闭包和等价关系

传递性
内容回顾: 内容回顾:关系的性质 A上的关系R={〈1,1〉 上的关系R={ 例:A={1,2,3}, A上的关系R={〈1,1〉, 1,2〉 2,2〉 2,3〉 〈1,2〉, 〈2,2〉, 〈2,3〉}
1
反对称性
2
3
有时候我们希望R具有一些有用的性质,例如, 自反性(对称性或传递性) 为此,需要在R中添加一些有序对而构成新的 关系,使得新关系具所需要的性质 希望添加的有序对尽可能的少 —即不希望新关系变得太”大” 满足这些要求的新关系就是R的闭包
定理: 定理 设R⊆A×A 且A≠∅, 则 (1) rs( R ) = sr( R ); (2) rt( R ) = tr( R ); (3) st( R ) ⊆ ts( R );
2、关系闭包的求解方法 、关系闭包的求解方法 集合运算法 关系矩阵法 关系图法
A={a,b,c,d},A上的关系 例:设A={a,b,c,d},A上的关系 R={〈a,b〉 b,c〉 c,d〉 R={〈a,b〉, 〈b ， a〉 ， 〈b,c〉,〈c,d〉}, 求R的r(R),s(R),t(R) 。 集合运算法： ①、集合运算法：按定义逐步求解 r（ R） =R ∪ IA ={〈a,b〉 b,a〉 b,c〉 c,d〉 ={〈a,b〉,〈b,a〉,〈b,c〉,〈c,d〉} ∪{〈a,a〉 b,b〉 c,c〉 d,d〉 ∪{〈a,a〉,〈b,b〉,〈c,c〉,〈d,d〉} ={〈a,a〉 a,b〉 b,a〉 b,b〉 b,c〉 ={〈a,a〉,〈a,b〉,〈b,a〉,〈b,b〉,〈b,c〉, c,c〉 c,d〉 d,d〉 〈c,c〉,〈c,d〉, 〈d,d〉}
Mr(R)＝
+
=
Ms(R)＝
+
=
关系矩阵法求传递闭包： 关系矩阵法求传递闭包：
MR 2 ＝
×
MR 3
×
MR 4
×
＝ MR 2
Mt (R)= MR+ MR2+ MR3
+
+
③、关系图法
自反闭包的关系图： 自反闭包的关系图： 关系图中哪个结点没有环则加上环 对称闭包的关系图： 对称闭包的关系图： 关系图中的单向边全部变为双向边 传递闭包的关系图： 传递闭包的关系图： 从关系图中每个结点出发，所有长度不超过n 从关系图中每个结点出发，所有长度不超过n （n为图中结点个数）的路径的终点找到，如 为图中结点个数）的路径的终点找到， 果结点到此终点之间没有边，则加上一条边。 果结点到此终点之间没有边，则加上一条边。
t （R ） ＝ R ∪ R2 ∪ R3 {<a,a>，<a,b>， <a,c>，<a,d>， <b,a>， ＝{<a,a>，<a,b>， <a,c>，<a,d>， <b,a>， <b,b>， <b,c>， <b,b>， <b,c>，<b,d>, <c,d>}
②、关系矩阵法
自反闭包的关系矩阵： 自反闭包的关系矩阵： Mr(R)=MR+E 对称闭包的关系矩阵： 对称闭包的关系矩阵： Ms(R)=MR+MR’ 传递闭包的关系矩阵： 传递闭包的关系矩阵： Mt(R)=MR+MR2+MR3…….. +MRn-1 .. 利用关系矩阵求R的幂，最后将各个幂的 利用关系矩阵求R的幂， 矩阵逻辑加
2 3 1
R
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闭包) 1、定义 (闭包) 是非空集合A上的关系, 如果另外一个关系R 设R是非空集合A上的关系, 如果另外一个关系R’ 满足以下条件: 满足以下条件: 是自反的(对称的或传递的) R’是自反的(对称的或传递的) R ⊆ R’ 上的任何包含R的自反关系( 对 A 上的任何包含 R 的自反关系 ( 对称或传递 关系)R 都有R )R” 关系)R”都有R’ ⊆ R” 的自反闭包(对称闭包或传递闭包) 则R’为R的自反闭包(对称闭包或传递闭包) 一般, r(R） 一般,将R的自反闭包记作r(R） 的自反闭包记作r(R 对称闭包记作s(R) 对称闭包记作s(R) 传递闭包记作t(R) 传递闭包记作t(R)
求R的传递闭包，先求：
R＝{<a,b>，<b,a>，<b,c>，<c,d>} {<a,b>，<b,a>，<b,c>， {<a,b>，<b,a>，<b,c>， R2＝R○ R＝ {<a,b>，<b,a>，<b,c>，<c,d>} {<a,b>，<b,a>，<b,c>， ○ {<a,b>，<b,a>，<b,c>，<c,d>} {<a,a>，<a,c>， <b,b>， ＝ {<a,a>，<a,c>， <b,b>，<b,d>} {<a,a>，<a,c>，<b,b>， R3＝ R2 ○ R＝ {<a,a>，<a,c>，<b,b>，<b,d>} {<a,b>，<b,a>，<b,c>， ○ {<a,b>，<b,a>，<b,c>，<c,d>} {<a,b>，<a,d>， <b,a>， ＝ {<a,b>，<a,d>， <b,a>，<b,c>} {<a,b>，<a,d>，<b,a>， R4＝ R3 ○ R＝ {<a,b>，<a,d>，<b,a>，<b,c>} {<a,b>，<b,a>，<b,c>， ○ {<a,b>，<b,a>，<b,c>，<c,d>} {<a,a>，<a,c>， <b,b>， ＝ {<a,a>，<a,c>， <b,b>，<b,d>} ＝R2
离散数学
关系的闭包和等价关系
今日内容
巩固： 巩固：关系的性质 学习并掌握： 学习并掌握：关系的闭包
关系闭包的定义
自反闭包、对称闭包、 自反闭包、对称闭包、传递闭包
关系闭包的求法 进一步的思考
等价关系
3.传递性 3.传递性
定义 若 〈 x ， y〉 ∊R 且 传递性 〈 y ， z〉 ∊ R 则 〈 x ， z〉 ∊ R 关系矩 阵的特 关系图的特点 点 如果 =1， rij=1， 且rjk=1 则rik=1 如果顶点x 如果顶点x到 有边， y有边，y到z 有边，则从x 有边，则从x 到y必须有边
练习： 练习： X={1,2,3,4} X上关系 上关系R={<1,1>,<1,4>,<2,2>,<2,3>, 上关系 <3,2>,<3,3>,<4,1>,<4,4>} 是否等价关系？ 是否等价关系？
1
2
4
3
满足自反、对称、传递性,所以R为等价关系 自反、对称、传递性,所以R 自反
2. 等价类 定义: 是非空集合A上的等价关系， 定义:设R是非空集合A上的等价关系， 对任何的x 对任何的x∈A， R}， 令[x]R={y|y ∈ A ∧<x,y> ∈R}， 则称[x] 关于R的等价类。 则称[x]R为x关于R的等价类。
A={1 R={〈 例 :A={1,2,3},A 上 的 关 系 R={〈1,1〉, 的自反、 〈1,2〉, 〈2,2〉, 〈2,3〉}, 求R的自反、 对称和传递闭包。 对称和传递闭包。
1
1
2
3
2
3
R
r(R)
1
1
2
3
2
3
s(R)
t(R)
定理（闭包的性质和求法） 定理（闭包的性质和求法）: 为非空集合X上的关系， 设R为非空集合X上的关系，则有 r（R）=R ∪ R0 s（R）=R ∪ R-1 t（R）=R ∪ R2 ∪ … ∪ Rn-1 之一） （Rn同R、R2………Rn-1之一）
进一步的思考
1、 关系闭包的用途 、 （如传递闭包在网络、编译原理、关系数 如传递闭包在网络、编译原理、 据库中有着重要的应用。） 据库中有着重要的应用。） 2、 如何用计算机来求解关系闭包 、
等价关系
1.等价关系的定义: 1.等价关系的定义: 等价关系的定义 为非空集合A上的关系，如果R是自反的、 设R为非空集合A上的关系，如果R是自反的、 等价关系。 对称的和传递的，则称R 上的等价关系 对称的和传递的，则称R为A上的等价关系。 对任何x 如果〈 对任何x，y ∊ A，如果〈x，y〉∊ 等价关 则记作x y 系R，则记作x~y。
3.证传递性 证传递性 对任意x， ， 对任意 ，y，z∈A， 如果<x ,y>， <y ,z> ∈R ， 如果 ， 则根据定义有x≡ （ 则根据定义有 ≡y（mod3）, y≡z（mod3）， ） ≡ （ ）， 均为整数） 即：x－y＝3k，y－z＝3h（k，h均为整数） － ＝ ， － ＝ （ ， 均为整数 可得x－ ＝ （ ＋ ） 可得 －z＝3（k＋h） k，h均为整数，则k＋h也为整数， 均为整数， 也为整数， ， 均为整数 ＋ 也为整数 所以x≡ （ 所以 ≡z（mod3） ） 即： <x ，z> ∈R ，R满足传递性 满足传递性 R具有自反、对称、传递性,所以 为等价关系 具有自反、对称、传递性 所以 所以R为等价关系 具有自反
例：分析前述例子是否具有传递性 传递性： 传递性：若R是传递的，则RoR ⊆ R 是传递的，
R具性质 自反性
定义
∀x∊A，有〈x，x〉∊R
关系矩阵的特 点
关系图的特点
主对角线元素全是 图中每个顶点都是 环 1 主对角线元素全是 图中每个顶点都没 有环 0 如果， 如果，两个顶点之 间有边， 间有边，一定是 一对方向相反的 边 如果， 如果，两个顶点之 间有边， 间有边，一定是 一条有向边 如果顶点x到y有边， 如果顶点x 有边， y到z有边，则从x 有边，则从x 到y有边
s （R ） =R ∪ R-1 ={〈a,b〉 b,a〉 b,c〉 c,d〉 ={〈a,b〉,〈b,a〉,〈b,c〉,〈c,d〉} ∪{〈b,a〉 a,b〉 c,b〉 d,c〉 ∪{〈b,a〉,〈a,b〉,〈c,b〉,〈d,c〉} ={〈a,b〉 b,a〉 b,c〉 c,b〉 ={〈a,b〉,〈b,a〉,〈b,c〉, 〈c,b〉, c,d〉 d,c〉 〈c,d〉,〈d,c〉}
例： A：一群人的集合 上年龄相等的关系是等价关系 等价关系。 A上年龄相等的关系是等价关系。 上朋友关系不一定是等价关系， A上朋友关系不一定是等价关系， 因为它可能不是传递的。 因为它可能不是传递的。
例: 判断是否等价关系(A是某班学生): R1={<x,y>|x,y∈A∧x与y同年生} R2={<x,y>|x,y∈A∧x与y同姓} R3={<x,y>|x,y∈A∧x的年龄不比y小} R3={<x,y>|x,y A x y } R4={<x,y>|x,y∈A∧x与y选修同门课程} R5={<x,y>|x,y∈A∧x的体重比y重}
其中 1~4~7，2~5~8，3~6 ， ，
证明： 证明： 1.证自反性 证自反性 对任意x∈ ，因为x≡ （ 对任意 ∈A，因为 ≡x（mod3）， ）， 所以<x,x> ∈R。R满足自反性 所以 。 满足自反性 2.证对称性 证对称性 已知对任意x， 如果<x ,y> ∈R ， 已知对任意 ，y∈A，如果 则根据定义有x≡ （ 则根据定义有 ≡y（mod3）， ）， 为整数） 即：x－y＝3k（k为整数） － ＝ （ 为整数 可得： － ＝ （－k） 可得：y－x＝ －3k＝3（－ ） ＝ （－ 因为k为整数 为整数， 也为整数， 因为 为整数，则－k也为整数， 也为整数 所以y≡ （ 所以 ≡x（mod3） ） 即： <y ,x> ∈R ，R满足对称性 满足对称性
反自反性 ∀x∊A，有〈x，x〉∉R
若 〈 x， y 〉 ∊ R ， 则〈y, x 〉∊ R
对称性
矩阵为对称矩阵
反对称性
若〈x，y〉∊R且x≠y 则 〈 y， x 〉 ∉ R 若 〈 x， y 〉 ∊R， 且 〈 y ， z 〉∊ R 则 〈 x， z 〉 ∊ R
如果r =1， 如果rij=1， i≠j， 且 i≠j， 则rji=0 如果rij=1， 如果r =1， 且rjk=1， =1， 则rik=1
A={1 例：A={1,2,3,4,5,6,7,8} R={〈x,y〉|x,y∊A∧x≡y（ R={〈x,y〉|x,y∊A∧x≡y（mode 3）}， 其中，x≡y（ 可以被3整除。 其中，x≡y（mode 3）:x-y可以被3整除。 上的等价关系。 R是A上的等价关系。 ⇓ R={<1 >,<1 >,<1 R={<1,1>,<1,4>,<1,7>, >,<2 >,<2 <2,2>,<2,5>,<2,8>, >,<3 <3,3>,<3,6>, >,<4 >,<4 <4,1>,<4,4>,<4,7>, >,<5 >,<5 <5,2>,<5,5>,<5,8>, >,<6 <6,3>,<6,6>, >,<7 >,<7 <7,1>,<7,4>,<7,7>, >,<8 >,<8 <8,2>,<8,5>,<8,8>}