高考数学(理科)增分大二轮人教版：第二部分专题5 增分强化练(三十二) (1)

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2020高考数学(理科)增分大二轮人教版增分练：第二部分专题1 增分强化练(九) Word版含解析

增分强化练(九)考点一三角函数的定义、诱导公式及基本关系1．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则θ等于( ) A ．－π6 B ．－π3 C.π6D.π3解析：sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，可得－sin θ＝－3cos θ，|θ|<π2，即tan θ＝3，|θ|<π2，所以θ＝π3，故选D.答案：D2．(2019·绵阳质检)若点P (－3,4)是角α的终边上一点，则sin 2α＝( ) A ．－2425 B ．－725 C.1625D.85 解析：由题意，点P (－3,4)是角α的终边上一点，根据三角函数的定义，可得sin α＝45，cos α＝－35，则sin 2α＝2sin αcos α＝2×45×(－35)＝－2425，故选A. 答案：A3．若7cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝cos(π－α)，则tan 2α＝( )A.377 B.73 C.77D.277解析：由题意得，－7sin α＝－cos α，则tan α＝77. ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2771－17＝73，故选B.答案：B4．(2019·合肥模拟)已知cos α－sin α＝15，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π2＝( ) A ．－2425 B ．－45 C.2425D.45解析：因为cos α－sin α＝15，所以cos 2α－2sin αcos α＋sin 2α＝1－sin 2α＝125，所以sin 2α＝2425，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π2＝sin 2α＝2425，故选C. 答案：C考点二三角函数的性质1．已知函数y ＝4cos x 的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π，值域为[a ，b ]，则b －a 的值是( )A ．4B ．4－2 3C ．6D ．4＋2 3解析：当定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π时，函数y ＝cos x 的值域结合图象可知为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，所以y ＝4cos x 的值域为[－4,2]，所以b －a ＝6，故选C. 答案：C2．(2019·山东安丘质检)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)的图象与x 轴正半轴两交点之间的最小距离为π2，若要将函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的图象向左平移π12个单位长度得到g (x )的图象，则g (x )的单调递增区间为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12＋k π，7π12＋k π(k ∈Z) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12＋k π，π12＋k π(k ∈Z) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6＋k π，π6＋k π(k ∈Z)解析：由函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的图象与x 轴正半轴两交点之间的最小距离为π2，即T 2＝π2，即T ＝π，所以2πω＝π，解得ω＝2，即f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，将函数f (x )的图象向左平移π12个单位长度得到g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，令－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π，k ∈Z ，即函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12＋k π，π12＋k π，k ∈Z ，故选C.答案：C3．将函数f (x )＝cos 2x 的图象向右平移π4个单位长度后得到函数g (x )的图象，则g (x )具有性质( )A ．最大值为1，图象关于直线x ＝π2对称 B ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递增，为奇函数C ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π8，π8上单调递增，为偶函数D ．周期为π，图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，0对称解析：将函数f (x )＝cos 2x 的图象向右平移π4个单位长度后得到函数g (x )＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝sin 2x 的图象．A.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，最大值为1，图象关于直线x ＝π4对称，故A 不正确；B.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4时，2x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，故函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递增，为奇函数，故正确；C.单调递增区间：－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π⇒⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋k π，π4＋k π，k ∈Z ，为奇函数，故不正确；D.周期为π，图象对称中心为：⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0k ∈Z.故D 不正确．故选B. 答案：B4．已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为4，则ω＝________.解析：f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)，由周期计算公式可得T ＝2π|ω|＝4，解得ω＝π2. 答案：π2考点三三角函数的图象1．已知将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2的图象向左平移φ个単位长度后，得到函数g (x )的图象．若g (x )是偶函数，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝( )A.12B.22C.32D ．1解析：由题意可得g (x )＝sin(2x ＋3φ)，因为g (x )是偶函数，所以3φ＝π2＋k π(k ∈Z)，即φ＝π6＋k π3(k ∈Z)，又0<φ<π2，故φ＝π6；所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋π6＝12.故选A. 答案：A2．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，ω>0，|φ|<π2)的图象如图所示，为了得到g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的图象，只需将f (x )的图象上所有点( )A ．向右平移π12个单位长度 B ．向左平移π12个单位长度 C ．向右平移π6个单位长度 D ．向左平移π6个单位长度解析：根据函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，ω>0，|φ|<π2)的图象，可得A ＝1，14·2πω＝7π12－π3，∴ω＝2.再利用五点法作图可得2·π3＋φ＝π，求得φ＝π3， ∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.为了得到g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象，只需将f (x )的图象上所有点向右平移π12个单位长度即可，故选A. 答案：A3．(2019·泉州质检)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图中实线所示，图中圆C 与f (x )的图象交于M ，N 两点，且M 在y 轴上，则下列说法中正确的是( )A ．函数f (x )的最小正周期是2πB ．函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫43π，0成中心对称C ．函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，－π6单调递增D ．函数f (x )的图象向右平移5π12后关于原点成中心对称解析：根据给定函数的图象，可得点C 的横坐标为π3，所以12T ＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，解得T ＝π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，不妨令A >0,0<φ<π，由周期T ＝π，所以ω＝2，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝0，所以φ＝π3，所以f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，令2x ＋π3＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2－π6，k ∈Z ，当k ＝3时，x ＝4π3，即函数f (x )的一个对称中心为(43π，0)，即函数f (x )的图象关于点(43π，0)成中心对称．故选B. 答案：B4．(2019·石家庄模拟)将函数f (x )＝sin 2x 的图象向左平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤φ≤π2个单位长度，得到的函数为偶函数，则φ的值为( ) A.π12 B.π6 C.π3D.π4解析：将函数f (x )＝sin 2x 的图象向左平移φ个单位长度，可得函数g (x )＝sin [2(x ＋φ)]＝sin(2x ＋2φ)．又由函数g (x )为偶函数，所以2φ＝π2＋k π，k ∈Z ，解得φ＝π4＋k π2，k ∈Z ，因为0≤φ≤π2，当k ＝0时，φ＝π4，故选D. 答案：D。

高考数学(理)二轮专题复习：增分练5-1-5 Word版含答案

小题提速练(五)(满分80分，押题冲刺，45分钟拿下客观题满分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．“lg x ＞lg y ”是“10x＞10y”的() A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.∵lg x ＞lg y ，∴x ＞y ＞0，∵10x＞10y，∴x ＞y ，∴lg x ＞lg y 能推出10x＞10y，反之则不能，∴lg x ＞lg y 是“10x＞10y”的充分不必要条件．2．已知集合M ＝{y |y ＝x ＋1x －1，x ∈R ，x ≠1}，集合N ＝{x |x 2－2x －3≤0}，则( ) A ．M ∩N ＝∅ B ．M ⊆∁R N C ．M ⊆∁R MD ．M ∪N ＝R解析：选D.由题意，y ＝x ＋1x －1＝(x －1)＋1x －1(x ≠1)，当x ＞1时，y ≥2x －1x －1＋1＝3，当x ＜1时，y ＝x ＋1x －1＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x ＋11－x ＋1≤－1，则函数y ＝x ＋1x －1(x ≠1)的值域为{y |y ≤－1或y ≥3}，集合M 为函数y ＝x ＋1x －1(x ≠1)的值域，则M ＝{y |y ≤－1或y ≥3}，x 2－2x －3≤0⇔－1≤x ≤3，则N ＝{x |－1≤x ≤3}．分析选项可得M ∩N ＝{－1,3}，A 项错误；∁R N ＝{x |x ＜－1或x ＞3}，有∁R N ⊆M ，B 项错误；M ≠∅，则M ⊆∁R M 不成立，C 项错误；M ∪N ＝R 成立，D 项正确．3．设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则在复平面内，z 2＋2z对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选 D.因为z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则在复平面内z 2＋2z ＝(1－i)2＋21－i＝－2i ＋＋＋－＝－2i ＋＋2＝1－i ，所以在复平面内，z 2＋2z对应的点位于第四象限．4．下表是某工厂1～4月份用电量(单位：万度)的一组数据：由散点图可知，用电量y 与月份x 间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是y ^＝－0.7x ＋a ^，则a ^＝( )A ．10.5B ．5.25C ．5.2D ．5.15解析：选B.x ＝1＋2＋3＋44＝2.5，y ＝4.5＋4＋3＋2.54＝3.5，∴3.5＝－0.7×2.5＋a ^，解得a ^＝5.25.5．将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝2cos 2xB ．y ＝2sin 2x C ．y ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 D ．y ＝cos 2x解析：选A.函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2，再向上平移1个单位得y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＋1＝1＋cos 2x ＝2cos 2x .6．已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成，根据图中标出的尺寸，得这个几何体的表面积是( )A ．4πB ．7πC ．6πD ．5π解析：选D.由三视图知，该几何体是一个简单的组合体，上面是一个半球，半球的直径是2，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是2，圆柱的高是1，∴几何体的表面积由三部分组成，一个半球面，一个圆和一个圆柱的侧面，∴S ＝12×4π×12＋π×12＋2π×1×1＝5π.7．函数y ＝x ln|x ||x |的图象可能是( )解析：选B.令f (x )＝x ln|x ||x |，则f (－x )＝－x ln|－x ||－x |＝－f (x )，所以f (x )是奇函数，排除A 、C ；当x ＞0时，y ＝x ln xx＝ln x 为增函数，排除D. 8．已知数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，若{log 2a n }是公差为－1的等差数列，且S 6＝38，则a 1等于( )A.421B.631C.821D.1231解析：选A.∵{log 2a n }是公差为－1的等差数列， ∴log 2a n ＋1－log 2a n ＝－1，即log 2a n ＋1a n ＝log 212，∴a n ＋1a n ＝12，∴{a n }是公比为12的等比数列，又∵S 6＝a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1261－12＝38， ∴a 1＝421.9．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－log 2x ，实数a ，b ，c 满足f (a )·f (b )·f (c )＜0(0＜a ＜b ＜c )，若实数x 0为方程f (x )＝0的一个解，那么下列不等式中，不可能成立的是( )A ．x 0＜aB ．x 0＞bC ．x 0＜cD ．x 0＞c解析：选D.∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13是R 上的减函数，y ＝log 2x 是(0，＋∞)上的增函数，∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－log 2x 是(0，＋∞)上的减函数，又∵f (a )f (b )f (c )＜0，且0＜a ＜b ＜c ，∴f (a )＜0，f (b )＜0，f (c )＜0或f (a )＞0，f (b )＞0，f (c )＜0，故f (c )＜f (x 0)＝0，故c ＞x 0，故x 0＞c 不可能成立．10．设第一象限内的点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －6≤0，x －y ＋2≥0目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b＞0)的最大值为40，则5a ＋1b的最小值为( )A.256B.94C ．1D ．4解析：选B.作出不等式表示的平面区域如图阴影部分所示，当直线ax ＋by ＝z (a ＞0，b ＞0)过直线x －y ＋2＝0与直线2x －y －6＝0的交点A (8,10)时，目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)取得最大值40，即8a ＋10b ＝40，即4a ＋5b ＝20，则5a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5a ＋1b 4a ＋5b 20＝54＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5b 4a ＋a 5b ≥54＋1＝94.当且仅当5b 4a ＝a 5b 时取等号，则5a ＋1b 的最小值为94.11．已知f (x )，g (x )都是定义在R 上的函数，且满足以下条件：①f (x )＝a x·g (x )(a ＞0，a ≠1)；②g (x )≠0；③f (x )·g ′(x )＞f ′(x )·g (x )．若f g＋f －g －＝52，则a 等于( ) A.12 B ．2 C.54D ．2或12解析：选A.由f g＋f －g －＝52得a 1＋a －1＝52，所以a ＝2或a ＝12.又由f (x )·g ′(x )＞f ′(x )·g (x )，即f (x )g ′(x )－f ′(x )g (x )＞0，也就是⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝－f x gx －g x f xg 2x ＜0，说明函数f xg x ＝a x是减函数，即0＜a ＜1，故a ＝12.12．椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF ⊥BF ，设∠ABF ＝α，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π4，则该椭圆离心率的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，63C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫63，1 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，32 解析：选B.∵B 和A 关于原点对称，∴B 也在椭圆上，设左焦点为F ′，根据椭圆定义|AF |＋|AF ′|＝2a ，又∵|BF |＝|AF ′|，∴|AF |＋|BF |＝2a ①，O 是Rt△ABF 的斜边中点，∴|AB |＝2c ，又|AF |＝2c sin α②，|BF |＝2c cos α③，把②③代入①得：2c sin α＋2c cos α＝2a ，∴c a ＝1sin α＋cos α，即e ＝1sin α＋cos α＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4，∵α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π4，∴π3≤α＋π4≤π2，∴32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4≤1，∴22≤e ≤63. 二、填空题(本题共4小题，每小题5分；共20分)13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ≤0，log 3x ，x ＞0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝________.解析：∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≤0，log 3x ，x ＞0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3-12＞0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－12＝log 33-12＝－12.答案：－1214．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sin C ＝________.解析：由A ＋C ＝2B ，且A ＋B ＋C ＝π，得到B ＝π3，所以cos B ＝12，又a ＝1，b ＝3，根据余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ，即c 2－c －2＝0，因式分解得(c －2)(c ＋1)＝0，解得c ＝2，c ＝－1(舍去)，又sin B ＝32，b ＝3，根据正弦定理b sin B ＝c sin C 得sin C ＝c sin Bb ＝2×323＝1.答案：115．向量V →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1－a n 2，a 2n ＋12a n 为直线y ＝x 的方向向量，a 1＝1，则数列{a n }前2018项的和为________．解析：因为V →是直线y ＝x 的方向向量，得a n ＋1－a n 2＝a 2n ＋12a n，化简得a n ＋1＝a n ，根据数列的递推式发现，此数列各项都相等，都等于第一项a 1，而a 1＝1，则数列{a n }的前2018项和为S 2018＝1×2018＝2018.答案：201816．若点P 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上，过点P 的直线l 2与曲线C ：(x －5)2＋y 2＝16只有一个公共点M ，则|PM |的最小值为________．解析：(x －5)2＋y 2＝16的圆心为(5,0)，半径为4，则圆心到直线的距离为|5＋3|2＝42，点P 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上，过点P 的直线l 2与曲线C ：(x －5)2＋y 2＝16只有一个公共点M ，则|PM |的最小值为22－42＝4.答案：4。

2020高考数学(理科)增分大二轮人教版增分练：第二部分专题1 增分强化练(十) Word版含解析

增分强化练(十)一、选择题1．(2019·湘潭模拟)已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，则2cos θ＋1－2sin (π－θ)cos θ＝( )A ．sin θ＋cos θB ．sin θ－cos θC ．cos θ－sin θD ．3cos θ－sin θ解析：因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，所以sin θ>cos θ，利用三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式，可得2cos θ＋1－2sin (π－θ)cos θ＝2cos θ＋(sin θ－cos θ)2＝2cos θ＋sin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ，故选A. 答案：A2．设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2，x ∈R ，则f (x )是( )A ．最小正周期为π的偶函数B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为π2的偶函数 D ．最小正周期为π2的奇函数解析：∵函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin 2x ，x ∈R ，则f (x )是周期为2π2＝π的奇函数，故选B. 答案：B3．(2019·安阳模拟)已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点(－4,3)，则sin 2α－cos 2α＝( ) A ．－1725 B ．－3125 C ．－53D.75解析：∵角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P (－4,3)，∴x ＝－4，y ＝3，r ＝|OP |＝5，∴sin α＝35，cos α＝－45，∴sin 2α－cos 2α＝2sin αcos α－1＋2sin 2α＝2×35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45－1＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝－3125.故选B. 答案：B4．函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )单调递减区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k －14，k ＋34，k ∈Z D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k －14，2k ＋34，k ∈Z 解析：由题意可得函数的周期为2×⎝ ⎛⎭⎪⎫54－14＝2，∴2πω＝2，解得ω＝π， ∴f (x )＝cos(πx ＋φ)，再根据函数的图象以及五点法作图，可得π4＋φ＝π2，解得φ＝π4，f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π4，令2k π≤πx ＋π4≤2k π＋π，k ∈Z ，可解得2k －14≤x ≤2k ＋34，k ∈Z ， ∴f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k －14，2k ＋34，k ∈Z.故选D.答案：D5．已知直线x ＝π6是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象的一个对称轴，其中φ∈(0,2π)，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<f (π)，则f (x )的单调递增区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π(k ∈Z) 解析：直线x ＝π6是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象的对称轴，则2×π6＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，解得φ＝π6＋k π，k ∈Z ，因为φ∈(0,2π)，∴φ＝π6或φ＝7π6.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<f (π)，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π2＋φ<sin(2π＋φ)，－sin φ<sin φ，∴sin φ>0，∴φ＝π6， f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z. f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z)．故选B.答案：B6．函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)的图象在[0,1]上恰有两个最大值点，则ω的取值范围为( ) A ．[2π，4π] B ．[2π，9π2) C ．[13π6，25π6)D ．[2π，25π6)解析：由题意得ω＋π3≥5π2，ω＋π3<9π2， ∴13π6≤ω<25π6，故选C. 答案：C7．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)相邻两条对称轴间的距离为3π2，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，则下列说法正确的是( ) A ．ω＝2B ．函数y ＝f (x －π)是偶函数C ．函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0对称D ．函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2上单调递增解析：由题意可得，函数f (x )的周期为T ＝2×3π2＝3π，则ω＝2πT ＝23，故A 错误．当x ＝π2时，ωx ＋φ＝23×π2＋φ＝k π，解得φ＝k π－π3(k ∈Z)，∵0<φ<π，故取k ＝1时，φ＝2π3，函数的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋2π3，y ＝f (x －π)＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤23(x －π)＋2π3＝2sin 23x ，函数为奇函数，故B 错误．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23×3π4＋2π3＝2sin 7π6≠0，则函数y ＝f (x )的图象不关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0对称，故C 错误．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2时，23x ＋23π∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2上单调递增，故D正确．故选D. 答案：D8．函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)在[0，π]内的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，则ω的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，43 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，23 D.[]0，1解析：函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)，当x ∈[0，π]时，f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，∴－1≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3≤12，结合余弦函数的性质，则π≤ωπ＋π3≤5π3，解得23≤ω≤43，故ω的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，43.故选A. 答案：A9．(2019·化州模拟)设ω>0，函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3－1的图象向左平移2π3个单位长度后与原图象重合，则ω的最小值是( ) A.23 B.43 C.32 D ．3答案：D10．(2019·淮南模拟)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2，ω>0图象的一部分如图所示．若A ，B ，D 是此函数的图象与x 轴三个相邻的交点，C 是图象上A 、B 之间的最高点，点D 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12，0，则数量积AB →·AC →＝( )A.π22B.π24 C.π26D.π28解析：f (x )＝A sin(ωx ＋φ)．由图象可知A ＝2，且f (0)＝1，故sin φ＝12，因|φ|<π2，故φ＝π6，又ω×11π12＋π6＝k π，k ∈Z ，故ω＝2(6k －1)11，k ∈Z ，由图象可知，⎩⎪⎨⎪⎧2πω>11π12ω>0，故0<ω<2411，故ω＝2，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，故A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2，因此AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，2，故AB →·AC →＝π28，故选D.答案：D11．(2019·株洲模拟)若函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，9π8恰有三个不同的零点x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π4，11π8B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫9π4，7π2 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤5π4，11π8 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤9π4，7π2 解析：由题意得方程cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＝a ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，9π8有三个不同的实数根，令y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，9π8，画出函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的大致图象，如图所示．由图象得，当22≤a <1时，方程cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＝a 恰好有三个根．令2x －π4＝k π，k ∈Z ，得x ＝π8＋k π2，k ∈Z ，当k ＝0时，x ＝π8；当k ＝1时，x ＝5π8.不妨设x 1<x 2<x 3，由题意得点(x 1,0)，(x 2,0)关于直线x ＝π8对称，所以x 1＋x 2＝π4.又结合图象可得π≤x 3<9π8，所以5π4≤x 1＋x 2＋x 3<11π8，即x 1＋x 2＋x 3的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π4，11π8.故选A. 答案：A12．(2019·开封模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫11π36，17π36，|f (x )|<1，则ω的最大值为( ) A ．5 B ．4 C ．3D ．2解析：因为x ＝－π4为f (x )的零点，所以ωx ＋φ＝k 1π，(k 1∈Z)，∴－π4ω＋φ＝k 1π，① 因为x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，所以ωx ＋φ＝k 2π＋π2，(k 2∈Z)，∴π4ω＋φ＝k 2π＋π2，②①＋②得2φ＝(k 1＋k 2)π＋π2，∴φ＝(k 1＋k 2)π2＋π4，因为|φ|≤π2，∴φ＝±π4.②－①得π2ω＝(k 2－k 1)π＋π2，∴ω＝2(k 2－k 1)＋1＝2n ＋1(n ∈Z)，当ω＝5时，如果f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋π4，令5x ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z ，∴x ＝15k π＋120π，当k ＝2时，x ＝9π20∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1136π，1736π，与已知不符．如果f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5x －π4，令5x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，∴x ＝15k π＋320π，当k ＝1时，x ＝7π20∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1136π，1736π，与已知不符．如果ω＝3，如果f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4，令3x ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z ，∴x ＝13k π＋112π，当k ＝1时，x ＝5π12∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1136π，1736π，与已知不符．如果f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4，令3x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，∴x ＝13k π＋14π∉⎝ ⎛⎭⎪⎫1136π，1736π，与已知相符．故选C.答案：C 二、填空题13．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3π2＝13，则cos 2x ＝________.解析：由诱导公式得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3π2＝－cos x ＝13，故cos x ＝－13.由二倍角公式得cos 2x＝2cos 2x －1 ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－132－1＝－79.答案：－7914．(2019·化州模拟)已知α为第一象限角，sin α－cos α＝33，则cos(2 019π－2α)＝________.解析：cos(2 019π－2α)＝－cos 2α，因为sin α－cos α＝33，所以1－sin 2α＝13，所以sin 2α＝23.因为sin α－cos α＝33＞0，α为第一象限角，所以2k π＋π4<α<2k π＋π2，k ∈Z ，所以4k π＋π2<2α<4k π＋π，k ∈Z ，所以cos 2α＝－53，所以cos(2 019π－2α)＝53. 答案：5315．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，－π2＜φ＜0的图象的一个最高点为⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，2，其图象的相邻两个对称中心之间的距离为π2，则φ＝________.解析：∵函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，－π2<φ<0的图象的最高点为⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，2，∴A ＝ 2.∵其图象的相邻两个对称中心之间的距离为T 2＝12·2πω＝π2，∴ω＝2. 再根据2·3π8＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝2k π－π4，k ∈Z ，则φ＝－π4. 答案：－π416．已知函数f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x ≤91π6，若函数F (x )＝f (x )－3的所有零点依次记为x 1，x 2，x 3，…，x n ，x 1<x 2<x 3<…<x n ，则x 1＋2x 2＋2x 3＋…＋2x n －1＋x n ＝________. 解析：令2x ＋π6＝π2＋k π得x ＝π6＋k π2，k ∈Z ，即f (x )的对称轴方程为x ＝π6＋k π2，k ∈Z. ∵f (x )的最小正周期为T ＝π，0≤x ≤91π6， ∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，91π6上有30条对称轴，∴x 1＋x 2＝2×π6，x 2＋x 3＝2×2π3，x 3＋x 4＝2×7π6，…，x n －1＋x n ＝2×44π3，将以上各式相加得：x 1＋2x 2＋2x 3＋...＋2x n －1＋x n ＝2×(π6＋2π3＋7π6＋ (44)3)＝2×π6＋443π2×30＝445π. 答案：445π。

2020高考数学(理科)增分大二轮人教版增分练：第二部分专题6 增分强化练(三十五) Word版含解析

增分强化练(三十五)考点一基本初等函数的图象和性质1．已知幂函数y ＝f (x )的图象经过点(2,22)，则该函数的解析式为( )解析：设幂函数的解析式为y ＝x a .∵幂函数y ＝f (x )的图象过点(2,22)，∴22＝2a ，∴a ＝32，∴该函数的解析式为y ＝，故选C.答案：C2．(2019·南宁模拟)设a ＝log 23，b ＝log 34，c ＝log 58，则( ) A ．c >a >b B ．c >b >a C ．a >b >cD ．a >c >b解析：∵log 34＝log 2764＝lg 64lg 27，log 58＝log 2564＝lg 64lg 25，∴log 34<log 58.又log 23＝log 49>log 48＝32，∴log 23>log 58>log 34，即a >c >b . 故选D. 答案：D3．(2019·张家口、沧州模拟)已知3x ＝33，则log 2x 2＝________. 解析：因为3x ＝33，所以x ＝－12，所以log 2x 2＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝－log 24＝－2.答案：－2考点二函数的零点1．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－|x |＋2，x <1x 2，x ≥1若函数g (x )＝f (x )－mx －m 的图象与x 轴的交点个数恰有3个，则实数m 的取值范围为( ) A ．(0，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(1,2)D ．(1，＋∞)解析：由题可知函数g (x )＝f (x )－mx －m 的图象与x 轴的交点恰有3个，即为函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝mx ＋m 的图象的交点恰有3个，画出函数f (x )的图象如图．函数y ＝mx ＋m 的图象过定点P (－1,0)，且斜率m ，当动直线过点A (1,1)时有2个交点，此时直线的斜率m ＝12，m 增大即有3个交点，故m >12，当动直线与直线y ＝x ＋2平行时有2个交点，故m <1，综上：12<m <1. 答案：B2．(2019·湘潭模拟)a ，b ，c 分别为锐角△ABC 内角A ，B ，C 的对边，函数f (x )＝x 2＋c 2－a 2－ab 有唯一零点，则ba 的取值范围是( ) A ．(1,3) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3 D ．(1,2) 解析：由题意，函数f (x )为偶函数且有唯一零点，则f (0)＝0，所以c 2＝a 2＋ab .由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋ab ，整理得b 2－2ab cos C ＝ab ，即b －2a cos C ＝a ，所以ba ＝1＋2cos C ，由正弦定理，得sin B －2sin A cos C ＝sin A ，即sin(A ＋C )－2sin A cos C ＝sin A ，所以sin C cos A －sin A cos C ＝sin A ，所以sin(C －A )＝sin A ，所以C －A ＝A 或C －A ＋A ＝π(舍)，故C ＝2A ，结合锐角△ABC,3A ＋B ＝π，则0<π－3A <π2，0<2A <π2，所以π6<A <π4，由b a ＝1＋2cos C ，又因为π3<C ＝2A <π2，所以1<ba ＝1＋2cos C <2，即ba 的取值范围是(1,2)，故选D. 答案：D3．若函数f (x )＝ln(e x －1＋e 1－x )－2与g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 2图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1mx i ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：设函数h (x )＝f (x ＋1)＝ln(e x ＋e －x )－2， y ＝h (x )的定义域为R ，因为h (－x )＝ln(e －x ＋e x )－2＝h (x )，所以y ＝h (x )为偶函数，因为y ′＝(e x ＋e －x )′e x ＋e －x＝e x －e －x e x ＋e －x＝1－2e 2x＋1是增函数，故当x ≥0时，y ′≥e 0－e 0＝0，所以当x ≥0时，y ＝h (x )为增函数，由奇偶性可知，当x <0时，y ＝h (x )为减函数，故函数y ＝f (x )关于x ＝1对称，当x ≥1时，y ＝f (x )为增函数，当x <1时，y ＝f (x )为减函数，函数y ＝g (x )是关于x ＝1对称的，作出两个函数的图象，如图所示，两个函数的交点有两个，设它们的横坐标分别为x 1，x 2，由对称性可得x 1＋x 22＝1，即x 1＋x 2＝2，故选A.4．若函数f (x )＝2x ＋1＋log 2a 有零点，则a 的取值范围为________．解析：因为2x >0，所以f (x )>1＋log 2a ，又由指数函数的单调性可知，f (x )＝2x ＋1＋log 2a 单调递增，因此，函数f (x )＝2x ＋1＋log 2a 有零点，只需1＋log 2a <0，解得0<a <12. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 考点三函数的实际应用1．“酒驾猛于虎”．所以交通法规规定：驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2 mg /mL .假设某人喝了少量酒，血液中酒精含量也会迅速上升到0.8 mg/mL ，在停止喝酒后，血液中酒精含量以每小时50%的速度减少，则他可以驾驶机动车至少要经过的时间为( ) A ．1小时 B ．2小时 C ．3小时D ．4小时解析：设n 个小时后才可以驾驶机动车，根据题意可得方程0.8×(1－50%)n ≤0.2,0.5n ≤14，n ≥2，即至少要经过2个小时后才可以驾驶机动车，故选B.答案：B2．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为：V＝a·e－kt.已知新丸经过50天后，体积变为4 9a.若一个新丸体积变为827a，则需经过的天数为()A．125 B．100 C．75 D．50解析：由已知，得49a＝a·e－50k，设经过t1天后，一个新丸体积变为827a，.答案：C。

2020高考数学(理科)增分大二轮人教版增分练：第二部分专题5 增分强化练(三十) Word版含解析

增分强化练(三十)一、选择题1．双曲线x 23－y 29＝1的渐近线方程是( ) A ．y ＝±3x B ．y ＝±13x C ．y ＝±3xD ．y ＝±33x解析：因为x 23－y 29＝1，所以a ＝3，b ＝3，渐近线方程为y ＝±ba x ，即为y ＝±3x ，故选C. 答案：C2．已知双曲线my 2－x 2＝1(m ∈R)与抛物线x 2＝8y 有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为( ) A ．y ＝±3x B ．y ＝±3x C ．y ＝±13xD ．y ＝±33x 解析：∵抛物线x 2＝8y 的焦点为(0,2)，∴双曲线的一个焦点为(0,2)，∴1m ＋1＝4，∴m ＝13， ∴双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，故选A. 答案：A3．已知双曲线C ：x 2m 2－y 23＝1的离心率为2，则C 的焦点坐标为( ) A ．(±2,0) B ．(±2，0) C ．(0，±2)D ．(0，±2)解析：由双曲线C ：x 2m 2－y 23＝1，离心率为2，可得m 2＋3m ＝2，∴m 2＝1, 则c ＝m 2＋3＝2，故双曲线C 的焦点坐标是(±2,0)．故选A. 答案：A4．(2019·呼和浩特模拟)已知双曲线C 1：x 24－y 2k ＝1与双曲线C 2：x 2k －y 29＝1有相同的离心率，则双曲线C 1的渐近线方程为( ) A ．y ＝±32x B ．y ＝±62x C ．y ＝±34xD ．y ＝±64x解析：由双曲线方程可知k >0，双曲线C 1：x 24－y 2k ＝1的离心率为4＋k 2，双曲线C 2：x 2k －y 29＝1的离心率为k ＋9k ，由题意得4＋k 2＝k ＋9k，解得k ＝6, 双曲线C 1为x 24－y 26＝1，则渐近线方程为y ＝±62x ，故选B. 答案：B5．已知双曲线C 的一个焦点坐标为(3，0)，渐近线方程为y ＝±22x ，则C 的方程是( )A ．x 2－y22＝1B.x 22－y 2＝1 C.y 22－x 2＝1D ．y 2－x 22＝1解析：因为双曲线C 的一个焦点坐标为(3，0)，所以c ＝3，又因为双曲线C 的渐近线方程为y ＝±22x ，所以有b a ＝22⇒a ＝2b ，c ＝3，而c ＝a 2＋b 2，所以解得a ＝2，b ＝1，因此双曲线方程为x 22－y 2＝1，故选B. 答案：B6．(2019·岳阳模拟)过抛物线x2＝4y的焦点F作直线，交抛物线于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，若y1＋y2＝6，则|P1P2|＝()A．5 B．6C．8 D．10解析：x2＝4y的焦点为(0,1)，准线为y＝－1，因为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点是过抛物线焦点的直线与抛物线的交点，所以P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点到准线的距离分别是y1＋1，y2＋1，所以由抛物线的定义知|P1P2|＝|P1F|＋|P2F|＝y1＋1＋y2＋1＝y1＋y2＋2＝6＋2＝8，故选C.答案：C7．(2019·洛阳、许昌质检)若双曲线x2－y2b2＝1 (b>0)的一条渐近线与圆x2＋(y－2)2＝1至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是() A．(1,2] B．[2，＋∞) C．(1，3] D．[3，＋∞)解析：双曲线x2－y2b2＝1(b>0)的一条渐近线方程是bx－y＝0，由题意圆x2＋(y－2)2＝1的圆心(0,2)到bx－y＝0的距离不小于1，即2b2＋1≥1，则b2≤3，那么离心率e∈(1,2]，故选A.答案：A8．(2019·咸阳模拟)已知椭圆、双曲线均是以直角三角形ABC的斜边AC的两端点为焦点的曲线，且都过B点，它们的离心率分别为e1，e2，则1e21＋1e22＝()A.32B．2C.52D．4解析：以AC边所在的直线为x轴，AC中垂线所在的直线为y轴建立直角坐标系(图略)，设椭圆方程为x2a21＋y2b21＝1，设双曲线方程为x2a22－y2b22＝1，焦距都为2c不妨设|AB |>|BC |，椭圆和双曲线都过点B ，则|AB |＋|BC |＝2a 1，|AB |－|BC |＝2a 2，所以|AB |＝a 1＋a 2，|BC |＝a 1－a 2，又因为△ABC 为直角三角形，|AC |＝2c ，所以(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2＝(2c )2，即a 21＋a 22＝2c 2，所以a 21c 2＋a 22c 2＝2，即1e 21＋1e 22＝2.故选B. 答案：B9．(2019·乌鲁木齐质检)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，直线l 过焦点F 与抛物线C 分别交于A ，B 两点，且直线l 不与x 轴垂直，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点P (10,0)，则△AOB 的面积为( ) A ．4 3 B ．4 6 C ．8 2D ．8 6解析：设直线l ：x ＝ty ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8xx ＝ty ＋2可以得到y 2－8ty －16＝0，所以AB 的中点M (4t 2＋2,4t )，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点P (10,0)，故t ≠0. 所以AB 的中垂线的方程为y ＝－1t (x －4t 2－2)＋4t ＝－1t ·x ＋8t ＋2t ，令y ＝0可得x ＝8t 2＋2，解方程10＝8t 2＋2得t ＝±1. 此时AB ＝1＋t 2|y 1－y 2|＝81＋t 2t 2＋1＝16，O 到AB 的距离为d ＝21＋t 2＝2，所以S ΔOAB ＝12×16×2＝8 2.故选C.答案：C10．(2019·滨州模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为P ，直线l ：4x －3y ＝0与椭圆C 相交于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝6，点P 到直线l 的距离不小于65，则椭圆离心率的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，59 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32C.⎝⎛⎦⎥⎤0，53D.⎝ ⎛⎦⎥⎤13，32 解析：如图所示，设F ′为椭圆的左焦点，连接AF ′，BF ′，则四边形AFBF ′是平行四边形，∴6＝|AF |＋|BF |＝|AF ′|＋|AF |＝2a ，∴a ＝3.取P (0，b )，∵点P 到直线l ∶4x ＋3y ＝0的距离不小于65， ∴|3b |16＋9≥65，解得b ≥2.∴c ≤9－4＝5，∴0<c a ≤53.∴椭圆E 的离心率范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，53.故选C. 答案：C11．(2019·济宁模拟)已知直线l 过抛物线C ：y 2＝3x 的焦点F ，交C 于A ，B 两点，交C 的准线于点P ，若AF →＝FP →，则|AB |＝( ) A ．3 B ．4 C ．6D ．8解析：如图所示：不妨设A 在第一象限，由抛物线C ：y 2＝3x 可得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，准线DP ：x ＝－34.因为AF →＝FP →，所以F 是AP 的中点，则AD ＝2CF ＝3.所以可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫94，332，则k AF ＝3，所以直线AP 的方程为：y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，联立方程⎩⎨⎧y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34y 2＝3x，整理得：x 2－52x ＋916＝0所以x 1＋x 2＝52，则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝52＋32＝4.故选B. 答案：B12．(2019·晋城模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，直线l 经过点F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线l 与双曲线的右支交于不同两点A ，B ，若AF→＝3FB →，则该双曲线的离心率为( ) A.52 B.62 C.233D. 3解析：由题意得直线l 的方程为x ＝ba y ＋c ，不妨取a ＝1，则x ＝by ＋c ，且b 2＝c 2－1.将x ＝by ＋c 代入x 2－y 2b 2＝1，(b ＞0)，得(b 4－1)y 2＋2b 3cy ＋b 4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－2b 3c b 4－1，y 1y 2＝b 4b 4－1.由AF →＝3FB →，得y 1＝－3y 2，所以⎩⎨⎧－2y 2＝－2b 3cb 4－1－3y 22＝b 4b 4－1，得3b 2c 2＝1－b 4，解得b 2＝14，所以c ＝b 2＋1＝54＝52，故该双曲线的离心率为e ＝c a ＝52，故选A.答案：A 二、填空题13．(2019·合肥质检)抛物线x 2＝8y 的焦点坐标为________．解析：由抛物线方程x 2＝8y 知，抛物线焦点在y 轴上，由2p ＝8，得p2＝2，所以焦点坐标为(0,2)．答案：(0,2)14．已知过P (1,1)的直线l 与双曲线C ：x 2－y 2＝1只有一个公共点，则直线l 的条数为________．解析：双曲线C ：x 2－y 2＝1的渐近线方程y ＝±x ，其中一条渐近线y ＝x 过点P (1,1)，所以过点P (1,1)的直线x ＝1与双曲线右支相切，只有一个公共点，过P (1,1)与y ＝－x 平行的直线y ＝－x ＋2和双曲线右支相交，只有一个公共点，综上共有2条直线符合要求．答案：215．(2019·泰安模拟)抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，动点P 在抛物线C 上，点A (－1,0)，当|PF ||P A |取得最小值时，直线AP 的方程为________．解析：设P 点的坐标为(4t 2,4t )， ∵F (1,0)，A (－1,0)，∴|PF |2＝(4t 2－1)2＋16t 2＝16t 4＋8t 2＋1， |P A |2＝(4t 2＋1)2＋16t 2＝16t 4＋24t 2＋1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫|PF ||P A |2＝16t 4＋8t 2＋116t 4＋24t 2＋1＝1－16t 216t 4＋24t 2＋1＝1－1616t 2＋1t 2＋24≥1－16216t 2·1t 2＋24＝1－1632＝12，当且仅当16t 2＝1t 2，即t ＝±12时取等号，此时点P 坐标为(1,2)或(1，－2)，此时直线AP 的方程为y ＝±(x ＋1)，即x ＋y ＋1＝0或x －y ＋1＝0. 答案：x ＋y ＋1＝0或x －y ＋1＝016．抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为A ，其准线与x 轴的交点为B ，如果在直线3x ＋4y ＋25＝0上存在点M ，使得∠AMB ＝90°，则实数p 的取值范围是________．解析：由题得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0，∵M 在直线3x ＋4y ＋25＝0上，设点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，－3x －254， ∴AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，－3x －254， BM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋p 2，－3x －254，又∠AMB ＝90°，∴AM →·BM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋p 2＋⎝⎛⎭⎪⎫－3x －2542＝0，即25x 2＋150x ＋625－4p 2＝0， ∴Δ≥0，即1502－4×25×(625－4p 2)≥0，解得p ≥10或p ≤－10，又p >0，∴p 的取值范围是[10，＋∞)．答案：[10，＋∞) 三、解答题17．已知椭圆的焦点F 1(－4,0)，F 2(4,0)，过点F 2并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ，并且|F 1B |＋|F 2B |＝10，椭圆上不同的两点A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)满足条件：|F 2A |，|F 2B |，|F 2C |成等差数列． (1)求椭圆的方程； (2)求弦AC 中点的横坐标．解析：(1)由题意可知2a ＝|F 1B |＋|F 2B |＝10. 所以a ＝5，又c ＝4，所以b ＝a 2－c 2＝3，所以椭圆方程为：x 225＋y 29＝1.(2)由点B (4，y B )在椭圆上，得|F 2B |＝|y B |＝95. 由|F 2A |，|F 2B |，|F 2C |成等差数列，得(x 1－4)2＋y 21＋(x 2－4)2＋y 22＝2×95，① 点A (x 1，y 1)在椭圆x 2125＋y 219＝1上，得y 21＝925(25－x 21)，所以 (x 1－4)2＋y 21＝x 21－8x 1＋16＋925(25－x 21)＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫5－45x 12＝15(25－4x 1)，②同理可得(x 2－4)2＋y 22＝15(25－4x 2)，③ 将②③代入①式，得15(25－4x 1)＋15(25－4x 2)＝185，所以x 1＋x 2＝8，设AC 中点坐标为(x 0，y 0)，则横坐标x 0＝x 1＋x 22＝4.18．(2019·合肥质检)已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22在椭圆C 上，且△PF 1F 2的面积为22.(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，求F 2A →·F 2B →的取值范围．解析：(1)由椭圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22，且△PF 1F 2的面积为22，得1a 2＋12b 2＝1，且12×2c ×22＝22，即c ＝1. 又a 2－b 2＝c 2＝1，解得a 2＝2，b 2＝1. 所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由(1)知F 1(－1,0)，F 2(1,0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．若直线l 的斜率不存在，可得点A ，B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，22，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－22，则F 2A →·F 2B →＝72.当直线l 的斜率存在时，设l ：y ＝k (x ＋1)，代入椭圆方程得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2(k 2－1)＝0.则Δ＝16k 4－8(1＋2k 2)(k 2－1)＝8k 2＋8>0恒成立．所以x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2(k 2－1)1＋2k 2.所以F 2A →·F 2B →＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2 ＝(1＋k 2)x 1x 2＋(k 2－1)(x 1＋x 2)＋k 2＋1 ＝7k 2－11＋2k 2＝72－92(1＋2k 2). 又k 2≥0，则F 2A →·F 2B →＝72－92(2k 2＋1)∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，72. 综上可知，F 2A →·F 2B → 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，72.。

2020高考数学(理科)增分大二轮人教版增分练：第二部分专题1 增分强化练(十二) Word版含解析

增分强化练(十二)一、选择题1．(2019·葫芦岛质检)已知cos x ＝34，则cos 2x ＝( ) A ．－14 B.14 C ．－18D.18解析：由cos x ＝34得cos 2x ＝2cos 2x －1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫342－1＝18，故选D.答案：D2．(2019·桂林、崇左模拟)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，则sin 2θ＝( )A.13 B.310 C.35D.45解析：由题得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2，∴1＋tan θ1－tan θ＝2，∴tan θ＝13.当θ在第一象限时，sin θ＝1010，cos θ＝31010， ∴sin 2θ＝2×1010×31010＝35.当θ在第三象限时，sin θ＝－1010，cos θ＝－31010，∴sin 2θ＝2×－1010×－31010＝35.故选C. 答案：C3．已知sin α＝－45，且α是第四象限角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α的值为( )A.5210B.325C.7210D.425 解析：由同角三角函数基本关系可得：cos α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－452＝35，结合两角差的正弦公式可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin π4cos α－cos π4sin α＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫35＋45＝7210.故选C. 答案：C4．(2019·新余模拟)若sin x ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2，则sin x cos(π＋x )＝( )A.310 B ．－310 C.34D ．－34解析：∵sin x ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2，∴sin x ＝－3cos x ，即tan x ＝－3，又∵sin x ·cos(π＋x )＝sin x ·(－cos x )＝－sin x ·cos x ， ∴－sin x ·cos x ＝－sin x ·cos x sin 2x ＋cos 2x＝－tan x tan 2x ＋1＝－(－3)(－3)2＋1＝310，故选A.答案：A5．(2019·泰安模拟)函数f (x )＝sin x cos x ＋3cos 2x 的最小正周期为( ) A ．4π B ．3π C ．2πD ．π解析：函数f (x )＝sin x cos x ＋3cos 2x ＝12sin 2x ＋3·1＋cos 2x 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋32，最小正周期为2π2＝π，故选D. 答案：D6．(2019·淮南模拟)在△ABC 中，三内角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，且a cos B ＋b cos A ＝2cos C ，c ＝1，则角C ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：因为c ＝1，故a cos B ＋b cos A ＝2cos C ＝2c cos C ，由正弦定理可以得到sin A cos B ＋sin B cos A ＝2sin C cos C ，故sin C ＝2sin C cos C ，因C ∈(0，π)，所以sin C >0，故cos C ＝12，因C ∈(0，π)，故C ＝π3，故选B. 答案：B7．(2019·汕头模拟)函数f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＋cos(π－x )的单调增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6＋2k π，π6＋2k π，k ∈Z B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3＋2k π，π3＋2k π，k ∈Z C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋2k π，2π3＋2k π，k ∈Z D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6＋2k π，5π6＋2k π，k ∈Z 解析：因为f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＋cos(π－x )＝3sin x －cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，由－π2＋2k π≤x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，可得－π3＋2k π≤x ≤2π3＋2k π，k ∈Z ，即函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋2k π，2π3＋2k π，k ∈Z.故选C. 答案：C8．(2019·济宁模拟)将函数f (x )＝sin x cos x 的图象向右平移π6个单位长度后得到函数g (x )的图象，若对于任意x ∈R 都有g (θ＋x )＝g (θ－x )，则tan 2θ＝( ) A. 3 B ．－ 3 C ．－33D.33解析：由f (x )＝sin x cos x ＝12sin 2x 的图象向右平移π6个单位长度，得g (x )＝12sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.又因为g (θ＋x )＝g (θ－x )，所以g (x )的图象关于x ＝θ对称，令2x －π3＝π2＋k π，k ∈Z ，得x ＝5π12＋k π2，k ∈Z ，所以θ＝5π12＋k π2，k ∈Z ，故tan 2θ＝tan 2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋k π2＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋k π＝tan 5π6＝－33. 故选C. 答案：C9．已知f (x )＝4cos x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则下列说法中错误的是( )A ．函数f (x )的最小正周期为πB ．函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π12上单调递减C ．函数f (x )的图象可以由函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍得到D.⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，1是函数f (x )图象的一个对称中心解析：f (x )＝4cos x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝2cos 2x －3sin 2x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1，所以T ＝2π2＝π，故A 正确；当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π12时，2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，因t ＝2x ＋π3在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π12为增函数，y ＝2cos t＋1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上为减函数，故f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π12上为减函数，故B 正确；函数f (x )的图象可以由函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋12图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍得到，而函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍得到的是y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋2的图象，故C 错误；令2x ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，当k ＝1时，x ＝7π12，故⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，1为f (x )图象的一个对称中心，故D 正确；故选C.答案：C10．(2019·葫芦岛质检)△ABC 的周长为10＋27，且满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶7，则△ABC 的面积为( ) A ．6 3 B ．47 C ．87D ．12解析：由正弦定理及sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶7，可得a ∶b ∶c ＝2∶3∶7，于是可设a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝7k (k ＞0)，由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝4k 2＋7k 2－9k 22×2k ·7k ＝714，∴sin B ＝1－cos 2B ＝32114.又2k ＋3k ＋7k ＝10＋27，∴k ＝2，即a ＝4，c ＝27，由面积公式S △ABC ＝12ac sin B ，得12×4×27·32114＝63， △ABC 的面积为6 3.故选A. 答案：A11．(2019·威海模拟)在△ABC 中，AC ＝3，向量AB →在AC →上的投影的数量为－2，S△ABC＝3，则BC ＝( )A ．5B ．27 C.29D ．4 2解析：∵向量AB →在AC →上的投影的数量为－2， ∴|AB →|cos A ＝－2.① ∵S △ABC ＝3，∴12|AB →||AC →|sin A ＝32|AB →|sin A ＝3， ∴|AB →|sin A ＝2.② 由①②得tan A ＝－1， ∵A 为△ABC 的内角， ∴A ＝3π4，∴|AB →|＝2sin 3π4＝2 2.在△ABC 中，由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2·AB ·AC ·cos 3π4＝(22)2＋32－2×22×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝29，∴BC ＝29.故选C.答案：C12．(2019·呼和浩特模拟)已知函数f (x )＝sin x ＋3cos x ，把函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度，再把图象上各点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，方程g (x )－k ＝0恰有两个不同的实根，则实数k 的取值范围为( ) A ．[1,3] B ．[1,2) C ．(－2,0)∪(0,2)D ．[3,2)解析：由题意，根据辅助角公式，可得函数 f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，把函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度，得到f 1(x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，再把函数f 1(x )图象上各点的横坐标缩小到原来的一半，得到函数g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，令π6≤2x ＋π6≤π2，解得0≤x ≤π6，即函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上单调递增，令π2≤2x ＋π6≤7π6，解得π6≤x ≤π2，即函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上单调递减，且g (0)＝2sin π6＝1，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin π2＝2，g (π2)＝2sin 7π6＝－1，要使得方程g (x )－k ＝0恰好有两个不同的实数根，即y ＝g (x )与y ＝k 有两个不同的交点，结合图象，可得实数k 的取值范围是1≤k <2，即[1,2)．答案：B 二、填空题13．已知sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝________. 解析：因为sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos α＝－45，tan α＝－34，因此tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α＝1－341＋34＝17. 答案：1714．(2019·南昌模拟)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π4＝－34，则sin α＝________.解析：将sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π4＝－34化简，可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤22·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α2· ⎣⎢⎡⎦⎥⎤22·⎝⎛⎭⎪⎫cos α2－sin α2＝－34，即12·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α2·⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2－sin α2＝－34，即⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22＝32，即sin 2α2＋cos 2α2－2·cos α2·sin α2＝32，利用二倍角公式可得，sin α＝－12. 答案：－1215．(2019·开封模拟)已知在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝7，∠ABC ＝2π3，则该三角形的面积是________．解析：由题得49＝a 2＋25－2·a ·5·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，所以a ＝3，所以三角形的面积为12×3×5·sin 2π3＝1534. 答案：153416．(2019·合肥模拟)在锐角△ABC 中，BC ＝2，sin B ＋sin C ＝2sin A ，则中线AD 长的取值范围是________．解析：设AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a ＝2，对sin B ＋sin C ＝2sin A 运用正弦定理，得到b ＋c ＝2a ＝4，解得c ＝4－b ，结合该三角形为锐角三角形，得到不等式组⎩⎪⎨⎪⎧b 2＋c 2＝b 2＋(4－b )2>4c 2＋4＝(4－b )2＋4>b 2b 2＋4>c 2＝(4－b )2，解得32<b <52，故bc ＝b (4－b )＝－b 2＋4b ，结合二次函数性质，得到154<bc ≤4，运用向量得到AD →＝12(AB →＋AC →)，所以|AD →|＝12AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →·cos θ＝12b 2＋c 2＋2bc ·b 2＋c 2－42bc ＝122b 2＋2c 2－4＝1228－4bc ，结合bc 的范围，代入，得到|AD →|的范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3，132.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤3，132 三、解答题17．(2019·兰州模拟)已知A ，B ，C 是△ABC 的内角，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边．若cos 2B －sin 2A －sin A sin B ＝cos 2C . (1)求角C 的大小；(2)若A ＝π6，△ABC 的面积为3，M 为BC 的中点，求AM . 解析：(1)由cos 2B －sin 2A －sin A sin B ＝cos 2C ，得sin 2A ＋sin A sin B ＝sin 2C －sin 2B ，由正弦定理，得c 2－b 2＝a 2＋ab ，即a 2＋b 2－c 2＝－ab ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－ab 2ab ＝－12. 又0<C <π，则C ＝2π3. (2)因为A ＝π6，所以B ＝π6.所以△ABC 为等腰三角形，且顶角C ＝2π3. 因为S △ABC ＝12ab sin C ＝34ab ＝3，所以a ＝2.在△MAC 中，AC ＝2，CM ＝1，C ＝2π3，所以AM 2＝AC 2＋CM 2－2AC ·CM ·cos C ＝4＋1＋2×2×1×12＝7，解得AM ＝7.18．(2019·泰安模拟)已知函数f (x )＝cos x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－14，x ∈R.(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，f (A )＝12，c ＝2，且AB →·AC →＝32，求a 的值．解析：(1)f (x )＝cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x －14＝12()cos 2x ＋3cos x sin x －14＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos 2x 2＋32sin 2x －14＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2x ＋32sin 2x＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z)．(2)f (A )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝12，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝1， ∵A ∈(0，π)， ∴2A ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，136π，∴2A ＋π6＝π2，即A ＝π6.又AB →·AC →＝2b cos π6＝32， ∴b ＝32，∴a 2＝4＋34－2×2×32×32＝74，∴a＝72.。

高考数学大二轮复习专题2数列增分强化练十五(理科)

增分强化练(十五)考点一利用递推关系或S n 、a n 的关系求a n1．(2019·晋城模拟)数列{a n }满足a 1＝3，且对于任意的n ∈N *都有a n ＋1－a n ＝n ＋2，则a 39＝________.解析：因为a n ＋1－a n ＝n ＋2，所以a 2－a 1＝3， a 3－a 2＝4，a 4－a 3＝5，…，a n －a n －1＝n ＋1(n ≥2)，上面n －1个式子左右两边分别相加得a n －a 1＝(n ＋4)(n －1)2，即a n ＝(n ＋1)(n ＋2)2，所以a 39＝40×412＝820. 答案：8202．(2019·宝鸡模拟)若数列{a n }满足a 1＋2a 2＋4a 3＋…＋2n －1a n ＝8n (n ∈N *)，则a n ＝________. 解析：当n ＝1时，a 1＝8.因为a 1＋2a 2＋4a 3＋…＋2n －1a n ＝8n ，所以a 1＋2a 2＋4a 3＋…＋2n －2a n －1＝8n －8，(n ≥2) 两式相减得2n －1a n ＝8＝23，所以a n ＝24－n (n ≥2)，适合n ＝1. 所以a n ＝24－n . 答案：24－n考点二数列求和1．(2019·安阳模拟)已知各项为正的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝3，且－a 2,15，S 3依次成等差数列．(1)求a n ；(2)若b n ＝10－2n ，求数列{a n ＋b n }的前n 项和T n . 解析：(1)设各项为正的公比为q 的等比数列{a n }的前n 项和为S n ， a 1＝3，且－a 2,15，S 3依次成等差数列．所以S 3－a 2＝30，即a 1＋a 1q 2＝30解得q ＝3或－3(负值舍去)．故a n ＝3·3n －1＝3n .(2)由于b n ＝10－2n ，则a n ＋b n ＝3n＋10－2n ，所以T n ＝(31＋32＋ (3))＋(8＋6＋…＋10－2n ) ＝3(3n －1)3－1＋n (8＋10－2n )2＝3n ＋12－n 2＋9n －32.2．(2019·湛江模拟)S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S n ＝－12n 2＋212n .(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a 2n a 2n ＋2，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求T n .解析：(1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－12n 2＋212n ＋12(n －1)2－212(n －1)＝－n ＋11，当n ＝1时，满足上式，∴a n ＝－n ＋11.(2)由a n ＝－n ＋11，可得b n ＝1a 2n a 2n ＋2＝1(2n －11)(2n －9)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －11－12n －9，∴T n ＝12⎣⎢⎡ ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－9－1－7＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－7－1－5＋⎦⎥⎤…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －11－12n －9＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－9－12n －9＝－118－14n －18.3．(2019·汕头模拟)记S n 为数列{a n }的前n 项和，若a 1＝19，S n ＝na n ＋1＋n (n ＋1)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝|a n |，设数列{b n }的前n 项和为T n ，求T 20的值．解析：(1)当n ≥2时，因为S n ＝na n ＋1＋n (n ＋1)，① 所以S n －1＝(n －1)a n ＋n (n －1)，②①－②得：a n ＝na n ＋1－(n －1)a n ＋2n ，即a n ＋1－a n ＝－2(n ≥2)，又S 1＝a 2＋2即a 2－a 1＝－2，所以数列{a n }是以19为首项，－2为公差的等差数列，所以a n ＝19＋(n －1)·(－2)＝21－2n .(2)由(1)知a n ＝21－2n ，所以b n ＝|a n |＝|21－2n |，因为当n ≤10时a n >0，当n >10时a n <0，所以b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧21－2n ，n ≤102n －21，n >10，所以T 20＝b 1＋b 2＋…＋b 20＝(19＋17＋...＋1)＋(1＋3＋...＋19) ＝2(19＋17＋ (1)＝2×(19＋1)×102＝200.考点三数列的应用与综合问题 (2019·三明质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2，a n ＋1＝S n ＋2.(1)求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)设b n ＝log 2(S 3n ＋2)，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和为T n ，求证17≤4T n <13.解析：(1)因为a n ＋1＝S n ＋2，① 所以当n ≥2时，a n ＝S n －1＋2，② ①－②得，a n ＋1－a n ＝S n －S n －1，即a n ＋1＝2a n (n ≥2)，又因为a 2＝a 1＋2＝4，即a 2＝2a 1，所以a n ＋1＝2a n (n ≥1)，即数列{a n }是以a 1＝2为首项，公比q ＝2的等比数列，所以a n ＝2·2n －1＝2n ，a n ＋1＝2n ＋1，则S n ＝a n ＋1－2＝2n ＋1－2.(2)证明：由(1)得S 3n ＝23n ＋1－2，所以S 3n ＋2＝23n ＋1，则b n ＝log 223n ＋1＝3n ＋1，则1b n b n ＋1＝1(3n ＋1)(3n ＋4)＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1－13n ＋4，所以T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1＝13×⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫14－17＋⎝ ⎛⎭⎪⎫17－110＋…⎦⎥⎤＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1－13n ＋4＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫14－13n ＋4＝112－13(3n ＋4).因为13(3n ＋4)>0，所以T n <112. 又T n ＝n4(3n ＋4)＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋4n ，当n ＝1时，T n 取得最小值为128，所以128≤T n <112，即17≤4T n <13.。

高考理科数学二轮专题提分教程全国课件基础保分强化训练

高考理科数学二轮专题提分教程全国课件基础保分强化训练
汇报人：XX 20XX-01-24
目录
• 课程介绍与目标 • 基础知识回顾与巩固 • 专题突破与技巧指导 • 真题模拟与实战演练 • 备考策略与心理调适 • 总结回顾与展望
01 课程介绍与目标
高考理科数学现状及趋势
01
高考理科数学考试内容逐年更新，注重考查学生的数学素养和创新能力。
拓展学习领域
除了数学学科，还可以尝试学习其他相关学科，如物理、化学等，拓宽知识面。
培养良好的学习习惯
养成定时复习、预习等良好的学习习惯，提高学习效率。
关注考试动态和政策变化
及时了解高考政策和考试动态，为未来的学习和备考做好准备。
谢谢聆听
函数与导数
回顾函数的概念、性质及图像，深入理解导数定义及计算，掌握导数的应用，如单调性、极值等。
B
C
三角函数与解三角形
梳理三角函数的基本性质、图像和公式，掌握正弦、余弦定理在解三角形中的应用。
数列与数学归纳法
理解数列的概念及通项公式，掌握等差、等比数列的性质及求和公式，了解数学归纳法的原理及应用。
03
提供详细解题思路和方法，帮助学生掌握解题技巧
04
配备真题答案和评分标准，方便学生自我评估和查漏补缺
模拟试卷实战演练（一）
模拟真实高考环境和流程，提升学生应试能力
涵盖高考理科数学各个考点和题型
配备详细解析和答案，方便学生自我检查和纠正错误
提供个性化错题分析和复习建议，帮助学生针对性提升
02
高考数学命题趋势向综合性、应用性和创新性发展，强调对数学知识的深入理解和灵活运用。
03
学生需要掌握扎实的数学基础知识，并具备解决复杂问题的能力和创新思维。

2020高考数学(理科)增分大二轮人教版增分练：第二部分专题7 增分强化练(四十二) Word版含解析

增分强化练(四十二)1．(2019·乌鲁木齐质检)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2t y ＝1＋t (t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中．曲线C 的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4. (1)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)判断直线l 与曲线C 的位置关系，并说明理由．解析：(1)消去参数t ，则直线l 的普通方程为x －2y ＋2＝0,因为ρ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，故ρ＝2cos θ－2sin θ，即ρ2＝2ρcos θ－2ρsin θ，曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0.(2)圆心(1，－1)到直线x －2y ＋2＝0的距离d ＝5>2，故直线l 与曲线C 是相离的位置关系．2．(2019·安阳模拟)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝4cos αy ＝4sin α(α为参数)，以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系．直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2. (1)求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴和y 轴的交点分别为A ，B ，点M 在曲线C 上，求△MAB 面积的最大值.解析：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4cos αy ＝4sin α(α为参数)消去参数α可得曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝16.由ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2得12ρcos θ＋32ρsin θ＝2，因为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，所以直线l 的直角坐标方程为x ＋3y －4＝0.(2)由(1)得A (4,0)，B ⎝⎛⎭⎪⎫0，433，所以|AB |＝833，设M (4cos α，4sin α)，则点M 到直线AB 的距离为d ＝|4cos α＋43sin α－4|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－2，当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－1时，d max ＝6. 故△MAB 的面积的最大值为12×833×6＝8 3.3．(2019·济宁模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1＋cos φy ＝3＋sin φ(φ为参数)． (1)以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程；(2)若射线θ＝α与曲线C 有两个不同的交点A ，B ，求1|OA |＋1|OB |的取值范围．解析：(1)曲线C 的直角坐标方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝1，即x 2＋y 2＋2x －23y ＋3＝0，又x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， ∴曲线C 的极坐标方程为ρ2＋2ρ(cos θ－3sin θ)＋3＝0.(2)把θ＝α代入ρ2＋2(cos θ－3sin θ)ρ＋3＝0得ρ2＋2(cos α－3sin α)ρ＋3＝0.设A (ρ1，α)，B (ρ2，α)，则ρ1＋ρ2＝2(3sin α－cos α)，ρ1ρ2＝3.所以1|OA |＋1|OB |＝1ρ1＋1ρ2＝ρ1＋ρ2ρ1ρ2＝2(3sin α－cos α)3＝43sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6，又射线θ＝α与曲线C 有两个不同的交点A ，B ，∴π2<α<5π6，∴π3<α－π6<2π3，∴32<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6≤1， ∴233<1|OA |＋1|OB |≤43，∴1|OA |＋1|OB |的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤233，43. 4．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝3t y ＝－3t(t 为参数)，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝2＋2cos θy ＝2sin θ(θ为参数)，以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝23cos θ－2sin θ.(1)分别求曲线C 1的极坐标方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)设直线l 交曲线C 1于O 、A 两点，交曲线C 2于O 、B 两点，求|AB |的长．解析：(1)曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θy ＝2sin θ(θ为参数)可化为直角坐标方程：(x －2)2＋y 2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0，可得ρ2－4ρcos θ＝0，所以曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ.曲线C 2：ρ＝23cos θ－2sin θ，即ρ2＝23ρcos θ－2ρsin θ，则C 2的直角坐标方程为(x －3)2＋(y ＋1)2＝4.(2)法一：直线l 的直角坐标方程为y ＝－33x ，所以l 的极坐标方程为θ＝5π6(ρ∈R)．联立⎩⎨⎧ θ＝5π6ρ＝4cos θ，得ρA ＝－23，联立⎩⎨⎧ θ＝5π6ρ＝23cos θ－2sin θ，得ρB ＝－4，|AB |＝|ρA －ρB |＝4－2 3. 法二：直线l 的直角坐标方程为y ＝－33x ，联立⎩⎨⎧ y ＝－33x x 2－4x ＋y 2＝0，解得A (3，－3)，联立⎩⎨⎧ y ＝－33x (x －3)2＋(y ＋1)2＝4，解得B (23，－2)，所以|AB |＝ (23－3)2＋(－2＋3)2＝4－2 3.。

高考数学(理)二轮专题复习：增分练5-1-3 Word版含答案

小题提速练(三)(满分80分，押题冲刺，45分钟拿下客观题满分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合M ＝{x |x 2－2x －3＜0}，N ＝{x |log 2x ＜0}，则M ∩N 等于( ) A ．(－1,0) B ．(－1,1) C ．(0,1)D ．(1,3)解析：选C.由题干条件可知，M ＝{x |－1＜x ＜3}，N ＝{x |0＜x ＜1}，所以M ∩N ＝{x |0＜x ＜1}．2．若复数z 的实部为1，且|z |＝2，则复数z 的虚部是( ) A ．－ 3 B ．± 3 C ．±3iD.3i解析：选B.复数z 的实部为1，设z ＝1＋b i ，|z |＝2，可得1＋b 2＝2，解得b ＝±3，复数z 的虚部是± 3.3．若命题p ：∃α∈R ，cos(π－α)＝cos α；命题q ：∀x ∈R ，x 2＋1＞0，则下面结论正确的是( )A ．p 是假命题B ．﹁q 是真命题 C ．p ∧q 是假命题D ．p ∨q 是真命题解析：选D.当α＝π2时，cos ⎝⎛⎭⎪⎫π－π2＝cos π2＝0， ∴命题p ：∃α∈R ，cos(π－α)＝cos α是真命题，∵∀x ∈R ，x 2＋1≥1＞0，∴命题q 是真命题，∴A 中p 是假命题是错误的；B 中﹁q 是真命题是错误的；C 中p ∧q 是假命题是错误的；D 中p ∨q 是真命题是正确的．4．如图是某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，其中成绩分组区间是：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，则图中x 的值等于( )A ．0.120B ．0.180C ．0.012D ．0.018解析：选D.由30×0.006＋10×0.01＋10×0.054＋10x ＝1，解得x ＝0.018.5．若一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选 D.由题意可知，该几何体是三棱锥，其放置在长方体中形状如图所示，利用长方体模型可知，此三棱锥的四个面中，全部是直角三角形．6．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，ln x ，x ＞1，则f (f (e))＝(其中e 为自然对数的底数)( )A ．0B ．1C ．2D ．(e 2＋1)解析：选C.由题意得，f (e)＝ln e ＝1，所以f (f (e))＝f (1)＝1＋1＝2.7．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x1＋2x cos x 的图象大致为( )解析：选C.依题意，注意到f (－x )＝1－2－x1＋2－x cos(－x )＝2x－2－x 2x＋2－xcos x ＝2x－12x ＋1cos x ＝－f (x )，因此函数f (x )是奇函数，其图象关于原点对称，结合各选项知，选项A ，B 均不正确；当0＜x ＜1时，1－2x1＋2x ＜0，cos x ＞0，f (x )＜0，因此结合选项知，C 正确，选C.8．已知数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n ＝2n 2(n ∈N *)，且对任意n ∈N *都有1a 1＋1a 2＋…＋1a n＜t ，则实数t 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ 解析：选D.依题意得，当n ≥2时，a n ＝a 1a 2a 3…a na 1a 2a 3…a n －1＝2n 22n －2＝2n 2－(n －1)2＝22n －1，又a 1＝21＝22×1－1，因此a n ＝22n －1，1a n ＝122n －1，数列{1a n }是以12为首项，14为公比的等比数列，等比数列{1a n }的前n 项和等于12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n ＜23，因此实数t 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞，选D.9．若函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋π4(－2＜x ＜14)的图象与x 轴交于点A ，过点A 的直线l 与函数的图象交于B ，C 两点，则(OB →＋OC →)·OA →＝(其中O 为坐标原点)( )A ．－32B ．32C ．－72D ．72解析：选D.由f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋π4＝0可得π8x ＋π4＝k π，∴x ＝8k －2，k ∈Z ，∵－2＜x＜14，∴x ＝6即A (6,0)，设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，∵过点A 的直线l 与函数的图象交于B ，C 两点，∴B ，C 两点关于点A 对称即x 1＋x 2＝12，y 1＋y 2＝0，则(OB →＋OC →)·OA →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)·(6,0)＝6(x 1＋x 2)＝72.10．双曲线C 1的中心在原点，焦点在x 轴上，若C 1的一个焦点与抛物线C 2：y 2＝12x 的焦点重合，且抛物线C 2的准线交双曲线C 1所得的弦长为43，则双曲线C 1的实轴长为( )A ．6B ．2 6 C. 3D ．2 3解析：选D.由题意可得双曲线C 1的一个焦点为(3,0)，∴c ＝3，可设双曲线C 1的标准方程为x 2a 2－y 29－a 2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，x 2a 2－y 29－a2＝1，解得y ＝±9－a2a，∴2×9－a 2a＝43，解得a ＝3，∴双曲线C 1的实轴长为2a ＝2 3.11．已知点P 是椭圆x 216＋y 28＝1上非顶点的动点，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，O 是坐标原点，若M 是∠F 1PF 2的角平分线上一点，且F 1M →·MP →＝0，则|OM →|的取值范围是( )A ．[0,3)B ．(0,22)C ．[22，3)D ．(0,4]解析：选B.如图，当点P 在椭圆与y 轴交点处时，点M 与原点O 重合，此时|OM →|取最小值0.当点P 在椭圆与x 轴交点时，点M 与焦点F 1重合，此时|OM →|取大值22.∵xy ≠0，∴|OM →|的取值范围是(0,22)．12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋a ，x ＜0，ln x ，x ＞0，若函数f (x )的图象在A ，B 两点处的切线重合，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2，－1)B ．(1,2)C ．(－1，＋∞)D ．(－ln 2，＋∞)解析：选C.当x ＜0时，f (x )＝x 2＋x ＋a 的导数为f ′(x )＝2x ＋1；当x ＞0时，f (x )＝ln x 的导数为f ′(x )＝1x，设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))为该函数图象上的两点，且x 1＜x 2，当x 1＜x 2＜0，或0＜x 1＜x 2时，f ′(x 1)≠f ′(x 2)，故x 1＜0＜x 2，当x 1＜0时，函数f (x )在点A (x 1，f (x 1))处的切线方程为y －(x 21＋x 1＋a )＝(2x 1＋1)(x －x 1)；当x 2＞0时，函数f (x )在点B (x 2，f (x 2))处的切线方程为y －ln x 2＝1x 2(x －x 2)，两直线重合的充要条件是1x 2＝2x 1＋1①，ln x 2－1＝－x 21＋a②，由①及x 1＜0＜x 2得0＜1x 2＜1，由①②得a ＝ln x 2＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－12－1，令t ＝1x 2，则0＜t ＜1，且a ＝－ln t ＋14t 2－12t －34，设h (t )＝－ln t ＋14t 2－12t －34(0＜t ＜1)，则h ′(t )＝－1t ＋12t －12＜0，即h (t )在(0,1)为减函数，则h (t )＞h (1)＝－ln 1－1＝－1，则a ＞－1，可得函数f (x )的图象在点A ，B 处的切线重合，a 的取值范围是(－1，＋∞)．二、填空题(本题共4小题，每小题5分；共20分)13．若直线ax －by ＋1＝0平分圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的周长，则ab 的取值范围是________．解析：∵直线ax －by ＋1＝0平分圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的周长， ∴直线ax －by ＋1＝0过圆C 的圆心(－1,2)，∴有a ＋2b ＝1，∴ab ＝(1－2b )b ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫b －142＋18≤18，∴ab 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，18.答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，18 14．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的i 值为________．解析：由程序框图知：程序第一次运行n ＝10，i ＝2；第二次运行n ＝5，i ＝3；第三次运行n ＝3×5＋1＝16，i ＝4；第四次运行n ＝8，i ＝5；第五次运行n ＝4，i ＝6；第六次运行n ＝2，i＝7；第七次运行n ＝1，i ＝8.满足条件n ＝1.程序运行终止，输出i ＝8.答案：815．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≤0，y ≥2，x －4y ＋k ≥0，且目标函数z ＝3x ＋y 的最小值为－1，则实常数k ＝________.解析：由题意作出目标函数的平面区域如图所示，结合图象可知，当过点A (x,2)时，目标函数z ＝3x ＋y 取得最小值－1，故3x ＋2＝－1，解得x ＝－1，故A (－1,2)，故－1＝4×2－k ，故k ＝9.答案：916．在一个棱长为4的正方体内，最多能放入________个直径为1的球．解析：根据球体的特点，最多应该是放5层，第一层能放16个；第2层放在每4个小球中间的空隙，共放9个；第3层继续往空隙放，可放16个；第4层同第2层放9个；第5层同第1、3层能放16个，所以最多可以放入小球的个数：16＋9＋16＋9＋16＝66(个)．答案：66。

2022届高考数学二轮复习专题增分练5(解析版)

2022届高考数学二轮复习专题增分练5模块交汇(一)以函数、导数为主体1．(多选题)已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数与偶函数，若f (x )＝g (x )＋cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，则下列结论正确的是( )A ．当x ＝π2时，f (x )取得最大值B ．函数g (x )的图象关于直线x ＝π对称C ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递减 D ．要得到函数f (x )的图象，只需将g (x )的图象向右平移π2个单位长度解析：选BC ．由f (x )＝g (x )＋cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，① 得f (－x )＝g (－x )＋cos ⎝⎛⎭⎫－x ＋π3. 因为函数f (x )是奇函数，所以－f (x )＝f (－x )＝g (－x )＋cos ⎝⎛⎭⎫－x ＋π3. 又函数g (x )是偶函数，函数y ＝cos x 是偶函数，所以g (－x )＝g (x )，cos ⎝⎛⎭⎫－x ＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π3，所以－f (x )＝g (x )＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3.② 由①②得f (x )＝12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－cos ⎝⎛⎭⎫x －π3 ＝－32sin x ， g (x )＝－12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝－12cos x . 当x ＝π2时，f (x )取得最小值，故A 错误；y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递减，故C 正确； g (x )图象的对称轴为直线x ＝k π，k ∈Z ，故B 正确； g (x )的图象向右平移π2个单位长度，得到y ＝－12cos ⎝⎛⎭⎫x －π2＝－12sin x 的图象，故D 错误．2.2019年诺贝尔生理学或医学奖获得者威廉·凯林在研究肾癌的VECF 抑制剂的过程中使用的输液瓶可以视为两个圆柱的组合体，示意图如图所示．开始输液时，滴管内匀速滴下液体(滴管内液体忽略不计)，设输液开始后x 分钟，瓶内液面与进气管的距离为h cm ，已知当x ＝0时，h ＝13.如果瓶内的药液恰好156分钟滴完，则函数h ＝f (x )的图象为( )解析：选C ．由题意可得瓶内每分钟滴下π cm 3药液，当4≤h ≤13时，h ＝f (x )＝13－x ππ×42＝13－x 16，此时0≤x ≤144；当1≤h ＜4时，h ＝f (x )＝4－（x －144）ππ×22＝40－x4，此时144＜x ≤156.所以函数h ＝f (x )单调递减，且当144＜x ≤156时，递减速度变快．故选C ．3．(2020·湖北荆州中学第五次周考)曲线y ＝x 2＋4x 的一条切线l 、直线y ＝x 与y 轴三条直线围成的三角形记为△OAB (A 为直线l 与直线y ＝x 的交点，B 为直线l 与y 轴的交点，O 为坐标原点)，则△OAB 外接圆面积的最小值为( )A ．82πB ．8(3－2)πC ．16(2－1)πD ．16(2－2)π解析：选C ．易得y ′＝x 2－4x 2，设直线l 与曲线y ＝x 2＋4x的切点坐标为(x 0，y 0)，则直线l 的方程为y －x 20＋4x 0＝x 20－4x 20(x －x 0)，即y ＝x 20－4x 20x ＋8x 0.易得A (2x 0，2x 0)，B ⎝⎛⎭⎫0，8x 0. 在△OAB 中，|AB |2＝4x 20＋⎝⎛⎭⎫2x 0－8x 02＝8x 20＋64x 20－32≥32(2－1)，当且仅当x 20＝22时取等号．由正弦定理可得△OAB 外接圆的半径 r ＝|AB |2sin 45°＝22|AB |，则△OAB 外接圆的面积S ＝πr 2＝12π|AB |2≥16(2－1)π.故选C ．(二)以平面向量、三角函数为主体1．(多选题)(2021·河北沧州七校联盟期中)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，F 1，F 2分别为其左、右焦点，A 1，A 2分别为其左、右顶点，P 为椭圆上的动点，且PF 1→·PF 2→＋P A 1→·P A 2→≥0恒成立，则椭圆C 的离心率可能为( )A ．12B ．22 C ．33D ．32解析：选AC ．解法一：(数量积的坐标运算)设P (x 0，y 0)，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，易知A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，则PF 1→·PF 2→＋P A 1→·P A 2→＝(－c －x 0，－y 0)·(c －x 0，－y 0)＋(－a －x 0，－y 0)·(a －x 0，－y 0)＝x 20－c 2＋y 20＋x 20－a 2＋y 20＝2x 20－c 2－a 2＋2⎝⎛⎭⎫b 2－b 2a 2x 20＝2c 2a 2x 20－3c 2＋a 2≥a 2－3c 2≥0，所以椭圆C 的离心率e ＝c a ≤33.解法二：(极化恒等式)PF 1→·PF 2→＋P A 1→·P A 2→＝14[(PF 1→＋PF 2→)2－(PF 1→－PF 2→)2]－14[(P A 1→＋P A 2→)2－(P A 1→－P A 2→ )2]＝14 [(2PO → )2－(F 2F 1→ )2]＋14 [(2PO → )2－(A 2A 1→ )2]＝2(PO → )2－c 2－a 2≥2b 2－c 2－a 2＝2(a 2－c 2)－c 2－a 2＝a 2－3c 2≥0(|PO →|min ＝b ，O 为坐标原点)，所以椭圆C 的离心率e ＝c a ≤33.2．从①m ＝(2sin A －cos A ，1)，n ＝(cos C ，cos B )，②m ＝(a ，b )，n ＝⎝⎛⎭⎫cos A2，sin B ，③m ＝⎝⎛⎭⎫a cos 2C 2＋c cos 2A2，5，n ＝(b ，4)这三个条件中任选一个补充到下面的问题中，并给出解答．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝25，b ＝2c ，________，m ∥n ，求△ABC 的面积．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解：若选择①，由m ∥n 得(2sin A －cos A )cos B ＝cos C ，所以2sin A cos B ＝cos A cos B ＋cos C ，所以2sin A cos B ＝cos A cos B －cos(A ＋B )，即2sin A cos B ＝sin A sin B ，因为sin A ≠0，所以tan B ＝2，得cos B ＝55，sin B ＝255. 由a ＝25，b ＝2c 及余弦定理，得(2c )2＝c 2＋(25)2－2×c ×25×55，解得c ＝2，所以△ABC 的面积为S ＝12ac sin B ＝4.若选择②，由m ∥n 得a sin B ＝b cos A2，由正弦定理得sin A sin B ＝sin B cos A2，因为sin B ≠0，所以sin A ＝cos A2，所以2sin A 2cos A 2＝cos A2，因为cos A 2≠0，所以sin A 2＝12.因为0＜A 2＜π2，所以A 2＝π6，所以A ＝π3.由余弦定理得(25)2＝c 2＋(2c )2－2×c ×2c ×12，解得c ＝2153，所以b ＝4153，所以△ABC 的面积为S ＝12bc sin A ＝1033.若选择③.由m ∥n 得a cos 2C 2＋c cos 2A 2＝54b ，即a ×1＋cos C 2＋c ×1＋cos A 2＝54b ，由正弦定理得sin A ＋sin A cos C ＋sin C ＋cos A sin C ＝52sin B ，即sin A ＋sin(A ＋C )＋sin C ＝52sin B ，即sin A ＋sin C ＝32sin B ，即a ＋c ＝32b .因为b ＝2c ，所以a ＝2c ，由a ＝25，得b ＝25，c ＝5，所以cos C ＝b 2＋a 2－c 22ab ＝78，sin C ＝1－⎝⎛⎭⎫782＝158，所以△ABC 的面积为S ＝12ab sin C ＝5154.3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b ＝3，AB →·AC →＝－6，S △ABC ＝3，求A 和A ．解：因为AB →·AC →＝－6，所以bc cos A ＝－6. 又S △ABC ＝3，所以bc sin A ＝6.因此tan A ＝－1.又0<A <π，所以A ＝3π4.又b ＝3，所以c ＝2 2.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a 2＝9＋8－2×3×22×⎝⎛⎭⎫－22＝29，所以a ＝29. (三)以数列为主体1．(2021·江苏、福建等联考)对于正整数n ，设x n 是关于x 的方程1x 2－log n ＋1x n ＝n 2＋3n 的实数根，记a n ＝⎣⎡⎦⎤12x n，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，则a 1＝________；数列{a n }的前n项和为S n ，则 S 2020＝________．解析：当n ＝1时，1x 2－log 2x ＝4，设f (x )＝1x 2－log 2x －4，易知f (x )单调递减，f ⎝⎛⎭⎫12＝1＞0，f (1)＝－3＜0，所以由函数零点存在定理知12＜x 1＜1，所以12＜12x 1＜1，所以a 1＝⎣⎡⎦⎤12x 1＝0. 令t n ＝12x n ，原方程可转化为(2t n )2＋n log n ＋1(2t n )＝n 2＋3n .设g (x )＝(2x )2＋n log n ＋1(2x )－n 2－3n ，易知g (x )在(0，＋∞)上单调递增， g ⎝⎛⎭⎫n 2＝n log n ＋1n －3n ＜0，g ⎝⎛⎭⎫n ＋12＝1＞0.由函数零点存在定理知∃x ∈⎝⎛⎭⎫n 2，n ＋12，g (x )＝0，当n ＝2k －1(k ∈N *)时，t n ∈⎝⎛⎭⎫2k －12，k ，a n ＝[t n ]＝k －1；当n ＝2k (k ∈N *)时，t n ∈⎝⎛⎭⎫k ，2k ＋12，a n ＝[t n ]＝k .故S 2020＝∑1010k ＝1 (k －1)＋∑1010k ＝1k ＝10102, S 2020＝1010. 答案：0 10102．已知数列{a n }是各项均不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，且S 2n －1＝a 2n (n ∈N *)．若不等式1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1≥log 18λ对任意n ∈N *恒成立，则实数λ的取值范围是________．解析：由S 2n －1＝a 2n 得（2n －1）（a 1＋a 2n －1）2＝a 2n ，所以(2n －1)a n ＝a 2n ，又a n ≠0，所以a n ＝2n －1，n ∈N *.因为1a n a n ＋1＝1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1，所以1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋13－15＋15－17＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝n2n ＋1. 因为1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1≥log 18λ对任意n ∈N *恒成立，即log 18λ≤n2n ＋1对任意n ∈N *恒成立，所以log 18λ≤⎝⎛⎭⎫n2n ＋1min.n 2n ＋1＝12·2n ＋1－12n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1，易知⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2n ＋1是递增数列，所以n 2n ＋1的最小值为12×⎝⎛⎭⎫1－12＋1＝13.所以log 18λ≤13，即λ≥12.故实数λ的取值范围是⎣⎡⎭⎫12，＋∞. 答案：⎣⎡⎭⎫12，＋∞ (四)以立体几何为主体1．(多选题)(2021·深圳外国语学校月考)如图所示，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为4，点M ，N 分别是棱A 1D 1，CD 的中点，点P 在四边形ABCD 内，点Q 在线段BN 上，若PM ＝25，则下列说法正确的是( )A ．点P 的轨迹长度为2πB ．线段MP 的轨迹与平面ADC 1B 1的交线为圆弧 C ．PQ 长度的最小值为65－105D ．PQ 长度的最大值为25＋2解析：选AC ．取AD 的中点O ，连接OP ，MO (图略)，则MO ⊥平面ABCD ，则MO ⊥OP . 因为PM ＝25，所以OP ＝（25）2－42＝2，所以点P 在以O 为圆心，2为半径的位于四边形ABCD 内的半圆上，所以点P 的轨迹长度为12×2×2×π＝2π，故A 正确．线段MP 的轨迹为以OP 为半径，MO 为轴的半个圆锥侧面，由用平面截圆锥的知识知，线段MP 的轨迹与平面ADC 1B 1的交线为椭圆弧，故B 错误．O 到BN 的距离减2，即为PQ 长度的最小值，作OH ⊥BN 于H ，连接BO ，NO ，则S △BON ＝4×4－12×4×2－12×4×2－12×2×2＝6，又S △BON ＝12BN ·OH ＝12×25·OH ＝6，则OH ＝655，所以PQ 的长度的最小值为OH －2＝65－105，故C 正确．易知PQ 长度的最大值为DB ＝42，故D 错误．2．如图(1)，C 60是一种由60个碳原子构成的碳原子簇，其结构是由正五边形和正六边形组成的凸三十二面体，则C 60结构中正六边形个数为________．这60个碳原子在空间进行排列时，形成一个化学键最稳定的空间排列位置，恰好与足球(图(2))表面格的排列一致，因此C 60也被称为足球烯．根据杂化轨道的正交性、归一性，两个等性杂化轨道的最大值之间的夹角θ(0＜θ≤180°)满足α＋βcos θ＋γ⎝⎛⎭⎫32cos 2θ－12＋δ⎝⎛⎭⎫52cos 3θ－32cos θ＝0，其中α，β，γ，δ分别为杂化轨道中s ，p ，d ，f 轨道所占的百分数．已知C 60中的杂化轨道为等性杂化轨道，且无d ，f 轨道参与杂化，碳原子杂化轨道理论计算值为sp 2.28(sp 2.28表示参与杂化的s ，p 轨道数之比为1∶2.28)，由此可计算得C 60中两个等性杂化轨道的最大值之间的夹角的正弦值为________．解析：设该凸三十二面体中共有x 个五边形，y 个六边形，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝32，5x ＋6y ＝180，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝20，故共有20个正六边形．因为α＝13.28，β＝2.283.28，γ＝δ＝0，所以13.28＋2.283.28cos θ＝0，解得cos θ＝－2557，又0＜θ≤180°，所以sin θ＝ 1－cos 2θ＝1－⎝⎛⎭⎫－25572＝84157. 答案：20841573如图，在四棱锥P ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD ＝AD ＝2AB ＝2，P A ＝3，若动点Q 在△P AD 内及边上运动，要使得∠CQD ＝∠BQA ，则此时三棱锥Q ABC 的体积的最大值为________．解析：因为P A ⊥平面ABCD ，所以平面P AD ⊥平面ABCD ，因为AB ⊥AD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，AB ⊂平面ABCD ，所以AB ⊥平面P AD ，因为AB ∥CD ，所以CD ⊥平面P AD . 因为点Q 在△P AD 内及边上运动，所以AB ⊥QA ，CD ⊥QD . tan ∠CQD ＝CD DQ ，tan ∠BQA ＝ABAQ，因为∠CQD ＝∠BQA ，所以CD DQ ＝ABAQ，因为CD ＝2，AB ＝2，所以QD ＝2AQ .在平面PDA 内，以DA 的中点O 为原点，DA 所在直线为x 轴，DA 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示．则D (－1，0)，A (1，0)，P (1，3)，设Q (x ，y )，由QD ＝2AQ ，得（x ＋1）2＋y 2＝2×（x －1）2＋y 2，整理得(x －3)2＋y 2＝8.当Q 为圆(x －3)2＋y 2＝8与P A 在x 轴上方的交点时，点Q 到DA 的距离最大，令x ＝1，解得y ＝±2(y ＝－2舍去)，故点Q 到DA 的距离的最大值为2，即三棱锥Q ABC 的高的最大值为2， S △ABC ＝12×2×2＝2，故三棱锥Q ABC 的体积的最大值为13×2×2＝223.答案：223(五)以解析几何为主体1．(2021·湖南长沙二模)已知抛物线C 的焦点为F ，点A ，B 在C 上，满足AF →＋BF →＝0，且AF →·BF →＝－16，点P 是C 的准线上任意一点，则△P AB 的面积为________．解析：不妨设抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)，因为AF →＋BF →＝0，所以AF →＝FB →，所以AB 与x 轴垂直，所以AF →·BF →＝－p 2＝－16，所以p ＝4，所以|AB |＝2p ＝8. 易知点P 到AB 的距离为p ＝4，所以S △P AB ＝12×8×4＝16.答案：162．(2021·重庆八中月考)在如图所示的平面直角坐标系xOy 中，已知Q (0，22)，A ，B 是圆C ：(x －1)2＋y 2＝9上的两个动点，满足|QA |＝|QB |，则△ABQ 面积的最大值是________．解析：因为|QA |＝|QB |，所以Q 在AB 的垂直平分线上．若AB 过圆心，则S △ABQ ＝9.若AB 不过圆心，设圆心C 到AB 的距离为d ，0＜d ＜3，过点Q 作QH ⊥AB 交AB 于H (图略)，易知点C 在直线QH 上，所以|HB |＝9－d 2，|QH |＝3－d 或|QH |＝d ＋3，易知当△ABQ 面积最大时，|QH |＝d ＋3，此时S △ABQ ＝12|AB |·|QH |＝9－d 2(d ＋3)，d ∈(0，3)．S △ABQ ＝（9－d 2）（d ＋3）2＝（3－d ）（3＋d ）3，记f (d )＝(3－d )(3＋d )3，d ∈(0，3)，则f ′(d )＝2(3＋d )2(3－2d )，故f (d )在⎝⎛⎭⎫0，32上单调递增，在⎝⎛⎭⎫32，3上单调递减，所以f (d )max ＝f ⎝⎛⎭⎫32＝218716，所以(S △ABQ )max ＝2734. 答案：27343．如图所示，椭圆有这样的一个光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．已知椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，其左、右焦点分别是F 1，F 2，直线l 与椭圆C 切于点P ，且|PF 1|＝1，过点P 且与直线l 垂直的直线l ′与椭圆长轴交于点M ，若e ＝32，S △PMF 1S △PMF 2＝13，则椭圆C 的标准方程为____________________．解析：由椭圆的光学知识可知直线l ′平分∠F 1PF 2，因为S △PMF 1S △PMF 2＝|F 1M ||F 2M |＝12|F 1P ||PM |sin ∠F 1PM12|F 2P ||PM |sin ∠F 2PM ＝|PF 1||PF 2|＝13，|PF 1|＝1，所以|PF 2|＝3，又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以a ＝2.因为e ＝c a ＝32，b 2＝a 2－c 2，所以b ＝1，所以椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.答案：x 24＋y 2＝1。

高考数学(理)二轮专题复习：增分练5-1-8 Word版含答案

小题提速练(八)(满分80分，押题冲刺，45分钟拿下客观题满分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝0，x ，y ∈R }，B ＝{(x ，y )|x －y ＝0，x ，y ∈R }，则集合A ∩B 中的元素个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选B.集合的交集问题转化为直线x ＋y ＝0和x －y ＝0的交点问题，作出直线x ＋y ＝0和x －y ＝0，观察它们的图象的交点只有一个，故选B.2．已知i 是虚数单位，5－i zz＝1＋i ，则|z |＝( )A ．5 B. 5 C ．2 5D ．10解析：选B.由题知，5－i z ＝(1＋i)z ，(1＋2i)z ＝5，z ＝51＋2i， |z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪51＋2i ＝5|1＋2i|＝55＝5，故选B.3．已知命题p ：若a ＝0.30.3，b ＝1.20.3，c ＝log 1.20.3，则a ＜c ＜b ；命题q ：“x 2－x －6＞0”是“x ＞4”的必要不充分条件，则下列命题正确的是( )A ．p ∧qB ．p ∧(﹁q ) C ．(﹁p )∧qD ．(﹁p )∧(﹁q )解析：选C.因为0＜a ＝0.30.3＜0.30＝1，b ＝1.20.3＞1.20＝1，c ＝log 1.20.3＜log 1.21＝0，所以c ＜a ＜b ，故命题p 为假命题，﹁p 为真命题；由x 2－x －6＞0可得x ＜－2或x ＞3，故“x 2－x －6＞0”是“x ＞4”的必要不充分条件，q 为真命题，故(﹁p )∧q 为真命题，选C.4．在△ABC 中，已知向量AB →＝(2,2)，|AC →|＝2，AB →·AC →＝－4，则∠A ＝( ) A.5π6 B.π4 C.2π3D.3π4解析：选D.∵AB →＝(2,2)，∴|AB →|＝22＋22＝22，∴cos A ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝－422×2＝－22，∵0＜A ＜π，∴∠A ＝3π4，故选D.5．已知正项等比数列{a n }的首项a 1＝1，a 2·a 4＝16，则a 8＝( ) A ．32 B ．64 C ．128D ．256解析：选C.因为a 2·a 4＝16＝(a 3)2，所以a 3＝4，因为a 3＝a 1q 2＝4，a 1＝1，所以q 2＝4，即q ＝±2，q ＝－2舍去，所以q ＝2，所以a 8＝a 3q 5＝4×25＝27＝128，故选C.6．定义在[－2,2]的函数f (x )对于任意的x 1＜x 2，x 1，x 2∈[－2,2]，都有f (x 1)＜f (x 2)，且f (a 2－a )＞f (2a －2)，则实数a 的范围是( )A ．[－1,2)B ．[0,2)C ．[0,1)D ．[－1,2)解析：选C.∵函数f (x )满足对于任意的x 1，x 2∈[－2,2]都有f (x 1)＜f (x 2)，所以函数f (x )在[－2,2]上单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2≤a 2－a ≤2，－2≤2a －2≤2，2a －2＜a 2－a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤a ≤2，0≤a ≤2，a ＜1或a ＞2，∴0≤a ＜1，故选C.7．过球O 的一条半径的中点且与该半径垂直的截面圆的面积是4π，则球O 的表面积是( ) A.163π3 B.323π3 C.32π3D.64π3解析：选D.设该球的半径为R ，由条件可得截面圆的半径为2，且⎝ ⎛⎭⎪⎫R 22＋4＝R 2，解得R ＝433，所以球O 的表面积S ＝4πR 2＝64π3，故选D.8．阅读如图所示的程序框图，若运行该程序后输出的y 值为16，则输入的实数x 为( )A ．2B ．4C ．－6D ．2或4解析：选 A.由程序框图得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≥0，2x，x ＜0.若y ＝16，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2＝16或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜0，2x＝16，解得x ＝2，故选A.9．已知sin(70°＋α)＝13，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋80°－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋80°＝( )A ．－13B ．－223C.13D.223解析：选A.由题知，cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α2＋80°－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋80°＝cos(α＋160°)＝－cos(α－20°)＝－sin(70°＋α)＝－13，故选A.10．某袋中有编号为1,2,3,4,5,6的6个小球(小球除编号外其余完全相同)，甲先从袋中摸出一球，记下编号后放回，乙再从袋中摸出一球，记下编号，则甲乙两人摸出的球的编号不同的概率是( )A.15B.16C.56D.3536解析：选C.设甲乙两人摸出球的编号相同的事件为A ，其对应的概率是P (A )＝6×16×6＝16，其对立事件A 为甲乙两人摸出球的编号不相同，由对立事件的性质可知P (A )＝1－P (A )＝56，故选C.11．已知O 是坐标原点，双曲线x 2a2－y 2＝1(a ＞0)上有一点P ，过点P 作双曲线两条渐近线的平行线，且与两渐近线的交点分别为A ，B 两点，平行四边形OBPA 的面积是1，则双曲线的离心率是( )A. 2B. 3C.52D.223解析：选C.双曲线的渐近线方程是x ±ay ＝0，设P (m ，n )是双曲线上的任意一点，过P 平行于OB ：x ＋ay ＝0的方程是x ＋ay －m －an ＝0与OA ：x －ay ＝0的交点是A ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋an 2，m ＋an 2a ，∴|OA |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ＋an 2·1＋1a 2，点P 到OA 的距离是d ＝|m －an |1＋a 2，因为|OA |·d ＝1，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ＋an 2·1＋1a 2·|m －an |1＋a2＝1，∴m 2－a 2n 2＝2a ，又因为m 2a 2－n 2＝1，∴a 2＝2a ，所以a ＝2，c ＝5，即e ＝52，故选C. 12．已知函数f (x )＝e x＋eln x －2ax 在x ∈(1,3)上单调递增，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，e 32＋e 6B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫e 32＋e 6，＋∞C ．(－∞，e)D ．(－∞，e]解析：选D.依题意，f ′(x )＝e x＋e x －2a ≥0在x ∈(1,3)上恒成立，即a ≤e x2＋e2x 在x ∈(1,3)上恒成立，令g (x )＝e x2＋e 2x ，则g ′(x )＝e x2－e 2x 2，令h (x )＝e x2－e 2x 2，则h ′(x )＝e x2＋ex 3＞0，g ′(x )＝e x2－e2x2≥g ′(1)＝0， ∴g (x )在x ∈(1,3)上单调递增，a ≤g (1)＝e ，故选D. 二、填空题(本题共4小题，每小题5分；共20分)13．甲、乙、丙三人中，有牧师、赌徒和骗子，牧师从不说谎，骗子总是说谎，赌徒有时说谎，有时候讲真话，甲说：“我是赌徒．”乙说：“甲是骗子．”丙说：“甲是牧师．”那么真正的牧师是________．解析：若甲是牧师，则甲说的是真话，但是甲是赌徒，这与甲是牧师矛盾；所以甲可能是赌徒或骗子，若丙是牧师，则丙说的是真话，即甲是牧师，这与丙是牧师矛盾，故乙是牧师，则乙说的是真话，甲是骗子，丙是赌徒．答案：乙14．若实数x ，y 满足不等式|x ＋1|≤y ≤a ，a ＞0，若z ＝2x －y 的最小值是－8，则a ＝________. 解析：作出可行域，如图所示，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝|x ＋1|，y ＝a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－a ，y ＝a ，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －1，y ＝a ，即A (－1－a ，a )，B (a －1，a )，令z ＝0得直线l 0：y ＝2x ，l 0向上移动，z ＝2x －y 的值变小，故经过点A (－1－a ，a )时，z min ＝－8，即2(－1－a )－a ＝－8，解得a ＝2.答案：215．已知一个四棱锥的正视图和俯视图如图所示，其中a ＋b ＝10，则该四棱锥体积的最大值为________．解析：由三视图可知，P 在底面的射影在AD 边上，即正视图等价于△PAD ，P 点为以A ，D 为焦点的椭圆上的点，则当a ＝b ＝5时，PE 有最大值为4，则V 四棱锥＝13×2×6×4＝16，故该四棱锥体积的最大值为16.答案：1616．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b 2＝a 2＋c 2－2ac ，b ＝2，△ABC 的面积是S ，则S ＋2cos A cos C 的最大值是________．解析：由题知，2ac ＝a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，即cos B ＝22，所以B ＝π4，设△ABC 外接圆的半径为R ，所以2R ＝b sin B ＝222＝2，解得R ＝1，因为S ＋2cos A cos C ＝12ac sin B ＋2cos A cosC ＝12×2R sin A ×2R sin C ×22＋2cos A cos C ＝2cos A cos C ＋2sin A sin C ＝2cos(A －C )，显然当A ＝C 时，cos(A －C )max ＝1，(S ＋2cos A cos C )max＝ 2.答案： 2。

高考数学(理科)增分大二轮人教版：第二部分专题6 增分强化练(三十三)

增分强化练(三十三)考点一函数及其表示1．设集合A ＝{－3,0,1,2}，集合B ＝{y |y ＝2x }，则A ∩B ＝( ) A ．(0，－3] B ．{1,2} C ．{0,2}D ．(0，＋∞)解析：由指数函数的性质，可得集合B ＝{y |y ＝2x }＝{y |y >0}，又由A ＝{－3,0,1,2}，所以A ∩B ＝{1,2}，故选B. 答案：B2．(2019·石家庄模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，0<x ≤1f (x －1)，x >1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0192＝________.解析：由函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，0<x ≤1f (x －1)，x >1，可得当x >1时，满足f (x )＝f (x －1)，所以函数f (x )是周期为1的函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0192＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 009＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝log 212＝－1.答案：－1 3．函数f (x )＝lnx ＋1x －1的值域为________．解析：ln x ＋1x －1＝ln x －1＋2x －1＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2x －1， ∵1＋2x －1>0且1＋2x －1≠1， ∴ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2x －1≠0，∴f (x )值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．答案：(－∞，0)∪(0，＋∞) 考点二函数的图象1．函数y ＝1－|x －x 2|的图象大致是( )解析：当x ＝－1时，y ＝1－|－1－1|＝－1，所以舍去A ，D ，当x ＝2时，y ＝1－|2－4|＝－1，所以舍去B ，故选C. 答案：C2．函数y ＝x 2ln x 2|x |的图象大致是( )解析：∵y ＝x 2ln x 2|x |， ∴函数为偶函数，排除B ，又x >0时，y ＝2x ln x ， y ′＝2(1＋ln x )＝0时，x ＝1e ，即函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞单调递增，排除A 、C ，故选D.答案：D3．若定义在R 上的偶函数f (x )，满足f (x ＋2)＝f (x )且x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则方程f (x )＝log 3|x |的实根个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．6解析：由f (x ＋2)＝f (x )可得函数的周期为2，又函数为偶函数且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，故可作出函数f (x )的图象，∴方程f(x)＝log3|x|的解个数等价于f(x)与y＝log3|x|图象的交点，由图象可得它们有4个交点，故方程f(x)＝log3|x|的解个数为4，故选C.答案：C4.如图，点P在边长为1的正方形边上运动，M是CD的中点，则当P沿A-B-C-M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y的函数y＝f(x)的图象的形状大致是下图中的()解析：由点P在边长为1的正方形边上运动，M是CD的中点，则当P沿A-B-C-M 运动时，点P经过的路程x与△APM的面积的函数，可得f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧12x，0<x<134－x4，1≤x<254－12x，2≤x<52，画出分段函数的图象，如图所示，故选A.答案：A考点三函数的性质1．(2019·大连模拟)下列函数中，既是奇函数又在(－∞，＋∞)上单调递增的是() A．y＝sin x B．y＝|x|C．y＝－x3D．y＝ln(x2＋1＋x) 解析：sin x不是单调递增函数，可知A错误；|－x|＝|x|，则函数y＝|x|为偶函数，可知B错误；y＝－x3在(－∞，＋∞)上单调递减，可知C错误；ln()(－x)2＋1－x＝ln1x2＋1＋x＝－ln(x2＋1＋x)，则y＝ln(x2＋1＋x)为奇函数；当x≥0时，x2＋1＋x单调递增，由复合函数单调性可知y＝ln(x2＋1＋x)在[0，＋∞)上单调递增，根据奇函数对称性，可知在(－∞，＋∞)上单调递增，则D正确．故选D.答案：D2．(2019·汕头模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(1)＝a，则f(2)＋f(3)＋f(4)＝()A．0 B．－aC．a D．3a解析：因为函数f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，所以f(x)关于直线x＝1对称，所以f(2)＝f(0)，f(3)＝f(－1)，又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，又由f(1＋x)＝f(1－x)可得f(x＋1)＝f(1－x)＝－f(x－1)，所以f(x＋2)＝－f(x)，故f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，因此，函数f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(4)＝f(0)，又f(1)＝a，因此f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(0)＋f(－1)＋f(0)＝－f(1)＝－a.故选B.答案：B3．已知定义在非零实数集上的奇函数y＝f(x)，函数y＝f(x－2)与g(x)＝sin πx2图象共有4个交点，则该4个交点横坐标之和为()A．2 B．4C．6 D．8解析：因为函数y＝f(x)是奇函数，y＝f(x)关于点(0,0)中心对称；所以函数y ＝f (x －2)关于点(2,0)中心对称；又由πx2＝k π，k ∈Z 得到x ＝2k ，k ∈Z ，即函数g (x )＝sin πx2的对称中心为(2k,0)，k ∈Z ，因此，点(2,0)也是函数g (x )＝sin πx2的一个对称中心；由函数y ＝f (x －2)与g (x )＝sin πx2图象共有4个交点，交点横坐标依次设为x 1，x 2，x 3，x 4且x 1<x 2<x 3<x 4，所以由函数对称性可知，x 1＋x 42＝2，x 2＋x 32＝2，因此x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝8. 故选D. 答案：D4．(2019·株洲模拟)设函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ，x ≥a－x 3＋3x ，x <a ，其中a ≤－2，则满足f (x )＋f (x－1)<3的x 取值范围是( ) A ．(－1，＋∞) B ．(－3，＋∞) C ．(－2，＋∞)D ．(0，＋∞)解析：设y ＝－x 3＋3x ，则y ′＝－3x 2＋3＝－3(x ＋1)(x －1)，所以当x <－1或x >1时，函数y ＝－x 3＋3x 单调递减；当－1<x <1时，函数单调递增．所以当x <a (a ≤－2)时，函数y ＝－x 3＋3x 单调递减．又当x ≥a (a ≤－2)时，函数y ＝－x 单调递减，所以函数f (x )在R 上单调递减．设h (x )＝f (x )＋f (x －1)，则h (x )在R 上也为单调递减函数，又h (－1)＝f (－1)＋f (－2)＝3，即h (x )<h (－1)，所以x >－1.所以所求x 取值范围是(－1，＋∞)．故选A.答案：A。

2020版高三数学新课标大二轮专题辅导与增分攻略数学(理)专题强化训练：32 函数与导数

专题强化训练(三十二)1．(2019·江西赣州五校协作体联考)已知函数f (x )＝ln x －12ax 2＋x ，a ∈R .(1)当a ＝0时，求曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程； (2)令g (x )＝f (x )－(ax －1)，求函数g (x )的极值．[解] (1)当a ＝0时，f (x )＝ln x ＋x ，则f (1)＝1，∴切点为(1,1)，又f ′(x )＝1x ＋1，∴切线斜率k ＝f ′(1)＝2.故切线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.(2)g (x )＝f (x )－(ax －1)＝ln x －12ax 2＋(1－a )x ＋1，则g ′(x )＝1x －ax ＋(1－a )＝－ax 2＋(1－a )x ＋1x，当a ≤0时，∵x >0，∴g ′(x )>0，∴g (x )在(0，＋∞)上是增函数，函数g (x )无极值点．当a >0时，g ′(x )＝－ax 2＋(1－a )x ＋1x ＝－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x ＋1)x.令g ′(x )＝0，得x ＝1a . ∴当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 时，g ′(x )>0；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，g ′(x )<0.因此g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上是减函数．∴x ＝1a 时，g (x )有极大值g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a －a 2·1a 2＋(1－a )·1a ＋1＝12a －ln a . 综上，当a ≤0时，函数g (x )无极值；当a >0时，函数g (x )有极大值12a －ln a ，无极小值． 2．(2019·武汉模拟)已知函数f (x )＝x ln x －ax 2－x .(1)当a ＝12时，证明：f (x )在定义域上为减函数； (2)若a ∈R ，讨论函数f (x )的零点情况．[解] (1)证明：由题意可知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1－x －1＝ln x －x ，令g (x )＝ln x －x ，则g ′(x )＝1x －1＝1－x x ，当0<x <1时，g ′(x )>0；当x >1时，g ′(x )<0，所以g (x )max ＝g (1)＝－1，即g (x )＝ln x －x <0，所以f ′(x )<0，所以f (x )在定义域上为减函数．(2)f (x )＝x ln x －ax 2－x 的零点情况，即方程x ln x －ax 2－x ＝0的根的情况，因为x >0，所以方程可化为a ＝ln x －1x ，令h (x )＝ln x －1x ，则h ′(x )＝1－(ln x －1)x 2＝2－ln xx 2，令h ′(x )＝0，可得x ＝e 2，当0<x <e 2时，h ′(x )>0，当x >e 2时，h ′(x )<0，所以h (x )max ＝h (e 2)＝1e 2，且当x →0时，h (x )→－∞；当x >e 2时，h (x )>0，所以h (x )＝ln x －1x 的大致图象如图所示，结合图象可知，当a >1e 2时，方程a ＝ln x －1x 没有根；当a ＝1e 2或a ≤0时，方程a ＝ln x －1x 有一个根；当0<a <1e 2时，方程a ＝ln x －1x 有两个根．所以当a >1e 2时，函数f (x )无零点；当a ＝1e 2或a ≤0时，函数f (x )有一个零点；当0<a <1e 2时，函数f (x )有两个零点．3．(2019·山西太原模拟)设函数f (x )＝1－a 2x 2＋ax －ln x (a ∈R )． (1)当a ＝1时，求函数f (x )的极值；(2)若对任意a ∈(4,5)及任意x 1，x 2∈[1,2]，恒有a －12m ＋ln2>|f (x 1)－f (x 2)|成立，求实数m 的取值范围．[解] (1)∵函数f (x )＝1－a 2x 2＋ax －ln x (a ∈R )， ∴函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．当a ＝1时， f (x )＝x －ln x, f ′(x )＝1－1x ＝x －1x ，当0<x <1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x >1时， f ′(x )>0, f (x )单调递增， ∴函数f (x )的极小值为f (1)＝1，无极大值． (2)∵函数f (x )＝1－a 2x 2＋ax －ln x (a ∈R )， ∴f ′(x )＝(1－a )x ＋a －1x ＝(1－a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a －1(x －1)x，当a ∈(4,5)时，在区间[1,2]上，f ′(x )≤0，则f (x )单调递减，f (1)是f (x )的最大值，f (2)是f (x )的最小值，∴|f (x 1)－f (x 2)|≤f (1)－f (2)＝a 2－32＋ln2.∵对任意a ∈(4,5)及任意x 1，x 2∈[1,2]，恒有a －12m ＋ln2>|f (x 1)－f (x 2)|成立，∴a －12m ＋ln2>a 2－32＋ln2，得m >a －3a －1.∵a ∈(4,5)，∴a －3a －1＝1－2a －1<1－25－1＝12，∴m ≥12，∴实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 4．(2019·河南洛阳二模)已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )． (1)若曲线y ＝f (x )与直线x －y －1－ln2＝0相切，求实数a 的值； (2)若函数f (x )有两个零点x 1，x 2，证明1ln x 1＋1ln x 2>2[解] (1)由f (x )＝ln x －ax ，得f ′(x )＝1x －a . 设切点的横坐标为x 0，依题意得⎩⎨⎧1x 0－a ＝1，x 0－1－ln2＝ln x 0－ax 0，解得⎩⎨⎧x 0＝12，a ＝1.故实数a 的值为1.(2)证明：不妨设0<x 1<x 2，由⎩⎪⎨⎪⎧ln x 1－ax 1＝0，ln x 2－ax 2＝0，得ln x 2－ln x 1＝a (x 2－x 1)，即1a ＝x 2－x 1ln x 2－ln x 1，所以1ln x 1＋1ln x 2－2＝1ax 1＋1ax 2－2＝x 2－x 1ln x 2－ln x 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 2－2＝x 2x 1－x 1x 2－2ln x 2x 1ln x 2x 1. 令t ＝x 2x 1>1，则ln x 2x 1>0，x 2x 1－x 1x 2－2ln x 2x 1＝t －1t －2ln t .设g (t )＝t －1t －2ln t ，则当t >1时，g ′(t )＝t 2－2t ＋1t 2>0，则函数g (t )在(1，＋∞)上单调递增，所以g (t )>g (1)＝0.从而x 2x 1－x 1x 2－2ln x 2x 1ln x 2x1>0，即1ln x 1＋1ln x 2>2.。

高考数学大二轮总复习与增分策略(全国通用,理科)三轮增分练(20份)(20份打包)高考压轴大题突破练(四)

姓名：________班级：________学号：________ 高考压轴大题突破练(四)函数与导数(2)1．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1处取得极值，在x＝0处的切线与直线3x＋y＝0平行．(1)求f(x)的解析式；(2)已知点A(2，m)，求过点A的曲线y＝f(x)的切线条数．2．已知函数f(x)＝2x2－a ln x(a∈R)．(1)若a＝4，求函数f(x)的极小值；(2)试问：对某个实数m，方程f(x)＝m－cos 2x在x∈(0，＋∞)上是否存在三个不相等的实根？若存在，请求出实数a的范围；若不存在，请说明理由．3．已知函数f (x )＝a ln x －bx 2.(1)当a ＝2，b ＝12时，求函数f (x )在[1e，e]上的最大值；(2)当b ＝0时，若不等式f (x )≥m ＋x 对所有的a ∈[0，32]，x ∈(1，e 2]都成立，求实数m 的取值范围．4．(2014·大纲全国)函数f (x )＝ln(x ＋1)－axx ＋a (a >1)．(1)讨论f (x )的单调性；(2)设a 1＝1，a n ＋1＝ln(a n ＋1)，证明：2n ＋2<a n ≤3n ＋2.答案精析高考压轴大题突破练(四)函数与导数(2)1．解 (1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝3a ＋2b ＋c ＝0，f ′(－1)＝3a －2b ＋c ＝0，f ′(0)＝c ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，c ＝－3.所以f (x )＝x 3－3x .(2)设切点为(t ，t 3－3t )，由(1)知f ′(x )＝3x 2－3，所以切线斜率k ＝3t 2－3，切线方程为y －(t 3－3t ) ＝(3t 2－3)(x －t )．又切线过点A (2，m )，代入得m －(t 3－3t )＝(3t 2－3)(2－t )，解得m ＝－2t 3＋6t 2－6. 设g (t )＝－2t 3＋6t 2－6，令g ′(t )＝0，即－6t 2＋12t ＝0，解得t ＝0或t ＝2.当t 变化时，g ′(t )与g (t )的变化情况如下表：所以g (t )的极小值为g (0)＝－6，极大值为g (2)＝2. 作出函数草图可知：①当m >2或m <－6时，方程m ＝－2t 3＋6t 2－6只有一解，即过点A 只有一条切线；②当m＝2或m＝－6时，方程m＝－2t3＋6t2－6恰有两解，即过点A有两条切线；③当－6<m<2时，方程m＝－2t3＋6t2－6有三解，即过点A有三条切线．2．解(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，由已知得f′(x)＝4x－4x ＝4(x2－1)x，则当0<x<1时f′(x)<0，f(x)在(0,1)上是减函数；当x>1时f′(x)>0，f(x)在(1，＋∞)上是增函数．故函数f(x)的极小值为f(1)＝2.(2)假设方程f(x)＝m－cos 2x在x∈(0，＋∞)上存在三个不相等的实根，设F(x)＝2x2－a ln x＋cos 2x－m，由于F(x)在x∈(0，＋∞)上的图象连续不断，则F′(x)＝4x－ax－2sin 2x(x>0)有两个不同的零点，即a＝4x2－2x sin 2x(x>0)有两个不同的解．设G(x)＝4x2－2x sin 2x(x>0)，则G′(x)＝8x－2sin 2x－4x cos 2x＝2(2x－sin 2x)＋4x(1－cos 2x)．设h(x)＝2x－sin 2x，则h′(x)＝2－2cos 2x≥0，故h(x)在(0，＋∞)上单调递增，故当x>0时，h(x)>h(0)＝0，即2x>sin 2x.又1－cos 2x>0，则G′(x)>0，故G(x)在(0，＋∞)上是增函数，则a ＝4x 2－2x sin 2x (x >0)至多只有一个解，故假设不成立，即不存在满足条件的实数a . 3．解 (1)由题意知，f (x )＝2ln x －12x 2，f ′(x )＝2x －x ＝2－x 2x ，当1e≤x ≤e 时，令f ′(x )>0得1e ≤x <2；令f ′(x )<0，得2<x ≤e ，∴f (x )在[1e ，2)上单调递增，在(2，e]上单调递减，∴f (x )max ＝f (2)＝ln 2－1.(2)当b ＝0时，f (x )＝a ln x ，若不等式f (x )≥m ＋x 对所有的a ∈[0，32]，x ∈(1，e 2]都成立，则a ln x ≥m ＋x 对所有的a ∈[0，32]，x ∈(1，e 2]都成立，即m ≤a ln x －x ，对所有的a ∈[0，32]，x ∈(1，e 2]都成立，令h (a )＝a ln x －x ，则h (a )为一次函数，m ≤h (a )min . ∵x ∈(1，e 2]，∴ln x >0， ∴h (a )在[0，32]上单调递增，∴h (a )min ＝h (0)＝－x ，∴m ≤－x 对所有的x ∈(1，e 2]都成立． ∵1<x ≤e 2，∴－e 2≤－x <－1， ∴m ≤(－x )min ＝－e 2.即实数m 的取值范围为(－∞，－e 2]． 4．(1)解 f (x )的定义域为(－1，＋∞)， f ′(x )＝x [x －(a 2－2a )](x ＋1)(x ＋a )2.①当1<a <2时，若x ∈(－1，a 2－2a )，则f ′(x )>0，f (x )在(－1，a 2－2a )是增函数；若x ∈(a 2－2a,0)，则f ′(x )<0，f (x )在(a 2－2a,0)是减函数；若x ∈(0，＋∞)，则f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)是增函数． ②当a ＝2时，f ′(x )≥0，f ′(x )＝0成立当且仅当x ＝0， f (x )在(－1，＋∞)是增函数．③当a >2时，若x ∈(－1,0)，则f ′(x )>0，f (x )在(－1,0)是增函数；若x ∈(0，a 2－2a )，则f ′(x )<0，f (x )在(0，a 2－2a )是减函数；若x ∈(a 2－2a ，＋∞)，则f ′(x )>0，f (x )在(a 2－2a ，＋∞)是增函数．综上，①当1<a <2时，f (x )在(－1，a 2－2a )和(0，＋∞)上单调递增，在(a 2－2a,0)上单调递减； ②当a ＝2时，f (x )在(－1，＋∞)上单调递增； ③当a >2时，f (x )在(－1,0)和(a 2－2a ，＋∞)上单调递增，在(0，a 2－2a )上单调递减． (2)证明由(1)知，当a ＝2时， f (x )在(－1，＋∞)是增函数．当x ∈(0，＋∞)时，f (x )>f (0)＝0，即ln(x ＋1)>2x x ＋2(x >0)．又由(1)知，当a ＝3时，f (x )在(0,3)是减函数．当x ∈(0,3)时，f (x )<f (0)＝0，即ln(x ＋1)<3xx ＋3(0<x <3)．下面用数学归纳法证明2n ＋2<a n ≤3n ＋2.①当n ＝1时，由已知23<a 1＝1，故结论成立；②假设当n ＝k 时结论成立，即2k ＋2<a k ≤3k ＋2.当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝ln(a k ＋1)>ln(2k ＋2＋1)>2×2k ＋22k ＋2＋2＝2k ＋3.a k ＋1＝ln(a k ＋1)≤ln(3k ＋2＋1)<3×3k ＋23k ＋2＋3＝3k ＋3，即当n ＝k ＋1时有2k ＋3<a k ＋1≤3k ＋3，结论成立．根据①②可知，对任何n ∈N *结论都成立．。

2020版高考数学大二轮复习第二部分专题5 解析几何增分强化练(三十二)理

增分强化练(三十二)1．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，P ，Q 是椭圆C 上的两个动点，且线段PQ 长度的最大值为4.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若OP ⊥OQ ，求△OPQ 面积的最小值．解析：(1)∵y 2＝4x 的焦点为(1,0)，∴椭圆C 的右焦点F 为(1,0)，即c ＝1，又|PQ |的最大值为4，因此|PQ |＝2a ＝4，∴a 2＝4，b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)①当P ，Q 为椭圆顶点时，易得△OPQ 的面积为12×2×3＝3， ②当P ，Q 不是椭圆顶点时，设直线OP 的方程为y ＝kx (k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx x 24＋y 23＝1，得x 2＝123＋4k 2，所以|OP |＝k 2＋1 123＋4k 2，由OP ⊥OQ ，得直线OQ 的方程为：y ＝－1k x ，所以|OQ |＝1k 2＋1 123＋41k 2＝ 1＋k 2 123k 2＋4，所以S △OPQ ＝12|OP |·|OQ |＝6 (k 2＋1)2(3＋4k 2)(3k 2＋4) ＝6 (k 2＋1)212k 4＋25k 2＋12＝6 112＋k 2(k 2＋1)2， (k 2＋1)2k 2＝k 2＋1k2＋2≥4，当且仅当k 2＝1时等号成立，所以0<k 2(k 2＋1)2≤14，所以127≤S △OPQ <3，综上，△OPQ 面积的最小值为127. 2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 1，F 2分别为椭圆C 的左、右焦点，点P (263，33)满足PF →1·PF →2＝0. (1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 经过椭圆C 的右焦点与椭圆相交于M ，N 两点，设O 为坐标原点，直线OM ，直线l ，直线ON 的斜率分别为k 1，k ，k 2，且k 1，k ，k 2成等比数列，求k 1·k 2的值．解析：(1)依题意F 1(－c,0)，∴PF →1·PF →2＝－c 2＋3＝0，即c ＝3，∵e ＝ca ＝32， ∴a ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝1，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)设直线l 的方程为y ＝k (x －3)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 2＝1y ＝k (x －3)，得(1＋4k 2)x 2－83k 2x ＋4(3k 2－1)＝0，则x 1＋x 2＝83k 21＋4k 2，x 1x 2＝12k 2－41＋4k2， ∵k 1，k ，k 2成等比数列， ∴k 1·k 2＝k 2＝y 1y 2x 1x 2＝k 2(x 1－3)(x 2－3)x 1x 2，则3(x 1＋x 2)＝3，即83k 21＋4k2＝3，解得k 2＝14，故k 1k 2＝14. 3．已知抛物线C ：y 2＝2px (0<p <1)上的点P (m,1)到其焦点F 的距离为54. (1)求C 的方程；(2)已知直线l 不过点P 且与C 相交于A ，B 两点，且直线PA 与直线PB 的斜率之积为1，证明：l 过定点．解析：(1)由题意，得2pm ＝1，即m ＝12p.由抛物线的定义，得|PF |＝m －(－p 2)＝12p ＋p 2. 由题意，知12p ＋p 2＝54，解得p ＝12或p ＝2(舍去)．所以C 的方程为y 2＝x .(2)证明：由(1)得P (1,1)．设l ：x ＝ny ＋t ，由于直线l 不过点P (1,1)，所以n ＋t ≠1.由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝x ，x ＝ny ＋t 消去x 并整理得y 2－ny －t ＝0.由题意，判别式Δ＝n 2＋4t >0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝n ，①y 1y 2＝－t ，②则k PA k PB ＝y 1－1x 1－1·y 2－1x 2－1＝y 1－1y 21－1·y 2－1y 22－1＝1y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1. 由题意，得y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1＝1，即y 1y 2＋(y 1＋y 2)＝0，③将①②代入③得－t ＋n ＝0，即t ＝n .所以l ：x ＝n (y ＋1)．显然l 过定点(0，－1)．4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，焦距为2，长轴的长为4. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设过点F 1的直线l 与椭圆C 交于E ，D 两点，试问：在x 轴上是否存在定点M ，使得直线ME ，MD 的斜率之积为定值？若存在，求出该定值及定点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解析：(1)因为椭圆C 的焦距为2，长轴的长为4，所以2c ＝2,2a ＝4，解得c ＝1，a ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)设E (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，M (m,0)．易知F 1(－1,0)，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)．联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x ＋1)，x 24＋y 23＝1，得(4k 2＋3)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0，则x 1＋x 2＝－8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3. 又y 1y 2＝k 2(x 1＋1)(x 2＋1)＝k 2(x 1x 2＋x 1＋x 2＋1)＝k 2(4k 2－124k 2＋3－8k 24k 2＋3＋1)＝－9k 24k 2＋3，直线ME ，MD 的斜率k ME ＝y 1x 1－m ，k MD ＝y 2x 2－m ，则k ME ·k MD ＝y 1x 1－m ·y 2x 2－m ＝y 1y 2(x 1－m )(x 2－m )＝y 1y 2x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2＝－9k24k 2＋34k 2－124k 2＋3－m (－8k 24k 2＋3)＋m 2 ＝－9k24k 2＋34k 2－12＋8mk 2＋4m 2k 2＋3m24k 2＋3＝－9k 2(4m 2＋8m ＋4)k 2＋3m 2－12. 要使直线ME ，MD 的斜率之积为定值，需3m 2－12＝0，解得m ＝±2.当m ＝2时，k ME ·k MD ＝－9k 2(4m 2＋8m ＋4)k 2＝－9k 236k 2＝－14；当m ＝－2时，k ME ·k MD ＝－9k 2(4m 2＋8m ＋4)k 2＝－9k 24k 2＝－94. 当直线l 的斜率不存在时，不妨设E (－1，32)，D (－1，－32)，此时，当m ＝2时，M (2,0)，k ME ·k MD ＝－14；当m ＝－2时，M (－2,0)，k ME ·k MD ＝－94. 综上，在x 轴上存在两个定点M ，使得直线ME ，MD 的斜率之积为定值．当定点M 的坐标为(2,0)时，直线ME ，MD 的斜率之积为定值－14；当定点M 的坐标为(－2,0)时，直线ME ，MD 的斜率之积为定值－94.。

高考数学(理科)增分大二轮人教版：第二部分 专题5 增分强化练(三十二) (1)

2020高考数学(理科)增分大二轮人教版增分练：第二部分 专题1 增分强化练(九) Word版含解析