【30天大冲刺之12月27日】数学运算之排列组合问题

12/27 数学运算之排列组合问题

一、排列组合问题

（一）基本概念

（1）加法原理：分类的用加法乘法原理：分步的用乘法

排列：与顺序有关组合：与顺序无关

（2）主要解题技巧：逆向考虑法，特殊位置先排，隔板法，插空法，分类法，捆绑法等。

因为这部分内容比较多，所以抽屉原理另外在下一个专题里单独讲。

（二）习题与解析：

1、用1、

2、

3、

4、

5、

6、

7、8可组成多少个没有重复数字的五位数？

解析：这是一个从8个元素中取5个元素的排列问题，由排列数公式，共可组成：P85=8*7*6*5*4=6720

2、由数字0、1、2、3可以组成多少个没有重复数字的偶数？

解析：分类法

注意到由四个数字0、1、2、3可组成的偶数有一位数、二位数、三位数、四位数这四类，所以要一类一类地考虑，再由加法原理解决.

第一类：一位偶数只有0、2，共2个；

第二类：两位偶数，它包含个位为0、2的两类.若个位取0，则十位可有C13种取法；若个位取2，则十位有C12种取法.故两位偶数共有（C13＋C12）种不同的取法；

第三类：三位偶数，它包含个位为0、2的两类.若个位取0，则十位和百位共有P23种取法；若个位取2，则十位和百位只能在0、1、3中取，百位有2种取法，十位也有2种取法，由乘法原理，个位为2的三位偶数有2×2个，三位偶数共有（P23＋2×2）个；

第四类：四位偶数.它包含个位为0、2的两类.若个位取0，则共有P33个；若个位取2，则其他3位只能在0、1、3中取.千位有2种取法，百位和十位在剩下的两个数中取，再排成一列，有P22种取法.由乘法原理，个位为2的四位偶数有2×P22个.所以，四位偶数共有（P33＋2×P22）种不同的取法.

由加法原理知，共可以组成

2＋（C13＋C12）＋（P23＋2×2）＋（P33＋2×P22）＝2＋5＋10＋10＝27个不同的偶数.

3、从5幅国画，3幅油画，2幅水彩画中选取两幅不同类型的画布置教室，问有几种选法？

解析：分类法。首先考虑从国画、油画、水彩画这三种画中选取两幅不同类型的画有三种情况，即可分三类，自然考虑到加法原理.当从国画、油画各选一幅有多少种选法时，利用的乘法原理.由此可知这是一道利用两个原理的综合题.关键是正确把握原理.

解：符合要求的选法可分三类：

设第一类为：国画、油画各一幅，可以想像成，第一步先在5张国画中选1张，第二步再在3张油画中选1张.由乘法原理有5×3＝15种选法.第二类为国画、水彩画各一幅，由乘法原理有5×2＝10种选法.第三类油画、水彩各一幅，由乘法原理有3×2＝6种选法.这三类是各自独立发生互不相干进行的.

因此，依加法原理，选取两幅不同类型的画布置教室的选法有15＋10＋6＝31种.

运用加法和乘法原理时要注意：

①抓住两个基本原理的区别，千万不能混.

不同类的方法（其中每一个方法都能各自独立地把事情从头到尾做完）数之间做加法，可求得完成事情的不同方法总数.不同步的方法（全程分成几个阶段（步），其中每一个方法都只能完成这件事的一个阶段）数之间做乘法，可求得完成整个事情的不同方法总数.

②在研究完成一件工作的不同方法数时，要遵循“不重不漏”的原则.请看一些例：从若干件产品中抽出几件产品来检验，如果把抽出的产品中至多有2件次品的抽法仅仅分为两类：第一类抽出的产品中有2件次品，第二类抽出的产品中有1件次品，那么这样的分类显然漏掉了抽出的产品中无次品的情况.又如：把能被2、被3、或被6整除的数分为三类：第一类为能被2整除的数，第二类为能被3整除的数，第三类为能被6整除的数.这三类数互有重复部分.

③在运用乘法原理时，要注意当每个步骤都做完时，这件事也必须完成，而且前面一个步骤中的每一种方法，对于下

个步骤不同的方法来说是一样的.

4、一学生把一个一元硬币连续掷三次，试列出各种可能的排列.

解析：画图

由此可知，排列共有如下八种：

正正正、正正反、正反正、正反反、反正正、反正反、反反正、反反反.

5、参加会议的人两辆都彼此握手，有人统计共握手36次，到会共有多少人？（）

A、9

B、10

C、11

D、12

解析：两人握手与顺序无关，（甲与乙握手和乙与甲握手是一样的），假设共有N个人，两两彼此握手可以握C2N次，有C2N=N(N-1)/2*1=36.解得N=9，选A

6、五个瓶子都贴了标签，其中恰好贴错了三个，则错的可能情况共有多少种？（）

A、6

B、10

C、12

D、20

解析：第一步：从五个瓶子中选出三个瓶子共有C35=10种方法

第二步：对这三个瓶子进行错位排列，共有D3=2种方法

第三步：根据乘法原理，所有可能的方法数为10*2*1=20种

PS：有关错位排列问题。请看下一题。将有比较详细的解释。

7、甲乙丙丁四个人站成一排，已知：甲不站在第一位，乙不站在第二位，丙不站在第三位，丁不站在第四位，则所有可能的站法数为多少种？（）

A、6

B、12

C、9

D、24

解析：甲不能站在第一位，因此甲必然站在后三个位置中的某一个位置。

如果甲站在第二位，则共有三种可能：乙甲丁丙，丙甲丁乙，丁甲丙乙

如果甲站在第三位，则共有三种可能，乙丁甲丙，丙丁甲乙，丁丙甲乙

如果甲站在第四位，则共有三种可能，乙丙丁甲，丙丁乙甲，丁丙乙甲

因此一共有9种可能

总结：错位排列问题：有N封信和N个信封，则每封信都不装在自己的信封里，可能的方法的种数记作Dn。则D1=0，D2=1，D3=2，D4=9，D5=44，D6=265。。

8、A、B、C、D、E五个人排成一排，其中A、B两个人不站在一起，共有（）种排法。

解析：采用插空法。第一步：CDE排成一排，共有P33=6种排法

第二步：口C口D口E口，共有4个空，将A、B插入这4个空中，共有P24=12种排法

根据乘法原理，共有不同的排法6*12=72种

9、A、B、C、D、E五个人排成一排，其中A、B两人必须站在一起，共有（）种排法。

解析：采用捆绑法。

第一步：将A、B捆绑在一起，共有P22=2种捆法。第二步：用它们的整体和CDE一起拍，共有P44=24种排法

根据乘法原理，共有不同排法2*24=48种。总结：相邻问题---捆绑法。不邻问题---插空法。

10、有10颗糖，每天至少吃一粒，直到吃完为止，共有多少种不同的吃法？

解析：10片药并成一排，内部形成9个空。想象每个空上方都有一块隔板，如果隔板放下了，就是把那部分的糖果分成2天来吃了。每个隔板都有放下和不放下的2个选择。所以一共的可能性是2^9=512种方法。这个就是插板法。是为了解决相同元素的分配问题的。

11、6人站在一排，要求甲站在乙的左边，有多少种不同的排法？