值，把x ＝2π3直接代入f (x )的解析式求解； (2)欲求函数f (x )的性质问题，应把f (x )的解析式化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式，再求其最小正周期及单调增区间．[解] (1)由sin2π3＝32，cos 2π3＝－12， 得f ⎝⎛⎭⎫2π3＝⎝⎛⎭⎫322－⎝⎛⎭⎫－122－23×32×⎝⎛⎭⎫－12＝2. (2)由cos 2x ＝cos 2x －sin 2x 与sin 2x ＝2sin x cos x ，得 f (x )＝－cos 2x －3sin 2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 所以f (x )的最小正周期是π.由正弦函数的性质，令π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z)． [方法技巧]1．求三角函数单调区间的2种方法2．1．已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上是减函数，则ω的取值范围是________． 解析：由π2＜x ＜π，得π2ω＋π4＜ωx ＋π4＜πω＋π4，由题意知⎝⎛⎭⎫π2ω＋π4，πω＋π4⊆π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z)且2πω≥2×⎝⎛⎭⎫π－π2， 则⎩⎨⎧π2ω＋π4≥π2＋2k π，k ∈Z ，πω＋π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，且0＜ω≤2，故12≤ω≤54. 答案：⎣⎡⎦⎤12，542．函数f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x 的递减区间是________．解析：f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x ＝12sin 2x ＋12(cos 2x ＋1)＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋12， 由2k π＋π2≤2x ＋π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ，可得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8，k ∈Z ，所以函数f (x )的递减区间是⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8，k ∈Z. 答案：⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8，k ∈Z1．(2016·山东高考)函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是( ) A.π2 B ．π C.3π2D ．2π解析：选B 法一：∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x ) ＝4⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x ⎝⎛⎭⎫32cos x －12sin x＝4sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴T ＝2π2＝π.法二：∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x ) ＝3sin x cos x ＋3cos 2x －3sin 2x －sin x cos x ＝sin 2x ＋3cos 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴T ＝2π2＝π.故选B.2．已知函数f (x )＝3sin ωx cos ωx －4cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π，且f (θ)＝12，则f ⎝⎛⎭⎫θ＋π2＝( )A ．－52B ．－92C ．－112D ．－132解析：选B f (x )＝32sin 2ωx －2cos 2ωx －2，因为函数f (x )的最小正周期为π，所以ω＝1， 又f (θ)＝32sin 2θ－2cos 2θ－2＝12，即32sin 2θ－2cos 2θ＝52， 则f ⎝⎛⎭⎫θ＋π2＝32sin(2θ＋π)－2cos(2θ＋π)－2＝－32sin 2θ＋2cos 2θ－2＝－92. 角度二：三角函数的奇偶性3．已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋ 3 cos(x ＋θ)⎝⎛⎭⎫θ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2是偶函数，则θ的值为( ) A ．0 B.π6 C.π4D.π3解析：选B 据已知可得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋θ＋π3， 若函数为偶函数，则必有θ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z)，又由于θ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，故有θ＋π3＝π2，解得θ＝π6， 经代入检验符合题意． [方法技巧]若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则φ＝k π＋π2(k ∈Z)，同时，当x ＝0时，f (x )取得最大或最小值；若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则φ＝k π(k ∈Z)，同时，当x ＝0时，f (x )＝0.角度三：三角函数的对称性4．若函数f (x )＝3sin(2x ＋θ)＋cos(2x ＋θ)(0<θ<π)的图象关于⎝⎛⎭⎫π2，0对称，则函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，π6上的最小值是( ) A ．－1 B ．－ 3 C ．－12D ．－32解析：选B f (x )＝3sin(2x ＋θ)＋cos(2x ＋θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋θ＋π6，则由题意，知f ⎝⎛⎭⎫π2＝2sin ⎝⎛⎭⎫π＋θ＋π6＝0，又0<θ<π，所以θ＝5π6，所以f (x )＝－2sin 2x ，f (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，π6上是减函数，所以函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，π6上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫π6＝－2sin π3＝－3，故选B. 5．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6－1(ω>0)的导数f ′(x )的最大值为3，则f (x )的图象的一条对称轴的方程是( )A ．x ＝π9B ．x ＝π6C ．x ＝π3D ．x ＝π2解析：选A f ′(x )＝ωcos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6，因为导数f ′(x )的最大值为3，所以ω＝3，则f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6－1，令3x ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π3＋π9，k ∈Z ，令k ＝0，可得x ＝π9，故选A.[方法技巧]对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．角度四：三角函数性质的综合应用6．已知函数f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3(x ∈R)，下列结论错误的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为π B ．函数f (x )图象关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0对称 C ．函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是减函数 D ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称解析：选C 函数f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的最小正周期为π，且f ⎝⎛⎭⎫5π12＝0，f ⎝⎛⎭⎫π6＝3，则函数f (x )图象关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0对称，函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，因此A 、B 、D 正确，令2k π≤2x －π3≤π＋2k π，k ∈Z ，得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z ，所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上不单调，故C 错误．7．(2018·福建连城模拟)已知函数f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)若当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2时，关于x 的方程f (x )－m ＝2有解，求实数m 的取值范围． 解：(1)f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos 2x ＝1－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1， 则函数f (x )的最小正周期为π. 令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z)，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z)，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z)． (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2时，2x －π3∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎣⎡⎦⎤12，1，所以f (x )∈[2,3]， 而f (x )＝m ＋2，所以m ＋2∈[2,3]，即m ∈[0,1]．1．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( ) A ．f (x )的一个周期为－2πB ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π单调递减 解析：选D 根据函数解析式可知函数f (x )的最小正周期为2π，所以函数的一个周期为－2π，A 正确；。
2018-2019学年高考数学(理科)一轮复习通用版：第五单元 三角函数及其恒等变换
第五单元三角函数及其恒等变换教材复习课“三角函数及其恒等变换”相关基础知识一课过1．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S＝{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．2．弧长、扇形面积公式设扇形的弧长为l，圆心角大小为α(rad)，半径为r，则l＝|α|r，扇形的面积为S＝12lr＝12|α|·r2.3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin α＝y，cos α＝x，tan α＝yx(x≠0)．(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．(3)三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．[小题速通]1．(2018·济南模拟)已知sin θ－cos θ>1，则角θ的终边位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选B由已知得(sin θ－cos θ)2>1，即1－2sin θcos θ>1，sin θcos θ<0，所以sinθ>0>cos θ，所以角θ的终边在第二象限．2．已知α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，且cos α＝24x ，则x ＝( ) A. 3 B ．±3 C ．－ 2D ．－ 3解析：选D 依题意得cos α＝x x 2＋5＝24x ＜0，由此解得x ＝－3，选D. 3．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α(0<α<π)的弧度数为( )A.π3B.π2C. 3D ．2解析：选C 设圆半径为r ，则其内接正三角形的边长为3r ，所以3r ＝αr ，故α＝ 3. 4．已知扇形的半径r ＝10 cm ，圆心角α为120°，则扇形的面积为________cm 2. 解析：因为120°＝2π3，由扇形的面积公式可得S ＝12αr 2＝12×2π3×102＝1003π(cm 2)． 答案：1003π 5．在与2 010°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为________． 解析：2 010°＝676π＝12π－5π6， ∴与2 010°终边相同的角中绝对值最小的角的弧度数为－5π6. 答案：－5π6[清易错]1．注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．2．角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．3．已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况． 1．下列说法正确的是( )A ．三角形的内角必是第一、二象限角B ．第一象限角必是锐角C ．不相等的角终边一定不相同D ．若β＝α＋2k π(k ∈Z )，则α和β终边相同 答案：D2．已知点P ⎝⎛⎭⎫32，－12在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )A.5π6B.2π3 C.11π6D.5π3解析：选C 因为点P⎝⎛⎭⎫32，－12在角θ的终边上，所以角θ的终边在第四象限，且tan θ＝－33. 又θ∈[0,2π)，所以θ＝11π6.3．已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，则sin α＋cos α＝________. 解析：设α终边上任一点为P (－4a,3a )， 当a ＞0时，r ＝5a ，sin α＝35，cos α＝－45；当a ＜0时，r ＝－5a ，sin α＝－35，cos α＝45.故sin α＋cos α＝15或－15.答案：±151．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系 sin 2α＋cos 2α＝1； (2)商数关系 tan α＝sin αcos α.2．诱导公式3．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β； cos(α∓β)＝cos_αcos_β±sin_αsin_β； tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.4．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin_αcos_α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α1－tan 2α.[小题速通]1．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，tan(α－π)＝－34，则sin α＋cos α的值是( ) A ．±15 B.15 C ．－15 D ．－75解析：选C 由α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，tan(α－π)＝tan α＝－34<0，得α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝－34cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1，解得sin α＝35，cos α＝－45，则sin α＋cos α＝－15.2．已知sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝35，则cos(π－2α)的值为( ) A.2425 B.725 C ．－725D ．－2425解析：选B 由sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝35，可得cos α＝35，则cos(π－2α)＝－cos 2α＝1－2cos 2α＝725. 3．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，则sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝________. 解析：因为cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，所以sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝sin π2－⎝⎛⎭⎫π6－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33. 答案：334．已知tan α＝2，则sin α＋cos α2sin α＋cos α＝________.解析：因为tan α＝2，所以原式＝sin α＋cos α2sin α＋cos α＝tan α＋12tan α＋1＝35.答案：355．计算：sin 250°1＋sin 10°＝________.解析：sin 250°1＋sin 10°＝1－cos 100°2(1＋sin 10°)＝1－cos (90°＋10°)2(1＋sin 10°)＝1＋sin 10°2(1＋sin 10°)＝12.答案：12[清易错]1．利用平方关系解决问题时，要注意开方运算结果的符号，需要根据角的范围进行确定．2．在使用两角和与差的余弦或正切公式时运算符号易错． 1．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＋cos α＝33，则cos(2 018π－2α)＝( ) A ．±63B ．－53C ．－63D ．±53解析：选B 将sin α＋cos α＝33两边平方，化简可得sin 2α＝－23， 因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＋cos α＝33>0， 所以α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，2α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，所以cos 2α<0， 则cos(2 018π－2α)＝cos 2α＝－1－sin 22α＝－53. 2．若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝13，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则sin α的值为( ) A.4－26B.4＋26C.718D.23解析：选A 由cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝13，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，可得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝223，则sin α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π4－π4＝223×22－13×22＝4－26.正弦、余弦、正切函数的图象与性质正弦、余弦、正切函数的图象与性质1．函数y ＝1－2sin 22x 的最小正周期是( ) A.π4 B.π2 C.2π3D ．π解析：选B 因为函数y ＝1－2sin 22x ＝cos 4x ，所以函数的最小正周期T ＝π2.2．若函数f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上的最大值为1，则ω＝( ) A.14 B.13 C.12D.32解析：选C 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，所以ωx ∈⎣⎡⎦⎤0，ωπ3，又因为函数f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上的最大值为1，所以ωπ3＝π6，则ω＝12. 3．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π，则f ⎝⎛⎭⎫π8＝( ) A ．1 B.12 C ．－1D ．－12解析：选A 由题设知2πω＝π，所以ω＝2，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，所以f ⎝⎛⎭⎫π8＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π8＋π4＝sin π2＝1.4．(2018·杭州模拟)若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( )A.π2B.2π3C.3π2D.5π3解析：选C 由已知f (x )＝sin x ＋φ3是偶函数，可得φ3＝k π＋π2(k ∈Z)，即φ＝3k π＋3π2(k∈Z)，又φ∈[0,2π]，所以φ＝3π2. 5．若函数f (x )＝sin ω x (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω等于( )A.23 B.32 C ．2D ．3解析：选B ∵f (x )＝sin ω x (ω>0)过原点，∴当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 是增函数；当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π2ω时，y ＝sin ωx 是减函数． 由f (x )＝sin ωx (ω>0)在⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增， 在⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减知，π2ω＝π3，∴ω＝32. [清易错]1．正切函数的图象是由直线x ＝k π＋π2(k ∈Z)隔开的无穷多支曲线组成，单调增区间是⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π，k ∈Z ，不能说它在整个定义域内是增函数，如π4<3π4，但是tan π4>tan 3π4，正切函数不存在减区间．2．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．3．研究三角函数单调性、对称中心、奇偶性及对称轴时易忽视“k ∈Z ”这一条件． 1．(2018·石家庄一模)函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z) B.⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z) C.⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z) D.⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z) 解析：选B 由k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z)得，k π2－π12＜x ＜k π2＋5π12(k ∈Z)，所以函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z)． 2．函数f (x )＝sin(－2x )，x ∈[0,2π]的单调递增区间是________________． 解析：f (x )＝sin(－2x )＝－sin 2x ， 令2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π4≤x ≤k π＋3π4，k ∈Z ，所以函数f (x )在[0,2π]上的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤π4，3π4，⎣⎡⎦⎤5π4，7π4. 答案：⎣⎡⎦⎤π4，3π4，⎣⎡⎦⎤5π4，7π4函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用 [过双基]1．用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示： x －φω －φω＋π2ωπ－φω 3π2ω－φω 2π－φω ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π y ＝A sin(ωxA－A法一 法二[小题速通]1．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π上的简图是( )解析：选A 令x ＝0，得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝－32，排除B 、D.由f ⎝⎛⎭⎫－π3＝0，f ⎝⎛⎭⎫π6＝0，排除C ，故选A.2．将函数y ＝sin 2x 的图象先向左平移π6个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的函数解析式是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1 解析：选B 由题意可得函数的解析式为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋1＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1.3.函数f (x )＝33sin ωx (ω>0)的部分图象如图所示，点A ，B 是图象的最高点，点C 是图象的最低点，且△ABC 是正三角形，则f (1)＋f (2)＋f (3)的值为( )A.92B.932 C ．93＋1D.9(3＋1)2解析：选D 因为△ABC 是正三角形， 所以△ABC 的高是63， 则△ABC 的边长是12，即函数f (x )＝33sin ωx (ω>0)的周期为12， 所以ω＝π6，f (x )＝33sin π6x ，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＝33sin π6＋33sin π3＋33sin π2＝9(3＋1)2.4.如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫x ∈R ，A >0，ω>0，0<φ<π2在区间⎣⎡⎦⎤－π6，5π6上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将y ＝sin x (x ∈R)的图象上所有的点( )A ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变C ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变D ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变解析：选D 由图象可知，A ＝1，周期T ＝π，所以ω＝2，又sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ＝0且0<φ<π2，所以φ＝π3，则y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，由图象变换可知选D. [清易错]1．由y ＝A sin ωx 的图象得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时，需平移的单位数应为⎪⎪⎪⎪φω，而不是|φ|.2．要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数．1．要得到函数y ＝cos(2x ＋1)的图象，只要将函数y ＝cos 2x 的图象( ) A ．向左平移1个单位 B ．向右平移1个单位 C ．向左平移12个单位D ．向右平移12个单位解析：选C ∵y ＝cos(2x ＋1)＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋12， ∴只要将函数y ＝cos 2x 的图象向左平移12个单位即可．2．函数y ＝cos(2x ＋φ)(－π≤φ<π)的图象向右平移π2个单位后，与函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象重合，则φ＝________.解析：将y ＝cos(2x ＋φ)的图象向右平移π2个单位后得到y ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π2＋φ的图象，化简得y ＝－cos(2x ＋φ)，又可变形为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ－π2.由题意可知φ－π2＝π3＋2k π(k ∈Z)，所以φ＝5π6＋2k π(k ∈Z)，结合－π≤φ<π，知φ＝5π6.答案：5π6一、选择题1.(2018·杭州模拟)如图所示，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠AOP ＝θ，则点P 的坐标是( )A ．(cos θ，sin θ)B ．(－cos θ，sin θ)C ．(sin θ，cos θ)D ．(－sin θ，cos θ)解析：选A 由三角函数的定义知x P ＝cos θ，y P ＝sin θ，故选A.2．若α＝k ·360°＋θ，β＝m ·360°－θ(k ，m ∈Z)，则角α与β的终边的位置关系是( ) A ．重合 B ．关于原点对称 C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称解析：选C 角α与θ终边相同，β与－θ终边相同． 又角θ与－θ的终边关于x 轴对称． ∴角α与β的终边关于x 轴对称．3．已知sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝12，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π3的值是( ) A.12 B.23 C ．－12D ．1解析：选C 由已知得cos α＝12，sin α＝－32，∴cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＝12cos α＋32sin α＝－12.4．(2018·淄博调研)已知tan α＝2，则sin 2α－sin αcos α的值是( ) A.25 B ．－25C ．－2D ．2解析：选A sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1 ，把tan α＝2代入，原式＝25.5．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2，x ∈R ，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数解析：选B ∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－cos 2x ，∴f (x )是最小正周期为π的偶函数． 6．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( ) A ．关于直线x ＝π3对称B ．关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称 C ．关于直线x ＝－π6对称D ．关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称解析：选B ∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，∴ω＝2，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 经验证可知f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋π3＝sin π＝0， 即⎝⎛⎭⎫π3，0是函数f (x )的一个对称点．7．将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数( ) A ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递减 B ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增 C ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递减 D ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递增 解析：选B 平移后的函数为y ＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π2＋π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3，增区间：－π2＋2k π≤2x －2π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，即π12＋k π≤x ≤7π12＋k π，k ∈Z ，令k ＝0时，π12≤x ≤7π12，故所得图象对应的函数在⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增，在⎣⎡⎦⎤－π6，π3上不单调，故选B. 8.(2018·河北衡水中学调研)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的部分图象如图所示，下面结论错误的是( )A ．函数f (x )的最小正周期为2π3B ．函数f (x )的图象可由g (x )＝A cos ωx 的图象向右平移π12个单位长度得到 C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π12对称D ．函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π4，π2上单调递增解析：选D 函数的最小正周期T ＝2⎝⎛⎭⎫11π12－7π12＝2π3，选项A 正确；由T ＝2π3得ω＝3.又f ⎝⎛⎭⎫7π12＝A cos ⎝⎛⎭⎫7π4＋φ＝0，所以φ＝k π－5π4(k ∈Z)．又f ⎝⎛⎭⎫π2＝A cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋φ＝A sin φ＝－23，所以sin φ<0，φ＝－π4＋2k π(k ∈Z)，即f (x )＝A cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4，函数g (x )＝A cos 3x 的图象向右平移π12个单位长度得到的图象对应的函数的解析式为y ＝g ⎝⎛⎭⎫x －π12＝A cos ⎣⎡⎦⎤3⎝⎛⎭⎫x －π12＝A cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4＝f (x )，选项B 正确；当x ＝π12时，f (x )＝A ，因此函数f (x )的图象关于直线x ＝π12对称，选项C 正确；当x ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2时，3x －π4∈⎝⎛⎭⎫π2，5π4，故函数f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，π2上不是单调递增的，选项D 错误．二、填空题9．函数f (x )＝sin x －4sin 3x 2cos x2的最小正周期为________．解析：f (x )＝sin x －2sin 2x 2sin x ＝sin x cos x ＝12sin 2x ，所以函数的最小正周期T ＝π.答案：π10．在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴为始边作锐角α，它的终边与单位圆相交于点A ，且点A 的横坐标为513，则tan ⎝⎛⎭⎫π－α2的值为________． 解析：由题意知cos α＝513，因为α为锐角，所以cos α2＝1＋cos α2＝313，sin α2＝ 1－cos 2α2＝213，所以tan ⎝⎛⎭⎫π－α2＝－tan α2＝－sinα2cos α2＝－23. 答案：－2311．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则φ＝________.解析：由图象知A ＝1，T ＝4⎝⎛⎭⎫7π12－π3＝π， 故ω＝2，再由2×π3＋φ＝π2，得φ＝－π6.答案：－π612．函数f (x )＝log 21＋sin 2xsin x ＋cos x的最大值为________．解析：因为1＋sin 2x sin x ＋cos x ＝(sin x ＋cos x )2sin x ＋cos x ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4∈(0，2]， 又因为函数y ＝log 2x 是增函数，所以，当1＋sin 2x sin x ＋cos x ＝2时，函数f (x )＝log 2 1＋sin 2x sin x ＋cos x 取得最大值为12.答案：12三、解答题13．设函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6()ω>0，x ∈R 的最小正周期为π2. (1)求f (x )的解析式；(2)利用“五点作图法”，画出f (x )在长度为一个周期的闭区间上的简图； (3)已知f ⎝⎛⎭⎫α4＋π12＝95，求cos α的值． 解：(1)∵T ＝2πω＝π2⇒ω＝4，∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6. (2)列表：(3)∵f ⎝⎛⎭⎫α4＋π12＝3sin ⎣⎡⎦⎤4⎝⎛⎭⎫α4＋π12＋π6 ＝3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝3cos α＝95，∴cos α＝35. 14．已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫3sin x 4，1，n ＝⎝⎛⎭⎫cos x 4，cos 2x4，记f (x )＝m ·n . (1)若f (x )＝1，求cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的值； (2)在锐角△ABC 中，(2a －c )cos B ＝b cos C ，求f (2A )的取值范围．解：(1)f (x )＝m ·n ＝3sin x 4cos x 4＋cos 2x 4＝32sin x 2＋12cos x 2＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＋12， 由f (x )＝1，得sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＝12， 所以cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＝12. (2)因为(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， 所以2sin A cos B －sin C cos B ＝sin B cos C ， 所以2sin A cos B ＝sin(B ＋C )，因为A ＋B ＋C ＝π， 所以sin(B ＋C )＝sin A ，且sin A ≠0，所以cos B ＝12，又0<B <π2，所以B ＝π3.则A ＋C ＝2π3，A ＝2π3－C ，又0<C <π2，0<A <π2， 则π6<A <π2，得π3<A ＋π6<2π3， 所以32<sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6≤1， 又因为f (2A )＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＋12，故函数f (2A )的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤3＋12，32.15．(2018·青岛模拟)已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ωx ＋π6＋a (ω>0)图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求a 和ω的值；(2)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间． 解：(1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6＋a ＝4cos ωx ·32sin ωx ＋12cos ωx ＋a＝23sin ωx cos ωx ＋2cos 2ωx －1＋1＋a ＝3sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋1＋a ＝2sin2ωx ＋π6＋1＋a .当sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＝1时，f (x )取得最大值2＋1＋a ＝3＋a ， 又f (x )图象上最高点的纵坐标为2，∴3＋a ＝2， ∴a ＝－1.又f (x )图象上相邻两个最高点的距离为π，∴f (x )的最小正周期T ＝π，∴2ω＝2πT ＝2，∴ω＝1.(2)由(1)得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z. 令k ＝0，得π6≤x ≤2π3，∴函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π6，2π3. 高考研究课(一)三角函数的3个基本考点——定义、公式和关系 [全国卷5年命题分析]诱导公式5年1考 变角求值三角函数的定义[典例] (1)点P 从(－1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动 8π3弧长到达点Q ，则点Q 的坐标为________．(2)已知角α的终边上一点P (－3，m )(m ≠0)，且sin α＝2m4，求cos α，tan α的值． [解析] (1)设点A (－1,0)，点P 从(－1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动 8π3弧长到达点Q ，则∠AOQ ＝8π3－2π＝2π3(O 为坐标原点)，所以∠xOQ ＝π3，cos π3＝12，sin π3＝32，所以点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，32.答案：⎝⎛⎭⎫12，32(2)由题设知x ＝－3，y ＝m ，∴r 2＝|OP |2＝()－32＋m 2(O 为原点)，r ＝3＋m 2. ∴sin α＝m r ＝2m 4＝m22，∴r ＝3＋m 2＝22， 即3＋m 2＝8，解得m ＝±5.当m ＝5时，r ＝22，x ＝－3，y ＝5， ∴cos α＝－322＝－64， tan α＝－153；当m ＝－5时，r ＝22，x ＝－3，y ＝－5， ∴cos α＝－322＝－64， tan α＝153.[方法技巧](1)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P 的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．(2)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．[即时演练]1．已知角α终边与单位圆x 2＋y 2＝1的交点为P ⎝⎛⎭⎫12，y ，则sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝( )A ．－12B.12 C ．－32D ．1解析：选A 因为角α终边与单位圆x 2＋y 2＝1的交点为P ⎝⎛⎭⎫12，y ，所以cos α＝12， 所以sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝cos 2α＝2cos 2α－1＝－12. 2．在平面直角坐标系中，点M (3，m )在角α的终边上，点N (2m ，4)在角α＋π4的终边上，则m ＝( )A ．－6或1B ．－1或6C ．6D ．1解析：选A 由题意得，tan α＝m 3，tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝42m ＝2m ，∴2m ＝1＋m 31－m 3，∴m ＝－6或1.诱导公式[典例] (1)(2018·淄博模拟)已知sin ⎝⎛⎭7π12＋α＝23，则cos ⎝⎭⎫α－11π12＝________； (2)化简：1－2sin 40°cos 40°cos 40°－1－sin 250°＝________.[解析] (1)cos ⎝⎛⎭⎫α－11π12＝cos ⎝⎛⎭⎫11π12－α ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π12＋α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π12＋α， 而sin ⎝⎛⎭⎫7π12＋α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π12＋α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π12＋α＝23， 所以cos ⎝⎛⎭⎫α－11π12＝－23. (2)原式＝sin 240°＋cos 240°－2sin 40°cos 40°cos 40°－cos 250°＝|sin 40°－cos 40°|cos 40°－cos 50°＝cos 40°－sin 40°cos 40°－sin 40°＝1.[答案] (1)－23 (2)1[方法技巧]利用诱导公式化简三角函数的思路和要求思路方法：(1)分析结构特点，选择恰当公式； (2)利用公式化成单角三角函数； (3)整理得最简形式． 化简要求：(1)化简过程是恒等变形；(2)结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值． [即时演练]1．已知函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，且f (4)＝3，则f (2 017)的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．3D ．－3解析：选D ∵f (4)＝a sin(4π＋α)＋b cos(4π＋β) ＝a sin α＋b cos β＝3，∴f (2 017)＝a sin(2 017π＋α)＋b cos(2 017π＋β) ＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β) ＝－a sin α－b cos β ＝－(a sin α＋b cos β)＝－3. 即f (2 017)＝－3.2．已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，α是第三象限角，则sin ⎝⎛⎭⎫－α－3π2cos ⎝⎛⎭⎫3π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋α·tan 2(π－α)＝________.解析：∵方程5x 2－7x －6＝0的根为－35或2，又α是第三象限角，∴sin α＝－35，∴cos α＝－1－sin 2α＝－45，∴tan α＝sin αcos α＝34，∴原式＝cos α(－sin α)sin αcos α·tan 2α＝－tan 2α＝－916.答案：－916同角三角函数的基本关系同角三角函数的基本关系是三角变换的基础，也是高考命题的热点，难度不大，属低档题.,常见的命题角度有：(1)知弦求弦、切问题； (2)知切求弦问题；(3)sin α±cos α，sin αcos α的关系应用问题； (4)已知tan α，求f (sin α，cos α)值问题. 角度一：知弦求弦、切问题1．已知cos α＝k ，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则sin(π＋α)＝( ) A ．－1－k 2 B.1－k 2 C ．±1－k 2D ．－k解析：选A 由cos α＝k ，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，得sin α＝1－k 2， ∴sin(π＋α)＝－sin α＝－1－k 2，故选A.2．已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－12，α∈(0，π)，则cos α＝( ) A.12 B ．－12C.32D ．－32解析：选D 因为α∈(0，π)，所以α＋π3∈⎝⎛⎭⎫π3，4π3， 又因为sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－12，所以α＋π3＝7π6，即α＝5π6， 则cos α＝－32. 角度二：知切求弦问题3．已知tan(α－π)＝34，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝( ) A.45 B ．－45C.35D ．－35解析：选B 由tan(α－π)＝34，得tan α＝34，又因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，所以α为第三象限角， 所以sin α＝－35，cos α＝－45.所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝cos α＝－45.角度三：sin α±cos α，sin αcos α的关系应用问题4．(2018·揭阳模拟)已知sin αcos α＝18，且5π4＜α＜3π2，则cos α－sin α的值为( )A ．－32B.32C ．－34D.34解析：选B ∵5π4＜α＜3π2，∴cos α＜0，sin α＜0且|cos α|＜|sin α|，∴cos α－sin α＞0，又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，∴cos α－sin α＝32. 5．已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝23⎝⎛⎭⎫π2＜α＜π，则sin α－cos α＝________.解析：由sin(π－α)－cos(π＋α)＝23， 得sin α＋cos α＝23， 将式子两边平方得1＋2sin αcos α＝29，故2sin αcos α＝－79.∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－⎝⎛⎭⎫－79＝169. 又∵π2＜α＜π，∴sin α＞0，cos α＜0.∴sin α－cos α＝43.答案：43角度四：已知tan α，求f (sin α，cos α)值问题6．已知α是三角形的内角，且tan α＝－13， 则sin α＋cos α＝________.解析：由tan α＝－13，得sin α＝ －13cos α，将其代入 sin 2α＋cos 2α＝1，得109cos 2α＝1，∴cos 2α＝910，易知cos α＜0， ∴cos α＝－31010， sin α＝1010，故 sin α＋cos α＝－105. 答案：－1057．已知tan(α＋β)＝2，tan(α－β)＝3，则sin 2αcos 2β的值为________．解析：sin 2αcos 2β＝sin[(α＋β)＋(α－β)]cos[(α＋β)－(α－β)]＝sin (α＋β)cos (α－β)＋cos (α＋β)sin (α－β)cos (α＋β)cos (α－β)＋sin (α＋β)sin (α－β) ＝tan (α＋β)＋tan (α－β)1＋tan (α＋β)tan (α－β)＝2＋31＋2×3＝57. 答案：57[方法技巧]同角三角函数基本关系式的应用技巧1．(2016·全国卷Ⅲ)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝( )A.6425 B.4825 C ．1D.1625解析：选A 因为tan α＝34，所以cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝1＋4tan αtan 2α＋1＝1＋4×34⎝⎛⎭⎫342＋1＝6425. 2．(2014·大纲卷)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝( ) A.45 B.35 C ．－35D ．－45解析：选D 记P (－4,3)，则x ＝－4，y ＝3，r ＝|OP |＝(－4)2＋32＝5，故cos α＝x r ＝－45＝－45.3．(2014·全国卷Ⅰ)若tan α>0，则( ) A ．sin 2α>0 B ．cos α>0 C ．sin α>0D ．cos 2α>0解析：选A 由tan α>0，可得α的终边在第一象限或第三象限，此时sin α与cos α同号，sin 2α＝2sin αcos α>0，故选A.4．(2016·全国卷Ⅰ)已知θ是第四象限角，且sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝________. 解析：由题意知sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，θ是第四象限角， 所以cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＞0， 所以cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝45. tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－π2 ＝－sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫θ＋π4cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－45×53＝－43.答案：－43一、选择题1.如图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点B ，C 在圆O 上，且B ⎝⎛⎭⎫45，－35，点C 在第一象限，∠AOC ＝α，BC ＝1，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α＝( ) A ．－45B ．－35C.35D.45解析：选B 由已知可得OB ＝1，即圆O 的半径为1， 又因为BC ＝1，所以△OBC 是等边三角形， 所以cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π3－α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝－sin ∠BOA ＝－35. 2．(2018·江西六校联考)点A (sin 2 018°，cos 2 018°)位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选C 因为sin 2 018°＝sin(11×180°＋38°) ＝－sin 38°＜0，cos 2 018°＝cos(11×180°＋38°) ＝－cos 38°＜0，所以点A (sin 2 018°，cos 2 018°)位于第三象限． 3．若sin θcos θ＝12，则tan θ＋cos θsin θ的值是( )A ．－2B ．2C ．±2D.12解析：选B tan θ＋cos θsin θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1cos θsin θ＝2. 4．(2018·江西五校联考)cos 350°－2sin 160°sin (－190°)＝( )A ．－ 3B ．－32C.32D. 3解析：选D 原式＝cos (360°－10°)－2sin (180°－20°)－sin (180°＋10°)＝cos 10°－2sin (30°－10°)－(－sin 10°)＝cos 10°－2⎝⎛⎭⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°＝3sin 10°sin 10°＝ 3.5．已知A (x A ，y A )是单位圆(圆心在坐标原点O )上任意一点，将射线OA 绕O 点逆时针旋转30°，交单位圆于点B (x B ，y B )，则x A －y B 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[－2，2]C ．[－1,1]D.⎣⎡⎦⎤－12，12 解析：选C 设沿x 轴正方向逆时针旋转到射线OA 的角为α，根据三角函数的定义得x A ＝cos α，y B ＝sin(α＋30°)，所以x A －y B ＝cos α－sin(α＋30°)＝－32sin α＋12cos α＝sin(α＋150°)∈[－1,1]．6．(2018·日照模拟)已知－π2＜α＜0，sin α＋cos α＝15，则1cos 2α－sin 2α的值为( )A.75 B.725 C.257D.2425解析：选C ∵sin α＋cos α＝15，∴1＋sin 2α＝125，即sin 2α＝－2425，又∵－π2<α<0，∴cos α－sin α>0.∴cos α－sin α＝1－sin 2α＝75，∴1cos 2α－sin 2α＝1(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝257. 二、填空题 7．若tan α＝3，则sin (α－π)＋cos (π－α)sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝________.解析：因为tan α＝3，所以sin (α－π)＋cos (π－α)sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α－cos αcos α－sin α＝tan α＋1tan α－1＝2.答案：28．(2018·枣庄模拟)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a (|a |≤1)，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ的值是________．解析：由题意知，cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－θ ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝－a .sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π6－θ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a ， ∴cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝0. 答案：09．(2018·成都一诊)在直角坐标系xOy 中，已知任意角θ以坐标原点O 为顶点，以x 轴的非负半轴为始边，若其终边经过点P (x 0，y 0)，且OP ＝r (r ＞0)，定义：sicos θ＝y 0－x 0r ，称“sicos θ”为“θ的正余弦函数”，若sicos θ＝0，则sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝________. 解析：因为sicos θ＝0，所以y 0＝x 0，所以θ的终边在直线y ＝x 上，所以当θ＝2k π＋π4，k ∈Z 时，sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫4k π＋π2－π3＝cos π3＝12；当θ＝2k π＋5π4，k ∈Z 时，sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫4k π＋5π2－π3＝cos π3＝12.综上得sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝12. 答案：12三、解答题10．已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，求10sin α＋3cos α的值． 解：设α终边上任一点为P (k ，－3k )， 则r ＝k 2＋(－3k )2＝10|k |. 当k ＞0时，r ＝10k ， ∴sin α＝－3k 10k ＝－310，1cos α＝10k k ＝10， ∴10sin α＋3cos α＝－310＋310＝0； 当k ＜0时，r ＝－10k ，∴sin α＝－3k －10k ＝310，1cos α＝－10k k ＝－10，∴10sin α＋3cos α＝310－310＝0. 综上，10sin α＋3cos α＝0. 11．已知cos(α－7π)＝－35，求sin(3π＋α)·tan ⎝⎛⎭⎫α－7π2的值． 解：∵cos(α－7π)＝cos(7π－α)＝cos(π－α)＝－cos α ＝－35，∴cos α＝35.∴sin(3π＋α)·tan ⎝⎛⎭⎫α－7π2 ＝sin(π＋α)·⎣⎡⎦⎤－tan ⎝⎛⎭⎫7π2－α ＝sin α·tan ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α·sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α ＝sin α·cos αsin α＝cos α＝35.12．已知α为第三象限角，f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π2·cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α·tan (π－α)tan (－α－π)·sin (－α－π).(1)化简f (α)；(2)若cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，求f (α)的值． 解：(1)f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π2·cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α·tan (π－α)tan (－α－π)·sin (－α－π)＝(－cos α)·sin α·(－tan α)(－tan α)·sin α＝－cos α.(2)∵cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，∴－sin α＝15， 从而sin α＝－15.又α为第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－265， ∴f (α)＝－cos α＝265.1．若sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝m ，且β为第三象限角，则cos β的值为( ) A.1－m 2 B ．－1－m 2 C.m 2－1D ．－m 2－1解析：选B 因为m ＝sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝sin [(α－β)－α]＝sin(－β)，所以sin β＝－m .因为β为第三象限角，所以cos β＝－1－sin 2β＝－1－m 2.2．化简cos 2(n π＋x )·sin 2(n π－x )cos 2[(2n ＋1)π－x ](n ∈Z)的结果为________．解析：当n 为偶数，即n ＝2k (k ∈Z)时，原式＝cos 2(2k π＋x )·sin 2(2k π－x )cos 2[(2×2k ＋1)π－x ]＝cos 2x ·sin 2(－x )cos 2(π－x )＝cos 2x ·(－sin x )2(－cos x )2＝sin 2x ； 当n 为奇数，即n ＝2k ＋1(k ∈Z)时， 原式＝cos 2[(2k ＋1)π＋x ]·sin 2[(2k ＋1)π－x ]cos 2{[2×(2k ＋1)＋1]π－x }＝cos 2[2k π＋(π＋x )]·sin 2[2k π＋(π－x )]cos 2[2×(2k ＋1)π＋(π－x )]＝cos 2(π＋x )·sin 2(π－x )cos 2(π－x )＝(－cos x )2sin 2x (－cos x )2＝sin 2x ，故化简的结果为sin 2x . 答案：sin 2x 高考研究课(二)三角函数的1个常考点——图象与性质 [全国卷5年命题分析][典例] (1) (2)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为________．(3)函数f (x )＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4的值域为________． [解析] (1)要使函数y ＝lg(2sin x －1)＋1－2cos x 有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧2sin x －1＞0，1－2cos x ≥0，即⎩⎨⎧sin x ＞12，cos x ≤12.解得2k π＋π3≤x <2k π＋5π6，k ∈Z.即函数的定义域为⎣⎡⎭⎫2k π＋π3，2k π＋5π6，k ∈Z.(2)∵0≤x ≤9， ∴－π3≤π6x －π3≤7π6，∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3≤1， 故－3≤2sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3≤2.即函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3(0≤x ≤9)的最大值为2，最小值为－ 3.所以最大值与最小值的和为2－ 3.(3)f (x )＝cos 2x ＋sin x ＝－sin 2x ＋sin x ＋1 ＝－⎝⎛⎭⎫sin x －122＋54， 又∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4， ∴sin x ∈⎣⎡⎦⎤－22，22， ∴f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－22，54.[答案] (1)⎣⎡⎭⎫2k π＋π3，2k π＋5π6，k ∈Z (2)2－ 3 (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－22，54[方法技巧]1．三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数图象来求解． 2．三角函数最值或值域的求法(1)直接法：直接利用sin x 和cos x 的值域求解．(2)化一法：把所给三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域．(3)换元法：把sin x 、cos x 、sin x cos x 或sin x ±cos x 换成t ，转化为二次函数求值域． [即时演练]1．函数y ＝|sin x |＋sin x 的值域为( ) A ．[－1,1] B ．[－2,2] C ．[－2,0]D ．[0,2]解析：选D ∵y ＝|sin x |＋sin x＝⎩⎪⎨⎪⎧2sin x ，sin x ≥0，0，sin x ＜0. 又∵－1≤sin x ≤1，∴y ∈[0,2]， 即函数的值域为[0,2]．2．在△ABC 中，sin A cos B ＝－(2sin C ＋sin B )cos A ，则函数f (x )＝2sin 2x ＋sin(2x －A )在区间⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值为________． 解析：由sin A cos B ＝－(2sin C ＋sin B )cos A ，可得sin(A ＋B )＝－2sin C cos A ，即sin C ＝－2sin C cos A . 因为sin C ≠0，所以cos A ＝－12，则A ＝2π3，所以f (x )＝2sin 2x ＋sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3＝32sin 2x －32cos 2x ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，所以2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3， 所以f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫π4＝32. 答案：323．求函数y ＝sin x ＋cos x ＋3cos x sin x 的最值． 解：令t ＝sin x ＋cos x ，则t ∈[－2，2]． ∵(sin x ＋cos x )2－2sin x cos x ＝1， ∴sin x cos x ＝t 2－12，∴y ＝32t 2＋t －32，t ∈[－2，2]，∵对称轴t ＝－13∈[－2，2]，∴y min ＝f ⎝⎛⎭⎫－13＝32×19－13－32＝－53， y max ＝f (2)＝32＋ 2.[典例] (2017·x (x ∈R)． (1)求f ⎝⎛⎭⎫2π3的值；(2)求f (x )的最小正周期及单调递增区间．[思路点拨] (1)欲求f ⎝⎛⎭⎫2π3的值，把x ＝2π3直接代入f (x )的解析式求解；(2)欲求函数f (x )的性质问题，应把f (x )的解析式化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式，再求其最小正周期及单调增区间．[解] (1)由sin2π3＝32，cos 2π3＝－12， 得f ⎝⎛⎭⎫2π3＝⎝⎛⎭⎫322－⎝⎛⎭⎫－122－23×32×⎝⎛⎭⎫－12＝2. (2)由cos 2x ＝cos 2x －sin 2x 与sin 2x ＝2sin x cos x ，得 f (x )＝－cos 2x －3sin 2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 所以f (x )的最小正周期是π. 由正弦函数的性质，令π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z)． [方法技巧]1．求三角函数单调区间的2种方法2．1．已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上是减函数，则ω的取值范围是________． 解析：由π2＜x ＜π，得π2ω＋π4＜ωx ＋π4＜πω＋π4，由题意知⎝⎛⎭⎫π2ω＋π4，πω＋π4⊆π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z)且2πω≥2×⎝⎛⎭⎫π－π2，则⎩⎨⎧π2ω＋π4≥π2＋2k π，k ∈Z ，πω＋π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，且0＜ω≤2，故12≤ω≤54. 答案：⎣⎡⎦⎤12，542．函数f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x 的递减区间是________．解析：f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x ＝12sin 2x ＋12(cos 2x ＋1)＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋12， 由2k π＋π2≤2x ＋π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ，可得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8，k ∈Z ，所以函数f (x )的递减区间是⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8，k ∈Z. 答案：⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8，k ∈Z1．(2016·山东高考)函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是( ) A.π2 B ．π C.3π2D ．2π解析：选B 法一：∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x ) ＝4⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x ⎝⎛⎭⎫32cos x －12sin x＝4sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，∴T ＝2π2＝π.法二：∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x ) ＝3sin x cos x ＋3cos 2x －3sin 2x －sin x cos x ＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴T ＝2π2＝π.故选B.2．已知函数f (x )＝3sin ωx cos ωx －4cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π，且f (θ)＝12，则f ⎝⎛⎭⎫θ＋π2＝( )A ．－52B ．－92C ．－112D ．－132解析：选B f (x )＝32sin 2ωx －2cos 2ωx －2，因为函数f (x )的最小正周期为π，所以ω＝1， 又f (θ)＝32sin 2θ－2cos 2θ－2＝12，即32sin 2θ－2cos 2θ＝52， 则f ⎝⎛⎭⎫θ＋π2＝32sin(2θ＋π)－2cos(2θ＋π)－2＝－32sin 2θ＋2cos 2θ－2＝－92. 角度二：三角函数的奇偶性3．已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋ 3 cos(x ＋θ)⎝⎛⎭⎫θ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2是偶函数，则θ的值为( ) A ．0 B.π6 C.π4D.π3解析：选B 据已知可得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋θ＋π3， 若函数为偶函数，则必有θ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z)，又由于θ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，故有θ＋π3＝π2，解得θ＝π6， 经代入检验符合题意． [方法技巧]若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则φ＝k π＋π2(k ∈Z)，同时，当x ＝0时，f (x )取得最大或最小值；若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则φ＝k π(k ∈Z)，同时，当x ＝0时，f (x )＝0.角度三：三角函数的对称性4．若函数f (x )＝3sin(2x ＋θ)＋cos(2x ＋θ)(0<θ<π)的图象关于⎝⎛⎭⎫π2，0对称，则函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，π6上的最小值是( ) A ．－1 B ．－ 3 C ．－12D ．－32解析：选B f (x )＝3sin(2x ＋θ)＋cos(2x ＋θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋θ＋π6，则由题意，知f ⎝⎛⎭⎫π2＝2sin ⎝⎛⎭⎫π＋θ＋π6＝0，又0<θ<π，所以θ＝5π6，所以f (x )＝－2sin 2x ，f (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，π6上是减函数，所以函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，π6上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫π6＝－2sin π3＝－3，故选B. 5．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6－1(ω>0)的导数f ′(x )的最大值为3，则f (x )的图象的一条对称轴的方程是( )A ．x ＝π9B ．x ＝π6C ．x ＝π3D ．x ＝π2解析：选A f ′(x )＝ωcos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6，因为导数f ′(x )的最大值为3，所以ω＝3，则f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6－1，令3x ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π3＋π9，k ∈Z ，令k ＝0，可得x ＝π9，故选A.[方法技巧]对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．角度四：三角函数性质的综合应用6．已知函数f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3(x ∈R)，下列结论错误的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为π B ．函数f (x )图象关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0对称C ．函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是减函数 D ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称解析：选C 函数f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的最小正周期为π，且f ⎝⎛⎭⎫5π12＝0，f ⎝⎛⎭⎫π6＝3，则函数f (x )图象关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0对称，函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，因此A 、B 、D 正确，令2k π≤2x －π3≤π＋2k π，k ∈Z ，得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z ，所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上不单调，故C 错误．7．(2018·福建连城模拟)已知函数f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)若当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2时，关于x 的方程f (x )－m ＝2有解，求实数m 的取值范围． 解：(1)f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos 2x ＝1－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1， 则函数f (x )的最小正周期为π. 令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z)，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z)，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z)． (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2时，2x －π3∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎣⎡⎦⎤12，1，所以f (x )∈[2,3]， 而f (x )＝m ＋2，所以m ＋2∈[2,3]，即m ∈[0,1]．1．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( ) A ．f (x )的一个周期为－2πB ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π单调递减解析：选D 根据函数解析式可知函数f (x )的最小正周期为2π，所以函数的一个周期为－2π，A 正确；。
高考总复习一轮数学精品课件 第五章 三角函数 第四节 三角恒等变换
10
β= 10 ,∴sin
,sin α<sin
2 5
α= 5 .
3 10
β= 10 .
∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin
π
0,
2
.
2 5
10
5 3 10
β= 5 × 10 + 5 × 10
π
π
β,∴0<α<β< ,∴- <α-β<0.故
2
2
π
α-β=- .
4
=
2
.又
2
α,β∈
6
6
π
π
1+tan (+ )tan ( -2)
6
6
π
π
解析(1)∵tan( -2β)=tan[2( -β)]=
6
12
2tan ( - )
=
π π
∴tan(α+2β)=tan[(α+ )-( -2β)]=
6 6
(2)∵ 3sin
则
π
α-sin(α+ )=
3π)cos(+π)-1
2sin(sin+cos
2
2 .
对点训练 2 求证:
=
sin-cos
1-2sin2
-2cos sin -1 (sin +cos )2 sin +cos
证明右边=
=- 2
=1-2si n 2
co s -si n 2
cos -sin
π π
例如:α=(α+6)-6=(α-3)+3,α=(α+β)-β=β-(β-α),
2019年精选高考数学(理科)一轮复习通用版：第五单元 三角函数及其恒等变换
第五单元三角函数及其恒等变换教材复习课“三角函数及其恒等变换”相关基础知识一课过1．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S＝{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．2．弧长、扇形面积公式设扇形的弧长为l，圆心角大小为α(rad)，半径为r，则l＝|α|r，扇形的面积为S＝12lr＝12|α|·r2.3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin α＝y，cos α＝x，tan α＝yx(x≠0)．(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．(3)三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．[小题速通]1．(2018·济南模拟)已知sin θ－cos θ>1，则角θ的终边位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选B由已知得(sin θ－cos θ)2>1，即1－2sin θcos θ>1，sin θcos θ<0，所以sinθ>0>cos θ，所以角θ的终边在第二象限．2．已知α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，且cos α＝24x ，则x ＝( ) A. 3 B ．±3 C ．－ 2D ．－ 3解析：选D 依题意得cos α＝x x 2＋5＝24x ＜0，由此解得x ＝－3，选D. 3．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α(0<α<π)的弧度数为( )A.π3B.π2C. 3D ．2解析：选C 设圆半径为r ，则其内接正三角形的边长为3r ，所以3r ＝αr ，故α＝ 3. 4．已知扇形的半径r ＝10 cm ，圆心角α为120°，则扇形的面积为________cm 2. 解析：因为120°＝2π3，由扇形的面积公式可得S ＝12αr 2＝12×2π3×102＝1003π(cm 2)． 答案：1003π 5．在与2 010°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为________． 解析：2 010°＝676π＝12π－5π6， ∴与2 010°终边相同的角中绝对值最小的角的弧度数为－5π6. 答案：－5π6[清易错]1．注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．2．角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．3．已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况． 1．下列说法正确的是( )A ．三角形的内角必是第一、二象限角B ．第一象限角必是锐角C ．不相等的角终边一定不相同D ．若β＝α＋2k π(k ∈Z )，则α和β终边相同 答案：D2．已知点P ⎝⎛⎭⎫32，－12在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )A.5π6B.2π3 C.11π6D.5π3解析：选C 因为点P⎝⎛⎭⎫32，－12在角θ的终边上，所以角θ的终边在第四象限，且tan θ＝－33. 又θ∈[0,2π)，所以θ＝11π6.3．已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，则sin α＋cos α＝________. 解析：设α终边上任一点为P (－4a,3a )， 当a ＞0时，r ＝5a ，sin α＝35，cos α＝－45；当a ＜0时，r ＝－5a ，sin α＝－35，cos α＝45.故sin α＋cos α＝15或－15.答案：±151．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系 sin 2α＋cos 2α＝1； (2)商数关系 tan α＝sin αcos α.2．诱导公式3．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β； cos(α∓β)＝cos_αcos_β±sin_αsin_β； tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.4．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin_αcos_α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α1－tan 2α.[小题速通]1．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，tan(α－π)＝－34，则sin α＋cos α的值是( ) A ．±15 B.15 C ．－15 D ．－75解析：选C 由α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，tan(α－π)＝tan α＝－34<0，得α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝－34cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1，解得sin α＝35，cos α＝－45，则sin α＋cos α＝－15.2．已知sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝35，则cos(π－2α)的值为( ) A.2425 B.725 C ．－725D ．－2425解析：选B 由sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝35，可得cos α＝35，则cos(π－2α)＝－cos 2α＝1－2cos 2α＝725. 3．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，则sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝________. 解析：因为cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，所以sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝sin π2－⎝⎛⎭⎫π6－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33. 答案：334．已知tan α＝2，则sin α＋cos α2sin α＋cos α＝________.解析：因为tan α＝2，所以原式＝sin α＋cos α2sin α＋cos α＝tan α＋12tan α＋1＝35.答案：355．计算：sin 250°1＋sin 10°＝________.解析：sin 250°1＋sin 10°＝1－cos 100°2(1＋sin 10°)＝1－cos (90°＋10°)2(1＋sin 10°)＝1＋sin 10°2(1＋sin 10°)＝12.答案：12[清易错]1．利用平方关系解决问题时，要注意开方运算结果的符号，需要根据角的范围进行确定．2．在使用两角和与差的余弦或正切公式时运算符号易错． 1．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＋cos α＝33，则cos(2 018π－2α)＝( ) A ．±63B ．－53C ．－63D ．±53解析：选B 将sin α＋cos α＝33两边平方，化简可得sin 2α＝－23， 因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＋cos α＝33>0， 所以α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，2α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，所以cos 2α<0， 则cos(2 018π－2α)＝cos 2α＝－1－sin 22α＝－53. 2．若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝13，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则sin α的值为( ) A.4－26B.4＋26C.718D.23解析：选A 由cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝13，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，可得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝223，则sin α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π4－π4＝223×22－13×22＝4－26.正弦、余弦、正切函数的图象与性质正弦、余弦、正切函数的图象与性质1．函数y ＝1－2sin 22x 的最小正周期是( ) A.π4 B.π2 C.2π3D ．π解析：选B 因为函数y ＝1－2sin 22x ＝cos 4x ，所以函数的最小正周期T ＝π2.2．若函数f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上的最大值为1，则ω＝( ) A.14 B.13 C.12D.32解析：选C 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，所以ωx ∈⎣⎡⎦⎤0，ωπ3，又因为函数f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上的最大值为1，所以ωπ3＝π6，则ω＝12. 3．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π，则f ⎝⎛⎭⎫π8＝( ) A ．1 B.12 C ．－1D ．－12解析：选A 由题设知2πω＝π，所以ω＝2，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，所以f ⎝⎛⎭⎫π8＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π8＋π4＝sin π2＝1.4．(2018·杭州模拟)若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( )A.π2B.2π3C.3π2D.5π3解析：选C 由已知f (x )＝sin x ＋φ3是偶函数，可得φ3＝k π＋π2(k ∈Z)，即φ＝3k π＋3π2(k∈Z)，又φ∈[0,2π]，所以φ＝3π2. 5．若函数f (x )＝sin ω x (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω等于( )A.23 B.32 C ．2D ．3解析：选B ∵f (x )＝sin ω x (ω>0)过原点，∴当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 是增函数；当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π2ω时，y ＝sin ωx 是减函数． 由f (x )＝sin ωx (ω>0)在⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增， 在⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减知，π2ω＝π3，∴ω＝32. [清易错]1．正切函数的图象是由直线x ＝k π＋π2(k ∈Z)隔开的无穷多支曲线组成，单调增区间是⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π，k ∈Z ，不能说它在整个定义域内是增函数，如π4<3π4，但是tan π4>tan 3π4，正切函数不存在减区间．2．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．3．研究三角函数单调性、对称中心、奇偶性及对称轴时易忽视“k ∈Z ”这一条件． 1．(2018·石家庄一模)函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z) B.⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z) C.⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z) D.⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z) 解析：选B 由k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z)得，k π2－π12＜x ＜k π2＋5π12(k ∈Z)，所以函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z)． 2．函数f (x )＝sin(－2x )，x ∈[0,2π]的单调递增区间是________________． 解析：f (x )＝sin(－2x )＝－sin 2x ， 令2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π4≤x ≤k π＋3π4，k ∈Z ，所以函数f (x )在[0,2π]上的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤π4，3π4，⎣⎡⎦⎤5π4，7π4. 答案：⎣⎡⎦⎤π4，3π4，⎣⎡⎦⎤5π4，7π4函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用 [过双基]1．用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示： x －φω －φω＋π2ωπ－φω 3π2ω－φω 2π－φω ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π y ＝A sin(ωxA－A法一 法二[小题速通]1．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π上的简图是( )解析：选A 令x ＝0，得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝－32，排除B 、D.由f ⎝⎛⎭⎫－π3＝0，f ⎝⎛⎭⎫π6＝0，排除C ，故选A.2．将函数y ＝sin 2x 的图象先向左平移π6个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的函数解析式是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1 解析：选B 由题意可得函数的解析式为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋1＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1.3.函数f (x )＝33sin ωx (ω>0)的部分图象如图所示，点A ，B 是图象的最高点，点C 是图象的最低点，且△ABC 是正三角形，则f (1)＋f (2)＋f (3)的值为( )A.92B.932 C ．93＋1D.9(3＋1)2解析：选D 因为△ABC 是正三角形， 所以△ABC 的高是63， 则△ABC 的边长是12，即函数f (x )＝33sin ωx (ω>0)的周期为12， 所以ω＝π6，f (x )＝33sin π6x ，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＝33sin π6＋33sin π3＋33sin π2＝9(3＋1)2.4.如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫x ∈R ，A >0，ω>0，0<φ<π2在区间⎣⎡⎦⎤－π6，5π6上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将y ＝sin x (x ∈R)的图象上所有的点( )A ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变C ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变D ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变解析：选D 由图象可知，A ＝1，周期T ＝π，所以ω＝2，又sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ＝0且0<φ<π2，所以φ＝π3，则y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，由图象变换可知选D. [清易错]1．由y ＝A sin ωx 的图象得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时，需平移的单位数应为⎪⎪⎪⎪φω，而不是|φ|.2．要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数．1．要得到函数y ＝cos(2x ＋1)的图象，只要将函数y ＝cos 2x 的图象( ) A ．向左平移1个单位 B ．向右平移1个单位 C ．向左平移12个单位D ．向右平移12个单位解析：选C ∵y ＝cos(2x ＋1)＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋12， ∴只要将函数y ＝cos 2x 的图象向左平移12个单位即可．2．函数y ＝cos(2x ＋φ)(－π≤φ<π)的图象向右平移π2个单位后，与函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象重合，则φ＝________.解析：将y ＝cos(2x ＋φ)的图象向右平移π2个单位后得到y ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π2＋φ的图象，化简得y ＝－cos(2x ＋φ)，又可变形为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ－π2.由题意可知φ－π2＝π3＋2k π(k ∈Z)，所以φ＝5π6＋2k π(k ∈Z)，结合－π≤φ<π，知φ＝5π6.答案：5π6一、选择题1.(2018·杭州模拟)如图所示，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠AOP ＝θ，则点P 的坐标是( )A ．(cos θ，sin θ)B ．(－cos θ，sin θ)C ．(sin θ，cos θ)D ．(－sin θ，cos θ)解析：选A 由三角函数的定义知x P ＝cos θ，y P ＝sin θ，故选A.2．若α＝k ·360°＋θ，β＝m ·360°－θ(k ，m ∈Z)，则角α与β的终边的位置关系是( ) A ．重合 B ．关于原点对称 C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称解析：选C 角α与θ终边相同，β与－θ终边相同． 又角θ与－θ的终边关于x 轴对称． ∴角α与β的终边关于x 轴对称．3．已知sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝12，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π3的值是( ) A.12 B.23 C ．－12D ．1解析：选C 由已知得cos α＝12，sin α＝－32，∴cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＝12cos α＋32sin α＝－12.4．(2018·淄博调研)已知tan α＝2，则sin 2α－sin αcos α的值是( ) A.25 B ．－25C ．－2D ．2解析：选A sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1 ，把tan α＝2代入，原式＝25.5．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2，x ∈R ，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数解析：选B ∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－cos 2x ，∴f (x )是最小正周期为π的偶函数． 6．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( ) A ．关于直线x ＝π3对称B ．关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称 C ．关于直线x ＝－π6对称D ．关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称解析：选B ∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，∴ω＝2，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 经验证可知f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋π3＝sin π＝0， 即⎝⎛⎭⎫π3，0是函数f (x )的一个对称点．7．将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数( ) A ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递减 B ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增 C ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递减 D ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递增 解析：选B 平移后的函数为y ＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π2＋π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3，增区间：－π2＋2k π≤2x －2π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，即π12＋k π≤x ≤7π12＋k π，k ∈Z ，令k ＝0时，π12≤x ≤7π12，故所得图象对应的函数在⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增，在⎣⎡⎦⎤－π6，π3上不单调，故选B. 8.(2018·河北衡水中学调研)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的部分图象如图所示，下面结论错误的是( )A ．函数f (x )的最小正周期为2π3B ．函数f (x )的图象可由g (x )＝A cos ωx 的图象向右平移π12个单位长度得到 C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π12对称D ．函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π4，π2上单调递增解析：选D 函数的最小正周期T ＝2⎝⎛⎭⎫11π12－7π12＝2π3，选项A 正确；由T ＝2π3得ω＝3.又f ⎝⎛⎭⎫7π12＝A cos ⎝⎛⎭⎫7π4＋φ＝0，所以φ＝k π－5π4(k ∈Z)．又f ⎝⎛⎭⎫π2＝A cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋φ＝A sin φ＝－23，所以sin φ<0，φ＝－π4＋2k π(k ∈Z)，即f (x )＝A cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4，函数g (x )＝A cos 3x 的图象向右平移π12个单位长度得到的图象对应的函数的解析式为y ＝g ⎝⎛⎭⎫x －π12＝A cos ⎣⎡⎦⎤3⎝⎛⎭⎫x －π12＝A cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4＝f (x )，选项B 正确；当x ＝π12时，f (x )＝A ，因此函数f (x )的图象关于直线x ＝π12对称，选项C 正确；当x ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2时，3x －π4∈⎝⎛⎭⎫π2，5π4，故函数f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，π2上不是单调递增的，选项D 错误．二、填空题9．函数f (x )＝sin x －4sin 3x 2cos x2的最小正周期为________．解析：f (x )＝sin x －2sin 2x 2sin x ＝sin x cos x ＝12sin 2x ，所以函数的最小正周期T ＝π.答案：π10．在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴为始边作锐角α，它的终边与单位圆相交于点A ，且点A 的横坐标为513，则tan ⎝⎛⎭⎫π－α2的值为________． 解析：由题意知cos α＝513，因为α为锐角，所以cos α2＝1＋cos α2＝313，sin α2＝ 1－cos 2α2＝213，所以tan ⎝⎛⎭⎫π－α2＝－tan α2＝－sinα2cos α2＝－23. 答案：－2311．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则φ＝________.解析：由图象知A ＝1，T ＝4⎝⎛⎭⎫7π12－π3＝π， 故ω＝2，再由2×π3＋φ＝π2，得φ＝－π6.答案：－π612．函数f (x )＝log 21＋sin 2xsin x ＋cos x的最大值为________．解析：因为1＋sin 2x sin x ＋cos x ＝(sin x ＋cos x )2sin x ＋cos x ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4∈(0，2]， 又因为函数y ＝log 2x 是增函数，所以，当1＋sin 2x sin x ＋cos x ＝2时，函数f (x )＝log 2 1＋sin 2x sin x ＋cos x 取得最大值为12.答案：12三、解答题13．设函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6()ω>0，x ∈R 的最小正周期为π2. (1)求f (x )的解析式；(2)利用“五点作图法”，画出f (x )在长度为一个周期的闭区间上的简图； (3)已知f ⎝⎛⎭⎫α4＋π12＝95，求cos α的值． 解：(1)∵T ＝2πω＝π2⇒ω＝4，∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6. (2)列表：(3)∵f ⎝⎛⎭⎫α4＋π12＝3sin ⎣⎡⎦⎤4⎝⎛⎭⎫α4＋π12＋π6 ＝3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝3cos α＝95，∴cos α＝35. 14．已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫3sin x 4，1，n ＝⎝⎛⎭⎫cos x 4，cos 2x4，记f (x )＝m ·n . (1)若f (x )＝1，求cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的值； (2)在锐角△ABC 中，(2a －c )cos B ＝b cos C ，求f (2A )的取值范围．解：(1)f (x )＝m ·n ＝3sin x 4cos x 4＋cos 2x 4＝32sin x 2＋12cos x 2＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＋12， 由f (x )＝1，得sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＝12， 所以cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＝12. (2)因为(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， 所以2sin A cos B －sin C cos B ＝sin B cos C ， 所以2sin A cos B ＝sin(B ＋C )，因为A ＋B ＋C ＝π， 所以sin(B ＋C )＝sin A ，且sin A ≠0，所以cos B ＝12，又0<B <π2，所以B ＝π3.则A ＋C ＝2π3，A ＝2π3－C ，又0<C <π2，0<A <π2， 则π6<A <π2，得π3<A ＋π6<2π3， 所以32<sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6≤1， 又因为f (2A )＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＋12，故函数f (2A )的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤3＋12，32.15．(2018·青岛模拟)已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ωx ＋π6＋a (ω>0)图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求a 和ω的值；(2)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间． 解：(1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6＋a ＝4cos ωx ·32sin ωx ＋12cos ωx ＋a＝23sin ωx cos ωx ＋2cos 2ωx －1＋1＋a ＝3sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋1＋a ＝2sin2ωx ＋π6＋1＋a .当sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＝1时，f (x )取得最大值2＋1＋a ＝3＋a ， 又f (x )图象上最高点的纵坐标为2，∴3＋a ＝2， ∴a ＝－1.又f (x )图象上相邻两个最高点的距离为π，∴f (x )的最小正周期T ＝π，∴2ω＝2πT ＝2，∴ω＝1.(2)由(1)得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z. 令k ＝0，得π6≤x ≤2π3，∴函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π6，2π3. 高考研究课(一)三角函数的3个基本考点——定义、公式和关系 [全国卷5年命题分析]诱导公式5年1考 变角求值三角函数的定义[典例] (1)点P 从(－1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动 8π3弧长到达点Q ，则点Q 的坐标为________．(2)已知角α的终边上一点P (－3，m )(m ≠0)，且sin α＝2m4，求cos α，tan α的值． [解析] (1)设点A (－1,0)，点P 从(－1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动 8π3弧长到达点Q ，则∠AOQ ＝8π3－2π＝2π3(O 为坐标原点)，所以∠xOQ ＝π3，cos π3＝12，sin π3＝32，所以点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，32.答案：⎝⎛⎭⎫12，32(2)由题设知x ＝－3，y ＝m ，∴r 2＝|OP |2＝()－32＋m 2(O 为原点)，r ＝3＋m 2. ∴sin α＝m r ＝2m 4＝m22，∴r ＝3＋m 2＝22， 即3＋m 2＝8，解得m ＝±5.当m ＝5时，r ＝22，x ＝－3，y ＝5， ∴cos α＝－322＝－64， tan α＝－153；当m ＝－5时，r ＝22，x ＝－3，y ＝－5， ∴cos α＝－322＝－64， tan α＝153.[方法技巧](1)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P 的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．(2)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．[即时演练]1．已知角α终边与单位圆x 2＋y 2＝1的交点为P ⎝⎛⎭⎫12，y ，则sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝( )A ．－12B.12 C ．－32D ．1解析：选A 因为角α终边与单位圆x 2＋y 2＝1的交点为P ⎝⎛⎭⎫12，y ，所以cos α＝12， 所以sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝cos 2α＝2cos 2α－1＝－12. 2．在平面直角坐标系中，点M (3，m )在角α的终边上，点N (2m ，4)在角α＋π4的终边上，则m ＝( )A ．－6或1B ．－1或6C ．6D ．1解析：选A 由题意得，tan α＝m 3，tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝42m ＝2m ，∴2m ＝1＋m 31－m 3，∴m ＝－6或1.诱导公式[典例] (1)(2018·淄博模拟)已知sin ⎝⎛⎭7π12＋α＝23，则cos ⎝⎭⎫α－11π12＝________； (2)化简：1－2sin 40°cos 40°cos 40°－1－sin 250°＝________.[解析] (1)cos ⎝⎛⎭⎫α－11π12＝cos ⎝⎛⎭⎫11π12－α ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π12＋α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π12＋α， 而sin ⎝⎛⎭⎫7π12＋α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π12＋α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π12＋α＝23， 所以cos ⎝⎛⎭⎫α－11π12＝－23. (2)原式＝sin 240°＋cos 240°－2sin 40°cos 40°cos 40°－cos 250°＝|sin 40°－cos 40°|cos 40°－cos 50°＝cos 40°－sin 40°cos 40°－sin 40°＝1.[答案] (1)－23 (2)1[方法技巧]利用诱导公式化简三角函数的思路和要求思路方法：(1)分析结构特点，选择恰当公式； (2)利用公式化成单角三角函数； (3)整理得最简形式． 化简要求：(1)化简过程是恒等变形；(2)结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值． [即时演练]1．已知函数f (x )＝a s in(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，且f (4)＝3，则f (2 017)的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．3D ．－3解析：选D ∵f (4)＝a sin(4π＋α)＋b cos(4π＋β) ＝a sin α＋b cos β＝3，∴f (2 017)＝a sin(2 017π＋α)＋b cos(2 017π＋β) ＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β) ＝－a sin α－b cos β ＝－(a sin α＋b cos β)＝－3. 即f (2 017)＝－3.2．已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，α是第三象限角，则sin ⎝⎛⎭⎫－α－3π2cos ⎝⎛⎭⎫3π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋α·tan 2(π－α)＝________.解析：∵方程5x 2－7x －6＝0的根为－35或2，又α是第三象限角，∴sin α＝－35，∴cos α＝－1－sin 2α＝－45，∴tan α＝sin αcos α＝34，∴原式＝cos α(－sin α)sin αcos α·tan 2α＝－tan 2α＝－916.答案：－916同角三角函数的基本关系同角三角函数的基本关系是三角变换的基础，也是高考命题的热点，难度不大，属低档题.,常见的命题角度有：(1)知弦求弦、切问题； (2)知切求弦问题；(3)sin α±cos α，sin αcos α的关系应用问题； (4)已知tan α，求f (sin α，cos α)值问题. 角度一：知弦求弦、切问题1．已知cos α＝k ，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则sin(π＋α)＝( ) A ．－1－k 2 B.1－k 2 C ．±1－k 2D ．－k解析：选A 由cos α＝k ，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，得sin α＝1－k 2， ∴sin(π＋α)＝－sin α＝－1－k 2，故选A.2．已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－12，α∈(0，π)，则cos α＝( ) A.12 B ．－12C.32D ．－32解析：选D 因为α∈(0，π)，所以α＋π3∈⎝⎛⎭⎫π3，4π3， 又因为sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－12，所以α＋π3＝7π6，即α＝5π6， 则cos α＝－32. 角度二：知切求弦问题3．已知tan(α－π)＝34，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝( ) A.45 B ．－45C.35D ．－35解析：选B 由tan(α－π)＝34，得tan α＝34，又因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，所以α为第三象限角， 所以sin α＝－35，cos α＝－45.所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝cos α＝－45.角度三：sin α±cos α，sin αcos α的关系应用问题4．(2018·揭阳模拟)已知sin αcos α＝18，且5π4＜α＜3π2，则cos α－sin α的值为( )A ．－32B.32C ．－34D.34解析：选B ∵5π4＜α＜3π2，∴cos α＜0，sin α＜0且|cos α|＜|sin α|，∴cos α－sin α＞0，又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，∴cos α－sin α＝32. 5．已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝23⎝⎛⎭⎫π2＜α＜π，则sin α－cos α＝________.解析：由sin (π－α)－cos(π＋α)＝23， 得sin α＋cos α＝23， 将式子两边平方得1＋2sin αcos α＝29，故2sin αcos α＝－79.∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－⎝⎛⎭⎫－79＝169. 又∵π2＜α＜π，∴sin α＞0，cos α＜0.∴sin α－cos α＝43.答案：43角度四：已知tan α，求f (sin α，cos α)值问题6．已知α是三角形的内角，且tan α＝－13， 则sin α＋cos α＝________.解析：由tan α＝－13，得sin α＝ －13cos α，将其代入 sin 2α＋cos 2α＝1，得109cos 2α＝1，∴cos 2α＝910，易知cos α＜0， ∴cos α＝－31010， sin α＝1010，故 sin α＋cos α＝－105. 答案：－1057．已知tan(α＋β)＝2，tan(α－β)＝3，则sin 2αcos 2β的值为________．解析：sin 2αcos 2β＝sin[(α＋β)＋(α－β)]cos[(α＋β)－(α－β)]＝sin (α＋β)cos (α－β)＋cos (α＋β)sin (α－β)cos (α＋β)cos (α－β)＋sin (α＋β)sin (α－β) ＝tan (α＋β)＋tan (α－β)1＋tan (α＋β)tan (α－β)＝2＋31＋2×3＝57. 答案：57[方法技巧]同角三角函数基本关系式的应用技巧1．(2016·全国卷Ⅲ)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝( )A.6425 B.4825 C ．1D.1625解析：选A 因为tan α＝34，所以cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝1＋4tan αtan 2α＋1＝1＋4×34⎝⎛⎭⎫342＋1＝6425. 2．(2014·大纲卷)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝( ) A.45 B.35 C ．－35D ．－45解析：选D 记P (－4,3)，则x ＝－4，y ＝3，r ＝|OP |＝(－4)2＋32＝5，故cos α＝x r ＝－45＝－45.3．(2014·全国卷Ⅰ)若tan α>0，则( ) A ．sin 2α>0 B ．cos α>0 C ．sin α>0D ．cos 2α>0解析：选A 由tan α>0，可得α的终边在第一象限或第三象限，此时sin α与cos α同号，sin 2α＝2sin αcos α>0，故选A.4．(2016·全国卷Ⅰ)已知θ是第四象限角，且sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝________. 解析：由题意知sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，θ是第四象限角， 所以cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＞0， 所以cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝45. tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－π2 ＝－sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫θ＋π4cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－45×53＝－43.答案：－43一、选择题1.如图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点B ，C 在圆O 上，且B ⎝⎛⎭⎫45，－35，点C 在第一象限，∠AOC ＝α，BC ＝1，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α＝( ) A ．－45B ．－35C.35D.45解析：选B 由已知可得OB ＝1，即圆O 的半径为1， 又因为BC ＝1，所以△OBC 是等边三角形， 所以cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π3－α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝－sin ∠BOA ＝－35. 2．(2018·江西六校联考)点A (sin 2 018°，cos 2 018°)位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选C 因为sin 2 018°＝sin(11×180°＋38°) ＝－sin 38°＜0，cos 2 018°＝cos(11×180°＋38°) ＝－cos 38°＜0，所以点A (sin 2 018°，cos 2 018°)位于第三象限． 3．若sin θcos θ＝12，则tan θ＋cos θsin θ的值是( )A ．－2B ．2C ．±2D.12解析：选B tan θ＋cos θsin θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1cos θsin θ＝2. 4．(2018·江西五校联考)cos 350°－2sin 160°sin (－190°)＝( )A ．－ 3B ．－32C.32D. 3解析：选D 原式＝cos (360°－10°)－2sin (180°－20°)－sin (180°＋10°)＝cos 10°－2sin (30°－10°)－(－sin 10°)＝cos 10°－2⎝⎛⎭⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°＝3sin 10°sin 10°＝ 3.5．已知A (x A ，y A )是单位圆(圆心在坐标原点O )上任意一点，将射线OA 绕O 点逆时针旋转30°，交单位圆于点B (x B ，y B )，则x A －y B 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[－2，2]C ．[－1,1]D.⎣⎡⎦⎤－12，12 解析：选C 设沿x 轴正方向逆时针旋转到射线OA 的角为α，根据三角函数的定义得x A ＝cos α，y B ＝sin(α＋30°)，所以x A －y B ＝cos α－sin(α＋30°)＝－32sin α＋12cos α＝sin(α＋150°)∈[－1,1]．6．(2018·日照模拟)已知－π2＜α＜0，sin α＋cos α＝15，则1cos 2α－sin 2α的值为( )A.75 B.725 C.257D.2425解析：选C ∵sin α＋cos α＝15，∴1＋sin 2α＝125，即sin 2α＝－2425，又∵－π2<α<0，∴cos α－sin α>0.∴cos α－sin α＝1－sin 2α＝75，∴1cos 2α－sin 2α＝1(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝257. 二、填空题 7．若tan α＝3，则sin (α－π)＋cos (π－α)sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝________.解析：因为tan α＝3，所以sin (α－π)＋cos (π－α)sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α－cos αcos α－sin α＝tan α＋1tan α－1＝2.答案：28．(2018·枣庄模拟)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a (|a |≤1)，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ的值是________．解析：由题意知，cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－θ ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝－a .sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π6－θ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a ， ∴cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝0. 答案：09．(2018·成都一诊)在直角坐标系xOy 中，已知任意角θ以坐标原点O 为顶点，以x 轴的非负半轴为始边，若其终边经过点P (x 0，y 0)，且OP ＝r (r ＞0)，定义：sicos θ＝y 0－x 0r ，称“sicos θ”为“θ的正余弦函数”，若sicos θ＝0，则sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝________. 解析：因为sicos θ＝0，所以y 0＝x 0，所以θ的终边在直线y ＝x 上，所以当θ＝2k π＋π4，k ∈Z 时，sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫4k π＋π2－π3＝cos π3＝12；当θ＝2k π＋5π4，k ∈Z 时，sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫4k π＋5π2－π3＝cos π3＝12.综上得sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝12. 答案：12三、解答题10．已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，求10sin α＋3cos α的值． 解：设α终边上任一点为P (k ，－3k )， 则r ＝k 2＋(－3k )2＝10|k |. 当k ＞0时，r ＝10k ， ∴sin α＝－3k 10k ＝－310，1cos α＝10k k ＝10， ∴10sin α＋3cos α＝－310＋310＝0； 当k ＜0时，r ＝－10k ，∴sin α＝－3k －10k ＝310，1cos α＝－10k k ＝－10，∴10sin α＋3cos α＝310－310＝0. 综上，10sin α＋3cos α＝0. 11．已知cos(α－7π)＝－35，求sin(3π＋α)·tan ⎝⎛⎭⎫α－7π2的值． 解：∵cos(α－7π)＝cos(7π－α)＝cos(π－α)＝－cos α ＝－35，∴cos α＝35.∴sin(3π＋α)·tan ⎝⎛⎭⎫α－7π2 ＝sin(π＋α)·⎣⎡⎦⎤－tan ⎝⎛⎭⎫7π2－α ＝sin α·tan ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α·sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α ＝sin α·cos αsin α＝cos α＝35.12．已知α为第三象限角，f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π2·cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α·tan (π－α)tan (－α－π)·sin (－α－π).(1)化简f (α)；(2)若cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，求f (α)的值． 解：(1)f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π2·cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α·tan (π－α)tan (－α－π)·sin (－α－π)＝(－cos α)·sin α·(－tan α)(－tan α)·sin α＝－cos α.(2)∵cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，∴－sin α＝15， 从而sin α＝－15.又α为第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－265， ∴f (α)＝－cos α＝265.1．若sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝m ，且β为第三象限角，则cos β的值为( ) A.1－m 2 B ．－1－m 2 C.m 2－1D ．－m 2－1解析：选B 因为m ＝sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝sin [(α－β)－α]＝sin(－β)，所以sin β＝－m .因为β为第三象限角，所以cos β＝－1－sin 2β＝－1－m 2.2．化简cos 2(n π＋x )·sin 2(n π－x )cos 2[(2n ＋1)π－x ](n ∈Z)的结果为________．解析：当n 为偶数，即n ＝2k (k ∈Z)时，原式＝cos 2(2k π＋x )·sin 2(2k π－x )cos 2[(2×2k ＋1)π－x ]＝cos 2x ·sin 2(－x )cos 2(π－x )＝cos 2x ·(－sin x )2(－cos x )2＝sin 2x ； 当n 为奇数，即n ＝2k ＋1(k ∈Z)时， 原式＝cos 2[(2k ＋1)π＋x ]·sin 2[(2k ＋1)π－x ]cos 2{[2×(2k ＋1)＋1]π－x }＝cos 2[2k π＋(π＋x )]·sin 2[2k π＋(π－x )]cos 2[2×(2k ＋1)π＋(π－x )]＝cos 2(π＋x )·sin 2(π－x )cos 2(π－x )＝(－cos x )2sin 2x (－cos x )2＝sin 2x ，故化简的结果为sin 2x . 答案：sin 2x 高考研究课(二)三角函数的1个常考点——图象与性质 [全国卷5年命题分析][典例] (1) (2)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为________．(3)函数f (x )＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4的值域为________． [解析] (1)要使函数y ＝lg(2sin x －1)＋1－2cos x 有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧2sin x －1＞0，1－2cos x ≥0，即⎩⎨⎧sin x ＞12，cos x ≤12.解得2k π＋π3≤x <2k π＋5π6，k ∈Z.即函数的定义域为⎣⎡⎭⎫2k π＋π3，2k π＋5π6，k ∈Z.(2)∵0≤x ≤9， ∴－π3≤π6x －π3≤7π6，∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3≤1， 故－3≤2sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3≤2.即函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3(0≤x ≤9)的最大值为2，最小值为－ 3.所以最大值与最小值的和为2－ 3.(3)f (x )＝cos 2x ＋sin x ＝－sin 2x ＋sin x ＋1 ＝－⎝⎛⎭⎫sin x －122＋54， 又∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4， ∴sin x ∈⎣⎡⎦⎤－22，22， ∴f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－22，54.[答案] (1)⎣⎡⎭⎫2k π＋π3，2k π＋5π6，k ∈Z (2)2－ 3 (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－22，54[方法技巧]1．三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数图象来求解． 2．三角函数最值或值域的求法(1)直接法：直接利用sin x 和cos x 的值域求解．(2)化一法：把所给三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域．(3)换元法：把sin x 、cos x 、sin x cos x 或sin x ±cos x 换成t ，转化为二次函数求值域． [即时演练]1．函数y ＝|sin x |＋sin x 的值域为( ) A ．[－1,1] B ．[－2,2] C ．[－2,0]D ．[0,2]解析：选D ∵y ＝|sin x |＋sin x＝⎩⎪⎨⎪⎧2sin x ，sin x ≥0，0，sin x ＜0. 又∵－1≤sin x ≤1，∴y ∈[0,2]， 即函数的值域为[0,2]．2．在△ABC 中，sin A cos B ＝－(2sin C ＋sin B )cos A ，则函数f (x )＝2sin 2x ＋sin(2x －A )在区间⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值为________． 解析：由sin A cos B ＝－(2sin C ＋sin B )cos A ，可得sin(A ＋B )＝－2sin C cos A ，即sin C ＝－2sin C cos A . 因为sin C ≠0，所以cos A ＝－12，则A ＝2π3，所以f (x )＝2sin 2x ＋sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3＝32sin 2x －32cos 2x ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，所以2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3， 所以f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫π4＝32. 答案：323．求函数y ＝sin x ＋cos x ＋3cos x sin x 的最值． 解：令t ＝sin x ＋cos x ，则t ∈[－2，2]． ∵(sin x ＋cos x )2－2sin x cos x ＝1， ∴sin x cos x ＝t 2－12，∴y ＝32t 2＋t －32，t ∈[－2，2]，∵对称轴t ＝－13∈[－2，2]，∴y min ＝f ⎝⎛⎭⎫－13＝32×19－13－32＝－53， y max ＝f (2)＝32＋ 2.[典例] (2017·x (x ∈R)． (1)求f ⎝⎛⎭⎫2π3的值；(2)求f (x )的最小正周期及单调递增区间．[思路点拨] (1)欲求f ⎝⎛⎭⎫2π3的值，把x ＝2π3直接代入f (x )的解析式求解；(2)欲求函数f (x )的性质问题，应把f (x )的解析式化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式，再求其最小正周期及单调增区间．[解] (1)由sin2π3＝32，cos 2π3＝－12， 得f ⎝⎛⎭⎫2π3＝⎝⎛⎭⎫322－⎝⎛⎭⎫－122－23×32×⎝⎛⎭⎫－12＝2. (2)由cos 2x ＝cos 2x －sin 2x 与sin 2x ＝2sin x cos x ，得 f (x )＝－cos 2x －3sin 2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 所以f (x )的最小正周期是π. 由正弦函数的性质，令π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z)． [方法技巧]1．求三角函数单调区间的2种方法2．1．已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上是减函数，则ω的取值范围是________． 解析：由π2＜x ＜π，得π2ω＋π4＜ωx ＋π4＜πω＋π4，由题意知⎝⎛⎭⎫π2ω＋π4，πω＋π4⊆π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z)且2πω≥2×⎝⎛⎭⎫π－π2，则⎩⎨⎧π2ω＋π4≥π2＋2k π，k ∈Z ，πω＋π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，且0＜ω≤2，故12≤ω≤54. 答案：⎣⎡⎦⎤12，542．函数f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x 的递减区间是________．解析：f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x ＝12sin 2x ＋12(cos 2x ＋1)＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋12， 由2k π＋π2≤2x ＋π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ，可得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8，k ∈Z ，所以函数f (x )的递减区间是⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8，k ∈Z. 答案：⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8，k ∈Z1．(2016·山东高考)函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是( ) A.π2 B ．π C.3π2D ．2π解析：选B 法一：∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x ) ＝4⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x ⎝⎛⎭⎫32cos x －12sin x＝4sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，∴T ＝2π2＝π.法二：∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x ) ＝3sin x cos x ＋3cos 2x －3sin 2x －sin x cos x ＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴T ＝2π2＝π.故选B.2．已知函数f (x )＝3sin ωx cos ωx －4cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π，且f (θ)＝12，则f ⎝⎛⎭⎫θ＋π2＝( )A ．－52B ．－92C ．－112D ．－132解析：选B f (x )＝32sin 2ωx －2cos 2ωx －2，因为函数f (x )的最小正周期为π，所以ω＝1， 又f (θ)＝32sin 2θ－2cos 2θ－2＝12，即32sin 2θ－2cos 2θ＝52， 则f ⎝⎛⎭⎫θ＋π2＝32sin(2θ＋π)－2cos(2θ＋π)－2＝－32sin 2θ＋2cos 2θ－2＝－92. 角度二：三角函数的奇偶性3．已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋ 3 cos(x ＋θ)⎝⎛⎭⎫θ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2是偶函数，则θ的值为( ) A ．0 B.π6 C.π4D.π3解析：选B 据已知可得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋θ＋π3， 若函数为偶函数，则必有θ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z)，又由于θ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，故有θ＋π3＝π2，解得θ＝π6， 经代入检验符合题意． [方法技巧]若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则φ＝k π＋π2(k ∈Z)，同时，当x ＝0时，f (x )取得最大或最小值；若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则φ＝k π(k ∈Z)，同时，当x ＝0时，f (x )＝0.角度三：三角函数的对称性4．若函数f (x )＝3sin(2x ＋θ)＋cos(2x ＋θ)(0<θ<π)的图象关于⎝⎛⎭⎫π2，0对称，则函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，π6上的最小值是( ) A ．－1 B ．－ 3 C ．－12D ．－32解析：选B f (x )＝3sin(2x ＋θ)＋cos(2x ＋θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋θ＋π6，则由题意，知f ⎝⎛⎭⎫π2＝2sin ⎝⎛⎭⎫π＋θ＋π6＝0，又0<θ<π，所以θ＝5π6，所以f (x )＝－2sin 2x ，f (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，π6上是减函数，所以函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，π6上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫π6＝－2sin π3＝－3，故选B. 5．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6－1(ω>0)的导数f ′(x )的最大值为3，则f (x )的图象的一条对称轴的方程是( )A ．x ＝π9B ．x ＝π6C ．x ＝π3D ．x ＝π2解析：选A f ′(x )＝ωcos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6，因为导数f ′(x )的最大值为3，所以ω＝3，则f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6－1，令3x ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π3＋π9，k ∈Z ，令k ＝0，可得x ＝π9，故选A.[方法技巧]对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．角度四：三角函数性质的综合应用6．已知函数f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3(x ∈R)，下列结论错误的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为π B ．函数f (x )图象关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0对称C ．函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是减函数 D ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称解析：选C 函数f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的最小正周期为π，且f ⎝⎛⎭⎫5π12＝0，f ⎝⎛⎭⎫π6＝3，则函数f (x )图象关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0对称，函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，因此A 、B 、D 正确，令2k π≤2x －π3≤π＋2k π，k ∈Z ，得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z ，所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上不单调，故C 错误．7．(2018·福建连城模拟)已知函数f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)若当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2时，关于x 的方程f (x )－m ＝2有解，求实数m 的取值范围． 解：(1)f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos 2x ＝1－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1， 则函数f (x )的最小正周期为π. 令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z)，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z)，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z)． (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2时，2x －π3∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎣⎡⎦⎤12，1，所以f (x )∈[2,3]， 而f (x )＝m ＋2，所以m ＋2∈[2,3]，即m ∈[0,1]．1．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( ) A ．f (x )的一个周期为－2πB ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π单调递减解析：选D 根据函数解析式可知函数f (x )的最小正周期为2π，所以函数的一个周期为－2π，A 正确；。
高考数学一轮复习第五单元三角函数及其恒等变换学案文
【2019最新】精选高考数学一轮复习第五单元三角函数及其恒等变换学案文教材复习课“三角函数及其恒等变换”相关基础知识一课过1．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S＝{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．2．弧长、扇形面积公式设扇形的弧长为l，圆心角大小为α(rad)，半径为r，则l＝|α|r，扇形的面积为S＝lr＝|α|·r2.3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)．(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．(3)三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．1．(2018·济南模拟)已知sin θ－cos θ>1，则角θ的终边位于( )B．第二象限A．第一象限D．第四象限C．第三象限解析：选B 由已知得(sin θ－cos θ)2>1，即1－2sin θcos θ>1，sin θcosθ<0，所以sin θ>0>cos θ，所以角θ的终边在第二象限．2．已知α是第二象限角，P(x，)为其终边上一点，且cos α＝x，则x＝( )A.B．±3D．－3C．－解析：选D 依题意得cos α＝＝x＜0，由此解得x＝－，选D. 3．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α(0<α<π)的弧度数为( )B.πA.2D．2C.解析：选C 设圆半径为r，则其内接正三角形的边长为r，所以r＝αr，故α＝. 4．已知扇形的半径r＝10 cm，圆心角α为120°，则扇形的面积为________cm2.解析：因为120°＝，由扇形的面积公式可得S＝αr2＝××102＝π(cm2)．答案：π5．在与2 010°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为________．解析：2 010°＝π＝12π－，∴与2 010°终边相同的角中绝对值最小的角的弧度数为－.答案：－5π6[清易错]1．注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．2．角度制与弧度制可利用180°＝πrad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．3．已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况．1．下列说法正确的是( )A．三角形的内角必是第一、二象限角B．第一象限角必是锐角C．不相等的角终边一定不相同D．若β＝α＋2kπ(k∈Z)，则α和β终边相同答案：D2．已知点P在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )A. B.2π3C. D.5π3解析：选C 因为点P在角θ的终边上，所以角θ的终边在第四象限，且tan θ＝－.又θ∈[0,2π)，所以θ＝.3．已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，则sin α＋cos α＝________.解析：设α终边上任一点为P(－4a,3a)，当a＞0时，r＝5a，sin α＝，cos α＝－；当a＜0时，r＝－5a，sin α＝－，cos α＝.故sin α＋cos α＝或－.答案：±151．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系sin2α＋cos2α＝；(2)商数关系tan α＝.2．诱导公式sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β；cos(α∓β)＝cos_αcos_β±sin_αsin_β；tan(α±β)＝.4．二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 2α＝2sin_αcos_α；cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；tan 2α＝.1．已知α∈，tan(α－π)＝－，则sin α＋cos α的值是( )A．± B. C．－D．－75解析：选C 由α∈，tan(α－π)＝tan α＝－<0，得α∈，sin α＝－cos α，代入sin2α＋cos2α＝1，解得sin α＝，cos α＝－，则sin α＋cos α＝－.2．已知sin＝，则cos(π－2α)的值为( )A. B.725C．－D．－2425解析：选B 由sin＝，可得cos α＝，则cos(π－2α)＝－cos 2α＝1－2cos2α＝.3．已知cos＝，则sin＝________.解析：因为cos＝，所以sin＝sin－＝cos＝.答案：334．已知tan α＝2，则＝________.解析：因为tan α＝2，所以原式＝＝＝.答案：355．计算：＝________.解析：＝＝＝＝.答案：12[清易错]1．利用平方关系解决问题时，要注意开方运算结果的符号，需要根据角的范围进行确定．2．在使用两角和与差的余弦或正切公式时运算符号易错．1．已知α∈，sin α＋cos α＝，则cos(2 018π－2α)＝( )A．± B．－53C．－D．±53解析：选B 将sin α＋cos α＝两边平方，化简可得sin 2α＝－，因为α∈，sin α＋cos α＝>0，所以α∈，2α∈，所以cos 2α<0，则cos(2 018π－2α)＝cos 2α＝－＝－.2．若cos＝，α∈，则sin α的值为( )A. B.4＋26C. D.23解析：选A 由cos＝，α∈，可得sin＝，则sin α＝sin＝×－×＝.正弦、余弦、正切函数的图象与性质正弦、余弦、正切函数的图象与性质函数y＝sin x y＝cos x y＝tan x图象A.B.π2D．πC.解析：选B 因为函数y＝1－2sin22x＝cos 4x，所以函数的最小正周期T＝.2．若函数f(x)＝2sin ωx(0<ω<1)在区间上的最大值为1，则ω＝( )A.B.13D.3C.2解析：选C 因为x∈，所以ωx∈，又因为函数f(x)＝2sin ωx(0<ω<1)在区间上的最大值为1，所以＝，则ω＝.3．已知函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π，则f＝( )B.1A．12C．－1D．－12解析：选A 由题设知＝π，所以ω＝2，f(x)＝sin，所以f＝sin＝sin ＝1. 4．(2018·杭州模拟)若函数f(x)＝sin(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( )A.B.2π3D.5πC.3解析：选C 由已知f(x)＝sin是偶函数，可得＝kπ＋(k∈Z)，即φ＝3kπ＋(k∈Z)，又φ∈[0,2π]，所以φ＝. 5．若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω等于( )B.3A.2C．2D．3解析：选B ∵f(x)＝sin ω x(ω>0)过原点，∴当0≤ωx≤，即0≤x≤时，y＝sin ωx是增函数；当≤ωx ≤，即≤x ≤时，y＝sin ωx是减函数．由f(x)＝sin ωx(ω>0)在上单调递增，在上单调递减知，＝，∴ω＝.[清易错]1．正切函数的图象是由直线x＝kπ＋(k∈Z)隔开的无穷多支曲线组成，单调增区间是，k∈Z，不能说它在整个定义域内是增函数，如<，但是tan>tan，正切函数不存在减区间．2．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．3．研究三角函数单调性、对称中心、奇偶性及对称轴时易忽视“k∈Z”这一条件．1．(2018·石家庄一模)函数f(x)＝tan的单调递增区间是( )A.(k∈Z)B.(k∈Z)C.(k∈Z)D.(k∈Z)解析：选B 由k π－＜2x －＜k π＋(k∈Z)得，－＜x ＜＋(k∈Z)，所以函数f(x)＝tan 的单调递增区间为(k∈Z)．2．函数f(x)＝sin(－2x)，x∈[0,2π]的单调递增区间是________________． 解析：f(x)＝sin(－2x)＝－sin 2x ， 令2k π＋≤2x≤2k π＋，k∈Z， 得k π＋≤x≤k π＋，k∈Z，所以函数f(x)在[0,2π]上的单调递增区间是，. 答案：，⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，7π41．用五点法画y ＝Asin(ωx ＋φ)一个周期内的简图用五点法画y ＝Asin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：2．法一 法二 1．函数y ＝sin 在区间上的简图是( )解析：选A 令x ＝0，得y ＝sin ＝－，排除B 、D.由f ＝0，f ＝0，排除C ，故选A.2．将函数y ＝sin 2x 的图象先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的函数解析式是( )A ．y ＝sin ＋1B ．y ＝sin ＋1C．y＝sin＋1D．y＝sin＋1解析：选B 由题意可得函数的解析式为y＝sin＋1＝sin＋1.f(x)＝3sin ωx(ω>0)的部分图象如图所示，点A，B是 3.函数点，点C是图象的最低点，且△ABC是正三角形，则f(1)图象的最高＋f(2)＋f(3)的值为( )A.B.932D.3＋C．9＋12解析：选D 因为△ABC是正三角形，所以△ABC的高是6，则△ABC的边长是12，即函数f(x)＝3sin ωx(ω>0)的周期为12，所以ω＝，f(x)＝3sin x，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＝3sin ＋3sin ＋3sin ＝.函数y＝Asin(ωx＋φ)在区间上的图象，为了得到 4.如图是象，只需将y＝sin x(x∈R)的图象上所有的点( )这个函数的图移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来A．向左平的2倍，纵坐标不变B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变解析：选D 由图象可知，A＝1，周期T＝π，所以ω＝2，又sin＝0且0<φ<，所以φ＝，则y＝sin，由图象变换可知选D.[清易错]1．由y＝Asin ωx的图象得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，需平移的单位数应为，而不是|φ|.2．要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数．1．要得到函数y＝cos(2x＋1)的图象，只要将函数y＝cos 2x的图象( ) A．向左平移1个单位B．向右平移1个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位解析：选C ∵y＝cos(2x＋1)＝cos ，∴只要将函数y＝cos 2x的图象向左平移个单位即可．2．函数y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ<π)的图象向右平移个单位后，与函数y＝sin的图象重合，则φ＝________.解析：将y＝cos(2x＋φ)的图象向右平移个单位后得到y＝cos的图象，化简得y＝－cos(2x＋φ)，又可变形为y＝sin.由题意可知φ－＝＋2kπ(k∈Z)，所以φ＝＋2kπ(k∈Z)，结合－π≤φ<π，知φ＝.答案：5π6一、选择题1.(2018·杭州模拟)如图所示，在直角坐标系xOy中，射线OP 交单位圆O于点P，若∠AOP＝θ，则点P的坐标是( ) A．(cos θ，sin θ) B．(－cos θ，sin θ)C．(sin θ，cos θ) D．(－sin θ，cos θ)解析：选A 由三角函数的定义知xP＝cos θ，yP＝sin θ，故选A.2．若α＝k·360°＋θ，β＝m·360°－θ(k，m∈Z)，则角α与β的终边的位置关系是( )A．重合 B．关于原点对称C．关于x轴对称D．关于y轴对称解析：选C 角α与θ终边相同，β与－θ终边相同．又角θ与－θ的终边关于x轴对称．∴角α与β的终边关于x轴对称．3．已知sin＝，α∈，则cos的值是( )A. B.23C．－D．1解析：选C 由已知得cos α＝，sin α＝－，∴cos＝cos α＋sin α＝－.4．(2018·淄博调研)已知tan α＝2，则sin2α－sin αcos α的值是( )A. B．－25C．－2 D．2解析：选A sin2α－sin αcos α＝＝，把tan α＝2代入，原式＝.5．设函数f(x)＝sin，x∈R，则f(x)是( )A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数解析：选B ∵f(x)＝sin＝－cos 2x，∴f(x)是最小正周期为π的偶函数．6．已知函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( ) A．关于直线x＝对称B．关于点对称C．关于直线x＝－对称D．关于点对称解析：选B ∵f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π，∴ω＝2，即f(x)＝sin.经验证可知f＝sin＝sin π＝0，即是函数f(x)的一个对称点．7．将函数y＝3sin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数( ) A．在区间上单调递减B．在区间上单调递增C．在区间上单调递减D．在区间上单调递增解析：选B 平移后的函数为y＝3sin＝3sin，增区间：－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，即＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，令k＝0时，≤x≤，故所得图象对应的函数在上单调递增，在上不单调，故选B.8.(2018·河北衡水中学调研)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的部分图象如图所示，下面结论错误的是( ) A．函数f(x)的最小正周期为2π3B．函数f(x)的图象可由g(x)＝Acos ωx的图象向右平移个单位长度得到C．函数f(x)的图象关于直线x＝对称D．函数f(x)在区间上单调递增解析：选D 函数的最小正周期T＝2＝，选项A正确；由T＝得ω＝3.又f＝Acos＝0，所以φ＝kπ－(k∈Z)．又f＝Acos＝Asin φ＝－，所以sin φ<0，φ＝－＋2kπ(k∈Z)，即f(x)＝Acos，函数g(x)＝Acos 3x的图象向右平移个单位长度得到的图象对应的函数的解析式为y＝g＝Acos＝Acos＝f(x)，选项B正确；当x ＝时，f(x)＝A，因此函数f(x)的图象关于直线x＝对称，选项C正确；当x∈时，3x－∈，故函数f(x)在上不是单调递增的，选项D错误．二、填空题9．函数f(x)＝sin x－4sin3cos的最小正周期为________．解析：f(x)＝sin x－2sin2sin x＝sin xcos x＝sin 2x，所以函数的最小正周期T＝π.答案：π10．在平面直角坐标系xOy中，以x轴为始边作锐角α，它的终边与单位圆相交于点A，且点A的横坐标为，则tan的值为________．解析：由题意知cos α＝，因为α为锐角，所以cos＝＝，sin＝＝，所以tan＝－tan＝－＝－.答案：－2311．已知函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则φ＝________. 解析：由图象知A ＝1，T ＝4＝π， 故ω＝2，再由2×＋φ＝，得φ＝－. 答案：－π612．函数f(x)＝log2的最大值为________． 解析：因为＝＝sin x ＋cos x ＝sin∈(0，]， 又因为函数y ＝log2x 是增函数，所以，当＝时，函数f(x)＝log2 取得最大值为. 答案：12 三、解答题13．设函数f(x)＝3sin 的最小正周期为. (1)求f(x)的解析式；(2)利用“五点作图法”，画出f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图； (3)已知f ＝，求cos α的值． 解：(1)∵T＝＝⇒ω＝4， ∴f(x)＝3sin. (2)列表：图象如图所示：(3)∵f＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＋π12＋π6＝3sin ＝3cos α＝，∴cos α＝. 14．已知向量m ＝，n ＝，记f(x)＝m·n.(1)若f(x)＝1，求cos的值；(2)在锐角△ABC中，(2a－c)cos B＝bcos C，求f(2A)的取值范围．解：(1)f(x)＝m·n＝sin cos ＋cos2＝sin ＋cos＋＝sin＋，由f(x)＝1，得sin＝，所以cos＝1－2sin2＝.(2)因为(2a－c)cos B＝bcos C，由正弦定理得(2sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C，所以2sin Acos B－sin Ccos B＝sin Bcos C，所以2sin Acos B＝sin(B＋C)，因为A＋B＋C＝π，所以sin(B＋C)＝sin A，且sin A≠0，所以cos B＝，又0<B<，所以B＝.则A＋C＝，A＝－C，又0<C<，0<A<，则<A<，得<A＋<，所以<sin≤1，又因为f(2A)＝sin＋，故函数f(2A)的取值范围是.15．(2018·青岛模拟)已知函数f(x)＝4cos ωx·sinωx＋＋a(ω>0)图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求a和ω的值；(2)求函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间．解：(1)f(x)＝4cos ωx·sin＋a＝4cos ωx·sin ωx＋cos ωx＋a＝2sin ωxcos ωx＋2cos2ωx－1＋1＋a＝sin 2ωx＋cos 2ωx＋1＋a＝2sin2ωx＋＋1＋a.当sin＝1时，f(x)取得最大值2＋1＋a＝3＋a，又f(x)图象上最高点的纵坐标为2，∴3＋a＝2，∴a ＝－1.又f(x)图象上相邻两个最高点的距离为π，∴f(x)的最小正周期T ＝π，∴2ω＝＝2，∴ω＝1.(2)由(1)得f(x)＝2sin ，由＋2k π≤2x＋≤＋2k π，k∈Z， 得＋k π≤x≤＋k π，k∈Z. 令k ＝0，得≤x≤，∴函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间为. 高考研究课(一)三角函数的3个基本考点——定义、公式和关系 [全国卷5年命题分析][典例] Q ，则点Q 的坐标为________．(2)已知角α的终边上一点P(－，m)(m≠0)，且sin α＝，求cos α，tan α的值．[解析] (1)设点A(－1,0)，点P 从(－1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动 弧长到达点Q ，则∠AOQ＝－2π＝(O 为坐标原点)，所以∠xOQ＝，cos ＝，sin ＝，所以点Q 的坐标为.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32(2)由题设知x ＝－，y ＝m ，∴r2＝|OP|2＝2＋m2(O 为原点)，r ＝. ∴sin α＝＝＝， ∴r ＝＝2，即3＋m2＝8，解得m ＝±. 当m ＝时，r ＝2，x ＝－，y ＝， ∴cos α＝＝－， tan α＝－； 当m ＝－时，r ＝2，x ＝－，y ＝－， ∴cos α＝＝－， tan α＝. [方法技巧](1)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P 的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．(2)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．[即时演练]1．已知角α终边与单位圆x2＋y2＝1的交点为P ，则sin ＝( ) A ．－ B.12 C ．－D ．1解析：选A 因为角α终边与单位圆x2＋y2＝1的交点为P ，所以cos α＝， 所以sin ＝cos 2α＝2cos2α－1＝－.2．在平面直角坐标系中，点M(3，m)在角α的终边上，点N(2m ，4)在角α＋的终边上，则m ＝( )A ．－6或1B ．－1或6C ．6D ．1解析：选A 由题意得，tan α＝，tan ＝＝，∴＝，∴m＝－6或1.诱导公式[典例] ________； (2)化简：＝________. [解析] (1)cos ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫11π12－α ＝cos ＝－cos ，而sin ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α ＝cos ＝， 所以cos ＝－. (2)原式＝sin240°＋cos240°－2sin 40°cos 40°cos 40°－cos250°＝＝＝1.[答案] (1)－ (2)1 [方法技巧]利用诱导公式化简三角函数的思路和要求思路方法：(1)分析结构特点，选择恰当公式；(2)利用公式化成单角三角函数；(3)整理得最简形式．化简要求：(1)化简过程是恒等变形；(2)结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．[即时演练]1．已知函数f(x)＝asin(πx ＋α)＋bcos(πx ＋β)，且f(4)＝3，则f(2 017)的值为( )A ．－1B ．1C ．3D ．－3解析：选D ∵f(4)＝asin(4π＋α)＋bcos(4π＋β) ＝asin α＋bcos β＝3，∴f(2 017)＝asin(2 017π＋α)＋bcos(2 017π＋β) ＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β) ＝－asin α－bcos β＝－(asin α＋bcos β)＝－3.即f(2 017)＝－3.2．已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，则·tan2(π－α)＝________.解析：∵方程5x2－7x－6＝0的根为－或2，又α是第三象限角，∴sin α＝－，∴cos α＝－＝－，∴tan α＝＝，∴原式＝·tan2α＝－tan2α＝－.答案：－9161知弦求弦、切问题；2知切求弦问题；3sin4已知f sin 值问题角度一：知弦求弦、切问题1．已知cos α＝k，α∈，则sin(π＋α)＝( )A．－ B.1－k2C．± D．－k解析：选A 由cos α＝k，α∈，得sin α＝，∴sin(π＋α)＝－sin α＝－，故选A.2．已知sin＝－，α∈(0，π)，则cos α＝( )A. B．－12C. D．－32解析：选D 因为α∈(0，π)，所以α＋∈，又因为sin＝－，所以α＋＝，即α＝，则cos α＝－.角度二：知切求弦问题3．已知tan(α－π)＝，且α∈，则sin＝( )A. B．－45C. D．－35解析：选B 由tan(α－π)＝，得tan α＝，又因为α∈，所以α为第三象限角，所以sin α＝－，cos α＝－.所以sin＝cos α＝－.角度三：sin α±cos α，sin αcos α的关系应用问题4．(2018·揭阳模拟)已知sin αcos α＝，且＜α＜，则cos α－sin α的值为( )A．－ B.32C．－ D.34解析：选B ∵＜α＜，∴cos α＜0，sin α＜0且|cos α|＜|sin α|，∴cos α－sin α＞0，又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×＝，∴cos α－sin α＝.5．已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝，则sin α－cos α＝________.解析：由sin(π－α)－cos(π＋α)＝，得sin α＋cos α＝，将式子两边平方得1＋2sin αcos α＝，故2sin αcos α＝－.∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－＝.又∵＜α＜π，∴sin α＞0，cos α＜0. ∴sin α－cos α＝. 答案：43角度四：已知tan α，求f(sin α，cos α)值问题6．已知α是三角形的内角，且tan α＝－， 则sin α＋cos α＝________. 解析：由tan α＝－，得sin α＝ －cos α， 将其代入 sin2α＋cos2α＝1，得cos2α＝1，∴cos2α＝，易知cos α＜0， ∴cos α＝－， sin α＝， 故 sin α＋cos α＝－. 答案：－105 7．已知tan(α＋β)＝2，tan(α－β)＝3，则的值为________． 解析：＝α＋β＋α－βα＋β－α－β＝α＋βα－β＋α＋βα－βα＋βα－β＋α＋βα－β＝α＋β＋α－β1＋α＋βα－β＝＝. 答案：57 [方法技巧]同角三角函数基本关系式的应用技巧A. B.4825C ．1 D.1625 解析：选A 因为tan α＝，所以cos2α＋2sin 2α＝＝＝＝.2．(2014·大纲卷)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝( )A.B.35 C ．－ D ．－45 解析：选D 记P(－4,3)，则x ＝－4，y ＝3，r ＝|OP|＝＝5，故cos α＝＝＝－.3．(2014·全国卷Ⅰ)若tan α>0，则( )A ．sin 2α>0B ．cos α>0C ．sin α>0D ．cos 2α>0解析：选A 由tan α>0，可得α的终边在第一象限或第三象限，此时sin α与cos α同号，sin 2α＝2sin αcos α>0，故选A. 4．(2016·全国卷Ⅰ)已知θ是第四象限角，且sin ＝，则tan ＝________.解析：由题意知sin ＝，θ是第四象限角，所以cos ＞0，所以cos ＝ ＝.tan ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π2 ＝－sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4 ＝－×＝－.答案：－43一、选择题1.如图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点B ，C 在圆O 上，且B ，点C 在第一象限，∠AOC＝α，BC ＝1，则cos＝( )A ．－B ．－35 C. D.45 解析：选B 由已知可得OB ＝1，即圆O 的半径为1，又因为BC ＝1，所以△OBC 是等边三角形，所以cos ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α ＝－sin ＝－sin∠BOA＝－.2．(2018·江西六校联考)点A(sin 2 018°，cos 2 018°)位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选C 因为sin 2 018°＝sin(11×180°＋38°)＝－sin 38°＜0，cos 2 018°＝cos(11×180°＋38°)＝－cos 38°＜0，所以点A(sin 2 018°，cos 2 018°)位于第三象限．3．若sin θcos θ＝，则tan θ＋的值是( )A ．－2B ．2C ．±2 D.12 解析：选B tan θ＋＝＋＝＝2.4．(2018·江西五校联考)＝( )C. D. 3 解析：选D 原式＝－－－－＋ ＝cos 10°－－－－ ＝＝＝.5．已知A(xA ，yA)是单位圆(圆心在坐标原点O)上任意一点，将射线OA 绕O 点逆时针旋转30°，交单位圆于点B(xB ，yB)，则xA －yB 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[－，]C ．[－1,1] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 解析：选C 设沿x 轴正方向逆时针旋转到射线OA 的角为α，根据三角函数的定义得xA ＝cos α，yB ＝sin(α＋30°)，所以xA －yB ＝cos α－sin(α＋30°)＝－sin α＋cos α＝sin(α＋150°)∈[－1,1]．6．(2018·日照模拟)已知－＜α＜0，sin α＋cos α＝，则的值为( )A. B.725 C. D.2425 解析：选C ∵sin α＋cos α＝，∴1＋sin 2α＝，即sin 2α＝－，又∵－<α<0，∴cos α－sin α>0.∴cos α－sin α＝＝，∴＝＝.二、填空题7．若tan α＝3，则＝________.解析：因为tan α＝3，所以＝＝＝2.答案：28．(2018·枣庄模拟)已知cos ＝a(|a|≤1)，则cos ＋sin 的值是________．解析：由题意知，cos ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－cos＝－a.sin＝sin＝cos＝a，∴cos＋sin＝0.答案：09．(2018·成都一诊)在直角坐标系xOy中，已知任意角θ以坐标原点O为顶点，以x轴的非负半轴为始边，若其终边经过点P(x0，y0)，且OP＝r(r＞0)，定义：sicos θ＝，称“sicos θ”为“θ的正余弦函数”，若sicos θ＝0，则sin＝________.解析：因为sicos θ＝0，所以y0＝x0，所以θ的终边在直线y＝x上，所以当θ＝2kπ＋，k∈Z时，sin＝sin＝cos＝；当θ＝2kπ＋，k∈Z时，sin＝sin ＝cos＝.综上得sin＝.答案：12三、解答题10．已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sin α＋的值．解：设α终边上任一点为P(k，－3k)，则r＝＝|k|.当k＞0时，r＝k，∴sin α＝＝－，＝＝，∴10sin α＋＝－3＋3＝0；当k＜0时，r＝－k，∴sin α＝＝，。
2019届高考数学(理科)一轮复习通用版：第五单元 三角函数及其恒等变换
第五单元三角函数及其恒等变换教材复习课“三角函数及其恒等变换”相关基础知识一课过1．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S＝{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．2．弧长、扇形面积公式设扇形的弧长为l，圆心角大小为α(rad)，半径为r，则l＝|α|r，扇形的面积为S＝12lr＝12|α|·r2.3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin α＝y，cos α＝x，tan α＝yx(x≠0)．(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．(3)三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．[小题速通]1．(2018·济南模拟)已知sin θ－cos θ>1，则角θ的终边位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选B由已知得(sin θ－cos θ)2>1，即1－2sin θcos θ>1，sin θcos θ<0，所以sinθ>0>cos θ，所以角θ的终边在第二象限．2．已知α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，且cos α＝24x ，则x ＝( ) A. 3 B ．±3 C ．－ 2D ．－ 3解析：选D 依题意得cos α＝x x 2＋5＝24x ＜0，由此解得x ＝－3，选D. 3．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α(0<α<π)的弧度数为( )A.π3B.π2C. 3D ．2解析：选C 设圆半径为r ，则其内接正三角形的边长为3r ，所以3r ＝αr ，故α＝ 3. 4．已知扇形的半径r ＝10 cm ，圆心角α为120°，则扇形的面积为________cm 2. 解析：因为120°＝2π3，由扇形的面积公式可得S ＝12αr 2＝12×2π3×102＝1003π(cm 2)． 答案：1003π 5．在与2 010°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为________． 解析：2 010°＝676π＝12π－5π6， ∴与2 010°终边相同的角中绝对值最小的角的弧度数为－5π6. 答案：－5π6[清易错]1．注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．2．角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．3．已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况． 1．下列说法正确的是( )A ．三角形的内角必是第一、二象限角B ．第一象限角必是锐角C ．不相等的角终边一定不相同D ．若β＝α＋2k π(k ∈Z )，则α和β终边相同 答案：D2．已知点P ⎝⎛⎭⎫32，－12在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )A.5π6B.2π3 C.11π6D.5π3解析：选C 因为点P⎝⎛⎭⎫32，－12在角θ的终边上，所以角θ的终边在第四象限，且tan θ＝－33. 又θ∈[0,2π)，所以θ＝11π6.3．已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，则sin α＋cos α＝________. 解析：设α终边上任一点为P (－4a,3a )， 当a ＞0时，r ＝5a ，sin α＝35，cos α＝－45；当a ＜0时，r ＝－5a ，sin α＝－35，cos α＝45.故sin α＋cos α＝15或－15.答案：±151．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系 sin 2α＋cos 2α＝1； (2)商数关系 tan α＝sin αcos α.2．诱导公式3．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β； cos(α∓β)＝cos_αcos_β±sin_αsin_β； tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.4．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin_αcos_α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α1－tan 2α.[小题速通]1．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，tan(α－π)＝－34，则sin α＋cos α的值是( ) A ．±15 B.15 C ．－15 D ．－75解析：选C 由α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，tan(α－π)＝tan α＝－34<0，得α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝－34cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1，解得sin α＝35，cos α＝－45，则sin α＋cos α＝－15.2．已知sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝35，则cos(π－2α)的值为( ) A.2425 B.725 C ．－725D ．－2425解析：选B 由sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝35，可得cos α＝35，则cos(π－2α)＝－cos 2α＝1－2cos 2α＝725. 3．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，则sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝________. 解析：因为cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，所以sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝sin π2－⎝⎛⎭⎫π6－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33. 答案：334．已知tan α＝2，则sin α＋cos α2sin α＋cos α＝________.解析：因为tan α＝2，所以原式＝sin α＋cos α2sin α＋cos α＝tan α＋12tan α＋1＝35.答案：355．计算：sin 250°1＋sin 10°＝________.解析：sin 250°1＋sin 10°＝1－cos 100°2(1＋sin 10°)＝1－cos (90°＋10°)2(1＋sin 10°)＝1＋sin 10°2(1＋sin 10°)＝12.答案：12[清易错]1．利用平方关系解决问题时，要注意开方运算结果的符号，需要根据角的范围进行确定．2．在使用两角和与差的余弦或正切公式时运算符号易错． 1．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＋cos α＝33，则cos(2 018π－2α)＝( ) A ．±63B ．－53C ．－63D ．±53解析：选B 将sin α＋cos α＝33两边平方，化简可得sin 2α＝－23， 因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＋cos α＝33>0， 所以α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，2α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，所以cos 2α<0， 则cos(2 018π－2α)＝cos 2α＝－1－sin 22α＝－53. 2．若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝13，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则sin α的值为( ) A.4－26B.4＋26C.718D.23解析：选A 由cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝13，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，可得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝223，则sin α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π4－π4＝223×22－13×22＝4－26.正弦、余弦、正切函数的图象与性质正弦、余弦、正切函数的图象与性质1．函数y ＝1－2sin 22x 的最小正周期是( ) A.π4 B.π2 C.2π3D ．π解析：选B 因为函数y ＝1－2sin 22x ＝cos 4x ，所以函数的最小正周期T ＝π2.2．若函数f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上的最大值为1，则ω＝( ) A.14 B.13 C.12D.32解析：选C 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，所以ωx ∈⎣⎡⎦⎤0，ωπ3，又因为函数f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上的最大值为1，所以ωπ3＝π6，则ω＝12. 3．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π，则f ⎝⎛⎭⎫π8＝( ) A ．1 B.12 C ．－1D ．－12解析：选A 由题设知2πω＝π，所以ω＝2，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，所以f ⎝⎛⎭⎫π8＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π8＋π4＝sin π2＝1.4．(2018·杭州模拟)若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( )A.π2B.2π3C.3π2D.5π3解析：选C 由已知f (x )＝sin x ＋φ3是偶函数，可得φ3＝k π＋π2(k ∈Z)，即φ＝3k π＋3π2(k∈Z)，又φ∈[0,2π]，所以φ＝3π2. 5．若函数f (x )＝sin ω x (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω等于( )A.23 B.32 C ．2D ．3解析：选B ∵f (x )＝sin ω x (ω>0)过原点，∴当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 是增函数；当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π2ω时，y ＝sin ωx 是减函数． 由f (x )＝sin ωx (ω>0)在⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增， 在⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减知，π2ω＝π3，∴ω＝32. [清易错]1．正切函数的图象是由直线x ＝k π＋π2(k ∈Z)隔开的无穷多支曲线组成，单调增区间是⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π，k ∈Z ，不能说它在整个定义域内是增函数，如π4<3π4，但是tan π4>tan 3π4，正切函数不存在减区间．2．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．3．研究三角函数单调性、对称中心、奇偶性及对称轴时易忽视“k ∈Z ”这一条件． 1．(2018·石家庄一模)函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z) B.⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z) C.⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z) D.⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z) 解析：选B 由k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z)得，k π2－π12＜x ＜k π2＋5π12(k ∈Z)，所以函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z)． 2．函数f (x )＝sin(－2x )，x ∈[0,2π]的单调递增区间是________________． 解析：f (x )＝sin(－2x )＝－sin 2x ， 令2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π4≤x ≤k π＋3π4，k ∈Z ，所以函数f (x )在[0,2π]上的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤π4，3π4，⎣⎡⎦⎤5π4，7π4. 答案：⎣⎡⎦⎤π4，3π4，⎣⎡⎦⎤5π4，7π4函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用 [过双基]1．用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示： x －φω －φω＋π2ωπ－φω 3π2ω－φω 2π－φω ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π y ＝A sin(ωxA－A法一 法二[小题速通]1．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π上的简图是( )解析：选A 令x ＝0，得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝－32，排除B 、D.由f ⎝⎛⎭⎫－π3＝0，f ⎝⎛⎭⎫π6＝0，排除C ，故选A.2．将函数y ＝sin 2x 的图象先向左平移π6个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的函数解析式是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1 解析：选B 由题意可得函数的解析式为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋1＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1.3.函数f (x )＝33sin ωx (ω>0)的部分图象如图所示，点A ，B 是图象的最高点，点C 是图象的最低点，且△ABC 是正三角形，则f (1)＋f (2)＋f (3)的值为( )A.92B.932 C ．93＋1D.9(3＋1)2解析：选D 因为△ABC 是正三角形， 所以△ABC 的高是63， 则△ABC 的边长是12，即函数f (x )＝33sin ωx (ω>0)的周期为12， 所以ω＝π6，f (x )＝33sin π6x ，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＝33sin π6＋33sin π3＋33sin π2＝9(3＋1)2.4.如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫x ∈R ，A >0，ω>0，0<φ<π2在区间⎣⎡⎦⎤－π6，5π6上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将y ＝sin x (x ∈R)的图象上所有的点( )A ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变C ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变D ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变解析：选D 由图象可知，A ＝1，周期T ＝π，所以ω＝2，又sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ＝0且0<φ<π2，所以φ＝π3，则y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，由图象变换可知选D. [清易错]1．由y ＝A sin ωx 的图象得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时，需平移的单位数应为⎪⎪⎪⎪φω，而不是|φ|.2．要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数．1．要得到函数y ＝cos(2x ＋1)的图象，只要将函数y ＝cos 2x 的图象( ) A ．向左平移1个单位 B ．向右平移1个单位 C ．向左平移12个单位D ．向右平移12个单位解析：选C ∵y ＝cos(2x ＋1)＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋12， ∴只要将函数y ＝cos 2x 的图象向左平移12个单位即可．2．函数y ＝cos(2x ＋φ)(－π≤φ<π)的图象向右平移π2个单位后，与函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象重合，则φ＝________.解析：将y ＝cos(2x ＋φ)的图象向右平移π2个单位后得到y ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π2＋φ的图象，化简得y ＝－cos(2x ＋φ)，又可变形为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ－π2.由题意可知φ－π2＝π3＋2k π(k ∈Z)，所以φ＝5π6＋2k π(k ∈Z)，结合－π≤φ<π，知φ＝5π6.答案：5π6一、选择题1.(2018·杭州模拟)如图所示，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠AOP ＝θ，则点P 的坐标是( )A ．(cos θ，sin θ)B ．(－cos θ，sin θ)C ．(sin θ，cos θ)D ．(－sin θ，cos θ)解析：选A 由三角函数的定义知x P ＝cos θ，y P ＝sin θ，故选A.2．若α＝k ·360°＋θ，β＝m ·360°－θ(k ，m ∈Z)，则角α与β的终边的位置关系是( ) A ．重合 B ．关于原点对称 C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称解析：选C 角α与θ终边相同，β与－θ终边相同． 又角θ与－θ的终边关于x 轴对称． ∴角α与β的终边关于x 轴对称．3．已知sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝12，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π3的值是( ) A.12 B.23 C ．－12D ．1解析：选C 由已知得cos α＝12，sin α＝－32，∴cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＝12cos α＋32sin α＝－12.4．(2018·淄博调研)已知tan α＝2，则sin 2α－sin αcos α的值是( ) A.25 B ．－25C ．－2D ．2解析：选A sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1 ，把tan α＝2代入，原式＝25.5．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2，x ∈R ，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数解析：选B ∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－cos 2x ，∴f (x )是最小正周期为π的偶函数． 6．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( ) A ．关于直线x ＝π3对称B ．关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称 C ．关于直线x ＝－π6对称D ．关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称解析：选B ∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，∴ω＝2，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 经验证可知f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋π3＝sin π＝0， 即⎝⎛⎭⎫π3，0是函数f (x )的一个对称点．7．将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数( ) A ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递减 B ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增 C ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递减 D ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递增 解析：选B 平移后的函数为y ＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π2＋π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3，增区间：－π2＋2k π≤2x －2π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，即π12＋k π≤x ≤7π12＋k π，k ∈Z ，令k ＝0时，π12≤x ≤7π12，故所得图象对应的函数在⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增，在⎣⎡⎦⎤－π6，π3上不单调，故选B. 8.(2018·河北衡水中学调研)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的部分图象如图所示，下面结论错误的是( )A ．函数f (x )的最小正周期为2π3B ．函数f (x )的图象可由g (x )＝A cos ωx 的图象向右平移π12个单位长度得到 C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π12对称D ．函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π4，π2上单调递增解析：选D 函数的最小正周期T ＝2⎝⎛⎭⎫11π12－7π12＝2π3，选项A 正确；由T ＝2π3得ω＝3.又f ⎝⎛⎭⎫7π12＝A cos ⎝⎛⎭⎫7π4＋φ＝0，所以φ＝k π－5π4(k ∈Z)．又f ⎝⎛⎭⎫π2＝A cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋φ＝A sin φ＝－23，所以sin φ<0，φ＝－π4＋2k π(k ∈Z)，即f (x )＝A cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4，函数g (x )＝A cos 3x 的图象向右平移π12个单位长度得到的图象对应的函数的解析式为y ＝g ⎝⎛⎭⎫x －π12＝A cos ⎣⎡⎦⎤3⎝⎛⎭⎫x －π12＝A cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4＝f (x )，选项B 正确；当x ＝π12时，f (x )＝A ，因此函数f (x )的图象关于直线x ＝π12对称，选项C 正确；当x ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2时，3x －π4∈⎝⎛⎭⎫π2，5π4，故函数f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，π2上不是单调递增的，选项D 错误．二、填空题9．函数f (x )＝sin x －4sin 3x 2cos x2的最小正周期为________．解析：f (x )＝sin x －2sin 2x 2sin x ＝sin x cos x ＝12sin 2x ，所以函数的最小正周期T ＝π.答案：π10．在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴为始边作锐角α，它的终边与单位圆相交于点A ，且点A 的横坐标为513，则tan ⎝⎛⎭⎫π－α2的值为________． 解析：由题意知cos α＝513，因为α为锐角，所以cos α2＝1＋cos α2＝313，sin α2＝ 1－cos 2α2＝213，所以tan ⎝⎛⎭⎫π－α2＝－tan α2＝－sinα2cos α2＝－23. 答案：－2311．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则φ＝________.解析：由图象知A ＝1，T ＝4⎝⎛⎭⎫7π12－π3＝π， 故ω＝2，再由2×π3＋φ＝π2，得φ＝－π6.答案：－π612．函数f (x )＝log 21＋sin 2xsin x ＋cos x的最大值为________．解析：因为1＋sin 2x sin x ＋cos x ＝(sin x ＋cos x )2sin x ＋cos x ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4∈(0，2]， 又因为函数y ＝log 2x 是增函数，所以，当1＋sin 2x sin x ＋cos x ＝2时，函数f (x )＝log 2 1＋sin 2x sin x ＋cos x 取得最大值为12.答案：12三、解答题13．设函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6()ω>0，x ∈R 的最小正周期为π2. (1)求f (x )的解析式；(2)利用“五点作图法”，画出f (x )在长度为一个周期的闭区间上的简图； (3)已知f ⎝⎛⎭⎫α4＋π12＝95，求cos α的值． 解：(1)∵T ＝2πω＝π2⇒ω＝4，∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6. (2)列表：(3)∵f ⎝⎛⎭⎫α4＋π12＝3sin ⎣⎡⎦⎤4⎝⎛⎭⎫α4＋π12＋π6 ＝3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝3cos α＝95，∴cos α＝35. 14．已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫3sin x 4，1，n ＝⎝⎛⎭⎫cos x 4，cos 2x4，记f (x )＝m ·n . (1)若f (x )＝1，求cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的值； (2)在锐角△ABC 中，(2a －c )cos B ＝b cos C ，求f (2A )的取值范围．解：(1)f (x )＝m ·n ＝3sin x 4cos x 4＋cos 2x 4＝32sin x 2＋12cos x 2＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＋12， 由f (x )＝1，得sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＝12， 所以cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＝12. (2)因为(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， 所以2sin A cos B －sin C cos B ＝sin B cos C ， 所以2sin A cos B ＝sin(B ＋C )，因为A ＋B ＋C ＝π， 所以sin(B ＋C )＝sin A ，且sin A ≠0，所以cos B ＝12，又0<B <π2，所以B ＝π3.则A ＋C ＝2π3，A ＝2π3－C ，又0<C <π2，0<A <π2， 则π6<A <π2，得π3<A ＋π6<2π3， 所以32<sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6≤1， 又因为f (2A )＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＋12，故函数f (2A )的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤3＋12，32.15．(2018·青岛模拟)已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ωx ＋π6＋a (ω>0)图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求a 和ω的值；(2)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间． 解：(1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6＋a ＝4cos ωx ·32sin ωx ＋12cos ωx ＋a＝23sin ωx cos ωx ＋2cos 2ωx －1＋1＋a ＝3sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋1＋a ＝2sin2ωx ＋π6＋1＋a .当sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＝1时，f (x )取得最大值2＋1＋a ＝3＋a ， 又f (x )图象上最高点的纵坐标为2，∴3＋a ＝2， ∴a ＝－1.又f (x )图象上相邻两个最高点的距离为π，∴f (x )的最小正周期T ＝π，∴2ω＝2πT ＝2，∴ω＝1.(2)由(1)得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z. 令k ＝0，得π6≤x ≤2π3，∴函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π6，2π3. 高考研究课(一)三角函数的3个基本考点——定义、公式和关系 [全国卷5年命题分析]诱导公式5年1考 变角求值三角函数的定义[典例] (1)点P 从(－1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动 8π3弧长到达点Q ，则点Q 的坐标为________．(2)已知角α的终边上一点P (－3，m )(m ≠0)，且sin α＝2m4，求cos α，tan α的值． [解析] (1)设点A (－1,0)，点P 从(－1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动 8π3弧长到达点Q ，则∠AOQ ＝8π3－2π＝2π3(O 为坐标原点)，所以∠xOQ ＝π3，cos π3＝12，sin π3＝32，所以点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，32.答案：⎝⎛⎭⎫12，32(2)由题设知x ＝－3，y ＝m ，∴r 2＝|OP |2＝()－32＋m 2(O 为原点)，r ＝3＋m 2. ∴sin α＝m r ＝2m 4＝m22，∴r ＝3＋m 2＝22， 即3＋m 2＝8，解得m ＝±5.当m ＝5时，r ＝22，x ＝－3，y ＝5， ∴cos α＝－322＝－64， tan α＝－153；当m ＝－5时，r ＝22，x ＝－3，y ＝－5， ∴cos α＝－322＝－64， tan α＝153.[方法技巧](1)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P 的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．(2)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．[即时演练]1．已知角α终边与单位圆x 2＋y 2＝1的交点为P ⎝⎛⎭⎫12，y ，则sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝( )A ．－12B.12 C ．－32D ．1解析：选A 因为角α终边与单位圆x 2＋y 2＝1的交点为P ⎝⎛⎭⎫12，y ，所以cos α＝12， 所以sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝cos 2α＝2cos 2α－1＝－12. 2．在平面直角坐标系中，点M (3，m )在角α的终边上，点N (2m ，4)在角α＋π4的终边上，则m ＝( )A ．－6或1B ．－1或6C ．6D ．1解析：选A 由题意得，tan α＝m 3，tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝42m ＝2m ，∴2m ＝1＋m 31－m 3，∴m ＝－6或1.诱导公式[典例] (1)(2018·淄博模拟)已知sin ⎝⎛⎭7π12＋α＝23，则cos ⎝⎭⎫α－11π12＝________； (2)化简：1－2sin 40°cos 40°cos 40°－1－sin 250°＝________.[解析] (1)cos ⎝⎛⎭⎫α－11π12＝cos ⎝⎛⎭⎫11π12－α ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π12＋α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π12＋α， 而sin ⎝⎛⎭⎫7π12＋α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π12＋α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π12＋α＝23， 所以cos ⎝⎛⎭⎫α－11π12＝－23. (2)原式＝sin 240°＋cos 240°－2sin 40°cos 40°cos 40°－cos 250°＝|sin 40°－cos 40°|cos 40°－cos 50°＝cos 40°－sin 40°cos 40°－sin 40°＝1.[答案] (1)－23 (2)1[方法技巧]利用诱导公式化简三角函数的思路和要求思路方法：(1)分析结构特点，选择恰当公式； (2)利用公式化成单角三角函数； (3)整理得最简形式． 化简要求：(1)化简过程是恒等变形；(2)结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值． [即时演练]1．已知函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，且f (4)＝3，则f (2 017)的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．3D ．－3解析：选D ∵f (4)＝a sin(4π＋α)＋b cos(4π＋β) ＝a sin α＋b cos β＝3，∴f (2 017)＝a sin(2 017π＋α)＋b cos(2 017π＋β) ＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β) ＝－a sin α－b cos β ＝－(a sin α＋b cos β)＝－3. 即f (2 017)＝－3.2．已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，α是第三象限角，则sin ⎝⎛⎭⎫－α－3π2cos ⎝⎛⎭⎫3π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋α·tan 2(π－α)＝________.解析：∵方程5x 2－7x －6＝0的根为－35或2，又α是第三象限角，∴sin α＝－35，∴cos α＝－1－sin 2α＝－45，∴tan α＝sin αcos α＝34，∴原式＝cos α(－sin α)sin αcos α·tan 2α＝－tan 2α＝－916.答案：－916同角三角函数的基本关系同角三角函数的基本关系是三角变换的基础，也是高考命题的热点，难度不大，属低档题.,常见的命题角度有：(1)知弦求弦、切问题； (2)知切求弦问题；(3)sin α±cos α，sin αcos α的关系应用问题； (4)已知tan α，求f (sin α，cos α)值问题. 角度一：知弦求弦、切问题1．已知cos α＝k ，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则sin(π＋α)＝( ) A ．－1－k 2 B.1－k 2 C ．±1－k 2D ．－k解析：选A 由cos α＝k ，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，得sin α＝1－k 2， ∴sin(π＋α)＝－sin α＝－1－k 2，故选A.2．已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－12，α∈(0，π)，则cos α＝( ) A.12 B ．－12C.32D ．－32解析：选D 因为α∈(0，π)，所以α＋π3∈⎝⎛⎭⎫π3，4π3， 又因为sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－12，所以α＋π3＝7π6，即α＝5π6， 则cos α＝－32. 角度二：知切求弦问题3．已知tan(α－π)＝34，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝( ) A.45 B ．－45C.35D ．－35解析：选B 由tan(α－π)＝34，得tan α＝34，又因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，所以α为第三象限角， 所以sin α＝－35，cos α＝－45.所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝cos α＝－45.角度三：sin α±cos α，sin αcos α的关系应用问题4．(2018·揭阳模拟)已知sin αcos α＝18，且5π4＜α＜3π2，则cos α－sin α的值为( )A ．－32B.32C ．－34D.34解析：选B ∵5π4＜α＜3π2，∴cos α＜0，sin α＜0且|cos α|＜|sin α|，∴cos α－sin α＞0，又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，∴cos α－sin α＝32. 5．已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝23⎝⎛⎭⎫π2＜α＜π，则sin α－cos α＝________.解析：由sin(π－α)－cos(π＋α)＝23， 得sin α＋cos α＝23， 将式子两边平方得1＋2sin αcos α＝29，故2sin αcos α＝－79.∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－⎝⎛⎭⎫－79＝169. 又∵π2＜α＜π，∴sin α＞0，cos α＜0.∴sin α－cos α＝43.答案：43角度四：已知tan α，求f (sin α，cos α)值问题6．已知α是三角形的内角，且tan α＝－13， 则sin α＋cos α＝________.解析：由tan α＝－13，得sin α＝ －13cos α，将其代入 sin 2α＋cos 2α＝1，得109cos 2α＝1，∴cos 2α＝910，易知cos α＜0， ∴cos α＝－31010， sin α＝1010，故 sin α＋cos α＝－105. 答案：－1057．已知tan(α＋β)＝2，tan(α－β)＝3，则sin 2αcos 2β的值为________．解析：sin 2αcos 2β＝sin[(α＋β)＋(α－β)]cos[(α＋β)－(α－β)]＝sin (α＋β)cos (α－β)＋cos (α＋β)sin (α－β)cos (α＋β)cos (α－β)＋sin (α＋β)sin (α－β) ＝tan (α＋β)＋tan (α－β)1＋tan (α＋β)tan (α－β)＝2＋31＋2×3＝57. 答案：57[方法技巧]同角三角函数基本关系式的应用技巧1．(2016·全国卷Ⅲ)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝( )A.6425 B.4825 C ．1D.1625解析：选A 因为tan α＝34，所以cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝1＋4tan αtan 2α＋1＝1＋4×34⎝⎛⎭⎫342＋1＝6425. 2．(2014·大纲卷)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝( ) A.45 B.35 C ．－35D ．－45解析：选D 记P (－4,3)，则x ＝－4，y ＝3，r ＝|OP |＝(－4)2＋32＝5，故cos α＝x r ＝－45＝－45.3．(2014·全国卷Ⅰ)若tan α>0，则( ) A ．sin 2α>0 B ．cos α>0 C ．sin α>0D ．cos 2α>0解析：选A 由tan α>0，可得α的终边在第一象限或第三象限，此时sin α与cos α同号，sin 2α＝2sin αcos α>0，故选A.4．(2016·全国卷Ⅰ)已知θ是第四象限角，且sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝________. 解析：由题意知sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，θ是第四象限角， 所以cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＞0， 所以cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝45. tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－π2 ＝－sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫θ＋π4cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－45×53＝－43.答案：－43一、选择题1.如图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点B ，C 在圆O 上，且B ⎝⎛⎭⎫45，－35，点C 在第一象限，∠AOC ＝α，BC ＝1，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α＝( ) A ．－45B ．－35C.35D.45解析：选B 由已知可得OB ＝1，即圆O 的半径为1， 又因为BC ＝1，所以△OBC 是等边三角形， 所以cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π3－α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝－sin ∠BOA ＝－35. 2．(2018·江西六校联考)点A (sin 2 018°，cos 2 018°)位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选C 因为sin 2 018°＝sin(11×180°＋38°) ＝－sin 38°＜0，cos 2 018°＝cos(11×180°＋38°) ＝－cos 38°＜0，所以点A (sin 2 018°，cos 2 018°)位于第三象限． 3．若sin θcos θ＝12，则tan θ＋cos θsin θ的值是( )A ．－2B ．2C ．±2D.12解析：选B tan θ＋cos θsin θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1cos θsin θ＝2. 4．(2018·江西五校联考)cos 350°－2sin 160°sin (－190°)＝( )A ．－ 3B ．－32C.32D. 3解析：选D 原式＝cos (360°－10°)－2sin (180°－20°)－sin (180°＋10°)＝cos 10°－2sin (30°－10°)－(－sin 10°)＝cos 10°－2⎝⎛⎭⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°＝3sin 10°sin 10°＝ 3.5．已知A (x A ，y A )是单位圆(圆心在坐标原点O )上任意一点，将射线OA 绕O 点逆时针旋转30°，交单位圆于点B (x B ，y B )，则x A －y B 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[－2，2]C ．[－1,1]D.⎣⎡⎦⎤－12，12 解析：选C 设沿x 轴正方向逆时针旋转到射线OA 的角为α，根据三角函数的定义得x A ＝cos α，y B ＝sin(α＋30°)，所以x A －y B ＝cos α－sin(α＋30°)＝－32sin α＋12cos α＝sin(α＋150°)∈[－1,1]．6．(2018·日照模拟)已知－π2＜α＜0，sin α＋cos α＝15，则1cos 2α－sin 2α的值为( )A.75 B.725 C.257D.2425解析：选C ∵sin α＋cos α＝15，∴1＋sin 2α＝125，即sin 2α＝－2425，又∵－π2<α<0，∴cos α－sin α>0.∴cos α－sin α＝1－sin 2α＝75，∴1cos 2α－sin 2α＝1(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝257. 二、填空题 7．若tan α＝3，则sin (α－π)＋cos (π－α)sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝________.解析：因为tan α＝3，所以sin (α－π)＋cos (π－α)sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α－cos αcos α－sin α＝tan α＋1tan α－1＝2.答案：28．(2018·枣庄模拟)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a (|a |≤1)，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ的值是________．解析：由题意知，cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－θ ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝－a .sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π6－θ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a ， ∴cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝0. 答案：09．(2018·成都一诊)在直角坐标系xOy 中，已知任意角θ以坐标原点O 为顶点，以x 轴的非负半轴为始边，若其终边经过点P (x 0，y 0)，且OP ＝r (r ＞0)，定义：sicos θ＝y 0－x 0r ，称“sicos θ”为“θ的正余弦函数”，若sicos θ＝0，则sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝________. 解析：因为sicos θ＝0，所以y 0＝x 0，所以θ的终边在直线y ＝x 上，所以当θ＝2k π＋π4，k ∈Z 时，sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫4k π＋π2－π3＝cos π3＝12；当θ＝2k π＋5π4，k ∈Z 时，sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫4k π＋5π2－π3＝cos π3＝12.综上得sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝12. 答案：12三、解答题10．已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，求10sin α＋3cos α的值． 解：设α终边上任一点为P (k ，－3k )， 则r ＝k 2＋(－3k )2＝10|k |. 当k ＞0时，r ＝10k ， ∴sin α＝－3k 10k ＝－310，1cos α＝10k k ＝10， ∴10sin α＋3cos α＝－310＋310＝0； 当k ＜0时，r ＝－10k ，∴sin α＝－3k －10k ＝310，1cos α＝－10k k ＝－10，∴10sin α＋3cos α＝310－310＝0. 综上，10sin α＋3cos α＝0. 11．已知cos(α－7π)＝－35，求sin(3π＋α)·tan ⎝⎛⎭⎫α－7π2的值． 解：∵cos(α－7π)＝cos(7π－α)＝cos(π－α)＝－cos α ＝－35，∴cos α＝35.∴sin(3π＋α)·tan ⎝⎛⎭⎫α－7π2 ＝sin(π＋α)·⎣⎡⎦⎤－tan ⎝⎛⎭⎫7π2－α ＝sin α·tan ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α·sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α ＝sin α·cos αsin α＝cos α＝35.12．已知α为第三象限角，f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π2·cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α·tan (π－α)tan (－α－π)·sin (－α－π).(1)化简f (α)；(2)若cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，求f (α)的值． 解：(1)f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π2·cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α·tan (π－α)tan (－α－π)·sin (－α－π)＝(－cos α)·sin α·(－tan α)(－tan α)·sin α＝－cos α.(2)∵cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，∴－sin α＝15， 从而sin α＝－15.又α为第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－265， ∴f (α)＝－cos α＝265.1．若sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝m ，且β为第三象限角，则cos β的值为( ) A.1－m 2 B ．－1－m 2 C.m 2－1D ．－m 2－1解析：选B 因为m ＝sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝sin [(α－β)－α]＝sin(－β)，所以sin β＝－m .因为β为第三象限角，所以cos β＝－1－sin 2β＝－1－m 2.2．化简cos 2(n π＋x )·sin 2(n π－x )cos 2[(2n ＋1)π－x ](n ∈Z)的结果为________．解析：当n 为偶数，即n ＝2k (k ∈Z)时，原式＝cos 2(2k π＋x )·sin 2(2k π－x )cos 2[(2×2k ＋1)π－x ]＝cos 2x ·sin 2(－x )cos 2(π－x )＝cos 2x ·(－sin x )2(－cos x )2＝sin 2x ； 当n 为奇数，即n ＝2k ＋1(k ∈Z)时， 原式＝cos 2[(2k ＋1)π＋x ]·sin 2[(2k ＋1)π－x ]cos 2{[2×(2k ＋1)＋1]π－x }＝cos 2[2k π＋(π＋x )]·sin 2[2k π＋(π－x )]cos 2[2×(2k ＋1)π＋(π－x )]＝cos 2(π＋x )·sin 2(π－x )cos 2(π－x )＝(－cos x )2sin 2x (－cos x )2＝sin 2x ，故化简的结果为sin 2x . 答案：sin 2x 高考研究课(二)三角函数的1个常考点——图象与性质 [全国卷5年命题分析][典例] (1) (2)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为________．(3)函数f (x )＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4的值域为________． [解析] (1)要使函数y ＝lg(2sin x －1)＋1－2cos x 有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧2sin x －1＞0，1－2cos x ≥0，即⎩⎨⎧sin x ＞12，cos x ≤12.解得2k π＋π3≤x <2k π＋5π6，k ∈Z.即函数的定义域为⎣⎡⎭⎫2k π＋π3，2k π＋5π6，k ∈Z.(2)∵0≤x ≤9， ∴－π3≤π6x －π3≤7π6，∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3≤1， 故－3≤2sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3≤2.即函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3(0≤x ≤9)的最大值为2，最小值为－ 3.所以最大值与最小值的和为2－ 3.(3)f (x )＝cos 2x ＋sin x ＝－sin 2x ＋sin x ＋1 ＝－⎝⎛⎭⎫sin x －122＋54， 又∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4， ∴sin x ∈⎣⎡⎦⎤－22，22， ∴f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－22，54.[答案] (1)⎣⎡⎭⎫2k π＋π3，2k π＋5π6，k ∈Z (2)2－ 3 (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－22，54[方法技巧]1．三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数图象来求解． 2．三角函数最值或值域的求法(1)直接法：直接利用sin x 和cos x 的值域求解．(2)化一法：把所给三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域．(3)换元法：把sin x 、cos x 、sin x cos x 或sin x ±cos x 换成t ，转化为二次函数求值域． [即时演练]1．函数y ＝|sin x |＋sin x 的值域为( ) A ．[－1,1] B ．[－2,2] C ．[－2,0]D ．[0,2]解析：选D ∵y ＝|sin x |＋sin x＝⎩⎪⎨⎪⎧2sin x ，sin x ≥0，0，sin x ＜0. 又∵－1≤sin x ≤1，∴y ∈[0,2]， 即函数的值域为[0,2]．2．在△ABC 中，sin A cos B ＝－(2sin C ＋sin B )cos A ，则函数f (x )＝2sin 2x ＋sin(2x －A )在区间⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值为________． 解析：由sin A cos B ＝－(2sin C ＋sin B )cos A ，可得sin(A ＋B )＝－2sin C cos A ，即sin C ＝－2sin C cos A . 因为sin C ≠0，所以cos A ＝－12，则A ＝2π3，所以f (x )＝2sin 2x ＋sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3＝32sin 2x －32cos 2x ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，所以2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3， 所以f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫π4＝32. 答案：323．求函数y ＝sin x ＋cos x ＋3cos x sin x 的最值． 解：令t ＝sin x ＋cos x ，则t ∈[－2，2]． ∵(sin x ＋cos x )2－2sin x cos x ＝1， ∴sin x cos x ＝t 2－12，∴y ＝32t 2＋t －32，t ∈[－2，2]，∵对称轴t ＝－13∈[－2，2]，∴y min ＝f ⎝⎛⎭⎫－13＝32×19－13－32＝－53， y max ＝f (2)＝32＋ 2.[典例] (2017·x (x ∈R)． (1)求f ⎝⎛⎭⎫2π3的值；(2)求f (x )的最小正周期及单调递增区间．[思路点拨] (1)欲求f ⎝⎛⎭⎫2π3的值，把x ＝2π3直接代入f (x )的解析式求解；(2)欲求函数f (x )的性质问题，应把f (x )的解析式化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式，再求其最小正周期及单调增区间．[解] (1)由sin2π3＝32，cos 2π3＝－12， 得f ⎝⎛⎭⎫2π3＝⎝⎛⎭⎫322－⎝⎛⎭⎫－122－23×32×⎝⎛⎭⎫－12＝2. (2)由cos 2x ＝cos 2x －sin 2x 与sin 2x ＝2sin x cos x ，得 f (x )＝－cos 2x －3sin 2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 所以f (x )的最小正周期是π. 由正弦函数的性质，令π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z)． [方法技巧]1．求三角函数单调区间的2种方法2．1．已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上是减函数，则ω的取值范围是________． 解析：由π2＜x ＜π，得π2ω＋π4＜ωx ＋π4＜πω＋π4，由题意知⎝⎛⎭⎫π2ω＋π4，πω＋π4⊆π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z)且2πω≥2×⎝⎛⎭⎫π－π2，则⎩⎨⎧π2ω＋π4≥π2＋2k π，k ∈Z ，πω＋π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，且0＜ω≤2，故12≤ω≤54. 答案：⎣⎡⎦⎤12，542．函数f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x 的递减区间是________．解析：f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x ＝12sin 2x ＋12(cos 2x ＋1)＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋12， 由2k π＋π2≤2x ＋π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ，可得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8，k ∈Z ，所以函数f (x )的递减区间是⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8，k ∈Z. 答案：⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8，k ∈Z1．(2016·山东高考)函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是( ) A.π2 B ．π C.3π2D ．2π解析：选B 法一：∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x ) ＝4⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x ⎝⎛⎭⎫32cos x －12sin x＝4sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，∴T ＝2π2＝π.法二：∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x ) ＝3sin x cos x ＋3cos 2x －3sin 2x －sin x cos x ＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴T ＝2π2＝π.故选B.2．已知函数f (x )＝3sin ωx cos ωx －4cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π，且f (θ)＝12，则f ⎝⎛⎭⎫θ＋π2＝( )A ．－52B ．－92C ．－112D ．－132解析：选B f (x )＝32sin 2ωx －2cos 2ωx －2，因为函数f (x )的最小正周期为π，所以ω＝1， 又f (θ)＝32sin 2θ－2cos 2θ－2＝12，即32sin 2θ－2cos 2θ＝52， 则f ⎝⎛⎭⎫θ＋π2＝32sin(2θ＋π)－2cos(2θ＋π)－2＝－32sin 2θ＋2cos 2θ－2＝－92. 角度二：三角函数的奇偶性3．已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋ 3 cos(x ＋θ)⎝⎛⎭⎫θ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2是偶函数，则θ的值为( ) A ．0 B.π6 C.π4D.π3解析：选B 据已知可得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋θ＋π3， 若函数为偶函数，则必有θ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z)，又由于θ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，故有θ＋π3＝π2，解得θ＝π6， 经代入检验符合题意． [方法技巧]若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则φ＝k π＋π2(k ∈Z)，同时，当x ＝0时，f (x )取得最大或最小值；若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则φ＝k π(k ∈Z)，同时，当x ＝0时，f (x )＝0.角度三：三角函数的对称性4．若函数f (x )＝3sin(2x ＋θ)＋cos(2x ＋θ)(0<θ<π)的图象关于⎝⎛⎭⎫π2，0对称，则函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，π6上的最小值是( ) A ．－1 B ．－ 3 C ．－12D ．－32解析：选B f (x )＝3sin(2x ＋θ)＋cos(2x ＋θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋θ＋π6，则由题意，知f ⎝⎛⎭⎫π2＝2sin ⎝⎛⎭⎫π＋θ＋π6＝0，又0<θ<π，所以θ＝5π6，所以f (x )＝－2sin 2x ，f (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，π6上是减函数，所以函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，π6上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫π6＝－2sin π3＝－3，故选B. 5．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6－1(ω>0)的导数f ′(x )的最大值为3，则f (x )的图象的一条对称轴的方程是( )A ．x ＝π9B ．x ＝π6C ．x ＝π3D ．x ＝π2解析：选A f ′(x )＝ωcos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6，因为导数f ′(x )的最大值为3，所以ω＝3，则f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6－1，令3x ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π3＋π9，k ∈Z ，令k ＝0，可得x ＝π9，故选A.[方法技巧]对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．角度四：三角函数性质的综合应用6．已知函数f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3(x ∈R)，下列结论错误的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为π B ．函数f (x )图象关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0对称C ．函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是减函数 D ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称解析：选C 函数f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的最小正周期为π，且f ⎝⎛⎭⎫5π12＝0，f ⎝⎛⎭⎫π6＝3，则函数f (x )图象关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0对称，函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，因此A 、B 、D 正确，令2k π≤2x －π3≤π＋2k π，k ∈Z ，得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z ，所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上不单调，故C 错误．7．(2018·福建连城模拟)已知函数f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)若当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2时，关于x 的方程f (x )－m ＝2有解，求实数m 的取值范围． 解：(1)f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos 2x ＝1－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1， 则函数f (x )的最小正周期为π. 令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z)，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z)，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z)． (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2时，2x －π3∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎣⎡⎦⎤12，1，所以f (x )∈[2,3]， 而f (x )＝m ＋2，所以m ＋2∈[2,3]，即m ∈[0,1]．1．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( ) A ．f (x )的一个周期为－2πB ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π单调递减解析：选D 根据函数解析式可知函数f (x )的最小正周期为2π，所以函数的一个周期为－2π，A 正确；。
2023年新高考数学一轮复习5-4 三角恒等变换(知识点讲解)含详解
专题5.4 三角恒等变换（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.结合拆角、配角方法，将两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式等相结合，考查三角函数式的化简求值或求角问题，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．2．与三角函数的性质相结合考查三角恒等变换的应用，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．【知识点展示】（一）两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1．C (α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β； C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos_β－sin_αsin β； S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β； S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos αsin β；T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.2．变形公式：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；)4sin(2cos sin πααα±=±.sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β， cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β， 3．辅助角公式：函数f(α)＝acos α＋bsin α(a ，b 为常数)，可以化为f(α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)或f(α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定．（二）二倍角的正弦、余弦、正切公式 1.S 2α：sin 2α＝2sin αcos α；C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α.2.变形公式：（1）降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2，sin αcos α＝12sin 2α.（2）升幂公式 1＋cos α＝2cos 2α2；1－cos α＝2sin 2α2；1＋sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22； 1－sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22. （3）配方变形：1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2 1±sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2±cos α22,1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin 2α2 （4）sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α；cos 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α.tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.（三）常见变换规律(1)角的变换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧，及半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，⎝⎛⎭⎫π4＋α＋⎝⎛⎭⎫π4－α＝π2，α2＝2×α4等． (2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．【常考题型剖析】题型一：两角和与差的三角函数公式例1.（2015·全国·高考真题（理））(2015新课标全国Ⅰ理科)o o o o sin 20cos10cos160sin10-=A ．BC ．12-D ．12例2．（2022·全国·高考真题）若sin()cos()sin 4παβαβαβ⎛⎫+++=+ ⎪⎝⎭，则（ ）A ．()tan 1αβ-=B ．()tan 1αβ+=C ．()tan 1αβ-=-D ．()tan 1αβ+=-例3.（2020·全国高考真题（文））已知πsin sin =31θθ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，则πsin =6θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（ ）A ．12B ．3C ．23D ．2例4.（2020·全国高考真题（理））已知2tan θ–tan(θ+π4)=7，则tan θ=（ ） A ．–2 B ．–1C ．1D ．2【规律方法】1.三角公式化简求值的策略(1)使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用． (3)使用公式求值，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．2.注意三角函数公式逆用和变形用的两个问题(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系． (2)注意特殊角的应用，当式子中出现12，1，32，3等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式． 题型二：利用“角的变换”求值例5. （2019·全国·高考真题（文））tan255°=（ ）A ．－2B ．－C ．2D ．例6.（2015·重庆·高考真题（文））若11tan ,tan()32ααβ=+=,则tan =β（ ）A ．17B ．16C ．57D ．56例7.（2018·浙江·高考真题）已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P （3455--，）． （Ⅰ）求sin （α+π）的值； （Ⅱ）若角β满足sin （α+β）=513，求cos β的值． 【总结提升】1.三角公式求值中变角的解题思路(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．2.常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋β等题型三：二倍（半）角公式例8.（2021·全国·高考真题（文））22π5πcoscos 1212-=（ ）A ．12B C D 例9.（2021·全国·高考真题（文））若cos 0,,tan 222sin παααα⎛⎫∈= ⎪-⎝⎭，则tan α=（ ）A B C D 10．（2021·全国·高考真题）若tan 2θ=-，则()sin 1sin 2sin cos θθθθ+=+（ ）A ．65-B ．25-C ．25D ．65【总结提升】1．运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练，准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．2．应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用则往往容易被忽视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用．提醒：在T (α＋β)与T (α－β)中，α，β，α±β都不等于k π＋π2(k ∈Z )，即保证tan α，tan β，tan(α＋β)都有意义；若α，β中有一角是k π＋π2(k ∈Z )，可利用诱导公式化简． 题型四：三角恒等变换应用---求值 例11．（2015·四川·高考真题（理））_______.例12．（2018·全国·高考真题（理））已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则()sin αβ+__________．例13.（2022·上海·高考真题）已知tan 3α=，则tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为_________.例14．（2023·全国·高三专题练习）已知角α为锐角，2πβαπ<-<，且满足1tan 23=α，()sin βα-=(1)证明：04πα<<；(2)求β. 【规律方法】三角函数式求值的三种题型(1)给角求值：该类问题中给出的角一般都不是特殊角，需要通过三角恒等变换将其变为特殊角，或者能够正负相消，或者能够约分相消，最后得到具体的值．(2)给值求值：一般是给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，使相关角相同或具有某种关系．(3)给值求角：实质上可转化为“给值求值”，即通过求角的某一个三角函数值来求角．在选取函数时，遵循以下原则：①已知正切函数值，选正切函数．②已知正、余弦函数值，若角的范围是⎝⎛⎭⎫0，π2，选正、余弦函数皆可，若角的范围是(0，π)，选余弦函数，若角的范围是⎝⎛⎭⎫－π2，π2，选正弦函数． 题型五：三角恒等变换应用---化简例15.【多选题】（2020·营口市第二高级中学高一期末）化简下式，与tan α相等的是（ ）A B 1,(0,π)cos αα∈C ．1cos2sin 2αα-D ．sin 21cos 2αα-【规律方法】1.三角函数式的化简遵循的三个原则(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的变换，从而正确使用公式． (2)二看“名”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”或“弦化切”． (3)三看“形”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“整式因式分解”“二次式配方”“遇到平方要降幂”等． 2.三角函数式化简的方法(1)弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．(2)在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次，去掉根号．题型六：三角恒等变换应用---研究三角函数的图像和性质例16.（2022·北京·高考真题）已知函数22()cos sin f x x x =-，则（ ） A ．()f x 在,26ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减B ．()f x 在,412ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增C ．()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D ．()f x 在7,412ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增例17. （2021·北京·高考真题）函数()cos cos2f x x x =-是 A ．奇函数，且最大值为2B ．偶函数，且最大值为2C ．奇函数，且最大值为98D ．偶函数，且最大值为98例18.（2015·四川·高考真题（文））下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（ ）A ．cos 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．sin 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．sin2cos2y x x =+D ．sin cos y x x =+例19.【多选题】（2022·湖北·黄冈中学二模）设函数sin 22sin ()cos x xf x x-=，则（ ）A ．()f x 在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上有且仅有1个零点B ．()f x 的最小正周期为πC ．()f x 在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减D ．()f x 在π3π,22⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减例20．（2021·浙江·高考真题）设函数()sin cos (R)f x x x x =+∈.（1）求函数22y fx π⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的最小正周期；（2）求函数()4y f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值.【规律方法】1.三角恒等变换在研究三角函数图象和性质中的应用先根据和角公式、辅助角公式、倍角公式等，把函数表达式变为正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的形式. 2.求三角函数周期的常用方法 (1)公式法求周期①函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B 与f (x )＝A cos(ωx ＋φ)＋B 的周期为T ＝2π|ω|；②函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)＋B 的周期T ＝π|ω|.(2)对称性求最值①两对称轴距离的最小值和两对称中心距离的最小值都等于T2；②对称中心到对称轴距离的最小值等于T4；③两个最大(小)值点之差的最小值等于T . 3.三角函数是奇、偶函数的充要条件(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R )：是奇函数⇔φ＝k π(k ∈Z )；偶函数⇔φ＝k π＋π2(k ∈Z )；(2)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)(x ∈R )：是奇函数⇔φ＝k π＋π2(k ∈Z )；是偶函数⇔φ＝k π(k ∈Z )．4．如何判断函数的奇偶性:根据三角函数的奇偶性，利用诱导公式可推得函数的奇偶性，常见的结论如下：(1)若为偶函数，则有;若为奇函数则有；(2)若为偶函数，则有;若为奇函数则有；(3)若为奇函数则有. 5.求对称轴方程(对称中心坐标)的方法(1)求f (x )＝A sin(ωx ＋φ)图象的对称轴方程，只需对ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )整理，对称中心横坐标只需令ωx＋φ＝k π(k ∈Z )，求x .(2)求f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的对称轴方程，只需对ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )整理，对称中心横坐标为ωx ＋φ＝π2＋k π(k∈Z )，求x 即可．(3)求f (x )＝A tan(ωx ＋φ)的对称中心的横坐标，只需对ωx ＋φ＝k π2(k ∈Z )，求x .()f x ωϕ+()f x ωϕ+sin()y A x ωϕ=+()2k k Z πϕπ=+∈()k k Z ϕπ=∈cos()y A x ωϕ=+()k k Z ϕπ=∈()2k k Z πϕπ=+∈tan()y A x ωϕ=+()k k Z ϕπ=∈专题5.4 三角恒等变换（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.结合拆角、配角方法，将两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式等相结合，考查三角函数式的化简求值或求角问题，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．2．与三角函数的性质相结合考查三角恒等变换的应用，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．【知识点展示】（一）两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1．C (α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β； C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos_β－sin_αsin β； S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β； S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos αsin β；T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.2．变形公式：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；)4sin(2cos sin πααα±=±.sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β， cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β， 3．辅助角公式：函数f(α)＝acos α＋bsin α(a ，b 为常数)，可以化为f(α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)或f(α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定．（二）二倍角的正弦、余弦、正切公式 1.S 2α：sin 2α＝2sin αcos α；C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α.2.变形公式：（1）降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2，sin αcos α＝12sin 2α.（2）升幂公式 1＋cos α＝2cos 2α2；1－cos α＝2sin 2α2；1＋sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22； 1－sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22. （3）配方变形：1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2 1±sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2±cos α22,1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin 2α2 （4）sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α；cos 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α.tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.（三）常见变换规律(1)角的变换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧，及半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，⎝⎛⎭⎫π4＋α＋⎝⎛⎭⎫π4－α＝π2，α2＝2×α4等． (2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．【常考题型剖析】题型一：两角和与差的三角函数公式例1.（2015·全国·高考真题（理））(2015新课标全国Ⅰ理科)o o o o sin 20cos10cos160sin10-=A ．BC ．12-D ．12【答案】D 【解析】 【详解】原式=o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ =o sin30=12，故选D.例2．（2022·全国·高考真题）若sin()cos()sin 4παβαβαβ⎛⎫+++=+ ⎪⎝⎭，则（ ）A ．()tan 1αβ-=B ．()tan 1αβ+=C ．()tan 1αβ-=-D ．()tan 1αβ+=-【答案】C 【解析】 【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解. 【详解】由已知得：()sin cos cos sin cos cos sin sin 2cos sin sin αβαβαβαβααβ++-=-, 即：sin cos cos sin cos cos sin sin 0αβαβαβαβ-++=，即：()()sin cos 0αβαβ-+-=, 所以()tan 1αβ-=-, 故选：C例3.（2020·全国高考真题（文））已知πsin sin =31θθ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，则πsin =6θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（ ）A ．12B ．3C ．23D ．2【答案】B 【解析】由题意可得：1sin sin cos 122θθθ++=，则：3sin 12θθ+=1cos 2θθ+=从而有：sin coscos sin66ππθθ+=，即sin 63πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 故选：B.例4.（2020·全国高考真题（理））已知2tan θ–tan(θ+π4)=7，则tan θ=（ ） A ．–2 B ．–1C ．1D ．2【答案】D 【解析】2tan tan 74πθθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，tan 12tan 71tan θθθ+∴-=-，令tan ,1t t θ=≠，则1271tt t+-=-，整理得2440t t -+=，解得2t =，即tan 2θ=. 故选：D. 【规律方法】1.三角公式化简求值的策略(1)使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用． (3)使用公式求值，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用． 2.注意三角函数公式逆用和变形用的两个问题(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．(2)注意特殊角的应用，当式子中出现12，1，32，3等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式． 题型二：利用“角的变换”求值例5. （2019·全国·高考真题（文））tan255°=（ ） A ．－2B ．－C ．2D ．【答案】D 【解析】 【分析】本题首先应用诱导公式，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步应用两角和的正切公式计算求解．题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查． 【详解】详解：000000tan 255tan(18075)tan 75tan(4530)=+==+=0001tan 45tan 3021tan 45tan 30++==- 例6.（2015·重庆·高考真题（文））若11tan ,tan()32ααβ=+=,则tan =β（ ）A ．17B ．16C ．57D ．56【答案】A 【解析】11tan()tan 123tan tan[()]111tan()tan 7123αβαβαβααβα-+-=+-===+++⨯，故选A. 例7.（2018·浙江·高考真题）已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P （3455--，）． （Ⅰ）求sin （α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin （α+β）=513，求cos β的值． 【答案】（Ⅰ）45；（Ⅱ）5665- 或1665.【解析】 【分析】分析：（Ⅰ）先根据三角函数定义得sin α，再根据诱导公式得结果，（Ⅱ）先根据三角函数定义得cos α，再根据同角三角函数关系得()cos αβ+，最后根据()βαβα=+-，利用两角差的余弦公式求结果. 【详解】详解：（Ⅰ）由角α的终边过点34,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭得4sin 5α=-，所以()4sin πsin 5αα+=-=.（Ⅱ）由角α的终边过点34,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭得3cos 5α=-，由()5sin 13αβ+=得()12cos 13αβ+=±.由()βαβα=+-得()()cos cos cos sin sin βαβααβα=+++， 所以56cos 65β=-或16cos 65β=. 【总结提升】1.三角公式求值中变角的解题思路(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．2.常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋β等 题型三：二倍（半）角公式例8.（2021·全国·高考真题（文））22π5πcos cos 1212-=（ ）A ．12B C D 【答案】D 【解析】 【分析】由题意结合诱导公式可得22225cos cos cos sin 12121212ππππ-=-，再由二倍角公式即可得解. 【详解】 由题意，2222225cos cos cos cos cos sin 1212122121212πππππππ⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭cos6π==故选：D.例9.（2021·全国·高考真题（文））若cos 0,,tan 222sin παααα⎛⎫∈= ⎪-⎝⎭，则tan α=（ ）A B C D 【答案】A 【解析】 【分析】由二倍角公式可得2sin 22sin cos tan 2cos 212sin αααααα==-，再结合已知可求得1sin 4α=，利用同角三角函数的基本关系即可求解. 【详解】 cos tan 22sin ααα=-2sin 22sin cos cos tan 2cos 212sin 2sin αααααααα∴===--， 0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos 0α∴≠，22sin 112sin 2sin ααα∴=--，解得1sin 4α=，cos α∴==sin tan cos ααα∴==. 故选：A.例10．（2021·全国·高考真题）若tan 2θ=-，则()sin 1sin 2sin cos θθθθ+=+（ ）A ．65-B ．25-C ．25D ．65【答案】C 【解析】 【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母(221sin cos θθ=+)，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入tan 2θ=-即可得到结果． 【详解】将式子进行齐次化处理得：()()()22sin sin cos 2sin cos sin 1sin 2sin sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθ+++==+++()2222sin sin cos tan tan 422sin cos 1tan 145θθθθθθθθ++-====+++． 故选：C ． 【总结提升】1．运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练，准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．2．应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用则往往容易被忽视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用．提醒：在T (α＋β)与T (α－β)中，α，β，α±β都不等于k π＋π2(k ∈Z )，即保证tan α，tan β，tan(α＋β)都有意义；若α，β中有一角是k π＋π2(k ∈Z )，可利用诱导公式化简． 题型四：三角恒等变换应用---求值 例11．（2015·四川·高考真题（理））_______.【解析】 【详解】法一、6sin15sin 75sin15cos152sin(1545)2+=+=+=. 法二、6sin15sin 75sin(4530)sin(4530)2sin 45cos302+=-++==.法三、6sin15sin 754-+==例12．（2018·全国·高考真题（理））已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则()sin αβ+__________． 【答案】12-【解析】【详解】 因为，所以，①因为，所以，②①②得，即， 解得， 故本题正确答案为例13.（2022·上海·高考真题）已知tan 3α=，则tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为_________.【答案】2- 【解析】 【分析】利用两角和的正切公式可求出tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【详解】由两角和的正切公式得tan tan314tan 241311tan tan 4παπαπα++⎛⎫+===- ⎪-⨯⎝⎭-. 故答案为2-.例14．（2023·全国·高三专题练习）已知角α为锐角，2πβαπ<-<，且满足1tan23=α，()sin βα-=(1)证明：04πα<<；(2)求β.【答案】(1)证明见解析 (2)3.4πβ=【解析】 【分析】（1）根据二倍角的正切公式计算可得tan tan 4πα<即可证明；（2）根据同角三角函数的关系可得3sin 5α=，4cos 5α=，再根据两角和差的正弦公式，结合()sin sin βαβα⎡⎤=+-⎣⎦求解即可 (1)证明：因为1tan23α=， 所以2122tan332tan 1tan 1441tan 129απαα⨯===<=--， 因为α为锐角且函数tan y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以04πα<<(2)由22sin 3tan cos 4sin cos 1ααααα⎧==⎪⎨⎪+=⎩，结合角α为锐角，解得3sin 5α=，4cos 5α=， 因为2πβαπ<-<，且()sin βα-=所以()cos 10βα-==-. ()()()sin sin sin cos cos sin βαβααβααβα⎡⎤=+-=-+-⎣⎦345105102⎛=⨯-+⨯= ⎝⎭5224πππαβπα<+<<+<， 所以3.4πβ=【规律方法】三角函数式求值的三种题型(1)给角求值：该类问题中给出的角一般都不是特殊角，需要通过三角恒等变换将其变为特殊角，或者能够正负相消，或者能够约分相消，最后得到具体的值．(2)给值求值：一般是给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，使相关角相同或具有某种关系．(3)给值求角：实质上可转化为“给值求值”，即通过求角的某一个三角函数值来求角．在选取函数时，遵循以下原则：①已知正切函数值，选正切函数．②已知正、余弦函数值，若角的范围是⎝⎛⎭⎫0，π2，选正、余弦函数皆可，若角的范围是(0，π)，选余弦函数，若角的范围是⎝⎛⎭⎫－π2，π2，选正弦函数． 题型五：三角恒等变换应用---化简例15.【多选题】（2020·营口市第二高级中学高一期末）化简下式，与tan α相等的是（ ） AB1,(0,π)cos αα∈C ．1cos2sin 2αα-D ．sin 21cos 2αα-【答案】BC 【解析】对于Atan α====，由1cos 201cos 2αα-≥+解得1cos21α-<≤，即()22k k Z αππ≠+∈，解得()2k k Z παπ≠+∈，故A 错误；对于B ：因为(0,π)α∈所以111tan cos cos cos n s si sin cos co αααααααα=====， 故B 正确；对于C ：21cos 22sin sin tan sin 22sin cos cos αααααααα-===对于D ：2sin 22sin cos cos tan 1cos 22sin sin αααααααα==≠-故选：BC 【规律方法】1.三角函数式的化简遵循的三个原则(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的变换，从而正确使用公式． (2)二看“名”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”或“弦化切”． (3)三看“形”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“整式因式分解”“二次式配方”“遇到平方要降幂”等．2.三角函数式化简的方法(1)弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．(2)在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次，去掉根号．题型六：三角恒等变换应用---研究三角函数的图像和性质例16.（2022·北京·高考真题）已知函数22()cos sin f x x x =-，则（ ） A ．()f x 在,26ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减B ．()f x 在,412ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增C ．()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D ．()f x 在7,412ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增【答案】C 【解析】 【分析】化简得出()cos2f x x =，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项. 【详解】因为()22cos sin cos2f x x x x =-=.对于A 选项，当26x ππ-<<-时，23x ππ-<<-，则()f x 在,26ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，A 错； 对于B 选项，当412x ππ-<<时，226x ππ-<<，则()f x 在,412ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上不单调，B 错；对于C 选项，当03x π<<时，2023x π<<，则()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，C 对；对于D 选项，当7412x ππ<<时，7226x ππ<<，则()f x 在7,412ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，D 错. 故选：C.例17. （2021·北京·高考真题）函数()cos cos2f x x x =-是 A ．奇函数，且最大值为2B ．偶函数，且最大值为2C ．奇函数，且最大值为98D ．偶函数，且最大值为98【答案】D 【解析】 【分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值.【详解】由题意，()()()()cos cos 2cos cos2f x x x x x f x -=---=-=，所以该函数为偶函数，又2219()cos cos 22cos cos 12cos 48f x x x x x x ⎛⎫=-=-++=--+ ⎪⎝⎭，所以当1cos 4x =时，()f x 取最大值98. 故选：D.例18.（2015·四川·高考真题（文））下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（ ）A ．cos 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．sin 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．sin2cos2y x x =+D ．sin cos y x x =+【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的周期，函数的奇偶性，判断求解即可． 【详解】 解：y ＝cos （2x 2π+）＝﹣sin2x ，是奇函数，函数的周期为：π，满足题意，所以A 正确y ＝sin （2x 2π+）＝cos2x ，函数是偶函数，周期为：π，不满足题意，所以B 不正确；y＝sin2x +cos2x =（2x 4π+），函数是非奇非偶函数，周期为π，所以C 不正确；y ＝sin x +cos x =（x 4π+），函数是非奇非偶函数，周期为2π，所以D 不正确；故选A ．例19.【多选题】（2022·湖北·黄冈中学二模）设函数sin 22sin ()cos x xf x x-=，则（ ）A ．()f x 在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上有且仅有1个零点B ．()f x 的最小正周期为πC ．()f x 在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减D ．()f x 在π3π,22⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减【答案】ACD 【解析】 【分析】由正弦二倍角公式可得2sin (cos 1)()cos x x f x x -=，令2sin (cos 1)()0cos x x f x x-==，可知x k π=或2x k =π，k ∈Z ，由此即可判断A 是否正确；根据正弦函数和正切函数的最小正周期即可判断B 是否正确；对函数()f x 求导，可得()()322cos 1cos x f x x-'=，易知'()0f x ≤，由此即可判断C 、D 是否正确.【详解】由正弦二倍角公式可得，sin 22sin cos x x x =， ∵sin 22sin 2sin (cos 1)()0cos cos x x x x f x x x--===，∴sin 0x =或cos 1x =， ∴πx k =或2x k =π，k ∈Z ，∵ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，∴当且仅当0k =时，即0x =时，满足()0f x =，∴()f x 在2π,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上有且只有一个零点，满足题意，则A 正确；由于()2sin 2tan f x x x =-，且sin x 的最小正周期为2π，tan x 的最小正周期为π， ∴()f x 的最小正周期为2π，故B 错误，()2sin 2tan f x x x =-，则()()32222cos 12cos (sin )sin 2cos (cos )cos x x x x f x x x x⎡⎤---⋅⎣⎦'=-=，∵3cos 10x -≤，∴()0f x '≤，∴()f x 在每个连续区间上都单调递减，则C 、D 正确，故选：ACD.例20．（2021·浙江·高考真题）设函数()sin cos (R)f x x x x =+∈.（1）求函数22y f x π⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的最小正周期； （2）求函数()4y f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值.【答案】（1）π；（2）1 【解析】【分析】（1）由题意结合三角恒等变换可得1sin 2y x =-，再由三角函数最小正周期公式即可得解；（2）由三角恒等变换可得sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再由三角函数的图象与性质即可得解.【详解】（1）由辅助角公式得()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则2223332sin 1cos 21sin 22442y f x x x x x ππππ⎡⎤⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫ ⎪⎭⎦⎝， 所以该函数的最小正周期22T ππ==;（2）由题意，()2sin sin 444y f x f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭22sin cos cos 22x x x x x x ⎛⎫=⋅+=+ ⎪ ⎪⎝⎭1cos 2222sin 224x x x x x π-⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得32,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以当242x ππ-=即38x π=时，函数取最大值1. 【规律方法】1.三角恒等变换在研究三角函数图象和性质中的应用先根据和角公式、辅助角公式、倍角公式等，把函数表达式变为正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的形式.2.求三角函数周期的常用方法(1)公式法求周期①函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B 与f (x )＝A cos(ωx ＋φ)＋B 的周期为T ＝2π|ω|； ②函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)＋B 的周期T ＝π|ω|. (2)对称性求最值①两对称轴距离的最小值和两对称中心距离的最小值都等于T 2； ②对称中心到对称轴距离的最小值等于T 4； ③两个最大(小)值点之差的最小值等于T .3.三角函数是奇、偶函数的充要条件(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R )：是奇函数⇔φ＝k π(k ∈Z )；偶函数⇔φ＝k π＋π2(k ∈Z )； (2)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)(x ∈R )：是奇函数⇔φ＝k π＋π2(k ∈Z )；是偶函数⇔φ＝k π(k ∈Z )． 4．如何判断函数()f x ωϕ+的奇偶性:根据三角函数的奇偶性，利用诱导公式可推得函数()f x ωϕ+的奇偶性，常见的结论如下：(1)若sin()y A x ωϕ=+为偶函数，则有()2k k Z πϕπ=+∈;若为奇函数则有()k k Z ϕπ=∈；(2)若cos()y A x ωϕ=+为偶函数，则有()k k Z ϕπ=∈;若为奇函数则有()2k k Z πϕπ=+∈；(3)若tan()y A x ωϕ=+为奇函数则有()k k Z ϕπ=∈.5.求对称轴方程(对称中心坐标)的方法 (1)求f (x )＝A sin(ωx ＋φ)图象的对称轴方程，只需对ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )整理，对称中心横坐标只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x .(2)求f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的对称轴方程，只需对ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )整理，对称中心横坐标为ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x 即可．(3)求f (x )＝A tan(ωx ＋φ)的对称中心的横坐标，只需对ωx ＋φ＝k π2(k ∈Z )，求x .。
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[即时演练] 1．已知角 α 终边与单位圆 x2＋y2＝1 的交点为 P12，y，则
sinπ2＋2α＝
()
A．－12
1 B.2
C．－
3 2
D．1
解析：因为角 α 终边与单位圆 x2＋y2＝1 的交点为 P12，y，
所以 cos α＝12，
所以 sinπ2＋2α＝cos 2α＝2cos2α－1＝－12. 答案：A
角度一：知弦求弦、切问题
1．已知 cos α＝k，α∈π2，π，则 sin(π＋α)＝
A．－ 1－k2
B. 1－k2
()
C．± 1－k2
D．－k
解析：由 cos α＝k，α∈π2，π，得 sin α＝ 1－k2，
∴sin(π＋α)＝－sin α＝－ 1－k2，故选 A.
答案：A
2．已知 sinα＋π3＝－12，α∈(0，π)，则 cos α＝
4400° °＝1.
[答案] (1)－23 (2)1
[方法技巧] 利用诱导公式化简三角函数的思路和要求
思路方法： (1)分析结构特点，选择恰当公式； (2)利用公式化成单角三角函数； (3)整理得最简形式． 化简要求： (1)化简过程是恒等变形； (2)结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能 简单，能求值的要求出值．
高考研究课(一) 三角函数的3个基本考点 ——定义、公式和关系
[全国卷 5 年命题分析]
考点
考查频度
三角函数的定义
5年2考
同角三角函数 基本关系式 诱导公式
5年2考 5年1考
考查角度 用三角函数的
定义求值
求值
变角求值
01 题型一 三角函数的定义
02 题型二 诱导公式
03 题型三 同角三角函数的基本关系
又 α 是第三象限角，∴sin α＝－35，
∴cos α＝－ 1－sin2α＝－45，∴tan α＝csions αα＝34， ∴原式＝cossinαα－cossinαα·tan2α＝－tan2α＝－196. 答案：－196
同角三角函数的基本关系 同角三角函数的基本关系是三角变换的基础，也是高考 命题的热点，难度不大，属低档题.,常见的命题角度有： 1知弦求弦、切问题； 2知切求弦问题； 3sin α±cos α，sin αcos α 的关系应用问题； 4已知 tan α，求 fsin α，cos α值问题.
)
4 A.5
B．－45
∴sin α＝mr ＝ 24m＝2m2，∴r＝ 3＋m2＝2 2，
即3＋m2＝8，解得m＝± 5.
当m＝ 5时，r＝2 2，x＝－ 3，y＝ 5，
－ ∴cos α＝ 2
3＝－ 2
46，
tan α＝－
315；
－ ∴cos α＝ 2
3＝－ 2
46，
tan α＝
15 3.
[方法技巧] (1)已知角 α 的某三角函数值，可求角 α 终边上一点 P 的 坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值． (2)已知角 α 的终边所在的直线方程或角 α 的大小，根据 三角函数的定义可求角 α 终边上某特定点的坐标．
[即时演练]
1．已知函数 f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且 f(4)＝3，则
f(2 017)的值为
()
A．－1
B．1
C．3
D．－3
解析：∵f(4)＝asin(4π＋α)＋bcos(4π＋β)＝asin α＋bcos β＝3，
∴f(2 017)＝asin(2 017π＋α)＋bcos(2 017π＋β)
2．在平面直角坐标系中，点 M(3，m)在角 α 的终边上，点 N(2m，
4)在角 α＋π4的终边上，则 m＝
()
A．－6 或 1
B．－1 或 6
C．6
D．1
解析：由题意得，tan α＝m3 ，tanα＋π4＝24m＝m2 ，∴m2 ＝
11＋ －mm33 ，∴m＝－6 或 1. 答案：A
诱导公式
[典例]
(1)(2018·淄 博 模 拟 ) 已 知
sin
71π2＋α
＝
2 3
，
则
cosα－1112π＝________；
(2)化简：cos1－402°si－n 401°－csoisn24500°°＝________.
[解析] (1)cosα－1112π＝cos1112π－α
＝cosπ－1π2＋α＝－cos1π2＋α，
时针方向运动
8π 3
弧长到达点 Q，则∠AOQ＝83π－2π＝23π(O 为
坐标原点)，所以∠xOQ＝π3，cosπ3＝12，sinπ3＝ 23，所以点 Q 的
坐标为12， 23.
答案：12，
3 2
(2)由题设知x＝－ 3，y＝m，
∴r2＝|OP|2＝－ 32＋m2(O为原点)，r＝ 3＋m2.
而 sin71π2＋α＝sinπ2＋1π2＋α
＝cos1π2＋α＝23，所以 cosα－1112π＝－23.
(2)原式＝
sin240°＋cos240°－2sin 40°cos 40° cos 40°－ cos250°
＝ |sin cos
40°－cos 40°－cos
4500°°| ＝ccooss
40°－sin 40°－sin
目
04 课堂真题集中演练
录
05 高考达标检测
三角函数的定义
[典例] (1)点 P 从(－1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运
动
8π 3
弧长到达点 Q，则点
Q 的坐标为________．
(2)已知角 α 的终边上一点 P(－ 3，m)(m≠0)，且 sin α
＝ 24m，求 cos α，tan α 的值． [解析] (1)设点 A(－1,0)，点 P 从(－1,0)出发，沿单位圆顺
1 A.2
B．－12
()
3 C. 2
D．－
3 2
解析：因为 α∈(0，π)，所以 α＋π3∈π3，43π，
又因为 sinα＋π3＝－12，所以 α＋π3＝76π，即 α＝56π，
则
cos
α＝－
3 2.
答案：D34，且 α∈π2，32π，则 sinα＋π2＝ (
＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)
＝－asin α－bcos β
＝－(asin α＋bcos β)＝－3.
即 f(2 017)＝－3. 答案：D
2．已知 sin α 是方程 5x2－7x－6＝0 的根，α 是第三象限角，
则sinco－sαπ2－－3α2πsicnosπ23＋2π－ α α·tan2(π－α)＝________. 解析：∵方程 5x2－7x－6＝0 的根为－35或 2，