数学分析讲稿与作业中科大数学系

§7.3 微积分的基本定理
定理7.6若函数f 在有限闭区间[,]a b 上可积,则定义在[,]a b 上的函数()()x
a F x f t dt =⎰(通常称为f 的变上限的积分)必满足Lipschitz 条件,因而是连续函数.
证: 记sup ()a x b
M f x ≤≤=<+∞.,[,],x y a b x y ∀∈<,有
()()()()()x y y
a x x F y f t dt f t dt F x f t dt =+=+⎰⎰⎰, 故 ()()()y
x F y F x f t dt M y x -=≤-⎰.□
定理7.7 若函数f 在有限闭区间[,]a b 上可积,在0[,]x a b ∈处连续,则定义在[,]a b 上的函数()()x
a F x f t dt =⎰在0x 处可导,并且00()()F x f x '=. 证明: 0,0εδ∀>∃>,使得当0[,],t a
b t x δ∈-<时成立0()()f t f x -ε<,故当0[,],0x a b x x δ∈<-<时成立
00
x x x x εε≤-=-,
即 0000()()lim ()x x F x F x f x x x →-=-.□ 定理7.8(微积分的基本定理) 若函数f 在区间I 上连续,0x I ∈固定,则定义在I 上的函数0()()x
x F x f t dt =⎰是f 的原函数. 证: 由定理7.7.□
定理7.9(微积分基本定理的另一形式) 若F 是区间I 上的可导函数,并且F '的变上限的积分存在,0x I ∈固定,则x I ∀∈都成立
00()()()x
x F x F t dt F x '=+⎰. 证: 由定理7.1的推广.□
注记 通常也将Newton-Leibniz 公式称为微积分的基本定理.微积分的基本定理表明:
一、区间上的连续函数一定有原函数,并且原函数之一就是变上限的积分；二、区间上
的可导函数可以通过其导函数的变上限的积分来表示(假定导函数的变上限的积分存在).
命题 若f 是区间I 上的连续函数,,g h 是区间J 上的可导函数,满足(),()g J h J I ⊂,则定义在J 上的函数()
()()()h x g x F x f t dt =⎰是可导函数,并且
()(())()(())()F x f h x h x f g x g x '''=-.
证: 固定0y I ∈,记0()(),y
y H y f t dt y I =∈⎰,则 (())(())H h x H g x =-,
故 ()(())()(())()F x f h x h x f g x g x '''=-.□
例 设函数f 在[0,1]上连续可导(意思是1([0,1])f C ∈),(0)0f =,并且0f '≤1≤.求证:
()211300()()f x dx f x dx ≤⎰⎰.
证: 令()2300()()()t t F t f x dx f x dx =-⎰⎰,则()30()2()()()t F t f x dx f t f t '=-⎰
()20()2()()t f t f x dx f t ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰.再令()2
()2()()t G t f x d x f t =-⎰,则()G t ' 2()2()()2()[1()]0f t f t f t f t f t ''=-=-≥.注意到(0)0G =,便知0G ≥.再注意到0f ≥,便知0F '≥,因而F 在[0,1]上递增(1)(0)0F F ⇒≥=.□
练习题7.3(268P ) 1(2,3),3,4,5,6,7.
问题7.3(269P ) 1,3,4,7.
§7.4 分部积分法与换元积分法
命题1(分部积分法) 若函数,u v 都在有限闭区间[,]a b 上可导,并且,uv vu ''都在[,]a b 上可积,则 ()()()()()()b
b a a b u x dv x u x v x v x du x a =-⎰⎰. 证: 由Newton-Leibniz 公式,对()uv uv vu '''=+两边积分便得
()()()()()()b b a
a b u x v x u x dv x v x du x a =+⎰⎰.□ 例1 求 20cos m xdx π
⎰,20sin m xdx π⎰,m *∈¥.
解: 记 20cos m m I xdx π
=⎰,显然 20sin m m xdx I π=⎰.当2m ≥时有
2(1)(1)m m m I m I -=---.
故 21m m m I I m
--=
. 从而 211(22)(24)2(22)!!,(21)(23)3(21)!!n n n n I I n n n n *----==∈---L ¥L ； 20(21)(23)1(21)!!,2(22)2(2)!!2
n n n n I I n n n n π*---==∈-L ¥L .□ 定理7.10(带积分余项的Taylor 定理) 若函数f 在区间I 上1n +阶可导,并且(1)n f +的变上限的积分存在,0x I ∈固定,则x I ∀∈,成立等式 0
(1)01()(,)()()!x n n n x f x T f x x x t f t dt n +=+-⎰；. 称0
(1)01()()(,)()()!x n n n n x R x f x T f x x x t f t dt n +=-=-⎰；为积分余项. 证: 0000()()()()()()x x
x x f x f x f t dt f x f t d x t ''=+=--⎰⎰ 0
(1)01(,)()()!x n n n x T f x x x t f t dt n +=+-⎰；.□ 注记7.1' 带积分余项的Taylor 定理也可看作是一种变形的带Cauchy 余项的Taylor 定理.(对满足介值定理的函数1(1)()()()n n t x t f t μα+-+=-和不变符号的函数1()()t x t μβ-=-应用第一积分中值定理,1,2,,1n μ=+L ).
定理7.11(能推广到多元函数的换元积分法) 若函数f 在区间I 上连续,1C 函数ϕ在
[,]αβ上严格递增,并且([,])I ϕαβ⊂,则
()
()()[()]()f x dx f t d t ϕββ
ϕααϕϕ=⎰⎰. 证: 由[,]αβ的分割1{[,]:1,2,,}k k t t k n σ-==L ,012n t t t t αβ=<<<<=L ,自动地确定了
[(),()]ϕαϕβ的分割1{[,]:1,2,,}k k x x k n π-==L ,0()x ϕα=
12()n x x x ϕβ<<<<=L ,其中()(0,1,,)k k x t k n ϕ==L .显然当0σ→时必有0π→.由Lagrange 中值定理,可取1(,)k k k t t ξ-∈使得
111()()()()k k k k k k k x x t t t t ϕϕϕξ---'-=-=-,1,2,,k n ∀=L . 由ϕ严格递增可知1()(,)k k k k x x ηϕξ-=∈,1,2,,k n ∀=L .于是,在等式 的两边同时令0σ→便得到
110011
lim ()()lim [()]()()n n k k k k k k k k k f x x f t t πσηϕξϕξ--→→=='-=-∑∑, 即 ()
()()[()]()f x dx f t d t ϕββ
ϕααϕϕ=⎰⎰.□ 定理7.11'(仅对1元函数有效的换元积分法) 若f 是区间I 上的连续函数,ϕ是[,]αβ上的1C 函数,并且([,])I ϕαβ⊂,则
()
()()[()]()f x dx f t d t ϕββ
ϕααϕϕ=⎰⎰. 证: 任取f 在I 上的原函数F ,则有
()()()[()][()]f x dx F F ϕβϕαϕβϕα=-⎰[()][()]()F t f t t dt βα
βϕϕϕα'==⎰.□ 命题2 若函数f 在[0,1]上连续,则 (1) 2
200(cos )(sin )f x dx f x dx π
π=⎰⎰；(2) 00(sin )(sin )2xf x dx f x dx ππ
π=⎰⎰.
证: (1) 作变换()2x t t πϕ==
-,则有
02
2002(cos )[cos()](1)(sin )2f x dx f t dt f t dt ππ
ππ=--=⎰⎰⎰. (2) 作变换()x t t ψπ==-,则有
00(sin )(sin )f t dt t f t dt ππ
π=-⎰⎰. 故 002(sin )(sin )xf x dx f x dx ππ
π=⎰⎰.□ 命题3 若f 是以正数T 为周期的连续函数,则a ∀∈¡,成立等式 0()()a T
T
a f x dx f x dx +=⎰⎰.
证: 作变换()x t t T ϕ==+,则有
000()()()T a a f x dx f x dx f t T dt =+++⎰⎰⎰0()T
f x dx =⎰.□ 命题4 (1) 若f 是[,]a a -上的连续奇函数,则()0a
a f x dx -=⎰； (2) 若f 是[,]a a -上的连续偶函数,则0()2()a a a f x dx f x dx -=⎰⎰. 证: 作变换()x t t ϕ==-,则有
(1) ()()(1)a a a
a f x dx f t dt --=--⎰⎰()a a f t dt -=-⎰. (2) 00()()()a
a a
a f x dx f x dx f x dx --=+⎰⎰⎰ 000
()(1)()2()a a a f t dt f x dx f x dx =--+=⎰⎰⎰.□ 例2(一个错误的证明) 设f 是开区间I 上的连续函数,[,]a b I ⊂,求证: 01lim [()()]()()b a
h f x h f x dx f b f a h →+-=-⎰. 证:(1)(错误的) 01lim [()()]b a h f x h f x dx h →+-⎰0()()lim b a h f x h f x dx h →+-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
⎰ ()()()b
a f x dx f
b f a '==-⎰. (2)(正确的) 任取f 在I 上的原函数F ,作变换()x t t h ϕ==-,则有 ()()()()b
b h a a h f x h dx f t dt F b h F a h +++==+-+⎰⎰
,故 ()()()()F b h F b F a h F a h h
+-+-=-. 于是, 01lim [()()]()()()()b a
h f x h f x dx F b F a f b f a h →''+-=-=-⎰.□ 练习题7.4(276P ) 1(3,4,5,6,7,11),4,5,8,9,10,11,13,15. 问题7.4(278P ) 1,2,4.。