【人教版】2020高中数学 考点59 空间直角坐标系庖丁解题 新人教A版必修2
2020-2021学年新教材数学人教A版选择性必修第一册教师用书：第1章 1.3 1.3.1 空间直角坐标系
1.3空间向量及其运算的坐标表示1.3.1空间直角坐标系学习目标核心素养1.了解空间直角坐标系的建立过程．2．掌握空间直角坐标系中点的坐标的确定．(重点)3．掌握空间向量的坐标表示(重点、难点)1.通过建立空间直角坐标系，确定点的坐标，提升学生直观想象的核心素养．2．通过空间向量的坐标表示，培养学生直观想象和数学建模的核心素养.(1)数轴Ox上的点M，用代数的方法怎样表示呢？数轴Ox上的点M，可用与它对应的实数x表示；(2)直角坐标平面上的点M，怎样表示呢？直角坐标平面上的点M，可用一对有序实数(x，y)表示．(3)如果我们也能建立一个空间直角坐标系，又该怎样表示空间的点呢？1．空间直角坐标系空间直角坐标系在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以O 为原点，分别以i，j，k的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，这样就建立了空间直角坐标系坐标轴x轴、y轴、z轴坐标原点点O 坐标向量 i ，j ，k坐标平面 Oxy 平面、Oyz 平面和Oxz 平面右手直角 坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴正方向，食指指向y 轴正方向，如果中指指向z 轴正方向，则称坐标系为右手直角坐标系空间直角坐标系中A 点坐标在空间直角坐标系中，i ，j ，k 为坐标向量，对空间任一点A ，对应一个向量OA →，且点A 的位置由向量OA →唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使OA →＝x i ＋y j ＋z k ，则(x ，y ，z )叫做点A 在空间直角坐标系中的坐标．记作A (x ，y ，z )，其中x 叫点A 的横坐标，y 叫做点A 的纵坐标，z 叫做点A 的竖坐标 在空间直角坐标系中，给定向量a .由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使a ＝x i ＋y j ＋z k ，则(x ，y ，z )叫做a 在空间直角坐标系中的坐标，简记作a ＝(x ，y ，z )1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)空间直角坐标系中x 轴上点的横坐标x ＝0，竖坐标z ＝0.( ) (2)空间直角坐标系中xOz 平面上点的坐标满足z ＝0.( )(3)关于坐标平面yOz 对称的点的坐标其纵、竖坐标不变，横坐标相反．( )[提示] (1)× (2)× (3)√2．已知i ，j ，k 是空间直角坐标系O -xyz 的坐标向量，并且AB →＝－i ＋j －k ，则B 点的坐标为( )A ．(－1,1，－1)B ．(－i ，j ，－k )C ．(1，－1，－1)D ．不确定D [向量确定时，终点坐标随着起点坐标的变化而变化，本题中起点没固定，所以终点的坐标也不确定．]3．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，若以{AB →，AD →，AA 1→}为基底，则AC 1→＝________，AC 1→的坐标是________．AA 1→＋AB →＋AD → (1,1,1) [若以{AB →，AD →，AA 1→}为基底，∵AC 1→＝AA 1→＋A 1C 1→＝AA 1→＋A 1B 1→＋B 1C 1→＝AA 1→＋AB →＋AD →∴AC 1→的坐标为(1,1,1)．]求空间点的坐标11111N 为棱CC 1的中点，分别以DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系．(1)求点A ，B ，C ，D ，A 1，B 1，C 1，D 1的坐标； (2)求点N 的坐标．[思路探究] 将各个点在坐标上的射影求出，即可写出空间各点的坐标． [解] (1)显然D (0,0,0)，因为点A 在x 轴的正半轴上，且|AD |＝3， 所以A (3,0,0)．同理，可得C (0,4,0)，D 1(0,0,5)．因为点B 在坐标平面xOy 内，BC ⊥CD ，BA ⊥AD ，所以B (3,4,0)．同理，可得A 1(3,0,5)，C 1(0,4,5)，与B 的坐标相比，点B 1的坐标中只有竖坐标不同，|BB 1|＝|AA 1|＝5，则B 1(3,4,5)．(2)由(1)知C (0,4,0)，C 1(0,4,5)，则C 1C 的中点N 为⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋02，4＋42，0＋52，即N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，4，52.坐标轴上或坐标平面上点的坐标的特点 x 轴上 (x,0,0) xOy 平面上 (x ，y,0) y 轴上 (0，y,0) yOz 平面上 (0，y ，z ) z 轴上 (0,0，z ) xOz 平面上(x,0，z )坐标原点 (0,0,0)[跟进训练]1．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，D 1B 1的中点，棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则E ，F 的坐标分别为________．[答案] E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1求对称点的坐标(1)求点P 关于x 轴的对称点的坐标； (2)求点P 关于xOy 平面的对称点的坐标；(3)求点P 关于点M (2，－1，－4)的对称点的坐标．[思路探究]求对称点的坐标，可以过该点向对称平面或对称轴作垂线并延长，使得垂足为所作线段的中点，再根据有关性质即可写出对称点坐标．[解] (1)由于点P 关于x 轴对称后，它在x 轴的分量不变，在y 轴、z 轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P 1(－2，－1，－4)．(2)由于点P 关于xOy 平面对称后，它在x 轴、y 轴的分量不变，在z 轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P 2(－2,1，－4)．(3)设对称点为P 3(x ，y ，z )，则点M 为线段PP 3的中点．由中点坐标公式，可得x ＝2×2－(－2)＝6，y ＝2×(－1)－1＝－3，z ＝2×(－4)－4＝－12，所以P 3(6，－3，－12)．1．求对称点的坐标可按以下规律写出：“关于谁对称谁不变，其余的符号均相反．”在空间直角坐标系中，任一点P (a ，b ，c )的几种特殊的对称点的坐标如下：对称轴或对称中心对称点坐标 P (a ，b ，c )x 轴 (a ，－b ，－c ) y 轴 (－a ，b ，－c ) z 轴(－a ，－b ，c ) xOy 平面 (a ，b ，－c ) yOz 平面 (－a ，b ，c ) xOz 平面 (a ，－b ，c ) 坐标原点(－a ，－b ，－c )111222标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 22.[跟进训练]2．点P (－3,2，－1)关于平面xOz 的对称点是________，关于z 轴的对称点是________，关于M (1,2,1)的对称点是________．(－3，－2，－1) (3，－2，－1) (5,2,3) [点P (－3,2，－1)关于平面xOz 的对称点是(－3，－2，－1)，关于z 轴的对称点是(3，－2，－1)．设点P (－3,2，－1)关于M (1,2,1)的对称点为(x ，y ，z )．则⎩⎪⎨⎪⎧x －32＝1y ＋22＝2z －12＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝2z ＝3.故点P (－3,2，－1)关于点M (1,2,1)的对称点为(5,2,3)．]空间向量的坐标表示1．在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，已知△ABC 的边长为1，三棱柱的高为2，如何建立适当的空间直角坐标系？[提示] 分别取BC ，B 1C 1的中点D ，D 1，以D 为原点，分别以DC →，DA →，DD 1→的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示．2．若AB →＝(a ，b ，c )，则BA →的坐标是多少？[提示] BA →＝(－a ，－b ，－c )．【例3】 如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面△ABC 中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M ，N 分别为A 1B 1，A 1A 的中点，试建立恰当的坐标系求向量BN →，BA 1→，A 1B →的坐标．[思路探究] 以点C 为原点，分别以CA →，CB →，CC 1→的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，然后，把BN ，BA 1→，A 1B →分别用CA →，CB →，CC 1→表示出来，再写出它们的坐标．[解] 法一：由题意知CC 1⊥AC ，CC 1⊥BC ，AC ⊥BC ，以点C 为原点，分别以CA ，CB ，CC 1的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系C -xyz ，如图所示．∴BN →＝AN →－AB →＝12CC 1→＋CA →－CB →＝CA →－CB →＋12CC 1→，∴BN →的坐标为(1，－1,1)， 而BA 1→＝CA 1→－CB →＝CA →－CB →＋CC 1→， ∴BA 1→的坐标为(1，－1,2)．又∵A 1B →＝－BA 1→，∴A 1B →的坐标为(－1,1，－2)．法二：建系同法一，则B (0,1,0)，A (1,0,0)，A 1(1,0,2)，N (1,0,1)， ∴BN →＝(1，－1,1)，BA 1→＝(1，－1,2)，A 1B →＝(－1,1，－2)．[变条件]本例中，若把条件“AA 1＝2”改为“AA 1＝1”，结果怎样？ [解] 建系方式与例题相同，建系，BN →＝CA →－CB →＋12CC 1→，因为{CA →，CB →，CC 1→}为单位正交基底，∴BN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－1，12.又BA 1→＝CA →－CB →＋CC 1→，∴BA 1→＝(1，－1,1)． 所以A 1B →＝－BA 1→＝(－1,1，－1)．用坐标表示空间向量的步骤[跟进训练]3.已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别为棱BB 1，DC 的中点，如图所示建立空间直角坐标系．(1)写出各顶点的坐标；(2)写出向量EF →，B 1F →，A 1E →的坐标．[解] (1)由题图知A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,2,0)，D (0，0,0)，A 1(2,0,2)，B 1(2,2,2)，C 1(0,2,2)，D 1(0,0,2)，(2)因为E ，F 分别为棱BB 1，DC 的中点， 由中点坐标公式，得E (2,2,1)，F (0,1,0)．所以EF →＝(－2，－1，－1)，B 1F →＝(－2，－1，－2)，A 1E →＝(0,2，－1)．1．在空间直角坐标系中，确定点的坐标或求对称点坐标时，要记住规律：“在谁的轴上，谁属于R ，其它为零；在谁的平面上，谁属于R ，其它为零．”“关于谁对称谁不变，其余变成相反数．”2．空间几何体中，要得到有关点的坐标时，先建立适当的坐标系，一般选择两两垂直的三条线段所在直线为坐标轴，然后选择基向量，根据已知条件和图形关系将所求向量用基向量表示，即得所求向量的坐标．1．设点P (1,1,1)关于xOy 平面的对称点为P 1，则点P 1关于z 轴的对称点P 2的坐标是( )A ．(1,1，－1)B ．(－1，－1，－1)C ．(－1，－1,1)D ．(1，－1,1)B [由条件知，P 1(1,1，－1)，P 1关于z 轴的对称点为(－1，－1，－1)．] 2．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，若AB →＝3i ，AD →＝2j ，AA 1→＝5k ，则向量AC 1→在基底{i ，j ，k }下的坐标是( )A ．(1,1,1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12，15C ．(3,2,5)D ．(3,2，－5)C [AC 1→＝AB →＋BC →＋CC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→＝3i ＋2j ＋5k ，∴向量AC 1→在基底{i ，j ，k }下的坐标是(3,2,5)．]3．已知点A (1,2,2)，B (1，－3,1)，则AB 的中点M 的坐标为________． ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，32 [AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12，2－32，2＋12，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，32.] 4.已知P A ⊥正方形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，并且AB ＝AP ＝1，分别以DA →，AB →，AP →为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，求MN →，DC →的坐标．[解] 设DA →＝e 1，AB →＝e 2，AP →＝e 3，则DC →＝AB →＝e 2，MN →＝MA →＋AP →＋PN → ＝MA →＋AP →＋12PC →＝MA →＋AP →＋12(P A →＋AD →＋DC →) ＝－12e 2＋e 3＋12(－e 3－e 1＋e 2) ＝－12e 1＋12e 3，∴MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，12，DC →＝(0,1,0)．。
2020年人教版高中数学---4.3空间直角坐标系
备课人授课时间课题4.3.1空间直角坐标系4.3.2空间两点间的距离公式课标要求在空间直角坐标系下，两点间的距离公式的推导，会求空间两点间的距离教学目标知识目标1、感受空间直角坐标系建立的背景2、掌握两点间的距离公式的推导，会求空间两点间的距离。
技能目标掌握在空间直角坐标系下，两点间的距离公式的推导，会求空间两点间的距离情感态度价值观类比思想的运用重点1、空间直角坐标系中点的表示；2、空间直角坐标下两点间距离公式及其应用。
难点两点间距离公式的推导。
教学过程及方法问题与情境及教师活动学生活动一、空间直角坐标系1、空间直角坐标系的建立：如右图，OABC-D’A’B’C’为单位正方体，以_________为原点，以___________________为单位正方向，以______________为单位长，建立三条数轴______________,这样就建立了空间直角坐标系_______，其中O为________，x轴、y轴、z轴为_______，__________为坐标平面，分别为__________。
2、右手直角坐标系本书中建立的空间直角坐标系均为___________，右手拇指指向________，食指指向________，中指指向____________3、空间直角坐标系中任意一点M的坐标表示如下图，设点M为空间一定点，过点M分别做垂直于x轴、y轴、z轴的平面依次交x轴、y轴、z轴于P、Q、R，设P、Q、R在x轴、y轴、z轴的坐标分别为x、y、z，则的坐标为（x，y，z）。
O yzxA'C'B'BD'ACO A B A 'C y'D 'A z xB /COx yz 教学过 程 及 方 法反之，给定有序实数组（x ，y ，z ），在x 轴、y 轴、z 轴上依次取坐标为x 、y 、z 的点P 、Q 、R ，分别经过各做一个平面，分别垂直于x 轴、y 轴、z 轴，这三个平面的唯一的交点就是有序实数组（x ，y ，z ）确定的点M 。
【精品】高中数学 必修2_空间直角坐标系_讲义 知识点讲解+巩固练习(含答案)基础
空间直角坐标系【学习目标】通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置.通过表示特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式.【要点梳理】要点一、空间直角坐标系1.空间直角坐标系从空间某一定点O 引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系Oxyz ，点O 叫做坐标原点，x 轴、y 轴、z 轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面.2.右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.3.空间点的坐标空间一点A 的坐标可以用有序数组(x ，y ，z)来表示，有序数组(x ，y ，z)叫做点A 的坐标，记作A(x ，y ，z)，其中x 叫做点A 的横坐标，y 叫做点A 的纵坐标，z 叫做点A 的竖坐标. 要点二、空间直角坐标系中点的坐标1.空间直角坐标系中点的坐标的求法通过该点，作两条轴所确定平面的平行平面，此平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标.特殊点的坐标：原点()0,0,0；,,x y z 轴上的点的坐标分别为()()(),0,0,0,,0,0,0,x y z ；坐标平面,,xOy yOz xOz 上的点的坐标分别为()()(),,0,0,,,,0,x y y z x z .2.空间直角坐标系中对称点的坐标在空间直角坐标系中，点(),,P x y z ，则有点P 关于原点的对称点是()1,,P x y z ---；点P 关于横轴(x 轴)的对称点是()2,,P x y z --；点P 关于纵轴(y 轴)的对称点是()3,,P x y z --；点P 关于竖轴(z 轴)的对称点是()4,,P x y z --；点P 关于坐标平面xOy 的对称点是()5,,P x y z -；点P 关于坐标平面yOz 的对称点是()6,,P x y z -；点P 关于坐标平面xOz 的对称点是()7,,P x y z -.要点三、空间两点间距离公式1.空间两点间距离公式空间中有两点()()111222,,,,,A x y z B x y z ，则此两点间的距离 222121212||()()()d AB x x y y z z ==-+-+-.特别地，点(),,A x y z 与原点间的距离公式为222OA x y z =++.2.空间线段中点坐标空间中有两点()()111222,,,,,A x y z B x y z ，则线段AB 的中点C 的坐标为121212,,222x x y y z z +++⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【典型例题】 类型一：空间坐标系例1．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、D 1B 1的中点，棱长为1，建立空间直角坐标系，求点E 、F 的坐标。
高中数学第一章空间向量与立体几何 空间直角坐标系课后提能训练新人教A版选择性必修第一册
第一章 1.3 1.3.1A级——基础过关练1．已知点A(－3,1,4),则点A关于x轴对称的点的坐标为( )A．(－3,－1,－4) B．(－3,－1,4)C．(3,1,4) D．(3,－1,－4)【答案】A【解析】关于x轴对称的点,横坐标相同,纵坐标、竖坐标均互为相反数,所以A(－3,1,4)关于x轴的对称点坐标为(－3,－1,－4)．2．在空间直角坐标系中,已知点P(1,2,3),过点P作平面Oyz的垂线PQ,则垂足Q 的坐标为( )A．(0,2,0) B．(0,2,3)C．(1,0,3) D．(1,2,0)【答案】B【解析】由于垂足Q在Oyz平面内,可设Q(0,y,z),因为直线PQ⊥Oyz平面,所以P,Q两点的纵坐标、竖坐标都相等．因为点P的坐标为(1,2,3),所以y＝2,z＝3,可得Q(0,2,3)．3．在如图所示的长方体ABCD－A1B1C1D1中,已知点B1(1,0,3),D(0,2,0),则点C1的坐标为( )A．(1,2,3) B．(1,3,2)C．(2,3,1) D．(3,2,1)【答案】A【解析】观察图形可知点C1的坐标为(1,2,3)．4．在如图所示的空间直角坐标系中,单位正方体顶点A的坐标是( )A ．(－1,－1,－1)B ．(1,－1,1)C ．(1,－1,－1)D ．(－1,1,－1)【答案】C【解析】依据空间点的坐标定义可知,点A 的坐标是(1,－1,－1)．5．如图,在正方体OABC －O 1A 1B 1C 1中,棱长为2,E 是B 1B 上的点,且|EB |＝2|EB 1|,则点E 的坐标为( )A ．(2,2,1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2，23C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2，13D ．⎝⎛⎭⎪⎫2，2，43 【答案】D【解析】因为EB ⊥Oxy 平面,而B (2,2,0),故设E (2,2,z )．又因为|EB |＝2|EB 1|,所以|BE |＝23|BB 1|＝43,故点E 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，2，43．6．(2021年绵阳月考)在空间直角坐标系中,已知点A (－1,1,3),则点A 关于xOz 平面的对称点的坐标为( )A ．(1,1,－3)B ．(－1,－1,－3)C ．(－1,1,－3)D ．(－1,－1,3)【答案】D【解析】根据空间直角坐标系的对称性可得点A (－1,1,3)关于xOz 平面的对称点的坐标为(－1,－1,3)．故选D ．7．(多选)如图,在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,AB ＝5,AD ＝4,AA 1＝3,以直线DA ,DC ,DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系,则( )A ．点B 1的坐标为(4,5,3)B ．点C 1关于点B 对称的点为(5,8,－3) C ．点A 关于直线BD 1对称的点为(0,5,3) D ．点C 关于平面ABB 1A 1对称的点为(8,5,0) 【答案】ACD【解析】根据题意知,点B 1(4,5,3),A 正确；B (4,5,0),C 1(0,5,3),故点C 1关于点B 对称的点为(8,5,－3),B 错误；点A 关于直线BD 1对称的点为C 1(0,5,3),C 正确；点C (0,5,0)关于平面ABB 1A 1对称的点为(8,5,0),D 正确．故选ACD ．8．如图,在长方体OABC －O 1A 1B 1C 1中,OA ＝2,AB ＝3,AA 1＝2,M 是OB 1与BO 1的交点,则点M 的坐标是________．【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，1 【解析】因为OA ＝2,AB ＝3,AA 1＝2,所以A (2,0,0),A 1(2,0,2),B (2,3,0),故B 1(2,3,2)．所以点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22，32，22,即点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，32，1． 9．在空间直角坐标系中,点M (－2,4,－3)在Ozx 平面上的射影为点M ′,则点M ′关于原点对称点的坐标是________．【答案】(2,0,3)【解析】点M 在Oxz 平面上的射影为点M ′(－2,0,－3),所以点M ′关于原点对称点的坐标为(2,0,3)．10．已知点P 的坐标为(3,4,5),试在空间直角坐标系中作出点P ,并写出求解过程． 解：如图,由P (3,4,5)可知点P 在x 轴上的射影为点A (3,0,0),在y 轴上的射影为点B (0,4,0),以OA ,OB 为邻边的矩形OACB 的顶点C 是点P 在Oxy 坐标平面上的射影C (3,4,0)．过点C 作直线垂直于Oxy 坐标平面,并在此直线的Oxy 平面上方截取5个单位长度,得到的点就是P．B级——能力提升练11．在空间直角坐标系中,点M的坐标是(4,7,6),则点M关于y轴对称的点在Ozx平面上的射影的坐标为( )A．(4,0,6) B．(－4,7,－6)C．(－4,0,－6) D．(－4,7,0)【答案】C【解析】点M关于y轴对称的点是M′(－4,7,－6),点M′在Ozx平面上的射影的坐标为(－4,0,－6)．12．(多选)已知点M(x,y,z)是空间直角坐标系Oxyz中的一点,则( )A．与点M关于x轴对称的点是(x,－y,－z)B．与点M关于原点对称的点是(－x,－y,－z)C．与点M关于xOy平面对称的点是(x,y,－z)D．与点M关于yOz平面对称的点是(x,－y,z)【答案】ABC【解析】与点M关于yOz平面对称的点是(－x,y,z),D错误,A,B,C均正确．故选ABC．13．直三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都是2,以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则顶点B1关于平面xAz对称的点的坐标是________．【答案】(3,－1,2)【解析】∵直三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都是2,∴B(3,1,0),∴顶点B1的坐标是(3,1,2),则其关于平面xAz的对称点为(3,－1,2)．14．在空间直角坐标系Oxyz中,z＝1的所有点构成的图形是________________；点P(2,3,5)到平面xOy的距离为________．【答案】过点(0,0,1)且与z轴垂直的平面 5【解析】z ＝1表示一个平面,其与平面Oxy 平行且距离为1,故z ＝1的所有点构成的图形是过点(0,0,1)且与z 轴垂直的平面．点P (2,3,5)到平面Oxy 的距离与其横纵坐标无关,只与其竖坐标有关．由于平面Oxy 的方程为z ＝0,故点P (2,3,5)到平面Oxy 的距离为|5－0|＝5．15．在空间直角坐标系中有一个点P (1,3,－2),求： (1)点P 关于坐标原点O 的对称点P 1的坐标； (2)点P 关于x 轴的对称点P 2的坐标； (3)点P 关于坐标平面Oyz 的对称点P 3的坐标．解：(1)设点P 1的坐标为(x 1,y 1,z 1),因为点P 和P 1关于坐标原点O 对称, 所以O 为线段PP 1的中点．由中点坐标公式,得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1，y 1＝－3，z 1＝2，所以点P 1的坐标为(－1,－3,2)． (2)设点P 2的坐标为(x 2,y 2,z 2), 因为点P 和P 2关于x 轴对称,所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝1，3＋y 22＝0，－2＋z 22＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝1，y 2＝－3，z 2＝2，则点P 2的坐标为(1,－3,2)． (3)设点P 3的坐标为(x 3,y 3,z 3), 因为点P 和P 3关于平面yOz 对称,所以⎩⎪⎨⎪⎧x 3＋12＝0，y 3＝3，z 3＝－2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝－1，y 3＝3，z 3＝－2，故点P 3的坐标为(－1,3,－2)．。
新教材人教A版高中数学选择性必修第一册1.3.1 空间直角坐标系 精品教学课件
思考2：空间直角坐标系中，坐标轴上的点的坐标有何特征？ 提示：x轴上的点的纵坐标、竖坐标都为0，即(x,0,0)． y轴上的点的横坐标、竖坐标都为0，即(0，y,0)． z轴上的点的横坐标、纵坐标都为0，即(0,0，z)．
知识点3 空间向量的坐标 在空间直角坐标系 Oxyz 中，给定向量 a，作O→A＝a．由空间向量基
[解析] 因为PA＝AB＝AD＝1，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD， 以AD，AB，AP所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图 所示．
因为B→C＝A→D＝0i＋1j＋0k＝(0,1,0)， C→D＝－A→B＝－i＋0j＋0k＝(－1,0,0)， M→N＝M→A＋A→P＋P→N＝－12A→B＋A→P＋21P→C＝－21A→B＋A→P＋12(P→A＋A→C) ＝－21A→B＋A→P＋12(P→A＋A→B＋A→D)＝12A→D＋12A→P＝12j＋12k＝0，21，21．
角度2 距离问题 典例 4 如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝
|AD|＝3，|AA1|＝2，点M在A1C1上，|MC1|＝2|A1M|，N在D1C 上且为D1C的中点，求线段MN的长度．
[解析] 如图所示，分别以 AB，AD，AA1 所在的直线为 x 轴、y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系．
由题意可知 C(3,3,0)，D(0,3,0)， 因为|DD1|＝|CC1|＝|AA1|＝2， 所以 C1(3,3,2)，D1(0,3,2)， 因为 N 为 CD1 的中点，所以 N32，3，1． M 是 A1C1 的三分之一分点且靠近 A1 点， 所以 M(1,1,2)．
所以A→M＝(1,1,2)＝i＋j＋2k， A→N＝32，3，1＝32i＋3j＋k， 所以M→N＝23i＋3j＋k－(i＋j＋2k)＝12i＋2j－k， 所以|M→N|＝ 12i2＋2j2＋－k2＝ 221， 即|MN|＝ 221．
人教A版高中数学必修二4.3.空间直角坐标系课件
【变式练习】 如图，在长方体OABC-D′A′B′C′中，|OA|
=3，|OC|=4，|OD′|=3，A′C′与B′D′相交于点P.
分别写出点C，B′，P的坐标. z
答案：ห้องสมุดไป่ตู้
D
A
P
C
B
AO x
Cy B
例2 结晶体的基本单位称为晶胞，如图（1）是食 盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为 1 的小正
z
在空间中，到定点的距离
等于定长的点的轨迹是 以原点为球心，
半径长为 r 的球面．
P
O y
x
2.如果是空间中任意一点P1（x1，y1，z1）到点P2 （x2，y2，z2）之间的距离公式会是怎样呢？
如图，设P1（x1，y1，z1）、P2（x2，y2，z2）
是空间中任意两点，且点P1（x1，y1，z1）、
轴，这三个平面的唯一交点就是有序实数组 (x, y, z)
确定的点M. z
R
pO x
M y
Q
这样，空间一点M的坐标可以用有序实数组 (x, y, z)
来表示，有序实数组 (x, y, z) 叫做点M在空间直角坐标 系中的坐标，记作M (x, y, z).其中 x, y, z
分别叫做点M的横坐标、纵坐标、竖坐标.
关于谁对称谁 不变
在空间直角坐标系中，若 已知两个点的坐标，则这两点 之间的距离是惟一确定的，我 们希望有一个求两点间距离的 计算公式，对此，我们从理论 上进行探究.
y
y2
P2(x2, y2)
y1 P1(x1,y1) Q(x2,y1)
O x1
x2 x
长a，宽b，高c的长方体的对角线，怎么求？
高中数学人教A版必修空间直角坐标系课件
y轴上的点横坐标和竖坐标都为0
z轴上的点横坐标和纵坐标都为0
高中数学人教A版必修2-4.3.1 空间直角坐标系-课件(共21张PPT)
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应用举例
在长方体OABC DABC中， OA 3，OC 4，OD 2,
写出所有点的坐标.
1
o
1
1
y
x
横轴
纵轴
右手系
Z
Y X
一、空间直角坐标系的建立 z
以单位正方体 OABC DABC 的 D'
C'
顶点O为原点,分别以射线OA， A'
B'
OC，OD的方向为正方向,以
O
Cy
线段OA,OC, OD 的长为单位 A
B
长度,建立三条数轴:x轴,y轴, x
z轴,这时我们建立了一个空间直角坐标系 O xyz
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类比探究1：
P3 (1, 1,1) z
o
x
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P1(1, 1, 1)
P(1,1,1)
y P2 (1,1, 1)
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探究：
空间直角坐标系中任 意一点的位置如何表示？
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(黄冈名师)2020版高考数学大一轮复习9.5空间直角坐标系、空间向量及其运算课件理新人教A版
(2)中点公式:
设点P(x,y,z)为P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)的中点,则
x
=
x1
+ 2
x2
,
y
=
y1
+ y2 2
,
z
=
z1
+ 2
z2
.
__________
3.空间向量的有关概念
名称 空间向量 相等向量 相反向量
共线向量 (或平行向 量) 共面向量
定义 在空间中,具有_大__小__和_方__向__的量 方向_相__同__且模_相__等__的向量 方向_相__反__且模_相__等__的向量
3
2
32
322
2.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为AC与BD的交点,若
AB a, AD b, AA1 c, 则下列向量中与 MB1 相等的向量 是( )
A.- 1 a+ 1 b+c
22
C. 1
2
a-
1 2
b+c
B. 1 a+ 1 b+c
22
D.- 1 a- 1 b+c
22
(3)空间向量基本定理:如果三个向量a,b,c_不__共__面__, 那么对空间任一向量p,存在有序实数组{x,y,z},使得 _p_=_x_a_+_y_b_+_z_c_.其中, _{_a_,_b_,_c_}_叫做空间的一个基底.
【常用结论】 1.零向量不可以作为基向量. 2.基底选定后,空间的所有向量都可由基底唯一表示. 3.空间向量的线性运算和数量积运算可类比平面向量 的线性运算和数量积运算.
表示空间向量的有向线段所在的直线 互相_平__行__或__重__合__的向量
人教A版高中数学选择性必修第一册第1章1-3-1空间直角坐标系课件
C [点A关于y轴对称后，它在y轴上的分量不变，在x轴，z轴的分量
变为原来的相反数，所以对称点的坐标为(－3，2，3)．]
1234
√
1234
(1，0，0) (1，0，1)
1234
回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．在空间几何图形中如何建立空间直角坐标系？ 提示：(1)观察图形，寻找两两垂直的三条直线，必要时作辅助线． (2)让尽量多的点落在坐标轴或坐标平面内． (3)充分利用几何图形的对称性．
第一章 空间向量与立体几何
1.3 空间向量及其运算的坐标表示 1.3.1 空间直角坐标系
1．了解空间直角坐标系．(数学抽象) 2．掌握空间直角坐标系中点的坐标和向量的坐标的概念． 学习 (直观想象) 任务 3．能在空间直角坐标系中表示空间中点的坐标和向量的坐 标．(数学运算)
01
必备知识·情境导学探新知
2．如何确定空间一点P的坐标？ 提示：先将P投射(沿与z轴平行的方向)到Oxy平面上的一点P1，由 P1P的长度及与z轴正方向的异同确定竖坐标z，再在Oxy平面上同平 面直角坐标系中一样的方法确定P1的横坐标x，纵坐标y，最后得出 点P的坐标(x，y，z)． 3．如何求空间向量的坐标？ 提示：在空间直角坐标系中，把向量用单位正交基底{i，j，k}表示， 从而求出空间向量的坐标．
(1)如图所示，怎样才能刻画地球的卫星在空间中的位置？
(2)在直线上建立数轴后，就可以用一 个数刻画点在直线上的位置；平面向量中， 我们借助平面向量基本定理以及两个互相 垂直的单位向量，引进了平面向量的坐 标．空间向量是否可以引进类似的坐标？
知识点1 空间直角坐标系 (1)建系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以点O 为原点，分别以_i_，__j，__k_的方向为正方向，以它们的长为单位长度 建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，这样就建立了空间直角坐标系．
高中数学 考点59 空间直角坐标系庖丁解题 新人教A版必修2
亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……学 习 资 料 专 题考点59 空间直角坐标系1．如图所示，为了确定空间点的位置，我们建立空间直角坐标系：以单位正方体为载体，以O 为原点，分别以射线OA 、OC 、OD ′的方向为正方向，以线段OA 、OC 、OD ′的长为单位长，建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，这时我们说建立了一个空间直角坐标系Oxyz ，其中点O 叫做坐标原点，x 轴、y 轴、z 轴叫做坐标轴，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面，通常建立的坐标系为右手直角坐标系，即右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，中指指向z 轴的正方向．2．空间一点M 的坐标可用有序实数组（x ，y ，z ）来表示，有序实数组（x ，y ，z ）叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作M （x ，y ，z ），其中x 叫做点M 的横坐标，y 叫做点M 的纵坐标，z 叫做点M 的竖坐标．【例】如图，在正方体OABC －O 1A 1B 1C 1中，棱长为2，E 是B 1B 上的点，且|EB |＝2|EB 1|，则点E 的坐标为( )A ．(2,2,1)B ．(2,2，23)C ．(2,2，13)D ．(2,2，43)【答案】D【解题技巧】对于长方体或正方体，一般取相邻的三条棱为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系；确定点的坐标时，最常用的方法就是求某些与轴平行的线段的长度，即将坐标转化为与轴平行的线段长度，同时要注意坐标的符号，这也是求空间点坐标的关键．1．z 轴上的点的坐标的特点是（ ）A ．竖坐标是0B ．横坐标、纵坐标都是0C ．横坐标是0D ．横、纵、竖坐标不可能都是0【答案】B【解析】z 轴上任一点的坐标为（0，0，c ）． 【规律总结】空间中确定点M 坐标的三种方法：（1）过点M 作MM 1垂直于平面xOy ，垂足为M 1，求出M 1的x 坐标和y 坐标，再由射线M 1M 的指向和线段MM 1的长度确定z 的坐标．（2）构造以O M 为体对角线的长方体，由长方体的三个棱长结合点M 的位置，可以确定点M 的坐标． （3）若题中所给的图形中存在垂直于坐标轴的平面，或点M 在坐标轴或坐标平面上，则利用这一条件，再作轴的垂线即可确定点M 的坐标．2．点A （–1，2，1）在x 轴上的投影点和在xOy 平面上的投影点的坐标分别为（ ）A ．（–1，0，1），（–1，2，0）B ．（–1，0，0），（–1，2，0）C．（–1，0，0），（–1，0，0）D．（–1，2，0），（–1，2，0）【答案】B【解析】点A（–1，2，1）在x轴上的投影点的横坐标是–1，纵坐标和竖坐标都为0，故为（–1，0，0）；点A（–1，2，1）在xOy平面上的投影点的横、纵坐标不变且竖坐标是0，故为（–1，2，0）．3．在空间直角坐标系中，点P（1，2，3），过点P作平面xOy的垂线PQ，则垂足Q的坐标为（）A．（0，2，0）B．（0，2，3）C．（1，0，3）D．（1，2，0）【答案】D【解析】Q在过P（1，2，3）且垂直于面xOy的线上，故Q的横纵坐标与P相等，Q在面xOy上，故Q 的竖坐标为0，应选D．【解题技巧】求某点的坐标时，一般先找这一点在某一坐标平面上的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一轴上的射影（或者它到这个坐标平面的距离加上正负号），确定第三个坐标．4．设x y、为任意实数，相应的所有点P（x，y，3）的集合是（）A．z轴上的两个点B．过z轴上的（0，0，3）点且与z轴垂直的直线C．过z轴上的（0，0，3）点且与z轴垂直的平面D．以上答案都有可能【答案】C【解析】由于点P的竖坐标为定值3，当x y R、时，点P组成的集合为过（0，0，3）且与z轴垂直的平面．5．点P（1，2，–1）在xOz平面内的射影为B（x，y，z），则x＋y＋z的值为（）A．0 B．2C．3 D．4【答案】A6．如图，在空间直角坐标系中，BC＝2，原点O是BC的中点，点D在平面yOz内，且∠BDC＝90°，∠DCB ＝30°，求点D的坐标．【解析】过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E ．在Rt △BDC 中，∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，BC ＝2，得|BD |＝1，|CD |＝3，∴|DE |＝|CD |sin 30°＝32，|OE |＝|OB |－|BE |＝|OB |－|BD |c os 60°＝1－12＝12， ∴点D 的坐标为⎛⎭⎪⎫0，－12，32．1．点(2,0,3)在空间直角坐标系中的( )A ．y 轴上B ．xOy 面上C ．xO z 面上D ．第一象限内【答案】C【解析】因为该点的y 坐标为0，根据坐标平面上点的特点可知该点在xO z 面上． 2．设y ∈R ，则点P (1，y,2)构成的集合为( )A ．垂直于xOz 平面的一条直线B ．平行于xOz 平面的一条直线C ．垂直于y 轴的一个平面D ．平行于y 轴的一个平面3．在空间直角坐标系中，已知点P (1，2，3)，过点P 作平面yO z 的垂线PQ ，则垂足Q 的坐标为( )A ．(0，2，0)B ．(0，2，3)C ．(1,0，3)D ．(1,0,0)【答案】B【解析】平面yO z内点的横坐标为0．4．如图，有一个棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1，以点D为坐标原点，分别以射线DA，DC，DD1的方向为正方向，以线段DA，DC，DD1的长度为单位长，建立三条数轴：x轴，y轴，z轴，从而建立起一个空间直角坐标系Oxyz．一只小蚂蚁从点D出发，不返回地沿着棱爬行了2个单位长．请用坐标表示小蚂蚁现在爬到了什么位置．3D电影的原理人的两眼之间大约有6厘米的距离，所以在观看除了正前方的物体外，两只眼睛必然有角度的不同，这个差别在大脑中就能自动形成上下、左右、前后、远近的区别，从而产生立体视觉．所以如果能制作出同一场景、影像的不同侧面（仅有微小的视差）让双眼各看一边，那么在大脑中就能自动形成这一场景的立体影像．而 3D电影的拍摄、制作和放映，就是模拟人眼观察景物的过程．它在拍摄时用两个电影摄影机，按人眼两瞳之间的距离（约65mm）拍摄同一景物，从而得到的不同角度的画幅（左、右眼图像），放映时再将图像同时放映到银幕上，这时银幕上会出现重叠交错的两个影像．观众在看3D电影时，只要戴上“立体眼镜”，就可以让左眼看到左图像，右眼看到右图像，此时在大脑中就会自动复现为触手可及立体影像．这就是3D的原理．。
2020高考数学(文)一轮复习课时作业 59坐标系 含解析
(1)求圆O的参数方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)已知M，N是曲线C与x轴的两个交点，点P为圆O上的任意一点，证明：|PM|2＋|PN|2为定值．
[
1．求椭圆 ＋y2＝1，经过伸缩变换 后的曲线方程．
解析：由 得到 ①
将①代入 ＋y2＝1，得 ＋y′2＝1，即x′2＋y′2＝1.
因此椭圆 ＋y2＝1经伸缩变换后得到的曲线方程是x2＋y2＝1.
2．[2019·南昌模拟]在平面直角坐标系xOy中，直线C1的方程为 x＋y＋2＝0，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C2的极坐标方程为ρ2＋4ρsin ＋1＝0.
(1)求圆C2在直角坐标系下的标准方程；
(2)若直线C1与圆C2交于P，Q两点，求△OPQ的面积．
解析：(1)ρ2＋4ρsin ＋1＝0，即ρ2＋2ρsinθ＋2 ρcosθ＋1＝0，
即x2＋y2＋2 x＋2y＋1＝0，(x＋ )2＋(y＋1)2＝3，
所以圆C2在直角坐标系下的标准方程为(x＋ )2＋(y＋1)2＝3.
(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；
(2)射线θ＝ (ρ＞0)与曲线C1，C2分别交于A，B两点，定点M(2,0)，求△MAB的面积．
解析：(1)由 得曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ.
设Q(ρ，θ)，则P ，所以ρ＝4cos ＝4sinθ，
所以曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ.
(2)点M(2,0)到射线θ＝ 的距离d＝2sin ＝ ，
∴直线l的极坐标方程为ρcosθ＋ ρsinθ－4 ＝0.
2019-2020学年人教A版必修二 空间直角坐标系 自学要点
空间直角坐标系学习目标 1.了解空间直角坐标系的建系方式；2.掌握空间中任意一点的表示方法；3.能在空间直角坐标系中求出点的坐标．知识点空间直角坐标系思考1在数轴上，一个实数就能确定一个点的位置．在平面直角坐标系中，需要一对有序实数才能确定一个点的位置．为了确定空间中任意一点的位置，需要几个实数？答案三个．思考2空间直角坐标系需要几个坐标轴，它们之间什么关系？答案空间直角坐标系需要三个坐标轴，它们之间两两相互垂直．1．空间直角坐标系及相关概念(1)空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且有相同单位长度的数轴：x轴、y轴、z轴，这样就建立了一个空间直角坐标系Oxyz. (2)相关概念：点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面．2．右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．3．空间一点的坐标空间一点M的坐标可以用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)，其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标．类型一求空间点的坐标例1(1)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AD|＝|BC|＝3，|AB|＝5，|AA1|＝4，建立适当的直角坐标系，写出此长方体各顶点的坐标．解 如图，以DA 所在直线为x 轴， 以DC 所在直线为y 轴， 以DD 1所在直线为z 轴， 建立空间直角坐标系Dxyz .由题意知长方体的棱长|AD |＝|BC |＝3， |DC |＝|AB |＝5，|DD 1|＝|AA 1|＝4，显然D (0,0,0)，A 在x 轴上，∴A (3,0,0)； C 在y 轴上，∴C (0,5,0)； D 1在z 轴上，∴D 1(0,0,4)；B 在xOy 平面内， ∴B (3,5,0)； A 1在xOz 平面内， ∴A 1(3,0,4)；C 1在yOz 平面内，∴C 1(0,5,4)． 由B 1在xOy 平面内的射影为B (3,5,0)， ∴B 1的横坐标为3，纵坐标为5， ∵B 1在z 轴上的射影为D 1(0,0,4)， ∴B 1的竖坐标为4，∴B 1(3,5,4)．(2)在棱长为a 的正四棱锥P －ABCD 中，建立适当的空间直角坐标系． ①写出四棱锥P －ABCD 各个顶点的坐标； ②写出棱P A 的中点M 的坐标．解 连接AC ，BD 交于点O ，连接PO ， 则|OA |＝22a ，|PO |＝|P A |2－|OA |2＝22a . 以O 为坐标原点，OA ，OB ，OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴， 建立空间直角坐标系，如图所示， ①正四棱锥P －ABCD 各顶点坐标分别为 A (22a,0,0)，B (0，22a,0)，C (－22a,0,0)，D (0，－22a,0)，P (0,0，22a )． ②因为M 为棱P A 的中点， 所以M (24a,0，24a )． 反思与感悟 (1)建立空间直角坐标系时应遵循的两个原则： ①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面上． ②充分利用几何图形的对称性． (2)求某点M 的坐标的方法作MM ′垂直平面xOy ，垂足M ′，求M ′的横坐标x ，纵坐标y ，即点M 的横坐标x ，纵坐标y ，再求M 点在z 轴上射影的竖坐标z ，即为M 点的竖坐标z ，于是得到M 点坐标(x ，y ，z )．(3)坐标平面上的点的坐标特征：xOy 平面上的点的竖坐标为0，即(x ，y,0)． yOz 平面上的点的横坐标为0，即(0，y ，z )． xOz 平面上的点的纵坐标为0，即(x,0，z )． (4)坐标轴上的点的坐标特征：x 轴上的点的纵坐标、竖坐标都为0，即(x,0,0)． y 轴上的点的横坐标、竖坐标都为0，即(0，y,0)． z 轴上的点的横坐标、纵坐标都为0，即(0,0，z )．跟踪训练1 在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是D 1D 、BD 的中点，G 在棱CD 上，且|CG |＝14|CD |，H 为C 1G 的中点，试建立适当的坐标系，写出E 、F 、G 、H 的坐标．解 建立如图所示的空间直角坐标系．点E 在z 轴上，它的横坐标x 、纵坐标y 均为0，而E 为DD 1的中点，故其坐标为(0,0，12)．过F 作FM ⊥AD 、FN ⊥DC ，由平面几何知识得|FM |＝12，|FN |＝12，故F 点坐标为(12，12，0)．点G 在y 轴上，其横坐标x 、竖坐标z 为0，又|GD |＝34，故G 点坐标为(0，34，0)，过H 作HK ⊥CG 于K ，由于H 为C 1G 的中点，故K 为CG 的中点，即H 的坐标为(0，78，12)．类型二已知点的坐标确定点的位置例2在空间直角坐标系Oxyz中，作出点P(5,4,6)．解方法一第一步从原点出发沿x轴正方向移动5个单位，第二步沿与y轴平行的方向向右移动4个单位，第三步沿与z轴平行的方向向上移动6个单位(如图所示)，即得点P.方法二以O为顶点构造长方体，使这个长方体在点O处的三条棱分别在x轴、y轴、z轴的正半轴上，且棱长分别为5,4,6，则长方体与顶点O相对的顶点即为所求点P.反思与感悟已知点P的坐标确定其位置方法：(1)利用平移点的方法，将原点按坐标轴方向三次平移得点P.(2)构造适合条件的长方体，通过和原点相对的顶点确定点P的位置．(3)通过作三个分别与坐标轴垂直的平面，由平面的交点确定点P.跟踪训练2在空间直角坐标系Oxyz中，点P(－2,0,3)位于()A．xOz平面内B．yOz平面内C．y轴上D．z轴上答案 A解析因为点P的纵坐标y＝0，且x，z均不为0，故点P位于xOz平面内．类型三空间中点的对称问题例3求点A(1,2，－1)关于坐标平面xOy及x轴对称的点的坐标．解过A作AM⊥平面xOy于M，并延长到C，使|AM|＝|CM|，则A与C关于坐标平面xOy对称且C(1,2,1)．过A作AN⊥x轴交x轴于N，并延长到点B，使|AN|＝|NB|，则A与B关于x轴对称且B(1，－2,1)，∴A(1,2，－1)关于坐标平面xOy对称的点为C(1,2,1)，关于x轴对称的点为B(1，－2,1)．反思与感悟以下几条对称规律要在理解的基础上熟记：(1)A(x，y，z)关于x轴的对称点为A1(x，－y，－z)，关于y轴的对称点为A2(－x，y，－z)，关于z轴的对称点为A3(－x，－y，z)．(2)A(x，y，z)关于原点的对称点为A4(－x，－y，－z)．(3)A(x，y，z)关于xOy平面的对称点为A5(x，y，－z)，关于xOz平面的对称点为A6(x，－y，z)，关于yOz平面的对称点为A7(－x，y，z)．关于坐标轴和坐标平面对称的点的坐标的变化规律为“关于谁对称谁不变，其余的相反”． 跟踪训练3 已知点P (2,3，－1)，求： (1)点P 关于各坐标平面对称的点的坐标； (2)点P 关于各坐标轴对称的点的坐标； (3)点P 关于坐标原点对称的点的坐标．解 (1)设点P 关于xOy 坐标平面的对称点为P ′，则点P ′在x 轴上的坐标及在y 轴上的坐标与点P 的坐标相同，而点P ′在z 轴上的坐标与点P 在z 轴上的坐标互为相反数． 所以，点P 关于xOy 坐标平面的对称点P ′的坐标为(2,3,1)．同理，点P 关于yOz ，xOz 坐标平面的对称点的坐标分别为(－2,3，－1)，(2，－3，－1)． (2)设点P 关于x 轴的对称点为Q ，则点Q 在x 轴上的坐标与点P 的坐标相同，而点Q 在y 轴上的坐标及在z 轴上的坐标与点P 在y 轴上的坐标及在z 轴上的坐标互为相反数． 所以，点P 关于x 轴的对称点Q 的坐标为(2，－3,1)． 同理，点P 关于y 轴、z 轴的对称点的坐标分别为 (－2,3,1)，(－2，－3，－1)．(3)点P (2,3，－1)关于坐标原点对称的点的坐标为(－2，－3,1).1．点P (a ，b ，c )到坐标平面xOy 的距离是( ) A.a 2＋b 2 B ．|a | C ．|b | D ．|c | 答案 D解析 点P 在xOy 平面的射影的坐标是P ′(a ，b,0)，所以|PP ′|＝|c |. 2．点P (1,4，－3)与点Q (3，－2,5)的中点坐标是( ) A ．(4,2,2) B ．(2，－1,2) C ．(2,1,1) D ．(4，－1,2)答案 C解析 设点P 与Q 的中点坐标为(x ，y ，z )，则x ＝1＋32＝2，y ＝4－22＝1，z ＝－3＋52＝1.3．在空间直角坐标系中，已知点A (－1,2，－3)，则点A 在yOz 平面内射影的点的坐标是________． 答案 (0,2，－3)解析 由空间直角坐标系中点的坐标的确定可知，点A 在yOz 平面内的射影的点的坐标是(0,2，－3)．4．点P(1,1,1)关于xOy平面的对称点P1的坐标为________；点P1关于z轴的对称点P2的坐标为________．答案(1,1，－1)(－1，－1，－1)解析点P(1,1,1)关于xOy平面的对称点P1的坐标为(1,1，－1)，点P1关于z轴的对称点P2的坐标为(－1，－1，－1)．5．如图，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(底面为正方形的直棱柱)中，|AA1|＝2|AB|＝4，点E在CC1上且|C1E|＝3|EC|.试建立适当的坐标系，写出点B，C，E，A1的坐标．解以点D为坐标原点，射线DA，DC，DD1为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.依题设，B(2,2,0)，C(0,2,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,4)．1．空间中确定点M坐标的三种方法：(1)过点M作MM1垂直于平面xOy，垂足为M1，求出M1的x坐标和y坐标，再由射线M1M 的指向和线段MM1的长度确定z的坐标．(2)构造以OM为体对角线的长方体，由长方体的三个棱长结合点M的位置，可以确定点M 的坐标．(3)若题中所给的图形中存在垂直于坐标轴的平面，或点M在坐标轴或坐标平面上，则利用这一条件，再作轴的垂线即可确定点M的坐标．2．求空间对称点的规律方法(1)空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．(2)对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论．一、选择题1.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则点B1的坐标是()A．(1,0,0) B．(1,0,1)C．(1,1,1) D．(1,1,0)答案 C解析点B1到三个坐标平面的距离都为1，易知其坐标为(1,1,1)，故选C.2．点M(3，－2,1)关于平面yOz对称的点的坐标是()A．(－3，－2,1) B．(－3,2，－1)C．(－3，－2，－1) D．(－3,2,1)答案 A解析关于平面yOz对称的两个点应该是横坐标互为相反数，纵、竖坐标不变．3．设y∈R，则点P(1，y,2)的集合为()A．垂直于xOz平面的一条直线B．平行于xOz平面的一条直线C．垂直于y轴的一个平面D．平行于y轴的一个平面答案 A解析点P(1，y,2)的集合为横、竖坐标不变，而纵坐标变化的点的集合，由空间直角坐标的意义知，点P(1，y,2)的集合为垂直于xOz平面的一条直线，故选A.4．在空间直角坐标系中，已知点P(1，2，3)，过点P作平面yOz的垂线PQ，则垂足Q 的坐标为()A．(0，2，0) B．(0，2，3)C．(1,0，3) D．(1，2，0)答案 B5．在空间直角坐标系中，P(2,3,4)、Q(－2，－3，－4)两点的位置关系是()A．关于x轴对称B．关于yOz平面对称C．关于坐标原点对称D．以上都不对答案 C解析三坐标均相反时，两点关于原点对称．6．如图，在正方体ABCD—A′B′C′D′中，棱长为1，|BP|＝13|BD′|，则P点的坐标为()A.⎝⎛⎭⎫13，13，13B.⎝⎛⎭⎫23，23，23C.⎝⎛⎭⎫13，23，13D.⎝⎛⎭⎫23，23，13答案 D解析 连接BD ，点P 在xDy 平面的射影落在BD 上， ∵|BP |＝13|BD ′|，∴P x ＝P y ＝23，P z ＝13，故P ⎝⎛⎭⎫23，23，13. 二、填空题7．在空间直角坐标系中，点(4，－1,2)关于原点的对称点的坐标是________． 答案 (－4,1，－2)解析 空间直角坐标系中关于原点对称的点的坐标互为相反数，故点(4，－1,2)关于原点的对称点的坐标是(－4,1，－2)．8．点P (－3,2,1)关于Q (1,2，－3)的对称点M 的坐标是________． 答案 (5,2，－7)解析 设M 坐标为(x ，y ，z )，则有1＝x －32，2＝2＋y 2，－3＝1＋z 2，解得x ＝5，y ＝2，z ＝－7，∴M (5,2，－7)．9．在空间中点A (3,4，－5)关于z 轴对称的点的坐标是________． 答案 (－3，－4，－5)解析 空间中关于z 轴对称的点的坐标的特点是：竖坐标不变，横坐标、纵坐标变为原来的相反数，故应填(－3，－4，－5)．10．在空间直角坐标系中，自点P (－4，－2,3)引x 轴的垂线，则垂足的坐标为________． 答案 (－4,0,0)解析 过空间任意一点P 作x 轴的垂线，垂足均为(a,0,0)的形式，其中a 为点P 在x 轴上的分量，所以垂足的坐标为(－4,0,0)．11．在如图所示的空间直角坐标系Oxyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)，给出编号为①②③④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为________、________.答案 ④ ②解析 由三视图可知，该几何体的正视图是一个直角三角形(三个顶点的坐标分别是(0,0,2)，(0,2,0)，(0,2,2))且内有一虚线(一顶点与另一直角边中点的连线)，故正视图是④；俯视图即在底面的射影是一个斜三角形，三个顶点的坐标分别是(0,0,0)，(2,2,0)，(1,2,0)，故俯视图是②. 三、解答题12．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，|AD |＝|AA 1|＝2，|AB |＝4，DE ⊥AC ，垂足为E ，求点E 的坐标．解 如图，以点D 为原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系．则D (0,0,0)，B 1(2,4,2)，A (2,0,0)，C (0,4,0)， 设点E 的坐标为(x ，y,0)，在坐标平面xOy 内，直线AC 的方程为x 2＋y4＝1，即2x ＋y －4＝0，∵DE ⊥AC ， ∴直线DE 的方程为x －2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －4＝0，x －2y ＝0得⎩⎨⎧x ＝85，y ＝45，∴E (85，45，0)．。
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考点59 空间直角坐标系
1．如图所示，为了确定空间点的位置，我们建立空间直角坐标系：以单位正方体为载体，以O 为原点，分别以射
线OA 、OC 、
OD ′的方向为正方向，以线段OA 、OC 、OD ′的长为单位长，建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，这时我们说建立了一个空间直角坐标系Oxyz ，其中点O 叫做坐标原点，x 轴、y 轴、z 轴叫做坐标轴，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面，通常建立的坐标系为右手直角坐标系，即右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，中指指向z 轴的正方向．
2．空间一点M 的坐标可用有序实数组（x ，y ，z ）来表示，有序实数组（x ，y ，z ）叫做点M 在此空间直角坐标系
中的坐标，记作M （x ，y ，z ），其中x 叫做点M 的横坐标，y 叫做点M 的纵坐标，z 叫做点M 的竖坐标．
【例】如图，在正方体OABC －O 1A 1B 1C 1中，棱长为2，E 是B 1B 上的点，且|EB |＝2|EB 1|，则点E 的坐标为( )
A ．(2,2,1)
B ．(2,2，2
3)
C ．(2,2，13)
D ．(2,2，4
3
)
【答案】D
【解题技巧】对于长方体或正方体，一般取相邻的三条棱为x，y，z轴建立空间直角坐标系；确定点的坐标时，最常用的方法就是求某些与轴平行的线段的长度，即将坐标转化为与轴平行的线段长度，同时要注意坐标的符号，这也是求空间点坐标的关键．
1．z轴上的点的坐标的特点是（）
A．竖坐标是0 B．横坐标、纵坐标都是0
C．横坐标是0 D．横、纵、竖坐标不可能都是0
【答案】B
【解析】z轴上任一点的坐标为（0，0，c）．
【规律总结】空间中确定点M坐标的三种方法：
（1）过点M作MM1垂直于平面xOy，垂足为M1，求出M1的x坐标和y坐标，再由射线M1M的指向和线段MM1的长度确定z的坐标．
（2）构造以O M为体对角线的长方体，由长方体的三个棱长结合点M的位置，可以确定点M的坐标．
（3）若题中所给的图形中存在垂直于坐标轴的平面，或点M在坐标轴或坐标平面上，则利用这一条件，再作轴的垂线即可确定点M的坐标．
2．点A（–1，2，1）在x轴上的投影点和在xOy平面上的投影点的坐标分别为（）
A．（–1，0，1），（–1，2，0）B．（–1，0，0），（–1，2，0）
C．（–1，0，0），（–1，0，0）D．（–1，2，0），（–1，2，0）
【答案】B
【解析】点A（–1，2，1）在x轴上的投影点的横坐标是–1，纵坐标和竖坐标都为0，故为（–1，0，0）；点A（–1，2，1）在xOy平面上的投影点的横、纵坐标不变且竖坐标是0，故为（–1，2，0）．
3．在空间直角坐标系中，点P（1，2，3），过点P作平面xOy的垂线PQ，则垂足Q的坐标为（）A．（0，2，0）B．（0，2，3）
C．（1，0，3）D．（1，2，0）
【答案】D
【解析】Q在过P（1，2，3）且垂直于面xOy的线上，故Q的横纵坐标与P相等，Q在面xOy上，故Q 的竖坐标为0，应选D．
【解题技巧】求某点的坐标时，一般先找这一点在某一坐标平面上的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一轴上的射影（或者它到这个坐标平面的距离加上正负号），确定第三个坐标．
4．设x y 、为任意实数，相应的所有点P （x ，y ，3）的集合是（ ）
A ．z 轴上的两个点
B ．过z 轴上的（0，0，3）点且与z 轴垂直的直线
C ．过z 轴上的（0，0，3）点且与z 轴垂直的平面
D ．以上答案都有可能 【答案】C
【解析】由于点P 的竖坐标为定值3，当x y R ∈、时，点P 组成的集合为过（0，0，3）且与z 轴垂直的平面． 5．点P （1，2，–1）在xOz 平面内的射影为B （x ，y ，z ），则x ＋y ＋z 的值为（ ）
A ．0
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】A
6．如图，在空间直角坐标系中，BC ＝2，原点O 是BC 的中点，点D 在平面yOz 内，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，
求点D 的坐标．
【解析】过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E ．
在Rt △BDC 中，∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，BC ＝2，得|BD |＝1，|CD |＝3，∴|DE |＝|CD |sin 30°＝3
2
，|OE |＝|OB |－|BE |＝|OB |－|BD |c os 60°＝1－12＝1
2，
∴点D 的坐标为⎝
⎛
⎭⎪⎫0，－12，32．
1．点(2,0,3)在空间直角坐标系中的( )
A ．y 轴上
B ．xOy 面上
C ．xO z 面上
D ．第一象限内
【答案】C
【解析】因为该点的y 坐标为0，根据坐标平面上点的特点可知该点在xO z 面上． 2．设y ∈R ，则点P (1，y,2)构成的集合为( )
A ．垂直于xOz 平面的一条直线
B ．平行于xOz 平面的一条直线
C ．垂直于y 轴的一个平面
D ．平行于y 轴的一个平面
3．在空间直角坐标系中，已知点P (1，2，3)，过点P 作平面yO z 的垂线PQ ，则垂足Q 的坐标为( )
A ．(0，2，0)
B ．(0，2，3)
C ．(1,0，3)
D ．(1,0,0)
【答案】B
【解析】平面yO z 内点的横坐标为0．
4．如图，有一个棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，以点D 为坐标原点，分别以射线DA ，DC ，DD 1的方向为正方向，以线段DA ，DC ，DD 1的长度为单位长，建立三条数轴：x 轴，y 轴，z 轴，从而建立起一个空间直角坐标系Oxyz ．一只小蚂蚁从点D 出发，不返回地沿着棱爬行了2个单位长．请用坐标表示小蚂蚁现在爬到了什么位置．
3D电影的原理
人的两眼之间大约有6厘米的距离，所以在观看除了正前方的物体外，两只眼睛必然有角度的不同，这个差别在大脑中就能自动形成上下、左右、前后、远近的区别，从而产生立体视觉．所以如果能制作出同一场景、影像的不同侧面（仅有微小的视差）让双眼各看一边，那么在大脑中就能自动形成这一场景的立体影像．而 3D电影的拍摄、制作和放映，就是模拟人眼观察景物的过程．它在拍摄时用两个电影摄影机，按人眼两瞳之间的距离（约65mm）拍摄同一景物，从而得到的不同角度的画幅（左、右眼图像），放映时再将图像同时放映到银幕上，这时银幕上会出现重叠交错的两个影像．观众在看3D电影时，只要戴上“立体眼镜”，就可以让左眼看到左图像，右眼看到右图像，此时在大脑中就会自动复现为触手可及立体影像．这就是3D的原理．。