6.3.2 带电粒子在匀强磁场中的临界问题
带电粒子在强磁场中运动的多解和临界问题
带电粒子在强磁场中运动的多解和临界问
题
引言
带电粒子在强磁场中的运动问题一直是物理学中的重要研究方
向之一。
在强磁场中，带电粒子在受到洛伦兹力的作用下呈现出多
解和临界现象，这在某些情况下对粒子的运动轨迹和性质产生重要
影响。
多解现象
在强磁场中，由于洛伦兹力的作用，带电粒子的运动方程出现
多解的情况。
这是由于洛伦兹力与粒子运动速度与磁场方向夹角的
正弦函数关系所导致的。
当速度与磁场方向夹角为不同值时，洛伦
兹力的大小和方向也会有所变化，从而使得粒子的运动轨迹不唯一。
临界现象
在某些情况下，带电粒子在强磁场中的运动可能会出现临界现象。
临界现象是指当带电粒子的运动速度与磁场强度达到一定比例
关系时，粒子的运动状态出现急剧变化，其轨迹和动力学性质发生
显著变化。
临界现象在物理学中具有重要的理论和实际意义，在磁共振成像、粒子加速器等领域的研究中得到了广泛应用。
结论
带电粒子在强磁场中运动的多解和临界问题是一个复杂而有趣的研究领域。
多解现象使得粒子的运动轨迹不唯一，而临界现象则带来了粒子运动状态的突变。
对这些问题的深入研究和理解将有助于推动物理学和应用科学的发展，为实际应用提供更多的可能性。
带电粒子在磁场中运动的临界问题
。
图 (丙 )
周期
，得
，可得
变式1． 如图所示，宽度为d的有界匀强磁场，磁感应强 度为B，MM′和NN′是它的两条边界线，现有质量m、电 荷量大小为q的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入，要使 粒子不能从边界NN′射出，粒子最大的入射速度v可能是 ( ) A．小于 C．小于 B．小于 D．小于
的限制，求粒子在磁场中运动的
最长时间。
主题一、“矩形”有界磁场中的临界问题
例题2．解析: (1)①假设粒子以最小的速度恰好从左 边偏转出来时的速度为v1，圆心在O1点，如图 (甲)， 轨道半径为R1，对应圆轨迹与ab边相切于Q点，由几 何知识得：R1＋R1sinθ＝0.5L
由牛顿第二定律得
得
图 (甲 )
2、旋转圆法 在磁场中向垂直于磁场的各个方向发射速度大小相同 的带电粒子时，带电粒子的运动轨迹是围绕发射点旋转 的半径相同的动态圆，用这一规律可快速确定粒子的运 动轨迹。
本课时讲授四个主题内容
1. “矩形”有界磁场中的临界问题
2. “三角形”有界磁场中的临界问题
3. “圆形”有界磁场中的临界问题
变式1． 如图所示，宽度为d的有界匀强磁场，磁感应 强度为B，MM′和NN′是它的两条边界线，现有质量 m、电荷量大小为q的带电粒子沿图示方向垂直磁场射 入，要使粒子不能从边界NN′射出，粒子最大的入射 速度v可能是( BD ) A．小于 C．小于 B．小于 D．小于
例3、如图所示装置由加速电场、偏转电场和偏转磁场组成。偏转电场处 在加有电压的相距为d的两块水平平行放置的导体板之间，匀强磁场水平 宽度为l，竖直宽度足够大，大量电子（其重力不计）由静止开始，经加 速电场加速后，连续不断地沿平行板的方向从两板正中间射入偏转电场。 当两板没有加电压时，这些电子通过两板之间的时间为2t0，当在两板间 加上如图乙所示的周期为2t0、幅值恒为U0的电压时，所有电子均能通 过电场，穿过磁场，最后打在竖直放置的荧光屏上（已知电子的质量为m 、电荷量为e）。求： （1）如果电子在t=0时刻进入 偏转电场，求它离开偏转电场 时的侧向位移大小； （2）通过计算说明，所有通 过偏转电场的电子的偏向角 （电子离开偏转电场的速度方向与进入电场速度方向的夹角）都相同。 （3）要使电子能垂直打在荧光屏上，匀强磁场的磁感应强度为多少
带电粒子在匀强磁场中的运动-临界、极值及多解问题
•
例题
有些题目只告诉了磁感应的大小，而未具体 指出磁感应强度的方向，此时必须要考虑磁
感应强度方向不确定而形成多解
电场力方向一定指向圆心，而洛伦兹力方向可能指向圆心，也可能背离圆心， 从而形成两种情况.
• 2.方法界定将一半径为 的圆绕着入射点旋转， 从而探索出临界条件，这种方法称为“旋转法”.
•
旋转法”模型示例
带电粒子在磁场中运动的多解问题
• 带电粒子电性不确定形成多解 • 受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也可
能带负电荷，在相同的初速度的条件下，正、负粒 子在磁场中运动轨迹不同，导致形成多解.
•
“放缩圆”模型示例
“旋转法”解决有界磁场中的临界问题
• 1.适用条件（1）速度大小一定，方向不同带电粒子 进入匀强磁场时，他们在磁场中做匀速圆周运动的 半径相同，若射入初速度为v0，则圆周半径为 . 如图所示.（2）轨迹圆圆心——共圆带电粒子在磁 场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、 半径 的圆上.
临界状态不唯一形成多解
• 带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场 时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此， 他可能直接穿过去了，也可能转过180°从 入射界面反向飞出，于是形成了多解.如图 所示.
•
Байду номын сангаас
带电粒子在匀强磁场中的运动临界、极值及多解问题
• 1.有界磁场中临界问题的处 理方法
• 2.带电粒子在磁场中运动的 多解问题
1.有界磁场中临界问题的处理方法
• “放缩法”解决有界磁场中的临界问题 • 1.适用条件 • （1）速度方向一定，大小不同粒子源发射速度方向一定、大小
高中物理｜巧学带电粒子在磁场中运动的临界问题！
高中物理｜巧学带电粒子在磁场中运动的临界问题！
“带电粒子在磁场中的运动”是高考中的一个重要考点，而带电粒子在有界磁场中的运动”则是此考点中的一个难点，关键在于带电粒子进入设定的有界磁场后只运动一段圆弧就飞出磁场边界，其轨迹不是完整的圆，这就要求我们根据带电垃子运动的几何图形去寻找几何关系，分析临界条件，然后应用数学工具和相应物理规律处理问题。
如何分析这些临界条件？德华盛物理名师团通过实际教学过程中总结以下几种方法，供广大考生参考！
旋转圆
当粒子的速度大小不变而入射方向不同时，粒子做圆周运动的轨迹半径相同，且有一固定点，而圆心变化，先画出某一特殊粒子的轨迹，按照顺时针或逆时针旋转这一轨迹，从圆的动态变化中即可发现“临界点”。
放缩圆
当粒子的入射方向不变、质量一定而速度大小可变（或速度不变而质量不同）时，粒子做圆周运动的轨迹圆心一定在入射点所受洛伦兹力所表示的射线上，但位置（半径r）不确定，画出半径最小（成最大）的圈轨迹，依据半径变化将圆放大（或缩小）．寻找圆周与磁场边界的切点，即可发现“临界点”。
平移圆
当粒子的速度大小不变及入射方向平行，且分布在一定范围内时，粒子在均匀磁场中做圆周运动的轨迹半径一定．先画出某一特殊粒子的轨迹，沿边界平移这一轨迹，从圆的动态变化中即可发现“临界点”。
综合以上题型，我们可以看到，这些问题的解答能很好考查学生的思维能力以及空同想象能力，要求学生能够由一条确定的轨迹借助于“旋转圆、放缩圆、平移圆”的策略想到多条动态轨迹，并最终判定临界状态，这需要在平时的学习中多涉猎一些有代表性的习题，以最终形成这些思维能力以及空间想象能力，才能在高考应试中得心就
手，应对自如．。
带电粒子在磁场中的临界问题
.a L s b
【例题3】 ．如图所示，相互平行的直线M、N、P、Q间存在垂 直于纸面的匀强磁场。某带负电粒子由O点垂直于磁场方向射入， 已知粒子速率一定，射入时速度方向与OM间夹角的范围为 0<θ<90º，不计粒子的重力，则：
A.θ越大，粒子在磁场中运动的时间可能越短 B.θ越大，粒子在磁场中运动的路径一定越长 C.θ越大，粒子在磁场中运动轨迹的圆心到MN的距离一定越小 D.粒子在磁场中运动的轨迹长度与时间的比值与θ无关
a
b
O
V0
d
c
2θ 2θ
θ
V0
【例题5】 ．如图,真空室内存 在匀强磁场,磁场方向垂直于纸 面向里,磁感应强度的大小 B=0.60T,磁场内有一块平面感 光板ab,板面与磁场方向平行,在 距ab的距离L=16cm处,有一个 点状的放射源S,它向各个方向发 射α粒子,α粒子的速度都是 v=4.8x106 m/s,已知α粒子的电 荷与质量之比q/m=5.0x107C/kg 现只考虑在图纸平面中运动的α 粒子,求ab上被α粒子打中的区 域的长度.
度方向垂直的直线上
①速度较小时，作半圆运动后 从原边界飞出；②速度增加为 某临界值时，粒子作部分圆周 运动其轨迹与另一边界相切； ③速度较大时粒子作部分圆周 运动后从另一边界飞出
①速度较小时，作圆周运动通过射入点； ②速度增加为某临界值时，粒子作圆周 运动其轨迹与另一边界相切；③速度较 大时粒子作部分圆周运动后从另一边界 飞出
注意：①从一边界射入的粒子，从同一边界射出时，速度与边
界的夹角（弦切角）相等。②带电粒子沿径向射入圆形磁场区 域内，必从径向射出。③关注几种常见图形的画法，如图所示：
1、直线边界（进出磁场具有对称性）
小专题(十四) 带电粒子在匀强磁场中运动的临界多解和动态圆问题
A.
C.
B.
D.
B )
解析:根据牛顿第二定律有 qv0B=
,解得 B=
,故粒子在磁场中的轨迹半径越大,
磁感应强度越小,如图,根据几何关系 () - =5L- () - 可得圆形磁
,解得 v0=
=
(n=1,2,3,…),故 A、B、C 错误,D 正确。
考点三
动态圆模型在电磁学中的应用
1.“放缩圆”模型的应用
速度方向 粒子源发射速度方向一定、大小不同的带电粒子进入匀强磁场时,
一定,
这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化
大小不同 而变化
由左手定则可知负电荷所受的洛伦兹力的方向也是相反的。当负电荷所受的洛伦兹力与静电力
方向相同时,根据牛顿第二定律可知 4qvB=m ,得 v=
电荷所受的洛伦兹力与静电力方向相反时,有 2qvB=m ,得 v=
=
,故 A、C 正确。
,负电荷运动的角速度为ω==
ABC 区域内有垂直纸面向里、磁感应强度为 B 的匀强磁场。现有一带正电、电荷量为 q、质
量为 m 的粒子,由 AB 边上距 A 点
a 的 P 点,以初速度 v0 垂直于 AB 边进入磁场,后从 AC
边离开磁场,则磁场磁感应强度的大小可能是(
A.
B.
C.
用,则粒子能通过B点时发射的速率v0可能为(
带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值问题(解析版)
带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值问题由于带电粒子往往是在有界磁场中运动，粒子在磁场中只运动一段圆弧就飞出磁场边界，其轨迹不是完整的圆，因此，此类问题往往要根据带电粒子运动的轨迹作相关图去寻找几何关系，分析临界条件，然后应用数学知识和相应物理规律分析求解．1．临界条件的挖掘(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。
(2)当速率v一定时，弧长(或弦长)越长，圆心角越大(前提条件是劣弧)，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。
(3)当速率v变化时，轨迹圆心角越大，运动时间越长。
(4)当运动轨迹圆半径大于圆形磁场半径时，则以磁场直径的两端点为入射点和出射点的轨迹对应的偏转角最大。
2．不同边界磁场中临界条件的分析(1)平行边界：常见的临界情景和几何关系如图所示。
(2)矩形边界：如图所示，可能会涉及与边界相切、相交等临界问题。
(3)三角形边界：如图所示是正△ABC区域内某正粒子垂直AB方向进入磁场的粒子临界轨迹示意图。
粒子能从AB间射出的临界轨迹如图甲所示，粒子能从AC间射出的临界轨迹如图乙所示。
3. 审题技巧许多临界问题，题干中常用“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”等词语对临界状态给以暗示．审题时，一定要抓住这些特定的词语挖掘其隐藏的规律，找出临界条件．【典例1】如图所示，垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形abcd区域内，O点是cd边的中点。
一个带正电的粒子仅在磁场力的作用下，从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0后刚好从c点射出磁场。
现设法使该带电粒子从O点沿纸面以与Od成30°角的方向，以大小不同的速率射入正方形内，下列说法中正确的是( )A ．若该带电粒子在磁场中经历的时间是53t 0，则它一定从cd 边射出磁场B ．若该带电粒子在磁场中经历的时间是23t 0，则它一定从ad 边射出磁场C ．若该带电粒子在磁场中经历的时间是54t 0，则它一定从bc 边射出磁场D ．若该带电粒子在磁场中经历的时间是t 0，则它一定从ab 边射出磁场 【答案】 AC 【解析】 如图所示，【典例2】放置在坐标原点O 的粒子源，可以向第二象限内放射出质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子，带电粒子的速率均为v ，方向均在纸面内，如图8－2－14所示．若在某区域内存在垂直于xOy 平面的匀强磁场(垂直纸面向外)，磁感应强度大小为B ，则这些粒子都能在穿过磁场区后垂直射到垂直于x 轴放置的挡板PQ 上，求：(1)挡板PQ 的最小长度； (2)磁场区域的最小面积． 【答案】 (1)mv Bq (2)⎝⎛⎭⎫π2＋1m 2v 2q 2B2【解析】 (1)设粒子在磁场中运动的半径为R ，由牛顿第二定律得qvB ＝mv 2R ，即R ＝mvBq【跟踪短训】1. 在xOy 平面上以O 为圆心、半径为r 的圆形区域内，存在磁感应强度为B 的匀强磁场，磁场方向垂直于xOy 平面．一个质量为m 、电荷量为q 的带电粒子，从原点O 以初速度v 沿y 轴正方向开始运动，经时间t 后经过x 轴上的P 点，此时速度与x 轴正方向成θ角，如图8－2－24所示．不计重力的影响，则下列关系一定成立的是( )．A ．若r <2mv qB ，则0°<θ<90° B ．若r ≥2mv qB ，则t ≥πmqBC ．若t ＝πm qB ，则r ＝2mv qBD ．若r ＝2mv qB ，则t ＝πmqB【答案】 AD【解析】 带电粒子在磁场中从O 点沿y 轴正方向开始运动，圆心一定在垂直于速度的方向上，即在x 轴上，轨道半径R ＝mv qB .当r ≥2mvqB 时，P 点在磁场内，粒子不能射出磁场区，所以垂直于x 轴过P 点，θ最大且为90°，运动时间为半个周期，即t ＝πm qB ；当r <2mvqB 时，粒子在到达P 点之前射出圆形磁场区，速度偏转角φ在大于0°、小于180°范围内，如图所示，能过x 轴的粒子的速度偏转角φ>90°，所以过x 轴时0°<θ<90°，A 对、B 错；同理，若t ＝πmqB ，则r ≥2mv qB ，若r ＝2mv qB ，则t 等于πm qB，C 错、D 对． 2. 如图所示，磁感应强度大小为B ＝0.15 T 、方向垂直纸面向里的匀强磁场分布在半径为R ＝0.10 m 的圆形区域内，圆的左端跟y 轴相切于直角坐标系原点O ，右端跟很大的荧光屏MN 相切于x 轴上的A 点。
第53课时 匀强磁场中的临界极值和多解问题(题型研究课)
匀强磁场中的临界极值和多解问题(题型研究课)
结
束
2.(2016· 海南高考)如图，A、C 两点分别位于 x 轴和 y 轴上，∠OCA＝30° ，OA 的长度为 L。在△OCA 区 域内有垂直于 xOy 平面向里的匀强磁场。 质量为 m、 电荷量为 q 的带正电粒子，以平行于 y 轴的方向从 OA 边射入磁场。已知粒子从某点射入时，恰好垂 直于 OC 边射出磁场，且粒子在磁场中运动的时间为 t0。不计重力。 (1)求磁场的磁感应强度的大小； (2)若粒子先后从两不同点以相同的速度射入磁场，恰好从 OC 边上 的同一点射出磁场，求该粒子这两次在磁场中运动的时间之和； (3)若粒子从某点射入磁场后，其运动轨迹与 AC 边相切，且在磁场 5 内运动的时间为 t0，求粒子此次入射速度的大小。 3
匀强磁场中的临界极值和多解问题(题型研究课)
结
束
(2)设当 v0＝v3 时，粒子恰好打不到荧光屏 上， 则这时粒子沿图中轨迹②从磁场的最高点 A 竖直向上射出磁场。由此可知，粒子在磁场中 的轨道半径 r3＝R。又由洛伦兹力提供向心力， v32 得 qv3B＝m ，解得 v3＝1.5×106 m/s。由题意 r3 可知，当 v0>1.5× 106 m/s 时，粒子能打到荧光屏上。
匀强磁场中的临界极值和多解问题(题型研究课)
结
束
(1)根据边界条件，通过画动态图的方法，找出符合临界条 件的粒子轨迹。 (2)运用几何关系，求得粒子运动半径。 (3)根据洛伦兹力提供向心力建立方程。
匀强磁场中的临界极值和多解问题(题型研究课)
结
束
[集训冲关]
1.(多选)(2017· 常德月考)如图所示，宽为 d 的 有界匀强磁场的边界为 PP′、 QQ′。 一个 质量为 m、电荷量为 q 的微观粒子沿图示 方向以速度 v0 垂直射入磁场，磁感应强度 大小为 B，要使粒子不能从边界 QQ′射出，粒子的入射速度 v0 的最大值可能是下面给出的(粒子的重力不计) qBd A. m 2qBd C. 3m 2qBd B. m qBd D. 3m ( )
高考物理磁场精讲精练带电粒子在磁场中运动的临界极值问题
带电粒子在磁场中运动的临界、极值问题临界状态是指物体从一种运动状态(或物理现象)转变为另一种运动状态(或物理现象)的转折状态，它既具有前一种运动状态(或物理现象)的特点，又具有后一种运动状态(或物理现象)的特点，起着承前启后的转折作用．由于带电粒子在磁场中的运动通常都是在有界磁场中的运动，常常出现临界和极值问题．1．临界问题的分析思路临界问题的分析对象是临界状态，临界状态就是指物理现象从一种状态变化成另一种状态的中间过程，这时存在着一个过渡的转折点，此转折点即为临界状态点．与临界状态相关的物理条件则称为临界条件，临界条件是解决临界问题的突破点．临界问题的一般解题模式： (1)找出临界状态及临界条件； (2)总结临界点的规律； (3)解出临界量； (4)分析临界量列出公式． 2．极值问题的分析思路所谓极值问题就是对题中所求的某个物理量最大值或最小值的分析或计算，求解的思路一般有以下两种：一是根据题给条件列出函数关系式进行分析、讨论；二是借助于几何图形进行直观分析．例题1．平面OM 和平面ON 之间的夹角为30°，其横截面(纸面)如图所示，平面OM 上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B ，方向垂直于纸面向外．一带电粒子的质量为m ，电荷量为q (q >0)．粒子沿纸面以大小为v 的速度从OM 的某点向左上方射入磁场，速度与OM 成30°角．已知该粒子在磁场中的运动轨迹与ON 只有一个交点，并从OM 上另一点射出磁场．不计重力．粒子离开磁场的出射点到两平面交线O 的距离为( )A.mv2qBB ．3mv qBC.2mv qBD.4mv qB解析：选D.如图所示，粒子在磁场中运动的轨道半径为R ＝mv qB.设入射点为A ，出射点为B ，圆弧与ON 的交点为P .由粒子运动的对称性及粒子的入射方向知，AB ＝R .由几何图形知，AP ＝3R ，则AO ＝3AP ＝3R ，所以OB ＝4R ＝4mvqB.故选项D 正确．例题2．(多选)如图所示，M 、N 为两块带等量异种电荷的平行金属板，两板间电压可取从零到某一最大值之间的任意值．静止的带电粒子带电荷量为＋q ，质量为m (不计重力)，从点P 经电场加速后，从小孔Q 进入N 板右侧的匀强磁场区域，磁感应强度大小为B ，方向垂直于纸面向外，CD 为磁场边界上的一绝缘板，它与N 板的夹角为θ＝30°，孔Q 到板的下端C 的距离为L ，当M 、N 两板间电压取最大值时，粒子恰垂直打在CD 板上，则( )A ．两板间电压的最大值U m ＝q 2B 2L 22mB ．CD 板上可能被粒子打中区域的长度x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－33LC ．粒子在磁场中运动的最长时间t m ＝πmqBD ．能打在N 板上的粒子的最大动能为q 2B 2L 218m解析：选BCD.M 、N 两板间电压取最大值时，粒子恰垂直打在CD 板上，所以其轨迹圆心在C 点，CH ＝QC ＝L ，故半径R 1＝L ，又因Bqv 1＝m v 21R 1，qU m ＝12mv 21，可得U m ＝qB 2L 22m，所以A 错误．设轨迹与CD 板相切于K 点，半径为R 2，在△AKC 中sin 30°＝R 2L －R 2＝12，可得R 2＝L3，CK 长为3R 2＝33L ，则CD 板上可能被粒子打中的区域即为HK 的长度，x ＝HK ＝L －CK ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－33L ，故B 正确．打在QE 间的粒子在磁场中运动的时间最长，周期T ＝2πm qB ，所以t m ＝πm qB ，C 正确．能打到N 板上的粒子的临界条件是轨迹与CD 相切，由B 选项知，r m ＝R 2＝L 3，可得v m ＝BqL 3m ，动能E km ＝q 2B 2L 218m，故D 正确．例题3．如图甲所示，在空间中存在垂直纸面向里的磁感应强度为B 的匀强磁场，其边界AB 、CD 相距为d ，在左边界的Q 点处有一质量为m 、带电量为q 的负粒子沿与左边界成30°的方向射入磁场，粒子重力不计．求：(1)带电粒子能从AB 边界飞出的最大速度；(2)若带电粒子能垂直CD 边界飞出磁场，穿过小孔进入如图乙所示的匀强电场中减速至零且不碰到负极板，则极板间电压U 应满足什么条件？整个过程粒子在磁场中运动的时间是多少？(3)若带电粒子的速度是(2)中的3倍，并可以从Q 点沿纸面各个方向射入磁场，则粒子能打到CD 边界的距离大小？解析：(1)带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，设半径为R 1，运动速度为v 0.粒子能从左边界射出，临界情况如图甲所示，由几何条件知R 1＋R 1cos 30°＝d又qv 0B ＝mv 20R 1解得v 0＝Bqd m (1＋cos 30°)＝2(2－3)Bqdm所以粒子能从左边界射出时的最大速度为v m ＝v 0＝2(2－3)Bqdm(2)带电粒子能从右边界垂直射出，如图乙所示． 由几何关系知R 2＝dcos 30°由洛伦兹力提供向心力得Bqv 2＝m v 22R 2由动能定理得－qU ＝0－12mv 22解得U ＝B 2qd 22m cos 230°＝2B 2qd23m 所加电压满足的条件U ≥2B 2qd23m.粒子转过的圆心角为60°，所用时间为T 6，而T ＝2πmBq因返回通过磁场所用时间相同，所以总时间t ＝2×T 6＝2πm3Bq(3)当粒子速度是(2)中的3倍时，解得R 3＝2d由几何关系可得粒子能打到CD 边界的范围如图丙所示．粒子打到CD 边界的距离l ＝2×2d cos 30°＝23d答案：(1)2(2－3)Bqd m (2)U ≥2B 2qd 23m 2πm3Bq(3)23d。
带电粒子在匀强磁场中的运动(临界值和极值问题)
∴ θ =30° 0 2 60 最大偏向角为
最长时间为
t
R 2 v0
6.0 10 2 1.2 10 6
2
6 s 5.2 10 8 s
（2）因
' mv0 R 1.5 10 2 m r qB
所以粒子在磁场中出现的区 域为图所示（以ao为直径的 半圆和以a为圆心oa为半径的 圆与磁场相交的部分）。 比荷相同的带电粒子在同一磁场中运动时，由 T 2m qB 和 t T 知，粒子在磁场中运动的时间由粒子 2 转过的圆心角决定。圆心角越大，时间越长。 若速率也相同（R同），轨迹越长或对应的弦越长， 运动的时间越长。
a
6cm
b
返回
解：（1）设轨迹半径为R
R 6.0 10 2 m
因R>r,所以要使粒子在磁场中运动的 时间最长，则粒子在磁场中运动的圆 a 弧所对应的圆心角应最大，即沿以直 径ab为弦R为半径的圆弧运动所用的时 间最长，此时的偏向角也最大。 由图知，
6cm θ
b
sin
r R
1 2
S
Байду номын сангаас v
解：α 粒子带正电，故在磁场中沿 逆时针方向做匀速圆周运动，用R表 v2 示轨道半径，有 qvB m
R
由此得
代入数值得R=10cm
可见，2R>l >R.因朝不同方向发射的α粒子的圆轨迹都过S，由 此可知，某一圆轨迹在图中N左侧与ab相切，则此切点P1就是粒 子能打中的左侧最远点.为定出P1点的位置，可作平行于ab的直 线cd，cd到ab的距离为R，以S为圆心，R为半径，作弧交cd于 Q点，过Q作ab的垂线，它与ab的交点即为P1. 再考虑N的右侧。任何粒子在运动中离S的距离不可能超过2R， 以2R为半径、S为圆心作圆，交ab于N右侧的P2点，此即右侧能 所求长度为 打到的最远点.由图中几何关系得 代入数值得 P1P2=20cm
带电粒子在匀强磁场中运动的多解和临界问题
带电粒子在匀强磁场中运动的多解和临界问题一、多解问题(一)带电粒子电性不确定形成多解1.如图所示，宽度为d 的有界匀强磁场，磁感应强度为B ，MM ′和NN ′是它的两条边界。
现有质量为m ，电荷量为q 的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入。
要使粒子不能从边界NN ′射出，则粒子入射速率v 的最大值可能是多少。
2．如图1所示，第一象限范围内有垂直于xOy 平面的匀强磁场，磁感应强度为B 。
质量为m ，电量大小为q 的带电粒子在xOy 平面里经原点O 射入磁场中，初速度v 0与x 轴夹角θ＝60°，试分析计算：图1(1)带电粒子从何处离开磁场？穿越磁场时运动方向发生的偏转角是多大？(2)带电粒子在磁场中运动时间有多长？(二)磁场方向不确定形成多解2.(多选)一质量为m ，电荷量为q 的负电荷在磁感应强度为B 的匀强磁场中绕固定的正电荷沿固定的光滑轨道做匀速圆周运动，若磁场方向垂直于它的运动平面，且作用在负电荷的电场力恰好是磁场力的三倍，则负电荷做圆周运动的角速度可能是( )A.4qB mB.3qB mC.2qB mD.qB m(三)带电粒子速度不确定形成多解3.(多选)如图所示，两方向相反、磁感应强度大小均为B 的匀强磁场被边长为L 的等边三角形ABC 理想分开，三角形内磁场垂直纸面向里，三角形顶点A 处有一质子源，能沿∠BAC的角平分线发射速度不同的质子(质子重力不计)，所有质子均能通过C 点，质子比荷q m ＝k ，则质子的速度可能为A ．2BkLB.BkL 2C.3BkL 2D.BkL 81．(多选)如图6所示，直线MN 与水平方向成60°角，MN 的右上方存在垂直纸面向外的匀强磁场，左下方存在垂直纸面向里的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小均为B 。
一粒子源位于MN 上的a 点，能水平向右发射不同速率、质量为m (重力不计)、电荷量为q (q ＞0)的同种粒子，所有粒子均能通过MN 上的b 点，已知ab ＝L ，则粒子的速度可能是( )图6A ．3qBL 6m B ．3qBL 3m C ．3qBL 2m D ．3qBL m(四)带电粒子运动的往复性形成多解4.某装置用磁场控制带电粒子的运动，工作原理如图8212所示。
带电粒子在磁场中运动的临界问题课件
研究结果可以应用于空间探测、天气 预报、通讯和导航等领域。
地球磁场可以影响太阳风等离子体的 运动和散布，空间物理研究有助于了 解太阳系中的环境和天体现象。
05
CHAPTER
带电粒子在磁场中运动的临 界问题的挑战和展望
研究方法和技术的改进和创新
引入新的数学模型和计算方法， 以更精确地描述带电粒子在磁场
促进学术交流和合作，以便更好地推动带电粒子在磁 场中运动的研究和应用发展。
THANKS
谢谢
临界条件的实验验证和方法改进
实验验证
通过实验可以验证临界条件的正确性。例如，可以使用粒子加速器和磁场装置来模拟带电粒子在磁场中的运动， 并视察其轨迹是否满足临界条件。
方法改进
根据实验结果和理论分析，可以对临界条件的推导和分析方法进行改进。例如，可以使用更精确的数学工具来推 导和分析临界条件；也可以通过改变磁场强度或边界形状等参数来调整临界条件。
03
CHAPTER
带电粒子在磁场中运动的临 界问题
临界条件的定义和分类
定义
带电粒子在磁场中运动的临界条件是指粒子在磁场中运动时，其轨迹恰好不与 边界相切或相离，而是恰好与边界相切或相交。
分类
根据不同的标准，临界条件可以分为不同的类型。例如，根据粒子的速度方向 与磁场方向的关系，可以分为横向和纵向临界条件；根据粒子的能量大小与磁 场强度的大小关系，可以分为高能临界和低能临界。
中的运动。
开发先进的模拟软件和计算程序 ，以便更好地预测和模拟带电粒
子的行为。
推动实验技术的发展，以便更好 地测量和验证带电粒子在磁场中
的运动。
理论和实验的进一步验证和完善
开展更多的理论研究和实验验证，以进 一步揭示带电粒子在磁场中运动的规律
带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值及多解问题
带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值及多解问题突破有界磁场中临界问题的处理方法考向1 “放缩法”解决有界磁场中的临界问题1.适用条件(1)速度方向一定，大小不同粒子源发射速度方向一定、大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化.(2)轨迹圆圆心——共线如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v 0越大，运动半径也越大.可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直速度方向的直线PP ′上.2.方法界定以入射点P 为定点，圆心位于PP ′直线上，将半径放缩作轨迹，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩法”.[典例1] 如图所示，垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形abcd 区域内，O 点是cd 边的中点.一个带正电的粒子仅在洛伦兹力的作用下，从O 点沿纸面以垂直于cd 边的速度射入正方形内，经过时间t 0刚好从c 点射出磁场.现设法使该带电粒子从O 点沿纸面以与Od 成30°的方向，以大小不同的速率射入正方形内，粒子重力不计.那么下列说法中正确的是( )A.若该带电粒子从ab 边射出，它经历的时间可能为t 0B.若该带电粒子从bc 边射出，它经历的时间可能为5t 03C.若该带电粒子从cd 边射出，它经历的时间为5t 03D.若该带电粒子从ad 边射出，它经历的时间可能为2t 03[解析] 作出从ab 边射出的轨迹①、从bc 边射出的轨迹②、从cd 边射出的轨迹③和从ad 边射出的轨迹④.由带正电的粒子从O 点沿纸面以垂直于cd 边的速度射入正方形内，经过时间t 0刚好从c 点射出磁场可知，带电粒子在磁场中做圆周运动的周期是2t 0.由图可知，从ab 边射出经历的时间一定不大于5t 06；从bc 边射出经历的时间一定不大于4t 03；从cd 边射出经历的时间一定是5t 03；从ad 边射出经历的时间一定不大于t 03，C 正确.[答案] C考向2 “旋转法”解决有界磁场中的临界问题1.适用条件(1)速度大小一定，方向不同带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度为v 0，则圆周运动半径为R ＝mv 0qB.如图所示.(2)轨迹圆圆心——共圆带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P 为圆心、半径R ＝mv 0qB的圆上. 2.方法界定 将一半径为R ＝mv 0qB的圆绕着入射点旋转，从而探索出临界条件，这种方法称为“旋转法”. [典例2] 如图所示，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小B ＝0.60 T.磁场内有一块平面感光板ab ，板面与磁场方向平行.在距ab 为l ＝16 cm 处，有一个点状的α粒子放射源S ，它向各个方向发射α粒子，α粒子的速度都是v ＝3.0×106m/s.已知α粒子的比荷q m＝5.0×107C/kg ，现只考虑在纸面内运动的α粒子，求ab 板上被α粒子打中区域的长度.[解题指导] 过S 点作ab 的垂线，根据左侧最值相切和右侧最值相交计算即可. [解析] α粒子带正电，故在磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动，用R 表示轨迹半径，有qvB ＝m v 2R由此得R ＝mv qB代入数值得R ＝10 cm ，可见2R >l >R因朝不同方向发射的α粒子的圆轨迹都过S ，由此可知，某一圆轨迹在下图中N 左侧与ab 相切，则此切点P 1就是α粒子能打中的左侧最远点.为确定P 1点的位置，可作平行于ab的直线cd ，cd 到ab 的距离为R ，以S 为圆心，R 为半径，作圆弧交cd 于Q 点，过Q 作ab 的垂线，它与ab 的交点即为P 1.即：NP 1＝R 2－（l －R ）2＝8 cm再考虑N 的右侧.任何α粒子在运动中离S 的距离不可能超过2R ，在N 点右侧取一点P 2，取SP ＝20 cm ，此即右侧能打到的最远点由图中几何关系得NP 2＝（2R ）2－l 2＝12 cm 所求长度为P 1P 2＝NP 1＋NP 2 代入数值得P 1P 2＝20 cm. [答案] 20 cm突破 带电粒子在磁场中运动的多解问题考向1 带电粒子电性不确定形成多解受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也可能带负电荷，在相同的初速度的条件下，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，导致形成多解.[典例3] 如图所示，宽度为d 的有界匀强磁场，磁感应强度为B ，MM ′和NN ′是磁场左右的两条边界线.现有一质量为m 、电荷量为q 的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入.要使粒子不能从右边界NN ′射出，求粒子入射速率的最大值为多少？[解题指导] 由于粒子电性不确定，所以分成正、负粒子讨论，不从NN ′射出的临界条件是轨迹与NN ′相切.[解析] 题目中只给出粒子“电荷量为q ”，未说明是带哪种电荷，所以分情况讨论. 若q 为正电荷，轨迹是如图所示的上方与NN ′相切的14圆弧，则轨道半径R ＝mv Bq又d ＝R －R2解得v ＝（2＋2）Bqdm.若q 为负电荷，轨迹是如图所示的下方与NN ′相切的34圆弧，则轨道半径R ′＝mv ′Bq又d ＝R ′＋R ′2解得v ′＝（2－2）Bqdm[答案]（2＋2）Bqd m (q 为正电荷)或（2－2）Bqdm(q 为负电荷)考向2 磁场方向不确定形成多解有些题目只告诉了磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应强度的方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成的多解.[典例4] (多选)一质量为m 、电荷量为q 的负电荷在磁感应强度为B 的匀强磁场中绕固定的正电荷沿固定的光滑轨道做匀速圆周运动，若磁场方向垂直于它的运动平面，且作用在负电荷的电场力恰好是磁场力的三倍，则负电荷做圆周运动的角速度可能是(不计重力)( )A.4qB mB.3qBmC.2qBmD.qB m[解析] 根据题目中条件“磁场方向垂直于它的运动平面”，磁场方向有两种可能，且这两种可能方向相反.在方向相反的两个匀强磁场中，由左手定则可知负电荷所受的洛伦兹力的方向也是相反的.当负电荷所受的洛伦兹力与电场力方向相同时，根据牛顿第二定律可知4Bqv ＝m v 2R ，得v ＝4BqR m ，此种情况下，负电荷运动的角速度为ω＝v R ＝4Bqm ；当负电荷所受的洛伦兹力与电场力方向相反时，有2Bqv ＝m v 2R ，v ＝2BqRm，此种情况下，负电荷运动的角速度为ω＝v R ＝2Bqm，应选A 、C. [答案] AC考向3 临界状态不唯一形成多解如图所示，带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能直接穿过去了，也可能转过180°从入射界面反向飞出，于是形成了多解.如图所示.[典例5] (多选)长为l 的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，如图所示，磁感应强度为B ，板间距离也为l ，板不带电.现有质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v 水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是( )A.使粒子的速度v <Bql 4mB.使粒子的速度v >5Bql4mC.使粒子的速度v >Bql mD.使粒子的速度v 满足Bql 4m <v <5Bql 4m[解析] 带电粒子刚好打在极板右边缘，有r 21＝⎝⎛⎭⎪⎫r 1－l 22＋l 2，又因r 1＝mv 1Bq ，解得v 1＝5Bql 4m ；粒子刚好打在极板左边缘，有r 2＝l 4＝mv 2Bq ，解得v 2＝Bql4m，故A 、B 正确.[答案] AB考向4 带电粒子运动的往复性形成多解空间中部分是电场，部分是磁场，带电粒子在空间运动时，运动往往具有往复性，因而形成多解.[典例6] 如图所示，在x 轴上方有一匀强磁场，磁感应强度为B ；x 轴下方有一匀强电场，电场强度为E .屏MN 与y 轴平行且相距L .一质量m 、电荷量为e 的电子，在y 轴上某点A 自静止释放，如果要使电子垂直打在屏MN 上，那么：(1)电子释放位置与原点O 的距离s 需满足什么条件？ (2)电子从出发点到垂直打在屏上需要多长时间？ [解题指导] 解答本题可分“两步走”： (1)定性画出粒子运动轨迹示意图.(2)应用归纳法得出粒子做圆周运动的半径r 和L 的关系.[解析] (1)在电场中，电子从A →O ，动能增加eEs ＝12mv 2在磁场中，电子偏转，半径为r ＝mv 0eB据题意，有(2n ＋1)r ＝L所以s ＝eL 2B 22Em （2n ＋1）2(n ＝0,1,2,3，…).(2)在电场中匀变速直线运动的时间与在磁场中做部分圆周运动的时间之和为电子总的运动时间t ＝(2n ＋1)2s a ＋T 4＋n T 2，其中a ＝Ee m ，T ＝2πm eB整理后得t ＝BL E ＋(2n ＋1)πm2eB(n ＝0,1,2,3，…).[答案] (1)s ＝eL 2B 22Em （2n ＋1）2(n ＝0,1,2,3，…) (2)BL E ＋(2n ＋1)πm2eB(n ＝0,1,2,3，…) 专项精练1.[放缩法的应用]如图所示，有一个正方形的匀强磁场区域abcd ，e 是ad 的中点，f 是cd 的中点，如果在a 点沿对角线方向以速度v 射入一带负电的粒子，恰好从e 点射出，则( )A.如果粒子的速度增大为原来的两倍，将从d 点射出B.如果粒子的速度增大为原来的三倍，将从f 点射出C.如果粒子的速度不变，磁场的磁感应强度变为原来的两倍，也将从d 点射出D.只改变粒子的速度使其分别从e 、d 、f 点射出时，从e 点射出所用时间最短答案：A 解析：作出示意图如图所示，根据几何关系可以看出，当粒子从d 点射出时，轨道半径增大为原来的两倍，由半径公式R ＝mvqB可知，速度也增大为原来的两倍，选项A 正确，显然选项C 错误；当粒子的速度增大为原来的四倍时，才会从f 点射出，选项B 错误；粒子的周期公式T ＝2πmqB，可见粒子的周期与速度无关，在磁场中的运动时间取决于其轨迹圆弧所对应的圆心角，所以从e 、d 射出时所用时间相等，从f 点射出时所用时间最短，故D 错误.2.[旋转法的应用]如图所示，在真空中坐标xOy 平面的x >0区域内，有磁感应强度B ＝1.0×10－2T 的匀强磁场，方向与xOy 平面垂直，在x 轴上的P (10,0)点，有一放射源，在xOy 平面内向各个方向发射速率v ＝104m/s 的带正电的粒子，粒子的质量为m ＝1.6×10－25kg ，电荷量为q ＝1.6×10－18C ，求带电粒子能打到y 轴上的范围.答案：－10～10 3 cm 解析：带电粒子在磁场中运动时由牛顿第二定律得：qvB ＝m v 2R解得：R ＝mv qB＝0.1 m ＝10 cm如图所示，当带电粒子打到y 轴上方向的A 点与P 连线正好为其圆轨迹的直径时，A 点即为粒子能打到y 轴上方的最高点.因OP ＝10 cm ，AP ＝2R ＝20 cm则OA ＝AP 2－OP 2＝10 3 cm当带电粒子的圆轨迹正好与y 轴下方相切于B 点时，若圆心再向左偏，则粒子就会从纵轴离开磁场，所以B 点即为粒子能打到y 轴下方的最低点，易得OB ＝R ＝10 cm ，综上所述，带电粒子能打到y 轴上的范围为－10～10 3 cm.3.[带电粒子在磁场中运动的临界问题]如图所示，在平面直角坐标系xOy 的第四象限有垂直纸面向里的匀强磁场，一质量为m ＝5.0×10－8kg 、电荷量为q ＝1.0×10－6C 的带正电粒子从静止开始经U 0＝10 V 的电压加速后，从P 点沿图示方向进入磁场，已知OP ＝30 cm(粒子重力不计，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8).(1)求带电粒子到达P 点时速度v 的大小；(2)若磁感应强度B ＝2.0 T ，粒子从x 轴上的Q 点离开磁场，求OQ 的距离； (3)若粒子不能进入x 轴上方，求磁感应强度B ′满足的条件. 答案：(1)20 m/s (2)0.90 m (3)B ′>5.33 T解析：(1)对带电粒子的加速过程，由动能定理有qU 0＝12mv 2代入数据得：v ＝20 m/s.(2)带电粒子仅在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，有qvB ＝mv 2R得R ＝mv qB代入数据得：R ＝0.50 m 而OPcos 53°＝0.50 m故圆心一定在x 轴上，轨迹如图甲所示 由几何关系可知：OQ ＝R ＋R sin 53° 故OQ ＝0.90 m.甲乙(3)带电粒子恰不从x 轴射出(如图乙所示)，由几何关系得：OP >R ′＋R ′cos 53° ① R ′＝mv qB ′②由①②并代入数据得：B ′>163T≈5.33 T(取“≥”同样正确). 4.[带电粒子在磁场中运动的多解问题]如图甲所示，M 、N 为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d ，两板中央各有一个小孔O 、O ′正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示，设垂直纸面向里的磁场方向为正方向.甲 乙有一群正离子在t ＝0时垂直于M 板从小孔O 射入磁场.已知正离子质量为m 、带电荷量为q ，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T 0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响.求：(1)磁感应强度B 0的大小；(2)要使正离子从O ′孔垂直于N 板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v 0的可能值. 答案：(1)2πm qT 0 (2)πd 2nT 0(n ＝1,2,3，…)解析：(1)正离子射入磁场，由洛伦兹力提供向心力，即qv 0B 0＝mv 2r①做匀速圆周运动的周期T 0＝2πrv 0②联立两式得磁感应强度B 0＝2πmqT 0.③(2)要使正离子从O ′孔垂直于N 板射出磁场，两板之间正离子只运动一个周期即T 0时，v 0的方向应如图所示，有r ＝d4④当在两板之间正离子共运动n 个周期，即nT 0时，有- 11 - r ＝d 4n(n ＝1,2,3，…)⑤ 联立①③⑤求解，得正离子的速度的可能值为v 0＝qB 0r m ＝πd 2nT 0(n ＝1,2,3，…).。
带电粒子在匀强磁场中匀速圆周运动的临界问题解析
带电粒子在匀强磁场中匀速圆周运动的临界问题题1：两边界MN 、PQ 足够长，相距为d ，中间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B ，质量为m ，电荷量为+q 的粒子，从磁场边缘MP 的正中间O 点沿图示方向垂直进入磁场，不计重力，要使粒子从MN 板离开磁场，求：⑴粒子进入磁场的速度应满足什么条件？（θ=300）⑵要使粒子在磁场中运动的时间最长，粒子要从哪一条边界射出，最长时间为多少？析：（1）（方法1：过定点吹气球，找到临界点。
方法2：画圆找弧移边界）当粒子运动轨迹跟MN 相切时速度最小，则有：min 3d r =又 mvr qB= 得：min 3qBd v m = 当粒子运动轨迹与PQ 相切而从MN 射出时，速度有最大值：max r d =得：max qBd v m =故得速度应满足的条件是：3qBdqBdv m m≤ ⑵要使粒子运动时间长，则对应圆心角最大，则粒子从MP 边射出，0max00300253603603m mt T qB qBαππ==⨯= 题2：如图，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小B=0.60T ，磁场内有一块平面感光板ab ，板面与磁场方向平行，在距ab的距离L=16cm 处，有一个点状的α放射源S ，它向各个方向发射α粒子，α粒子的速度都是V=3.0×106m/s,已知α粒子的电荷与质量之比q m=5.0×107C/kg ，现只考虑在图纸平面中运× × × × × × × ×× × × × × × × × V θ MNQP × × × × × × × × × × × ×× × × ×V θ M N QP O 1O 2r min 2d300× × × × × × × ×× × × ×a b S动的α粒子，求ab 上被α粒子打中的区域的长度。
带电粒子在匀强磁场中的运动临界问题
带电粒子在匀强磁场中的运动临界问题《带电粒子在匀强磁场中的运动临界问题：一场微观世界的奇妙之旅》嘿，你知道吗？在我们肉眼看不到的微观世界里，有着超级神奇的现象呢。
就像带电粒子在匀强磁场中的运动临界问题，这就像是一场看不见硝烟的微观小战争，特别有趣。
我就想象我自己是一个特别小的带电粒子，住在一个巨大的磁场里。
这个磁场啊，就像一个超级大的、有着神秘力量的魔法场。
我这个带电粒子呢，就只能按照磁场给我规定的规则来行动。
这感觉有点像我们在学校玩游戏的时候，老师定了一些规则，我们就得按照规则玩。
你看啊，当我这个带电粒子进入匀强磁场的时候，我就开始做圆周运动啦。
这圆周运动就像是我在一个圆形的跑道上不停地跑圈。
可是呢，这里面就有很多临界问题。
啥是临界问题呢？就像是走在钢丝上，稍微一不小心，就会出状况。
比如说啊，有个带电粒子要从磁场的一个边界射进去，然后再从另一个边界射出来。
这个时候，我们就得考虑好多情况呢。
我就想啊，如果我是这个带电粒子，我要怎么才能准确地从规定的地方出去呢？这就像我们在迷宫里找出口一样，得小心翼翼的。
我有个同学叫小明，我们俩就经常讨论这个带电粒子的事儿。
有一次，小明就说：“你看啊，如果这个带电粒子的速度稍微变一变，那它在磁场里的运动轨迹不就完全不一样了吗？”我就回答他：“是啊，就像我们跑步的时候，速度不一样，跑的路线可能就会偏离原来的方向呢。
这带电粒子的速度就像是我们跑步的速度，稍微一变，那在磁场这个大跑道上的轨迹可就天差地别啦。
”还有啊，磁场的大小也很关键。
我觉得磁场就像一个大笼子，要是笼子的范围变大或者变小了，那我们这些带电粒子在里面的活动空间也就跟着变了。
有一回，我们在做实验的时候，老师改变了磁场的强度。
哇，那带电粒子的运动轨迹一下子就变了好多。
就好像我们在一个小房间里玩球，突然房间变大或者变小了，球滚动的路线肯定就不一样了。
我们再来说说带电粒子的入射角度吧。
这个入射角度就像是我们跳远的时候起跳的角度一样重要。
例析带电粒子在匀强磁场中的临界问题
ʏ重庆市第四十九中学 廖华英带电粒子在匀强磁场中做圆周运动,当题目中出现 恰好 最大 最小 至少 等词语时,往往意味着存在临界现象㊂求解带电粒子在匀强磁场中的临界问题,首要任务是借助轨迹圆半径R 和速度v (或磁感应强度B )之间的约束关系进行动态分析,确定粒子运动轨迹和磁场边界(或磁感应强度B )的关系,找出临界状态㊂下面以两类常见临界问题为例,阐述解题策略,供同学们参考㊂类型一:求解磁场约束条件的临界问题这类问题主要解决的是欲使带电粒子完成规定要求的磁约束,需要满足的磁感应强度的最值或磁场区域的最小面积等问题㊂图1例1 如图1所示,坐标系O x y 所在空间区域内分布着垂直于纸面向内的匀强磁场,在原点O 处有一放射源,它可以在纸面内向四周均匀地发射质量为m ,带电荷量为+q ,速率均为v 0的粒子㊂厚度不计的竖直挡板MN 放置在原点O 左侧,挡板与x 轴的交点为O ',在纸面内挡板两端点M ㊁N 与原点O 恰好构成等边三角形㊂已知挡板两端点M ㊁N 间的距离为L ,不计粒子自身重力及粒子间的相互作用㊂(1)要使所有粒子都不能打到挡板上,求磁感应强度的最小值㊂(2)要使有粒子打到挡板的左侧,求磁感应强度的最大值㊂解析:因为әO MN 为边长为L 的正三角形,所以O ㊁O '两点间的距离L O O '=L c o s 30ʎ=3L2㊂设磁感应强度为B ,粒子的轨迹圆半径为r ,根据洛伦兹力提供向心力得q v 0B =m v 20r ,解得r =m v 0q B ㊂因为放射源发射的粒子的质量均为m ,带电荷量均为+q ,速率均为v 0,所以所有粒子的轨迹圆半径r 只与磁感应强度B 有关,且磁感应强度B越大,轨迹圆半径r 越小㊂图2(1)要使所有粒子都不能打到挡板上,则需从放射源沿y 轴正方向射出的粒子的轨迹圆在挡板所在位置右侧㊂画出粒子在磁场中的运动轨迹的动态圆,如图2所示,其中与挡板相切于O '点的轨迹圆的半径最大㊂根据几何知识可知,最大轨迹圆半径r m a x =12L O O '=3L4,最小磁感应强度B m i n =43m v 03qL ㊂(2)要使有粒子打到挡板的左侧,则需挡板的两端点M ㊁N 均位于从放射源沿y 轴正方向射出的粒子的轨迹圆内部㊂画出粒子在图3磁场中的运动轨迹的动态圆,如图3所示,其中经过M ㊁N 两点的轨迹圆的半径最小㊂因为最小轨迹圆的内接әO MN 为正三角形,所以最小轨迹圆半径r m i n =L 2c o s 30ʎ=3L 3,最大磁感应强度B m a x =3m v 0qL ㊂点评:本题考查带电粒子在匀强磁场中73解题篇 经典题突破方法 高考理化 2024年3月的受约束运动㊂因为所有粒子的入射速度大小相同,所以粒子在不同磁感应强度的匀强磁场中的运动轨迹是一组放缩圆,在同一匀强磁场中的运动轨迹是一组半径相同的旋转圆㊂解答本题的关键是根据几何知识判断出粒子在不同磁感应强度的匀强磁场中运动时的轨迹圆与约束条件的关系㊂图4例2 在平面直角坐标系O x y 中,曲线y =x220位于第一象限的部分如图4所示,第三象限内分布着方向竖直向上的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场(图中未画出),磁感应强度B =π10T ㊂在曲线上不同点以初速度v 0向x 轴负方向水平抛出质量为m ,带电荷量为+q 的小球,小球下落过程中都会通过坐标原点,之后进入第三象限恰好做匀速圆周运动,并在做匀速圆周运动的过程中都能打到y 轴的负半轴上㊂取重力加速度g =10m /s 2,q m=100C /k g ㊂求:(1)电场强度E 的大小㊂(2)小球的初速度v 0㊂(3)为了使所有的小球都能打到y 轴的负半轴,所加匀强磁场区域的最小面积㊂解析:(1)因为小球在第三象限内恰好做匀速圆周运动,所以在竖直方向上小球受力平衡,即m g =qE ,解得E =0.1N /C ㊂(2)设小球的抛出点坐标为(x ,y ),根据平抛运动规律得x =v 0t ,y =12g t 2,整理得y =g 2v 20x 2,又有y =x 220,则g 2v 20=120,解得v 0=10m /s ㊂(3)设小球进入第三象限时的速度为v ,与x 轴负半轴间的夹角为α,则v 0=v c o s α㊂根据洛伦兹力提供向心力得q v B =m v2r,解得r =m vq B ㊂根据几何知识可知,小球打在y 轴负半轴上的点与原点间的距离H =2r c o s α=2m v 0qB ,可见所有小球均从y 轴负半轴上同一点进入第四象限,因此所加最小磁场区域应为一半径R =m v 0qB 的半圆,其面积S m i n =πR 22,解得S m i n =0.5m 2㊂点评:本题中小球的重力不可忽略,但其重力与静电力是一对平衡力,小球在第三象限内的运动相当于仅受洛伦兹力的匀速圆周运动㊂若小球的抛出点不同,则进入磁场时的速度方向与大小都将不同㊂解答本题的关键是通过分析得出所有的小球都是从y 轴负半轴上同一点离开磁场区域的,这样才能顺利找到所加最小磁场区域的边界㊂类型二:求解带电粒子初始运动条件的临界问题这类问题主要解决带电粒子以怎样的运动条件进入限定的有界磁场区域,使带电粒子在有限的空间内发生磁偏转,从规定的位置射出磁场区域㊂一般是求带电粒子的初速度的大小范围或运动时间的极值等㊂图5例3 如图5所示,长度为L 的水平两极板间分布着垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度为B ,两极板间距也为L ㊂初始状态下,两极板不带电,质量为m ,带电荷量为-q 的粒子从两极板左侧中点处以水平速度v 垂直于磁感线射入磁场㊂不计粒子自身重力㊂欲使粒子打到极板上,求其初速度v 的大小范围㊂解析:根据左手定则可知,粒子进入磁场时所受洛伦兹力的方向向下,粒子将向下偏转㊂粒子最终恰好打到下极板右端点和左端点是两个临界状态,分别作出这两个临界状态下粒子的运动轨迹,如图6甲㊁乙所示㊂当粒子最终恰好打到下极板的右端点时,设粒子的运动轨迹半径为R 1,根据几何知识可知,在R t әO A B 中有R 21=R 1-L 22+L 2,解得R 1=5L4㊂根据洛伦兹力提供向心力得83 解题篇 经典题突破方法 高考理化 2024年3月q v 1B =m v 21R 1,解得v 1=5q B L 4m ㊂当粒子最终恰好打到下极板的左端点时,设粒子的运动轨迹半径为R 2,根据几何知识得R 2=L 4㊂根据洛伦兹力提供向心力得q v 2B =m v22R 2,解得v 2=q B L 4m ㊂因此欲使粒子打到极板上,其初速度v 的大小范围应为qB L 4mɤv ɤ5q B L 4m㊂图6点评:外界磁场区域范围的限定,使得带电粒子的初始运动条件有了相应的限制㊂求解本题的关键是要确定临界状态,找出临界状态下粒子运动轨迹的圆心,求出对应轨迹圆的半径㊂图7例4 如图7所示,矩形区域a b c d 内分布着磁感应强度为B ,方向垂直于纸面向里的匀强磁场,矩形区域的a d 边长为L ,a b 边足够长㊂现有一带电粒子从a d 边的中点O 以初速度v 0垂直于磁感线射入磁场区域,已知粒子的质量为m ,带电荷量为q ,初速度v 0与直线O d 间的夹角α=30ʎ,不计粒子自身重力㊂(1)若粒子能从a b 边射出磁场区域,求初速度v 0的大小范围㊂(2)求粒子在磁场中运动的最长时间,以及在这种情况下粒子从磁场中射出时所在位置的范围㊂解析:(1)画出粒子在磁场中的运动轨迹的动态圆,如图8所示㊂能够从a b边射出的图8粒子的两个临界运动轨迹是圆弧O C D和圆弧O E F ,其中圆弧O C D 与d c 边相切于C 点,与a b 边相交于D 点,圆心为O 1,对应粒子的最大轨迹圆半径;圆弧O E F 与a b 边相切与E 点,与a d 边相交于F 点,圆心为O 2,对应粒子的最小轨迹圆半径㊂当粒子在磁场中的运动轨迹为圆弧O C D 时,根据几何知识得轨迹圆半径r 1=L ,根据洛伦兹力提供向心力得q v 0m a xB =m v 20m a x r 1,解得v 0m a x =q B L m ㊂当粒子在磁场中的运动轨迹为圆弧O E F 时,根据几何知识得轨迹圆半径r 2=L 3,根据洛伦兹力提供向心力得q v 0m i n B =m v 20m i n r 2,解得v 0m i n =q B L 3m ㊂因此满足题意的初速度v 0的大小范围为q B L 3m <v 0ɤq B L m㊂(2)当粒子从a d 边射出时,粒子在磁场中的运动轨迹所对的圆心角最大,运动时间最长㊂根据几何知识可知,当粒子从a d 边射出时,在磁场中的运动轨迹所对的圆心角均为300ʎ,粒子从a d 边射出时的位置在O ㊁F 两点之间㊂因为粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期T =2πmqB ,所以粒子在磁场中的最长运动时间t m a x =56T =5πm3qB ,O ㊁F 两点之间的距离L O F =r 2=L3,即粒子射出磁场区域时的位置在a d 边上O 点上方0~L3范围内㊂点评:根据速率可变的带电粒子刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中的运动轨迹与边界相切,可以确定粒子在磁场中的临界运动轨迹;根据速率与轨迹半径的关系,可以确定粒子初速度的大小范围;根据粒子在磁场中的运动时间与轨迹圆所对圆心角的关系,可以求解运动时间的极值㊂(责任编辑 张 巧)93解题篇 经典题突破方法 高考理化 2024年3月。
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第六章 磁场对电流和运动电荷的作用
6.3.2 洛伦兹力的应用 匀强磁场中的临界问题
一、电性不确定引起的分类讨论
在第I 象限范围内有垂直xOy 平面的匀强磁场B 。
质量为m 、
电量大小为q 的带电粒子(不计重力)，在xOy 平面里经原点O 射入磁场
中，初速度为v 0，且与x 轴成60º角，试分析计算：（1）穿越磁场时运
动方向发生的偏转角多大？（2）带电粒子在磁场中运动时间多长？
解答：
若粒子带正电，则：112663m m t T qB qB
ππ=== 若粒子带负电，则：1
122333m m t T qB qB ππ==
=
二、入射点不确定引起的临界问题
5d 的金属板相距d ，平行放置，下
板接地，两极间有垂直纸面向里的匀强磁场，一束宽为d 的电子束从
两板左侧垂直磁场方向射入两极间，设电子的质量为m ，电量为e ，
入射速度为v 0，要使电子不会从两极间射出，求匀强磁场的磁感应
强度B 应满足的条件。
1.假设磁场是无界的,各电子的运动轨迹怎样? 半径相等的圆，所有运动
轨迹的圆心在一条直线上。
2.磁场较小时，轨迹半径较大。
哪个电子最有可能从右侧飞出? 最上
面的电子。
3.当磁场很大,运动半径较小，哪个电子最有可能从左侧飞出?
最上面
的电子。
①B 较大时，R 较小，电子恰好从左侧飞出有: 0022,22mv mv d d R B eB ed
===即，得 ②B 较小时，R 较大，电子恰好从右侧飞出,有:
222111()(5),13R d d R R d -+==得
00213mv mv B ed ed
<<综上所述，
三、出射点不确定引起的临界问题
L 的水平不带电极板间有垂直纸面向内的匀强磁场B ，板间距离也为L ，现有质量为m ，电量为q 的带正电粒子（不计重力），从左
边极板间中点处垂直磁场以速度v 平行极板射入磁场，欲使粒子不打在极板
上，则入射速度v 应满足什么条件？
解答：
2221111L 5L 5()L ,244qBL R R R v m
-+===从右边出，得，从而 22L R 44qBL v m
==从左边出，，从而 544qBL qBL v v m m
≤≥综上所述，或者
四、速度方向确定，大小不确定引起的临界问题
PMN 区域内分布有磁感应强度为B 的匀强磁场，磁
场方向垂直于纸面向里，有一束正离子流(不计重力)，沿纸面垂直
于磁场边界MN 方向从A 点垂直边界射入磁场，已知MA =d ，
∠PMN=45º，离子的质量为m 、带电荷量为q 、要使离子不从MP
边射出，离子进入磁场的速度最大不能超过多少？
max max sin 45R R d +=︒
m a x m a x mv R qB = max 1)qBd v m
-=
e ，质量m ，斜向上与边界成60º射入磁感应强度B ，宽度d 的磁场，若要求电子不从右边界穿出，则初速度v 0应满足什么条件？斜向下与边界成60º射入时，初速度又应该满足什么条件？
五、速度大小确定，方向不确定引起的临界问题
B的匀强磁场垂直于纸面向里，PQ为该磁场的
右边界线，磁场中有一点O到PQ的距离为r。
现从点O以同一速率将相
同的带负电粒子向纸面内各个不同的方向射出，它们均做半径为r的匀速
圆周运动，求带电粒子打在边界PQ上的范围（粒子的重力不计）。
B=0.6T的匀强磁场，内有与磁场方向
平行的板ab，在距ab距离为l=16cm处，有一点状的放射源
S向各个方向发射α粒子，α粒子的速度都是v=3.0×106m/s，
已知α粒子的电荷与质量之比q/m= 5.0×107 C/kg ，现只考虑
在图纸平面中运动的α粒子，求ab上被α粒子打中的区域的
长度。
2010年新课标，25，18分）
如图所示，在0≤x≤a、o≤y≤a/2范围内有垂直手xy平面向
外的匀强磁场，磁感应强度大小为B．坐标原点0处有一
个粒子源，在某时刻发射大量质量为m、电荷量为q的带
正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xy平面
内，与y轴正方向的夹角分布在0～900范围内．己知粒
子在磁场中做圆周运动的半径介于a/2到a之间，从发射
粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场
中做圆周运动周期的四分之一。
求最后离开磁场的粒子从
粒子源射出时的（1）速度的大小；（2）速度方向与y轴正方向夹角的正弦。
****三种重要的模型****。