北师大版九下数学《垂径定理》

解:如图,用 AB 表示桥拱, AB 所在圆的圆心为O,半径为Rm,
经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 AB 相交于点C.根
据垂径定理,D是AB的中点,C是 AB 的中点,CD就是拱高.
由题设得 AB 7.2,CD 2.4, HN 1 MN 1.5.
AD 1 AB 1 7.2 3.6,
由题设 AB 37.02,CD 7.23,
AD 1 AB 1 37.02 18.51,
2
2
OD OC DC R 7.23.
7.23
A
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
37.02
C
B
D
OA2 AD2 OD 2 ,
R
即R2 18.512 (R 7.23)2. O
②③ ②④ ②⑤
①④⑤ ①③⑤ ①③④
弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.
垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且 平分弦和所对的另一条弧.
③④ ①②⑤ 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于 ③⑤ ①②④ 弦,并且平分弦所对的另一条弧.
④⑤ ①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
∴此货船能顺利通过这座拱桥.
课堂小结
1、圆是轴对称图形，其对称轴是每一条直径所在的直线或 经过圆心的每一条直线.
2、垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦弦所对的两条弧. C
CD过圆心 CD⊥AB
CD平分弦AB
CD平分弧ACB
O
CD平分弧ADB
A
B
D
课后作业
1、课内练习 2、课后作业题A组
•O ACB
(9)
B
•O D
C
A
(10)
C
•O A EB
D (11)
例题探究
例3、1300多年前, 我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)
的桥拱是圆弧形, 它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.02 m, 拱高(弧的中点到弦的距离, 也叫弓形高)为7.23m, 求桥 拱的半径(精确到0.1m).
解：如图，用 AB 表示桥拱，AB 所在圆的圆心为O，半径为Rm， 经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与 AB 相交于点C.根 据垂径定理，D是AB的中点，C是 AB 的中点，CD就是拱高.
做一做
（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的 弧…………………………………………..( × )
（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且 经过圆心……………………………………..( √ )
（3）不与直径垂直的弦必不被这条直径平 分…………………………………………...( × )
（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的 两条弧………………………………………( × )
思考：平分弧的直径会垂直平分弧所对的弦吗？
A⌒B是⊙O的一条弧,且A⌒C=⌒BC.
下图是轴对称图形吗? 如果是,其对称轴是什么?
• 你能发现图中有哪些等量关系? 与同伴说 C 说你的想法和理由.
A
●
M
B 小明发现图中有:
●O
由 CD是直径
A⌒C=B⌒C
可推得
D
AM=BM CD⊥AB,
A⌒D=B⌒D.
过点M作直径CD.
下图是轴对称图形吗? 如果是,其对称轴是什么?
• 你能发现图中有哪些等量关系? 与同伴说说你的 想法和理由.
C
A
●
M
B 小明发现图中有:
●O
由 CD是直径
可推得
AM=BM
D
CD⊥AB,
A⌒C=B⌒C, A⌒D=B⌒D.
定理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦, 并且平分弦所对的弧.
定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.
如图, 根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条 直线来说. 如果在下列五个条件中:
① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM, ④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=⌒BD.
只要具备其中两个条件, 就可推出其余三个结论.
C
A
B
M└
●O
你可以写出相应的命题吗?
D
C
（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦
A
B
M└
（4）平分弦所对优弧 （5）平分弦所对的劣弧
●O
条件 ①② ①③ ①④ ①⑤
结论 ③④⑤ ②④⑤ ②③⑤ ②③④
命题
D
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧. 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的 另一条弧.
2
22
OD OC DC R 2.4.
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
OA2 AD2 OD 2 , 即R2 3.62 (R 2.4)2.
解得 R≈3.9（m）.
在Rt△ONH中，由勾股定理，得OH ON2 HN2 ,
即OH 3.92 1.52 3.6. DH 3.6 1.5 2.1 2.
解得 R≈27.3（m）.
答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.3m.
变型：如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧CD, 点O是弧CD的圆心),其中CD=600m, E为弧CD上的一点,且 OE⊥CD垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.
C
解: 连接OC.设弯路的半径为Rm
E
OF=(R-90)m.
F
●
D
O
Q OE CD,
CF 1 CD 1 600 300(m).
2
2
根据勾股定理 ,得 OC2 CF2 OF2
R2 300 2 R 902.
解这个方程 ,得R 545 .
这段弯路的半径约为545m.
船能过拱桥吗
如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米, 拱 顶高出水面2.4米. 现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形 并高出水面2米的货船要经过这里, 此货船能顺利通过 这座拱桥吗？
（5）圆内两条非直径的弦不能互相平分（ √ ）
（6）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧.
（7）平分弦的直线，必定过圆心.

（8）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这
条直线垂直这条弦.

A
C
OD
(6) B
C
•O
A
B
(7) D
C
•O
A
B
(8) D
（9）弦的垂直平分线一定是圆的直径.
（10）平分弧的直线，平分这条弧所对的 弦. （11）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分.
3.3 垂径定理（2）
复习回顾
定理 垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧.
C
A
M└
●O
如图∵ CD是直径,
B
CD⊥AB,
∴AM=BM,
A⌒C =B⌒C,
A⌒D⌒Βιβλιοθήκη =BD.D条件 CD为直径 CD⊥AB
CD平分弦AB 结论 CD平分弧ACB
CD平分弧ADB
探究新知
AB是⊙O的一条弦, 且AM=BM.