2013高考立体几何试题汇总

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历届立体几何真题

2013-2017文科数学立体几何集锦2013年全国一卷：1、(2013课标全国Ⅰ，文15)已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH ∶HB ＝1∶2，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为______．2、(2013课标全国Ⅰ，文19)(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°.(1)证明：AB ⊥A 1C ；(2)若AB ＝CB ＝2，A 1C ＝6，求三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积．2013年全国二卷：1、（2013课标全国2，文9）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为（）(A)(B)(C)(D)2、（2013课标全国2，文18）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别是AB ，1BB 的中点，。

（Ⅰ）证明：1//BC 平面11A CD ；（Ⅱ）设12AA AC CB ===，22AB =，求三棱锥1C A DE -的体积。

2014年全国一卷：1、(2014课标全国1，文19)如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11为菱形，C B 1的中点为O ，且⊥AO 平面C C BB 11.（I ）证明：;1AB C B ⊥（II ）若1AB AC ⊥,,1,601==∠BC CBB求三棱柱111C B A ABC -的高.2014全国二卷：1、（2014课标全国2，文6）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6c m 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）（A ）1727（B ）59（C ）1027(D)132、（2014课标全国2，文18）如图，四凌锥p—ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA 上面ABCD ，E 为PD 的点。

2013年全国高考理科数学试题分类汇编7：立体几何

2013高考数学真题——立体几何分大题汇编

0
AC BD ， BC 1 , AD AA1 3
（1）证明： AC B1 D ；（2）求直线 B1C1 与平面 ACD1 所成角的正弦值。
9、（2013 北京卷理 17）如图，在三棱柱 ABC A1 B1C1 中， AA1C1C 是边长为 4 的正方形，平面 ABC 平面 AA1C1C ， AB 3, BC 5 . （1）求证： AA1 平面 ABC ；（2）求二面角 A1 BC1 B1 的余弦值；
21、（2013 辽宁卷文 18）如图， AB 是圆 O 的直径， PA 圆所在的平面， C 是圆 O 上的点。（1）求证： BC 平面 PAC ；（2）若 Q 为 PA 的中点， G 为 AOC 的重心，求证： QG ∥平面 PBC
P
Q A G C O B
22 、（ 2013
P M A
（2）若二面角 C BM D 的大小为 60 ，求 BDC 的大小.
0
B
Q
D
C
17、（2013 福建卷理 19）如图，在四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中，侧棱 AA1 底面 ABCD ，AB ∥ DC ， AA1 1 ， AB 3k ， AD 4k ， BC 5k ， DC 6k , (k 0) 。（1）求证： CD 平面 ADD1 A1 ；（2）若直线 AA1 与平面 AB1C 所成角的正弦值为
1 （Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线 l 与圆 O 的另一个交点为 D ，且点 Q 满足 DQ CP . 记直线 PQ 2 与平面 ABC 所成的角为，异面直线 PQ 与 EF 所成的角为，二面角 E l C 的大小为
，求证： sin sin sin .

2013年普通高考文科数学试题汇编-立体几何解答题_图文

2013年普通高考文科数学试题汇编-立体几何解答题三、解答题1. (2013年高考辽宁卷 (文如图 , . AB O PA O C O 是圆的直径, 垂直圆所在的平面, 是圆上的点 (I求证 :BC PAC ⊥平面 ;(II设//. Q PA G AOC QG PBC ∆为的中点, 为的重心,求证:平面【答案】(I 由 AB 式圆 O 的直径,得 AC ⊥ BC.由 PA ⊥平面 ABC , BC ⊂平面 ABC ,得 PA ⊥ BC,又PA ∩ AC=A,P A⊂平面 PAC , AC ⊂平面 PAC,所以 BC ⊥平面 PAC.(II 连 OG 并延长交 AC 与 M ,链接 QM , QO.由 G 为∆ AOC 的重心,得 M 为 AC 中点,由 G 为 PA 中点,得 QM//PC.又 O 为 AB 中点,得 OM//BC.因为QM ∩ MO=M,QM⊂平面 QMO.所以 QG//平面 PBC.2. (2013年高考浙江卷 (文如图 , 在在四棱锥 P-ABCD 中 ,PA⊥面 3, ∠ABC=120°,G为线段 PC 上的点 .(Ⅰ证明:BD⊥面 PAC ;(Ⅱ若 G 是 PC 的中点 , 求DG 与 APC 所成的角的正切值 ;(Ⅲ若 G 满足 PC⊥面 BGD, 求 PG GC的值 .【答案】解 :证明 :(Ⅰ由已知得三角形 ABC 是等腰三角形 , 且底角等于 30°,且 6030AB CB AD CD ABD CBD ABD CBD BAC BD DB=⎫⎪=⇒∆≅∆⇒∠=∠=∠=⎬⎪=⎭且 , 所以 ; 、BD AC ⊥, 又因为 PA ABCD BD PA BD PAC BD AC ⊥⇒⊥⎫⇒⊥⎬⊥⎭; (Ⅱ设 AC BD O = , 由 (1知 DO PAC ⊥, 连接 GO , 所以 DG 与面 APC 所成的角是 DGO ∠, 由已知及 (1知 :1, 2BO AO CO DO =====,12tan 2OD GO PA DGO GO ==⇒∠===所以 DG 与面 APC 所成的角 (Ⅲ由已知得到 :PC===因为 PC BGD PC GD ⊥∴⊥, 在PDC ∆中 , PD CD PC ====, 设223107 2PG PG x CG x x x PG x GC GC =∴=-∴-=--∴====3. (2013年高考陕西卷 (文如图 , 四棱柱 ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面 ABCD 是正方形 , O 为底面中心 , A 1O ⊥平面 ABCD, 1AB AA ==1A(Ⅰ证明 : A 1BD // 平面 CD 1B 1;(Ⅱ求三棱柱 ABD -A 1B 1D 1的体积 .【答案】解: (Ⅰ设 111O D B 线段的中点为 .11111111//D B BD D C B A ABCD D B BD ∴-的对应棱是和 . 的对应线段是棱柱和同理, 111111D C B A ABCD O A AO -为平行四边形四边形且且 11111111//////OCO A OC O A OC O A OC AO O A AO ⇒=⇒∴ 1111111111//, . //B CD BD A O D B C O O BD O A C O O A 面面且⇒==⇒ .(证毕(Ⅱ的高是三棱柱面 ABD D B A O A ABCD O A -∴⊥11111 . 在正方形 AB CD中,AO = 1 . . 111=∆O A OA A RT 中, 在11 2(2121111111=⋅⋅=⋅=-∆-O A S V ABD D B A ABD ABD D B A 的体积三棱柱 . 所以 , 1111111=--ABD D B A V ABD D B A 的体积三棱柱 .4. (2013年高考福建卷 (文如图 , 在四棱锥 P ABCD -中 , PD ABCD ⊥面 , //AB DC , AB AD ⊥, 5BC =, 3DC =, 4AD =, 60PAD ∠= .(1当正视图方向与向量 AD 的方向相同时 , 画出四棱锥 P ABCD -的正视图 .(要求标出尺寸 , 并画出演算过程 ;(2若 M 为 PA 的中点 , 求证 ://DM PBC 面 ;(3求三棱锥 D PBC -的体积 .【答案】解法一:(Ⅰ在梯形 ABCD 中 , 过点 C 作 CE AB ⊥, 垂足为 E , 由已知得 , 四边形 ADCE 为矩形 , 3AE CD ==在Rt BEC ∆中 , 由 5BC =, 4CE =, 依勾股定理得 :3BE =, 从而 6AB =又由 PD ⊥平面 ABCD 得 , PD AD ⊥从而在Rt PDA ∆中 , 由 4AD =, 60PAD ∠=︒,得 PD =正视图如右图所示 :(Ⅱ取 PB 中点 N , 连结 MN , CN在PAB ∆中 , M 是 PA 中点 ,∴ MN AB , 132MN AB ==, 又 CD AB , 3CD = ∴ MN CD , MN CD =∴四边形 MNCD 为平行四边形,∴ DM CN又 DM ⊄平面 PBC , CN ⊂平面 PBC∴ DM 平面 PBC (Ⅲ 13D PBC P DBC DBC V V S PD --∆==⋅又6PBC s ∆= , PD =,所以 D PBC V -=解法二 :(Ⅰ同解法一(Ⅱ取 AB 的中点 E , 连结 ME , DE在梯形 ABCD 中 , BE CD , 且 BE CD =∴四边形 BCDE 为平行四边形∴ DE BC , 又 DE ⊄平面 PBC , BC ⊂平面 PBC∴ DE 平面 PBC , 又在PAB ∆中 , ME PBME ⊄平面 PBC , PB ⊂平面 PBC∴ ME 平面 PBC . 又 DE ME E = ,∴平面 DME 平面 PBC , 又 DM ⊂平面 DME∴ DM 平面 PBC(Ⅲ同解法一5. (2013年高考广东卷(文如图 4, 在边长为 1的等边三角形 ABC 中 , , D E 分别是 , AB AC 边上的点 , AD AE =, F 是 BC 的中点 , AF 与 DE 交于点 G , 将ABF ∆沿AF 折起 , 得到如图 5所示的三棱锥 A BCF -,其中 2BC =. (1 证明 :DE //平面 BCF ;(2 证明 :CF ⊥平面 ABF ;(3 当 23AD =时 , 求三棱锥 F DEG -的体积 F DEG V -. 图 4【答案】 (1在等边三角形 ABC 中 , AD AE =AD AE DB EC ∴=, 在折叠后的三棱锥 A BCF -中也成立 , //DE BC ∴ ,DE ⊄平面 BCF ,BC ⊂平面 BCF , //DE ∴平面 BCF ;(2在等边三角形 ABC 中 , F 是 BC 的中点 , 所以 AF BC ⊥① ,12BF CF==. 在三棱锥 A BCF -中 , 2BC =, 222BC BF CF CF BF ∴=+∴⊥② BF CF F CF ABF ⋂=∴⊥平面 ;(3由 (1可知 //GE CF , 结合 (2可得GE DFG ⊥平面.111111132323323324F DEG E DFG V V DG FG GF --⎛∴==⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅= ⎝⎭6. (2013年高考湖南(文如图 2. 在直菱柱 ABC-A 1B 1C 1中,∠BAC=90°,AB=AC=,AA 1=3,D是 BC 的中点 , 点 E 在菱 BB 1上运动 . (I 证明:AD⊥C 1E;(II当异面直线 AC,C 1E 所成的角为 60°时 , 求三菱子 C 1-A 2B 1E 的体积.【答案】解: (Ⅰ 11C CBB ADE 面为动点,所以需证因为⊥.AD BB ABC AD ABC BB C B A ABC ⊥⇒⊂⊥∴-11111, 面且面是直棱柱AD BC BC D ABC RT ⊥∴∆的中点, 为是等腰直角且又 .. 1111111E C AD C CBB E C C CBB AD B BB BC ⊥⇒⊂⊥⇒=⋂面且面由上两点,且 (证毕(Ⅱ 660, //111111=∆⇒︒=∠∴AE E C A RT E C A A C CA 中, 在 .的高是三棱锥是直棱柱中, 在 1111111111. 2C B A E EB C B A ABC EB E B A RT -∴-=∆⇒ .. 3232213131111111111111的体积为所以三棱锥 E B A C EB S V V C B A C B A E E B A C -⋅=⋅⋅=⋅⋅==∆-- 7. (2013年高考北京卷(文如图 , 在四棱锥 P ABCD -中 , //AB CD , AB AD ⊥, 2CD AB =,平面 PAD ⊥底面 ABCD , PA AD ⊥, E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点 , 求证 : (1PA ⊥底面 ABCD ;(2//BE 平面 PAD ;(3平面 BEF ⊥平面 PCD【答案】 (I因为平面 PAD⊥平面 ABCD, 且 PA 垂直于这个平面的交线 AD 所以 PA 垂直底面 ABCD.(II因为 AB∥CD,CD=2AB,E为 CD 的中点所以 AB∥DE,且 AB=DE 所以ABED 为平行四边形 ,所以 BE∥AD,又因为 BE ⊄平面 PAD,AD ⊂平面 PAD 所以 BE∥平面 PAD.(III因为 AB⊥AD,而且 ABED 为平行四边形所以 BE⊥CD,AD⊥CD,由 (I知 PA⊥底面 ABCD, 所以 PA⊥CD,所以 CD⊥平面 PAD所以 CD⊥PD,因为 E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点所以 PD∥EF,所以 CD⊥EF,所以 CD⊥平面 BEF, 所以平面 BEF⊥平面PCD.8. (2013年高考课标Ⅰ卷 (文如图 , 三棱柱 111ABC A B C -中 , CA CB =, 1AB AA =, 160BAA ∠= .(Ⅰ证明 :1AB AC ⊥; (Ⅱ若 2AB CB ==, 1AC =求三棱柱 111ABC A B C -的体积 .1B 1A1【答案】【答案】 (I取 AB 的中点 O, 连接 OC O 、 1OA O 、 1A B , 因为CA=CB,所以 OC AB ⊥, 由于 AB=AA 1,∠BA A1=600,故, AA B ∆为等边三角形 , 所以 OA 1⊥AB.因为 OC ⨅ OA 1=O,所以 AB ⊥平面 OA 1C. 又 A 1CC 平面 OA 1C, 故 AB ⊥AC. (II由题设知12ABC AA B ∆∆与都是边长为的等边三角形, 12AA B 都是边长为的等边三角形,所以2211111. OC OA AC AC OA OA OC ===+⊥又 ,故111111111, --=3.ABC ABCOC AB O OA ABC OA ABC A B CABC S A B C V S OA=⊥∆=⨯=因为所以平面 , 为棱柱的高,又的面积 ABC 的体积9. (2013年高考山东卷 (文如图 , 四棱锥 P ABCD -中 , , AB AC AB PA⊥⊥, , 2AB CD AB CD=∥ , , , , ,E F G M N 分别为, , , ,PB AB BC PD PC 的中点(Ⅰ求证 :CE PAD∥平面 ; (Ⅱ求证 :EFG EMN⊥平面平面【答案】10. (2013年高考四川卷(文如图 , 在三棱柱11ABC A B C-中 , 侧棱1AA ⊥底面ABC , 122AB AC AA ===, 120BAC ∠= , 1, D D 分别是线段 11, BC B C 的中点 , P 是线段 AD 上异于端点的点 .(Ⅰ在平面 ABC 内 , 试作出过点 P 与平面 1A BC 平行的直线 l , 说明理由 , 并证明直线 l ⊥平面11ADD A ;(Ⅱ设 (Ⅰ中的直线 l 交 AC 于点 Q , 求三棱锥 11A QC D -的体积 .(锥体体积公式 :13V Sh =, 其中 S 为底面面积 , h 为高【答案】解:(Ⅰ如图 , 在平面 ABC 内 , 过点 P 作直线 BC l //, 因为 l 在平面 BC A 1外 , BC 在平面 BC A 1内 ,由直线与平面平行的判定定理可知 , //l 平面 1A BC .由已知 , AC AB =, D 是 BC 中点 , 所以 BC ⊥ AD , 则直线 AD l ⊥, 又因为1AA ⊥底面 ABC , 所以 l AA ⊥1,又因为 AD , 1AA 在平面 11A ADD 内 , 且 AD 与 1AA 相交 , 所以直线⊥l 平面11A ADD(Ⅱ过 D 作 AC DE ⊥于 E , 因为 1AA ⊥平面 ABC , 所以 DE AA ⊥1,又因为 AC , 1AA 在平面 C C AA 11内 , 且 AC 与 1AA 相交 , 所以⊥DE 平面C C AA 11,由 2==AC AB ,∠ BAC ︒=120, 有 1=AD ,∠ DAC ︒=60, 所以在△ ACD 中 , 2 323==AD DE , 又 1211111=⋅=∆AA C A S AQC , 所以 631233*********=⋅⋅=⋅==--QC A QC A D D QC A S DE V V 因此三棱锥 11A QC D -的体积为 6311. (2013年高考湖北卷(文如图 , 某地质队自水平地面 A , B , C 三处垂直向地下钻探 , 自 A 点向下钻到A 1处发现矿藏 , 再继续下钻到 A 2处后下面已无矿 , 从而得到在 A 处正下方的矿层厚度为 121A A d =. 同样可得在 B , C 处正下方的矿层厚度分别为 122B B d =, 123C C d =, 且 123d d d <<. 过AB , AC 的中点 M , N 且与直线 2AA 平行的平面截多面体 111222A B C A B C -所得的截面 DEFG 为该多面体的一个中截面 , 其面积记为 S 中 .(Ⅰ证明 :中截面 DEFG 是梯形 ;(Ⅱ在△ ABC 中 , 记 BC a =, BC 边上的高为 h , 面积为 S . 在估测三角形 ABC 区域内正下方的矿藏储C 11BC B 1量 (即多面体 11122A B C A B C -的体积 V 时 , 可用近似公式 V S h =⋅估中来估算 . 已知1231( 3V d d d S =++, 试判断 V 估与 V 的大小关系 , 并加以证明 .【答案】 (Ⅰ依题意 12A A ⊥平面 ABC , 12B B ⊥平面 ABC , 12C C ⊥平面ABC ,所以 A 1A 2∥ B 1B 2∥ C 1C 2. 又 121A A d =, 122B B d =, 123C C d =, 且 123d d d << . 因此四边形 1221A A B B 、 1221A A C C 均是梯形 .由 2AA ∥平面 MEFN , 2AA ⊂平面 22AA B B , 且平面 22AA B B 平面 MEFN ME =, 可得 AA 2∥ ME , 即 A 1A 2∥ DE . 同理可证 A 1A 2∥ FG , 所以 DE ∥ FG . 又 M 、 N 分别为 AB 、 AC 的中点 ,则 D 、 E 、 F 、 G 分别为 11A B 、 22A B 、 22A C 、 11A C 的中点 , 即DE 、 FG 分别为梯形 1221A A B B 、 1221A A C C 的中位线 .因此 12121211( ( 22DE A A B B d d =+=+, 12121311( ( 22FG A A C C d d =+=+,而 123d d d <<, 故 DE FG <, 所以中截面 DEFG 是梯形 . (Ⅱ V V <估 . 证明如下 :由 12A A ⊥平面 ABC , MN ⊂平面 ABC , 可得 12A A MN ⊥.而 EM ∥ A 1A 2, 所以 EM MN ⊥, 同理可得 FN MN ⊥.由 MN 是△ ABC 的中位线 , 可得 1122MN BC a ==即为梯形 DEFG 的高 ,因此 13121231( (2 22228DEFG d d d d a aS S d d d ++==+⋅=++中梯形 ,即 123(2 8ahV S h d d d =⋅=++估中 . 又 12S ah =, 所以 1231231( ( 36ahV d d d S d d d =++=++. 第 20题图于是 1231232131( (2 [( (]6824ah ah ahV V d d d d d d d d d d -=++-++=-+-估 . 由 123d d d <<, 得 210d d ->, 310d d ->, 故 V V <估 .12. (2013年高考课标Ⅱ卷(文如图,直三棱柱 111ABC A B C -中, D , E 分别是AB , 1BB 的中点, 。

2013年高考数学试题（8）立体几何

1.（安徽理科第6题、文科第8题）（A ） 48 (B)32+817 (C) 48+8 (C) 48+817 (D) 80解析：由三视图可知几何体是底面是等腰梯形的直棱柱.底面等腰梯形的上底为2，下底为4，高为4，两底面积和为()12244242´+´=，四个侧面的面积为()44221724817++=+，所以几何体的表面积为48817+故选C. 2.（安徽理科第17题，文科第19题，本小题满分13分）分）如图，A B E D F C 为多面体，平面ABED 与平面A C F D 垂直，点O 在线段A D 上，1O A =，OD =，ODE ODF OAC OAB D D D D ,,,都是正三角形。

都是正三角形。

(Ⅰ)证明直线BC EF ∥；(Ⅱ)求棱锥F OBED -的体积. （1）证明：分别去OA ，OD 的中点M ，N ，连接CM ，ＢＭ，ＢＭＥＮ，ＦＮ，设ＥＢ和ＤＡ相交于Ｇ，由于ＯＡ＝１，ＥＮ，ＦＮ，设ＥＢ和ＤＡ相交于Ｇ，由于ＯＡ＝１，OD=2，则EN BM //，且EN BM 21=，则M 为GN 的中点，所以GA=1 同理可得：G 为FC 和DA 的交点。

则有C 为FG 的中点，B 为EG 的中点。

所以的中点。

所以BC 是EFG D 的中位线。

故BC EF ∥。

（2）四边形OBED 是梯形，其中OB=1，DE=2，底边上的高为323260sin =×=°OE2333)21(2131331=××+×=×=\-O B E D O B E DF S V3.（北京理科第7题）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是(A) 8 (B) 62 (C)10 (D) 82解：根据三视图可知，该四面体满足：^SA 平面ABC ，ABC D 中 °=Ð90ABC ，3,4===BC AB SA ，四个三角形都是直角三角形，四个三角形都是直角三角形 6,26,8,10,5,24======D D D D ABC SBC SAB SAC S S S S AC SB4.（北京理科第16题）如图，在四棱锥P ABCD -中，P A ^平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，2,60A B B A D =Ð=.(Ⅰ)求证：BD ^平面;P A C（Ⅱ）若,P A A B =求P B 与A C 所成角的余弦值；所成角的余弦值；（Ⅲ）当平面P B C 与平面P D C 垂直时，求P A 的长的长. .解：（1）因为ABCD 是菱形，则对角线互相垂直，BD AC ^\，又^PA 平面ABC所以BD ^平面PAC ，（2）设O BD AC = ，3,1,2,60=====°=ÐCO AO BO AB PA BAD以以O 为坐标原点以OC OB ,所在的直线分别为y x ,轴建立空间直角坐标系xyz O -则)0,3,0(),0,1,1(,0,3,0(),2,3,0(C B A P ）--，)2,3,1(-=\PB ，)0,32,0(=AC 设AC PB ,的夹角为q ，则4632226||||cos=´=×=AC PB AC PB q（3）由（）由（22）知),0,3,1(-=BC 设)0)(,3,0(>t t P 设平面PBC 的法向量为),,(z y x m =，则0,0=×=×m BP m BC所以ïîïíì=+--=+-0303tz y x y x ，令3=y ，则t z x 6,3==，)6,3,3(t m =\同理，平面PDC 的法向量为)6,3,3(tn -=，因为平面PBC ^平面PDC 所以0=×n m ，即03662=+-t，解得6=t ，6=\PA5.（北京文科第5题）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是锥的表面积是(A)32 (B)16+162 (C)48 (D)16322+6.（北京文科17）如图，在四面体PABC 中，,,P C A B P A B C ^^点,,,D E F G 分别是棱,,,A PA CB C P B的中点。

2013年高考名题选编(立体几何)

第2部分：综合题型（5）——2013年高考名题选编（立体几何）1．（本小题满分13分）如图，圆锥顶点为P 。

底面圆心为O ，其母线与底面所成的角为22.5°。

AB 和CD是底面圆O 上的两条平行的弦，轴OP 与平面PCD 所成的角为60°。

（Ⅰ）证明：平面PAB 与平面PCD 的交线平行于底面；（Ⅱ）求cos COD ∠。

2．（本小题满分13分）如图，在三棱柱111ABC A B C －中，11AA C C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面11AA C C ，3AB =，5BC =。

（Ⅰ）求证：1AA ⊥平面ABC ；（Ⅱ）求二面角111A BC B －－的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段1BC 存在点D ，使得1AD A B ⊥，并求1BDBC 的值.3．（本小题满分13分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1AA ABCD ⊥底面，//AB DC ，11AA =，3AB k =，4AD k =，5BC k =，6DC k =(0)k >．（1）求证：CD ⊥平面11ADD A ；（2）若直线1AA 与平面1AB C 所成角的正弦值为67，求k 的值；（3）现将与四棱柱1111ABCD A B C D -形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的棱柱，规定：若拼接成的新的四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案．问：共有几种不同的方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为()f k ，写出()f k 的表达式（直接写出答案，不必要说明理由）4．（本小题满分13分）如图1,在等腰直角三角形ABC 中,90A ∠=︒,6BC =,,D E 分别是,AC AB 上的点,CD BE ==O 为BC 的中点.将ADE ∆沿DE 折起,得到如图2所示的四棱锥A BCDE '-，其中A O '=。

（1）证明：A O '⊥平面BCDE ；（2）求二面角A CD B '--的平面角的余弦值。

2013年高考数学(理)真题分类解析汇编7.立体几何

2013年高考数学〔理〕真题分类解析汇编7：立体几何一、选择题1 ．〔2013年高考新课标1〔理〕〕如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为〔〕 A ．35003cm π B ．38663cm π C ．313723cm πD ．320483cm π【答案】A【天利解析】设正方体上底面所在平面截球得小圆M ，则圆心M 为正方体上底面正方形的中心．如图．设球的半径为R ，根据题意得球心到上底面的距离等于〔R ﹣2〕cm ，而圆M 的半径为4，由球的截面圆性质，得R 2=〔R ﹣2〕2+42，解出R=5，所以根据球的体积公式，该球的体积V===．故选A ．2 ．〔2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学〔理〕卷〔纯WORD 版〕〕设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,以下命题中正确的选项是〔〕A ．假设αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥B ．假设//αβ,m α⊂,n β⊂,则//m nC ．假设m n ⊥,m α⊂,n β⊂,则αβ⊥D ．假设m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥ 【答案】D【天利解析】ABC 是典型错误命题,选D ．3 ．〔2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学〔理〕WORD 版含答案〔已校对〕〕已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中12AA AB =,则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于〔〕 A ．23B ．33C ．23D ．13【答案】A【天利解析】设AB=1，则AA 1=2，分别以的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如以下图所示：则D 〔0，0，2〕，C 1〔0，1，0〕，B 〔1，1，2〕，C 〔0，1，2〕， =〔1，1，0〕，=〔0，1，﹣2〕，=〔0，1，0〕，设=〔x ，y ，z 〕为平面BDC 1的一个法向量，则，即，取=〔﹣2，2，1〕，设CD 与平面BDC 1所成角为θ，则sin θ=||=，故选A ．4 ．〔2013年高考新课标1〔理〕〕某几何体的三视图如下图,则该几何体的体积为〔〕A ．168π+B ．88π+C ．1616π+D ．816π+ 【答案】A【天利解析】三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，如图，其中长方体长、宽、高分别是：4，2，2，半个圆柱的底面半径为2，母线长为4．所以长方体的体积=4×2×2=16，半个圆柱的体积=×22×π×4=8π 所以这个几何体的体积是16+8π；故选A ．5 ．〔2013年高考湖北卷〔理〕〕一个几何体的三视图如下图,该几何体从上到下由四个简单几何体组成,其体积分别记为1V ,2V ,3V ,4V ,上面两个简单几何体均为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体,则有〔〕 A ．1243V V V V <<< B ．1324V V V V <<<C ．2134V V V V <<<D ．2314V V V V <<<【答案】C【天利解析】此题考查三视图以及空间几何体的体积。

2013和2014高考立体几何大题汇总

2013、14年立体几何高考大题汇编1．（2013江西（文））如图,直四棱柱ABCD – A 1B 1C 1D 1中,AB//CD,AD ⊥AB,AB=2,AD=,AA 1=3,E为CD 上一点,DE=1,EC=3(1) 证明:BE ⊥平面BB 1C 1C;(2) 求点B1 到平面EA 1C 1 的距离【答案】解.(1)证明:过B 作CD 的垂线交CD 于F,则2,1,2BF AD EF AB DE FC ===-==在36Rt BFE BE Rt BFC BC ∆∆中，＝，中，＝ .在2229BCE BE BC EC ∆+中，因为＝＝,故BE BC ⊥由1111BB ABCD BE BB BE BB C C ⊥⊥⊥平面，得，所以平面 (2)1111111123A B C E A B C V AA S ∆-∙三棱锥的体积＝＝221111111112Rt A D C AC A D D C ∆+在中，＝=3 ,同理,22112EC EC CC +＝=3 ，222113EA AD ED AA ++＝=2 因此115A C E S ∆=3.设点B1到平面11EAC 的距离为d,则111B EAC -三棱锥的体积 11153A EC V d S d ∆∙∙＝＝,从而1052,5d d ==2．（2013重庆（理））如图,四棱锥P ABCD-中,PA ABCD ⊥底面,2,4,3BC CD AC ACB ACD π===∠=∠=,F 为PC 的中点,AF PB ⊥.(1)求PA 的长; (2)求二面角B AF D --的正弦值.【答案】3．（2013浙江（理））如图,在四面体BCD A -中,⊥AD 平面BCD ,22,2,==⊥BD AD CD BC .M 是AD 的中点,P 是BM 的中点,点Q 在线段AC 上,且QC AQ 3=.(1)证明://PQ 平面BCD ;(2)若二面角D BM C --的大小为060,求BDC ∠的大小.【答案】解:证明(Ⅰ)方法一:如图6,取MD 的中点F ,且M 是AD 中点,所以3AF FD =.因为P 是BM 中点,所以//PF BD ;又因为(Ⅰ)3AQ QC =且ABCDPQM（第20题图）3AF FD =,所以//QF BD ,所以面//PQF 面BDC ,且PQ ⊂面BDC ,所以//PQ 面BDC ;方法二:如图7所示,取BD 中点O ,且P 是BM 中点,所以1//2PO MD ;取CD 的三等分点H ,使3DH CH =,且3AQ QC =,所以11////42QH AD MD ,所以////P O Q H P Q OH ∴,且OH BCD ⊂,所以//PQ 面BDC ; (Ⅱ)如图8所示,由已知得到面ADB ⊥面BDC ,过C 作CG BD ⊥于G ,所以CG BMD ⊥,过G 作GH BM ⊥于H ,连接CH ,所以CHG ∠就是C BM D --的二面角;由已知得到813BM =+=,设BDC α∠=,所以cos ,sin 22cos ,22cos sin ,22sin ,CD CG CBCD CG BC BD CD BDαααααα===⇒===,在RT BCG ∆中,2sin 22sin BGBCG BG BCααα∠=∴=∴=,所以在RT BHG ∆中, 22122sin 3322sin HGHG αα=∴=,所以在RT CHG ∆中222cos sin tan tan 60322sin 3CG CHG HG ααα∠==== tan 3(0,90)6060BDC ααα∴=∴∈∴=∴∠=;4．（2013上海春季高考）如图,在正三棱锥111ABC A B C -中,16AA =,异面直线1BC 与1AA 所成角的大小为6π,求该三棱柱的体积.【答案】[解]因为1CC 1AA .所以1BC C ∠为异面直线1BC 与1AA .所成的角,即1BC C ∠=6π. 在Rt 1BC C ∆中,113tan 6233BC CC BC C =⋅∠=⨯=, 从而23334ABC S BC ∆==, 因此该三棱柱的体积为1336183ABC V S AA ∆=⋅=⋅=.5．（2013上海（理））如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=2,AD=1,A 1A=1,证明直线BC 1平行于平面DA 1C,并求直线BC 1到平面D 1AC 的距离.D 1C 1B 1A 1D C BA【答案】因为ABCD-A 1B 1C 1D 1为长方体,故1111//,AB C D AB C D =,故ABC 1D 1为平行四边形,故11//BC AD ,显然B 不在平面D 1AC 上,于是直线BC 1平行于平面DA 1C;直线BC 1到平面D 1AC 的距离即为点B 到平面D 1AC 的距离设为hB 1A 1C 1ACB考虑三棱锥ABCD 1的体积,以ABC 为底面,可得111(12)1323V =⨯⨯⨯⨯= 而1ADC ∆中,115,2AC DC AD ===,故132AD C S ∆= 所以,13123233V h h =⨯⨯=⇒=,即直线BC 1到平面D 1AC 的距离为23.6．（2013广东（理））如图1,在等腰直角三角形ABC 中,90A ∠=︒,6BC =,,D E 分别是,AC AB 上的点,2CD BE ==,O 为BC 的中点.将ADE ∆沿DE 折起,得到如图2所示的四棱锥A BCDE '-,其中3A O '=.(Ⅰ) 证明:A O '⊥平面BCDE ; (Ⅱ) 求二面角A CD B '--的平面角的余弦值.【答案】(Ⅰ) 在图1中,易得3,32,22OC AC AD ===连结,OD OE ,在OCD ∆中,由余弦定理可得222cos455OD OC CD OC CD =+-⋅︒=由翻折不变性可知22A D '=,所以222A O OD A D ''+=,所以A O OD '⊥, 理可证A O OE '⊥, 又ODOE O =,所以A O '⊥平面BCDE .(Ⅱ) 传统法:过O 作OH CD ⊥交CD 的延长线于H ,连结A H ', 因为A O '⊥平面BCDE ,所以A H CD '⊥, 所以A HO '∠为二面角A CD B '--的平面角.C D OBE'AH.CO BDEA CDOBE'A图1图2C DOx E'A向量法图yzB 结合图1可知,H 为AC 中点,故322OH =,从而22302A H OH OA ''=+=所以15cos 5OH A HO A H '∠==',所以二面角A CD B '--的平面角的余弦值为155. 向量法:以O 点为原点,建立空间直角坐标系O xyz -如图所示, 则()0,0,3A ',()0,3,0C -,()1,2,0D - 所以()0,3,3CA '=,()1,2,3DA '=- 设(),,n x y z =为平面A CD '的法向量,则00n CA n DA ⎧'⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩,即330230y z x y z ⎧+=⎪⎨-++=⎪⎩,解得3y x z x =-⎧⎪⎨=⎪⎩,令1x =,得()1,1,3n =- 由(Ⅰ) 知,()0,0,3OA '=为平面CDB 的一个法向量, 所以315cos ,535n OA n OA n OA '⋅'===⋅',即二面角A CD B '--的平面角的余弦值为155. 第III 部分26.【2014年陕西卷（理17）】（本小题满分12分）四面体ABCD 及其三视图如图所示，过棱AB 的中点E 作平行于AD ，BC 的平面分别交四面体的棱CA DC BD ，，于点H G F ，，.（I ）证明：四边形EFGH 是矩形；（II ）求直线AB 与平面EFGH 夹角θ的正弦值.解（I ）由该四面体的三视图可知， BD ⊥DC, BD ⊥AD , AD ⊥DC, BD=DC=2，AD = 1.由题设，BC //平面EFGH, 平面EFGH ⋂平面BDC=FG, 平面EFGH ⋂平面ABC=EH,∴ BC// FG, BC//EH, ∴FG//EH. 同理EF//AD,HG//AD, ∴EF//HG, ∴四边形EFGH 是平行四边形。

2013年全国高考理科数学考试试题分类汇编7：立体几何

2013年全国高考理科数学试题分类汇编7：立体几何一、选择题1 ．（2013年高考新课标1（理））如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为（）A ．35003cm π B ．38663cm π C ．313723cm πD ．320483cm π【答案】A2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是（）A ．若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥B ．若//αβ,m α⊂,n β⊂,则//m nC ．若m n ⊥,m α⊂,n β⊂,则αβ⊥D ．若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥【答案】D3 ．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）若两个球的表面积之比为1:4,则这两个球的体积之比为（）A ．1:2B ．1:4C ．1:8D ．1:16【答案】C4 ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中12AA AB =,则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于（）A ．23B ．3C ．3D ．13【答案】A5 ．（2013年高考新课标1（理））某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（）A ．168π+B ．88π+C ．1616π+D ．816π+【答案】A6 ．（2013年高考湖北卷（理））一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几何体组成,其体积分别记为1V ,2V ,3V ,4V ,上面两个简单几何体均为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体,则有（）A ．1243V V V V <<< B．1324V V V V <<<C ．2134V V V V <<<D ．2314V V V V <<<【答案】C7 ．（2013年高考湖南卷（理））已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能．．．等于（）A ．1BC ．2D ．2【答案】C8 ．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是（）A ．4B ．143C ．163D ．6【答案】B9 ．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））已知n m ,为异面直线,⊥m 平面α,⊥n 平面β.直线l 满足,,,l m l n l l αβ⊥⊥⊄⊄,则（）A ．βα//,且α//lB ．βα⊥,且β⊥lC ．α与β相交,且交线垂直于lD ．α与β相交,且交线平行于l【答案】D10．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直,体积为94,的正三角形.若P 为底面111A B C的中心,则PA 与平面ABC所成角的大小为（）A ．512πB ．3πC ．4πD ．6π【答案】B11．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））某几何体的三视图如题()5图所示,则该几何体的体积为（）A ．5603B ．5803C ．200D ．240正视图俯视图侧视图第5题图【答案】C12．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上,若34AB AC ==，,AB AC ⊥,112AA =,则球O 的半径为（）A B ．C ．132D ．【答案】C13．（2013年高考江西卷（理））如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且ABCD ,正方体的六个面所在的平面与直线CE,EF 相交的平面个数分别记为,m n ,那么m n +=（）A ．8B ．9C ．10D ．11【答案】A14．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx 平面为投影面,则得到正视图可以为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A15．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））在下列命题中,不是公理．．的是（）A ．平行于同一个平面的两个平面相互平行B ．过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面C ．如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内D ．如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么他们有且只有一条过该点的公共直线【答案】A16．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））在空间中,过点A 作平面π的垂线,垂足为B ,记)(A f B π=.设βα,是两个不同的平面,对空间任意一点P ,)]([)],([21P f f Q P f f Q βααβ==,恒有21PQ PQ =,则（）A ．平面α与平面β垂直B ．平面α与平面β所成的(锐)二面角为045C ．平面α与平面β平行D ．平面α与平面β所成的(锐)二面角为060【答案】A17．（2013年高考四川卷（理））一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是【答案】D 二、填空题18．（2013年高考上海卷（理））在xOy 平面上,将两个半圆弧22(1)1(1)x y x -+=≥和22(3)1(3)x y x -+=≥、两条直线1y = 和1y =-围成的封闭图形记为D,如图中阴影部分.记D 绕y轴旋转一周而成的几何体为Ω,过(0,)(||1)y y ≤作Ω的水平截面,所得截面面积为48π,试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体,得出Ω的体积值为__________【答案】2216ππ+.19．（2013年高考陕西卷（理））某几何体的三视图如图所示, 则其体积为___3π_____.【答案】3π 20．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆,其公共弦长等于球O 的半径,32OK =,且圆O 与圆K 所在的平面所成的一个二面角为60,则球O 的表面积等于______.【答案】16π21．（2013年高考北京卷（理））如图,在棱长为2的正方体ABCD -A1B 1C 1D 1中,E 为BC 的中点,点P 在线段D 1E上,点P 到直线CC 1的距离的最小值为__________.【答案】51B22．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））如图,在三棱柱ABC C B A -111中,F E D ，，分别是1AA AC AB ，，的中点,设三棱锥ADE F -的体积为1V ,三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ,则=21:V V ____________.【答案】1:2423．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积等于________2cm .【答案】2424．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,P 为BC 的中点,Q 为线段1CC 上的动点,过点A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是__①②③⑤___(写出所有正确命题的编号).①当102CQ <<时,S 为四边形;②当12CQ =时,S 为等腰梯形;③当34CQ =时,S 与11C D 的交点R 满足1113C R =;④当314CQ <<时,S 为六边形;⑤当1CQ =时,SA BCADEF BC【答案】①②③⑤25．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是____________.【答案】1616π-26．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））已知某一多面体内接于一个简单组合体,如果该组合体的正视图.测试图.俯视图均如图所示,且图中的四边形是边长为2的正方形,则该球的表面积是_______________【答案】12π27．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）在如图所示的正方体1111ABCD A B C D -中,异面直线1A B 与1B C 所成角的大小为_______【答案】3π三、解答题28．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））如图,AB 是圆的直径,PA 垂直圆所在的平面,C 是圆上的点. (I)求证:PAC PBC ⊥平面平面；D 1 C 1 B 1A 1D C AB(II)2.AB AC PA C PB A ===--若，1，1，求证：二面角的余弦值【答案】29．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））如图,四棱锥P ABCD-中,PA ABCD ⊥底面,2,4,3BC CD AC ACB ACD π===∠=∠=,F 为PC 的中点,AF PB ⊥.(1)求PA 的长; (2)求二面角B AF D --的正弦值.【答案】1．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））如图,圆锥顶点为p.底面圆心为o,其母线与底面所成的角为22.5°.AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦,轴OP与平面PCD所成的角为60°.(Ⅰ)证明:平面PAB 与平面PCD 的交线平行于底面; (Ⅱ)求cos COD ∠.【答案】解: (Ⅰ) PAB P D ,////C m AB CD CD PCD AB PCD ⋂=⊂⇒设面面直线且面面//AB m ⇒直线 ABCD m ABCD AB 面直线面//⇒⊂ . 所以,ABCD D P PAB 的公共交线平行底面与面面C . (Ⅱ) rPOOPF F CD r =︒︒=∠5.22tan .60,由题知，则的中点为线段设底面半径为. ︒-︒=︒∠==︒⋅︒⇒=︒5.22tan 15.22tan 245tan ,2cos 5.22tan 60tan 60tan ,2COD r OF PO OF . )223(3)],1-2(3[21cos ,1-25.22tan 12cos 2cos 22-==+∠=︒⇒-∠=∠COD COD COD 212-17cos .212-17cos =∠=∠COD COD 所以.法二:1．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））如图,在四面体BCDA -中,⊥AD 平面BCD ,22,2,==⊥BD AD CD BC .M 是AD 的中点,P 是BM 的中点,点Q 在线段AC 上,且QC AQ 3=.(1)证明://PQ 平面BCD ;(2)若二面角D BM C --的大小为060,求BDC ∠的大小.【答案】解:证明(Ⅰ)方法一:如图6,取MD 的中点F ,且M 是AD 中点,所以3AF FD =.因为P 是BM 中点,所以//PF BD ;又因为(Ⅰ)3AQ QC =且3AF FD =,所以//QF BD ,所以面//PQF 面BDC ,且PQ ⊂面BDC ,所以//PQ 面BDC ;ABCDPQM（第20题图）方法二:如图7所示,取BD 中点O ,且P 是BM 中点,所以1//2PO MD ;取CD 的三等分点H ,使3DH CH =,且3AQ QC =,所以11////42QH AD MD ,所以////P OQ H P Q O H ∴,且OH BCD ⊂,所以//PQ 面BDC ;(Ⅱ)如图8所示,由已知得到面ADB ⊥面BDC ,过C 作CG BD ⊥于G ,所以CG BMD ⊥,过G 作GH BM ⊥于H ,连接CH ,所以C H G ∠就是C B M D--的二面角;由已知得到3BM ==,设BDC α∠=,所以cos ,sin ,sin ,,CD CG CBCD CG BC BD CD BDαααααα===⇒===, 在RT BCG ∆中,2sin BGBCG BG BCααα∠=∴=∴=,所以在R T B H G ∆中,2133HG α=∴=,所以在RT CHG ∆中tan tan 6033CGCHG HG ∠==== tan (0,90)6060BDC ααα∴=∈∴=∴∠=;2．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）如图,在正三棱锥111ABC A B C -中,16AA =,异面直线1BC与1AA 所成角的大小为6π,求该三棱柱的体积.【答案】[解]因为1CC 1AA .所以1BC C ∠为异面直线1BC 与1AA .所成的角,即1BC C ∠=6π. 在Rt 1BC C ∆中,11tan 6BC CC BC C =⋅∠==,从而2ABC S ∆==因此该三棱柱的体积为16ABC V S AA ∆=⋅==3．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））本小题满分14分.如图,在三棱锥ABC S -中,平面⊥SAB 平面SBC ,BC AB ⊥,AB AS =,过A 作SB AF ⊥,垂足为F ,点G E ，分别是棱SC SA ，的中点.求证:(1)平面//EFG 平面ABC ; (2)SA BC ⊥.【答案】证明:(1)∵AB AS =,SB AF ⊥∴F 分别是SB 的中点∵E.F 分别是SA.SB 的中点 ∴EF∥AB又∵EF ⊄平面ABC, AB ⊆平面ABC ∴EF∥平面ABC 同理:FG∥平面ABC又∵EF FG=F, EF.FG ⊆平面ABC∴平面//EFG 平面ABC (2)∵平面⊥SAB 平面SBC 平面SAB 平面SBC =BC AF ⊆平面SABAF⊥SB∴AF⊥平面SBC 又∵BC ⊆平面SBC ∴AF⊥BC又∵BC AB ⊥, AB AF=A, AB.AF ⊆平面SAB ∴BC⊥平面SAB 又∵SA ⊆平面SAB∴BC⊥SAABCSGFEB 1A 1C 1ACB4．（2013年高考上海卷（理））如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=2,AD=1,A 1A=1,证明直线BC 1平行于平面DA 1C,并求直线BC 1到平面D 1AC 的距离.C 11【答案】因为ABCD-A 1B 1C 1D 1为长方体,故1111//,AB C D AB C D =,故ABC 1D 1为平行四边形,故11//BC AD ,显然B 不在平面D 1AC 上,于是直线BC 1平行于平面DA 1C; 直线BC 1到平面D 1AC 的距离即为点B 到平面D 1AC 的距离设为h考虑三棱锥ABCD 1的体积,以ABC 为底面,可得111(12)1323V =⨯⨯⨯⨯= 而1AD C ∆中,11AC DC AD ===,故132AD C S ∆= 所以,13123233V h h =⨯⨯=⇒=,即直线BC 1到平面D 1AC 的距离为23.5．（2013年高考湖北卷（理））如图,AB 是圆O 的直径,点C 是圆O 上异于,A B 的点,直线PC ⊥平面ABC ,E ,F 分别是PA ,PC 的中点.(I)记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ,试判断直线l 与平面PAC 的位置关系,并加以证明;(II)设(I)中的直线l 与圆O 的另一个交点为D ,且点Q 满足12DQ CP =.记直线PQ 与平面ABC所成的角为θ,异面直线PQ 与EF 所成的角为α,二面角E l C --的大小为β,求证:sin sin sin θαβ=.【答案】解:(I)EF AC ,AC ABC ⊆平面,EF ABC ⊆平面EF ABC ∴平面第19题图⊆平面又EF BEF∴EF l∴平面l PAC(II)连接DF,用几何方法很快就可以得到求证.(这一题用几何方法较快,向量的方法很麻烦,特别是用向量不能方便的表示角的正弦.个人认为此题与新课程中对立体几何的处理方向有很大的偏差.)6．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））如图1,在等腰直角三角形ABC中,90A ∠=︒,6BC =,,D E 分别是,AC AB 上的点,CD BE ==O 为BC 的中点.将ADE ∆沿DE 折起,得到如图2所示的四棱锥A BCDE '-,其中A O '=.(Ⅰ) 证明:A O '⊥平面BCDE ; (Ⅱ) 求二面角A CD B '--的平面角的余弦值.【答案】(Ⅰ) 在图1中,易得3,OC AC AD ===.CO BDEA CDOBE'A图1图2连结,OD OE ,在OCD ∆中,由余弦定理可得OD=由翻折不变性可知A D '=,所以222A O OD A D ''+=,所以A O OD '⊥, 理可证A O OE '⊥, 又ODOE O =,所以A O '⊥平面BCDE .(Ⅱ) 传统法:过O 作OH CD ⊥交CD 的延长线于H ,连结A H ', 因为A O '⊥平面BCDE ,所以A H CD '⊥, 所以A HO '∠为二面角A CD B '--的平面角.结合图1可知,H 为AC 中点,故2OH =,从而2AH '== 所以cos OH A HO A H '∠=='所以二面角A CD '--.向量法:以O 点为原点,建立空间直角坐标系O xyz -则(A ',()0,3,0C -,()1,2,0D -所以(CA '=,(1,DA '=- 设(),,n x y z =为平面A CD '的法向量,则00n CA n DA ⎧'⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩,即3020y x y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩,解得y x z =-⎧⎪⎨=⎪⎩,令1x =,得(1,n =- 由(Ⅰ) 知,(OA '=为平面CDB 的一个法向量,所以cos ,53n OA n OA n OA '⋅'===',即二面角A CD B '--的平面角的余弦值为5.7．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））如图, 四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABCD , AB //DC , AB ⊥AD , AD = CD = 1, AA 1 = AB = 2,E 为棱AA 1的中点.(Ⅰ) 证明B 1C 1⊥CE ;C D OBE'AH(Ⅱ) 求二面角B1-CE-C1的正弦值.(Ⅲ) 设点M在线段C1E上, 且直线AM与平面ADD1A1, 求线段AM的长.【答案】8．（2013年高考新课标1（理））如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=A A1,∠BA A1=60°.(Ⅰ)证明AB⊥A1C;(Ⅱ)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB=2,求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值.【答案】(Ⅰ)取AB 中点E,连结CE,1A B ,1A E,∵AB=1AA ,1BAA ∠=060,∴1BAA ∆是正三角形,∴1A E ⊥AB, ∵CA=CB, ∴CE⊥AB, ∵1CE A E ⋂=E,∴AB⊥面1CEA,∴AB⊥1AC ;(Ⅱ)由(Ⅰ)知EC⊥AB,1EA ⊥AB,又∵面ABC⊥面11ABB A ,面ABC∩面11ABB A =AB,∴EC⊥面11ABB A ,∴EC⊥1EA ,∴EA,EC,1EA 两两相互垂直,以E 为坐标原点,EA 的方向为x 轴正方向,|EA |为单位长度,建立如图所示空间直角坐标系O xyz -, 有题设知A(1,0,0),1A(0,,0),C(0,0,),B(-1,0,0),则BC1BB =1AA),1A C设n =(,,)x y z 是平面11CBB C 的法向量,则100BC BB ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩n n ,即0x x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩,可取n,1,-1), ∴1cos ,A C n =11|A C A C ∙n |n ||∴直线A 1C 与平面BB1C 1C9．（2013年高考陕西卷（理））如图, 四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形, O 为底面中心, A 1O ⊥平面ABCD, 1AB AA ==(Ⅰ) 证明: A 1C ⊥平面BB 1D 1D ;(Ⅱ) 求平面OCB 1与平面BB 1D 1D 的夹角θ的大小.1A【答案】解:(Ⅰ) BD O A ABCD BD ABCD O A ⊥∴⊂⊥11,,面且面 ;又因为,在正方形AB CD中,BD C A AC A C A AC A BD A AC O A BD AC ⊥⊂⊥=⋂⊥11111,，故面且面所以；且. 在正方形AB CD 中,AO = 1 . .111=∆O A OA A RT 中，在O E C A OCE A E D B 1111111⊥为正方形，所以，则四边形的中点为设. [来源:学_科_网]，所以由以上三点得且，面面又O O BD D D BB O D D BB BD =⋂⊂⊂111111E .E ,D D BB C A 111面⊥.(证毕)(Ⅱ) 建立直角坐标系统,使用向量解题.以O 为原点,以OC 为X 轴正方向,以OB 为Y 轴正方向.则)1,0,1()1,1,1(),100(),001(,0,1,0111-=⇒A B A C B ，，，，）（.由(Ⅰ)知, 平面BB 1D 1D 的一个法向量.0,0,1),1,1,1(),1,0,1(111）（==-==OB A n 设平面OCB 1的法向量为，则0,0,2122=⋅=⋅n OB n n ).1-,1,0(法向量2=n 为解得其中一个21221|||,cos |cos 212111=⋅=⋅=><=n n n n θ. 所以,平面OCB 1与平面BB 1D 1D 的夹角θ为3π1A10．（2013年高考江西卷（理））如图,四棱锥P A B-中,PA ,ABCD E BD ⊥平面为的中点,G PD 为的中点，3,12DAB DCB EA EB AB PA ∆≅∆====，,连接CE 并延长交AD 于F . (1) 求证:AD CFG ⊥平面;(2) 求平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值.【答案】解:(1)在ABD ∆中,因为E 是BD 的中点,所以1EA EB ED AB ====,故,23BAD ABE AEB ππ∠=∠=∠=,因为DAB DCB ∆≅∆,所以EAB ECB ∆≅∆, 从而有FED FEA ∠=∠,故,EF AD AF FD ⊥=,又因为,PG GD =所以FG ∥PA . 又PA ⊥平面ABCD ,所以,GF AD ⊥故AD ⊥平面CFG .(3) 以点A 为坐标原点建立如图所示的坐标系,则3(0,0,0),(1,0,0),(2A B C D ,(4)3(0,0,)2P ,故133333(0),(,),(2222BC CP CD ==--=-，，，设平面BCP 的法向量111(1,,)n y z =,则11110233022y y z ⎧=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩ ,解得1123y z ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,即12(1,)3n =. 设平面DCP 的法向量222(1,,)n y z =,则2223233022y y z ⎧-=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩,解得222y z ⎧=⎪⎨=⎪⎩,即2n =.从而平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值为12124cos 416n n n n θ⋅===. 11．（2013年高考四川卷（理））如图,在三棱柱11ABC A B C -中,侧棱1AA ⊥底面ABC ,12AB AC AA ==,120BAC ∠=,1,D D 分别是线段11,BC B C 的中点,P 是线段AD 的中点.[来源:学,科,网](Ⅰ)在平面ABC 内,试作出过点P 与平面1A BC 平行的直线l ,说明理由,并证明直线l ⊥平面11ADD A ;(Ⅱ)设(Ⅰ)中的直线l 交AB 于点M ,交AC 于点N ,求二面角1A A M N --的余弦值.1C【答案】解:()I 如图,在平面ABC 内,过点P 做直线l //BC ,因为l 在平面1A BC 外,BC 在平面1A BC 内,由直线与平面平行的判定定理可知, l //平面1A BC .由已知,AB AC =,D 是BC 的中点,所以,BC AD ⊥,则直线l AD ⊥.因为1AA ⊥平面ABC ,所以1AA ⊥直线l .又因为1,AD AA 在平面11ADD A 内,且AD 与1AA 相交,所以直线平面11ADD A()II 解法一:连接1A P ,过A 作1AE A P ⊥于E ,过E 作1EF A M ⊥于F ,连接AF . 由()I 知,MN ⊥平面1AEA ,所以平面1AEA ⊥平面1A MN . 所以AE ⊥平面1A MN ,则1A M AE ⊥. 所以1A M ⊥平面AEF ,则1A M ⊥AF .故AFE ∠为二面角1A A M N --的平面角(设为θ).设11AA =,则由12AB AC AA ==,120BAC ∠=,有60BAD ∠=,2,1AB AD ==. 又P 为AD 的中点,所以M 为AB 的中点,且1,12AP AM ==, 在1Rt AA P 中, 12A P =;在1Rt A AM中, 1AM =从而,11AA AP AE A P ∙==11AA AM AF A M ∙==,所以sin AE AF θ==.所以cos θ===. 故二面角1A A M N --解法二:设11AA =.如图,过1A 作1A E 平行于11B C ,以1A 为坐标原点,分别以111,A E A D ,1AA 的方向为x 轴,y 轴,z 轴的正方向,建立空间直角坐标系Oxyz (点O 与点1A 重合).则()10,0,0A ,()0,0,1A .因为P 为AD 的中点,所以,M N 分别为,AB AC 的中点,故11,1,,12222M N ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以131,12A M ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭,()10,0,1A A =,()3,0,0NM =.设平面1AA M 的一个法向量为()1111,,n x y z =,则1111,,n A M n A A ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩即11110,0,n A M n A A ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩故有 ()()()1111111,,,10,22,,0,0,10,x y z x y z ⎧⎛⎫∙=⎪⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪∙=⎩ 从而111110,20.y z z ++=⎪=⎩取11x =,则1y =所以()11,n =. 设平面1A MN 的一个法向量为()2222,,n x y z =,则212,,n A M n NM ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩即2120,0,n A M n NM ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩故有()())2222221,,,10,2,,0,x y z x y z ⎧⎫∙=⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪∙=⎪⎩从而222210,220.x y z ++=⎨⎪=⎩取22y =,则21z =-,所以()20,2,1n =-. 设二面角1A A M N --的平面角为θ,又θ为锐角,则1212cos 5n n n n θ∙===∙.故二面角1A A M N -- 12．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））本小题满分10分.如图,在直三棱柱111A B C ABC -中,AC AB ⊥,2==AC AB ,41=AA ,点D 是BC 的中点 (1)求异面直线B A 1与D C1所成角的余弦值 (2)求平面1ADC 与1ABA 所成二面角的正弦值.【答案】本题主要考察异面直线.二面角.空间向量等基础知识以及基本运算,考察运用空间向量解决问题的能力.解:(1)以{}1,,AA 为为单位正交基底建立空间直角坐标系xyz A -,则)0,0,0(A )0,0,2(B ,)0,2,0(C ,)4,0,0(1A ,)0,1,1(D ,)4,2,0(1C ∴)4,0,2(1-=B A ,)4,1,1(1--=B A∴10103182018,cos 11==>=<C A ∴异面直线B A 1与D C 1所成角的余弦值为10103 (2))0,2,0(=AC 是平面1ABA 的的一个法向量设平面1ADC 的法向量为),,(z y x m =,∵)0,1,1(=AD ,)4,2,0(1=AC 由1,AC ⊥⊥ ∴⎩⎨⎧=+=+0420z y y x 取1=z ,得2,2=-=x y ,∴平面1ADC 的法向量为)1,2,2(-=设平面1ADC 与1ABA 所成二面角为θ∴32324,cos cos =⨯-==><=m AC θ, 得35sin =θ ∴平面1ADC 与1ABA 所成二面角的正弦值为3513．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））如图,四棱锥P ABCD-中,902,ABC BAD BC AD PAB ∠=∠==∆，与PAD ∆都是等边三角形. (I)证明:;PB CD ⊥ (II)求二面角A PD C --的大小.【答案】14．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））如图所示,在三棱锥P ABQ -中,PB ⊥平面ABQ ,BA BP BQ ==,,,,D C E F 分别是,,,AQ BQ AP BP 的中点,2AQ BD =,PD 与EQ 交于点G ,PC 与FQ 交于点H ,连接GH .(Ⅰ)求证:AB GH ; (Ⅱ)求二面角D GH E --的余弦值. 【答案】解:(Ⅰ)证明:因为,,,D C E F 分别是,,,AQ BQ AP BP 的中点,所以EF ∥AB ,DC ∥AB ,所以EF ∥DC ,又EF ⊂平面PCD ,DC ⊂平面PCD ,所以EF ∥平面PCD ,又EF ⊂平面EFQ ,平面EFQ平面PCD GH =,所以EF ∥GH ,又EF ∥AB ,所以AB ∥GH . (Ⅱ)解法一:在△ABQ 中, 2AQ BD =,AD DQ =,所以=90ABQ ∠,即AB BQ ⊥,因为PB ⊥平面ABQ ,所以AB PB ⊥,又BP BQ B =,所以AB ⊥平面PBQ ,由(Ⅰ)知AB ∥GH ,所以GH ⊥平面PBQ ,又FH ⊂平面PBQ ,所以GH FH ⊥,同理可得GH HC ⊥,所以FHC ∠为二面角D GH E --的平面角,设2BA BQ BP ===,连接PC ,在t R △FBC 中,由勾股定理得,FC =在t R △PBC 中,由勾股定理得,PC =又H 为△PBQ 的重心,所以133HC PC == 同理3FH =,在△FHC 中,由余弦定理得552499cos 5529FHC +-∠==-⨯,即二面角D GH E --的余弦值为45-. 解法二:在△ABQ 中,2AQ BD =,AD DQ =,所以90ABQ ∠=,又PB ⊥平面ABQ ,所以,,BA BQ BP 两两垂直,以B 为坐标原点,分别以,,BA BQ BP 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设2BA BQ BP ===,则(1,0,1)E ,(0,0,1)F ,(0,2,0)Q ,(1,1,0)D ,(0,1,0)C (0,0,2)P ,,所以(1,2,1)EQ =--,(0,2,1)FQ =-,(1,1,2)DP =--,(0,1,2)CP =-,设平面EFQ 的一个法向量为111(,,)m x y z =,由0m EQ ⋅=,0m FQ ⋅=,得111112020x y z y z -+-=⎧⎨-=⎩取11y =,得(0,1,2)m =.设平面PDC 的一个法向量为222(,,)n x y z =由0n DP ⋅=,0n CP ⋅=,得222222020x y z y z --+=⎧⎨-+=⎩取21z =,得(0,2,1)n =.所以4cos ,5m n m n m n ⋅==因为二面角D GH E --为钝角,所以二面角D GH E --的余弦值为45-.15．（2013年高考湖南卷（理））如图5,在直棱柱1111//ABCD A B C D AD BC -中，,90,,1BAD AC BD BC ∠=⊥=,13AD AA ==.(I)证明:1AC B D ⊥; (II)求直线111B C ACD 与平面所成角的正弦值.【答案】解:(Ⅰ) AC BB ABCD BD ABCD BB D C B A ABCD ⊥⇒⊂⊥∴-111111,面且面是直棱柱D B AC BDB D B BDB AC B BB BD BD AC 11111,,⊥∴⊂⊥∴=⋂⊥，面。

高考数学立体几何试题及解析

高考数学立体几何（文科）试题一、选择题1 ．（2013年高考重庆卷（文8））某几何体的三视图如题(8)所示,则该几何体的表面积为（）A．180B．200C．220D．240【答案】D【解析】本题考查三视图以及空间几何体的表面积公式。

由三视图可知该几何体是个四棱柱。

棱柱的底面为等腰梯形，高为10.等腰梯形的上底为2，下底为8，高为4，腰长为5。

所以梯形的面积为284202+⨯=，梯形的周长为282520++⨯=。

所以四棱柱的表面积为2022010240⨯+⨯=，选D.2 ．（2013年高考课标Ⅱ卷（文9））一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz-中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为（）(A) (B) (C) (D)【答案】A【解析】在空间直角坐标系中，先画出四面体O ABC-的直观图，以zOx平面为投影面，则得到正视图(坐标系中红色部分),所以选A.3 ．（2013年高考课标Ⅰ卷（文11））某几何函数的三视图如图所示,则该几何的体积为（）A ．168π+B ．88π+C ．1616π+D ．816π+ 【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体的下部分是平放的半个圆柱，圆柱的底面半径为2,圆柱的高为4。

上部分是个长方体，长方体的棱长分别为2,2,4.所以半圆柱的体积为212482ππ⨯⨯⨯=，正方体的体积为22416⨯⨯=，所以该几何体的体积为168π+，选A.4 ．（2013年高考大纲卷（文11））已知正四棱锥1111112,ABCD A B C D AA AB CD BDC -=中，则与平面所成角的正弦值等于（）A ．23B ．33C ．23D ．13【答案】A【解析】如图，因为BD ⊥平面ACC 1A 1，所以平面ACC 1A 1⊥平面BDC 1，在Rt △CC 1O 中，过C 作CH⊥C 1O 于H ，连结DH ，则∠CDH 即为所求，令a AB =，显然222222223324()22a aa CH a a a a ⨯===+，所以223sin 3aCDH a ∠==，故选A.5 ．（2013年高考四川卷（文2））一个几何体的三视图如图所示,则该几何体可以是（）A ．棱柱B ．棱台C ．圆柱D ．圆台【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体为圆台. 6 ．（2013年高考浙江卷（文5））已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是（）A ．108cm 3B ．100 cm 3C ．92cm 3D ．84cm 3【答案】B【解析】此图的直观图是一个底面边长为6和3，高为6的长方体截去一个角，对应三棱锥的的三条侧棱上分别为3,4,4.如图。

2013年高考数学试题分类汇编——立体几何

2013高考数学试题分类汇编——立体几何一、选择题1、（2010浙江理数）（6）设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（A ）若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ （B ）若l α⊥，l m //，则m α⊥ （C ）若l α//，m α⊂，则l m // （D ）若l α//，m α//，则l m //解析：选B ，可对选项进行逐个检查。

本题主要考察了立体几何中线面之间的位置关系及其中的公理和判定定理，也蕴含了对定理公理综合运用能力的考察，属中档题2、（2010全国卷2理数）（11）与正方体1111ABCD A B C D -的三条棱AB 、1CC 、11A D 所在直线的距离相等的点（A ）有且只有1个（B ）有且只有2个（C ）有且只有3个（D ）有无数个【答案】D【解析】直线上取一点，分别作垂直于于则分别作，垂足分别为M ，N ，Q ，连PM ，PN ，PQ ，由三垂线定理可得，PN ⊥PM ⊥；PQ ⊥AB ，由于正方体中各个表面、对等角全等，所以，∴PM=PN=PQ ，即P 到三条棱AB 、CC 1、A 1D 1.所在直线的距离相等所以有无穷多点满足条件，故选D.3、（2010全国卷2理数）（9）已知正四棱锥S ABCD -中，SA =，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（A ）1 （B （C ）2 （D ）3 【答案】C【命题意图】本试题主要考察椎体的体积，考察告辞函数的最值问题.【解析】设底面边长为a ，则高所以体积，设，则，当y 取最值时，，解得a=0或a=4时，体积最大，此时，故选C.4、（2010陕西文数） 8.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 [B]（A ）2 （B ）1（C ）23（D ）13解析：本题考查立体图形三视图及体积公式如图，该立体图形为直三棱柱所以其体积为122121=⨯⨯⨯5、（2010辽宁文数）（11）已知,,,S A B C 是球O 表面上的点，SA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，1SA AB ==，BC =O 的表面积等于（A ）4π （B ）3π （C ）2π （D ）π解析：选A.由已知，球O 的直径为22R SC ==，∴表面积为244.R ππ=6、（2010辽宁理数）(12) (12)有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a 的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a 的取值范围是(A)（(B)（1,(D) （0,221【答案】A【命题立意】本题考查了学生的空间想象能力以及灵活运用知识解决数学问题的能力。

2013高考立体几何试题经典汇编OK

高考立体几何试题汇编1. 如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，侧棱⊥PD 底面ABCD ，DC PD =，E 是PC 的中点，作PB EF ⊥交PB 于点F 。

(I)证明 ∥PA 平面EDB ；(II)证明⊥PB 平面EFD ；(III)求二面角D -PB -C 的大小。

2、如图，在长方体1111ABC D A B C D -中，E 、F 分别是棱B C ,1C C 上的点，2C F A B C E ==,1::1:2:4AB AD AA =（1）求异面直线E F 与1A D 所成角的余弦值；（2）证明A F ⊥平面A E D （3）求二面角1A ED F --的正弦值。

3、如图，在五面体ABC D EF 中， F A ⊥平面A B C D , AD//BC//FE ，AB ⊥AD ，M 为EC 的中点，AF=AB=BC=FE=12AD （Ⅰ）求异面直线BF 与DE 所成的角的大小；（Ⅱ）证明平面AMD ⊥平面CDE ；（Ⅲ）求二面角A-CD-E 的余弦值。

如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形.已知 60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB .（Ⅰ）证明⊥AD 平面PAB ；（Ⅱ）求异面直线PC 与AD 所成的角的大小；（Ⅲ）求二面角A BD P --的大小.5、如图，在五面体A B C D E F 中，点O 是矩形A B C D 的对角线的交点，面C D E 是等边三角形，棱//12E F B C =．（1）证明F O //平面C D E ；（2）设BC D =，证明E O ⊥平面C D F ．6、如图，在四棱锥P ABC D -中，PA ⊥底面,,,60,ABC D AB AD AC C D ABC ⊥⊥∠=︒,P A A B B C ==E 是P C 的中点.(I)证明：C D AE ⊥；(II)证明：PD ⊥平面ABE ；(III)求二面角A PD C --的大小.A P E C D。

2013年高考理科数学分类汇编——立体几何

2013年高考理科数学试题分类汇编——立体几何一、选择题1、错误！未指定书签。

（2013年新课标1理）如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为（）A ．35003cm πB ．38663cm πC ．313723cm πD ．320483cm π 【答案】A2、（2013年广东理）设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是（）A ．若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥B ．若//αβ,m α⊂,n β⊂,则//m nC ．若m n ⊥,m α⊂,n β⊂,则αβ⊥D ．若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥【答案】D3、（2013年上海市春季）若两个球的表面积之比为1:4,则这两个球的体积之比为（）A ．1:2B ．1:4C ．1:8D ．1:16【答案】C错误！未指定书签。

4、（2013年大纲版理）已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中12AA AB =,则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于（）A ．23B ．33C ．23D ．13【答案】A5、（2013年高考新课标1（理））某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（）A ．168π+B ．88π+C ．1616π+D ．816π+【答案】A6、（2013年高考湖北卷（理））一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几何体组成,其体积分别记为1V ,2V ,3V ,4V ,上面两个简单几何体均为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体,则有（）A ．1243V V V V <<<B ．1324V V V V <<<C ．2134V V V V <<<D ．2314V V V V <<<【答案】C7、（2013年湖南理）已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能等于（）A ．1B ．2C ．2-12D ．2+12【答案】C8、（2013年广东理）某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是（）A ．4B ．143C ．163D ．6【答案】B9、（2013年新课标Ⅱ卷理）已知n m ,为异面直线,⊥m 平面α,⊥n 平面β.直线l 满足,,,l m l n l l αβ⊥⊥⊄⊄,则（）A ．βα//,且α//lB ．βα⊥,且β⊥lC ．α与β相交,且交线垂直于lD ．α与β相交,且交线平行于l【答案】D12 211正视图俯视图侧视图第5题图10、（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直,体积为94,底面是边长为3的正三角形.若P 为底面111A B C 的中心,则PA 与平面ABC 所成角的大小为（）A ．512πB ．3πC ．4πD ．6π【答案】B11、（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））某几何体的三视图如题()5图所示,则该几何体的体积为（）A ．5603B ．5803C ．200D ．240【答案】C12、（2013年辽宁理）已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上,若34AB AC ==，,AB AC ⊥,112AA =,则球O 的半径为（）A ．3172B ．210C ．132D ．310【答案】C13、（2013年江西理））如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB CD ,正方体的六个面所在的平面与直线CE,EF 相交的平面个数分别记为,m n ,那么m n +=（）A ．8B ．9C ．10D ．11【答案】A14、（2013年新课标Ⅱ卷（理）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx 平面为投影面,则得到正视图可以为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A15、（2013年安徽理）在下列命题中,不是公理的是（）A ．平行于同一个平面的两个平面相互平行B ．过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面C ．如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内D ．如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么他们有且只有一条过该点的公共直线【答案】A16、（2013年浙江理）在空间中,过点A 作平面π的垂线,垂足为B ,记)(A f B π=.设βα,是两个不同的平面,对空间任意一点P ,)]([)],([21P f f Q P f f Q βααβ==,恒有21PQ PQ =,则（）A ．平面α与平面β垂直B ．平面α与平面β所成的(锐)二面角为045C ．平面α与平面β平行D ．平面α与平面β所成的(锐)二面角为060【答案】A17、（2013年高考四川卷（理））一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是（）【答案】D二、填空题1、（2013年高考上海卷（理））在xOy 平面上,将两个半圆弧22(1)1(1)x y x -+=≥和22(3)1(3)x y x -+=≥、两条直线1y = 和1y =-围成的封闭图形记为D,如图中阴影部分.记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω,过(0,)(||1)y y ≤作Ω的水平截面,所得截面面积为2418y ππ-+,试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体,得出Ω的体积值为__________【答案】2216ππ+.2、（2013年陕西理）某几何体的三视图如图所示, 则其体积为________.1121 【答案】3π 3、（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆,其公共弦长等于球O 的半径,32OK =,且圆O 与圆K 所在的平面所成的一个二面角为60,则球O 的表面积等于______.【答案】16π4、（2013年高考北京卷（理））如图,在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E 为BC 的中点,点P 在线段D 1E 上,点P 到直线CC 1的距离的最小值为__________.【答案】 255 5、（2013年江苏）如图,在三棱柱ABC C B A -111中,F E D ，，分别是1AA AC AB ，，的中点,设三棱锥ADE F -的体积为1V ,三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ,则=21:V V ____________.1D 1B P D1C C E B A1A【答案】1:246、（2013年浙江理）若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积等于________2cm .【答案】247、（2013年安徽理）如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,P 为BC 的中点,Q 为线段1CC 上的动点,过点A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是 (写出所有正确命题的编号).①当102CQ <<时,S 为四边形;②当12CQ =时,S 为等腰梯形;③当34CQ =时,S 与11C D 的交点R 满足1113C R =;④当314CQ <<时,S 为六边形;⑤当1CQ =时,S 的面积为62. 【答案】①②③⑤8、（2013年辽宁理）某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是____________. 4323 3正视图侧视图俯视图（第12题图） A BC AD E FBC9、（2013年福建理）已知某一多面体内接于一个简单组合体,如果该组合体的正视图.测试图.俯视图均如图所示,且图中的四边形是边长为2的正方形,则该球的表面积是_______【答案】12π10、（2013年上海市春季）在如图所示的正方体1111ABCD A B C D -中,异面直线1A B 与1B C 所成角的大小为_______【答案】3π 三、解答题1、（2013年辽宁理）如图,AB 是圆的直径,PA 垂直圆所在的平面,C 是圆上的点.(I)求证:PAC PBC ⊥平面平面；(II)2.AB AC PA C PB A ===--若，1，1，求证：二面角的余弦值D 1C 1 B 1 A 1DC AB2、（2013年重庆理）如图,四棱锥P ABCD -中,PA ABCD ⊥底面, 2,4,3BC CD AC ACB ACD π===∠=∠=,F 为PC 的中点,AF PB ⊥.(1)求PA 的长; (2)求二面角B AF D --的正弦值.错误！未指定书签。

2013高考真题专题汇编立体几何文师

立体几何一、选择题1 ．（2013年高考重庆卷（文））某几何体的三视图如题(8)所示,则该几何体的表面积为（）A ．180B ．200C ．220D ．240【答案】D2 ．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx 平面为投影面,则得到正视图可以为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A3 ．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））某几何函数的三视图如图所示,则该几何的体积为（）A ．168π+B ．88π+C ．1616π+D ．816π+【答案】A4 ．（2013年高考大纲卷（文））已知正四棱锥1111112,ABCD A B C D AA AB CD BDC -=中，则与平面所成角的正弦值等于（）A ．23 B ．3 C ．2 D ．13【答案】A 5 ．（2013年高考四川卷（文））一个几何体的三视图如图所示,则该几何体可以是（）A ．棱柱B ．棱台C ．圆柱D ．圆台【答案】D6 ．（2013年高考浙江卷（文））已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是（）A ．108cm 3B ．100 cm 3C ．92cm 3D ．84cm 3【答案】B7 ．（2013年高考北京卷（文））如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,P 为对角线1BD 的三等分点,则P 到各顶点的距离的不同取值有（）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个第二部分(非选择题共110分) 【答案】B8 ．（2013年高考广东卷（文））某三棱锥的三视图如图2所示,则该三棱锥的体积是图 21俯视图侧视图正视图21（）A ．16 B ．13C ．23D ．1【答案】B9 ．（2013年高考湖南（文））已知正方体的棱长为1,其俯视图是一个面积为1的正方形,侧视图是一个面积为2的矩形,则该正方体的正视图的面积等于______（）A 3B ．1C 21+D 2【答案】D10．（2013年高考浙江卷（文））设m.n 是两条不同的直线,α.β是两个不同的平面,（）A ．若m∥α,n∥α,则m∥nB ．若m∥α,m∥β,则α∥βC ．若m∥n,m⊥α,则n⊥αD ．若m∥α,α⊥β,则m⊥β【答案】C11．（2013年高考辽宁卷（文））已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上,若34AB AC ==，,AB AC ⊥,112AA =,则球O 的半径为（）A 317B ．10C ．132D ．3101D1BPD 1CCBA1A【答案】C12．（2013年高考广东卷（文））设l 为直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是（）A ．若//l α,//l β,则//αβB ．若l α⊥,l β⊥,则//αβC ．若l α⊥,//l β,则//αβD ．若αβ⊥,//l α,则l β⊥【答案】B13．（2013年高考山东卷（文））一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正(主)视图如右图所示该四棱锥侧面积和体积分别是（）A ．45,8B ．845,3C ．84(51),3+ D ．8,8【答案】B14．（2013年高考江西卷（文））一几何体的三视图如右所示,则该几何体的体积为（）A ．200+9πB ．200+18πC ．140+9πD ．140+18π【答案】A二、填空题15．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））已知正四棱锥O-ABCD 的体积为,底面边长为,则以O 为球心,OA 为半径的球的表面积为________.【答案】24π16．（2013年高考湖北卷（文））我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水. 天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸. 若盆中积水深九寸,则平地降雨量是__________寸.(注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸)【答案】317．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））已知H是球O的直径AB上一点,:1:2AH HB=,AB⊥平面α,H为垂足,α截球O所得截面的面积为π,则球O的表面积为_______.【答案】92π;18,该四棱锥的体积为__________.【答案】319．（2013年高考陕西卷（文））某几何体的三视图如图所示, 则其表面积为________.【答案】π320．（2013年高考大纲卷（文））已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆,其公共弦长等于球O的半径,3602OK O K=，且圆与圆所在的平面所成角为，则球O的表面积等于______.【答案】16π21．（2013年上海高考数学试题（文科））已知圆柱Ω的母线长为l,底面半径为r,O是上地面圆心,A、B是下底面圆周上两个不同的点,BC是母线,如图.若直线OA与BC所成角的大小为π6,则1r=________.322．（2013年高考天津卷（文））已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为92π, 则正方体的棱长为 ______.【答案】323．（2013年高考辽宁卷（文））某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是____________.1俯视图侧（左）视图正（主）视图2 1 1 2【答案】1616π-24．（2013年高考江西卷（文））如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB//CD,则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为_____________.【答案】425．（2013年高考安徽（文））如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,P 为BC 的中点,Q 为线段1CC 上的动点,过点,,A P Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ,则下列命题正确的是__________(写出所有正确命题的编号).①当102CQ <<时,S 为四边形;②当12CQ =时,S 为等腰梯形;③当34CQ =时,S 与11C D 的交点R 满足113C R =;④当314CQ <<时,S 为六边形;⑤当1CQ =时,S 的面积为62.【答案】①②③⑤ 三、解答题26．（2013年高考辽宁卷（文））如图,.AB O PA O C O 是圆的直径，垂直圆所在的平面，是圆上的点(I)求证:BC PAC ⊥平面；(II)设//.Q PA G AOC QG PBC ∆为的中点，为的重心，求证：平面【答案】27．（2013年高考浙江卷（文））如图,在在四棱锥P-ABCD 中,PA⊥面ABCD,AB=BC=2,AD=CD=7,PA=3,∠ABC=120°,G 为线段PC 上的点. (Ⅰ)证明:BD⊥面PAC ;(Ⅱ)若G 是PC 的中点,求DG 与APC 所成的角的正切值; (Ⅲ)若G 满足PC⊥面BGD,求PGGC的值.【答案】解:证明:(Ⅰ)由已知得三角形ABC是等腰三角形,且底角等于30°,且6030AB CB AD CD ABD CBD ABD CBD BAC BD DB =⎫⎪=⇒∆≅∆⇒∠=∠=∠=⎬⎪=⎭且,所以;、BD AC ⊥,又因为PA ABCD BD PA BD PAC BD AC ⊥⇒⊥⎫⇒⊥⎬⊥⎭;(Ⅱ)设ACBD O =,由(1)知DO PAC⊥,连接GO ,所以DG 与面APC所成的角是DGO ∠,由已知及(1)知:1,3732BO AO CO DO ===∴=-=,11243tan 3122332OD GO PA DGO GO ==⇒∠===,所以DG 与面APC 所成的角的正切值是433; (Ⅲ)由已知得到:2231215PCPA AC =+=+=,因为PC BGD PC GD ⊥∴⊥,在PDC ∆中,3710,7,15PD CD PC =+===,设2232315107(15)15,15552PG PG x CG x x x PG x GC GC =∴=-∴-=--∴===∴=28．（2013年高考陕西卷（文））如图, 四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形, O 为底面中心, A 1O ⊥平面ABCD , 12AB AA==.OD 1B 1C 1D ACBA 1(Ⅰ) 证明: A 1BD // 平面CD 1B 1; (Ⅱ) 求三棱柱ABD -A 1B 1D 1的体积.【答案】解: (Ⅰ) 设111O D B 线段的中点为.11111111//D B BD D C B A ABCD D B BD ∴-的对应棱是和 .的对应线段是棱柱和同理，111111D C B A ABCD O A AO -为平行四边形四边形且且11111111//////OCO A OC O A OC O A OC AO O A AO ⇒=⇒∴ 1111111111//,.//B CD BD A O D B C O O BD O A C O O A 面面且⇒==⇒ .(证毕)(Ⅱ) 的高是三棱柱面ABD D B A O A ABCD O A -∴⊥11111 . 在正方形AB CD 中,AO = 1 . .111=∆O A OA A RT 中，在11)2(2121111111=⋅⋅=⋅=-∆-O A S V ABD D B A ABD ABD D B A 的体积三棱柱. 所以,1111111=--ABD D B A V ABD D B A 的体积三棱柱.29．（2013年高考福建卷（文））如图,在四棱锥P ABCD-中,PD ABCD ⊥面,//AB DC ,AB AD ⊥,5BC =,3DC =,4AD =,60PAD ∠=.(1)当正视图方向与向量AD 的方向相同时,画出四棱锥P ABCD -的正视图.(要求标出尺寸,并画出演算过程);(2)若M 为PA 的中点,求证://DM PBC 面; (3)求三棱锥D PBC -的体积.【答案】解法一:(Ⅰ)在梯形ABCD 中,过点C 作CE AB ⊥,垂足为E ,由已知得,四边形ADCE 为矩形,3AE CD == 在Rt BEC ∆中,由5BC =,4CE =,依勾股定理得: 3BE =,从而6AB =又由PD ⊥平面ABCD 得,PD AD ⊥从而在Rt PDA ∆中,由4AD =,60PAD ∠=︒,得43PD = 正视图如右图所示:(Ⅱ)取PB 中点N ,连结MN ,CN 在PAB ∆中,M 是PA 中点,∴MN AB ,132MN AB ==,又CD AB ,3CD = ∴MN CD ,MN CD =∴四边形MNCD 为平行四边形,∴DM CN 又DM ⊄平面PBC ,CN ⊂平面PBC ∴DM 平面PBC(Ⅲ)13D PBC P DBC DBC V V S PD --∆==⋅又6PBC s ∆=,43PD =,所以83D PBC V -= 解法二:(Ⅰ)同解法一(Ⅱ)取AB 的中点E ,连结ME ,DE 在梯形ABCD 中,BE CD ,且BE CD =∴四边形BCDE 为平行四边形∴DE BC ,又DE ⊄平面PBC ,BC ⊂平面PBC ∴DE 平面PBC ,又在PAB ∆中,ME PBME ⊄平面PBC ,PB ⊂平面PBC ∴ME 平面PBC .又DE ME E =,∴平面DME 平面PBC ,又DM ⊂平面DME ∴DM 平面PBC(Ⅲ)同解法一30．（2013年高考广东卷（文））如图4,在边长为1的等边三角形ABC 中,,D E 分别是,AB AC 边上的点,AD AE =,F 是BC 的中点,AF 与DE 交于点G ,将ABF ∆沿AF 折起,得到如图5所示的三棱锥A BCF -,其中22BC =. (1) 证明:DE //平面BCF ; (2) 证明:CF ⊥平面ABF ; (3) 当23AD =时,求三棱锥F DEG -的体积F DEG V -.图 4GEF ABCD图 5DGBFCAE【答案】(1)在等边三角形ABC 中,AD AE=AD AEDB EC ∴=,在折叠后的三棱锥A BCF -中也成立,//DE BC ∴ ,DE ⊄平面BCF ,BC ⊂平面BCF ,//DE ∴平面BCF ;(2)在等边三角形ABC 中,F 是BC 的中点,所以AF BC ⊥①,12BF CF ==.在三棱锥A BCF -中,22BC =,222BC BF CF CF BF ∴=+∴⊥②BF CF F CF ABF ⋂=∴⊥平面;(3)由(1)可知//GE CF ,结合(2)可得GE DFG ⊥平面.1111113133232333F DEG E DFGV V DG FG GF --⎛⎫∴==⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭31．（2013年高考湖南（文））如图2.在直菱柱ABC-A 1B 1C 1中,∠BAC=90°,AB=AC=,AA 1=3,D 是BC 的中点,点E 在菱BB 1上运动.(I) 证明:AD⊥C 1E;(II) 当异面直线AC,C 1E 所成的角为60°时,求三菱子C 1-A 2B 1E 的体积.【答案】解: (Ⅰ) 11C CBB ADE 面为动点，所以需证因为⊥.AD BB ABC AD ABC BB C B A ABC ⊥⇒⊂⊥∴-11111,面且面是直棱柱AD BC BC D ABC RT ⊥∴∆的中点，为是等腰直角且又 ..1111111E C AD C CBB E C C CBB AD B BB BC ⊥⇒⊂⊥⇒=⋂面且面由上两点，且(证毕)(Ⅱ)660,//111111=∆⇒︒=∠∴AE E C A RT E C A A C CA 中，在 .的高是三棱锥是直棱柱中，在1111111111.2C B A E EB C B A ABC EB E B A RT -∴-=∆⇒ ..3232213131111111111111的体积为所以三棱锥E B A C EB S V V C B A C B A E E B A C -⋅=⋅⋅=⋅⋅==∆-- 32．（2013年高考北京卷（文））如图,在四棱锥P ABCD -中,//AB CD ,AB AD ⊥,2CD AB =,平面PAD ⊥底面ABCD ,PA AD ⊥,E 和F 分别是CD 和PC 的中点,求证:(1)PA ⊥底面ABCD ;(2)//BE 平面PAD ;(3)平面BEF ⊥平面PCD【答案】(I)因为平面PAD⊥平面ABCD,且PA 垂直于这个平面的交线AD 所以PA 垂直底面ABCD.(II)因为AB∥CD,CD=2AB,E 为CD 的中点所以AB∥DE,且AB=DE 所以ABED 为平行四边形,所以BE∥AD,又因为BE ⊄平面PAD,AD ⊂平面PAD 所以BE∥平面PAD.(III)因为AB⊥AD,而且ABED 为平行四边形所以BE⊥CD,AD⊥CD,由(I)知PA⊥底面ABCD, 所以PA⊥CD,所以CD⊥平面PAD所以CD⊥PD,因为E 和F 分别是CD 和PC 的中点所以PD∥EF,所以CD⊥EF,所以CD⊥平面BEF,所以平面BEF⊥平面PCD.33．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））如图,三棱柱111ABC A B C -中,CA CB =,1AB AA =,160BAA ∠=.(Ⅰ)证明:1AB AC ⊥; (Ⅱ)若2AB CB ==,16AC =,求三棱柱111ABC A B C -的体积.C 1B 1AA 1B C【答案】【答案】(I)取AB 的中点O,连接OC O 、1OA O 、1A B ,因为CA=CB,所以OC AB ⊥,由于AB=AA 1,∠BA A 1=600,故,AA B ∆为等边三角形,所以OA 1⊥AB.因为OC ⨅OA 1=O,所以AB ⊥平面OA 1C.又A 1CC 平面OA 1C,故AB ⊥AC. (II)由题设知12ABC AA B ∆∆与都是边长为的等边三角形，12AA B 都是边长为的等边三角形，所以22111113,6.OC OA AC AC OA OA OC =+⊥又，则，故111111111,-3-= 3.ABCABCOCAB O OA ABC OA ABC A B C ABC SA B C V SOA =⊥∆=⨯=因为所以平面，为棱柱的高，又的面积，故三棱柱ABC 的体积 34．（2013年高考山东卷（文））如图,四棱锥P ABCD-中,,AB AC AB PA ⊥⊥,,2AB CD AB CD =∥,,,,,E F G M N 分别为,,,,PB AB BC PD PC 的中点(Ⅰ)求证:CE PAD ∥平面;(Ⅱ)求证:EFG EMN ⊥平面平面【答案】35．（2013年高考四川卷（文））如图,在三棱柱11ABC A B C-中,侧棱1AA ⊥底面ABC ,122AB AC AA ===,120BAC ∠=,1,D D 分别是线段11,BC B C 的中点,P 是线段AD 上异于端点的点.(Ⅰ)在平面ABC 内,试作出过点P 与平面1A BC 平行的直线l ,说明理由,并证明直线l ⊥平面11ADD A ; (Ⅱ)设(Ⅰ)中的直线l 交AC 于点Q ,求三棱锥11A QC D -的体积.(锥体体积公式:13V Sh =,其中S 为底面面积,h 为高)【答案】解:(Ⅰ)如图,在平面ABC 内,过点P 作直线BC l //,因为l 在平面BC A 1外,BC 在平面BC A 1内,由直线与平面平行的判定定理可知,//l 平面1A BC .由已知,AC AB =,D 是BC 中点,所以BC ⊥AD ,则直线AD l ⊥, 又因为1AA ⊥底面ABC ,所以l AA ⊥1,又因为AD ,1AA 在平面11A ADD 内,且AD 与1AA 相交, 所以直线⊥l 平面11A ADD(Ⅱ)过D 作AC DE ⊥于E ,因为1AA ⊥平面ABC ,所以DE AA ⊥1,又因为AC ,1AA 在平面C C AA 11内,且AC 与1AA 相交,所以⊥DE 平面C C AA 11, 由2==AC AB ,∠BAC ︒=120,有1=AD ,∠DAC ︒=60, 所以在△ACD 中,2323==AD DE , 又1211111=⋅=∆AA C A S AQC ,所以631233131111111=⋅⋅=⋅==--QC A QC A D D QC A S DE V V 因此三棱锥11A QC D -的体积为6336．（2013年高考湖北卷（文））如图,某地质队自水平地面A ,B ,C 三处垂直向地下钻探,自A 点向下钻到A 1处发现矿藏,再继续下钻到A 2处后下面已无矿,从而得到在A 处正下方的矿层厚度为121A A d =.同样可得在B ,C 处正下方的矿层厚度分别为122B B d =,123C C d =,且123d d d <<. 过AB ,AC 的中点M ,N 且与直线2AA 平行的平面截多面体111222A B C A B C -所得的截面DEFG 为该多面体的一个中截面,其面积记为S 中. (Ⅰ)证明:中截面DEFG 是梯形;(Ⅱ)在△ABC 中,记BC a =,BC 边上的高为h ,面积为S . 在估测三角形ABC 区域内正下方的矿藏储量(即多面体111222A B C A B C -的体积V )时,可用近似公式V S h =⋅估中来估算. 已知1231()3V d d d S =++,试判断V 估与V 的大小关系,并加以证明.C 11BCAB 1D D 1PlQ E【答案】(Ⅰ)依题意12A A ⊥平面ABC ,12B B ⊥平面ABC ,12C C ⊥平面ABC ,所以A 1A 2∥B 1B 2∥C 1C 2. 又121A A d =,122B B d =,123C C d =,且123d d d << . 因此四边形1221A A B B 、1221A A C C 均是梯形.由2AA ∥平面MEFN ,2AA ⊂平面22AA B B ,且平面22AA BB平面MEFN ME =,可得AA 2∥ME ,即A 1A 2∥DE . 同理可证A 1A 2∥FG ,所以DE ∥FG . 又M 、N 分别为AB 、AC 的中点,则D 、E 、F 、G 分别为11A B 、22A B 、22A C 、11A C 的中点, 即DE 、FG 分别为梯形1221A A B B 、1221A A C C 的中位线.因此 12121211()()22DE A A B B d d =+=+,12121311()()22FG A A C C d d =+=+,而123d d d <<,故DE FG <,所以中截面DEFG 是梯形. (Ⅱ)V V <估. 证明如下:由12A A ⊥平面ABC ,MN ⊂平面ABC ,可得12A A MN ⊥. 而EM ∥A 1A 2,所以EM MN ⊥,同理可得FN MN ⊥. 由MN 是△ABC 的中位线,可得1122MN BC a ==即为梯形DEFG 的高, 因此13121231()(2)22228DEFG d d d d a aS S d d d ++==+⋅=++中梯形,即123(2)8ahV S h d d d =⋅=++估中. 又12S ah =,所以1231231()()36ahV d d d S d d d =++=++.于是1231232131()(2)[()()]6824ah ah ahV V d d d d d d d d d d -=++-++=-+-估. 由123d d d <<,得210d d ->,310d d ->,故V V <估.37．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））如图,直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,D,E 分别是AB,BB 1的中点.(1) 证明: BC 1//平面A 1CD;第20题图(2) 设AA 1= AC=CB=2,AB=2,求三棱锥C 一A 1DE 的体积.【答案】38．（2013年高考大纲卷（文））如图,四棱锥902,P ABCD ABC BAD BC AD PAB PAD -∠=∠==∆∆中，，与都是边长为2的等边三角形.(I)证明:;PB CD ⊥ (II)求点.A PCD 到平面的距离【答案】(Ⅰ)证明:取BC 的中点E,连结DE,则ABED 为正方形.过P 作PO⊥平面ABCD,垂足为O. 连结OA,OB,OD,OE.由PAB ∆和PAD ∆都是等边三角形知PA=PB=PD, 所以OA=OB=OD,即点O 为正方形ABED 对角线的交点, 故OE BD ⊥,从而PB OE ⊥. 因为O 是BD 的中点,E 是BC 的中点, 所以OE//CD.因此,PB CD ⊥.(Ⅱ)解:取PD 的中点F,连结OF,则OF//PB. 由(Ⅰ)知,PB CD ⊥,故OF CD ⊥.又122OD BD ==,222OP PD OD =-=, 故POD ∆为等腰三角形,因此,OF PD ⊥. 又PD CD D =,所以OF ⊥平面PCD.因为AE//CD,CD ⊂平面PCD,AE ⊄平面PCD,所以AE//平面PCD.因此,O 到平面PCD 的距离OF 就是A 到平面PCD 的距离,而112OF PB ==,所以A 至平面PCD 的距离为1.39．（2013年高考安徽（文））如图,四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的菱形,60BAD ∠=.已知2,6PB PD PA === .(Ⅰ)证明:PC BD ⊥(Ⅱ)若E 为PA 的中点,求三菱锥P BCE -的体积.【答案】解:(1)证明:连接,BD AC 交于O 点PB PD = PO BD ∴⊥又 ABCD 是菱形 BD AC ∴⊥而AC PO O ⋂= BD ∴⊥面PAC ∴BD ⊥PC (2) 由(1)BD ⊥面PAC︒⨯⨯⨯==45sin 3262121PAC PEC S S △△=32236=⨯⨯ 111132322P BEC B PEC PEC V V S BO --∆==⋅⋅=⨯⨯= 40．（2013年上海高考数学试题（文科））如图,正三棱锥O ABC -底面边长为2,高为1,求该三棱锥的体积及表面积.第19题图B【答案】41．（2013年高考天津卷（文））如图, 三棱柱ABC-A1B1C1中, 侧棱A1A⊥底面ABC,且各棱长均相等. D, E, F 分别为棱AB, BC, A1C1的中点.(Ⅰ) 证明EF//平面A1CD;(Ⅱ) 证明平面A1CD⊥平面A1ABB1;(Ⅲ) 求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值.【答案】42．（2013年高考重庆卷（文））(本小题满分12分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问7分)如题(19)图,四棱锥P ABCD -中,PA ⊥底面ABCD ,23PA =,2BC CD ==, 3ACB ACD π∠=∠=.(Ⅰ)求证:BD ⊥平面PAC ;(Ⅱ)若侧棱PC 上的点F 满足7PF FC =,求三棱锥P BDF -的体积.【答案】43．（2013年高考江西卷（文））如图,直四棱柱ABCD – A 1B 1C 1D 1中,AB//CD,AD ⊥AB,AB=2,AD=,AA 1=3,E 为CD 上一点,DE=1,EC=3(1) 证明:BE ⊥平面BB 1C 1C;(2) 求点B1 到平面EA 1C 1 的距离【答案】解.(1)证明:过B 作CD 的垂线交CD 于F,则1,2BF AD EF AB DE FC ===-==在Rt BFE BE Rt BFC BC ∆∆中，，中，在2229BCE BE BC EC ∆+中，因为＝＝,故BE BC ⊥ 由1111BB ABCD BE BB BE BB C C ⊥⊥⊥平面，得，所以平面(2)111111113A B C E A B C V AA S ∆-•三棱锥的体积＝11111Rt A D C AC ∆在中，,同理,1EC ，1EA因此11A C E S ∆=.设点B1到平面11EA C 的距离为d,则111B EAC -三棱锥的体积1113A EC V d S ∆••＝,d ==。

2013高考数学试题分类汇编：专题09 立体几何(解析版)

专题09 立体几何一、选择题：1. (山东省济南市2013年1月高三上学期期末理6)一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是2．(山东省淄博市2013届高三上学期期末理6)设,m n 是两条不同直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题正确的是 A ．//,////,//m n m n αβαβ且则 B ．,m n αβαβ⊥⊥⊥且，则m n ⊥C ．,,m n m n αβ⊥⊂⊥，则αβ⊥D ．,,//,//m n m n ααββ⊂⊂，则//αβ3．(山东省淄博市2013届高三上学期期末理9)一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形，若该几何体的所有顶点在同一球面上，则该球的表面积是A ．π12B ．π24C ．π32D ．π484. (山东省烟台市2013年1月高三上学期期末理4)一个几何体的三视图如下所示，则该几何体的表面积是A.6+B.12+C.12+D.18+5. (山东省烟台市2013年1月高三上学期期末理7)已知m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列命题：①若,//m αβα⊥，则αβ⊥；②若,m n αβ⊥⊥，且,m n ⊥则αβ⊥；③若,m β⊥//m α，则αβ⊥；④若//m α，//n β，且//m n ，则//αβ。

其中正确命题的序号是 A.①④B.②③C.②④D.①③6.（山东省泰安市2013年1月高三上学期期末理2）如图，若一个空间几何体的三视图中，正视图和侧视图都是直角三角形，其直角边均为1，则该几何体的体积为A.13B.12C.16D.17.（山东省泰安市2013年1月高三上学期期末理8）下列命题正确的是A.若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C.若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D.若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行8.（山东省济宁市2013届高三1月份期末测试理4）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A.13B.23C.1D.29.(山东省枣庄三中2013届高三上学期1月阶段测试理)已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，给出下列命题：①α∥β⇒l⊥m②α⊥β⇒l∥m③l∥m⇒α⊥β④l⊥m⇒α∥β其中正确命题的序号是A. ①②③B. ②③④C. ①③D. ②④10.(山东省枣庄三中2013届高三上学期1月阶段测试理)如图所示是以建筑物的三视图，现需将其外壁用油漆刷一遍，若每平方米用漆0.2k g，则共需油漆大约公斤数为（尺寸如图所示，单位：米π取3）A. 20B. 22.2 C . 111 D. 11011.(山东省青岛一中2013届高三1月调研理)设a b c ，，表示三条直线，,αβ表示两个平面，则下列命题中不正确的是（）A ． ββαα⊥⇒⎭⎬⎫⊥c c // B ． a b b c b c a ⊥⊂⎫⎬⎪⎭⎪⇒⊥ββ是在内的射影C ． ////b c b c c ααα⎫⎪⊂⇒⎬⎪⊄⎭D ． αα⊥⇒⎭⎬⎫⊥b a b a //12.(山东省师大附中2013届高三第四次模拟测试1月理)已知某几何体的三视图如图，其中正(主)视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为( )A ．3242π-B ．243π-C ．24π-D ．242π- 【答案】A【解析】由三视图可知该几何体是一个长方体去掉一个半圆柱。

2013年全国各省市高考真题——立体几何(带答案)

2013年全国各省市文科数学—立体几何1、2013四川文T2.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（）（A ）棱柱（B ）棱台（C ）圆柱（D ）圆台 2、2013新课标文T11.某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为（）（A ）168π+ （B ）88π+（C ）1616π+ （D ）816π+3、2013湖南文T7.已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是A ．4、2013江西文T8.一几何体的三视图如右所示，则该几何体的体积为A.200+9πB. 200+18πC. 140+9πD. 140+18π5、2013浙江文T5.已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是A 、108cm 3B 、100 cm 3C 、92cm 3D 、84cm 3图 2俯视图侧视图正视图 6、2013广东文T6．某三棱锥的三视图如图2所示，则该三棱锥的体积是 A ．16 B ．13 C ．23D ．17、2013新课标Ⅱ文T9.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为（）（A ） (B) (C) (D)8、2013重庆文T8.某几何体的三视图如题（8）所示，则该几何体的表面积为（A ）180（B ）200（C ）220（D ）2409、2013山东文T4.一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如右图所示该四棱锥侧面积和体积分别是 (A)(B) 83(C) 81),3+ (D) 8,810、2013北京文T8．如图，在正方体1111ABCD A BC D 中，P 为对角线1BD 的三等分点，则P 到各顶点的距离的不同取值有（）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个11、2013陕西文T12. 某几何体的三视图如图所示, 则其表面积为 .12、2013辽宁文T13.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 .13、2013北京文T10．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为。

2013数学高考真题—立体几何分类汇编

2013数学高考真题—立体几何分类汇编1.（北京理14）如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，E 为BC 中点，点P 在线段E D 1上。

点P 在线段E D 1上，点P 到直线1CC 距离的最小值为。

2.（北京理17）如图，在三棱柱111C B A ABC -中，C C AA 11是边长为4的正方形，平面⊥ABC 平面C C AA 11，5,3==BC AB .（1）求证：⊥1AA 平面ABC ；（2）求二面角111B BC A --的余弦值；（3）证明：在线段1BC 上存在点D ，使得B A AD 1⊥，并求1BC BD的值。

3.（北京文8）如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，P 为对角线1BD 的三等分点，P 到各顶点的距离的不同取值有（）.A 3个 .B 4个 .C 5个 .D 6个 4（北京文10）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为。

4（北京文17）如图，四棱锥ABCD P -中，AB ∥CD ，AD AB ⊥,AB CD 2=,平面PAD ⊥底面ABCD ，AD PA ⊥，E 和F 分别是CD 和PC 中点。

求证：（1）⊥PA 底面ABCD ；（2）BE ∥平面PAD ；（3）平面⊥BEF 平面PCD5（大纲理10）已知正四棱柱1111D C BA ABCD -中，AB AA 21=，则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于（）.A 32 .B 33.C 32 .D 31ABA 1C 1D 1C B 1CBA B CA 1 C 1D 俯视图正（主）视图侧（左）视图CD6（大纲文理16）已知圆O 与圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，23=OK ,且圆O 与圆K 所在的平面所成的一个二面角为060，则球O 的表面积等于。

7（大纲理19）如图，四棱锥ABCD P -中，090=∠=∠BAD ABC ,AD BC 2=,PAB ∆和PAD ∆都是等边三角形。

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专题七：立体几何一、选择题错误！未指定书签。

1．（2013年高考新课标1（理））如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为（ A ）A ．35003cm π B ．38663cm π C ．313723cm πD ．320483cm π2错误！未指定书签。

．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷）设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是（ D ）A ．若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥B ．若//αβ,m α⊂,n β⊂,则//m nC ．若m n ⊥,m α⊂,n β⊂,则αβ⊥D ．若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥4错误！未指定书签。

．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案）已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中12AA AB =,则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于（ A ）A ．23 B C D ．135错误！未指定书签。

．（2013年高考新课标1（理））某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ A ）A ．168π+B ．88π+C ．1616π+D ．816π+错误！未指定书签。

6．（2013年高考湖北卷（理））一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几何体组成,其体积分别记为1V ,2V ,3V ,4V ,上面两个简单几何体均为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体,则有（ C ） A ．1243V V V V <<< B ．1324V V V V <<<C ．2134V V V V <<<D ．2314V V V V <<<错误！未指定书签。

7．（2013年高考湖南卷（理））已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能．．．等于（ C ）A ．1B C ．2D ．2错误！未指定书签。

8．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷）某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是A ．4B ．143C ．163D ．6（ B ）9．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理））已知n m ,为异面直线,⊥m 平面α,⊥n 平面β.直线l 满足,,,l m l n l l αβ⊥⊥⊄⊄,则（ D ）A ．βα//,且α//lB ．βα⊥,且β⊥lC ．α与β相交,且交线垂直于lD ．α与β相交,且交线平行于l10．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题）已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直,体积为94,.若P 为底面111A B C的中心,则PA 与平面ABC 所成角的大小为（ B ）A ．512πB ．3πC ．4πD ．6π11．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题）某几何体的三视图如题()5图所示,则该几何体的体积为（ C ） A ．5603B ．5803C ．200D ．240正视图俯视图侧视图第5题图12．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题）已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上,若34AB AC ==，,AB AC ⊥,112AA =,则球O 的半径为（ C ）A ．2 B ．C ．132D ．13．（2013年高考江西卷（理））如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB CD ,正方体的六个面所在的平面与直线CE,EF 相交的平面个数分别记为,m n ,那么m n +=（A ）A ．8B ．9C ．10D ．1114．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理））一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx 平面为投影面,则得到正视图可以为（A ） A ． B ． C ．D ． 15．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题）在下列命题中,不是公理．．的是（ A ）A ．平行于同一个平面的两个平面相互平行B ．过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面C ．如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内D ．如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么他们有且只有一条过该点的公共直线 16．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题）在空间中,过点A 作平面π的垂线,垂足为B ,记)(A f B π=.设βα,是两个不同的平面,对空间任意一点P ,)]([)],([21P f f Q P f f Q βααβ==,恒有21PQ PQ =,则（】A ）A ．平面α与平面β垂直B ．平面α与平面β所成的(锐)二面角为045C ．平面α与平面β平行D ．平面α与平面β所成的(锐)二面角为06017．（2013年高考四川卷（理））一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是D二、填空题1错误！未指定书签。

．（2013年高考上海卷（理））在xOy 平面上,将两个半圆弧22(1)1(1)x y x -+=≥和22(3)1(3)x y x -+=≥、两条直线1y = 和1y =-围成的封闭图形记为D,如图中阴影部分.记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω,过(0,)(||1)y y ≤作Ω的水平截面,所得截面面积为2418y ππ-,试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体,得出Ω的体积值为___2216ππ+_______2．（2013年高考陕西卷（理））某几何体的三视图如图所示, 则其体积为__3π_____.3．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案）已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆,其公共弦长等于球O 的半径,32OK =,且圆O 与圆K 所在的平面所成的一个二面角为60,则球O 的表面积等于___16π___.4．（2013年高考北京卷（理））如图,在棱长为2的正方体ABCD -A1B 1C 1D 1中,E 为BC 的中点,点P 在线段D 1E 上,点P 到直线CC 1的距离的最小值为__________.5．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学））如图,在三棱柱ABCC B A -111中,F ED ，，分别是1AA AC AB ，，的中点,设三棱锥ADEF -的体积为1V ,三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ,则=21:V V _____1:24_______.6．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题）若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积等于_____24 ___2cm .ABC1A DE F1B 1C7．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题）如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,P 为BC 的中点,Q 为线段1CC 上的动点,过点A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是__①②③⑤___(写出所有正确命题的编号).①当102CQ <<时,S 为四边形;②当12CQ =时,S 为等腰梯形;③当34CQ =时,S 与11C D 的交点R 满足1113C R =;④当314CQ <<时,S 为六边形;⑤当1CQ =时,S 的面积8．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题）某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是___1616π-_________.9．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题）已知某一多面体内接于一个简单组合体,如果该组合体的正视图.测试图.俯视图均如图所示,且图中的四边形是边长为2的正方形,则该球的表面积是______12π_________10．（2013年上海市春季高考数学试卷(）在如图所示的正方体1111ABCD A B C D -中,异面直线1A B 与1B C 所成角的大小为_____3π__三、解答题23错误！未指定书签。

．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题）如图,AB 是圆的直径,PA 垂直圆所在的平面,C 是圆上的点. (I)求证:PAC PBC ⊥平面平面；(II)2.AB AC PA C PB A ===--若，1，1，求证：二面角的余弦值24错误！未指定书签。

．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题）如图,四棱锥P ABCD-D 1 C 1B 1A 1DC AB中,PA ABCD ⊥底面,2,4,3BC CD AC ACB ACD π===∠=∠=,F 为PC 的中点,AF PB ⊥.(1)求PA 的长; (2)求二面角B AF D --的正弦值.、25错误！未指定书签。

．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题）如图,圆锥顶点为p .底面圆心为o ,其母线与底面所成的角为22.5°.AB 和CD 是底面圆O 上的两条平行的弦,轴OP 与平面PCD 所成的角为60°.(Ⅰ)证明:平面PAB 与平面PCD 的交线平行于底面; (Ⅱ)求cos COD ∠.【答案】解: (Ⅰ) 212-17cos .212-17cos =∠=∠COD COD 所以. 26错误！未指定书签。

．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题）如图,在四面体BCD A -中,⊥AD 平面BCD ,22,2,==⊥BD AD CD BC .M 是AD 的中点,P 是BM 的中点,点Q 在线段AC 上,且QC AQ 3=.(1)证明://PQ 平面BCD ;(2)若二面角D BM C --的大小为060,求BDC ∠的大小.tan (0,90)6060BDC ααα∴=∈∴=∴∠= ;27错误！未指定书签。

．（2013年上海市春季高考数学试卷(）如图,在正三棱锥111ABC A B C -中,16AA =,异面直线1BC 与1AA 所成角的大小为6π,求该三棱柱的体积.16ABC V S AA ∆=⋅==.28错误！未指定书签。

．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学））本小题满分14分.如图,在三棱锥ABC S -中,平面⊥SAB 平面SBC ,BC AB ⊥,AB AS =,过A 作SB AF ⊥,垂足为F ,点G E ，分别是棱SC SA ，的中点. 求证:(1)平面//EFG 平面ABC ; (2)SA BC ⊥.B 1A 1C 1ACBABCDPQM（第20题图）29错误！未指定书签。