2020届全国高考总数学复习模拟试题含答案(四)

2020届全国高考总复习模拟卷（四）数学（解析版）
1、已知集合{1,2,5}M =，{|2}N x x =≤，故M N 等于( )
A ．{1}
B ．{5}
C ．{1,2}
D ．{2,5}
2、若复数(i 1)(i 2)z =+-，则复数z 的虚部是( ) A ．1
B ．-1
C ．3
D ．-3
3、中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（ ）
A. B.
C. D.
4、从一箱产品中随机地抽取一件,设事件A ={抽到一等品},事件 B ={抽到二等品},事件C ={抽到三等品},且已知()0.65P A =,()0.2P B =,()0.1P C =,则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为( ) A. 0.7
B. 0.65
C. 0.35
D. 0.3
5、已知1sin()3απ+=，则cos 2sin αα=（ ）
A.3
7
-
B.7
3
-
C.
3
7
D.
73
6、已知函数()22
2cos sin 2f x x x =-+，则（ ）
A.()f x 的最小正周期为π，最大值为3
B.()f x 的最小正周期为π，最大值为4
C.()f x 的最小正周期为2π，最大值为3
D.()f x 的最小正周期为2π，最大值为4 7、函数cos y x x =+的大致图象是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
8、已知向量a ，b 满足||1a =，1a b ⋅=-，则(2)a a b ⋅-=（ ） A.4 B.3 C.2 D.0
9、如图，点N 为正方形ABCD 的中心，ECD △为正三角形，平面ECD ⊥平面,ABCD M 是线段ED 的中点，则(
)
A ．BM EN =，且直线BM EN 、是相交直线
B ．BM EN ≠，且直线,BM EN 是相交直线
C ．BM EN =，且直线BM EN 、是异面直线
D ．BM EN ≠，且直线,BM EN 是异面直线
10、已知椭圆221112211:1(0)x y C a b a b +=>>和双曲线22
2222222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，
若椭圆的离心率1
e =圆和双曲线渐近线的交点与椭圆其中一个焦点的连线垂直于x 轴．则双曲线其中一条渐近线的斜率为( ) A
．B
C
D
11、在ABC △中,,,a b c 分别为角,,A B C 的对边
,2,60,b c C ===°则sin A 的值为( )
B.
7
D.
14
12、设,,,A B C D 是同一个半径为4的球的球面上四点ABC △
为等边三角形且其面积为
D ABC -体积的最大值为（ ）
A.
B.
C.
D.
13、某工厂生产A B C D 、、、四种不同型号的产品，产品数量之比依次为2:3:5:2，现用分层抽样的方法抽出一个容量为n 的样本，样本中A 种型号的产品有16件，那么此样本的容量n =_______． 14、已知函数(
)()ln 1)4f x x f a =+=，，则()f a -= 。

15、若x ，y 满足232
x y x x y ≥+≥≤⎧⎪
⎨⎪⎩
，则2x y +的最小值为___。

16、直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于,A B 两点，则AB = . 17、记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和,已知22S =,36S =-. 1.求{}n a 的通项公式;
2.求n S ,并判断1n S +,n S ,2n S +是否成等差数列.
18、某商场为提高服务质量,随机调查了50名男顾客和50名女顾客,每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价,得到下面列联表:
1.分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
2.能否有95％的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
附:2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++
. 19、如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，E 为1DD 中点． （1）求证：1//BD 平面ACE ； （2）求证：1BD AC ⊥
20、已知椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C 的焦距为62，椭圆C 上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和
为6．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设直线:2l y kx =-与椭圆C 交于B A ,两点，点01P （，），且PA PB =，求直线l 的方程．
21、已知函数()21
x
ax x f x e +-=
(1)求曲线()y f x =在点(0)1-，
处的切线方程； (2)证明:当1a ≥时，()0f x e +≥.
22、在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线1C 的极坐标方程为
cos 4ρθ=.
(1)M 为曲线1C 上的动点,点P 在线段OM 上,且满足16OM OP ⋅=uuu r uu u r
,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程； (2)设点A 的极坐标为π2,3⎛⎫
⎪⎝⎭
,点B 在曲线2C 上,求OAB △面积的最大值.
23、已知函数()()23f x x m x m R =++-∈． （1）当3m =-时，解不等式()9f x <；
（2）若存在[]2,4x ∈，使得[]2,4x ∈成立，求m 的取值范围．
答案以及解析
1答案及解析： 答案：C
解析：集合{1,2,5}M =，{|2}N x x =≤，则{1,2}M N =．
2答案及解析： 答案：B
解析：(i 1)(i 2)3i z =+-=--，则复数z 的虚部是1-．
3答案及解析： 答案：A
解析：由题意可知,咬合时带卯眼的木构件如图所示,其俯视图为选项A 中的图形
.
4答案及解析： 答案：C
解析：事件“抽到的产品不是一等品”与事件A 是对立事件,由于()0.65P A =所以由对立事件的概率公式得“抽到的产品不是一等品”的概率为()1P P A =-10.650.35.=-=
5答案及解析： 答案：B
解析：1sin()3a π+=,1sin 3α∴=-,227
cos 212sin 199αα=-=-=
7
cos 2791sin 33
αα∴==--,故选B
6答案及解析： 答案：B
解析：易知()22
2cos sin 2f x x x =-+23cos 1x =+()2
332cos 1122x =
-++35cos222
x =+，则()f x 的最小正
周期为π，当()πx k Z k =∈时，()f x 取得最大值，最大值为4.
7答案及解析： 答案：A
解析：由于()cos f x x x =+，()cos f x x x ∴-=-+， ()()f x f x ∴-≠，且()()f x f x -≠-，
故此函数是非奇非偶函数，排除B ，C ； 又当π2x =时，ππππ()cos 2222
f =+=，
即()f x 的图象与直线y x =的交点中有一个点的横坐标为π2，排除D ．
8答案及解析： 答案：B
解析：因为||1a =，1a b ⋅=-，所以2
2
(2)221(1)3a a b a a b ⋅-=-⋅=⨯--=，故选B
9答案及解析： 答案：B
解析：BDE ∆∵，N 为BD 中点M 为DE 中点，∴BM ，EN 共面相交，选项C ，D 为错．作EO CD ⊥于O ，连接ON ，过M 作MF OD ⊥于F ． 连BF ，平面CDE ⊥平面ABCD ．
,EO CD EO ⊥⊂平面CDE ，EO ∴⊥平面ABCD ，MF ⊥平面ABCE ，
MFB ∴∆与EON ∆均为直角三角形．
设正方形边长为2，易知
012EO N EN ===，
52MF BF BM =
==∴=． BM EN ∴≠，故选B ．
10答案及解析： 答案：D
解析：设椭圆的半焦距为1c ，双曲线的半焦距为2c ， 双曲线的一条渐近线与椭圆的交点2
111
,()b c a ，
所以双曲线的渐近线的斜率为2221111111111b a c k e a c a c e -===-=
．
11答案及解析： 答案：D
解析：由余弦定理知2222cos ,c a b ab C =+-因
为2,,60,b c C ==°所以2742,a a =+-解得3a = (负值
舍去).
由正弦定理知sin sin a A C c ==
=故选D.
12答案及解析： 答案：B
解析：如图,E 是AC 中点,M 是ABC △的重心O 为球心,连接,,,BE OM OD BO .
因为2ABC S AB =
=△所以6AB =
,23BM BE ==
=易知OM ⊥平面ABC ,所以在Rt OBM △中
,2OM ,所以当,,D O M 三点共线且DM OD OM =+时,三 棱锥D ABC -的体积取得最大
值,
且最大值max 11
(4)633
ABC V S OM =⨯+=⨯=△.故选B
13答案及解析： 答案：96
解析：由题意知，总体中中A 种型号产品所占的比例是21
23526
=+++，
因样本中A 种型号产品有16件，则1
166
n ⨯=，解得96n =． 故答案为：96．
14答案及解析： 答案：2-
解析：解法一：令()(
))
1ln g x f x x =-=,则
(
))ln
g x x -=
x
x
=)
()ln x g x =-=-,
即函数()g x 为奇函数,从而()()g a g a -=-.又()()13g a f a =-=,()()1g a f a -=--,所以()()()11312f a g a g a -=-+=-+
=-+=-.
解法二：由())ln 14f
a a =+=得)
l 3
n
a =,所以
())
ln
1
f a a -=+
=-)
ln
1a =-+312=-+=-.
15答案及解析： 答案：5
解析：作出可行域如图中阴影部分所示,令2z x y =+,将2z x y =+转化为22x z y =-+,平移直线22x z
y =-+,
当直线过点()1,2A 时,z 取最小值5,即2x y +的最小值为5.
16答案及解析：
答案：
解析：解法一：由22
1
230
y x x y y =+⎧⎨++-=⎩，可得220x x +=，求得10x =，22x =-，
则1AB x x =-=. 解法二：由题意知圆的方程为()2
214x y ++=，所以圆心坐标为(0)1-，
半径为2，则圆心到直线1y x =+的
距离d =，所以
AB =.
解法三：如图所示，圆22230x y y ++-=的圆心1()0O '-，
，2R =
，直线AB 与x 轴的交点为D .
因为直线AB 的方程为1y x =+，其倾斜角为
π4，又01
()1)0(A D -，，，，则π
4
OAD ∠=. 又O A O B ''=，故AO B '△
为等腰直角三角形，所以AB =
17答案及解析：
答案：设{}n a 的公比为q .由题设可得()()
12
1
12
16a q a q q ⎧+=⎪⎨++=-⎪⎩ ，解得2q =-， 12a =-. 故{}n a 的通项公式为()2n
n a =-.
由1可得(
)()
11122113
3
n n n
n a q S q
+-=
=-+--.
由于()()3212
142222
12123333n n n n n n n n S S S +++++⎡⎤-+=-+-=-+-=⎢⎥⎣⎦
，
故1n S +， n S ， 2n S +成等差数列. 解析：
18答案及解析：
答案：1.由调查数据知,男顾客中对该商场服务满意的比率为40
0.850
=,因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8.
女顾客中对该商场服务满意的比率为
30
0.650
=
,因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6. 2.()2
210040203010 4.76250507030
K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯.
由于4.762 3.841>,故有95％的把握认为男女顾客对该商场服务的评价有差异 解析：
19答案及解析：
答案：（1）连接BD 与AC 交于点O ，连接OE 因为底面ABCD 为菱形，所以O 为BD 中点 因为E 为1DD 中点，所以1//OE BD
OE ⊂平面ACE ，1BD ⊄平面ACE ，所以1//BD 平面ACE
（2）在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，1BB ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD 所以1BB AC ⊥
因为底面ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥
所以1BB AC ⊥，BD AC ⊥，1BB BD B ⋂=，1BB ⊂平面11BDD B ，BD ⊂平面11BDD B 所以AC ⊥平面11BDD B
因为1BD ⊂平面11BDD B ，所以1AC BD ⊥ 解析：
20答案及解析：
答案：（1）由已知62=a ，622=c ,解得3=a ，6=
c ,
所以3222=-=c a b ，所以椭圆C 的方程为13
92
2=+y x 。

（2）由⎪⎩⎪⎨⎧-==+,2,1392
2kx y y x 得0312)31(22=+-+kx x k
直线与椭圆有两个不同的交点，所以0)31(1214422>+-=∆k k 解得912>k 设A （1x ，1y ），B （2
x ，2y ） 则2213112k k x x +=+，2
21313k x x += 计算2
22121314431124)(k k k k x x k y y +-=-+⋅=-+=+ 所以，A ，B 中点坐标E （2316k k +，2
312k +-） 因为
PA =PB ，所以PE ⊥AB ，1-=⋅AB PE k k 所以131613122
2-=⋅+-+-k k k
k , 解得1±=k 经检验，符合题意，所以直线l 的方程为02=--y x 或02=++y x 解析：
21答案及解析：
答案：(1)()()()2212
2,0x ax a x f e x f -+'-+'==.
因此曲线()y f x =在(0)1-，
处的切线方程是210x y --=. (2)解法一：当1a ≥时,()()
211x x f x e x x e e +-+≥+-+ .令()211x g x x x e +=+-+则()121x g x x e +=++＇. 当1x <-时,()0g x '<,()g x 单调递减；当1x >-时,()0g x '>,()g x 单调递增；所以()()10g x g ≥-= 因此()0f x e +≥.
解法二：当1a ≥时()()221)2111(),(0,20x x x ax ax ax x f x f f e e a -++--+''==-⎛⎫ ⎪⎝⎭
==＇.
在()1a
-∞-，内()0f x '<,()f x 单调递减； 在12a ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，内()0f x '>,()f x 单调递增； 在(2)+∞，
内()0f x <,()f x 单调递减 由此可知1a f ⎛⎫ ⎪⎝⎭-为极小值.因为11n f e e a ⎛⎫ ⎪=-⎝⎭
-≥-,而且当2x ≥时,()0f x >. 综上,当1a ≥时()1f x f e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
≥-≥-,即()0f x e +≥ 解析：
22答案及解析：
答案：(1)设P 的极坐标为()(),0ρθρ>，M 的极坐标为()11(),0θρρ>由题设知OP ρ=，14cos OM ρθ
=- 由16OM OP ⋅=得2C 的极坐标方程()4cos 0ρθρ=>因此2C 的直角坐标方程为()()22240x y x -+=≠
(2)设点B 的极坐标为()(,)0B B ραρ> 由题设知2OA =，4cos B ρα=，于是OAB △面积 1sin 2B s OA AOB ρ=⋅⋅∠π4cos sin 3αα=-⎛⎫ ⎪⎝
⎭
π2sin 23α⎛⎫ -⎪⎭⎝
=2≤ 当π12
a =-时，S
取得最大值2 所以OAB △
面积的最大值为2.
解析：
23答案及解析：
答案：（1）当3m =-时，()323f x x x =-+- 由()9f x <，即3239x x -+-<
3329x x x ≥⎧∴⎨-+<⎩或3323239x x x ⎧<<⎪⎨⎪-+-<⎩或323329
x x x ⎧≤⎪⎨⎪-+-<⎩ 故35x ≤<，或
332x <<或312
x -<≤ 从而15x -<≤
（2）当[]2,4x ∈时，()23f x x x m =-++ ∴存在[]2,4x ∈，使得()3f x ≤成立
即存在[]2,4x ∈，使得62x m x +≤-
即2662x x m x -≤+≤-成立，所以存在[]2,4x ∈，使得636x m x m ≤+⎧⎨≤-⎩成立 即6266m m +≥⎧⎨-≥⎩
40m ∴-≤≤ 解析：。