高考数学二轮复习专题6函数与导数第14讲函数的图象和性质教学案理
2014年高考数学总复习教案：第二章 函数与导数第14课时 函数的综合应用
第二章函数与导数第14课时函数的综合应用(对应学生用书(文)、(理)37～39页)考点分析考点新知函数是高考的热点内容，主要是以基本初等函数为载体，考查函数的性质及有关问题，如单调性、奇偶性、值域和最值问题，同时考查函数思想与其他数学知识的综合运用．①能利用函数的各种性质解决如求最值、不等式和方程有关的问题，提高对函数图象的识图、作图和用图的能力.②熟练利用函数的知识方法解决函数的综合问题，注意函数与其他知识的联系，灵活选择适当方法解决问题.1. (必修1P87习题13改编)已知集合A＝{x|33－x<6}，B＝{x|lg(x－1)<1}，则A∩B＝________．答案：(2－log32，11)解析：由33－x<6，知3－x<log36，即x>3－log36，所以A＝(2－log32，＋∞)．由lg(x－1)<1，知0<x－1<10，即1<x<11，所以B＝(1，11)，所以A∩B＝(2－log32，11)．2. 已知a、b为正实数，函数f(x)＝ax3＋bx＋2x在[0，1]上的最大值为4，则f(x)在[－1，0]上的最小值为________．答案：－32解析：因为a、b为正实数，所以函数f(x)是单调递增的．所以f(1)＝a＋b＋2＝4，即a＋b ＝2.所以f(x)在[－1，0]上的最小值为f(－1)＝－(a ＋b)＋12＝－32.3. (原创)若函数f(x)＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1，4)上是减函数，在区间(6，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．答案：[5，7]解析：f′(x)＝x 2－ax ＋(a －1)，由题意，f ′(x)≤0在(1，4)恒成立且f′(x)≥0在(6，＋∞)恒成立，即a ≥x ＋1在(1，4)上恒成立且a ≤x ＋1在(6，＋∞)上恒成立，所以5≤a ≤7.4. (原创)已知函数y ＝f(x)是偶函数，对于x ∈R 都有f(x ＋6)＝f(x)＋f(3)成立．当x 1、x 2∈[0，3]，且x 1≠x 2时，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0，给出下列命题：① f(3)＝0；② 直线x ＝－6是函数y ＝f(x)的图象的一条对称轴； ③ 函数y ＝f(x)在[－9，－6]上为单调增函数； ④ 函数y ＝f(x)在[－9，9]上有4个零点． 其中正确的命题是________．(填序号) 答案：①②④解析：令x ＝－3，得f(－3)＝0，由y ＝f(x)是偶函数，所以f(3)＝f(－3)＝0，①正确；因为f(x ＋6)＝f(x)，所以y ＝f(x)是周期为6的函数，而偶函数图象关于y 轴对称，所以直线x ＝－6是函数y ＝f(x)的图象的一条对称轴，②正确；由题意知，y ＝f(x)在[0，3]上为单调增函数，所以在[－3，0]上为单调减函数，故y ＝f(x)在[－9，－6]上为单调减函数，③错误；由f(3)＝f(－3)＝0，知f(－9)＝f(9)＝0，所以函数y ＝f(x)在[－9，9]上有个零点，④正确．5. (2013·宿迁一模)已知函数f(x)＝||x －1|－1|，若关于x 的方程f(x)＝m(m ∈R )恰有四个互不相等的实根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1x 2x 3x 4的取值范围是________．答案：(－3，0)解析：f(x)＝||x －1|－1|＝⎩⎪⎨⎪⎧|x －1|－1，x ≤0或x ≥2，1－|x －1|，0<x<2，方程f(x)＝m 的解就是y ＝f(x)的图象与直线y ＝m 交点的横坐标，由图可知，x 2＝－x 1，x 3＝2＋x 1，x 4＝2－x 1，且－1<x 1<0.设t ＝x 1x 2x 3x 4＝(x 21－2)2－4，则t ＝(x 21－2)2－4，易得－3<t<0.[备课札记]题型1 已知函数解析式研究函数的性质例1 已知函数f(x)＝lg(1－x)＋lg(1＋x)＋x 4－2x 2. (1) 求函数f(x)的定义域； (2) 判断函数f(x)的奇偶性； (3) 求函数f(x)的值域．解：(1) 由⎩⎪⎨⎪⎧1－x>0，1＋x>0，得－1<x<1，所以函数f(x)的定义域为(－1，1)．(2) 由f(－x)＝lg(1＋x)＋lg(1－x)＋(－x)4－2(－x)2＝lg(1－x)＋lg(1＋x)＋x 4－2x 2＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数．(3) f(x)＝lg(1－x)＋lg(1＋x)＋x 4－2x 2＝lg(1－x 2)＋x 4－2x 2， 设t ＝1－x 2，由x ∈(－1，1)，得t ∈(0，1]． 所以y ＝lg(1－x 2)＋x 4－2x 2＝lgt ＋(t 2－1)，t ∈(0，1]，设0<t 1<t 2≤1，则lgt 1<lgt 2，t 21<t 22， 所以lgt 1＋(t 21－1)<lgt 2＋(t 22－1)， 所以函数y ＝lgt ＋(t 2－1)在t ∈(0，1]上为增函数， 所以函数f(x)的值域为(－∞，0]． 备选变式（教师专享）关于函数f(x)＝lg x 2＋1|x|(x>0，x ∈R )，下列命题正确的是________．(填序号)① 函数y ＝f(x)的图象关于y 轴对称；② 在区间(－∞，0)上，函数y ＝f(x)是减函数； ③ 函数y ＝f(x)的最小值为lg2；④ 在区间(1，＋∞)上，函数y ＝f(x)是增函数． 答案：①③④解析：由f(－x)＝lg （－x ）2＋1|－x|＝lg x 2＋1|x|＝f(x)，知函数f(x)为偶函数，故①正确；由f(－2)＝lg 52＝f ⎝⎛⎭⎫－12，知②错误；由x 2＋1|x|＝|x|＋1|x|≥2，知f(x)＝lg x 2＋1|x|≥lg2，故③正确；因为函数g(x)＝x ＋1x 在(1，＋∞)上为增函数，所以y ＝f(x)在(1，＋∞)上也是增函数，故④正确．综上所述，①③④均正确．题型2 函数图象与函数性质的联系例2 已知函数f(x)＝ax 2－|x|＋2a －1(a 为实常数)． (1) 若a ＝1，作函数f(x)的图象；(2) 设f(x)在区间[1，2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式；(3) 设h(x)＝f （x ）x ，若函数h(x)在区间[1，2]上是增函数，求实数a 的取值范围．解：(1) 当a ＝1时，f(x)＝x 2－|x|＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋1，x<0，x 2－x ＋1，x ≥0.作图如下．(2) 当x ∈[1，2]时，f(x)＝ax 2－x ＋2a －1.若a ＝0，则f(x)＝－x －1在区间[1，2]上是减函数，g(a)＝f(2)＝－3. 若a ≠0，则f(x)＝a ⎝⎛⎭⎫x －12a 2＋2a －14a －1，f(x)图象的对称轴是直线x ＝12a . 当a<0时，f(x)在区间[1，2]上是减函数，g(a)＝f(2)＝6a －3.当0<12a <1，即a>12时，f(x)在区间[1，2]上是增函数，g(a)＝f(1)＝3a －2.当1≤12a ≤2，即14≤a ≤12时，g(a)＝f ⎝⎛⎭⎫12a ＝2a －14a－1. 当12a >2，即0<a<14时，f(x)在区间[1，2]上是减函数，g(a)＝f(2)＝6a －3.综上可得g(a)＝⎩⎪⎨⎪⎧6a －3，a<14，2a －14a －1，14≤a ≤12，3a －2，a>12.(3) 当x ∈[1，2]时，h(x)＝ax ＋2a －1x －1，在区间[1，2]上任取x 1、x 2，且x 1<x 2，则h(x 2)－h(x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 2＋2a －1x 2－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 1＋2a －1x 1－1 ＝(x 2－x 1)⎝ ⎛⎭⎪⎫a －2a －1x 1x 2＝(x 2－x 1)·ax 1x 2－（2a －1）x 1x 2. 因为h(x)在区间[1，2]上是增函数，所以h(x 2)－h(x 1)>0. 因为x 2－x 1>0，x 1x 2>0，所以ax 1x 2－(2a －1)>0， 即ax 1x 2>2a －1.当a ＝0时，上面的不等式变为0>－1，即a ＝0时结论成立． 当a>0时，x 1x 2>2a －1a ，由1<x 1x 2<4，得2a －1a ≤1，解得0＜a ≤1.当a<0时，x 1x 2<2a －1a ，由1<x 1x 2<4，得2a －1a ≥4，解得－12≤a ＜0.所以实数a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－12，1. 备选变式（教师专享）设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ，x ≤0，2，x>0，其中b>0，c ∈R .当且仅当x ＝－2时，函数f(x)取得最小值－2.(1) 求函数f(x)的表达式；(2) 若方程f(x)＝x ＋a(a ∈R )至少有两个不相同的实数根，求a 取值的集合．解：(1) ∵ 当且仅当x ＝－2时，函数f(x)取得最小值－2. ∴ 二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的对称轴是x ＝－b2＝－2.且有f(－2)＝(－2)2－2b ＋c ＝－2，即2b －c ＝6. ∴ b ＝4，c ＝2.∴ f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2，x ≤0，2，x>0.(2) 记方程①：2＝x ＋a(x>0)， 方程②：x 2＋4x ＋2＝x ＋a(x ≤0)． 分别研究方程①和方程②的根的情况： (ⅰ) 方程①有且仅有一个实数根a<2，方程①没有实数根a ≥2.(ⅱ) 方程②有且仅有两个不相同的实数根，即方程x 2＋3x ＋2－a ＝0有两个不相同的非正实数根．∴ ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝9－4（2－a ）>02－a ≥0⎩⎪⎨⎪⎧a>－14a ≤2－14<a ≤2；方程②有且仅有一个实数根，即方程x 2＋3x ＋2－a ＝0有且仅有一个非正实数根． ∴ 2－a<0或Δ＝0，即a>2或a ＝－14.综上可知，当方程f(x)＝x ＋a(a ∈R )有三个不相同的实数根时，－14<a<2；当方程f(x)＝x ＋a(a ∈R )有且仅有两个不相同的实数根时，a ＝－14或a ＝2.∴ 符合题意的实数a 取值的集合为⎣⎡⎦⎤－14，2. 题型3 函数的最值与不等式恒成立问题例3 已知f(x)＝xlnx ，g(x)＝－x 2＋ax －3.(1) 求函数f(x)在[t ，t ＋2](t>0)上的最小值；(2) 对一切x ∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a 的取值范围； (3) 证明对一切x ∈(0，＋∞)，都有lnx>1e x －2ex成立．(1) 解：f′(x)＝lnx ＋1，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1e 时，f ′(x)<0，f(x)单调递减；当x ∈⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞时，f ′(x)>0，f(x)单调递增．① 当0<t<t ＋2<1e 时，t 无解；② 当0<t<1e <t ＋2，即0<t<1e 时，f(x)min ＝f ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1e ； ③ 当1e ≤t<t ＋2，即t ≥1e时，f(x)在[t ，t ＋2]上单调递增，f(x)min ＝f(t)＝tlnt ，所以f(x)min＝⎩⎨⎧－1e ，0<t<1e，tlnt ，t ≥1e.(2) 解：由题意，要使2xlnx ≥－x 2＋ax －3在x ∈(0，＋∞)恒成立，即要使a ≤2lnx ＋x ＋3x恒成立． 设h(x)＝2lnx ＋x ＋3x (x>0)，则h′(x)＝2x ＋1－3x 2＝x 2＋2x －3x 2＝（x ＋3）（x －1）x 2.当x ∈(0，1)时，h ′(x)<0，h(x)单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x)>0，h(x)单调递增． 所以x ＝1时，h(x)取得极小值，也就是最小值， 即[h(x)]min ＝h(1)＝4，所以a ≤4.(3) 证明：问题等价于证明xlnx>x e x －2e ，x ∈(0，＋∞)．由(1)知，f(x)＝xlnx 在(0，＋∞)上最小值是－1e ，当且仅当x ＝1e 时取得．设m(x)＝x e x －2e ，x ∈(0，＋∞)，则m′(x)＝1－xex ，易得[m(x)]max ＝m(1)＝－1e ，当且仅当x ＝1时取得，从而对一切x ∈(0，＋∞)，都有lnx>1e x －2ex成立．变式训练定义在D 上的函数f(x)，如果满足：对任意x ∈D ，存在常数M>0，都有|f(x)|≤M 成立，则称f(x)是D 上的有界函数，其中M 称为函数f(x)的上界．已知函数f(x)＝1＋a·⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫14x . (1) 当a ＝1时，求函数f(x)在(－∞，0)上的值域，并判断函数f(x)在(－∞，0)上是否为有界函数，请说明理由；(2) 若函数f(x)在[0，＋∞)上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围． 解：(1) 当a ＝1时，f(x)＝1＋⎝⎛⎭⎫12x＋⎝⎛⎭⎫14x.因为f(x)在(－∞，0)上递减，所以f(x)>f(0)＝3，即f(x)在(－∞，0)的值域为(3，＋∞)， 故不存在常数M>0，使|f(x)|≤M 成立， 所以函数f(x)在(－∞，0)上不是有界函数． (2) 由题意知，|f(x)|≤3在[0，＋∞)上恒成立．－3≤f(x)≤3，－4－⎝⎛⎭⎫14x≤a ·⎝⎛⎭⎫12x≤2－⎝⎛⎭⎫14x，所以－4·2x －⎝⎛⎭⎫12x≤a ≤2·2x －⎝⎛⎭⎫12x在[0，＋∞)上恒成立．所以⎣⎡⎦⎤－4·2x －⎝⎛⎭⎫12xmax ≤a ≤⎣⎡⎦⎤2·2x －⎝⎛⎭⎫12xmin ， 设2x ＝t ，h(t)＝－4t －1t ，p(t)＝2t －1t ，由x ∈[0，＋∞)得t ≥1，设1≤t 1<t 2，h(t 1)－h(t 2)＝（t 2－t 1）（4t 1t 2－1）t 1t 2>0，p(t 1)－p(t 2)＝（t 1－t 2）（2t 1t 2＋1）t 1t 2<0，所以h(t)在[1，＋∞)上递减，p(t)在[1，＋∞)上递增，h(t)在[1，＋∞)上的最大值为h(1)＝－5，p(t)在[1，＋∞)上的最小值为p(1)＝1，所以实数a 的取值范围为[－5，1]．【示例】 (本题模拟高考评分标准，满分16分)已知函数f(x)＝a x ＋x 2－xlna(a>0，a ≠1)．(1) 当a>1时，求证：函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增； (2) 若函数y ＝|f(x)－t|－1有三个零点，求t 的值；(3) 若存在x 1、x 2∈[－1，1]，使得|f(x 1)－f(x 2)|≥e －1，试求a 的取值范围．审题引导： 本题考查函数与导数的综合性质，函数模型并不复杂，(1)(2)两问是很常规的，考查利用导数证明单调性，考查函数与方程的零点问题．第(3)问要将“若存在x 1、x 2∈[－1，1]，使得|f(x 1)－f(x 2)|≥e －1”转化成|f(x)max －f(x)min |＝f(x)max －f(x)min ≥e －1成立，最后仍然是求值域问题，但在求值域过程中，问题设计比较巧妙，因为在过程中还要构造函数研究单调性来确定导函数的正负．规范解答： (1) 证明：f′(x)＝a x lna ＋2x －lna ＝2x ＋(a x －1)·lna.(2分)由于a>1，故当x ∈(0，＋∞)时，lna>0，a x －1>0，所以f ′(x)>0. 故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．(4分)(2) 解：当a>0，a ≠1时，因为f′(0)＝0，且f′(x)在R 上单调递增，故f′(x)＝0有唯一解x ＝0.(6分)所以x 、f′(x)、f(x)的变化情况如下表所示：x (－∞，0)0 (0，＋∞)f′(x) － 0 ＋ f(x)极小值又函数y ＝|f(x)－t|－1有三个零点，所以方程f(x)＝t ±1有三个根，而t ＋1>t －1，所以t －1＝f(x)min ＝f(0)＝1，解得t ＝2.(10分)(3) 解：因为存在x 1、x 2∈[－1，1]，使得|f(x 1)－f(x 2)|≥e －1，所以当x ∈[－1，1]时，|f(x)max －f(x)min |＝f(x)max －f(x)min ≥e －1.(12分)由(2)知，f(x)在[－1，0]上递减，在[0，1]上递增，所以当x ∈[－1，1]时，f(x)min ＝f(0)＝1，f(x)max ＝max{f(－1)，f(1)}．而f(1)－f(－1)＝(a ＋1－lna)－⎝⎛⎭⎫1a ＋1＋lna ＝a －1a－2lna ， 记g(t)＝t －1t －2lnt(t>0)，因为g′(t)＝1＋1t 2－2t ＝⎝⎛⎭⎫1t －12≥0(当且仅当t ＝1时取等号)，所以g(t)＝t －1t －2lnt 在t ∈(0，＋∞)上单调递增，而g(1)＝0，所以当t>1时，g(t)>0；当0<t<1时，g(t)<0，也就是当a>1时，f(1)>f(－1)；当0<a<1时，f(1)<f(－1)．(14分) ① 当a>1时，由f(1)－f(0)≥e －1a －lna ≥e －1a ≥e ， ② 当0<a<1时，由f(－1)－f(0)≥e －11a＋lna ≥e －10＜a ≤1e，综上知，所求a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤0，1e ∪[e ，＋∞)．(16分)1. (2013·南京期初)已知函数f(x)＝2x 2＋m 的图象与函数g(x)＝ln|x|的图象有四个交点，则实数m 的取值范围是________．答案：⎝⎛⎭⎫－∞，－12－ln2 解析：由于f(x)与g(x)都是偶函数，因此只需考虑当x>0时，函数f(x)与g(x)的图象有两个交点即可．当x>0时，g(x)＝lnx ，令h(x)＝f(x)－g(x)＝2x 2－lnx ＋m ，则h′(x)＝4x －1x ，由h′(x)＝0，得x ＝12.易知当x ＝12时，h(x)有极小值为12＋ln2＋m ，要使函数f(x)与g(x)的图象在(0，＋∞)内有两个交点，则h ⎝⎛⎭⎫12<0，即12＋ln2＋m<0，所以m<－12－ln2.2. (2013·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，设定点A(a ，a)，P 是函数y ＝1x(x>0)图象上一动点．若点P 、A 之间的最短距离为22，则满足条件的实数a 的所有值为________．答案：－1，10解析：设P ⎝⎛⎭⎫x ，1x ，x>0，则 PA 2＝(x －a)2＋⎝⎛⎭⎫1x －a 2＝x 2＋1x 2－2a ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋2a 2 ＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－2a ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋2a 2－2. 令t ＝x ＋1x，则由x>0，得t ≥2， 所以PA 2＝t 2－2at ＋2a 2－2＝(t －a)2＋a 2－2.由PA 取得最小值，得⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，22－4a ＋2a 2－2＝（22）2，或⎩⎪⎨⎪⎧a>2，a 2－2＝（22）2，解得a ＝－1或a ＝10. 3. (2013·四川)设函数f(x)＝e x ＋x －a(a ∈R ，e 为自然对数的底数)．若存在b ∈[0，1]使f(f(b))＝b 成立，则a 的取值范围是________．答案：[1，e]解析：若存在b ∈[0，1]使f(f(b))＝b 成立，则A(b ，f(b))，A′(f(b)，b)都在y ＝f(x)的图象上．又f(x)＝e x ＋x －a 在[0，1]上单调递增，所以(x A ′－x A )(y A ′－y A )≥0，即(f(b)－b)(b －f(b))≥0，所以(f(b)－b)2≤0，所以f(b)＝b ，从而f(x)＝x 在[0，1]上有解， 即e x ＋x －a ＝x 在[0，1]上有解，所以a ＝e x ＋x －x 2，x ∈[0，1]，令φ(x)＝e x ＋x －x 2，x ∈[0，1]，则φ′(x)＝e x －2x ＋1≥0，所以φ(x)在[0，1]上单调递增．又φ(0)＝1，φ(1)＝e ，所以φ(x)∈[1，e]，即a ∈[1，e]．4. (2013·南京期末)已知函数f(x)＝⎩⎨⎧1－（x －1）2，0≤x ＜2，f （x －2），x ≥2.若关于x 的方程f(x)＝kx(k ＞0)有且仅有四个根，其最大根为t ，则函数g(t)＝2524t 2－6t ＋7的值域为________． 答案：⎣⎡⎭⎫－4125，－1 解析：在直角坐标系中分别画出函数f(x)在区间[0，2]，[2，4]，[4，6]上的三个半圆的图象，最大根t 一定在区间(3，4)内，g(t)＝2524t 2－6t ＋7是二次函数，对称轴方程为4＞t ＝7225＞3，g(t)的最小值为g ⎝⎛⎭⎫7225＝－4125，直线y ＝kx(k ＞0)与区间[2，4]上半圆相交，与区间[4，6]上半圆相离，故124<k 2<18，而k 2＝124时，直线与半圆相切，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y ＝1－（x －3）2，得(1＋k 2)x 2－6x ＋8＝0，取k 2＝124，得2524x 2－6x ＋7＝－1，t<x ，所以g(t)＝2524t 2－6t ＋7＜－1.1. 若奇函数f(x)与偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝2x ，则函数g(x)的最小值是________． 答案：1解析：由f(x)＋g(x)＝2x ，得f(－x)＋g(－x)＝2－x ，由f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴ －f(x)＋g(x)＝2－x ，∴ g(x)＝12(2x ＋2－x )， ∴ g(x)≥1.2. 设函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a<0)的定义域为D ，若所有点(s ，f(t))(s 、t ∈D )构成一个正方形区域，则a 的值为________．答案：－4解析：|x 1－x 2|＝f max (x)，b 2－4ac a 2＝4ac －b 24a ，|a|＝2－a ，∴ a ＝－4.3. 对于实数a 和b ，定义运算“”：a b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－ab ，a ≤b ，b 2－ab ，a>b.设f(x)＝(2x －1)(x －1)，且关于x 的方程为f(x)＝m(m ∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1、x 2、x 3的取值范围是________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫1－316，0 解析：由新定义得f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧（2x －1）x ，x ≤0，－（x －1）x ，x>0.作出函数f(x)的图象，由图可知，当0<m<14时，f(x)＝m(m ∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1、x 2、x 3，不妨设x 1<x 2<x 3，易知x 2>0，且x 2＋x 3＝2×12＝1，∴ x 2x 3<14. 令⎩⎪⎨⎪⎧（2x －1）x ＝14，x<0，解得x ＝1－34或x ＝1＋34(舍去)， ∴ 1－34<x 1<0，∴ 1－316<x 1x 2x 3<0. 4. 已知函数f(x)＝lnx －ax 2＋(2－a)x.(1) 讨论f(x)的单调性；(2) 设a>0，证明：当0<x<1a时，f ⎝⎛⎭⎫1a ＋x >f ⎝⎛⎭⎫1a －x ； (3) 若函数y ＝f(x)的图象与x 轴交于A 、B 两点，线段AB 中点的横坐标为x 0，证明：f′(x 0)＜0.(1) 解：f(x)的定义域为(0，＋∞),f ′(x)＝1x －2ax ＋(2－a)＝－（2x ＋1）（ax －1）x. ① 若a ≤0，则f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．② 若a>0，则由f′(x)＝0得x ＝1a ，且当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，f ′(x)>0，当x>1a时，f ′(x)<0.所以f(x)在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上是减函数. (2) 解：设函数g(x)＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＋x －f ⎝⎛⎭⎫1a －x ，则g(x)＝ln(1＋ax)－ln(1－ax)－2ax ，g ′(x)＝a 1＋ax ＋a 1－ax －2a ＝2a 3x 21－a 2x 2. 当0<x<1a时，g ′(x)>0，而g(0)＝0，所以g(x)>0. 故当0<x<1a时，f ⎝⎛⎭⎫1a ＋x >f ⎝⎛⎭⎫1a －x . (3) 证明：由(1)可得，当a ≤0时，函数y ＝f(x)的图象与x 轴至多有一个交点，故a>0，从而f(x)的最大值为f ⎝⎛⎭⎫1a ，且f ⎝⎛⎭⎫1a >0. 不妨设A(x 1，0)，B(x 2，0)，0<x 1<x 2，则0<x 1<1a<x 2. 由(2)得f ⎝⎛⎭⎫2a －x 1＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＋1a －x 1>f(x 1)＝0. 从而x 2>2a －x 1，于是x 0＝x 1＋x 22>1a. 由(1)知，f ′(x 0)<0.1. 恒成立问题的处理方法：第一步，分清参数和自变量；第二步，确定是否要分离；第三步，构造新函数求最值；第四步，解不等式．2. 有双重量词出现的不等式恒成立问题，先把其中一个自变量当成已知的参数，解决一个量词，然后再解决另一个量词．3. 证明与函数有关的不等式主要是利函数的最值和单调性来判断．4. 方程的根的个数问题往往考查函数与方程思想和函数零点问题，需注意等价转化．请使用课时训练(A)第14课时(见活页)．[备课札记]。
高考数学第1部分重点强化专题专题6函数与导数突破点14函数的图象和性质教学案
专题六函数与导数建知识网络明内在联系[高考点拨]函数与导数专题是历年浙江高考的“常青树”，在浙江新高考中常以“两小一大”的形式呈现，其中两小题中的一小题难度偏低，另一小题与一大题常在选择题与解答题的压轴题的位置呈现，命题角度多样，形式多变，能充分体现学以致用的考查目的，深受命题人的喜爱．结合典型考题的研究，本专题将从“函数的图象和性质”“函数与方程”“导数的应用”三大方面着手分析，引领考生高效备考．突破点14 函数的图象和性质(对应学生用书第52页)[核心知识提炼]提炼1函数的奇偶性(1)若函数y＝f(x)为奇(偶)函数，则f(－x)＝－f(x)(f(－x)＝f(x))．(2)奇函数y＝f(x)若在x＝0处有意义，则必有f(0)＝0.(3)判断函数的奇偶性需注意：一是判断定义域是否关于原点对称；二是若所给函数的解析式较为复杂，应先化简；三是判断f(－x)＝－f(x)，还是f(－x)＝f(x)，有时需用其等价形式f(－x)±f(x)＝0来判断．(4)奇函数的图象关于原点成中心对称，偶函数的图象关于y轴对称．(5)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反. 提炼2 函数的周期性(1)若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (x －a )(a ≠0)，则函数y ＝f (x )是以2|a |为周期的周期性函数．(2)若奇函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )(a ≠0)，则函数y ＝f (x )是以4|a |为周期的周期性函数．(3)若偶函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )(a ≠0)，则函数y ＝f (x )是以2|a |为周期的周期性函数．(4)若f (a ＋x )＝－f (x )⎝⎛⎭⎪⎫或f a ＋x ＝1f x (a ≠0)，则函数y ＝f (x )是以2|a |为周期的周期性函数．(5)若y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )对称，则函数y ＝f (x )是以2|b －a |为周期的周期性函数. 提炼3 函数的图象(1)由解析式确定函数图象．此类问题往往需要化简函数解析式，利用函数的性质(单调性、奇偶性、过定点等)判断，常用排除法．(2)已知函数图象确定相关函数的图象．此类问题主要考查函数图象的变换(如平移变换、对称变换等)，要注意函数y ＝f (x )与y ＝f (－x )、y ＝－f (x )、y ＝－f (－x )、y ＝f (|x |)、y ＝|f (x )|等的相互关系．(3)借助动点探究函数图象．解决此类问题可以根据已知条件求出函数解析式后再判断函数的图象；也可采用“以静观动”，即将动点处于某些特殊的位置处考察图象的变化特征，从而作出选择．[高考真题回访]回访1 函数的性质1．(2017·浙江高考)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( )A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关B [法一：设x 1，x 2分别是函数f (x )在[0,1]上的最小值点与最大值点，则m ＝x 21＋ax 1＋b ，M ＝x 22＋ax 2＋b .∴M －m ＝x 22－x 21＋a (x 2－x 1)，显然此值与a 有关，与b 无关．故选B.法二：由题意可知，函数f (x )的二次项系数为固定值，则二次函数图象的形状一定．随着b 的变动，相当于图象上下移动，若b 增大k 个单位，则最大值与最小值分别变为M ＋k ，m ＋k ，而(M ＋k )－(m ＋k )＝M －m ，故与b 无关．随着a 的变动，相当于图象左右移动，则M －m 的值在变化，故与a 有关．故选B.]2．(2015·浙江高考)存在函数f (x )满足：对于任意x ∈R 都有( ) A ．f (sin 2x )＝sin x B ．f (sin 2x )＝x 2＋x C ．f (x 2＋1)＝|x ＋1|D ．f (x 2＋2x )＝|x ＋1|D [取x ＝0，π2，可得f (0)＝0,1，这与函数的定义矛盾，所以选项A 错误；取x ＝0，π，可得f (0)＝0，π2＋π，这与函数的定义矛盾，所以选项B 错误； 取x ＝1，－1，可得f (2)＝2,0，这与函数的定义矛盾，所以选项C 错误；取f (x )＝x ＋1，则对任意x ∈R 都有f (x 2＋2x )＝x 2＋2x ＋1＝|x ＋1|，故选项D 正确． 综上可知，本题选D.]3．(2014·浙江高考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋2，x ≤0，－x 2，x ＞0.若f (f (a ))＝2，则a ＝________.2 [若a ＞0，则f (a )＝－a 2＜0，f (f (a ))＝a 4－2a 2＋2＝2，得a ＝ 2.若a ≤0，则f (a )＝a 2＋2a ＋2＝(a ＋1)2＋1＞0，f (f (a ))＝－(a 2＋2a ＋2)2＝2，此方程无解．]4．(2015·浙江高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x－3，x ≥1，x 2＋，x <1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________．0 22－3 [∵f (－3)＝lg[(－3)2＋1]＝lg 10＝1， ∴f (f (－3))＝f (1)＝1＋2－3＝0. 当x ≥1时，x ＋2x－3≥2x ·2x －3＝22－3，当且仅当x ＝2x，即x ＝2时等号成立，此时f (x )min ＝22－3<0；当x <1时，lg(x 2＋1)≥lg(02＋1)＝0，此时f (x )min ＝0. ∴f (x )的最小值为22－3.] 回访2 函数的图象5．(2017·浙江高考)函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )图141D [观察导函数f ′(x )的图象可知，f ′(x )的函数值从左到右依次为小于0，大于0，小于0，大于0，∴对应函数f (x )的增减性从左到右依次为减、增、减、增． 观察选项可知，排除A 、C.如图所示，f ′(x )有3个零点，从左到右依次设为x 1，x 2，x 3，且x 1，x 3是极小值点，x 2是极大值点，且x 2>0，故选项D 正确．故选D.]6．(2015·浙江高考)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( )D [函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)为奇函数，排除选项A ，B ；当x ＝π时，f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫π－1πcos π＝1π－π<0，排除选项C ，故选D.]7．(2014·浙江高考)在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a(x ≥0)，g (x )＝log a x 的图象可能是( )D[法一：分a>1,0<a<1两种情形讨论．当a>1时，y＝x a与y＝log a x均为增函数，但y＝x a递增较快，排除C；当0<a<1时，y＝x a为增函数，y＝log a x为减函数，排除A，由于y＝x a递增较慢，所以选D.法二：幂函数f(x)＝x a的图象不过(0,1)点，排除A；B项中由对数函数f(x)＝log a x的图象知0<a<1，而此时幂函数f(x)＝x a的图象应是增长越来越慢的变化趋势，故B错，D 对；C项中由对数函数f(x)＝log a x的图象知a>1，而此时幂函数f(x)＝x a的图象应是增长越来越快的变化趋势，故C错．](对应学生用书第54页)热点题型1 函数图象的判断与应用题型分析：函数的图象是近几年高考的热点内容，主要有函数图象的判断和函数图象的应用两种题型.【例1】(1)函数y＝2x2－e|x|在[－2,2]的图象大致为( )(2)已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(2－x)，若函数y＝|x2－2x－3|与y＝f(x)图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1mx i ＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m(1)D (2)B [(1)∵f (x )＝2x 2－e |x |，x ∈[－2,2]是偶函数， 又f (2)＝8－e 2∈(0,1)，故排除A ，B. 设g (x )＝2x 2－e x ，则g ′(x )＝4x －e x. 又g ′(0)＜0，g ′(2)＞0，∴g (x )在(0,2)内至少存在一个极值点，∴f (x )＝2x 2－e |x |在(0,2)内至少存在一个极值点，排除C.故选D. (2)∵f (x )＝f (2－x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又y ＝|x 2－2x －3|＝|(x －1)2－4|的图象关于直线x ＝1对称，∴两函数图象的交点关于直线x ＝1对称．当m 为偶数时，∑i ＝1mx i ＝2×m2＝m ；当m 为奇数时，∑i ＝1mx i ＝2×m －12＋1＝m .故选B.] [方法指津]函数图象的判断方法1．根据函数的定义域判断图象的左右位置，根据函数的值域判断图象的上下位置． 2．根据函数的单调性，判断图象的变化趋势． 3．根据函数的奇偶性，判断图象的对称性． 4．根据函数的周期性，判断图象的循环往复． 5．取特殊值代入，进行检验．[变式训练1] (1)函数f (x )＝|x |＋ax(其中a ∈R )的图象不可能是()图142(2)如图141，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是( )A ．{x |－1＜x ≤0}B ．{x |－1≤x ≤1}C ．{x |－1＜x ≤1}D ．{x |－1＜x ≤2}(1)C (2)C [(1)当a ＝0时，f (x )＝|x |，故A 可能；由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋ax，x >0，－x ＋a x ，x <0，则当x >0时，f ′(x )＝1－a x 2＝x 2－ax2，当x <0时，f ′(x )＝－1－a x 2＝－x 2－ax 2，若a >0，易知当x >0,0<x <a 时，f (x )为减函数，x >a 时，f (x )为增函数，x <0时，f (x )为减函数，故B 可能；若a <0，易知x <0，－－a <x <0时，f (x )为增函数，x <－－a 时，f (x )为减函数，x >0时，f (x )为增函数，故D 可能，故选C.(2)令g (x )＝y ＝log 2(x ＋1)，作出函数g (x )图象如图．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝log 2x ＋，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴结合图象知不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1＜x ≤1}．]热点题型2 函数性质的综合应用题型分析：函数性质的综合应用是高考的热点内容，解决此类问题时，性质的判断是关键，应用是难点.【例2】 (1)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )>f (2x －1)成立的x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13∪(1，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞ (2)设奇函数y ＝f (x )(x ∈R )，满足对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12时，f (x )＝－x 2，则f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32的值等于________. 【导学号：68334135】(1)A (2)－14 [(1)法一：∵f (－x )＝ln(1＋|－x |)－11＋－x 2＝f (x )，∴函数f (x )为偶函数．∵当x ≥0时，f (x )＝ln(1＋x )－11＋x2，在(0，＋∞)上y ＝ln(1＋x )递增，y ＝－11＋x 2也递增，根据单调性的性质知，f (x )在(0，＋∞)上单调递增．综上可知：f (x )>f (2x －1)⇔f (|x |)>f (|2x －1|)⇔|x |>|2x －1|⇔x 2>(2x －1)2⇔3x 2－4x＋1<0⇔13<x <1.故选A.法二：令x ＝0，此时f (x )＝f (0)＝－1<0，f (2x －1) ＝f (－1)＝ln 2－12＝ln 2－ln e>0，∴x ＝0不满足f (x )>f (2x －1)，故C 错误．令x ＝2，此时f (x )＝f (2)＝ln 3－15，f (2x －1)＝f (3)＝ln 4－110.∵f (2)－f (3)＝ln 3－ln 4－110，其中ln 3<ln 4，∴ln 3－ln 4－110<0，∴f (2)－f (3)<0，即f (2)<f (3)，∴x ＝2不满足f (x )>f (2x －1)， 故B ，D 错误．故选A.(2)根据对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )可得f (－t )＝f (1＋t )，即f (t ＋1)＝－f (t )，进而得到f (t ＋2)＝－f (t ＋1)＝－[－f (t )]＝f (t )，得函数y ＝f (x )的一个周期为2，故f (3)＝f (1)＝f (0＋1)＝－f (0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－14.所以f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝－14.[方法指津]函数性质的综合应用类型1．函数单调性与奇偶性的综合．注意奇、偶函数图象的对称性，以及奇、偶函数在关于原点对称的区间上单调性的关系．2．周期性与奇偶性的综合．此类问题多为求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．3．单调性、奇偶性与周期性的综合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．[变式训练2] (1)(2017·浙江五校联考)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且在[0，＋∞)上是增函数，则不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪f x －f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x 2＜f (1)的解集为( )【导学号：68334136】A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e B ．(0，e) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e D ．(e ，＋∞)(2)已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，∀x ∈R ，f (x －1)＝f (x ＋1)成立，当x ∈(0,1)且x 1≠x 2时，有f x 2－f x 1x 2－x 1＜0.给出下列命题：①f (1)＝0；②f (x )在[－2,2]上有5个零点；③点(2 014,0)是函数y ＝f (x )图象的一个对称中心； ④直线x ＝2 014是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴． 则正确命题的序号是________．(1)C (2)①②③ [(1)∵f (x )为R 上的奇函数，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x ＝f (－ln x )＝－f (ln x )，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪fx －f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x 2＝|fx ＋fx2＝|f (ln x )|，即原不等式可化为|f (ln x )|＜f (1)，∴－f (1)＜f (ln x )＜f (1)，即f (－1)＜f (ln x )＜f (1)．又由已知可得f (x )在R 上单调递增，∴－1＜ln x ＜1， 解得1e＜x ＜e ，故选C.(2)令f (x －1)＝f (x ＋1)中x ＝0， 得f (－1)＝f (1)． ∵f (－1)＝－f (1)， ∴2f (1)＝0，∴f (1)＝0，故①正确；由f (x －1)＝f (x ＋1)得f (x )＝f (x ＋2)， ∴f (x )是周期为2的周期函数， ∴f (2)＝f (0)＝0，又当x ∈(0,1)且x 1≠x 2时，有f x 2－f x 1x 2－x 1＜0，∴函数在区间(0,1)上单调递减，可作函数的简图如图：由图知②③正确，④不正确，∴正确命题的序号为①②③.]。
慧德高中高三数学二轮复习教案-函数与导数.
函数与导数--------陈德星 一、考点回顾1.导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的内容。
考查方式以客观题为主，主要考查导数的基本公式和运算法则，以及导数的几何意义。
2.导数的应用是高中数学中的重点内容，导数已由解决问题的工具上升到解决问题必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题是高考热点问题。
选择填空题侧重于利用导数确定函数的单调性、单调区间和最值问题，解答题侧重于导数的综合应用，即与函数、不等式、数列的综合应用。
3.应用导数解决实际问题，关键是建立恰当的数学模型（函数关系），如果函数在给定区间内只有一个极值点，此时函数在这点有极大（小）值，而此时不用和端点值进行比较，也可以得知这就是最大（小）值。
二、经典例题剖析 考点一：求导公式。
例1.（1） 已知函数f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π2sin x ＋cos x ，则f ⎝⎛⎭⎫π4＝________. （2）。
等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)＝A ．26B ．29C ．212D ．215考点二：导数的几何意义。
例2.已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是122y x =+， 则(1)(1)f f '+= 。
考点三：导数的几何意义的应用。
例3.已知曲线C ：x x x y 2323+-=，直线kx y l =:，且直线l 与曲线C 相切于点()00,y x 00≠x ，求直线l 的方程及切点坐标。
例4. (1).已知()1323+-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值范围。
(2).若f (x )＝－12x 2＋b ln (x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围考点五：函数的极值。
例5. 设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值。
2023年河北省高考数学二轮复习专题 专题6 导数解答题30题专项提分计划(含答案)
2023届河北省新高考数学复习 专题6 导数解答题30题专项提分计划1．（2022·河北·模拟预测）已知函数()()2e 2xm f x x m =+∈R ． (1)若存在0x >，使得()0f x <成立，求m 的取值范围；(2)若函数()()2e e x F x xf x =+-有三个不同的零点，求m 的取值范围．2．（2022·河北石家庄·石家庄二中校考模拟预测）已知函数f x x ax bx =-++．(1)当0,1a b ==时，证明：当()1,x ∈+∞时，()ln f x x <；(2)若2b a =，函数()f x 在区间()1,2上存在极大值，求a 的取值范围．3．（2022·河北沧州·统考二模）已知函数(),R f x a x=∈. (1)求()f x 的单调区间；(2)证明：()e xxf x a -+>-.0a 、a<0讨论可得)()11f =得1x ，不等式1x--，利用的单调性可得答案，定义域为()1,f x x '=0a 时，)f x '单调递增；a<0时，)0,a --时，()0,f x 单调递减；)+∞时，f 综上，当0a 时，f 时，()f x 的单调递减区间为）知，当a =-)()11f =，1x +， ln x x a x-=，所以不等式等价于ln x e 1x-+-，则在0x >时恒成立，0时，(g x 1x ，所以1e x x x x ---+故ln e 0x x x -+>，即()e xxf x a -+>-.【点睛】本题关键点是讨论导数的正负判断函数的单调性，以及转化求出函数的最值证明不等式，考查了学生分析问题、解决问题能力.4．（2022·河北邯郸·统考模拟预测）设函数()()3ln 1f x x x =++(1)求曲线()y f x =在()0,0处的切线方程； (2)证明：当n *∈N 且2n 时，()3121ln 1827n n n-+>++⋅⋅⋅+. 20x ，再换元，令）显然，(x ∈-()(00f '-=(3ln x x ++13x 0x 时，0g x，(g x ()()00g x g =，即当0x 时，()32ln 10x x x ++-1x n =，得21ln 10⎛> ⎝ ()31ln 1ln n n -+->由此可得，ln 20-= 1ln 2>-2n ，其中,a b ∈(1)若1a =，曲线()y f x =在2x =处的切线与直线210x y ++=平行，求()f x 的极值； (2)当1,1b a =≤-时，证明：2()e x f x x-≥. 1b ，进而得a +，由于函数1b ，111xx x--=的变化情况如下表，(2)解：当1,1b a =≤-，()ln f x x x a =++， 因为222()e ee ln ln e ex x x x f x x x x x a x a x --≥⇔≥++⇔≥+，所以只需证明2e ln e exx x x a ≥+成立即可.令e ,0x y x x >=，则()'1e 0,0xy x x =+>>，所以，函数e ,0x y x x >=在()0,∞+上单调递增，即e 0x y x =>. 令e ,0xx t t =>，则22e ln e ln e ex x x tx a t a ≥+⇔≥+，令()2ln ,0e t t g t a t -->=，则()2'2211e e et t t t g --==， 所以，当()20,e t ∈时，()'0g t <，()g t 单调递减，当()2e ,t ∈+∞时，()'0g t >，()g t 单调递增，所以，()()22e 1ln e1a a g g t ≥=--=--，因为1a ≤-，所以10a --≥，即()0g t ≥， 所以2ln e tt a ≥+成立， 所以2()e xf x x-≥成立，证毕. 6．（2022·河北保定·统考二模）已知函数()1e ln ln ln xf x x x a a -=--+.(1)若1a =，证明：()1f x ≥.(2)当[)1,x ∞∈+时，()1f x ≥恒成立，求a 的取值范围.7．（2022·河北秦皇岛·统考二模）已知函数()2si cos n 2f x x x a x x =-++． (1)当1a =-时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； (2)若函数()f x 在3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，求a 的取值范围．0,1，cos00=，处的切线的斜率为(0)k f '=0,1处的切线的斜率切线方程为10+=.8．（2022·河北·模拟预测）已知函数()1e xf x a=-+，0a ≠. (1)当1a =时，①求曲线()y f x =在0x =处的切线方程； ②求证：()f x 在(0,)+∞上有唯一极大值点； (2)若()f x 没有零点，求a 的取值范围.0（2）()e e x x ax af x a--=+，令()e x h x a ax =+-，则()e xh x a '=-.①若a<0，则()0h x '>，()h x 在R 上是增函数.因为11e 10a h a a ⎛⎫⎛⎫=-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()1 e > 0h =，所以()h x 恰有一个零点0x . 令0e 0x a +=，得0ln()x a =-.代入0()0h x =，得()ln 0a a a a -+--=， 解得1a =-.所以当1a =-时，()h x 的唯一零点为0，此时()f x 无零点，符合题意. ②若0a >，此时()f x 的定义域为R .当ln x a <时，()0h x '<，()h x 在区间(,ln )a -∞上是减函数； 当ln x a >时，()0h x '>，()h x 在区间(ln ,+)a ∞上是增函数. 所以min ()(ln )2ln h x h a a a a ==-. 又()010h a =+>，由题意，当2ln 0a a a ->，即20e a <<时，()f x 无零点，符合题意. 综上，a 的取值范围是{}()210,e -⋃.【点睛】导数的应用主要有：（1）利用导函数几何意义求切线方程；（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）； （3）利用导数求参数的取值范围.9．（2022·河北沧州·沧县中学校考模拟预测）已知函数()e ln =-xx f x a a．(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；(2)若对任意的,()0x ∈+∞，总有()0f x ≥成立，试求正数a 的最小值．10．（2022·河北·模拟预测）已知函数()e x f x ax =-，R a ∈． (1)求()f x 的极值；(2)令()()sin 1F x f x ax x bx =++--，当12b <时，讨论()F x 零点的个数．【答案】(1)当0a ≤时，()f x 无极值；当0a >时，()f x 有极小值()1ln a a -，无极大值 (2)2个零点【分析】(1)根据题意，求出函数的导函数，对导函数的正负进行分类讨论即可求解； (2)先对函数()F x 求导，令()()g x F x '=，对x 的取值范围分类讨论，利用导数的正负求出()F x 的单调性，由零点存在性定力判断零点个数即可.【详解】（1）()f x 的定义域为R ，且()e x f x a '=-．①当0a ≤时，()0f x '≥恒成立，()f x 在R 上单调递增，无极值， ②当0a >时，令0fx，得ln x a >；令()0f x '<，得ln x a <，所以()f x 在(),ln a ∞-上单调递减；在()ln ,a ∞+上单调递增；()f x 在ln x a =处取极小值()()ln 1ln f a a a =-，无极大值．综上所知，当0a ≤时，()f x 无极值；当0a >时，()f x 有极小值()1ln a a -，无极大值．（2）因为()()e sin 1xF x x bx x R =+--∈，所以()e cos x F x x b =+-'， 令()()e cos x g x F x x b '==+-，则()e sin xg x x '=-．①当x π≤-时，由12b ≤<，得bx b ππ-≥≥，所以()e sin 1110xF x x ππ≥++->-->故()F x 在(],∞π--上无零点．②当[)0,x ∈+∞时，()e sin 1sin 0xg x x x ≥-'=-≥，()F x '在[)0,∞+上单调递增；()()020F x F b ≥=-'>'，()F x 在[)0,∞+上单调递增，()()00F x F ≥=，()F x ∴在[)0,∞+上有唯一零点0x =，③当(),0x π∈-时，()sin 0,e sin 0xx g x x <=->'，()F x '∴在(),0π-上单调递增，()()020,e 10F b F b ππ-=->-=--'<'，∴存在(),0t π∈-，使()0F t '=，当(),x t π∈-时，()F x 单调递减； 当(),0x t ∈时，()F x 单调递增；又()()()e 10,00F b F t F πππ--=+-><=；()F x ∴在(),t π-上有唯一零点，在(),0t 上无零点，即()F x 在(),0π-上有1个零点． 综上，当12b ≤<时，函数()F x 有2个零点．11．（2022·河北衡水·衡水市第二中学校考一模）已知函数()()[]πsin ,0,πf x x x x =-∈ (1)求()f x 在()0,0处的切线方程；(2)若()f x a =在定义域上有两解12,x x ，求证： ①2a <；②12ππa x x a -≤--.12．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）已知函数1ef x ax=+．f x+>；(1)当1a=时，求证：()10f x≤恒成立，求a的取值范围．(2)当a<0时，不等式()1【答案】(1)证明见解析(2){}1-0fx，∴f )211e 2=->-，即）由已知得()(1f x a '=++0f x，解得1,1a ⎫-∞--⎪⎭上单调递增，(1e a -⎛⎫=-13．（2022·河北邯郸·统考二模）已知函数()ln ex x f x a x =-，0a ≠．(1)若1ea =，分析f （x ）的单调性；(2)若f（x）在区间（1，e）上有零点，求实数a的取值范围．14．（2022·河北唐山·统考三模）已知函数2()ln f x ax x x =--． (1)当1a =时，求()f x 的单调区间；(2)若函数()f x 在定义域内有两个不相等的零点12,x x ． ①求实数a 的取值范围；②证明：()()12122ln +>-+f x x x x ．15．（2022·河北·统考模拟预测）已知()(2)e f x x ax =--为R 上的增函数.(1)求a ；(2)证明：若122x x +>，则()()121f x f x +>-.16．（2022·河北唐山·统考二模）已知函数()3f x x =+，()sin g x b x =，曲线()y f x =和()y g x =在原点处有相同的切线l ．(1)求b 的值以及l 的方程；(2)判断函数()()()h x f x g x =-在()0,∞+上零点的个数，并说明理由．【点睛】本题考查导数几何意义、函数的零点、用导数研究函数的单调性以及零点存在性定理，知识考查较为综合，对学生是一个挑战，属于难题.17．（2022·河北·校联考模拟预测）已知函数()()1eln f x ax =-，()()0ag x a x=>． (1)求函数()()()F x f x g x =-在()0,∞+上的极值；(2)当1a =时，若直线l 既是曲线()y f x =又是曲线()y g x =的切线，试判断l 的条数． )()0,+∞的根的个数，令的根的个数.)1eln x =-变化时，(F x 所以当e a x =时，()F x 取得极大值，12e ln e F a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，无极小值. （2）()1eln f x x =-，()e f x x '=-，()1g x x =，()21g x x '=-所以曲线()y f x =在点(),1eln t t -处的切线方程为，即()()e1eln y t x t t--=--，即eeln e 1y x t t=--++.同理可得曲线在点1,b b ⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为()211y x b b b -=--，即212y x b b =-+.若曲线()y f x =与曲线()y g x =有公切线，则()2e 1,(i)2e ln e 1,ii t b t b ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-++=⎪⎩，由（i ）得2e t b =，代入（ii ）得22eln 10b b+-=，所以问题转化为判断关于b 的方程22eln 10b b+-=在()(),00,∞-+∞的根的个数.因0b ≠，当0b >时，令()()22eln 10h x x x x =+->，即()222e 22e 2x h x x x x -'=-=， 令()0h x '=，得1e x =.所以当10,e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时，()0h x '<，()h x 单调递减；当1,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0h x '>，()h x 单调递增；所以()max 110e h x h ⎛⎫==-< ⎪⎝⎭.因为()()2214e 2e 12e e 210,110e h h ⎛⎫=-+-=-->=> ⎪⎝⎭，所以()21110,10e e e h h h h ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅<⋅< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以函数()()22eln 10h x x x x =+->在()0,∞+上有两个零点，即22eln 10b b+-=在()0,∞+上有两个不相等的正实数根； 当0b <时，令()()22eln 1k x x x =-+-，则()22e 2k x x x'=-，显然(),0x ∈-∞时，()0k x '<，则()k x 在(),0∞-上单调递减， 因为()()2e 2e 10,130ek k -=-->-=-<，所以()()22eln 1k x x x =-+-在(),0∞-上有唯一一个零点，即方程()22eln 10b b-+-=在(),0∞-上有唯一一个负实数根.所以曲线()y f x =与曲线()y g x =的公切线l 有3条.【点睛】本题考查利用导数研究含参数的极值，导数的几何意义，利用导数研究函数的零点个数等，考查运算求解能力，分类讨论思想，是难题.本题第二问解题的关键在于分别求出曲线()(),f x g x 在某点处的切线方程，进而根据公切线将问题转化为求解函数2()2eln 1(0)h x x x x=+->的零点个数，再利用导数研究函数的零点即可.18．（2022·河北沧州·统考模拟预测）已知函数()1ln 1xf x x x-=+. (1)求()f x 的单调区间；(2)当()()()1212f x f x x x =≠时，证明：122x x +>.0fx；当x ∈f x 的单调递增区间为，单调递减区间为（2）由（1）知：若)x ≠，则0x <要证x x +101x <<又()f x 在()1f x =19．（2022·河北衡水·河北衡水中学校考一模）已知函数． (1)证明：当()0,x π∈时，()0f x >；(2)记函数()()g x f x x =-，判断()g x 在区间()2,2ππ-上零点的个数． ，f x 在(1-，()sin g π=①当x ⎛∈ ⎝()h x ∴在上单调递减，00h xh ，又cos x -即()g x 在sin cos x x x +，()2cos g x '''=上单调递减，又102g π⎛⎫''=> ⎪⎝⎭，(g π''()0g x '>()'∴g x 在当2x π⎛∈ ⎝()g x ∴在()1g x g >③当(x ∈()g x ∴<综上所述：()g x -=()g x ∴在()g x ∴在【点睛】思路点睛；导函数的形式，区间内的单调性，结合零点存在定理确定零点个数.20．（2022·河北邯郸·统考一模）已知函数()()22e 1ln 22x f x a x a x =+--+.(1)讨论()f x 的单调性； (2)若()0f x ≥，求a 的取值范围.21．（2022·河北石家庄·统考模拟预测）已知函数()()()()2e 1x f x x a x a =-+-∈R ． (1)若12a =-，求()f x 的极值；(2)当a<0时，证明：()f x 不存在两个零点．0fx，(f x 0<，()f x 在时取极大值()0f =-0fx，(f x 0，结合上述单调性可知，0fx，(f x()f x 的极大值为()()()()()(){}22ln 2ln 222ln 21ln 2210f a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤-=--⋅-+--=--⎡⎤⎣⎦⎣⎦+⎦<⎣， 结合上述单调性可知，()f x 不存在两个零点． 所以当a<0时，()f x 不存在两个零点．22．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考模拟预测）已知函数()ln ,11ln ,01xx x af x x x x a⎧-≥⎪⎪=⎨⎪+<<⎪⎩，其中1a >(1)求()f x 的单调区间(2)求方程()()1e ln xf f x a -=+的零点个数.0f x,[)1,+∞0,()0,1是单调23．（2022·河北石家庄·石家庄二中校考模拟预测）已知函数()()3e 3xf x x a x x =--，0a >.(1)讨论函数()f x 极值点的个数；(2)设0m >，若1a =且()))e 2ln 1xf m fx x ≥--对任意的()0,x ∈+∞恒成立，求m 的取值范围.0fx ；f x 在上单调递增，f x 有且仅有一个极值点②当(ln3g (11,ln3x ∴∃∈)()12,x x 时，)()2,x +∞时，0fx；f x 在)1，(1,x x ()2,x +∞上单调递增， f x 有、1x x =和综上所述：当2e 3a <≤时，有且仅有一个极值点；当2e 3a >(2)ln ex =令12t x =-令()2h t =∴当ln t ⎡∈⎢()()()()3e ln3,ln 203ex x a x f x a g x f x a x +=+-=++≠+.(1)当1a =时，求()g x 的单调性； (2)若()f x 恒大于0，求a 的取值范围.25．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）已知函数()()ln 0f x a x x x x=++>. (1)若()f x 有唯一零点，设满足条件的a 值为1a 与2a ()12a a ≠证明：①1a 与2a ()12a a ≠互为相反数；②15843a >>； (2)设()()g x xf x =.若()g x 存在两个不同的极值点1x 、2x ，证明12x x a +>-. 参考数据：ln20.7≈，ln3 1.1≈ 0fx，上为增函数，)()1,+∞有且只有两个零点，且它们互为倒数，0001x x x ++)()1,+∞有且只有两个零点26．（2022·河北秦皇岛·统考三模）已知定义在[)0,∞+上的函数()e sin ,e 6xf x m x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭为自然对数的底数．(1)当1m =时，证明：()32f x ≥； (2)若()f x 在20,3π⎛⎫⎪⎝⎭上存在极值，求实数m 的取值范围；(3)在（1）的条件下，若()2cos 16f x x tx π⎛⎫+--≥ ⎪⎝⎭'恒成立，求实数t 的取值范围．27．（2022·河北张家口·统考三模）已知函数()()()2ln 222g x a x a x x a =--+∈R 在1x =处取得极值.(1)求a 的值及函数()g x 的极值；(2)设()()f x g x t =-有三个不同的零点1x ，2x ，3x ()123x x x <<，证明：314x x <+.由()1知()()()3226g x g x g x =<-，且()g x 在()3,+∞上单调递增， ∴236x x ->②，∴结合①②得1362x x +>+，所以314x x <+.【点睛】该试题主要考查函数的导数与单调性､函数的导数与不等式等，主要考查了学生的运算思想､转化思想､构造思想和抽象推理，其中构造出()()()2H x g x g x =--()0,1x ∈和函数()()()6h x g x g x =--()1,3x ∈是解题的关键，属于难题. 28．（2022·河北·统考模拟预测）已知函数(1)ln (),()|ln |1x xf xg x x x -==+.(1)若()()(1,1)f m g n m n =>>，证明：m n >；(2)设函数()(1)ln (1)F x x x a x =--+，若()0F x =有两个不同的实数根12,x x ，且12x x <，证明：221e ax x >⋅.又2222(1)ln ()ln e ln e =(e )1a a a x x f x a g x -====+，即22()=(e )(1,e 1)a a f x g x >>，由(1)可得2e a x >⋅⋅⋅①，又由1()f x a =得1111111111(1)ln (1)ln 1()()ln e ln e =(e )111a a a x x x x f f x a g x x x --======++，即1111()=(e )(1,e 1)a a f g x x >>，由(1)可得11e a x >⋅⋅⋅②，①②相乘可得221e a x x >，即221e a x x >⋅. 【点睛】函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 29．（2022·河北衡水·统考二模）已知函数()()f x a x=∈R . (1)当1a =时，求函数()f x 的极值；(2)若曲线()y f x x =-有1x ，()212x x x <两个零点. （i ）求a 的取值范围；（ii ）证明：存在一组m ，n （0n m >>），使得()f x 的定义域和值域均为[],m n . 【答案】(1)极大值为1，无极小值 (2)（i ）ln 2122a >+；（ii ）证明见解析【分析】（1）求出导函数，求出的根，列表确定的正负，()f x 的单调性与极值；（2）（i ）转化为2ln 0x x a -+=有两解，设()2ln g x x x a =-+，利用导数确定()g x 的单调性与极值，最大值大于0，确定有小于0的函数值（需引入新函数，再利用导数确定单调性得f x 的极大值为11f =，无极小值；(2)（i ）解：由题意可知，ln 0x ax x+-=有两解，即2ln 0x x a -+=有两解，设()2ln g x x x a =-+，则，令，解得x =（，列表可知，()max ln 2122g x g a ==--+⎝⎭， 因为()g x 有两个零点，所以()max 0g x >，解得ln 2122a >+， 当0e a x -<<时，有ln 0x a +<，可得()ln 0g x x a <+<，令()21ln 2x x x ϕ=-，有，01x <<时，()0x ϕ'>．1x >时，()0x ϕ'<，可得函数()x ϕ的减区间为()1,+∞，增区间为()0,1，有()()1102x ϕϕ=-<≤，可得21ln 02x x -<，当x >时，()2221111ln 202222g x x x a x a x a a ⎛⎫⎛⎫=-+-<-<-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以存在1x <，2x >，使得()()120g x g x ==，所以ln 2122a >+； （ii ）证明：因为()21ln a xf x x--'=，令，解得1e a x -=， 列表可知，()f x 在()10,e a -上单调递增，在()1e ,a -+∞上单调递减，①若1e a m n -<≤，则()f x 在[,]m n 上单调递增，因此()f m m =，()f n n =，由上可知取1mx ，2n x =，此时()()1222e 1e 0a a g g x --=-≤=，ln 21122a +<≤，所以当ln 21122a +<≤时，存在一组m ，n 符合题意；②若1e a m n -≤<，则()f x 在[],m n 上单调递减，所以()ln m af m n m+==，()ln n af n m n+==， 所以ln ln m a n a mn +=+=，即m n =，不符题意；③若1e a m n -<<， ()f x 在)1,e a m -⎡⎣上单调递增，在()1e ,a -+∞上单调递减， 所以()()11max 1e eaaf x f n --===，由111e ea a-->得1a >，又因为()()11e 21e a af n a m --=->>，所以()()min f x f m m ==，即1mx ，11ean -=，所以当1a >时，存在一组m ，n 符合题意；综上，存在一组m ，n 符合题意.【点睛】本题考查用导数求函数的极值，研究方程的根与函数零点分布，研究函数的值域．难点有两个：第一个是由零点个数确定参数范围时，零点的存在性一般与零点存在定理结合，因此需要在某个区间的两个端点处函数值符号相反才能得出，本题中需要引入新函数，由函数的性质得出，第二个是确定函数值域问题，需对参数进行分类，一定要注意分类标准的确定，需要有统一标准，本题是按区间[,]m n 与函数的最大值点的关系分类，然后求出对应参数a 的取值范围，它们正好相适应，从而得出结论．本题对学生的逻辑能力，运算求解能力，分析问题解决问题的能力要求较高，属于困难题．30．（2022·河北·石家庄二中校联考模拟预测）已知函数()()e ln 0mx f x x x x m =+-≥.(1)当m ＝1时，求f （x ）在[1，e]上的值域；(2)设函数f （x ）的导函数为()'f x ，讨论()'f x 零点的个数.所以()'e ln e ln 0mx x f x m x x =-≥->，()'f x 没有零点.当01m <<时：令()()()'e ln 0mxg x f x m x x ==->，()()'23211e ,e 0mx mx g x m g x m x x'=-=+>'，所以()'g x 在()0,∞+上递增，由2e mx y m =与1y x=的图象可知，在区间()0,∞+上，存在唯一0x ，使0201e mx m x =①， 即()0'2001e 0mx g x m x =-=.所以()g x 在区间()()()'00,,0,x g x g x <递减；在区间()()()'0,,0,x g x g x +∞>递增， 所以当0x x =时，()f x 取得极小值也即是最小值()000e ln mxg x m x =-，由①得0201emx m x =，所以()0001ln g x x mx =-；。
(全国通用版)2019高考数学二轮复习 专题六 函数与导数 第1讲 函数的图象与性质学案 理
第1讲 函数的图象与性质[考情考向分析] 1.高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度中等偏下.2.对图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题.3.对函数性质的考查，主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合在一起考查，既有具体函数也有抽象函数．常以选择题、填空题的形式出现，且常与新定义问题相结合，难度较大．热点一 函数的性质及应用1．单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则． 2．奇偶性(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．(2)在公共定义域内：①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数； ②两个偶函数的和函数、积函数都是偶函数； ③一个奇函数、一个偶函数的积函数是奇函数． (3)若f (x )是奇函数且在x ＝0处有定义，则f (0)＝0. (4)若f (x )是偶函数，则f (x )＝f (－x )＝f (|x |)．(5)图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称． 3．周期性定义：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数在其定义域上满足f (a ＋x )＝f (x )(a ≠0)，则其一个周期T ＝|a |.常见结论：(1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则函数f (x )的最小正周期为2|a |，a ≠0. (2)若f (x ＋a )＝1f (x )，则函数f (x )的最小正周期为2|a |，a ≠0. (3)若f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称．例1 (1)(2018·贵州省黔东南州模拟)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－πx ＋(x ＋e )2x 2＋e 2的最大值为M ，最小值为N ，则(M ＋N －1)2 018的值为( ) A ．1 B ．2 C ．22 018D ．32 018答案 A解析 由已知x ∈R ，f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－πx ＋(x ＋e )2x 2＋e 2＝sin πx ＋x 2＋e 2＋2e x x 2＋e 2＝sin πx ＋2e x x 2＋e 2＋1，令g (x )＝sin πx ＋2e xx 2＋e 2，易知g (x )为奇函数，由于奇函数在对称区间上的最大值与最小值的和为0，M ＋N ＝f (x )max ＋f (x )min ＝g (x )max ＋1＋g (x )min ＋1＝2，(M ＋N －1)2 018＝1，故选A.(2)(2018·上饶模拟)已知定义在R 上的函数f (x )满足：函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称，且x ≥0时恒有f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝e x－1，则f (－2 017)＋f (2 018)＝________. 答案 1－e解析 因为函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称，所以y ＝f (x )的图象关于原点对称， 又定义域为R ，所以函数y ＝f (x )是奇函数，因为x ≥0时恒有f (x ＋2)＝f (x )， 所以f (－2 017)＋f (2 018)＝－f (2 017)＋f (0) ＝－f (1)＋f (0)＝－(e 1－1)＋(e 0－1)＝1－e.思维升华 (1)可以根据函数的奇偶性和周期性，将所求函数值转化为给出解析式的范围内的函数值．(2)利用函数的单调性解不等式的关键是化成f (x 1)<f (x 2)的形式．跟踪演练 1 (1)定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，且当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋1，0≤x <1，2－2x，x ≥1，若对任意的x ∈[m ，m ＋1]，不等式f (1－x )≤f (x ＋m )恒成立，则实数m 的最大值为( ) A ．－1 B ．－12C ．－13D.13答案 C解析 函数f (x )为偶函数，且当x ≥0时，函数为减函数，当x <0时，函数为增函数．若对任意的x ∈[m ，m ＋1]，不等式f (1－x )≤f (x ＋m )恒成立，则|1－x |≥|x ＋m |，即(1－x )2≥(x ＋m )2，所以2(1＋m )x ≤(1＋m )(1－m )．当m ＋1>0时，x ≤1－m 2，所以m ＋1≤1－m 2，解得m ≤－13，所以－1<m ≤－13；当m ＋1＝0时，不等式成立；当m ＋1<0时，x ≥1－m 2，所以m ≥1－m2，m ≥13，与m <－1矛盾，此时无解．故－1≤m ≤－13，m 的最大值为－13.(2)(2018·全国Ⅱ)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)等于( )A ．－50B ．0C ．2D ．50 答案 C解析 ∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (1－x )＝－f (x －1)．∵f (1－x )＝f (1＋x )， ∴－f (x －1)＝f (x ＋1)，∴f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )， ∴函数f (x )是周期为4的周期函数． 由f (x )为奇函数且定义域为R 得f (0)＝0， 又∵f (1－x )＝f (1＋x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称， ∴f (2)＝f (0)＝0，∴f (－2)＝0. 又f (1)＝2，∴f (－1)＝－2，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝f (1)＋f (2)＋f (－1)＋f (0)＝2＋0－2＋0＝0， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (49)＋f (50) ＝0×12＋f (49)＋f (50)＝f (1)＋f (2)＝2＋0＝2. 故选C.热点二 函数图象及应用1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．2．利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点．例2 (1)(2018·全国Ⅱ)函数f (x )＝e x －e－xx2的图象大致为( )答案 B解析 ∵y ＝e x －e －x 是奇函数，y ＝x 2是偶函数， ∴f (x )＝e x－e －xx2是奇函数，图象关于原点对称，排除A. 当x ＝1时，f (1)＝e －e －11＝e －1e >0，排除D.又e>2，∴1e <12，∴e－1e >32，排除C.故选B.(2)(2018·河南省中原名校模拟)函数f (x )＝e x＋a e －x与g (x )＝x 2＋ax 在同一坐标系内的图象不可能是( )答案 C解析 因为g (x )＝x 2＋ax 的图象过原点，所以图象中过原点的抛物线是函数g (x )的图象，在选项C 中，上面的图象是函数f (x )的图象，下面的是函数g (x )的图象，所以－a2>0，所以a <0，因为f ′(x )＝e x －a e －x ，所以f ′(x )>0在R 上恒成立，所以函数f (x )在定义域内单调递增，不是选项C 中的图象，故选C.思维升华 (1)根据函数的解析式判断函数的图象，要从定义域、值域、单调性、奇偶性等方面入手，结合给出的函数图象进行全面分析，有时也可结合特殊的函数值进行辅助推断，这是判断函数图象问题的基本方法．(2)判断复杂函数的图象，常借助导数这一工具，先对原函数进行求导，再利用导数判断函数的单调性、极值或最值，从而对选项进行筛选．要注意函数求导之后，导函数发生了变化，故导函数和原函数定义域会有所不同，我们必须在原函数的定义域内研究函数的极值和最值．跟踪演练 2 (1)(2018·河北省衡水中学调研)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ln x －1x ＋1的图象大致为( )答案 B解析 由于x ≠0，故排除A.f (－x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ln－x －1－x ＋1＝－f (x )，又函数f (x )的定义域为(1，＋∞)∪(－∞，－1)， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称，排除C.f (2)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ln 13＝－sin(ln 3)<0， 排除D ，故选B.(2)(2018·东北三省三校模拟)函数f (x )＝|x |＋a x(a ∈R )的图象不可能是( )答案 C解析 对于A ，当a ＝0时，f (x )＝|x |，且x ≠0，故可能；对于B ，当x >0且a >0时，f (x )＝x ＋a x≥2a ，当且仅当x ＝a 时等号成立，当x <0且a >0时，f (x )＝－x ＋ax在(－∞，0)上为减函数，故可能；对于D ，当x <0且a <0时，f (x )＝－x ＋ax≥2－x ·a x＝2－a ，当且仅当x ＝－－a 时等号成立，当x >0且a <0时，f (x )＝x ＋a x在(0，＋∞)上为增函数，故可能，且C 不可能．故选C. 热点三 基本初等函数的图象和性质1．指数函数y ＝a x(a >0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)的图象和性质，分0<a <1，a >1两种情况，着重关注两函数图象中的公共性质．2．幂函数y ＝x α的图象和性质，主要掌握α＝1,2,3，12，－1五种情况．例3 (1)(2017·全国Ⅰ)设x ，y ，z 为正数，且2x＝3y＝5z，则( ) A ．2x <3y <5z B ．5z <2x <3y C ．3y <5z <2x D ．3y <2x <5z答案 D解析 令t ＝2x＝3y＝5z， ∵x ，y ，z 为正数，∴t >1.则x ＝log 2t ＝lg t lg 2，同理，y ＝lg t lg 3，z ＝lg tlg 5.∴2x －3y ＝2lg t lg 2－3lg t lg 3＝lg t (2lg 3－3lg 2)lg 2×lg 3＝lg t (lg 9－lg 8)lg 2×lg 3>0，∴2x >3y .又∵2x －5z ＝2lg t lg 2－5lg t lg 5＝lg t (2lg 5－5lg 2)lg 2×lg 5＝lg t (lg 25－lg 32)lg 2×lg 5<0，∴2x <5z ，∴3y <2x <5z .故选D.(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x <0，(a －3)x ＋4a ，x ≥0满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，则a的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14 B ．(1,2]C ．(1,3) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 答案 A 解析 由f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0，得f (x )是减函数，即⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a －3<0，4a ≤1，得a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14，故选A.思维升华 (1)指数函数、对数函数、幂函数是高考的必考内容之一，重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及运算能力． (2)比较代数式大小问题，往往利用函数图象或者函数的单调性．跟踪演练3 (1)(2018·天津)已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．c >b >a D ．c >a >b答案 D 解析 c ＝121log 3＝log 23>log 2e ＝a ，即c >a . 又b ＝ln 2＝1log 2e <1<log 2e ＝a ，即a >b .所以c >a >b .故选D.(2)对任意实数a ，b 定义运算“Δ”：a Δb ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤2，b ，a －b >2，设f (x )＝3x ＋1Δ(1－x )，若函数f (x )与函数g (x )＝x 2－6x 在区间(m ，m ＋1)上均为减函数，则实数m 的取值范围是( ) A ．[－1,2] B ．(0,3] C ．[0,2] D ．[1,3]答案 C解析 由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x >0，3x ＋1，x ≤0，∴函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减，函数g (x )＝(x －3)2－9在(－∞，3]上单调递减，若函数f (x )与g (x )在区间(m ，m ＋1)上均为减函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ＋1≤3，得0≤m ≤2，故选C.真题体验1．(2018·全国Ⅲ改编)函数y ＝－x 4＋x 2＋2的图象大致为________．(填序号)答案 ④解析 方法一 f ′(x )＝－4x 3＋2x ，则f ′(x )>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22，此时f (x )单调递增；f ′(x )<0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞，此时f (x )单调递减． 方法二 当x ＝1时，y ＝2，所以排除①②.当x ＝0时，y ＝2，而当x ＝12时，y ＝－116＋14＋2＝2316>2， 所以排除③.2．(2017·天津改编)已知奇函数f (x )在R 上是增函数，g (x )＝xf (x )．若a ＝g (－log 25.1)，b ＝g (20.8)，c ＝g (3)，则a ，b ，c 的大小关系为________．答案 b <a <c解析 依题意a ＝g (－log 25.1) ＝(－log 25.1)·f (－log 25.1)＝log 25.1f (log 25.1)＝g (log 25.1)． 因为f (x )在R 上是增函数，可设0<x 1<x 2， 则0<f (x 1)<f (x 2)．从而x 1f (x 1)<x 2f (x 2)，即g (x 1)<g (x 2)． 所以g (x )在(0，＋∞)上亦为增函数． 又log 25.1>0,20.8>0,3>0， 且log 25.1<log 28＝3,20.8<21<3， 而20.8<21＝log 24<log 25.1， 所以3>log 25.1>20.8>0，所以c >a >b .3．(2017·山东改编)设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0<x <1，2(x －1)，x ≥1，若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝________.答案 6解析 若0<a <1，由f (a )＝f (a ＋1)， 得a ＝2(a ＋1－1)， ∴a ＝14，∴f⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝f (4)＝2×(4－1)＝6.若a ≥1，由f (a )＝f (a ＋1)， 得2(a －1)＝2(a ＋1－1)，无解．综上，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝6. 4．(2017·全国Ⅱ)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，则f (2)＝________. 答案 12解析 方法一 令x >0，则－x <0. ∴f (－x )＝－2x 3＋x 2.∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )． ∴f (x )＝2x 3－x 2(x >0)． ∴f (2)＝2×23－22＝12. 方法二 f (2)＝－f (－2) ＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12. 押题预测1．在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a(x ≥0)，g (x )＝log a x 的图象可能是( )押题依据 指数、对数、幂函数的图象识别问题是高考命题的热点，旨在考查其基本性质的灵活运用，题目难度一般不大，位于试卷比较靠前的位置． 答案 D解析 方法一 分a >1,0<a <1两种情形讨论．当a >1时，y ＝x a与y ＝log a x 均为增函数，但y ＝x a递增较快，排除C ；当0<a <1时，y ＝x a为增函数，y ＝log a x 为减函数，排除A.由于y ＝x a递增较慢，故选D. 方法二 幂函数f (x )＝x a的图象不过(0,1)点，排除A ；B 项中由对数函数g (x )＝log a x 的图象知0<a <1，而此时幂函数f (x )＝x a的图象应是增长越来越慢的变化趋势，故B 错，D 正确；C 项中由对数函数g (x )＝log a x 的图象知a >1，而此时幂函数g (x )＝x a的图象应是增长越来越快的变化趋势，故C 错．2．设函数y ＝f (x )(x ∈R )为偶函数，且∀x ∈R ，满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32＝f⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，当x ∈[2,3]时，f (x )＝x ，则当x ∈[－2,0]时，f (x )等于( ) A ．|x ＋4| B ．|2－x | C ．2＋|x ＋1|D ．3－|x ＋1|押题依据 利用函数的周期性、奇偶性求函数值是高考的传统题型，考查学生思维的灵活性． 答案 D解析 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，可得f (x ＋2)＝f (x )，则当x ∈[－2，－1]时，x ＋4∈[2,3]，f (x )＝f (x ＋4)＝x ＋4＝x ＋1＋3；当x ∈[－1,0]时，－x ∈[0,1]，2－x ∈[2,3]，f (x )＝f (－x )＝f (2－x )＝2－x ＝3－x －1，故选D.3．已知函数f (x )＝1ln (x ＋1)－x，则y ＝f (x )的图象大致为( )押题依据 图象的识别和变换是高考的热点，此类问题既考查了基础知识，又考查了学生的灵活变换能力． 答案 B解析 方法一 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x ≠0，∴f (x )的定义域为{x |x >－1且x ≠0}． 令g (x )＝ln(x ＋1)－x ，则g ′(x )＝1x ＋1－1＝－xx ＋1， 当－1<x <0时，g ′(x )>0；当x >0时，g ′(x )<0.∴f (x )在区间(－1,0)上为减函数，在区间(0，＋∞)上为增函数，对照各选项，只有B 符合． 方法二 取特殊值，用排除法求解，f (2)＝1ln 3－2<0，排除A.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1ln 12＋12＝1ln e 2<0， 排除C ，D ，故选B.4．已知函数h (x )(x ≠0)为偶函数，且当x >0时，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 24，0<x ≤4，4－2x ，x >4，若h (t )>h (2)，则实数t 的取值范围为________．押题依据 分段函数是高考的必考内容，利用函数的单调性求解参数的范围，是一类重要题型，是高考考查的热点．本题恰当地应用了函数的单调性，同时考查了函数的奇偶性的性质．答案 (－2,0)∪(0,2)解析 因为当x >0时，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 24，0<x ≤4，4－2x ，x >4.所以函数h (x )在(0，＋∞)上单调递减，因为函数h (x )(x ≠0)为偶函数，且h (t )>h (2)， 所以h (|t |)>h (2)，所以0<|t |<2，所以⎩⎪⎨⎪⎧t ≠0，|t |<2，即⎩⎪⎨⎪⎧t ≠0，－2<t <2，解得－2<t <0或0<t <2.综上，所求实数t 的取值范围为(－2,0)∪(0,2)．A 组 专题通关1．(2018·北京石景山区模拟)下列函数中既是奇函数，又在区间(0，＋∞)上是减函数的为( ) A ．y ＝x B ．y ＝－x 3C ．y ＝12log xD ．y ＝x ＋1x答案 B解析 由题意得，对于函数y ＝x 和函数y ＝12log x 都是非奇非偶函数，排除A ，C.又函数y ＝x ＋1x在区间(0,1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增，排除D ，故选B.2．(2018·合肥质检)已知函数f (x )＝a －2xa ＋2x是奇函数，则f (a )的值等于( )A ．－13B ．3C ．－13或3D.13或3 答案 C解析 函数f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )，即a －2－x a ＋2－x ＝－a －2x a ＋2x在定义域内恒成立，整理可得a ·2x －1a ·2x ＋1＝－a ＋2xa ＋2x，即a 2＝1恒成立，∴a ＝±1， 当a ＝1时，函数f (x )的解析式为 f (x )＝1－2x 1＋2x ，f ()a ＝f ()1＝1－211＋21＝－13，当a ＝－1时，函数f (x )的解析式为f (x )＝－1－2x－1＋2x ，f ()a ＝f ()－1＝－1－2－1－1＋2－1＝3.综上可得f ()a 的值为－13或3.3．(2018·安庆模拟)函数f (x )＝x ＋1||x ＋1log a||x (0<a <1)的图象的大致形状是( )答案 C 解析 f (x )＝x ＋1||x ＋1log a||x＝⎩⎨⎧－log a (－x )，x <－1，log a ()－x ，－1<x <0，log ax ，x >0.故选C.4．(2018·合肥质检)已知函数f (x )＝1－2x1＋2x ，实数a ，b 满足不等式f (2a ＋b )＋f (4－3b )>0，则下列不等式恒成立的是( ) A ．b －a <2 B ．a ＋2b >2 C ．b －a >2 D ．a ＋2b <2答案 C解析 由题意得f (－x )＝1－2－x1＋2－x ＝2x －12x ＋1＝－1－2x2x＋1＝－f (x )，故函数f (x )为奇函数．又f (x )＝－2x －11＋2x ＝－(2x＋1)－21＋2x ＝－1＋21＋2x ，故函数f (x )在R 上单调递减． ∵f (2a ＋b )＋f (4－3b )>0， ∴f (2a ＋b )>－f (4－3b )＝f (3b －4)， ∴2a ＋b <3b －4，∴b －a >2.故选C.5．(2018·天津市十二重点中学联考)已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上单调递增，若a ＝15(log 3)f ，b ＝f (log 35)，c ＝f (0.20.5)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a <b <c B ．c <a <b C ．b <a <c D ．c <b <a答案 C解析 ∵f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数， ∴a ＝15(log 3)f ＝f ()－log 53＝f ()log 53，∵12＝log 55<log 53<1,1＝log 33<log 35， 0<0.20.5＝55<12， ∴0.20.5<log 53<log 35，∵f (x )在(－∞，0]上是增函数，f (x )是定义在R 上的偶函数，∴f (x )在[0，＋∞)上为减函数， 则f ()0.20.5>f ()log 53>f ()log 35，即b <a <c ，故选C.6．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋1，x ≥1，－x 2＋ax ＋1，x <1在R 上是增函数，则a 的取值范围为( )A ．[2,3]B ．[2，＋∞) C．[1,3] D ．[1，＋∞) 答案 A解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2≥1，－1＋a ＋1≤2＋1，∴a ∈[2,3]，故选A.7．(2018·广东省六校联考)函数y ＝1－ln|x |1＋ln|x |·sin x 的部分图象大致为( )答案 A解析 设f (x )＝1－ln|x |1＋ln|x |·sin x ，由1＋ln|x |≠0，得x ≠±1e ，则函数f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1e ∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e ∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞. ∵f (－x )＝1－ln|－x |1＋ln|－x |·sin(－x )＝－1－ln|x |1＋ln|x |·sin x ＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数，排除D.又1>1e，且f (1)＝sin 1>0，故可排除B.0<1e 2<1e ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2＝1－ln ⎪⎪⎪⎪⎪⎪1e 21＋ln ⎪⎪⎪⎪⎪⎪1e 2·sin 1e 2＝1－(－2)1－2·sin 1e 2＝－3·sin 1e2<0， 故可排除C.故选A.8．(2018·德阳二诊)已知log 2x ＝log 3y ＝log 5z <0，则2x ，3y ，5z的大小排序为( )A.2x <3y <5zB.3y <2x <5zC.5z <2x <3yD.5z <3y <2x答案 A解析 x ，y ，z 为正实数，且log 2x ＝log 3y ＝log 5z <0， 令log 2x ＝log 3y ＝log 5z ＝k (k <0)， ∴x2＝2k －1，y3＝3k －1，z5＝5k －1，可得2x ＝21－k ，3y ＝31－k ，5z＝51－k，又1－k >0， ∴函数f (x )＝x1－k在(0，＋∞)上单调递增，∴2x <3y <5z.故选A.9．(2017·全国Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x，x >0，则满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12>1的x 的取值范围是______________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞ 解析 由题意知，对不等式分x ≤0,0<x ≤12，x >12三段讨论．当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12>1，解得x >－14，∴－14<x ≤0.当0<x ≤12时，原不等式为2x＋x ＋12>1，显然成立．当x >12时，原不等式为2x＋122x ->1，显然成立．综上可知，x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞. 10．已知定义在R 上的函数f (x )满足：①函数f (x )的图象的对称中心为(1,0)，且对称轴为x ＝－1；②当x ∈[－1,1]时，f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ∈(0，1]，1－x 2，x ∈[－1，0]，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＝________. 答案 －32解析 由题意作出f (x )的部分图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＝－ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝－32.11．(2018·全国Ⅲ)已知函数f (x )＝ln(1＋x 2－x )＋1，f (a )＝4，则f (－a )＝________. 答案 －2解析 ∵f (x )＋f (－x )＝ln(1＋x 2－x )＋1＋ln(1＋x 2＋x )＋1＝ln(1＋x 2－x 2)＋2＝2， ∴f (a )＋f (－a )＝2，∴f (－a )＝－2.12．已知函数f (x )是奇函数，当x <0时，f (x )＝－x 2＋x .若不等式f (x )－x ≤2log a x (a >0且a ≠1)对∀x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22恒成立，则实数a 的取值范围是________． 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，1 解析 由已知得当x >0时，f (x )＝x 2＋x ， 故x 2≤2log a x 对∀x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22恒成立， 即当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22时， 函数y ＝x 2的图象不在y ＝2log a x 图象的上方， 由图(图略)知0<a <1且2log a 22≥12， 解得14≤a <1.B 组 能力提高13．(2018·河北衡水中学模拟)已知函数f (x )＝22 019x＋1＋sin x ，其中f ′(x )为函数f (x )的导数，则f (2 018)＋f (－2 018)＋f ′(2 019)－f ′(－2 019)等于( ) A ．2 B ．2 019 C ．2 018 D ．0答案 A解析 由题意得f (x )＋f (－x )＝2， ∴f (2 018)＋f (－2 018)＝2，由f (x )＋f (－x )＝2可得f (x )－1＋f (－x )－1＝0， ∴y ＝f (x )－1为奇函数，∴y ＝f (x )－1的导函数为偶函数，即y ＝f ′(x )为偶函数，其图象关于y 轴对称， ∴f ′(2 019)－f ′(－2 019)＝0，∴f (2 018)＋f (－2 018)＋f ′(2 019)－f ′(－2 019)＝2. 故选A.14．(2018·江西省分宜中学、玉山一中、临川一中等九校联考)若函数y ＝f (x )，x ∈M 对于给定的非零实数a ，总存在非零常数T ，使得定义域M 内的任意实数，都有af (x )＝f (x ＋T )恒成立，此时T 为f (x )的类周期，函数y ＝f (x )是M 上的a 级类周期函数，若函数y ＝f (x )是定义在区间[0，＋∞)内的3级类周期函数且T ＝2，当x ∈[0,2)，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12－2x 2，0≤x ≤1，f (2－x )，1<x <2，函数g (x )＝－2ln x ＋12x 2＋x ＋m ，若∃x 1∈[6,8]，∃x 2∈(0，＋∞)使g (x 2)－f (x 1)≤0成立，则实数m 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，132 B ．(－∞，12] C ．(－∞，39] D ．[12，＋∞)答案 C解析 根据题意，对于函数f (x )，当x ∈[0,2)时， f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12－2x 2，0≤x ≤1，f (2－x )，1<x <2，分析可得：当0≤x ≤1时，f (x )＝12－2x 2，此时f (x )的最大值f (0)＝12，最小值f (1)＝－32，当1<x <2时，f (x )＝f (2－x )，函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称， 则此时有－32<f (x )<12，又由函数y ＝f (x )是定义在区间[0，＋∞)内的3级类周期函数，且T ＝2， 则在x ∈[6,8)上，f (x )＝33·f (x －6)， 则有－812≤f (x )≤272，则f (8)＝27f (2)＝81f (0)＝812， 则函数f (x )在区间[6,8]上的最大值为812，最小值为－812；对于函数g (x )＝－2ln x ＋12x 2＋x ＋m ，g ′(x )＝(x －1)(x ＋2)x.分析可得：在(0,1)上，g ′(x )<0，函数g (x )为减函数， 在(1，＋∞)上，g ′(x )>0，函数g (x )为增函数， 则函数g (x )在(0，＋∞)上有最小值g (1)＝32＋m ，若∃x 1∈[6,8]，∃x 2∈(0，＋∞)， 使g (x 2)－f (x 1)≤0成立，必有g (x )min ≤f (x )max ，即32＋m ≤812，得m 的取值范围为(－∞，39]．15．(2018·安阳二模)已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足12f (x )－g (x )＝x －1x 2＋1，若g (x ＋5)＋g ⎝⎛⎭⎪⎫1x －1<g (x )＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，则x 的取值范围是____________________．答案 {x |x >－2且x ≠0且x ≠1} 解析 因为12f (x )－g (x )＝x －1x 2＋1，所以12f (－x )－g (－x )＝－x －1x 2＋1，即－12f (x )－g (x )＝－x －1x 2＋1，因此g (x )＝1x 2＋1. 因为g (x )＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x 2＋1＋11x2＋1＝1，所以由g (x ＋5)＋g ⎝⎛⎭⎪⎫1x －1<g (x )＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，得1(x ＋5)2＋1＋(x －1)21＋(x －1)2<1， 即1(x ＋5)2＋1<11＋(x －1)2，解得x >－2，结合分母不为零得x 的取值范围是 {x |x >－2且x ≠0且x ≠1}．16．(2018·天津)已知a ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋a －2，x ≤0，－x 2＋2x －2a ，x >0.若对任意x ∈[－3，＋∞)，f (x )≤|x |恒成立，则a 的取值范围是_______．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，2解析 如图所示，若对任意x ∈[－3，＋∞)，要使函数y ＝f (x )的图象恒在y ＝|x |图象的下方，则必有⎩⎪⎨⎪⎧f (－3)≤3， ①f (0)≤0， ②且在(0，＋∞)内直线y ＝x 与y ＝－x 2＋2x －2a 相切或相离，所以x ＝－x 2＋2x －2a 有两个相等实根或无实根，即对于方程x 2－x ＋2a ＝0， Δ＝(－1)2－4×2a ≤0，解得a ≥18.由①②得9－6＋a －2≤3且a －2≤0，所以a ≤2. 综上，18≤a ≤2.。
高三数学二轮复习专题讲解14 函数与导数
高三数学二轮复习专题讲解 第14讲 易错点-函数与导数专题综述函数与导数是高考中的重点和难点，各种题型都有考查，也有一定的计算量！但我们要必拿选择填空的中等题分数，主要考查的知识点有函数的概念（函数的定义域、解析式、值域）、性质（单调性、奇偶性、对称性）、图象，导数的概念及其几何意义；对这些知识理解不到位或把握不全面或对题意理解不准确，就容易造成会而不对、对而不全的结果专题探究探究1:函数性质掌握不牢致错函数的单调性、奇偶性、周期性等在考题中不限制于以课本的定义给出，我们要关注它们等价变形形式和相关结论，如单调性的等价变形形式有： (1)若[]12,,x x a b ∀∈,12x x ≠,()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦()()12120f x f x x x -⇔>-()f x ⇔在[],a b 上是增函数；()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦()()12120f x f x x x -⇔<-()f x ⇔在[],a b 上是减函数.(2) 若12x x ≠,且()()1212f x f x k x x ->-,则()y f x kx =-是增函数.奇偶性的相关结论有：(1)()f x 是偶函数⇔()()()()()()0f x f x f x f x f x f x =-⇔=⇔--=； (2)()f x 是奇函数⇔()()()()0f x f x f x f x -=-⇔+-=； (3)若函数()f x 在0x =处有意义,则()00f =；(4)()f x a +是偶函数,则()()f x a f x a +=-+,()f x 是偶函数,则()()f x a f x a +=-+. 利用函数的对称性与奇偶性会推导函数的周期性：(1)函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-（0a >）,若()f x 为奇函数,则其周期为4T a =；若()f x 为偶函数,则其周期为2T a =.(2)函数()y f x =()x ∈R 的图象关于直线x a =和x b =()a b <都对称,则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；函数()y f x =()x R ∈的图象关于两点()0,A a y 、()0,B b y ()a b <都对称,则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；函数()y f x =()x ∈R 的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b <都对称,则函数()f x 是以()4b a -为周期的周期函数.(2022江苏联考)已知函数(1)y f x =-的图象关于直线1x =-对称，且对x R ∀∈有()() 4.f x f x +-=当(0,2]x ∈时，() 2.f x x =+则下列说法正确的是(). ()f x 的最小正周期是8 . ()f x 的最大值为5 . (2022)0f = . (2)f x +为偶函数 【规范解析】解：.A 因为(1)y f x =-的图象关于直线1x =-对称，所以()f x 关于直线2x =-对称；即有()(4)f x f x =--，()(4)f x f x -=-，又()()4f xf x +-=，所以(4)(4)4f x f x --++=，即()(4)4f x f x ++=，所以()4(f x f x =-+，又()4f x f x=--，()(4)(4)f x f x f x -=+=-，所以()(8)f x f x =+，所以()f x 的周期8T =，故 正确； .由 知(2022)(20228)f f =-(202288)(6)(2)4(2)440f f f f =--===-=-=-=，故 正确； .由 知()(4)f x f x -=+所以(2)(2)f x f x +=-+，则(2)f x +为偶函数，故 正确； .当(0,2]x ∈时，()2f x x =+，结合以上知函数图象大致为则()f x 的最大值为4，故 错误.故答案选：.ACD(2022福建联考)已知定义在 上的函数()f x ，对任意实数x 有(4)()f x f x +=-，函数(1)f x +的图象关于直线1x =-对称，若当(0,1]x ∈时()f x x =，则()A. ()f x 为偶函数B. ()f x 为周期函数C. (2023)1f =-D. 当[3,4)x ∈时，()f x =探究2:函数图象识别时不细致致错函数图象是函数性质的直观反映,由函数表达式识别函数图象时由于我们平时形成的一些错误的认识,还有惯性思维,不做深入的研究,导致得出错误的结论.我们在辨别图象时可从奇偶性、单调性、特殊值等方面来排除不合适的，从而得到正确答案.(2022福建联考)函数31()cos (66)31x x f x x x -=-+剟的图象大致为()A. B. C. D.【规范解析】解：函数31()cos (66)31x x f x x x -=-+剟，满足3113()cos()cos ()3113x xx x f x x x f x -----=-==-++，()f x ∴为奇函数，()f x 的图象关于原点对称，排除 ，.B 当x π=时，13()013f πππ-=<+，排除.C 故选.D (2022福建省福州市期中)我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.观察以下四个图象的特征，试判断与函数()1sin ,(,0)f x x x x x x ππ⎛⎫=--≠ ⎪⎝⎭剟相对应的图象是()A. B. C.D.探究3:比较大小时没有选对方法致错在比较数与式的大小时常利用指数函数、幂函数及对数函数单调性比较大小.若比较指数式与对数式的大小，或同是指数式（对数式）但底数不相同，这些情况下常利用中间量比较大小，常用的中间量是0,1,1-，有时也可借助13,2,22等中间量来比较大小.若两个式子结构比较复杂，但结构类似，这种情况下常利用式子的结构构造函数，然后利用函数单调性比较大小.(2022江苏联考)如果01a <<，那么下列不等式中正确的是()A. 1132(1)(1)a a ->- B. (1)log (1)0a a -+>C. 32(1)(1)a a ->+D. 1(1)1a a +->【规范解析】解：由题意 01a <<，所以()()10,1a -∈，()()11,2a +∈，得()1xy a =-为R 上的减函数，又1123>，所以()()113211a a ->-，10(1)(1=)1a a a +-<-而(1)log a y x -=单调递减，(1)(1)log (1)log 1=0a a a --+<， 32(1)1(1)a a -<<+，故选：.A(2022安徽省池州市单元测试)已知函数(2)y f x =-的图象关于直线2x =对称，在(0,)x ∈+∞时，()f x 单调递增．若ln3(4)a f =，(2)eb f -=，1(ln)(c f π=其中e 为自然对数的底数，π为圆周率)，则a ，b ，c 的大小关系为()A. a c b >>B. a b c >>C. c a b >>D. c b a >>探究4:混淆两类切线致错求曲线的切线方程一定要注意区分“过点A 的切线方程”与“在点A 处的切线方程”的不同．虽只有一字之差,意义完全不同,“在”说明这点就是切点,“过”只说明切线过这个点,这个点不一定是切点,求曲线过某点的切线方程一般先设切点把问题转化为在某点处的切线,求过某点的切线条数一般也是先设切点,把问题转化为关于切点横坐标的方程实根个数问题.(2022山东模拟)已知直线y kx =是曲线x y e =的切线，也是曲线ln y x m =+的切线，则实数k =__________，实数m =__________. 【规范解析】解：设y kx =与x y e =和ln y x m =+的切点分别为11(,)x x e ，22(,ln )x x m +，x y e =的导数xy e '=，1x e k ∴=，且11x k x e=，解得11x =，k e ∴=；ln y x m =+的导数1y x'=，21k e x ∴==，21x e ∴=，又22ln kx x m =+，11ln 2.m e e e∴=⨯-=故答案为 ；2.(2022河南信阳月考)若曲线2y x =与ln()y x a =-有一条斜率为2的公切线，则()a =A. 1ln 22- B. 1ln 22C. ln 2-D. ln 2探究5:混淆导数与单调性的关系致错研究函数的单调性与其导函数的关系时一定要注意:一个函数的导函数在某个区间上单调递增(减)的充要条件是这个函数的导函数在此区间上恒大(小)于等于0,且导函数在此区间的任意子区间上都不恒为零.若研究函数的单调性可转化为解不等式()()()()1200a x x x x x --><>或0,首先根据a 的符号进行讨论,当a 的符号确定后,再根据12,x x 是否在定义域内讨论,当12,x x 都在定义域内时在根据12,x x 的大小进行讨论.(2022福建省福州市期中)已知函数()ln nx f x x mx xe =+-(1)当0n =时，讨论函数()f x 在区间(0,3)的单调性【规范解析】解：(1)当0n =时，函数()ln (03)f x x mx x x =+-<<，1(1)1()1m x f x m x x-+'=+-=当1m …时，(0,3)x ∈，()0f x '>，()f x ∴在(0,3)上单调递增， 当1m <时，令1()0,1f x x m'==-， ①当131m <-时，即23m <时， 由()0f x '>得：101x m <<-，由()0f x '<得：131x m<<-， ∴当23m <时，函数()f x 在1(0,)1m -上单调递增，在1(,3)1m-上单调递减. ②当131m-…时，即213m <…时，由03,()0x f x <<'>得03x <<，∴当213m <…时，函数()f x 在(0,3)上单调递增，综上所述：当23m …时，函数()f x 在(0,3)上单调递增；当23m <时，函数()f x 在1(0,)1m -上单调递增，在1(,3)1m -上单调递减.(2022河北联考)已知函数()ln sin f x a x x x =-+，其中a 为非零常数．(1)若函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，求a 的取值范围；探究6:混淆导数与极值的关系致错对于可导函数f (x )：x 0是极值点的充要条件是在x 0点两侧导数异号,且0()0f x '=,即0()0f x '=是x 0为极值点的必要而不充分条件.对于给出函数极大(小)值的条件,一定要既考虑0()0f x '=,又考虑检验“左正右负”或“左负右正”,防止产生增根．(2022河北省张家口市期中)已知函数()f x 的导函数()f x '的图象如图，则下列叙述正确的是()A. 函数()f x 只有一个极值点B. 函数()f x 满足(4)(1)f f -<-，且在4x =-处取得极小值C. 函数()f x 在2x =处取得极大值D. 函数()f x 在(),4-∞-内单调递减【规范解析】解：由导函数的图象可得，当2x <时，()0f x '≥，函数()f x 单调递增；当2x >时，()0f x '<，函数()f x 单调递减.所以函数()f x 的单调递减区间为()2,+∞， 只有当2x =时函数取得极大值，无极小值. 故选：.AC(2022湖南联考)已知函数()(3)2.x f x x e x -=++(1)证明：()f x 恰有两个极值点;探究7:函数零点与方程的根不会转化致错确定函数零点所在区间、零点个数或已知函数零点情况求参数，常通过数形结合转化为两个函数图象的交点个数问题，所以研究函数与方程问题不要得“意”忘“形”.(2022河北期中)已知函数,()e ,x xx a f x x x a⎧⎪=⎨⎪<⎩…，若存在不相等的1x ，2x ，3x ，满足123()()()f x f x f x ==，则实数a 的取值范围是__________.【规范解析】解：由题意可知，对于()xx f x e=，则1().x xf x e -'=当1x <时，()0f x '>，()f x 单调递增；当1x >时，()0f x '<，()f x 单调递减，当1x =时，函数()f x 取得最大值为1(1)f e =，如图，分别画出函数x xy e =和y x =在 上的图象，用一条平行于x 轴的直线y m =截图象，有3个交点时，即存在1x ，2x ，3x ，使得123()()()f x f x f x m ===，当(1,)a ∈+∞或(,0]a ∈-∞时，最多有2个交点，所以不成立;当(0,1)a ∈时，存在3个交点，所以a 的取值范围是(0,1). 故答案为：(0,1)(2022福建月考)函数()ln (),0()(2),(0)x x f x x x x ⎧-<=⎨-⎩…，若关于x 的方程22()()10f x af x -+=有6个不相等的实数根，则a 的取值范围是__________.专题升华函数的定义域是研究函数图象与性质的第一要素，性质是函数的基本属性，图象是其性质的外在表现；把握各性质的定义和等价表达式是根本；导数是研究函数性质的的根本工具，遇到参数时要紧记“分类讨论”；导函数图象与原函数图象的关系不能混淆！复合函数要会分解，定义域先行，内层函数的值域是外层函数的定义域，要清醒对待两者的身份！【答案详解】变式训练1【答案】.ABD【解析】由函数(1)f x +的图象关于直线1x =-对称可知，函数()f x 的图象关于 轴对称， 故()f x 为偶函数.选项 正确;由(4)()f x f x +=-，得(44)(4)()f x f x f x ++=-+=，()f x ∴是周期8T =的偶函数，(2023)(25381)(1)(1) 1.f f f f ∴=⨯-=-==选项 正确，选项 错误;设[3,4)x ∈，则4[1,0),4(0,1],x x -∈--∈()f x 为偶函数，(4)(4)f x f x ∴-=-，由(0,1]x ∈时，()f x =，得(4)(4.f x f x -=--又(4)()f x f x +=-，()(4)f x f x ∴=--=选项 正确.故选：.ABD变式训练2【答案】【解析】因为()1sin ,(,0)f x x x x x x ππ⎛⎫=--≠ ⎪⎝⎭剟，所以()()1sin f x x x f x x ⎛⎫-=-+=- ⎪⎝⎭，所以()f x 为奇函数，其图象关于原点中心对称，故排除 、 选项； 又0x π<<时，()10f =，令6x π=，则6sin 0666f ππππ⎛⎫⎛⎫=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故排除 选项.故选：.D变式训练3【答案】【解析】根据题意，函数(2)y f x =-的图象关于直线2x =对称，则函数()f x 的图象关于 轴对称，即函数()f x 为偶函数，满足()()f x f x -=，则1(l n )(l n )c f f ππ==，ln31444ln ln 120e e π->=>>=>>， 又由(0,)x ∈+∞时，()f x 单调递增，则有a c b >>；故选：.A变式训练4【答案】【解析】由2y x =得2y x '=，令22y x '==，解得1x =，由点斜式得切线方程：12(1)y x -=-，即21y x =-，由l n ()y x a =-，得1y x a '=-，令12y x a '==-，解得12x a =+，代入ln()y x a =-得：ln 2y =-，将1(,ln 2)2a +-代入21y x =-，得：11ln 22()1ln 222a a -=+-⇒=-，故选：.A变式训练5【解析】(1)由题知()cos 1(0)af x x x x'=-+>，若0a >，因为0x >，1cos 0x -…，则()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，若0a <，则当0,2a x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，2a x <-，从而11 / 11 ()2cos 1(1cos )0f x x x '<--+=-+…，所以()f x 在0,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，不满足题意，综上分析，a的取值范围是(0,).+∞变式训练6【解析】(1)证明：依题意()f x 的定义域为 ，()(2)2x f x x e -'=-++，令()(2)2x m x x e -=-++，()(1).x m x x e -'=+当(1,)x ∈-+∞时，()0m x '>，所以()f x '在(1,)-+∞单调递增；当(,1)x ∈-∞-时，()0m x '<，所以()f x '在(),1-∞-单调递减．又因为(1)20f e '-=-<，(0)0f '=，(2)20f '-=>，所以()f x '在(),1-∞-恰有1个零点0x ，在()1,-+∞恰有1个零点0，且当0(,)x x ∈-∞时，()0f x '>，当0(,0)x x ∈时，()0f x '<，当(0,)x ∈+∞时，()0.f x '>所以()f x 在0(,)x -∞单调递增，在0(,0)x 单调递减，在(0,)+∞单调递增．所以()f x 恰有一个极大值点0x 和一个极小值点0，即()f x 恰有两个极值点．变式训练7【解析】函数()f x 的图象如图所示，令()t f x =，结合图象可知，若关于x 的方程22()()10f x af x -+=有6个不等的实数根，则关于 的方程2210t at -+=在[0,1)有两个不等实数根，因为221y t at =-+的图象过点(0,1)，则280014210a a a ⎧∆=->⎪⎪<<⎨⎪-+>⎪⎩，解得3.a <<故答案为：。
高考数学专题复习 函数导数教案 文 教案
某某省漳浦县道周中学2014年高考数学专题复习 函数导数教案 文第一部分：函数 一、考试内容及要求 2.函数考试内容：函数，函数的单调性；；指数概念的扩充，有理指数幂的运算性质，指数函数.；对数、对数的运算性质，对数函数. 函数的应用举例. 考试要求：⑴了解映射的概念，理解函数的概念.⑵了解函数的单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法.⑶了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数. ⑷理解分数指数幂的概念,掌握有理指数幂的运算性质,掌握指数函数的概念、图像和性质. ⑸理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图像和性质. ⑹能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题. 二导数、 考试要求：1、了解导数概念的实际背景。
2、理解导数的几何意义。
3、掌握函数y=x n(n ∈N +)的导数公式，会求多项式函数的导数。
4、理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值。
5、会利用导数求最大值和最小值的方法，解决科技、经济、社会中的某些简单实际问题。
一、函数基本性质 【10某某】函数y =的定义域为（ ）A.(34,1) B(34,∞)C （1，+∞）D. (34,1)∪（1，+∞） 【11某某二模】函数1lg(2)y x =+-的定义域是（ ）A. ()12，B. []14，C. [)12，D. (]12， 【11某某三模】函数y=log a(3x-2x 2)(0<a<1)的定义域为（ ）A ．1(,][1,)2-∞+∞B ． 1[,1]2C ．13(0,)(1,)22 D ．13(0,][1,)22【11某某二模】函数y =的定义域为（ ）A ．(4,1)--B ．(4,1)-C ．(1,1)-D ．(1,1]-【11某某一模】函数)2()2(log )(2>-+=x x xx f 的最小值 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【11某某一模】求函数1251+-=x y 的值域。
关于2023届高考数学二轮复习备考思考与建议
2022. 12. 4教师端线上形式1.假借平台拓展服务空间金太阳组织创建的平台，分享一些教学思考，提醒“抬头望路”2.节点差异提早预设布局时间点觉得确实有偏早，一轮复习尚未完成，预设“二轮布局”3.个人观点仅供择同选用认同点选择使用并落实，不认同点可以商榷，碰撞“思维火花”1.考什么与怎么考（命题）没有考试大纲？没有考试说明？如何研判最有可能的考向？2.备什么与怎么考（应考）需要丰富哪些应考储备？3.如何备与怎么学（教与学）——教学评价的参考教师的影响度学生的参与度内容的适标度媒介的适切度教学的规范度目标的达成度——“备、教、学、评”一体化【教师指导学生学习知能素养考试评价】要点二轮复习的目标与复习教学的遵循（1）备考的本质 考试培训！（2）培训的目的 学会考试的内容、学会考试的方法？会解答象近年高考那样的题目？解得好、解得快？会解答与近年高考不一样的题目？（宝典中没有的——突破应试题海的模式化） 提高有效解决问题（曾经的实测试题）的能力与效率；形成促进。
丰富内在储备+提升展示技能。
●培训的内容与方法 命题规律 考过试题“变式”考、“创新”考！实现旧题的“变式”和“创新”。
模拟训练+专题复习？（危险的外在表现形式！）夯实学科基础——针对中等及偏下水平稳固知识结构—— 强筋状腱强化关键重点——必考常考内容为重点补缺补漏扫盲——盲区规避优化应试策略——非智力因素、得全该得基本分、争取超常发挥分学校（班级、学科）的指标任务：平均成绩——整体水平的提升上线人数——改变发展的方向亮点培育——迎合各方的需求（强化分层意识）学生的目标：总分的提升目标（效益） 学科的分数位置（特长）旧四化：试题问题化、问题模型化、解模规律化、解题技能化立足通性通法、理顺逻辑顺序、清晰表达过程。
4. 复习教学的遵循二、研判卷题格局，把握基本考向《中国高考报告》、《高考试题分析》、高考评价报告落实评价体系的学科化突出学科素养的导向性突出学科特点的思维性体现本质考查的灵活性探索命题创新的积极性体现五育并举的全面性保持整体设计的稳定性当前评价量尺打造的顶层设计立德树人指导教学服 务 选 拔考试内容考试方法——挖掘命题改革信息、体会考试说明功能试题浏览：特别关注：2.分板块的命题改革方向把握非主干板块内容：集合——传统的语言定位与交汇方式、可能的集合思想及图形语言平面向量——工具地位的体现与交汇应用的自觉、图形方法的强化不等式——内容的改变与函数的交汇，着重考查不等式的运算性质、—元二次不等式、基本不等式（显性考查与隐性考查结合，交汇考查，应独立板块）常用逻辑用语——充分性必要性的强化推理与证明——考查方式的正确理解复数——趋势的变化、教学新定位计数原理——基本模型二项式定理——热点内容三视图——隐性考查处理、不考后如何保持直观想象素养的考查地位对三角函数的考查突出基础，体现综合，对恒等变换的要求有所下降，更多强调对公式的灵活运用．试题呈现以下四个特点：（1）利用数形结合考查，通过图形分析、研究、总结三角函数的性质和图像特点；（2）利用三角公式考查，创设试题情境，灵活运用公式，解决问题；（3）利用真实情境考查，考查解三角形内容，体现三角函数的工具性作用；（4）体现思维深度，考查创新意识；（5）关注结构不良试题设计。
高中数学教学进度表
暑期自主学习调查分析
简单的逻辑联结词、综合应用
函数及其表示法
函数解析式和定义域、函数的值域与最值
三
函数的单调性和奇偶性、函数的图像
二次函数、幂函数、
四
指数式、指数函数、对数式、对数函数
函数与方程、函数模型及其应用
函数综合练习
五
数列的概念、等差数列、等比数列、数列求和
综合应用1、综合应用2
数列综合练习
高一上教学进度
周次
节次
教学内容包括复习,测试等安排
1
1
集合的含义及其表示
2
子集,全集,补集
1
交集,并集
2
1
习题课
1
一元二次不等式的解法
1
简单高次不等式及分式不等式的解法
1
简单绝对值不等式的解法
1
复习课
3
2
函数的概念和图像
1
函数的概念和图像
2
函数的表示方法
4
2
函数的简单性质
2
函数的简单性质
1
映射的概念
2
定积分
二十一
2
微积分基本定理
3
小结与复习
二十二
5
期末复习及期末考试
二十三
4
期末试卷分析
高二下理教学进度
周次
节次
内容
一
3
选修2-2第二章合情推理,演绎推理
四
1
直接证明
1
间接证明
2
数学归纳法
3
第三章数系的扩充,复数的四则运算
五
1
复数的几何意义
1
数系的扩充
2
两个基本计数原理
高三数学第二轮复习专题讲座 人教版
高三数学第二轮复习专题讲座 人教版专题一 函数考点高考要求 1 映射的概念 了解 2 函数的概念 理解 3 函数的单调性的概念 了解 4 简单函数单调性的判断 掌握 5 函数的奇偶性 了解 6 反函数的概念了解 7 互为反函数的函数图象间的关系 了解 8 简单函数的反函数的求法 掌握 9 分数指数幂的概念 理解 10 有理数指数幂的运算性质 掌握 11 指数函数的概念、图象和性质 掌握 12 对数的概念 理解 13 对数的运算法制掌握 14 对数函数的概念、图象和性质 掌握 15运用函数的性质解决简单的实际问题掌握说明：1．了解：要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识，知道这一知识内容是什么，并能在有关的问题中直接应用；2．理解和掌握：要求对所列知识内容有较为深刻的理性认识，能够解释、举例或变形、推断，并能利用知识解决有关问题；3．灵活和综合运用：要求系统的掌握知识的内在联系，能够运用所列知识分析和解决较为复杂的或综合性的问题．（以下两点分析主要针对的是2004年全国各地的高考试题，共15套） 二、高考考点分析：在2004年全国各地的高考题中，考查函数的试题或与函数有关的试题大约有56道，在150分中约占25分到30分．对函数，常常从以下几个方面加以考查．1知识点函数的解析式 定义域和值域（包括最大值和最小值） 函数的单调性 函数的奇偶性和周期性 函数的反函数 题量27335函数和一些分段函数，简单的函数方程为背景，难度以中等题和容易题为主，如： 例1．（重庆市）函数)23(log 21-=x y 的定义域是（ D ）A 、[1,)+∞B 、23(,)+∞C 、23[,1]D 、23(,1]例2．（天津市）函数123-=xy （01<≤-x ）的反函数是（ D ）A 、)31(log 13≥+=x x yB 、)31(log 13≥+-=x x yC 、)131(log 13≤<+=x x yD 、)131(log 13≤<+-=x x y也有个别小题的难度较大，如 例3．（北京市）函数,,(),,x x P f x x x M ∈⎧=⎨-∈⎩其中P 、M 为实数集R 的两个非空子集，又规定f P y y f x x P (){|(),}==∈，f M y y f x x M (){|(),}==∈，给出下列四个判断：①若P M ⋂=∅，则f P f M ()()⋂=∅ ②若P M ⋂≠∅，则f P f M ()()⋂≠∅ ③若P M ⋃=R ，则()()f P f M ⋃=R ④若P M R ⋃≠，则()()f P f M ⋃≠R 其中正确判断有（ B ）A 、 1个B 、 2个C 、 3个D 、 4个分析：若P M ⋂≠∅，则只有}0{=⋂M P 这一种可能．②和④是正确的．2．对数形结合思想、函数图象及其变换的考查．对图象的考查有6道试题，也以小题为主，难度为中等． 例4．（上海市）设奇函数f (x )的定义域为[-5，5]．若当x ∈[0，5]时f (x )的图象如右图，则不等式f (x )<0的解是]5,2()0,2( -． 例5．（上海市）若函数y =f (x )的图象可由函数y =lg(x +1)的图象绕坐标原点O 逆时针旋转2π得到，则f （x ）为（ A ） A 、10-x-1 B 、10x-1 C 、1-10-xD 、1-10x3．对函数思想的考查．利用函数的图象研究方程的解；利用函数的单调性证明不等式（常常利用函数的导数来判断和证明函数的单调性）；利用函数的最值说明不等式恒成立等问题．在全部考题中，有7道小题考查了用函数研究方程或不等式的问题，有14道大题考查了函数与方程、不等式、数列等的综合问题． 例6．（1）（浙江省）已知⎩⎨⎧≥<-=,0,1,0,1)(x x x f 则不等式)2()2(+⋅++x f x x ≤5的解集是]23,(-∞．（2）（全国卷3）设函数2(1),1,()41, 1,x x f x x x ⎧+<⎪=⎨--≥⎪⎩则使得f (x )≥1的自变量x 的取值范围为（ A ）A 、(-∞,-2][0,10]B 、(-∞,-2][0,1]C 、(-∞,-2][1,10] D 、[-2,0][1,10]例7．（上海市）已知二次函数y =f 1（x ）的图象以原点为顶点且过点（1，1），反比例函数y =f 2（x ）的图象与直线y =x 的两个交点间距离为8，f （x ）= f 1（x ）+ f 2（x ）． （1）求函数f （x ）的表达式；（2）证明：当a >3时，关于x 的方程f (x )= f (a )有三个实数解．解：（1）由已知,设f 1(x )=ax 2，由f 1(1)=1，得a =1，故f 1(x )= x 2．设f 2(x )=xk(k >0)，它的图象与直线y =x 的交点分别为A (k ，k )、B (－k ,－k ) 由AB =8，得k =8，故f 2(x )=x 8．所以f (x )=x 2+x8． （2）证法一：由f （x ）=f （a ）得x 2+x 8=a 2+a 8， 即x 8=－x 2+a 2+a 8．在同一坐标系内作出f 2(x )=x 8和f 3(x )= －x 2+a 2+a8的大致图象，其中f 2(x )的图象是以坐标轴为渐近线，且位于第一、三象限的双曲线，f 3(x )的图象是以(0，a 2+a8)为顶点，开口向下的抛物线．因此,，f 2(x )与f 3(x )的图象在第三象限有一个交点，即f (x )=f (a )有一个负数解． 又因为f 2(2)=4,，f 3(2)= －4+a 2+a8 当a >3时，f 3(2)－f 2(2)= a 2+a8－8>0, 所以当a >3时，在第一象限f 3(x )的图象上存在一点(2，f (2))在f 2(x )图象的上方． 所以f 2(x )与f 3(x )的图象在第一象限有两个交点，即f (x )=f (a )有两个正数解． 因此，方程f (x )=f (a )有三个实数解． 证法二：由f (x )=f (a )，得x 2+x 8=a 2+a 8， 即(x －a )(x +a －ax8)=0，得方程的一个解x 1=a ． 方程x +a －ax8=0化为ax 2+a 2x －8=0，由a >3，∆=a 4+32a >0，得 x 2=a a a a 23242+--， x 3=aa a a 23242++-，因为x 2<0, x 3>0, 所以x 1≠ x 2，且x 2≠ x 3．若x 1= x 3，即a =aa a a 23242++-，则3a 2=a a 324+， a 4=4a ，得a =0或a =34，这与a >3矛盾，所以x 1≠ x 3． 故原方程f (x )=f (a )有三个实数解． 例8．（福建高考题）已知f (x )=2324()3x ax x x +-∈R 在区间[－1，1]上是增函数． （Ⅰ）求实数a 的值组成的集合A ； （Ⅱ）设关于x 的方程f (x )=3312x x +的两个非零实根为x 1、x 2．试问：是否存在实数m ，使得不等式m 2+tm +1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]恒成立？若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由.解：（Ⅰ）f ＇(x )=4+2,22x ax - ∵f (x )在[－1，1]上是增函数，∴f ＇(x)≥0对x ∈[－1，1]恒成立，即x 2－ax －2≤0对x ∈[－1，1]恒成立． ①设ϕ(x )=x 2－ax －2，方法一：① ⇔ ⎩⎨⎧≤-+=-≤--=021)1(021)1(a a ϕϕ ⇔－1≤a ≤1，∵对x ∈[－1，1]，只有当a =1时，f ＇(-1)=0以及当a =－1时，f ＇(1)=0∴A ={a |－1≤a ≤1}.方法二：①⇔ ⎪⎩⎪⎨⎧≤-+=-≥021)1(02a a ϕ或⎪⎩⎪⎨⎧≤--=<021)1(02a a ϕ⇔ 0≤a ≤1或－1≤a ≤0⇔ －1≤a ≤1．∵对x ∈[－1，1]，只有当a =1时，f ＇(－1)=0以及当a =－1时，f ＇(1)=0， ∴A ={a |－1≤a ≤1}． （Ⅱ）由,02,0,3123242332=--=+=-+ax x x x x x ax x 或得 ∵△=a 2+8>0，∴x 1，x 2是方程x 2－ax －2=0的两非零实根，x 1+x 2=a ，x 1x 2=－2， 从而|x 1－x 2|=212214)(x x x x -+=82+a ． ∵－1≤a ≤1，∴|x 1-x 2|=82+a ≤3．要使不等式m 2+tm +1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]恒成立， 当且仅当m 2+tm +1≥3对任意t ∈[－1，1]恒成立，即m 2+tm －2≥0对任意t ∈[－1，1]恒成立. ②设g(t)=m 2+tm －2=mt +(m 2－2)，方法一：②⇔ g (－1)=m 2－m －2≥0且g (1)=m 2+m －2≥0，⇔m ≥2或m ≤－2.所以，存在实数m ，使不等式m 2+tm +1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]恒成立，其取值范围是{m |m ≥2，或m ≤－2}. 方法二：当m =0时，②显然不成立；当m ≠0时，②⇔m >0，g (－1)=m 2－m －2≥0 或m <0，g (1)=m 2+m －2≥0 ⇔ m ≥2或m ≤－2.所以，存在实数m ，使不等式m 2+tm +1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[-1，1]恒成立，其取值范围是{m |m ≥2，或m ≤－2}.说明：本题主要考查函数的单调性，导数的应用和不等式等有关知识，考查数形结合及分类讨论思想和灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力． 三、高考热点分析函数几乎贯穿了高中数学的始末，它与高中数学的每一部分内容几乎都有联系．对函数的认识，应该包含对函数的概念和性质的理解；对二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数和分段函数的概念和性质的理解；函数图象的变换和应用；建立函数模型解决问题的意识等．在复习过程中，以下几点值得重视：1．重视对函数概念和基本性质的理解．包括定义域、值域（最值）、对应法则、对称性（包括奇偶性）、单调性、周期性、反函数、图象变换、基本初等函数（常常是载体）等．研究函数的性质要注意分析函数解析式的特征，同时要注意函数图象（形）的作用．对这部分知识的考查，除了一部分比较简单的小题直接考查函数某一方面的性质外，常常是对函数综合的类型较多（中等难度题，以小题和前三道大题为主），包括函数内部多种知识的综合，函数同方程、不等式、数列的综合．例1．（北京市）函数f x x ax ()=--223在区间［1，2］上存在反函数的充分必要条件是（ D ）A . a ∈-∞(,]1B . a ∈+∞[,)2C . a ∈[,]12D . a ∈-∞⋃+∞(,][,)12 说明：涉及二次函数的单调性、反函数的概念、充分必要条件等知识．例2． （福建省）已知函数y =log 2x 的反函数是y =f —1(x )，则函数y = f —1(1－x )的图象是（ C ）例3．（全国高考题3）已知函数y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，f (x )=3x -1，设f (x )的反函数是y =g (x )，则g (-8)=___-2_____．例4．（湖北省）函数]1,0[)1(log )(2在++=x a x f a 上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为（ B ）A 、41B 、21 C 、2 D 、4例5．（北京市）在函数f x ax bx c ()=++2中，若a ，b ，c 成等比数列且f ()04=-，则f x ()有最大 值（填“大”或“小”），且该值为-3．例6．（湖南省）设函数,2)2(),0()4(.0,2,0,)(2-=-=-⎩⎨⎧>≤++=f f f x x c bx x x f 若则关于x 的方程x x f =)(解的个数为（ C ）A 、1B 、2C 、3D 、4例7．（江苏省）设k >1，f (x )=k (x -1)(x ∈R ) ．在平面直角坐标系xOy 中，函数y =f (x )的图象与x 轴交于A 点，它的反函数y =f -1(x )的图象与y 轴交于B 点，并且这两个函数的图象交于P 点．已知四边形OAPB 的面积是3，则k 等于（ B ）A 、3B 、32C 、43D 、65例8．（上海市）记函数f (x )=132++-x x 的定义域为A ，g (x )=lg [(x －a －1)(2a －x )](a <1) 的定义域为B ． （1）求A ；（2）若B ⊆A , 求实数a 的取值范围． 解：（1）2－13++x x ≥0，得11+-x x ≥0， x <－1或x ≥1，即A =(－∞，－1) [1，+ ∞)． （2）由(x －a －1)(2a －x )>0，得(x －a －1)(x －2a )<0．因为a <1，所以a +1>2a ，故B =(2a ，a +1)． 因为B ⊆A ，所以2a ≥1或a +1≤－1，即a ≥21或a ≤－2，而a <1， 所以21≤a <1或a ≤－2，故当B ⊆A 时，实数a 的取值范围是(－∞，－2] [21，1)．例9．（2003年全国理科高考题）已知.0>c 设P ：函数xc y =在R 上单调递减.Q ：不等式1|2|>-+c x x 的解集为R ，如果P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围.解：函数xc y =在R 上单调递减.10<<⇔c不等式|2|1|2| 1.x x c R y x x c +->⇔=+-R 的解集为函数在上恒大于 22,2,|2|2,2,1|2|2.|2|121.211,,0.,, 1.(0,][1,).22x c x c x x c c x c y x x c c x x c R c c P Q c P Q c c -≥⎧+-=⎨<⎩∴=+-∴+->⇔>⇔><≤≥⋃+∞R 函数在上的最小值为不等式的解集为如果正确且不正确则如果不正确且正确则所以的取值范围为 2．重视利用导数研究函数的单调性等性质，进而证明一些不等式或转化一些不等式恒成立问题． 例10．（全国高考题1）已知13)(23+-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值范围. 分析：函数13)(23+-+=x x ax x f 在R 上递减等价于0)(≤'x f 恒成立．解：函数f (x )的导数：.163)(2-+='x ax x f当0)(≤'x f （x ∈R ）时，)(x f 是减函数.23610()ax x x +-≤∈R .3012360-≤⇔≤+=∆<⇔a a a 且所以，所求a 的取值范围是（].3,-∞-说明：这类问题在2004年全国各地的高考题中大量出现，需重视． 例11．（重庆市）设函数()(1)(),(1)f x x x x a a =-->（1）求导数/()f x ；并证明()f x 有两个不同的极值点12,x x ； （2）若不等式12()()0f x f x +≤成立，求a 的取值范围． 解：（1）.)1(23)(2a x a x x f ++-='.0)(,;0)(,;0)(,:)())((3)(,,,,04)1(4.0)1(230)(221121212122>'><'<<<'<'--='<>≥+-=∆=++-='x f x x x f x x x x f x x x f x x x x x f x x x x a a a a x a x x f 时当时当时当的符号如下可判断由不妨设故方程有两个不同实根因得方程令因此1x 是极大值点，2x 是极小值点.（2）因故得不等式,0)()(21≤+x f x f ：.0)(]2))[(1(]3))[((.0)())(1(212122121221212122213231≤++-++--++≤++++-+x x a x x x x a x x x x x x x x a x x a x x 即又由（I ）知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+.3),1(322121a x x a x x ，代入前面不等式，两边除以（1+a ），并化简得.02522≥+-a a.0)()(,2,.)(212:21成立不等式时当因此舍去或解不等式得≤+≥≤≥x f x f a a a 例12．（2003年江苏高考题）已知n a ,0>为正整数. （Ⅰ）设1)(,)(--='-=n n a x n y a x y 证明；（Ⅱ）设).()1()1(,,)()(1n f n n f a n a x x x f n n n n n '+>+'≥--=+证明对任意证明：（Ⅰ）因为nk knnC a x 0)(=∑=-k kn x a --)(，所以1)(--=-='∑k kn nk kn xa kC y nk n 0=∑=.)()(1111------=-n k k n k n a x n x a C （Ⅱ）对函数nn n a x x x f )()(--=求导数:nn n n n n n n n n n n n n a n n a n n a n x a x x x f a x x f a x a n n n n f a x n nx x f )()1()1(,,.)()(,.0)(,0].)([)(,)()(1111-->-+-+≥--=≥∴>'>≥--='--='----时当因此的增函数是关于时当时当所以∴))()(1(])1()1)[(1()1(1n n n n n a n n n a n n n n f --+>-+-++=+'+ ).()1())()(1(1n f n a n n n n n n n '+=--+>- 即对任意).()1()1(,1n f n n f a n n n '+>+'≥+四、二轮复习建议（正文用宋体五号字）1．进一步加强对基本概念、基础知识、基本方法的理解和训练（在函数性质和函数与其他知识的小综合上要多加训练，这是关键）．2．在二轮复习过程中，做两件事情：一是分专题讲解“函数、导数与不等式”（重点）、“函数与数列”，二是在整个复习过程中，不断渗透函数的思想方法和数形结合的思想方法． 一些备选例题：1．（2000年春季）已知函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 的图象如图所示，则（ A ）A 、b ∈(-∞，0)B 、 b ∈(0,1)C 、 b ∈(1,2)D 、 b ∈(2,+∞) 分析：显然，（想方程）方程f (x )=0的根为0、1、2，所以，可以设f (x )=ax (x -1)(x -2)，与f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 比较可得：b =-3a ．（想不等式）又x >2时，有f （x ）>0，于是有a >0，故b <0.2．（2000年上海）已知函数f (x )=xax x ++22,x ∈[)+∞,1.（1）当a =21时，求函数f (x )的最小值； （2）若对任意的x ∈[)+∞,1,f (x )>0恒成立，试求a 的取值范围．分析：本题考查求函数的最值的方法，以及等价变换和函数思想的运用．当a =21时，f (x )=221++xx ≥222212+=+⋅x x ，当且仅当22,21==x x x 即时等号成立，而[)∞+∉122，也就是说这个最小值是取不到的． 解：(1)当a =21时，f (x )=221++xx ，函数f (x )在区间[)+∞,1上为增函数（证明略），所以当x =1时，取到最小值f (1)=3.5.(2)解法一：f (x )>0恒成立，就是x 2+2x +a >0恒成立，而函数g (x )=x 2+2x +a 在[)+∞,1上增函数，所以当x =1时，g (x )取到最小值3+a ，故3+a >0，得：a >-3．解法二：f (x )>0恒成立，就是x 2+2x +a >0恒成立，即a >-x 2-2x 恒成立，这只要a 大于函数-x 2-2x 的最大值即可．而函数-x 2-2x 在[)+∞,1上为减函数，当x =1时，函数-x 2-2x 取到最大值-3，所以a >-3．说明：函数、方程不等式之间有着密切的联系，在解题时要重视这种联系，要善于从函数的高度理解方程和不等式的问题，也要善于利用方程和不等式的知识解决函数的问题．3．某工厂有一个容量为300吨的水塔，每天从早上6时起到晚上10时止供应该厂的生产和生活用水，已知该厂生活用水为每小时10吨，工业用水量W （吨）与时间t （小时，且规定早上6时t ＝0）的函数关系为W ＝100t ．水塔的进水量分为10级，第一级每小时进水10吨，以后每提高一级，每小时进水量就增加10吨．若某天水塔原有水100吨，在开始供水的同时打开进水管，问进水量选择为第几级时，既能保证该厂的用水（水塔中水不空）又不会使水溢出?分析：本题主要考查由实际问题建立函数关系式、并利用函数关系解决实际问题.解本题时, 在建立函数关系式后,根据题意应有0＜y ≤300对t 恒成立（注意区分不等式恒成立和解不等式的关系）． 解：设进水量选第x 级，则t 小时后水塔中水的剩余量为y ＝100＋10xt －10t －100t ，且0≤t ≤16．根据题意0＜y ≤300，∴0＜100＋10xt －10t －100t ≤300．0 1 2 xy由左边得x ＞1＋10（t t11-）＝1＋10〔－2)211(-t ＋41〕， 当t ＝4时，1＋10〔－2)211(-t ＋41〕有最大值3．5．∴x ＞3．5．由右边得x ≤t t 1020+＋1，当t ＝16时，tt 1020+＋1有最小值4．75，∴x ≤4．75． 综合上述，进水量应选为第4级．说明：a 为实数，函数f (x )定义域为D ，若a >f (x )对x D ∈恒成立，则a >f (x )的最大值；若a <f (x )对x D ∈恒成立，则a <f (x )的最小值．4．设()x f 是定义在[-1，1]上的偶函数，()x g 与()x f 的图象关于直线01=-x 对称．且当[]3,2∈x 时，()()()()为实数a x x a x g 32422---⋅=（1）求函数()x f 的表达式；（2）在(]6,2∈a 或()+∞,6的情况下，分别讨论函数()x f 的最大值，并指出a 为何值时，()x f 的图像的最高点恰好落在直线12=y 上．分析：（1）注意到()x g 是定义在区间[]3,2上的函数，因此，根据对称性，我们只能求出()x f 在区间[]0,1-上的解析式，()x f 在区间[]1,0上的解析式，则可以根据函数的奇偶性去求．简答：()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-≤≤-+-=1024012433x ax x x ax x x f（2）因为()x f 为偶函数，所以，()x f （11≤≤-x ）的最大值，必等于()x f 在区间[]1,0上的最大值．故只需考虑10≤≤x 的情形，此时，()ax x x f 243+-=．对于这个三次函数，要求其最大值，比较容易想到的方法是：考虑其单调性．因此，可以求函数()x f 的导数．简答：如果()+∞∈,6a 可解得：8=a ； 如果(]6,2∈a ，可解得：61833>=a ，与(]6,2∈a 矛盾．故当8=a 时，函数()x f 的图像的最高点恰好落在直线12=y 上．说明：（1）函数的单调性为研究最值提供了可能；（2）奇偶性可以使得我们在研究函数性质时，将问题简化到定义域的对称区间上． 5．已知函数3211()(1)32f x x b x cx =+-+ (b 、c 为常数),(Ⅰ) 若()f x 在x =1和x =3处取得极值，试求b 、c 的值；(Ⅱ)若()f x 在12(,),(,)x x x ∈-∞+∞上单调递增且在12(,)x x x ∈上单调递减,又满足211x x ->，求证：22(2)b b c >+；(Ⅲ) 在（Ⅱ）的条件下，若1t x <，试比较2t bt c ++与1x 的大小，并加以证明． 解： (Ⅰ)'2()(1)f x x b x c =+-+，由题意得:1和3是方程2(1)0x b x c +-+=的两根，113,1 3.b c -=+⎧∴⎨=⨯⎩解得3,3.b c =-⎧⎨=⎩ (Ⅱ)由题得:当12(,),(,)x x x ∈-∞+∞时，'()0f x >；12(,)x x x ∈时, '()0f x <．12,x x ∴是方程2(1)0x b x c +-+=的两根，则12121,,x x b x x c +=-=222121212212122212(2)24[1()]2[1()]4()41() 1.b bc b b cx x x x x x x x x x x x ∴-+=--=-+--+-=+--=--211x x ->,2221()10,2(2)x x b b c ∴-->∴>+.(Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下,由上一问知212(1)()(),x b x c x x x x +-+=-- 即212()(),x bx c x x x x x ++=--+所以2112112()()()(1),t bt c x t x t x t x t x t x ++-=--+-=-+-2121111,10,0,0,x x t t x t x t x >+>+∴+-<<<∴-<又 2121()(1)0,.t x t x t bt c x ∴-+->++>即。
2014届高三 二轮复习专题讲座六 函数与导数
【2014届第二轮复习专题讲座 】函数与导数函数是高中数学的一条主线，它的思想及其解决问题的方法贯穿整个高中数学．三角、极限与导数、数列、不等式、向量、概率与统计、解析几何等重要的数学内容都与函数有关．函数可能会与下面的重点知识交汇：（1）函数与导数，导数是作为工具出现在问题中的．（2）函数与不等式，这里的不等式是作为问题出现的，如解不等式、证明不等式以及不等式恒成立条件下的参数范围求解等．（3）函数与方程，这里的方程也是作为问题出现的，最典型的就是方程根的分布问题． （4）函数与数列，这种题往往以函数为背景，由函数派生出一个数列，实则是一个数列问题，这种题的综合性和难度都很大．题型一、曲线的切线问题归结：（1）题型结构：过某点向已知函数的图像引切线，探求切线方程；给出切线的信息，反过来研究函数的性质．（2）题型特点：切线的斜率有两种表现形式，第一，通过函数在切点处的导数来表现；第二，通过切线方程或斜率的坐标形式来表现．切点有三用，一用切点表示切线的斜率；二用切点表示切线方程；三用切点既在曲线上也在切线上．过某点引切线，该点不一定在曲线上．（3）一般解题思路：用导数表示切线的斜率→用斜率的不同表现形式列出等量关系（方程）→用方程．．来解决切线问题． （4）重要技巧：①用函数解析式或曲线的方程来表示切点的坐标；②用/0()f x 来表示切线的斜率；③用/0()f x 和切点坐标00(,())x f x 来写切线方程；④用切线上的其他点和切点来表示切线的斜率；⑤用列、解方程组的方法来求切点坐标．例1．（2007天津卷）已知函数2221()()1ax a f x x x -+=∈+R ，其中a ∈R ． （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程； （Ⅰ）解：当1a =时，22()1x f x x =+，4(2)5f =， 又2222222(1)2222()(1)(1)x x x x f x x x +--'==++·，6(2)25f '=-． 所以，曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程为46(2)525y x -=--， 即62320x y +-=．例2．（2008年全国）已知函数.23)(23x x x x f -+-=(I)求曲线)(x f y =过点(0,1)-的切线方程；【解答】(I)曲线)())((:))(,()(a f a x a f y a f a x f y +-'==处的切线方程为在即a a a a x a a y 23))(263(232-+---+-=211,0132,)1,0(23-===+-∴-a a a a 或解得在切线上 ，14231)()1,0(--=-==-∴x y x y x f y 和的切线方程为作曲线过点例3．（2007湖北卷）已知定义在正实数集上的函数f （x ）=21x 2+2ax ，g （x ）=3a 2lnx+b ，其中a>0。
高考总复习二轮文科数学精品课件 专题6 函数与导数 培优拓展14 双变量问题的转化
(3)对任意x1,x2∈[-3,3],都有f(x1)≤g(x2),求实数c的取值范围.
解 令k(x)=f(x)-g(x)=-2x3+3x2+12x-c,x∈[-3,3],
k'(x)=-6x2+6x+12=0,得x1=-1,x2=2.
-1
h(x)= e ,x∈(1,+∞),则
-1
a≥ e 在
x>1 时恒成立,
2-
h'(x)= e ,
所以当 x∈(1,2)时,h'(x)>0,h(x)单调递增,
当 x∈(2,+∞)时,h'(x)<0,h(x)单调递减,
所以当 x=2 时 h(x)取到最大值
1
h(2)= 2 ,所以实数
e
a
即方程
2
a= e 有两个不同的实数根,设
2
u(x)= e ,可得
2-2
u'(x)= e ,
当 x<1 时,可得 u'(x)>0,u(x)单调递增;当 x>1 时,可得 u'(x)<0,u(x)单调递减,
∴x=1 时,函数 u(x)取得极大值,极大值为
2
u(1)=e,
又 x<0 时,u(x)<0;x>0 时,u(x)>0,且 x→+∞时,u(x)→0,
系或二元之间的函数的关系,运用转化的思想进行消元,化归为熟悉的一元
问题,再通过研究一元问题使原问题得到解决.
对点训练2
(2023江西赣州二模)已知函数f(x)=x2-3x+ln x.
高考数学二轮复习 专题六 函数与导数 第1讲 函数的图象与性质学案 理
第1讲函数的图象与性质[考情考向分析] 1.高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度中等偏下.2.对图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题.3.对函数性质的考查，主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合在一起考查，既有具体函数也有抽象函数．常以选择题、填空题的形式出现，且常与新定义问题相结合，难度较大．热点一函数的性质及应用1．单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则．2．奇偶性(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．(2)在公共定义域内：①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数；②两个偶函数的和函数、积函数都是偶函数；③一个奇函数、一个偶函数的积函数是奇函数．(3)若f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0.(4)若f(x)是偶函数，则f(x)＝f(－x)＝f(|x|)．(5)图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称．3．周期性定义：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数在其定义域上满足f(a＋x)＝f(x)(a≠0)，则其一个周期T＝|a|.常见结论：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则函数f(x)的最小正周期为2|a|，a≠0.(2)若f (x ＋a )＝1f (x )，则函数f (x )的最小正周期为2|a |，a ≠0. (3)若f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称．例1 (1)(2018·贵州省黔东南州模拟)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－πx ＋(x ＋e )2x 2＋e 2的最大值为M ，最小值为N ，则(M ＋N －1)2 018的值为( ) A ．1 B ．2 C ．22 018D ．32 018答案 A解析 由已知x ∈R ，f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－πx ＋(x ＋e )2x 2＋e 2＝sin πx ＋x 2＋e 2＋2e x x 2＋e 2＝sin πx ＋2e x x 2＋e 2＋1，令g (x )＝sin πx ＋2e xx 2＋e 2，易知g (x )为奇函数，由于奇函数在对称区间上的最大值与最小值的和为0，M ＋N ＝f (x )max ＋f (x )min ＝g (x )max ＋1＋g (x )min ＋1＝2，(M ＋N －1)2 018＝1，故选A.(2)(2018·上饶模拟)已知定义在R 上的函数f (x )满足：函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称，且x ≥0时恒有f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝e x－1，则f (－2 017)＋f (2 018)＝________. 答案 1－e解析 因为函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称，所以y ＝f (x )的图象关于原点对称， 又定义域为R ，所以函数y ＝f (x )是奇函数，因为x ≥0时恒有f (x ＋2)＝f (x )， 所以f (－2 017)＋f (2 018)＝－f (2 017)＋f (0) ＝－f (1)＋f (0)＝－(e 1－1)＋(e 0－1)＝1－e.思维升华 (1)可以根据函数的奇偶性和周期性，将所求函数值转化为给出解析式的范围内的函数值．(2)利用函数的单调性解不等式的关键是化成f (x 1)<f (x 2)的形式．跟踪演练 1 (1)定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，且当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋1，0≤x <1，2－2x，x ≥1，若对任意的x ∈[m ，m ＋1]，不等式f (1－x )≤f (x ＋m )恒成立，则实数m 的最大值为( ) A ．－1B ．－12C ．－13D.13答案 C解析 函数f (x )为偶函数，且当x ≥0时，函数为减函数，当x <0时，函数为增函数．若对任意的x ∈[m ，m ＋1]，不等式f (1－x )≤f (x ＋m )恒成立，则|1－x |≥|x ＋m |，即(1－x )2≥(x ＋m )2，所以2(1＋m )x ≤(1＋m )(1－m )．当m ＋1>0时，x ≤1－m 2，所以m ＋1≤1－m 2，解得m ≤－13，所以－1<m ≤－13；当m ＋1＝0时，不等式成立；当m ＋1<0时，x ≥1－m 2，所以m ≥1－m2，m ≥13，与m <－1矛盾，此时无解．故－1≤m ≤－13，m 的最大值为－13.(2)(2018·全国Ⅱ)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)等于( )A ．－50B ．0C ．2D ．50 答案 C解析 ∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (1－x )＝－f (x －1)．∵f (1－x )＝f (1＋x )， ∴－f (x －1)＝f (x ＋1)，∴f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )， ∴函数f (x )是周期为4的周期函数． 由f (x )为奇函数且定义域为R 得f (0)＝0， 又∵f (1－x )＝f (1＋x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称， ∴f (2)＝f (0)＝0，∴f (－2)＝0. 又f (1)＝2，∴f (－1)＝－2，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝f (1)＋f (2)＋f (－1)＋f (0)＝2＋0－2＋0＝0， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (49)＋f (50) ＝0×12＋f (49)＋f (50)＝f (1)＋f (2)＝2＋0＝2. 故选C.热点二 函数图象及应用1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．2．利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点．例2 (1)(2018·全国Ⅱ)函数f (x )＝e x －e－xx2的图象大致为( )答案 B解析 ∵y ＝e x －e －x 是奇函数，y ＝x 2是偶函数， ∴f (x )＝e x－e －xx2是奇函数，图象关于原点对称，排除A. 当x ＝1时，f (1)＝e －e －11＝e －1e >0，排除D.又e>2，∴1e <12，∴e－1e >32，排除C.故选B.(2)(2018·河南省中原名校模拟)函数f (x )＝e x＋a e －x与g (x )＝x 2＋ax 在同一坐标系内的图象不可能是( )答案 C解析 因为g (x )＝x 2＋ax 的图象过原点，所以图象中过原点的抛物线是函数g (x )的图象，在选项C 中，上面的图象是函数f (x )的图象，下面的是函数g (x )的图象，所以－a2>0，所以a <0，因为f ′(x )＝e x －a e －x ，所以f ′(x )>0在R 上恒成立，所以函数f (x )在定义域内单调递增，不是选项C 中的图象，故选C.思维升华 (1)根据函数的解析式判断函数的图象，要从定义域、值域、单调性、奇偶性等方面入手，结合给出的函数图象进行全面分析，有时也可结合特殊的函数值进行辅助推断，这是判断函数图象问题的基本方法．(2)判断复杂函数的图象，常借助导数这一工具，先对原函数进行求导，再利用导数判断函数的单调性、极值或最值，从而对选项进行筛选．要注意函数求导之后，导函数发生了变化，故导函数和原函数定义域会有所不同，我们必须在原函数的定义域内研究函数的极值和最值．跟踪演练 2 (1)(2018·河北省衡水中学调研)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ln x －1x ＋1的图象大致为( )答案 B解析 由于x ≠0，故排除A.f (－x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ln－x －1－x ＋1＝－f (x )，又函数f (x )的定义域为(1，＋∞)∪(－∞，－1)， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称，排除C.f (2)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ln 13＝－sin(ln 3)<0， 排除D ，故选B.(2)(2018·东北三省三校模拟)函数f (x )＝|x |＋a x(a ∈R )的图象不可能是( )答案 C解析 对于A ，当a ＝0时，f (x )＝|x |，且x ≠0，故可能；对于B ，当x >0且a >0时，f (x )＝x ＋a x≥2a ，当且仅当x ＝a 时等号成立，当x <0且a >0时，f (x )＝－x ＋ax在(－∞，0)上为减函数，故可能；对于D ，当x <0且a <0时，f (x )＝－x ＋ax≥2－x ·a x＝2－a ，当且仅当x ＝－－a 时等号成立，当x >0且a <0时，f (x )＝x ＋a x在(0，＋∞)上为增函数，故可能，且C 不可能．故选C. 热点三 基本初等函数的图象和性质1．指数函数y ＝a x(a >0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)的图象和性质，分0<a <1，a >1两种情况，着重关注两函数图象中的公共性质．2．幂函数y ＝x α的图象和性质，主要掌握α＝1,2,3，12，－1五种情况．例3 (1)(2017·全国Ⅰ)设x ，y ，z 为正数，且2x＝3y＝5z，则( ) A ．2x <3y <5z B ．5z <2x <3y C ．3y <5z <2x D ．3y <2x <5z答案 D解析 令t ＝2x＝3y＝5z， ∵x ，y ，z 为正数，∴t >1.则x ＝log 2t ＝lg t lg 2，同理，y ＝lg t lg 3，z ＝lg tlg 5.∴2x －3y ＝2lg t lg 2－3lg t lg 3＝lg t (2lg 3－3lg 2)lg 2×lg 3＝lg t (lg 9－lg 8)lg 2×lg 3>0，∴2x >3y .又∵2x －5z ＝2lg t lg 2－5lg t lg 5＝lg t (2lg 5－5lg 2)lg 2×lg 5＝lg t (lg 25－lg 32)lg 2×lg 5<0，∴2x <5z ，∴3y <2x <5z .故选D.(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x <0，(a －3)x ＋4a ，x ≥0满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，则a的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14 B ．(1,2]C ．(1,3) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 答案 A 解析 由f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0，得f (x )是减函数，即⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a －3<0，4a ≤1，得a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14，故选A.思维升华 (1)指数函数、对数函数、幂函数是高考的必考内容之一，重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及运算能力． (2)比较代数式大小问题，往往利用函数图象或者函数的单调性．跟踪演练3 (1)(2018·天津)已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．c >b >a D ．c >a >b答案 D 解析 c ＝121log 3＝log 23>log 2e ＝a ，即c >a . 又b ＝ln 2＝1log 2e <1<log 2e ＝a ，即a >b .所以c >a >b .故选D.(2)对任意实数a ，b 定义运算“Δ”：a Δb ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤2，b ，a －b >2，设f (x )＝3x ＋1Δ(1－x )，若函数f (x )与函数g (x )＝x 2－6x 在区间(m ，m ＋1)上均为减函数，则实数m 的取值范围是( ) A ．[－1,2] B ．(0,3] C ．[0,2] D ．[1,3]答案 C解析 由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x >0，3x ＋1，x ≤0，∴函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减，函数g (x )＝(x －3)2－9在(－∞，3]上单调递减，若函数f (x )与g (x )在区间(m ，m ＋1)上均为减函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ＋1≤3，得0≤m ≤2，故选C.真题体验1．(2018·全国Ⅲ改编)函数y ＝－x 4＋x 2＋2的图象大致为________．(填序号)答案 ④解析 方法一 f ′(x )＝－4x 3＋2x ，则f ′(x )>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22，此时f (x )单调递增；f ′(x )<0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞，此时f (x )单调递减． 方法二 当x ＝1时，y ＝2，所以排除①②.当x ＝0时，y ＝2，而当x ＝12时，y ＝－116＋14＋2＝2316>2， 所以排除③.2．(2017·天津改编)已知奇函数f (x )在R 上是增函数，g (x )＝xf (x )．若a ＝g (－log 25.1)，b ＝g (20.8)，c ＝g (3)，则a ，b ，c 的大小关系为________．答案 b <a <c解析 依题意a ＝g (－log 25.1) ＝(－log 25.1)·f (－log 25.1)＝log 25.1f (log 25.1)＝g (log 25.1)． 因为f (x )在R 上是增函数，可设0<x 1<x 2， 则0<f (x 1)<f (x 2)．从而x 1f (x 1)<x 2f (x 2)，即g (x 1)<g (x 2)． 所以g (x )在(0，＋∞)上亦为增函数． 又log 25.1>0,20.8>0,3>0， 且log 25.1<log 28＝3,20.8<21<3， 而20.8<21＝log 24<log 25.1， 所以3>log 25.1>20.8>0，所以c >a >b .3．(2017·山东改编)设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0<x <1，2(x －1)，x ≥1，若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝________.答案 6解析 若0<a <1，由f (a )＝f (a ＋1)， 得a ＝2(a ＋1－1)， ∴a ＝14，∴f⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝f (4)＝2×(4－1)＝6.若a ≥1，由f (a )＝f (a ＋1)， 得2(a －1)＝2(a ＋1－1)，无解．综上，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝6. 4．(2017·全国Ⅱ)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，则f (2)＝________. 答案 12解析 方法一 令x >0，则－x <0. ∴f (－x )＝－2x 3＋x 2.∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )． ∴f (x )＝2x 3－x 2(x >0)． ∴f (2)＝2×23－22＝12. 方法二 f (2)＝－f (－2) ＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12. 押题预测1．在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a(x ≥0)，g (x )＝log a x 的图象可能是( )押题依据 指数、对数、幂函数的图象识别问题是高考命题的热点，旨在考查其基本性质的灵活运用，题目难度一般不大，位于试卷比较靠前的位置． 答案 D解析 方法一 分a >1,0<a <1两种情形讨论．当a >1时，y ＝x a与y ＝log a x 均为增函数，但y ＝x a递增较快，排除C ；当0<a <1时，y ＝x a为增函数，y ＝log a x 为减函数，排除A.由于y ＝x a递增较慢，故选D. 方法二 幂函数f (x )＝x a的图象不过(0,1)点，排除A ；B 项中由对数函数g (x )＝log a x 的图象知0<a <1，而此时幂函数f (x )＝x a的图象应是增长越来越慢的变化趋势，故B 错，D 正确；C 项中由对数函数g (x )＝log a x 的图象知a >1，而此时幂函数g (x )＝x a的图象应是增长越来越快的变化趋势，故C 错．2．设函数y ＝f (x )(x ∈R )为偶函数，且∀x ∈R ，满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32＝f⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，当x ∈[2,3]时，f (x )＝x ，则当x ∈[－2,0]时，f (x )等于( ) A ．|x ＋4| B ．|2－x | C ．2＋|x ＋1|D ．3－|x ＋1|押题依据 利用函数的周期性、奇偶性求函数值是高考的传统题型，考查学生思维的灵活性． 答案 D解析 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，可得f (x ＋2)＝f (x )，则当x ∈[－2，－1]时，x ＋4∈[2,3]，f (x )＝f (x ＋4)＝x ＋4＝x ＋1＋3；当x ∈[－1,0]时，－x ∈[0,1]，2－x ∈[2,3]，f (x )＝f (－x )＝f (2－x )＝2－x ＝3－x －1，故选D.3．已知函数f (x )＝1ln (x ＋1)－x，则y ＝f (x )的图象大致为( )押题依据 图象的识别和变换是高考的热点，此类问题既考查了基础知识，又考查了学生的灵活变换能力． 答案 B解析 方法一 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x ≠0，∴f (x )的定义域为{x |x >－1且x ≠0}． 令g (x )＝ln(x ＋1)－x ，则g ′(x )＝1x ＋1－1＝－xx ＋1， 当－1<x <0时，g ′(x )>0；当x >0时，g ′(x )<0.∴f (x )在区间(－1,0)上为减函数，在区间(0，＋∞)上为增函数，对照各选项，只有B 符合． 方法二 取特殊值，用排除法求解，f (2)＝1ln 3－2<0，排除A.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1ln 12＋12＝1ln e 2<0， 排除C ，D ，故选B.4．已知函数h (x )(x ≠0)为偶函数，且当x >0时，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 24，0<x ≤4，4－2x ，x >4，若h (t )>h (2)，则实数t 的取值范围为________．押题依据 分段函数是高考的必考内容，利用函数的单调性求解参数的范围，是一类重要题型，是高考考查的热点．本题恰当地应用了函数的单调性，同时考查了函数的奇偶性的性质．答案 (－2,0)∪(0,2)解析 因为当x >0时，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 24，0<x ≤4，4－2x ，x >4.所以函数h (x )在(0，＋∞)上单调递减，因为函数h (x )(x ≠0)为偶函数，且h (t )>h (2)， 所以h (|t |)>h (2)，所以0<|t |<2，所以⎩⎪⎨⎪⎧t ≠0，|t |<2，即⎩⎪⎨⎪⎧t ≠0，－2<t <2，解得－2<t <0或0<t <2.综上，所求实数t 的取值范围为(－2,0)∪(0,2)．A 组 专题通关1．(2018·北京石景山区模拟)下列函数中既是奇函数，又在区间(0，＋∞)上是减函数的为( ) A ．y ＝x B ．y ＝－x 3C ．y ＝12log xD ．y ＝x ＋1x答案 B解析 由题意得，对于函数y ＝x 和函数y ＝12log x 都是非奇非偶函数，排除A ，C.又函数y ＝x ＋1x在区间(0,1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增，排除D ，故选B.2．(2018·合肥质检)已知函数f (x )＝a －2xa ＋2x是奇函数，则f (a )的值等于( )A ．－13B ．3C ．－13或3D.13或3 答案 C解析 函数f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )，即a －2－x a ＋2－x ＝－a －2x a ＋2x在定义域内恒成立，整理可得a ·2x －1a ·2x ＋1＝－a ＋2xa ＋2x，即a 2＝1恒成立，∴a ＝±1， 当a ＝1时，函数f (x )的解析式为 f (x )＝1－2x 1＋2x ，f ()a ＝f ()1＝1－211＋21＝－13，当a ＝－1时，函数f (x )的解析式为f (x )＝－1－2x－1＋2x ，f ()a ＝f ()－1＝－1－2－1－1＋2－1＝3.综上可得f ()a 的值为－13或3.3．(2018·安庆模拟)函数f (x )＝x ＋1||x ＋1log a||x (0<a <1)的图象的大致形状是( )答案 C 解析 f (x )＝x ＋1||x ＋1log a||x＝⎩⎨⎧－log a (－x )，x <－1，log a ()－x ，－1<x <0，log ax ，x >0.故选C.4．(2018·合肥质检)已知函数f (x )＝1－2x1＋2x ，实数a ，b 满足不等式f (2a ＋b )＋f (4－3b )>0，则下列不等式恒成立的是( ) A ．b －a <2 B ．a ＋2b >2 C ．b －a >2 D ．a ＋2b <2答案 C解析 由题意得f (－x )＝1－2－x1＋2－x ＝2x －12x ＋1＝－1－2x2x＋1＝－f (x )，故函数f (x )为奇函数．又f (x )＝－2x －11＋2x ＝－(2x＋1)－21＋2x ＝－1＋21＋2x ，故函数f (x )在R 上单调递减． ∵f (2a ＋b )＋f (4－3b )>0， ∴f (2a ＋b )>－f (4－3b )＝f (3b －4)， ∴2a ＋b <3b －4，∴b －a >2.故选C.5．(2018·天津市十二重点中学联考)已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上单调递增，若a ＝15(log 3)f ，b ＝f (log 35)，c ＝f (0.20.5)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a <b <c B ．c <a <b C ．b <a <c D ．c <b <a答案 C解析 ∵f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数， ∴a ＝15(log 3)f ＝f ()－log 53＝f ()log 53，∵12＝log 55<log 53<1,1＝log 33<log 35， 0<0.20.5＝55<12， ∴0.20.5<log 53<log 35，∵f (x )在(－∞，0]上是增函数，f (x )是定义在R 上的偶函数，∴f (x )在[0，＋∞)上为减函数， 则f ()0.20.5>f ()log 53>f ()log 35，即b <a <c ，故选C.6．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋1，x ≥1，－x 2＋ax ＋1，x <1在R 上是增函数，则a 的取值范围为( )A ．[2,3]B ．[2，＋∞) C．[1,3] D ．[1，＋∞) 答案 A解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2≥1，－1＋a ＋1≤2＋1，∴a ∈[2,3]，故选A.7．(2018·广东省六校联考)函数y ＝1－ln|x |1＋ln|x |·sin x 的部分图象大致为( )答案 A解析 设f (x )＝1－ln|x |1＋ln|x |·sin x ，由1＋ln|x |≠0，得x ≠±1e ，则函数f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1e ∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e ∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞. ∵f (－x )＝1－ln|－x |1＋ln|－x |·sin(－x )＝－1－ln|x |1＋ln|x |·sin x ＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数，排除D.又1>1e，且f (1)＝sin 1>0，故可排除B.0<1e 2<1e ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2＝1－ln ⎪⎪⎪⎪⎪⎪1e 21＋ln ⎪⎪⎪⎪⎪⎪1e 2·sin 1e 2＝1－(－2)1－2·sin 1e 2＝－3·sin 1e2<0， 故可排除C.故选A.8．(2018·德阳二诊)已知log 2x ＝log 3y ＝log 5z <0，则2x ，3y ，5z的大小排序为( )A.2x <3y <5zB.3y <2x <5zC.5z <2x <3yD.5z <3y <2x答案 A解析 x ，y ，z 为正实数，且log 2x ＝log 3y ＝log 5z <0， 令log 2x ＝log 3y ＝log 5z ＝k (k <0)， ∴x2＝2k －1，y3＝3k －1，z5＝5k －1，可得2x ＝21－k ，3y ＝31－k ，5z＝51－k，又1－k >0， ∴函数f (x )＝x1－k在(0，＋∞)上单调递增，∴2x <3y <5z.故选A.9．(2017·全国Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x，x >0，则满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12>1的x 的取值范围是______________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞ 解析 由题意知，对不等式分x ≤0,0<x ≤12，x >12三段讨论．当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12>1，解得x >－14，∴－14<x ≤0.当0<x ≤12时，原不等式为2x＋x ＋12>1，显然成立．当x >12时，原不等式为2x＋122x ->1，显然成立．综上可知，x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞. 10．已知定义在R 上的函数f (x )满足：①函数f (x )的图象的对称中心为(1,0)，且对称轴为x ＝－1；②当x ∈[－1,1]时，f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ∈(0，1]，1－x 2，x ∈[－1，0]，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＝________. 答案 －32解析 由题意作出f (x )的部分图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＝－ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝－32.11．(2018·全国Ⅲ)已知函数f (x )＝ln(1＋x 2－x )＋1，f (a )＝4，则f (－a )＝________. 答案 －2解析 ∵f (x )＋f (－x )＝ln(1＋x 2－x )＋1＋ln(1＋x 2＋x )＋1＝ln(1＋x 2－x 2)＋2＝2， ∴f (a )＋f (－a )＝2，∴f (－a )＝－2.12．已知函数f (x )是奇函数，当x <0时，f (x )＝－x 2＋x .若不等式f (x )－x ≤2log a x (a >0且a ≠1)对∀x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22恒成立，则实数a 的取值范围是________． 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，1 解析 由已知得当x >0时，f (x )＝x 2＋x ， 故x 2≤2log a x 对∀x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22恒成立， 即当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22时， 函数y ＝x 2的图象不在y ＝2log a x 图象的上方， 由图(图略)知0<a <1且2log a 22≥12， 解得14≤a <1.B 组 能力提高13．(2018·河北衡水中学模拟)已知函数f (x )＝22 019x＋1＋sin x ，其中f ′(x )为函数f (x )的导数，则f (2 018)＋f (－2 018)＋f ′(2 019)－f ′(－2 019)等于( ) A ．2 B ．2 019 C ．2 018 D ．0答案 A解析 由题意得f (x )＋f (－x )＝2， ∴f (2 018)＋f (－2 018)＝2，由f (x )＋f (－x )＝2可得f (x )－1＋f (－x )－1＝0， ∴y ＝f (x )－1为奇函数，∴y ＝f (x )－1的导函数为偶函数，即y ＝f ′(x )为偶函数，其图象关于y 轴对称， ∴f ′(2 019)－f ′(－2 019)＝0，∴f (2 018)＋f (－2 018)＋f ′(2 019)－f ′(－2 019)＝2. 故选A.14．(2018·江西省分宜中学、玉山一中、临川一中等九校联考)若函数y ＝f (x )，x ∈M 对于给定的非零实数a ，总存在非零常数T ，使得定义域M 内的任意实数，都有af (x )＝f (x ＋T )恒成立，此时T 为f (x )的类周期，函数y ＝f (x )是M 上的a 级类周期函数，若函数y ＝f (x )是定义在区间[0，＋∞)内的3级类周期函数且T ＝2，当x ∈[0,2)，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12－2x 2，0≤x ≤1，f (2－x )，1<x <2，函数g (x )＝－2ln x ＋12x 2＋x ＋m ，若∃x 1∈[6,8]，∃x 2∈(0，＋∞)使g (x 2)－f (x 1)≤0成立，则实数m 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，132 B ．(－∞，12] C ．(－∞，39] D ．[12，＋∞)答案 C解析 根据题意，对于函数f (x )，当x ∈[0,2)时， f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12－2x 2，0≤x ≤1，f (2－x )，1<x <2，分析可得：当0≤x ≤1时，f (x )＝12－2x 2，此时f (x )的最大值f (0)＝12，最小值f (1)＝－32，当1<x <2时，f (x )＝f (2－x )，函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称， 则此时有－32<f (x )<12，又由函数y ＝f (x )是定义在区间[0，＋∞)内的3级类周期函数，且T ＝2， 则在x ∈[6,8)上，f (x )＝33·f (x －6)， 则有－812≤f (x )≤272，则f (8)＝27f (2)＝81f (0)＝812， 则函数f (x )在区间[6,8]上的最大值为812，最小值为－812；对于函数g (x )＝－2ln x ＋12x 2＋x ＋m ，g ′(x )＝(x －1)(x ＋2)x.分析可得：在(0,1)上，g ′(x )<0，函数g (x )为减函数， 在(1，＋∞)上，g ′(x )>0，函数g (x )为增函数， 则函数g (x )在(0，＋∞)上有最小值g (1)＝32＋m ，若∃x 1∈[6,8]，∃x 2∈(0，＋∞)， 使g (x 2)－f (x 1)≤0成立，必有g (x )min ≤f (x )max ，即32＋m ≤812，得m 的取值范围为(－∞，39]．15．(2018·安阳二模)已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足12f (x )－g (x )＝x －1x 2＋1，若g (x ＋5)＋g ⎝⎛⎭⎪⎫1x －1<g (x )＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，则x 的取值范围是____________________．答案 {x |x >－2且x ≠0且x ≠1} 解析 因为12f (x )－g (x )＝x －1x 2＋1，所以12f (－x )－g (－x )＝－x －1x 2＋1，即－12f (x )－g (x )＝－x －1x 2＋1，因此g (x )＝1x 2＋1. 因为g (x )＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x 2＋1＋11x2＋1＝1，所以由g (x ＋5)＋g ⎝⎛⎭⎪⎫1x －1<g (x )＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，得1(x ＋5)2＋1＋(x －1)21＋(x －1)2<1， 即1(x ＋5)2＋1<11＋(x －1)2，解得x >－2，结合分母不为零得x 的取值范围是 {x |x >－2且x ≠0且x ≠1}．16．(2018·天津)已知a ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋a －2，x ≤0，－x 2＋2x －2a ，x >0.若对任意x ∈[－3，＋∞)，f (x )≤|x |恒成立，则a 的取值范围是_______．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，2解析 如图所示，若对任意x ∈[－3，＋∞)，要使函数y ＝f (x )的图象恒在y ＝|x |图象的下方，则必有⎩⎪⎨⎪⎧f (－3)≤3， ①f (0)≤0， ②且在(0，＋∞)内直线y ＝x 与y ＝－x 2＋2x －2a 相切或相离，所以x ＝－x 2＋2x －2a 有两个相等实根或无实根，即对于方程x 2－x ＋2a ＝0， Δ＝(－1)2－4×2a ≤0，解得a ≥18.由①②得9－6＋a －2≤3且a －2≤0，所以a ≤2. 综上，18≤a ≤2.。
高考数学统考二轮复习 第二部分 专题6 函数与导数 第1讲 函数的图象与性质(教师用书)教案 理
学习资料专题6第1讲 函数的图象与性质函数及其表示 授课提示：对应学生用书第53页考情调研考向分析以基本初等函数为载体，考查函数的表示法、定义域；分段函数以及函数与其他知识的综合是高考热点，题型既有选择、填空题，又有解答题，中等偏下难度。
1.求函数的定义域． 2。
分段函数求值.［题组练透］1．(2020·宜春模拟）集合A ＝｛x |x 2＋x －6≤0},集合B 为函数y ＝lg （x －1）的定义域，则A ∩B ＝（ )A ．（1，2)B ．[1,2］C ．[1,2）D ．(1,2］解析：由题意可知，集合A ：x 2＋x －6≤0,(x ＋3）(x －2)≤0，解得－3≤x ≤2；集合B ：x －1〉0，解得x >1，综上所述，A ∩B ＝(1,2],故选D 。
答案:D2．(2020·吉安模拟)已知集合A ＝{x ｜y ＝错误!｝,B ＝{x |y ＝lg(2x －1）}，则A ∩B 等于( ） A 。
错误! B 。
错误! C.错误!D 。
错误!解析：由题意,集合A ＝｛x |y ＝错误!｝＝错误!,B ＝{x ｜y ＝lg(2x －1)}＝｛x |x >0}，所以A ∩B ＝错误!。
故选C.答案：C3．已知函数f （x ）＝错误!则f 错误!＝________。
解析：由题得f 错误!＝log 2错误!＝log 22－2＝－2，所以f 错误!＝f (－2）＝2－22＝－2. 答案：－24．函数f （x )＝错误!，则f (f （0））＝________。
解析：由函数的解析式可得f (0)＝错误!＝－2， 则f (f (0））＝f （－2)＝log 4｜－2｜＝12.答案:错误
(2)若 f (x ＋a )＝ 1，则函数 f (x )的最小正周期为 2|a |，a ≠0.(3)若 f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数 f (x )的图象关于直线 x ＝a ＋b第 1 讲 函数的图象与性质[考情考向分析]1.高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度中等偏下.2.对图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题.3.对函数性质的考查，主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合在一起考查，既有具体函数也有抽象函数．常以选择题、填空题的形式出现，且常与新定义问题相结合，难度较大．热点一 函数的性质及应用1．单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则．2．奇偶性(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．(2)在公共定义域内：①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数；②两个偶函数的和函数、积函数都是偶函数；③一个奇函数、一个偶函数的积函数是奇函数．(3)若 f (x )是奇函数且在 x ＝0 处有定义，则 f (0)＝0.(4)若 f (x )是偶函数，则 f (x )＝f (－x )＝f (|x |)．(5)图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于 y 轴对称．3．周期性定义：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数在其定义域上满足 f (a ＋x )＝f (x )(a ≠0)，则其一个周期 T ＝|a |.常见结论：(1)若 f (x ＋a )＝－f (x )，则函数 f (x )的最小正周期为 2|a |，a ≠0.f (x )2 对称．cos －π x ⎪＋(x ＋e )2x 2＋e 2cos －π x ⎪＋(x ＋e )2x 2＋e 2 x 2＋e 2sin π x ＋2e xx 2＋e 2 f ⎪⎩2－2x，x ≥1，2 3⎛π ⎫⎝ 2 ⎭例 1 (1)(2018·贵州省黔东南州模拟)设函数 f (x )＝的最大值为 M ，最小值为 N ，则(M ＋N －1)2 018 的值为( )A ．1B ．2C ．22 018D ．32 018答案 A解析 由已知 x ∈R ，f (x )＝⎛π ⎫ ⎝ 2 ⎭x 2＋e 2sin π x ＋x 2＋e 2＋2e x sin π x ＋2e x ＝ ＝ ＋1，令 g (x )＝ ，易知 g (x )为奇函数，由于奇函数在对称区间上的最大值与最小值的和为 0，M ＋N ＝f (x )max ＋f (x )min ＝g (x )max ＋1＋g (x )min ＋1＝2，(M ＋N －1)2 018＝1，故选 A.(2)(2018·上饶模拟)已知定义在 R 上的函数 f (x )满足：函数 y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称，且 x ≥0 时恒有 f (x ＋2)＝f (x )，当 x ∈[0,1]时， (x )＝e x －1，则 f (－2 017)＋f (2 018)＝________.答案 1－e解析 因为函数 y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称，所以 y ＝f (x )的图象关于原点对称，又定义域为 R ，所以函数 y ＝f (x )是奇函数，因为 x ≥0 时恒有 f (x ＋2)＝f (x )，所以 f (－2 017)＋f (2 018)＝－f (2 017)＋f (0)＝－f (1)＋f (0)＝－(e 1－1)＋(e 0－1)＝1－e.思维升华 (1)可以根据函数的奇偶性和周期性，将所求函数值转化为给出解析式的范围内的函数值．(2)利用函数的单调性解不等式的关键是化成 f (x 1)<f (x 2)的形式． 跟踪演练 1(1) 定义在 R 上的函数 f (x ) 满足 f ( － x ) ＝ f (x ) ，且当 x ≥0 时， f (x ) ＝⎧⎪－x 2＋1，0≤x <1，⎨m 的最大值为()A ．－1若对任意的 x ∈[m ，m ＋1]，不等式 f (1－x )≤f (x ＋m )恒成立，则实数1B ．－1C ．－D. 1 3答案 C解析 函数 f (x )为偶函数，且当 x ≥0 时，函数为减函数，当 x <0 时，函数为增函数．若对任＋m )2，所以 2(1＋m )x ≤(1＋m )(1－m )．当 m ＋1>0 时，x ≤ ，所以 m ＋1≤ ，解得 m ≤－ ，所以－1<m ≤－ ；当 m ＋1＝0 时，不等式成立；当 m ＋1<0 时，x ≥ ，所以 m ≥ ，m ≥ ，与 m <－1 矛盾，此时无解．故－1≤m ≤－ ，m 的最大值为－ .意的 x ∈[m ，m ＋1]，不等式 f (1－x )≤f (x ＋m )恒成立，则|1－x |≥|x ＋m |，即(1－x )2≥(x1－m 1－m2 21 1 1－m 1－m3 3 2 21 1 1 3 3 3(2)(2018·全国Ⅱ)已知 f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足 f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则 f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)等于()A ．－50B ．0C ．2D ．50答案 C解析 ∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (1－x )＝－f (x －1)．∵f (1－x )＝f (1＋x )，∴－f (x －1)＝f (x ＋1)，∴f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )，∴函数 f (x )是周期为 4 的周期函数．由 f (x )为奇函数且定义域为 R 得 f (0)＝0，又∵f (1－x )＝f (1＋x )，∴f (x )的图象关于直线 x ＝1 对称，∴f (2)＝f (0)＝0，∴f (－2)＝0.又 f (1)＝2，∴f (－1)＝－2，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝f (1)＋f (2)＋f (－1)＋f (0)＝2＋0－2＋0＝0，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (49)＋f (50)＝0×12＋f (49)＋f (50)＝f (1)＋f (2)＝2＋0＝2.故选 C.热点二 函数图象及应用1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．2．利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点．例2(1)(2018·全国Ⅱ)函数f(x)＝的图象大致为()∴f(x)＝是奇函数，图象关于原点对称，排除A.当x＝1时，f(1)＝＝e－>0，排除D.又e>2，∴<，∴e－>，排除C.e x－e－xx2答案B解析∵y＝e x－e－x是奇函数，y＝x2是偶函数，e x－e－xx2e－e－111e1113e2e2故选B.(2)(2018·河南省中原名校模拟)函数f(x)＝e x＋a e－x与g(x)＝x2＋ax在同一坐标系内的图象不可能是()答案C解析因为g(x)＝x2＋ax的图象过原点，所以图象中过原点的抛物线是函数g(x)的图象，在选项C中，上面的图象是函数f(x)的图象，下面的是函数g(x)的图象，所以－>0，所以a<0，跟踪演练2(1)(2018·河北省衡水中学调研)函数f(x)＝sin ln x＋1⎭⎛x－1⎫⎝xf(－x)＝sin ln⎛－x－1⎫－x＋1⎭⎛1⎫f(2)＝sin ln⎪＝－sin(ln3)<0，(2)(2018·东北三省三校模拟)函数f(x)＝|x|＋(a∈R)的图象不可能是()aa2因为f′(x)＝e x－a e－，所以f′(x)>0在R上恒成立，所以函数f(x)在定义域内单调递增，不是选项C中的图象，故选C.思维升华(1)根据函数的解析式判断函数的图象，要从定义域、值域、单调性、奇偶性等方面入手，结合给出的函数图象进行全面分析，有时也可结合特殊的函数值进行辅助推断，这是判断函数图象问题的基本方法．(2)判断复杂函数的图象，常借助导数这一工具，先对原函数进行求导，再利用导数判断函数的单调性、极值或最值，从而对选项进行筛选．要注意函数求导之后，导函数发生了变化，故导函数和原函数定义域会有所不同，我们必须在原函数的定义域内研究函数的极值和最值．⎪的图象大致为()答案B解析由于x≠0，故排除A.⎝⎪＝－f(x)，又函数f(x)的定义域为(1，＋∞)∪(－∞，－1)，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，排除C.⎝3⎭排除D，故选B.x＝x ＋ ≥2a a ，当且仅当 x ＝ a 时等号成立，当 x <0 且 a >0 时，f (x )＝－x ＋ 在(－∞，0)上为减函数，故可能；对于 D ，当 x <0 且 a <0 时，f (x )＝－x ＋ ≥2x －a ，当且仅当 x ＝－ －a 时等号成立，当 x >0 且 a <0 时，f (x )＝x ＋ 在(0，＋∞)上为增函数，故可2．幂函数 y ＝x α的图象和性质，主要掌握 α ＝1,2,3， ，－1 五种情况．2lg t 3lg t lg t (2lg 3－3lg 2)∴2x －3y ＝ － ＝＝lg t (lg 9－lg 8)>0，2lg t 5lg t lg t (2lg 5－5lg 2)又∵2x －5z ＝ － ＝＝lg t (lg 25－lg 32)<0，答案 C解析 对于 A ，当 a ＝0 时，f (x )＝|x |，且 x ≠0，故可能；对于 B ，当 x >0 且 a >0 时，f (x )x axaxa－x · ＝2ax能，且 C 不可能．故选 C.热点三 基本初等函数的图象和性质1．指数函数 y ＝a x (a >0，a ≠1)与对数函数 y ＝log a x (a >0，a ≠1)的图象和性质，分 0<a <1，a >1 两种情况，着重关注两函数图象中的公共性质．12例 3 (1)(2017·全国Ⅰ)设 x ，y ，z 为正数，且 2x ＝3y ＝5z ，则()A ．2x <3y <5zC ．3y <5z <2xB ．5z <2x <3yD ．3y <2x <5z答案 D解析 令 t ＝2x ＝3y ＝5z ，∵x ，y ，z 为正数，∴t >1.lg t lg t lg t则 x ＝log 2t ＝lg 2，同理，y ＝lg 3，z ＝lg 5.lg 2 lg 3 lg 2×lg 3lg 2×lg 3∴2x >3y .lg 2 lg 5 lg 2×lg 5lg 2×lg 5∴2x <5z ，⎧⎪a x，x <0，满足对任意 x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)<0 成立，则 a⎩ ⎛1⎤ A. 0， ⎥ ⎛1 ⎫ D. ，1⎪ f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2⎛ 1⎤得 a ∈ 0， ⎥，故选 A.，则 a ，b ，c 的大小关系又b ＝ln2＝ <1<log 2e ＝a ，即 a >b .所以c >a >b .⎧⎪a ，a －b ≤2，⎩∴3y <2x <5z .故选 D.(2)已知函数 f (x )＝⎨⎪(a －3)x ＋4a ，x ≥0的取值范围是()精选文档 可编辑修改x 1－x 2⎝ 4⎦C ．(1,3)B ．(1,2]⎝2 ⎭答案 A解析 由 <0，得 f (x )是减函数，⎧⎪0<a<1，即⎨a －3<0， ⎪⎩4a ≤1，⎝ 4⎦思维升华 (1)指数函数、对数函数、幂函数是高考的必考内容之一，重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及运算能力．(2)比较代数式大小问题，往往利用函数图象或者函数的单调性．跟踪演练 3(1)(2018·天津)已知 a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log为()A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >b >aD ．c >a >b答案 D1 213解析 c ＝ log1 21 3＝log 23>log 2e ＝a ，即 c >a .1log 2e故选 D.(2)对任意实数 a ，b 定义运算“Δ ”：a Δ b ＝⎨⎪b ，a －b >2，设 f (x )＝3x ＋1Δ (1－x )，若函数 f (x )与函数 g (x )＝x 2－6x 在区间(m ，m ＋1)上均为减函数，则实数 m 的取值范围是()A ．[－1,2]C ．[0,2]答案 CB ．(0,3]D ．[1,3]⎧⎪－x＋1，x>0，⎧⎪m≥0，⎩解析方法一f′(x)＝－4x3＋2x，则f′(x)>0的解集为 －∞，－⎪∪ 0，⎪，此时f(x)单调递增；f′(x)<0的解集为 －⎪，此时f(x)单调递减．⎭⎝2，＋∞⎭，0⎪∪方法二当x＝1时，y＝2，所以排除①②.当x＝0时，y＝2，而当x＝时，y＝－＋＋2＝23精选文档可编辑修改解析由题意得f(x)＝⎨⎪⎩3x＋1，x≤0，∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，函数g(x)＝(x－3)2－9在(－∞，3]上单调递减，若函数f(x)与g(x)在区间(m，m＋1)上均为减函数，则⎨⎪m＋1≤3，得0≤m≤2，故选C.真题体验1．(2018·全国Ⅲ改编)函数y＝－x4＋x2＋2的图象大致为________．(填序号)答案④⎛⎝2⎫⎛2⎫2⎭⎝2⎭⎛⎝2⎫⎛2⎫21112164 16>2，所以排除③.2．(2017·天津改编)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为________．答案b<a<c解析依题意a＝g(－log25.1)＝(－log25.1)·f(－log25.1)若 f (a )＝f (a ＋1)，则 f a ⎪＝________.∴a ＝ ，∴f a ⎪＝f (4)＝2×(4－1)＝6. 综上，f a ⎪＝6.⎝ ⎭＝log 25.1f (log 25.1)＝g (log 25.1)． 因为 f (x )在 R 上是增函数，可设 0<x 1<x 2， 则 0<f (x 1)<f (x 2)．从而 x 1f (x 1)<x 2f (x 2)，即 g (x 1)<g (x 2)． 所以 g (x )在(0，＋∞)上亦为增函数．又 log 25.1>0,20.8>0,3>0，且 log 25.1<log 28＝3,20.8<21<3， 而 20.8<21＝log 24<log 25.1，所以 3>log 25.1>20.8>0，所以 c >a >b .⎧ x ，0<x<1，3．(2017·山东改编)设 f (x )＝⎨⎩2(x －1)，x ≥1，精选文档 可编辑修改⎛1⎫ ⎝ ⎭答案 6解析 若 0<a <1，由 f (a )＝f (a ＋1)，得 a ＝2(a ＋1－1)，1 ⎛1⎫ 4 ⎝ ⎭若 a ≥1，由 f (a )＝f (a ＋1)，得 2(a －1)＝2(a ＋1－1)，无解．⎛1⎫4．(2017·全国Ⅱ)已知函数 f (x )是定义在 R 上的奇函数，当 x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，则 f (2)＝________.答案 12解析 方法一 令 x >0，则－x <0.∴f (－x )＝－2x 3＋x 2.∵函数 f (x )是定义在 R 上的奇函数，∴f (－x )＝－f (x )．∴f (x )＝2x 3－x 2(x >0)．∴f (2)＝2×23－22＝12.方法二 f (2)＝－f (－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12.押题预测1．在同一直角坐标系中，函数 f (x )＝x a (x ≥0)，g (x )＝log a x 的图象可能是()⎛3⎫⎛1⎫2．设函数y＝f(x)(x∈R)为偶函数，且x∈R，满足f x－⎪＝f x＋⎪，当x∈[2,3]时，⎛3⎫⎛1⎫解析由f x－⎪＝f x＋⎪，3．已知函数f(x)＝1，则y＝f(x)的图象大致为(精选文档可编辑修改押题依据指数、对数、幂函数的图象识别问题是高考命题的热点，旨在考查其基本性质的灵活运用，题目难度一般不大，位于试卷比较靠前的位置．答案D解析方法一分a>1,0<a<1两种情形讨论．当a>1时，y＝x a与y＝logax均为增函数，但y＝x a递增较快，排除C；当0<a<1时，y＝x a为增函数，y＝logax为减函数，排除A.由于y＝x a递增较慢，故选D.方法二幂函数f(x)＝x a的图象不过(0,1)点，排除A；B项中由对数函数g(x)＝logax的图象知0<a<1，而此时幂函数f(x)＝x a的图象应是增长越来越慢的变化趋势，故B错，D正确；C项中由对数函数g(x)＝logax的图象知a>1，而此时幂函数g(x)＝x a的图象应是增长越来越快的变化趋势，故C错．⎝2⎭⎝2⎭f(x)＝x，则当x∈[－2,0]时，f(x)等于()A．|x＋4| C．2＋|x＋1|B．|2－x| D．3－|x＋1|押题依据利用函数的周期性、奇偶性求函数值是高考的传统题型，考查学生思维的灵活性．答案D⎝2⎭⎝2⎭可得f(x＋2)＝f(x)，则当x∈[－2，－1]时，x＋4∈[2,3]，f(x)＝f(x＋4)＝x＋4＝x＋1＋3；当x∈[－1,0]时，－x∈[0,1]，2－x∈[2,3]，f(x)＝f(－x)＝f(2－x)＝2－x＝3－x－1，故选D.ln(x＋1)－x)令 g (x )＝ln(x ＋1)－x ，则 g ′(x )＝ 1 x ＋1 x ＋1f (2)＝1 <0，排除 A. ⎛ 1⎫ 1 1 f－⎪＝ ＝ <0， 2 2 ln 2押题依据 图象的识别和变换是高考的热点，此类问题既考查了基础知识，又考查了学生的灵活变换能力．答案 B⎧⎪x ＋1>0，解析 方法一由题意得⎨⎪⎩x ≠0，∴f (x )的定义域为{x |x >－1 且 x ≠0}．－x－1＝ ，当－1<x <0 时，g ′(x )>0；当 x >0 时，g ′(x )<0.∴f (x )在区间(－1,0)上为减函数，在区间(0，＋∞)上为增函数，对照各选项，只有 B 符合．方法二 取特殊值，用排除法求解，ln 3－2⎝ 2⎭ 1 1 eln ＋排除 C ，D ，故选 B.⎧⎪－x 2，0<x ≤4，4．已知函数 h (x )(x ≠0)为偶函数，且当 x >0 时，h (x )＝⎨ 4⎪⎩4－2x ，x>4，若 h (t )>h (2)，则实数 t 的取值范围为________．押题依据 分段函数是高考的必考内容，利用函数的单调性求解参数的范围，是一类重要题型，是高考考查的热点．本题恰当地应用了函数的单调性，同时考查了函数的奇偶性的性质．|t|<2，即⎨⎧⎪t≠0，⎪D．y＝x＋又函数y＝x＋在区间(0,1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增，排除D，故选B.a＋2x333a＋2－x a＋2x答案(－2,0)∪(0,2)⎧⎪－x2，0<x≤4，解析因为当x>0时，h(x)＝⎨4⎪⎩4－2x，x>4.所以函数h(x)在(0，＋∞)上单调递减，因为函数h(x)(x≠0)为偶函数，且h(t)>h(2)，所以h(|t|)>h(2)，所以0<|t|<2，⎧t≠0，所以⎨⎪⎩－2<t<2，解得－2<t<0或0<t<2.综上，所求实数t的取值范围为(－2,0)∪(0,2)．A组专题通关1．(2018·北京石景山区模拟)下列函数中既是奇函数，又在区间(0，＋∞)上是减函数的为()A．y＝xC．y＝log x12B．y＝－x31x答案B解析由题意得，对于函数y＝x和函数y＝log x都是非奇非偶函数，排除A，C.121xa－2x2．(2018·合肥质检)已知函数f(x)＝是奇函数，则f(a)的值等于()1A．－1C．－或3B．31D.或3答案C解析函数f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，a－2－x a－2x即＝－在定义域内恒成立，a·2x＋1a＋2x，f(a)＝f(1)＝f(x)＝＝－，，f(a)＝f(－1)＝－1－2－1＝3.f(x)＝综上可得f(a)的值为－或3.||3．(2018·安庆模拟)函数f(x)＝|x＋1|logax(0<a<1)的图象的大致形状是(||解析f(x)＝|x＋1|logax⎩log x，x>0.4．(2018·合肥质检)已知函数f(x)＝，实数a，b满足不等式f(2a＋b)＋f(4－3b)>0，＝－x＝－f(x)，故函数f(x)为奇函数．＝x解析由题意得f(－x)＝a·2x－1－a＋2x整理可得＝，即a2＝1恒成立，∴a＝±1，当a＝1时，函数f(x)的解析式为1－2x1－2111＋2x1＋213当a＝－1时，函数f(x)的解析式为－1－2x－1＋2x－1＋2－113x＋1)答案Cx＋1⎧－log a(－x)，x<－1，＝⎨log(－x)，－1<x<0，aa故选C.1－2x1＋2x则下列不等式恒成立的是()A．b－a<2C．b－a>2B．a＋2b>2D．a＋2b<2答案C1－2－x2x－11－2x1＋2－x2＋12＋1又 f (x )＝－ 1＋2x 1＋2x 1＋2x< ，⎧⎪2x＋1，x ≥1，⎩ 2x －1 (2x ＋1)－22 ＝－ ＝－1＋ ，故函数 f (x )在 R 上单调递减．∵f (2a ＋b )＋f (4－3b )>0，∴f (2a ＋b )>－f (4－3b )＝f (3b －4)，∴2a ＋b <3b －4，∴b －a >2.故选 C.5．(2018·天津市十二重点中学联考)已知 f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上单调递增，若 a ＝ f (log 1 3) ，b ＝f (log 35)，c ＝f (0.20.5)，则 a ，b ，c 的大小关系为5()A ．a <b <cC ．b <a <cB ．c <a <bD ．c <b <a答案 C解析 ∵f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数， ∴a ＝ f (log 1 3) ＝f (－log 53)＝f (log 53)，51∵2＝log 5 5<log 53<1,1＝log 33<log 35，0<0.20.5＝ 5 15 2∴0.20.5<log 53<log 35，∵f (x )在(－∞，0]上是增函数，f (x )是定义在 R 上的偶函数，∴f (x )在[0，＋∞)上为减函数， 则 f (0.20.5)>f (log 53)>f (log 35)，即 b <a <c ，故选 C.6．若函数 f (x )＝⎨⎪－x 2＋ax ＋1，x <1在 R 上是增函数，则 a 的取值范围为( )A ．[2,3]B ．[2，＋∞)C ．[1,3]D ．[1，＋∞)答案 A⎧⎪a≥1，解析 由题意得⎨2⎪⎩－1＋a ＋1≤2＋1，∴a ∈[2,3]，故选 A.1＋ln|x | 1＋ln|x | 由 1＋ln|x |≠0，得 x ≠± ，⎛1⎫ ⎛ 1 ⎫ ⎛ 1⎫ ⎛1 ⎫e ⎭ ⎝e ⎭ ⎝ e ⎭ ⎝e －∞，－ ⎪∪ － ，0⎪∪ 0， ⎪∪，＋∞⎪. ∵f (－x )＝ ·sin(－x )1＋ln|x |又 1> ，且 f (1)＝sin 1>0，故可排除 B.1－ln e 20< 2< ，且 f 2⎪＝ ·sin＝1－(－2) ·sinx y z y x z1－ln|x |7．(2018·广东省六校联考)函数 y ＝ ·sin x 的部分图象大致为()答案 A1－ln|x |解析 设 f (x )＝ ·sin x ，1e则函数 f (x )的定义域为⎝⎭1－ln|－x |1＋ln|－x |1－ln|x | ＝－ ·sin x ＝－f (x )，∴函数 f (x )为奇函数，排除 D.1e⎪ 1 ⎪1 1 ⎛ 1 ⎫ e e ⎝e ⎭ ⎪ 1 ⎪1＋ln ⎪e 2⎪1 e 21 11－2 e 2＝－3·sin e 2<0，故可排除 C.故选 A.2 3 58．(2018·德阳二诊)已知 log 2x ＝log 3y ＝log 5z <0，则x ，y ，z 的大小排序为()2 3 5 A. < <3 2 5B. < <z x y z y x23 5 x y zx y z ⎧⎪x ＋1，x ≤0， ⎛ 1⎫则满足 f (x )＋f x － ⎪>1 的 x 的取值范⎛ 1 ⎫⎝ 4 ⎭ 解析 由题意知，对不等式分 x ≤0,0<x ≤ ，x > 三段讨论．当 x ≤0 时，原不等式为 x ＋1＋x ＋ >1，解得 x >－ ，∴－ <x ≤0.当 0<x ≤ 时，原不等式为 2x ＋x ＋ >1，显然成立．当 x > 时，原不等式为 2 x -⎛ 1 ⎫综上可知，x 的取值范围是 － ，＋∞⎪.⎛7⎫ 则 f ⎪＝________.答案 －35 2 3 C. < <5 3 2D. < <答案 A解析 x ，y ，z 为正实数，且 log 2x ＝log 3y ＝log 5z <0， 令 log 2x ＝log 3y ＝log 5z ＝k (k <0)，x y z∴ ＝2k －1， ＝3k －1， ＝5k －1，2 3 5 可得 ＝21－k ， ＝31－k ， ＝51－k ，又 1－k >0，∴函数 f (x )＝x 1－k 在(0，＋∞)上单调递增，2 3 5∴ < < .故选 A.9．(2017·全国Ⅲ)设函数 f (x )＝⎨⎪⎩2x，x >0，⎝ 2⎭围是______________．答案 － ，＋∞⎪1 12 21214141 12 21 21 x ＋2 2 >1，显然成立．⎝ 4 ⎭10．已知定义在 R 上的函数 f (x )满足：①函数 f (x )的图象的对称中心为(1,0)，且对称轴为 x⎧1－x ，x ∈(0，1]，＝－1；②当 x ∈[－1,1]时，f (x )＝⎨⎩ 1－x 2，x ∈[－1，0]，⎝2⎭2⎛7⎫ 则 f ⎪＝－⎛ 1⎫3 ⎝ 2⎭1－ － ⎪2＝－ .f 对∀ x ∈ 0，⎥恒成立，则实数 a 的取值范围是________． ⎡1 ⎫⎣4 ⎭故 x 2≤2log a x 对∀ x ∈ 0， 即当 x ∈ 0， ≥ ， 解得 ≤a <1.13．(2018·河北衡水中学模拟)已知函数 f (x )＝ ＋sin x ，其中 f ′(x )为函数 f (x )解析 由题意作出 f (x )的部分图象如图所示，⎝2⎭211．(2018·全国Ⅲ)已知函数 f (x )＝ln( 1＋x 2－x )＋1，f (a )＝4，则 f (－a )＝________.答案 －2解析 ∵f (x )＋f (－x )＝ln( 1＋x 2－x )＋1＋ln( 1＋x 2＋x )＋1＝ln(1＋x 2－x 2)＋2＝2，∴f (a )＋f (－a )＝2，∴f (－a )＝－2.12．已知函数 f (x )是奇函数，当 x <0 时，(x )＝－x 2＋x .若不等式 f (x )－x ≤2log a x (a >0 且 a ≠1)⎛ ⎝2⎤2 ⎦答案 ⎢ ，1⎪解析 由已知得当 x >0 时，f (x )＝x 2＋x ，⎛ ⎝ 2⎤ ⎥恒成立，2 ⎦⎛ ⎝ 2⎤⎥时，2 ⎦函数 y ＝x 2 的图象不在 y ＝2log a x 图象的上方，由图(图略)知 0<a <1 且 2log a142 12 2B 组 能力提高22 019x ＋1的导数，则 f (2 018)＋f (－2 018)＋f ′(2 019)－f ′(－2 019)等于()A ．2C ．2 018B ．2 019D ．0答案 A解析 由题意得 f (x )＋f (－x )＝2，∴f (2 018)＋f (－2 018)＝2，由 f (x )＋f (－x )＝2 可得 f (x )－1＋f (－x )－1＝0，∴y ＝f (x )－1 为奇函数，⎛ 13⎤ 2 ⎦A. －∞， ⎥分析可得：当 0≤x ≤1 时，f (x )＝ －2x 2，此时 f (x )的最大值 f (0)＝ ，最小值 f (1)＝－ ，则此时有－ <f (x )< ，则有－ ≤f (x )≤ ， 则 f (8)＝27f (2)＝81f (0)＝81则函数 f (x )在区间[6,8]上的最大值为 ，∴y ＝f (x )－1 的导函数为偶函数，即 y ＝f ′(x )为偶函数，其图象关于 y 轴对称，∴f ′(2 019)－f ′(－2 019)＝0，∴f (2 018)＋f (－2 018)＋f ′(2 019)－f ′(－2 019)＝2.故选 A.14．(2018·江西省分宜中学、玉山一中、临川一中等九校联考)若函数 y ＝f (x )，x ∈M 对于给定的非零实数 a ，总存在非零常数 T ，使得定义域 M 内的任意实数，都有 af (x )＝f (x ＋T )恒成立，此时 T 为 f (x )的类周期，函数 y ＝f (x )是 M 上的 a 级类周期函数，若函数 y ＝f (x )是 定 义 在 区 间 [0 ， ＋ ∞) 内 的 3 级 类 周 期 函 数 且 T ＝ 2 ， 当 x ∈[0,2) ， f (x ) ＝⎧⎪1－2x 2，0≤x ≤1， ⎨2⎪⎩f (2－x )，1<x<2，1函数 g (x )＝－2ln x ＋2x 2＋x ＋m ，若∃ x 1∈[6,8]，∃ x 2∈(0，＋∞)使 g (x 2)－f (x 1)≤0 成立，则实数 m 的取值范围是()⎝C ．(－∞，39]B ．(－∞，12]D ．[12，＋∞)答案 C解析 根据题意，对于函数 f (x )，当 x ∈[0,2)时，⎧⎪1f (x )＝⎨ 2－2x 2，0≤x ≤1， ⎪⎩f (2－x )，1<x<2，1 21 32 2当 1<x <2 时，f (x )＝f (2－x )，函数 f (x )的图象关于直线 x ＝1 对称，3 1 2 2又由函数 y ＝f (x )是定义在区间[0，＋∞)内的 3 级类周期函数，且 T ＝2，则在 x ∈[6,8)上，f (x )＝33·f (x －6)，81 27 2 22，81 22 对于函数 g (x )＝－2ln x ＋ x 2＋x ＋m ，g ′(x )＝(x －1)(x ＋2).则函数 g (x )在(0，＋∞)上有最小值 g (1)＝ ＋m ，若 g (x ＋5)＋g x ⎛ 1 ⎫ ⎛1⎫ ⎝ －1⎭ ⎝x⎭因此 g (x )＝ 1 .因为 g (x )＋g x ⎪ ＝ 2 ＋⎛1⎫ 1 1 ⎝ ⎭ x ＋1 1x 所以由 g (x ＋5)＋g x ⎛ 1 ⎫ ⎛1⎫ ⎝ －1⎭ ⎝x⎭＋1 (x ＋5)2＋1 1＋(x －1)2即 1 (x ＋5)2＋1 1＋(x －1)281最小值为－ ；12x分析可得：在(0,1)上，g ′(x )<0，函数 g (x )为减函数，在(1，＋∞)上，g ′(x )>0，函数 g (x )为增函数，32若∃ x 1∈[6,8]，∃ x 2∈(0，＋∞)， 使 g (x 2)－f (x 1)≤0 成立，3 81必有 g (x )min ≤f (x )max ，即2＋m ≤ 2 ，得 m 的取值范围为(－∞，39]．1 x －1 15．(2018·安阳二模)已知定义在 R 上的奇函数 f (x )和偶函数 g (x )满足2f (x )－g (x )＝x 2＋1，⎪<g(x)＋g ⎪，则 x 的取值范围是____________________．答案 {x |x >－2 且 x ≠0 且 x ≠1}1 x －1解析 因为2f (x )－g (x )＝x 2＋1，1 －x －1 所以2f (－x )－g (－x )＝ x 2＋1 ，1 －x －1 即－2f (x )－g (x )＝ x2 ，x 2＋1＝1， ＋1 2⎪<g(x)＋g ⎪，1 (x －1)2得 ＋ <1，1< ，解得 x >－2，结合分母不为零得 x 的取值范围是{x |x >－2 且 x ≠0 且 x ≠1}．⎧⎪x2＋2x＋a－2，x≤0，⎡1⎤答案⎢，2⎥⎧⎪Δ＝(－1)2－4×2a≤0，解得a≥.综上，≤a≤2.16．(2018·天津)已知a∈R，函数f(x)＝⎨⎪⎩－x2＋2x－2a，x>0.精选文档可编辑修改若对任意x∈[－3，＋∞)，f(x)≤|x|恒成立，则a的取值范围是_______．⎣8⎦解析如图所示，若对任意x∈[－3，＋∞)，要使函数y＝f(x)的图象恒在y＝|x|图象的下方，则必有⎨f(－3)≤3，⎪⎩f(0)≤0，②①且在(0，＋∞)内直线y＝x与y＝－x2＋2x－2a相切或相离，所以x＝－x2＋2x－2a有两个相等实根或无实根，即对于方程x2－x＋2a＝0，18由①②得9－6＋a－2≤3且a－2≤0，所以a≤2.18。
高考数学二轮复习专题02函数的图像与性质教学案理(2021年整理)
（－x）|g(－x）＝|－f(x）|g(x）＝|f（x)|g(x),所以|f（x）｜g（x)是偶函数，故 B 项错
误；对于选项 C，f(－x）|g（－x)｜＝－f(x)｜g（x）|，所以 f(x）｜g(x）|是奇函数，故
C 项正确；对于选项 D，｜f(－x)g（－x）|＝|－f（x）g(x）|＝｜f（x）g(x)|，所以｜f
答案：错误!
考点四 比较函数值的大小
例 4、（1）设 a＝log32,b＝log52，c＝log23,则（ )
A．a＞c＞b
B．b＞c＞a
C．c＞b＞a D．c＞a＞b
解析：基本法：∵错误!＜2＜3,1＜2＜错误!，3＞2，∴log3错误!＜log32＜log33，log51＜ log52＜log5错误!，log23＞log22，
∴原不等式可化为 f（log2a）≤f(1）．又∵f（x)在区间［0，＋∞）上单调递增， ∴0≤log2a≤1，即 1≤a≤2。
∵f（x)是偶函数，∴f（log2a）≤f（－1）．又 f（x)在区间(－∞，0]上单调递减，∴ －1≤log2a≤0，∴错误!≤a≤1。
综上可知错误!≤a≤2.
答案：C 【方法技巧】 1。基本法是利用单调性化简不等式．速解法是特例检验法． 2．求函数的单调区间与确定单调性的方法一样．常用的方法有： (1）利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区 间．（2）定义法：先求定义域，再利用单调性定义确定单调区间．(3）图象法：如果 f(x)是 以图象形式给出的，或者 f(x)的图象易作出，则可由图象的直观性写出它的单调区间．（4） 导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间． 3．若函数 f(x)在定义域上(或某一区间上）是增函数,则 f(x1）〈f（x2)⇔x1<x2
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第14讲函数的图象和性质题型1 函数的图象判断(对应学生用书第47页)■核心知识储备………………………………………………………………………·函数的图象包括作图、识图、用图，三者在学习中的侧重点为：(1)作图：常用描点法和图象变换法．图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换．尤其注意y＝f(x)与y＝f(－x)，y＝－f(x)，y＝－f(－x)，y＝f(|x|)，y ＝|f(x)|及y＝af(x)＋b的相互关系．(2)识图：从图象与坐标轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系．(3)用图：图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究．■典题试解寻法………………………………………………………………………·【典题1】(考查建模类函数图象的识别)(2017·石家庄质量预测一)在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且BD⊥CD，AB＝BD＝CD，点P在棱AC上运动，设CP的长度为x，若△PBD的面积为f(x)，则f(x)的图象大致是( )图141[思路分析] 鳖臑的定义→找△BPD 的高→建立函数f (x )的表达式→识别f (x )的图象．[解析] 法一：(直接法)如图，作PQ ⊥BC 于Q ，作QR ⊥BD 于R ，连接PR ，则由鳖臑的定义知PQ ∥AB ，QR ∥CD .设AB ＝BD ＝CD ＝1，则CP AC ＝x 3＝PQ 1，即PQ ＝x 3，又QR 1＝BQ BC ＝AP AC ＝3－x 3，所以QR ＝3－x 3，所以PR ＝PQ 2＋QR 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 32＋⎝⎛⎭⎪⎫3－x 32＝332x 2－23x ＋3，所以f (x )＝362x 2－23x ＋3 ＝66⎝⎛⎭⎪⎫x －322＋34，故选A.法二：(特殊位置法)由题意可知，当P 位于AC 的中点时f (x )取得最小值，又f (x )是非均匀变化的，故排除选项B ，C ，D ，故选A. [答案] A【典题2】 (考查解析式类函数图象的识别)(2016·全国Ⅰ卷)函数y ＝2x 2－e |x |在[－2,2]的图象大致为( )[解析] ∵f (x )＝2x 2－e |x |，x ∈[－2,2]是偶函数， 又f (2)＝8－e 2∈(0,1)， 故排除A ，B.设g (x )＝2x 2－e x ，则g ′(x )＝4x －e x. 又g ′(0)＜0，g ′(2)＞0，∴g (x )在(0,2)内至少存在一个极值点，∴f (x )＝2x 2－e |x |在(0,2)内至少存在一个极值点，排除C.故选D.[答案] D【典题3】 (考查函数图象的应用)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y＝x ＋1x 与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则 i ＝1m(x i ＋y i )＝( )【导学号：07804099】A ．0B ．mC ．2mD ．4m[解析] 因为f (－x )＝2－f (x )，所以f (－x )＋f (x )＝2.因为－x ＋x2＝0，f －x ＋f x2＝1，所以函数y ＝f (x )的图象关于点(0,1)对称．函数y ＝x ＋1x＝1＋1x ，故其图象也关于点(0,1)对称．所以函数y ＝x ＋1x与y ＝f (x )图象的交点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )成对出现，且每一对均关于点(0,1)对称，所以∑m i ＝1x i ＝0，∑m i ＝1y i ＝2×m2＝m ，所以∑mi ＝1 (x i ＋y i )＝m .[答案] B[类题通法] 函数图象的判断方法(1)根据函数的定义域判断图象的左右位置，根据函数的值域判断图象的上下位置． (2)根据函数的单调性，判断图象的变化趋势． (3)根据函数的奇偶性，判断图象的对称性． (4)根据函数的周期性，判断图象的循环往复． (5)取特殊值代入，进行检验．■对点即时训练………………………………………………………………………·1．已知定义在区间[0,4]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝－f (2－x )的图象为()图D [法一：先作出函数y ＝f (x )的图象关于y 轴的对称图象，得到y ＝f (－x )的图象； 然后将y ＝f (－x )的图象向右平移2个单位，得到y ＝f (2－x )的图象；再作y ＝f (2－x )的图象关于x 轴的对称图象，得到y ＝－f (2－x )的图象．故选D. 法二：先作出函数y ＝f (x )的图象关于原点的对称图象，得到y ＝－f (－x )的图象；然后将y ＝－f (－x )的图象向右平移2个单位，得到y ＝－f (2－x )的图象．故选D.] 2．如图142所示的图形是由一个半径为2的圆和两个半径为1的半圆组成的，它们的圆心分别是O ，O 1，O 2，动点P 从A 点出发沿着圆弧按A →O →B → C →A →D →B 的路线运动(其中A ，O ，O 1，O 2，B 五点共线)，记点P 运动的路程为x ，设y ＝|O 1P |2，y 与x 的函数关系为y ＝f (x )，则y ＝f (x )的大致图象是( )图142A [当x ∈[0，π]时，y ＝1.当x ∈(π，2π)时，O 1P →＝O 2P →－O 2O 1→，设O 2P →与O 2O 1→的夹角为θ，|O 2P →|＝1，|O 2O 1→|＝2，由弧长公式得θ＝x －π，所以y ＝|O 1P →|2＝(O 2P →－O 2O 1→)2＝5－4cos θ＝5＋4cos x ，x ∈(π，2π)，所以函数y ＝f (x )的图象是曲线，且单调递增，排除C ，D.当x ∈[2π，4π)时，因为O 1P →＝OP →－OO 1→，设OP →，OO 1→的夹角为α，|OP →|＝2，|OO 1→|＝1，由弧长公式得α＝2π－12x ，所以y ＝|O 1P →|2＝(OP →－OO 1→)2＝5－4cos α＝5－4cos 12x ，x ∈[2π，4π)，所以函数y ＝f (x )的图象是曲线，且单调递减，排除B.故选A.]■题型强化集训………………………………………………………………………·(见专题限时集训T 2、T 6、T 8、T 11) 题型2 函数性质的综合应用 (对应学生用书第48页)■核心知识储备………………………………………………………………………·1．若f (x )在定义域上单调递增，则f (x 1)＜f (x 2)⇔x 1＜x 2；若f (x )在定义域上单调递减，则f (x 1)＜f (x 2)⇔x 1＞x 2. 2．周期性的三个常用结论对f (x )定义域内任一自变量的值x ： (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a ； (2)若f (x ＋a )＝1f x，则T ＝2a ； (3)若f (x ＋a )＝－1f x，则T ＝2a .(a ＞0)3．与函数对称性有关的三条结论(1)函数y ＝f (x )关于x ＝a ＋b2对称⇔f (a ＋x )＝f (b －x )⇔f (x )＝f (b ＋a －x )；特例：函数y ＝f (x )关于x ＝a 对称⇔f (a ＋x )＝f (a －x )⇔f (x )＝f (2a －x )； 函数y ＝f (x )关于x ＝0对称⇔f (x )＝f (－x )(即为偶函数)；(2)函数y ＝f (x )关于点(a ，b )对称⇔f (a ＋x )＋f (a －x )＝2b ⇔f (2a ＋x )＋f (－x )＝2b ；特例：函数y ＝f (x )关于点(a,0)对称⇔f (a ＋x )＋f (a －x )＝0⇔f (2a ＋x )＋f (－x )＝0；函数y ＝f (x )关于点(0,0)对称⇔f (x )＋f (－x )＝0(即为奇函数)； (3)y ＝f (x ＋a )是偶函数⇔函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称；y ＝f (x ＋a )是奇函数⇔函数y ＝f (x )关于(a,0)对称．■典题试解寻法………………………………………………………………………· 【典题1】 (考查基本初等函数的性质)(2016·全国Ⅰ卷)若a >b >1,0<c <1，则( )A ．a c＜b cB ．ab c ＜ba cC ．a log b c ＜b log a cD ．log a c ＜log b c[思路分析] 根据选项构造函数→根据所构造的函数的单调性比较大小→结论．[解析] ∵y ＝x α，α∈(0,1)在(0，＋∞)上是增函数， ∴当a ＞b ＞1,0＜c ＜1时，a c ＞b c，选项A 不正确． ∵y ＝x α，α∈(－1,0)在(0，＋∞)上是减函数， ∴当a ＞b ＞1,0＜c ＜1，即－1＜c －1＜0时，a c －1＜bc －1，即ab c ＞ba c ，选项B 不正确．∵a ＞b ＞1，∴lg a ＞lg b ＞0，∴a lg a ＞b lg b ＞0， ∴a lg b ＞blg a.又∵0＜c ＜1，∴lg c ＜0. ∴a lg c lgb ＜b lg clg a，∴a log b c ＜b log a c ，选项C 正确． 同理可证log a c ＞log b c ，选项D 不正确．[答案] C【典题2】 (考查应用复合函数的奇偶性、单调性解不等式)(2015·全国Ⅱ卷)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x2，则使得f (x )>f (2x －1)成立的x 的取值范围是( )【导学号：07804100】A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13∪(1，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞ [思路分析] 判断f (x )的奇偶性→判断f (x )的单调性→解关于x 的不等式． [解析] ∵f (－x )＝ln(1＋|－x |)－11＋－x 2＝f (x )，∴函数f (x )为偶函数．∵当x ≥0时，f (x )＝ln(1＋x )－11＋x2，在(0，＋∞)上y ＝ln(1＋x )递增，y ＝－11＋x 2也递增，根据单调性的性质知，f (x )在(0，＋∞)上单调递增．综上可知：f (x )>f (2x －1)⇔f (|x |)>f (|2x －1|)⇔|x |>|2x －1|⇔x 2>(2x －1)2⇔3x2－4x ＋1<0⇔13<x <1.故选A.[答案] A【典题3】 (考查抽象函数的奇偶性、周期性的应用)已知函数f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，有f (x ＋3)＝－f (x )，且当x ∈(0,3)时，f (x )＝x ＋1，则f (－2 017)＋f (2 018)＝( )A ．3B ．2C ．1D ．0[解析] 因为函数f (x )为定义在R 上的奇函数， 所以f (－2 017)＝－f (2 017)，因为当x ≥0时，有f (x ＋3)＝－f (x )，所以f (x ＋6)＝－f (x ＋3)＝f (x )，所以f (x )的周期为6.又当x ∈(0,3)时，f (x )＝x ＋1，所以f (2 017)＝f (336×6＋1)＝f (1)＝2，f (2 018)＝f (336×6＋2)＝f (2)＝3，故f (－2 017)＋f (2 018)＝－f (2 017)＋3＝－2＋3＝1.故选C. [答案] C[类题通法] 函数三大性质的应用(1)奇偶性：具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上的图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上．尤其注意偶函数f (x )的性质：f (|x |)＝f (x )．(2)单调性：可以用来比较大小，求函数最值，解不等式，证明方程根的唯一性等． (3)周期性：利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解．■对点即时训练………………………………………………………………………·1．已知函数f (x )＝3ln(x ＋x 2＋1)＋a (7x ＋7－x)，x ∈R ，则“a ＝0”是“函数f (x )为奇函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件C [由题意知f (x )的定义域为R ，易知y ＝ln(x ＋x 2＋1)为奇函数，y ＝7x ＋7－x为偶函数．当a ＝0时，f (x )＝3ln(x ＋x 2＋1)为奇函数，充分性成立；当f (x )为奇函数时，则a ＝0，必要性成立．因此“a ＝0”是“函数f (x )为奇函数”的充要条件，故选C.]2．已知函数f (x )为奇函数，且在[0,2]上单调递增，若f (log 2m )＜f (log 4(m ＋2))成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．14≤m ＜2 B ．14≤m ≤2 C ．2＜m ≤4D ．2≤m ≤4A [因为函数f (x )是奇函数，且在[0,2]上单调递增， 所以函数f (x )在[－2,2]上单调递增． 故由f (log 2m )＜f (log 4(m ＋2))，可得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤log 2m ≤2，－2≤log 4m ＋，log 2m ＜log 4m ＋，m ＞0，m ＋2＞0，解－2≤log 2m ≤2，得14≤m ≤4；解－2≤log 4(m ＋2)≤2，得116≤m ＋2≤16，即－3116≤m ≤14； 由log 2m ＜log 4(m ＋2)，得log 4m 2＜log 4(m ＋2)，故有⎩⎪⎨⎪⎧m 2＞0，m ＋2＞0，m 2＜m ＋2，解得－1＜m ＜2，且m ≠0.综上可知，m 的取值范围是14≤m ＜2，故选A.]■题型强化集训………………………………………………………………………·(见专题限时集训T 1、T 3、T 4、T 5、T 7、T 9、T 10、T 12、T 13、T 14、T 15、T 16)三年真题| 验收复习效果 (对应学生用书第50页)1．(2015·全国Ⅱ卷)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2－x ，x <1，2x －1， x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( ) A ．3 B ．6 C ．9D ．12C [∵－2<1，∴f (－2)＝1＋log 2(2＋2)＝1＋log 24＝1＋2＝3. ∵log 212>1，∴f (log 212)＝2log 212－1＝122＝6.∴f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9.故选C.]2.(2017·全国Ⅰ卷)函数f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( )【导学号：07804101】A ．[－2,2]B ．[－1,1]C ．[0,4]D ．[1,3] D [∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )． ∵f (1)＝－1，∴f (－1)＝－f (1)＝1.故由－1≤f (x －2)≤1，得f (1)≤f (x －2)≤f (－1)． 又f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，∴－1≤x －2≤1， ∴1≤x ≤3. 故选D.]3. (2017·全国Ⅰ卷)设x ，y ，z 为正数，且2x＝3y＝5z，则( )A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5zD [令t ＝2x＝3y＝5z，∵x ，y ，z 为正数，∴t ＞1.则x ＝log 2t ＝lg t lg 2，同理，y ＝lg t lg 3，z ＝lg tlg 5.∴2x －3y ＝2lg tlg 2－3lg t lg 3＝lg t 3－lg 2×lg 3＝lg t －lg 2×lg 3＞0，∴2x ＞3y .又∵2x －5z ＝2lg tlg 2－5lg t lg 5＝lg t －lg 2×lg 5＝lg t－lg 2×lg 5＜0，∴2x ＜5z ， ∴3y ＜2x ＜5z . 故选D.]4. (2015·全国Ⅱ卷)如图144，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点．点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x ，将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为( )图144B [当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，f (x )＝tan x ＋4＋tan 2 x ，图象不会是直线段，从而排除A ，C.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝1＋5， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝22.∵22<1＋5，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，从而排除D ，故选B.] 5．(2015·全国Ⅰ卷)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________.1 [∵f (x )为偶函数，∴f (－x )－f (x )＝0恒成立，∴－x ln(－x ＋a ＋x 2)－x ln(x ＋a ＋x 2)＝0恒成立，∴x [ln(－x ＋a ＋x 2)＋ln(x ＋a ＋x 2)]＝0，∴x ln[(－x ＋a ＋x 2)(x ＋a ＋x 2)]＝0，∴x ln a ＝0恒成立，∴ln a ＝0，即a ＝1.]。