方程2
5.2解简易方程 第9课解方程(2)
方程2： 18÷x＝12
问题：方程2你会解吗？我们下节课继续研究。
列方程并解答
x元 x元 12.6元 3x＝12.6 解：3x÷3＝12.6÷3 x＝4.2 或:12.6÷x＝3 x元
问题：请你根据数量关系列出不同的方程，并解答。
课堂小结
今天这节课你有哪些收获？ 还有什么问题？
2）合作探究学到了那些知识？
3) 明确本后段学习内容。
四、达标检测（约10分钟）
1
2
五、拓展延伸（约6分钟）
1、已知：8x＝44.8，
那么：0.32＋1.2x＝( 7.04 )。
2、已知：6x＝36， 那么：7x－( 12.5 )＝29.5。
新课导入
列方程并解答。
解： x＋1.2＝4 x＋1.2－1.2＝4－1.2 x＝2.8
小结 20－x＝9 x－1.8＝4 解：20－x＋x＝9＋x 解：x－1.8＋1.8＝4＋1.8 x＝5.8 20＝9＋x 9＋x＝20 9＋x－9＝20－9 x＝11
问题： 1. 今天学的解方程与以前解决的方程进行比较，有 什么不同？
2. 你认为在解这样的方程时需要注意什么？
随堂演练
解方程。 x÷7＝0.3 解：x÷7×7＝0.3×7 x＝2.1
问题：你能运用等式的性质解方程吗？请你试一试、写一写。
3x＝18 解：3x÷3＝18÷3 x＝6
问题：1. 你能借助天平解释一下解方程的过程吗？ 2. 为什么方程两边要同时除以3？
反思
3x＝18 解：x＝18÷3 x＝6
问题：x＝6是不是方程的解？请你检验一下。
检验：方程左边＝3x ＝ 3× 6 ＝18 ＝方程右边 所以，x＝6是方程的解。
解方程例2
0.2x=6 解：0.2x÷0.2=6÷0.2
x=30 检验 方程左边=0.2×30
=6 =方程右边 所以，x=30是方程的解。
4. 看图列方程，并求出方程的解。
xm
2.7 m 6.9 m
原价：x 元 降价：45 元 现价：128元
x+2.7 = 6.9
ɑx= b
解：ax÷a = b÷ɑ
x = b÷ɑ
x÷a =b 解：x÷a×a = b×ɑ
x = b×ɑ
利用等式的性质2解类似于上面的方程时，方程左边乘几，两边就同时除以 几；方程左边除以几，两边就同时乘几。
巩固提高
2.列方程并解答。[教材P68 做一做 第2题 ]
x元
1.2元
4元
x+1.2＝4 解：x+1.2-1.2＝4-1.2
这个方程与乘法有关，我觉得可以根据等式 的性质2来解方程。
（教材第68页例2）
2 解方程 3x = 18。
x xx
3x = 18
等式两边除以同一个不等于 0的数，左右两边仍然相等。
3x÷( 3 )= 18÷( 3 )
方程左边有×3，两 边要“÷3” 是为了 消去左边的×3。
为什么要÷3？
2 解方程 3x = 18。
ɑx= b
解：ax÷a = b÷ɑ
x = b÷ɑ
x÷a =b 解：x÷a×a = b×ɑ
x = b×ɑ
解： 4.6+x = 7.5 4.6+x-4.6 = 7.5-4.6
x = 2.9
将x=2.9代入方程ax=5.8
2.9a = 5.8 2.9a÷2.9 = 5.8÷2.9
简易方程(二)
课题简易方程----找等量关系列方程，解应用题教学目标（1）能正确运用字母表示常用数量关系；（2）根据题意列方程，会找等量关系；（3）培养学生解决简单应用题的能力；（4）帮助学生分析已知条件与已知条件之间、已知条件和所求问题之间的关系。
教学内容一、检查作业，处理问题二、复习方程的解法二、处理课本，例题分析解应用题的注意点及基本步骤：1、弄清“x”只表示一个数，而不是量。
因此，在设未知数时要注明单位名称，而方程的解的右边不写单位名称2、在分析题意找等量关系时，要把未知量和已知量放在一起考虑，以防止算数解法及其思路的干扰，启发学生说出应用题的等量关系。
3、掌握分析等量关系的方法。
（1）根据常见的数量关系找等量关系。
如：时间、速度、路程；单价、数量、总价等之间的关系。
（2）根据周长、面积、体积等计算公式找等量关系。
如：三角形的面积＝底×高÷2；长方形的周长＝（长+宽）×2等。
（3）根据题中的重点叙述句，从整体上确定基本数量关系。
（4）对于较难理解的应用题，利用线段图、列表等方法分析题意找出等量关系。
4、掌握列方程解应用题的步骤。
（1）弄清题意，找出未知数，并用x表示；（2）找出应用题中数量之间的相等关系，列方程；（3）解方程；（4）检验，写出答案。
5、弄清列方程解应用题和用算术方法解应用题的区别与联系：列方程解应用题，未知数用字母表示参加列式。
根据题中数量间的相等关系，列出含有未知数x的等式。
用算术方法解应用题，未知数不参加列式，根据题中数量间的关系，确定解答方法，再列式计算。
列方程解应用题和用算术方法解应用题都是以四则运算的意义和常见的数量关系为基础和依据的。
例1、A型号手机的售价是2836元，比B型号手机售价的3倍少776元，B型号手机的售价是多少钱？分析根据“B型号手机售价的3倍少776元”这句话，我们可以找到等量关系。
B型号手机的价钱⨯3-776=A型号手机的价钱B型号手机的价钱⨯3-776= 2836解：设B型号手机的售价是x元。
简易方程2
据央视国际频道2004年6月1日报道,贵州梵
净山国家级自然保护区的黔金丝猴数量 已从1993年的600多只，增加到860多只。
2004年比1993年大约增加了多少只黔金丝猴？
20g
20g
20g
10g
20g
10g
50g
10g
50g
10g
50g
ag
50g
ag
50g
ag
50g
ag
20g
(3) X－25=60
X－25＋25=60 ＋ 25
解方程：
X＋5.3=10 15＋X=40 X－9=15
白鳍豚是国家一级保护动物，濒 临灭绝。1980年约有400只，比 2004年多300只。2004年白鳍豚 大约有多少只？
2003年我国完成造林面积912 公顷，比2002年增加了135万 公顷。2002年我国完成造林 面积多少万公顷？
பைடு நூலகம்
50g
20g
20g
50g
20g
等式的两边同时加上或 减去同一个数，等式仍 然成立。这就是等式的 性质(1)。
使方程左右两边相等的未知 数的值，叫做方程的解。
求方程的解的过程叫做解方 程。
根据等式的性质，在 在 里填数。
里填运算符号，
（1）
X＋18=48
X＋18－18=48 － 18
（2）
75＋X=105 75＋X－75=105 － 75
二元一次方程公式
二元一次方程公式下面为大家整理了二元一次方程的公式，供大家参考。
设ax+by=c，dx+ey=f，x=（ce-bf)/(ae-bd),y=(cd-af)/(bd-ae),其中/为分数线，/左边为分子，/右边为分母解二元一次方程组一般地，使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。
求方程组的解的过程，叫做解二元一次方程组。
消元将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想。
如:｛5x+6y=72x+3y=4,变为｛5x+6y=74x+6y=8消元的方法代入消元法。
加减消元法。
顺序消元法。
（这种方法不常用）消元法的例子（1)x-y=3（2)3x-8y=4（3)x=y+3代入得（2）3×（y+3)-8y=4y=1所以x=4这个二元一次方程组的解x=4y=1教科书中没有的,但比较适用的几种解法(一)加减-代入混合使用的方法.例1,13x+14y=41(1)14x+13y=40(2)解:(2)-(1)得x-y=-1x=y-1(3)把(3)代入(1)得13(y-1)+14y=4113y-13+14y=4127y=54y=2把y=2代入(3)得x=1所以:x=1,y=2特点:两方程相加减,单个x或单个y,这样就适用接下来的代入消元.(二)换元法例2，(x+5)+(y-4)=8(x+5)-(y-4)=4令x+5=m,y-4=n原方程可写为m+n=8m-n=4解得m=6,n=2所以x+5=6,y-4=2所以x=1,y=6特点：两方程中都含有相同的代数式，如题中的x+5,y-4之类，换元后可简化方程也是主要原因。
（3）另类换元例3，x:y=1:45x+6y=29令x=t,y=4t方程2可写为：5t+6*4t=2929t=29t=1所以x=1,y=4要想掌握好这些二元一次方程公式，那么就要通过大量的练习，同学们现在就动手吧。
为庆祝元宵节，某市用灯饰美化街道，需采用A、B两种不同类型的灯笼200个，且B灯笼的个数是A灯笼的三分之二。
高二数学直线的方程2
两点式：
已知直线l 经过两点P1（x1, y1),P2（x2, y2） （ x1 ≠ x2 ）,求直线l 的方程。
y2 y1 由点斜式方程得 ∵ k x2 x1
2
y2 y1 y y1 ( x x1 ). x2 x1
y y x x ( y1 y2 ) 化简为 y y x x
y kx b
y y x x y y x x
1 2 1 2
1 1
x y 1. a b
例2 三角形的顶点是A（-5，0）、B（3，-3）、 C（0，2），求这个三角形三边所在直线的方程。 解：直线AB过A(5,0)、B(3,3)两点，由两点式得
y 0 x (5) , 整理得3x 8 y 15 0, 3 0 3 (5)
所以AB边中线所在的直线方程 为 x y 0.
例5.过点P（ 1 ， 4 ）作直线与两坐标轴正 半轴相交，当直线在 两坐标轴上的截距之和 最小时，求此直线的方 程。
x y 设直线方程为 1(a 0, b 0), 解： a b
1 4 直线过点 P(1,4), 1 a b 4a b 1 4 4a b a b (a b)( ) 5 5 2 b a b a a b
一教材：习题 7.2 ，7 ~ 10
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伢子在后面掩上院门，快步走到车前从耿正手里接过缰绳和马鞭。耿正紧走两步，上前给娘娘和小青深深施礼，哽咽着说： “娘娘，姐姐，你们可好！”耿直和耿英眼看着乔氏和小青的脸陡然变色了！乔氏颤声问道：“正伢子，你爹呢？”小青结结 巴巴地问：“耿，耿正，伯，伯伯呢？这，这，这车怎么„„”耿正兄妹三人再也忍不住了，痛失父亲的悲与伤在亲人一般的 娘娘和姐姐面前不再需要遮掩什么了。七年半了，他们的眼泪再一次犹如决堤的洪水„„一瞬间，乔氏和小青全都明白了„„ 娘儿俩一起颤抖着挪动沉重的双腿，结结巴巴地说：“打，打开篷，篷布，让我们看，看看„„”兄妹三人赶快扶娘娘和小青 站住。耿英哭着说：“不，不，这不是，爹去了已经七年半了，就在刚离开的那年夏天„„”乔氏伸着颤抖的双手说：“那， 这，这车怎么„„”耿正哽咽着说：“只是为了路途安全，用一口寿棺装了细软„„”耿直也哭着说：“我们三人也装扮成了 护送早已经去世，并且连尸骨也找不到的爹爹回老家去„„”除了小东伢，所有的人都痛哭失声了„„忽然听到院子的南边一 阵“嗬儿嗬儿”的骡子欢叫声，耿正兄妹三人擦一把眼泪，这才发现院子的南边新盖了一排宽敞的棚房，一挂挺大的平板车停 在棚房的一边；在另一边的马厩里，一头枣红色高头大骡子正在朝这边的大白骡友好地打招呼呢！耿正说：“东伢子你也养骡 车啦！”东伢子憨憨地擦了把眼泪，说：“哦，去年才养的。菜地扩大了不少，批发送菜的需要个大骡车，为此还新修了院门 儿。”说着话，东伢子看看略显疲乏的大白骡，对小青说：“你和姆妈快招呼耿直和耿英进屋里说话吧，我和耿正先卸了车， 给白骡喂些草料。看它这样子，是有些疲累了呢。”耿正也对乔氏和小青说：“娘娘和姐姐不要着急，我们回头慢慢细说！” 耿直提起软皮箱扶着乔氏，耿英拉着小东伢扶着小青，一起慢慢地进西边的老房子里去了。老房子的过厅里还是老样子。进入 西边的屋子里，发现屋子里边的一切摆设也没有一点儿变化。圆桌上已经摆放了两盘子炒菜和四副碗筷，揭开的锅里，冒着热 气儿的米饭还没有人动过！想起来临别之前娘娘曾经说过，她要永远住在这个与白幺爹共同生活过的老房子里。再看着眼前的 一切，耿英和耿直的心里阵阵作痛„„耿直扶乔氏坐在床边上，抱歉地说：“娘娘，我们回来的真不是时候，你们连午饭也没 有吃好！”乔氏有气无力地说“傻伢子，你说什么呢，娘娘做梦都希望你们能早点儿回来啊！”小青进屋后，也软软地跌坐在 了圆桌边的一把椅子上。耿英擦干眼泪轻轻地说：“娘娘，姐姐，你们也不要太难过了，这都过去这么多年了„„”乔氏叹口 气无力地说：“唉，这都是天意啊，没有法子的事情。青丫头，起来吧，咱
二次方程的求解
二次方程的求解二次方程是一种常见的数学方程形式，可以通过求解得到方程的解。
在本文中，我们将介绍二次方程的定义、求解方法和实际应用。
一、二次方程的定义二次方程是指其中含有二次项（x^2）的方程，一般表示为ax^2 +bx + c = 0，其中a、b、c为已知的实数系数，且a ≠ 0。
二、二次方程的求解方法要求解二次方程，可以使用以下两种方法：一是利用因式分解法，二是利用求根公式法。
1. 因式分解法如果二次方程可以因式分解为两个一次因式的乘积，那么可以直接利用因式分解法来求解。
例如，对于方程x^2 + 5x + 6 = 0，我们可以将其分解为(x + 2)(x + 3) = 0，从而可以得到x = -2或x = -3两个解。
2. 求根公式法对于一般的二次方程ax^2 + bx + c = 0，可以使用求根公式来求解。
求根公式为x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。
其中，±表示两个不同的解。
三、二次方程的实际应用二次方程不仅仅是数学中的一个概念，还有广泛的实际应用。
下面我们将介绍二次方程在物理学和工程学中的两个应用实例。
1. 物理学中的抛体运动抛体运动是物理学中研究抛体在空中运动轨迹的一个重要课题。
在水平方向上抛出的物体受到重力的影响，在竖直方向上受到重力和初速度的影响。
通过建立运动方程，可以将抛体运动描述为一个二次方程。
通过求解这个二次方程，我们可以得到抛体的轨迹、最高点和最远距离等相关信息。
2. 工程学中的抛物线设计在工程学中，抛物线常常被应用于桥梁、拱形结构等建筑设计中。
抛物线具有稳定、均匀的力学特性，因此在某些情况下更适用于工程设计。
通过求解二次方程，可以确定抛物线的顶点、焦点和离散点等关键参数，从而进行合理的设计和布局。
综上所述，二次方程是一种常见的数学方程形式，具有广泛的应用价值。
通过掌握二次方程的定义、求解方法和实际应用，我们能够更好地理解和应用数学知识，提高问题解决的能力。
二次方程两根之积
二次方程两根之积摘要：1.二次方程两根之积的定义和公式2.如何求解二次方程两根之积3.实际应用案例及分析4.总结与建议正文：在日常生活中，我们经常会遇到各种数学问题，其中二次方程是一种常见的数学表达式。
对于二次方程，我们不仅要掌握其求根方法，还要了解二次方程两根之积的求解方法。
本文将详细介绍二次方程两根之积的定义、求解方法以及实际应用，帮助大家更好地理解和运用这一知识点。
一、二次方程两根之积的定义和公式二次方程两根之积指的是二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的两个根x1和x2的乘积。
根据二次方程的求根公式，我们可以得到：x1 × x2 = c / a其中，a、b、c分别为二次方程的三个系数。
这个公式说明了二次方程的两根之积与系数的关系，为我们求解问题提供了依据。
二、如何求解二次方程两根之积1.首先，根据二次方程的求根公式，求出方程的两个根：x1 = (-b + √(b - 4ac)) / 2ax2 = (-b - √(b - 4ac)) / 2a2.然后，将求得的两个根相乘，即可得到二次方程的两根之积：x1 × x2 = (c / a)三、实际应用案例及分析案例1：已知二次方程的两根为2和3，求该二次方程的两根之积。
解：设该二次方程为ax+bx+c=0，根据二次方程的性质，我们有：x1 + x2 = -b / ax1 × x2 = c / a将已知的两根代入公式，得到：2 +3 = -b / a2 ×3 = c / a解得：b = -5ac = 6a所以，该二次方程为：ax - 5ax + 6a = 0案例2：已知二次方程的两根之积为6，二次项系数为1，常数项为6，求该二次方程的另一根。
解：设该二次方程为x+bx+6=0，根据二次方程的性质，我们有：x1 × x2 = c / a将已知的两根之积和二次项系数、常数项代入公式，得到：x1 × x2 = 6 / 1解得：x1 = √6x2 = √6所以，该二次方程为：x + √6x + 6 = 0四、总结与建议掌握二次方程两根之积的定义和求解方法，可以帮助我们在解决实际问题时更加得心应手。
解一元二次方程2 公式法
《21.2.2公式法》
一、学习目标
1.知道一元二次方程根的判别式，能运用根的判别式直接判断一元二次方程的根的情况.
2.会用公式法解一元二次方程.
二、导学指导与检测
三、巩固诊断
一、基础巩固(80分)
1.(10分)一元二次方程a x2+b x+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根，则b2-4ac满足的条件是( )
A. b2-4ac=0
B. b2-4ac＞0
C. b2-4ac＜0
D. b2-4ac≥0
2.(10分)已知一元二次方程：①x2+2x+3=0，②x2-2x-3=0.下列说法正确的是( )
A. ①②都有实数解
B. ①无实数解，②有实数解
C. ①有实数解，②无实数解
D. ①②都无实数解
3.(10分)利用求根公式求5x2+＝6x的根时，a，b，c的值分别是( )
A. 5，，6
B. 5，6，
C. 5，-6，
D. 5，-6，-
4.(20分)不解方程，利用判别式判断下列方程的根的情况：
(1)x2－3x－32=0；(2) 16x2－24x+9=0；(3)x2－42x+9=0；(4)3x2+10=2x2+8x.
5.(30分)用公式法解下列方程：
4x2﹣6x﹣3=0 x2-5x-6＝0
二、综合应用(10分)
6.(10分)解方程x2=3x+2时，有一位同学解答如下：
请你分析以上解答有无错误，如有错误，请指出错误的地方，并写出正确的解题过程.
三、拓展延伸(10分)
7.(10分)无论p取何值，方程(x-3)(x-2)-p2=0总有两个不等的实数根吗？给出你的答案并说明理由.
堂清日清
四、堂清、日清记录
今日之事今日毕日积月累成大器课堂反思：。
认识方程 (2)
× （5） y+24 （ ）
√ （6）6(a+2)=42（ ）
χ+20=50+20
2y&0 页
（2） 正方形周长10米。
看了χ页
还剩110页
χ+110=250
a米
4a =10
3、四川师大附小今年毕业的六年级 学生在鸟语林种了两种树苗共240 棵，种了桂花树b棵，种的柏树棵 数是桂花树的3倍。
380克
y×4=380
看一看、想一想、说一说。
2a+200=2000
想一想、说一说。
讨论要求：
1、把找到的相等关系在小组内说一说； 2、把你认为最好找的相等关系找出并填 在讨论稿上。
下边哪些式子是方程？
× × （1）35+65=100（ ） （2）χ-14＞7 （ ）
√ √ （3）χ-19=10 （ ） （4）5χ+32=47（ ）
（2）方框中5个数之和与该方框 中间的数有什么关系？
中间数×5＝5个数之和
（3）在日历上小明生日那天与相邻的上，下， 左，右5个日期的和是90，小明的生日是几号？ 你能根据相等关系写出一个方程来解答吗？
5a=90
执教：四川师范大学附属实验学校 黄 平
一个铁汉挑扁担，东西放在两边篮， 生来个性最公道，偏心事儿总不干。 （打一仪器）
看一看、想一想、说一说。
图中天平平衡说明: 40＋50 90
看一看、想一想、说一说。
5g
10g
一颗药丸质量 + 5克 10克 χ+5=10
看一看、想一想、说一说。
每块月饼的质量
你能根据以上信息找出相等关系 写出一个方程吗？
3b+b=240
六年级方程(二)
学员姓名：学科教师：年级：辅导科目：授课日期××年××月××日时间A / B / C / D / E / F段主题方程（二）教学内容1．在会解简单的两步方程的基础上，初步学会解三步的方程；2．掌握解三步方程的顺序和方法．（此环节设计时间在20－30分钟）复习回顾上次课的内容：1．下面括号中的x的值，哪个是方程的解？3x＋6＝12 (x＝2，x＝6)3.5－2x＝2.1 (x＝2.8，x＝0.7)0.7(x－2)＝5.6 (x＝8，x＝10)(x＋0.4)÷2.5＝1 (x＝2，x＝2.1)2．解方程，并写出检验过程10－1.4x＝7.2 (x－3)÷1.3＝0.23．化简下列的算式：(1) 4x＋3x＝________ (2) 7a－5a＝________ (3)3(2x－1)________(4) 20t－5t－3t＝________ (5) 20x－(3＋5x)＝________ (6) 2(3x＋4)－5＝________(7) 5＋2(x－2)＝__________ (8) 3(3x＋1)－10＝_________ (9) 30－2(3x－2)＝__________（此环节设计时间在40－50分钟）例题1：解方程（1）（23＋x＋18）÷2＝30；（2）7x＋9－3x＝17.8教法说明：引导学生观察方程与上次课学过的方程有什么区别，对于这样的方程，能计算的先计算出来，如（1）中的23＋18和（2）中的7x－3x。
再想含有未知数的一项是一个什么数，用学过的解方程的知识来求方程的解。
参考答案及解题过程（1）先化简，（41＋x）÷2＝30 （2）先化简，4x＋9＝17.8再求（41＋x），41＋x＝30×2 再求4x，4x＝17.8－941＋x＝60 4x＝8.8最后求x，x＝60－41 最后求x，x＝8.8÷4x＝19 x＝2.2试一试：解方程（1）（26＋x－18）÷3＝10 （2）8x－4x＋1＝25参考答案：（1）x＝22；（2）x＝6例题2：解方程x＋6＝3x教学说明：思考，这个方程与前面所学过的方程有什么不同？（方程的左右两边都有未知数x）；让学生小组内讨论解决并归纳方法。
二次方程通解
二次方程通解二次方程通解一、什么是二次方程？二次方程是一种形如ax²+bx+c=0的代数方程，其中a、b、c是已知实数，x是未知数。
其中a≠0。
例如，2x²-5x+3=0就是一个二次方程。
二、如何求解二次方程？要求解二次方程，我们需要用到“求根公式”或“配方法”。
1. 求根公式对于一般的二次方程ax²+bx+c=0，它的两个根可以通过以下公式计算：x1 = (-b + √(b²-4ac)) / 2ax2 = (-b - √(b²-4ac)) / 2a这个公式叫做“求根公式”，它可以用来计算任何一个二次方程的两个根。
例如，对于2x²-5x+3=0这个二次方程，我们可以先将a、b、c的值代入求根公式中：x1 = (-(-5) + √((-5)²-4×2×3)) / (2×2) ≈ 1.5x2 = (-(-5) - √((-5)²-4×2×3)) / (2×2) ≈ 1所以这个二次方程的两个根分别为1.5和1。
但需要注意的是，如果判别式（即b²-4ac）小于0，那么这个二次方程没有实数根，只有复数根。
2. 配方法如果我们无法使用求根公式求解二次方程，可以考虑使用配方法。
配方法的基本思想是通过变形将二次方程化为一个平方差的形式，从而求出未知数的值。
例如，对于x²+6x+5=0这个二次方程，我们可以将其变形为：(x+1)²-1=0然后再移项得到：(x+1)²=1最后解出未知数x即可得到该二次方程的两个根：x=-2和x=-4。
三、什么是二次方程通解？在学习二次方程时，我们经常会听到“通解”的概念。
那么什么是“二次方程通解”呢？简单来说，二次方程通解就是指一个包含所有特解的公式或表达式。
对于一般的一元n次代数方程（n≥2），它都有一个通解公式。
二次方程的概念
二次方程的概念二次方程是数学中一个重要的概念，它在代数学中有着广泛的应用。
本文将详细介绍二次方程的定义、求解方法以及其在实际问题中的应用。
一、二次方程的定义二次方程是指形如 ax^2 + bx + c = 0 的方程，其中 a、b、c 是实数，且a ≠ 0。
其中，x 是未知数，而 a、b、c 分别为二次项系数、一次项系数和常数项。
二次方程的最高次项是二次项，因此称为二次方程。
二、求解二次方程的方法1.公式法求解二次方程的最常用方法是公式法，即利用求根公式来找到方程的解。
对于一般形式的二次方程 ax^2 + bx + c = 0，其解为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)其中，±表示两个解，分别取加号和减号。
这个公式也被称为二次方程的根的公式，主要依赖于判别式 b^2 - 4ac 的正负。
如果判别式大于0，方程有两个不相等的实数解；如果判别式等于0，方程有两个相等的实数解；如果判别式小于0，方程没有实数解。
2.配方法配方法是另一种求解二次方程的方法，适用于一些特殊的二次方程。
当二次方程的一次项系数 b 为奇数时，可以通过配方法将二次项的系数转化为一个完全平方，进而简化求解过程。
具体步骤如下：（1）将二次方程写成 (x + p)^2 + q = 0 的形式，其中 p 为常数；（2）将等式展开，得到 x^2 + 2px + p^2 + q = 0；（3）比较展开后的二次方程与原始二次方程的系数，解得 p、q 的值；（4）将 x + p 的平方形式化简为 x 的平方，继续求解。
通过配方法，可以使一次项消失，从而转化为可以直接求解的形式。
3.图像法图像法也是求解二次方程的一种方法，通过绘制二次曲线的图像，可以得到方程的解。
二次曲线的图像形状如下：（请自行绘制二次曲线图像）从图像中可以看出，二次方程的解对应于曲线与x 轴的交点。
因此，可以通过观察图像的特征，来估算方程的解的个数和取值范围。
二次方程的求解
二次方程的求解一、二次方程的定义二次方程是形如 ax^2 + bx + c = 0 的方程，其中 a、b、c 是常数，且a ≠ 0。
二、求解方法1.因式分解法对于一般形式的二次方程 ax^2 + bx + c = 0，可以通过因式分解将其转化为 (x + m)(x + n) = 0 的形式，其中 m 和 n 是满足 m + n = -b/a 和 mn = c/a 的两个数。
解得x1 = -m，x2 = -n。
2.公式法（韦达定理）二次方程的解可以通过公式 x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a) 来求得。
其中，x1 和x2 分别为方程的两个解，且满足 x1 + x2 = -b/a，x1 * x2 = c/a。
配方法是将二次方程 ax^2 + bx + c = 0 转化为 (x + p)^2 = q 的形式，其中 p 和 q 是满足 q = b^2 - 4ac/4a 的两个数。
解得 x1 = -p + √q，x2 = -p - √q。
三、特殊类型1.完全平方公式当二次方程的系数 a = 1，且 b^2 - 4ac = 0 时，方程有一个重根，即 x1 = x2 = -b/2a。
二次方程的判别式Δ = b^2 - 4ac，根据判别式的值可以判断方程的根的性质：（1）Δ > 0：方程有两个不相等的实数根；（2）Δ = 0：方程有一个重根，即两个相等的实数根；（3）Δ < 0：方程没有实数根，而是有两个共轭的复数根。
1.几何应用二次方程在几何中广泛应用于求解抛物线、椭圆、双曲线等曲线的交点问题。
2.物理应用在物理学中，二次方程常用于描述抛体运动、振动等现象。
3.实际问题二次方程在实际生活中有广泛的应用，如计算利润、面积、体积等。
五、注意事项1.在求解二次方程时，要注意判断判别式的正负，以确定方程的根的性质。
2.在应用公式法求解时，要确保分母不为零。
3.在因式分解法中，要尽量将方程分解为一次因式的乘积形式。
二次方程求根问题
二次方程求根问题二次方程是指形如ax²+bx+c=0的方程，其中a、b、c为已知常数，x为未知数。
求解二次方程的根是解决数学和应用问题中常见的任务之一。
本文将对二次方程求根的方法和应用进行详细的讨论。
一、解法一：求根公式对于一般的二次方程ax²+bx+c=0，可以使用求根公式来求解。
求根公式如下：x=(-b±√(b²-4ac))/(2a)根据判别式b²-4ac的正负和零的情况，可以得到二次方程的不同解的情况：1. 当b²-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；2. 当b²-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；3. 当b²-4ac<0时，方程没有实数根，但可求得两个共轭复数根。
二、解法二：配方法对于特殊的二次方程，我们可以使用配方法进行求解。
具体步骤如下：1. 将二次方程写成完全平方的形式，即a(x+m)²+n=0，其中m、n 为待定常数；2. 将该形式展开得到ax²+2amx+am²+n=0；3. 通过对比系数，得出am=b和am²+n=c；4. 求解得出m，然后代入am=b求解得出a；5. 得到方程的新形式(x+m)²=n/a；6. 开方，得到方程的解。
三、解法三：图像法利用二次函数的图像特点，可以利用图像法来求解二次方程的根。
具体步骤如下：1. 将二次方程转化为二次函数y=ax²+bx+c的形式，其中y表示纵坐标，x表示横坐标；2. 根据二次函数的相关性质，绘制出对应的抛物线图像；3. 通过图像与x轴的交点，即抛物线与x轴的交点，得到二次方程的根。
四、应用举例：1. 物理问题：根据抛物线的特性，可以利用二次方程求解抛物线的顶点、焦点等问题；2. 经济问题：二次方程可以用来描述成本、收益、利润等与数量关系的问题；3. 工程问题：二次方程可以用来求解工程问题中的最优解、最大值、最小值等问题。
二次方程万能公式
二次方程万能公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：二次方程是一种常见的代数方程，通常形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为常数，且a不等于0。
解二次方程的方法有很多种，其中一种比较常用的方法是使用二次方程的万能公式。
下面我们来看一下二次方程的万能公式是什么，以及如何使用它来解方程。
x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a其中±表示两个解，分别为x1和x2。
b^2 - 4ac称为判别式，根据判别式的正负情况可以确定方程有几个实数解。
如果判别式大于0，方程有两个不相等的实数解；如果判别式等于0，方程有两个相等的实数解；如果判别式小于0，方程没有实数解，但有两个虚数解。
下面我们通过一个具体的例子来演示如何使用二次方程的万能公式来解方程。
假设我们要解方程x^2 + 5x + 6 = 0。
首先确定方程的系数a、b、c，分别为1、5和6。
然后根据万能公式计算出解的值：x = (-5 ± √(5^2 - 4*1*6)) / 2*1x = (-5 ± √(25 - 24)) / 2x = (-5 ± √1) / 2根据公式计算可得：因此方程x^2 + 5x + 6 = 0的实数解为x = -2和x = -3。
二次方程的万能公式是一种简便快捷的方法，可以帮助我们解决各种形式的二次方程。
无论方程的系数是多少，只要使用万能公式，我们就能够快速计算出方程的解。
在实际运用中，也可以结合其他方法来解方程，比如配方法、因式分解等。
二次方程的万能公式是一种非常重要且实用的数学工具，对于解决实际问题和数学推导都有很大的帮助。
希望大家能够掌握好这个公式，并灵活运用到实际的学习和工作中。
第二篇示例：二次方程是一种常见的代数方程，它的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c是已知实数，而x是未知数。
在解二次方程的过程中，有一种被称为二次方程的“万能公式”的方法，可以用来求解任何形式的二次方程。
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追踪练习：
1 解方程： x 3 x 2
1 1 1 1 x 3 x x x 解：方程两边同时减去 x，得 2 2 2 2 1 化简得： x 3 2 1 两边同时乘以2得： 3 2 x， 2 2 化简得： x， 6 既x 6
例1 利用等式的性质解下列方程：
(1) x＋2=5;
与小学所学等式性质 的区别
等式性质的数学表达式：
• 如果a=b，（a、b为代数式）， 则（1）a+c=b+c ；（c为代数式）； （2）ac=bc；（c为任意有理数）；
a b • （3） （c≠0）。 c c
性质理解：
下列用等式性质进行的变形中，那些是正确的，并 说明理由 (1)(2)(3)(4)(5) （1）若x=y，则5+x=5+y （3）若x=y，则5x=5y （2）若x=y，则5-x=5-y （4）若x=y，则
x y （5）若 ， 则bx=by a a
（6）若2x（x-1）=x，则2（x-1）=1
x y 5 5
利用性质来说说刚才求解方程 5 x = 3 x + 4 的 理论依据。
解：方程两边同时减去代数式3x，得 5x - 3x 3x - 3x 4 化简，得2 x 4
两边同时除以2得： 2x 4 , 化简得x 2 2 2
1.通过对等式的基本性质的探讨研究，
我们知道等式的基本性质在小学的基础上 “代数化”了． 2. 利用等式的基本性质可进行一元一次 方程的求解，它使得解方程的每一个环节都 有充分的理论依据． 3.本课学习的完成，使得上课时的实际问 题得以解决. 4. 要养成对所解方程解回顾检验的习惯.
1、习题5. 2、探索等式基本性质1的变化特 点，思考：能否理解为左右移项？
例2 利用等式的性质解下列方程：
（1）-3x=15;
n （2） － 2=10 3
解：（ ）方程两边同时除以 3， 1 3x 15 得 , 化简，得x 5 3 3
• • （2）方程两边同时加上 2，得
n 化简，得 12 3 方程两边同时乘以 3，得
n 36
第五章 一元一次方程
第一节 认识一元一次方程 （第二课时）
知识回顾：
一元一次方程的概念是什么？
在一个方程中，只含有一个未知数，且未 知数的指数都是1，这样的方程叫做一元 一次方程。
教学目标：
• 1、借助直观对象理解等式性质； • 2、掌握利用等式性质解一元一次方程的基本技 能； • 3、进一步体会一元一次方程解的含义和解方程 的基本过程。
动动脑！
你能解方程 5 x = 3 x + 4 吗
阅读132页图，体会其中的本质。
性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个数， 所得结果仍是等式。
等式的基本性质：
等式的性质1：等式两边同时加上（或减去） 同一个代数式，所得结果仍是等式。 等式的性质2：等式两边乘同一个数（或除以 同一个不为0的数），所得结果仍是等式。
n 2 2 10 2 3
联系与提高
• 还记得上一课小华和小彬猜年龄的问题吗？你能利 用性质帮小彬解开年龄之谜了吗？ 解方程 2 x - 5 = 21 解：方程两边同时加5，得 2x-5+5=21+5 得：2x=26 方程两边同时除以2得
•
2 x 26 化简得x=13 2 2
• 达标练习：
• 1、若2x-a=3，则2x=3+ ，这是根据等式的性质，在 • 等式两边同时 加上a必然成立。 • 2、如果代数式8x-9与6-2x的值 • • • 3、小明在解方程2x-3=5x-3时，按照以下步骤： 解：① 方程两边都加上3，得2x=5x; ② 方程两边都除以x，得2=5; 以上解方程在第 步出现错误，原因 ② 是什么？ 4、我是四月出生的，我年龄的1/2加上你的年龄（假设 你的年龄是14），正好是我出生那一个月的总天数，请 大家给出我的年龄？
（2）3=x-5
• 解：（1）方程两边同时减去 2，得 • x+2-2=5-2 • 于是 x = 3 • （2）方程两边同时加上 5，得 • 3+5=x-5+5 • 于是 8 = x • x=8
注意：带入检验了吗？怎么检验？
练习：解下列方程： （1）–y+3=5； （2）6-m=-3
• 解：（1）方程两边同时减去 3，得 • –y+3-3=5-3，即–y= 2， • 两边同时乘以-1得 • （-1）x（-y）=（-1）x2 • 化简得：y= -2 • （2）方程两边同时减去6，得 • 6-m-6=-3-6， 即 -m=-9 • 两边同时乘以-1得 • （-1）x（-m）=（-1）x（-9） • 化简得：m=9