浙江2011《应用高等数学》模块2概率论模拟试题详解及答案

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概率论习题答案

概率论习题答案概率论习题答案概率论是一门研究随机现象的数学分支，广泛应用于各个领域。

在学习概率论的过程中，习题是不可或缺的一部分，通过解答习题可以加深对概率论知识的理解和运用。

本文将提供一些概率论习题的答案，帮助读者更好地掌握概率论的基本概念和方法。

1. 一个骰子被投掷两次，求两次投掷的点数之和为7的概率。

解答：骰子的点数为1、2、3、4、5、6，两次投掷的点数之和为7的情况有(1,6)、(2,5)、(3,4)、(4,3)、(5,2)、(6,1)共6种。

骰子的点数共有6×6=36种可能性，所以概率为6/36=1/6。

2. 一副扑克牌中，从中随机抽取两张牌，求两张牌都是红桃的概率。

解答：一副扑克牌中有52张牌，其中红桃有13张。

第一次抽取时，红桃的概率为13/52。

第二次抽取时，由于已经抽取了一张红桃，剩下的红桃数量为12张，总牌数为51张，所以第二次抽取到红桃的概率为12/51。

根据乘法原理，两次抽取都是红桃的概率为(13/52)×(12/51)=1/17。

3. 一家公司有3个部门，甲、乙、丙，每个部门的员工数分别为10人、15人、20人。

现从公司中随机抽取一名员工，求抽到的员工来自甲部门的概率。

解答：公司总共有10+15+20=45名员工，从中随机抽取一名员工，来自甲部门的概率为10/45。

4. 一批零件共有100个，其中有5个是次品。

现从中随机抽取3个零件，求抽到的3个零件都是次品的概率。

解答：首先计算抽取的3个零件都是次品的情况数。

从5个次品中选取3个的组合数为C(5,3)=5×4×3/(3×2×1)=10。

从100个零件中选取3个的组合数为C(100,3)=100×99×98/(3×2×1)=161700。

所以抽到的3个零件都是次品的概率为10/161700。

通过以上几个习题的解答，我们可以看到概率的计算方法主要涉及到计数和概率的定义。

(完整版)概率论与数理统计及其应用课后答案(浙大版)第2章随机变量及其分布

第2章随机变量及其分布1，解：显然，Y 是一个离散型的随机变量，Y 取k 表明第k 个人是A 型血而前1-k 个人都不是A 型血，因此有116.04.0)4.01(4.0}{--⨯=-⨯==k k k Y P ，（Λ,3,2,1=k ）上式就是随机变量Y 的分布律（这是一个几何分布）。

2，解：X 只能取值0，1，2。

设以)3,2,1(=i A i 记第i 个阀门没有打开这一事件。

则)}(){()}({}0{3121321A A A A P A A A P X P ⋃=⋃==)()()()()()()(}{}{}{32131213213121A P A P A P A P A P A P A P A A A P A A P A A P -+=-+= 072.0)8.01()8.01()8.01(322=---+-=，类似有512.08.0)()}({}2{3321321=====A A A P A A A P X P ，416.0}2{}0{1}1{==-=-==X P X P X P ,综上所述，可得分布律为3,解：根据题意，随机变量X 服从二项分布B(15, 0.2)，分布律为15,2,1,0,8.02.0)(1515Λ=⨯⨯==-k C k X P k k k 。

（1）,2501.08.02.0)3(123315=⨯⨯==C X P（2）8329.0)0()1(1)2(==-=-=≥X P X P X P ；（3）6129.0)3()2()1()31(==+=+==≤≤X P X P X P X P ；（4）)2()3()4()5(1)5(=-=-=-=-=>X P X P X P X P X P0611.0)0()1(==-=-X P X P4，解：对于][5/3G 系统，当至少有3个元件正常工作时，系统正常工作。

而系统中正常工作的元件个数X 服从二项分布B(5, 0.9)，所以系统正常工作的概率为99144.01.09.0)(535553=⨯⨯==∑∑=-=k k k k k Ck X P5，解：根据题意，次品数X 服从二项分布B(8000, 0.001)，所以∑=-⨯=≤=<6080008000999.0001.0)6()7(k k k kC X P X P3134.0!8!)001.08000(6860001.08000==⨯≈∑∑=-=⨯-k k k k k e k e （查表得）。

（完整版）概率论第二章答案

（完整版）概率论第⼆章答案习题2-21. 设A 为任⼀随机事件, 且P (A )=p (01,,0,A X A =??发⽣不发⽣.写出随机变量X 的分布律.解 P {X =1}=p , P {X =0}=1-p . 或者2. 已知随机变量X 只能取-1,0,1,2四个值, 且取这四个值的相应概率依次为cc c c 167,85,43,21. 试确定常数c , 并计算条件概率}0|1{≠13571,24816c c c c+++= 所以3716c=. 所求概率为 P {X <1| X0≠}=258167852121}0{}1{=++=≠-=cc c c X P X P . 3. 设随机变量X 服从参数为2, p 的⼆项分布, 随机变量Y 服从参数为3, p 的⼆项分布, 若{P X ≥51}9 =, 求{P Y ≥1}.解注意p{x=k}=kk n k n C p q -,由题设5{9P X =≥21}1{0}1,P X q =-==-故213qp =-=. 从⽽{P Y ≥32191}1{0}1().327P Y =-==-=4. 在三次独⽴的重复试验中, 每次试验成功的概率相同, 已知⾄少成功⼀次的概率为1927, 求每次试验成功的概率.解设每次试验成功的概率为p , 由题意知⾄少成功⼀次的概率是2719，那么⼀次都没有成功的概率是278. 即278)1(3=-p , 故 p =31. 5. 若X 服从参数为λ的泊松分布, 且{1}{3}P X P X ===, 求参数λ.解由泊松分布的分布律可知6=λ.6. ⼀袋中装有5只球, 编号为1,2,3,4,5. 在袋中同时取3只球, 以X 表⽰取出的3只球中的最⼤号码, 写出随机变量X 的分布律.解从1，2，3，4，5中随机取3个，以X 表⽰3个数中的最⼤值，X 的可能取值是3，4，5，在5个数中取3个共有1035=C 种取法.{X =3}表⽰取出的3个数以3为最⼤值，P{X =3}=2235C C =101;{X =4}表⽰取出的3个数以4为最⼤值，P{X =4}=1033523=C C ;{X =5}表⽰取出的3个数以5为最⼤值，P{X =5}=533524=C C .X 的分布律是1. 设X求分布函数解 (1) F (x )=0,1,0.15,10,0.35,01,1,1.x x x x <-??-(2) P {X <0}=P {X =-1}=0.15;(3) P {X <2}= P {X =-1}+P {X =0}+P {X =1}=1; (4) P {-2≤x <1}=P {X =-1}+P {X =0}=0.35. 2. 设随机变量X 的分布函数为F (x ) = A +B arctan x -∞试求: (1) 常数A 与B ; (2) X 落在(-1, 1]内的概率.解 (1) 由于F (-∞) = 0, F (+∞) = 1, 可知()0112,.2()12A B A B A B πππ?+-===?+= 于是 11()arctan ,.2F x x x π=+-∞<<+∞(2) {11}(1)(1)P X F F -<=--≤1111(arctan1)(arctan(1))22ππ=+-+-11111().24242ππππ=+?---=3. 设随机变量X 的分布函数为F (x )=0, 0,01,21,1,,x xx x <求P {X ≤-1}, P {0.3解 P {X 1}(1)0F -=-=≤,P {0.3P {05. 假设随机变量X 的绝对值不⼤于1;11{1},{1}84P X P X =-===; 在事件{11}X -<<出现的条件下, X 在(-1,1)内任⼀⼦区间上取值的条件概率与该区间的长度成正⽐. (1) 求X 的分布函数(){F x P X =≤x }; (2) 求X 取负值的概率p .解 (1) 由条件可知, 当1x <-时, ()0F x =; 当1x =-时,1(1)8F -=;当1x =时, F (1)=P {X ≤1}=P (S )=1. 所以115{11}(1)(1){1}1.848P X F F P X -<<=---==--=易见, 在X 的值属于(1,1)-的条件下, 事件{1}X x -<<的条件概率为{1P X -<≤|11}[(1)]x X k x -<<=--,取x =1得到 1=k (1+1), 所以k =12. 因此{1P X -<≤|11}12x X x -<<=+. 于是, 对于11x -<<, 有 {1P X -<≤}{1x P X =-<≤,11}x X -<<{11}{1|11}≤P X P X x X =-<<-<-<< 5155.8216x x ++=?=对于x ≥1, 有() 1.F x = 从⽽0,1,57(),11,161,1.x x F x x x <-+=-<7{0}(0){0}(0)[(0)(0)](0).16p P X F P X F F F F =<=-==---=-=习题2-41. 选择题 (1) 设2, [0,],()0, [0,].x x c f x x c ∈=如果c =( ), 则()f x 是某⼀随机变量的概率密度函数. (A)13. (B) 12. (C) 1. (D) 32.解由概率密度函数的性质()d 1f x x +∞-∞=?可得02d 1cx x =?, 于是1=c , 故本题应选(C ).(2) 设~(0,1),XN ⼜常数c 满⾜{}{}P X c P X c =<≥, 则c 等于( ).(A) 1. (B) 0. (C) 12. (D) -1.解因为{}{}P X c P X c =<≥, 所以1{}{}P X c P X c -<=<,即2{}1P X c <=, 从⽽{}0.5P X c <=,即()0.5c Φ=, 得c =0. 因此本题应选(B).(3) 下列函数中可以作为某⼀随机变量的概率密度的是( ).(A)cos ,[0,],()0,x x f x π∈=??其它. (B) 1,2,()20,x f x <=其它.(C)22()2,0,()0,0.≥x x f x x µσ--==?可知本题应选(D).(4) 设随机变量2~(,4)XN µ, 2~(,5)Y N µ, 1{X P P =≤4µ-}, {2P P Y =≥5µ+}, 则( ).(A) 对任意的实数12,P P µ=. (B) 对任意的实数12,P P µ<. (C) 只对实数µ的个别值, 有12P P =. (D) 对任意的实数12,P P µ>. 解由正态分布函数的性质可知对任意的实数µ, 有12(1)1(1)P P ΦΦ=-=-=. 因此本题应选(A).(5) 设随机变量X 的概率密度为()f x , 且()()f x f x =-, ⼜F (x )为分布函数, 则对任意实数a , 有( ).(A)()1d ()∫aF a x f x -=-. (B) 01()d 2()∫aF a x f x -=-.(C) ()()F a F a -=. (D) ()2()1F a F a -=-.解由分布函数的⼏何意义及概率密度的性质知答案为(B). (6) 设随机变量X服从正态分布211(,)N µσ,Y服从正态分布222(,)N µσ,且12{1}{1},P X P Y µµ-<>-< 则下式中成⽴的是( ).(A) σ1 < σ2. (B) σ1 > σ2. (C) µ1 <µ2. (D) µ1 >µ2.解答案是(A).(7) 设随机变量X 服从正态分布N (0,1), 对给定的正数)10(<<αα, 数αu 满⾜{}P X u αα>=, 若{}P X x α<=, 则x 等于( ).(A)2u α . (B) 21α-u. (C)1-2u α. (D) α-1u .解答案是(C).2. 设连续型随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 要使1{2}4P k X k <<=成⽴, 应当怎样选择数k ?解因为随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 其分布函数为1e ,0,()0,0.≤x x F x x λ-->=??由题意可知221{2}(2)()(1e )(1e )e e 4k k k k P k X k F k F k λλλλ----=<<=-=---=-.于是ln 2k λ=.3. 设随机变量X 有概率密度34,01,()0,x x f x <<=??其它, 要使{}{}≥P X a P X a =<(其中a >0)成⽴, 应当怎样选择数a ?解由条件变形,得到1{}{}P X a P X a -<=<,可知{}0.5P X a <=, 于是304d 0.5a x x =?,因此a =.4. 设连续型随机变量X 的分布函数为20,0,()01,1,1,,≤≤x F x x x x <=>求: (1) X 的概率密度; (2){0.30.7}P X <<.解 (1) 根据分布函数与概率密度的关系()()F x f x '=,可得2,01,()0,其它.x x f x <(2)22{0.30.7}(0.7)(0.3)0.70.30.4P X F F <<=-=-=.5. 设随机变量X 的概率密度为f (x )＝2,01,0,x x ??≤≤ 其它, 求P {X ≤12}与P {14X ＜≤2}.解{P X ≤12201112d 224}x x x ===?;1{4P X <≤12141152}2d 1164x x x ===?. 6. 设连续型随机变量X 具有概率密度函数,01,(),12,0,x x f x A x x <=-≤≤其它.求: (1) 常数A ；(2) X 的分布函数F (x ).解 (1) 由概率密度的性质可得12221121111d ()d []122x x A x x xAx x A =+-=+-=-??,于是2A =；(2) 由公式()()d x F x f x x -∞=?可得当x ≤0时,()0F x =;当0x <≤1时, 201()d 2xF x x x x ==;当1x <≤2时, 2101()d (2)d 212x x F x x x x x x =+-=--??;当x >2时,()1F x =.所以220,0,1()221, 2.1,021,12x F x x x x x x x =->≤≤,≤,7. 设随机变量X 的概率密度为1(1),02,()40,x x f x+<<=其它,对X 独⽴观察3次, 求⾄少有2次的结果⼤于1的概率.解根据概率密度与分布函数的关系式{P a X <≤}()()()d bab F b F a f x x =-=?,可得2115{1}(1)d 48P X x x >=+=.所以, 3次观察中⾄少有2次的结果⼤于1的概率为223333535175()()()888256C C +=. 8. 设~(0,5)X U , 求关于x 的⽅程24420x Xx ++=有实根的概率.解随机变量X 的概率密度为105,()50,,x f x <=≤其它,若⽅程有实根, 则21632X -≥0, 于是2X ≥2. 故⽅程有实根的概率为 P {2X ≥2}=21{2}P X -<1{P X =-<<1d 5x =-15=-.9. 设随机变量)2,3(~2N X.(1) 计算{25}P X <≤, {410}P X -<≤, {||2}P X >, }3{>X P ； (2) 确定c 使得{}{};P X c P X c >=≤ (3) 设d 满⾜{}0.9P X d >≥, 问d ⾄多为多少？解 (1) 由P {a}()()22222a Xb b a ΦΦ-----<=-≤公式, 得到P {2{||2}P X >={2}P X >+{2}P X <-=123()2Φ--+23()2Φ--=0.6977,}3{>X P =133{3}1()1(0)2P X ΦΦ-=-=-≤=0.5 .(2) 若{}{}≤P X c P X c >=,得1{}{}P X c P x c -=≤≤,所以{}0.5P X c =≤由(0)Φ=0推得30,2c -=于是c =3. (3){}0.9≥P X d > 即13()0.92d Φ--≥, 也就是3()0.9(1.282)2d ΦΦ--=≥,因分布函数是⼀个不减函数, 故(3)1.282,2d --≥ 解得 32( 1.282)0.436d +?-=≤.10. 设随机变量2~(2,)X N σ, 若{04}0.3P X <<=, 求{0}P X <.解因为()~2,X N σ2,所以~(0,1)X Z N µσ-=. 由条件{04}0.3P X <<=可知02242220.3{04}{}()()X P X P ΦΦσσσσσ---=<<=<<=--,于是22()10.3Φσ-=, 从⽽2()0.65Φσ=. 所以{{}2020}P P X X σσ==--<<22()1()0.35ΦΦσσ-=-=. 习题2-51. 选择题(1) 设X 的分布函数为F (x ), 则31Y X =+的分布函数()G y 为( ).(A) 11()33F y -. (B) (31)F y +.(C)3()1F y +. (D)1133()F y -. 解由随机变量函数的分布可得, 本题应选(A).(2) 设()~01,XN ,令2Y X =--, 则~Y ( ).(A)(2,1)N --. (B)(0,1)N . (C)(2,1)N -. (D)(2,1)N .解由正态分布函数的性质可知本题应选(C).2. 设~(1,2),23X N Z X =+, 求Z 所服从的分布及概率密度. 解若随机变量2~(,)X N µσ, 则X 的线性函数Y aX b =+也服从正态分布, 即2~(,()).Y aX b N a b a µσ=++ 这⾥1,µσ==, 所以Z ~(5,8)N .概率密度为()f z=2(5)16,x x ---∞<<+∞.3. 已知随机变量X 的分布律为(1) 求解 (1)(2)4. ()X f x ＝1142ln 20x x <，　，　，　其它，且Y ＝2－X , 试求Y 的概率密度.解先求Y 的分布函数)(y F Y :)(y F Y ={P Y ≤}{2y P X =-≤}{y P X=≥2}y -1{2}P Xy =-<-=1-2()d yX f x x --∞.于是可得Y 的概率密度为()(2)(2)Y X f y f y y '=---=12(2)ln 20,.,124,其它y y -?<-即 121,2(2)ln 20, ,()其它.Y y y f y -<<-?=5. 设随机变量X 服从区间(-2,2)上的均匀分布, 求随机变量2Y X =的概率密度.解由题意可知随机变量X 的概率密度为()0,.1,22,4其它X f x x =?-<因为对于0(){Y F y P Y =≤2}{y P X =≤}{y P =X于是随机变量2YX =的概率密度函数为()Y fy (X X f f =+0 4.y =<<即()04,0,.其它f y y =<总习题⼆1. ⼀批产品中有20%的次品, 现进⾏有放回抽样, 共抽取5件样品. 分别计算这5件样品中恰好有3件次品及⾄多有3件次品的概率.解以X 表⽰抽取的5件样品中含有的次品数. 依题意知~(5,0.2)X B .(1) 恰好有3件次品的概率是P {X =3}=23358.02.0C .(2) ⾄多有3件次品的概率是k k k k C-=∑5358.02.0.2. ⼀办公楼装有5个同类型的供⽔设备. 调查表明, 在任⼀时刻t 每个设备被使⽤的概率为0.1. 问在同⼀时刻(1) 恰有两个设备被使⽤的概率是多少？ (2) ⾄少有1个设备被使⽤的概率是多少？ (3) ⾄多有3个设备被使⽤的概率是多少？(4) ⾄少有3个设备被使⽤的概率是多少？解以X 表⽰同⼀时刻被使⽤的设备的个数，则X ~B (5,0.1),C -559.01.0,k =0,1, (5)(1) 所求的概率是P {X =2}=0729.09.01.03225=C ; (2)所求的概率是P {X ≥1}=140951.0)1.01(5=--;(3) 所求的概率是 P {X ≤3}=1-P{X =4}-P {X =5}=0.99954;(4) 所求的概率是P {X ≥3}=P {X =3}+P {X =4}+P {X =5}=0.00856. 3. 设随机变量X 的概率密度为e ,0,()00,≥，x k x f x x θθ-=且已知1{1}2P X>=, 求常数k , θ.解由概率密度的性质可知e d 1xkx θθ-+∞=?得到k =1.由已知条件111e d 2xx θθ-, 得1ln 2θ=.4. 某产品的某⼀质量指标2~(160,)X N σ, 若要求{120P ≤X ≤200}≥0.8, 问允许σ最⼤是多少?解由{120P ≤X ≤} 200120160160200160{}X P σσσ---=≤≤=404040()(1())2()1ΦΦΦσσσ--=-≥0.8,得到40()Φσ≥0.9, 查表得40σ≥1.29, 由此可得允许σ最⼤值为31.20.5. 设随机变量X 的概率密度为φ(x ) = A e -|x |, -∞试求: (1) 常数A ; (2) P {0解 (1) 由于||()d e d 1,x x x A x ?+∞==?即02e d 1x A x +∞-=?故2A = 1, 得到A =12.所以φ(x ) =12e -|x |.(2) P {011111e e d (e )0.316.0222xxx ----=-=≈?(3) 因为||1()e d ,2xx F x x --∞=得到当x <0时, 11()e d e ,22x x x F x x -∞==?当x ≥0时, 00111()e d e d 1e ,222 x x x xF x x x ---∞=+=-??所以X 的分布函数为 1,0,2()11,0.2x x F x x -?。

概率论期末测试模拟2答案

幻灯片1第二章练习题一、填空题1.设随机变量X的概率密度为且P{X>1/2}=0.75，则k = , b = .2.设随机变量X的分布律为X 0 1 2p 1/3 1/6 1/2则 X 的分布函数 F(x) = . 120, x<0,1/3, 0x<11/2, 1x<21, 2x幻灯片2●利用常见连续型随机变量的分布求事件的概率3. 若随机变量 X 在(1, 6)上服从均匀分布, 则方程x2+Xx+1=0 有实根的概率是 .0.8●利用常见离散型随机变量的分布求事件的概率4. 设随机变量X的概率密度为以Y 表示对X 的三次独立重复观察中事件{X1/2}出现的次数, 则P{Y=2}= .9/645.设X服从参数为(2, p)的二项分布,随机变量Y服从参数为(3, p)的二项分布.若P{X1}=5/9,则P{Y1}= .19/27幻灯片3二、选择题1.设随机变量X具有对称的概率密度，即f(x)=f(-x),其分布函数为F(x), 则P{|X|>a}=( ).(A)2[1-F(a)] (B)2F(a)-1(C) 2-F(a) (D) 1-2F(a)2.设随机变量X的概率密度为则( )~N(0,1).AB(A) (B) (C) (D)幻灯片43.设X~N(, 42) , Y~N (, 52)，记 P( X -4 )=p1 ,P(Y +5)=p2 , 则( )A(A)对于任意的实数有p1 =p2(B)(D)(C)只对的个别值才有p1 =p24. 设随机变量X1 , X2的分布函数为F1(x),F2(x), 为使F(x)=a F1(x)-bF2(x)是某一随机变量的分布函数,在下面给出的各组数中应取（）.A5. 设随机变量X~N(2, 2), 且P{2<X<4}=0.3, 则P{X<0}=（）D(A)0.5 (B)0.7 (C)0.3 (D)0.2幻灯片5幻灯片6三、解答题●会求待定常数离散型1. 设随机变量X的分布函数为试确定常数a, b的值.【解】由分布函数的右连续性, 可知即解得:a=2/3,b=1/3.幻灯片7●会求离散型随机变量的分布律，分布函数和事件的概率（实质：古典概型）2. 一批零件中有9件正品和3件次品,从中不放回地抽取零件, 求 (1) 在取得正品前已取出次品数X的分布律和分布函数; (2) 概率P{X>2}, P{0.5<X<2}.2. 一批零件中有9件正品和3件次品,从中不放回地抽取零件, 求 (1) 在取得正品前已取出次品数X的分布律和分布函数; (2) 概率P{X>2}, P{0.5<X<2}.【解】【解】(1)的所有可能的取值为0,1,2,3, 且X 0 1 2 30.75 0.204 0.041 0.005幻灯片8●会求离散型随机变量函数的分布律3. 设X的分布律为求Y=cosX的分布律.【解】cosX 0 1 0cosX 0 1P幻灯片9●已知连续型随机变量的概率密度，求待定常数，分布函数和一些事件的概率4. 设连续性随机变量X的概率密度为求 (1) k=? (2) P{1<X<5}, (3)E(3X+5)答 (1) k=1/2 , (2) 1/4, (3) 17/4幻灯片10●已知连续型随机变量的分布函数，求待定常数，概率密度和一些事件的概率5.设X的分布函数为求 c=? ; f(x); P{X<-3}, P{X<1/2},P{X>1/2}, P{X=3},D(X).幻灯片116. 设连续型随机变量X 的分布函数为求:(1)系数A与B;(2)X的概率密度f(x);(3)X的取值落在区间[1,2]内的概率. 幻灯片12解：(1) 由,得A=1又因为X是连续型随机变量,所以F(x)处处连续,故有F(0-0)=F(0),即A+B=0, 所以B=-A= -1故A=1,B= -1 .于是幻灯片13●会求连续型随机变量函数的分布7. 设X的概率密度函数为.求随机变量的概率密度函数【解】Y的分布函数为所以Y的概率密度函数为幻灯片149. 公共汽车车门的高度是按男子与车门碰头的机会在0.01以下来设计的, 设男子身高X (cm) 服从正态分布X~N(170, 36). 问车门的高度应如何确定?若设车门的高度为 h cm,由题意可知解析:由于X~N(170, 6²), 因此查表可知即有, 于是 h=170+6 2.33=183.98(cm)幻灯片1510. 有2500同一年龄段的人参加了人寿保险,每人在1月1日须交保费120元，而在死亡时家属可从保险公司领取20000元赔偿金. 设在一年中每人的死亡率为0.002. 求(1)保险公司亏本的概率；(2)保险公司获利不少于10万元的概率.【答：（1）0.000069；（2）0.9863 】。

2011年考研数学概率论真题与答案--WORD版

2011年概率论考研真题与答案1. （2011年数学一、三）设1()F x 和2()F x 为两个分布函数，其相应的概率密度1()f x 与2()f x 是连续函数，则必为概率密度函数的是_________. 【D 】 A.12()()f x f x B.212()()f x F x C.12()()f x F x D.1221()()()()f x F x f x F x + 解：根据分布函数的性质，1221()()()()0f x F x f x F x +≥1221[()()+()()]f x F x f x F x dx +∞-∞∴⎰12()()F x F x +∞=-∞1=2. （2011年数学一）设随机变量X 与Y 相互独立，且()E X 与()E Y 存在，记{}max ,U X Y =，{}min ,V X Y =，则()E UV =_________. 【B 】A. ()()E U E VB. ()()E X E YC. ()()E U E YD. ()()E X E V 解：因为当X Y ≥时，,U X V Y ==；当X Y <时，,U Y V X ==.所以，UV XY =，于是()()E UV E XY =根据X 与Y 相互独立，所以()()()E UV E X E Y =.3. （2011年数学三）设总体X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布，12,,,(2)n X X X n ≥ 是来自该总体的简单随机样本，则对于统计量1=11n i i T X n =∑和12=1111n in i T X X n n -=+-∑，有__________. 【D 】A. 1212()(),()()E T E T D T D T >>B. 1212()(),()()E T E T D T D T ><C. 1212()(),()()E T E T D T D T <>D. 1212()<(),()()E T E T D T D T < 解： ()X P λ(),()E X D X λλ∴==1=1=111()()()n ni i i i E T E X E X n n λ∴===∑∑12=11111()()(1)11n i n i E T E X X n n n n n nλλλλ-=+=⋅-⋅+⋅=+--∑ 12()()E T E T ∴<122=1=1111()()()n n i i i i D T E X D X n n n n nλλ===⋅⋅=∑∑11222=1=11111()()()()1(1)n n i n i n i i D T D X X D X D X n n n n --=+=+--∑∑ 222111(1)()(1)11n n n n n n n n nλλλλλ=⋅-⋅+⋅=+=+--- 21()()D T D T ∴<4. （2011年数学三）设(,)X Y 服从22(,,,,0)N μμσσ则2()E XY =____. 【22()μσμ+】解：因为(,)X Y 服从二维正态分布，且相关系数为零，则X 与Y 相互独立.22222()()()()[()()]()E XY E X E Y E X D Y E Y μσμ∴=⋅=⋅+=+5. （2011年数学三）且{}221P X Y ==，求: (1) 二维随机变量(,)X Y 的概率分布；(2) Z XY =的概率分布；(3) X 与Y 的相关系数XY ρ.解：（1）由{}221P X Y ==，可得：{}220P X Y ≠={}{}{}0,10,11,00P X Y P X Y P X Y ∴==-=======因此，(,)X Y 的概率分布为（2）显然，Z XY =的可能取值为-1,0,1，由(,)X Y 的概率分布可得：（3）(),(),()0,()393E X D X E Y D Y ====, ()0E XY = (,)()()()0Cov X Y E XY E X E Y ∴=-=0XY ρ==6. （2011年数学一）设12,,,n X X X 是来自正态总体20(,)N μσ的简单随机样本，其中0μ已知，2>0σ，未知. （1）求参数2σ的最大似然估计 2σ；（2）计算 2()E σ和 2()D σ.解：总体的概率密度为: 202()22(;)x f x μσσ--=似然函数为2012()2221()(;)ni i x ni i L f x μσσσ=--=∑==∏两边取对数，得 202212()ln ()ln 22nii xnL n μσσσ=-=--∑关于2σ求导，得2212222()ln ()+22()nii x d L nd μσσσσ=--=∑令22ln ()0,d L d σσ=解得λ的最大似然估计值 22011()ni i x n σμ==-∑ （2） 20(,)i X N μσ(0,1)i X N μσ-∴222002111()()()nni ii i X Xn μμχσσ==-∴=-∑∑20211[()]ni i E Xn μσ=∴-=∑, 20211[()]2ni i D Xn μσ=-=∑于是， 2222220021111()[()]=[()]==n ni i i i E E X E X n n n nσσσμμσσ===--⋅∑∑ 4442220022211112()[()]=[()]=2=n n i i i i D D X D X n n n n nσσσσμμσ===--⋅∑∑ 7. （2011年数学三）设二维随机变量(,)X Y 服从区域G 上的均匀分布，其中G 是由0,2x y x y -=+=以及0y =所围成的三角形区域. 求：（1）X 的概率密度()X f x ；（2）条件概率密度()X Y f x y .解：（1）根据二维均匀分布的定义，(,)X Y 的概率密度为1,(,)(,)0,x y G f x y ∈⎧=⎨⎩其它X 的概率密度为02-010101()(,)112=2-1<200x x X dy x x x f x f x y dy dy x x x +∞-∞⎧≤≤⎪≤≤⎧⎪⎪==<≤≤⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎩⎰⎰⎰其他其他（2） 2-2(1-y)01101()(,)=00y y Y y dx y f y f x y dx +∞-∞⎧≤≤≤≤⎧⎪==⎨⎨⎩⎪⎩⎰⎰其他其他在=(0y 1)Y y ≤≤时，X 的条件概率密度12-(,)2(1-y)()==()0X Y Y y x y f x y f x y f y ⎧≤≤⎪⎨⎪⎩其他。

概率论与数理统计及其应用第二版课后答案浙江大学

字的概率分别为多少？解：设“程序因打字机发生故障而被破坏”记为事件 M ，“程序在 A,B,C 三台打字机上打字”分别记为事件 N1, N2 , N3 。则根据全概率公式有
P(M ) 3 P(Ni )P(M | Ni ) 0.6 0.01 0.3 0.05 0.1 0.04 0.025 ， i 1
63
（1）至少有 1 只配对的概率为1 1 2 。
33
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总结资料
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8，（1）设 P(A) 0.5, P(B) 0.3, P(AB) 0.1, ，求 P(A | B), P(B | A), P(A | A B) , P(AB | A B), P(A | AB) . （2）袋中有 6 只白球，5 只红球，每次在袋中任取 1 只球，若取到33-ຫໍສະໝຸດ -总结资料-
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（2）所求概率为 C42C82 C43C81 C44 201 67 ；
C142
495 165
（3）所求概率为 C74 35 7 。
C142 495 165
6，一公司向 M 个销售点分发 n(n M ) 张提货单，设每张提货单分发给
每一销售点是等可能的，每一销售点得到的提货单不限，求其中某一
P(B) 0.3 3
P( A) 0.5 5
P( A | A B) P[ A( A B)] P( A) 5 ，
P(A B) P(A B) 7
P( AB | A B) P[ AB( A B)] P( AB) 1 ，
P(A B) P(A B) 7
P( A | AB) P[ A( AB)] P( AB) 1。
|
N3)
0.1 0.04 0.025
0.16

2011年高考浙江卷数学详细解析

2011年高考浙江卷数学解析版一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设函数2,0,()()4,0.x x f x f x x α-≤⎧==⎨⎩若,则实数α=（A ）-4或-2 （B ）-4或2 （C ）-2或4 （D ）-2或2 【答案】B【解析】当0≤α时，4,42)(-==-=ααf ；当0>α，4,42)(2===ααf .（2）把复数z 的共轭复数记作z ，i 为虚数单位，若z=1+I,则(1)z z +⋅= （A ）3-i （B ）3+i （C ）1+3i （D ）3 【答案】A【解析】∵i z +=1，∴i z -=1，∴i z z z z -=-+=∙+3)1)(2()1(.(3)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是【答案】D【解析】由正视图可排除A 、B 选项；由俯视图可排除C 选项. （4）下列命题中错误的是（A ）如果平面αβ⊥平面，那么平面α内一定存在直线平行于平面β （B ）如果平面不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β （C ）如果平面αγ⊥平面，平面βγ⊥平面，=l αβ⋂，那么l γ⊥平面（D ）如果平面αβ⊥平面，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 【答案】D【解析】若面⊥α面β，在面α内与面的交线不相交的直线平行平面β，故A 正确；B 中若α内存在直线垂直平面β，则βα⊥，与题没矛盾，所以B 正确；由面⊥面的性质知选项C 正确.（5）设实数,x y 满足不等式组250270,0x y x y x +-⎧⎪+-⎨⎪⎩＞＞≥，y ≥0，若,x y 为整数，则34x y +的最小值是（A ）14 （B ）16 （C ）17 （D ）19 【答案】B【解析】可行域如图所示联立⎩⎨⎧=-+=-+072052y x y x ，解之得⎩⎨⎧==13y x ，又∵边界线为虚线取不到，且目标函数线的斜率为43-，∴当y x z 43+=过点（4，1）时，有最小值16.（6）若02πα＜＜，02πβ-＜＜，1cos()43πα+=，cos()42πβ-=cos()2βα+= （A（B）（C（D）【答案】C【解析】∵31)4cos(=+απ，20πα<<，∴332)4sin(=+απ，又∵33)24cos(=-βπ，02<<-βπ，∴36)24sin(=-βπ，∴)]24()4cos[()2cos(βπαπβα--+=+＝)24sin()4sin()24cos()4cos(βπαπβπαπ-++-+＝363323331⨯+⨯＝935. （7）若,a b 为实数，则“01m ab ＜＜”是11a b b a＜或＞的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当0,0>>b a 时，由10<<ab 两边同除b 可得ba 1<成立；当0,0<<b a 时，两边同除以a 可得a b 1>成立，∴“10<<ab ”是“b a 1<或a b 1>”的充会条件，反过来0<ab ，由b a 1<或a b 1>得不到10<<ab .（8）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=＞＞与双曲线221:14y C x -=有公共的焦点，2C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于,A B 两点，若1C 恰好将线段AB 三等分，则（A ）2132a =（B ）213a = （C ）212b = （D ）22b = 【答案】 C【解析】由双曲线422y x -＝1知渐近线方程为x y 2±=，又∵椭圆与双曲线有公共焦点，∴椭圆方程可化为22x b ＋()225y b +＝()225b b +，联立直线与椭圆方程消y 得，()20552222++=b b b x，又∵1C 将线段AB 三等分，∴()3220552212222a b b b =++⨯+，解之得212=b .（9）有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本.若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率[ （A ）15 （B ）25 （C ）35 D 45【答案】B【解析】由古典概型的概率公式得522155222233232222=+-=A A A A A A A P .（10）设a ，b ，c 为实数，)1)1()(),)(()(22+++=+++=bx cx ax x g c bx x a x x f （.记集合S=()0,,()0,,x f x x R T x g x x R =∈==∈若S ，T 分别为集合元素S ，T 的元素个数，则下列结论不可能．．．的是（A ）S =1且T =0 （B ）1T =1S =且（C ）S =2且T =2 （D ）S =2且T =3 【答案】C【解析】当0===c b a 时，1=s 且 0||=T ；当0,0≠=b a 且042<-c b 时，1=s 且1||=T ；当04,02>-≠a b a 时，2=s 且3||=T .非选择题部分（共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分（11）若函数2()f x x x a =-+为偶函数，则实数a = 。

概率论模拟试题及答案

模拟试题一一、填空题（每空3分，共45分）1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = 。

P( A ∪B) = 。

2、设事件A 与B 独立，A 与B 都不发生的概率为19，A 发生且B 不发生的概率与B发生且A 不发生的概率相等，则A 发生的概率为：；3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率：；没有任何人的生日在同一个月份的概率；4、已知随机变量X 的密度函数为：,0()1/4,020,2x A e x x x x ϕ⎧<⎪=≤<⎨⎪≥⎩, 则常数A= , 分布函数F (x )= , 概率{0.51}P X -<<= ； 5、设随机变量X~ B(2，p)、Y~ B(1，p)，若{1}5/9P X ≥=，则p = ，若X 与Y 独立，则Z=max(X,Y)的分布律：； 6、设~(200,0.01),~(4),X B Y P 且X 与Y 相互独立，则D(2X-3Y)= , COV(2X-3Y , X)= ；7、设125,,,X X X 是总体~(0,1)X N 的简单随机样本，则当k = 时，~(3)Y t =；8、设总体~(0,)0X U θθ>为未知参数，12,,,n X X X 为其样本，11ni i X X n==∑为样本均值，则θ的矩估计量为：。

9、设样本129,,,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ，计算得样本观察值10x =，求参数a 的置信度为95%的置信区间：；二、计算题（35分）1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为：1,02()20,x x x ϕ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它求：1）{|21|2}P X -<；2）2Y X =的密度函数()Y y ϕ；3）(21)E X -； 2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为1/4,||,02,(,)0,y x x x y ϕ<<<⎧=⎨⎩其他1）求边缘密度函数(),()X Y x y ϕϕ； 2）问X 与Y 是否独立？是否相关？ 3）计算Z = X + Y 的密度函数()Z z ϕ；3、（11分）设总体X 的概率密度函数为： 1,0(),000xe x x x θϕθθ-⎧≥⎪=>⎨⎪<⎩X 1,X 2,…,X n 是取自总体X 的简单随机样本。

概率论考试题及答案

概率论考试题及答案概论：概率是研究不确定性的数学工具，通过数量化分析来描述事件发生的可能性。

在概率论考试中，学生需要掌握概率的基本概念、计算方法和应用技巧。

下面是一些概率论考试题及其答案，供大家参考和学习。

题目一：某班级有60位学生，其中30人喜欢足球，40人喜欢篮球。

随机选择一位学生，求他既喜欢足球又喜欢篮球的概率。

解答一：根据题意，先确定喜欢足球和篮球的学生人数分别为30人和40人。

选择一位学生，他既喜欢足球又喜欢篮球的情况相当于从这60人中选出的人。

根据概率计算的基本原理，该事件发生的概率为既喜欢足球又喜欢篮球的人数除以总人数。

因此，概率为(30+40-60)/60=10/60=1/6。

题目二：一个箱子里有5只红球和3只绿球，从中不放回地依次摸两只球，求摸到一只红球和一只绿球的概率。

解答二：根据题意，有5只红球和3只绿球，共8只球。

依次摸两只球，求摸到一只红球和一只绿球的概率。

首先，第一次摸出红球的概率为5/8，然后第二次摸出绿球的概率为3/7，因为第二次时箱子里还剩下7只球，其中3只是绿球。

所以，摸到一只红球和一只绿球的概率为(5/8)*(3/7)=15/56。

题目三：有一批产品，其中10%有缺陷。

现在随机抽取5个产品进行检查，如果其中有缺陷品，则该批产品被判定为不合格。

求该批产品被判定为不合格的概率。

解答三：根据题意，产品有10%的概率有缺陷，因此没有缺陷的概率为90%。

抽取5个产品进行检查，其中有缺陷品的概率为(0.1)*(0.9)^4*(5!)/(1!*(5-1)!)=0.32805。

所以，该批产品被判定为不合格的概率为0.32805。

以上是几道概率论考试题目及其答案。

通过这些例题的学习，我们可以更好地理解概率论的概念和应用，为概率论考试做好准备。

在复习过程中，可以结合课本上的知识点进行深入学习，并通过大量的练习题提升自己的计算能力。

祝大家考试顺利！。

2011年4月全国自学考试概率论与数理统计(二)试题及答案

全国2011年4月自学考试概率论与数理统计（二）试题和答案 1全国2011年4月自学考试概率论与数理统计（二）试题和答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．设A , B , C , 为随机事件, 则事件“A , B , C 都不发生”可表示为（） A ．C B A B ．C B A C ．C B AD ．C B A 2．设随机事件A 与B 相互独立, 且P (A )=51, P (B )=53, 则P (A ∪B )= ( ) A ．253B ．2517C ．54D ．25233．设随机变量X ~B (3, 0.4), 则P {X ≥1}= ( ) A ．0.352 B ．0.432 C ．0.784D ．0.9364．已知随机变量X 的分布律为 , 则P {-2＜X ≤4}= ( ) A ．0.2 B ．0.35 C ．0.55D ．0.85．设随机变量X 的概率密度为4)3(2e2π21)(+-=x x f , 则E (X ), D (X )分别为 ( )A ．2,3- B ．-3, 2 C ．2,3D ．3, 26．设二维随机变量 (X , Y )的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤=,,0,20,20,),(其他y x c y x f 则常数c = ( )A ．41 B ．21C ．2D ．47．设二维随机变量 (X , Y )~N (-1, -2；22, 32；0), 则X -Y ~ ( ) A ．N (-3, -5)B ．N (-3,13)全国2011年4月自学考试概率论与数理统计（二）试题和答案2C ．N (1,13) D ．N (1,13)8．设X , Y 为随机变量, D (X )=4, D (Y )=16, Cov (X ,Y )=2, 则XY ρ=( ) A ．321 B ．161 C ．81D ．419．设随机变量X ~2χ(2), Y ~2χ(3), 且X 与Y 相互独立, 则3/2/Y X ~ ( )A ．2χ (5)B ．t (5)C ．F (2,3)D ．F (3,2)10．在假设检验中, H 0为原假设, 则显著性水平α的意义是 ( ) A ．P {拒绝H 0|H 0为真} B ．P {接受H 0|H 0为真} C ．P {接受H 0|H 0不真}D ．P {拒绝H 0|H 0不真}二、填空题 (本大题共15小题, 每小题2分, 共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。

2011概率论与数理统计习题解答2

mk m m p k (1 p ) m k e m! mk k k let t m k 1 t ( p ) (1 p ) e t 0 t ! k!

因此， X ~ Poi( p) 。
a bk a !b ! 种排法。所以 b 1
a bk a bk a !b ! b 1 b 1 P( X k ) , k 1, 2, (a b)! a b b
, a 1。
2. 掷一个不均匀的硬币，正面出现的概率为 p (0 p 1) 。以 X 表示直至两个面都出现时的试验次数。求 X 的分布列。解：设 H k 表示事件 “第 k 次掷得正面” ，H k 表示 “第 k 次掷得反面” ，k 1, 2, 假定每次掷硬币的试验都相互独立。则。
P( X 4)
4
4!
e ,
P( X 3)
3
3!
e 。
由 P( X 4) P( X 3) 知， 4 。因此，
P( X 1) 1 P( X 0) P( X 1) 1
0
0!
e

1
e 1 5e4 0.9084. 1 ！
2 2 p (1 p) .
P( X 2m 1) P({ X 2m 1}W1 ) P({ X 2m 1}W1 ) P
m j 1
(W2 j 1W2 j )W2 m 1 P
m m m
m j 1
(W2 j 1W2 j )W2 m 1
用 Poisson 分布近似计算。令 Y n X ~ B(n, q) ，其中 q 0.3 。记 nq 6 ，则

2011年7月高等教育自学考试概率论与数理统计（二）试题及答案（试卷+答案）

2011年7⽉⾼等教育⾃学考试概率论与数理统计（⼆）试题及答案（试卷+答案）全国2011年7⽉⾼等教育⾃学考试概率论与数理统计（⼆）试题⼀、单项选择题（本⼤题共10⼩题，每⼩题2分，共20分） 1. 设A={2，4，6，8}，B={1，2，3，4}，则A-B=（）A. {2，4}B. {6，8}C. {1，3}D. {1，2，3，4}2. 已知10件产品中有2件次品，从这10件产品中任取4件，没有取出次品的概率为（） A. 15B. 14C. 31D. 123. 设事件A ，B 相互独⽴，()0.4,()0.7,P A P A B =?=，则()P B =（）A. 0.2B. 0.3C. 0.4D. 0.54. 设某试验成功的概率为p ，独⽴地做5次该试验，成功3次的概率为（）A. 35CB. 3325(1)Cpp - C. 335C pD. 32(1)p p -5. 设随机变量X 服从[0，1]上的均匀分布，Y=2X-1，则Y 的概率密度为（）A. 1,11,()2,Y y f y ?-≤≤?=其他B. 1,11,()0,,Y y f y -≤≤?=?其他C. 1,01,()20,,Y y f y ?≤≤?=其他D. 1,01,()0,,Y y f y ≤≤?=?其他6. 设⼆维随机变量（X ，Y ）的联合概率分布为（）则c=A.112 B.16C. 14 D.137. 已知随机变量X的数学期望E(X)存在，则下列等式中不恒成⽴的是（）A. E[E(X)]=E(X)B. E[X+E(X)]=2E(X)C. E[X-E(X)]=0D. E(X2)=[E(X)]28. 设X为随机变量2()1,()19E X E XP{|X-10|≥6}≤（）A. 14 B.518C. 34 D.109369. 设0，1，0，1，1来⾃X～0-1分布总体的样本观测值，且有P{X=1}=p，P{X=0}=q，其中0的矩估计值为（）A. 1/5B. 2/5C. 3/5D. 4/510. 假设检验中，显著⽔平α表⽰（）A. H0不真，接受H0的概率B. H0不真，拒绝H0的概率C. H0为真，拒绝H0的概率D. H0为真，接受H0的概率⼆、填空题（本⼤题共15⼩题，每⼩题2分，共30分）请在每⼩题的空格中填上正确答案。

2011年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学(二)》试卷答案解析

2011年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（二）》参考答案选择题部分一、选择题: 本大题共5小题,每小题4分,共 20分。

1.A 解析: 由于2arctanxy +=π，所以)tan(2π-=y x ，因此)tan(2π-=x y ，由因为2arctan x 的值域为)2,2(ππ-，所以232arctan 2πππ<+<x ，因此定义域为⎪⎭⎫⎝⎛∈23,2ππx ，故选项A 正确。

2.C 解析: 数列极限的定义为：⇔=∞→a x n n lim 对于0>∀ε，存在正整数N ，当N n ≥时，有ε<-a x n ，故选项C 正确。

3.C 解析: 由题意可知，因为022<dx fd ，所以dxdf 单调递减，根据拉格朗日中值定理可得，)(01)0()1(ξf f f '=--，()1,0∈ξ，所以01)0()1(==<-<x x dxdf f f dx df ，因此选项C 正确。

4.D 解析:⎰-+=22 42cos 1sin ππxdx x x M ，因为x xx 42cos 1sin +为奇函数，所以0=M ， 083221432cos 2cos )cos (sin 2042242243>=⋅⋅⋅===+=⎰⎰⎰--πππππππxdx xdx dx x x N ， 083221432cos 2cos )cos sin (20422422 432<-=⋅⋅⋅-=-=-=-=⎰⎰⎰--πππππππxdx xdx dx x x x P ，所以P M N >>5.B 解析: 直线L 为：⎩⎨⎧=+--=+++031020123z y x z y x ，→→→→→→→-+-=--=k j i k j i n 714281122311，所以)7,14,28(1--=→n ，平面π为0224=-+-z y x ，)1,2,4(2-=→n ，因为→1n 与→2n 成比例，所以→→⊥21n n ，所以L 垂直于π，故选项C 正确。

数学_2011年浙江省高考数学模拟试卷(含答案)

2011年浙江省高考数学模拟试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．1. 已知集合A ={y|y =2x +1x }，集合B ={x|y =√x +3}，则A ∩B =( )A x|x ≥2B x|x ≥−3C {x|−3≤x ≤−2√2或x ≥2√2}D {x|−3≤x ≤2√2} 2. 有10道题，已知答对得4分，答错倒扣2分，假设每题都做，每题做对的概率为14且互相独立，要使这10题的平均得分不低于20分，则起始分的最小值为（） A 15 B 20 C 25 D 303. 在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别是a ，b ，c ，且1+tanA tanB=2c b，则∠A =( )A π6 B π3 C π4 D π24. 在正四面体ABCD 中，E ，F ，G 分别为AB ，CD ，BC 的中点，则直线EF 与直线AG 所成角的余弦值为（） A √66 B √33 C√306 D √635. 已知抛物线C:y 2=4x 的焦点为F ，过F 作直线与C 交于AB （斜率大于0），A ，B 在C 的准线上的射影分别为C ，D ，且|AC|=3|BD|，则此直线的倾斜角为（） A 15∘ B 30∘ C 45∘ D 60∘6. a 1→，a 2→，a 3→为单位向量，则命题a 1→=a 2→=a 3→=(√33, √63)是命题a 1→+a 2→+a 3→=(√3,√6)的（）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 7. 已知已知a +lga =10，b +10b =10，则a +b =( ) A 5 B 10 C 15 D 208. 根据程序框图，若输出y 的值是4，则输入的实数x 的值为（）A 1B −2C 1或2D 1或−29. 已知数列{a n }满足a 1=1，a 2=2，a n+2=(1+cos 2nπ2)a n +sin 2nπ2，则∑a i 20i=1=()A 2010B 2056C 2101D 201110. 试根据复合函数的求导法则，研究函数f(x)=x x (x >0)的性质，并回答：下列命题中假命题的个数是（） ①f(x)的极大值为1；②f(x)的极小值为1；③f(x)的一个单调递增区间是(110，10)．A 0B 1C 2D 3二、填空题：本大题7小题，每小题4分，共28分． 11. 已知复数z =i+i 2+i 3+⋯+i 20113−2i，则z =________．12. 已知△ABC 的外接圆的圆心为O ，AB =2，AC =3，BC =√7，则OA →⋅BC →=________．13. 如图，是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是________．14. 已知函数f(x)=lnx −ax ．若f(x)<x 2在(1, +∞)上恒成立，则a 的取值范围是________．15. 已知双曲线C ：x 22−y 2b 2=1(b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，P ，M 为C 上任意点，∠F 1PF 2=π2，S △PF 1F 2=1，N(32，1)，则√63|MF 2|+|MN|的最小值为________．16. 已知等差数列{a n }公差为2，首项为1，则∑a i 2011i=1⋅C 2011i=________．17. 一条项链上串有按A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H 顺序排列的宝石，今要选取上面的8颗宝石，分两次完成，要求每次只能取4颗，且取出的宝石至多两颗相邻（如A ，B ，E ，F ），则有________种取法（用数字回答）．三、解答题：本大题共5小题，满分72分．18. 已知向量m →=(coswx,sinwx)，n →=(coswx,√3coswx)，设函数f(x)=m →⋅n →+1且f(x)的最小正周期为2π．（1）求f(x)的单调递增区间和最值；（2）已知函数g(x)=tanx−tan 3x1+2tan 2x+tan 4x ，求证：f(x)>g(x)． 19. 已知数列{a n }满足∑i n i=1⋅a i =i ．（1）求a n 的通项公式；（2）若b n =2na n，求b n 的前n 项和S n ；（3）若c n =a nn．求证：1−12n <∑c i n i=1<2(n >4)．20. 如图，在三棱柱△ABC−A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，已知BC=1，BB1=2，∠BCC1=π3（1）求证：C1B⊥平面ABC；（2）试在棱CC1（不包含端点C，C1上确定一点E的位置，使得EA⊥EB1（要求说明理由）．（3）在（2）的条件下，若AB=√2，求二面角A−EB1−A1的平面角的正切值．21. 已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，过F2的直线l1与C1交于A，B两点，且△ABF1的周长为4√2，l1的倾斜角为α．（I）当l1垂直于x轴时，|AF2|+|BF2|=2√2|AF2|⋅|BF2|①求椭圆C1的方程；②求证：对于∀α∈[0, π)，总有|AF2|+|BF2|=2√2|AF2|⋅|BF2|．（II）在(I)的条件下，设直线l2与椭圆交于C，D两点，且OC⊥OD，过O作l2的垂线交l2于E，求E的轨迹方程C2，并比较C2与C1通径所在直线的位置关系．22. 已知函数f(x)=2aln(1+x)−x(a>0)．（1）求f(x)的单调区间和极值；（2）求证：4lge+lge2+lge3+⋯+lgen>lge(1+n)nn n(n+1)(n∈N∗)．2011年浙江省高考数学模拟试卷答案1. C2. C3. B4. A5. D6. C7. B8. D9. C10. D11. −3+2i1312. −5213. √36π14. [−1, +∞)15. 9−4√3616. 2010⋅22011+1 17. 2918. 解：（1）f(x)=sin(2wx +π6)+32，T =2π2w=2π⇒w =12，∴ f(x)=sin(x +π6)+32，由 2kπ−π2≤x +π6≤2kπ+π2⇒2kπ−23π≤x ≤2kπ+π3，故f(x)的单调递增区间为[2kπ−23π，2kπ+π3]，k ∈Z ．当x =π3+2kπ，k ∈Z 时，f(x)max =52．当x =43π+2kπ，k ∈Z 时，f(x)min =12．（2）g(x)=tanx(1−tan 2x)(1+tan 2x)2=122tanx 1+tan 2x 1−tan 2x 1+tan 2x=122sinxcosx sin 2x+cos 2x cos 2x−sin 2x sin 2x+cos 2x=12sin2xcos2x =14sin4x ．故g(x)max =14，由（1）可知f(x)min =12，故f(x)min >g(x)max ，故f(x)>g(x)．19. 解：（1）当n ≥2时，na n =∑i n i=1⋅a i −∑i n−1i=1⋅a i =1⇒a n =1n当n =1时，a 1=1成立，故a n =1n（2）b n =n ⋅2n S n =1⋅21+2⋅22+3⋅23+...+n ⋅2n ① 2S n =1⋅22+2⋅23+3⋅24+...+(n −1)⋅2n +n ⋅2n+1② 由①-②得，−S n =21+22+23++2n−n ⋅2n+1=2(1−2n )1−2−n ⋅2n+1=(1−n)⋅2n+1−2故S n =(n −1)⋅2n+1+2 （3）证明：c n =1n 2令f(x)=2x −x 2f′(x)=2x ln2−2x ，又ln2>ln √e =12 故f′′(x)=2x (ln2)2−2≥f′′(5)>0故f′(x)在[5, +∞)上单调递增，故f′(x)≥f′(5)>0 故f(x)在[5, +∞)上单调递增，故f(x)≥f(5)=7>0 故当n >4时，2n >n 2恒成立，即12n<1n 2故∑c i n i=1>∑12i ni=1=1−12n又1n 2<1n(n−1)=1n−1−1n故∑c i n i=1<1+1−12+12−13+⋯+1n−1−1n =2−1n <2 综上可得，1−12n <∑c i n i=1<2(n >4)20. 解：（1）证明：因为AB ⊥侧面BB 1C 1C ，所以AB ⊥BC 1，在△BCC 1中有BC =1，BB 1=2，∠BCC 1=π3所以由余弦定理可得：BC 1=√1+4−2×2×cos π3=√3．故有 BC 2+C 1B 2=C 1C 2，所以C 1B ⊥BC ．又因为BC ∩AB =B ，且AB ，BC ⊂平面ABC ，所以C 1B ⊥平面ABC ．（2）以BA 为z 轴，BC 为x 轴，BC′为y 轴，建立空间直角坐标系，所以B(0, 0, 0)，C(1, 0, 0)，C′(0,√3，0)，B′(−1,√3，0)设E(x, y, 0)，A(0, 0, m)，所以CC′→=(−1,√3,0)，CE →=(x −1,y,0)，设CE →=λCC′→则E(1−λ,√3λ，0)(0<λ<1)故AE →=(1−λ,√3λ,−m)，B′E →=(2−λ,√3(1−λ)，0) 故AE →⋅B′E →=4λ2−6λ+2=0⇒λ=1（舍）或λ=12故E 为CC′中点．（3）由题设得，A(0,0,√2)，A′(−1,√3,√2)，E(12，√32，0)，所以AE →=(12,√32,−√2)，B′E→=(32,−√32,0) 设平面AEB′的一个法向量为n 1→=(x,y,z)，平面A′B′E 的一个法向量为n 2→，所以{B′E →⋅n 1→=32x −√32y =0˙令x =1，故n 1→=(1,√3,√2)，同理n 2→=(1,√3,0) 所以cos <n 1→，n 2→>=|n 1→|⋅|n 2→|˙=√6×2=√63故cosθ=√63，sinθ=√33故tanθ=√22，即二面角A −EB 1−A 1的平面角的正切值为√22．21. 解：(I)①由题意可得，4a =4√2⇒a =√2 当斜率不存在时，l 1:x =c 1|AF 2|+1|BF 2|=2a b 2=2√2b 2=2√2⇒b =1故C 1：x 22+y 2=1，②当α≠π2时，设l 1:y =k(x −1)，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2) 由焦半径公式可得，|AF 2|=√2−√22x 1，|BF 2|=√2−√22x 2故1|AF 2|+1|BF 2|=4√2−√2(x 1+x 2)4−2(x1+x 2)+x 1x 2，{y =k(x −1)x 2+2y 2=2⇒(1+2k 2)x 2−4k 2x +2k 2−2=0{x 1+x 2=4k 21+2k 2x 1x 2=2k 2−21+2k 2，故1|AF 2|+1|BF 2|=4√2−4√2k 21+2k 24−8k 21+2k 2+2k 2−21+2k 2=4√2+4√2k 22k 2+2=2√2故|AF 2|+|BF 2|=2√2|AF 2|⋅|BF 2|成立当α=π2时，由题意成立故对于∀α∈[0, π)，总有|AF 2|+|BF 2|=2√2|AF 2|⋅|BF 2|．（II ）当斜率存在时，设l 2:y =tx +b ，C(x 3, y 3)，D(x 4, y 4)OC →⋅OD →=x 3x 4+y 3y 4=(t 2+1)x 3x 4+tb(x 3+x 4)+b 2{y =tx +bx 2+2y 2=2⇒(1+2t 2)x 2+4tbx +2b 2−2=0， △>0⇒2t 2−b 2+1>0{x 3+x 4=−4tb 1+2t 2x 3x 4=2b 2−21+2t 2故OC →⋅OD →=−2t 2+3b 2−21+2t 2=0⇒3b 2−2=2t 2，原点O 到l 2的距离为d =√1+t2=√32b 2=√23为定值故E 的轨迹方程为x 2+y 2=23(y ≠0)，当斜率不存在时，解得C(√23，0)，D(−√23,0)或C(−√23，0)，D(√23,0)均在E 上综上可得，E 的轨迹方程C 2为x 2+y 2=23，C 1通径所在的方程为x =±1 故两者相离．22. 解：（1）定义域为(−1, +∞)f′(x)=2a 1+x−1令f ′(x)>0⇒−1<x <2a −1，令f ′(x)<0⇒x >2a −1 故f(x)的单调递增区间为(−1, 2a −1) f(x)的单调递减区间为(2a −1, +∞) f(x)的极大值为2aln2a −2a +1 （2）证：要证4lge +lge 2+lge 3++lge n>lge(1+n)n n n(n +1)即证4+12+13++1n >lge (1+n)nn n (n+1)lge即证4+12+13++1n >lne(1+n)n n n(n +1)即证1+12+13++1n+3>ln(n+1)+(1+1n)n令a=12，由（1）可知f(x)在(0, +∞)上递减故f(x)<f(0)=0即ln(1+x)<x令x=1n(n∈N∗)故ln(1+1n )=ln n+1n=ln(n+1)−lnn<1n累加得，ln(n+1)<1+12+13++1nln(1+1n)<1n⇒ln(1+1n)n<1⇒(1+1n)n<e<3故1+12+13++1n+3>ln(n+1)+(1+1n)n，得证。

数学_2011年浙江省杭州市高考数学二模试卷(理科)(含答案)

2011年浙江省杭州市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分） 1. 设函数f(x)={√x ，x ≥0√−x ，x <0，若f(a)+f(−1)=2，则a =( )A −3B ±3C −1D ±12. 设a ，b ，c 是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则a ⊥b 的一个充分条件为（）A a ⊥c ，b ⊥cB α⊥β，a ⊂α，b ⊂βC a ⊥α，b // αD a ⊥α，b ⊥α3. 6名同学安排到3个社区A ，B ，C 参加志愿者服务，每个社区安排两名同学，其中甲同学必须到A 社区，乙和丙同学均不能到C 社区，则不同的安排方法种数为（） A 12 B 9 C 6 D 54. 已知非零向量a →、b →满足|a →+b →|=|a →−b →|=2√33|a →|，则a →+b →与a →−b →的夹角为（）A 30∘B 60∘C 120∘D 150∘5. 若正实数a ，b 满足a +b =1，则（）A 1a +1b 有最大值4B ab 有最小值14C √a +√b 有最大值√2D a 2+b 2有最小值√22 6. 已知tan(α+π4)=12，且−π2<α<0，则2sin 2α+sin2αcos(α−π4)等于( )A −2√55 B −3√510 C −3√1010 D 2√557. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果是8，则判断框内m 的取值范围是（）A（30,42］B（42,56］C（56,72］D（30,72）8. 体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p (p ≠0)，发球次数为X ，若X 的数学期望E(X)>1.75，则p 的取值范围是（）A (0, 712) B (712, 1) C (0, 12) D (12, 1)9. 已知双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为H ，若F 2H 的中点M 在双曲线C 上，则双曲线C 的离心率为( ) A √2 B √3 C 2 D 310. 已知函数f(x)=x 3−3x +1，x ∈R ，A ={x|t ≤x ≤t +1}，B ={x||f(x)|≥1}，集合A ∩B 只含有一个元素，则实数t 的取值范围是（） A {0,√3−1} B [0,√3−1] C (0,√3−1] D (0,√3−1)二、填空题（共7小题，每小题4分，满分28分） 11. 已知i 是虚数单位，z =√3+i1−√3i，则|z|=________．12. 如图是某赛季甲乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲乙两人比赛得分的中位数之和是________．13. 设(2x −1)5+(x +2)4=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5，则|a 0|+|a 2|+|a 4|=________．14. 如果以抛物线y 2=4x 过焦点的弦为直径的圆截y 轴所得的弦长为4，那么该圆的方程是________．15. 一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的外接球的表面积为________．16. 设实数x ，y 满足不等式组{2x −y −1≥04x −y −6≤02x +y −k −2≥0，且4x 2+y 2的最小值为m ，当9≤m ≤25时，实数k 的取值范围是________．17. 由数字1，2，3，4，5，6，7组成一个无重复数字的七位正整数，从中任取一个，所取的数满足首位为1且任意相邻两位的数字之差的绝对值不大于2的概率等于1380．三、解答题（共5小题，满分72分）18. 已知函数f(x)=cos 2ωx +2√3cosωxsinωx −sin 2ωx(ω>0, x ∈R)图象的两相邻对称轴间的距离为π2．（1）求ω的值；（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a=√3，f(A)=1，求b+c的最大值．19. 已知正项数列{a n}，{b n}满足：对任意正整数n，都有a n，b n，a n+1成等差数列，b n，a n+1，b n+1成等比数列，且a1=10，a2=15．(1)求证：数列{√b n}是等差数列；(2)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(3)设S n=1a1+1a2+⋯+1a n，如果对任意正整数n，不等式2aS n<2−b na n恒成立，求实数a的取值范围．20. 如图1，在平面内，ABCD是∠BAD=60∘，且AB=a的菱形，ADD′′A1和CD D′C1都是正方形．将两个正方形分别沿AD，CD折起，使D′′与D′重合于点D1．设直线l 过点B且垂直于菱形ABCD所在的平面，点E是直线l上的一个动点，且与点D1位于平面ABCD同侧（图2）．(I)设二面角E−AC−D1的大小为θ，若π4≤θ≤π3，求线段BE长的取值范围；(II)在线段D1E上存在点P，使平面PA1C1 // 平面EAC，求D1PPE与BE之间满足的关系式，并证明：当0<BE<a时，恒有D1PPE<1．21. 已知直线(1+3m)x−(3−2m)y−(1+3m)=0(m∈R)所经过的定点F恰好是椭圆C 的一个焦点，且椭圆C上的点到点F的最大距离为3．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点，若125≤|FA|⋅|FB|≤187，求直线l的斜率的取值范围．22. 已知函数f(x)=12x2+(a−3)x+lnx．（1）若函数f(x)是定义域上的单调函数，求实数a的最小值；（2）在函数f(x)的图象上是否存在不同两点A(x1, y1)，B(x2, y2)，线段AB的中点的横坐标为x0，直线AB的斜率为k，有k=f′(x0)成立？若存在，请求出x0的值；若不存在，请说明理由．2011年浙江省杭州市高考数学二模试卷（理科）答案1. D2. C3. B4. B5. C6. A7. B8. C9. A 10. D 11. 1 12. 64 13. 11014. (x −32)2+(y ±1)2=25415.289π416. [√17−2，5] 17. 136018. 解：（1）f(x)=cos 2ωx +2√3cosωxsinωx −sin 2ωx =cos2ωx +√3sin2ωx =2sin(2ωx +π6)．∵ f(x)图象的两条相邻对称轴间的距离为π2，∴ f(x)的最小正周期T =π．∴ 2π2ω=π．∴ ω=1．（2）由f(A)=2sin(2A +π6)=1，得sin(2A +π6)=12． ∵ 0<A <π，∴ π6<2A +π6<13π6．∴ 2A +π6=5π6．∴ A =π3．由余弦定理，得a 2=b 2+c 2−2bccosA ，因此，3=b 2+c 2−bc =(b +c)2−3bc ≥(b +c)2−34(b +c)2=14(b +c)2．∴ (b +c)2≤12．于是，当b =c 即△ABC 为正三角形时，b +c 的最大值为2√3．19. (1)证明：由已知，得2b n =a n +a n+1①，a n+12=b n ⋅b n+1②．由②得a n+1=√b n b n+1③．将③代入①得，对任意n ≥2，n ∈N ∗，有2b n =√b n−1b n +√b n b n+1．即2√b n =√b n−1+√b n+1． ∴ {√b n }是等差数列．(2)解：设数列{√b n }的公差为d ，由a 1=10，a 2=15．经计算，得b 1=252,b 2=18．∴ √b 1=52√2,d =√b 2−√b 1=3√2−52√2=√22． ∴ √b n =52√2+(n −1)⋅√22=√22(n +4)．∴ b n =(n+4)22，a n =(n+3)(n+4)2．(3)解：由(1)得1a n=2(n+3)(n+4)=2(1n+3−1n+4)．∴ S n =2[(14−15)+(15−16)+⋯+(1n+3−1n+4)]=2(14−1n+4)．不等式2aS n <2−b n a n化为4a(14−1n+4)<2−n+4n+3．即(a −1)n 2+(3a −6)n −8<0．设f(n)=(a −1)n 2+(3a −6)n −8，则f(n)<0对任意正整数n 恒成立．当a −1>0，即a >1时，不满足条件；当a −1=0，即a =1时，满足条件；当a −1<0，即a <1时，f(n)的对称轴为x =−3(a−2)2(a−1)<0，f(n)关于n 递减，因此，只需f(1)=4a −15<0．解得a <154，∴ a <1．综上，a ≤1．20. 解：设菱形ABCD 的中心为O ，以O 为原点，对角线AC ，BD 所在直线分别为x ，y 轴，建立空间直角坐标系如图．设BE =t(t >0)．(I)A(√32a ，0，0)，C(−√32a,0,0)，D 1(0,−a 2,a)，E(0,a 2,t)．AD 1→=(−√32a,−a 2,a)，AC→=(−√3a,0,0)，设平面D 1AC 的法向量为n 1→=(x 1,y 1,1)，则{n 1→⋅AC →=0˙⇒{−√32ax 1−a2y 1+a =0−√3ax 1=0⇒{x 1=0y 1=2∴ n 1→=(0,2,1)． AE →=(−√32a,a 2,t)，设平面EAC 的法向量为n 2→=(x 2,y 2,−1)，则{n 2→⋅AC →=0˙⇒{−√32ax 2+a2y 2−t =0−√3ax 2=0⇒{x 2=0y 2=2t a∴ n 2→=(0,2t a,−1)．设二面角E −AC −D 1的大小为θ，则cosθ=|n 1→||n 2→|˙=√20t 2+5a 2，∵ cosθ∈[12，√22]，∴ 12≤√20t 2+5a2≤√22，解得8+5√322a ≤t ≤3a 2．所以BE 的取值范围是[8+5√322a, 3a2]． (II)设D 1P →=λPE →，则P(0,a2⋅λ−1λ+1，λt+a1+λ)．∵ A 1(√32a,0,a)，∴ A 1P →=(−√32a,a 2⋅λ−1λ+1,λt−aλ1+λ)．由平面PA 1C 1 // 平面EAC ，得A 1P // 平面EAC ，∴ A 1P →⋅n 2→=0．∴ t ⋅λ−1λ+1−λt−aλ1+λ=0，化简得：λ=ta(t ≠a)，即所求关系式：D 1P PE=BE a(BE ≠a)．∴ 当0<t <a 时，D 1PPE <1．即：当0<BE <a 时，恒有D 1PPE <1．21. 解：（1）由(1+3m)x −(3−2m)y −(1+3m)=0得(x −3y −1)+m(3x +2y −3)=0，由{x −3y −1=03x +2y −3=0，解得F(1, 0)．设椭圆C 的标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，则{c =1a +c =3a 2=b 2+c 2解得a =2,b =√3，c =1，从而椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1．（2）过F 的直线l 的方程为y =k(x −1)，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，由{y =k(x −1)x 24+y 23=1，得(3+4k 2)x 2−8k 2x +4k 2−12=0，因点F 在椭圆内部必有△>0，有{x 1+x 2=8k 23+4k 2x 1x 2=4k 2−123+4k 2， ∴ |FA|⋅|FB|=(1+k 2)|(x 1−1)(x 2−1)|=(1+k 2)|x 1x 2−(x 1+x 2)+1|=9(1+k 2)3+4k 2由125≤9(1+k 2)3+4k 2≤187，得1≤k 2≤3，解得−√3≤k ≤−1或1≤k ≤√3，∴ 直线l 的斜率的取值范围为[−√3，−1]∪[1,√3]． 22. 解：（1）f /(x)=x +a −3+1x (x >0)．若函数f(x)在(0, +∞)上递增，则f′(x)≥0对x >0恒成立，即a ≥−(x +1x )+3对x >0恒成立，而当x >0时，−(x +1x )+3≤−2+3=1． ∴ a ≥1．若函数f(x)在(0, +∞)上递减，则f′(x)≤0对x >0恒成立，即a ≤−(x +1x )+3对x >0恒成立，这是不可能的．综上，a ≥1． a 的最小值为1．（2）假设存在，不妨设0<x 1<x 2.k =f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2=12x 12+(a−3)x 1+lnx 1−12x 22−(a−3)x 2−lnx 2x 1−x 2=x 0+(a −3)+lnx 1x 2x1−x 2．f /(x 0)=x 0+(a −3)+1x 0．若k =f′(x 0)，则lnx 1x 2x 1−x 2=1x 0，即lnx 1x 2x1−x 2=2x1+x 2，即ln x 1x 2=2x 1x 2−2x 1x 2+1．(∗)令t =x 1x 2，u(t)=lnt −2t−2t+1(0<t <1)，则u′(t)=(t−1)2t(t+1)2>0．∴ u(t)在0<t <1上是增函数，∴ u(t)<u(1)=0，∴ (∗)式不成立，与假设矛盾．∴ k ≠f′(x 0)．因此，满足条件的x 0不存在．。

高考数学试题解析分项版专题12 概率理

2011年高考试题解析数学（理科）分项版12 概率一、选择题:1.(2011年高考浙江卷理科9)有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本.若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率（A ）15 （B ）25 （C ）35 （D ） 45解析：因为甲乙两位同学参加同一个小组有3种方法，两位同学个参加一个小组共有933=⨯种方法；所以，甲乙两位同学参加同一个小组的概率为3193= 点评：本题考查排列组合、概率的概念及其运算和分析问题、解决问题的能力。

4. (2011年高考广东卷理科6)甲、乙两队进行排球决赛．现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军.若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为（） A.12 B.35 C.23 D.34【解析】D.由题得甲队获得冠军有两种情况，第一局胜或第一局输第二局胜，所以甲队获得冠军的概率.43212121=⨯+=P 所以选D.5．(2011年高考湖北卷理科7)如图，用K 、A 1、A 2三类不同的元件连成一个系统.当K 正常工作且A 1、A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知K 、A 1、A 2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为A.0.960B.0.864C.0.720D.0.576答案：B解析：系统正常工作概率为120.90.8(10.8)0.90.80.80.864C ⨯⨯⨯-+⨯⨯=，所以选B.6．(2011年高考陕西卷理科10)甲乙两人一起去“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是（A ）136 （B ）19 （C ）536（D ）16【答案】D【解析】：各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览有1111111166554433C C C C C C C C 种，且等可能，最后一小时他们同在一个景点有11111116554433C C C C C C C 种，则最后一小时他们同在一个景点的概率是11111116554433111111116655443316C C C C C C C p C C C C C C C C ==，故选D7. (2011年高考四川卷理科12)在集合{}1,2,3,4,5中任取一个偶数a 和一个奇数b 构成以原点为起点的向量a=（a,b ）.从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形.记所有作成的平行四边形的个数为n ，其中面积不超过．．．4的平行四边形的个数为m ，则mn =( ) （A ）415 （B ）13 （C ）25 （D ）23答案：B解析：基本事件：26(2,1),(2,3),(2,5),(4,1),(4,5),(4,3)23515n C ==⨯=从选取个，.其中面积为2的平行四边形的个数(2,3)(4,5);(2,1)(4,3);(2,1)(4,1)；其中面积为4的平行四边形的为(2,3)(2,5);(2,1)(2,3)； m=3+2=5故51153m n ==. 8．(2011年高考福建卷理科4)如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于 A ．14 B ．13C ．12D ．23【答案】C 二、填空题:1.(2011年高考浙江卷理科15)某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的。

2011年浙江2+2考试《高等数学》模拟试卷二答案及详解

2010年浙江省普通高校“2 + 2”联考《高等数学》模拟试卷2解答一、填空题：1、 2sin 3553lim2=++∞→xx x x . 【详解】 5623553lim 2sin 3553lim22=⋅++=++∞→∞→x x x x x x x x 。

【答案】应填56。

2、已知曲线b x a x y +-=233与x 轴相切，则2b 可以通过a 表示为 2=b .【详解】 2233a x y -='，设切点为)0,(0x ，则033220=-a x ，即220a x =，又切点在曲线上，所以 030230=+-b x a x ，302x b =，6024x b =64a =。

【答案】应填64a .3、设二元函数)1ln()1(e y x x z yx +++=+，则 |d )0,1(=z .【详解】 y yx x y y x x x x z y x y x yx d 11d )1ln(de d e d ed +++++++=+++，所以 y y x x z d 2d e d e d e |d )0,1(+++=y x d )2e (d 2e ++=. 【答案】应填y x d )2e (d 2e ++.4、设四阶方阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为51,41,31,21，则行列式 ||1=--E B . 【详解】由已知A 与B 相似，则A 与B 的特征值相同，即B 的特征值也为51,41,31,21，从而1-B 的特征值为5,4,3,2，E B --1的特征值为4,3,2,1， 244321||1=⨯⨯⨯=--E B .【答案】应填24。

5、已知实二次型323121232221321444)(),,(x x x x x x x x x a x x x f +++++=经正交变换Py x =可化成标准形216y f =，则 =a .【详解】 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000000006~222222B a a a A ，)(tr )(tr B A =，63=a ，2=a .【答案】应填2.6、设随机变量X 服从参数为),2(p 的二项分布，随机变量Y 服从参数为),3(p 的二项分布，若95}1{=≥X P ，则 }1{=≥Y P .【详解】 95)1(1)1(1}1{22002=--=--=≥p p p C X P ，所以 31=p ，所以 27192781)1(1)1(1}1{33003=-=--=--=≥p p p C Y P . 【答案】应填2719.二、选择题：1、设对任意的x ，总有)()()(x g x f x h ≤≤，且0)]()([lim =-∞→x h x g x ，则)(lim x f x ∞→【】(A) 存在且等于零 (B) 存在但不一定为零 (C) 一定不存在 (D) 不一定存在【详解】反例：211)(x x x g ++=，211)(xx x h +-=。

应用概率论习题答案

应用概率论习题答案应用概率论习题答案概率论是一门应用广泛的数学学科，它研究随机事件的发生概率和规律。

在现实生活中，我们经常会遇到各种各样的概率问题，如掷骰子、抽卡片、赌博等等。

解决这些问题需要运用概率论的知识和方法，通过计算概率来得到准确的答案。

下面，我将通过一些具体的习题来展示如何应用概率论来解决实际问题。

首先，我们来看一个简单的例子。

例题1：有一枚均匀的六面骰子，掷一次，求出现奇数点数的概率。

解答：这个问题可以通过计算每个可能结果的概率来得到答案。

骰子一共有六个面，分别标有1、2、3、4、5、6。

其中，奇数点数有1、3、5三个，所以出现奇数点数的概率为3/6=1/2。

这个例子展示了如何通过计算每个可能结果的概率来得到答案。

在解决概率问题时，我们需要明确事件的样本空间和事件的概率分布，然后根据概率的定义进行计算。

接下来，我们来看一个稍微复杂一些的例子。

例题2：有一副扑克牌，从中随机抽取一张牌，求抽到红心牌的概率。

解答：这个问题可以通过计算红心牌的数量与总牌数的比值来得到答案。

一副扑克牌一共有52张，其中红心牌有13张，所以抽到红心牌的概率为13/52=1/4。

这个例子展示了如何通过计算事件发生的次数与总次数的比值来得到答案。

在解决概率问题时，我们需要明确事件的样本空间和事件的频数分布，然后根据频率的定义进行计算。

除了计算概率，我们还可以通过概率的性质和定理来解决一些复杂的问题。

下面，我将通过一个实际问题来展示这一点。

例题3：某电商平台上有两个卖家分别出售同一款商品，他们的好评率分别为60%和80%。

现在你想购买这款商品，但只能选择一个卖家购买，你应该选择哪个卖家？解答：这个问题可以通过比较两个卖家的好评率来得到答案。

根据概率的性质，事件的概率与其对立事件的概率之和为1。

所以，第一个卖家的差评率为40%，第二个卖家的差评率为20%。

显然，第二个卖家的差评率更低，所以你应该选择第二个卖家购买。

这个例子展示了如何通过比较事件的概率来做出决策。

概率论第二版习题答案

概率论第二版习题答案概率论是一门研究随机事件发生规律的数学学科，它在现代科学和工程领域中具有广泛的应用。

而对于学习概率论的学生来说，习题是检验理解和掌握程度的重要途径。

本文将为读者提供《概率论第二版》习题的答案，帮助读者更好地理解和应用概率论知识。

第一章：概率论的基本概念1. 什么是随机试验？随机试验是指在相同的条件下，可以重复进行，但每次结果不确定的试验。

例如抛硬币、掷骰子等。

2. 什么是样本空间？样本空间是随机试验所有可能结果的集合。

例如抛硬币的样本空间为{正面，反面}。

3. 什么是事件？事件是样本空间的子集，表示随机试验的某种结果。

例如抛硬币出现正面朝上可以表示为事件A。

第二章：概率的公理化定义1. 什么是概率？概率是用来描述随机事件发生可能性大小的数值，通常用P(A)表示事件A发生的概率。

2. 概率的公理化定义有哪些？概率的公理化定义包括非负性公理、规范性公理和可列可加性公理。

非负性公理要求概率值必须大于等于0；规范性公理要求样本空间的概率为1；可列可加性公理要求对于不相容事件的概率，可以通过将它们的概率相加来计算。

3. 什么是条件概率？条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率，用P(A|B)表示。

计算条件概率时，需要使用条件概率公式：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。

第三章：随机变量及其分布1. 什么是随机变量？随机变量是随机试验结果的数值表示，它可以是离散的（如掷骰子的点数）或连续的（如测量体重的结果）。

2. 什么是概率质量函数（PMF）？概率质量函数是离散随机变量的概率分布函数，用于描述每个可能取值的概率。

例如，掷骰子的点数为随机变量X，其PMF为P(X=k) = 1/6，其中k为1到6的整数。

3. 什么是概率密度函数（PDF）？概率密度函数是连续随机变量的概率分布函数，用于描述随机变量取值的概率密度。

例如，测量体重的结果为随机变量X，其PDF为f(x) = 1/(σ√(2π)) * e^(-(x-μ)²/(2σ²))，其中μ为均值，σ为标准差。