第5章 投影与逼近

2.数据拟合（曲线拟合）——离散函数的最佳逼近 2.数据拟合（曲线拟合）——离散函数的最佳逼近 数据拟合 基本思想： 基本思想：对于给定的数据表 ( xi , f ( xi )) (i = 1,L, n) ，在 Φ = { ( x)} C[a, b]或L2[a, b] 中寻找函数 f ( x ) 的 已知函数类 “最佳”逼近函数 S ( x) ，即 最佳”
i =1
n
∑ ( x j , xi ) α i* = ( x, x j )
i =1
n
( j = 1, 2,L , n)
写成矩阵形式为 ( x1 , x1 ) ( x1 , x2 ) ( x , x ) ( x , x ) 2 2 2 1 M M ( xn , x1 ) ( xn , x2 )
i =1 n
x = ∑ α i* xi ， 对于 x ∈U ，找出 M 中的元素
* i =1
n
s.t.
x x* = min x y
y∈M
（2.1） ）
则称 x*是 x 在 M 中的“最佳逼近”元，M 为 U 的逼近子 中的“最佳逼近” 空间。 空间。
是完备线性子空间（有限维） ，由投影定 解： 因为 M 是完备线性子空间（有限维） 由投影定 ，
第5章 投影与逼近 章 §5.1 §5.2 §5.3 §5.4
问题的提出及综述 内积空间中的最佳逼近
函数空间的逼近 数据拟合的最小二乘法
§5.1 问题的提出及综述
函数值的计算问题: 的定义及三角 三角公式 例（1）sinx 函数值的计算问题: 由 sinx 的定义及三角公式 可以计算出[0,3600 中特殊点的函数值如下： 可以计算出[0,360 ]中特殊点的函数值如下： x 00 300 450 600 900 1200 1800 2700 3600
b δ ( x) 2 = ∫ [ f ( x) S ( x)] dx = min ,称为最佳平方逼近或均 称为最佳平方逼近或均 a
2 1 2
b
方逼近； 方逼近； (3) δ ( x) ∞ = max] f ( x) S ( x) = min ,称为最佳一致逼近或均 x∈[ a ,b 匀逼近。 匀逼近。
* L ( x1 , xn ) α1 ( x, x1 ) * ( x, x ) L ( x2 , xn ) α 2 2 = O M M M * L ( xn , xn ) α n ( x, xn ) 称为法方程（或正规方程） ，记作 称为法方程（或正规方程） 记作 ，
1 3 1 5 1 7 sin x ≈ x + x + x + x 。 如在 [0, 2π ] 上， 3! 5! 7!
（2）血浓度问题: 为试验某种新药的疗效，医生对某人用快速 血浓度问题: 为试验某种新药的疗效， t(h)采取 静脉注射方式一次性注入该药 300mg 后，在一定时刻 t(h)采取 血样， 数据如下： 血样，测得血药浓度 C( g /m l 数据如下： t (h) 0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8 C( g /m l ) 19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01 (t)的近似表达 由此表推断血浓度 C 与时间 t 之间函数关系 C=f(t)的近似表达 式。
的最佳逼近函数， 由此求出的函数 S ( x) 称为目标函数 f ( x) 的最佳逼近函数， 的问题称为最佳逼近问题 最佳逼近问题。 求 f ( x) 近似表达式 S ( x) 的问题称为最佳逼近问题。 本章主要讨论两种类型的最佳逼近问题。 本章主要讨论两种类型的最佳逼近问题。
1.函数最佳逼近——连续函数 1.函数最佳逼近——连续函数 函数最佳逼近—— 基本思想： 基本思想：对于给定的函数 f ( x) ∈ C[a, b] 或 L [ a, b] ，在
§5.3 函数空间中的最佳逼近 5.3 ——最佳平方逼近和最佳多项式逼近。 ——最佳平方逼近和最佳多项式逼近。 最佳平方逼近和最佳多项式逼近
1.最佳平方逼近 1.最佳平方逼近
L2 [a, b] 空间中定义带权函数的内积： 空间中定义带权函数的内积： 在
( x, y ) = ∫ p (t ) x(t ) y (t )dt
x = ∑ α i* xi ∈ M 使得（ 2.1 ） 理及投影性质可知， 使得（2.1） 理及投影性质可知，存在
* i =1 n
x* 即是 x 在 M 中的投影， 式成立。 因此， 中的投影， 式成立。 因此， 也是 x 在 M
中的“最佳逼近” 中的“最佳逼近”元。
推导方法如下 方法如下： 求 x*的推导方法如下：
a b
则范数
x2=
(∫
b
a
p(t ) x 2 (t )dt
)
1 2
p( x) ∈ L2[a, b]是非负函数，称为权函数。 是非负函数，称为权函数。 其中
问题的提法： 问题的提法：设{1 ( x ), 2 ( x ),L , n ( x )} 是 L2 [a, b] 中 n 个线性无 的提法
M = span{i }=1~ n L2 [ a, b] ，权 p ( x ) ∈ L2 [a, b] 。对于 关函数， 关函数，
i =1
n
的问题。 最小值点 α1 ,α 2 ,L ,α n 的问题。
令
n b F = 2∫ p ( x)[ f ( x) ∑ α i i ( x)] j ( x)dx = 0, a α j i =1
j = 1,2,L, n
∑ α i ∫ p ( x )i ( x ) j ( x ) dx = ∫ p ( x ) f ( x ) j ( x ) dx,
δ ( x) = {δ1 , δ 2 ,Lδ n } = 常用度量标准： 常用度量标准：
n
{ f ( xi ) S ( xi )}i=1~n
= min
称为最小一乘法； (1) δ ( x) 1 = ∑ f ( xi ) S ( xi ) = min ,称为最小一乘法； i =1 (2)
δ ( x) 2 =
n
∫
b
p( x)[ f ( x) S ( x)]2 dx
S* 其中 S ( x) = ∑αi i ( x) ∈ M 。 ( x) 为 f ( x) 在 M 中的最佳平方逼 i=1
近。
解：问题 求 n 元函数
F (α1 ,α 2 ,L,α n )
∫
b
a
p ( x)[ f ( x) ∑ α i i ( x)]2 dx
b b
n
∑ ( j , i )α i = ( f , j ),
i =1
i =1 n
a
a
j = 1, 2,L , n
j = 1, 2,L , n
(1 ,1 ) (1 ,2 ) ( , ) ( , ) 2 2 2 1 M 法方程 M ( n ,1 ) ( n , 2 )
L (1 , n ) α1 ( f ,1 ) ( f , ) L (2 , n ) α 2 2 = O M M M L ( n ,n ) α n ( f ,n )
S * ( x) = ∑ α i*i ( x) ∈ M ， f ( x) ∈ L [ a, b] ，求函数
2
i =1 n
s.t.
即
f ( x) S * ( x) = min f ( x) S ( x)
S ( x )∈M
* 2 S ( x )∈M a
∫
b
a
p( x)[ f ( x) S ( x)] dx = min
0
sinx 0.000 0.500 0.707 0.866 1.000 0.866 0.000 -1.000 0.000 试确定不在表中其它点的函数值。 试确定不在表中其它点的函数值。
解决方法： 寻找简单函数 S ( x) 近似代替 f ( x) = sin x ,从而近似 近似代替 解决方法： 计算出其它点的函数值。 计算出其它点的函数值。
Aα * = b α * = A1b ，得最佳逼近元 可逆， 由于 A 可逆，存在唯一解
x = ∑α x
* i =1
n
* i i
特别的 ① 如果 x1 , x2 ,L , xn 正交
( x , xi ) A是对角矩阵，α = ( xi , x i ) ；
* i
② 如果 x1 , x2 ,L, xn 规范正交 A是单位矩阵，α i* = ( x , xi ) ，
x* ∈ห้องสมุดไป่ตู้M , x x* ∈ M ⊥ ， 由投影定理知， 由投影定理知，
故
( x x* , x j ) = 0
( x ∑ α i* xi , x j ) = 0
i =1 n
( j = 1, 2,L , n)
( j = 1, 2,L , n)
即
( x, x j ) ∑ α i* ( xi , x j ) = 0
§5.2 内积空间中的最佳逼近
本节介绍在一般的内积空间中怎样解决最佳逼近问题。 本节介绍在一般的内积空间中怎样解决最佳逼近问题。
问题的提法： 是内积空间， 问题的提法：设 U 是内积空间， x1 , x2 ,L , xn 是 U 中 n 个线 性无关的元素， M 性无关的元素，
span{x1 , x2 ,L, xn } = { ∑ α i xi , α i ∈ k} 。
解决方法： (t)， 解决方法：寻找能够与表中数据近似吻合的 C=f(t)，从而估计 出其它点的函数值及函数的变化规律。 出其它点的函数值及函数的变化规律。
问题综述：在科学研究和工程应用中， 问题综述：在科学研究和工程应用中，经常需要计算复 在一些点的函数值， 或通过实验、 杂函数 y = f ( x) 在一些点的函数值， 或通过实验、 测量等 得到的一组数据 ( xi , f ( xi )) (i = 1,L , n) 来推测不在数表中 解决这类问题的 的值及变量之间的函数关系 y = f ( x ) 。解决这 类问题的 基本思想： 选定的函数类中 寻找与 的函数类中寻找 近似的 基本思想 ： 在 选定 的函数类中 寻找 与 f ( x ) 近似 的 函数 S ( x )（简单、易于计算机计算，能反映函数特性）,使得 简单、易于计算机计算，能反映函数特性） 函数误差 δ ( x ) = f ( x ) S ( x) 或离散点的误差 δ ( xi ) = f ( xi ) S ( xi )(i = 1, 2,L, n) 在某种度量标准（如范数）下最小。 在某种度量标准（如范数）下最小。