第六届东南地区数学奥林匹克决赛试题及答案(第一天)
历届东南数学奥林匹克试题
目录2004年东南数学奥林匹克 (2)2005年东南数学奥林匹克 (4)2006年东南数学奥林匹克 (6)2007年东南数学奥林匹克 (9)2008年东南数学奥林匹克 (11)2009年东南数学奥林匹克 (14)2010年东南数学奥林匹克 (16)2011年东南数学奥林匹克 (18)2012年东南数学奥林匹克 (20)2004年东南数学奥林匹克1.设实数a、b、c满足a2+2b2+3c2=32，求证：3−a+9−b+27−c≥1.2.设D是△ABC的边BC上的一点，点P在线段AD上，过点D作一直线分别与线段AB、PB交于点M、E，与线段AC、PC的延长线交于点F、N.如果DE=DF，求证：DM=DN.3.(1)是否存在正整数的无穷数列{a n}，使得对任意的正整数n都有a n+12≥2a n a n+2.(2)是否存在正无理数的无穷数列{a n}，使得对任意的正整数n都有a n+12≥2a n a n+2.4.给定大于2004的正整数n，将1,2,3,⋯,n2分别填入n×n棋盘（由n行n列方格构成）的方格中，使每个方格恰有一个数.如果一个方格中填的数大于它所在行至少2004个方格内所填的数，且大于它所在列至少2004个方格内所填的数，则称这个方格为“优格”.求棋盘中“优格”个数的最大值.5.已知不等式√2(2a+3)ccc(θ−π4)+6ssnθ+ccsθ−2csn2θ<3a+ 6对于θ∈�0,π2�恒成立，求a的取值范围.6.设点D为等腰△ABC的底边BC上一点，F为过A、D、C三点的圆在△ABC内的弧上一点，过B、D、F三点的元与边AB交于点E.求证：CD⋅EE+DE⋅AE=AD⋅AE.7.N支球队要矩形主客场双循环比赛（每两支球队比赛两场，各有一场主场比赛），每支球队在一周（从周日到周六的七天）内可以进行多场客场比赛.但如果某周内该球队有主场比赛，在这一周内不能安排该球队的客场比赛.如果4周内能够完成全部比赛，球n的值.注：A、B两队在A方场地矩形的比赛，称为A的主场比赛，B的客场比赛.8.求满足x−y x+y+y−z y+z+z−u z+u>0，且1≤x、y、z、u≤10的所有四元有序整数组(x,y,z,u)的个数.2005年东南数学奥林匹克1.(1)设a∈R.求证：抛物线y=x2+(a+2)x−2a+1都经过一个顶点，且顶点都落在一条抛物线上.(2)若关于x的方程y=x2+(a+2)x−2a+1=0有两个不等实根，求其较大根的取值范围.（吴伟朝供题）2.⊙O与直线l相离，作OO⊥l，P为垂足.设点Q是l上任意一点（不与点P重合），过点Q作⊙O的两条切线QA、QB，A、B为切点，AB与OP相交于点K.过点P作OP⊥QB，ON⊥QA，M、N为垂足.求证：直线MN平分线段KP.（裘宗沪供题）3.设n(n≥3)是正整数，集合P={1,2,⋯,2n}.求最小的正整数k，使得对于M的任何一个k元子集，其中必有4个互不相同的元素之和等于4n+1.（张鹏程供题）4.试求满足a2+b2+c2=2005，且a≤b≤c的所有三元正整数数组(a,b,c).（陶平生供题）5.已知直线l与单位圆⊙O相切于点P，点A与⊙O在直线l的，且A到直线l的距离为ℎ(ℎ>2)，从点A作⊙O的两条切线，分别与直线l交于B、C两点.求线段PB与线段PC的长度之乘积.（冷岗松司林供题）6.将数集A=�a1,a2,⋯,a n�中所有元素的算术平均值记为O(A)�O(A)=a1+a2+⋯+a n n�.若B是A的非空子集，且P(B)=P(A)，则称B是A的一个“均衡子集”.试求数集P={1,2,3,4,5,6,7,8,9}的所有“均衡子集”的个数.（陶平生供题）7.(1) 讨论关于x的方程|x+1|+|x+2|+|x+3|=a的根的个数；(2) 设a1,a2,⋯,a n为等差数列，且|a1|+|a2|+⋯+|a n|=|a1+1|+|a2+1|+⋯+|a n+1|=|a1−2|+|a2−2|+⋯+|a n−2|=507.求项数n的最大值.（林常供题）8.设0<α、β、γ<π2，且csn3α+csn3β+csn3γ=1.求证tan2α+tan2β+tan2γ≥3√32.（李胜宏供题）2006年东南数学奥林匹克1. 设a >b >0，f (x )=2(a+b )x+2ab 4x+a+b .证明：存在唯一的正数x ，使得f (x )=�a 13+b 132�3. （李胜宏 供题）2. 如图1，在△ABC 中，∠ABC =90°，D 、G 是边CA 上的亮点，连结BD 、BG .过点A 、G 分别作BD 的垂涎，垂足分别为E 、F ，连结CF .若BE =EE ，求证：∠ABG =∠DEC .图13. 一副纸牌共52张，其中，“方块”、“梅花”、“红心”、“黑桃”每种花色的牌个13张，标号依次是2,3,⋯,10,J ,Q ,K ,A .相同花色、相邻标号的两张牌称为“同花顺”牌，并且A 与2也算同花顺牌（即A 可以当成1使用）.试确定，从这副牌中取出13张牌，使每种标号的牌都出现，并且不含同花顺取牌方法数.（陶平生 供题）4. 对任意正整数n ，设a n 是方程x 3+x n =1的实数根.求证： (1) a n+1>a n ;(2) ∑1(s+1)a i n s=1<a n .（李胜宏 供题）5. 如图2，在△ABC 中，∠A =60°，△ABC 的内切圆⊙I 分别切边AB 、AC 于点D 、E ，直线DE 分别与直线BI 、CI 相交于点F 、G .证明：EG =12BC .图2 6. 求最小的实数m ，使得对于满足a +b +c =1的任意正实数a 、b 、c ，都有m (a 3+b 3+c 3)≥6(a 2+c 2+c 2)+1. （熊 斌 供题）7. (1) 求不定方程mn +nn +mn =2(m +n +n )的正整数解(m ,n ,n )的组数； (2) 对于给定的整数k (k >1)，证明：不定方程mn +nn +mn =k (m +n +n )至少有3k +1组正整数解(m ,n ,n ). （吴伟朝 供题） 8. 对于周长为n (n ∈N +)的圆，称满足如下条件的最小的正整数p n 个点A 1,A 2,⋯,A p n ，对于1,2,⋯,n −1中的每一个整数m ，都存在两个点A s 、A j (1≤s 、j ≤p n ).以A s 和A j 为端点的一条弧长等于m ，圆周上每相邻两点间的弧长顺次构成的序列T n =�a 1,a 2,⋯,a p n �称为“圆剖分序列”.列入，当n =13，圆剖分数为p 13=4，图3中所标数字为相B邻两点之间的弧长，圆剖分序列为T 13=(1,3,2,7), (1,2,6,4)，求p 21和p 31，并给出一个相应的圆剖分序列.图3（陶平生 供题）73112007年东南数学奥林匹克1. 试求实数a 的个数，使得对于每个a ，关于x 的三次方程x 3=ax +a +1都有满足|x |<1000的偶数根.2. 如图1所示，设C 、D 是以O 为圆心、AB 为半径的半圆上的任意两点，过点B 作⊙O 的切线交直线CD 于P ，直线PO 于直线CA ，AD 分别交于点E 、F .证明：OE =OF .图13. 设a s =msn �k +s k �k ∈N ∗�，试求S n 2=[a 1]+[a 2]+⋯+[a n 2]的值.4. 试求最小的正整数n ，使得对于满足条件∑a s n s=1=2007的任一个具有n 项的正整数数列a 1,a 2,⋯,a n ，其中必有连续若干项之和等于30. 5. 设函数f (x )满足：f (x +1)−f (x )=2x +1(x ∈R )，且当x ∈[0,1]时有|f (x )|≤1，证明：当x ∈R 时，有|f (x )|≤2+x 2.6. 如图，在直角三角形ABC 中，D 是斜边AB 的中点，PB ⊥AB ，MD 交AC 于N ；MC 的延长线交AB 于E .证明：∠DBN =∠BCE .7. 试求满足下列条件的三元数组(a ,b ,c )：E(1) a<b<c，且当a,b,c为质数；(2) a+1,b+1,c+1构成等比数列.8.设正实数a,b,c满足：abc=1，求证：对于整数k≥2，有a k a+b+b k b+c+c k c+a≥32.2008年东南数学奥林匹克1.已知集合S={1,2,⋯,3n}，n是正整数，T是S的子集，满足：对任意的x、y、z∈T（x、y、z可以相同），都有x+y+z∉T.求所有这种集合T的元素个数的最大值.（李胜宏供题）2.设数列{a n}满足a1=1,a n+1=2a n+n(1+2n)(n=1,2,⋯).试求通项a n的表达式.（吴伟朝供题）3.在△ABC中，BC>AB，BD平分∠ABC交AC于点D，AQ⊥BO，垂足为Q，M是边AC的中点，E是边BC的中点.若△PQM的外接圆⊙O与AC的另一个交点为H.求证：O、H、E、M四点共圆.（郑仲义供题）4.设正整数m、n≥2，对于任一个n元整数集A=�a1,a2,⋯,a n�，取每一对不同的数a s、a j(j>s)，作差a j−a s.由这C n2个差按从小到大.衍生数列顺序排成的一个数列，称为集合A的“衍生数列”，记为A生A生中能被m整除的数的个数记为A生(m).5.证明：对于任一正整数m(m≥2)，n圆整数集A=�a1,a2,⋯,a n�及B={1,2,⋯,n}所对应的A生及B生，满足不等式A生(m)≥B生(m)（陶平生供题）6.求出最大的正数λ，使得对于满足x2+y2+z2=1的任何实数x、y、z成立不等式|λxy+yz|≤√52. （张正杰供题）7. 如图1，△ABC 的内切圆⊙I 分别切BC 、AC 于点M 、N ，E 、F 分别为边AB 、AC 的中点，D 是针线EF 于BI 的交点.证明：M 、N 、D 三点共线.图1（张鹏程 供题） 8. 杰克(Jack )船长与他的海盗们掠夺到6个珍宝箱A 1,A 2,A 3,A 4,A 5,A 6，其中A s (s =1,2,⋯,6)内有金币a s 枚（诸a s 互不相等）.海盗们设计了一种箱子的布局图（如图2），并推派一人和船长轮流拿珍宝箱.每次可任意拿走不与两个或两个以上的箱子相连的整个箱子.如果船长最后所取得的金币不少于海盗们所取得的金币，那么船长获胜.问：若船长先拿，他是否有适当的取法保证获胜?图2 （孙文先 供题）9. 设n 为正整数，f (n )表示满足以下条件的n 位数（称为波形数）a 1a 2⋯a n �������������的个数：a 1a 2 a 3 a 4a 6 a 5i.每一位数码a s∈{1,2,3,4}，且a s≠a s+1(s=1,2,⋯);ii.当n≥3时，a s−a s+1与a s+1−a s+2(s=1,2,⋯)的符号相反.(1)求f(10)的值；(2)确定f(2008)被13除得的余数.（陶平生供题）2009年东南数学奥林匹克1.试求满足方程x2−2xy+126y2=2009的所有整数对(x,y).（张鹏程供题）2.在凸五边形ABCDE中，已知AB=DE，BC=EA，AB≠EA，且B、C、D、E四点共圆.证明：A、B、C、D四点共圆的充分必要条件是AC=AD.（熊斌供题）3.设x,y,z∈R+，√a=x(y−z)2，√b=y(z−x)2,√c=z(x−y)2；求证：a2+b2+c2≥2(ab+bc+ca). （唐立华供题）4.在一个圆周上给定十二个红点；求n的最小值，使得存在以红点为顶点的n个三角形，满足：以红点为顶点的每条弦，都是其中某个三角形的一条边.（陶平生供题）5.设1,2,⋯,9的所有排列X=�x1,x2,⋯,x9�的集合为A；∀X∈A,记f(X)=x1+2x2+3x3+⋯+9x9，P={f(X)|X∈A}；求|P|. （其中|P|表示集合M的元素个数）.6.已知⊙O、⊙I分别是△ABC的外接圆和内切圆；证明：过⊙O上的任意一点D，都可作一个△DEF，使得⊙O、⊙I分别是△DEF的外接圆和内切圆.（陶平生供题）7.设f(x,y,z)=x(2y−z)1+x+3y+y(2z−x)1+y+3z+z(2x−y)1+z+3x，其中x,y,z≥0，且x+y+z=1.求f(x,y,z)的最大值和最小值.（李胜宏供题）8.在8×8方格表中，最少需要挖去几个小方格，才能使得无法从剩余的方格表中裁剪出一片形状如下完整的T型五方连块？（孙文先供题）2010年东南数学奥林匹克1. 设a 、b 、c ∈{0,1,⋯9}.若二次方程ax 2+bx +c =0有有理根，证明：三位数abc�����不是质数. （张鹏程 供题）2. 对于集合A ={a 1,a 2,⋯,a m }，记O (A )=a 1a 2⋯a m .设A 1,A 2,⋯A n (n =C 201099)是集合{1,2,⋯,2010}的所有99元子集.求证：2011|∑O (A s )n s=1. （叶永南 供题）3. 如图1，已知△ABC 内切圆⊙I 分别与边AB 、BC 切于点F 、D ，之心啊AD 、CF 分别于⊙I 交于另一点H 、K.求证：FD⋅HK FH⋅DK =3.图1 （熊 斌 供题）4. 设正整数a 、b 满足1≤a <b ≤100.若存在正整数k ，使得ab |a k +b k ，则称数对(a ,b )是“好数对”.求所有好数对的个数.（熊 斌 供题）5. 如图2，△ABC 为直角三角形，∠ACB =90°，M 1、M 2为△ABC 内任意两点，M 为线段M 1M 2的中点，直线BM 1、BM 2、BM 与AC 分别交于点N 1、N 2、N.求证：M 1N 1BM 1M 2N 2BM 22MN BM .图2 （裘宗沪 供题）6. 设Z +为正整数集合，定义：a 1=2,a n+1=msn �λ�∑1a i n s=1+1λ<1,λ∈Z +�(n =1,2,⋯). 求证：a n+1=a n 2−a n +1. （李胜宏 供题）7. 设n 是一个正整数，实数a 1,a 2,⋯,a n 和n 1,n 2,⋯,n n 满足：a 1≤a 2≤⋯≤a n 和n 1≤r 2≤⋯≤n n .求证：∑∑==≥n i nj j i j i r r a a 110),min(（朱华伟 供题）8. 在一个圆周上给定8个点A 1,A 2,⋯,A 8.求最小的正整数n ，使得以这8个点为顶点的任意n 个三角形中，必存在两个有公共边的三角形.（陶平生 供题）21B2011年东南数学奥林匹克1.已知min x∈R ax2+b√x2+1=3.（1）求b的取值范围；（2）对给定的b，求a.2.已知a、b、c为两两互质的正整数，且a2|(b3+c3),b2|(a3+ c3),c2|(a3+b3)求a、b、c的值.3.设集合P={1,2,3,⋯,50}，正整数n满足：M的任意一个35元子集中至少存在两个不同的元素a,b,使a+b=n或a−b=n.求出所有这样的n.4.如图1，过△ABC的外心O任作一直线，分别与边AB,AC相交于M,N，E,F分别是BN,CM的中点.证明：∠EOE=∠A.图15. 如图2，设AA0,BB0,CC0是△ABC的三条角平分线，自A0作A0A1∥BB0,A0A2∥CC0,A1,A2分别在AC,AB上，直线A1A2∩BC=A3;类似得到点B3,C3．证明：A3,B3,C3三点共线．图26．设O 1,O 2,⋯,O n 为平面上n 个定点，M 是该平面内线段AB 上任一点，记|O s P |为点O s 与M 的距离，s =1,2,3,⋯,n ，证明：≤∑∑∑===ni i ni i n i i B P A P M P 111,max . 7．设数列{a n }满足：a 1=a 2=1,a n =7a n−1−a n−2,n >3．证明：对于每个n ∈N ∗,a n +a n+1+2皆为完全平方数．8．将时钟盘面上标有数字1,2,⋯,12的十二个点，分别用红、黄、蓝、绿四种颜色各染三个点，现以这些点为顶点构造n 个凸四边形，使其满足：(1) 每个四边形的四个顶点四色都有；(2) 任何三个四边形，都存在某一色，该色的三个顶点所标数字各不相同．求n 的最大值．32012年东南数学奥林匹克1. 求一个三元整数组(l ,m ,n )(1<l <m <n )，使得∑k l k=1，∑k m k=l+1，∑k n k=m+1依次成等比数列.2. 如图1，△ABC 的内切圆I 在边AB ，BC ，CA 上的切点分别是D ，E ，F ，直线EF 与直线AI ，BI ，DI 分别相交于点M ，N ，K .证明：DP ⋅KE =DN ⋅KE .图1 3. 对于合数n ,记f (n )为其最小的三个正约数之和，g (n )为其最大的两个正约数之和.求所有的正合数n ，使得g (n )等于f (n )的某个正整数次幂.4. 已知实数a ，b ，c ，d 满足：对任意实数x ，均有acccx +bccc 2x +cccc 3x +dccc 4x ≤1， 求a +b -c +d 的最大值.当a +b -c +d 取最大值时，求实数a ，b ，c ，d 的值.5. 如果非负整数m 及其各位数字之和均为6的倍数，则称m 为“六合数”.求小于2012的非负整数中“六合数”的个数.6. 求正整数n 的最小值，使得A东南数学奥林匹克�n−20112012−�n−20122011<�n−201320113−�n−201120133.7.如图2，△ABC中，D为边AC上一点且∠ABD=∠C，点E在边AB上且BE=DE，设M为CD重点，AA⊥DE于点H.已知AA=2−√3，AB=1，求∠APE的度数.图2设m是正整数，n=2m−1，O n={1,2,⋯,n}为数轴上n个点所成的集合.一个蚱蜢在这些点上跳跃，每步从一个点跳到与之相邻的点.求m的最大值，使对任意x,y∈O n，从点x跳2012步到点y的跳法种数为偶数（允许中途经过点x，y）.。
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a
单独考虑左边, 左边可以看成是一个 a 的函数, b 为参数, 那么关于 a 取最
小值的时候有
Å
ã
Ç…
å
ab + (1 + b2) + b (b + 1) ≥ 2 ab · b + (1 + b2) (b + 1) = (b + 1)3
a
a
于是我们只需要取 k ≤ (b + 1)3b−2 即可.
设
值得一说的是, 在这个题目中, 对于任何整数 n, 我们可以定义一个新的 函数 fn(a) = f (an), 那么 fn(ab) = f (abn) 要整除 max{ f (an), b} = max{ fn(a), b}. 也就是说 fn 也是一个满足相同性质的函数, 那么实际上, 我们可以证明对任 意一个 k 满足 f (k) = 1, 那么 {mk}∞m=1 中有无限多个 m 满足 f (mk) = 1. 更复 杂的话, 有兴趣的同学可以自行尝试推导一下这个 f (k) = 1 的解的密度.
评析 3. 欧几里德证明素数无限的方法是数论里面很典范的一种证明方式, 在证明某一类数字有无限多个的时候, 通过反证假设这一类数字只有有限 个, 不妨设为 k1 < k2 < . . . < kn, 套路上我们可以考虑 kn, kn + 1, k1k2 . . . kn, k1k2 . . . kn + 1, [k1, k2, . . . , kn] 等数字来找到矛盾, 本题也是如此.
22 2 2
22
Å
b b ã1/3
Å ab ab
ã1/3
Å bb
ã1/3
≥3 a· ·
国际数学奥林匹克竞赛试题及解答
国际数学奥林匹克竞赛试题及解答国际数学奥林匹克竞赛是世界范围内最具影响力和声誉的数学竞赛之一。
每年，来自各个国家的数学高手们聚集在一起，参与这项激烈而充满挑战的竞赛。
本文将介绍一些历年的国际数学奥林匹克竞赛试题，并提供相应的解答。
试题一：证明：当n为正整数时，4^n + n^4不是素数。
解答一：我们可以通过反证法来证明这个命题。
假设4^n + n^4是一个素数，即不存在其他因子能够整除它。
考虑到任何正整数n都可以写成2k或2k+1的形式，其中k是整数。
当n为偶数时，可以将n表示为2k的形式。
那么我们有：4^n + n^4 = (2^2)^n + (2k)^4 = 2^(2n) + (2k)^4我们可以看出，2^(2n)是一个完全平方数，而(2k)^4也是一个完全平方数。
根据完全平方数的性质，它们的和2^(2n) + (2k)^4也是一个完全平方数。
因此，当n为偶数时，4^n + n^4不可能是素数。
当n为奇数时，可以将n表示为2k+1的形式。
那么我们有：4^n + n^4 = (2^2)^n + (2k+1)^4 = 2^(2n) + (2k+1)^4同样地，我们可以看出，2^(2n)是一个完全平方数，而(2k+1)^4也是一个完全平方数。
根据完全平方数的性质，它们的和2^(2n) + (2k+1)^4也是一个完全平方数。
因此，当n为奇数时，4^n + n^4同样不可能是素数。
综上所述，我们可以得出结论：当n为正整数时，4^n + n^4不是素数。
试题二：证明：对于任意正整数n，n^2 + 3n + 1不是完全平方数。
解答二：我们同样可以使用反证法来证明这个命题。
假设n^2 + 3n + 1是一个完全平方数，即存在另一个正整数m，使得m^2 = n^2 + 3n + 1。
根据完全平方数的性质，m^2必然是一个奇数，因为奇数的平方也是奇数。
我们可以将n^2 + 3n + 1拆分为两部分，即(n^2 + 2n + 1) + n。
东南数学竞赛试题答案
东南数学竞赛试题答案1. 第一题：解答：对于题目给出的方程y=3x+6，我们需要求出该方程的解。
这是一个一次线性方程，我们可以将其转化为标准形式y=ax+b，其中a为斜率，b为截距。
通过观察可知，题目给出的方程的斜率为3，截距为6，因此可以写出方程的标准形式为y=3x+6。
方程的解即为使得该方程成立的x和y的值，由于不限制x和y的范围，我们可以任意选取一个x的值来求解对应的y值。
假设选取x=0，则可以计算出y=3(0)+6=6。
因此，方程的解为(x,y)=(0,6)。
2. 第二题：解答：题目给出了2个集合A和B，要求判断给定的集合关系，并说明理由。
集合A：{1, 2, 3, 4, 5}集合B：{1, 2, 3}根据题目的要求，我们需要判断A和B的关系，即判断A是否为B的子集。
对于一个集合A来说，如果A的所有元素都是B的元素，那么A 就是B的子集。
通过观察可知，集合A中的所有元素都包含在集合B中，因此A 是B的子集。
3. 第三题：解答：题目给出了一道几何题，要求计算等腰直角三角形的周长和面积。
首先，我们需要明确等腰直角三角形的定义：一个三角形如果有两条边长度相等，并且一个角为直角，则称其为等腰直角三角形。
根据题目给出的等腰直角三角形的边长关系，我们可以设其中两条边的长度为a，另一条边的长度为b，且有a=b。
根据勾股定理，可以得到a和b的关系：a^2 + b^2 = c^2，其中c为斜边的长度。
由于等腰直角三角形的一条直角边等于斜边的长度，即a=c，所以可以得到a^2 + a^2 = c^2，化简得到2a^2 = c^2。
进一步化简，得到a = c/√2，即a与c的关系。
根据周长的定义，可以得到等腰直角三角形的周长为2a + c。
将a替换为c/√2，可以得到周长的表达式：2(c/√2) + c，化简得到周长为c√2 + c。
根据面积的定义，可以得到等腰直角三角形的面积为(a^2)/2，将a 替换为c/√2，可以得到面积的表达式：((c/√2)^2)/2。
第六届数学竞赛决赛试题及答案
第六届数学竞赛决赛试题（满分120分）一、计算题（能用简便方法计算的，要用简便算法。
每题4分，共12分。
）2. 77×13+255×999+510二、填空题（1～9题每空 4分，10～12题每空 3分，共 54分。
）1.a=8.8+8.98+8.998+8.9998+8.99998，a的整数部分是____。
2.1995的约数共有____。
3.等式“学学×好好+数学=1994”，表示两个两位数的乘积，再加上一个两位数，所得的和是1994。
式中的“学、好、数”3个汉字各代表3个不同数字，其中“数”代表____。
4.如图1，“好、伙、伴、助、手、参、谋”这7个汉字代表1～7这7个数字。
已知3条直线上的3个数相加、2个圆圈上3个数相加所得的5个和都相等。
图中间的“好”代表____。
5.农民叔叔阿根想用20块长2米、宽1.2米的金属网建一个靠墙的长方形鸡窝（如图2）。
为了防止鸡飞出，所建鸡窝高度不得低于2米。
要使所建的鸡窝面积最大，BC的长应是米。
7.小胡和小涂计算甲、乙两个两位数的乘积，小胡看错了甲数的个位数字，计算结果为1274；小涂看错了甲数的十位数字，计算结果为819。
甲数是____。
8.1994年“世界杯”足球赛中，甲、乙、丙、丁4支队分在同一小组。
在小组赛中，这4支队中的每支队都要与另3支队比赛一场。
根据规定：每场比赛获胜的队可得3分；失败的队得0分；如果双方踢平，两队各得1分。
已知：（1）这4支队三场比赛的总得分为4个连续奇数；（2）乙队总得分排在第一；（3）丁队恰有两场同对方踢平，其中有一场是与丙队踢平的。
根据以上条件可以推断：总得分排在第四的是____队。
9.一块空地上堆放了216块砖（如图3），这个砖堆有两面靠墙。
现在把这个砖堆的表面涂满石灰，被涂上石灰的砖共有____块。
10.南方某城市的一家企业有90％的员工是股民，80％的员工是“万元户”，60％的员工是打工仔。
东南数奥试题1—5届
首届中国东南地区数学奥林匹克第一天（2004年7月10日 8：00 — 12：00 温州）1、设实数a 、b 、c 满足2223232a b c ++=，求证：39271a b c---++≥2、设D 是ABC ∆的边BC 上的一点，点P 在线段AD 上，过点D 作一直线分别与线段AB 、PB 交于点M 、E ，与线段AC 、PC 的延长线交于点F 、N 。
如果DE=DF ，求证：DM=DN3、（1）是否存在正整数的无穷数列{}na ，使得对任意的正整数n 都有2122n n n aa a ++≥。
（2）是否存在正无理数的无穷数列{}na ，使得对任意的正整数n 都有2122n n n a a a ++≥。
4、给定大于2004的正整数n ，将1、2、3、…、2n 分别填入n ×n 棋盘（由n 行n 列方格构成）的方格中，使每个方格恰有一个数。
如果一个方格中填的数大于它所在行至少2004个方格内所填的数，且大于它所在列至少2004个方格内所填的数，则称这个方格为“优格”。
求棋盘中“优格”个数的最大值。
B首届中国东南地区数学奥林匹克第二天（2004年7月11日 8：00 — 12：00 温州） 5、已知不等式63)cos()2sin 2364sin cos a a πθθθθ+-+-<++对于0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，求a 的取值范围。
6、设点D 为等腰ABC ∆的底边BC 上一点，F 为过A 、D 、C 三点的圆在ABC ∆内的弧上一点，过B 、D 、F 三点的圆与边AB 交于点E 。
求证：CD EF DF AE BD AF ⋅+⋅=⋅7、n 支球队要举行主客场双循环比赛（每两支球队比赛两场，各有一场主场比赛），每支球队在一周（从周日到周六的七天）内可以进行多场客场比赛。
但如果某周内该球队有主场比赛，在这一周内不能安排该球队的客场比赛。
如果4周内能够完成全部比赛，球n 的最大值。
东南数学竞赛试题及答案
东南数学竞赛试题及答案【试题一】题目：求函数 \( f(x) = 3x^2 - 2x + 1 \) 在区间 \( [1, 3] \)上的最大值和最小值。
【答案】首先，我们可以通过求导数来找到函数的极值点。
函数 \( f(x) \)的导数为 \( f'(x) = 6x - 2 \)。
令 \( f'(x) = 0 \) 得到 \( x = \frac{1}{3} \)。
然而，此点不在给定的区间 \( [1, 3] \) 内。
接下来，我们计算区间端点的函数值：- 当 \( x = 1 \) 时，\( f(1) = 3(1)^2 - 2(1) + 1 = 2 \)。
- 当 \( x = 3 \) 时，\( f(3) = 3(3)^2 - 2(3) + 1 = 22 \)。
由于 \( f(x) \) 是一个二次函数，且二次项系数为正，因此函数在\( x = \frac{1}{3} \) 处达到最小值，但在区间 \( [1, 3] \) 内，最小值出现在端点 \( x = 1 \) 处，最大值出现在端点 \( x = 3 \) 处。
因此，最小值为 2，最大值为 22。
【试题二】题目：证明：对于任意正整数 \( n \)，\( 1^3 + 2^3 + 3^3 + ...+ n^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 \)。
【答案】我们使用数学归纳法来证明这个等式。
基础情况：当 \( n = 1 \) 时，左边为 \( 1^3 = 1 \)，右边为\( \left(\frac{1(1+1)}{2}\right)^2 = 1 \)。
等式成立。
归纳假设：假设对于某个正整数 \( k \)，等式成立，即 \( 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + k^3 = \left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^2 \)。
归纳步骤：我们需要证明当 \( n = k + 1 \) 时等式也成立。
2004-2015东南数学奥林匹克试题及解答
参考答案
一 、由柯西不等式 ,有
( a + 2 b + 3 c) 2
≤(
2
1+
2
2+
2
3 )[(
1 a) 2 + (
2 b) 2 + (
3 c) 2 ] = 9 ,
则 a + 2 b + 3 c ≤3.
所以 ,3 - a + 9 - b + 27 - c ≥3 3 3 - ( a + 2 b + 3 c)
列的第 1 , 2 , …, i , n + i - 2 003 , n + i - 2 002 , …, n 行中有“ 3 ”. 当 i ≥2 004 时 , 第 i 列的第 i - 2 003 ,
i - 2 002 、…、i 行中有“ 3 ”. 所以 ,每行有 2 004 个方
格有“ 3 ”,每列也有 2 004 个方格有“ 3 ”. 所以 ,棋盘中“优格”个数的最大值是 n( n - 2 004) . 五 、设 sin θ+ cos θ= x. 则
格中填的数大于有“ 3 ”的方格中的任何一个数 , 所
以 ,棋盘 上 没 有“ 3 ”的 方 格 都 为“行 优 格”, 共 有
n ( n - 2 004) 个.
此时 ,每 行 有 2 004 个 方 格 有“ 3 ”, 每 列 也 有 2 004 个方格有“ 3 ”. 实际上 ,当 1 ≤i ≤2 003 时 ,第 i
①
因为 x ∈[1 , 2 ] ,所以 ,2 x - 3 < 0.
不等式 ①恒成立等价于
x+
2 x
-
a < 0 ( x ∈[1 ,
中国东南地区数学奥林匹克竞赛试题及答案
第一天（2009年7月28日上午8：00－12：00）江西·南昌1. 试求满足方程2221262009xxy y 的所有整数对(,)x y ．（张鹏程供题）2. 在凸五边形ABCDE 中，已知,,ABDE BC EA AB EA ，且,,,B C D E四点共圆．证明：,,,A B C D 四点共圆的充分必要条件是AC AD ．（熊斌供题）3. 设,,x y z R ，222(),(),()ax y z b y z x c z xy ；求证：2222()abcabbcca ．（唐立华供题）4. 在一个圆周上给定十二个红点；求n 的最小值，使得存在以红点为顶点的n 个三角形，满足：以红点为端点的每条弦，都是其中某个三角形的一条边．（陶平生供题）第二天（2009年7月29日上午8：00－12：00）江西·南昌5．设1,2,,9的所有排列129(,,,)Xx x x 的集合为A ；XA ，记1239()239f X x x x x ，{()}Mf X X A ；求M ．（其中M 表示集合M 的元素个数）（熊斌供题）6．已知O 、I 分别是ABC 的外接圆和内切圆；证明：过O 上的任意一点D ，都可以作一个三角形DEF ，使得O 、I 分别是DEF 的外接圆和内切圆．（陶平生供题）7．设(2)(2)(2)(,,)131313x y z y z x z x y f x y z x y yzz x，其中,,0x y z ，且1xyz．求(,,)f x y z 的最大值和最小值．（李胜宏供题）8．在8×８方格表中，最少需要挖去几个小方格，才能使得无法从剩余的方格表中裁剪出一片形状如下完整的T 型五方连块？（孙文先供题）1. 试求满足方程2221262009xxy y的所有整数对(,)x y ．（张鹏程供题）解：设整数对(,)x y 满足方程2221262009x xy y…（1），将其看作关于x 的一元二次方程，其判别式2222441262009500(4)36y y y 的值应为一完全平方数；FEIO BCAD若224y ，则0；若224y，则2y 可取2220,1,2,3，相应的值分别为8036,7536,6036和3536，它们皆不为平方数；因此，仅当224y 时，2225004366y为完全平方数．若4y ，方程（1）化为2870x x ，解得1x 或7x；若4y，方程（1）化为2870xx，解得1x或7x．综上可知，满足原方程的全部整数对为：,1,4,7,4,1,4,7,4x y ．2. 在凸五边形ABCDE 中，已知,,ABDE BC EA ABEA ，且,,,B C D E四点共圆．证明：,,,A B C D 四点共圆的充分必要条件是AC AD ．（熊斌供题）证明：必要性：若,,,A B C D 共圆，则由,ABDE BC EA ，得BAC EDA ，ACB DAE ，所以ABCDEA ，故得AC AD ；充分性：记BCDE 所共的圆为O ，若AC AD ，则圆心O 在CD 的中垂线AH 上，设点B 关于AH 的对称点为F ，则F 在O 上，且因ABEA ，即DEDF ，所以,E F 不共点，且AFD ≌ABC ，又由,ABDE BCEA ，知AED ≌CBA ，因此，AED ≌DFA ，故由AEDDFA ，得AEFD 共圆，即点A 在DEF 上，也即点A在O 上，从而,,,A B C D 共圆．3. 设,,x y zR ，222(),(),()a x y z b y z x c z x y ；求证：2222()abcabbcca ．（唐立华供题）证明：先证,,a b c 不能构成三角形的三边．因为()()(),b c a y z z x x y ()()()c a b z x x y y z ，()()()abcxy yz zx ．FHBACDE所以(b c a )(c a b )(a b c )2()()()()()()0yz zx xy yz zx x y , 于是2222()()a bb c c a abc()(a bc bc a )(cab )(a bc )0,故2222()abc a bb cc a．4. 在一个圆周上给定十二个红点；求n 的最小值，使得存在以红点为顶点的n 个三角形，满足：以红点为端点的每条弦，都是其中某个三角形的一条边．（陶平生供题）解：设红点集为：1212,,,AA A A ，过点1A 的弦有11条，而任一个含顶点1A 的三角形，恰含两条过点1A 的弦，故这11条过点1A 的弦，至少要分布于6个含顶点1A 的三角形中；同理知，过点(2,3,,12)i A i的弦，也各要分布于6个含顶点i A 的三角形中，这样就需要12672个三角形，而每个三角形有三个顶点，故都被重复计算了三次，因此至少需要72243个三角形．再说明，下界24可以被取到．不失一般性，考虑周长为12的圆周，其十二等分点为红点，以红点为端点的弦共有21266C条．若某弦所对的劣弧长为k ，就称该弦的刻度为k ；于是红端点的弦只有6种刻度，其中，刻度为1,2,,5的弦各12条，刻度为6的弦共6条；如果刻度为,,a b c （a b c ）的弦构成三角形的三条边，则必满足以下两条件之一：或者a b c ；或者12a b c ；于是红点三角形边长的刻度组,,a b c 只有如下12种可能：1,1,2,2,2,4,3,3,6,2,5,5,1,2,3,1,3,4,1,4,5,1,5,6,2,3,5,2,4,6,3,4,5,4,4,4；下面是刻度组的一种搭配：取1,2,3,1,5,6,2,3,5型各六个，4,4,4型四个；这时恰好得到66条弦，且其中含刻度为1,2,,5的弦各12条，刻度为6的弦共6条；今构造如下：先作1,2,3,1,5,6,2,3,5型的三角形各六个，4,4,4型的三角形三个，再用三个2,4,6型的三角形来补充．1211109876543211,2,3型六个：其顶点标号为：2,3,5,4,5,7,6,7,9,8,9,11,10,11,1,12,1,3；1,5,6型六个：其顶点标号为：1,2,7,3,4,9,5,6,11,7,8,1,9,10,3,11,12,5；2,3,5型六个：其顶点标号为：2,4,11,4,6,1,6,8,3,8,10,5,10,12,7,12,2,9；4,4,4型三个：其顶点标号为：1,5,9,2,6,10,3,7,11；2,4,6型三个：其顶点标号为：4,6,12,8,10,4,12,2,8．（每种情况下的其余三角形都可由其中一个三角形绕圆心适当旋转而得）．这样共得到24个三角形，且满足本题条件，因此，n的最小值为24．第六届中国东南地区数学奥林匹克试题解答第二天5．设1,2,,9的所有排列129(,,,)X x x x 的集合为A ；X A ，记1239()239f X x x x x ，{()}Mf X X A ；求M ．（其中M 表示集合M 的元素个数）．（熊斌供题）解：我们一般地证明，若4n，对于前n 个正整数1,2,,n 的所有排列12(,,,)nn X x x x 构成的集合A ，若123()23n n f X x x x nx ，{()}nM f X X A ，则366nnn M．下面用数学归纳法证明：nM (1)(2)(1)(2)(1)(21),1,,666n n nn n n n n n ．当4n 时，由排序不等式知，集合M 中的最小元素是4,3,2,120f ，最大元素是1,2,3,430f ．又，3,4,2,121,3,4,1,222,4,2,1,323f f f ，3,2,4,124,2,4,1,325,1,4,3,226,1,4,2,327f f f f，2,1,4,328,1,2,4,329ff，所以，4M =20,21,,30共有11=34466个元素．因此，4n 时命题成立．假设命题在1n （5n）时成立；考虑命题在n 时的情况．对于1,2,,1n的任一排列1121(,,,)nn X x x x ，恒取nx n ，得到1,2,,n 的一个排列121,,,,n x x x n ，则1nkk kx 121n k k nkx ．由归纳假设知，此时1nk k kx 取遍区间222(1)(1)(1)(21)(5)(1)(21),,6666n n n n n n n nn n n nn上所有整数．再令1nx ，则11111(1)(1)2n n n kkkk k k n n kx nkx nk x 11(1)(1)2n kk n n k x ，再由归纳假设知，1nk k kx 取遍区间2(1)(1)(1)(1)(1)(21)(1)(2)2(2),,262666n n n n n n n n n n n n n n n 上的所有整数．因为222(2)(5)66n nn n，所以，1nk k kx 取遍区间(1)(2)(1)(21),66n n nn n n 上的所有整数．即命题对n 也成立．由数学归纳法知，命题成立．由于3(1)(21)(1)(2)6666n n n n n nnn ，从而，集合nM 的元素个数为366nn ．特别是，当9n 时，9121MM ．6．已知O 、I 分别是ABC 的外接圆和内切圆；证明：过O 上的任意一点D ，都可作一个三角形DEF ，使得O 、I 分别是DEF 的外接圆和内切圆．（陶平生供题）证：如图，设OI d ，,R r 分别是ABC 的外接圆和内切圆半径，延长AI 交O 于K ，则2sin2A KIKBR ，sin2r AIA，延长OI 交O 于,M N ；则2R dR d IM IN AI KI Rr ，即222RdRr ；过D 分别作I 的切线,DE DF ，,E F 在O 上，连EF ，则DI 平分EDF ，只要证，EF 也与I 相切；设DIOP ，则P 是EF 的中点，连PE ，则2sin2D PE R ，sin2r DID ，22ID IP IM INR dR dRd ，所以2222sin2sin 22Rd RdD D PIR PE DI r，FEIO BCADKPN M F EIOBC A D由于I 在角D 的平分线上，因此点I 是DEF 的内心，（这是由于，0011180180222D EPEI PIE P F，而2D PEF ，所以2EFEI ，点I 是DEF 的内心）．即弦EF 与I 相切．7．设(2)(2)(2)(,,)131313x y z y z x z x y f x y z xyy zzx，其中,,0x y z ，且1xyz．求(,,)f x y z 的最大值和最小值．（李胜宏供题）解：先证1,7f 当且仅当13x y z时等号成立.因(31)121313x x y x fxy xy…()由哥西不等式:2()113(13)(13)x x xy x x y x x y ，因为7(13)(24)2.3x xy x x yz xy 从而3,137xx y 3112,77fmax1,7f 当且仅当13x y z时等号成立.再证0,f当1,0x y z 时等号成立. 事实上，(2)(2)(2)(,,)131313x y z y z x z xy f x y z xy yz z x =2121()()13131313xy xz xy y z z x x y 21()1313yz yz z x77(13)(13)(13)(13)xyzxyzx y y z z x x y 70(13)(13)xyzy z z x 故min0f ，当1,0x y z时等号成立．另证：设min ,,z x y z ，若0z，则22(,,0)0131242xyxyxyxy f x y x yyxyxy；下设,0x y z，由()式，要证0f ，只要证，1132x x y…①注意到12242xyx y xy，于是①等价于8()()()132413213241313z x x y y z xy z x x y x yxyyzxy x yyz即248131313x yx yzxx yyz…②而由柯西不等式，可得228(2)1313(13)(13)/2x y xy x y yzx x y y y z 222(2)24(3)(3)/213x y xyxxxy y y yz z x 即②成立，从而0f ，故min 0f ，当1,0x yz 时等号成立.8．在8×８方格表中，最少需要挖去几个小方格，才能使得无法从剩余的方格表中裁剪出一片形状如下完整的T 型五方连块？（孙文先供题）答：至少要如下图挖去14个小方格．如右图，将8×８棋盘切为五个区域．中央部份的区域至少要挖去2个小方格才能使T 形的五方块放不进去。
第六届中国东南地区数学奥林匹克
的三边 . 由 b + c - a = - ( y + z) ( z - x ) ( x - y ) ,
c + a - b = - ( z + x ) ( x - y ) ( y - z) , a + b - c = - ( x + y ) ( y - z) ( z - x ) ,
参考答案
第一天
1. 设整数对 ( x, y ) 满足方程 2 2 x - 2 xy + 126 y - 2 009 = 0, ① 将其看作关于 x 的一元二次方程 ,其判别式 Δ = 500 ( 42 - y2 ) + 36 的值应为一完全平方数 . 2 2 若 y > 4 ,则 Δ < 0. 2 2 2 2 2 2 若 y < 4 ,则 y 可取 0, 1 , 2 , 3 . 相应的 Δ值分别为 8 036, 7 536, 6 036, 3 536,它们皆不为平方数 . 2 2 2 2 因此 ,当 y = 4 时 ,Δ = 500 4 - y + 36 2 = 6 为完全平方数 . 若 y = 4, y = - 4,方程 ① 分别化为 2 2 x - 8 x + 7 = 0, x + 8 x + 7 = 0. 分别解得 x = 1 或 7, x = - 1 或 - 7. 综上 ,满足原方程的全部整数对为 x, y = 1, 4 , 7, 4 , - 1, - 4 , - 7, - 4 . 2. 必要性 . 若 A、 B、 C、 D 四点共圆 , 则由 AB = D E, B C = EA ,得 BAC = EDA , ACB = DA E. 所以 , AB C = D EA ] AC = AD. 充分性 . 记 B、 C、 D、 E 所共的圆为 O. 若 AC = AD ,则圆心 O 在 CD 的中垂线 AH 上 . 如图 3, 设点 B 关于 AH 的对称点为 F. 则点 F 在 O 上 . 因为 AB ≠EA ,即
第六届中国东南地区数学奥林匹克试题及略解
第六届中国东南地区数学奥林匹克试题及略解
佚名
【期刊名称】《中学数学研究》
【年(卷),期】2009(000)009
【摘要】@@ 第一天(2009年7月28日)rn1.试求满足方程x2-
2xy+126y2=2009的所有整数对(x,y).
【总页数】1页(P50)
【正文语种】中文
【相关文献】
1.第三届中国东南地区暨希望联盟数学奥林匹克试题及略解 [J], 无
2.2005年中国数学奥林匹克试题及略解 [J], 无
3.第六届中国东南地区数学奥林匹克 [J],
4.第六届中国西部数学奥林匹克试题及略解 [J],
5.第3届女子数学奥林匹克试题及略解 [J], 陶平生
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