2016-2017学年高中数学章末质量评估3北师大版选修1-2资料

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金版新学案2016-2017学年(北师大版)高中数学选修1-2检测：第三章推理与证明33.1含答案

第三章§3 3.1(本栏目内容,在学生用书中以独立形式分册装订!)一、选择题1．若a>0，b>0,则下列不等式中不成立的是（)A．a2＋b2≥2ab B．a＋b≥2错误!C．a2＋b2≥错误!（a＋b)2D．错误!＋错误!<错误!(a≠b）解析:a2＋b2≥2ab，a＋b≥2错误!.a2＋b2－错误!(a＋b)2＝错误!a2＋错误!b2－ab＝错误!（a－b）2≥0即a2＋b2≥错误!(a＋b)2。

故选D。

答案： D2．对于0＜a＜1，给出四个不等式：①log a(1＋a)＜log a错误!;②log a（1＋a)＞log a错误!；③a1＋a＜a1＋错误!；④a1＋a＞a1＋错误!。

其中成立的是()A．①与③B．①与④C．②与③D．②与④解析:∵0＜a＜1，∴0＜a＜错误!∴1＜1＋a＜1＋1，a又∵0＜a＜1,∴log a(1＋a)＞log a错误!，且a1＋a＞a1＋错误!.答案: D3．p＝错误!＋错误!，q＝错误!错误!(m，n，a，b，c，d均为正数)，则p,q的大小为()A．p≥q B．p≤qC．p>q D．不确定解析：q＝错误!≥错误!＝ab＋错误!＝p.答案: B4．在△ABC中，已知sin A cos A＝sin B cos B,则该三角形是（)A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形解析：由sin A cos A＝sin B cos B，∴sin 2A＝sin 2B，∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝错误!，∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．答案： D二、填空题5．设a＝错误!，b＝错误!－错误!，c＝错误!－错误!，则a,b,c的大小关系为________．解析:∵a2－c2＝2－(8－4错误!)＝4错误!－6＝错误!－错误!＞0，∴a＞c。

∵cb＝错误!＝错误!＞1，∴c＞b.答案:a＞c＞b6．已知a、b、u∈R*，且1a＋错误!＝1，则使得a＋b≥u恒成立的u的取值范围是________．解析：a＋b＝错误!×（a＋b）＝10＋错误!＋错误!≥10＋2错误!＝16，当且仅当错误!＝错误!即3a＝b时取等号，若a＋b≥u恒成立，则u≤16.答案：(－∞,16］三、解答题7．已知a,b>0，且a＋b＝1，求证:错误!＋错误!≥4。

2016-2017学年高中数学北师大版选修1-2学案：章末分层突破1 Word版含解析

章末分层突破[自我校对]①回归分析②独立性检验③相关系数④相互独立事件,回归分析分析两个变量线性相关的常用方法：(1)散点图法，该法主要是用来直观地分析两变量间是否存在相关关系．(2)相关系数法，该法主要是从量上分析两个变量间相互联系的密切程度，|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小．下表是一位母亲给儿子作的成长记录：(2)如果年龄(3周岁～16周岁之间)相差5岁，其身高有多大差异？ (3)如果身高相差20 cm ，其年龄相差多少？【精彩点拨】本例考查对两个变量进行回归分析．首先求出相关系数，根据相关系数的大小判断其是否线性相关，由此展开运算．【规范解答】 (1)设年龄为x ，身高为y ，则x ＝114(3＋4＋…＋15＋16)＝9.5，y ＝114(90.8＋97.6＋…＋167.5＋173.0)≈131.985 7，∑14i ＝1x 2i＝1 491，∑14i ＝1y 2i ＝252 958.2，∑14i ＝1x i y i ＝18 990.6，14x y ≈17 554.1，∴∑14i ＝1x 2i －14(x )2＝227.5，∑14i ＝1y 2i －14(y )2≈9 075.05， ∑14i ＝1x i y i－14x y ＝1 436.5， ∴r ＝∑14i ＝1x i y i－14x y∑14i ＝1x 2i－14(x )2∑14i ＝1y 2i －14(y )2＝1 436.5227.5×9 075.05≈0.999 7.因此，年龄和身高之间具有较强的线性相关关系．(2)由(1)得b ＝∑14i ＝1x i y i －14x y ∑14i ＝1x 2i －14(x )2＝1 436.5227.5≈6.314，a ＝y －b x ＝131.985 7－6.314×9.5≈72， ∴x 与y 的线性回归方程为y ＝6.314x ＋72.因此，如果年龄相差5岁，那么身高相差6.314×5＝31.57(cm)． (3)如果身高相差20 cm ，年龄相差206.314≈3.168 ≈3(岁)．[再练一题]1．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，提到如下数据：(1)求回归直线方程y ＝bx ＋a ，其中b ＝－20，a ＝y －b x ；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)【解】 (1)由于x ＝16(x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6)＝8.5，y ＝16(y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＋y 6)＝80.所以a ＝y －b x ＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为y ＝－20x ＋250. (2)设工厂获得的利润为L 元，依题意得 L ＝x (－20x ＋250)－4(－20x ＋250) ＝－20x 2＋330x －1 000 ＝－20⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3342＋361.25.当且仅当x ＝8.25时，l 取得最大值．故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．,条件概率1．条件概率公式揭示了条件概率P (A |B )与事件概率P (B )、 P (AB )三者之间的关系．下列两种情况可利用条件概率公式：一种情况是已知P (B )和P (AB )时去求出P (A |B )；另一种情况是已知P (B )和P (A |B )时去求出P (AB )．对于后一种情况，为了方便也常将条件概率公式改写为如下的乘法公式：若P (A )＞0，有P (AB )＝P(A)P(B|A)．2．乘法公式与条件概率公式实际上是一个公式，要求P(AB)时，必须知道P(A|B)或P(B|A)；反之，要求P(A|B)时，必须知道积事件AB的概率P(AB)，在解决实际问题时，不要把求P(AB)的问题误认为是求P(A|B)的问题．盒子里装有16个球，其中6个是玻璃球，10个是木质球，玻璃球中有2个是红球，4个是蓝球；木质球中有3个是红球，7个是蓝球．现从中任取一个(假设每个球被取到是等可能的)是蓝球，问该球是玻璃球的概率是多少？【精彩点拨】要注意B发生时A发生的概率与A，B同时发生的概率的区别．【规范解答】设事件A：“任取一球，是玻璃球”；事件B：“任取一球，是蓝球”．由题中数据可列表如下：由表知，P(B)＝1116，P(AB)＝416，故所求事件的概率为P(A|B)＝P(AB)P(B)＝4161116＝411.[再练一题]2．有外形相同的球分装三个盒子，每盒10个．其中，第一个盒子中有7个球标有字母A,3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中则有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一个球．如果第二次取出的是红球，则称试验为成功．求试验成功的概率．【解】设A＝{从第一个盒子中取得标有字母A的球}．B＝{从第一个盒子中取得标有字母B的球}，C＝{从第二个盒子中取一个红球}，D＝{从第三个盒子中取一个红球}，则容易求得P(A)＝710，P(B)＝310，则P(C)＝12，P(D)＝810＝45.显然，事件A∩C与事件B∩D互斥，且事件A与C是相互独立的，所以试验成功的概率为P＝P(A∩C)＋P(B∩D)＝P(A)·P(C)＋P(B)·P(D)＝59100，所以本次试验成功的概率为59100.独立性检验独立性检验问题的基本步骤为：(1)找相关数据，作列联表．(2)求统计量χ2.(3)判断可能性，注意与临界值做比较，得出事件有关的可信度．考察黄烟经过药物处理跟发生青花病的关系，得到如下数据：在试验的470株黄烟中，经过药物处理的黄烟有25株发生青花病，60株没有发生青花病；未经过药物处理的有185株发生青花病，200株没有发生青花病．试推断经过药物处理跟发生青花病是否有关系．【精彩点拨】提出假设，根据2×2列联表求出χ2，从而进行判断．【规范解答】由已知得到下表：根据2×2列联表中的数据，可以求得χ2＝470×(25×200－185×60)2 210×260×85×385≈9.788.因为χ2＞7.879，所以我们有99.5%的把握认为经过药物处理跟发生青花病是有关系的．[再练一题]3．某学校高三年级有学生1 000名，经调查研究，其中750名同学经常参加体育锻炼(称为A类同学)，另外250名同学不经常参加体育锻炼(称为B类同学)．现用分层抽样方法(按A类、B类分两层)从该年级的学生中共抽查100名同学，如果以身高达165 cm作为达标的标准，对抽取的100名学生，得到以下列联表：体育锻炼与身高达标2×2列联表：(2)请问体育锻炼与身高达标是否有关系？(χ2值精确到0.01)参考公式：χ2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d). 【解】(1)(2)根据列联表得χ2＝100×(40×15－35×10)275×25×50×50≈1.33＜2.706，所以没有充分的理由说明体育锻炼与身高达标有关系．1．(2015·湖北高考)已知变量x 和y 满足关系y ＝－0.1x ＋1，变量y 与z 正相关．下列结论中正确的是( )A ．x 与y 正相关，x 与z 负相关B ．x 与y 正相关，x 与z 正相关C ．x 与y 负相关，x 与z 负相关D ．x 与y 负相关，x 与z 正相关【解析】根据正相关和负相关的定义进行判断．若线性回归方程的斜率为正，则两个变量正相关，若斜率为负，则负相关．因为y ＝－0.1x ＋1的斜率小于0，故x 与y 负相关．因为y 与z 正相关，可设z ＝by ＋a ，b >0，则z ＝by ＋a ＝－0.1bx ＋b ＋a ，故x 与z 负相关．【答案】 C2．(2015·福建高考)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程y＝bx＋a，其中b＝0.76，a＝y－b x.据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为()A．11.4万元B．11.8万元C．12.0万元D．12.2万元【解析】由题意知，x＝8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.95＝10，y＝6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.85＝8，∴a＝8－0.76×10＝0.4，∴当x＝15时，y＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)．【答案】 B3．(2014·湖北高考)根据如下样本数据A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0【解析】作出散点图如下：观察图像可知，回归直线y＝bx＋a的斜率b＜0，当x＝0时，y＝a＞0.故a ＞0，b＜0.【答案】 B4．(2016·全国卷Ⅱ)图1-1是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．图1-1注：年份代码1～7分别对应年份2008～2014.(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．参考数据：∑7i ＝1y i ＝9.32，∑7i ＝1t i y i ＝40.17，∑7i ＝1 (y i －y )2＝0.55，7≈2.646.参考公式：相关系数r ＝∑ni ＝1 (t i －t )(y i －y )∑ni ＝1 (t i －t )2∑ni ＝1 (y i －y )2，回归方程y ＝a ＋bt 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b ＝∑ni ＝1 (t i －t )(y i －y )∑ni ＝1 (t i －t )2，a ＝y －－b t .【解】 (1)由折线图中的数据和附注中的参考数据得 t ＝4，∑7i ＝1 (t i －t )2＝28，∑7i ＝1 (y i －y )2＝0.55，∑7i ＝1 (t i －t )(y i －y )＝∑7i ＝1t i y i －t ∑7i ＝1y i ＝40.17－4×9.32＝2.89， ∴r ≈2.890.55×2×2.646≈0.99.因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当大，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系．(2)由y＝9.327≈1.331及(1)得b＝∑7i＝1(t i－t)(y i－y)∑7i＝1(t i－t)2＝2.8928≈0.103.a＝y－b t≈1.331－0.103×4≈0.92.所以y关于t的回归方程为y＝0.92＋0.10t.将2016年对应的t＝9代入回归方程得y＝0.92＋0.10×9＝1.82.所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨．单元综合测评(一)统计案例(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在下列各量与量的关系中是相关关系的为()①正方体的体积与棱长之间的关系；②一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系；③人的身高与年龄之间的关系；④家庭的支出与收入之间的关系；⑤某户家庭用电量与电费之间的关系．A．①②③B．③④C．④⑤D．②③④【解析】①⑤是一种确定性关系，属于函数关系．②③④为相关关系．【答案】 D2．四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y与x负相关且y＝2.347x－6.423；②y与x负相关且y＝－3.476x＋5.648；③y与x正相关且y＝5.437x＋8.493；④y与x正相关且y＝－4.326x－4.578.其中一定不正确的结论的序号是()A．①②B．②③C．③④D．①④【解析】y与x正(或负)相关时，线性回归直线方程y＝bx＋a中，x的系数b>0(或b<0)，故①④错．【答案】 D3．电视机的使用寿命与显像管开关的次数有关．某品牌的电视机的显像管开关了10 000次后还能继续使用的概率是0.80，开关了15 000次后还能继续使用的概率是0.60，则已经开关了10 000次的电视机显像管还能继续使用到15 000次的概率是()A．0.75 B．0.60C．0.48 D．0.20【解析】记“开关了10 000次后还能继续使用”为事件A，记“开关了15 000次后还能继续使用”为事件B，根据题意，易得P(A)＝0.80，P(B)＝0.60，则P(AB)＝0.60，由条件概率的计算方法，可得P(B|A)＝P(AB)P(A)＝0.600.80＝0.75.【答案】 A4．一位母亲记录了她儿子3岁到9岁的身高，建立了她儿子身高与年龄的回归模型y＝73.93＋7.19x，她用这个模型预测儿子10岁时的身高，则下面的叙述正确的是()A．她儿子10岁时的身高一定是145.83 cmB．她儿子10岁时的身高一定是145.83 cm以上C．她儿子10岁时的身高在145.83 cm左右D．她儿子10岁时的身高一定是145.83 cm以下【解析】由回归模型得到的预测值是可能取值的平均值，而不是精确值，故选C．【答案】 C5．(2016·咸阳高二检测)已知一个线性回归方程为y ＝1.5x ＋45，其中x 的取值依次为1,7,5,13,19，则y ＝( )A ．58.5B ．46.5C ．60D ．75【解析】 ∵x ＝15(1＋7＋5＋13＋19)＝9，回归直线过样本点的中心(x －，y －)，∴y －＝1.5×9＋45＝58.5. 【答案】 A6．将两枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A ＝{两个点数互不相同}，B ＝{出现一个5点}，则P (B |A )＝( )A ．13B ．518C ．16D ．14【解析】出现点数互不相同的共有6×5＝30种，出现一个5点共有5×2＝10种， ∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝13. 【答案】 A7．利用独立性检验来考虑两个分类变量X 和Y 是否有关系时，通过查阅下表来确定断言“X 和Y 有关系”的可信度，如果k >5.024，那么就有把握认为“X 和Y 有关系”的百分比为( )A C ．2.5%D ．97.5%【解析】查表可得χ2>5.024.因此有97.5%的把握认为“X和Y有关系”．【答案】 D8．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军，乙队需要再赢两局才能获得冠军．若两队每局胜的概率相同，则甲队获得冠军的概率为()A．12B．35C．23D．34【解析】由题意知，乙队获得冠军的概率为12×12＝14，由对立事件概率公式得，甲队获得冠军的概率为P＝1－14＝3 4.【答案】 D9．种植两株不同的花卉，若它们的成活率分别为p和q，则恰有一株成活的概率为()A．p＋q－2pq B．p＋q－pqC．p＋q D．pq【解析】甲花卉成活而乙花卉不成活的概率为p(1－q)，乙花卉成活而甲花卉不成活的概率为q(1－p)，故恰有一株成活的概率为p(1－q)＋q(1－p)＝p＋q－2qp.【答案】 A10．同时抛掷三颗骰子一次，设A：“三个点数都不相同”，B：“至少有一个6点”，则P(B|A)为()A．12B．6091C．518D．91216【解析】P(A)＝6×5×46×6×6＝120216，P(AB)＝3×4×56×6×6＝60216，∴P(B|A)＝P(AB)P(A)＝60216×216120＝12.【答案】 A11．以下关于线性回归分析的判断，正确的个数是()①若散点图中所有点都在一条直线附近，则这条直线为回归直线；②散点图中的绝大多数都线性相关，个别特殊点不影响线性回归，如图1中的A，B，C点；③已知直线方程为y＝0.50x－0.81，则x＝25时，y的估计值为11.69；④回归直线方程的意义是它反映了样本整体的变化趋势．图1A．0 B．1C．2 D．3【解析】能使所有数据点都在它附近的直线不只一条，而据回归直线的定义知，只有按最小二乘法求得回归系数a，b得到的直线y＝bx＋a才是回归直线，∴①不对；②正确；将x＝25代入y＝0.50x－0.81，得y＝11.69，∴③正确；④正确，故选D．【答案】 D12．根据下面的列联表得到如下四个判断：①至少有99.9%的把握认为“患肝病与嗜酒有关”；②至少有99%的把握认为“患肝病与嗜酒有关”；③在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“患肝病与嗜酒有关”；④在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“患肝病与嗜酒无关” .A．0B．1 C．2D．3【解析】由列联表中数据可求得随机变量χ2＝992×(700×32－60×200)2 760×232×900×92≈7.349＞6.635，所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“患肝病与嗜酒有关系”，即至少有99%的把握认为“患肝病与嗜酒有关系”，因此②③正确．【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．已知x，y的取值如下表：1.02x＋a，则a ＝________.【解析】由题意得x＝4，y＝5，又(x，y)在直线y＝1.02x＋a上，所以a＝5－4×1.02＝0.92.【答案】0.9214．已知P(B|A)＝12，P(A)＝35，则P(AB)＝________.【解析】由P(B|A)＝P(AB)P(A)得P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝12×35＝310.【答案】3 1015．为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：已知P (χ2≥3.841)χ2＝50×(13×20－10×7)223×27×20×30≈4.844，则认为“选修文科与性别有关系”出错的可能性为________.【解析】 χ2≈4.844>3.841，故判断出错的可能性为0.05. 【答案】 0.0516．某小卖部为了了解热茶销售量y (杯)与气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4天卖出的热茶的杯数与当天气温，并制作了对照表：5℃时，热茶销售量为________杯.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫已知回归系数b ＝∑i ＝1nx i y i －n x y ∑i ＝1nx 2i－n x 2，a ＝y －b x 【解析】根据表格中的数据可求得x ＝14×(18＋13＋10－1)＝10，y ＝14×(24＋34＋38＋64)＝40.∴a ＝y －b x ＝40－(－2)×10＝60，∴y ＝－2x ＋60，当x ＝－5时，y ＝－2×(－5)＋60＝70. 【答案】 70三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球．从每袋中任取1个球，试问：取得同色球的概率是多少？【解】设从甲袋中任取1个球，事件A ：“取得白球”，由此事件A ：“取得红球”，从乙袋中任取1个球，事件B ：“取得白球”，由此事件B ：“取得红球”，则P (A )＝23，P (A )＝13，P (B )＝12，P (B )＝12.因为A 与B 相互独立，A 与B 相互独立，所以从每袋中任取1个球，取得同色球的概率为P (AB ＋A B )＝P (AB )＋P (A B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝23×12＋13×12＝12.18．(本小题满分12分)吃零食是中学生中普遍存在的现象，吃零食对学生身体发育有诸多不利影响，影响学生的健康成长．下表是性别与吃零食的列联表：【解】 χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，把相关数据代入公式，得χ2＝85×(5×28－40×12)217×68×45×40≈4.722>3.841.因此，在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为“喜欢吃零食与性别有关”．19．(本小题满分12分)电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图2：图2将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？(2)“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．附：χ2＝n (n 11n 22－n 12n 21)2n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2，【解】 (1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而完成2×2列联表如下：将2×2列联表中的数据代入公式计算，得χ2＝n (n 11n 22－n 12n 21)2n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2＝100×(30×10－45×15)275×25×45×55＝10033≈3.030.因为3.030<3.841，所以我们没有理由认为“体育迷”与性别有关．(2)由频率分布直方图可知，“超级体育迷”为5人，从而一切可能结果所组成的基本事件空间为Ω＝{(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 2，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(b 1，b 2)}，其中a i 表示男性，i ＝1,2,3，b j 表示女性，j ＝1,2.Ω由10个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的．用A 表示“任选2 人中，至少有1人是女性”这一事件，则A ＝{(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(b 1，b 2)}，事件A 由7个基本事件组成，因而P (A )＝710.20．(本小题满分12分)1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问：(1)从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？ (2)从2号箱取出红球的概率是多少？【解】记事件A ：最后从2号箱中取出的是红球；事件B ：从1号箱中取出的是红球． P (B )＝42＋4＝23. P (B )＝1－P (B )＝13.(1)P(A|B)＝3＋18＋1＝49.(2)∵P(A|B)＝38＋1＝13，∴P(A)＝P(A∩B)＋P(A∩B) ＝P(A|B)P(B)＋P(A|B)P(B)＝4 9×23＋13×13＝1127.21．(本小题满分12分)在一个文娱网络中，点击观看某个节目的累计人次和播放天数如下数据：(2)判断两变量之间是否有线性相关关系，求线性回归方程是否有意义？(3)求线性回归方程；(4)当播放天数为11天时，估计累计人次为多少？【解】(1)散点图如下图所示：(2)由散点图知：两变量线性相关，求线性回归方程有意义．借助科学计算器，完成下表：r＝∑i＝110x i y i－10x y∑i＝110x2i－10x2∑i＝110y2i－10y2＝19 749－10×5.5×288.7385－10×5.52× 1 020 953－10×288.72≈0.984.这说明累计人次与播放天数之间存在着较强的线性相关关系，所以求线性回归方程有实际意义．(3)b＝∑i＝110x i y i－10x y∑i＝110x2i－10x2＝19 749－10×5.5×288.7385－10×5.52≈46.9，a＝y－b x≈288.7－46.9×5.5≈30.8，因此所求的线性回归方程是y＝30.8＋46.9x.(4)当x＝11时，y的估计值是46.9×11＋30.8≈547.因此，当播放天数为11天时，估计累计人次为547.22．(本小题满分12分)(2016·济南模拟)为了解某市市民对政府出台楼市限购令的态度，在该市随机抽取了50名市民进行调查，他们月收入(单位：百元)的频数分布及对楼市限购令的赞成人数如下表：“非高收入族”．(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，有多大的把握认为赞不赞成楼市限购令与收入高低有关？已知：χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，当χ2<2.706时，没有充分的证据判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关；当χ2>2.706时，有90%的把握判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关；当χ2>3.841时，有95%的把握判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关；当χ2>6.635时，有99%的把握判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关.(2)赞成楼市限购令的概率．【解】 (1)χ2＝50×(25×7－15×3)40×10×22×28≈3.43，故有90%的把握认为楼市限购令与收入高低有关．(2)设月收入在[55,65)的5人的编号为a，b，c，d，e，其中a，b为赞成楼市限购令的人，从5人中抽取两人的方法数有ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de共10种，其中ab，ac，ad，ae，bc，bd，be为所求事件数，因此所求概率P＝710.。

2016-2017学年高中数学模块综合测评(含解析)北师大版选修1-2

选修1-2 模块综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2015·湖北高考)i为虚数单位，i607的共轭复数．．．．为( )A．i B．－iC．1 D．－1【解析】因为i607＝i4×151＋3＝i3＝－i，所以其共轭复数为i，故选A.【答案】 A2．根据二分法求方程x2－2＝0的根得到的程序框图可称为( )A．工序流程图B．程序流程图C．知识结构图D．组织结构图【解析】由于该框图是动态的且可以通过计算机来完成，故该程序框图称为程序流程图．【答案】 B3．下列框图中，可作为流程图的是( )A.整数指数幂→有理指数幂→无理指数幂B.随机事件→频率→概率C.入库→找书→阅览→借书→出库→还书D.推理图像与性质定义【解析】流程图具有动态特征，只有答案C符合．【答案】 C4．(2016·安庆高二检测)用反证法证明命题“a，b∈N，如果ab可被5整除”，那么a，b至少有一个能被5整除．则假设的内容是( )A．a，b都能被5整除B．a，b都不能被5整除C．a不能被5整除D．a，b有一个不能被5整除【解析】“至少有一个”的否定为“一个也没有”，故应假设“a，b都不能被5整除”．【答案】 B5．有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误【解析】一般的演绎推理是三段论推理：大前提——已知的一般原理；小前提——所研究的特殊情况；结论——根据一般原理对特殊情况作出的判断．此题的推理不符合上述特征，故选C.【答案】 C6．(2015·安徽高考)设i 是虚数单位，则复数2i1－i在复平面内所对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【解析】2i1－i＝1＋－＋＝－2＝－1＋i ，由复数的几何意义知－1＋i 在复平面内的对应点为(－1,1)，该点位于第二象限，故选B.【答案】 B7．考察棉花种子是否经过处理跟生病之间的关系得到如表数据：A ．种子经过处理跟是否生病有关B ．种子经过处理跟是否生病无关C ．种子是否经过处理决定是否生病D ．以上都是错误的【解析】计算3293与101314可知相差很小，故选B.【答案】 B8．给出下面类比推理：①“若2a <2b ，则a <b ”类比推出“若a 2<b 2，则a <b ”； ②“(a ＋b )c ＝ac ＋bc (c ≠0)”类比推出“a ＋bc ＝a c ＋bc(c ≠0)”； ③“a ，b ∈R ，若a －b ＝0，则a ＝b ”类比推出“a ，b ∈C ，若a －b ＝0，则a ＝b ”； ④“a ，b ∈R ，若a －b >0，则a >b ”类比推出“a ，b ∈C ，若a －b >0，则a >b (C 为复数集)”．其中结论正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4【解析】 ①显然是错误的；因为复数不能比较大小，所以④错误，②③正确，故选B.【答案】 B9．(2015·全国卷Ⅰ)执行下面的程序框图1，如果输入的t ＝0.01，则输出的n ＝( )图1A ．5B ．6C ．7D ．8【解析】逐次运行程序，直至输出n .运行第一次：S ＝1－12＝12＝0.5，m ＝0.25，n ＝1，S >0.01；运行第二次：S ＝0.5－0.25＝0.25，m ＝0.125，n ＝2，S >0.01；运行第三次：S ＝0.25－0.125＝0.125，m ＝0.062 5，n ＝3，S >0.01；运行第四次：S ＝0.125－0.062 5＝0.062 5，m ＝0.031 25，n ＝4，S >0.01；运行第五次：S ＝0.031 25，m ＝0.015 625，n ＝5，S >0.01；运行第六次：S ＝0.015 625，m ＝0.007 812 5，n ＝6，S >0.01；运行第七次：S ＝0.007 812 5，m ＝0.003 906 25，n ＝7，S <0.01. 输出n ＝7.故选C. 【答案】 C10．已知a 1＝3，a 2＝6，且a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 33为( )A ．3B ．－3C ．6D ．－6【解析】 a 1＝3，a 2＝6，a 3＝a 2－a 1＝3，a 4＝a 3－a 2＝－3，a 5＝a 4－a 3＝－6，a 6＝a 5－a 4＝－3，a 7＝a 6－a 5＝3，a 8＝a 7－a 6＝6，…，观察可知{a n }是周期为6的周期数列，故a 33＝a 3＝3. 【答案】 A11．(2016·大同高二检测)设a ，b ，c 均为正实数，P ＝a ＋b －c ，Q ＝b ＋c －a ，R ＝c ＋a －b ，则“PQR >0”是“P ，Q ，R 同时大于0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】必要性显然成立；PQR >0，包括P ，Q ，R 同时大于0，或其中两个为负两种情况．假设P <0，Q <0，则P ＋Q ＝2b <0，这与b 为正实数矛盾．同理当P ，R 同时小于0或Q ，R 同时小于0的情况亦得出矛盾，故P ，Q ，R 同时大于0，所以选C.【答案】 C12．有人收集了春节期间平均气温x 与某取暖商品销售额y 的有关数据如下表：y ＝bx ＋a 的系数b ＝－2.4，则预测平均气温为－8℃时该商品销售额为( )A ．34.6万元B ．35.6万元C ．36.6万元D ．37.6万元【解析】 x ＝－2－3－5－64＝－4，y ＝20＋23＋27＋304＝25，所以这组数据的样本中心点是(－4,25)．因为b ＝－2.4，把样本中心点代入线性回归方程得a ＝15.4，所以线性回归方程为y ＝－2.4x ＋15.4. 当x ＝－8时，y ＝34.6.故选A. 【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上) 13．已知复数z ＝m 2(1＋i)－m (m ＋i)(m ∈R )，若z 是实数，则m 的值为________．【解析】 z ＝m 2＋m 2i －m 2－m i ＝(m 2－m )i ，∴m 2－m ＝0，∴m ＝0或1. 【答案】 0或114．在平面几何中，△ABC 的∠C 内角平分线CE 分AB 所成线段的比|AE |∶|EB |＝|AC |∶|CB |(如图2①)，把这个结论类比到空间，如图2②，在三棱锥A BCD 中，平面CDE 平分二面角A CD B 且与AB 相交于E ，结论是__________________．图2【解析】依平面图形与空间图形的相关元素类比，线段之比类比面积之比．【答案】 S △ACD ∶S △BCD ＝AE 2∶EB 215．(2015·山东高考)执行下边的程序框图3，若输入的x 的值为1，则输出的y 的值是________．图3【解析】当x ＝1时，1<2，则x ＝1＋1＝2；当x ＝2时，不满足x <2，则y ＝3×22＋1＝13.【答案】 1316．(2016·江西吉安高二检测)已知等差数列{a n }中，有a 11＋a 12＋…＋a 2010＝a 1＋a 2＋…＋a 3030，则在等比数列{b n }中，会有类似的结论________. 【导学号：67720029】【解析】由等比数列的性质可知，b 1b 30＝b 2b 29＝…＝b 11b 20，∴10b 11b 12…b 20＝30b 1b 2…b 30.【答案】10b 11b 12…b 20＝30b 1b 2…b 30三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(2016·哈尔滨高二检测)设z ＝－＋＋2＋4i3＋4i，求|z |.【解】 z ＝1＋i －4i ＋4＋2＋4i 3＋4i ＝7＋i3＋4i ，∴|z |＝|7＋i||3＋4i|＝525＝ 2.18．(本小题满分12分)给出如下列联表：(参考数据：P (χ2≥6.635)＝0.010，P (χ2≥7.879)＝0.005) 【解】由列联表中数据可得 χ2＝－230×80×50×60≈7.486.又P (χ2≥6.635)＝0.010，所以在犯错误的概率不超过0.010的前提下，认为高血压与患心脏病有关系． 19．(本小题满分12分)已知a 2＋b 2＝1，x 2＋y 2＝1，求证：ax ＋by ≤1(分别用综合法、分析法证明)．【证明】综合法：∵2ax ≤a 2＋x 2,2by ≤b 2＋y 2， ∴2(ax ＋by )≤(a 2＋b 2)＋(x 2＋y 2)．又∵a 2＋b 2＝1，x 2＋y 2＝1， ∴2(ax ＋by )≤2，∴ax ＋by ≤1. 分析法：要证ax ＋by ≤1成立，只要证1－(ax ＋by )≥0，只要证2－2ax －2by ≥0，又∵a 2＋b 2＝1，x 2＋y 2＝1，∴只要证a 2＋b 2＋x 2＋y 2－2ax －2by ≥0，即证(a －x )2＋(b －y )2≥0，显然成立．20．(本小题满分12分)某省公安消防局对消防产品的监督程序步骤为：首先受理产品请求，如果是由公安部发证的产品，则审核考察，领导复核，不同意，则由窗口将信息反馈出去，同意，则报公安部审批，再经本省公安消防局把反馈信息由窗口反馈出去．如果不是由公安部发证的产品，则由窗口将信息反馈出去．试画出此监督程序的流程图．【解】某省公安消防局消防产品监督程序的流程图如下：21．(本小题满分12分)某产品的广告支出x(单位：万元)与销售收入y(单位：万元)之间有下表所对应的数据：(1)(2)求出y对x的线性回归方程；(3)若广告费为9万元，则销售收入约为多少万元？【解】(1)散点图如图：(2)观察散点图可知各点大致分布在一条直线附近，列出下列表格，以备计算a，b.于是x＝52，y＝692，代入公式得：b ＝∑i ＝14x i y i －4x －y－∑i ＝14x 2i －4x －2＝418－4×52×69230－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫522＝735，a ＝y －b x ＝692－735×52＝－2.故y 与x 的线性回归方程为y ＝735x －2.(3)当x ＝9万元时，y ＝735×9－2＝129.4(万元)．所以当广告费为9万元时，可预测销售收入约为129.4万元．22．(本小题满分12分)某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图4①，②，③，④为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形．图4(1)求出f (5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f (n ＋1)与f (n )之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f (n )的表达式；(3)求1f＋1f－1＋1f－1＋…＋1fn －1的值．【解】 (1)f (5)＝41.(2)因为f (2)－f (1)＝4＝4×1，f (3)－f (2)＝8＝4×2， f (4)－f (3)＝12＝4×3， f (5)－f (4)＝16＝4×4，…由上式规律，所以得出f (n ＋1)－f (n )＝4n .因为f (n ＋1)－f (n )＝4n ⇒f (n ＋1)＝f (n )＋4n ⇒f (n )＝f (n －1)＋4(n －1)＝f (n －2)＋4(n －1)＋4(n －2)＝f (n －3)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＝…＝f (1)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＋…＋4 ＝2n 2－2n ＋1. (3)当n ≥2时，1fn －1＝12nn －＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ， ∴1f＋1f－1＋1f－1＋…＋1fn －1＝1＋12·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1－1n ＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＝32－12n .。

2016-2017学年高中数学北师大版选修1-2学案：章末分层突破4 Word版含解析

章末分层突破[自我校对]①－1②a＝c，b＝d③z＝a－b i④Z(a，b)→⑤O Z⑥a＋c⑦(b＋d)i⑧(a－c)＋(b－d)i________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________复数的概念正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念(如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提．两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据．求字母的范围时一定要关注实部与虚部自身有意义．复数z ＝log 3(x 2－3x －3)＋ilog 2(x －3)，当x 为何实数时， (1)z ∈R ；(2)z 为虚数．【精彩点拨】根据复数的分类列方程求解．【规范解答】 (1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－3x －3>0， ①log 2(x －3)＝0， ②x －3>0， ③由②得x ＝4，经验证满足①③式．所以当x ＝4时，z ∈R .(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x －3>0， ①log 2(x －3)≠0， ②x －3>0， ③由①得x >3＋212或x <3－212. 由②得x ≠4，由③得x >3.所以当x >3＋212且x ≠4时，z 为虚数．[再练一题]1．设i 是虚数单位，若复数a －103－i(a ∈R )是纯虚数，则a 的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1D ．3(2)设复数z 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 是虚数单位)，则复数z 的实部是__________．【解析】 (1)因为a －103－i ＝a －10(3＋i )(3－i )(3＋i )＝a －10(3＋i )10＝(a －3)－i ，由纯虚数的定义，知a －3＝0，所以a ＝3.(2)法一：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则i(z ＋1)＝i(a ＋b i ＋1)＝－b ＋(a ＋1)i ＝－3＋2i.由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧ －b ＝－3，a ＋1＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故复数z 的实部是1.法二：由i(z ＋1)＝－3＋2i ，得z ＋1＝－3＋2ii ＝2＋3i ，故z ＝1＋3i ，即复数z 的实部是1.【答案】 (1)D (2)1复数的四则运算复数加减乘运算可类比多项式的加减乘运算，注意把i 看作一个字母(i 2＝－1)，除法运算注意应用共轭的性质z ·z 为实数．(1)设i 是虚数单位，z －表示复数z 的共轭复数．若z ＝1＋i ，则z i ＋i·z－＝( )A ．－2B ．－2iC ．2D ．2i(2)设复数z 满足(z －2i)(2－i)＝5，则z ＝( ) A ．2＋3i B ．2－3i C ．3＋2iD ．3－2i【精彩点拨】 (1)先求出z 及zi ，结合复数运算法则求解． (2)利用方程思想求解并化简．【规范解答】 (1)∵z ＝1＋i ，∴z －＝1－i ，z i ＝1＋i i ＝－i 2＋i i ＝1－i ，∴z i ＋i·z－＝1－i ＋i(1－i)＝(1－i)(1＋i)＝2.故选C.(2)由(z －2i)(2－i)＝5，得z ＝2i ＋52－i ＝2i ＋5(2＋i )(2－i )(2＋i )＝2i ＋2＋i ＝2＋3i.【答案】 (1)C (2)A [再练一题]2．已知(1＋2i)z ＝4＋3i ，则z z的值为( )A.35＋45i B ．35－45i C ．－35＋45iD ．－35－45i【解析】因为(1＋2i)z ＝4＋3i ，所以z ＝4＋3i1＋2i＝(4＋3i )(1－2i )5＝2－i ，所以z ＝2＋i ，所以z z ＝2＋i2－i＝(2＋i )25＝35＋45i.【答案】 A复数的几何意义1.复数的几何表示法：即复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )可以用复平面内的点Z (a ，b )来表示．此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．2．复数的向量表示：以原点为起点的向量表示的复数等于它的终点对应的复数；向量平移后，此向量表示的复数不变，但平移前后起点、终点对应的复数要改变．(1)在复平面内，复数i1＋i对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限(2)在复平面内，复数1－2i2＋i对应的点的坐标为( ) A ．(0，－1) B ．(0,1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫45，35【精彩点拨】先把复数z 化为复数的标准形式，再写出其对应坐标．【规范解答】 (1)复数i1＋i ＝i (1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋i 2＝12＋12i.∴复数对应点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12.∴复数i1＋i在复平面内对应的点位于第一象限．故选A. (2)∵1－2i2＋i ＝(1－2i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝－5i5＝－i ，其对应的点为(0，－1)，故选A.【答案】 (1)A (2)A [再练一题]3．(1)已知复数z 对应的向量如图4-1所示，则复数z ＋1所对应的向量正确的是( )图4-1(2)若i 为虚数单位，图4-2中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z1＋i的点是( )图4-2A ．EB ．FC ．GD ．H【解析】 (1)由题图知，z ＝－2＋i ，∴z ＋1＝－2＋i ＋1＝－1＋i ，故z ＋1对应的向量应为选项A.(2)由题图可得z ＝3＋i ，所以z1＋i ＝3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝4－2i 2＝2－i ，则其在复平面上对应的点为H (2，－1)．【答案】 (1)A (2)D转化与化归思想一般设出复数z 的代数形式，即z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则涉及复数的分类、几何意义、模的运算、四则运算、共轭复数等问题，都可以转化为实数x ，y 应满足的条件，即复数问题实数化的思想是本章的主要思想方法．设z ∈C ，满足z ＋1z ∈R ，z －14是纯虚数，求z . 【精彩点拨】本题关键是设出z 代入题中条件进而求出z . 【规范解答】设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则 z ＋1z ＝x ＋y i ＋1x ＋y i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x x 2＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y x 2＋y 2i ， ∵z ＋1z ∈R ，∴y －y x 2＋y2＝0，解得y ＝0或x 2＋y 2＝1，又∵z －14＝x ＋y i －14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －14＋y i 是纯虚数．∴⎩⎨⎧x －14＝0，y ≠0，∴x ＝14，代入x 2＋y 2＝1中，求出y ＝±154，∴复数z ＝14±154i. [再练一题]4．满足z ＋5z 是实数，且z ＋3的实部与虚部是相反数的虚数z 是否存在？若存在，求出虚数z ；若不存在，请说明理由．【解】设虚数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，且y ≠0)，则z ＋5z ＝x ＋y i ＋5x ＋y i ＝x ＋5x x 2＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －5y x 2＋y 2i ，z ＋3＝x ＋3＋y i.由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧y －5yx 2＋y 2＝0，x ＋3＝－y ，因为y ≠0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝5，x ＋y ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－1.所以存在虚数z ＝－1－2i 或z ＝－2－i 满足题设条件．1．(2016·全国卷Ⅱ)设复数z 满足z ＋i ＝3－i ，则z ＝( ) A ．－1＋2i B ．1－2i C ．3＋2iD ．3－2i【解析】由z ＋i ＝3－i 得z ＝3－2i ，∴z ＝3＋2i ，故选C. 【答案】 C2．(2015·广东高考)若复数z ＝i(3－2i)(i 是虚数单位)，则z ＝( ) A ．2－3i B ．2＋3i C ．3＋2iD ．3－2i【解析】 ∵z ＝i(3－2i)＝3i －2i 2＝2＋3i ，∴z ＝2－3i.【答案】 A3．(2015·山东高考)若复数z满足z1－i＝i，其中i为虚数单位，则z＝()A．1－i B．1＋iC．－1－i D．－1＋i【解析】由已知得z＝i(1－i)＝i＋1，则z＝1－i，故选A.【答案】 A4．(2016·全国卷Ⅰ)设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a ＝()A．－3 B．－2C．2 D．3【解析】(1＋2i)(a＋i)＝a－2＋(1＋2a)i，由题意知a－2＝1＋2a，解得a ＝－3，故选A.【答案】 A5．(2016·北京高考)复数1＋2i2－i＝()A．i B．1＋i C．－i D．1－i【解析】1＋2i2－i＝(1＋2i)(2＋i)(2－i)(2＋i)＝5i5＝i.【答案】 A6．(2016·四川高考)设i为虚数单位，则复数(1＋i)2＝()A．0 B．2C．2i D．2＋2i【解析】(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i.【答案】 C7．(2016·天津高考)i是虚数单位，复数z满足(1＋i)z＝2，则z的实部为________．【解析】因为(1＋i)z ＝2，所以z ＝21＋i＝1－i ，所以其实部为1.【答案】 18．(2016·江苏高考)复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是________．【解析】因为z ＝(1＋2i)(3－i)＝3－i ＋6i －2i 2＝5＋5i ，所以z 的实部是5.【答案】 5章末综合测评(四) 数系的扩充与复数的引入(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知a ，b ∈C ，下列命题正确的是( ) A ．3i<5i B ．a ＝0⇔|a |＝0 C ．若|a |＝|b |，则a ＝±bD ．a 2≥0【解析】 A 选项中，虚数不能比较大小；B 选项正确；C 选项中，当a ，b ∈R 时，结论成立，但在复数集中不一定成立，如|i|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12＋32i ，但i ≠－12＋32i 或12－32i ；D 选项中，当a ∈R 时结论成立，但在复数集中不一定成立，如i 2＝－1<0.【答案】 B 2．i 是虚数单位，则i1＋i的虚部是( ) A.12i B ．－12i C.12D ．－12【解析】 i1＋i ＝i (1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋i 2＝12＋12i.【答案】 C 3.⎪⎪⎪⎪⎪⎪21＋i ＝( ) A ．2 2 B ．2 C. 2D ．1【解析】由21＋i ＝2(1－i )(1＋i )(1－i )＝2－2i 2＝1－i ，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪21＋i ＝|1－i|＝ 2.故选C. 【答案】 C4.z 是z 的共轭复数．若z ＋z ＝2，(z －z )i ＝2(i 为虚数单位)，则z ＝( ) A ．1＋i B ．－1－i C ．－1＋iD ．1－i【解析】法一：设z ＝a ＋b i ，a ，b 为实数，则z －＝a －b i ，∵z ＋z －＝2a ＝2，∴a ＝1.又(z －z －)i ＝2b i 2＝－2b ＝2，∴b ＝－1.故z ＝1－i.法二：∵(z －z －)i ＝2，∴z －z －＝2i ＝－2i.又z ＋z －＝2， ∴(z －z －)＋(z ＋z －)＝－2i ＋2，∴2z ＝－2i ＋2， ∴z ＝1－i. 【答案】 D 5．复数i1－i的共轭复数为( ) A ．－12＋12i B.12＋12i C.12－12iD ．－12－12i【解析】∵i1－i ＝i(1＋i)(1－i)(1＋i)＝－1＋i2＝－12＋12i，∴其共轭复数为－12－12i.故选D.【答案】 D6．下面是关于复数z＝2－1＋i的四个命题：p1：|z|＝2；p2：z2＝2i；p3：z的共轭复数为1＋i；p4：z的虚部为－1.其中的真命题为()A．p2，p3B．p1，p2 C．p2，p4D．p3，p4【解析】∵z＝2－1＋i＝－1－i，∴|z|＝(－1)2＋(－1)2＝2，∴p1是假命题；∵z2＝(－1－i)2＝2i，∴p2是真命题；∵z＝－1＋i，∴p3是假命题；∵z的虚部为－1，∴p4是真命题．其中的真命题为p2，p4.【答案】 C7．复平面上平行四边形ABCD的四个顶点中，A，B，C所对应的复数分别为2＋3i,3＋2i，－2－3i，则D点对应的复数是()A．－2＋3i B．－3－2iC．2－3i D．3－2i【解析】设D(x，y)，由平行四边形对角线互相平分得⎩⎨⎧2＋(－2)2＝3＋x2，3＋(－3)2＝2＋y 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－2，∴D (－3，－2)，∴对应复数为－3－2i. 【答案】 B8．若复数(a 2－a －2)＋(|a －1|－1)i(a ∈R )不是纯虚数，则( ) A ．a ＝－1 B ．a ≠－1且a ≠2 C ．a ≠－1D ．a ≠2【解析】要使复数不是纯虚数，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2≠0，|a －1|－1≠0，解得a ≠－1. 【答案】 C9．若a ，b ∈R ，则复数(a 2－6a ＋10)＋(－b 2＋4b －5)i 对应的点在( ) 【导学号：67720027】A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】复数对应点的坐标为(a 2－6a ＋10，－b 2＋4b －5)，又∵a 2－6a ＋10＝(a －3)2＋1>0，－b 2＋4b －5＝－(b －2)2－1<0. ∴复数对应的点在第四象限．故选D. 【答案】 D10．如果复数z ＝3＋a i 满足条件|z －2|<2，那么实数a 的取值范围是( ) A ．(－22，22) B ．(－2,2) C ．(－1,1)D ．(－3， 3)【解析】因为|z －2|＝|3＋a i －2|＝|1＋a i|＝1＋a 2<2，所以a 2＋1<4，所以a 2<3，即－3<a < 3.【答案】 D11．若1＋2i 是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个复数根，则( ) A ．b ＝2，c ＝3 B ．b ＝－2，c ＝3 C ．b ＝－2，c ＝－1D ．b ＝2，c ＝－1【解析】因为1＋2i 是实系数方程的一个复数根，所以1－2i 也是方程的根，则1＋2i ＋1－2i ＝2＝－b ，(1＋2i)(1－2i)＝3＝c ，解得b ＝－2，c ＝3.【答案】 B12．设z 是复数，则下列命题中的假命题是( ) A ．若z 2≥0，则z 是实数 B ．若z 2<0，则z 是虚数 C ．若z 是虚数，则z 2≥0 D ．若z 是纯虚数，则z 2<0 【解析】设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，选项A ，z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ≥0，则⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝0，a 2≥b 2，故b ＝0或a ，b 都为0，即z 为实数，正确．选项B ，z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i<0，则⎩⎪⎨⎪⎧ ab ＝0，a 2<b 2，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ≠0，故z 一定为虚数，正确．选项C ，若z 为虚数，则b ≠0，z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ，由于a 的值不确定，故z 2无法与0比较大小，错误．选项D ，若z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ≠0，则z 2＝－b 2<0，正确．【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．(2015·重庆高考)设复数a ＋b i(a ，b ∈R )的模为3，则(a ＋b i)(a －b i)＝________.【解析】 ∵|a ＋b i|＝a 2＋b 2＝3，∴(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2＝3.【答案】 314．a 为正实数，i 为虚数单位，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2，则a ＝__________. 【解析】 a ＋i i ＝(a ＋i )·(－i )i·(－i )＝1－a i ，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝|1－a i|＝a 2＋1＝2，所以a 2＝3.又a 为正实数，所以a ＝ 3. 【答案】315．设a ，b ∈R ，a ＋b i ＝11－7i1－2i(i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为__________．【解析】 a ＋b i ＝11－7i1－2i ＝(11－7i )(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝25＋15i5＝5＋3i ，依据复数相等的充要条件可得a ＝5，b ＝3.从而a ＋b ＝8. 【答案】 816．若复数z 满足|z －i|≤2(i 为虚数单位)，则z 在复平面内所对应的图形的面积为________．【解析】设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则由|z －i|≤2可得x 2＋(y －1)2≤2，即x 2＋(y －1)2≤2，它表示以点(0,1)为圆心，2为半径的圆及其内部，所以z 在复平面内所对应的图形的面积为2π.【答案】 2π三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)计算：(1)(2＋2i)2(4＋5i)；(2)2＋2i (1－i )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 016.【解】 (1)(2＋2i)2(4＋5i)＝2(1＋i)2(4＋5i) ＝4i(4＋5i)＝－20＋16i. (2)2＋2i(1－i )2＋⎝⎛⎭⎪⎫21＋i 2016＝2＋2i－2i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22i 1 008＝i(1＋i)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1i 1 008 ＝－1＋i ＋(－i)1 008＝－1＋i ＋1＝i. 18．(本小题满分12分)已知关于x ，y的方程组⎩⎨⎧(2x －1)＋i ＝y －(3－y )i ，①(2x ＋ay )－(4x －y ＋b )i ＝9－8i ，②有实数解，求实数a ，b 的值．【解】由①得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝y ，y －3＝1，解得⎩⎨⎧x ＝52，y ＝4，将x ，y 代入②得(5＋4a )－(6＋b )i ＝9－8i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧5＋4a ＝9，－(6＋b )＝－8，所以a ＝1，b ＝2.19．(本小题满分12分)实数k 为何值时，复数z ＝(k 2－3k －4)＋(k 2－5k －6)i 是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)0.【解】 (1)当k 2－5k －6＝0，即k ＝6或k ＝－1时，z 是实数． (2)当k 2－5k －6≠0，即k ≠6且k ≠－1时，z 是虚数．(3)当⎩⎪⎨⎪⎧k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6≠0，即k ＝4时，z 是纯虚数．(4)当⎩⎪⎨⎪⎧k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6＝0，即k ＝－1时，z 是0.20．(本小题满分12分)已知复数z 满足|z |＝2，z 2的虚部是2. (1)求复数z ；(2)设z ，z 2，z －z 2在复平面上的对应点分别为A ，B ，C ，求△ABC 的面积．【解】 (1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ，由题意得a 2＋b 2＝2且2ab ＝2，解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，所以z ＝1＋i 或z ＝－1－i.(2)当z ＝1＋i 时，z 2＝2i ，z －z 2＝1－i ，所以A (1,1)，B (0,2)，C (1，－1)，所以S △ABC ＝1.当z ＝－1－i 时，z 2＝2i ，z －z 2＝－1－3i ，所以A (－1，－1)，B (0,2)，C (－1，－3)，所以S △ABC ＝1.21．(本小题满分12分)已知复数z 1＝5i ，z 2＝2－3i ，z 3＝2－i ，z 4＝－5在复平面上对应的点分别是A ，B ，C ，D . 【导学号：67720028】(1)求证：A ，B ，C ，D 四点共圆； (2)已知AB→＝2 AP →，求点P 对应的复数．【解】 (1)证明：∵|z 1|＝|z 2|＝|z 3|＝|z 4|＝5，即|OA |＝|OB |＝|OC |＝|OD |，∴A ，B ，C ，D 四点都在圆x 2＋y 2＝5上，即A ，B ，C ，D 四点共圆． (2)∵A (0，5)，B (2，－3)，∴AB →＝(2，－3－5)．设P (x ，y )，则AP→＝(x ，y －5)，若AB→＝2 AP →，那么(2，－3－5)＝(2x,2y －25)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝2x ，－3－5＝2y －25，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22，y ＝5－32，∴点P 对应的复数为22＋5－32i.22．(本小题满分12分)设O 为坐标原点，已知向量O Z →1，O Z →2分别对应复数z 1，z 2，且z 1＝3a ＋5＋(10－a 2)i ，z 2＝21－a ＋(2a －5)i ，a ∈R .若z 1＋z 2可以与任意实数比较大小，求O Z →1·O Z →2的值．【解】由题意，得z 1＝3a ＋5－(10－a 2)i ，则z 1＋z 2＝3a ＋5－(10－a 2)i ＋21－a ＋(2a －5)i＝⎝⎛⎭⎪⎫3a ＋5＋21－a ＋(a 2＋2a －15)i. 因为z 1＋z 2可以与任意实数比较大小，所以z 1＋z 2是实数，所以a 2＋2a －15＝0，解得a ＝－5或a ＝3.又因为a ＋5≠0，所以a ＝3，所以z 1＝38＋i ，z 2＝－1＋i. 所以O Z →1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫38，1，O Z →2＝(－1,1)．所以O Z→1·O Z→2＝38×(－1)＋1×1＝5 8.模块综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2015·湖北高考)i为虚数单位，i607的共轭复数．．．．为()A．i B．－iC．1D．－1【解析】因为i607＝i4×151＋3＝i3＝－i，所以其共轭复数为i，故选A.【答案】 A2．根据二分法求方程x2－2＝0的根得到的程序框图可称为()A．工序流程图B．程序流程图C．知识结构图D．组织结构图【解析】由于该框图是动态的且可以通过计算机来完成，故该程序框图称为程序流程图．【答案】 B3．下列框图中，可作为流程图的是()A.整数指数幂→有理指数幂→无理指数幂B.随机事件→频率→概率C.入库→找书→阅览→借书→出库→还书D.推理图像与性质定义【解析】流程图具有动态特征，只有答案C符合．【答案】 C4．(2016·安庆高二检测)用反证法证明命题“a，b∈N，如果ab可被5整除”，那么a，b至少有一个能被5整除．则假设的内容是()A．a，b都能被5整除B．a，b都不能被5整除C．a不能被5整除D．a，b有一个不能被5整除【解析】“至少有一个”的否定为“一个也没有”，故应假设“a，b都不能被5整除”．【答案】 B5．有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为()A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误【解析】一般的演绎推理是三段论推理：大前提——已知的一般原理；小前提——所研究的特殊情况；结论——根据一般原理对特殊情况作出的判断．此题的推理不符合上述特征，故选C.【答案】 C6．(2015·安徽高考)设i是虚数单位，则复数2i1－i在复平面内所对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】2i1－i＝2i(1＋i)(1－i)(1＋i)＝2(i－1)2＝－1＋i，由复数的几何意义知－1＋i在复平面内的对应点为(－1,1)，该点位于第二象限，故选B.【答案】 B7．考察棉花种子是否经过处理跟生病之间的关系得到如表数据：根据以上数据，则()A．种子经过处理跟是否生病有关B．种子经过处理跟是否生病无关C．种子是否经过处理决定是否生病D．以上都是错误的【解析】计算3293与101314可知相差很小，故选B.【答案】 B8．给出下面类比推理：①“若2a<2b，则a<b”类比推出“若a2<b2，则a<b”；②“(a＋b)c＝ac＋bc(c≠0)”类比推出“a＋bc＝ac＋bc(c≠0)”；③“a，b∈R，若a－b＝0，则a＝b”类比推出“a，b∈C，若a－b＝0，则a＝b”；④“a，b∈R，若a－b>0，则a>b”类比推出“a，b∈C，若a－b>0，则a>b(C为复数集)”．其中结论正确的个数为()A．1 B．2C．3 D．4【解析】①显然是错误的；因为复数不能比较大小，所以④错误，②③正确，故选B.【答案】 B9．(2015·全国卷Ⅰ)执行下面的程序框图1，如果输入的t＝0.01，则输出的n＝()图1 A．5 B．6 C．7 D．8 【解析】逐次运行程序，直至输出n.运行第一次：S＝1－12＝12＝0.5，m＝0.25，n＝1，S>0.01；运行第二次：S＝0.5－0.25＝0.25，m＝0.125，n＝2，S>0.01；运行第三次：S＝0.25－0.125＝0.125，m＝0.062 5，n＝3，S>0.01；运行第四次：S＝0.125－0.062 5＝0.062 5，m＝0.031 25，n＝4，S>0.01；运行第五次：S＝0.031 25，m＝0.015 625，n＝5，S>0.01；运行第六次：S＝0.015 625，m＝0.007 812 5，n＝6，S>0.01；运行第七次：S＝0.007 812 5，m＝0.003 906 25，n＝7，S<0.01.输出n＝7.故选C.【答案】 C10．已知a1＝3，a2＝6，且a n＋2＝a n＋1－a n，则a33为()A．3 B．－3C．6 D．－6【解析】a1＝3，a2＝6，a3＝a2－a1＝3，a4＝a3－a2＝－3，a5＝a4－a3＝－6，a6＝a5－a4＝－3，a7＝a6－a5＝3，a8＝a7－a6＝6，…，观察可知{a n}是周期为6的周期数列，故a33＝a3＝3.【答案】 A11．(2016·大同高二检测)设a，b，c均为正实数，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR>0”是“P，Q，R同时大于0”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】必要性显然成立；PQR>0，包括P，Q，R同时大于0，或其中两个为负两种情况．假设P<0，Q<0，则P＋Q＝2b<0，这与b为正实数矛盾．同理当P，R同时小于0或Q，R同时小于0的情况亦得出矛盾，故P，Q，R同时大于0，所以选C.【答案】 C12．有人收集了春节期间平均气温x与某取暖商品销售额y的有关数据如下表：x之间线性回归方程y＝bx＋a的系数b＝－2.4，则预测平均气温为－8℃时该商品销售额为()A．34.6万元B．35.6万元C．36.6万元D．37.6万元【解析】x＝－2－3－5－64＝－4，y＝20＋23＋27＋304＝25，所以这组数据的样本中心点是(－4,25)．因为b ＝－2.4，把样本中心点代入线性回归方程得a ＝15.4，所以线性回归方程为y ＝－2.4x ＋15.4. 当x ＝－8时，y ＝34.6.故选A. 【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．已知复数z ＝m 2(1＋i)－m (m ＋i)(m ∈R )，若z 是实数，则m 的值为________．【解析】 z ＝m 2＋m 2i －m 2－m i ＝(m 2－m )i ， ∴m 2－m ＝0，∴m ＝0或1. 【答案】 0或114．在平面几何中，△ABC 的∠C 内角平分线CE 分AB 所成线段的比|AE |∶|EB |＝|AC |∶|CB |(如图2①)，把这个结论类比到空间，如图2②，在三棱锥A BCD 中，平面CDE 平分二面角A CD B 且与AB 相交于E ，结论是__________________．图2【解析】依平面图形与空间图形的相关元素类比，线段之比类比面积之比．【答案】 S △ACD ∶S △BCD ＝AE 2∶EB 215．(2015·山东高考)执行下边的程序框图3，若输入的x 的值为1，则输出的y 的值是________．图3【解析】当x＝1时，1<2，则x＝1＋1＝2；当x＝2时，不满足x<2，则y＝3×22＋1＝13.【答案】1316．(2016·江西吉安高二检测)已知等差数列{a n}中，有a11＋a12＋…＋a2010＝a1＋a2＋…＋a3030，则在等比数列{b n}中，会有类似的结论________. 【导学号：67720029】【解析】由等比数列的性质可知，b1b30＝b2b29＝…＝b11b20，∴10b11b12…b20＝30b1b2 (30)【答案】10b11b12 (20)30b1b2…b30三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(2016·哈尔滨高二检测)设z＝(1－4i)(1＋i)＋2＋4i3＋4i，求|z|.【解】z＝1＋i－4i＋4＋2＋4i3＋4i＝7＋i3＋4i，∴|z|＝|7＋i||3＋4i|＝525＝ 2.18．(本小题满分12分)给出如下列联表：(参考数据：P (χ2≥6.635)＝0.010，P (χ2≥7.879)＝0.005) 【解】由列联表中数据可得χ2＝110×(20×50－10×30)230×80×50×60≈7.486.又P (χ2≥6.635)＝0.010，所以在犯错误的概率不超过0.010的前提下，认为高血压与患心脏病有关系． 19．(本小题满分12分)已知a 2＋b 2＝1，x 2＋y 2＝1，求证：ax ＋by ≤1(分别用综合法、分析法证明)．【证明】综合法：∵2ax ≤a 2＋x 2,2by ≤b 2＋y 2， ∴2(ax ＋by )≤(a 2＋b 2)＋(x 2＋y 2)．又∵a 2＋b 2＝1，x 2＋y 2＝1， ∴2(ax ＋by )≤2，∴ax ＋by ≤1. 分析法：要证ax ＋by ≤1成立，只要证1－(ax ＋by )≥0，只要证2－2ax －2by ≥0，又∵a 2＋b 2＝1，x 2＋y 2＝1，∴只要证a 2＋b 2＋x 2＋y 2－2ax －2by ≥0，即证(a －x )2＋(b －y )2≥0，显然成立．20．(本小题满分12分)某省公安消防局对消防产品的监督程序步骤为：首先受理产品请求，如果是由公安部发证的产品，则审核考察，领导复核，不同意，则由窗口将信息反馈出去，同意，则报公安部审批，再经本省公安消防局把反馈信息由窗口反馈出去．如果不是由公安部发证的产品，则由窗口将信息反馈出去．试画出此监督程序的流程图．【解】某省公安消防局消防产品监督程序的流程图如下：21．(本小题满分12分)某产品的广告支出x(单位：万元)与销售收入y(单位：万元)之间有下表所对应的数据：(1)(2)求出y对x的线性回归方程；(3)若广告费为9万元，则销售收入约为多少万元？【解】(1)散点图如图：(2)观察散点图可知各点大致分布在一条直线附近，列出下列表格，以备计算a，b.于是x ＝52，y ＝692，代入公式得：b ＝∑i ＝14x i y i －4x －y －∑i ＝14x 2i －4x －2＝418－4×52×69230－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫522＝735，a ＝y －b x ＝692－735×52＝－2. 故y 与x 的线性回归方程为y ＝735x －2.(3)当x ＝9万元时，y ＝735×9－2＝129.4(万元)．所以当广告费为9万元时，可预测销售收入约为129.4万元．22．(本小题满分12分)某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图4①，②，③，④为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形．图4(1)求出f (5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f (n ＋1)与f (n )之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f (n )的表达式；(3)求1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1的值．【解】 (1)f (5)＝41. (2)因为f (2)－f (1)＝4＝4×1， f (3)－f (2)＝8＝4×2， f (4)－f (3)＝12＝4×3， f (5)－f (4)＝16＝4×4， …由上式规律，所以得出f (n ＋1)－f (n )＝4n .因为f (n ＋1)－f (n )＝4n ⇒f (n ＋1)＝f (n )＋4n ⇒f (n )＝f (n －1)＋4(n －1)＝f (n －2)＋4(n －1)＋4(n －2)＝f (n －3)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＝…＝f (1)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＋…＋4 ＝2n 2－2n ＋1. (3)当n ≥2时，1f (n )－1＝12n (n －1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ，∴1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1 ＝1＋12·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1－1n ＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＝32－12n .。

北京市2016-2017学年高中数学北师大版选修1-2学案：章末分层突破3 Word版含解析

章末分层突破[自我校对]①合情推理②间接证明③归纳推理④综合法________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________合情推理1.归纳推理的特点及一般步骤2．类比推理的特点及一般步骤(1)观察式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…，由此可归纳出的式子为( )A ．1＋122＋132＋…＋1n 2<12n －1B ．1＋122＋132＋…＋1n 2<12n ＋1C ．1＋122＋132＋…＋1n 2<2n －1n D ．1＋122＋132＋…＋1n 2<2n2n ＋1(2)两点等分单位圆时，有相应正确关系为sin α＋sin(π＋α)＝0；三点等分单位圆时，有相应正确关系为sin α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋4π3＝0，由此可以推知，四点等分单位圆时的相应正确关系为__________．【精彩点拨】 (1)观察各式特点，找准相关点，归纳即得． (2)观察各角的正弦值之间的关系得出结论．【规范解答】 (1)由各式特点，可得1＋122＋132＋…＋1n 2<2n －1n .故选C. (2)用两点等分单位圆时，关系为sin α＋sin(π＋α)＝0，两个角的正弦值之和为0，且第一个角为α，第二个角与第一个角的差为(π＋α)－α＝π，用三点等分单位圆时，关系为sin α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋4π3＝0，此时三个角的正弦值之和为0，且第一个角为α，第二个角与第一个角的差与第三个角与第二个角的差相等，即有⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋4π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3－α＝2π3.依此类推，可得当四点等分单位圆时，为四个角正弦值之和为0，且第一个角为α，第二个角为2π4＋α＝π2＋α，第三个角为π2＋α＋2π4＝π＋α，第四个角为π＋α＋2π4＝3π2＋α，即其关系为sin α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＋sin(α＋π)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝0.【答案】 (1)C (2)sin α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＋sin(α＋π)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝0[再练一题]1．已知函数y ＝sin 4x ＋cos 4x (x ∈R )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，则(1)函数y ＝sin 6 x ＋cos 6x (x ∈R )的值域是__________；(2)类比上述结论，函数y ＝sin 2n x ＋cos 2n x (n ∈N ＋)的值域是__________．【解析】 (1)y ＝sin 6x ＋cos 6x ＝(sin 2x ＋cos 2x )(sin 4x －sin 2 x cos 2 x ＋cos 4 x )＝sin 4x －sin 2x cos 2 x ＋cos 4x ＝(sin 2 x ＋cos 2 x )2－3sin 2x cos 2x ＝1－34sin 2(2x )＝1－38(1－cos 4x )＝58＋38cos 4x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1.(2)由类比可知，y ＝sin 2n x ＋cos 2n x 的值域是[21－n,1]．【答案】 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1 (2)[21－n,1]综合法与分析法1.综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题的常用的方法，综合法是由因导果的思维方式，而分析法的思路恰恰相反，它是执果索因的思维方式．2．分析法和综合法是两种思路相反的推理方法．分析法是倒溯，综合法是顺推，二者各有优缺点．分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述易错；综合法条理清晰，易于表述，因此对于难题常把二者交互运用，互补优缺，形成分析综合法，其逻辑基础是充分条件与必要条件．设a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ＋1ab ≥8.试用综合法和分析法分别证明．【精彩点拨】 (1)综合法：根据a ＋b ＝1，分别求1a ＋1b 与1ab 的最小值． (2)分析法：把1ab 变形为a ＋b ab ＝1a ＋1b 求证．【规范解答】法一：(综合法) ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴1＝a ＋b ≥2ab ，ab ≤12，ab ≤14，∴1ab ≥4. 又1a ＋1b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥4，∴1a ＋1b ＋1ab ≥8⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝b ＝12时等号成立.法二：(分析法) ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，要证1a ＋1b ＋1ab ≥8，只要证⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋a ＋bab ≥8，只要证⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＋1a ≥8，即证1a ＋1b ≥4.也就是证a ＋b a ＋a ＋bb ≥4. 即证b a ＋ab ≥2，由基本不等式可知，当a >0，b >0时， b a ＋ab ≥2成立，所以原不等式成立． [再练一题]2．(1)已知a ，b ，c 为互不相等的非负数．求证：a2＋b2＋c2>abc(a＋b＋c)．(2)用分析法证明：2cos(α－β)－sin(2α－β)sin α＝sin βsin α.【解】(1)因为a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，又因为a，b，c为互不相等的非负数，所以上面三个式子中都不能取“＝”，所以a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac，因为ab＋bc≥2ab2c，bc＋ac≥2abc2，ab＋ac≥2a2bc，又a，b，c为互不相等的非负数，所以ab＋bc＋ac>abc(a＋b＋c)，所以a2＋b2＋c2>abc(a＋b＋c)．(2)要证原等式成立，只需证：2cos(α－β)sin α－sin(2α－β)＝sin β，①因为①左边＝2cos(α－β)sin α－sin[(α－β)＋α]＝2cos(α－β)sin α－sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝cos(α－β)sin α－sin(α－β)cos α＝sin β＝右边，所以①成立，即原等式成立.反证法反证法是间接证明的一种基本方法，用反证法证明时，假定原结论的对立面为真，从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果，断定反设不成立，从而肯定结论．反证法的思路：反设→归谬→结论．设{a n}是公比为q的等比数列．(1)推导{a n}的前n项和公式；(2)设q≠1，证明：数列{a n＋1}不是等比数列．【精彩点拨】(1)利用等比数列的概念及通项公式推导前n项和公式；(2)利用反证法证明要证的结论．【规范解答】(1)设{a n}的前n项和为S n，当q＝1时，S n＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；当q≠1时，S n＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1q n－1，①qS n＝a1q＋a1q2＋…＋a1q n，②①－②得，(1－q)S n＝a1－a1q n，∴S n＝a1(1－q n)1－q，∴S n＝⎩⎪⎨⎪⎧na1，q＝1，a1(1－q n)1－q，q≠1.(2)证明：假设{a n＋1}是等比数列，则对任意的k∈N＋，(a k＋1＋1)2＝(a k＋1)(a k＋2＋1)，a2k＋1＋2a k＋1＋1＝a k a k＋2＋a k＋a k＋2＋1，a21q2k＋2a1q k＝a1q k－1·a1q k＋1＋a1q k－1＋a1q k＋1，∵a1≠0，∴2q k＝q k－1＋q k＋1.∵q≠0，∴q2－2q＋1＝0，∴q＝1，这与已知矛盾．∴假设不成立，故{a n＋1}不是等比数列．[再练一题]3．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像与x轴有两个不同的交点，若f(c)＝0，且0<x<c时，f(x)>0.(1)证明：1a 是f (x )＝0的一个根； (2)试比较1a 与c 的大小．【解】 (1)证明：∵f (x )的图像与x 轴有两个不同的交点， ∴f (x )＝0有两个不等实根x 1，x 2. ∵f (c )＝0，∴x 1＝c 是f (x )＝0的根．又x 1x 2＝ca ， ∴x 2＝1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ≠c ，∴1a 是f (x )＝0的一个根． (2)假设1a <c ，又1a >0，由0<x <c 时，f (x )>0，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a >0与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝0矛盾，∴1a ≥c ，又∵1a ≠c ， ∴1a >c .数学归纳法1.关注点一：用数学归纳法证明等式问题是数学归纳法的常见题型，其关键点在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n 0是多少．2．关注点二：由n ＝k 到n ＝k ＋1时，除等式两边变化的项外还要利用n ＝k 时的式子，即利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明．已知正数数列{a n }(n ∈N ＋)中，前n 项和为S n ，且2S n ＝a n ＋1a n，用数学归纳法证明：a n ＝n －n －1.【规范解答】 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋1a 1，所以a 21＝1(a n >0)，所以a 1＝1，又1－0＝1，所以n ＝1时，结论成立．(2)假设n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时，结论成立，即a k ＝k －k －1.当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1a k ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫k －k －1＋1k －k －1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－k ，所以a 2k ＋1＋2ka k ＋1－1＝0，解得a k ＋1＝k ＋1－k (a n >0)，所以n ＝k ＋1时，结论成立．由(1)(2)可知，对n ∈N ＋都有a n ＝n －n －1.[再练一题]4．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n (a n ＋1)2(n ∈N ＋)，a 2＝2. (1)求{a n }的前三项a 1，a 2，a 3； (2)猜想{a n }的通项公式，并证明．【解】 (1)由S n ＝n (a n ＋1)2，得a 1＝1，又由a 2＝2，得a 3＝3.(2)猜想：a n ＝n .证明如下：①当n ＝1时，猜想成立． ②假设当n ＝k (k ≥2)时，猜想成立，即a k ＝k ，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k＝(k ＋1)(a k ＋1＋1)2－k (a k ＋1)2＝(k ＋1)(a k ＋1＋1)2－k (k ＋1)2.所以a k ＋1＝k 2k －1－1k －1＝k ＋1，所以当n ＝k ＋1时，猜想也成立．根据①②知，对任意n ∈N ＋，都有a n ＝n .转化与化归思想转化与化归是数学思想方法的灵魂．在本章中，合情推理与演绎推理体现的是一般与特殊的转化；数学归纳法体现的是一般与特殊、有限与无限的转化；反证法体现的是对立与统一的转化．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中的a ，b ，c 都为整数，已知f (0)，f (1)均为奇数，求证：方程f (x )＝0无整数根．【精彩点拨】假设方程f (x )＝0有整数根k ，结合f (0)，f (1)均为奇数推出矛盾．【规范解答】假设方程f (x )＝0有一个整数根k ，则ak 2＋bk ＋c ＝0，∵f (0)＝c ，f (1)＝a ＋b ＋c 都为奇数， ∴a ＋b 必为偶数，ak 2＋bk 为奇数．当k 为偶数时，令k ＝2n (n ∈Z )，则ak 2＋bk ＝4n 2a ＋2nb ＝2n (2na ＋b )必为偶数，与ak 2＋bk 为奇数矛盾；当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1(n ∈Z )，则ak 2＋bk ＝(2n ＋1)·(2na ＋a ＋b )为一奇数与一偶数乘积，必为偶数，也与ak 2＋bk 为奇数矛盾．综上可知，方程f (x )＝0无整数根．[再练一题]5．用数学归纳法证明：当n为正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除．【证明】设n＝2m－1，m∈N＋，则x n＋y n＝x2m－1＋y2m－1.要证明原命题成立，只需证明x2m－1＋y2m－1能被x＋y整除(m∈N＋)．(1)当m＝1时，x2m－1＋y2m－1＝x＋y能被x＋y整除．(2)假设当m＝k(k∈N＋)时命题成立，即x2k－1＋y2k－1能被x＋y整除，那么当m＝k＋1时，x2(k＋1)－1＋y2(k＋1)－1＝x2k＋2－1＋y2k＋2－1＝x2k－1x2－x2k－1y2＋y2k－1y2＋x2k－1y2＝x2k－1(x2－y2)＋y2(x2k－1＋y2k－1)＝x2k－1(x－y)(x＋y)＋y2(x2k－1＋y2k－1)．因为x2k－1(x－y)(x＋y)与y2(x2k－1＋y2k－1)均能被x＋y整除，所以当m＝k＋1时，命题成立．由(1)(2)知，原命题成立．1．(2016·北京高考)某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段．下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.30秒跳绳决赛的有6人，则()A．2号学生进入30秒跳绳决赛B．5号学生进入30秒跳绳决赛C．8号学生进入30秒跳绳决赛D．9号学生进入30秒跳绳决赛【解析】由题意可知1到8号学生进入了立定跳远决赛．由于同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，因此1到8号同学中有且只有6人进入两项决赛，分类讨论如下：(1)当a<60时，a－1<59，此时2号和8号不能入选，即入选的只有1,3,4,5,6,7号；(2)当a＝60时，a－1＝59，此时2号和4号同时入选或同时都不入选，均不符合题意；(3)当a＝61时，a－1＝60，此时8号和4号不能入选，即入选的只有1,2,3,5,6,7号；(4)当a＝62或63时，相应的a－1＝61或62，此时8号和4号不能入选，即入选的只有1,2,3,5,6,7号；(5)当a≥64时，此时a－1≥63，不符合题意．综上可知1,3,5,6,7号学生一定进入30秒跳绳决赛．【答案】 B2．(2016·全国卷Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．【解析】根据丙的说法及乙看了丙的卡片后的说法进行推理．由丙说“我的卡片上的数字之和不是5”，可推知丙的卡片上的数字是1和2或1和3.又根据乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”可知，乙的卡片不含1，所以乙的卡片上的数字为2和3.再根据甲的说法“我与乙的卡片上相同的数字不是2”可知，甲的卡片上的数字是1和3.【答案】 1和33．(2015·福建高考)一个二元码是由0和1组成的数字串x 1x 2…x n (n ∈N ＋)，其中x k (k ＝1,2，…，n )称为第k 位码元．二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0)．已知某种二元码x 1x 2…x 7的码元满足如下校验方程组：⎩⎨⎧x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7＝0，x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7＝0，x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7＝0，其中运算⊕定义为：0⊕0＝0,0⊕1＝1,1⊕0＝1,1⊕1＝0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k 等于________．【解析】因为x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7＝0，所以x 2，x 3，x 6，x 7都正确．又因为x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7＝1，x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7＝1，故x 1和x 4都错误，或仅x 5错误．因为条件中要求仅在第k 位发生码元错误，故只有x 5错误．【答案】 54．(2015·湖南高考)设a >0，b >0，且a ＋b ＝1a ＋1b .证明：【导学号：67720022】 (1)a ＋b ≥2；(2)a 2＋a <2与b 2＋b <2不可能同时成立．【证明】由a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋bab ，a >0，b >0，得ab ＝1.(1)由基本不等式及ab ＝1，有a ＋b ≥2ab ＝2，即a ＋b ≥2，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立．(2)假设a 2＋a <2与b 2＋b <2同时成立，则由a 2＋a <2及a >0，得0<a <1；同理，0<b <1，从而ab <1，这与ab ＝1矛盾．故a 2＋a <2与b 2＋b <2不可能同时成立． 5．(2016·浙江高考)设函数f (x )＝x 3＋11＋x，x ∈[0,1]．证明： (1)f (x )≥1－x ＋x 2；(2)34<f (x )≤32. 【证明】 (1)因为1－x ＋x 2－x 3＝1－(－x )41－(－x )＝1－x 41＋x，由于x ∈[0,1]，有1－x 41＋x ≤1x ＋1，即1－x ＋x 2－x 3≤1x ＋1，所以f (x )≥1－x ＋x 2.(2)由0≤x ≤1得x 3≤x ，故f (x )＝x 3＋1x ＋1≤x ＋1x ＋1＝x ＋1x ＋1－32＋32＝(x －1)(2x ＋1)2(x ＋1)＋32≤32，所以f (x )≤32.由(1)得f (x )≥1－x ＋x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1924>34，所以f (x )>34.综上，34<f (x )≤32.单元综合测评(三) 推理与证明 (时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下面四个推理不是合情推理的是( ) A ．由圆的性质类比推出球的有关性质B ．由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°C．某次考试张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分D．蛇、海龟、蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、海龟、蜥蜴是爬行动物，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的【解析】逐项分析可知，A项属于类比推理，B项和D项属于归纳推理，而C项中各个学生的成绩不能类比，不是合情推理．【答案】 C2．用反证法证明命题“若直线AB，CD是异面直线，则直线AC，BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：①则A，B，C，D四点共面，所以AB，CD共面，这与AB，CD是异面直线矛盾；②所以假设错误，即直线AC，BD也是异面直线；③假设直线AC，BD是共面直线．则正确的序号顺序为()A．①②③B．③①②C．①③②D．②③①【解析】结合反证法的证明步骤可知，其正确步骤为③①②.【答案】 B3．下列推理是归纳推理的是()A．A，B为定点，动点P满足|P A|＋|PB|＝2a>|AB|，得P的轨迹为椭圆B．由a1＝1，a n＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和S n的表达式C．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜出椭圆x2a2＋y2b2＝1的面积S＝πabD．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇【解析】由归纳推理的特点知，选B.【答案】 B4．用反证法证明“a，b，c中至少有一个大于0”，下列假设正确的是() A．假设a，b，c都小于0B．假设a，b，c都大于0C．假设a，b，c中都不大于0D．假设a，b，c中至多有一个大于0【解析】用反证法证明“a，b，c中至少有一个大于0”，应先假设要证命题的否定成立．而要证命题的否定为“假设a，b，c中都不大于0”，故选C.【答案】 C5．下面给出了四个类比推理．①a，b为实数，若a2＋b2＝0则a＝b＝0；类比推出：z1，z2为复数，若z21＋z22＝0，则z1＝z2＝0；②若数列{a n}是等差数列，b n＝1n(a1＋a2＋a3＋…＋a n)，则数列{b n}也是等差数列；类比推出：若数列{c n}是各项都为正数的等比数列，d n＝nc1c2c3…c n，则数列{d n}也是等比数列；③若a，b，c∈R，则(ab)c＝a(bc)；类比推出：若a，b，c为三个向量，则(a·b)·c＝a·(b·c)；④若圆的半径为a，则圆的面积为πa2；类比推出：若椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，则椭圆的面积为πab.上述四个推理中，结论正确的是()A．①②B．②③C．①④D．②④【解析】①在复数集C中，若z1，z2∈C，z21＋z22＝0，则可能z1＝1且z2＝i，故错误；②在类比等差数列性质推理等比数列性质时，一般思路有：由加法类比推理为乘法，由减法类比推理为除法，由算术平均数类比推理为几何平均数等，故正确；③由于向量的数量积运算结合律不成立，错误；④若圆的半径为a，则圆的面积为πa2；类比推出，若椭圆长半轴长为a，短半轴长为b，则椭圆面积为πab，正确．【答案】 D6．将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论：①a·b＝b·a；②(a·b)·c＝a·(b·c)；③a·(b＋c)＝a·b＋a·c；④由a·b＝a·c(a≠0)可得b＝c.以上通过类比得到的结论正确的个数为()A．1B．2C．3 D．4【解析】平面向量的数量积的运算满足交换律和分配律，不满足结合律，故①③正确，②错误；由a·b＝a·c(a≠0)得a·(b－c)＝0，从而b－c＝0或a⊥(b －c)，故④错误．故选B.【答案】 B7．(2016·昌平模拟)已知{b n}为等比数列，b5＝2，则b1·b2·b3·b4·b5·b6·b7·b8·b9＝29.若{a n}为等差数列，a5＝2，则{a n}的类似结论为()A．a1a2a3…a9＝29B．a1＋a2＋a3＋…＋a9＝29C．a1a2a3…a9＝2×9D．a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9【解析】根据等差、等比数列的特征知，a1＋a2＋…＋a9＝2×9.【答案】 D8．(2016·北京高考)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则()A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C．乙盒中红球不多于丙盒中红球D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多【解析】取两个球往盒子中放有4种情况：①红＋红，则乙盒中红球数加1；②黑＋黑，则丙盒中黑球数加1；③红＋黑(红球放入甲盒中)，则乙盒中黑球数加1；④黑＋红(黑球放入甲盒中)，则丙盒中红球数加1.因为红球和黑球个数一样多，所以①和②的情况一样多，③和④的情况完全随机．③和④对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数没有任何影响．①和②出现的次数是一样的，所以对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数的影响次数一样．综上，选B.【答案】 B9．在等差数列{a n}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋a n＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19且n∈N＋)成立，类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b11＝1，则有()A．b1·b2·…·b n＝b1·b2·…·b19－nB．b1·b2·…·b n＝b1·b2·…·b21－nC．b1＋b2＋…＋b n＝b1＋b2＋…＋b19－nD．b1＋b2＋…＋b n＝b1＋b2＋…＋b21－n【解析】令n＝10时，验证即知选B.【答案】 B10．将石子摆成如图1的梯形形状．称数列5,9,14,20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2 016项与5的差，即a2 016－5＝()图1A．2 018×2 014 B．2 018×2 013C．1 010×2 012 D．1 011×2 013【解析】a n－5表示第n个梯形有n－1层点，最上面一层为4个，最下面一层为n＋2个．∴a n －5＝(n －1)(n ＋6)2，∴a 2 016－5＝2 015×2 0222＝2 013×1 011. 【答案】 D11．在直角坐标系xOy 中，一个质点从A (a 1，a 2)出发沿图2中路线依次经过B (a 3，a 4)，C (a 5，a 6)，D (a 7，a 8)，…，按此规律一直运动下去，则a 2 015＋a 2 016＋a 2 017＝( )图2A ．1 006B ．1 007C ．1 008D ．1 009【解析】依题意a 1＝1，a 2＝1；a 3＝－1，a 4＝2；a 5＝2，a 6＝3；…，归纳可得a 1＋a 3＝1－1＝0，a 5＋a 7＝2－2＝0，…，进而可归纳得a 2 015＋a 2 017＝0，a 2＝1，a 4＝2，a 6＝3，…，进而可归纳得a 2 016＝12×2 016＝1 008，a 2 015＋a 2 016＋a 2 017＝1 008.故选C.【答案】 C12．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或是丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖了．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖歌手是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【解析】【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．已知圆的方程是x 2＋y 2＝r 2，则经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.类比上述性质，可以得到椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1类似的性质为__________．【解析】圆的性质中，经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x 与y 分别用M (x 0，y 0)的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1类似的性质为：过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb 2＝1.【答案】经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb 2＝1 14．观察下列等式： 13＝1， 13＋23＝9， 13＋23＋33＝36， 13＋23＋33＋43＝100， …照此规律，第n 个等式可为__________．【解析】依题意，注意到13＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×1×(1＋1)2,13＋23＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×2×(2＋1)2＝9,13＋23＋33＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×3×(3＋1)2＝36，…，照此规律，第n 个等式可为13＋23＋33＋…＋n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12n (n ＋1)2.【答案】 13＋23＋33＋…＋n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12n (n ＋1)215．(2016·东莞高二检测)当n ＝1时，有(a －b )(a ＋b )＝a 2－b 2，当n ＝2时，有(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝a 3－b 3，当n ＝3时，有(a －b )(a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3)＝a 4－b 4，当n ∈N ＋时，你能得到的结论是__________．【解析】根据题意，由于当n ＝1时，有(a －b )(a ＋b )＝a 2－b 2，当n ＝2时，有(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝a 3－b 3，当n ＝3时，有(a －b )(a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3)＝a 4－b 4，当n ∈N ＋时，左边第二个因式可知为a n ＋a n －1b ＋…＋ab n －1＋b n ，那么对应的表达式为(a －b )·(a n ＋a n －1b ＋…＋ab n －1＋b n )＝a n ＋1－b n ＋1.【答案】 (a －b )(a n ＋a n －1b ＋…＋ab n －1＋b n )＝a n ＋1－b n ＋116．如图3，如果一个凸多面体是n (n ∈N ＋)棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有________条，这些直线共有f (n )对异面直线，则f (4)＝________，f (n )＝__________.(答案用数字或n 的解析式表示)图3【解析】所有顶点所确定的直线共有棱数＋底边数＋对角线数＝n ＋n ＋n (n －3)2＝n (n ＋1)2.从题图中能看出四棱锥中异面直线的对数为f (4)＝4×2＋4×12×2＝12，所以f(n)＝n(n－2)＋n(n－3)2·(n－2)＝n(n－1)(n－2)2.【答案】n(n＋1)212n(n－1)(n－2)2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)用综合法或分析法证明：(1)如果a，b>0，则lg a＋b2≥lg a＋lg b2；(2)6＋10>23＋2.【证明】(1)当a，b>0时，有a＋b2≥ab，∴lg a＋b2≥lg ab，∴lg a＋b2≥12lg ab＝lg a＋lg b2.(2)要证6＋10>23＋2，只要证(6＋10)2>(23＋2)2，即260>248，这是显然成立的，所以，原不等式成立．18．(本小题满分12分)观察以下各等式：sin230°＋cos260°＋sin 30°cos 60°＝3 4，sin220°＋cos250°＋sin 20°cos 50°＝3 4，sin215°＋cos245°＋sin 15°cos 45°＝3 4.分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明．【解】猜想：sin2α＋cos2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝3 4.证明如下：sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°) ＝sin 2α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α－12sin α2＋sin α⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α－12sin α＝sin 2α＋34cos 2α－32sin αcos α＋14sin 2α＋32sin α·cos α－12sin 2α ＝34sin 2α＋34cos 2α ＝34.19．(本小题满分12分)点P 为斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱BB 1上一点，PM ⊥BB 1交AA 1于点M ，PN ⊥BB 1交CC 1于点N .(1)求证：CC 1⊥MN ；(2)在任意△DEF 中有余弦定理：DE 2＝DF 2＋EF 2－2DF ·EF ·cos ∠DFE .扩展到空间类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．【解】 (1)证明：因为PM ⊥BB 1，PN ⊥BB 1，又PM ∩PN ＝P ，所以BB 1⊥平面PMN ，所以BB 1⊥MN . 又CC 1∥BB 1，所以CC 1⊥MN .(2)在斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，有S 2ABB 1A 1＝S 2BCC 1B 1＋S 2ACC 1A 1－2SBCC 1B 1SACC 1A 1cos α.其中α为平面BCC 1B 1与平面ACC 1A 1所成的二面角．证明如下：因为CC 1⊥平面PMN ，所以上述的二面角的平面角为∠MNP .在△PMN中，因为PM2＝PN2＋MN2－2PN·MN cos∠MNP，所以PM2·CC21＝PN2·CC21＋MN2·CC21－2(PN·CC1)·(MN·CC1)cos∠MNP，由于SBCC1B1＝PN·CC1，SACC1A1＝MN·CC1，SABB1A1＝PM·BB1＝PM·CC1，所以S2ABB1A1＝S2BCC1B1＋S2ACC1A1－2SBCC1B1·SACC1A1·cos α.20．(本小题满分12分)(2014·江苏高考)如图4，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知P A⊥AC，P A＝6，BC＝8，DF＝5.求证：图4(1)直线P A∥平面DEF；(2)平面BDE⊥平面ABC.【证明】(1)因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DE∥P A.又因为P A平面DEF，DE平面DEF，所以直线P A∥平面DEF.(2)因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，P A＝6，BC＝8，所以DE∥P A，DE＝12P A＝3，EF＝12BC＝4.又因为DF＝5，故DF2＝DE2＋EF2，所以∠DEF＝90°，即DE⊥EF.又P A⊥AC，DE∥P A，所以DE⊥AC.因为AC ∩EF ＝E ，AC 平面ABC ，EF 平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC . 又DE 平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABC .21．(本小题满分12分)在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝14，且a n ＋1＝(n －1)a n n －a n (n ≥2)．(1)求a 3，a 4，猜想a n 的表达式，并加以证明； (2)设b n ＝a n ·a n ＋1a n ＋a n ＋1，求证：对任意的n ∈N ＋，都有b 1＋b 2＋…＋b n <n 3.【解】 (1)容易求得：a 3＝17，a 4＝110.故可以猜想a n ＝13n －2，n ∈N ＋.下面利用数学归纳法加以证明： ①显然当n ＝1,2,3,4时，结论成立，②假设当n ＝k (k ≥4，k ∈N ＋)时，结论也成立，即 a k ＝13k －2.那么当n ＝k ＋1时，由题设与归纳假设可知：a k ＋1＝(k －1)a kk －a k＝(k －1)×13k －2k －13k －2 ＝k －13k 2－2k －1＝k －1(3k ＋1)(k －1)＝13k ＋1＝13(k ＋1)－2.即当n＝k＋1时，结论也成立，综上，对任意n∈N＋，a n＝13n－2成立．(2)证明：b n＝a n·a n＋1 a n＋a n＋1＝13n－2·13n＋1 13n－2＋13n＋1＝13n＋1＋3n－2＝13(3n＋1－3n－2)，所以b1＋b2＋…＋b n＝13[(4－1)＋(7－4)＋(10－7)＋…＋(3n＋1－3n－2)]＝13(3n＋1－1)，所以只需要证明13(3n＋1－1)<n3⇔3n＋1<3n＋1⇔3n＋1<3n＋23n＋1⇔0<23n(显然成立)，所以对任意的n∈N＋，都有b1＋b2＋…＋b n<n3.22．(本小题满分12分)(2014·湖南高考)已知函数f(x)＝x cos x－sin x＋1(x>0). 【导学号：67720022】(1)求f(x)的单调区间；(2)记x i为f(x)的从小到大的第i(i∈N*)个零点，证明：对一切n∈N*，有1x21＋1x22＋…＋1x2n<23.【解】(1)f′(x)＝cos x－x sin x－cos x＝－x sin x. 令f′(x)＝0，得x＝kπ(k∈N*)．当x∈(2kπ，(2k＋1)π)(k∈N)时，sin x>0，此时f ′(x )<0；当x ∈((2k ＋1)π，(2k ＋2)π)(k ∈N )时，sin x <0，此时f ′(x )>0.故f (x )的单调递减区间为(2k π，(2k ＋1)π)(k ∈N )，单调递增区间为((2k ＋1)π，(2k ＋2)π)(k ∈N )．(2)由(1)知，f (x )在区间(0，π)上单调递减．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，故x 1＝π2.当n ∈N *时，因为f (n π)·f ((n ＋1)π)＝[(－1)n n π＋1]×[(－1)n ＋1(n ＋1)π＋1]<0，且函数f (x )的图像是连续不断的，所以f (x )在区间(n π，(n ＋1)π)内至少存在一个零点．又f (x )在区间(n π，(n ＋1)π)上是单调的，故 n π<x n ＋1<(n ＋1)π.因此，当n ＝1时，1x 21＝4π2<23；当n ＝2时，1x 21＋1x 22＜1π2(4＋1)＜23；当n ≥3时，1x 21＋1x 22＋…＋1x 2n <1π2⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋1＋122＋…＋1(n －1)2 <1π2⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋11×2＋…＋1(n －2)(n －1)＝ 1π2⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －2－1n －1＝1π2⎝⎛⎭⎪⎫6－1n －1<6π2<23.综上所述，对一切n ∈N *，1x 21＋1x 22＋…＋1x 2n<23.。

2016-2017学年北师大版高中数学选修1-2检测：第三章推理与证明 1 1.2 含答案精品

第三章§1 1.2(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题1．下列哪个平面图形与空间的平行六面体作为类比对象较为合适()A．三角形B．梯形C．平行四边形D．矩形解析：只有平行四边形与平行六面体较为接近，故选C.答案： C2．已知{b n}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若{a n}为等差数列，a5＝2，则{a n}的类似结论为()A．a1a2a3…a9＝29B．a1＋a2＋…＋a9＝29C．a1a2…a9＝2×9 D．a1＋a2＋…＋a9＝2×9解析：由等差数列性质，有a1＋a9＝a2＋a9＝…＝2a5.易知D成立．答案： D3．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是()①各棱长都相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．A．①B．①②C．①②③D．③解析：因为正三角形的边和角可以与正四面体的面(或棱)和相邻的两面所成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)类比，所以①②③都恰当．答案： C4．给出下列三个类比结论．①(ab)n＝a n b n与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝a n＋b n；②log a(xy)＝log a x＋log a y与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β；③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.其中结论正确的个数是()A．0 B．1C．2 D．3解析： ③正确．答案： B二、填空题5．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1 ∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．解析： ∵两个正三角形是相似的三角形，∴它们的面积之比是相似比的平方．同理，两个正四面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的立方，所以它们的体积比为1∶8.答案： 1∶86．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，T 16T 12成等比数列．解析： T 4＝a 41·q 6，T 8T 4＝a 41·q 22，T 12T 8＝a 41·q 38，T 16T 12＝a 41·q 54. 所以T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成公比为q 16的等比数列，直接用类比法将“差”变“比”即可得出结果．答案： T 8T 4 T 12T 8三、解答题7．如下图(1)，在三角形ABC 中，AB ⊥AC ，若AD ⊥BC ，则AB 2＝BD ·BC ；若类比该命题，如下图(2)，三棱锥A －BCD 中，AD ⊥面ABC ，若A 点在三角形BCD 所在平面内的射影为M ，则有什么结论？命题是否是真命题．解析：命题是：三棱锥A －BCD 中，AD ⊥面ABC ，若A 点在三角形BCD 所在平面内的射影为M ，则有S 2△ABC ＝S △BCM ·S △BCD 是一个真命题．证明如下：如右图，连结DM 并延长交BC 于E ，连结AE ，则有DE ⊥BC .因为AD ⊥面ABC ，所以AD ⊥AE .又AM ⊥DE ，所以AE 2＝EM ·ED .于是S 2△ABC ＝⎝⎛⎭⎫12BC ·AE 2＝⎝⎛⎭⎫12BC ·EM ·⎝⎛⎭⎫12BC ·ED ＝S △BCM ·S △BCD .8．就任一等差数列{a n }，计算a 7＋a 10和a 8＋a 9，a 10＋a 40和a 20＋a 30，你发现了什么一般规律？能把你发现的规律作一般化的推广吗？从等差数列和函数之间的联系角度分析这个问题．在等比数列中会有怎样的类似的结论？解析：设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ，从而a 7＝a 1＋6d ，a 10＝a 1＋9d ，a 8＝a 1＋7d ，a 9＝a 1＋8d .所以a 7＋a 10＝2a 1＋15d ，a 8＋a 9＝2a 1＋15d ，可得a 7＋a 10＝a 8＋a 9.同理a 10＋a 40＝a 20＋a 30.由此猜想，任一等差数列{a n }，若m ，n ，p ，q ∈N ＋且m ＋n ＝p ＋q ，则有a m ＋a n ＝a p ＋a q 成立．类比等差数列，可得等比数列{a n }的性质：若m ，n ，p ，q ∈N ＋且m ＋n ＝p ＋q ，则有a m ·a n ＝a p ·a q 成立．9．设f (x )＝12x ＋2，类比课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，求f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值．解析： ∵f (x )＝12x ＋2， ∴f (x )＋f (1－x )＝12x ＋2＋121－x ＋2＝12x ＋2＋2x 2＋2·2x ＝2＋2x 2(2x ＋2)＝12＝22. 令S ＝f (－5)＋f (－4)＋…＋f (5)＋f (6)则S ＝f (6)＋f (5)＋…＋f (－4)＋f (－5)∴2S ＝[f (－5)＋f (6)]＋[f (－4)＋f (5)]＋…＋[f (5)＋f (－4)]＋[f (6)＋f (－5)]＝12×22＝6 2. ∴S ＝3 2.。

高二数学北师大版选修1-2章末综合测评(三) 推理与证明 Word版含答案

章末综合测评(三)推理与证明(时间分钟，满分分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．下面四个推理不是合情推理的是( )．由圆的性质类比推出球的有关性质．由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是°，归纳出所有三角形的内角和都是°．某次考试张军的成绩是分，由此推出全班同学的成绩都是分．蛇、海龟、蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、海龟、蜥蜴是爬行动物，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的【解析】逐项分析可知，项属于类比推理，项和项属于归纳推理，而项中各个学生的成绩不能类比，不是合情推理．【答案】．用反证法证明命题“若直线，是异面直线，则直线，也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：①则，，，四点共面，所以，共面，这与，是异面直线矛盾；②所以假设错误，即直线，也是异面直线；③假设直线，是共面直线．则正确的序号顺序为( )．③①②．①②③．②③①．①③②【解析】结合反证法的证明步骤可知，其正确步骤为③①②.【答案】．下列推理是归纳推理的是( )．，为定点，动点满足＋＝>，得的轨迹为椭圆．由＝，＝－，求出，，，猜想出数列的前项和的表达式．由圆＋＝的面积π，猜出椭圆＋＝的面积＝π．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇【解析】由归纳推理的特点知，选.【答案】．用反证法证明“，，中至少有一个大于”，下列假设正确的是( )．假设，，都小于．假设，，都大于．假设，，中都不大于．假设，，中至多有一个大于【解析】用反证法证明“，，中至少有一个大于”，应先假设要证命题的否定成立．而要证命题的否定为“假设，，中都不大于”，故选.【答案】．下面给出了四个类比推理．①，为实数，若＋＝则＝＝；类比推出：，为复数，若＋＝，则＝＝；②若数列{}是等差数列，＝(＋＋＋…＋)，则数列{}也是等差数列；类比推出：若数列{}是各项都为正数的等比数列，＝，则数列{}也是等比数列；③若，，∈，则()＝()；类比推出：若，，为三个向量，则(·)·＝·(·)；④若圆的半径为，则圆的面积为π；类比推出：若椭圆的长半轴长为，短半轴长为，则椭圆的面积为π.上述四个推理中，结论正确的是( )．②③．①②．①④．②④【解析】①在复数集中，若，∈，＋＝，则可能＝且＝，故错误；②在类比等差数列性质推理等比数列性质时，一般思路有：由加法类比推理为乘法，由减法类比推理为除法，由算术平均数类比推理为几何平均数等，故正确；③由于向量的数量积运算结合律不成立，错误；④若圆的半径为，则圆的面积为π；类比推出，若椭圆长半轴长为，短半轴长为，则椭圆面积为π，正确．【答案】．将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论：①·＝·；②(·)·＝·(·)；③·(＋)＝·＋·；④由·＝·(≠)可得＝.以上通过类比得到的结论正确的个数为( )。

2016-2017学年高中数学北师大版选修2-3章末综合测评2 含解析

章末综合测评(二）概率(时间120分钟,满分150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列说法不正确的是( ）A．某辆汽车一年中发生事故的次数是一个离散型随机变量B．正态分布随机变量等于一个特定实数的概率为0C．公式EX＝np可以用来计算离散型随机变量的均值D．从一副扑克牌中随机抽取5张，其中梅花的张数服从超几何分布【解析】公式EX＝np并不适用于所有的离散型随机变量的均值的计算，适用于二项分布的均值的计算．故选C.【答案】C2．(2016·吉安高二检测）若在甲袋内装有8个白球、4个红球，在乙袋内装有6个白球、5个红球，现从两袋内各任意取出1个球，设取出的白球个数为X，则下列概率中等于错误!的是（) A．P(X＝0）B．P（X≤2）C．P（X＝1) D．P（X＝2）【解析】由已知易知P(X＝1)＝错误!。

【答案】C3．（2016·长沙高二检测）若X的分布列为则EX＝( )A。

错误!B。

错误!C。

错误!D。

错误!【解析】由错误!＋a＝1，得a＝错误!，所以EX＝0×错误!＋1×错误!＝错误!。

【答案】A4．甲、乙、丙三人参加某项测试，他们能达到标准的概率分别是0。

8，0。

6，0.5,则三人中至少有一人达标的概率是（）A．0.16 B．0。

24C．0。

96 D．0。

04【解析】三人都不达标的概率是(1－0.8）×（1－0.6）×（1－0。

5）＝0。

04，故三人中至少有一人达标的概率为1－0.04＝0。

96.【答案】C5．（2015·湖北高考)设X～N(μ1，σ错误!），Y～N（μ2，σ错误!），这两个正态分布密度曲线如图1所示，下列结论中正确的是（)图1A．P（Y≥μ2）≥P（Y≥μ1）B．P（X≤σ2）≤P(X≤σ1）C．对任意正数t，P(X≥t）≥P（Y≥t)D．对任意正数t，P（X≤t)≥P(Y≤t）【解析】由图象知，μ1＜μ2，σ1＜σ2，P(Y≥μ2）＝12，P(Y≥μ1）＞错误!，故P（Y≥μ2)＜P（Y≥μ1)，故A错；因为σ1＜σ2,所以P（X≤σ2）＞P（X≤σ1)，故B错；对任意正数t，P（X≥t）＜P（Y≥t),故C错；对任意正数t,P（X≤t）≥P(Y≤t）是正确的，故选D。

2016-2017学年高中数学北师大版选修1-2学案：1.2.1 条件概率与独立事件 Word版含解析

§2　独立性检验2．1　条件概率与独立事件1．了解条件概率的概念及计算．(重点)2．理解相互独立事件的意义及相互独立事件同时发生的概率乘法公式．(重点)3．掌握利用概率的知识分析解决实际问题的方法．(难点)[基础·初探]教材整理1　条件概率阅读教材P 17～P 18部分，完成下列问题．1．概念已知事件B 发生的条件下，A 发生的概率，称为B 发生时A 发生的条件概率，记为P (A |B )．2．公式当P (B )＞0时，P (A |B )＝.P (AB )P (B)从1,2,3,4,5中任取两个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( )A ． B ． 1814C ． D ．2512【解析】　从1,2,3,4,5中任取两个数共有10种取法，事件A 包含(1,3)，(1,5)，(3,5)，(2,4)共4个基本事件，事件B 包含(2,4)一个基本事件，故P (A )＝，P (AB )＝.所以P (B |A )＝＝.410110P (AB )P (A )14【答案】　B教材整理2　相互独立事件阅读教材P 19“练习”以上部分，完成下列问题．1．定义对两个事件A ，B ，如果P (AB )＝P (A )P (B )，则称A ，B 相互独立．2．性质如果A ，B 相互独立，则A 与，与B ，与也相互独立．B A A B 3．如果A 1，A 2，…，A n 相互独立，则有P (A 1A 2…A n )＝P (A 1)P (A 2)…P (A n )．甲袋中装有2个白球，2个黑球，乙袋中装有2个白球，4个黑球，从甲、乙两袋中各取一球均为白球的概率为( )A ．B ．1625C ．D ．21556【解析】　记“从甲袋中任取一球为白球”为事件A ，“从乙袋中任取一球为白球”为事件B ，则事件A ，B 是相互独立事件，故P (AB )＝P (A )P (B )＝×＝.242616【答案】　A[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________解惑：___________________________________________________疑问2：___________________________________________________解惑：___________________________________________________疑问3：___________________________________________________解惑：___________________________________________________[小组合作型],条件概率　一个袋中有2个黑球和3个白球，如果不放回地抽取两个球，记事件“第一次抽到黑球”为A ，事件“第二次抽到黑球”为B ．(1)分别求事件A ，B ，AB 发生的概率；(2)求P (B |A )．【精彩点拨】　解答本题可先求P (A )，P (B )，P (AB )，再用公式P (B |A )＝求概率．P (AB )P (A )【自主解答】　由古典概型的概率公式可知：(1)P (A )＝，25P (B )＝＝＝，2×1＋3×25×482025P (AB )＝＝.2×15×4110(2)P (B |A )＝＝＝.P (AB )P (A )1102514用定义法求条件概率P (B |A )的步骤是：(1)分析题意，弄清概率模型；(2)计算P (A )，P (AB )；(3)代入公式求P (B |A )＝.P (AB )P (A)[再练一题]1．一个家庭有两个小孩，假设生男生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩的条件下，这时另一个也是女孩的概率是( )A ． B ．1423C ．D ．1213【解析】　一个家庭中有两个小孩只有4种可能：(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)．记事件A 为“其中一个是女孩”，事件B 为“另一个是女孩”，则A ＝{(男，女)，(女，男)，(女，女)}，B ＝{(男，女)，(女，男)，(女，女)}，AB ＝{(女，女)}．于是可知P (A )＝，P (AB )＝.问题是求在事件A 发生的情况下，事件B 发3414生的概率，即求P (B |A )，由条件概率公式，得P (B |A )＝＝.143413【答案】　D,事件独立性的判断　判断下列各对事件是否是相互独立事件：(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”．【精彩点拨】　利用相互独立事件的定义判断．【自主解答】　(1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件．(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件58发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为；47若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为，可见，前一事件是否发生，57对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．判断两事件是否具有独立性的三种方法：(1)定义法：直接判定两个事件发生是否相互影响．(2)公式法：检验P (AB )＝P (A )P (B )是否成立．(3)条件概率法：当P (A )>0时，可用P (B |A )＝P (B )判断．[再练一题]2．(1)甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A ：“甲击中目标”，事件B ：“乙击中目标”，则事件A 与事件B ( )A ．相互独立但不互斥B ．互斥但不相互独立C ．相互独立且互斥D ．既不相互独立也不互斥(2)掷一枚正方体骰子一次，设事件A ：“出现偶数点”，事件B ：“出现3点或6点”，则事件A ，B 的关系是( )A ．互斥但不相互独立B ．相互独立但不互斥C ．互斥且相互独立D ．既不相互独立也不互斥【解析】　(1)对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A 与B 相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A 与B 可能同时发生，所以事件A 与B 不是互斥事件．(2)事件A ＝{2,4,6}，事件B ＝{3,6}，事件AB ＝{6}，基本事件空间Ω＝{1,2,3,4,5,6}．所以P (A )＝＝，P (B )＝＝，P (AB )＝＝×，即P (AB )＝P (A )P (B )，因36122613161213此，事件A 与B 相互独立．当“出现6点”时，事件A ，B 同时发生，所以A ，B 不是互斥事件．【答案】　(1)A (2)B[探究共研型],相互独立事件同时发生的概率探究1　甲、乙同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5，求：甲、乙都未击中的概率．【提示】　记A ＝“甲击中”，B ＝“乙击中”，C ＝“甲、乙都没有击中”．由题意，甲击中与否并不影响乙，由此可认为A 与B 是相互独立的，则，A 也是相互独立的，则B P (C )＝P ( )＝P ()·P ()＝(1－0.6)×(1－0.5)＝0.2.A B A B 探究2　上述问题中如何求敌机被击中的概率？【提示】　记D ＝“敌机被击中”，则P(D)＝1－P()＝1－0.2＝0.8.A B　某商场推出两次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券．奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动．如果两次兑奖活动的中奖概率都是0.05，求两次抽奖中以下事件的概率：【导学号：67720003】(1)都抽到某一指定号码；(2)恰有一次抽到某一指定号码；(3)至少有一次抽到某一指定号码．明确已知事件的概率及其关系【精彩点拨】　→把待求事件的概率表示成已知事件的概率选择公式计算求值→【自主解答】　设“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A，“第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B，则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事件AB．(1)由于两次抽奖结果互不影响，因此事件A与B相互独立．于是由独立性可得，两次抽奖都抽到某一指定号码的概率为P(AB)＝P(A)P(B)＝0.05×0.05＝0.002 5.B A(2)“两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用(A)＋(B)表示．由于事件A与B互斥，根据概率的加法公式和相互独立事件的定义可得，所求事B A件的概率为B A B AP(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝0.05×(1－0.05)＋(1－0.05)×0.05＝0.095.即恰有一次抽到某一指定号码的概率为0.095.B(3)法一　“两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可以用(AB)＋(A)＋(A B AB)表示．由于事件AB，A和B两两互斥，根据概率的加法公式和相互独立事件的定义可得，所求事件的概率为P (AB )＋P (A )＋P (B )＝0.002 5＋0.095＝0.097 5.B A 法二　1－P ( )＝1－(1－0.05)2＝0.097 5.A B 即至少有一次抽到某一指定号码的概率为0.097 5.求P (AB )时注意事件A ，B 是否相互独立，求P (A ＋B )时同样应注意事件A ，B 是否互斥，对于“至多”、“至少”型问题的解法有两种思路：(1)分类讨论；(2)求对立事件，利用P ()＝1－P (A )来运算．A [再练一题]3．甲、乙两人独立地破译密码的概率分别为、.求：1314(1)两个人都破译出密码的概率；(2)两个人都破译不出密码的概率；(3)恰有一人破译出密码的概率；(4)至多一人破译出密码的概率；(5)至少一人破译出密码的概率．【解】　记事件A 为“甲独立地破译出密码”，事件B 为“乙独立地破译出密码”．(1)两个人都破译出密码的概率为P (AB )＝P (A )P (B )＝×＝.1314112(2)两个人都破译不出密码的概率为P ( )＝P ()P ()A B A B ＝[1－P (A )][1－P (B )]＝＝.(1－13)(1－14)12(3)恰有一人破译出密码分为两类：甲破译出乙破译不出；乙破译出甲破译不出，即A ＋B ，B A ∴P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )B A B A ＝P (A )P ()＋P ()P (B )B A ＝×＋×＝.13(1－14)(1－13)14512(4)至多一人破译出密码的对立事件是两人都破译出密码，∴1－P (AB )＝1－＝.1121112(5)至少一人破译出密码的对立事件为两人都没有破译出密码，∴1－P ( )AB＝1－＝.1212[构建·体系]1．已知P (B |A )＝，P (A )＝，则P (AB )等于( )1325A ． B ． 56910C ． D ．215115【解析】　由P (B |A )＝，得P (AB )P (AB )P (A )＝P (B |A )·P (A )＝×＝.1325215【答案】　C2．一件产品要经过两道独立的加工程序，第一道工序的次品率为a ，第二道工序的次品率为b ，则产品的正品率为( )A ．1－a －bB ．1－abC ．(1－a )(1－b )D ．1－(1－a )(1－b )【解析】　∵2道工序相互独立，∴产品的正品率为(1－a )(1－b )．【答案】　C3．把一枚硬币投掷两次，事件A ＝{第一次出现正面}，B ＝{第二次出现正面}，则P (B |A )等于________.【解析】　P (AB )＝，P (A )＝，∴P (B |A )＝＝.1412141212【答案】　124．在同一时间内，两个气象台预报天气准确的概率分别为，，两个气象91045台预报准确的概率互不影响，则在同一时间内，至少有一个气象台预报准确的概率为________.【解析】　P ＝1－＝.(1－910)(1－45)4950【答案】　49505．某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别是为，，，求汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率．131223【解】　设汽车分别在甲、乙、丙三处通行为事件A ，B ，C ，则P (A )＝，P (B )＝，P (C )＝.131223停车一次即为事件BC ＋A C ＋AB ，A B C 故概率为P ＝××＋××＋××＝.(1－13)122313(1－12)231312(1－23)718我还有这些不足：(1) ___________________________________(2)___________________________________我的课下提升方案：(1) ___________________________________(2) ___________________________________学业分层测评(二)　(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．两人打靶，甲击中的概率为0.8，乙击中的概率为0.7，若两人同时射击一目标，则它们都中靶的概率是( )A ．0.56B ．0.48C ．0.75D ．0.6【解析】　设甲击中为事件A ，乙击中为事件B ．∵A ，B 相互独立，则P (AB )＝P (A )·P (B )＝0.8×0.7＝0.56.【答案】　A2．下列说法正确的是( )A ．P (B |A )＜P (AB )B ．P (B |A )＝是可能的P (B )P (A )C ．0＜P (B |A )＜1D ．P (A |A )＝0【解析】　由条件概率公式P (B |A )＝及0＜P (A )≤1知P (B |A )≥P (AB )，P (AB )P (A )故A 选项错误；当事件A 包含事件B 时，有P (AB )＝P (B )，此时P (B |A )＝，故B 选项正确，由于0≤P (B |A )≤1，P (A |A )＝1，故C ，D 选项错P (B )P (A )误．故选B ．【答案】　B3．某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好任意去试拨，他第一次失败、第二次成功的概率是( )A ．B ．110210C ．D ．810910【解析】　某人第一次失败，第二次成功的概率为P ＝＝，所以9×110×9110选A ．【答案】　A4．一袋中装有5只白球和3只黄球，在有放回地摸球中，用A 1表示第一次摸得白球，A 2表示第二次摸得白球，则事件A 1与是( )A 2A ．相互独立事件B ．不相互独立事件C ．互斥事件D ．对立事件【解析】　由题意可得表示“第二次摸到的不是白球”，即表示“第A 2A 2二次摸到的是黄球”，由于采用有放回地摸球，故每次是否摸到黄球或白球互不影响，故事件A 1与是相互独立事件．A 2【答案】　A2．如图121，A ，B ，C 表示3种开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9,0.8,0.7，那么系统的可靠性是( )图121A ．0.504B ．0.994C ．0.496D ．0.06【解析】　系统可靠即A ，B ，C 3种开关至少有一个能正常工作，则P ＝1－[1－P (A )][1－P (B )][1－P (C )]＝1－(1－0.9)(1－0.8)(1－0.7)＝1－0.1×0.2×0.3＝0.994.【答案】　B 二、填空题6．将两枚均匀的骰子各掷一次，已知点数不同，则有一个是6点的概率为________.【解析】　设掷两枚骰子点数不同记为事件A ，有一个是6点记为事件B ．则P (B |A )＝＝.2×53013【答案】　137．明天上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________.【解析】　设A ＝“两个闹钟至少有一个准时响”，∴P (A )＝1－P ()＝1－(1－0.80)×(1－0.90)A＝1－0.2×0.1＝0.98.【答案】　0.988．如图122，四边形EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”．则：【导学号：67720004】图122(1)P (A )＝________；(2)P (B |A )＝________.【解析】　正方形的面积为2，圆的面积为π.(1)∵A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，∴P (A )＝.2π(2)∵B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”，∴P (AB )＝，12π∴P (B |A )＝＝.P (AB )P (A )14【答案】　(1)　(2)2π14三、解答题9．有红色、蓝色两颗骰子，设事件A 为“抛红骰子所得点数为偶数”，设事件B 为“抛蓝骰子所得点数大于4”，求在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率．【解】　画示意图如图所示，横轴表示抛红骰子所得点数，纵轴表示抛蓝骰子所得点数．∴P (A )＝＝，183612P (A ∩B )＝＝，63616∴P (B |A )＝＝＝.P (A ∩B )P (A )161213则在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率为.1310．集合A ＝{1,2,3,4,5,6}，甲、乙两人各从A 中任取一个数，若甲先取，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率．【解】　将甲抽到数字a ，乙抽到数字b ，记作(a ，b )，则所有可能的抽取结果为：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，共30个．其中甲抽到奇数的情形有15个，在这15个数中，乙抽到的数比甲抽到的数大的有9个，所以所求概率P ＝＝.91535[能力提升]1．从甲口袋内摸出1个白球的概率是，从乙口袋内摸出1个白球的概率13是，从两个口袋内各摸出1个球，那么等于( )1256A ．2个球都是白球的概率B ．2个球都不是白球的概率C ．2个球不都是白球的概率D ．2个球中恰有1个是白球的概率【解析】　记从甲口袋内摸出1个白球为事件A ，从乙口袋内摸出1个白球为事件B ，则A ，B 是独立事件，于是P (AB )＝P (A )P (B )＝×＝，它表示从131216甲、乙口袋中摸出来的都是白球，故为2个球不都是白球的概率．56【答案】　C2．如图123，已知电路中4个开关闭合的概率都是且互相独立，灯亮的12概率为( )图123A ． B ．31634C ．D ．131614【解析】　因为灯不亮的概率为××1212(1－12×12)＝，所以灯亮的概率为1－＝.3163161316【答案】　C3．从一副不含大小王的52张扑克牌中不放回地抽取2次，每次抽1张，已知第1次抽到A ，则第2次也抽到A 的概率为________.【解析】　设第1次抽到A 为事件M ，第2次也抽到A 为事件N ，则MN 表示两次都抽到A ，P (M )＝＝，452113P (MN )＝＝，4×352×51113×17P (N |M )＝＝.P (MN )P (M )117【答案】　1174．在社会主义新农村建设中，某市决定在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植三个项目，据预测，三个项目成功的概率分别为，，，且455623三个项目是否成功互相独立．(1)求恰有两个项目成功的概率；(2)求至少有一个项目成功的概率．【解】　(1)只有农产品加工和绿色蔬菜种植两个项目成功的概率为××＝，4556(1－23)29只有农产品加工和水果种植两个项目成功的概率为××＝，45(1－56)23445只有绿色蔬菜种植和水果种植两个项目成功的概率为××＝，(1－45)562319∴恰有两个项目成功的概率为＋＋＝.29445191945(2)三个项目全部失败的概率为××＝，(1－45)(1－56)(1－23)190∴至少有一个项目成功的概率为1－＝.1908990。

2016-2017学年北师大版高中数学选修1-2检测：第三章

第三章§2(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题1．下面说法：①演绎推理是由一般到特殊的推理；②演绎推理得到的结论一定是正确的；③演绎推理的一般模式是“三段论”的形式；④演绎推理得到结论的正确与否与大前提、小前提和推理形式有关；⑤运用三段论推理时，大前提和小前提都不可以省略．其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：①③④都正确．答案： C2．“所有9的倍数(M)都是3的倍数(P)，某奇数(S)是9的倍数(M)，故某奇数(S)是3的倍数(P)．”上述推理中()A．小前提错误B．结论错误C．都正确D．大前提错误解析：大前提与小前提都是正确的．答案： C3．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是()A．使用了归纳推理B．使用了类比推理C．使用了“三段论”，但大前提使用错误D．使用了“三段论”，但小前提使用错误解析：应用了“三段论”推理，小前提与大前提不对应，小前提使用错误导致结论错误．答案： D4．下面几种推理过程是演绎推理的是()A．两条直线平行，同旁内角互补，因为∠A和∠B是两条平行直线的同旁内角，所以∠A＋∠B＝180°B．我国地质学家李四光发现中国松辽地区和中亚细亚的地质结构类似，而中亚细亚有丰富的石油，由此，他推断松辽平原也蕴藏着丰富的石油C ．由6＝3＋3,8＝3＋5,10＝3＋7,12＝5＋7,14＝7＋7，…，得出结论：一个偶数(大于4)可以写成两个素数的和D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12⎝⎛⎭⎫a n －1＋1a n －1(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式解析： A 项中“两条直线平行，两同旁内角互补”这是大前提，是真命题，该推理为三段论推理；B 项中为类比推理；C 、D 项都是归纳推理．答案： A二、填空题5．三段论：“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③所以这艘船是准时起航的．”中，“小前提”是________．解析： ①是大前提，②是小前提，③是结论．答案： ②6．设A 是整数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k －1∉A 且k ＋1∉A ，那么称k 是A 的一个“孤立元”给定S ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．解析： “孤立元”的定义，大前提给定A ＝{1,2,3}，小前提所以集合A 不含“孤立元”．结论同理可得不含“孤立元”的集合还有{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6，7}，{6,7,8}．故不含“孤立元”的集合共有6个．答案： 6三、解答题7．将下列演绎推理写成三段论的形式．(1)所有的金属都导电，树枝不导电，所以树枝不是金属．(2)三角形内角和都为180°，所以等边三角形的内角和为180°.(3)两直线平行，同位角相等，如果∠A 和∠B 是两平行直线的同位角，那么∠A ＝∠B . 解析： (1)所有的金属都导电(大前提)树枝不导电(小前提)所以树枝不是金属(结论)(2)每一个三角形的内角和都为180°(大前提)等边三角形是三角形(小前提)所以等边三角形内角和是180°(结论)(3)两直线平行，同位角相等(大前提)∠A和∠B是两平行直线的同位角(小前提)所以∠A＝∠B(结论)8．用三段论证明：通项公式为a n＝a1＋(n－1)d的数列{a n}为等差数列．证明：因为若数列{a n}满足a n＋1－a n＝d(常数)，则数列{a n}是等差数列，大前提通项公式为a n＝a1＋(n－1)d的数列{a n}，满足a n＋1－a n＝a1＋nd－a1－(n－1)d＝d，小前提所以通项公式为a n＝a1＋(n－1)d的数列{a n}是等差数列．结论9．如图，在四棱锥P－ABCD中，平面P AD⊥平面ABCD，BD＝2AD＝8，AB＝4 5.设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面P AD.证明：两边的平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形，(大前提)在△ABD中，AD＝4，BD＝8，AB＝45，即AD2＋BD2＝AB2，(小前提)故△ABD是直角三角形，即AD⊥BD.(结论)如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．(大前提)平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，BD⊂平面ABCD，BD⊥AD，小前提所以BD⊥平面P AD.结论如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直，(大前提)BD⊥平面P AD，BD⊂平面MBD，(小前提)故平面MBD⊥平面P AD.(结论)。

2016-2017学年北师大版高中数学选修1-2检测：第一章

第一章§1 1.2、1.2、1.3(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题1．一位母亲记录了儿子3～9岁的身高，由此建立的身高与年龄的回归方程为y＝7.19x ＋73.93，用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是()A．身高在145.83 cm左右B．身高在145.83 cm以上C．身高在145.83 cm以下D．身高一定是145.83 cm解析：回归方程得到的预报值是预报变量的估计值，它是预报变量可能取值的平均值．答案： A2．已知线性回归方程y＝1＋bx，若x＝2，y＝9，则b等于()A．4 B．－4C．18 D．0解析：样本点的中心为(2,9)，因回归直线过样本点的中心，所以9＝1＋b×2，b＝4.故选A.答案： A3．对于自变量x和因变量y，当x取值一定时，y的取值带有一定的随机性，x，y之间的这种非确定性关系叫()A．函数关系B．线性关系C．相关关系D．回归关系解析：由相关关系的概念可知，C正确．答案： C4．工人月工资y(元)关于劳动生产率x(千元)的回归方程为y＝650＋80x，下列说法中正确的个数是()①劳动生产率为1 000元时，工资为730元；②劳动生产率提高1 000元，则工资提高80元；③劳动生产率提高1 000元，则工资提高730元；④当月工资为810元时，劳动生产率约为2 000元．A．1B．2C．3D．4解析：代入方程计算可判断①②④正确．答案： C二、填空题5．已知回归直线方程为y ＝－3.0x ＋0.55，y 的估计值为－5.45时，x 的值为________．解析：将y 的值代入回归方程即可．答案： 2.06．有下列关系：①人的年龄与他(她)拥有的财富之间的关系；②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的同一种树木，其断面直径与高度之间的关系．其中，具有相关关系的是________．解析：本题考查相关关系的概念，相关关系是一种不确定性关系．曲线上的点与该点的坐标之间具有确定性关系．答案： ①③④ 三、解答题7．高三一班学生每周用于数学学习的时间x (单位：h)与数学平均成绩y (单位：分)之间有如下数据：解析：由表中数据可得x ＝17.4，y ＝75.9，所以相关系数r ＝∑i ＝110x i yi －10x y(∑i ＝110x 2i －10x 2)(∑i ＝110y 2i －10y 2)≈0.892.所以x 与y 具有线性相关关系．8．在研究硝酸钠的可溶性程度时，对于不同的温度观测它在水中的溶解度，得观测结果如下表：由资料看y 解析：由表中数据得，x ＝30， y ＝66.7＋76.0＋85.0＋112.3＋128.05＝93.6，∑i ＝15x i y i ＝0×66.7＋10×76.0＋20×85.0＋50×112.3＋70×128.0＝17 035，∑i ＝15x 2i ＝02＋102＋202＋502＋702＝7 900，所以b ＝∑i ＝15x i y i －5x y∑i ＝15x 2i －5x2≈0.880 9，a ＝y －b x ＝93.6－0.880 9×30＝67.173. 所以回归方程为y ＝0.880 9x ＋67.173.9．以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y 和房屋的面积x 的数据：(1)(2)求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线； (3)根据(2)的结果估计当房屋面积为150 m 2时的销售价格．解析： (1)散点图如图所示：(2)x ＝15∑i ＝15x i ＝109，∑i ＝15 (x i －x )2＝1 570，y ＝23.2，∑i ＝15(x i －x )(y i －y )＝308.设所求回归直线方程为y ＝bx ＋a ，则b ＝3081 570≈0.196 2，a ＝y －b x ＝23.2－109×3081 570≈1.816 6.故所求回归直线方程为y ＝0.196 2x ＋1.816 6. (3)据(2)，当x ＝150 m 2时，销售价格的估计值为 y ＝0.196 2×150＋1.816 6＝31.246 6(万元)．。

北师大版数学选修1-2质量检测(三)

北师大版数学选修1-2质量检测(三)可能用到的公式或数据：1122211()()ˆ()ˆˆn ni i i i i i nn i ii i x x y y x y nx y b x x x nx ay bx ====⎧---⎪⎪==⎪⎨--⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1、在画两个变量的散点图时，下面哪个叙述是正确的（） A 、预报变量在x 轴上，解释变量在y 轴上 B 、解释变量在x 轴上，预报变量在y 轴上 C 、可以选择两个变量中任意一个变量在x 轴上D 、可以选择两个变量中任意一个变量在y 轴上2、工人月工资（元）依劳动生产率（千元）变化的回归直线方程为ˆ6090yx =+，下列判断正确的是（）A 、劳动生产率为1000元时，工资为50元B 、劳动生产率提高1000元时，工资提高150元C 、劳动生产率提高1000元时，工资提高90元D 、劳动生产率为1000元时，工资为90元3、在三维柱形图中，主对角线上两个柱形高度的乘积与副对角线上的两个柱形高度的乘积相差越大，则两个变量有关系的可能性就( ) A 、越大B 、越小C 、无法判断D 、以上对不对 4、把正整数按下图所示的规律排序，则从2003到2005的箭头方向依次为( )5、下列表述正确的是（）10.8287.8796.6355.0243.8412.7062.0721.3230.7080.455k0.0010.0050.0100.0250.050.100.150.250.400.50()2P K k ≥①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理。

A 、①②③B 、②③④C 、②④⑤D 、①③⑤6、设,,a b c 大于0，则3个数：1a b +，1b c +，1c a+的值( )A 、都大于2B 、至少有一个不大于2C 、都小于2D 、至少有一个不小于27、i 是虚数单位，若(3+5i)x+(2-i)y=17-2i ，则x 、y 的值分别为（）. A 、7，1 B 、1，7C 、1，-7D 、-1，78、复数25-i 的共轭复数是（） A 、2-iB 、-2-iC 、2+iD 、-2+i9、复数3)2321(i +的值是（）A 、iB 、-iC 、1D 、-110、根据右边程序框图，当输入10时，输出的是（）A 、12B 、19C 、14.1D 、-3011、下面框图属于（） A 、流程图 B 、结构图 C 、程序框图 D 、工序流程图12、根据右边的结构图，总经理的直接下属是（） A 、总工程师和专家办公室B 、开发部C 、总工程师、专家办公室和开发部D 、总工程师、专家办公室和所有七个部第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)13、在研究身高和体重的关系时，求得相关指数≈2R _______，可以叙述为“身高解释了64%的体重变化，而随机误差贡献了剩余的36%”,所以身高对体重的效应比随机误差的效应大得多。

2016-2017学年北师大版高中数学选修2-3 阶段质量评估1 含答案精品

第一章一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．从甲地到乙地一天有汽车8班，火车3班，轮船2班，某人从甲地到乙地，他共有不同的走法()A．13种B．16种C．24种D．48种解析：应用分类加法计数原理，不同走法共有8＋3＋2＝13种．答案： A2．某单位有15名员工，其中男性10人，女性5人，现需要从中选出6名员工组成考察团外出参观学习，如果按性别同比例选取，则此考察团的组成方法种数是() A．C310B．C410C25C．C515D．A410A25解析：由题意知，要从男性10人中选取4人，女性5人中选取2人，故有C410C25种组团方法．答案： B3．组合数方程5C5n＋C4n＝C3n的解是()A．6 B．5C．5或1 D．以上都不对解析：代入法，经验证选B．答案： B4．6个人排队，其中甲、乙、丙3人两两不相邻的排法有()A．30种B．144种C．5种D．4种解析：分两步完成：第一步，其余3人排列有A33种排法；第二步，从4个可插空档中任选3个给甲、乙、丙3人站有A34种插法．由分步乘法计数原理可知，一共有A33A34＝144种．答案： B5．由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50 000的偶数共有() A．60个B．48个C．36个D．24个解析：个位上数字只能从2与4中任选一个，有2种选法，万位上的数字有3种选法，其余位上的数字有6种选法，∴共计2×3×6＝36(个)．答案： C6．从6个人中选出4人参加数、理、化、英语比赛，每人只能参加其中一项，其中甲、乙两人都不参加英语比赛，则不同的参赛方案的种数共有()A．96 B．180C．240 D．288解析：方法一：分三种情况：①甲，乙都不参加比赛有A44种；②甲、乙只有一人参加比赛有C12·C13·A34种；③甲、乙两人都参加比赛有A23·A24种．故共有A44＋C12·C13·A34＋A23·A24＝240(种)．方法二：若不考虑限制条件，从6人中选出4个参加四项比赛，共有A46种参赛方案，而其中甲参加了英语比赛的方案有A35种，乙参加了英语比赛的方案也有A35种．故甲、乙两人都不参加英语比赛的方案种数是A46－2A35＝360－120＝240(种)．答案： C7．在(x2－13x)n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是()A．－7 B．7C．－28 D．28解析：只有第5项的二项式系数最大，则展开式共9项，即n＝8，T r＋1＝C r8(x2)8－r(－13x)r＝C r8(－1)r·(12)8－r·x8－43r，当r＝6时为常数项，T7＝7.答案： B8．某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日(端午节假期)值班，每天安排2人，每人值班1天．若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方法共有() A．30种B．36种C．42种D．48种解析：依题意，就乙是否值14日分类：第一类，乙值14日，则满足题意的方法共有C14·C24＝24种(注：C14表示从除甲、乙外的4人中任选一人参与14日的值班的方法数；C24表示从余下的4人中任选两人参与15日的值班的方法数)；第二类，乙不值14日，则满足题意的方法共有C24·C13＝18种(注：C24表示从除甲、乙外的4人中任选两人参与14日的值班的方法数；C13表示从余下的3人中任选一人与乙共同参与15日的值班的方法数)．因此，满足题意的方法共有24＋18＝42种．答案： C9．(4x－2－x)6(x∈R)展开式中的常数项是()A．－20 B．－15C．15 D．20解析：设第r＋1项为常数项，C r622x(6－r)(－2－x)r＝(－1)r·C r6212x－2rx－rx，∴12x－3rx＝0，∴r＝4.∴常数项为(－1)4C46＝15.答案： C10．从集合{1,2,3，…，10}中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中任何两个数的和不等于11，则这样的子集共有()A．10个B．16个C．20个D．32个解析：和为11的数对有(1,10)、(2,9)、(3,8)、(4,7)、(5,6)，要使任何两个数的和不等于11，只需从5个数对中分别任取一个数．∴满足条件的子集有C12·C12·C12·C12·C12＝32个．答案： D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)11．从5名运动员中任选4名排在编号为1,2,3,4的四条跑道上(每条跑道只排一名)，其中某甲不能排在第1,2跑道上，那么不同的排法一共有____________种．解析：由题意优先考虑甲，分为二类，第一类为甲参加，有C34·C12A33＝48种；第二类，甲不参加，有C44A44＝24种．故有48＋24＝72种．答案：7212．将标号为1,2，…，10的10个球放入标号为1,2，…，10的10个盒子内．每个盒内放一个球，则恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共有____________种．(以数字作答)解析：从10个球中任取3个，有C310种方法．取出的3个球与其所在盒子的标号不一致的方法有2种．∴共有2C310＝240种方法．答案：24013．(3x－123x)10的展开式中的有理项有____________项．解析： T r ＋1＝C r 10·(3x )10－r·(－123x )r ＝(－12)r ·C r 10·x 10－r 3·x －r 3＝(－12)r ·C r 10·x 10－2r 3. ∴当r ＝2,5,8，共3项．答案： 314．若(2x －3)6＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 6(x －1)6，则a 1＋a 3＋a 5＝____________. 解析：令x ＝2得16＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6① 令x ＝0得(－3)6＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6② ①－②得1－36＝2(a 1＋a 3＋a 5)， ∴a 1＋a 3＋a 5＝1－362＝－364.答案：－364三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O 型血的共有28人，A 型血的共有7人，B 型血的共有9人，AB 型血的有3人．(1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？(2)从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？解析：从O 型血的人中选1人有28种不同的选法，从A 型血的人中选1人有7种不同的选法，从B 型血的人中选1人有9种不同的选法，从AB 型血的人中选1人有3种不同的选法．(1)任选1人去献血，即无论选哪种血型的哪一个人，这件“任选1人去献血”的事情都能完成，所以由分类加法计数原理，共有28＋7＋9＋3＝47种不同的选法．(2)要从四种血型的人中各选1人，即要在每种血型的人中依次选出1人后，这种“各选1人去献血”的事情才完成，所以用分步乘法计数原理，共有28×7×9×3＝5 292种不同的选法．16．(本小题满分12分)把4个男学生和4个女学生平均分成4组，到4辆公共汽车里参加售票体验活动，且把同样两人在不同汽车上服务算作不同情况．(1)有几种不同的分配方法？(2)男学生与女学生分别分组，有几种不同的分配方法？(3)每个小组必须是一个男学生和一个女学生，有几种不同的分配方法？解析： (1)男女合一起共8人，每车2人，可分四步完成，第一辆车有C 28种，第二辆车有C 26种，第三辆车有C 24种，第四辆车有C 22种，共有不同的分法C 28C 26C 24C 22＝2 520(种)．(2)男女分别分组，4个男的平均分成两组共有C 242＝3(种)，4个女的分成两组也有C 242＝3(种)，故分组方法共有3×3＝9(种)，对于每一种分法上4辆车，又有A 44种上法，因而不同的分配方法为9·A 44＝216(种)．(3)要求男女各1个，因此先把男学生安排上车共有A 44种方法，同理，女学生也有A 44种方法，男女各1人上车的不同分配方法为A 44A 44＝576(种)．17．(本小题满分12分)若(3x －1)7＝a 7x 7＋a 6x 6＋…＋a 1x ＋a 0，求(1)a 1＋a 2＋…＋a 7； (2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7； (3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6.解析： (1)令x ＝0，则a 0＝－1，令x ＝1，则a 7＋a 6＋…＋a 1＋a 0＝27＝128 ①∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝129.(2)令x ＝－1，则－a 7＋a 6－a 5＋a 4－a 3＋a 2－a 1＋a 0 ＝(－4)7②由①－②2得：a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝12[128－(－4)7]＝8 256. (3)由①＋②2得：a 0＋a 2＋a 4＋a 6 ＝12[(a 7＋a 6＋a 5＋a 4＋a 3＋a 2＋a 1＋a 0)＋(－a 7＋a 6－a 5＋a 4－a 3＋a 2－a 1＋a 0)] ＝12[128＋(－4)7]＝－8 128. 18．(本小题满分14分)已知(12＋2x )n .(1)若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．解析： (1)因为C 4n ＋C 6n ＝2C 5n ，所以n 2－21n ＋98＝0.解得n ＝7或n ＝14.当n ＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T 4和T 5. 所以T 4的系数＝C 37(12)4×23＝352， T 5的系数＝C 47(12)3×24＝70. 当n ＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T 8. 所以T 8的系数＝C 714(12)7×27＝3432. (2)因为 C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝79，所以n ＝12或n ＝－13(舍去)．设T k ＋1项的系数最大．因为(12＋2x )12＝(12)12(1＋4x )12，⎩⎪⎨⎪⎧C k 124k ≥C k －1124k －1，C k 124k ≥C k ＋1124k ＋1，所以9.4≤k ≤10.4. 又因为0≤k ≤12且k ∈N ，所以k ＝10.所以展开式中系数最大的项为T 11. T 11＝(12)12C 1012410x 10＝16 896x 10.)。

2016-2017学年北师大版高中数学选修1-2检测：第三章

第三章 §4(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题1．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是( )A ．假设三内角都不大于60°B ．假设三内角都大于60°C ．假设三内角至多有一个大于60°D ．假设三内角至多有两个大于60°解析： “至少有一个不”对立面是“都”，故反设正确的是B.答案： B2．下列命题错误的是( )A ．三角形中至少有一个内角不小于60°B ．四面体的三组对棱都是异面直线C ．闭区间[a ，b ]上的单调函数f (x )至多有一个零点D ．设a 、b ∈Z ，若a ＋b 是奇数，则a 、b 中至少有一个为奇数解析： a ＋b 为奇数⇔a 、b 中有一个是奇数，另一个是偶数．答案： D3．已知a ＋b ＋c ＞0，ab ＋bc ＋ac ＞0，abc ＞0，用反证法证明a ＞0，b ＞0，c ＞0时的反设为( )A ．a ＜0，b ＜0，c ＜0B ．a ≤0，b ＞0，c ＞0C ．a 、b 、c 不全是正数D ．abc ＜0答案： C4．设a 、b 、c 都是正数，则三个数a ＋1b 、b ＋1c 、c ＋1a( ) A ．都大于2B ．至少有一个大于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于2 解析： a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a ＝⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b ＋⎝⎛⎭⎫c ＋1c ≥6，故三个数中至少有一个不小于2.答案： D二、填空题5．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C >180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误． ②所以一个三角形不能有两个直角．③假设△ABC 中有两个直角，不妨设∠A ＝90°，∠B ＝90°.上述步骤的正确顺序为________．解析：考查反证法的一般步骤．答案： ③①②6．完成反证法证题的全过程．题目：设a 1，a 2…，a 7是1,2，…，7的一个排列，求证：乘积p ＝(a 1－1)(a 2－2)…(a 7－7)为偶数．证明：反设p 为奇数，则________均为奇数．因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝___________________________________________________________________ ＝________________________________________________________________________ ＝0.但奇数≠偶数，这一矛盾说明p 为偶数．解析：乘积为奇数，则每一个正整数就为奇数，再利用求和、求差而得到结论．答案： a 1－1，a 2－2，…，a 7－7(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)(a 1＋a 2＋...＋a 7)－(1＋2＋ (7)三、解答题7．已知a 1＋a 2＋a 3＋a 4>100，求证：a 1，a 2，a 3，a 4中至少有一个数大于25.证明：假设a 1，a 2，a 3，a 4都不大于25，即a 1≤25，a 2≤25，a 3≤25，a 4≤25，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4≤25＋25＋25＋25＝100.这与已知a 1＋a 2＋a 3＋a 4>100矛盾，故假设不成立．所以，a 1，a 2，a 3，a 4中至少有一个数大于25.8．若下列方程：x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0至少有一个方程有实根，试求实数a 的取值范围．解析：设三个方程均无实根，则有：⎩⎪⎨⎪⎧ Δ1＝16a 2－4(－4a ＋3)<0Δ2＝(a －1)2－4a 2<0Δ3＝4a 2－4(－2a )<0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ －32<a <12a <－1或a >13－2<a <0.即－32<a <－1，所以当a ≥－1或a ≤－32时，三个方程至少有一个方程有实根．9．已知p 3＋q 3＝2，求证：p ＋q ≤2.证明：假设：p ＋q ＞2成立，由此得q ＞2－p . 从而得到q 3＞8－12p ＋6p 2－p 3，故得p 3＋q 3＞6⎝⎛⎭⎫p 2－2p ＋43＝6⎣⎡⎦⎤(p －1)2＋13. p 3＋q 3＞2＋6(p －1)2.由此可知p 3＋q 3≠2，这和已知条件p 3＋q 3＝2矛盾．所以p ＋q ≤2成立．。

【创新设计】-高中数学章末质量评估3 北师大版选修1-2

章末质量评估(三)(时间：100分钟满分：120分)一、选择题(每小题5分，共50分)1．下列有关三段论推理“自然数都是整数，4是自然数，所以4是整数”的说法正确的是( )．A．推理正确B．推理形式不正确C．大前提错误D．小前提错误解析三段论中的大前提，小前提以及推理形式都是正确的，所以结论正确，选A.答案 A2．下面几个推理不是合情推理的是( )．A．由圆的有关性质类比推出球的有关性质B．由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°C．某次考试张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分D．蛇、海龟、蜥蜴都是用肺呼吸的，蛇、海龟、蜥蝎都是爬行动物，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的解析合情推理是根据已有的事实，正确的结论，实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程．归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理．A是类比推理；B是归纳推理；C不是合情推理；D是归纳推理．故选C.答案 C3．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出正四面体的内切球切于四个侧面( )．A．各正三角形内任一点B．各正三角形的某高线上的点C．各正三角形的中心D．各正三角形外的某点解析正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形所在的正四面体的侧面，所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心．故选C.答案 C4．将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论：①a·b＝b·a；②(a·b)·c＝a·(b·c)；③a·(b＋c)＝a·b＋a·c；④由a·b ＝a·c(a≠0)可得b＝c.以上通过类比得到的结论正确的个数为 ( )．A ．1B ．2C ．3D ．4解析平面向量的数量积的运算满足交换律和分配律，不满足结合律，故①③正确，②错误；由a·b ＝a·c (a≠0)得a·(b －c )＝0，从而b －c ＝0或a⊥(b －c )，故④错误．故选B.答案 B5．在古希腊，毕达哥拉斯学派把1,3,6,10,15,21,28,36,45,55，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成正三角形(如图所示)，则三角形数的一般表达式f (n )＝( )．A ．n ＋2B ．n (n ＋1)C.n －n ＋2D.n n ＋2解析当n ＝1时，1＝1×22；当n ＝2时，3＝2×32；当n ＝3时，6＝3×42；当n ＝4时，10＝4×52；…，猜想：f (n )＝nn ＋2.故选D.答案 D6．分析法是以要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的 ( )．A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．等价条件解析由分析法的实质——“执果索因”知，应选A.答案 A7．要使3a －3b <3a －b 成立，a ，b 应满足的条件是 ( )．A ．ab <0且a >bB ．ab >0且a >bC ．ab <0且a <bD ．ab >0且a >b 或ab <0且a <b答案 D8．用反证法证明“a ，b ∈N *，ab 可被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容是( )．A ．a 不能被5整除B ．b 不能被5整除C ．a ，b 都不能被5整除D ．以上都不正确答案 C9．在△ABC 中，E ，F 分别为AB ，AC 的中点，则有EF ∥BC ，这个推理的大前提为( )．A ．三角形的中位线平行于第三边B ．三角形的中位线等于第三边的一半C ．EF 为△ABC 的中位线D ．EF ∥BC答案 A10．四个小动物换座位，开始时鼠、猴、兔、猫分别坐1,2,3,4号位子上(如图)，第1次前后排动物互换座位，第2次左右列动物互换座位……这样交替进行下去，那以第2 009次互换座位后，小兔坐在第________号座位上( ).第1次第2次第3次 A ．1 B ．2 C．3D ．4解析由题意得4次互换座位后，四个小动物又回到了原座位，即每经过4次互换座位后，小动物回到原座位，所以第2 009次互换座位后，小兔坐在第1号座位上．故选A.答案 A二、填空题(每小题5分，共30分)11．在△ABC 中，不等式1A ＋1B ＋1C ≥9π成立，在四边形ABCD 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ≥162π成立，在五边形ABCDE 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ＋1E ≥253π成立，猜想在n 边形A 1A 2…A n中，其不等式为________．答案1A 1＋1A 2＋…＋1A n ≥n 2n －π(n ∈N ＋，n≥3)12．写出用三段论证明f (x )＝x 3＋sin x (x ∈R )为奇函数的步骤是________．答案满足f (－x )＝－f (x )的函数是奇函数，(大前提)f (－x )＝(－x )3＋sin(－x )＝－x 3－sin x＝－(x 3＋sin x )＝－f (x )，(小前提)所以f (x )＝x 3＋sin x 是奇函数，(结论)13．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如右图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f (n )表第n 个图的蜂巢总数，则用n 表示的f (n )＝________.解析由于f (2)－f (1)＝7－1＝6，f (3)－f (2)＝19－7＝2×6，推测当n ≥2 时，有f (n )－f (n －1)＝6(n －1)，所以f (n )＝[f (n )－f (n －1)]＋[f (n －1)－f (n －2)]＋…＋[f (2)－f (1)]＋f (1)＝ 6[(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1]＋1＝3n 2－3n ＋1. 又f (1)＝1＝3×12－3×1＋1，所以f (n )＝3n 2－3n ＋1.答案 3n 2－3n ＋114．已知x ＞0，从不等式x ＋1x ≥2和x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥3启发我们推广为x ＋x n≥n ＋1，则括号内应填写的数是________．答案 n n15．已知f (x )＝sin π3(x ＋1)－3cos π3(x ＋1)，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2 011)＝________.解析 ∵f (x )＝2sin π3x ，∴f (x )的周期T ＝6，∴原式＝335×(f (1)＋f (2)＋…＋f (6))＋f (2 011)＝0＋2sin π3＝ 3.答案 3 16．已知 2＋23＝2 23， 3＋38＝3 38， 4＋415＝4415，…，若 6＋a b ＝6ab(a ，b 均为实数)，推测a ＝__________，b ＝________.解析由前面三个等式，推测被开方数的整数与分数的关系，发现规律．由三个等式知，整数和这个分数的分子相同，而分母是分子的平方减1，由此推测 6＋a b中，a ＝6，b ＝62－1＝35，即a ＝6，b ＝35.答案 6 35三、解答题(共40分)17．(10分)设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和． (1)求证：数列{S n }不是等比数列． (2)数列{S n }是等差数列吗？为什么？(1)证明 (反证法)若{S n }是等比数列，则S 22＝S 1S 3，即a 21(1＋q )2＝a 1·a 1(1＋q ＋q 2)． ∵a 1≠0，∴(1＋q )2＝1＋q ＋q 2，即q ＝0，与q ≠0矛盾，故{S n }不是等比数列．(2)解当q ＝1时，{S n }是等差数列；当q ≠1时，{S n }不是等差数列，否则，若S 1，S 2，S 3成等差数列，即2S 2＝S 1＋S 3.∴2a 1(1＋q )＝a 1＋a 1(1＋q ＋q 2)．由于a 1≠0，∴2(1＋q )＝2＋q ＋q 2，q ＝q 2，又q ≠0，∴q ＝1，这与q ≠1相矛盾．综上可知，当q ＝1时，{S n }是等差数列．当q ≠1时，{S n }不是等差数列．18．(10分)已知函数f (x )＝x 2＋2x＋a ln x (x >0)，对任意两个不相等的正数x 1、x 2，证明：当a ≤0时，f x 1＋f x 22>f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22.证明由f x 1＋f x 22－f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝12(x 21＋x 22)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 2＋a2(ln x 1＋ln x 2)－ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222＋4x 1＋x 2＋a ln x 1＋x 22＝14(x 1－x 2)2＋x 1－x 22x 1x 2x 1＋x 2＋a ⎝⎛⎭⎪⎫ln x 1x 2－ln x 1＋x 22，∴x 1、x 2是不相等的正数， ∴x 1x 2<x 1＋x 22，ln x 1x 2<lnx 1＋x 22.又∵a ≤0，a ⎝⎛⎭⎪⎫ln x 1x 2－lnx 1＋x 22≥0，∴f x 1＋f x 22－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22>0，∴f x 1＋f x 22>f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22.19．(10分)如下图(1)，在三角形ABC 中，AB ⊥AC ，若AD ⊥BC ，则AB 2＝ BD ·BC ；若类比该命题，如下图(2)，三棱锥A BCD 中，AD ⊥面ABC ，若A 点在三角形BCD 所在平面内的射影为M ，则有什么结论？命题是否是真命题．解命题是：三棱锥A BCD 中，AD ⊥面ABC ，若A 点在三角形BCD所在平面内的射影为M ，则有S △ABC 2＝S △BCM ·S △BCD 是一个真命题．证明如下：如右图，连结DM 并延长交BC 于E ，连结AE ，则有DE ⊥BC .因为AD ⊥面ABC ，所以AD ⊥AE .又AM ⊥DE ，所以AE 2＝EM ·ED .于是S △ABC 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12BC ·AE 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12BC ·EM ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12BC ·ED＝S △BCM ·S △BCD .20．(10分)用分析法证明：若a >0，则a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.证明 ∵a >0，∴要证 a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2，即证 a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a＋2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2＋22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋22.只需证a 2＋1a2＋4＋4a 2＋1a 2≥a 2＋1a2＋4＋22⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a .只需证a 2＋1a 2≥22⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ，即证a 2＋1a 2≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a ＋2，即证a 2＋1a2≥2，∵a 2＋1a2≥2显然成立，∴a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2成立．。

2016-2017学年高中数学北师大版选修2-2章末综合测评3

章末综合测评(三) 导数应用(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.物体运动的方程为s＝14t4－3，则t＝5时的瞬时速度为()A.5B.25C.125D.625【解析】∵v＝s′＝t3，∴t＝5时的瞬时速度为53＝125.【答案】 C2.函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是()A.(－∞，2)B.(0，3)C.(1，4)D.(2，＋∞)【解析】f′(x)＝(x－2)e x，由f′(x)>0，得x>2，所以函数f(x)的单调递增区间是(2，＋∞).【答案】 D3.函数f(x)＝ax3＋x＋1有极值的充要条件是()A.a≥0B.a>0C.a≤0D.a<0【解析】f′(x)＝3ax2＋1，当a＝0时，f′(x)＝1>0，f(x)单调增加，无极值；当a≠0时，只需Δ＝－12a>0，即a<0即可.【答案】 D4.(2016·西安高二检测)函数f(x)的导函数f′(x)的图像如图1所示，那么f(x)的图像最有可能的是()图1A B C D【解析】数形结合可得在(－∞，－2)，(－1，＋∞)上，f ′(x )<0，f (x )是减函数；在(－2，－1)上，f ′(x )>0，f (x )是增函数，从而得出结论.【答案】 B5.若函数y ＝a (x 3－x )的递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33，⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞，则a 的取值范围是( )A.a >0B.－1<a <0C.a >1D.0<a <1【解析】依题意得y ′＝a (3x 2－1)>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33，⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞，∴a >0.【答案】 A6.若函数f (x )在R 上可导，且满足f (x )－xf ′(x )>0，则( ) A.3f (1)<f (3) B.3f (1)>f (3) C.3f (1)＝f (3)D.f (1)＝f (3)【解析】由于f (x )>xf ′(x )，⎝ ⎛⎭⎪⎫f （x ）x ′＝f ′（x ）x －f （x ）x 2<0恒成立，因此f （x ）x在R 上是单调递减函数，∴f （3）3<f （1）1，即3f (1)>f (3)，故选B.【答案】 B7.若函数f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x ＋a 在区间[－2，－1]上的最大值为2，则它在该区间上的最小值为( )A.－5B.7C.10D.－19【解析】 ∵f (x )′＝－3x 2＋6x ＋9＝－3(x ＋1)(x －3)，所以函数在[－2，－1]内单调递减，所以最大值为f (－2)＝2＋a ＝2， ∴a ＝0，最小值为f (－1)＝a －5＝－5.【答案】 A8.函数y＝12x－2sin x的图像大致是()【解析】因为y′＝12－2cos x，所以令y′＝12－2cos x>0，得cos x<14，此时原函数是增函数；令y′＝12－2cos x<0，得cos x>14，此时原函数是减函数，结合余弦函数图像，可得选项C正确.【答案】 C9.若f(x)＝－12x2＋b ln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是()【导学号：94210067】A.[－1，＋∞)B.(－1，＋∞)C.(－∞，－1]D.(－∞，－1)【解析】f′(x)＝－x＋bx＋2，由题意知f′(x)≤0在(－1，＋∞)上恒成立，即b≤x2＋2x在(－1，＋∞)上恒成立，即b≤(x＋1)2－1，则b≤－1，故选C.【答案】 C10.已知y＝f(x)是定义在R上的函数，且f(1)＝1，f′(x)>1，则f(x)>x的解集是()A.(0，1)B.(－1，0)∪(0，1)C.(1，＋∞)D.(－∞，－1)∪(1，＋∞)【解析】不等式f (x )>x 可化为f (x )－x >0，设g (x )＝f (x )－x ，则g ′(x )＝f (x )′－1，由题意g ′(x )＝f ′(x )－1>0，∴函数g (x )在R 上单调递增，又g (1)＝f (1)－1＝0， ∴原不等式⇔g (x )>0⇔g (x )>g (1)， ∴x >1，故选C. 【答案】 C11.当x ∈[－2，1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A.[－5，－3]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，－98 C.[－6，－2]D.[－4，－3]【解析】当x ＝0时，ax 3－x 2＋4x ＋3≥0变为3≥0恒成立，即a ∈R . 当x ∈(0，1]时，ax 3≥x 2－4x －3，a ≥x 2－4x －3x 3，∴a ≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2－4x －3x 3max. 设φ(x )＝x 2－4x －3x 3，φ′(x )＝（2x －4）x 3－（x 2－4x －3）3x 2x 6＝－x 2－8x －9x 4＝－（x －9）（x ＋1）x 4＞0，∴φ(x )在(0，1]上递增，φ(x )max ＝φ(1)＝－6. ∴a ≥－6.当x ∈[－2，0)时，a ≤x 2－4x －3x 3，∴a ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2－4x －3x 3min. 仍设φ(x )＝x 2－4x －3x 3，φ′(x )＝－（x －9）（x ＋1）x 4. 当x ∈[－2，－1)时，φ′(x )＜0. 当x ∈(－1，0)时，φ′(x )＞0.∴当x ＝－1时，φ(x )有极小值，即为最小值. 而φ(x )min ＝φ(－1)＝1＋4－3－1＝－2，∴a ≤－2. 综上知－6≤a ≤－2. 【答案】 C12.已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a ln x ，若函数f (x )在(0，1)上单调，则实数a 的取值范围是( )A.a ≥0B.a <－4C.a ≥0或a ≤－4D.a >0或a <－4【解析】 f ′(x )＝2x ＋2＋ax ，x ∈(0，1)， ∵f (x )在(0，1)上单调，∴f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在(0，1)上恒成立，∴2x ＋2＋a x ≥0或2x ＋2＋ax ≤0在(0，1)上恒成立，即a ≥－2x 2－2x 或a ≤－2x 2－2x 在(0，1)上恒成立.设g (x )＝－2x 2－2x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋12，则g (x )在(0，1)上单调递减，∴g (x )max ＝g (0)＝0，g (x )min ＝g (1)＝－4. ∴a ≥g (x )max ＝0或a ≤g (x )min ＝－4. 【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上)13.(2016·天津高考)已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(0)的值为________.【解析】因为f (x )＝(2x ＋1)e x ，所以f ′(x )＝2e x ＋(2x ＋1)e x ＝(2x ＋3)e x ，所以f ′(0)＝3e 0＝3. 【答案】 314.函数f (x )＝12e x (sin x ＋cos x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为________.【导学号：94210068】【解析】 ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ′(x )＝e x cos x ≥0， ∴f (0)≤f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，即12≤f (x )≤12e π2. 【答案】 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12，12e π2 15.(2016·洛阳高二检测)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2，在x ＝1时有极值10，则a ＋b ＝________.【解析】 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，f ′(1)＝2a ＋b ＋3＝0，f (1)＝a 2＋a ＋b ＋1＝10，⎩⎨⎧2a ＋b ＝－3，a 2＋a ＋b ＝9，解得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝3或⎩⎨⎧a ＝4，b ＝－11，当a ＝－3时，x ＝1不是极值点，a ，b 的值分别为4，－11，∴a ＋b ＝－7.【答案】－716.周长为20 cm 的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为________cm 3.【解析】设矩形的长为x ，则宽为10－x (0<x <10)，由题意可知所求圆柱的体积V ＝πx 2(10－x )＝10πx 2－πx 3，∴V ′(x )＝20πx －3πx 2.由V ′(x )＝0，得x ＝0(舍去)，x ＝203，且当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，203时，V ′(x )>0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫203，10时，V ′(x )<0，∴当x ＝203时，V (x )取得最大值为4 00027π cm 3. 【答案】4 00027π三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)若函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋3既有极大值又有极小值，求实数a 的取值范围.【解】 ∵f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)，令3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)＝0，即x 2＋2ax ＋a ＋2＝0，∵函数f (x )有极大值和极小值，∴方程x 2＋2ax ＋a ＋2＝0有两个不相等的实数根，即Δ＝4a 2－4a －8>0，解得a >2或a <－1.故实数a 的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞).18.(本小题满分12分)设函数f (x )＝x 3－3ax 2＋3bx 的图像与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11).(1)求a ，b 的值； (2)讨论函数f (x )的单调性.【解】 (1)求导得f ′(x )＝3x 2－6ax ＋3b .由于f (x )的图像与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11)，所以f (1)＝－11，f ′(1)＝－12，即⎩⎨⎧1－3a ＋3b ＝－11，3－6a ＋3b ＝－12，解得a ＝1，b ＝－3. (2)由a ＝1，b ＝－3得f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x 2－2x －3) ＝3(x ＋1)(x －3).令f ′(x )>0，解得x <－1或x >3；又令f ′(x )<0，解得－1<x <3.故当x ∈(－∞，－1)和x ∈(3，＋∞)时，f (x )是增函数，当x ∈(－1，3)时，f (x )是减函数.19.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 3＋12mx 2－2m 2x －4(m 为常数，且m >0)有极大值－52，求m 的值.【解】 ∵f ′(x )＝3x 2＋mx －2m 2 ＝(x ＋m )(3x －2m )，令f ′(x )＝0，则x ＝－m 或x ＝23m .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表： ∴f (x )极大值＝f (－m )＝－m 3＋12m 3＋2m 3－4＝－52， ∴m ＝1.20.(本小题满分12分)证明：当x >0时，ln(x ＋1)>x －12x 2.【证明】设f (x )＝ln(x ＋1)－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12x 2＝ln(x ＋1)－x ＋12x 2，函数的定义域是(－1，＋∞)，则f ′(x )＝1x ＋1－1＋x ＝x 2x ＋1.当x ∈(－1，＋∞)时，f ′(x )>0， ∴f (x )在(－1，＋∞)上是增函数. ∴当x >0时，f (x )>f (0)＝0，即当x >0时，ln(x ＋1)>x －12x 2.21.(本小题满分12分)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r 米，高为h 米，体积为V 立方米.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率).(1)将V 表示成r 的函数V (r )，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V (r )的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大. 【解】 (1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh ＝200πrh (元)，底面的总成本为160πr 2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh ＋160πr 2)元. 又根据题意200πrh ＋160πr 2＝12 000π，所以h ＝15r (300－4r 2)，从而V(r)＝πr2h＝π5(300r－4r3).因为r>0，又由h>0可得0<r<53，故函数V(r)的定义域为(0，53).(2)因为V(r)＝π5(300r－4r3)(0<r<53)，所以V′(r)＝π5(300－12r2).令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(因为r2＝－5不在定义域内，舍去).当r∈(0，5)时，V′(r)>0，故V(r)在(0，5)上为增函数；当r∈(5，53)时，V′(r)<0，故V(r)在(5，53)上为减函数.由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8.即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大.22.(本小题满分12分)(2016·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝(x－2)e x＋a(x－1)2有两个零点.(1)求a的取值范围；(2)设x1，x2是f(x)的两个零点，证明：x1＋x2＜2.【解】(1)f′(x)＝(x－1)e x＋2a(x－1)＝(x－1)(e x＋2a).①设a＝0，则f(x)＝(x－2)e x，f(x)只有一个零点.②设a＞0，则当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，所以f(x)在(－∞，1)内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增.又f(1)＝－e，f(2)＝a，取b满足b＜0且b＜ln a 2，则f(b)＞a2(b－2)＋a(b－1)2＝a⎝⎛⎭⎪⎫b2－32b＞0，故f(x)存在两个零点.③设a＜0，由f′(x)＝0得x＝1或x＝ln(－2a).若a≥－e2，则ln(－2a)≤1，故当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，因此f(x)在(1，＋∞)内单调递增.又当x≤1时，f(x)＜0，所以f(x)不存在两个零点.若a＜－e2，则ln(－2a)＞1，故当x∈(1，ln(－2a)时，f′(x)＜0；当x∈(ln(－2a)，＋∞)时，f′(x)＞0.因此f(x)在(1，ln(－2a)内单调递减，在(ln(－2a)，＋∞)内单调递增.又当x≤1时，f(x)＜0，所以f(x)不存在两个零点.综上，a的取值范围为(0，＋∞).(2)证明：不妨设x1＜x2，由(1)知，x1∈(－∞，1)，x2∈(1，＋∞)，2－x2∈(－∞，1)，f(x)在(－∞，1)内单调递减，所以x1＋x2＜2等价于f(x1)＞f(2－x2)，即f(2－x2)＜0.由于f(2－x2)＝－x2e2－x2＋a(x2－1)2，而f(x2)＝(x2－2)e x2＋a(x2－1)2＝0，所以f(2－x2)＝－x2e2－x2－(x2－2)e x2.设g(x)＝－x e2－x－(x－2)e x，则g′(x)＝(x－1)(e2－x－e x).所以当x＞1时，g′(x)＜0，而g(1)＝0，故当x＞1时，g(x)＜0.从而g(x2)＝f(2－x2)＜0，故x1＋x2＜2.。

金版新学案2016-2017学年(北师大版)高中数学选修1-2章末质量评估3含答案

第三章推理与证明(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下面几种推理是合情推理的是（）①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°归纳出所有三角形的内角和都是180°;③某次考试张军成绩是100分,由此推出全班同学成绩都是100分；④三角形内角和是180°,四边形内角和是360°，五边形内角和是540°,由此得凸多边形内角和是(n －2)·180°.A ．①②B ．①③④C ．①②④D ．②④解析: ①是类比推理，②④是归纳推理,③不是合情推理．答案： C2．下列三句话按三段论的模式排列顺序正确的是( )①2 016能被2整除；②一切偶数都能被2整除；③2 016是偶数．A ．①②③B ．②①③C ．②③①D ．③②①解析： ②是大前提，③是小前提，①是结论．答案: C3．平面内平行于同一直线的两直线平行,由类比推理，我们可以得到（）A ．空间中平行于同一直线的两直线平行B ．空间中平行于同一平面的两直线平行C ．空间中平行于同一直线的两平面平行D ．空间中平行于同一平面的两平面平行解析: 利用类比推理，平面中的直线与空间中的平面类比．答案： D4．证明命题：“f (x )＝e x ＋错误!在（0，＋∞）上是增函数”，现给出的证法如下：因为f （x ）＝e x ＋1e x ，所以f ′（x )＝e x －1e x ，因为x >0，所以e x 〉1，0<错误!〈1,所以e x －错误!>0，即f ′（x )>0，所以f (x ）在(0，＋∞)上是增函数，使用的证明方法是( ）A ．综合法B ．分析法C ．反证法D ．以上都不是解析：上述证明过程是从已知条件出发,经过推理论证得到结论，用了综合法．答案： A5．已知a 1＝3，a n ＋1＝错误!，试通过计算a 2，a 3,a 4，a 5的值推测出a n ＝( ）A 。

高中数学阶段质量评估3北师大版选修2_1word版本

2016-2017学年高中数学阶段质量评估3 北师大版选修2-1一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若拋物线y 2＝4x 上的一点P 到焦点的距离为10，则P 点的坐标是( )A ．(9,6)B ．(9，±6)C ．(6,9)D ．(6，±9)解析：设P (x 0，y 0)，则x 0＋1＝10，∴x 0＝9，y 20＝36，∴y 0＝±6，故P 点坐标为(9，±6)．答案： B2．θ是任意实数，则方程x 2＋y 2sin θ＝4的曲线不可能是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆解析： sin θ可以等于1，这时曲线表示圆，sin θ可以小于0，这时曲线表示双曲线，sin θ可以大于0且小于1，这时曲线表示椭圆．答案： C3．双曲线x24＋y2k＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(－12,0)C ．(－3,0)D ．(－60，－12)解析： ∵a 2＝4，b 2＝－k ，∴c 2＝4－k .∵e ∈(1,2)，∴c2a2＝4－k 4∈(1,4)，k ∈(－12,0)．答案： B4．以椭圆x216＋y29＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程是( ) A.x216－y248＝1 B.x29－y227＝1 C.x216－y248＝1或y29－x227＝1 D ．以上都不对解析：当顶点为(±4,0)时，a ＝4，c ＝8，b ＝43，x216－y248＝1；当顶点为(0，±3)时，a ＝3，c ＝6，b ＝33，y29－x227＝1.选C. 答案： C5．已知两定点F 1(－1,0)、F 2(1,0)，且12|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，则动点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．线段解析：依题意知，|PF 1|＋|PF 2|＝|F 1F 2|＝2，作图可知点P 的轨迹为线段．答案： D6．设F 1和F 2为双曲线x24－y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2的面积是( )A ．1 B.52C ．2 D. 5解析：由方程知a ＝2，b ＝1，c ＝5，由定义知||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝4 ①又∠F 1PF 2＝90°，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2＝20 ②由①、②可得：|PF 1|·|PF 2|＝2，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×2＝1，故选A. 答案： A7．若椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上点的最短距离为3，则这个椭圆的方程为( )A.x212＋y29＝1B.x29＋y212＝1 C.x212＋y29＝1或y212＋x29＝1 D ．以上都不对解析： ∵短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，∴2c ＝a ，又∵a －c ＝3，可知c ＝3，a ＝23，∴b ＝a2－c2＝3.∴椭圆方程为x212＋y29＝1或y212＋x29＝1. 答案： C8．两个正数a 、b 的等差中项是92，一个等比中项是25，且a ＞b ，则双曲线x2a2－y2b2＝1的离心率为( )A.53B.414C.54D.415解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝9ab ＝20a ＞b可得a ＝5，b ＝4， ∴c 2＝a 2＋b 2＝41，∴c ＝41，e ＝415. 答案： D9．设F 1，F 2分别为双曲线x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．3x ±4y ＝0B ．3x ±5y ＝0C ．4x ±3y ＝0D ．5x ±4y ＝0解析：过F2作F 2A ⊥PF 1于A ，由题意知|F 2A |＝2a ，|F 1F 2|＝2c ，则|AF 1|＝2b ，∴|PF 1|＝4b ，而|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴4b －2c ＝2a ，c ＝2b －a ，c 2＝(2b －a )2，a 2＋b 2＝4b 2－4ab ＋a 2，解得b a ＝43， ∴双曲线的渐近线方程为y ＝±43x .故选C. 答案： C10．(2011·浙江卷)已知椭圆C 1：x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)与双曲线C 2：x 2－y24＝1有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点，若C 1恰好将线段AB 三等分，则( )A ．a 2＝132B ．a 2＝13C ．b 2＝12D ．b 2＝2 解析：如图，设M ，N 为三等分点，N (x ，y )，由已知c ＝5，故a 2－b 2＝5，即b 2＝a 2－5，且双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，根据对称性，我们只需联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ，x2a2＋y2a2－5＝1即可，由以上方程组可得出x2a2＋4x2a2－5＝1，解得x 2＝－5a2－5，又∵|ON |2＝x 2＋y 2＝5x 2＝5－5a2－5＝－a2－1＝a29， ∴a 2＝112，b 2＝a 2－5＝12. 答案： C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)11．(2011·北京朝阳一模)已知拋物线y 2＝4x 上一点M 与该拋物线的焦点F 的距离|MF |＝4，则点M 的横坐标x ＝________________________________________________________________________.解析：拋物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线为x ＝－1.根据拋物线的定义，点M 到准线的距离为4，则M 的横坐标为3.答案： 312．若椭圆x 2＋my 2＝1的离心率为32，则它的长半轴长为________________________________________________________________________．解析：当0＜m ＜1时， y21m ＋x21＝1，e 2＝a2－b2a2＝1－m ＝34， m ＝14，a 2＝1m＝4，a ＝2；当m ＞1时， x21＋y21m＝1，a ＝1.应填1或2. 答案： 1或213．已知圆x 2＋y 2－6x －7＝0与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线相切，则p ＝________.解析：圆的标准方程是(x －3)2＋y 2＝42，因此，圆心是(3,0)，半径r ＝4，故与圆相切且垂直于x 轴的两条切线x ＝－1，x ＝7.而y 2＝2px (p >0)的准线方程是x ＝－p 2.依题意－p 2＝－1，得p ＝2，－p 2＝7，p ＝－14(不符合题意)，∴p ＝2. 答案： 214．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的焦点为F 1、F 2，O 为坐标原点，点P 是椭圆上的一点，点M 为PF 1的中点，|OF 1|＝2|OM |，且OM ⊥PF 1，则该椭圆的离心率为________．解析： ∵OM 綊12F 2P ，又|OF 1|＝2|OM |， ∴|PF 2|＝2|OM |＝c ，∵PF 2⊥PF 1，∴(2a －c )2＋c 2＝(2c )2，∴e 2＋2e －2＝0，得e ＝3－1.答案： 3－1三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(12分)已知直线l ：y ＝x ＋m 与椭圆：9x 2＋16y 2＝144.试探究当m 变化时，直线l 与椭圆的位置关系．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋m ，9x2＋16y2＝144消去y ，得9x 2＋16(x ＋m )2＝144，整理得25x 2＋32mx ＋16m 2－144＝0.因为Δ＝(32m )2－4×25×(16m 2－144)＝242(52－m 2)．当Δ＝0，即m ＝±5时，直线与椭圆相切；当Δ>0，即－5<m <5时，直线与椭圆相交；当Δ<0，即m <－5或x >5时，直线与椭圆相离．16．(12分)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，过F 作y 轴的平行线交椭圆于M 、N 两点，若|MN |＝3，且椭圆离心率是方程2x 2－5x ＋2＝0的根，求椭圆方程．解析： ∵右焦点为F (c,0)，把x ＝c 代入x2a2＋y2b2＝1中，得y 2＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－c2a2＝b4a2，∴y ＝±b2a . ∴|MN |＝2b2a＝3.① 又2x 2－5x ＋2＝0⇒(2x －1)(x －2)＝0，∴x ＝12或2，又e ∈(0,1)，∴e ＝12，即c a ＝12.② 又知a 2＝b 2＋c 2，③由①②③联立解得⎩⎨⎧ a ＝2，c ＝1，b ＝3，∴椭圆方程为x24＋y23＝1. 17．(12分)汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线焦点处，已知灯口的直径是24 cm ，灯深10 cm ，那么灯泡与反射镜顶点的(即截得抛物线顶点)距离是多少？解析：取反射镜的轴即抛物线的对称轴为x 轴，抛物线的顶点为坐标原点，建立直角坐标系xOy ，如图所示．因灯口直径|AB |＝24，灯深|OP |＝10，所以点A 的坐标是(10,12)．设抛物线的方程是y 2＝2px (p >0)．由点A (10,12)在抛物线上，得122＝2p ×10，∴p ＝7.2.抛物线的焦点F 的坐标为(3.6,0)．因此灯泡与反射镜顶点的距离是3.6 cm.18．(14分)已知，椭圆C 经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，两个焦点为(－1,0)，(1,0)． (1)求椭圆C 的方程；(2)E 、F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线的斜率AE 与AF 的斜率互为相反数，证明：直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值．解析： (1)由题意，知c ＝1，可设椭圆方程为x21＋b2＋y2b2＝1 因为A 在椭圆上，所以11＋b2＋94b2＝1，解得b 2＝3，b 2＝－34(舍去)．所以椭圆的方程为x24＋y23＝1. (2)证明：设直线AE 的方程为y ＝k (x －1)＋32，代入x24＋y23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋4k (3－2k )x ＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫32－k 2－12＝0. 设E (x E ，y E )，F (x F ，y F )，因为点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆上，所以x E ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫32－k 2－123＋4k2，y E ＝kx E ＋32－k . 又直线AF 的斜率与AE 的斜率互为相反数，在上式中－k 代k ，可得x F ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋k 2－123＋4k2，y F ＝－kx F ＋32＋k . 所以直线EF 的斜率k EF ＝yF －yE xF －xE ＝－＋＋2k xF －xE ＝12，即直线EF 的斜率为定值，其值为12.。

高中数学阶段质量检测(三)推理与证明(含解析)北师大版选修1-2-北师大版高二选修1-2数学试题

阶段质量检测（三）推理与证明(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．该过程体现了( )A．归纳推理B．类比推理C．没有推理D．演绎推理答案：B2．数列3,5,9,17,33，…的一个通项公式是( )A．a n＝2n B．a n＝2n＋1C．a n＝2n－1 D．a n＝2n＋1答案：B3．在△ABC中，sin A sin C<cos A cos C，则△ABC一定是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形解析：选C 由sin A sin C<cos A cos C，可得cos(A＋C)>0，即cos B<0，所以B为钝角．4．下面几种推理是合情推理的是( )①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°归纳出所有三角形的内角和都是180°；③由菱形的性质，推出正方形的性质；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n－2)·180°.A．①②B．①③④C．①②④D．②④解析：选C 合情推理分为类比推理和归纳推理，①是类比推理，②④是归纳推理，③是演绎推理．5．用反证法证明：“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理数根，那么a，b，c中至少有一个偶数”时，下列假设正确的是( )A．假设a，b，c都是偶数B．假设a，b，c都不是偶数C ．假设a ，b ，c 至少有一个偶数D ．假设a ，b ，c 至多有一个偶数解析：选B “a ，b ，c 中至少有一个偶数”的否定应为“a ，b ，c 中至多有0个偶数”，即“a ，b ，c 都不是偶数”．6．已知f (x )＝x 3＋x ，a ，b ∈R ，且a ＋b >0，则f (a )＋f (b )的值一定( ) A ．大于零 B ．等于零 C ．小于零D ．正负都有可能解析：选A 因f (x )＝x 3＋x 是增函数且是奇函数，由a ＋b >0，∴a >－b ，∴f (a )>f (－b )，∴f (a )＋f (b )>0.7．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( )A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩解析：选D 依题意，四人中有2位优秀，2位良好，由于甲知道乙、丙的成绩，但还是不知道自己的成绩，则乙、丙必有1位优秀，1位良好，甲、丁必有1位优秀，1位良好．因此，乙知道丙的成绩后，必然知道自己的成绩；丁知道甲的成绩后，必然知道自己的成绩，因此选D.8．命题“对于任意角θ，cos 4θ－sin 4θ＝cos 2θ”的证明“cos 4θ－sin 4θ＝(cos 2θ－sin 2θ)(cos 2θ＋sin 2θ)＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ”过程应用了( )A ．分析法B ．综合法C ．综合法、分析法综合使用D ．间接证明法解析：选B 从证明的过程来看，符合综合法的证明特点．9．观察下列各等式：22－4＋66－4＝2，55－4＋33－4＝2，77－4＋11－4＝2，1010－4＋－2－2－4＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为( )A.nn －4＋8－n8－n －4＝2 B.n ＋1n ＋1－4＋n ＋1＋5n ＋1－4＝2C.nn －4＋n ＋4n ＋4－4＝2D.n＋1n＋1－4＋n＋5n＋5－4＝2解析：选A 观察分子中2＋6＝5＋3＝7＋1＝10＋(－2)＝8.10．用减函数的定义证明函数f(x)＝－x3在R上是减函数的小前提可以是( )A．减函数的定义B．对R上的任意x1≠x2，都有f(x1)≠f(x2)C．对R上的任意x1<x2，都有f(x1)<f(x2)D．对R上的任意x1<x2，都有f(x1)>f(x2)解析：选D 小前提可以是“对R上的任意x1<x2，都有f(x1)>f(x2)”或“对R上的任意x1>x2，都有f(x1)<f(x2)”．11．下列四类函数中，具有性质“对任意的x>0，y>0，函数f(x)满足[f(x)]y＝f(xy)”的是( )A．指数函数B．对数函数C．一次函数D．余弦函数解析：选A 当函数f(x)＝a x(a>0，a≠1)时，对任意的x>0，y>0，有[f(x)]y＝(a x)y ＝a xy＝f(xy)，即指数函数f(x)＝a x(a>0，a≠1)满足[f(x)]y＝f(xy)，可以检验，B，C，D 选项均不满足要求．12．六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体．如图甲，在平行四边形ABCD中，有AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2)，那么在图乙中所示的平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AC21＋BD21＋CA21＋DB21等于( )A．2(AB2＋AD2＋AA21) B．3(AB2＋AD2＋AA21)C．4(AB2＋AD2＋AA21) D．4(AB2＋AD2)解析：选C AC21＋BD21＋CA21＋DB21＝(AC21＋CA21)＋(BD21＋DB21)＝2(AA21＋AC2)＋2(BB21＋BD2)＝4AA21＋2(AC2＋BD2)＝4AA21＋4AB2＋4AD2.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上)13．用三段论证明f (x )＝x 3＋x cos x 为奇函数的大前提是__________________________．答案：若y ＝f (x )满足f (－x )＝－f (x )，则y ＝f (x )为奇函数14．用反证法证明命题“若a ，b 是实数，且|a －1|＋|b －1|＝0，则a ＝b ＝1”时，应作的假设是________．解析：结论“a ＝b ＝1”的含义是a ＝1且b ＝1，故其否定应为“a ≠1或b ≠1”．答案：假设a ≠1或b ≠115．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．解析：类比“面积比等于边长比的平方”可得正四面体的体积比等于棱长比的立方，即1∶8.答案：1∶816.如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝2 2.过点 A 作BC 的垂线，垂足为A 1 ；过点 A 1作 AC 的垂线，垂足为 A 2；过点A 2 作A 1C 的垂线，垂足为A 3 ；…，依此类推．设BA ＝a 1 ，AA 1＝a 2 , A 1A 2＝a 3 ，…， A 5A 6＝a 7 ，则 a 7＝________.解析：法一：直接递推归纳：等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，所以AB ＝AC ＝a 1＝2，AA 1＝a 2＝2，A 1A 2＝a 3＝1，…，A 5A 6＝a 7＝a 1×⎝⎛⎭⎪⎫226＝14. 法二：求通项：等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，所以AB ＝AC ＝a 1＝2，AA 1＝a 2＝2，…，A n －1A n ＝a n ＋1＝sin π4·a n ＝22a n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫22n ，故a 7＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫226＝14.答案：14三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，{a n }有如下性质：(m ，n ，p ，q ∈N ＋)①通项a n ＝a m ＋(n －m )d ；②若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ； ③若m ＋n ＝2p ，则a m ＋a n ＝2a p ； ④S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 构成等差数列．类比上述性质，在等比数列{b n } 中，写出相类似的性质．解：在等比数列{b n }中，公比为λ(λ≠0)，前n 项和为S n ′，{b n }有如下性质：(m ，n ，p ，q ∈N ＋)①通项b n ＝b m ·λn －m；②若m ＋n ＝p ＋q ，则b m ·b n ＝b p ·b q ； ③若m ＋n ＝2p ，则b m ·b n ＝b 2p ；④S n ′，S 2n ′－S n ′，S 3n ′－S 2n ′(S n ′≠0)构成等比数列．18．(本小题满分12分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＝2－S n (n ∈N ＋)． (1)求a 1，a 2，a 3，a 4的值并写出其通项公式； (2)根据(1)的结论用三段论证明数列{a n }是等比数列．解：(1)由a n ＝2－S n ，得a 1＝1；a 2＝12；a 3＝14；a 4＝18，猜想a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1(n ∈N ＋)．(2)对于数列{a n }，若a n ＋1a n＝p ，p 是非零常数，则{a n }是等比数列，大前提因为数列{a n }的通项公式a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，且a n ＋1a n ＝12，小前提所以通项公式为a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1的数列{a n }是等比数列．结论19．(本小题满分12分)如图，在四面体ABCD 中，CB ＝CD ，AD ⊥BD ，E ，F 分别是AB ，BD 的中点．求证：(1)直线EF ∥平面ACD ； (2)平面EFC ⊥平面BCD .证明：(1)因为E ，F 分别是AB ，BD 的中点，所以EF 是△ABD 的中位线，所以EF ∥AD ，又E F ⃘平面ACD ，AD 平面ACD ，所以直线EF ∥平面ACD . (2)因为AD ⊥BD ，EF ∥AD ，所以EF ⊥BD ，因为CB ＝CD ，F 是BD 的中点，所以CF ⊥BD ，又EF ∩CF ＝F ，所以BD ⊥平面EFC .因为BD 平面BCD ，所以平面EFC ⊥平面BCD .20．(本小题满分12分)已知△ABC 的三边a ，b ，c 的倒数成等差数列，试分别用综合法和分析法证明B 为锐角．证明：法一(分析法)：要证明B 为锐角，因为B 为三角形的内角，则只需证cos B >0.又∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac，∴只需证明a 2＋c 2－b 2>0. ∴即证a 2＋c 2>b 2.∵a 2＋c 2≥2ac ，∴只需证明2ac >b 2. 由已知2b ＝1a ＋1c，即2ac ＝b (a ＋c )，∴只需证明b (a ＋c )>b 2，即证a ＋c >b 成立，在△ABC 中，最后一个不等式显然成立． ∴B 为锐角．法二(综合法)由题意：2b ＝1a ＋1c ＝a ＋cac，则b ＝2ac a ＋c，b (a ＋c )＝2ac >b 2(∵a ＋c >b )． ∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ≥2ac －b 22ac>0，又y ＝cos x 在(0，π)上单调递减， ∴0<B <π2，即B 为锐角．21．(本小题满分12分)在同一平面内，若P ，A ，B 三点共线，则对于平面上任意一点O ，有OP ―→＝λOA ―→＋μOB ―→，且λ＋μ＝1.对这个命题证明如下：证明：因为P ，A ，B 三点共线，所以AP ―→＝m AB ―→，即OP ―→－OA ―→＝m (OB ―→－OA ―→)，整理得OP ―→＝(1－m )OA ―→＋m OB ―→，因为(1－m )＋m ＝1，所以λ＋μ＝1.请把上述结论和证明过程类比到空间向量．解：类比到空间向量所得结论为：在空间中，若P ，A ，B ，C 四点共面，则对于空间中任意一点O ，有OP ―→＝x OA ―→＋y OB ―→＋z OC ―→，且x ＋y ＋z ＝1.对这个命题证明如下：证明：因为P ，A ，B ，C 四点共面，所以AP ―→＝λAB ―→＋μAC ―→，即OP ―→－OA ―→＝λ(OB ―→－OA ―→)＋μ(OC ―→－OA ―→)，整理得OP ―→＝(1－λ－μ)OA ―→＋λOB ―→＋μOC ―→，因为(1－λ－μ)＋λ＋μ＝1，所以x ＋y ＋z ＝1.22．(本小题满分12分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°；⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．解：(1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)法一：三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α·(cos 30° cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin α·cos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34. 法二：三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝1－cos 2α2＋1＋cos 60°－2α2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α) ＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2α ＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－14(1－cos 2α) ＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34。

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第三章推理与证明(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下面几种推理是合情推理的是( )①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°归纳出所有三角形的内角和都是180°；③某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n－2)·180°.A．①②B．①③④C．①②④D．②④解析：①是类比推理，②④是归纳推理，③不是合情推理．答案： C2．下列三句话按三段论的模式排列顺序正确的是( )①2 016能被2整除；②一切偶数都能被2整除；③2 016是偶数．A．①②③B．②①③C．②③①D．③②①解析：②是大前提，③是小前提，①是结论．答案： C3．平面内平行于同一直线的两直线平行，由类比推理，我们可以得到( )A．空间中平行于同一直线的两直线平行B．空间中平行于同一平面的两直线平行C．空间中平行于同一直线的两平面平行D．空间中平行于同一平面的两平面平行解析：利用类比推理，平面中的直线与空间中的平面类比．答案： D4．证明命题：“f (x )＝e x＋1e x 在(0，＋∞)上是增函数”，现给出的证法如下：因为f (x )＝e x ＋1e x ，所以f ′(x )＝e x－1e x ，因为x >0，所以e x>1,0<1e x <1，所以e x－1ex >0，即f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数，使用的证明方法是( ) A ．综合法 B ．分析法 C ．反证法D ．以上都不是解析：上述证明过程是从已知条件出发，经过推理论证得到结论，用了综合法．答案： A5．已知a 1＝3，a n ＋1＝3a na n ＋3，试通过计算a 2，a 3，a 4，a 5的值推测出a n ＝( ) A.32nB ．3nC.4nD ．2n解析： ∵a 1＝3，a n ＋1＝3a na n ＋3， ∴a 2＝3×33＋3＝32，∴a 3＝3×3232＋3＝33，a 4＝3×11＋3＝34， a 5＝3×3434＋3＝35.猜想：a n ＝3n.答案： B6．下列有关三段论推理“自然数都是整数，4是自然数，所以4是整数”的说法正确的是( )A ．推理正确B ．推理形式不正确C ．大前提错误D ．小前提错误解析：三段论中的大前提，小前提以及推理形式都是正确的，所以结论正确．答案： A 7．有以下结论：①已知p 3＋q 3＝2，求证p ＋q ≤2，用反证法证明时，可假设p ＋q ≥2；②已知a ，b ↔R ，|a |＋|b |<1，求证方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x 1的绝对值大于或等于1，即假设|x 1|≥1.下列说法中正确的是( ) A ．①与②的假设都错误 B ．①与②的假设都正确 C ．①的假设正确；②的假设错误 D ．①的假设错误；②的假设正确解析：用反证法证题时一定要将对立面找全．在(1)中应假设p ＋q >2.故(1)的假设是错误的，而(2)的假设是正确的，故选D.答案： D8．已知f (x )＝x 3＋x ，a ，b ，c ↔R ，且a ＋b >0，a ＋c >0，b ＋c >0，则f (a )＋f (b )＋f (c )的值一定( )A ．大于零B ．等于零C ．小于零D ．正负都可能解析： f (x )＝x 3＋x 是奇函数且在R 上是增函数，由a ＋b >0，得a >－b ，故f (a )>f (－b )，可得f (a )＋f (b )>0.同理f (a )＋f (c )>0，f (b )＋f (c )>0. 所以f (a )＋f (b )＋f (c )>0. 答案： A9．观察下列数表规律则从数2 007到2 008的箭头方向是( )A ．2007↑→ B ．→2007↑C ．2007↓→D ．→2007↓解析：因上行奇数是首项为3，公差为4的等差数列．若2 007在上行，则2 007＝3＋(n －1)×4⇒n ↔N *，故2 007在上行，又因为在上行奇数的箭头为→a n ↓，故选D. 答案： D10．将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论：①a ·b ＝b ·a ；②(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )；③a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c ；④由a ·b ＝a ·c (a ≠0)可得b ＝c .以上通过类比得到的结论正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：平面向量的数量积的运算满足交换律和分配律，不满足结合律，①③正确，②错误；由a ·b ＝a ·c (a ≠0)得a ·(b －c )＝0，从而b －c ＝0或a ⊥(b －c )，故④错误．故选B.答案： B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 11．已知a ＞0，b ＞0，m ＝lg a ＋b2，n ＝lga ＋b2，则m 与n 的大小关系为________．解析： ∵⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝a ＋b ＋2ab4， ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝a ＋b4， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＞⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，∴a ＋b2＞a ＋b2，∴lga ＋b2＞lga ＋b2，∴m ＞n . 答案： m ＞n12．已知数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝3a na n ＋3，则a 2，a 3，a 4，a 5分别为____________，猜想a n ＝__________________.解析： a 2＝3a 1a 1＋3＝3×1212＋3＝37，a 3＝3a 2a 2＋3＝3×3737＋3＝38，a 4＝3a 3a 3＋3＝3×3838＋3＝13，a 5＝3a 4a 4＋3＝3×1313＋3＝310，由此猜想a n ＝3n ＋5. 答案： 37，38，13，310 3n ＋513．如图①，若从点O 作的两条射线OM 、ON 上分别有点M 1，M 2与点N 1，N 2，则三角形面积之比S △OM 1N 1S △OM 2N 2＝OM 1OM 2·ON 1ON 2，如图②，若从点O 所作的不在同一平面内的三条射线OP ，OQ和OR 上分别有点P 1，P 2，点Q 1，Q 2，点R 1，R 2，则类似的结论为：______________.解析：由于很多同学不善于类比，思维面较窄，所以只能套用已知结论填写，如：S △OP 1Q 1S △OP 2Q 2＝OP 1OP 2·OQ 1OQ 2，S △OP 1R 1S △OP 2R 2＝OP 1OP 2·OR 1OR 2，S △OP 1R 1S △OP 2R 2＝OR 1OR 2·OQ 1OQ 2. 实际上，题目的本意是要求把二维的面积关系，推广到三维的体积关系：V O －P 1Q 1R 1V O －P 2Q 2R 2＝OP 1OP 2·OQ 1OQ 2·OR 1OR 2.(证明略) 答案： V O －P 1Q 1R 1V O －P 2Q 2R 2＝OP 1OP 2·OQ 1OQ 2·OR 1OR 214．如图所示，①、②、③，…是由花盆摆成的图案，根据图中花盆摆放的规律，第n 个图形中的花盆数a n ＝________.解析：观察知每个图案中间的花盆数为1,3,5…，其中第n 个图案中间的花盆数为2n －1，往一侧依次是2n －2,2n －3，…，2n －1＋(n －1)(－1)＝n ，它们的和为n 2n －1＋n 2＝n 3n －12，另一侧花盆计数同理，所以a n ＝2·n 3n －1 2－(2n －1)＝3n 2－3n ＋1.答案： 3n 2－3n ＋1三、解答题(本大题共4小题，满分50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)把空间平行六面体与平面上的平行四边形类比，试由“平行四边形对边相等”得出平行六面体的相关性质．解析：如下图，由平行四边形的性质可知：a ＝c ，b ＝d . 于是类比平行四边形的性质，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，我们猜想：S 四边形ADD 1A 1＝S 四边形BCC 1B 1， S 四边形ABB 1A 1＝S 四边形DCC 1D 1， S 四边形ABCD ＝S 四边形A 1B 1C 1D 1成立．16．(本小题满分12分)设a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ＋1ab≥8.证明：证法一(综合法)：∵a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1， ∴1＝a ＋b ≥2ab ，ab ≤12，ab ≤14，∴1ab≥4(当且仅当a ＝b 时等号成立)又1a ＋1b＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b≥4(当且仅当a ＝b 时等号成立)∴1a ＋1b ＋1ab≥8(当且仅当a ＝b 时等号成立)证法二(分析法)：∵a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1， ∴1a ＋1b ＋1ab≥8⇔⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋a ＋b ab≥8 ⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＋1a ≥8 ⇔1a ＋1b≥4 ⇔a ＋b a ＋a ＋bb ≥4 ⇔b a ＋a b≥2.由基本不等式可知，当a ＞0，b ＞0时，b a ＋a b≥2成立(当且仅当a ＝b 时等式成立)，所以原不等式成立．17．(本小题满分12分)已知实数a ，b ，c ，d ，满足a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd ＞1. 求证：a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．证明：假设a ，b ，c ，d 都是非负实数， ∵a ＋b ＝c ＋d ＝1， ∴a ，b ，c ，d ↔[0,1]， ∴ac ≤ac ≤a ＋c2，bd ≤bd ≤b ＋d2，∴ac ＋bd ≤a ＋c 2＋b ＋d2＝1，这与已知ac ＋bd >1相矛盾，所以原假设不成立，即证得a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．18．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝x1＋x，求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 008)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 008的值．解析：计算可得：f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝21＋2＋121＋12＝1，f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝31＋3＋131＋13＝1，f (4)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝41＋4＋141＋14＝1，又∵f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 1＋x ＋1x ＋1＝1，故f (1)＋f (2)＋…＋f (2 008)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 008＝12＋2 007×1＝4 0152。

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