2012-2013(1)03机械波课堂练习

简谐波计算题解

1、在弹性媒质中有一沿X 轴正向传播的平面波，其

波动方程为)]2

1

(4cos[01.0ππ--=x t y 入 （SI ）若

在X=5.00m 处有一媒质分界面，且在分界面处位相突变π，设反射后波的强度不变，试写出反射波的波动方程。

解：)]2

1()25.0(

2cos[01.0πππ--=x t y 入 入射波和反射波在O 点的振动方程分别为

)]21

(4cos[01.0π-=t y o 入

⎥⎦⎤⎢⎣

⎡+-=-+-=2104cos 01.0)]

2

1

()2105.0(2cos[01.0ππππππt t y o 反

所以反射波的波动方程为

⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=πππ1024cos 01.0x t y 反 或⎪⎭⎫ ⎝

⎛++=24cos 01.0ππx t y 反

2、如图，一平面波在介质中以速度u=20m/s 沿X 轴负方向传播，已知A 点的振动方程为y=3cos4πt (SI)

（1）以A 点为坐标原点写出波动方程；

（2）以距A 点5m 处的B 点为坐标原点，写出波动方程。

解：（1）因为以A 为原点，所以波动方程为 波动方程为

y=3cos4π(t+x/20) (SI) （2）以B 点为坐标原点，B 点振动方程为

()()πππ-=-=t t y B 4cos 320/54cos 3

波动方程为

y=3cos[4π(t+x/20)- π] (SI)

3、一平面简谐波沿X 轴正向传播，其振幅为A ，频率为ν，波速为u 。设0=t 时刻的波形曲线如图所示。求

（1）X=0处质点振动方程；（2）该波的波动方程。

解：（1）设波动方程为⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ϕπνu x t A y 2cos

当x=0，O 点的振动方程为()ϕπν+=t A y o 2cos

由图可知，0=t 时，0=o y ，0

π

ϕ=

x=0处的振动方程为()2/2cos ππν+=t A y o

（2）波动方程为⎥⎦⎤⎢⎣

⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛

-=22cos ππνu x t A y

4、一平面简谐波，频率为300Hz ，波速为3401

-ms ,在截面面积为2

2

1000.3m -⨯的管内空气中传播，若在10s 内通过截面的能量为J 2

1070.2-⨯，求 （1） 通过截面的平均能流； （2） 波的平均能流密度； （3） 波的平均能量密度。

解：（1）1

31007.2--⋅⨯==s J t W P （2）2

121000.9---⋅⋅⨯==m s J S

P I

（3）2

41065.2--⋅⨯==⋅=m

J u

I w u

w I

例11-1. 沿一平面简谐波的波线上，有相距m 0.2的两

质点A 与B ，B 点振动相位比A 点落后6

π

，已知振动

周期为s 0.2，求波长和波速。

解：根据题意，对于A 、B 两点，

m x 26

12=∆=-=∆，π

ϕϕϕ

而相位和波长之间又满足这样的关系：

πλ

πλ

ϕϕϕ221

212x

x x ∆-

=--

=-=∆

代入数据，可得：波长λ=24m 。又已知 T=2s ，所以波速u=λ/T=12m/s

例11-2． 已知一平面波沿x 轴正向传播，距坐标原点

O 为1x 处P 点的振动式为)cos(ϕω+=t A y ，波速为

u ，求:

（1）平面波的波动式；

（2）若波沿x 轴负向传播，波动式又如何? 解：（1）因为O 为1x 处P 点的振动式为

)cos(ϕω+=t A y P

所以O 点的振动方程为]cos[1

ϕω++=）（u x t A y o 波动方程为]cos[1ϕω+-+=）（u

x

u x t A y （2）若波沿x 轴负向传播，O 点的振动方程为：

]cos[1

ϕω+-=）（u

x t A y o

波动方程为：]cos[1ϕω++-=）（u

x

u x t A y

例11-3. 一平面简谐波在空间传播，如例11-3图所示，已知A 点的振动规律为)2cos(ϕπν+=t A y ，试写出：

（1）该平面简谐波的表达式； （2）B 点的振动表达式（B 点位于A 点右方d 处）。

例11-3图

解：（1）根据题意，A 点的振动规律为)2cos(ϕπν+=t A y ，

它的振动是O 点传过来的，所以O 点的振动方程为：]2cos[ϕπν++=）（u

l

t A y 那么该平面简谐波的表达式为

]2cos[ϕπν+++=）（u

x

u l t A y

（2）B 点的振动表达式可直接将坐标l d x -=，代入波动方程：

]

2cos[]

2cos[ϕπνϕπν++=+-++=）（）（u

d

t A u

l

d u l t A y

例11-4. 已知一沿x 正方向传播的平面余弦波，

s 3

1=t 时的波形如例11-4图所示，且周期T 为s 2.（1）写出O 点的振动表达式；（2）写出该

波的波动表达式；（3）写出A 点的振动表达式；（4）写出A 点离O 点的距离。 例11-4图

解：由图可知A=0.1m ，λ=0.4m ，由题知T= 2s ，ω=2π/T=π，而u=λ/T=0.2m/s 。

波动方程为：⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=02.0cos 1.0ϕπx t y

关键在于确定O 点的初始相位。