空间图形的基本关系与公理复习与习题

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高三一轮复习7.2空间图形的基本关系与公理

3.两种判定方法异面直线的判定方法 (1)判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线． (2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两直线异面．
考点自测
1．下列命题是真命题的是 A．空间中不同三点确定一个平面 B．空间中两两相交的三条直线确定一个平面 ( )．
公理1
公理2
若A、B、C三点不共有且只有一线,则_________ 个平面α 使A∈α , B∈α ,C∈α
文字语言
如果两个不重合的平面____________, 有一个公共点那么它们_________ 有且只有一条通过这个点的公共直线
图形语言
符号语言
公理3
若A∈α ,A∈β , α ∩β =l且A∈l 则______________
有公共点. ②相交平面：两个平面不重合，并且_____
2.空间中点、线、面之间关系
直线与直线平行关系图形符号相交图形符号独有图形 a∩b＝A a∩α ＝A α ∩β ＝l a∥b a∥α α ∥β 直线与平面平面与平面
关系
关系
符号
a，b是异面直线
a
α
3.空间图形的公理及等角定D
( )．
3．三条两两平行的直线可以确定平面的个数为 A．0 B．1 C．0或1 D．1或3 答案 D
4．空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α＝60°，则β为（）. A．60° 解析答案 D B．120° C．30° D．60°或120°
由等角定理可知β＝60°或120°.
5．如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线________对．

高三一轮复习7.2 空间图形的基本关系与公理

第2节
空间图形的基本关系与公理
【2015年高考考纲下载】
1．理解空间直线、平面位置关系的定义． 2．了解可以作为推理依据的公理和定理． 3. 能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的
位置关系的简单命题.Fra bibliotek考点梳理
一､知识结构
1．空间图形的公理两点在一个平面内，那么这 (1)公理1：如果一条直线上的_____ 条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)．不在同一条直线上的三点，有且只有一个 (2)公理2：经过_________________ 平面(即可以确定一个平面)．一个公共点，那么它 (3)公理3：如果两个不重合的平面有_____ 们有且只有一条通过这个点的公共直线．
考向二
空间中两直线的位置关系
【例2】►如图是正四面体的平面展开图，G、H、M、N分别为DE、BE、EF、EC的中点，在这个正四面体中， ①GH与EF平行； ②BD与MN为异面直线； ③GH与MN成60°角； ④DE与MN垂直．
以上四个命题中，正确命题的序号是________．
[审题视点] 还原成正四面体来判断．
解析
如图所示，GH与EF为异面直线，
BD与MN为异面直线，GH与MN成60° 角，DE⊥MN. 答案 ②③④
空间中两直线位置关系的判定，主要是异
面、平行和垂直的判定，对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线
情况．
平行、_____ 相交两种情况． (2)平面与平面的位置关系有_____
(3) 空间中,如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两相等或互补．个角___________
【助学· 微博】一个理解异面直线概念的理解

题精析)空间图形的基本关系与公理

空间图形的基本关系与公理A 组1．以下四个命题中，正确命题的个数是________．①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A 、B 、C 、D 共面，点A 、B 、C 、E 共面，则A 、B 、C 、D 、E 共面；③若直线a 、b 共面，直线a 、c 共面，则直线b 、c 共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．2．给出下列四个命题：①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；②两条直线可以确定一个平面；③若M ∈α，M ∈β，α∩β＝l ，则M ∈l ；④空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内．其中真命题的个数为________．3．)平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，既与AB 共面也与CC 1共面的棱的条数为________．4．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 、Q 、R 分别是AB 、AD 、B 1C 1的中点．那么，正方体的过P 、Q 、R 的截面图形是________．5．已知直线m 、n 及平面α，其中m ∥n ，那么平面α内到两条直线m 、n 距离相等的点的集合可能是：(1)一条直线；(2)一个平面；(3)一个点；(4)空集．其中正确的是________．6．如图，已知平面α、β，且α∩β＝l .设梯形ABCD且AB ⊂α，CD ⊂β.求证：AB ，CD ，l 共点(相交于7．如图，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠FAB ＝AD ，BE 綊12FA ，G 、H 分别为F A 、FD 的中点． (1)证明：四边形BCHG 是平行四边形；(2)C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么？(3)设AB ＝BE ，证明：平面ADE ⊥平面CDE .1、解析：①正确，可以用反证法证明；②从条件看出两平面有三个公共点A 、B 、C ，但是若A 、B 、C 共线，则结论不正确；③不正确，共面不具有传递性；④不正确，因为此时所得的四边形四条边可以不在一个平面上．答案：12、解析：根据平面的基本性质知③正确．答案：13、解析：根据两条平行直线、两条相交直线确定一个平面，可得CD 、BC 、BB 1、AA 1、C 1D 1符合条件．答案：54、解析：边长是正方体棱长的22倍的正六边形．答案：正六边形 5、解析：如图1，当直线m 或直线n 在平面α内且m 、n 所在平面与α垂直时不可能有符合题意的点；如图2，直线m 、n 到已知平面α的距离相等且两直线所在平面与已知平面α垂直，则已知平面α为符合题意的点；如图3，直线m 、n 所在平面与已知平面α平行，则符合题意的点为一条直线．答案：(1)(2)(4)中，AD ∥BC ，一点)．6、证明：∵梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∴AB ，CD 是梯形ABCD 的两腰，∴AB ，CD 必定相交于一点．如图，设AB ∩CD=M.又∵AB ⊂α，CD ⊂β，∴M ∈α，且M ∈β，∴M ∈α∩β.又∵α∩β=l ，∴M ∈l ，即AB ，CD ，l 共点7、解：(1)证明：由题设知，FG ＝GA ，FH ＝HD ，所以GH 綊12AD .又BC 綊12AD ，故GH 綊BC .所以四边形BCHG 是平行四边形． (2)C 、D 、F 、E 四点共面．理由如下：由BE 綊12AF ，G 是F A 的中点知，BE 綊GF ，所以EF ∥BG . 由(1)知BG ∥CH ，所以EF ∥CH ，故EC 、FH 共面．又点D 在直线FH 上，所以C 、D 、F 、E 四点共面．(3)证明：连结EG .由AB ＝BE ，BE 綊AG 及∠BAG ＝90°知ABEG 是正方形，故BG ⊥EA .由题设知，F A 、AD 、AB 两两垂直，故AD ⊥平面F ABE ，因此EA 是ED 在平面FABE 内的射影．根据三垂线定理，BG ⊥ED .又ED ∩EA ＝E ，所以BG ⊥平面ADE .由(1)知，CH ∥BG ，所以CH ⊥平面ADE .由(2)知F ∈平面CDE ，故CH ⊂平面CDE ，得平面ADE ⊥平面CDE .1．有以下三个命题：①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点；②直线l在平面α内，可以用符号“l∈α”表示；③若平面α内的一条直线a与平面β内的一条直线b相交，则α与β相交，其中所有正确命题的序号是______________．2．下列命题中正确的是________．①若△ABC在平面α外，它的三条边所在的直线分别交α于P、Q、R，则P、Q、R三点共线；②若三条直线a、b、c互相平行且分别交直线l于A、B、C三点，则这四条直线共面；③空间中不共面的五个点一定能确定10个平面．3．对于空间三条直线，有下列四个条件：①三条直线两两相交且不共点②三条直线两两平行③三条直线共点④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交其中使三条直线共面的充分条件有：________.4．对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得________．①a⊂α，b⊂α②a⊂α，b∥α③a⊥α，b⊥α④a⊂α，b⊥α5．正方体AC1中，E、F分别是线段C1D、BC的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是________．6．设α，β，γ是三个不重合的平面，l是直线，给出下列四个命题：①若α⊥β，l⊥β，则l∥α；②若l⊥α，l∥β，则α⊥β；③若l上有两点到α的距离相等，则l∥α；④若α⊥β，α∥γ，则γ⊥β.其中正确命题的序号是________．7．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是________．8．如图所示，线段B1D1上有两个动点E，F，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，且EF＝22，则下列结论中错误的是________．①AC⊥BE ②EF∥平面ABCD ③三棱锥A－BEF的体积为定值④异面直线AE，BF所成的角为定值9.如图，α⊥β，α∩β=l，A∈β，A、B到l的距离分别是a和b，AB与α、β所成是θ和φ，AB在α、β内的射影分别是m和n.若a＞b，的大小关系为______，m与n的大小关系为______.10．如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、FD1C1、B1C1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q，面DBFE 于R点，试确定R点的位置．（写作法，不必证明）11．如图，在棱长为1的正方体ABCD－M为AB的中点，N为BB1的中点，O为平面BCC1B1(1)过O作一直线与AN交于P，与CM交于Q(只证明)；(2)求PQ的长．1、解析：表示线与面的关系用“⊂”或“⊄”表示，故②错误．答案：①③2、解析：在①中，因为P 、Q 、R 三点既在平面ABC 上，又在平面α上，所以这三点必在平面ABC 与α的交线上，即P 、Q 、R 三点共线，故①正确；在②中，因为a ∥b ，所以a 与b 确定一个平面α，而l 上有A 、B 两点在该平面上，所以l ⊂α，即a 、b 、l 三线共面于α；同理a 、c 、l 三线也共面，不妨设为β，而α、β有两条公共的直线a 、l ，∴α与β重合，即这些直线共面，故②正确；在③中，不妨设其中有四点共面，则它们最多只能确定7个平面，故③错．答案：①②3、解析：易知①中的三条直线一定共面，④中两条直线平行可确定一个平面，第三条直线和这两条直线相交于两点，则第三条直线也在这个平面内，故三条直线共面．答案：①④4、解析：不相交的直线a 、b 的位置有两种：平行或异面．当a 、b 异面时，不存在平面α满足①、③；又只有当a ⊥b 时④才成立．答案：②5、解析：直线AB 与直线外一点E 确定的平面为A 1BCD 1，EF ⊂平面A 1BCD 1，且两直线不平行，故两直线相交．答案：相交6、解析：①错误，l 可能在平面α内；②正确，l ∥β，l ⊂γ，β∩γ＝n ⇒l ∥n ⇒n ⊥α，则α⊥β；③错误，直线可能与平面相交；④正确．故填②④.答案：②④由平面与平面垂直的判定定理可知②正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线可以平行，相交也可以异面，故③不对；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故④正确．答案：②④7、解析：当两个平面相交时，一个平面内的两条直线可以平行于另一个平面，故①不对；8、解析：∵AC ⊥平面BB 1D 1D ，又BE ⊂平面BB 1D 1D ，∴AC ⊥BE .故①正确．∵B 1D 1∥平面ABCD ，又E 、F 在直线D 1B 1上运动，∴EF ∥平面ABCD .故②正确．③中由于点B 到直线B 1D 1的距离不变，故△BEF 的面积为定值．又点A 到平面BEF 的距离为22，故V A －BEF 为定值．当点E 在D 1处，F 为D 1B 1的中点时，建立空间直角坐标系，如图所示，可得A (1,1,0)，B (0,1,0)，E (1,0,1)，F ⎝⎛⎭⎫12，12，1.∴AE →＝(0，－1,1)，BF →＝(12，－12，1)，∴A E →·B F →＝32.又|AE →|＝2，|BF →|＝62，∴cos 〈AE →，B F →〉＝322·62＝32， ∴AE 与BF 成30°角．当E 为D 1B 1中点，F 在B 1处时，此时E ⎝⎛⎭⎫12，12，1，F (0,1,1)，∴A E →＝⎝⎛⎭⎫－12，－12，1，B F →＝(0,0,1)， ∴A E →·B F →＝1，|AE →|＝32，∴cos 〈A E →，B F →〉＝ 23＝63≠32.故④错．答案：④∈α，B 的角分别则θ与φ9、解析：AB 与β成的角为∠ABC ＝φ，AB 与α成的角为∠BAD ＝θ，sin φ＝sin ∠ABC ＝a |AB |， sin θ＝sin ∠BAD ＝b |AB |. ∵a >b ，∴sin φ>sin θ.∴θ<φ.AB 在α内的射影AD ＝AB 2－b 2，AB 在β内的射影BC ＝AB 2－a 2，∴AD .BC ，即m >n .答案：θ＜φ m ＞n分别为若A 1C 交平10、解：在正方体AC 1中，连结PQ ，∵Q ∈A 1C 1，∴Q ∈平面A 1C 1CA .又Q ∈EF ，∴Q ∈平面BDEF ，即Q 是平面A 1C 1CA 与平面BDEF 的公共点，同理，P 也是平面A 1C 1CA 与平面BDEF 的公共点．∴平面A 1C 1CA ∩平面BDEF ＝PQ .又A 1C ∩平面BDEF ＝R ，∴R ∈A 1C ，∴R ∈平面A 1C 1CA ，R ∈平面BDEF .∴R 是A 1C 与PQ 的交点．如图．A 1B 1C 1D 1中，的中心．11、解：(1)连结ON ，由ON ∥AD 知，AD 与ON 确定一个平面α.又O 、C 、M 三点确定一个平面β(如图所示)． ∵三个平面α，β和ABCD 两两相交，有三条交线OP 、CM 、DA ，其中交线DA 与交线CM 不平行且共面． ∴DA 与CM 必相交，记交点为Q ，∴OQ 是α与β的交线．连结OQ 与AN 交于P ，与CM 交于Q ，故直线OPQ 即为所求作的直线．(2)在Rt △APQ 中，易知AQ ＝1，又易知△APQ ∽△OPN ，∴AP PN ＝AQ NO ＝2，AN ＝52，∴AP ＝53， ∴PQ ＝AQ 2＋AP 2＝143. ABCD ，四90°，BC 綊12。

高考数学一轮复习课后限时集训38空间图形的基本关系与公理理(含解析)北师大版

高考数学一轮复习课后限时集训38空间图形的基本关系与公理理（含解析）北师大版课后限时集训(三十八) 空间图形的基本关系与公理(建议用时：60分钟)A组基础达标一、选择题1．α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若mα，nα，且A∈m，A∈α，则m，n的位置关系不可能是( )A．垂直B．相交C．异面D．平行D[∵α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，mα，nα，∴n在平面α内．∵A∈m，A∈α，∴A是m和平面α相交的点，∴m和n异面或相交，一定不平行．]2．如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是( )A B C DD[A，B，C图中四点一定共面，D中四点不共面．]3．给出下列说法：①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线共面；③有三个公共点的两个平面重合；④三条直线两两相交，可以确定1个或3个平面．其中正确的序号是( ) A．① B．①④C．②③ D．③④B[①显然正确；②错误，三条平行直线可能确定1个或3个平面；③若三个点共线，则两个平面相交，故③错误；④显然正确．故选B．]4．已知在四面体ABCD中，E，F分别是AC，BD的中点．若AB＝2，CD＝4，EF⊥AB，则EF与CD所成角的度数为( )A．90° B．45°C．60° D．30°D [如图，设G 为AD 的中点，连接GF ，GE ，则GF ，GE 分别为△ABD ，△ACD 的中位线．由此可得，GF ∥AB ，且GF ＝12AB ＝1，GE ∥CD ，且GE ＝12CD ＝2，∴∠FEG 或其补角即为EF 与CD 所成的角．又∵EF ⊥AB ，GF ∥AB ，∴EF ⊥GF . 因此，在R t △EFG 中，GF ＝1，GE ＝2，sin∠GEF ＝GF GE ＝12，可得∠GEF ＝30°，∴EF 与CD 所成角的度数为30°.]5.如图是某个正方体的侧面展开图，l 1，l 2是两条侧面对角线，则在正方体中，l 1与l 2( )A ．互相平行B ．异面且互相垂直C ．异面且夹角为π3D ．相交且夹角为π3D [将侧面展开图还原成正方体如图所示，则B ，C 两点重合．故l 1与l 2相交，连接AD ，△ABD 为正三角形，所以l 1与l 2的夹角为π3.故选D ．]二、填空题6.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是CC 1，AD 的中点，那么异面直线D 1E 和A 1F 所成角的余弦值等于________．25[如图，以D 为原点建立空间直角坐标系．则A 1(2,0,2)，F (1,0,0)，D 1(0,0,2)，E (0,2,1)，则A 1F →＝(－1,0，－2)，D 1E →＝(0,2，－1)，cos 〈D 1E →，A 1F →〉＝D 1E →·A 1F→|D 1E →||A 1F →|＝25×5＝25，∴异面直线D 1E 和A 1F 所成角的余弦值等于25.] 7.如图所示，在三棱锥A BCD 中，E ，F ，G ，H 分别是棱AB ，BC ，CD ，DA 的中点，则当AC ，BD 满足条件________时，四边形EFGH为菱形，当AC ，BD 满足条件________时，四边形EFGH 是正方形．AC ＝BD AC ＝BD 且AC ⊥BD [易知EH ∥BD ∥FG ，且EH ＝12BD ＝FG ，同理EF ∥AC ∥HG ，且EF ＝12AC ＝HG ，显然四边形EFGH 为平行四边形．要使平行四边形EFGH 为菱形需满足EF ＝EH ，即AC ＝BD ；要使平行四边形EFGH 为正方形需满足EF ＝EH 且EF ⊥EH ，即AC ＝BD 且AC ⊥B D ．]8．(2019·长白山模拟)下列命题中不正确的是________．(填序号) ①没有公共点的两条直线是异面直线； ②分别和两条异面直线都相交的两直线异面；③一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线不可能平行； ④一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面．①② [没有公共点的两直线平行或异面，故①错；命题②错，此时两直线有可能相交；命题③正确，因为若直线a 和b 异面，c ∥a ，则c 与b 不可能平行，用反证法证明如下：若c ∥b ，又c ∥a ，则a ∥b ，这与a ，b 异面矛盾，故c 与b 不平行；命题④正确，若c 与两异面直线a ，b 都相交，可知，a ，c 可确定一个平面，b ，c 也可确定一个平面，这样，a ，b ，c 共确定两个平面．]三、解答题9．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中， (1)求AC 与A 1D 所成角的大小；(2)若E ，F 分别为AB ，AD 的中点，求A 1C 1与EF 所成角的大小． [解] (1)如图，连接B 1C ，AB 1，由ABCD A 1B 1C 1D 1是正方体，易知A 1D ∥B 1C ，从而B 1C 与AC 所成的角就是AC 与A 1D 所成的角．因为AB 1＝AC ＝B 1C ，所以∠B 1CA ＝60°.即A 1D 与AC 所成的角为60°.(2)连接BD ，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AC ⊥BD ，AC ∥A 1C 1.因为E ，F 分别为AB ，AD 的中点，所以EF ∥BD ，所以EF ⊥A C. 所以EF ⊥A 1C 1.即A 1C 1与EF 所成的角为90°.10.如图所示，四边形ABEF 和ABCD 都是梯形，BC 綊12AD ，BE綊12FA ，G ，H 分别为FA ，FD 的中点． (1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？[解] (1)证明：由已知FG ＝GA ，FH ＝HD ，可得GH 綊12AD ．又BC 綊12AD ，∴GH 綊B C.∴四边形BCHG 为平行四边形． (2)∵BE 綊12AF ，G 为FA 的中点，∴BE 綊FG ，∴四边形BEFG 为平行四边形，∴EF ∥BG . 由(1)知BG 綊CH ，∴EF ∥CH ，∴EF 与CH 共面．又D ∈FH ，∴C ，D ，F ，E 四点共面．B 组能力提升1．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，P ，Q ，R 分别是AB ，AD ，B 1C 1的中点，那么正方体过P ，Q ，R 的截面图形是( )A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形D [如图所示，作RG ∥PQ 交C 1D 1于G ，连接QP 并延长与CB 延长线交于M ，且QP 反向延长线与CD 延长线交于N ，连接MR 交BB 1于E ，连接PE ，则PE ，RE 为截面与正方体的交线，同理连接NG 交DD 1于F ，连接QF ，FG ，则QF ，FG 为截面与正方体的交线，所以截面为六边形PQFGRE .]2.如图所示，ABCD A 1B 1C 1D 1是长方体，O 是B 1D 1的中点，直线A 1C 交平面AB 1D 1于点M ，则下列结论正确的是( )A ．A ，M ，O 三点共线B ．A ，M ，O ，A 1不共面C ．A ，M ，C ，O 不共面D ．B ，B 1，O ，M 共面A [连接A 1C 1，AC ，则A 1C 1∥AC ，所以A 1，C 1，C ，A 四点共面，所以A 1C 平面ACC 1A 1，因为M ∈A 1C ，所以M ∈平面ACC 1A 1，又M ∈平面AB 1D 1，所以M 在平面ACC 1A 1与平面AB 1D 1的交线上，同理O 在平面ACC 1A 1与平面AB 1D 1的交线上，又A 在平面ACC 1A 1和平面AB 1D 1的交线上．所以A ，M ，O 三点共线．B ，C 不正确，BB 1与AO 异面，所以D 不正确．故选A.]3．(2019·西安模拟)如图是正四面体的平面展开图，G ，H ，M ，N分别为DE ，BE ，EF ，EC 的中点，在这个正四面体中，①GH 与EF 平行；②BD 与MN 为异面直线；③GH 与MN 成60°角；④DE 与MN 垂直，以上四个命题中，正确命题的序号是________．②③④ [还原成正四面体A DEF ，其中H 与N 重合，A ，B ，C 三点重合．易知GH 与EF 异面，BD 与MN 异面．又△GMH 为等边三角形， ∴GH 与MN 成60°角，易证DE ⊥AF ，MN ∥AF ，∴MN ⊥DE . 因此正确的序号是②③④.]4．如图所示，在三棱锥P ABC 中，PA ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点．已知∠BAC ＝π2，AB ＝2，AC ＝23，PA ＝2.求：(1)三棱锥P ABC 的体积；(2)异面直线BC 与AD 所成角的余弦值． [解] (1)S △ABC ＝12×2×23＝23，三棱锥P ABC 的体积为V ＝13S △ABC ·PA ＝13×23×2＝433. (2)如图，取PB 的中点E ，连接DE ，AE ，则ED ∥BC ，所以∠ADE 是异面直线BC 与AD 所成的角(或其补角)．在△ADE 中，DE ＝2，AE ＝2，AD ＝2，cos∠ADE ＝22＋22－22×2×2＝34. 故异面直线BC 与AD 所成角的余弦值为34.。

专题3 空间图形的基本关系与公理(原卷版)-2021年高考数学立体几何中必考知识专练

专题3：空间图形的基本关系与公理（原卷版）一. 平面基本性质即三条公理公理1 公理2 公理3图形语言文字语言如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.符号语言,,A lB llA Bααα∈∈⎫⇒⊂⎬∈∈⎭,,,,A B CA B Cα⇒不共线确定平面,lP PP lαβαβ=⎧∈∈⇒⎨∈⎩作用判断线在面内确定一个平面证明多点共线推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面；推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.二．直线与直线的位置关系共面直线：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。

（既不平行，也不相交）三．直线与平面的位置关系有三种情况：在平面内——有无数个公共点．符号 aα相交——有且只有一个公共点符号 a∩α= A平行——没有公共点符号 a∥α说明：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示对应练习一、单选题1．如图所示的是平行四边形ABCD所在的平面，有下列表示方法：①平面ABCD；②平面BD；③平面AD；④平面ABC；⑤AC；⑥平面α.其中不正确的是（）A．④⑤B．③④⑤C．②③④⑤D．③⑤2．下列叙述错误的是（）A．若p∈α∩β，且α∩β=l，则p∈l.B．若直线a∩b=A，则直线a与b能确定一个平面.C．三点A，B，C确定一个平面.D．若A∈l，B∈l且A∈α，B∈α则l⊂α.3．在空间中，下列结论正确的是（） A ．三角形确定一个平面B ．四边形确定一个平面C ．一个点和一条直线确定一个平面D ．两条直线确定一个平面4．下列命题中正确的是（）A ．若直线l 上有无数个点不在平面α内，则//l αB ．如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行C ．若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行D ．垂直于同一个平面的两条直线互相平行5．已知直线l 和不重合的两个平面α，β，且l α⊂，有下面四个命题：①若//l β，则//αβ；②若//αβ，则//l β；③若l β⊥，则αβ⊥；④若αβ⊥，则l β⊥其中真命题的序号是（） A ．①②B ．②③C ．②③④D ．①④6．四个顶点不在同一平面上的四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，如果直线EF ，GH 交于点P ，那么（）A ．点P 一定在直线AC 上B ．点P 一定在直线BD 上C ．点P 一定在平面ABC 外D ．点P 一定在平面BCD 内 7．平面α平面l β=，点A α∈，点B β∈，且B l ∉，点C α∈，又ACl R =，过A 、B 、C 三点确定的平面为γ，则βγ⋂是（） A ．直线CRB ．直线BRC ．直线ABD ．直线BC8．设l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（） A ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ B ．若//l α，m α⊂，则//l m C ．若//αβ，m β⊄，//m α，则//m βD ．若//l α，//m α，则//l m9．下列命题中，正确的是 ( )A ．经过正方体任意两条面对角线，有且只有一个平面B ．经过正方体任意两条体对角线，有且只有一个平面C ．经过正方体任意两条棱，有且只有一个平面D ．经过正方体任意一条体对角线与任意一条面对角线，有且只有一个平面10．设α，β表示平面，l 表示直线，A ，B ，C 表示三个不同的点，给出下列命题：①若∈A l ，A α∈，B l ∈，B α∈，则l α⊂；②若A α∈，A β∈，B α∈，B β∈，则AB αβ=；③若l α⊄，∈A l ，则A α；④若,,A B C α∈，,,A B C β∈，则α与β重合.其中，正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．平面α的一条斜线AP 交平面α于P 点，过定点A 的直线l 与AP 垂直，且交平面α于M 点，则M 点的轨迹是（）.A ．一条直线B ．一个圆C ．两条平行直线D ．两个同心圆12．和直线l 都平行的直线,a b 的位置关系是（） A ．相交 B ．异面C ．平行D ．平行、相交或异面二、填空题13．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则异面直线1BC 与AC 所成的角为_____．14．已知l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个论断：①//l m ，②//αβ，③m α⊥，④l β⊥.以其中的两个论断作为命题的条件，l α⊥作为命题的结论，写出一个真命题：______.15．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 依次是11A D 和11B C 的中点，则异面直线AE 与CF 所成角的余弦值为__．16．在长方体1111ABCD A B C D -中，11AA AD ==，2AB =，则直线AC 与1A D 所成的角的大小等于__________.三、解答题17．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，1E ，1F 分别为棱AD ，AB ，11B C ，11C D 的中点.求证：111EA F E CF ∠=∠.18．（不写做法）（1）如图，直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB CD >，S 是直角梯形ABCD 所在平面外一点，画出平面SBD 和平面SAC 的交线．（2）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，试画出平面11AB D 与平面11ACC A 的交线．19．如图，已知正方体ABCD -A ′B ′C ′D .（1）哪些棱所在直线与直线BA ′是异面直线？（2）直线BA ′和CC ′的夹角是多少？（3）哪些棱所在的直线与直线AA ′垂直？20．如图，AB 是圆O 的直径，点C 是弧AB 的中点，,D E 分别是,VB VC 的中点，求异面直线DE 与AB 所成的角.21．如图1所示，在梯形ABCD 中，//AB CD ，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，将平面CDFE 沿EF 翻折起来，使CD 到达C D ''的位置（如图2），G ，H 分别为AD '，BC '的中点，求证:四边形EFGHEFGH 为平行四边形.图1 图222．如图所示,已知,E F 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱11,AA CC 的中点,求证:四边形1BED F 是平行四边形.。

专题3 空间图形的基本关系与公理(解析版)-2021年高考数学立体几何中必考知识专练

专题3：空间图形的基本关系与公理（解析版）一公理1 公理2 公理3图形语言文字语言如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.符号语言,,A lB llA Bααα∈∈⎫⇒⊂⎬∈∈⎭,,,,A B CA B Cα⇒不共线确定平面,lP PP lαβαβ=⎧∈∈⇒⎨∈⎩作用判断线在面内确定一个平面证明多点共线推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面；推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.二．直线与直线的位置关系直线：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。

（既不平行，也不相交）三．直线与平面的位置关系有三种情况：在平面内——有无数个公共点．符号 aα相交——有且只有一个公共点符号 a∩α= A平行——没有公共点符号 a∥α说明：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示对应练习一、单选题1．如图所示的是平行四边形ABCD所在的平面，有下列表示方法：①平面ABCD；②平面BD；③平面AD；④平面ABC；⑤AC；⑥平面α.其中不正确的是（）A．④⑤B．③④⑤C．②③④⑤D．③⑤【答案】D【分析】根据平面的表示方法判断．【详解】③中AD不为对角线，故错误；⑤中漏掉“平面”两字，故错误.故选：D.2．下列叙述错误的是（）A．若p∈α∩β，且α∩β=l，则p∈l.B．若直线a∩b=A，则直线a与b能确定一个平面.C．三点A，B，C确定一个平面.D．若A∈l，B∈l且A∈α，B∈α则l α.【答案】C【分析】由空间线面位置关系，结合公理即推论，逐个验证即可．【详解】选项A，点P在是两平面的公共点，当然在交线上，故正确；选项B，由公理的推论可知，两相交直线确定一个平面，故正确；选项C，只有不共线的三点才能确定一个平面，故错误；选项D，由公理1，直线上有两点在一个平面内，则整条直线都在平面内．故选：C3．在空间中，下列结论正确的是（）A．三角形确定一个平面B．四边形确定一个平面C．一个点和一条直线确定一个平面D．两条直线确定一个平面【答案】A【分析】根据确定平面的公理及其推论对选项逐个判断即可得出结果.【详解】三角形有且仅有3个不在同一条直线上的顶点，故其可以确定一个平面，即A正确；当四边形为空间四边形时不能确定一个平面，故B错误；当点在直线上时，一个点和一条直线不能确定一个平面，故C错误；当两条直线异面时，不能确定一个平面，即D错误；故选：A.【点睛】本题主要考查平面的基本定理及其推论，解题时要认真审题，仔细解答，属于基础题.4．下列命题中正确的是（）A ．若直线l 上有无数个点不在平面α内，则//l αB ．如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行C ．若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行D ．垂直于同一个平面的两条直线互相平行【答案】D 【分析】利用空间中直线与直线、直线与平面的位置关系进行判断. 【详解】解:选项A: 若直线l 上有无数个点不在平面α内，则//l α或相交,故A 错误;选项B: 如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条可能与这个平面平行,也可包含于这个平面,故B 错误;选项C: 若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线相交、平行或异面,故C 错误; 选项D: 垂直于同一个平面的两条直线互相平行, 故D 正确, 故选:D 【点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面的位置关系的判断，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养.5．已知直线l 和不重合的两个平面α，β，且l α⊂，有下面四个命题：①若//l β，则//αβ；②若//αβ，则//l β；③若l β⊥，则αβ⊥；④若αβ⊥，则l β⊥ 其中真命题的序号是（） A ．①② B ．②③ C ．②③④ D ．①④【答案】B 【分析】对于①，由//l β可得α与β可平行，可相交；对于②，若//αβ，则由面面平行的性质定理可判断；对于③，由线面垂直的判定定理可判断；对于④，当αβ⊥时，l 可能在β内，可能与β平行，可能相交【详解】解：对于①，由//l β可得α与β可平行，可相交，故错误；对于②，若//αβ，则由面面平行的性质定理可得//l β，故正确；对于③，若l β⊥，则由线面垂直的判定定理可得αβ⊥，故正确；对于④，当αβ⊥时，l 可能在β内，可能与β平行，可能相交，所以不一定有l β⊥，故错误，故选：B 【点睛】此题考查线线、线面、面面关系的判断，属于基础题6．四个顶点不在同一平面上的四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，如果直线EF ，GH 交于点P ，那么（）A ．点P 一定在直线AC 上B ．点P 一定在直线BD 上C ．点P 一定在平面ABC 外D ．点P 一定在平面BCD 内【答案】A 【分析】由两个面的交点在两个面的交线上，知P 在两面的交线上，由AC 是两平面的交线，知点P 必在直线AC 上．【详解】解：∵EF 在面ABC 内，而GH 在面ADC 内，且EF 和GH 能相交于点P ， ∴P 在面ABC 和面ADC 的交线上， ∵AC 是两平面的交线，所以点P 必在直线AC 上．故选：A ．【点睛】本题考查平面的基本性质及其推论，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答． 7．平面α平面l β=，点A α∈，点B β∈，且B l ∉，点C α∈，又ACl R =，过A 、B 、C 三点确定的平面为γ，则βγ⋂是（）A ．直线CRB ．直线BRC ．直线ABD ．直线BC【答案】B 【分析】确定平面β、γ的公共点，利用公理可得出平面β与γ的交线. 【详解】如下图所示：由题意可知，AC γ⊂，AC l R =，则R γ∈，又平面α平面l β=，则l α⊂，l β⊂，AC l R =，R β∴∈，B β∈，B γ∈，因此，βγ⋂=直线BR .故选：B. 【点睛】本题考查两平面交线的确定，关键是确定两平面的公共点，属于基础题.8．设l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（） A ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ B ．若//l α，m α⊂，则//l m C ．若//αβ，m β⊄，//m α，则//m β D ．若//l α，//m α，则//l m【答案】C 【分析】由线面垂直的判定定理可判断A ，由线面平行的性质定理可判断B ，由面面平行的性质定理可判断C ，由线面平行的性质定理可判断D. 【详解】解：对于A ，由线面垂直的判定定理可知当直线l 垂直平面α内的两条相交直线时，l α⊥才成立，所以A 不正确；对于B ，若//l α，m α⊂，则//l m 或l ，m 异面，所以B 不正确；对于C ，由面面平行的性质定理可知是正确的，对于D ，若//l α，//m α，则l ，m 有可能相交、平行或异面，所以D 不正确，故选：C 【点睛】此题考查了线线、线面和面面的位置关系，考查平行和垂直的判定和性质，考查空间想象能力和推理能力，属于基础题.9．下列命题中，正确的是 ( )A ．经过正方体任意两条面对角线，有且只有一个平面B ．经过正方体任意两条体对角线，有且只有一个平面C ．经过正方体任意两条棱，有且只有一个平面D ．经过正方体任意一条体对角线与任意一条面对角线，有且只有一个平面【答案】B 【解析】因为正方体的四条体对角线相交于同一点(正方体的中心)，因此经过正方体任意两条体对角线，有且只有一个平面，故选B ．点睛：确定平面方法: 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面;经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；经过两条相交直线有且只有一个平面；经过两条平行直线有且只有一个平面．10．设α，β表示平面，l 表示直线，A ，B ，C 表示三个不同的点，给出下列命题：①若∈A l ，A α∈，B l ∈，B α∈，则l α⊂；②若A α∈，A β∈，B α∈，B β∈，则AB αβ=；③若l α⊄，∈A l ，则A α；④若,,A B C α∈，,,A B C β∈，则α与β重合.其中，正确的有（） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【分析】根据平面的基本性质及推论进行判断. 【详解】若∈A l ，A α∈，B l ∈，B α∈，根据公里1，得l α⊂，①正确；若A α∈，A β∈，B α∈，B β∈，则直线AB 既在平面α内，又在平面β内，所以AB αβ=，②正确；若l α⊄，则直线l 可能与平面α相交于点A ，所以∈A l 时， A α∈，③不正确；若,,A B C α∈，,,A B C β∈，当,,A B C 共线时，α与β可能不重合，④不正确；故选：B. 【点睛】本题主要考查平面的性质，明确平面的基本性质及推论是求解的关键，侧重考查直观想象的核心素养.11．平面α的一条斜线AP 交平面α于P 点，过定点A 的直线l 与AP 垂直，且交平面α于M 点，则M 点的轨迹是（）.A ．一条直线B ．一个圆C ．两条平行直线D ．两个同心圆【答案】A 【分析】由过定点A 的直线l 与AP 垂直可知，直线l 绕点A 旋转形成一个平面，由此可知两平面的交线即为所求．【详解】解：如图，设直线l与l'是其中两条任意的直线，⊥，则这两条相交直线确定一个平面β，且斜线APβ由过平面外一点有且只有一个平面与已知直线垂直可知，过定点定点A且与AP垂直的直线都在平面β内，∴M点都在平面α与平面β的交线上，故选：A．【点睛】本题主要考查空间中点、线、面的位置关系，考查空间想象能力，属于基础题．12．和直线l都平行的直线,a b的位置关系是（）A．相交B．异面C．平行D．平行、相交或异面【答案】C【分析】直接利用平行公理，即可得到答案．【详解】由平行公理，可知平行与同一直线的两直线是平行的，所以和直线l都平行的直线,a b的位置关系是平行，故选C．【点睛】本题考查两直线的位置关系的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．二、填空题13．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则异面直线1BC 与AC 所成的角为_____．【答案】60︒ 【解析】11//BC AD ∴ 异面直线1BC 与AC 所成的角为0160CAD ∠=14．已知l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个论断：①//l m ，②//αβ，③m α⊥，④l β⊥.以其中的两个论断作为命题的条件，l α⊥作为命题的结论，写出一个真命题：______.【答案】若//l m ，m α⊥，则l α⊥ 【分析】若//l m ，m α⊥，则l α⊥，运用线面垂直的性质和判定定理，即可得到结论. 【详解】解：l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，可得若//l m ，m α⊥，则l α⊥，理由：在α内取两条相交直线a ，b ，由m α⊥可得m a ⊥.m b ⊥，又//l m ，可得l a ⊥.l b ⊥，而a ，b 为α内的两条相交直线，可得l α⊥. 故答案为：若//l m ，m α⊥，则l α⊥ 【点睛】此题考查线面垂直的判定定理和性质定理的应用，考查推理能力，属于基础题15．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 依次是11A D 和11B C 的中点，则异面直线AE 与CF 所成角的余弦值为__．【答案】35【分析】连AE 、BF 、EF ，利用平行四边形可得//BF AE ，可得BFC ∠是异面直线AE 与CF 所成角（或所成角的补角），然后用余弦定理可得结果. 【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，连AE 、BF 、EF ，E ，F 依次是11A D 和11B C 的中点，所以11//A E B F 且11A E B F =，所以四边形11A B FE 为平行四边形，所以11//EF A B 且11EF A B =，又11//A B AB 且11A B AB =，所以//EF AB 且EF AB =，所以四边形ABFE 为平行四边形，//BF AE ∴，BFC ∴∠是异面直线AE 与CF 所成角（或所成角的补角），设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则415BF CF ==+3cos5BFC∴∠==．∴异面直线AE与CF所成角的余弦值为35．故答案为：35．【点睛】本题考查了求异面直线所成的角，考查了余弦定理，属于基础题.16．在长方体1111ABCD A B C D-中，11AA AD==，2AB=，则直线AC与1A D所成的角的大小等于__________.【答案】arccos10【分析】连接11,B A B C，可得直线AC与1A D所成的角为1B CA∠，利用余弦定理求1cos B CA∠即可.【详解】解：如图，连接11,B A B C，由长方体的结构特点可知11//B C A D，则直线AC与1A D所成的角为1B CA∠（或其补角），因为11B A BC AC======，在1B CA中，2221111cos210BC AC ABB CABC AC+-∠===⋅，1arccos10B CA∴∠=.故答案为：arccos10.【点睛】本题考查异面直线所成的角，关键是要通过平移找到异面直线所成的角的平面角，是基础题.三、解答题17．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，1E ，1F 分别为棱AD ，AB ，11B C ，11C D 的中点.求证：111EA F E CF ∠=∠.【答案】见解析【分析】根据空间中两个角的两边平行时,角的关系可知两个角相等或互补. 结合空间中平行线的传递性及当两个角的方向相同时,即可证明两个角相等. 【详解】证明：如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,取11A B 的中点M ,连接名BM ,1F M由题意得112BF A M AB ==又1BF M A ∥∴四边形1A FBM 为平行四边形 ∴1A F BM ∥又1F ,M 分别为11C D ,11A B 的中点,则111F M C B =∥而11C B BC =∥∴1F M BC =∥∴四边形1F MBC 为平行四边形 ∴1BM F C ∥ 又1BM A F ∥ ∴11A F F C ∥ 同理可得11A ECE∴1EA F ∠与11E CF ∠的两边分别平行,且方向都相反 ∴111EA F E CF ∠=∠. 【点睛】本题考查了直线与直线平行的证明,空间中角的两边分别平行时两个角的关系,属于基础题. 18．（不写做法）（1）如图，直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB CD >，S 是直角梯形ABCD 所在平面外一点，画出平面SBD 和平面SAC 的交线．（2）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，试画出平面11AB D 与平面11ACC A 的交线．【答案】（1）见解析（2）见解析【分析】（1）延长BD 和AC 交于点O ，再连接SO ，即得到交线；（2）先记11B D 与11A C 的交点为O ，连接AO ，即可得出交线. 【详解】（1）（延长BD 和AC 交于点O ，连接SO ，SO 即为平面SBD 和平面SAC 的交线），如图：（2）（记11B D 与11A C 的交点为O ，连接AO ，则AO 即为平面11AB D 与平面11ACC A 的交线），如图:【点睛】本题主要考查画出平面与平面的交线，考查空间想象能力，属于基础题型. 19．如图，已知正方体ABCD -A ′B ′C ′D .（1）哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？（2）直线BA′和CC′的夹角是多少？（3）哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？【答案】（1）棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′（2）45°（3）AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′【分析】（1）根据异面直线的定义判断即可；（2）∠B′BA′为异面直线BA′与CC′的夹角，进而可得直线BA′和CC′的夹角；（3）根据正方体的性质即可判断．【详解】（1）由异面直线的定义可知，棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与直线BA′是异面直线；（2）由BB′∥CC′可知，∠B′BA′为异面直线BA′与CC′的夹角，∠B′BA′＝45°，所以直线BA′和CC′的夹角为45°；（3）直线AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别与直线AA′垂直.【点睛】本题考查异面直线的定义，考查线线角的求解，考查线线垂直的判断，是基础题．VB VC的中点，求异20．如图，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，,D E分别是,面直线DE与AB所成的角.【答案】45︒ 【分析】根据题意，直径所对圆周角是直角，BC AC ∴⊥，又知点C 是弧AB 的中点，则等腰直角三角形，再根据中位线平行，找到异面直线所成角的平面角，即可求解. 【详解】AB 是圆O 的直径，BC AC ∴⊥.∵点C 是弧AB 的中点，,45BC AC ABC ∴=∴∠=︒. 在VBC △中，,D E 分别为,VB VC 的中点，DE BC ∴∥，DE ∴与AB 所成的角为45ABC ∠=︒.故答案为：45︒ 【点睛】本题考查异面直线所成角问题，考查转化与化归思想，属于基础题.21．如图1所示，在梯形ABCD 中，//AB CD ，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，将平面CDFE 沿EF 翻折起来，使CD 到达C D ''的位置（如图2），G ，H 分别为AD '，BC '的中点，求证:四边形EFGHEFGH 为平行四边形.图1 图2【答案】证明见详解.【分析】通过证明EF //GH ，且EF =GF ，即可证明. 【详解】在题图1中，∵四边形ABCD 为梯形，//AB CD ，E F ，分别为BC AD ，的中点，∴//EF AB 且()12EF AB CD =+. 在题图2中，易知////C D EF AB ''. ∵,G H 分别为AD '，BC '的中点， ∴//GH AB 且()()1122GH AB C D AB CD ''=+=+， ∴//GH EF ，GH EF =，∴四边形EFGH 为平行四边形.即证. 【点睛】本题考查通过线线平行证明平行四边形，主要借助几何关系进行证明.22．如图所示,已知,E F 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱11,AA CC 的中点,求证:四边形1BED F 是平行四边形.【答案】见解析【分析】取1D D 的中点G ,连接,EG GC ，证明四边形EGCB 是平行四边形，再证四边形1D GCF 为平行四边形，即可证明四边形1BED F 是平行四边形. 【详解】证明取1D D 的中点G ,连接,EG GC .∵E 是1A A 的中点,G 是1D D 的中点,//EG AD ∴. 由正方体的性质知//AD BC ,//EG BC ∴, ∴四边形EGCB 是平行四边形,//EB GC ∴. 又,G F 分别是1D D ,1C C 的中点,1//D G FC ∴,且1D G FC =,∴四边形1D GCF 为平行四边形,1//D F GC ∴, 1//EB D F ∴,∴四边形1BED F 是平行四边形. 【点睛】本题考查了线线平行的判定，利用平行四边形的对边平行且相等证明线线平行，是基础题.。

1.4空间图形的基本关系与公理基础练习题

1.4空间图形的基本关系与公理基础练习题单选题1．平面α与平面β平行，且直线a α⊂，下列命题中正确的是（）A ．a 与β内的所有直线垂直B ．a 与β内的所有直线异面C ．a 与β内的所有直线平行D ．a 与β内的无数条直线平行 2．已知下列四个结论：①铺得很平的一张白纸是一个平面；②平面的形状是平行四边形；③一个平面的面积可以等于12m .其中正确结论的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．33．如图所示的是平行四边形ABCD 所在的平面，有下列表示方法：①平面ABCD ；②平面BD ；③平面AD ；④平面ABC ；⑤AC ；⑥平面α.其中不正确的是（）A ．④⑤B ．③④⑤C ．②③④⑤D ．③⑤ 4．下列叙述错误的是（）A ．若p ∈α∩β，且α∩β=l ，则p ∈l .B ．若直线a ∩b =A ，则直线a 与b 能确定一个平面.C ．三点A ，B ，C 确定一个平面.D ．若A ∈l ，B ∈l 且A ∈α，B ∈α则l ⊂α.5．在空间中，下列结论正确的是（）A ．三角形确定一个平面B ．四边形确定一个平面C ．一个点和一条直线确定一个平面D ．两条直线确定一个平面6．如图所示，用符号语言可表达为( )A ．m αβ=，n ⊂α，m n A = B ．m αβ=，n α∈，m n A = C ．m αβ=，n ⊂α，A m ⊂，A n ⊂ D ．m αβ=，n α∈，A m ∈，A n ∈7．两个平面若有三个公共点，则这两个平面（）A ．相交B ．重合C ．相交或重合D ．以上都不对8．下面四个说法中，正确说法的个数为（）（1）如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；（2）两条直线可以确定一个平面；（3）若M α∈，M β∈，l αβ=，则M l ∈；（4）空间中，两两相交的三条直线在同一平面内.A ．1B ．2C ．3D ．49．四个顶点不在同一平面上的四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，如果直线EF ，GH 交于点P ，那么（）A ．点P 一定在直线AC 上B ．点P 一定在直线BD 上C ．点P 一定在平面ABC 外D ．点P 一定在平面BCD 内10．给出下列四个命题，其中正确的是（）①空间四点共面，则其中必有三点共线；②空间四点不共面，则其中任何三点不共线；③空间四点中存在三点共线，则此四点共面；④空间四点中任何三点不共线A ．②③B ．①②③C ．①②D ．②③④11．下列命题中，正确的是 ( )A ．经过正方体任意两条面对角线，有且只有一个平面B ．经过正方体任意两条体对角线，有且只有一个平面C ．经过正方体任意两条棱，有且只有一个平面D ．经过正方体任意一条体对角线与任意一条面对角线，有且只有一个平面12．在三棱锥A BCD -的边AB 、BC 、CD 、DA 上分别取E 、F 、G 、H 四点，如果EF HG P ⋂=，则点P （）A ．一定在直线BD 上B ．一定在直线AC 上 C ．在直线AC 或BD 上D ．不在直线AC 上，也不在直线BD 上13．下列说法中正确的个数是（）①若三个平面两两相交有三条交线，则三交线相互平行；②三个平面最多将空间分为8个部分；③一平面截一正方体，则截面不可能为五边形；④过空间任意一点有且只有一条直线与两异面直线垂直A ．1B ．2C ．3D ．414．在三棱锥A BCD -中，已知所有棱长均为2，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为（）A ．36B ．16C ．13D ．3 15．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，四边形11BCC B 为正方形，24BC AB ==，AB BC ⊥，D 为11C B 的中点，则异面直线11A C 与AD 所成角的余弦值为（）A ．35 B 10C 30D 25参考答案1．D【分析】由面面平行的定义和性质，结合空间两直线的位置关系，即可判断．【详解】⊂，由于平面α与平面β平行，且直线aα则α，β没有公共点，α，β内的直线也没有公共点，它们可以平行或异面，则A，B，C错误，D正确．故选：D．2．A【分析】根据平面的特性和平面的画法判断.【详解】在立体几何中，平面是无限延展的，故①③错误；通常我们画一个平行四边形来表示一个平面，但并不是说平面就是平行四边形，故②错误，故选：A.3．D【分析】根据平面的表示方法判断．【详解】③中AD不为对角线，故错误；⑤中漏掉“平面”两字，故错误.故选：D.4．C【分析】由空间线面位置关系，结合公理即推论，逐个验证即可．【详解】选项A，点P在是两平面的公共点，当然在交线上，故正确；选项B，由公理的推论可知，两相交直线确定一个平面，故正确；选项C ，只有不共线的三点才能确定一个平面，故错误；选项D ，由公理1，直线上有两点在一个平面内，则整条直线都在平面内．故选：C5．A【分析】根据确定平面的公理及其推论对选项逐个判断即可得出结果.【详解】三角形有且仅有3个不在同一条直线上的顶点，故其可以确定一个平面，即A 正确；当四边形为空间四边形时不能确定一个平面，故B 错误；当点在直线上时，一个点和一条直线不能确定一个平面，故C 错误；当两条直线异面时，不能确定一个平面，即D 错误；故选：A .【点睛】本题主要考查平面的基本定理及其推论，解题时要认真审题，仔细解答，属于基础题. 6．A【分析】结合图形考查两个平面的位置关系、两条直线的位置关系，以及点与线、线与面的位置关系．【详解】解：如图所示，两个平面α与β相交于直线m ，直线n 在平面α内，直线m 和直线n 相交于点A ，故用符号语言可表达为m αβ=，n ⊂α，m n A =，故选：A ．【点睛】本题考查平面的画法及表示，点、线、面之间的位置关系的符号表示,意在考查学生的直观想象的学科素养，属基础题．7．C【分析】根据平面的基本性质判断．【详解】两个平面若有三个公共点，当这三个点不共线时，两平面重合，当这三个点共线时，这两个平面相交或重合．故选：C．【点睛】本题考查平面的基本性质，平面的基本性质公理3中一定要注意三点不共线才能确定一个平面，属于基础题．8．A【分析】如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合或者是相交，即可判断；利用两条异面直线不能确定一个平面即可判断；利用平面的基本性质中的公理3判断即可；若两两相交的三条直线相交于同一点，则相交于同一点的三直线不一定在同一平面内（如棱锥的3条侧棱），即可判断.【详解】如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合或者是相交，故（1）不正确；两条异面直线不能确定一个平面，故（2）不正确；利用平面的基本性质中的公理3判断（3）正确；空间中，若两两相交的三条直线相交于同一点，则相交于同一点的三直线不一定在同一平面内（如棱锥的3条侧棱），故（4）不正确，综上所述只有一个说法是正确的，故选：A．【点睛】本题主要考查了空间中点，线，面的位置关系.属于较易题.9．A【分析】由两个面的交点在两个面的交线上，知P在两面的交线上，由AC是两平面的交线，知点P 必在直线AC上．【详解】解：∵EF在面ABC内，而GH在面ADC内，且EF和GH能相交于点P，∴P在面ABC和面ADC的交线上，∵AC是两平面的交线，所以点P必在直线AC上．故选：A．【点睛】本题考查平面的基本性质及其推论，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．10．A【分析】-的四个顶点，取ABC及其内部一点（不包括边界），可判断①的正误；取三棱锥A BCD可判断②的正误；利用空间中的公理可判断③的正误；由A、B、C、D四点共线可判断④的正误.综合可得出结论.【详解】对于命题①，如下图所示：点D为ABC内一点，则A、B、C、D四点共面，但这四点中无任何三点共线，①错误；-的四个顶点，A、B、C、D四点中无对于命题②，空间四点不共面，如三棱锥A BCD任何三点共线，②正确；∈，则这四点共面；对于命题③，如果A、B、C三点共线，且D AC∉，则过点D与直线AC有且只有一个平面.如果A、B、C三点共线，且D AC所以，③正确；对于命题④，取ABC及AB的中点D，则A、B、D共线，④错误.故选：A.【点睛】本题考查空间点共面与点共线的判断，属于基础题.11．B【解析】因为正方体的四条体对角线相交于同一点(正方体的中心)，因此经过正方体任意两条体对角线，有且只有一个平面，故选B．点睛：确定平面方法: 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面;经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；经过两条相交直线有且只有一个平面；经过两条平行直线有且只有一个平面．12．B【分析】由题意得出，P∈平面ADC，P∈平面ABC，从而可得出选项.【详解】GH EF交于一点P，所以P∈平面ADC.又因为EF⊆由题意知GH⊆平面ADC.因为,平面ABC，所以P∈平面ABC.=，所以点P一定在直线AC上.又因为平面ABC平面ADC AC又B∈平面ABC，D∈平面ACD,但BD不同时在平面ABC和平面ACD中，所以P BD∉.故选：B.【点睛】本题主要考查了空间中点共线以及两个面的交线的问题，属于基础题.13．B【分析】根据空间中线线、线面、面面位置关系，逐项判断，即可得出结果.【详解】①若三个平面两两相交有三条交线，则三交线相互平行，或交于一点（如三棱锥的三个侧面）；故①错；②一块豆腐切三刀，最多可且8块；因此，三个平面最多可将空间分为8个部分；故②正确； ③过正方体的一个顶点，作如图所示截面，即可得出截面为五边形，故③错；④记直线a ，b 为空间中两异面直线，则必存在直线c ，使得//c a 且c 与b 相交；过直线b ，c 作平面α；若直线l α⊥，则l 必分别垂直于直线 a ，b ；由根据线面垂直的性质，过空间中任意一点，有且只有一条直线与平面垂直，因此过空间任意一点有且只有一条直线与两异面直线垂直，故④正确；故选：B【点睛】本题主要考查14．A【分析】取AD 的中点F ，连接CF 、EF ，于是得到异面直线CE 与BD 所成的角为CEF ∠，然后计算出CEF ∆的三条边长，并利用余弦定理计算出CEF ∠，即可得出答案．【详解】如下图所示，取AD 的中点F ，连接CF 、EF ，由于E 、F 分别为AB 、AD 的中点，则//EF BD ，且112EF BD ==，所以，异面直线CE 与BD 所成的角为CEF ∠或其补角，三棱锥A BCD -是边长为2的正四面体，则ABC ∆、ACD ∆均是边长为2的等边三角形， E 为AB 的中点，则CE AB ⊥，且223CE AC AE -=3CF =在CEF ∆中，由余弦定理得2223cos 2231CE EF CF CEF CE EF +-∠===⋅⨯ 因此，异面直线CE 与BD 3A ．【点睛】本题考查异面直线所成角的计算，利用平移法求异面直线所成角的基本步骤如下：（1）一作：平移直线，找出异面直线所成的角；（2）二证：对异面直线所成的角进行说明；（3）三计算：选择合适的三角形，并计算出三角形的边长，利用余弦定理计算所求的角． 15．C【分析】过点D 作11//DF AC 交11A B 于点F ，连接1,AF A D ，得到ADF ∠为异面直线11A C 与AD 所成的角，在ADF ∆中，利用余弦定理，即可求解.【详解】如图所示，过点D 作11//DF AC 交11A B 于点F ，连接1,AF AD ，则ADF ∠为异面直线11A C 与AD 所成的角，由题意，在直角11A B D ∆中，可得2212222A D =+= 在直角1AA D ∆中，可得()22221142226AD AA A D =+=+=在直角1B DF ∆中，可得22125DF =+=，在直角1AA F ∆中，可得224117AF =+=，所以22230cos 2102265AD DF AF ADF AD DF +-∠===⋅⨯⨯. 故选：C.【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，其中解答中熟记异面直线所成的角的概念，准确运算是解答的关键，着重考查推理与计算能力.。

{北师大版}2020高考数学文科一轮复习课后练38《空间图形的基本关系与公理》附答案详析

{北师大版}2020高考数学文科一轮复习课后练38《空间图形的基本关系与公理》(建议用时：60分钟)A 组基础达标一、选择题1．下列命题中，真命题的个数为()①如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点，那么这两个平面重合；②两条直线可以确定一个平面；③空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内；④若M ∈α，M ∈β，α∩β＝l ，则M ∈l .A．1B．2C．3D．42．α是一个平面，m ，n 是两条直线，A 是一个点，若m α，n α，且A ∈m ，A ∈α，则m ，n 的位置关系不可能是()A．垂直B．相交C．异面D．平行3．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是线段BC ，CD 1的中点，则直线A 1B 与直线EF 的位置关系是()A．相交B．异面C．平行D．垂直═∥4．a ，b ，c 是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是()A．若直线a ，b 异面，b ，c 异面，则a ，c 异面B．若直线a ，b 相交，b ，c 相交，则a ，c 相交C．若a ∥b ，则a ，b 与c 所成的角相等D．若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c5．如图所示，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为()A．15B．25C．35D．45二、填空题6．(2019·长春模拟)下列命题中不正确的是________．(填序号)①没有公共点的两条直线是异面直线；②分别和两条异面直线都相交的两直线异面；③一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线不可能平行；④—条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面．7．(2019·荆门模拟)已知在四面体ABCD中，E，F分别是AC，BD的中点．若AB＝2，CD＝4，EF⊥AB，则EF 与CD所成角的度数为________．8．如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．三、解答题9．已知空间四边形ABCD(如图所示)，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点，且CG＝13 BC，CH＝13DC．求证：(1)E，F，G，H四点共面；(2)三直线FH，EG，AC共点．10．如图所示，在三棱锥PABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点．已知∠BAC＝π2，AB＝2，AC＝23，PA＝2.求：(1)三棱锥PABC的体积；(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值．B 组能力提升1．已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为()A．16B.36C．13D.332.如图所示，在四面体ABCD 中作截面PQR ，若PQ 与CB 的延长线交于点M ，RQ 与DB 的延长线交于点N ，RP 与DC 的延长线交于点K .给出以下命题：①直线MN 平面PQR ；②点K 在直线MN 上；③M ，N ，K ，A 四点共面．其中正确结论的序号为________．3．如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP 与BD 所成的角为________．4．如图，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与四边形ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠FAB ＝90°，BC ═∥12AD ，BE ═∥12FA ，G ，H 分别为FA ，FD 的中点．(1)求证：四边形BCHG是平行四边形；(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？解析{北师大版}2020高考数学文科一轮复习课后练38《空间图形的基本关系与公理》(建议用时：60分钟)A组基础达标一、选择题1．下列命题中，真命题的个数为()①如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点，那么这两个平面重合；②两条直线可以确定一个平面；③空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内；④若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l.A．1B．2C．3D．4B [根据公理2，可判断①是真命题；两条异面直线不能确定一个平面，故②是假命题；在空间，相交于同一点的三条直线不一定共面(如墙角)，故③是假命题；根据平面的性质可知④是真命题．综上，真命题的个数为2.]2．α是一个平面，m ，n 是两条直线，A 是一个点，若m α，n α，且A ∈m ，A ∈α，则m ，n 的位置关系不可能是()A．垂直B．相交C．异面D．平行D[∵mα，n α，且A ∈m ，A ∈α，∴n 在平面α内，m 与平面α相交于点A ，∴m 和n 异面或相交，一定不平行．]3．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是线段BC ，CD 1的中点，则直线A 1B 与直线EF 的位置关系是()A．相交B．异面C．平行D．垂直═∥A[由BC ═∥AD ，AD ═∥A 1D 1知，BC ═∥A 1D 1，从而四边形A 1BCD 1是平行四边形，所以A 1B ∥CD 1，又EF平面A 1BCD 1，EF ∩D 1C ＝F ，则A 1B 与EF 相交．]4．a ，b ，c 是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是()A．若直线a ，b 异面，b ，c 异面，则a ，c 异面B．若直线a ，b 相交，b ，c 相交，则a ，c 相交C．若a ∥b ，则a ，b 与c 所成的角相等D．若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c C [对于A，B，D，a 与c 可能相交、平行或异面，因此A，B，D 不正确，根据异面直线所成角的定义知C 正确．]5．如图所示，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为()A．15B．25C．35D．45D[连接BC 1，易证BC 1∥AD 1，则∠A 1BC 1即为异面直线A 1B 与AD 1所成的角．连接A 1C 1，由AB ＝1，AA 1＝2，则A 1C 1＝2，A 1B ＝BC 1＝5，在△A 1BC 1中，由余弦定理得cos∠A 1BC 1＝5＋5－22×5×5＝45.]二、填空题6．(2019·长春模拟)下列命题中不正确的是________．(填序号)①没有公共点的两条直线是异面直线；②分别和两条异面直线都相交的两直线异面；③一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线不可能平行；④—条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面．①②[命题①错，没有公共点的两条直线平行或异面；命题②错，此时两直线有可能相交；命题③正确，因为若直线a 和b 异面，c ∥a ，则c 与b 不可能平行，用反证法证明如下：若c ∥b ，又c ∥a ，则a ∥b ，这与a ，b 异面矛盾，故c 与b 不平行；命题④正确，若c 与两异面直线a ，b 都相交，可知a ，c 可确定一个平面，b ，c 也可确定一个平面，这样，a ，b ，c 共确定两个平面．]7．(2019·荆门模拟)已知在四面体ABCD 中，E ，F 分别是AC ，BD 的中点．若AB ＝2，CD ＝4，EF ⊥AB ，则EF 与CD 所成角的度数为________．30°[如图，设G 为AD 的中点，连接GF ，GE ，则GF ，GE 分别为△ABD ，△ACD 的中位线．由此可得GF ∥AB ，且GF ＝12AB ＝1，GE ∥CD ，且GE ＝12CD ＝2，∴∠FEG 或其补角即为EF 与CD 所成的角．又∵EF ⊥AB ，GF ∥AB ，∴EF ⊥GF .因此，在Rt△EFG 中，GF ＝1，GE ＝2，sin∠GEF ＝GF GE ＝12，可得∠GEF ＝30°，∴EF 与CD 所成角的度数为30°.]8．如图是正四面体的平面展开图，G ，H ，M ，N 分别为DE ，BE ，EF ，EC 的中点，在这个正四面体中，①GH 与EF 平行；②BD 与MN 为异面直线；③GH 与MN 成60°角；④DE 与MN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．②③④[如图，把平面展开图还原成正四面体，知GH 与EF 为异面直线，BD 与MN 为异面直线，GH 与MN 成60°角，DE 与MN 垂直，故②③④正确．]三、解答题9．已知空间四边形ABCD (如图所示)，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，G ，H 分别是BC ，CD 上的点，且CG ＝13BC ，CH ＝13DC．求证：(1)E ，F ，G ，H 四点共面；(2)三直线FH ，EG ，AC 共点．[证明](1)连接EF ，GH ，因为E ，F 分别是AB ，AD 的中点，所以EF ∥BD .又因为CG ＝13BC ，CH ＝13DC ，所以GH ∥BD ，所以EF ∥GH ，所以E ，F ，G ，H 四点共面．(2)易知FH 与直线AC 不平行，但共面，所以设FH ∩AC ＝M ，所以M ∈平面EFHG ，M ∈平面ABC．又因为平面EFHG ∩平面ABC ＝EG ，所以M ∈EG ，所以FH ，EG ，AC 共点．10．如图所示，在三棱锥P ABC 中，PA ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点．已知∠BAC ＝π2，AB ＝2，AC ＝23，PA ＝2.求：(1)三棱锥P ABC 的体积；(2)异面直线BC 与AD 所成角的余弦值．[解](1)S △ABC ＝12×2×23＝23，三棱锥P ABC 的体积为V ＝13S △ABC ·PA ＝13×23×2＝433.(2)如图，取PB 的中点E ，连接DE ，AE ，则ED ∥BC ，所以∠ADE 是异面直线BC 与AD 所成的角(或其补角)．在△ADE 中，DE ＝2，AE ＝2，AD ＝2，cos∠ADE ＝22＋22－22×2×2＝34.故异面直线BC 与AD 所成角的余弦值为34.B 组能力提升1．已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为()A．16B.36C．13D.33B [画出正四面体ABCD 的直观图，如图所示．设其棱长为2，取AD 的中点F ，连接EF ，设EF 的中点为O ，连接CO ，则EF ∥BD ，则∠FEC 就是异面直线CE 与BD 所成的角．△ABC 为等边三角形，则CE ⊥AB ，易得CE ＝3，同理可得CF ＝3，故CE ＝CF .因为OE ＝OF ，所以CO ⊥EF .又EO ＝12EF ＝14BD ＝12，所以cos∠FEC ＝EO CE ＝123＝36.]2.如图所示，在四面体ABCD 中作截面PQR ，若PQ 与CB 的延长线交于点M ，RQ 与DB 的延长线交于点N ，RP 与DC 的延长线交于点K .给出以下命题：①直线MN平面PQR；②点K在直线MN上；③M，N，K，A四点共面．其中正确结论的序号为________．①②③[由题意知，M∈PQ，N∈RQ，K∈RP，从而点M，N，K∈平面PQR.所以直线MN平面PQR，故①正确．同理可得点M，N，K∈平面BCD.从而点M，N，K在平面PQR与平面BCD的交线上，即点K在直线MN上，故②正确．因为A∉直线MN，从而点M，N，K，A四点共面，故③正确．]3．如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP与BD所成的角为________．π[如图，将原图补成正方体ABCDQGHP，连接AG，GP，则3GP∥BD，所以∠APG 为异面直线AP 与BD 所成的角，在△AGP 中，AG ＝GP ＝AP ，所以∠APG ＝π3.]4．如图，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与四边形ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠FAB ＝90°，BC ═∥12AD ，BE ═∥12FA ，G ，H 分别为FA ，FD 的中点．(1)求证：四边形BCHG 是平行四边形；(2)C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？[解](1)证明：由题设知，FG ＝GA ，FH ＝HD ，所以GH ═∥12AD .又BC ═∥12AD ，故GH ═∥BC．所以四边形BCHG 是平行四边形．(2)C ，D ，F ，E 四点共面．理由如下：由BE ═∥12FA ，G 是FA 的中点知，BE ═∥GF ，所以EF ═∥BG .由(1)知BG ∥CH ，所以EF ∥CH ，故EC ，FH 共面．又点D 在直线FH 上，所以C ，D ，F ，E 四点共面．。

高考数学(文)分层辅导精选：38空间图形的基本关系与公理

课时分层训练(三十八) 空间图形的基本关系与公理A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．给出下列说法：①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线共面；③有三个公共点的两个平面重合；④三条直线两两相交，可以确定3个平面．其中正确的序号是( )A．①B．①④C．②③D．③④A[显然命题①正确．由三棱柱的三条平行棱不共面知，②错．命题③中，两个平面重合或相交，③错．三条直线两两相交，可确定1个或3个平面，则命题④不正确．]2．(2018·秦皇岛模拟)α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若mα，nα，且A∈m，A∈α，则m，n的位置关系不可能是( )A．垂直B．相交C．异面D．平行D[∵mα，nα，且A∈m，A∈α，∴n在平面α内，m与平面α相交于点A，∴m和n异面或相交，一定不平行．]3．若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是( )A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1与l4既不垂直也不平行D．l1与l4的位置关系不确定D[如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，记l1＝DD1，l2＝DC，l3＝DA．若l4＝AA1，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，此时l1∥l4，可以排除选项A和C．若取C1D为l4，则l1与l4相交；若取BA为l4，则l1与l4异面；取C1D1为l4，则l1与l4相交且垂直．因此l1与l4的位置关系不能确定．]4．已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为( ) 【导学号：00090243】A ．45B ．35C ．23D ．57B [连接DF ，则AE ∥DF ，∴∠D 1FD 为异面直线AE 与D 1F 所成的角．设正方体棱长为a ，则D 1D ＝a ，DF ＝52a ，D 1F ＝52a ， ∴cos ∠D 1FD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52a 2－a22·52a ·52a＝35.]5．(2018·泰安模拟)如图739，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，O 是DB 的中点，直线A 1C 交平面C 1BD 于点M ，则下列结论错误的是( )图739A ．C 1，M ，O 三点共线B ．C 1，M ，O ，C 四点共面 C ．C 1，O ，A 1，M 四点共面D ．D 1，D ，O ，M 四点共面D [连结A 1C 1，AC ，则AC ∩BD ＝O ，A 1C ∩平面C 1BD ＝M ，∴三点C 1、M 、O 在平面C 1BD 与平面ACC 1A 1的交线上， ∴C 1，M ，O 三点共线，∴选项A 、B 、C 均正确，选项D 错误．] 二、填空题6. 如图7310所示，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱C 1D 1，C 1C 的中点，有以下四个结论：图7310①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线MN与AC所成的角为60°.其中正确的结论为________．(注：把你认为正确的结论序号都填上)【导学号：00090244】③④[由题图可知AM与CC1是异面直线，AM与BN是异面直线，BN与MB1为异面直线．因为D1C∥MN，所以直线MN与AC所成的角就是D1C与AC所成的角，且角为60°.]7. (2017·佛山模拟)如图7311所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，D是AC的中点，AA1∶AB＝2∶1，则异面直线AB1与BD所成的角为________．图731160°[取A1C1的中点E，连接B1E，ED，AE，在Rt△AB1E中，∠AB1E即为所求，设AB＝1，则A1A＝2，AB1＝3，B1E＝32，AE＝32，故∠AB1E＝60°.]8．(2017·邵阳模拟)如图7312是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，图7312①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．②③④[如图，把平面展开图还原成正四面体，知GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE与MN垂直，故②③④正确．]三、解答题9. 如图7313所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点．问：图7313(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由. 【导学号：00090245】[解](1)AM，CN不是异面直线．理由：连接MN，A1C1，AC．因为M ，N 分别是A 1B 1，B 1C 1的中点，所以MN ∥A 1C 1. 2分又因为A 1A 綊C 1C ，所以A 1ACC 1为平行四边形，所以A 1C 1∥AC ，所以MN ∥AC ，所以A ，M ，N ，C 在同一平面内，故AM 和CN 不是异面直线. 5分 (2)直线D 1B 和CC 1是异面直线.6分理由：因为ABCD A 1B 1C 1D 1是正方体，所以B ，C ，C 1，D 1不共面．假设D 1B 与CC 1不是异面直线，则存在平面α，使D 1B 平面α，CC 1平面α，所以D 1，B ，C ，C 1∈α，10分这与B ，C ，C 1，D 1不共面矛盾，所以假设不成立，即D 1B 和CC 1是异面直线.12分10．如图7314所示，在三棱锥P ABC 中，PA ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点．已知∠BAC ＝π2，AB ＝2，AC ＝23，PA ＝2.求：图7314(1)三棱锥P ABC 的体积；(2)异面直线BC 与AD 所成角的余弦值． [解] (1)S △ABC ＝12×2×23＝23，三棱锥P ABC 的体积为V ＝13S △ABC ·PA ＝13×23×2＝433. 5分(2)如图，取PB 的中点E ，连接DE ，AE ，则ED ∥BC ，所以∠ADE 是异面直线BC 与AD 所成的角(或其补角).8分在△ADE 中，DE ＝2，AE ＝2，AD ＝2，cos ∠ADE ＝22＋22－22×2×2＝34.故异面直线BC 与AD 所成角的余弦值为34.12分B 组能力提升 (建议用时：15分钟)1．下图是正方体或四面体，P ，Q ，R ，S 分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是( )【导学号：00090246】D [在A 图中分别连接PS ，QR ，易证PS ∥QR ，所以P ，Q ，R ，S 共面；在B 图中过P ，Q ，R ，S 可作一正六边形，故四点共面；在C 图中分别连接PQ ，RS ，易证PQ ∥RS ，所以P ，Q ，R ，S 共面； D 图中PS 与QR 为异面直线，所以P ，Q ，R ，S 四点不共面．]2. 如图7315，正方形ACDE 与等腰直角三角形ACB 所在的平面互相垂直，且AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，F ，G 分别是线段AE ，BC 的中点，则AD 与GF 所成的角的余弦值为________．图731536[取DE 的中点H ，连接HF ，GH . 由题设，HF 綊12AD ，∴∠GFH 为异面直线AD 与GF 所成的角(或其补角)．在△GHF 中，可求HF ＝2，GF ＝GH ＝6，∴cos ∠GFH ＝22＋62－622×2×6＝36.] 3．已知三棱锥A BCD 中，AB ＝CD ，且直线AB 与CD 成60°角，点M ，N 分别是BC ，AD 的中点，求直线AB 和MN 所成的角．[解] 如图，取AC 的中点P .连接PM ，PN ，又点M ，N 分别是BC ，AD 的中点，则PM ∥AB ，且PM ＝12AB ，PN ∥CD ，且PN ＝12CD ，所以∠MPN 为AB 与CD 所成的角(或其补角)．则∠MPN ＝60°或∠MPN ＝120°，①若∠MPN ＝60°，因为PM ∥AB ，所以∠PMN 是AB 与MN 所成的角(或其补角)．又因为AB ＝CD ，所以PM ＝PN ，则△PMN 是等边三角形，所以∠PMN ＝60°，即AB 和MN 所成的角为60°.②若∠MPN ＝120°，则易知△PMN 是等腰三角形，所以∠PMN ＝30°，即AB 和MN 所成的角为30°. 综上，直线AB 和MN 所成的角为60°或30°.。

高考数学总复习 82空间图形的基本关系与公理课后作业试题

【走向高考】2021年高考数学总复习 8-2空间图形的根本关系与公理课后作业北师大版创作人：历恰面日期：2020年1月1日一、选择题1．平面外一点P和平面内不一共线三点A、B、C，A′、B′、C′分别在PA、PB、PC上，假设延长A′B′、B′C′、A′C′与平面分别交于D、E、F三点，那么D、E、F三点( ) A．成钝角三角形B．成锐角三角形C．成直角三角形D．在一条直线上[答案] D[解析] D、E、F为平面与平面A′、B′、C′的公一共点，由公理3知，D、E、F一共线．2．假设空间中有四个点，那么“这四个点中有三点在同一条直线上〞是“这四个点在同一个平面上〞的( )A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件[答案] A[解析] 假设有三点一共线于l，当第四点在l上时一共面，当第四点不在l上时，l与该点确定一个平面α，这四点一共面于α；假设四点一共面，那么未必有三点一共线．3．(2021·文，4)假设直线l不平行于平面α，且lα，那么( )A．α内的所有直线与l异面B．α内不存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l都相交[答案] B[解析] 此题考察了线面、线线关系问题．由题意可得，l与α相交，那么α内不存在与l平行的直线；(反证法)假假设∃m l，那么m∥l又∵lα，∴l∥α这与l不平行平面α相矛盾．故假设错误．4．(文)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、CC1的中点，那么在空间中与三条直线A1D1、EF、CD都相交的直线( )A．不存在B．有且只有两条C．有且只有三条D．有无数条[答案] D[解析]在EF上任意取一点M，直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有1个交点N，当M 取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这3条异面直线都有交点．(理)如以下图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线OE与FD1所成角的余弦值等于( )A.105B.155C.45D.23[答案] B[解析] 取C1D1的中点G，连OG，GE，易知∠GOE就是两直线OE与FD1所成的角或者所成角的补角．在△GOE中由余弦定理知cos∠GOE＝OG2＋OE2－EG2 2OG·OE＝5＋3－22×5×3＝155.5．(2021·理，8)α1，α2，α3是三个互相平行的平面，平面α1，α2之间的间隔为d1，平面α2，α3之间的间隔为d2，直线l与α1，α2，α3分别相交于P1，P2，P3.那么“P1P2＝P2P3〞是“d1＝d2〞的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[分析] 此题借助平面的根本性质，考察了逻辑推理及立体几何知识，还考察了空间想象才能以及数形结合思想．[答案] C[解析]如上图，α1∥α2∥α3，l与α1，α2，α3分别交于点P1，P2，P3；作FP3⊥α1，且FP3与α2交于点E，那么FE＝d1，EP3＝d2.根据“两平行平面与一平面相交所得的交线平行〞得P1F∥P2E，那么P1P2P2P3＝d1d2，显然“P1P2＝P2P3〞是“d1＝d2〞的充分必要条件．6．(文)m、n为异面直线，m平面α，n平面β，α∩β＝l，那么l( )A．与m、n都相交B．与m、n中至少一条相交C．与m、n都不相交D．与m、n中的一条直线相交[答案] B[解析] 假设m、n都不与l相交，∵mα，nβ，∴m∥l、n∥l，∴m∥n∥l，这与m、n为异面直线矛盾，故l与m、n中至少一条相交．(理)将正方形ABCD沿对角线BD折起，使平面ABD⊥平面CBD，E是CD的中点，那么异面直线AE、BC所成角的正切值为( )A. 2B.2 2C．2 D.1 2[答案] A[解析] 取BD中点F，连AF、EF，∠AEF是AE、BC所成的角，∵平面ABD⊥平面CBD，∴AF⊥EF，∴tan∠AEF＝ 2.二、填空题7．α，β，γ几是三个平面，a，b是两条直线，有以下三个条件．①a∥r，bβ，②a∥γ，b∥β，③b∥β，aγ假如命题“α∩β＝a，b r，且________那么a∥b〞为真命题．[答案] ①③[解析] ①中α∥γ，aβ，β∩γ＝b⇒a∥b；③b∥β，bγ，β∩γ＝a⇒a∥b.8．如以下图，在四面体ABCD中，E、F分别是AC和BD的中点，假设CD＝2AB＝4，EF⊥AB，那么EF与CD所成的角是________．[答案] 30°[解析]取AD的中点H.连接FH、HE.那么EH∥CD，FH∥AB，∴∠FEH为EF、CD所成角，∴EF⊥FH，EH＝2，又FH＝1，∴∠FEH＝30°.∴EF与CD所成的角为30°.三、解答题9．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1.求：(1)AB与B1C所成的角；(2)AB与B1D的间隔．[解析] (1)∵AB∥CD，∴∠B1CD为AB和B1C所成的角，∵DC⊥平面BB1C1C，∴DC⊥B1C，于是∠B1CD＝90°，∴AB与B1C所成的角为90°.(2)∵AB∥CD，AB平面B1DC，DC平面B1DC，∴AB∥平面B1DC，从而AB与B1D的间隔即为AB与平面B1DC的间隔，连接BC1交BC于O点，易知BO⊥B1C，BO⊥CD，∴BO⊥平面B1DC，∴BO的长为B到平面B1DC的间隔，∵BO＝2 2，∴AB与B1D的间隔为2 2.一、选择题以下图，M是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出以下四个命题：①过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都相交；②过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都垂直；③过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都相交；④过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都平行．其中真命题是( )A．②③④ B．①③④C．①②④ D．①②③[答案] C[解析] 此题考察了立体几何中点线面之间的位置关系的断定，在解题过程中采用了反证的思想，多做有益假设便于做出判断，如①假设还能作一条线，那么两相交线确定一平面，从而证明AB，B1C1一共面与它们异面矛盾，从而假设不正确，①正确，②④也是同样的方法证明．2．(文)对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得( )A．aα，bαB．aα，b∥αC．a⊥α，b⊥αD．aα，b⊥α[答案] B[解析] a、b异面时，A错，C错；假设D正确，那么必有a⊥b，故排除A、C、D，选B.(理)一个正方体纸盒展开后如以下图，在原正方体纸盒中有以下结论：①AB⊥EF；②AB与CM成60°的角；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.其中正确的选项是( )A．①②B．③④C．②③D．①③[答案] D[解析] 如以下图，画出折叠后的正方体后，由正方体的性质知①③正确，应选D.二、填空题3．两异面直线a、b所成角为60°，直线l与a、b所成角均为θ，那么θ的取值范围是________．[答案] [30°，90°][解析] 平移使它们均过同一点O，当l在60°角的平分线位置时，θ＝30°，将l绕着O点转动到与a，b都垂直时，θ＝90°.∴30°≤θ≤90°.4．(文)a，b，c是空间中的三条直线，下面给出五个命题：①假设a∥b，b∥c，那么a∥c；②假设a⊥b，b⊥c，那么a∥c；③假设a与b相交，b与c相交，那么a与c相交；④假设a平面α，b平面β，那么a，b一定是异面直线；⑤假设a，b与c成等角，那么a∥b.上述命题中正确的命题是________(只填序号)．[答案] ①[解析] 由公理4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故②不正确；当a与b相交，b与c相交，a与c可以相交、平行，也可以异面，故③不正确；aα，bβ，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内〞，故④不正确；当a，b与c成等角时，a与b可以相交、平行，也可以异面，故⑤不正确．(理)如以下图是正四面体的平面展开图，G、H、M、N分别为DE、BE、EF、EC的中点，在这个正四面体中，①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．[答案] ②③④[解析] 复原成正四面体知GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE ⊥MN.三、解答题5．空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD上的点，请答复以下问题：(1)满足什么条件时，四边形EFGH为平行四边形？(2)满足什么条件时，四边形EFGH为矩形？(3)满足什么条件时，四边形EFGH为正方形？[分析] 四边形是平行四边形、矩形、正方形，首先转化为线线平行问题，而证线线平行或者用平面几何的方法也可用公理4.[解析] 此题是一个开放性问题．(1)E、F、G、H为所在边的中点时，四边形EFGH为平行四边形．证明如下：∵E、H分别是AB、AD的中点，∴EH∥BD，且EH＝12 BD.同理，FG∥BD，且FG＝12 BD，从而EH∥FG，且EH＝FG，所以四边形EFGH为平行四边形．一般地AEAB＝AHAD＝CFCB＝CGCD时EFGH为平行四边形．(2)AEAB＝AHAD＝CFCB＝CGCD且BD⊥AC时，四边形EFGH为矩形．(3)当E、F、G、H为所在边的中点且BD⊥AC，AC＝BD时，四边形EFGH为正方形．[点评] 上述答案并不唯一，如当AE:AB＝AH:AD＝CF:CB＝CG:CD时，四边形EFGH也为平行四边形．6．如以下图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为D1C1、B1C1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q，假设A1C交平面BDEF于点R，试确定点R的位置．[解析] 如上图，在正方体AC1中，∵Q∈A1C1，∴Q∈平面A1C1CA.又Q∈EF，∴Q∈平面BDEF，即Q是平面A1C1CA与平面BDEF的公一共点．同理，P也是平面A1C1CA与平面BDEF的公一共点．∴平面A1C1CA∩平面BDEF＝PQ，又A1C∩平面BDEF＝R，∴R∈A1C，∴R∈平面A1C1CA，又R∈平面BDEF，∴R∈PQ，∴R是A1C与PQ的交点．7．(文)如以下图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点．求异面直线A1E与GF所成角的大小．[解析] 连接B1G，EG，B1F，CF.∵E、G是棱DD1、CC1的中点，∴A1B1綊EG.∴四边形A1B1GE是平行四边形．∴B1G∥A1E.∴∠B1GF(或者其补角)就是异面直线A1E与GF所成的角．在Rt△B1C1G中，B1C1＝AD＝1，C1G＝12AA1＝1，∴B1G＝ 2.在Rt△FBC中，BC＝BF＝1，∴FC＝ 2.在Rt△FCG中，CF＝2，CG＝1，∴FG＝ 3.在Rt△B1BF中，BF＝1，B1B＝2，∴B1F＝5，在△B1FG中，B1G2＋FG2＝B1F2，∴∠B1GF＝90°.因此，异面直线A1E与GF所成的角为90°.(理)如以下图，ABCD－A1B1C1D1是正四棱柱．(1)求证：BD⊥平面ACC1A1；(2)二面角C1－BD－C的大小为60°，求异面直线BC1与AC所成角的余弦值．[解析] 解法一：(1)证明：∵ABCD－A1B1C1D1是正四棱柱，∴CC1⊥平面ABCD，∴BD⊥CC1，∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC，又∵AC、CC1平面ACC1A1，且AC∩CC1＝C，∴BD⊥平面ACC1A1.(2)设BD与AC相交于O，连接C1O.∵CC1⊥平面ABCD，BD⊥AC，∴BD⊥C1O，∴∠C1OC是二面角C1－BD－C的平面角，∴∠C1OC＝60°.连接A1B，∵A1C1∥AC，∴∠A1C1B是BC1与AC所成的角．设BC＝a，那么CO＝22a，CC1＝CO·tan60°＝62a，A1B＝BC1＝102a，A1C1＝2a.在△A1BC1中，由余弦定理得，cos ∠A 1C 1B ＝A 1C 21＋BC 21－A 1B 22A 1C 1·BC 1＝55， ∴异面直线BC 1与AC 所成角的余弦值为55. 解法二：(1)证明：建立空间直角坐标系Dxyz ，如以下图：设AD ＝a ，DD 1＝b ，那么有D (0,0,0)，A (a,0,0)，B (a ，a,0)，C (0，a,0)，C 1(0，a ，b )． ∴BD →＝(－a ，－a,0)，AC →＝(－a ，a,0)，CC 1→＝(0,0，b )， ∴BD →·AC →＝0，BD →·CC 1→＝0，∴BD ⊥AC ，BD ⊥CC 1，又∵AC 1、CC 1平面ACC 1A 1，且AC ∩CC 1＝C ， ∴BD ⊥平面ACC 1A .(2)设BD 与AC 相交于O ，连接C 1O ，那么点O 坐标为(a 2，a 2，0)，OC 1→＝(－a 2，a2，b )． ∵BD →·OC 1→＝0， ∴BD ⊥C 1O ，又BD ⊥CO ，∴∠C 1OC 是二面角C 1－BD －C 的平面角，∴∠C 1OC ＝60°，∵tan ∠C 1OC ＝CC 1OC ＝b 22a ＝3， ∴b ＝62a ，∵AC →＝(－a ，a,0)，BC 1→＝(－a,0，b )，∴cos 〈AC →，BC 1→〉＝AC →·BC 1→|AC →|·|BC 1→|＝55. ∴异面直线BC 1与AC 所成的余弦值为55.。

高三大一轮复习讲义数学文课时作业：空间图形的基本关系与公理北师大含解析

课时作业(四十) 空间图形的基本关系与公理A 级1．(2011·浙江卷)若直线l 不平行于平面α，且l ⃘α，则( ) A ．α内的所有直线与l 异面 B ．α内不存在与l 平行的直线 C ．α内存在唯一的直线与l 平行 D ．α内的直线与l 都相交2．若异面直线a ，b 分别在平面α，β内，且α∩β＝l ，则直线l ( ) A ．与直线a ，b 都相交 B ．至少与a ，b 中的一条相交 C ．至多与a ，b 中的一条相交D ．与a ，b 中的一条相交，另一条平行3．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是线段C 1D ，BC 的中点，则直线A 1B 与直线EF 的位置关系是( )A ．相交B ．异面C ．平行D ．垂直4．下列命题正确的个数为( ) ①经过三点确定一个平面 ②梯形可以确定一个平面③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面 ④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合 A ．0 B ．1 C ．2D ．3 5．下列命题中不正确的是( )A ．若a α，b α，l ∩a ＝A ，l ∩b ＝B ，则l α B ．若a ∥c ，b ∥c ，则a ∥bC ．a ⃘α，bα，a ∥b ，则a ∥αD ．若一直线上有两点在已知平面外，则直线上所有点在平面外6．已知空间四边形ABCD 中，M ，N 分别为AB ，CD 的中点，则下列判断：①MN ≥12(AC＋BD )；②MN ＞12(AC ＋BD )；③MN ＝12(AC ＋BD )；④MN ＜12(AC ＋BD )．其中正确的是________．7．设P 表示一个点，a ，b 表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确命题的序号是____________．①P∈a，P∈α⇒aα②a∩b＝P，bβ⇒aβ③a∥b，aα，P∈b，P∈α⇒bα④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈b8．在空间中，①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中，逆命题为真命题的是________．(把符合要求的命题序号都填上)9.如图，正方体ABCD－A 1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为________(注：把你认为正确的结论的序号都填上)．10.如图是一正方体ABCD－A1B1C1D1，(1)求A1C1与B1C所成角的大小；(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．11．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是CD的中点，连接AE并延长与BC的延长线交于点F，连接BE并延长交AD的延长线于点G，连接FG.求证：直线FG平面ABCD，且直线FG∥直线A1B1.B级1．如图所示，ABCD－A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是()A．A，M，O三点共线B．A，M，O，A1不共面C．A，M，C，O不共面D．B，B1，O，M共面2．如图所示，三棱锥P－ABC中，P A⊥平面ABC，∠BAC＝60°，P A＝AB＝AC＝2，E是PC的中点．(1)求证AE与PB是异面直线；(2)求三棱锥A－EBC的体积．答案课时作业(四十)A 级1．B 由题意知，直线l 与平面α相交，则直线l 与平面α内的直线只有相交和异面两种位置关系，因而只有选项B 是正确的．2．B 若a ∥l ，b ∥l ，则a ∥b ，故a ，b 中至少有一条与l 相交，故选B.3．A 直线A 1B 与直线外一点E 确定的平面为A 1BCD 1，EF 平面A 1BCD 1，且两直线不平行，故两直线相交．4．C 经过不共线的三点可以确定一个平面，∴①不正确；两条平行线可以确定一个平面，∴②正确；两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面，∴③正确；命题④中没有说清三个点是否共线，∴④不正确． 5．D ∵l ∩a ＝A ，l ∩b ＝B ，∴A ∈l ，A ∈a ，B ∈l ，B ∈b . 又∵a α，b α，∴A ∈α，B ∈α，∴l α，故选项A 正确；由公理4及线面平行的判定定理可知选项B 、C 均正确．若直线上有两点在已知平面外，则该直线平行此平面或与此平面相交，故选项D 不正确． 6．解析：如图，取BC 的中点O ，连接MO ，NO ，则OM ＝12AC ，ON ＝12BD ，在△MON 中，MN ＜OM ＋ON ＝12(AC ＋BD )，∴④正确．答案： ④7．解析：当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，但a⃘α，∴①错；a∩β＝P时，②错；如图∵a ∥b，P∈b，∴P∉a，∴由直线a与点P确定唯一平面α，又a∥b，由a与b确定唯一平面γ，但γ经过直线a与点P，∴γ与α重合，∴bα，故③正确；两个平面的公共点必在其交线上，故④正确．答案：③④8．解析：对于①可举反例，如AB∥CD，A，B，C，D没有三点共线，但A，B，C，D 共面．对于②由异面直线定义知正确，故填②.答案：②9．解析：直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，故①②错误．答案：③④10．解析：(1)如图，连接AC，AB1，由ABCD－A1B1C1D1是正方体，知AA1C1C为平行四边形，所以AC∥A1C1，从而B1C与AC所成的角就是A1C1与B1C所成的角．由AB1＝AC＝B1C可知∠B1CA＝60°，即A1C1与B1C所成角的大小为60°.(2)如(1)中图，连接BD，∵AC∥A1C1，∴AC与EF所成的角就是A1C1与EF所成的角．∵EF是△ABD的中位线，∴EF∥BD.又∵AC⊥BD，∴EF⊥AC，即所求角的大小为90°.11．证明：已知E是CD的中点，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，有A∈平面ABCD，E∈平面ABCD，所以AE平面ABCD. 又因为AE∩BC＝F，所以F∈AE.从而F∈平面ABCD.同理G∈平面ABCD，所以FG平面ABCD.因为EC綊12AB，故在Rt△FBA中，CF＝BC，同理DG＝AD.又在正方形ABCD中，BC綊AD，所以CF綊DG.所以四边形CFGD是平行四边形．所以FG∥CD.又CD∥AB，AB∥A1B1，所以直线FG∥直线A1B1.B级1．A连接A1C1，AC，则A1C1∥AC，∴A1，C1，A，C四点共面，∴A1C平面ACC1A1，∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上．∴A，M，O三点共线．2．解析：(1)证明：假设AE与PB共面，设平面为α，∵A∈α，B∈α，E∈α，∴平面α即为平面ABE，∴P∈平面ABE，这与P∉平面ABE矛盾，所以AE与PB是异面直线．(2)因为E 是PC 中点，所以E 到平面ABC 的距离为12P A ＝1，V A －EBC ＝V E －ABC ＝13×⎝⎛⎭⎫12×2×2×32×1＝33.。

高考数学(理)复习训练：《空间图形的基本关系及公理》(北师大版)

【A级】基础训练1．(2014·台州模拟)以下四个命题中：①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则点A、B、C、D、E共面；③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．正确命题的个数是()A．0B．1C．2 D．3解析：①中显然是正确的；②中若A、B、C三点共线则A、B、C、D、E五点不一定共面．③构造长方体或正方体，如图显然b、c异面故不正确．④中空间四边形中四条线段不共面，故只有①正确．答案：B2．如图所示，ABCD－A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是()A．A，M，O三点共线B．A，M，O，A1不共面C．A，M，C，O不共面D．B，B1，O，M共面解析：连接A1C1，AC，则A1C1∥AC，∴A1，C1，A，C四点共面，∴A1C平面ACC1A1，∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上．∴A，M，O三点共线．答案：A3．(2014·信阳模拟)平面α、β的公共点多于两个，则①α、β垂直；②α、β至少有三个公共点；③α、β至少有一条公共直线；④α、β至多有一条公共直线；以上四个判断中不成立的个数为n，则n等于()A．0 B．1C．2 D．3解析：由条件知当平面α、β的公共点多于两个时，若所有公共点共线，则α、β相交；若公共点不共线，则α、β重合．故①不一定成立；②成立；③成立；④不成立．答案：C4．(2013·高考全国新课标卷)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则()A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l解析：结合给出的已知条件，画出符合条件的图形，然后判断得出．根据所给的已知条件作图，如图所示．由图可知α与β相交，且交线平行于l，故选D.答案：D5．如图所示，表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB、CD、EF 和GH在原正方体中相互异面的有________对．解析：将展开图恢复成正方体后，得到AB和CD、EF和GH、AB和GH三对异面直线．答案：36．如图所示，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________．解析：取BC的中点D，连接AD，B1D.因为ABC－A1B1C1是正三棱柱，所以易得B1D是B1A在平面BCC1B1内的射影，又易得B1D⊥BM，所以根据三垂线定理得B1A⊥BM.所以异面直线B1A和BM所成的角是90°.答案：90°7．(2014·宜城模拟)已知：空间四边形ABCD(如图所示)，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别是BC、CD上的点，且CG＝13BC，CH＝13DC.求证：(1)E、F、G、H四点共面；(2)三直线FH、EG、AC共点．证明：(1)连接EF、GH.由E、F分别为AB、AD的中点，∴EF綊12BD，又CG＝13BC，CH＝13DC，∴HG綊13BD，∴EF∥HG且EF≠HG.∴EF、HG可确定平面α，即E、F、G、H四点共面．(2)由(1)知：EFHG为平面图形，且EF∥HG，EF≠HG. ∴四边形EFHG为梯形，设直线FH∩直线EG＝O，∵点O∈直线FH，直线FH面ACD，∴点O∈平面ACD.同理点O∈平面ABC.又∵面ACD∩面ABC＝AC，∴点O∈直线AC(公理3)．∴直线FH、EG、AC交于点O，即三直线共点．8．在空间四边形ABCD中，已知AD＝1，BC＝3且AD⊥BC，对角线BD＝13 2，AC＝32，求AC和BD所成的角．解：如图，分别取AD、CD、AB、BD的中点E、F、G、H，连接EF、FH、HG、GE、GF.由三角形的中位线定理知EF∥AC，且EF＝34，GE∥BD，且GE＝134.GE和EF所成的锐角(或直角)就是AC和BD所成的角．同理，GH＝12，HF＝32，GH∥AD，HF∥BC，又AD⊥BC，∴∠GHF＝90°，∴GF2＝GH2＋HF2＝1，在△EFG中，EG2＋EF2＝1＝GF2，∴∠GEF＝90°，即AC和BD所成的角为90°.【B级】能力提升1．(2012·高考重庆卷)设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，2和a，且长为a的棱与长为2的棱异面，则a的取值范围是()A．(0，2) B．(0，3)C．(1，2) D．(1，3)解析：根据题意构造四面体ABCD，AB＝a，CD＝2，AC＝AD＝BC＝BD＝1，取CD中点E，连结BE，AE，则AE＝BE＝22.又∵a＜22＋22＝2，∴0＜a＜ 2.故选A.答案：A2．正方体ABCD－A1B1C1D1，E，F分别是AA1，CC1的中点，P是CC1上的动点(包括端点)，过点E、D、P作正方体的截面，若截面为四边形，则P的轨迹是() A．线段C1F B．线段CFC．线段CF和一点C1D．线段C1F和一点C解析：如图，DE∥平面BB1C1C，∴平面DEP与平面BB1C1C的交线PM∥ED，连结EM，易证MP＝ED，∴MP綊ED，则M到达B1时仍可构成四边形，即P到F.而P在C1F之间，不满足要求．P到点C1仍可构成四边形．答案：C3．(2014·天津和平模拟)已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E是AA1的中点，则异面直线D1C与BE所成角的余弦值为()A.15B．31010C.1010D．35解析：连结A1B.由题意知A1D1綊BC，所以四边形A1D1CB为平行四边形，故D1C ∥A1B.所以∠A1BE为异面直线D1C与BE所成的角．不妨设AA1＝2AB＝2，则A1E＝1，BE＝2，A1B＝5，在△A1BE中，cos∠A1BE＝A1B2＋EB2－A1E22A1B·EB＝5＋2－12×5×2＝31010，故选B.答案：B4．如图所示，在四面体ABCD中，E、F分别是AC、BD的中点，若CD＝2AB＝2，EF⊥AB，则EF与CD所成的角等于________．解析：如图所示，H为DA的中点，则FH⊥EF.在Rt△EFH中，HE＝1，HF＝12，∴∠EHF＝60°，即EF与CD所成的角为30°.答案：30°5．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.以上四个命题中，正确命题的序号是________．解析：把正方体的平面展开图还原成原来的正方体如图所示．则AB⊥EF，EF与MN为异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．答案：①③6．设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出五个命题：①若a∥b，b∥c，是a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；④若a平面α，b平面β，则a，b一定是异面直线；⑤若a，b与c成等角，则a∥b.上述命题中正确的命题是________(只填序号)．解析：由公理4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故②不正确；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故③不正确；aα，bβ，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故④不正确；当a ，b 与c 成等角时，a 与b 可以相交、平行，也可以异面，故⑤不正确．答案：①7．(创新题)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的面A 1C 1上有一点P ，如图所示，其中P 点不在对角线B 1D 1上．(1)过P 点在空间中作一直线l ，使l ∥BD ，应该如何作图？并说明理由； (2)过P 点在平面A 1C 1内作一直线m ，使m 与BD 成α角，其中α∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，这样的直线有几条，应该如何作图？解：(1)连结B 1D 1，在平面A 1C 1内过P 作直线l ，使l ∥B 1D 1，则l 即为所求作的直线． ∵B 1D 1∥BD ，l ∥B 1D 1，∴l ∥BD . (2)在平面A 1C 1内作直线m ，使直线m 与B 1D 1相交成α角，∵BD ∥B 1D 1，∴直线m 与直线BD 也成α角，即直线m 为所求作的直线．由图知m 与BD 是异面直线，且m 与BD 所成的角α∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2.当α＝π2时，这样的直线m 有且只有一条，当α≠π2时，这样的直线m 有两条．。

空间图形的基本关系与公理(练习)

理论迁移
知识点三直线与平面的位置关系例 3 已知下列命题：
①若直线 l 平行于平面α内的无数条直线，则 l∥α； ②若直线 a 在平面α外，则 a∥α； ③若直线 a∥直线 b，直线 b 平面α，则 a∥α；无数条直线．其中真命题的个数为 A．1 B．2 C．3 D．4 ( A )
④若直线 a∥直线 b，b α，那么直线 a 平行于平面α内的
BC1的方体B1F， D 连结A1E，C1E，则A1C1E为A1C1与BD1 所成的角(或补角)，在A1C1E中，
A1
1
C1
F1
E1
B1
5 cos A1C1E = 5
D
C
F
A
A1C1 = 5, A1E = 2 5, C1E = 3
A1C1与BD1所成角的余弦值为
5 5
B
E
方法归纳：补形法把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，
在平面α内，故 A 错；若直线 l 与平面α平行，则 l 与平面α内的任意一条直线可能平行，也可能异面，故 B 错；两条平行直线中的一条与一个平面平行，另一条可能与这个平面平行，也可能在这个平面内，故 C 错；由线面平行的定义可知选项 D 正确．
答案
D
二、填空题 5．平面外有两个点，那么这两点的连线与平面的关系是平行或相交 __________________．
解析本题是考查对直线位置关系定义的理解，首先看两直线是否有交点，判断是否相交，然后在没有交点的两直线中判断这两直线是否在同一个平面内，如果不在，那么两直线异面．
答案 (1)平行 (2)异面 (3)相交 (4)异面
变式训练 3 在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，指出与 AB 异面的棱．