2015年高考最后一卷数学试卷含答案解析

(图1)
2015江苏高考最后一卷
数 学
一、 填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分） 1.已知复数z 的实部为2-，虚部为1，则z 的模等于 . 2.已知集合{}3,,0,1-=A ，集合{
}
2-=
=x y x B ，则=B A .
3.右图1是一个算法流程图，若输入x 的值为4-，则输出y 的值为 .
4.函数)
1(log 21)(2---=x x f x
的定义域为 .
5.样本容量为10的一组数据，它们的平均数是5，频率如条形图2所示，则这组数据的方差等于 ．
6.设,αβ是两个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，给出下列四个命题：①若
,||,,n n m αβα
β⊂=则||n m ；②若,m n αα⊂⊂，,m n ββ∥∥，则αβ∥； ③若,,,m n n m αβα
βα⊥=⊂⊥，则n β⊥；④若,,m m n ααβ⊥⊥∥，则n β∥.
其中正确的命题序号为
7.若圆2
2
2
)5()3(r y x =++-上有且只有两个点到直线234:=-y x l 的距离等于1，则半径r 的取值范围是 .
图2
8.已知命题()()2:,2,P b f x x bx c ∀∈-∞=++在(),1-∞-上为减函数；命题
0:Q x Z ∃∈，使得021x <.则在命题P Q ⌝⌝∨，P Q ⌝⌝∧，P Q ⌝∨，P Q ⌝∧中任取一个命题，则取得真命题的概率是
9.若函数2()(,,)1
bx c
f x a b c R x ax +=
∈++),,,(R d c b a ∈，其图象如图
3所示，则=++c b a .
10.函数2
322)(2
23+--=x a x a x x f 的图象经过四个象限，则a 的
取值范围是 ．
11.在ABC ∆中,已知角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且
sin sin sin A C B
b c a c
-=-+，则函数
22()cos ()sin ()22x x f x A A =+--在3,22ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的单调递增区间是 .
12. “已知关于x 的不等式02
>++c bx ax 的解集为)2,1(，解关于x 的不等式
02>++a bx cx .”给出如下的一种解法：
参考上述解法：若关于x 的不等式0<++++c x b x a x b 的解集为)1,2
1
()31,1( --，
则关于x 的不等式
0>----c
x b
x a x b 的解集为 . 13.20XX 年第二届夏季青年奥林匹克运动会将在中国南京举行，为了迎接这一盛会，某公司计划推出系列产品，其中一种是写有“青奥吉祥数”的卡片.若设正项数列{}n a 满足 ()2110n n n n a a +--=，定义使2log k a 为整数的实数k 为“青奥吉祥数”，则在区间[1，2014]内的所有“青奥吉祥数之和”为________ 14.已知
()22,0
32,0
x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，设集合(){}
,11
A y y f x x ==-≤≤，
{},11B y y ax x ==-≤≤，若对同一x 的值，总有12y y ≥，其中12,y A y B ∈∈，则实数
a 的取值范围是
图3
二、 解答题（本大题共6小题，共90分）
15.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量
()(1sin
,1),1,sin cos 2
C
m n C C =--=+，且.⊥ （1）求sin C 的值；（2）若()2
2
48a b a b +=+-，求边c 的长度.
16.如图4，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，PAD △ 是等边三角形，
已知28BD AD ==
，2AB DC ==
（1）设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ⊥平面PAD ； （2）求四棱锥P ABCD -的体积．
17.如图5，GH 是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在GH 上的一点B 的正北方向的A 处建一仓库，设AB = y km ，并在公路同侧建造边长为x km 的正方形无顶中转站CDEF （其中边EF 在GH 上），现从仓库A 向GH 和中转站分别修两条道路AB ，AC ，已知AB = AC + 1，且∠ABC = 60o ．
（1）求y 关于x 的函数解析式；
（2）如果中转站四周围墙造价为1万元/km ，两条道路造价为3万元/km ，问：x 取何值时，该公司建中转站围墙和两条道路总造价M 最低？
A
B
C
M P
D
图4 公 路H
G F E D
C B A 图5
18. 如图6，椭圆22221x y a b +=(0)a b >>过点3
(1,)2
P ，其左、右焦点分别为12,F F ，离心率
1
2
e =，,M N 是椭圆右准线上的两个动点，且120F M F N ⋅=．
（1）求椭圆的方程； （2）求MN 的最小值；
（3）以MN 为直径的圆C 是否过定点？请证明你的结论．
19.已知函数).1,0(ln )(2
≠>-+=a a a x x a x f x
（1）求曲线()y f x =在点))0(,0(f 处的切线方程； （2）求函数)(x f 的单调增区间；
（3）若存在]1,1[,21-∈x x ，使得e e x f x f (1)()(21-≥-是自然对数的底数)，求实数a 的取值范围．
20. 已知数列{a n }中，a 2=a(a 为非零常数)，其前n 项和S n 满足S n =n(a n －a 1)
2(n ∈N*)． （1）求数列{a n }的通项公式；
（2）若a=2，且21114
m n a S -=，求m 、n 的值；
（3）是否存在实数a 、b ，使得对任意正整数p ，数列{a n }中满足n a b p +≤的最大项恰为第
23-p 项？若存在，分别求出a 与b 的取值范围；若不存在，请说明理由．
数学Ⅱ（附加题）
21A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）
如图，从圆O 外一点P 引圆的切线PC 及割线PAB ，C 为切点． 求证：AP BC AC CP ⋅=⋅．
21B ．已知矩阵213,125M β ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦⎣⎦
，计算2
M β．
21C ．已知圆C 的极坐标方程是4sin ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立
平面直角坐标系，直线l
的参数方程是(12
x t y t m ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩是参数）．若直线l 与圆C 相切，求正数m 的值．
P
（第21 - A 题）
（第22题）
21D ．（本小题满分10分，不等式选讲）
已知不等式2
|1|a b x +-≤对于满足条件12
22=++c b a 的任意实数c b a ,,恒成立,求实数x 的取值范围．
【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出
文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）
22. 如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的菱形，60ABC ∠=︒
，PA =M 为PC 的中点．
（1）求异面直线PB 与MD 所成的角的大小；
（2）求平面PCD 与平面PAD 所成的二面角的正弦值．
23．（本小题满分10分）
袋中共有8个球，其中有3个白球，5个黑球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机取出
一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且另补一个白球放入袋中．重复上述过程n 次后，袋中白球的个数记为X n ． （1）求随机变量X 2的概率分布及数学期望E (X 2)；
（2）求随机变量X n 的数学期望E (X n )关于n 的表达式．
2015江苏高考最后一卷
数学答案
一、填空题
1.5
2..{}0,1-
3.2
4.),2()2,1(+∞
5.7.2
6. ①③
7.
8. 1
4
9.4 10. ),1(4481,+∞⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-∞- 11. []0,π 12.)1,31()21,1( -- 13.2047 14. []1,0- 提示：
1.i z +-=2，则i z --=2，则5)1()2(22=-+-=z .
2.{
}
{}{}2022≤=≥-=-=
=x x x x x y x B ，又{}3,,0,1-=A ，所以{}0,1-=B A .
3. 当4-=x 时，34>-，则7=x ；当7=x 时，37>，4=x ；当4=x 时，34>，
1=x ；当1=x 时，31>不成立，则输出221==y .
4.要使原式有意义，则⎩⎨
⎧≠->-1
10
1x x ，即1>x 且2≠x .
5.2出现44.010=⨯次，5出现22.010=⨯次，8出现44.010=⨯次，所以
[]
2.7)55(4)55(2)52(410
1
2222=-⨯+-⨯+-⨯=
s . 6. 逐个判断。

由线面平行的性质定理知①正确；由面面平行的判定定理知直线,m n 相交时才成立，所以②错误；由面面垂直的性质定理知③正确；④中，可以是n β⊂，所以④错误，即正确命题是①③.
7.如图7，要使圆2
2
2
)5()3(r y x =++-上有且只有两个点到直线234:=-y x l 的距离等于1，只须转化为圆与直线n 相交，且与直线m 相离，即CQ r CP <<，
又圆心到直线l 的距离为5，则64<<r .
图7
8. 因为(),2b ∀∈-∞，函数()f x 的对称轴12
b
x =-
>-，且开口向上，所以命题P 正确；又由021x
<解得00x <，0x Z ∃∈，比如01x =-，所以命题Q 也正确，所以,P Q ⌝
⌝
都是
假命题，只有P Q ⌝
∨是真命题，故由古典概型的概率计算公式可知取得真命题的概率是
1
4
. 9.由图可知，()f x 为奇函数，则0a c ==，又(1)2f =，解得4b =，所以4a b c ++=.
10.))(23(23)(2
2
a x a x a ax x x f -+=--=，0)('
=x f 得3
2a
x -
=，a x =.当0<a 时， )(x f 在),(a -∞和⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-,32a 上是增函数，在⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-a a 32,上是减函数.因为023)0(>=f ，
所以)(x f 必过一、二、三象限，故只要)(x f 极小值小于0即可.032<⎪⎭
⎫
⎝⎛-a f 的解为
44
81-<a ，同理，当0>a 时，
0)(<a f 得1>a .综上，a 的取值范围是),1(4481,+∞⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-∞- . 11. 由sin sin sin A C B b c a c
-=-+，利用正弦定理可得a c b b c a c -=-+，所以222
=+a b c bc -，由
余弦定理得1
cos =2
A ，又A 为△ABC 的内角，所以3A π=，所以
22221+cos +
1cos 133()cos ()sin ()==cos 23232
2
2
x x x x f x x π
πππ⎛⎫⎛
⎫-- ⎪
⎪
⎝⎭⎝⎭=+----，
令()22k x k k Z πππ≤≤+∈，与3,22ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
取交集得所求递增区间是[]0,π. 12.由
0<++++c x b x a x b 的解集为)1,21()31,1( --，得0<+-+-++-c x b
x a x b 的解集为)1,31()21,1( --，即0>----c x b x a x b 的解集为)1,3
1()21,1( --.
13.因为()()()2
111110n n n n n n a a na n a +--=-++=⎡⎤⎣⎦，又0n a >，所以1n a n
=， 当()221log log k m m Z k
=-=∈时，[]()21,2014m
k m Z -=∈∈，0,1,2,10m =---，
所以在区间[1，2014]内的所有奥运吉祥数之和为11
1
2
10
1222+22=204712
-++
=-.
14. 由题意可得()f x ax ≥对任意[]1,1x ∈-恒成立，当[]1,1x ∈-时，
x
图8
()22,10223,03232,13x x f x x x x x ⎧
⎪--≤≤⎪
⎪
=-<≤⎨⎪
⎪-<≤⎪⎩
，作出函数图象如图8，显然当0>a 时，不满足题意；当0
a ≤时，只要直线y ax =在[]1,0x ∈-上与线段OA 重合或者在线段OA 下方时，满足题意，所以10a -≤≤.
二、解答题
15. 解析：（1）∵.⊥，∴0m n ⋅=，则()1sin sin cos 02
C
C C --+=，
（2分） 即21sin
2sin cos 12sin 2222
C C C C
-=+-（*）
，（4分）又0,22C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴()sin 0,12C ∈， 故（*）可化简为1cos sin 222C C -=-，（5分）两边平方得1
1sin 4
C -=， ∴3
sin 4
C =
. （2）又()2
2
48a b a b +=+-得()()2
2
220a b -+-=，∴a=2,b=2，（9分） 由（1）知1cos
sin 0222C C -=-<，∴,242C ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,2C ππ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，cos 4C =-，（12
分）∴在△ABC
中，由余弦定理可得2
2
2
2cos 442224c a b ab C ⎛=+-=+-⨯⨯⨯- ⎝⎭
.
8=+
1c =+.
16. （1）证明：在ABD △中， 由于4AD =，8BD =
，AB = 所以2
2
2
AD BD AB +=．故AD BD ⊥． 又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD
平面ABCD AD =，
BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥平面PAD ，
又BD ⊂平面MBD ，故平面MBD ⊥平面PAD ． （2）过P 作PO AD ⊥交AD 于O ，
由于平面PAD ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ． 因此PO 为四棱锥P ABCD -的高，
A
B
C
M P
D O
又PAD △是边长为4的等边三角形．因此42
PO =
= 在底面四边形ABCD 中，AB DC ∥，2AB DC =，
所以四边形ABCD 是梯形，在Rt ADB △中，斜边AB
5=， 此即为梯形ABCD 的高，
所以四边形ABCD 的面积为24S ==．
故1
243
P ABCD V -=
⨯⨯= 17. 解：（1）因为1,+==AC AB y AB ，所以1-=y AC . 在直角三角形BCF 中，因为
60,=∠=ABC x CF ， 所以x BC CBF 2,30==∠
. 由于y y x >-+12，得2
1
>
x . 在△ABC 中，因为
60cos 22
2
2
BC AB BC AB AC ⋅-+=， ∴222(1)42y y x xy -=+-．
则241
2(1)x y x -=-．由0>y ，及2
1>x ，得1>x ．
即y 关于x 的函数解析式为2412(1)
x y x -=-（1>x ）．
（2）2123
3(21)4341
x M y x x x -=-+=-+-．
令t x =-1，则212(1)39
34(1)162549t M t t t t
+-=-++=++≥，
在34t =，即74x =，15
2
y =时，总造价M 最低．
答：7
4
x =
时，该公司建中转站围墙和道路总造价M 最低． 18. （1）12c e a =
=，且过点3(1,)2
P ，
22222191,
42,,
a b a c a b c ⎧+=⎪⎪∴=⎨⎪=+⎪⎩
解得2,
a b =⎧⎪⎨⎪⎩∴椭圆方程为22143x y +=.
（2）设点12(4,),(4,)M y N y ,则1122(5,),(3,),F M y F N y ==
1212150F M F N y y ⋅=+=，1215y y ∴=-．
又
211111
1515MN y y y y y y =-=-=－
+≥
MN ∴的最小值为
（3）圆心C 的坐标为12
(4,
)2
y y +，半径212y y r -=.
圆C 的方程为2
2
21221()(4)()24
y y y y x y +--+-=
， 整理得2212128()160x y x y y y y y +--+++=.
1215y y =-，22128()10x y x y y y ∴+--++=，
令0y =，得28
10x x -+=，4x
∴=±.
∴圆C 过定点(4±.
19. （1）因为函数2()ln (0,1)x f x a x x a a a =->≠+，
所以()ln 2ln x f x a a x a '=-+，(0)0f '=，
又因为(0)1f =，所以函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =． （2）由（1），()ln 2ln 2(1)ln x x f x a a x a x a a '=-=-++． 因为当0,1a a >≠时，总有()f x '在R 上是增函数， 又(0)0f '=，所以不等式()0f x '>的解集为(0,)∞+， 故函数()f x 的单调增区间为(0,)∞+．
（3）因为存在12,[1,1]x x ∈-，使得12()()e 1f x f x --≥成立，
而当[1,1]x ∈-时，12max min ()()()()f x f x f x f x --≤， 所以只要max min ()()e 1f x f x --≥即可．
又因为x ，()f x '，()f x 的变化情况如下表所示：
所以()f x 在[所以当[1,1]x ∈-时，()f x 的最小值()()min 01f x f ==，
()f x 的最大值()max f x 为()1f -和()1f 中的最大值．
因为11
(1)(1)(1ln )(1ln )2ln f f a a a a a a
a
--=--=--+++， 令1()2ln (0)g a a a a a =-->，因为22121
()1(1)0g a a a a '=-=->+，
所以1
()2ln g a a a a
=--在()0,a ∈+∞上是增函数．
而(1)0g =，故当1a >时，()0g a >，即(1)(1)f f >-； 当01a <<时，()0g a <，即(1)(1)f f <-．
所以，当1a >时，(1)(0)e 1f f --≥，即ln e 1a a --≥， 函数ln y a a =-在(1,)a ∈+∞上是增函数，解得e a ≥；
当01a <<时，(1)(0)e 1f f ---≥，即1
ln e 1a a
+-≥， 函数1ln y a a =+在(0,1)a ∈上是减函数，解得1
0e
a <≤．
综上可知，所求a 的取值范围为1
(0,][e,)e
a ∈∞+．
20. 解：（1）由已知，得a 1=S 1=1⋅(a 1－a 1)2=0，∴S n =na n
2，
则有S n+1=
(n+1)a n+1
2
，∴2(S n+1－S n )=(n+1)a n+1－na n ， 即(n －1)a n+1=na n ，∴na n+2=(n+1)a n+1， 两式相加，得2a n+1=a n+2+a n ，n ∈N*， 即a n+1－a n+1=a n+1－a n ，n ∈N*，
故数列{a n }是等差数列． 又a 1=0，a 2=a ，∴a n =(n －1)a ．
（2）若a=2，则a n =2(n －1)，∴S n =n(n -1)．
由21114m n a S -=，得n 2-n+11=(m -1)2，即4(m -1)2－(2n -1)2=43， ∴(2m+2n -3)(2m －2n -1)=43．
∵43是质数，2m+2n -3>2m -2n -1，2m+2n -3>0， ∴2211,
22343,
m n m n --=⎧⎨
+-=⎩解得m=12，n=11．
（3）由a n +b ≤p ，得a(n －1)+b ≤p ． 若a<0，则n ≥p －b
a +1，不合题意，舍去； 若a>0，则n ≤p －b
a +1．
∵不等式a n +b ≤p 成立的最大正整数解为3p －2， ∴3p －2≤p －b
a +1<3p －1，
即2a －b<(3a －1)p ≤3a －b 对任意正整数p 都成立． ∴3a －1=0，解得a=1
3，
此时，23－b<0≤1－b ，解得2
3<b ≤1．
故存在实数a 、b 满足条件，a 与b 的取值范围是a=13，2
3<b ≤1． 21.A
证明：因为PC 为圆O 的切线，
所以PCA CBP ∠=∠， 又CPA CPB ∠=∠，
故△CAP ∽△BCP ， 所以AC AP BC PC =，
即AP BC AC CP ⋅=⋅． 21.B
解法一：矩阵M 的特征多项式为221
()4312
f λλλλλ- -=
=-+- -，令()0f λ=，
解得1,3λλ==，对应的一个特征向量分别为1211,11αα⎡⎤⎡⎤
==⎢
⎥⎢⎥
-⎣⎦⎣⎦
， 令12m n βαα=+，得1,4m n =-=，
22221212(4)()4()M M M M βαααα=-+=-+
22113511431137⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=-⨯+⨯=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦
．
解法二：因为221211212M 5 4⎡⎤⎡⎤⎡⎤
==⎢
⎥⎢⎥
⎢⎥ 4 5⎣⎦⎣⎦⎣⎦
， 所以2335537M β5 4⎡⎤⎡⎤⎡⎤
==⎢⎥⎢⎥
⎢⎥4 5⎣⎦⎣⎦⎣⎦
． 21.C
解：由4sin ρθ=，得24sin ρρθ=，所以22
40x y y +-=， 即圆C 方程为2
2
(2)4x y +-=.
又
由212
x t y t m ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消t
得0x +=，因为直线l 与圆C 相切，所
以2=
得2m =±，
又0m >
，所以23
m =+．
21.D
解：
因为2
2
2
2
()(112)()4a b a b c ++++++=≤，
所以2a b ++≤，
又2
|-1|a b x ++≤对任意实数c b a ,,恒成立,
故2
max |1|()2x a b -+=≥，
解得x x ≤ ．
22. 解：（1）设AC 与BD 交于点O ，以O 为顶点，向量OC ，OD 为x ，y 轴，平行于AP 且方向向上的向量为z 轴建立直角坐标系．
则(1,0,0)A -，(1,0,0)C
，(0,B
，D
，(P -，
所以M
，MD =
，(1,PB =， cos ,03MD PA MD PA MD PA
⋅<>=
=
=．
所以异面直线PB 与MD 所成的角为90︒．
（2）设平面PCD 的法向量为1111(,,)x y
z =n ，平面PAD 的法向量为2222(,,
)x y z =n
，
因为(CD =
-，(1,
PD =
，(0,0,PA =，
由11111110,0,CD x PD x ⎧⋅=-
=⎪⎨
⋅==⎪⎩n n 令11y =
，得1=n ， 由22222260,0,PA PD x z ⎧⋅=
-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩n n 令21y =-
，得
21,0)=-n ， 所以121212
cos ,⋅<>=
==n n n n n n 12sin ,<>=n n
23.解：（1）由题意可知X 2=3，4，5． 当X 2=3时，即二次摸球均摸到白球，其概率是P (X 2=3)=1133
1188C C C C ⨯=964
；
当X 2=4时，即二次摸球恰好摸到一白，一黑球，其概率是P (X 2=4)=11113554
11118888C C C C C C C C +=3564；
当X 2=5时，即二次摸球均摸到黑球，其概率是P (X 2=5)=1154
1188C C C C =516
．……
3分
所以随机变量X 2的概率分布如下表：
（一个概率得一分 不列表不扣分） 数学期望E (X 2)=9355267
34564641664
⨯+⨯+⨯=．
（2）设P (X n =3+k )=p k ，k =0，1，2，3，4，5．
则p 0+p 1+p 2+p 3+p 4+p 5=1，E (X n )=3p 0+4p 1+5p 2+6p 3+7p 4+8p 5．
P (X n +1=3)=038p ，P (X n +1=4)=58p 0+48p 1，P (X n +1=5)=48p 1+58p 2，P (X n +1=6)=38p 2+6
8p 3，
P (X n +1=7)=28p 3+78p 4，P (X n +1=8)=18p 4+8
8
p 5，
所以，E (X n +1)
=3×38p 0+4×(58p 0+48p 1)+5×(48p 1+58p 2)+6×(38p 2+68p 3)+7×(28p 3+78p 4)+8×(18p 4+88p 5)
=298p 0+368p 1+438p 2+508p 3+578p 4+648p 5 =7
8(3p 0+4p 1+5p 2+6p 3+7p 4+8p 5)+ p 0+p 1+p 2+p 3+p 4+p 5 =7
8
E (X n )+1． 由此可知，E (X n +1)-8=7
8
(E (X n )-8)．
又E (X 1)-8=358-，所以E (X n )=1357
8()88
n --．。