【名师伴你行】2015届高考文科数学二轮复习提能专训 选修4系列1]

1．(2014·全国新课标Ⅰ)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.

(1)证明：∠D＝∠E；

(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形．

解：(1)证明：由题设知A，B，C，D四点共圆，

所以∠D＝∠CBE.

由已知得∠CBE＝∠E，

故∠D＝∠E.

(2)设BC的中点为N，连接MN，则由MB＝MC知MN⊥BC，故O在直线MN上．

又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，

故OM ⊥AD ，即MN ⊥AD . 所以AD ∥BC ， 故∠A ＝∠CBE .

又∠CBE ＝∠E ，故∠A ＝∠E . 由(1)知，∠D ＝∠E ，

所以△ADE 为等边三角形．

2．(2014·郑州质检)如图，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，BC 与AD 的延长线交于点E ，点F 在BA 的延长线上．

(1)若EC CB ＝13，ED DA ＝1，求DC

AB 的值；

(2)若EF 2＝FA ·FB ，证明：EF ∥CD . 解：(1)∵A ，B ，C ，D 四点共圆， ∴∠EDC ＝∠EBF ，又∠AEB 为公共角， ∴△ECD ∽△EAB ，∴DC AB ＝EC EA ＝ED EB

.

∴⎝ ⎛⎭⎪⎫DC AB 2＝EC EA ·ED EB ＝EC EB ·ED EA ＝14×12＝18

. ∴DC AB ＝24

. (2)∵EF 2＝FA ·FB ，∴EF FA ＝FB

FE

，

又∵∠EFA ＝∠BFE ，∴△FAE ∽△FEB ， ∴∠FEA ＝∠EBF ，

又∵A ，B ，C ，D 四点共圆，

∴∠EDC ＝∠EBF ，∴∠FEA ＝∠EDC ， ∴EF ∥CD .

3．(2014·海口调研)如图，直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且OA ＝OB ，CA ＝CB ，⊙O 交直线OB 于E ，D ，连接EC ，CD .

(1)求证：直线AB 是⊙O 的切线；

(2)若tan ∠CED ＝1

2，⊙O 的半径为3，求OA 的长．

解：(1)证明：如图，连接OC ，

∵OA ＝OB ，CA ＝CB ，∴OC ⊥AB . ∵OC 是圆的半径， ∴AB 是圆的切线．

(2)∵直线AB 是⊙O 的切线， ∴∠BCD ＝∠E ，又∠CBD ＝∠EBC ， ∴△BCD ∽△BEC ，

∴BC BE ＝BD BC ， ∴BC 2＝BD ·BE ，

∵tan ∠CED ＝CD EC ＝1

2，△BCD ∽△BEC ，

∴BD BC CD EC ＝1

2，设BD ＝x ，则BC ＝2x ， ∵BC 2＝BD ·BE ，

∴(2x )2＝x (x ＋6)，∴BD ＝2， ∴OA ＝OB ＝BD ＋OD ＝2＋3＝5.

4.(2014·云南统检)如图，P 是⊙O 的直径AB 延长线上的一点，割线PCD 交⊙O 于C ，D 两点，弦DF 与直径AB 垂直，H 为垂足，CF 与AB 交于点E .

(1)求证：PA ·PB ＝PO ·PE ；

(2)若DE ⊥CF ，∠P ＝15°，⊙O 的半径等于2，求弦CF 的长． 解：(1)证明：连接OD .

∵AB 是⊙O 的直径，弦DF 与直径AB 垂直，H 为垂足，C 在⊙O 上，

∴∠DOA ＝∠DCF ，∴∠POD ＝∠PCE . 又∵∠DPO ＝∠EPC ， ∴△PDO ∽△PEC ，

∴PD PE PO

PC

，即PD ·PC ＝PO ·PE .

由割线定理得PA·PB＝PD·PC，

∴PA·PB＝PO·PE.

(2)由已知，直径AB是弦DF的垂直平分线，∴ED＝EF，∴∠DEH＝∠FEH.

∵DE⊥CF，

∴∠DEH＝∠FEH＝45°.

由∠PEC＝∠FEH＝45°，∠P＝15°，得

∠DCF＝60°.

由∠DOA＝∠DCF得∠DOA＝60°.

在Rt△DHO中，OD＝2，

DH＝OD sin ∠DOH＝3，

∴DE＝EF＝DH

sin ∠DEH

＝6，

CE＝DE

tan ∠DCE

＝2，

∴CF＝CE＋EF＝2＋ 6.

5．(2014·哈师附中、东北师大附中、辽宁实验中学联合模拟)如图，PA，PB是圆O的两条切线，A，B是切点，C是劣弧AB(不包括端点)上一点，直线PC交圆O于另一点D，Q在弦CD上，且∠DAQ＝∠PBC.

求证：

(1)BD

AD＝

BC

AC；

(2)△ADQ∽△DBQ.

证明：(1)由题知△PBC ∽△PDB ， 所以BD BC ＝PD PB ，同理AD AC ＝PD PA .

又因为PA ＝PB ， 所以BD BC ＝AD AC ，即BD AD ＝BC AC

.

(2)连接AB .因为∠BAC ＝∠PBC ＝∠DAQ ，∠ABC ＝∠ADQ ， 所以△ABC ∽△ADQ ， 即BC AC ＝DQ AQ ， 故BD AD ＝DQ AQ

， 又因为∠DAQ ＝∠PBC ＝∠BDQ ， 所以△ADQ ∽△DBQ .

(2014·昆明调研)如图所示，已知D为△ABC的BC边上一点，⊙O1经过点B，D，交AB于另一点E，⊙O2经过点C，D，交AC于另一点F，⊙O1与⊙O2的另一交点为G.

(1)求证：A，E，G，F四点共圆；

(2)若AG切⊙O2于G，求证：∠AEF＝∠ACG.

证明：(1)如图，连接GD，四边形BDGE，CDGF分别内接于⊙O1，⊙O2，

∴∠AEG＝∠BDG，∠AFG＝∠CDG，

又∠BDG＋∠CDG＝180°，

∴∠AEG＋∠AFG＝180°，