全等三角形的性质及判定(随堂测试及答案)
12.2 三角形全等的判定(题题经典含答案)
考点卡片1．三角形三边关系（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．（3）三角形的两边差小于第三边．（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．2．全等三角形的性质（1）性质1：全等三角形的对应边相等性质2：全等三角形的对应角相等说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等②全等三角形的周长相等，面积相等③平移、翻折、旋转前后的图形全等（2）关于全等三角形的性质应注意①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角．3．全等三角形的判定（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．4．直角三角形全等的判定1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．5．全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．6．全等三角形的应用（1）全等三角形的性质与判定综合应用用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系．（2）作辅助线构造全等三角形常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明．（3）全等三角形在实际问题中的应用一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．12.2三角形全等的判定一、全等三角形的判定1．（2020•恩平市模拟）如图，AB DB =，12∠=∠，请问添加下面哪个条件不能判断ABC DBE ∆≅∆的是()A ．BC BE =B ．AC DE =C ．AD ∠=∠D ．ACB DEB∠=∠2．（2019秋•柯桥区期末）如图，线段AB ，CD 相交于点O ，AO BO =，添加一个条件，能使AOC BOD ∆≅∆，所添加的条件的是．3．（2018秋•中山市期中）如图，AE CF =，AD CB =，DF BE =，求证：ADF CBE ∆≅∆．4．（2018秋•泰兴市校级月考）已知：如图，BCA DAC ∠=∠，AD BC =．求证：ABC CDA ∆≅∆．5．（2020春•昌图县期末）下列条件中，能判定两个直角三角形全等的是()A ．一锐角对应相等B ．两锐角对应相等C ．一条边对应相等D ．两条直角边对应相等6．（2018秋•永定区期末）如图，ABC ∆中，AD BC ⊥，D 为BC 的中点，以下结论：（1）ABD ACD ∆≅∆；（2）AB AC =；（3）B C ∠=∠；（4）AD 是ABC ∆的一条角平分线．其中正确的有()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．（2018秋•东台市月考）使两个直角三角形全等的条件是()A ．一锐角对应相等B ．一条直角边和一个锐角对应相等C ．一条边对应相等D ．两锐角对应相等8．（2019秋•德清县期末）如图，AC BC ⊥，AD BD ⊥，垂足分别是C ，D ，（若要用“HL ”得到Rt ABC Rt BAD ∆≅∆，则应添加的条件是．（写一种即可）9．（2018秋•镇原县期中）如图，CE AB ⊥，DF AB ⊥，垂足分别为E 、F ，//AC DB ，且AC BD =，那么Rt AEC Rt BFD ∆≅∆的理由是．10．（2018秋•淮安区期中）如图，ABC ∆中，AD BC ⊥于D ，要使ABD ACD ∆≅∆，若根据“HL ”判定，还需加条件．11．（2019秋•东湖区校级月考）如图，点A ，D ，C ，E 在同一条直线上，//AB EF ，AB EF =，B F ∠=∠，10AE =，7AC =，则AD 的长为()A ．5.5B ．4C ．4.5D ．312．（2018秋•硚口区校级月考）AD 是ABC ∆的边BC 上的中线，若4AD =，5AC =，则AB 的取值范围是．13．（2018春•江岸区校级月考）在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，2B ADB ∠=∠，3AB =，6CD =，则AC =．14．（2019•惠安县一模）如图，AC BD ⊥，DE 交AC 于E ，AB DE =，A D ∠=∠．求证：AC AE BC =+．15．（2018秋•硚口区期中）如图．ABC ∆中，CA CB =．D 是AB 的中点．90CED CFD ∠=∠=︒，CE CF =，求证：ADF BDE ∠=∠．16．（2018秋•高新区期中）如图，点A、F、C、D在同一条直线上，已知AF DCBC EF，=，A D∠=∠，//求证：B E∠=∠．四、全等三角形的应用17．（2019秋•吴兴区期中）小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标1、2、3、4)，你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带()去．A．第1块B．第2块C．第3块D．第4块18．（2019秋•无棣县期末）泰勒斯是古希腊哲学家，相传他利用三角形全等的方法求出岸上一点到海中一艘船的距离．如图，B是观察点，船A在B的正前方，过B作AB的垂线，在垂线上截取任意长BD，C是BD的中点，观察者从点D沿垂直于BD的DE方向走，直到点E、船A和点C在一条直线上，那么∆≅∆的方法是()∆≅∆，从而量出DE的距离即为船离岸的距离AB，这里判定ABC EDCABC EDCA．SAS B．ASA C．AAS D．SSS19．（2018春•宝丰县期末）如图，将两根钢条AA'、BB'的中点O连在一起，使AA'、BB'能绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具，由三角形全等可知A B''的长等于内槽宽AB，那么判定OAB∆≅△OA B''的理由是()A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS20．（2019秋•鹿城区期中）要测量河岸相对两点A，B的距离，已知AB垂直于河岸BF，先在BF上取两点C，D，使CD CBDE= =，再过点D作BF的垂线段DE，使点A，C，E在一条直线上，如图，测出20米，则AB的长是米．12.2三角形全等的判定参考答案与试题解析一、全等三角形的判定1．（2020•恩平市模拟）如图，AB DB =，12∠=∠，请问添加下面哪个条件不能判断ABC DBE ∆≅∆的是()A ．BC BE =B ．AC DE =C ．AD ∠=∠D ．ACB DEB∠=∠【考点】KB ：全等三角形的判定【分析】本题要判定ABC DBE ∆≅∆，已知AB DB =，12∠=∠，具备了一组边一个角对应相等，对选项一一分析，选出正确答案．【解答】解：A 、添加BC BE =，可根据SAS 判定ABC DBE ∆≅∆，故正确；B 、添加AC DE =，SSA 不能判定ABC DBE ∆≅∆，故错误；C 、添加AD ∠=∠，可根据ASA 判定ABC DBE ∆≅∆，故正确；D 、添加ACB DEB ∠=∠，可根据ASA 判定ABC DBE ∆≅∆，故正确．故选：B ．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．2．（2019秋•柯桥区期末）如图，线段AB ，CD 相交于点O ，AO BO =，添加一个条件，能使AOC BOD ∆≅∆，所添加的条件的是CO DO =．【考点】KB ：全等三角形的判定【专题】553：图形的全等；67：推理能力【分析】添加CO DO =，再加上条件AO BO =，对顶角AOC BOD ∠=∠，然后利用SAS 判定AOC BOD ∆≅∆即可．【解答】解：添加CO DO =，在AOC ∆和BOD ∆中AO BO AOC BOD CO DO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AOC BOD SAS ∴∆≅∆，故答案为：CO DO =．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．3．（2018秋•中山市期中）如图，AE CF =，AD CB =，DF BE =，求证：ADF CBE ∆≅∆．【考点】KB ：全等三角形的判定【专题】553：图形的全等【分析】由AE CF =可得AF CE =，又AD CB =，DF BE =，根据SSS 即可证明ADF CBE ∆≅∆．【解答】证明：AE CF = ，AE EF CF EF ∴-=-，AF CE ∴=．在ADF ∆和CBE ∆中AF CE AD CB DF BE =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()ADF CBE SSS ∴∆≅∆．【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS 、ASA 、SAS 、SSS ，直角三角形可用HL 定理，但AAA 、SSA ，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目．4．（2018秋•泰兴市校级月考）已知：如图，BCA DAC ∠=∠，AD BC =．求证：ABC CDA ∆≅∆．【考点】KB ：全等三角形的判定【专题】14：证明题【分析】两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等，据此判断即可．【解答】证明：在ABC ∆和CDA ∆中，BC DA BCA DAC AC CA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABC CDA SAS ∴∆≅∆．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，解题时注意：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．二、直角三角形全等的判定5．（2020春•昌图县期末）下列条件中，能判定两个直角三角形全等的是()A ．一锐角对应相等B ．两锐角对应相等C ．一条边对应相等D ．两条直角边对应相等【考点】KC ：直角三角形全等的判定【分析】判定两个直角三角形全等的方法有：SAS 、SSS 、AAS 、ASA 、HL 五种．据此作答．【解答】解：两直角三角形隐含一个条件是两直角相等，要判定两直角三角形全等，起码还要两个条件，故可排除A 、C ；而B 构成了AAA ，不能判定全等；D 构成了SAS ，可以判定两个直角三角形全等．故选：D ．【点评】此题主要考查两个直角三角形全等的判定，除了一般三角形全等的4种外，还有特殊的判定：HL ．6．（2018秋•永定区期末）如图，ABC ∆中，AD BC ⊥，D 为BC 的中点，以下结论：（1）ABD ACD ∆≅∆；（2）AB AC =；（3）B C ∠=∠；（4）AD 是ABC ∆的一条角平分线．其中正确的有()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【考点】KA：全等三角形的性质；KC：直角三角形全等的判定【专题】64：几何直观【分析】先运用SAS证明ABD ACD=正确；（3）B C∠=∠∆≅∆正确；（2）AB AC∆≅∆，再得（1）ABD ACD正确；∆的角平分线．即可找到答案．BAD CAD∠=∠（4）AD是ABC【解答】解：AD AD、ADB ADC==∠=∠、BD CD∆≅∆正确；∴（1）ABD ACD=正确；∴（2）AB AC（3）B C∠=∠正确；∠=∠BAD CAD∆的角平分线．∴（4）AD是ABC故选：D．【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，及全等三角形性质的运用．7．（2018秋•东台市月考）使两个直角三角形全等的条件是()A．一锐角对应相等B．一条直角边和一个锐角对应相等C．一条边对应相等D．两锐角对应相等【考点】KC：直角三角形全等的判定【专题】553：图形的全等；67：推理能力【分析】根据已知及全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．【解答】解：A、错误，全等三角形的判定必须有边的参与；B、正确，符合判定AAS或ASA；C、错误，全等的两个直角三角形的判定只有一条边对应相等不行；D、错误，全等三角形的判定必须有边的参与；故选：B．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．8．（2019秋•德清县期末）如图，AC BC⊥，垂足分别是C，D，（若要用“HL”得到⊥，AD BD=．（写一种即可）=或BC ADRt ABC Rt BAD∆≅∆，则应添加的条件是AC BD【考点】KC ：直角三角形全等的判定【专题】69：应用意识；553：图形的全等【分析】利用直角三角形全等的判定定理HL ，可找出应添加的条件，此题得解．【解答】解：若添加AC BD =，在Rt ABC ∆和Rt BAD ∆中，AC BD AB BA =⎧⎨=⎩，Rt ABC Rt BAD(HL)∴∆≅∆；若添加BC AD =，在Rt ABC ∆和Rt BAD ∆中，BC AD AB BA =⎧⎨=⎩，Rt ABC Rt BAD(HL)∴∆≅∆．故答案为：AC BD =或BC AD =．【点评】本题考查了直角三角形全等的判定，牢记“斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”是解题的关键．9．（2018秋•镇原县期中）如图，CE AB ⊥，DF AB ⊥，垂足分别为E 、F ，//AC DB ，且AC BD =，那么Rt AEC Rt BFD ∆≅∆的理由是AAS．【考点】KC ：直角三角形全等的判定【专题】14：证明题【分析】根据垂直定义求出90AEC BFD ∠=∠=︒，根据平行线的性质得出A B ∠=∠，根据全等三角形的判定定理AAS 推出即可．【解答】解：CE AB ⊥ ，DF AB ⊥，90AEC BFD ∴∠=∠=︒．//AC DB ，A B ∴∠=∠．在AEC ∆和BFD ∆中AEC BFD A B AC BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，Rt AEC Rt BFC(AAS)∴∆≅∆，故答案为：AAS ．【点评】本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，垂直定义的应用，能熟练地运用定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS ，AAS ，ASA ，SSS ，直角三角形全等的判定定理除了具有以上定理外，还有HL 定理．10．（2018秋•淮安区期中）如图，ABC ∆中，AD BC ⊥于D ，要使ABD ACD ∆≅∆，若根据“HL ”判定，还需加条件AB AC =．【考点】KC ：直角三角形全等的判定【分析】根据斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL ”)可得需要添加条件AB AC =．【解答】解：还需添加条件AB AC =，AD BC ⊥ 于D ，90ADB ADC ∴∠=∠=︒，在Rt ABD ∆和Rt ACD ∆中，AD AD AB AC =⎧⎨=⎩，Rt ABD Rt ACD(HL)∴∆≅∆，故答案为：AB AC =．【点评】此题主要考查了直角三角形全等的判定，关键是正确理解HL 定理．三、全等三角形的判定与性质11．（2019秋•东湖区校级月考）如图，点A ，D ，C ，E 在同一条直线上，//AB EF ，AB EF =，B F ∠=∠，10AE =，7AC =，则AD 的长为()A ．5.5B ．4C ．4.5D ．3【考点】KD ：全等三角形的判定与性质【专题】67：推理能力；553：图形的全等【分析】证明ABC EFD ∆≅∆可得7DE AC ==，根据AD AE DE =-可求解．【解答】解：//AB EF ，A E ∴∠=∠．又AB EF =，B F ∠=∠，()ABC EFD ASA ∴∆≅∆．7AC DE ∴==．1073AD AE DE ∴=-=-=．故选：D ．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．12．（2018秋•硚口区校级月考）AD 是ABC ∆的边BC 上的中线，若4AD =，5AC =，则AB 的取值范围是313AB <<．【考点】6K ：三角形三边关系；KD ：全等三角形的判定与性质【专题】552：三角形；553：图形的全等【分析】延长AD 到E ，使DE AD =，连接CE ，利用“边角边”证明ABD ∆和ECD ∆全等，再根据全等三角形对应边相等可得CE AB =，然后根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边解答．【解答】解：延长AD 到E ，使DE AD =，连接CE ，则2248AE AD ==⨯=，AD 是BC 边上的中线，BD CD ∴=，在ABD ∆和ECD ∆中，BD CD ADB EDC DE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABD ECD SAS ∴∆≅∆，CE AB ∴=，又5AC = ，5813∴+=，853-=，313CE ∴<<，即AB 的取值范围是：313AB <<．故答案为313AB <<．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，“遇中线加倍延”作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．13．（2018春•江岸区校级月考）在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，2B ADB ∠=∠，3AB =，6CD =，则AC =9．【考点】KD ：全等三角形的判定与性质【专题】55：几何图形【分析】在AC 上截取AE AB =，连接DE ，证明ABD AED ∆≅∆，得到B AED ∠=∠，再证明ED EC =，进而代入数值解答即可．．【解答】解：在AC 上截取AE AB =，连接DE，AD 平分BAC ∠，BAD DAC ∴∠=∠，在ABD ∆和AED ∆中，AE AB BAD DAC AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABD AED SAS ∴∆≅∆，B AED ∴∠=∠，BD DE =，又2B ADB∠=∠2AED ADB ∴∠=∠，而2AED C EDC ADB ∠=∠+∠=∠，CED EDC ∴∠=∠，CD CE ∴=，369AB CD AE CE AC ∴+=+==+=．故答案为：9【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质；此题利用了全等三角形中常用辅助线-截长补短法构造全等三角形，然后利用全等三角形解题，这是解决线段和差问题最常用的方法，注意掌握．14．（2019•惠安县一模）如图，AC BD ⊥，DE 交AC 于E ，AB DE =，A D ∠=∠．求证：AC AE BC =+．【考点】KD ：全等三角形的判定与性质【专题】553：图形的全等【分析】由“SAS ”可证ABC DEC ∆≅∆，可得BC CE =，即可得结论．【解答】证明：AB DE = ，A D ∠=∠，90ACB DCE ∠=∠=︒()ABC DEC AAS ∴∆≅∆BC CE ∴=，AC AE CE=+ AC AE BC∴=+【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的性质是本题的关键．15．（2018秋•硚口区期中）如图．ABC ∆中，CA CB =．D 是AB 的中点．90CED CFD ∠=∠=︒，CE CF =，求证：ADF BDE ∠=∠．【考点】KD ：全等三角形的判定与性质【专题】14：证明题【分析】连接CD ，证得ECD FCD ∆≅∆，得出CDF CDE ∠=∠，利用等腰三角形的“三线合一”得出90CDA CDB ∠=∠=︒，进一步求得结论即可．【解答】证明：如图，连接CD ，在Rt ECD ∆和Rt FCD ∆中，CF CE CD CD =⎧⎨=⎩，Rt ECD Rt FCD ∴∆≅∆，CDF CDE ∴∠=∠，CA CB = ，D 是AB 的中点，CD AB ∴⊥，90CDA CDB ∴∠=∠=︒，ADF BDE ∴∠=∠．【点评】此题考查三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，掌握三角形的判定方法是解决问题的关键．16．（2018秋•高新区期中）如图，点A 、F 、C 、D 在同一条直线上，已知AF DC =，A D ∠=∠，//BC EF ，求证：B E ∠=∠．【考点】KD ：全等三角形的判定与性质【专题】552：三角形；67：推理能力；553：图形的全等；14：证明题【分析】欲证明B E ∠=∠，只要证明ABC DEF ∆≅∆即可．【解答】证明：AF CD = ，AC DF ∴=，//BC EF ，ACB DFE ∴∠=∠，在ABC ∆和DEF ∆中，A D ∠=∠，AC DF =，ACB DFE ∠=∠，()ABC DEF ASA ∴∆≅∆，∴∠=∠．B E【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键．四、全等三角形的应用17．（2019秋•吴兴区期中）小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标1、2、3、4)，你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带()去．A．第1块B．第2块C．第3块D．第4块【考点】KE：全等三角形的应用【分析】根据全等三角形的判断方法解答．【解答】解：由图可知，带第4块去，符合“角边角”，可以配一块与原来大小一样的三角形玻璃．故选：D．【点评】本题考查了全等三角形的应用，是基础题，熟记三角形全等的判定方法是解题的关键．18．（2019秋•无棣县期末）泰勒斯是古希腊哲学家，相传他利用三角形全等的方法求出岸上一点到海中一艘船的距离．如图，B是观察点，船A在B的正前方，过B作AB的垂线，在垂线上截取任意长BD，C是BD的中点，观察者从点D沿垂直于BD的DE方向走，直到点E、船A和点C在一条直线上，那么∆≅∆的方法是() ABC EDC∆≅∆，从而量出DE的距离即为船离岸的距离AB，这里判定ABC EDCA．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【考点】KE：全等三角形的应用【分析】根据题目确定出ABC∆全等的条件，然后根据全等三角形的判定方法解答．∆和EDC【解答】解：C是BD的中点，∴=，BC DCAB BD，DE BD⊥，⊥∴∠=∠=︒，90ABC EDC在ABC ∆和EDC ∆中，90ABC EDC BC DC ACB ECD ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ABC EDC ASA ∴∆≅∆，DE AB ∴=．故选：B ．【点评】本题考查了全等三角形的应用，根据题目信息，确定出三角形全等的条件是确定利用哪种三角形全等的方法的关键．19．（2018春•宝丰县期末）如图，将两根钢条AA '、BB '的中点O 连在一起，使AA '、BB '能绕着点O 自由转动，就做成了一个测量工具，由三角形全等可知A B ''的长等于内槽宽AB ，那么判定OAB ∆≅△OA B ''的理由是()A ．SASB ．ASAC ．SSSD ．AAS【考点】KE ：全等三角形的应用【分析】由O 是AA '、BB '的中点，可得AO A O ='，BO B O ='，再有AOA BOB ∠'=∠'，可以根据全等三角形的判定方法SAS ，判定OAB ∆≅△OA B ''．【解答】解：O 是AA '、BB '的中点，AO A O ∴='，BO B O ='，在OAB ∆和△OA B ''中AO A O AOA BOB BO B O ='⎧⎪∠'=∠'⎨⎪='⎩，OAB ∴∆≅△()OA B SAS ''，故选：A ．【点评】此题主要全等三角形的应用，关键是掌握全等三角形的判定方法：SSS 、SAS 、ASA 、AAS ，HL ，要证明两个三角形全等，必须有对应边相等这一条件．20．（2019秋•鹿城区期中）要测量河岸相对两点A ，B 的距离，已知AB 垂直于河岸BF ，先在BF 上取两点C ，D ，使CD CB =，再过点D 作BF 的垂线段DE ，使点A ，C ，E 在一条直线上，如图，测出20DE =米，则AB 的长是20米．【考点】KE：全等三角形的应用【专题】552：三角形；67：推理能力【分析】由AB、ED均垂直于BD，即可得出90ABC EDC∠=∠=︒，结合CD CB=、ACB ECD∠=∠即可证出()ABC EDC ASA∆≅∆，由此即可得出20AB ED==，此题得解．【解答】解：AB BD⊥，ED AB⊥，90ABC EDC∴∠=∠=︒，在ABC∆和EDC∆中，90 ABC EDCBC DCACB ECD∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ABC EDC ASA∴∆≅∆，20AB ED∴==．故答案为：20．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理()ASA．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟练掌握全等三角形的判定定理是关键．。
初中数学全等三角形判定及性质练习题(附答案)
初中数学全等三角形判定及性质练习题 一、单选题1.如图，将ABC △沿BC 方向平移2cm 得到DEF △，若ABC △的周长为16cm ，则四边形ABFD 的周长为（ ） A. 16 cm B. 18 cm C. 20 cm D. 22 cm2.如图，在Rt ABC △中，9012cm 6cm C AC BC ∠=︒==，，，一条线段PQ AB =，,P Q 两点分别在线段AC 和AC 的垂线AX 上移动，若ABC △和APQ △全等，则AP 的值为（ ）A.6 cmB.12 cmC.12cm 或6cmD.以上都不对3.如图，32ACB A CB BCB '''≅∠=︒，△△，则ACA '∠的度数为（ ）A.30°B.32C.35°D.45°4.如图，,AB CD 表示两根长度相等的铁条，若O 为,AB CD 的中点，经测量15cm AC =，则容器内径为（ ）A. 12 cmB. 13 cmC. 14 cmD. 15 cm 5.如图，90ACB ∠=︒，AC BC =，AD CE ⊥，BE CE ⊥，垂足分别是点,D E ，31AD BE ==，，则DE 的长是（ ）A.32 B.2 C.22 D.106.在ABC △中，若AD 是ABC △的中线，35AB AC ==，，则AD 的长度可以是（ ）A.1B.3C.5D.77.在正方形网格中,AOB ∠的位置如图所示,到AOB ∠两边距离相等的点是( )A.M 点B.N 点C.P 点D.Q 点8.如图,,AB AC BE AC =⊥于点,E CF AB ⊥于点,,F BE CF 相交于点,D 则①ABE ACF ≅△△;②BDF CDE ≅△△;③点D 在BAC ∠的平分线上.以上结论正确的有( )A.①B.②C.①②D.①②③9.已知ABC △与DEF △全等，90,25A D B ∠=∠=∠=°°，则E ∠的度数是( )A.25°B.65°C.25°或55°D. 25°或65°10.如图，在PAB △中，,,,A B M N K ∠=∠分别是,,PA PB AB 上的点，且, AM BK BN AK ==，若44MKN ∠=°，则P ∠的度数为( )A.44°B.66°C.88°D.92°二、解答题11.如图所示，,E F 分别为线段AC 上的两个点，且DE AC ⊥于点,E BF AC ⊥于点F ,若,,AB CD AE CF BD ==交AC 于点M .(1)试猜想DE 与BF 的关系，并证明你的结论;(2)求证:MB MD =.12.如图，点P 是ABC △内一点，,E F 分别是边,AC BC 上的两点，连接, PE PF ，且PE PF =，点D 为AC 延长线上一点，连接PD ，且 ,180.DE BF AEP BFP =∠+∠=°(1)求证:DEP BFP ≅△△;(2)已知AB AE BF =+，若80ACB ∠=°，求APB ∠的度数.三、填空题 13.如图，将ABC △绕点C 按顺时针方向旋转至A B C '''△，使点A '落在BC 的延长线上.已知2740A B ∠=︒∠=︒，，则ACB '∠= 度.14.如图，AC BC =，请你添加一对边或一对角相等的条件，使AD BE =.你所添加的条件是 .15.如图,O 是ABC △内一点,且O 到三边,,AB BC CA 的距离OF OD OE ==,若70BAC ∠=︒,则BOC ∠= .16.已知:如图.在长方形ABCD 中，4,6AB AD ==.延长BC 到点E ,使2CE =，连接DE ，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿BC CD DA --向终点A 运动，设点P 的运动时间为t 秒，当t 的值为 秒时，ABP △和DCE △全等.17.如图所示，已知, // , 2,EA AB BC EA EA AB BC D ⊥==为AB 的中点，那么下列结论:①DE AC =,②DE AC ⊥,③EAF ADF ∠=∠,④C ADF ∠=∠.其中正确的有 (填序号).参考答案1.答案：C解析：根据题意，将周长为16cm 的ABC △沿BC 方向平移2cm 得到DEF △，2cm,2AD CF BF BC CF BC ∴===+=+，DF AC =又16cm AB BC AC ++=，∴四边形ABFD 的周长为(c 22m)20AD AB BF DF AB BC AC +++=++++=.2.答案：C解析：当ABC QPA ≅△△时，6cm AP BC ==；当ABC PQA ≅△△时，12cm AP AC ==.故选C.3.答案：B 解析：ACB A CB ''≅△△，ACB A CB ''∴∠=∠，ACB A CB A CB A CB ''''''∴∠-∠=∠-∠，即ACA BCB ''∠=∠. 32BCB '∠=︒，ACA '∴∠的度数为32︒.4.答案：D解析：点O 为AB ，CD 的中点，AO BO CO DO ∴==，. 又AOC DOB ∠=∠，()AOC BOD SAS ∴≅△△，AC BD ∴=，∴容器内径为15cm.故选D5.答案：B 解析：BE CE AD CE ⊥⊥，，90E ADC ∴∠=∠=︒，90EBC BCE ∴∠+∠=︒. 90BCE ACD ∠+∠=︒，EBC DCA ∴∠=∠.在CEB △和ADC △中， E ADC EBC DCA BC AC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()CEB ADC AAS ∴≅△△，13BE DC CE AD ∴====，.312DE EC CD ∴=-=-=.故选B6.答案：B解析：如图，延长AD 到点E ，使DE AD =，连接EC .AD 是BC 边上的中线，BD CD ∴=.在ABD △和ECD △中，BD CD ADB EDC AD DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABD ECD SAS ∴≅△△，CE AB ∴=. 35AB AC ==，，5353AE ∴-<<+，即228AD <<，14AD ∴<<，故选B7.答案：A解析：从题图上可以看出点M 在AOB ∠的平分线上，其他三点不在AOB ∠的平分线上，所以点M 到AOB ∠两边的距离相等.故选A.8.答案：D解析：如图，连接AD ，BE AC ⊥于点,E CF AB ⊥于点F ,90,90AEB AFC DEC DFB ∴∠=∠=︒∠=∠=︒,在ABE △和ACF △中,BAE FDB AEB AFC AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,()AAS ABE ACF ∴≅△△ ,故①正确；AE AF ∴= ,AB AC EC BF =∴=,在DEC △和DFB △中，EDC FDB DEC DFB EC FB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,()AAS DEC DFB ∴≅△△，故②正确；DE DF ∴= ,DE AC DF AB ⊥⊥DA ∴平分CAB ∠.故③正确；9.答案：D解析：90,25,902565.A B C ∠=∠=∴∠=-=°°°°° ABC △与DEF △全等，E ∴∠与B ∠是对应角时，25E ∠=°;E ∠与C ∠是对应角时，65E ∠=°.E ∴∠的度数是25°或65°.故选D.10.答案：D解析：在AMK △和BKN △中,,,,AM BK A B AK BN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,.AMK BKN AMK BKN ∴≅∴∠=∠△△,MKB MKN NKB A AMK ∠=∠+∠=∠+∠44.A MKN ∴∠=∠=°18092.P A B ∴∠=-∠-∠=°°11.答案：解:(1)DE BF =，且// DE BF .证明如下:,,DE AC BF AC ⊥⊥90,//.DEC BFA DE BF ∴∠=∠=∴°,,.AE CF AE EF CF EF AF CE =∴∠+=+=在Rt ABF △和Rt CDE △中,,,AB CD AF CE =⎧⎨=⎩Rt Rt (HL),.ABF CDE DE BF ∴≅∴=△△(2)证明：在DEM △和BFM △中,,,,DEM BFM DME BMF DE BF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(AAS),.DEM BFM MB MD ∴≅∴=△△解析：12.答案：解:(1)证明:180,180,AEP BFP AEP DEP ∠+∠=∠+∠=°°.DEP BFP ∴∠=∠又,,DE BF PE FP ==(SAS).DEP BFP ∴≅△△(2),,.DEP BFP PB PD D FBP ≅∴=∠=∠△△,,AB AE BF AE DE AD AP AP =+=+==(SSS),APB APD ∴≅△△,.D ABP FBP PAD PAB ∴∠=∠=∠∠=∠80,100,ACB CAB CBA ∠=∴∠+∠=°°50,130.PAB PBA APB ∴∠+∠=∴∠=°°解析：13.答案：46 解析： ABC △绕点C 按顺时针方向旋转至A B C ''△，ABC A B C ''∴≅△△，A A B B ''∴∠=∠∠=∠，. 2740A B ∠=︒∠=︒，，2740A B ''∴∠=︒∠=︒，，274067ACA A B '∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，274067BCB A B '''∠=∠+∠=︒+︒=︒ .180180676746ACB ACA BCB '''∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒.14.答案：CD CE = (答案不唯一)解析：因为AC BC =，C C ∠=∠，当CD CE =时，()ADC BEC SAS ≅△△，所以AD BE =.15.答案：125︒解析：,,OF OD OE OB OC ==∴分别平分ABC ∠和ACB ∠.70BAC =︒∠，ABC ACB ∴∠+∠18070110=-=︒︒︒，OBC OCB ∴∠+∠1()2ABC ACB =∠+∠1110552=⨯︒=︒，180()BOC OBC OCB ∴∠=-∠+∠︒18055125=-=︒︒︒.16.答案：1或7解析：因为,AB CD =当ABP DCE ≅△△时， 2.BP CE ==由题意得22BP t ==，解得1t =.当ABP DCE ≅△△时，2AP CE ==，由题意得1622AP t =-=，解得7t =.所以当t 的值为1或7时，ABP △和DCE △全等.17.答案：①②③④解析：,90.EA AB EAD ⊥∴∠=° 又//,90,90.BC EA ABC EAD ABC ∴∠=∴∠=∠=°° D 为AB 的中点,2,EA AB BC ==,(SAS).AD BC EAD ABC ∴=∴≅△△,DE AC C ADF ∴=∠=∠，故①④正确.//,,BC EA C EAF ∴∠=∠,EAF ADF ∴∠=∠故③正确.90,90,EAD EAF FAD ∠=∴∠+∠=°°90ADF FAD ∴∠+∠=°，即90,AFD ∠=° ,DE AC ∴⊥故②正确.综上可知，正确的结论有①②③④.。
全等三角形判定测试题(含答案)
全等三角形判定测试题班级 学号 姓名 分数 _______一、选一选，看完四个选项后再做决定呀！ （每小题 3 分，共 30 分）1．已知等腰三角形的一个内角为50 ，则这个等腰三角形的顶角为【】 .（A ）50（B ）80（C ） 50 或 80（D ）40 或652. 如图 1 所示，在△ ABC 中，已知点 D ，E ，F 分别是 BC ， AD ，CE 的中点，且 S △ABC ＝ 4 平方厘米，则 S △ BEF 的值为 【 】 .（ A ）2 平方厘米（B ）1 平方厘米 （C ） 1平方厘米（D ） 1平方厘米24AEB123F4 DB DC5EC图 2A图 1图 3 图 43. 已知一个三角形的两边长分别是2厘米和 9厘米，且第三边为奇数， 则第三边长为【】.（ A ）5 厘米 （B ） 7 厘米 （C ）9 厘米（D ）11 厘米4. 工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图2 所示，∠ AOB 是一个任意角，在边 OA ，OB 上分别取 OM=ON ，移动角尺， 使角尺两边相同的刻度分别与 M ，N 重合．过 角尺顶点 C 的射线 OC 即是∠ AOB 的平分线．这种做法的道理是 【】 .（ A ）HL（ B ） SSS（ C ）SAS（ D ） ASA5. 利用三角形全等所测距离叙述正确的是（）A. 绝对准确B. 误差很大，不可信C.可能有误差，但误差不大，结果可信D. 如果有误差的话就想办法直接测量，不能用三角形全等的方法测距离6. 在图 3 所示的 3×3 正方形网格中， ∠ 1＋∠ 2＋∠ 3＋∠ 4＋∠ 5 等于 【】.（ A ）145°（ B ） 180° （C ） 225°（ D ） 270°7. 根据下列条件，能判定△ ABC ≌△ A ′B ′C ′的是 【】 .（ A ） AB=A ′B ′， BC=B ′C ′，∠ A=∠ A ′ （ B ）∠ A=∠ A ′，∠ B=∠B ′， AC=B ′C ′ （ C ）∠ A=∠ A ′，∠ B=∠B ′，∠ C=∠ C ′（ D ） AB=A ′B ′， BC=B ′C ′，△ ABC 的周长等于△ A ′B ′C ′的周长8. 如图 4 所示，△ABC 中，∠C=90 °，点 D 在 AB 上，BC=BD ，DE ⊥ AB 交 AC 于点 E ．△ ABC的周长为 12，△ ADE 的周长为 6．则 BC 的长为 【】 .（A ）3（B ）4（C ）5（D ）69. 将一副直角三角尺如图5 所示放置，已知 AE ∥ BC ，则 ∠ AFD 的度数是【】 .AEFBDC图 5ABDmEAOnDCBCAC B图 6图 7图 810. 如图 6 所示， m ∥ n ，点 B ，C 是直线 n 上两点，点 A 是直线 m 上一点，在直线 m 上另找一点 D ，使得以点 D ，B ，C 为顶点的三角形和△ ABC 全等，这样的点 D 【 】.（ A ）不存在（ B ）有 1 个（C ）有 3 个（D ）有无数个二、填一填，要相信自己的能力！ （每小题 3 分，共 30 分）1．在 ABC 中，若A =1B 1C ，则ABC 是三角形.2 32. 如图 7 所示， BD 是ABC 的中线， AD 2 ， AB BC 5 ，则 ABC 的周长是.3. 如图 8 所示所示，在 ABC 中， BD ， CE 分别是 AC 、 AB 边上的高，且 BD 与 CE 相交于点 O ，如果BOC 135 ，那么A 的度数为.4. 有 5 条线段，长度分别为 1 厘米、 2 厘米、 3 厘米、 4 厘米、 5 厘米，以其中三条线段为边长，共可以组成 ________个形状不同的三角形．5. 如图 9 所示，将纸片△ ABC 沿 DE 折叠，点 A 落在点 A ′处，已知∠ 1＋∠ 2=100 °，则∠ A的大小等于 _____度．AEADEEM 1D12CONB2A 'FBC BADFC图 12图 9图 10图 11 6. 如图 10 所示，有两个长度相同的滑梯 (即 BC=EF)，左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度 DF 相等，则△ ABC ≌△ DEF ，理由是 ______．7. 如图 11 所示， AD ∥BC ， AB ∥DC ，点 O 为线段 AC 的中点，过点 O 作一条直线分别与AB 、CD 交于点 M 、N ．点 E 、F 在直线 MN 上，且 OE=OF ．图中全等的三角形共有 ____对．8. 如图 12 所示， 要测量河两岸相对的两点 A 、B 的距离， 在 AB 的垂线 BF 上取两点 C 、D ，使 BC=CD ，过 D 作 BF 的垂线 DE ，与 AC 的延长线交于点 E ，则∠ ABC=∠ CDE=90°， BC=DC ，∠ 1=______ ，△ ABC ≌ _________，若测得 DE 的长为 25 米，则河宽 AB 长为_________．9. 如图 13所示，有一底角为 35°的等腰三角形纸片，现过底边上一点，沿与底边垂直的方向将其剪开，分成三角形和四边形两部分，则四边形中，最大角的度数是．35°图 1310. 如图 14 所示，三角形纸片ABC，AB=10 厘米， BC =7 厘米， AC=6厘米．沿过点 B 的直线折叠这个三角形，使顶点 C 落在 AB 边上的点E 处，折痕为 BD，则△ AED 的周长为 ______厘米．CDA E B图 14三、做一做，要注意认真审题呀！（本大题共38 分）1．（ 8 分）如图 15所示，在ABC 中，已知 AD BC ，B64， C56.（ 1）求BAD和DAC 的度数；A （ 2）若DE平分ADB ，求AED 的度数.EB D C图 153.（ 10 分）图 17 为人民公园的荷花池，现要测量此荷花池两旁A、 B 两棵树间的距离(不能直接测量)，请你根据所学三角形全等的知识，设计一种测量方案求出AB 的长(要求画出草图，写出测量方案和理由 )．图 174．（ 10 分）如图18 所示，△ ADF 和△ BCE 中，∠ A=∠ B，点 D， E， F， C 在同—直线上，有如下三个关系式：① AD=BC；② DE =CF；③ BE∥ AF．(1)请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出所有你认为正确的结论．(2)选择 (1) 中你写出的—个正确结论，说明它正确的理由．CA FE BD图 1810. 如图 14 所示，三角形纸片ABC，AB=10 厘米， BC =7 厘米， AC=6厘米．沿过点 B 的直线折叠这个三角形，使顶点 C 落在 AB 边上的点E 处，折痕为 BD，则△ AED 的周长为 ______厘米．CDA E B图 14三、做一做，要注意认真审题呀！（本大题共38 分）1．（ 8 分）如图 15所示，在ABC 中，已知 AD BC ，B64， C56.（ 1）求BAD和DAC 的度数；A （ 2）若DE平分ADB ，求AED 的度数.EB D C图 153.（ 10 分）图 17 为人民公园的荷花池，现要测量此荷花池两旁A、 B 两棵树间的距离(不能直接测量)，请你根据所学三角形全等的知识，设计一种测量方案求出AB 的长(要求画出草图，写出测量方案和理由 )．图 174．（ 10 分）如图18 所示，△ ADF 和△ BCE 中，∠ A=∠ B，点 D， E， F， C 在同—直线上，有如下三个关系式：① AD=BC；② DE =CF；③ BE∥ AF．(1)请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出所有你认为正确的结论．(2)选择 (1) 中你写出的—个正确结论，说明它正确的理由．CA FE BD图 1810. 如图 14 所示，三角形纸片ABC，AB=10 厘米， BC =7 厘米， AC=6厘米．沿过点 B 的直线折叠这个三角形，使顶点 C 落在 AB 边上的点E 处，折痕为 BD，则△ AED 的周长为 ______厘米．CDA E B图 14三、做一做，要注意认真审题呀！（本大题共38 分）1．（ 8 分）如图 15所示，在ABC 中，已知 AD BC ，B64， C56.（ 1）求BAD和DAC 的度数；A （ 2）若DE平分ADB ，求AED 的度数.EB D C图 153.（ 10 分）图 17 为人民公园的荷花池，现要测量此荷花池两旁A、 B 两棵树间的距离(不能直接测量)，请你根据所学三角形全等的知识，设计一种测量方案求出AB 的长(要求画出草图，写出测量方案和理由 )．图 174．（ 10 分）如图18 所示，△ ADF 和△ BCE 中，∠ A=∠ B，点 D， E， F， C 在同—直线上，有如下三个关系式：① AD=BC；② DE =CF；③ BE∥ AF．(1)请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出所有你认为正确的结论．(2)选择 (1) 中你写出的—个正确结论，说明它正确的理由．CA FE BD图 1810. 如图 14 所示，三角形纸片ABC，AB=10 厘米， BC =7 厘米， AC=6厘米．沿过点 B 的直线折叠这个三角形，使顶点 C 落在 AB 边上的点E 处，折痕为 BD，则△ AED 的周长为 ______厘米．CDA E B图 14三、做一做，要注意认真审题呀！（本大题共38 分）1．（ 8 分）如图 15所示，在ABC 中，已知 AD BC ，B64， C56.（ 1）求BAD和DAC 的度数；A （ 2）若DE平分ADB ，求AED 的度数.EB D C图 153.（ 10 分）图 17 为人民公园的荷花池，现要测量此荷花池两旁A、 B 两棵树间的距离(不能直接测量)，请你根据所学三角形全等的知识，设计一种测量方案求出AB 的长(要求画出草图，写出测量方案和理由 )．图 174．（ 10 分）如图18 所示，△ ADF 和△ BCE 中，∠ A=∠ B，点 D， E， F， C 在同—直线上，有如下三个关系式：① AD=BC；② DE =CF；③ BE∥ AF．(1)请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出所有你认为正确的结论．(2)选择 (1) 中你写出的—个正确结论，说明它正确的理由．CA FE BD图 18。
全等三角形的判定和性质(二)(人教版)(含答案)
全等三角形的判定和性质（二）（人教版）试卷简介:本套试卷综合检测学生全等三角形的判定和性质，考查学生对全等三角形常见结构的掌握情况，检测学生能否根据题目条件，去发现隐藏条件证明全等，并且通过证明全等进行角度和长度的计算。
在此过程中，体会几何证明题有理有据，有序思考。
一、单选题(共10道，每道10分)1.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AE是经过点A的一条直线,且B,C在AE的两侧,BD⊥AE于点D,CE⊥AE于点E,CE=2,BD=6,则DE的长为( )A.5B.4C.3D.2答案：B解题思路：解：∵∠BAD+∠ABD=90°，∠BAD+∠CAE=90°∴∠ABD=∠CAE在△ABD和△CAE中，∴△ABD≌△CAE（AAS）∴AD=CE=2，AE=BD=6∴DE=AE-AD=6-2=4，故选B试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定与性质2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=2cm,CD⊥AB,在AC上取一点E,使EC=BC,过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F,若EF=5cm,则AE长为( )A.5cmB.4cmC.3cmD.2cm答案：C解题思路：由题意可证△ACB≌△FEC（AAS或ASA），∴AC=EF=5，EC=BC=2，∴AE=AC-EC=3cm故选C试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定与性质3.如图,在△ABC中,∠ABC=45°,AC=8cm,F是高AD和BE的交点,则BF的长是( )A.4cmB.6cmC.8cmD.9cm答案：C解题思路：由题意可证：△ADC≌△BDF（AAS或ASA），∴BF=AC=8cm，故选C试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定与性质4.如图,方格纸中有四个相同的小正方形,则∠1+∠2+∠3为( )A.90°B.120°C.135°D.150°答案：C解题思路：1.思路点拨：①由题中条件易求∠2=45°，接下来只需求∠1+∠3；②要求∠1+∠3，直接求不好求，可利用全等来集中求两个角．2.解题过程：解：在△AHF和△EBA中，∴△AHF≌△EBA（SAS）∴∠1=∠EAB∵∠EAB+∠3=90°∴∠1+∠3=90°∵在Rt△ABC中，AB=BC∴∠2=45°∴∠1+∠2+∠3=90°+45°=135°，故选C3.易错点：不会利用全等来转移角度，分别去求∠1和∠3，导致无法计算．试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定与性质5.如图所示,直线l经过正方形ABCD的顶点A,分别过正方形的顶点B,D作BF⊥l于点F, DE⊥l于点E.若DE=8,BF=5,则EF的长为( )A.10B.13C.15D.16答案：B解题思路：根据题意可证明△DEA≌△AFB（AAS或ASA），∴AE=BF=5，AF=DE=8，∴EF=AE+AF=13，故选B试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定和性质6.如图,AE⊥AB且AE=AB,BC⊥CD且BC=CD,请按照图中所标注的数据,计算图中实线所围成的阴影部分图形的面积是( )A.50B.62C.65D.68答案：A解题思路：1.思路点拨：①求阴影部分的面积，因为阴影部分为不规则图形，故可用割补法求面积．本题中采用梯形DHFE的面积减去四个直角三角形的面积．②在求四个直角三角形面积的时候，需要利用全等三角形转移边．2.解题过程：解：∵∠EAF+∠BAG=90°，∠ABG+∠BAG=90°∴∠EAF=∠ABG在△EAF和△ABG中，∴△EAF≌△ABG（AAS）∴AF=BG=3，AG=EF=6同理△BCG≌△CDH（AAS）∴GC=HD=4，CH=BG=3∴FH=AF+AG+CG+CH=3+6+4+3=16故选A3.易错点：①不清楚不规则图形面积的处理方法：割补或转化；②对于全等三角形的基本结构不熟悉，不会利用全等转移角、转移边。
《全等三角形的判定》练习(含答案)
全等三角形的判定一、选择题1.小明不小心把一块三角形形状的玻璃打碎成了三块，如图①②③，他想要到玻璃店去配一块大小形状完全一样的玻璃，你认为应带（ ）A ．①B ．②C ．③D ．①和②【答案】C ．【解析】解带③去可以利用“角边角”得到全等的三角形．故选C ．2.如图，已知：∠A=∠D ，∠1=∠2，下列条件中能使△ABC ≌△DEF 的是（）A ．∠E=∠B B ．ED=BC C ．AB=EFD ．AF=CD【答案】D ．【解析】添加AF=CD ，∵AF=CD ，∴AF+FC=CD+FC ，∴AC=FD ，在△ABC 和△DEF 中12A DAC DF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABC ≌△DEF （ASA ），故选D ．3.下列关于两个三角形全等的说法：①三个角对应相等的两个三角形全等；②三条边对应相等的两个三角形全等；③有两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等；④有两边和一个角对应相等的两个三角形全等．正确的说法个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B ．【解析】①不正确，因为判定三角形全等必须有边的参与；②正确，符合判定方法SSS ；③正确，符合判定方法AAS ；④不正确，此角应该为两边的夹角才能符合SAS ．所以正确的说法有两个．故选B ．4.在△ABC 和△A ˊB ′C ′中，已知∠A=∠A ′，AB=A ′B ′，在下面判断中错误的是（ ）A ．若添加条件AC=A ′C ′，则△ABC ≌△A ′B ′C ′B ．若添加条件BC=B ′C ′，则△ABC ≌△A ′B ′C ′C ．若添加条件∠B=∠B ′，则△ABC ≌△A ′B ′C ′D ．若添加条件∠C=∠C ′，则△ABC ≌△A ′B ′C ′【答案】B.【解析】A ，正确，符合SAS 判定；B ，不正确，因为边BC 与B ′C ′不是∠A 与∠A ′的一边，所以不能推出两三角形全等；C ，正确，符合AAS 判定；D ，正确，符合ASA 判定；故选B ．5.如图，在等腰△ABC 中，AB=AC ，∠A=20°，AB 上一点D 使AD=BC ，过点D 作DE ∥BC 且DE=AB ，连接EC ，则∠DCE 的度数为（ ）A ．80°B ．70°C ．60°D ．45°【答案】B.【解析】如图所示，连接AE ．∵AE=DE，∴∠ADE=∠DAE，∵DE∥BC，∴∠DAE=∠ADE=∠B，∵AB=AC，∠BAC=20°，∴∠DAE=∠ADE=∠B=∠ACB=80°，在△ADE 与△CBA 中，DAE ACB AD BCADE B ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴AE=AC，∠AED=∠BAC=20°，∵∠CAE=∠DAE﹣∠BAC=80°﹣20°=60°，∴△ACE 是等边三角形，∴CE=AC=AE=DE，∠AEC=∠ACE=60°，∴△DCE 是等腰三角形，∴∠CDE=∠DCE，∴∠DEC=∠AEC﹣∠AED=40°，∴∠DCE=∠CDE=（180﹣40°）÷2=70°．故选B ．6.如图：AB=AC ，∠B=∠C，且AB=5，AE=2，则EC 的长为（ ）A ．2B ．3C ．5D ．2.5【答案】B.【解析】在△ABE 与△ACF 中，∵A AAB AC B C∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABE≌△ACF（ASA ），∴AC=AB=5∴EC=AC﹣AE=5﹣2=3，故选B.二、填空题.7.如图，AB=AC ，要使△ABE≌△ACD，依据ASA ，应添加的一个条件是 ．【答案】∠C=∠B ．【解析】添加∠C=∠B，在△ACD 和△ABE 中，A AAB AC C B∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，8.如图，AB∥CF，E 为DF 中点，AB=20，CF=15，则BD= 5 ．【答案】5.【解析】∵AB∥FC，∴∠ADE=∠EFC，∵E 是DF 的中点，∴DE=EF，在△ADE 与△CFE 中，ADE EFC DE EFAED CEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ADE≌△CFE，∴AD=CF，∵AB=20，CF=15，∴BD=AB﹣AD=20﹣15=5．9.如图，∠1=∠2，∠3=∠4，BC=5，则BD= ．【答案】5. 【解析】∵∠ABD+∠3=180°∠ABC+∠4=180°，且∠3=∠4，∴∠ABD=∠ABC在△ADB 和△ACB 中，1=2AB ABABD ABC ∠∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ADB≌△ACB（ASA ），∴BD=BC=5．10.如图，要测量一条小河的宽度AB 的长，可以在小河的岸边作AB 的垂线 MN ，然后在MN 上取两点C ，D ，使BC=CD ，再画出MN 的垂线DE ，并使点E 与点A ，C 在一条直线上，这时测得DE 的长就是AB 的长，其中用到的数学原理是： .【答案】ASA ，全等三角形对应边相等 ．【解析】∵AB⊥MN，DE⊥MN，∴∠ABC=∠EDC=90°，在△ABC 和△EDC 中，ABC EDC BC DCACB ECD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABC≌△EDC（ASA ），∴DE=AB．11.如图，在四边形ABCD 中，AB∥DC，AD∥BC，对角线AC 、BD 相交于点O ，则图中的一对全等三角形为 ．（写出一对即可）【答案】△ABC ≌△ADC.【解析】△ABC≌△ADC，理由如下：∵AB∥DC，AD∥BC，∴∠BAC=∠DCA，∠DAC=∠BCA，在△ABC 与△ADC 中，BAC DCA AC CADAC BCA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABC≌△ADC（ASA ），∴AB=DC，BC=DA ，在△ABO 与△CDO 中，BAO DCO AOB COD AB CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABO≌△CDO（AAS ），同理可得：△BCO≌△DAO，三、解答题12.如图，点A ，B ，C ，D 在同一条直线上，AB=FC ，∠A=∠F，∠EBC=∠FCB．求证：BE=CD ．【答案】证明见解析．【解析】∵∠EBC=∠FCB，∠EBC+∠ABE=180°，∠FCB+∠FCD=180°，∴∠ABE=∠FCD，在△ABE 与△FCD 中，A F AB FCABE FCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABE≌△FCD（ASA ），∴BE=CD．13.如图，点D 在AB 上，DF 交AC 于点E ，CF∥AB，AE=EC ．求证：AD=CF ．【答案】答案见解析.【解析】∵CF∥AB，∴∠A=∠ACF，∠ADE=∠CFE．在△ADE 和△CFE 中，A ACF ADE CFE AE EC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADE≌△CFE（AAS ）．∴AD=CF．14. 如图，锐角△ABC 中，∠BAC=60°，O 是BC 边上的一点，连接AO ，以AO 为边向两侧作等边△AOD 和等边△AOE，分别与边AB ，AC 交于点F ，G ．求证：AF=AG ．【答案】答案见解析.【解析】∵△AOD 和△AOE 是等边三角形，∴∠E=∠AOF=60°，AE=AO ，∠OAE=60°，∵∠BAC=60°，∴∠FAO=∠EAG=60°﹣∠CAO， 在△AFO 和△AGE 中， FAO EAG AO AEAOF E ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AFO≌△AGE（ASA ）， ∴AF=AG．。
专题训练全等三角形的性质和判定的综合
解：(1)图①EF＝BE－DF，易证△ABE≌△DAF(AAS)，∴AE＝DF，BE＝AF，∴EF＝ AF－AE，∴EF＝BE－DF (2)图②EF＋BE＝DF (3)图③BE＋DF＝EF
10．如图①，已知等腰Rt△ABC和等腰Rt△CDE，AC＝BC，CD＝CE，M，N分别为AE， BD的中点，连接CM，CN.
专题训练全等三角形的性质和判定的综合
一、利用全等三角形解决与线段有关的证明与计算问题 1．如图，AB＝CD，BD＝AC，AB∥CD，求证：AB⊥BC. 解：∵AB＝CD，AC＝BD，BC＝CB，∴△ABC≌△DCB(SSS)，∴∠ABC＝∠DCB， 又∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠DCB＝180°，∴∠ABC＝∠DCB＝90°，∴AB⊥BC
11．如图①，在平ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ直角坐标系中，将直角三角形的顶点放在点P(4，4)处，两直角边与 坐标轴分别交于点A，B.
(1)求OA＋OB的值； (2)如图②，将直角三角形绕点P逆时针旋转，两直角边与坐标轴分别交于点A，B，求OA －OB的值．
解 ： (1) 作 PM⊥x 轴 于 点 M ， PN⊥y 轴 于 点 N ， 可 证 ∠ APM ＝ ∠ BPN ， 从 而 由 AAS 证 △PAM≌△PBN，∴AM＝BN，∵OM＝ON＝4，∴OA＋OB＝OM＋ON＝8 (2)作PM⊥x轴 于点M，PN⊥y轴于点N，可证∠APM＝∠BPN，从而由AAS证△PAM≌△PBN，∴AM＝ BN，∵OM＝ON＝4，∴OA－OB＝OM＋ON＝8
4．如图，已知AD∥BC，点E为CD上一点，AE，BE分别平分∠DAB，∠CBA，BE 的延长线交AD的延长线于点F.
(1)求证：△ABE≌△AFE； (2)求证：AD＋BC＝AB.
解 ： (1)∵AE 平 分 ∠ DAB ， ∴ ∠ BAE ＝ ∠ FAE ， ∵ BE 平 分 ∠ CBA ， ∴ ∠ ABE ＝ ∠ CBE ， ∵ AD∥BC ， ∴ ∠ F ＝ ∠ CBE ， ∴ ∠ ABE ＝ ∠ F ， 在 △ ABE 和 △ AFE 中 ， ∵ ∠ ABE ＝ ∠ F ， ∠ BAE ＝ ∠ FAE ， AE ＝ AE ， ∴ △ ABE≌△AFE(AAS) (2)∵△ABE≌△AFE，∴BE＝FE，AB＝AF，在△BCE和△FDE中，∵∠CBE＝∠F， BE＝FE，∠BEC＝∠FED，∴△BCE≌△FDE(ASA)，∴BC＝FD，∵AD＋DF＝AF， AB＝AF，∴AD＋BC＝AB
全等三角形的性质及判定
全等三角形的性质及判定知识要点1、全等三角形概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形．2、全等三角形性质：（1）两全等三角形的对应边相等，对应角相等．（2）全等三角形的对应边上的高相等，对应边上的中线相等，对应角的平分线相等．（3）全等三角形的周长、面积相等．3、全等三角形判定方法：（1）全等判定一：三条边对应相等的两个三角形全等（SSS）（2）全等判定二：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）（3）全等判定三：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)（4）全等判定四：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）专题一、全等图形的性质——全等图形的对应边（对应中线、角平分线、高线）、对应角、对应周长、对应面积相等例题1：下列说法，正确的是（）A.全等图形的面积相等B.面积相等的两个图形是全等形C.形状相同的两个图形是全等形D.周长相等的两个图形是全等形例题2：如图1，折叠长方形，使顶点与边上的点重合，如果AD=7，DM=5，∠DAM=39°，则=____，=____，= .【仿练1】如图2，已知，，，那么与相等的角是.【仿练2】如图3，，则AB=，∠E=_．若∠BAE=120°，∠BAD=40°，则∠BAC=.、图4EDCBA图2 图3MDN BC图1三角形全等的判定一（SSS ）相关几何语言考点∵AE=CF∵CM 是△的中线∴_____________()∴____________________ ∴__________（） 或 ∵AC=EF∴____________________ ∴__________（） AB=AB （）FECACMBA在△ABC和△DEFxx∵∴△ABC≌△DEF（）例1．如图，AB＝AD，CB＝CD．△ABC与△ADC全等吗？为什么？例２．如图，C是AB的中点，AD＝CE，CD＝BE．求证△ACD≌△CBE．例３．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF．求证∠A=∠D．练习1..如图，AB=CD，AD=CB，那么下列结论中错误的是（）A．∠A=∠CB．AB=ADC．AD∥BCD．AB∥CD2、如图所示，在△ABCxx，AB=AC，BE=CE，则由“SSS”可以判定（）A．△ABD≌△ACDB．△BDE≌△CDEC．△ABE≌△ACED．以上都不对3.如图，AB=AC，BD=CD，则△ABD≌△ACD的依据是（）A．SSSB．SASC．AASD．HL4.如图,AB=AC,D为BC的中点，则△ABD≌_________.5.如图，已知AB=DE，BC=EF，若要使△ABC≌△DEF，那么还要需要一个条件，这个条件可以是：．6.如图，AB=AC，BD=DC，∠BAC=36°，则∠BAD的度数是°．7、.如图，AB=AE，AC=AD，BD=CE，求证：△ABC≌ADE。
全等三角形的性质及判定(习题及答案)
全等三角形的性质及判定(习题及答案)全等三角形的性质及判定全等三角形是指具有相等的对应边长和对应角度的两个三角形。
在几何学中，全等三角形有着重要的性质和判定方法。
本文将介绍全等三角形的性质，并提供一些习题及答案，以帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
一、全等三角形的性质1. 对应边长相等性质：如果两个三角形的三边分别相等，则它们是全等三角形。
即若∆ABC≌∆DEF，则AB = DE, BC = EF, AC = DF。
2. 对应角度相等性质：如果两个三角形的三个角度分别相等，则它们是全等三角形。
即若∆ABC≌∆DEF，则∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F。
3. 边角相等性质：若两个三角形的两边和夹角分别相等，则它们是全等三角形。
即若∆ABC≌∆DEF，则AB = DE, ∠A = ∠D, ∠C = ∠F。
4. 斜边和一角相等性质：若两个三角形的一边与一角分别相等，则它们是全等三角形。
即若∆ABC≌∆DEF，则AC = DF, ∠A = ∠D。
二、全等三角形的判定方法1. SSS判定法：如果两个三角形的三边分别相等，则它们是全等三角形。
即若AB = DE, BC = EF, AC = DF，则∆ABC≌∆DEF。
2. SAS判定法：如果两个三角形的一边和夹角，以及另一边分别相等，则它们是全等三角形。
即若AB = DE, ∠A = ∠D, AC = DF，则∆ABC≌∆DEF。
3. ASA判定法：如果两个三角形的两个夹角和一边分别相等，则它们是全等三角形。
即若∠A = ∠D, ∠B = ∠E, AC = DF，则∆ABC≌∆DEF。
4. RHS判定法：如果两个直角三角形的斜边和一个直角边分别相等，则它们是全等三角形。
即若AC = DF, ∠A = ∠D，则∆ABC≌∆DEF。
三、习题及答案1. 已知∆ABC和∆DEF，且AB = DE, ∠A = ∠D, BC = EF。
证明∠B = ∠E, AC = DF。
全等三角形测试题及答案
全等三角形测试题及答案一、选择题1. 下列选项中，哪两个三角形是全等的？A. ∠A=∠B，AB=BCB. ∠A=∠B，AC=BDC. ∠A=∠C，AB=ACD. ∠A=∠B，AB=BC，AC=BD2. 如果两个三角形的对应边成比例，且夹角相等，这两个三角形是：A. 相似但不全等B. 必然全等C. 不一定全等D. 无法判断二、填空题3. 根据全等三角形的性质，如果两个三角形的对应角相等，且对应边成比例，那么这两个三角形是_________。
4. SAS全等条件指的是_________。
三、判断题5. 如果两个三角形的三边对应相等，那么这两个三角形一定全等。
（）6. 根据HL全等条件，直角三角形中，如果斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等。
（）四、解答题7. 已知三角形ABC和三角形DEF，其中∠A=∠D=90°，AB=DE，AC=DF，求证：三角形ABC全等于三角形DEF。
8. 如图所示，三角形ABC和三角形DEF在平面直角坐标系中，点A(2,3)，B(4,5)，C(1,1)，点D(-1,-2)，E(1,-1)，F(-2,-4)。
若AB=DE，AC=DF，∠BAC=∠EDF，请证明三角形ABC全等于三角形DEF。
五、综合题9. 在三角形ABC中，点D在BC上，若AD平分∠BAC，且BD=DC，求证：AB=AC。
10. 已知三角形ABC和三角形DEF，其中AB=DE，∠B=∠D，∠C=∠E，求证：三角形ABC全等于三角形DEF。
答案：一、选择题1. 答案：D2. 答案：A二、填空题3. 答案：相似4. 答案：边角边三、判断题5. 答案：正确6. 答案：正确四、解答题7. 解：由于∠A=∠D=90°，AB=DE，AC=DF，根据直角三角形的HL全等条件，我们可以得出三角形ABC全等于三角形DEF。
8. 解：由于AB=DE，AC=DF，∠BAC=∠EDF，根据SAS全等条件，我们可以得出三角形ABC全等于三角形DEF。
2023年中考数学----全等三角形的判定与性质知识回顾与专项练习题(含答案解析)
2023年中考数学----全等三角形的判定与性质知识回顾与专项练习题（含答案解析）知识回顾1.三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
三角形的三边一旦确定，这三角形就固定了，这是三角形具有稳定性。
2.三角形的内角和定理：三角形的三个内角之和等于180°。
3.三角形的外角定理：三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和。
大于它不相邻的任意一个内角。
4.全等三角形的性质：若两个三角形全等，则他们的对应边相等；对应角相等；对应边上的中线相等，高线相等，角平分线也相等；且这两个三角形的周长和面积均相等。
5.全等三角形的判定：①边边边（SSS）：三条边分别对应性相等的两个三角形全等。
②边角边（SAS）：两边及其这两边的夹角对应相等的两个三角形全等。
③角边角（ASA）：两角及其这两角的夹边对应相等的两个三角形全等。
④角角边（AAS）：两角及其其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
⑤直角三角形判定（HL）：直角三角形中斜边与其中任意一直角边分别对应相等的两个直角三角形全等。
全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件。
在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形。
专项练习题（含答案解析）1．已知：如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：AB＝AD．【分析】根据邻补角的定义得出∠ACB＝∠ACD，利用ASA证明△ACB≌△ACD，根据全等三角形的性质即可得解．【解答】证明：∵∠3＝∠4，∴∠ACB＝∠ACD，在△ACB和△ACD中，，∴△ACB≌△ACD（ASA），∴AB＝AD．2．如图，△ABC是等腰三角形，点D，E分别在腰AC，AB上，且BE＝CD，连接BD，CE．求证：BD＝CE．【分析】根据等腰三角形的性质得出∠EBC＝∠DCB，进而利用SAS证明△EBC与△DCB全等，再利用全等三角形的性质解答即可．【解答】证明：∵△ABC∴∠EBC＝∠DCB，在△EBC与△DCB中，，∴△EBC≌△DCB（SAS），∴BD＝CE．3．如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，AB＝AE，AC＝AD，∠BAD＝∠EAC，∠C＝50°，求∠D的大小．【分析】由∠BAD＝∠EAC可得∠BAC＝∠EAD，根据SAS可证△BAC≌△EAD，再根据全等三角形的性质即可求解．【解答】解：∵∠BAD＝∠EAC，∴∠BAD+∠CAD＝∠EAC+∠CAD，即∠BAC＝∠EAD，在△BAC与△EAD中，，∴△BAC≌△EAD（SAS），∴∠D＝∠C＝50°．4．如图，AC平分∠BAD，CB⊥AB，CD⊥AD，垂足分别为B，D．（1）求证：△ABC≌△ADC；（2）若AB＝4，CD＝3，求四边形的面积．【分析】（1）由AC平分∠BAD，得∠BAC＝∠DAC，根据CB⊥AB，CD⊥AD，得∠B＝90°＝∠D，用AAS 可得△ABC≌△ADC；（2）由（1）△ABC≌△ADC，得BC＝CD＝3，S△ABC＝S△ADC，求出S△ABC＝AB•BC＝6，即可得四边形ABCD的面积是12．【解答】（1）证明：∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∵CB⊥AB，CD⊥AD，∴∠B＝90°＝∠D，在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（AAS）；（2）解：由（1）知：△ABC≌△ADC，∴BC＝CD＝3，S△ABC＝S△ADC，∴S△ABC＝AB•BC＝×4×3＝6，∴S△ADC＝6，∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝12，答：四边形ABCD的面积是12．5．如图，在△ABC中，点D在边BC上，CD＝AB，DE∥AB，∠DCE＝∠A．求证：DE＝BC．【分析】利用平行线的性质得∠EDC＝∠B，再利用ASA证明△CDE≌△ABC，可得结论．【解答】证明：∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B，在△CDE和△ABC中，，∴△CDE≌△ABC（ASA），∴DE＝BC．6．如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点N，使CN＝AM，连接MN交AC于点P，MH⊥AC于点H．（1）求证：MP＝NP；（2）若AB＝a，求线段PH的长（结果用含a的代数式表示）．【分析】（1）过点M作MQ∥BC，交AC于点Q，根据等边三角形的性质以及平行线的性质可得∠AMQ＝∠AQM＝∠A＝60°，可得△AMQ是等边三角形，易证△QMP≌△CNP（AAS），即可得证；（2）根据等边三角形的性质可知AH＝HQ，根据全等三角形的性质可知QP＝PC，即可表示出HP的长．【解答】（1）证明：过点M作MQ∥BC，交AC于点Q，如图所示：在等边△ABC中，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，∵MQ∥BC，∴∠AMQ＝∠B＝60°，∠AQM＝∠ACB＝60°，∠QMP＝∠N，∴△AMQ是等边三角形，∴AM＝QM，∵AM＝CN，∴QM＝CN，在△QMP和△CNP中，，∴△QMP≌△CNP（AAS），∴MP＝NP；（2）解：∵△AMQ是等边三角形，且MH⊥AC，∴AH＝HQ，∵△QMP≌△CNP，∴QP＝CP，∴PH＝HQ+QP＝AC，∵AB＝a，AB＝AC，∴PH＝a．7．如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF．有下列三个条件：①AC＝DF，②∠ABC ＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE．（1）请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF．你选取的条件为（填写序号）（只需选一个条件，多选不得分），你判定△ABC≌△DEF的依据是（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）；（2）利用（1）的结论△ABC≌△DEF．求证：AB∥DE．【分析】（1）根据SSS ABC≌△DEF，即可解决问题；（2）根据全等三角形的性质可得∠A＝∠EDF，再根据平行线的判定即可解决问题．【解答】（1）解：在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS），∴在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF，选取的条件为①，判定△ABC≌△DEF的依据是SSS．故答案为：①，SSS；（答案不唯一）．（2）证明：∵△ABC≌△DEF．∴∠A＝∠EDF，∴AB∥DE．8．在△ABC中，∠ACB＝90°，D为△ABC内一点，连接BD，DC，延长DC到点E，使得CE＝DC．（1）如图1，延长BC到点F，使得CF＝BC，连接AF，EF．若AF⊥EF，求证：BD⊥AF；（2）连接AE，交BD的延长线于点H，连接CH，依题意补全图2．若AB2＝AE2+BD2，用等式表示线段CD与CH的数量关系，并证明．【分析】（1）证明△BCD≌△FCE（SAS），由全等三角形的性质得出∠DBC＝∠EFC，证出BD∥EF，则可得出结论；（2）由题意画出图形，延长BC到F，使CF＝BC，连接AF，EF，由（1）可知BD∥EF，BD＝EF，证出∠AEF＝90°，得出∠DHE＝90°，由直角三角形的性质可得出结论．【解答】（1）证明：在△BCD和△FCE中，，∴△BCD≌△FCE（SAS），∴∠DBC＝∠EFC，∴BD∥EF，∵AF⊥EF，∴BD⊥AF；（2）解：由题意补全图形如下：CD＝CH．证明：延长BC到F，使CF＝BC，连接AF，EF，∵AC⊥BF，BC＝CF，∴AB＝AF，由（1）可知BD∥EF，BD＝EF，∵AB2＝AE2+BD2，∴AF2＝AE2+EF2，∴∠AEF＝90°，∴AE⊥EF，∴BD⊥AE，∴∠DHE＝90°，又∵CD＝CE，∴CH＝CD＝CE．9．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，且点D在线段BC上，连CE．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若∠EAC＝60°，求∠CED的度数．【分析】（1）可利用SAS证明结论；（2）由全等三角形的性质可得∠ACE＝∠ABD，利用等腰直角三角形的性质可求得∠ACE＝∠ABD＝∠AED ＝45°，再根据三角形的内角和定理可求解∠AEC的度数，进而可求可求解【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）解：∵△ABD≌△ACE，∴∠ACE＝∠ABD，∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴∠ACE＝∠ABD＝∠AED＝45°，∵∠EAC＝60°，∴∠AEC＝180°﹣∠ACE﹣∠EAC＝180°﹣45°﹣60°＝75°，∴∠CED＝∠AEC﹣∠AED＝75°﹣45°＝30°．10．如图，在△ABC中（AB＜BC），过点C作CD∥AB，在CD上截取CD＝CB，CB上截取CE＝AB，连接DE、DB．（1）求证：△ABC≌△ECD；（2）若∠A＝90°，AB＝3，BD＝2，求△BCD的面积．【分析】（1）由CD∥AB得∠ABC＝∠ECD，而CD＝CB，CE＝AB，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△ABC≌△ECD；（2））由∠A＝90°，根据全等三角形的对应角相等证明∠BED＝∠CED＝∠A＝90°，设BE＝x，由BD2﹣BE2＝CD2﹣EC2＝DE2，列方程（2）2﹣x2＝（3+x）2﹣32，解方程求得符合题意的x的值为2，则BC ＝5，再根据勾股定理求出DE的长，即可求出△BCD的面积．【解答】（1）证明：∵CD∥AB，CD＝CB，CE＝AB，∴∠ABC＝∠ECD，在△ABC和△ECD中，，∴△ABC≌△ECD（SAS）．（2）解：∵∠A＝90°，∴∠CED＝∠A＝90°，∴∠BED＝180°﹣∠CED＝90°，设BE＝x，∵EC＝AB＝3，BD＝2，∴CD＝BC＝3+x，∵BD2﹣BE2＝CD2﹣EC2＝DE2，∴（2）2﹣x2＝（3+x）2﹣32，整理得x2+3x﹣10＝0，解得x1＝2，x2＝﹣5（不符合题意，舍去），∴BE＝2，BC＝3+2＝5，∴DE＝＝＝4，∴S△BCD＝BC•DE＝×5×4＝10，∴△BCD的面积为10．11．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，D是BC边上的一点，以AD为直角边作等腰Rt △ADE，其中∠DAE＝90°，连接CE．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若∠BAD＝22.5°时，求BD的长．【分析】（1）由“SAS”可证△ACE；（2）由等腰三角形三角形的性质可得BC的长，由角度关系可求∠ADC＝67.5°＝∠CAD，可得AC＝CD ＝1，即可求解．【解答】（1）证明：∵∠BAC＝90°＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，∴BC＝，∠B＝∠ACB＝45°，∵∠BAD＝22.5°，∴∠ADC＝67.5°＝∠CAD，∴AC＝CD＝1，∴BD＝﹣1．12．如图，已知矩形ABCD中，AB＝8，BC＝x（0＜x＜8），将△ACB沿AC对折到△ACE的位置，AE和CD交于点F．（1）求证：△CEF≌△ADF；（2）求tan∠DAF的值（用含x的式子表示）．【分析】（1）根据矩形的性质得到∠B＝∠D＝90°，BC＝AD，根据折叠的性质得到BC＝CE，∠E＝∠B ＝90°，等量代换得到∠E＝∠D＝90°，AD＝CE，根据AAS证明三角形全等即可；（2）设DF＝a，则CF＝8﹣a，根据矩形的性质和折叠的性质证明AF＝CF＝8﹣a，在Rt△ADF中，根据勾股定理表示出DF的长，根据正切的定义即可得出答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝90°，BC＝AD，根据折叠的性质得：BC＝CE，∠E＝∠B＝90°，∴∠E＝∠D＝90°，AD＝CE，在△CEF与△ADF中，，∴△CEF≌△ADF（AAS）；（2）解：设DF＝a，则CF＝8﹣a，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD＝BC＝x，∴∠DCA＝∠BAC，根据折叠的性质得：∠EAC＝∠BAC，∴∠DCA＝∠EAC，∴AF＝CF＝8﹣a，在Rt△ADF中，∵AD2+DF2＝AF2，∴x2+a2＝（8﹣a）2，∴a＝，∴tan∠DAF＝＝．13．如图，△ABC和△DEF，点E，F在直线BC上，AB＝DF，∠A＝∠D，∠B＝∠F．如图①，易证：BC+BE ＝BF．请解答下列问题：（1）如图②，如图③，请猜想BC，BE，BF之间的数量关系，并直接写出猜想结论；（2）请选择（1）中任意一种结论进行证明；（3）若AB＝6，CE＝2，∠F＝60°，S△ABC＝123，则BC＝，BF＝．【分析】（1）根据图形分别得出答案；（2）利用AAS证明△ABC≌△DFE，得BC＝EF，再根据图形可得结论；（3）首先利用含30°角的直角三角形的性质求出BH和AH的长，从而得出BC，再对点E的位置进行分类即可．【解答】解：（1）图②：BC+BE＝BF，图③：BE﹣BC＝BF；（2）图②：∵AB＝DF，∠A＝∠D，∠B＝∠F，∴△ABC≌△DFE（ASA），∴BC＝EF，∵BE＝BC+CE，∴BC+BE＝EF+BC+CE＝BF；图③：∵AB＝DF，∠A＝∠D，∠B＝∠F，∴△ABC≌△DFE（ASA），∴BC＝EF，∵BE＝BF+EF，∴BE﹣BC＝BF+EF﹣BC＝BF+BC﹣BC＝BF；（3）当点E在BC上时，如图，作AH⊥BC于H，∵∠B＝∠F＝60°，∴∠BAH＝30°，∴BH＝3，∴AH＝3，∵S△ABC＝12，∴＝12，∴BC＝8，∵CE＝2，∴BF＝BE+EF＝8﹣2+8＝14；同理，当点E在BC延长线上时，如图②，BF＝BC+BE＝8+10＝18，故答案为：8，14或18．14．△ABC和△ADE都是等边三角形．（1）将△ADE绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有P A+PB ＝PC（或P A+PC＝PB）成立（不需证明）；（2）将△ADE绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接P A，猜想线段P A、PB、PC 之间有怎样的数量关系？并加以证明；（3）将△ADE绕点A旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接P A，猜想线段P A、PB、PC 之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．【分析】（2）证明△ABD≌△ACE（SAS）和△BAF≌△CAP（SAS），得AF＝AP，∠BAF＝∠CAP，再证明△AFP是等边三角形，最后由线段的和可得结论；（3）如图③，在PC上截取CM＝PB，连接AM，同理可得结论．【解答】解：（2）PB＝P A+PC，理由如下：如图②，在BP上截取BF＝PC，连接AF，∵△ABC、△ADE都是等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAC+∠CAD＝∠CAD+∠DAE，即∠DAB＝∠EAC，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，BF＝CP，∴△BAF≌△CAP（SAS），∴AF＝AP，∠BAF＝∠CAP，∴∠BAC＝∠P AF＝60°，∴△AFP是等边三角形，∴PF＝P A，∴PB＝BF+PF＝PC+P A；（3）PC＝P A+PB，理由如下：如图③，在PC上截取CM＝PB，连接AM，同理得：△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，PB＝CM，∴△AMC≌△APB（SAS），∴AM＝AP，∠BAP＝∠CAM，∴∠BAC＝∠P AM＝60°，∴△AMP是等边三角形，∴PM＝P A，∴PC＝PM+CM＝P A+PB．15．【情境再现】甲、乙两个含45°角的直角三角尺如图①放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O处．将甲绕点O 顺时针旋转一个锐角到图②位置．按图②作出示意图，并连接AG，BH，如图③所示，AB交HO于E，AC 交OG于F，通过证明△OBE≌△OAF，可得OE＝OF．请你证明：AG＝BH．【迁移应用】延长GA分别交HO，HB所在直线于点P，D，如图④，猜想并证明DG与BH的位置关系．【拓展延伸】小亮将图②中的甲、乙换成含30°角的直角三角尺如图⑤，按图⑤作出示意图，并连接HB，AG，如图⑥所示，其他条件不变，请你猜想并证明AG与BH的数量关系．【分析】【情境再现】由△OBE≌△OAF，得BE＝AF，OE＝OF，∠BEO＝∠AFO，可证明△BHE≌△AGF （SAS），得BH＝AG；【迁移应用】由△BHE≌△AGF，得∠BHE＝∠AGF，可得∠AGF+∠GPO＝90°，从而∠BHE+∠HPD＝90°，∠HDP＝90°，故DG⊥BH；【拓展延伸】设AB交OH于T，OG交AC于K，根据△ABC，△HOG是含30°角的直角三角形，AO⊥BC，可得OB＝AO，∠OBA＝∠OAC＝30°，∠BOT＝90°﹣∠AOT＝∠AOK，即得△BOT∽△AOK，有＝＝＝，∠BTO＝∠AKO，又OH＝GO，可得＝＝，故△BTH∽△AKG，即得＝＝，BH＝AG．【解答】【情境再现】证明：由阅读材料知△OBE≌△OAF，∴BE＝AF，OE＝OF，∠BEO＝∠AFO，∴∠BEH＝∠AFG，∵OH＝OG，∴OH﹣OE＝OG﹣OF，即EH＝GF，在△BHE和△AGF中，，∴△BHE≌△AGF（SAS），∴BH＝AG；【迁移应用】解：猜想：DG⊥BH；证明如下：由【情境再现】知：△BHE≌△AGF，∴∠BHE＝∠AGF，∵∠HOG＝90°，∴∠AGF+∠GPO＝90°，∴∠BHE+∠GPO＝90°，∵∠GPO＝∠HPD，∴∠BHE+∠HPD＝90°，∴∠HDP＝90°，∴DG⊥BH；【拓展延伸】解：猜想：BH＝AG，证明如下：设AB交OH于T，OG交AC于K，如图：由已知得：△ABC，△HOG是含30°角的直角三角形，AO⊥BC，∴∠AOB＝90°，∴OB＝AO，∠OBA＝∠OAC＝30°，∠BOT＝90°﹣∠AOT＝∠AOK，∴△BOT∽△AOK，∴＝＝＝，∠BTO＝∠AKO，∴OT＝OK，BT＝AK，∠BTH＝∠AKG，∵OH＝GO，∴HT＝OH﹣OT＝GO﹣OK＝（GO﹣OK）＝KG，∴＝＝，∴△BTH∽△AKG，∴＝＝，∴BH＝AG19。
全等三角形的性质和判定(二)(包含答案)
全等三角形的判定（二）一．全等三角形的判定方法：三边对应相等的两个三角形全等即：如果，那么△ABC≌△DEF（SSS）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等即：如果，那么△ABC≌△DEF（SAS）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等即：如果，那么△ABC≌△DEF（ASA）两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等即：如果，那么△ABC≌△DEF（AAS）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等即：如果，或那么Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)4.“AAS”与“ASA”易混，要注意区分“边”“角”的位置关系5. 错用“AAA”，“SSA”证三角形全等.一．考点：全等三角形的判定二．重难点：全等三角形的判定三．易错点：1．边边角（SSA）在一般情况下是不能证明两个三角形全等的；2．斜边、直角边定理(HL)必须是在直角三角形中才能使用；3．在使用判定定理证明两个三角形全等时要注意条件的顺序必须和判定定理要求的一样．题模一：ASA例1.1.1如图，∠C＝∠D，DE＝EC，则以下说法错误的是（）A.AD＝BCB.OA＝ACC.∠OAD＝∠OBCD.△OAD≌△OBC例1.1.2如图，90=， 1.7DE cm=，求BE⊥于D， 2.5AD cm⊥，AD CE∠=︒，AC BCACB=，BE CE的长．题模二：AAS例1.2.1如图，CE∥BF，CE＝BF．则添加下列条件还不能使△EAC≌△FDB．（）A.AB ＝CDB.AE ∥DFC.∠E ＝∠FD.AE ＝DF例1.2.2 已知△ABN 和△ACM 位置如图所示，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠1＝∠2．（1）求证：BD ＝CE ；（2）求证：∠M ＝∠N ．例1.2.3 已知：如图，在四边形ABCD 中，E 是AC 上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：∠5＝∠6．题模三：HL例1.3.1 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠CAB ，交CB 于点D ，过点D 作DE ⊥AB 于点E ． （1）求证：△ACD ≌△AED ；（2）若∠B ＝30°，CD ＝1，求BD 的长．例1.3.2 如图，已知AB CD =，AE BD ⊥，CF BD ⊥，垂足分别为E ，F ，BF DE =，求证：//AB CD ．随练1.1如图所示，在△ABC中，AB＝AC，D、E分别是AC、AB的中点，且BD，CE相交于O点，某一位同学分析这个图形后得出以下结论：①△BCD≌△CBE；②△BDA≌△CEA；③△BOE≌△COD；④△BAD≌△BCD；⑤△ACE≌△BCE，上述结论一定正确的是（）A.①②③B.②③④C.①③⑤D.①③④随练1.2如图所示，已知AC＝BD，∠CAB＝∠DBA．求证：（1）△CAB≌△DBA；（2）△CAO≌△DBO．随练1.3如图，AB∥CD，OA=OD，点F、D、O、A、E在同一直线上，AE=DF，求证：EB∥CF．随练1.4如图，BE⊥AC、CF⊥AB于点E、F，BE与CF交于点D，AD平分∠BAC，求证：AB=AC．随练 1.6如图，D、C、F、B四点在一条直线上，AB DE⊥，垂足分别为点=，AC BD⊥，EF BD=．C、点F，CD BF求证：（1）ABC EDF∆≅∆；（2）AB DE∥．随练1.7如图，DF⊥AC于F，BE⊥AC于E，AD＝BC，AE＝CF．求证：AD∥BC．拓展1如图，已知△ABC与△CDE都是等腰直角三角形，连结AE与BD，试探究线段AE与BD的数量关系和位置关系．拓展2如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD于点D，∠DCB=∠B．若AC=10，AB=25，求CD的长．拓展3如图，AD＝AB，∠D＝∠B，∠EAC＝∠DAB，求证：AE＝AC．拓展4如图，在△ABC中，D是AB的中点，分别过点A、B作CD的垂线，交CD及其延长线于E、F，求证：AE＝BF．拓展5如图，在同一平面内∠ABC＝45°，过点B的直线l⊥BC，点P为直线l上一动点（1）如图1，连接PC交AB于点Q，若BP＝2，BC＝3，求PQCQ的值．（2）如图2，连接PC交AB于点Q，过点B作BD⊥PC于点D，当∠BPC＝3∠C时，判断线段BD与线段CQ的数量关系，并证明你的结论．（3）如图3，过点C作BC的垂线交BA于点A，过点C作CH⊥CP，并使CH＝CP，连接AH交射线BC于点I．当点P在直线l上移动时，若AC＝m，BI＝n，线段BP的长度为________（直接用m、n表示）拓展6如图，已知点B、E、F、D在同一直线上，BF＝DE，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：AE＝CF．拓展7如图，在△ABC和△DBC中，∠ACB＝∠DBC＝90°，E是BC的中点，DE⊥AB，垂足为点F，且AB＝DE．（1）求证：BD＝BC；（2）若BD＝6，则△CDE的面积为________．拓展8如图，已知：△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，分别过B，C向经过点A的直线EF作垂线，垂足为E，F．（1）当EF与斜边BC不相交时，请证明EF＝BE＋CF（如图1）；（2）如图2，当EF与斜边BC这样相交时，其他条件不变，证明：EF＝BE﹣CF；（3）如图3，当EF与斜边BC这样相交时，猜想EF、BE、CF之间的关系，不必证明．拓展9如图，已知∠A=90゜，AB=BD，ED⊥BC于D，求证：DE+CE=AC．答案解析全等三角形的判定题模一：ASA例1.1.1【答案】B【解析】在△DEB 与△CEA 中， BED AECDE EC D C∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△DEB ≌△CEA （ASA ）∴BE ＝EA ，∴AD ＝BC ，在△OAD 与△OCB 中，D CO O BC AD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△OAD ≌△OBC ，∴∠OAD ＝∠OBC ，OA ＝OB ．例1.1.2【答案】0.8cm【解析】BE CE ⊥Q 于E ，AD CE ⊥于D90E ADC ∴∠=∠=︒90BCE ACE DAC ACE ∠+∠=∠+∠=︒Q BCE DAC ∴∠=∠，在ACD ∆与CBE ∆中，ADC EBC AC BCE CAD∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ACD CBE ASA ∴∆≅∆．2.5CE AD cm ∴==，BE DC =， 2.5 1.70.8DC CE DE cm ∴=-=-= 0.8BE cm ∴=．题模二：AAS例1.2.1【答案】D【解析】∵AB ＝CD ，∴AC ＝DB ，∴△EAC ≌△FDB （SAS ）；∵AE ∥DF ，∴∠A ＝∠D ，∴△EAC ≌△FDB （AAS ）；∵∠E ＝∠F ，∴△EAC ≌△FDB （AAS ）；当AE ＝DF 时，不能使△EAC ≌△FDB ．例1.2.2【答案】见解析【解析】（1）在△ABD 和△ACE 中，12AB AC AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴BD ＝CE ；（2）∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠DAE ＝∠2＋∠DAE ，即∠BAN ＝∠CAM ，由（1）得：△ABD ≌△ACE ，∴∠B ＝∠C ，在△ACM 和△ABN 中，C B AC AB CAM BAN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ACM ≌△ABN （ASA ），∴∠M ＝∠N ．例1.2.3【答案】见解析【解析】∵1234AC CA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ADC ≌△ABC （ASA ）．∴DC ＝BC ．又∵34DC BC EC CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CED ≌△CEB （SAS ）．∴∠5＝∠6．题模三：HL例1.3.1【答案】（1）见解析（2）2【解析】（1）∵AD 平分∠CAB ，DE ⊥AB ，∠C ＝90°，∴CD ＝ED ，∠DEA ＝∠C ＝90°，∵在Rt △ACD 和Rt △AED 中AD AD CD DE =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ACD ≌Rt △AED （HL ）；（2）∵DC ＝DE ＝1，DE ⊥AB ，∴∠DEB ＝90°，∵∠B ＝30°，∴BD ＝2DE ＝2例1.3.2【答案】见解析【解析】AE BD ⊥Q ，CF BD ⊥，90AEB CFD ∴∠=∠=︒，BF DE =Q ，BF EF DE EF ∴+=+，BE DF ∴=．在Rt AEB ∆和Rt CFD ∆中，AB CD BE DF =⎧⎨=⎩， Rt Rt (HL)AEB CFD ∴∆≅∆，B D ∴∠=∠，//AB CD ∴．随练1.1【答案】A【解析】∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ．∵BD 平分∠ABC ，CE 平分∠ACB ，∴∠ABD ＝∠CBD ＝∠ACE ＝∠BCE ．∴①△BCD ≌△CBE （ASA ）；②△BDA ≌△CEA （ASA ）；③△BOE ≌△COD （AAS 或ASA ）．随练1.2【答案】见解析【解析】（1）在△AOC 和△BOD 中，CAO DBOAOC BOD AC BD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CAO ≌△DBO ，∴∠C ＝∠D ，OA ＝OB ，∴∠OBA ＝∠OAB ，在△CAB 和△DBA 中，C DCA DB CBA DBA∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△CAB ≌△DBA ．（2）在△AOC 和△BOD 中，CAO DBOAOC BOD AC BD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CAO ≌△DBO ，随练1.3【答案】见解析【解析】证明：∥AB∥CD ，∥∥DCO=∥ABO ，∥CDO=∥BAO ，在∥AOB 和∥DOC 中，ABO DCOBAO CDO OA OD=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ，∥∥AOB∥∥DOC （AAS ），∥OC=OB ，∥OA=OD ，AE=DF ，∥OA+AE=OD+DF ，即OA=OF ，在∥COF 和∥BOE 中，OC OB COF BOE OF OE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∥∥COF∥∥BOE （SAS ），∥∥F=∥E ，∥BE∥CF ．随练1.4【答案】见解析【解析】证明：∵BE ⊥AC 、CF ⊥AB 于点E 、F ，∴∠BEA=∠CFA=90°．∵AD 平分∠BAC ，∴∠DAE=∠DAF ．在∥ADE 和∥ADF 中，DAE DAF AED AFD AD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADE ≌△ADF （AAS ），∴AE=AF ．在Rt∥ABE 和Rt∥ACF 中，BAE CAF AEB AFC AE AF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴Rt∥ABE ≌Rt∥ACF （ASA ），∴AB=AC ．随练1.6【答案】见解析【解析】（1）AC BD ⊥Q ，EF BD ⊥，ABC ∴∆和EDF ∆为直角三角形，CD BF =Q ，CF BF CF CD ∴+=+，即BC DF =，在Rt ABC ∆和Rt EDF ∆中，AB DE BC DF =⎧⎨=⎩Rt ABC Rt EDF(HL)∴∆≅∆；（2）由（1）可知ABC EDF ∆≅∆，B D ∴∠=∠，AB DE ∴∥．随练1.7【答案】见解析【解析】∵DF ⊥AC ，BE ⊥AC ，∴∠AFD ＝∠CEB ＝90°，∵AE ＝CF ，∴AE ＋EF ＝CF ＋EF ，即AF ＝CE ，在Rt △ADF 和Rt △CBE 中，AD BC AF CE =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ADF ≌Rt △CBE （HL ），∴∠DAF ＝∠BCE ，∴AD ∥BC ．拓展1【答案】∠EAC ＋∠BDC ＝∠DBC ＋∠BDC ＝90°，即AE ⊥BD【解析】利用SAS 证明△AEC ≌△BCD ，可以得到AE ＝BD ，∠EAC ＝∠DBC ，进而可得：∠EAC ＋∠BDC ＝∠DBC ＋∠BDC ＝90°，即AE ⊥BD拓展2【答案】7.5【解析】如图，延长CD 交AB 于点E ．∵AD 平分∠BAC ，∴∠1=∠2．∵CD ⊥AD ，∴∠ADE=∠ADC=90°．∵在△ADE 与△ADC 中，12AD AD ADE ADC ∠=∠∠=∠⎧⎪=⎨⎪⎩， ∴△ADE ≌△ADC （ASA ）．∴AE=AC=10，DE=DC ．∵∠DCB=∠B ，∴BE=CE=2DC ．∴AB=AE+BE=10+2DC=25．∴DC=7.5．拓展3【答案】见解析【解析】∵∠EAC ＝∠DAB ，∴∠EAC ＋∠CAD ＝∠CAD ＋∠DAB ，即∠EAD ＝∠CAB ，在△EAD 和△CAB 中D B AD ABEAD CAB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△EAD ≌△CAB （ASA ），∴AE ＝AC ．拓展4【答案】见解析【解析】∵D 是AB 的中点，且AF ⊥EF ，AE ⊥EF ，∴AD ＝BD ，∠F ＝∠AED ＝90°；在△AED 与△BFD 中，ADE BDF AD BDAED BFD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AED ≌△BFD （ASA ），∴AE ＝BF ．拓展5【答案】（1）23（2）CQ ＝2BD ，证明见解析（3）2|m －n|【解析】（1）如图1中，作QE ⊥PB ，QF ⊥BC 垂足分别为E 、F ．∵∠PBC ＝90°，∠ABC ＝45°，∴∠ABC ＝∠ABP ，∴QE ＝QF ，∵S △PBQ ︰S △BCQ ＝PQ ︰QC ， ∴11::22PB QE BC QF PQ QC =g g g g ， ∴PQ ︰QC ＝2︰3， 即23PQ CQ =．（2）结论CQ=2BD ，理由如下：如图2中，作CF ⊥AB 垂足为F 交BD 的延长线于E ．∵∠CFB ＝∠BFE ＝90°，∠ABC ＝45°，∴∠FBC ＝∠FCB ＝45°，∴FB ＝FC ，∵BD ⊥CD ，∴∠BDQ ＝∠QFC ＝90°，∵∠DQB ＝∠FQC ，∴∠DBQ ＝∠QCF ，在△CFQ 和△BFE 中，FCQ EBFCF BF CFQ BFE∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△CFQ ≌△BFE ，∴CQ ＝BE ，∵∠BPC ＝3∠C ，∠C ＋∠BPC ＝90°，∴∠PCB ＝∠FCQ ＝22.5°，∴∠CBD ＝∠CED ＝67.5°，∴CB ＝CE ，∵CD ⊥EB ，∴DB ＝ED ，∴CQ ＝2BD ．（3）如图3中，作HE ⊥BC 垂足为E ．∵∠PCH ＝∠PBC ＝90°，∴∠CPB ＋∠PCB ＝90°，∠PCB ＋∠HCE ＝90°，∴∠CPB ＝∠HCE ，在△PCB 和△CHE 中，CPB HCEPBC HEC CP CH∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PCB ≌△CHE ，∴BC ＝EH ，PB ＝EC ，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝45°，∴∠ABC ＝∠BAC ＝45°，∴AC ＝BC ＝EH ，在△ACI 和△HEI 中，ACI HEI AIC EIH AC EH ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACI ≌△HEI ，∴EI ＝IC ，∴IC ＝BC －BI ＝AC －BI ＝m －n ，BP ＝2EI ＝2（m －n ），当点I 在BC 的延长线时，IC ＝BI －BC ＝BI －AC ＝n －m ，BP ＝2IC ＝2（n －m ）． 综上所述：BP ＝2|m －n|．拓展6【答案】见解析【解析】∵BF ＝DE ，∴BE ＝DF ，在△ABE 和△CDF 中，1234BE DF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△CDF （AAS ），∴AE ＝CF ．拓展7【答案】（1）见解析（2）9【解析】（1）∵DE ⊥AB ，∴∠BFE ＝90°，∴∠ABC ＋∠DEB ＝90°，∵∠ACB ＝90°，∴∠ABC ＋∠A ＝90°，∴∠A ＝∠DEB ．在△ABC 和△EDB 中，ACB EBDA DEB AB ED∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△EDB ，∴BD ＝BC ；（2）∵E 是BC 中点，BD ＝6，BD ＝BC ， ∴11322CE BC BD ===， ∴1136922CDE CE BD =⋅=⨯⨯=△的面积．拓展8【答案】见解析【解析】（1）∵BE ⊥EA ，CF ⊥AF ， ∴∠BAC ＝∠BEA ＝∠CFE ＝90°，∴∠EAB ＋∠CAF ＝90°，∠EBA ＋∠EAB ＝90°， ∴∠CAF ＝∠EBA ，在△ABE 和△CAF 中，BEA AFCEBA FAC AB AC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BEA ≌△AFC ，∴EA ＝FC ，BE ＝AF ，∴EF ＝EA ＋AF ＝BE ＋CF ．（2）∵BE ⊥EA ，CF ⊥AF ，∴∠BAC ＝∠BEA ＝∠CFE ＝90°，∴∠EAB ＋∠CAF ＝90°，∠ABE ＋∠EAB ＝90°， ∴∠CAF ＝∠ABE ，在△ABE 和△ACF 中，EBA FACBEA CFA AB AC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BEA ≌△AFC ，∴EA ＝FC ，BE ＝AF ，∵EF ＝AF ﹣AE ，∴EF ＝BE ﹣CF ．（3）EF ＝CF ﹣BE ，∵BE ⊥EA ，CF ⊥AF ，∴∠BAC ＝∠BEA ＝∠CFA ＝90°，∴∠EAB ＋∠CAF ＝90°，∠ABE ＋∠EAB ＝90°，∴∠CAF ＝∠ABE ，在△ABE 和△ACF 中，EBA FACBEA CFA AB AC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ∴△BEA ≌△AFC ，∴EA ＝FC ，BE ＝CF ，∵EF＝EA﹣AF，∴EF＝CF﹣BE．拓展9【答案】见解析【解析】证明：连BE，∵ED⊥BC，∴∠EDB=90°，在Rt△ABE和Rt△DBE中AB BD EB EB=⎧⎨=⎩，∴△ABE≌△DBE （HL），∴DE=AE．∴DE+CE=AC．。
全等三角形的性质及判定(习题及标准答案)
全等三角形的性质及判定(习题及答案)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：??全等三角形的性质及判定（习题）➢ 例题示范例 1：已知：如图，C 为 AB 中点，CD =BE ，CD ∥BE ． 求证：△ACD ≌△CBE ．【思路分析】 ① 读题标注：DDBB② 梳理思路：要证全等，需要三组条件，其中必须有一组边相等． 由已知得，CD =BE ；根据条件 C 为 AB 中点，得 AC =CB ；这样已经有两组条件都是边，接下来看第三边或已知两边的夹角．由条件 CD ∥BE ，得∠ACD =∠B ．发现两边及其夹角相等，因此由 SAS 可证两三角形全等． 【过程书写】先准备不能直接用的两组条件，再书写全等模块．过程书写中需要注意字母对应． 证明：如图∵C 为 AB 中点 ∴AC =CB ∵CD ∥BE ∴∠ACD =∠B在△ACD 和△CBE 中 ? AC = CB （已证） ??ACD = ?B （已证） ?CD = BE （已知） ∴△ACD ≌△CBE （SAS ）ACEAC EEC➢ 巩固练习1. 如图，△ABC ≌△AED ，有以下结论：①AC =AE ；②∠DAB =∠EAB ；③ED =BC ；④∠EAB =∠DAC ． 其中正确的有（ ）A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个EAA1F EBC2BDC D 第 1 题图 第 2 题图2. 如图，B ，C ，F ，E 在同一直线上，∠1=∠2，BF =EC ，要使△ABC ≌△DEF ，还需要添加一组条件， 这个条件可以是 ，理由是 ；这个条件也可以是 ，理由是 ； 这个条件还可以是，理由是．3. 如图，D 是线段 A B 的中点，∠C =∠E ，∠B =∠A ，找出图中的一对全等三角形是 ，理由是 ．ACAG DFHBEBD第 3 题图 第 4 题图4. 如图，AB =AD ，∠BAE =∠DAC ，要使△ABC ≌△ADE ，还需要添加一组条件，这个条件可以是 ，理由是 ； 这个条件也可以是 ，理由是 ； 这个条件还可以是，理由是．BCDF1 2 5. 如图，将两根钢条 AA' ， BB' 的中点连在一起，使 AA' ， BB' 可以绕着中点 O 自由旋转，这样就做成了一个测量工具，A'B' 的长等于内槽宽 AB ．其中判定△OAB ≌△ OA'B' 的理由是 （ ）A ．SASB ．ASAC ．SSSD ．AASAB'A'E第 5 题图 第 6 题图6. 要测量河两岸相对的两点 A ，B 的距离，先在 AB 的垂线 BF上取两点 C ，D ，使 CD =BC ，再定出 BF 的垂线 DE ，使 A ， C ，E 在一条直线上（如图所示），可以说明△E DC ≌△ABC ，得 ED =AB ，因此测得 ED 的长就是 AB 的长．判定△EDC ≌ △ABC 最恰当的理由是（ ） A ．SAS B ．ASA C ．SSS D ．AAA 7. 已知：如图，M 是 AB 的中点，∠1=∠2，∠C =∠D ．求证：△AMC ≌△BMD ． 【思路分析】 ① 读题标注： ② 梳理思路： C DA MB 要证全等，需要 组条件，其中必须有一组 相等．由已知得： =，= ．根据条件，得 = ．因此，由 可证两三角形全等．【过程书写】证明：如图A OBCBFE8. 已知：如图，点 B ，F ，C ，E 在同一条直线上，且 BC =EF ，AB ∥DE ，AB =DE ．A求证：△ABC ≌△DEF ．【思路分析】 ① 读题标注： ② 梳理思路： D要证全等，需要 组条件，其中必须有一组 相等．由已知得： =，= ． 根据条件 ，得 = ．因此，由 可证两三角形全等．【过程书写】证明：如图➢思考小结1.两个三角形全等的判定有，，_，，其中AAA，SSA 不能证明三角形全等，请举反例进行说明．2.如图，A，B 两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B 间的距离，但绳子不够长，一个叔叔帮他出了这样一个主意：先在地上取一个可以直接到达A 点和B 点的点C，连接AC 并延长到D，使CD=CA；连接BC 并延长到E，使CE=CB，连接DE 并测量出它的长度，DE 的长度就是A，B 间的距离．你能说明其中的道理吗？A ECB D????【参考答案】 ➢ 巩固练习1. B2. AC =DF ，SAS ；∠B =∠E ，ASA ；∠A =∠D ，AAS3. △BCD ≌△AED ，AAS4. AC =AE ，SAS ；∠B =∠D ，ASA ；∠C =∠E ，AAS5. A6. B7.①略 ②3，边∠1，∠2；∠C ，∠DM 是 AB 的中点，AM ，BM AAS【过程书写】证明：如图，∵M 是 AB 的中点 ∴AM =BM在△AMC 和△BMD 中 ??C = ?D （已知） ??1 = ?2 （已知） ? AM = BM （已证） ∴△AMC ≌△BMD （AAS ） 8. ①略②3，边BC ，EF ， AB ，DE AB ∥DE ，∠B ，∠E SAS【过程书写】证明：如图，∵AB ∥DE ∴∠B =∠E在△ABC 和△DEF 中 ? AB = DE （已知） ??B = ?E （已证） ?BC = EF （已知） ∴△ABC ≌△DEF （SAS ）??➢ 思考小结1. SAS ，SSS ，ASA ，AASAAA 反例：大小三角板 SSA 反例：作图略 2. 证明：如图，在△ABC 和△DEC 中 ? AC = DC （已知） ??ACB = ?DCE （对顶角相等） ?BC = EC （已知） ∴△ABC ≌△DEC （SAS ）∴AB =DE （全等三角形对应边相等） 即 DE 的长度就是 A ，B 间的距离。
全等三角形的性质及判定(随堂测试及答案)
全等三角形的性质及判定（随堂测试）
1. 已知：如图，△ABC ≌△DEF ，对应边AB =DE ，___________，_________，
对应角∠ABC =∠DEF ，__________，__________．
E
D C B A
E D C B
A
第1题图 第2题图
2. 如图，∠BAD =∠CAE ，BC =DE ，若加上一个条件__________，则△ABC ≌
△ADE ，理由是___________．
3. 已知：如图，A ，F ，C ，D 在同一直线上，AC =DF ，AB ∥DE ，且AB =DE ．求
证：△ABC ≌△DEF ．
【思路分析】
①读题标注：
②梳理思路：
要证全等，需要______组条件，其中必须有一组______．
由已知得，________=_________；________=_________．
根据条件_______________，得_________=___________．
因此，由__________可证两三角形全等．
【过程书写】
证明：如图，
F E D C B A
【参考答案】
1. AC =DF ，BC =EF ，∠A =∠D ，∠C =∠F
2. AC =AE ，SAS （答案不唯一）
3. 梳理思路：
3，边
AC ，DF ；AB ，DE
AB ∥DE ，∠A ，∠D
SAS
【过程书写】
证明：如图，
∵AB ∥DE
∴∠A =∠D
在△ABC 和△DEF 中
AC DF A D AB DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已知）
（已证）（已知）
∴△ABC ≌△DEF （SAS ）。
全等三角形的的性质与判定难题50道(含详细答案)
全等三角形的的性质与判定难题50道1．边长为a 的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图），⋯，按此方式依次操作，则第6个正六边形的边长为( )A ．511()32a ⨯B ．511()23a ⨯C ．611()32a ⨯D ．611()23a ⨯2．如图，在等边ABC ∆中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且//DE AB ，过点E 作EF DE ⊥，交BC 的延长线于点F ，（1）求F ∠的度数；（2）若3CD =，求DF 的长．3．数学课上，李老师出示了如下的题目：“在等边三角形ABC 中，点E 在AB 上，点D 在CB 的延长线上，且ED EC =，如图，试确定线段AE 与DB 的大小关系，并说明理由”． 小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： （1）特殊情况，探索结论当点E 为AB 的中点时，如图1，确定线段AE 与DB 的大小关系，请你直接写出结论：AEDB （填“>”，“ <”或“=” )． （2）特例启发，解答题目解：题目中，AE 与DB 的大小关系是：AE DB （填“>”，“ <”或“=” )．理由如下：如图2，过点E 作//EF BC ，交AC 于点F ．（请你完成以下解答过程） （3）拓展结论，设计新题在等边三角形ABC 中，点E 在直线AB 上，点D 在直线BC 上，且ED EC =．若ABC ∆的边长为1，2AE =，求CD 的长（请你直接写出结果）．4．如图，过等边ABC ∆的边AB 上一点P ，作P E A C ⊥于E ，Q 为BC 延长线上一点，且PA CQ =，连PQ 交AC 边于D ． （1）求证：PD DQ =；（2）若ABC ∆的边长为1，求DE 的长．5．如图所示，已知等边ABC ∆的边长为a ，P 是ABC ∆内一点，//PD AB ，//PE BC ，//PF AC ，点D 、E 、F 分别在BC 、AC 、AB 上，猜想：PD PE PF ++= ，并证明你的猜想．6．如图，已知ABC ∆和CDE ∆均为等边三角形，且点B 、C 、D 在同一条直线上，连接AD 、BE ，交CE 和AC 分别于G 、H 点，连接GH ．（1）请说出AD BE =的理由； （2）试说出BCH ACG ∆≅∆的理由；（3）试猜想：CGH ∆是什么特殊的三角形，并加以说明．7．如图，已知ABC ∆是边长为6cm 的等边三角形，动点P ，Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 方向匀速运动，其中点P 运动的速度是1/cm s ，点Q 运动的速度是2/cm s ，当点Q 运动到点C 时，P ，Q 都停止运动．（1）出发后运动2s 时，试判断BPQ ∆的形状，并说明理由；那么此时PQ 和AC 的位置关系呢？请说明理由；（2）设运动时间为t ，BPQ ∆的面积为S ，请用t 的表达式表示S ．8．已知：在等边ABC ∆中，点D 、E 、F 分别为边AB 、BC 、AC 的中点，点G 为直线BC 上一动点，当点G 在CB 延长线上时，有结论“在直线EF 上存在一点H ，使得DGH ∆是等边三角形”成立（如图①)，且当点G 与点B 、E 、C 重合时，该结论也一定成立． 问题：当点G 在直线BC 的其它位置时，该结论是否仍然成立？请你在下面的备用图②③④中，画出相应图形并证明相关结论．9．已知点C 为线段AB 上一点，分别以AC 、BC 为边在线段AB 同侧作ACD ∆和BCE ∆，且CA CD =，CB CE =，ACD BCE ∠=∠，直线AE 与BD 交于点F ，（1）如图1，若60ACD ∠=︒，则AFB ∠= ；如图2，若90ACD ∠=︒，则AFB ∠= ；如图3，若120ACD ∠=︒，则AFB ∠= ；（2）如图4，若ACD α∠=，则AFB ∠= （用含α的式子表示）；（3）将图4中的ACD ∆绕点C 顺时针旋转任意角度（交点F 至少在BD 、AE 中的一条线段上），变成如图5所示的情形，若ACD α∠=，则AFB ∠与α的有何数量关系？并给予证明．10．如图1，ABC ∆为等边三角形，面积为S ．1D 、1E 、1F 分别是ABC ∆三边上的点，且11112AD BE CF AB ===，连接11D E 、11E F 、11F D ，可得△111D E F 是等边三角形，此时△11AD F 的面积114S S =，△111D E F 的面积114S S =． （1）当2D 、2E 、2F 分别是等边ABC ∆三边上的点，且22213AD BE CF AB ===时如图2，①求证：△222D E F 是等边三角形；②若用S 表示△22AD F 的面积2S ，则2S = ；若用S 表示△222D E F 的面积2S '，则2S '= ．（2）按照上述思路探索下去，并填空：当n D 、n E 、n F 分别是等边ABC ∆三边上的点，11n n n AD BE CF AB n ===+时，(n 为正整数）△n n n D E F 是 三角形；若用S 表示△n n AD F 的面积n S ，则n S = ；若用S 表示△n n n D E F 的面积n S '，则n S '= ．11．如图，在等边ABC ∆的三边上分别取点D 、E 、F ，使AD BE CF ==． （1）试说明DEF ∆是等边三角形；（2）连接AE 、BF 、CD ，两两相交于点P 、Q 、R ，则PQR ∆为何种三角形？试说明理由．12．如图所示，一个六边形的六个内角都是120︒，其中连续四边的长依次是1、9、9、5．求这个六边形的周长．13．如图，已知D 是ABC ∆的边BC 上的一点，CD AB =，BDA BAD ∠=∠，AE 是ABD ∆的中线．（1）若60B ∠=︒，求C ∠的值； （2）求证：AD 是EAC ∠的平分线．14．如图，ABC ∆为等边三角形，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，//DE BC 交AB 于点E ． （1）求证：ADE ∆是等边三角形．（2）求证：12AE AB =．15．如图．在等边ABC ∆中，ABC ∠与ACB ∠的平分线相交于点O ，且//OD AB ，//OE AC ． （1）试判定ODE ∆的形状，并说明你的理由；（2）线段BD 、DE 、EC 三者有什么关系？写出你的判断过程．16．如图，ABC ∆是等边三角形，DF AB ⊥，DE CB ⊥，EF AC ⊥，求证：DEF ∆是等边三角形．17．用三根火柴棒可以搭成一个等边三角形，你能用9根火柴搭出5个等边三角形吗？ 18．如图，ABC ∆是等边三角形，AD 是高，并且AB 恰好是DE 的垂直平分线． 求证：ADE ∆是等边三角形．19．如图，60AOB ∠=︒，OC 平分AOB ∠，C 为角平分线上一点，过点C 作CD OC ⊥，垂足为C ，交OB 于点D ，//CE OA 交OB 于点E ． （1）判断CED ∆的形状，并说明理由；（2）若3OC=，求CD的长．20．如图，在ABC∆中，AB AC=，120BAC∠=︒，D、F分别为AB、AC的中点，且DE AB⊥，FG AC⊥，点E、G在BC上，18BC cm=，求线段EG的长．（提示：需要添加辅助线）21．已知，如图，ABC∆是正三角形，D，E，F分别是各边上的一点，且AD BE CF==．请你说明DEF∆是正三角形．22．如图所示，DEF∆是等边三角形，且123∠=∠=∠，试问：ABC∆是等边三角形吗？请说明理由．23．如图，ABC∆为等边三角形，BD平分ABC∠，//DE BC．（1）求证：ADE∆是等边三角形；（2）求证：12AE AB=．24．如图ABC∆是等边三角形（1）如图①，//∆是等边三角形；DE BC，分别交AB、AC于点D、E．求证：ADE（2）如图②，ADE∆仍是等边三角形，点B在ED的延长线上，连接CE，判断BEC∠的度数及线段AE、BE、CE之间的数量关系，并说明理由．25．如图，E是AOB⊥，C、D是垂足，连接CD ∠的平分线上一点，EC OB⊥，ED OA交OE于点F，若60∠=︒．AOB（1）求证：OCD∆是等边三角形；（2）若5EF=，求线段OE的长．26．如图，ABCBCD CBE∠=∠=︒，BAC∆中，60∠=︒，点D、E分别在AB、AC上，30 BE、CD相交于点O，OG BC+=．OE OD OG⊥于点G，求证：227．如图，在ABC∠=∠=︒，EBC E∠，60∆中，AB AC=，D、E是ABC∆内两点，AD平分BAC若30=，则BC=cm．DE cmBE cm=，228．如图，已知ABC=，∆为等边三角形，D为BC延长线上的一点，CE平分ACD∠，CE BD 求证：ADE∆为等边三角形．29．如图，ABC∆∠=︒，DE与ABC ∆为等边三角形，D为BC边上一点，以AD为边作60ADE的外角平分线CE交于点E，连接AE，且CE BD∆是等边三角形．=．求证：ADE30．如图，在ABC+=．求ABD∠=︒，BD DC AB ∆中，AB AC=，D是三角形外一点，且60证：60∠=︒．ACD31．如图，在等边ABCOD AB，//OE AC．∠与ACB∠的平分线相交于点O，且//∆中，ABC（1）求证：ODE∆是等边三角形．（2）线段BD、DE、EC三者有什么数量关系？写出你的判断过程．（3）数学学习不但要能解决问题，还要善于提出问题．结合本题，在现有的图形上，请提出两个与“直角三角形”有关的问题．（只要提出问题，不需要解答）32．已知：如图，在ABC∠=︒，BD是中线，延长BC至点E，使C E C D=．A=，60∆中，AB AC求证：DB DE=．33．如图，ABD∆和BCD∆均是边长为2的等边三角形，E、F分别是AD、CD上的两个动点，且满足2+=．AE CF（1）求证：BDE BCF∆≅∆；（2）判断BEF∆的形状，并说明理由．34．已知：如图，四边形ABCD中，AB BC CD DA a∠=︒，M为BC上====，120BAD的点(M不与B、C重合），若AMN∆有一角等于60︒．（1）当M 为BC 中点时，则ABM ∆的面积为 （结果用含a 的式子表示）； （2）求证：AMN ∆为等边三角形；（3）设AMN ∆的面积为S ，求出S 的取值范围（结果用含a 的式子表示）．35．如图，点O 是等边ABC ∆内一点，110AOB ∠=︒，BOC α∠=，将B O C ∆绕点C 按顺时针方向旋转60︒得ADC ∆，连接OD ． （1）COD ∆是什么三角形？说明理由；（2）若21AO n =+，21AD n =-，2(OD n n =为大于1的整数），求α的度数； （3）当α为多少度时，AOD ∆是等腰三角形？36．已知：如图，ABC ∆、CDE ∆都是等边三角形，AD 、BE 相交于点O ，点M 、N 分别是线段AD 、BE 的中点． （1）求证：AD BE =； （2）求DOE ∠的度数；（3）求证：MNC ∆是等边三角形．37．已知：在AOB ∆和COD ∆中，OA OB =，OC OD =．（1）如图①，若60AOB COD ∠=∠=︒，求证：①AC BD =②60APB ∠=︒．（2）如图②，若A O B C O D α∠=∠=，则AC 与BD 间的等量关系式为 ，APB ∠的大小为 （直接写出结果，不证明）38．如图，ABC ∆是等边三角形，D 是AC 上一点，BD CE =，12∠=∠，试判断ADE ∆形状，并证明你的结论．39．等边ABC ∆边长为6，P 为BC 上一点，含30︒、60︒的直角三角板60︒角的顶点落在点P 上，使三角板绕P 点旋转．（1）如图1，当P 为BC 的三等分点，且PE AB ⊥时，判断EPF ∆的形状；（2）在（1）问的条件下，FE 、PB 的延长线交于点G ，如图2，求EGB ∆的面积； （3）在三角板旋转过程中，若2CF AE ==，()CF BP ≠，如图3，求PE 的长．40．为了使同学们更好地解答本题，我们提供了思路点拨，你可以依照这个思路填空，并完成本题解答的全过程，当然你也可以不填空，只需按照解答的一般要求，进行解答即可． 如图，已知AB AD =，60BAD ∠=︒，120BCD ∠=︒，延长BC ，使C E C D =，连接DE ，求证：BC DC AC +=． 思路点拨：（1）由已知条件AB AD=，60BAD∠=︒，可知：ABD∆是三角形；（2）同理由已知条件120BCD∠=︒得到DCE∠=，且CE CD=，可知；（3）要证BC DC AC+=，可将问题转化为两条线段相等，即=；（4）要证（3）中所填写的两条线段相等，可以先证明⋯．请你完成证明过程：41．已知ABC∆是等边三角形，点P是AC上一点，PE BC⊥于点E，交AB于点F，在CB 的延长线上截取BD PA=，PD交AB于点I，PA nPC=．（1）如图1，若1n=，则EBBD=，FIED=；（2）如图2，若60EPD∠=︒，试求n和FIED的值；（3）如图3，若点P在AC边的延长线上，且3n=，其他条件不变，则EBBD=．（只写答案不写过程）42．如图ABC∆为等边三角形，直线//a AB，D为直线BC上任一动点，将一60︒角的顶点置于点D处，它的一边始终经过点A，另一边与直线a交于点E．（1）若D恰好在BC的中点上（如图1)求证：ADE∆是等边三角形；（2）若D为直线BC上任一点（如图2)，其他条件不变，上述（1）的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．43．如图，在等边ABC=，点P从点C出发沿CB边向点B点以2/cm s的速AB cm∆中，9度移动，点Q点从B点出发沿BA边向A点以5/cm s速度移动．P、Q两点同时出发，它们移动的时间为t秒钟．（1）你能用t表示BP和BQ的长度吗？请你表示出来．（2）请问几秒钟后，PBQ∆为等边三角形？（3）若P、Q两点分别从C、B两点同时出发，并且都按顺时针方向沿ABC∆三边运动，请问经过几秒钟后点P与点Q第一次在ABC∆的哪条边上相遇？44．如图：在ABC⊥于Q．==，AE CD∆中，AB BC AC=，AD与BE相交于点P，BQ AD求证：①ADC BEA∆≅∆；②2=．BP PQ45．如图1，点B是线段AD上一点，ABC∆分别是等边三角形，连接AE和CD．∆和BDE（1）求证：AE CD=；（2）如图2，点P、Q分别是AE、CD的中点，试判断PBQ∆的形状，并证明．46．如图：已知ABC∆是等边三角形，D、E、F分别是AB、AC、BC边的中点，M是直线BC上的任意一点，在射线EF上截取EN，使EN FM=，连接DM、MN、DN．（1）如图①，当点M在点B左侧时，请你按已知要求补全图形，并判断DMN∆是怎样的特殊三角形（不要求证明）；（2）请借助图②解答：当点M在线段BF上（与点B、F不重合），其它条件不变时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）请借助图③解答：当点M在射线FC上（与点F不重合），其它条件不变时，（1）中的结论是否仍然成立？不要求证明．47．如图，ABC∆是等边三角形，点D、E、F分别是线段AB、BC、CA上的点，（1）若AD BE CF∆是等边三角形吗？试证明你的结论；==，问DEF（2）若DEF∆是等边三角形，问AD BE CF==成立吗？试证明你的结论．48．如图，已知ABC=，连∆为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE BD 接CE，DE．求证：EC ED=．49．如图，已知ABC ∆与ACD ∆都是边长为2的等边三角形，如图有一个60︒角的三角板绕着点A 旋转分别交BC 、CD 于点P 、Q 两点（不与端点重合）． （1）试说明：PAQ ∆是等边三角形； （2）求四边形APCQ 的面积；（3）填空：当BP = 时，APQ S ∆最小．50．如图，A 、B 、C 三点在同一直线上，ABM ∆和BCN ∆是正三角形，P 是AN 中点，Q 是CM 中点．求证：BPQ ∆是正三角形．全等三角形的的性质与判定难题50道参考答案与试题解析一．选择题（共1小题）1．边长为a 的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图），⋯，按此方式依次操作，则第6个正六边形的边长为( )A ．511()32a ⨯B ．511()23a ⨯C ．611()32a ⨯D ．611()23a ⨯【解答】解：连接AD 、DF 、DB ． 六边形ABCDEF 是正六边形，ABC BAF AFE ∴∠=∠=∠，AB AF =，120E C ∠=∠=︒，EF DE BC CD ===， 30EFD EDF CBD BDC ∴∠=∠=∠=∠=︒， 120AFE ABC ∠=∠=︒， 90AFD ABD ∴∠=∠=︒，在Rt ABD ∆和RtAFD 中 AF ABAD AD =⎧⎨=⎩Rt ABD Rt AFD(HL)∴∆≅∆， 1120602BAD FAD ∴∠=∠=⨯︒=︒，60120180FAD AFE ∴∠+∠=︒+︒=︒， //AD EF ∴，G 、I 分别为AF 、DE 中点，////GI EF AD ∴，60FGI FAD ∴∠=∠=︒，六边形ABCDEF 是正六边形，QKM ∆是等边三角形， 60EDM M ∴∠=︒=∠，ED EM ∴=，同理AF QF =， 即AF QF EF EM ===， 等边三角形QKM 的边长是a ，∴第一个正六边形ABCDEF 的边长是13a ，即等边三角形QKM 的边长的13，过F 作FZ GI ⊥于Z ，过E 作EN GI ⊥于N ， 则//FZ EN ， //EF GI ，∴四边形FZNE 是平行四边形，13EF ZN a ∴==，11112236GF AF a a ==⨯=，60FGI ∠=︒（已证）， 30GFZ ∴∠=︒，11212GZ GF a ∴==，同理112IN a =， 1111123122GI a a a a ∴=++=，即第二个等边三角形的边长是12a ，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第二个正六边形的边长是1132a ⨯；同理第第三个等边三角形的边长是1122a ⨯，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第三个正六边形的边长是111322a ⨯⨯；同理第四个等边三角形的边长是111222a ⨯⨯，第四个正六边形的边长是11113222a ⨯⨯⨯；第五个等边三角形的边长是11112222a ⨯⨯⨯，第五个正六边形的边长是1111132222a ⨯⨯⨯⨯；第六个等边三角形的边长是1111122222a ⨯⨯⨯⨯，第六个正六边形的边长是111111322222a ⨯⨯⨯⨯⨯， 即第六个正六边形的边长是511()32a ⨯，故选：A ．二．解答题（共49小题）2．如图，在等边ABC ∆中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且//DE AB ，过点E 作EF DE ⊥，交BC 的延长线于点F ，（1）求F ∠的度数；（2）若3CD =，求DF 的长．【解答】解：（1）ABC ∆是等边三角形，60B ∴∠=︒， //DE AB ，60EDC B ∴∠=∠=︒，EF DE ⊥，90DEF ∴∠=︒，9030F EDC ∴∠=︒-∠=︒；（2）60ACB ∠=︒，60EDC ∠=︒，EDC∴∆是等边三角形．∴==，ED DC3∠=︒，F90∠=︒，30DEF∴==．DF DE263．数学课上，李老师出示了如下的题目：“在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED EC=，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”．小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况，探索结论当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE =DB（填“>”，“<”或“=”)．（2）特例启发，解答题目解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE DB（填“>”，“<”或“=”)．理由如下：如图2，过点E作//EF BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED EC∆的边=．若ABC 长为1，2AE=，求CD的长（请你直接写出结果）．【解答】解：（1）故答案为：=．（2）过E作//EF BC交AC于F，等边三角形ABC，∴∠=∠=∠=︒，AB AC BC==，ABC ACB A60AFE ACB∴∠=∠=︒，60∠=∠=︒，AEF ABC60即60∠=∠=∠=︒，AEF AFE A∴∆是等边三角形，AEFAE EF AF ∴==，60ABC ACB AFE ∠=∠=∠=︒，120DBE EFC ∴∠=∠=︒，60D BED FCE ECD ∠+∠=∠+∠=︒，DE EC =，D ECD ∴∠=∠，BED ECF ∴∠=∠，在DEB ∆和ECF ∆中DEB ECF DBE EFC DE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，DEB ECF ∴∆≅∆，BD EF AE ∴==，即AE BD =，故答案为：=．（3）解：1CD =或3，理由是：分为两种情况：①如图1过A 作AM BC ⊥于M ，过E 作EN BC ⊥于N ，则//AM EN ，ABC ∆是等边三角形，1AB BC AC ∴===，AM BC ⊥， 1122BM CM BC ∴===， DE CE =，EN BC ⊥，2CD CN ∴=，//AM EN ，AMB ENB ∴∆∆∽， ∴AB BM BE BN=， ∴11221BN=-， 12BN ∴=， 13122CN ∴=+=， 23CD CN ∴==；②如图2，作AM BC ⊥于M ，过E 作EN BC ⊥于N ，则//AM EN ，ABC ∆是等边三角形，1AB BC AC ∴===，AM BC ⊥，1122BM CM BC ∴===， DE CE =，EN BC ⊥，2CD CN ∴=，//AM EN ， ∴AB BM AE MN=， ∴1122MN=， 1MN ∴=，11122CN ∴=-=，21CD CN ∴==，即3CD =或1．4．如图，过等边ABC ∆的边AB 上一点P ，作P E A C ⊥于E ，Q 为BC 延长线上一点，且PA CQ =，连PQ 交AC 边于D ．（1）求证：PD DQ =；（2）若ABC ∆的边长为1，求DE 的长．【解答】（1）证明：如图，过P 做//PF BC 交AC 于点F ，AFP ACB ∴∠=∠，FPD Q ∠=∠，PFD QCD ∠=∠ABC ∆为等边三角形，60A ACB ∴∠=∠=︒，60A AFP ∴∠=∠=︒，APF ∴∆是等边三角形；AP PF =，AP CQ =，PF CQ ∴=PFD QCD ∴∆≅∆，PD DQ ∴=．（2）APF ∆是等边三角形，PE AC ⊥，AE EF ∴=，PFD QCD ∆≅∆，CD DF ∴=，12DE EF DF AC =+=， 1AC =，12DE =． 5．如图所示，已知等边ABC ∆的边长为a ，P 是ABC ∆内一点，//PD AB ，//PE BC ，//PF AC ，点D 、E 、F 分别在BC 、AC 、AB 上，猜想：PD PE PF ++= a ，并证明你的猜想．【解答】解：PD PE PF a ++=．理由如下：如图，延长EP 交AB 于G ，延长FP 交BC 于H ，//PE BC ，//PF AC ，ABC ∆是等边三角形，60PGF B ∴∠=∠=︒，60PFG A ∠=∠=︒，PFG ∴∆是等边三角形，同理可得PDH ∆是等边三角形，PF PG ∴=，PD DH =，又//PD AB ，//PE BC ，∴四边形BDPG是平行四边形，∴=，PG BD∴++=++==．PD PE PF DH CH BD BC a故答案为a．6．如图，已知ABC∆均为等边三角形，且点B、C、D在同一条直线上，连接AD、∆和CDEBE，交CE和AC分别于G、H点，连接GH．（1）请说出AD BE=的理由；（2）试说出BCH ACG∆≅∆的理由；（3）试猜想：CGH∆是什么特殊的三角形，并加以说明．【解答】解：（1）ABC∆均为等边三角形∆和CDE=∴=，EC DCAC BC∠=∠=︒ACB ECD60∴∠=∠ACD ECBACD BCE∴∆≅∆∴=；AD BE（2）ACD BCE∆≅∆∴∠=∠CBH CAGACB ECD∠=∠=︒，点B、C、D在同一条直线上60∴∠=∠=∠=︒ACB ECD ACG60又AC BC=ACG BCH∴∆≅∆；（3）CGH∆是等边三角形，理由如下：ACG BCH∆≅∆∴=（全等三角形的对应边相等）CG CH又60∠=︒ACG∴∆是等边三角形（有一内角为60度的等腰三角形为等边三角形）；CGH7．如图，已知ABC∆是边长为6cm的等边三角形，动点P，Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速运动，其中点P运动的速度是1/cm s，cm s，点Q运动的速度是2/当点Q运动到点C时，P，Q都停止运动．（1）出发后运动2s时，试判断BPQ∆的形状，并说明理由；那么此时PQ和AC的位置关系呢？请说明理由；（2）设运动时间为t，BPQ∆的面积为S，请用t的表达式表示S．【解答】解：（1）BPQ∆是等边三角形，//PQ AC，（2分）运动至2s时，2AP=，4BQ=，BP AB AP BQ∴=-==（4分）4又ABC∆是边长为6cm的等边三角形∴∠=︒B60∴∆是等边三角形（6分）BPQ∴∠=∠=︒60BPQ A∴．//PQ AC（2）过Q作QH AB⊥于H，=，30∠=︒，BQHBQ t2∴=，QH=．（10分）BH t=-BP t6213(6)3(6)2S t t t t ∴=-=-=+． （12分）8．已知：在等边ABC ∆中，点D 、E 、F 分别为边AB 、BC 、AC 的中点，点G 为直线BC上一动点，当点G 在CB 延长线上时，有结论“在直线EF 上存在一点H ，使得DGH ∆是等边三角形”成立（如图①)，且当点G 与点B 、E、C 重合时，该结论也一定成立． 问题：当点G 在直线BC 的其它位置时，该结论是否仍然成立？请你在下面的备用图②③④中，画出相应图形并证明相关结论．【解答】证明：连接DE 、EF 、DF ．（1）当点G 在线段BE 上时，如图①，在EF 上截取EH 使EH BG =．D 、E 、F 是等边ABC ∆三边中点，DEF ∴∆、DBE ∆也是等边三角形且12DE AB BD ==． 在DBG ∆和DEH ∆中，60DB DE DBG DEH BG EH =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()DBG DEH SAS ∴∆≅∆，DG DH ∴=．BDG EDH ∴∠=∠．60BDE GDE BDG ∠=∠+∠=︒，60GDH GDE EDH ∴∠=∠+∠=︒∴在直线EF 上存在点H 使得DGH ∆是等边三角形．（2）当点G 在射线EC 上时，如图②，在EF 上截取EH 使EH BG =．由（1）可证DBG DEH ∆≅∆．DG DH ∴=，BDG EDH ∠=∠．60BDE BDG EDG ∠=∠-∠=︒，60GDH EDH EDG ∴∠=∠-∠=︒．∴在直线EF 上存在点H 使得DGH ∆是等边三角形．（3）当点G 在BC 延长线上时，如图③，与（2）同理可证，结论成立．综上所述，点G 在直线BC 上的任意位置时，该结论成立．9．已知点C 为线段AB 上一点，分别以AC 、BC 为边在线段AB 同侧作ACD ∆和BCE ∆，且CA CD =，CB CE =，ACD BCE ∠=∠，直线AE 与BD 交于点F ，（1）如图1，若60ACD ∠=︒，则AFB ∠= 120︒ ；如图2，若90ACD ∠=︒，则AFB ∠= ；如图3，若120ACD ∠=︒，则AFB ∠= ；（2）如图4，若ACDα∠=（用含α的式子表示）；∠=，则AFB（3）将图4中的ACD∆绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在BD、AE中的一条线段上），变成如图5所示的情形，若ACDα∠与α的有何数量关系？并给予∠=，则AFB证明．【解答】解：（1）如图1，CA CD∠=︒，ACD=，60所以ACD∆是等边三角形．∠=∠=︒，ACD BCE=，60CB CE所以ECB∆是等边三角形．AC DC∠=∠+∠，BCD BCE DCE∠=∠+∠，=，ACE ACD DCE又ACD BCE∠=∠，∴∠=∠．ACE BCDAC DC=，=，CE BC∴∆≅∆．ACE DCB∴∠=∠．EAC BDC∠是ADFAFB∆的外角．∴∠=∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠=︒AFB ADF FAD ADC CDB FAD ADC EAC FAD ADC DAC120．如图2，AC CD=，∠=∠=︒，EC CBACE DCB=，90∴∆≅∆．ACE DCB∴∠=∠，AEC DBC又FDE CDB∠=︒，DCB∠=∠，9090EFD ∴∠=︒．90AFB ∴∠=︒．如图3，ACD BCE ∠=∠，ACD DCE BCE DCE ∴∠-∠=∠-∠．ACE DCB ∴∠=∠．又CA CD =，CE CB =，ACE DCB ∴∆≅∆．EAC BDC ∴∠=∠．180180(180)120BDC FBA DCB ACD ∠+∠=︒-∠=︒--∠=︒， 120FAB FBA ∴∠+∠=︒．60AFB ∴∠=︒．故填120︒，90︒，60︒．（2）ACD BCE ∠=∠，ACD DCE BCE DCE ∴∠+∠=∠+∠．ACE DCB ∴∠=∠．CAE CDB ∴∠=∠．DFA ACD ∴∠=∠．180180180AFB DFA ACD α∴∠=︒-∠=︒-∠=︒-．（3）180AFB α∠=︒-；证明：ACD BCE α∠=∠=，则ACD DCE BCE DCE ∠+∠=∠+∠， 即ACE DCB ∠=∠．在ACE ∆和DCB ∆中AC DC ACE DCB CE CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，则()ACE DCB SAS ∆≅∆．则CBD CEA ∠=∠，由三角形内角和知EFB ECB α∠=∠=． 180180AFB EFB α∠=︒-∠=︒-．10．如图1，ABC ∆为等边三角形，面积为S ．1D 、1E 、1F 分别是ABC ∆三边上的点，且。
全等三角形的性质及判定(讲义随堂练习习题及答案)
全等三角形的性质及判定（讲义）课前预习1. “完全重合”的意思是“形状相同、大小相等”，下列图形能够完全重合吗，为什么？①把长方形纸片对折再沿折痕剪开，重叠放置后，任意剪下一个三角形，从而得到的两个三角形； ②三棱柱上下底面的两个三角形；③学生用的含有30°角的三角板（带孔）中内外两个三角形； ④张贴在家中的世界地图和手机上的世界地图．知识点睛1. 由____________________的三条线段_________________所组成的图形叫做三角形．三角形可用符号“________”表示．2. _____________________的两个三角形叫做全等三角形，全等用符号“_________”表示．全等三角形的__________相等，____________相等．3. 全等三角形的判定定理：______________________________．精讲精练1. 如图，△ABC ≌△DEF ，对应边AB =DE ，______________，_________，对应角∠B =∠DEF ，_________，__________．FEDCBAAC12O第1题图 第2题图 第3题图2. 如图，△ACO ≌△BCO ，对应边AC =BC ，______________，__________，对应角∠1=∠2，____________，____________．3. 如图，△ABC ≌△DEC ，对应边___________，__________，___________，对应角_______________，_______________，______________．4. 如图，△ABC ≌△CDA ，对应边___________，__________，___________，对应角_______________，_______________，______________．DA ODCA第4题图 第5题图5. 如图，AD ，BC 相交于点O ，若AO =DO ，BO =CO ，则_______≌_______，理由是_________．EDCB A6. 如图，若AD =CB ，AB =CD ，则___________≌___________，理由是_______________；若∠B =∠D ，∠BCA =∠DAC ，则_________≌________，理由是__________．ABCD③②①第6题图 第7题图7. 如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成3块，现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（ ）A ．带①去B ．带②去C ．带③去D ．①②③都带去8. 如图，AO =BO ，若加上一个条件________________________，则△AOC ≌△BOC ，理由是__________． OBCA21E BA第8题图 第9题图 第10题图9. 如图，∠1=∠2，若加上一个条件_______________________，则△ABE ≌△ACE ，理由是____________．10. 如图，AD ，BC 相交于点O ，∠A =∠C ，若加上一个条件_______________，则△AOB ≌△COD ，理由是_________．11. 如图，AB =AD ，∠1=∠2，如果要使△ABC ≌△ADE ，还需要添加一个条件，这个条件可以是_________________，理由是____________； 这个条件也可以是_______________，理由是____________； 这个条件也可以是_______________，理由是____________．12. 如图，点B ，E ，C ，F 在同一直线上，在△ABC 与△DEF 中，AB =DE ，AC =DF ，若∠_____=∠_____，则△ABC ≌△DEF ，所以BC =________，因此BE =________．13. 如图，AE =BF ，AD ∥BC ，AD =BC ，则△ADF ≌_________，理由是_________，因此DF =__________．OCA 21EDBAA BC DE FFEDA14.已知：如图，BC=DE，∠B=∠D，∠BAC=∠DAE．求证：△ABC≌△ADE．15.已知：如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，∠B=∠C．求证：△ADC≌△AEB．16.已知：如图，AB=CD，AB∥CD．求证：△ABD≌△CDB．巩固练习1.如图，△ABC≌△AED，有以下结论：①AC=AE；②∠DAB=∠EAB；③ED=BC；④∠EAB=∠DAC．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个ED AHGFEDCBA第1题图第2题图2.如图，D是线段AB的中点，∠C=∠E，∠B=∠A，找出图中的一对全等三角形是_______________，理由是_________．ED AEDCBADCBA3. 如图，AB =AD ，∠BAE =∠DAC ，要使△ABC ≌△ADE ，还需要添加一组条件，这个条件可以是_______________，理由是_____________；这个条件也可以是_____________，理由是_____________；这个条件还可以是_____________，理由是_____________．4. 如图，将两根钢条AA'，BB'的中点连在一起，使AA'，BB'可以绕着中点O 自由旋转，这样就做成了一个测量工具，A'B'的长等于内槽宽AB ．其中判定△OAB ≌△OA'B'的理由是（ ）A ．SASB ．ASAC ．SSSD ．AASB'A'OBAFED C B A第4题图 第5题图5. 要测量河两岸相对的两点A ，B 的距离，先在AB 的垂线BF 上取两点C ，D ，使CD =BC ，再定出BF 的垂线DE ，使A ，C ，E 在一条直线上（如图所示），可以说明△EDC ≌△ABC ，得ED =AB ，因此测得ED 的长就是AB 的长．判定△EDC ≌△ABC 最恰当的理由是（ ） A ．SASB ．ASAC ．SSSD ．AAA6. 已知：如图，M 是AB 的中点，∠1=∠2，∠C =∠D ．求证：△AMC ≌△BMD ．7. 已知：如图，点B ，F ，C ，E 在同一条直线上，且BC =EF ，AB ∥DE ，AB =DE ．求证：△ABC ≌△DEF ．21MDCB A FECBA ECA【参考答案】课前预习①能；②能③不能；大小不相等；④不能；大小不相等知识点睛1. 不在同一直线上；首尾顺次相接；△2. 能够完全重合；≌；对应边；对应角3. SAS ，SSS ，ASA ，AAS精讲精练1. AC =DF ；BC =EF ；∠A =∠D ；∠ACB =∠F2. AO =BO ；CO =CO ；∠A =∠B ；∠ACO =∠BCO3. AB =DE ；AC =DC ；BC =EC ；∠A =∠D ；∠B =∠E ；∠ACB =∠DCE4. AB =CD ；AC =CA ；BC =DA ；∠B =∠D ；∠BAC =∠DCA ；∠BCA =∠DAC5. △AOB ；△DOC ；SAS6. △ABC ；△CDA ；SSS ；△ABC ；△CDA ；AAS7. C8. AC =BC ；SSS （答案不唯一）9. BE =CE ；SAS （答案不唯一） 10. AB =CD ；AAS （答案不唯一）11. AC =AE ；SAS ；∠B =∠D ；ASA ；∠C =∠E ；AAS 12. A ；D ；EF ；CF 13. △BCE ；SAS ；CE14. 证明：如图，在△ABC 和△ADE 中，BAC DAE B D BC DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已知）（已知）（已知）∴△ABC ≌△ADE （AAS ） 15. 证明：如图，在△ADC 和△AEB 中，A A AC ABC B ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩（公共角）（已知）（已知）∴△ADC ≌△AEB （ASA ） 16. 解：如图，DCB A21∵AB ∥CD ∴∠1=∠2在△ABD 和△CDB 中，1 2 AB CD BD DB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已知）（已证）（公共边）∴△ABD ≌△CDB （SAS ）全等三角形的性质及判定（随堂测试）1. 已知：如图，△ABC ≌△DEF ，对应边AB =DE ，___________，_________，对应角∠ABC =∠DEF ，__________，__________．E D CBAEDCBA第1题图 第2题图2. 如图，∠BAD =∠CAE ，BC =DE ，若加上一个条件__________，则△ABC ≌△ADE ，理由是___________．3.已知：如图，A，F，C，D在同一直线上，AC=DF，AB∥DE，且AB=DE．求证：△ABC≌△DEF．【思路分析】①读题标注：②梳理思路：要证全等，需要______组条件，其中必须有一组______．由已知得，________=_________；________=_________．根据条件_______________，得_________=___________．因此，由__________可证两三角形全等．【过程书写】证明：如图，【参考答案】1.AC=DF，BC=EF，∠A=∠D，∠C=∠F2.AC=AE，SAS（答案不唯一）3.梳理思路：3，边AC，DF；AB，DEAB∥DE，∠A，∠DSAS【过程书写】证明：如图，∵AB∥DE∴∠A=∠D在△ABC和△DEF中FE DCBAAC DF A D AB DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已知）（已证）（已知）∴△ABC ≌△DEF （SAS ）全等三角形的性质及判定（随堂测试）4. 已知：如图，△ABC ≌△DEF ，对应边AB =DE ，___________，_________，对应角∠ABC =∠DEF ，__________，__________．E D CBAEDBA第1题图 第2题图5. 如图，∠BAD =∠CAE ，BC =DE ，若加上一个条件__________，则△ABC ≌△ADE ，理由是___________．6. 已知：如图，A ，F ，C ，D 在同一直线上，AC =DF ，AB ∥DE ，且AB =DE ．求证：△ABC ≌△DEF ． 【思路分析】 ①读题标注： ②梳理思路：F EDCBA要证全等，需要______组条件，其中必须有一组______． 由已知得，________=_________；________=_________． 根据条件_______________，得_________=___________． 因此，由__________可证两三角形全等． 【过程书写】 证明：如图，【参考答案】4. AC =DF ，BC =EF ，∠A =∠D ，∠C =∠F5. AC =AE ，SAS （答案不唯一）6. 梳理思路：3，边AC ，DF ；AB ，DE AB ∥DE ，∠A ，∠D SAS【过程书写】 证明：如图， ∵AB ∥DE ∴∠A =∠D在△ABC 和△DEF 中AC DF A D AB DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已知）（已证）（已知）∴△ABC ≌△DEF （SAS ）。
全等三角形的判定和性质(一)(人教版)(含答案)
A.SSS B.SAS
C.AAS D.HL
答案：D
解题思路：
1.思路点拨：
三角板说明∠PMO=∠PNO=90°，结合OM=ON，OP=OP,故判定三角形全等的方法是“HL”．
C.(4)(6)(1) D.(2)(3)(4)
答案：D
解题思路：
1.思路点拨：判定两个三角形是否全等，必须依据全等三角形的五种判定方法；且全等三角形的判定方法中必有一条边相等．
2.解题过程：
根据全等三角形的判定方法，对照图形和选项，注意验证：
选项A：符合判定方法SAS；
选项B：符合判定方法SSS
选项C：符合判定方法AAS；
A.AAS B.SAS
C.ASA D.SSS
答案：B
解题思路：
1.思路点拨：
等边三角形存在边相等，可以证全等．
2.解题过程：
∵△ABD和△ACE均为等边三角形，且∠DAB=∠CAE=60°
∴DA=BA，AC=AE，∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC
在△ADC和△AEB中
∴△ADC≌△ABE（SAS）
A.50° B.60°
C.62° D.64°
答案：B
解题思路：
1.思路点拨：
①把∠BDC看成△ACD的外角，只需求∠ACD；
②利用全等的性质，得到 ；求出 即可．
2.解题过程：
∵∠ACB=90°，∠A=20°
∴∠CBA=70°
∵
∴ ， ，
∴
∵
∴
∴∠BDC=∠A+∠ACD=20°+40°=60°，
本题考点全等三角形的性质及判定
（本题满分10分）
如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（ ）
A. 带①去
B. 带②去
C. 带③去
D. 带①和②去
思路分析：
已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，然后根据三角形全等的判定方法即可求解.
解答过程：
①和②只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；
③不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据“ASA”来配一块一样的玻璃.因此应带③去.
答案：C
拓展提升：
本题要求学生将所学的知识运用于实际生活中，要认真观察图形，根据图形选择方法
.
本题考点：全等三角形的性质及判定 难度：中。
全等三角形的判定与性质(四)(人教版)(含答案)
全等三角形的判定与性质（四）（人教版）一、单选题(共8道，每道12分)1.已知：如图，AD=BC，AC=BD．求证：△AOD≌△BOC证明：在△ADB和△BCA中__________________∴△ADB≌△BCA___________∴__________________（全等三角形对应角相等）在△AOD和△BOC中__________________∴△AOD≌△BOC（AAS）请你仔细观察下列序号所代表的内容：①，②，③SSS，④SAS，⑤∠ABD=∠BAC，⑥∠1=∠2，⑦，⑧，以上空缺处依次填写正确的是( )A.②④⑥⑦B.②④⑤⑧C.①③⑥⑦D.①③⑤⑧答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：全等三角形证明过程训练2.如图，在△ABC中，D是BC边的中点，过点D的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG 于点G，DE⊥DF，交AB于点E，连接EG，EF．线段BE，CF的和与线段EF的大小关系是( )A.BE+CF=EFB.BE+CF＞EFC.BE+CF<EFD.BE+CF≥EF答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定与性质3.如图，在四边形ABCD中，AB=AC，∠ABD=60°，∠ADB=76°，∠BDC=28°，延长BD至点E，使得DE=DC，连接AE，则∠DBC的度数为( )A.18°B.16°C.15°D.14°答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定与性质4.如图，在正方形ABCD中，CE=MN，∠MCE=35°，那么∠ANM等于( )A.45°B.50°C.55°D.60°答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定与性质5.在△ABC中，∠BCA=90°，AC=BC，分别过点A，点B向经过C的直线CD作垂线，垂足分别为E，F，若AE=5，BF=3，则EF的值为( )A.4或6B.2或4C.4或8D.2或8答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定与性质6.如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE=DF，连接BF，CE．下列结论：①△BDF≌△CDE；②CE=BF；③BF∥CE；④△ABD和△ACD面积相等．其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定与性质7.如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD，CE交于点H，且EH=EB，小彤在研究时得到四个结论：①∠ABC=45°；②AH=BC；③AE-BE=CH；④△AEC是等腰直角三角形．你认为正确的序号是( )A.①②③④B.②③④C.①②③D.②③答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定与性质8.如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，DH⊥BC于H，交BE于G．下列结论：①BD=CD；②AD+CF=BD；③，其中正确的是( )A.①②B.①③C.②③D.①②③答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定与性质。
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全等三角形的性质及判定（随堂测试）
1. 已知：如图，△ABC ≌△DEF ，对应边AB =DE ，___________，_________，对应角∠ABC =∠DEF ，__________，__________．
E
D C B A
E D B
A
第1题图 第2题图
2. 如图，∠BAD =∠CAE ，BC =DE ，若加上一个条件__________，则△ABC ≌△ADE ，理由是___________．
3. 已知：如图，A ，F ，C ，D 在同一直线上，AC =DF ，AB ∥DE ，且AB =DE ．求证：△ABC ≌△DEF ．
【思路分析】
①读题标注：
②梳理思路：
要证全等，需要______组条件，其中必须有一组______．
由已知得，________=_________；________=_________．
根据条件_______________，得_________=___________．
因此，由__________可证两三角形全等．
【过程书写】
证明：如图，
F E D C B
【参考答案】
1. AC =DF ，BC =EF ，∠A =∠D ，∠C =∠F
2. AC =AE ，SAS （答案不唯一）
3. 梳理思路：
3，边
AC ，DF ；AB ，DE
AB ∥DE ，∠A ，∠D
SAS
【过程书写】
证明：如图，
∵AB ∥DE
∴∠A =∠D
在△ABC 和△DEF 中
AC DF A D AB DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
（已知）（已证）
（已知） ∴△ABC ≌△DEF （SAS ）。