2013-2017高考数学(理)真题分类汇编第4章++++三角函数-4++解三角形编辑版
2013-2017高考数学(文)真题分类汇编第4章+三角函数++第4节++解三角形最新版
第四章 三角函数第4节 解三角形题型58 正弦定理的应用1. （2013山东文7）ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，若2B A =，1a =，b =c =（ ）.A. B. 2 C.D. 11.分析 先利用正弦定理，求出角A ，进而求出角B 和角C ，得出角C 为直角，从而利用勾 股定理求出边c .解析 由正弦定理得：sin sin a bA B=，因为2,1,B A a b ==1sin A =.因为A 为三角形的内角，所以sin 0A ≠.所以cos A =.又0A π<<，所以A π=6，所以2B A π==3.所以C A B π=π--=2，所以ABC △为直角三角形.由勾股定理得2c ==.故选B.2. (2013安徽文9） 设ABC △的内角A B C ，，所对边的长分别为a b c ，，，若 2sin 5sin b c a A B +==，3，则角C =（ ）.A.π3 B. 2π3 C. 3π4 D. 5π62. 解析 同理科卷12题.答案B.3.（2013浙江文3）若α∈R ，则“0α=”是“sin cos αα<”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件3.分析 分别判断0α=能否推出sin cos αα<和sin cos αα<能否推出0α=.解析 若0α=，则sin 0,cos 1αα==，所以sin cos αα<，即0sin cos ααα=⇒<； 但当2απ=-时，有sin 10cos αα=-=<，此时0α≠.所以0α=是sin cos αα<的充分不必要条件.故选A.4. (2013湖南文5）在锐角ABC △中，角A B ，所对的边长分别为a b ，. 若2sin B b =，则角A 等于（ ）. A.π3 B.π4 C.π6 D.π124.分析 利用正弦定理将边化为角的正弦.解析 在ABC △中，2sin ,a R A b =()2sin R B R ABC =为△的外接圆半径.因为2sin a B =，所以2sin sin A B B .所以sin 2A =.又ABC △为锐角三角形，所以π3A =.故选A. 5.（2014广东文7）在ABC △中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c 则“a b …”是“sin sin A B …”的（ ）.A.充分必要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.非充分非必要条件6.（2014江西文5）在ABC △中，内角,A B C ,所对的边分别为,,,c b a ，若32a b =，则2222sin sin sin B AA-的值为（ ）.A.19-B.13C.1D.727.（2015安徽文）在ABC △中，AB =75A ∠=，45B ∠=，则AC = . 7.解析 由正弦定理可得()sin 45sin 1807545ABAC=⎡⎤-+⎣⎦，即60sin 45AC =，解得2AC =.8.（2015福建文）若在ABC △中，AC =45A ∠=，75C ∠=，则BC =_______． 8.解析 由题意得18060B A C ∠=-∠-∠=．由正弦定理得sin sin AC BC BA =，则sin sin AC ABC B===9.(2015北京文)在ABC △中，3a =，b =2π3A ∠=，B ∠= . 9.解析 在ABC △中，由正弦定理知sin sin a b A B =2=，sin 2B =， 又π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得π4B =. 10.（2015全国1文）已知,,a b c 分别为ABC △内角,,A B C 的对边，2sin 2sin sin B A C =. （1）若a b =，求cos B ； （2）设90B ∠=，且a =ABC △的面积.10.解析 （1由正弦定理得，22b ac =.又a b =，所以22a ac =，即2a c =.则22222212cos 2422a a a a cb B a ac a ⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭===. （2）解法一：因为90B ∠=，所以()2sin 12sin sin 2sin sin 90B A C A A ===-， 即2sin cos 1A A =，亦即sin 21A =.又因为在ABC △中，90B ∠=，所以090A <∠<，则290A ∠=，得45A ∠=.所以ABC △为等腰直角三角形， 得a c ==112ABC S ==△.解法二：由（1）可知22b ac =，① 因为90B ∠=，所以222a c b -=，②将②代入①得()20a c-=，则a c ==112ABC S ==△.11.（2015山东文）在△ABC 中，角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，. 已知cos B =，sin()A B +=ac =，求sin A 和c 的值.11.解析 在ABC △中，由cos 3B =，得sin 3B =. 因为πA BC ∠+∠+∠=，所以()sin sin 9C A B =+=. 因为sin sin C B <，所以C B ∠<∠，可得C ∠为锐角，所以cos C =因此()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+==. 由sin sin a c A C =，可得sin sin c Aa C ===.又ac =1c =.12.（2016全国丙文9）在ABC △中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ，则s i n A =（ ）.A.31012. D 解析 解法一：，， 由正弦定理得，即，所以，所以，.故选D. 解法二：如图所示，由，知. 由，则，. 由正弦定理知，则.故选D. 111sin 232ABC S a a ac B =⋅=△3c=sin 3C A=3sin π4A A ⎛⎫- ⎪⎝⎭A A A =tan 3A =-sin A =π4B =tan 1B =13AH BC =23HC BC=3AC BC =sin sin A B BC AC=sin 10A =13.（2016北京文13）在ABC △中，2π3A ∠=，a =，则bc=________. 13.解析， 所以，则.由，得，，，.14.（2016全国甲文15）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若4cos 5A =，5cos 13C =，1a =，则b =_______. 14.解析 解法一：由题可知，. 由正弦定理可得.由射影定理可得. 解法二：同解法一，可得.又 ，由余弦定理可得.解法三：因为，，，， . 由正弦定理得，，解得. 15.（2016江苏15）在ABC △中，6AC =，4cos 5B =，π4C =. 12πsinsin π30sin sin 3a A C c C C ⎛⎫===<< ⎪⎝⎭1sin 2C =π6C =πA B C ++=π6B =B C =b c =1bc=3sin 5A =12sin 13C =sin sin a c A C =2013c =21cos cos 13b a Cc A =+=2013c =()cos cos B A C =-+=sin cos cos cos A C A C -=16652113b ==4cos 5A =5cos 13C =3sin 5A =12sin 13C =()sin sin B A C =+=sin cos +A C 63cos sin 65A C =sin sin b a B A =2113b =HCBA（1）求AB 的长；（2）求πcos 6A ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值. 15. 解析 （1）因为，而，所以. 由正弦定理，故（2）因为，所以. 又，所以.故 . 16.（2016天津文15）在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin 2sin a B A =. （1）求B ；（2）若1cos 3A =，求sin C 的值. 16.分析 （1）利用正弦定理，将边化为角：，再根据三角形内角范围化简得，；（2）已知两角，求第三角，利用三角形内角和为，将所求角化为两已知角的和，再根据两角和的正弦公式求解. 解析（1）在中，由正弦定理化简， 得，所以，得.（2）由，得，则， 所以. 17.（2016浙江文16）在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知2cos b c a B+=.4cos 5B =()0,B ∈π3sin 5B ==sin sin AB AC C B =sin sin AC AB C B=6325=⨯=()cos cos sin sin cos cos A C B B C B C =-+=-cos A=()0,A ∈πsin 10A ==π1cos sin 62A A A ⎛⎫-=+=⎪⎝⎭2sin sin cos sin A B B B A =cos 2B =π6B =x ABC △sin 2sin a B A 2sin sin cos sin A B B B A =cos B =π6B =1cos 3A =sin 3A =()sin sin C AB =+π1sin sin cos 62C A A A ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭（1）求证：2A B =； （2）若2cos 3B =，求cos C 的值. 17.解析 （1）由正弦定理得，故， 于是.又，故，所以或，因此（舍去）或，所以（2）由，得， 故，.. 18.（2017全国3文15）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知60C =，b =3c =，则A =_________.18.解析 由正弦定理有3sin 60=，所以，又c，所以45B =，所以()18075A B C =-+=.评注 考查用正、余弦定理解三角形问题以及三角形的内角和定理，难度偏低.题型59 余弦定理的应用1.（2014福建文14）在ABC △中，602A AC BC ===，，AB 等于 .2.（2015广东文）设ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2a =，c =，cos A =b c <，则b =（ ）. 2.解析 由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-， 所以(222222b b =+-⨯⨯， 即2680b b -+=，解得2b =或4b =.因为b c <，所以2b =.故选C ．sin +sin 2sin cos B C A B =2sin cos sin sin()sin sin cos cos sin A B B A B B A B A B =++=++sin sin()B A B =-(),0,πA B ∈0πA B <-<π()B A B =--B A B =-πA =2A B =2.A B =2cos 3B =sin B =21cos22cos 19B B =-=-1cos 9A =-sin A =()22cos cos cos cos sin sin 27C A B A B A B =-+=-+=3.（2015重庆文）设ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a =，1cos 4C =-，3sin 2sin A B =，则c =________.3.解析 因为3sin 2sin A B =，所以根据正弦定理得32a b =．又因为2a =，所以3b =．因为1cos 4C =-，所以2221=24a b c ab +--，代入解得4c =．4.（2015江苏文）在ABC △中，已知2AB =，3AC =，60A =︒． （1）求BC 的长； （2）求sin 2C 的值． 4.解析 （1）由余弦定理2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅14922372=+-⨯⨯⨯=，解得BC =．（2）222cos2AC BC AB C AC BC +-=⋅==，因为()0,C ∈π，故sinC ==，故sin 22sin cos C C C =⋅27==．评注可不化简，有时候会利于下面的运算．5.（2015全国2文）ABC △中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠， 2BD DC =. (1)求sin sin BC∠∠；(2)若60BAC ∠=，求B ∠.5.分析 (1)根据题意，由正弦定理可得sin 1sin 2B DC C BD ∠==∠.(2)由诱导公式可得()1sin sin sin 2C BAC B B B ∠=∠+∠=∠+∠，由(1)可知2sin sin B C ∠=∠，所以tan B ∠=，30B ∠=. 解析 (1)由正弦定理得，sin sin AD BD B BAD =∠∠，sin sin AD DCC CAD=∠∠.因为AD 平分BAC ∠，2BD DC =，所以sin 1sin 2B DC C BD ∠==∠.(2)因为()180C BAC B ∠=-∠+∠，60BAC ∠=，所以()1sin sin sin 2C BAC B B B ∠=∠+∠=∠+∠.由(1)知2sin sin B C ∠=∠，所以tan B ∠=，即30B ∠=. 评注 三角是高中数学的重点内容，在高考中主要是利用三角函数，三角恒等变换及解三角形的正弦定理及余弦定理，在求解时，注意角的转化及定理的使用.6.（2015陕西文）ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量()a =m 与()cos sin AB =，n 平行. （1）求A ；（2）若a =2b =，求ABC △的面积.6.解析 (1)因为//m n ，所以sin cos 0a B A = ① 由正弦定理得，sin sin bB A a=②将式②代入式①，又sin 0B ≠，得到tan A =0πA <<，所以π3A =.(2)解法一：由余弦定理得，2222cos a b c bc A =+-，而a =2b =，π3A =，得2742c c =+-，即2230c c --=.因为0c >，所以3c =，故ABC △的面积为1sin 22bc A =.解法二2sin sin 3B =，从而sin B =.又由a b >知A B >，所以cos 7B =.故()πππsin sin sin sin cos cos sin 333C A B B B B ⎛⎫=+=+=+= ⎪⎝⎭，所以ABC △面积为1sin 22ab C =. 7（2015四川文）已知,,A B C 为ABC △的内角，tan A ，tan B是关于方程()210x p p -+=∈R 的两个实根.（1）求C 的大小；（2）若3AB =，AC ，求p 的值.7.解析 （1）由题意可得方程210x p -+=的判别式)()2410p ∆=--+…，所以2p -…或23p ….由韦达定理，得tan tan A B +=，tan tan 1A B p ⋅=-， 所以()1tan tan 110A B p p -⋅=--=≠， 可得()tan tan tan 1tan tan A B A B A B ++===-⋅所以()tan tan C A B =-+=60C ∠=.（2）由正弦定理，可得sin 602sin 32AC C B AB ⋅===， 解得45B ∠=或135B ∠=（舍去）.所以18075A B C ∠=-∠-∠=.则()tan 45tan 30tan tan 75tan 45301tan 45tan 30A+==+==-12+=+所以(1tan tan 121p A B =-⋅=-+=-.8.（2015天津文）在ABC△中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为2b c -=，1cos 4A =-. （1）求a 和sin C 的值； （2）求πcos 26A ⎛⎫+⎪⎝⎭的值.8.分析 （1）由面积公式可得24bc =，结合2b c -=，可解得6b =，4c =.再由余弦定理求得8a =.最后由正弦定理求sin C 的值；（2）直接展开求值. 解析 （1）ABC △中，由1cos 4A =-，得sin A =由1sin 2bc A =24bc =，又由2b c -=，解得6b =，4c =. 由2222cos a b c bc A =+-，可得8a =.又由sin sin a c A C =，得sin 8C =. （2）πππcos 2cos 2cos sin 2sin 666A A A ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭)22cos 1sin cos 216A A A --=.9.（2015浙江文）在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知πtan()24A +=. (1)求2sin 2sin 2cos AA A+的值；(2)若π34B a ==，，求ABC △的面积.9.解析 (1) πtan tanπ1tan 4tan 2π41tan 1tan tan 4A A A AA ++⎛⎫+=== ⎪-⎝⎭-，得1tan 3A =. 2212sin 22sin cos 2tan 231sin 2cos 2sin cos cos 2tan 15213A A A A A A A A A A ⨯====+++⨯+.(2) sin 10A =，cos 10A =.由正弦定理得，sin sin a b AB =，所以b AC == 又()sin sin sin cos cos sin 210105C A B A B A B =+=+=+=⎝⎭，所以11sin 3922ABC S ab C ==⨯⨯=△. 10.（2016全国乙文4）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a =2c =，2cos 3A =，则b =（ ）.C.2D.310. D 解析 由余弦定理得，即， 整理得，解得.故选D. 11.（2016山东文8）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b c =，222(1sin )a b A =-，则A =（ ）.A.3π4 B.π3 C.π4 D.π611. C 解析 由余弦定理，得. 因为，所以. 由已知得，所以，所以.因为，所以.故选C. 评注 考试的时候得到，若寻找不到因式分解可考虑代入选项检验.题型60 判断三角形的形状1. (2013陕西文9）设ABC △的内角AB C ，，所对的边分别为a b c ，，，若cos cos sin b C c B a A +=，则ABC △的形状为（ ）.A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不确定 1.分析 利用余弦定理的变形将角的余弦值转化为三角形边之间的关系．解析 因为cos cos b C c B +ac b a c c ab c a b b 22222222-+⋅+-+⋅=ab ac c a b 2222222-++-+=A a a a a sin 222===,所以sin 1A =. 因为()0,πA ∈，所以π2A =，即ABC △是直角三角形．故选B. 题型61 解三角形的综合应用1. （2013江西文17）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知222cos 2b c a A bc +-=245243b b +-=()28113033b b b b ⎛⎫--=-+= ⎪⎝⎭3b =()2222222cos 22cos 21cos a b c bc A b b A b A =+-=-=-()2221sin a b A =-cos sin A A =sin 1A ≠cos 0A ≠tan 1A =()0,πA ∈π4A =28103b b --=sin sin sin sin cos 21A B B C B ++=.（1）求证：,,a b c 成等差数列； （2）若2π3C =，求ab的值. 1.分析 （1）根据正弦定理把已知条件中的角的关系转化为边的关系，从而证明,,a b c 成等 差数列；（2）应用（1）的结论和余弦定理得出,a b 的关系式，从而求出结论. 解析 （1）由已知得2sin sin sin sin 2sin A B B C B +=.因为sin 0B ≠，所以sin sin 2sin A C B +=.由正弦定理得2a c b +=，即,,a b c 成等差数列. （2）由2π,23C c b a ==-及余弦定理得()2222b a a b ab -=++，即有2530ab b -=，所以35a b =. 2. (2013天津文16）在ABC △中， 内角A B C ，，所对的边分别是a b c ，，. 已知sin 3sin b A c B =，3a =， 2cos 3B =. （1）求b 的值; （2）求πsin 23B ⎛⎫-⎪⎝⎭的值. 2.分析 （1）先用正弦定理求出c ，再用余弦定理求出b ；（2）用二倍角公式和两角差公式求值.解析 （1）在△ABC 中，由,sin sin a bA B=可得sin sin b A a B =．又由sin 3sin b A c B =，可得3a c =.又3a =，故1c =．由22222cos cos 3b ac ac B B =+-=，，可得b =（2）由2cos 3B =，得sin B =进而得21cos 22cos 1sin 22sin cos 99B B B B B =-=-==，所以πsin 23B ⎛⎫= ⎪⎝⎭-ππsin 2cos cos 2sin 33B B -= 3.（2013湖北文18）在ABC △中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c . 已知cos23cos()1A B C -+=． （1）求角A 的大小；（2）若ABC △的面积S =5b =，求sin sin B C 的值．3.分析 利用倍角公式和诱导公式化简已知条件，求得cos A 的值，即得角A 的大小；由面 积求出c 边，再利用余弦定理求出a 边，最后利用正弦定理求出sin sin B C 的值. 解析 （1）由()cos23cos 1A B C -+=，得22cos 3cos 20A A +-=，即()()2cos 1cos 20A A -+=，解得()1cos cos 22A A ==-或舍去.因为0πA <<，所以π3A =.（2）由11sin 22S bc A bc ====20bc =，又5b =，所以4c =.由余弦定理得2222cos 25162021a b c bc A =+-=+-=，所以a =从而由正弦定理得222035sin sin sin sin sin 2147b c bc B C A A A a a a =⋅==⨯=. 4. （2013四川文17）在ABC △中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且 ()()()3cos cos sin sin 5A B B A B A c ---+=-.（1）求sin A 的值；推导{}n a 的前n 项和公式；（2）若5a b ==，求向量BA 在BC 方向上的投影.4.分析 （1）由三角形内角和定理得A C B +=π-，即()s in s in A C B +=，然后利用两角 和的余弦公式求得cos A .（2）借助正、余弦定理求角后再利用向量投影公式求解．解析 （1）由()()()3cos cos sin sin 5A B B A B A C ---+=-，得()()3cos cos sin sin 5A B B A B B ---=-.则()3cos 5A B B -+=-，即3cos 5A =-.又0A π<<，则4sin 5A =.（2）由正弦定理，有sin sin a b A B =，所以sin sin 2b A B a ==. 故题意知a b >，则A B >，故4B π=.根据余弦定理，有(22235255c c ⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭.解得1c =或7c =-（负值舍去）.故向量BA 在BC方向上的投影为cos 2BA B =. 5. (2013浙江文18）在锐角ABC △中，内角AB C ，，的对边分别为a b c ，，，且2sin a B =.（1）求角A 的大小；（2）若6a =，8b c +=，求ABC △的面积.5.分析 （1）利用已知条件和正弦定理可求出sin A ，进而求出A ；（2）利用余弦定理求出bc ，再用面积公式求面积.解析 （1）由2sin a B 及正弦定理sin sin a b A B =，得sin A =.因为A 是锐角， 所以3A π=. （2）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得2236b c bc +-=. 又8b c +=，所以283bc =. 由三角形面积公式1sin 2S bc A =，得ABC △的面积为1282323⨯⨯=. 6.（2014四川文8）如图所示，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75，30，此时气球的高是60m ，则河流的宽度BC 等于（ ）. A.)2401mB.)1801mC.)1201mD.)301m7.（2014新课标Ⅰ文16）如图所示，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得M 点的仰角60MAN ∠=︒，C 点的仰角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒；从C 点测得60MCA ∠=︒.已知山高100m BC =，则山高MN =m.8．（2014湖北文13）在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，.已知π6A =，1a =，b =B = .9.（2014北京文12）在ABC △中，1a =，2b =，1cos 4C =，则c = ； sin A = .9. 解析 由余弦定理知2222212cos 1221244c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=，故2c =；由22sin cos 1C C +=，1cos 4C =，sin 0C >知sin C ==，由s i ns i nacA C =知1sin 4sin 2a CA c===10.（2014陕西文16）（本小题满分12分）ABC △的内角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，. （1）若c b a ，，成等差数列，求证：()C A C A +=+sin 2sin sin ； （2）若c b a ，，成等比数列，且2c a =，求B cos 的值. 11. （2014安徽文16）（本小题满分12分）ANMCB设ABC △的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ，且3b =，1c =，ABC △求cos A 与a 的值.11. 解析 由三角形面积公式，得131sin 2A ⨯⨯⋅=，故sin 3A =.因为22sin cos 1A A +=，所以1cos 3A ==±. ①当1cos 3A =时，由余弦定理得2222212cos 3121383a b c ab A =+-=+-⨯⨯⨯=，所以a =②当1cos 3A =-时，由余弦定理得2222212cos 31213123a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以a =评注 本题考查解三角形，解题时要注意已知求时有两解，防止漏解. 12.（2014大纲文18）（本小题满分12分）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知13cos 2cos tan 3a C c A A ==，，求B .13.（2014辽宁文17）（本小题满分12分）在ABC △中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且a c >，已知2BA BC ⋅=，1cos 3B =，3b =，求：（1）a 和c 的值； （2）cos()B C -的值.14.（2014山东文17）（本小题满分12分）ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c . 已知π3,cos ,32a A B A ===+. （1）求b 的值； （2）求ABC △的面积.15.（2014浙江文18）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知24sin 4sin sin 22A BA B -+=. （1）求角C 的大小；（2）已知4b =，ABC △的面积为6，求边长c 的值.16.（2014重庆文18）（本小题满分12分）在ABC △中，内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，且8=++c b a .（1）若522a b ==，，求C cos 的值； （2）若C A B B A sin 22cos sin 2cossin 22=+，且ABC △的面积C S sin 29=，求a 和b 的值.17. （2014新课标Ⅱ文17）（本小题满分12分）四边形ABCD 的内角A 与C 互补，1AB =，3BC =，2CD DA ==. （1）求C 和BD ；（2）求四边形ABCD 的面积.18.（2014湖南文19）（本小题满分13分）如图所示，在平面四边形ABCD中，2123DA AB DE EC EA ADC π⊥==∠=，，，，3BEC π∠=. （1）求CED ∠sin 的值； （2）求BE 的长.19.（2015湖北文）如图所示，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD = m.19.解析 ABC △中，30BAC ∠=，105ABC ∠=，所以45ACB ∠=，ABAED CB因为600AB =，由正弦定理可得600sin 45sin 30BC=，即300BC =m ，在Rt BCD △中，因为30CBD ∠=，BC =，所以tan 30CD BC ==，所以CD = 20.（2015湖南）设ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan a b A =. （1）证明：sin cos B A =； （2）若3sin sin cos 4C A B -=，且B 为钝角，求A ，B ，C . 20.解析 （1）由tan a b A =及正弦定理，得sin sin cos sin A a AA b B==，所以sin cos B A =. （2）因为()sin sin cos sin 180sin cos C A B A B A B -=︒-+-=⎡⎤⎣⎦()sin sin cos sin cos cos sin sin cos cos sin A B A B A B A B A B A B+-=+-=所以 3cos sin 4A B =. 由（1）知sin cos B A =，因此23sin 4B =，所以sin B =， 又B 为钝角，故120B =︒，由cos sin A B ==30A =︒， 从而()18030C A B =︒-+=︒.综上所述，30A =︒，120B =︒，30C =︒.21.（2016上海文10）已知ABC △的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于 .解析 不妨设，，，则，故，因此. 22.（2016四川文18）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos cos sin A B C a b c+=.（1）求证：sin sin sin A B C =； （2）若22265b c a bc +-=，求tan B . 3a =5b =7c =2221cos 22a b c C ab +-==-sin C =2sin c R C ==22.解析 （1）根据正弦定理，可设，则，，.代入中，有， 可变形得在中，由，有， 所以（2）由已知，根据余弦定理，有. 所以.由（1）得，， 所以，故 23.（2017全国1文11）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()sin sin sin cos 0B A C C +-=，2a =，c =C =（ ）.A ．π12B ．π6C ．π4D ．π323.解析 由题意sin()sin (sin cos )0A C A C C ++-=得sin cos cos sin sin sin sin cos 0A C A C A C A C ++-=，即sin (sin cos )sin 04C A A C A π⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，所以34A π=.由正弦定理sin sin a c A C =，得23sin sin 4C =π，即1sin 2C =，得6C π=.故选B. 24.（2017全国2文16）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos cos cos b B a C c A =+，则B = .24.解析 解法一:由正弦定理可得2sin cos sin cos sin cos sin()sin B B A C C A A C B =+=+=⇒(0)sin sin sin a b ck k A B C===>sin a k A =sin b k B =sin c k C =cos cos sin A B C a b c +=cos cos sin sin sin sin A B Ck A k B k C+=sin sin sin cos +sin cos sin().A B A B B A A B ==+ABC △πA B C ++=()()sin sin πsin A B C C +=-=sin sin sin .A B C =22265b c a bc +-=2223cos 25b c a A bc +-==sin A=45=sin sin sin cos cos sin A B A B A B =+443sin cos sin 555B B B =+sin tan 4.cos B B B==1πcos 23B B =⇒=.解法二：如图所示，由射影定理知，cos cos a C c A b +=，所以2cos b B b =，所以()1cos 0π2B B =<<，所以.π3B =. 25.（2017山东文17）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3b =，6AB AC ⋅=-，3ABC S =△，求A 和a .25.解析 因为6AB AC ⋅=-，所以cos 6bc A =-，又 3ABC S =△，所以sin 6bc A =，因此tan 1A =-， 且0A <<π，所以34A π=.又3b =，所以c =由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得29823292a ⎛=+-⨯⨯-=⎝⎭，所以a =26.（2017天津文15）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知s i n 4s i n a A b B =，)222ac a b c =--.（1）求cos A 的值； （2）求sin(2)B A -的值.26.解析 （1）因为sin 4sin a A b B =，所以由正弦定理得224a b =，则b a 2=.又因为222)ac a b c =--，所以由余弦定理得55552cos 222-=-=-+=ac acbcac b A .（2）因为cos A =，所以sin A ==π,π2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.因为sin 4sin a A b B =，所以由正弦定理得1sin sin 2B A ==又因为A B C ++=π，所以02B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以cos B =所以243sin 22sin cos cos212sin 55B B B B B ===-=，，所以sin(2)sin 2cos cos 2sin B A B A B A -=-=.27.（2017浙江14）已知ABC △，4AB AC ==，2BC =. 点D 为AB 延长线上的一点，2BD =，联结CD ，则BDC △的面积是___________，cos BDC ∠=__________.27.解析 如图所示，取BC 的中点为O ，在等腰ABC △中,AO OB ⊥，所以AO =，sin sin 4CBDOBA??， 所以BDC △的面积为1sin 22BCBD OBA 创葱=．因为2BC BD ==，所以BDC △是等腰三角形，所以2πCBDBDC??，21cos cos(π2)12cos 4CBD BDC BDC?-?-?-，解得cos BDC ?． 28.（2017江苏18）如图所示，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm ，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为cm ，容器Ⅱ的两底面对角线EG ，11E G 的长分别为14cm 和62cm ．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm ． 现有一根玻璃棒l ，其长度为40cm （容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）.（1）将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A 处，另一端置于侧棱1CC 上，求l 没入水中部分 的长度；（2）将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱1GG 上，求l 没入水中部 分的长度．28.解析 （1）由正棱柱的定义，1CC ⊥平面ABCD ，所以平面11A ACC ⊥平面ABCD，ACA 11容器ⅠE G 1H 1容器ⅡODC BA1CC AC ⊥．记玻璃棒的另一端落在1CC 上点M 处，如图所示为截面11A ACC的平面图形．因为AC =40AM =，所以30MC ==，从而3sin 4MAC ∠=.记AM 与水面的交点为1P ， 过点1P 作11PQ AC ⊥，1Q 为垂足，则11PQ ⊥平面ABCD ，故1112PQ =，从而11116sin PQ AP MAC==∠．答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm ．（2）如图所示为截面11E EGG 的平面图形，O ，1O 是正棱台两底面的中心．由正棱台的定义，1OO ⊥平面EFGH ，所以平面11E EGG ⊥平面EFGH ，1O O EG ⊥． 同理，平面11E EGG ⊥平面1111E FG H ，111O O E G ⊥． 记玻璃棒的另一端落在1GG 上点N 处．过G 作11GK E G ⊥，K 为垂足，则132GK OO ==．因为 14EG =，1162E G =，所以16214242KG -==， 从而1GG=40=．设1EGG α∠=，ENG β∠=，则114sin sin cos 25KGG KGG απ⎛⎫=+==⎪⎝⎭∠∠．因为2απ<<π，所以3cos 5α=-． 问(1)AC 1A 1CMP 1Q 1在ENG △中，由正弦定理可得4014sin sin αβ=，解得7sin 25β=． 因为02βπ<<，所以24cos 25β=， 于是()()sin sin sin =NEG αβαβ=π--=+∠sin cos cos sin αβαβ+4243735255255⎛⎫=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭．记EN 与水面的交点为2P ，过2P 作22PQ EG ⊥，2Q 为垂足，则22PQ ⊥平面EFGH ， 故2212PQ =，从而22220sin P Q EP NEG==∠．答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm ．评注 此题本质上考查解三角形的知识，但在这样的大背景下构造的应用题让学生有畏惧之感，且该应用题的实际应用性也不强．也有学生第（1）问采用相似法解决，解法如下：AC =40AM =，所以30CM ==，1112PQ =，所以由11AP A Q CM △△∽，111PQ AP CM AM =，即1123040AP =，解得116AP =． 答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm ．题型 正、余弦定理与向量的综合——暂无问(2)G O E Q 2P 2NG 1KE 1O 1。
2013-2017年高考数学(理)分类汇编：第4章-三角函数-4-解三角形(含答案解析)
第四节 解三角形题型55 正弦定理的应用1. (2013天津理6）在ABC △中，π,3,4AB BC ABC =∠==则sin BAC ∠=（ ）. ABCD． 2. (2013湖南理3）在锐角中ABC △，角,A B 所对的边长分别为,a b .若2sin ,a B =A 则角等于（ ）. A ．π12 B ．π6 C ．π4 D ．π33.(2013安徽12)设ABC △的内角A B C ，，所对边的长分别为a b c ，，.若23sin 5sin b c a A B +==，，则角C = .4.（2013浙江理16）ABC △中，90C ∠=，M 是BC 的中点，若31sin =∠BAM ，则=∠BAC sin ________.5.（2014 北京理 15）如图所示，在ABC △中，π3B ∠=，8AB =，点D 在BC 边上，且71cos ,2=∠=ADC CD .（1）求BAD ∠sin ； （2）求AC BD ,的长.6.（2015广东）设ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c．若a =1sin 2B =，6C π=，则b = ．6.解析 解法一：因为1sin 2B =且()0,B ∈π，所以6B π=或6B 5π=．又6C π=，所以6B π=，所以b c =，且23A B C π=π--=．又a =2222cos a b c bc A =+-，所以22232cos3b c bc π=+-．又b c =，解得21b =，所以1b =． 解法二：因为1sin 2B =且()0,B ∈π，所以6B π=或6B 5π=．又6C π=，所以6B π=，D A23A B C π=π--=．又a =sin 1sin a Bb A==．故应填1.7.（2015湖南）设ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan a b A =，且B 为钝角.（1）证明：π2B A -=； （2）求sin sin A C +的取值范围. 7.解析（1）由tan a b A =及正弦定理，得sin sin cos sin A a AA b B==,所以sin cos B A =， 即πsin sin 2B A ⎛⎫=+⎪⎝⎭，又B 为钝角，因此π2A +∈π,π2⎛⎫⎪⎝⎭，故π2B A =+，即π2B A -=.（2）由（1）知，()ππππ22022CA B A A ⎛⎫=-+=-+=-> ⎪⎝⎭，所以π0,4A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，于是πsin sin sin sin 2sin cos 22A CA A A A ⎛⎫+=+-=+= ⎪⎝⎭22sin sin 1A A -++2192sin 48A ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，因为π04A <<,所以0sin 2A <<,因此2<21992sin 488A ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭…，由此可知sin sin A C +的取值范围是928⎛⎤ ⎥ ⎝⎦. 8.（2016全国甲理13）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4co s 5A =，5cos 13C =，1a =，则b = ．8.2113解析 解法一：由题可知3sin 5A =，12sin 13C =.由正弦定理sin sin a c A C =可得2013c =.由射影定理可得21cos cos 13b a Cc A =+=. 解法二：同解法一，可得2013c =.又()cos cos B A C =-+=sin cos cos cos A C A C -=1665.由余弦定理可得2113b =.解法三：因为4cos 5A =，5cos 13C =，3sin 5A =，12sin 13C =，()sin sin B A C =+=63sin cos +cos sin 65A C A C =.由正弦定理得sin sin b a B A =，解得2113b =．9.（2016江苏15）在ABC △中，6AC =，4cos 5B =，π4C =．（1）求AB 的长； （2）求πcos 6A ⎛⎫-⎪⎝⎭的值． 9. 解析 （1）因为4cos 5B =，而()0,B ∈π，所以3sin 5B ==. 由正弦定理sin sin AB AC C B =，故sin sin AC AB CB=6325=⨯= （2）因为()cos cossin sin cos cos A C B B C B C =-+=-，所以cos 10A =-. 又()0,A ∈π，所以sin 10A ==，故π1cos sin 62220A A A ⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭． 10.（2016浙江理16）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c .已知2cos b c a B +=. （1）求证：2A B =；（2）若ABC △的面积24a S =，求出角A 的大小.10.解析 （1）由正弦定理得sin +sin 2sin cos B C A B =，故2sin cos sin sin()sin sin cos cos sin A B B A B B A B A B =++=++， 于是sin sin().B A B =-又A ，()0,πB ∈，故0πA B <-<，所以 π()B A B =--或B A B =-，因此=πA （舍去）或2A B =，所以2.A B =（2）由24a S =，得21sin 24a ab C =.由正弦定理得1sin sin sin 2sin cos 2B C B B B ==，因为sin 0B ≠，得sin cos C B =．又Β，()0,πC ∈，所以π2C B =±．当π2B C +=时，由πA B C ++=，2A B =，得π2A =； 当π2C B -=时，由πA B C ++=，2A B =，得π4A =．综上所述，π2A =或π4A =． 11.（2017天津理15）在ABC △中，内角,,ABC 所对的边分别为,,a b c .已知a b >，5,6a c ==，3sin 5B =. （1）求b 和sin A 的值； （2）求πsin 24A ⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 11.解析 （1）在ABC △中，因为a b >，故由3sin 5B =，可得4cos 5B =.由已知及余弦定理，得2222cos 13b a c ac B =+-=，所以b =由正弦定理sin sin a b A B =，得sin sin 13a B Ab ==.（2）由（Ⅰ）及a c <，得cos A =，所以12sin 22sin cos 13A A A ==，25cos 212sin 13A A =-=-，故πππsin 2sin 2cos cos 2sin 44426A A A ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭. 12.（2017山东理9）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC △为锐角三角形，且满足()sin 12cos 2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是（ ）. A.2a b = B.2b a = C.2A B = D.2B A = 12.解析 因为sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+，所以2sin cos sin cos B C A C =，又02C π<<，得2sin sin B A =，即2b a =.故选A. 题型56 余弦定理的应用1. (2013重庆理20）在ABC △中，内角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，且222a b c +=. （1）求C ；（2）设()()2cos cos cos cos 5cos 5A B A B ααα++==，，求tan α的值. 2.（2013山东理17）设ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且6a c +=，2b =，7cos 9B =. （1）求a ，c 的值； （2）求()sinA B -的值.3.（2014 江苏理 14）若ABC △的内角满足sin 2sin A B C =，则cos C 的最小值是 ．4.（2014 天津理 12）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c .已知14b c a -=，2sin B 3sin C =，则cos A 的值为_______.5.（2014 湖南理 18）如图所示，在平面四边形ABCD 中，1AD =，2CD =，AC =.（1）求cos CAD ∠的值；（2）若cos 14BAD ∠=-，sin 6CBA ∠=，求BC 的长.6.（2015安徽）在ABC △中，3,6,4A AB AC π∠===点D 在BC 边上，AD BD =，求AD 的长．6.解析 解法一：设ABC △的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c，由余弦定理得(222222cos 6a b c bc BAC =+-∠=+-326cos 4π⨯⨯=1836+-()3690-=，所以a =sin sin b BACB a∠==10=，由题设知04B π<<，所以cos B10=． 在ABD △中，由正弦定理得()sin sin 2AB BAD B ==π-6sin 32sin cos cos B B B B==．解法二：如图所示，设AD BD x ==．由余弦定理得ABCD222BC AB AC =+-(222cos 6AB AC BAC ∠=+-326cos 4π⨯⨯=90，所以BC =在ABD △中，设ADB θ∠=，则ADC θ∠=π-，故222AB AD BD =+-2cos AD BD θ，即223622cos x x θ=- ① 222AC AD DC =+-()2cos AD DC θπ-，即()()22182cos xx x x θ=++ ②由式①，式②得x =，即ADDCBA7.（2015福建）若锐角ABC △的面积为，且5,8AB AC == ，则BC = ．7.解析 由已知得ABC △的面积为1sin 20sin 2AB AC A A ==所以sin 2A =．又因为0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3A π=． 由余弦定理得222BC AB AC =+-2cos 49AB AC A =，所以7BC =． 8.（2015江苏）在ABC △中，已知2AB =，3AC =，60A =︒． （1）求BC 的长； （2）求sin 2C 的值． 8.解析 （1）由余弦定理2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅14922372=+-⨯⨯⨯=，解得BC=（2）222cos 2AC BC AB C AC BC +-=⋅==.因为()0,C ∈π，故sin C ==，故sin 22sin cos C C C =⋅2==． 评注可不化简，有时候会利于下面的运算．9.（2015陕西）C AB △的内角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c．向量()a =m 与()cos ,sin A B =n 平行．（1）求A ； （2）若a =2b =，求C AB △的面积．9.解析 （1）由//m n 可知，cos sin a A B=，由正弦定理，得sin cos sin A BA B==tan A =π3A ⇒=.(2)由余弦定理，得2222147cos 2222b c a c A ab c+-+-=⇒=⇒⨯3c =.所以11πsin 23sin 2232ABCS bc A ==⨯⨯⨯=△10.（2016天津理3）在ABC △中，若AB ，3BC =，120C ∠= ，则AC =（ ）.A.1B.2C.3D.410.A 解析 由余弦定理得21393AC AC =++，解得1AC =.故选A.11.（2016全国丙理8）在ABC △中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ，则cos =A （ ）.C.-D.-11. C 解析 如图所示.依题意，AB BC =，AC BC =. 在ABC △中，由余弦定理得DCBA222cos 2AB AC BC A AB AC +-==⋅2222252BC BC BC BC +--==故选C.12.（2016北京理15）在ABC △中，222a c b +=. （1）求B ∠的大小；（2cos cos A C +的最大值.12. 解析 （1）由题设可得222ac b +-=.由余弦定理，可得222cos 222a c b B ac ac +-===.又0πB <∠<，所以π4B ∠=. （2）由（1）可得，3π4A C +=，3π0,4A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 再由()πA B C++=，得πcos cos()cos 4C A B A ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，πcos cos 4A C A A ⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭cos 22A A A ⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭πcos sin 224A A A ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭.由3π0,4A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得ππ,π44A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以当且仅当ππ42A +=，即π4A =cos A C + 取到最大值，且最大值是1.题型57 判断三角形的形状1. (2013陕西理7） 设ABC △的内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若cos cos sin b C c B a A +=，则ABC △ 的形状为（ ）.A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不确定 题型58 解三角形的综合应用1. (2013陕西理9） 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于2300m 的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x （单位m ）的取值范围是（ ）. A.[]1520，B. []1225，40mC.[]1030，D. []2030， 2.（2014 江西理4）在ABC △中，内角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c .若()226c a b =-+，3C π=，则ABC △的面积是（ ）. A.3B.2C.2D. 3.（2014 新课标2理4）钝角三角形ABC 的面积是12，1AB =，BC = ，则AC = （ ）.A.5B.C.2D. 14.（2014 重庆理 10）已知ABC △的内角,,A B C 满足()sin2sinA ABC +-+=()1sin 2C A B --+，面积S 满足12S 剟，记,,a b c 分别为,,A B C 所对的边，则下列不等式成立的是（ ）. A.()8bc b c +> B. ()ab a b +> C. 612abc 剟 D. 1224abc 剟5.（2014 福建理 12）在ABC △中，60A =︒，4AC =，BC =则ABC △的面积等于 .6.（2014 广东理 12）在ABC △中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,.已知b B c C b 2cos cos =+，则=ba. 7.（2014 山东理 12）在ABC △中，已知tan AB AC A ⋅=uu u r uuu r，当π6A =时，ABC △的面积为 .8.（2014 四川理 13）如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸,B C 的俯角分别为67，30，此时气球的高是46m ，则河流的宽度BC 约等于 m .（用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：sin 670.92≈，cos 670.39≈，sin 370.60≈，cos370.80≈1.73≈）9.（2014 新课标1理16）已知,,a b c 分别为ABC △的三个内角,,A B C 的对边，2a =，且()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-，则ABC △面积的最大值为 .10.（2014 浙江理 17）如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练. 已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面的射击线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小.若15m,25m,30AB AC BCM ==∠=，则tan θ的最大值 .PMCBA11.（2014 大纲理 17） ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已13cos 2cos tan 3a C c A A ==，.求B . 12.（2014 江苏理 18）如图，为了保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆．且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m ．经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处，点C 位于点O 正东方向170m 处（OC 为河岸），4tan 3BCO ∠=． （1）求新桥BC 的长；（2）当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？ 13.（2014 山东理 16）已知向量()(),cos2,sin2,m x x n ==a b ，函数()f x =⋅a b ，且()y f x =的图像过点π12⎛⎝和点2π,23⎛⎫- ⎪⎝⎭.（1）求,m n 的值； （2）将()y fx =的图像向左平移()0πϕϕ<<个单位后得到函数()y g x =的图像，若()y g x =图像上各最高点到点()0,3的距离的最小值为1，求()y g x =的单调递增区间.14.（2014 浙江理 18）（本题满分14分）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知a b ≠，c =22cos cos cos cos .A B A A B B -（1）求角C 的大小；（2）若4sin ,5A =求ABC △的面积. 15. (2013福建理13）如图，在ABC △ABC △中，已知点D 在BC 边上，AD AC ⊥，sin 3BAC ∠=，AB =3=AD , 则BD 的长为 . 16．（2013湖北理17）在ABC △中，,,A B C 对应的边分别是 ,,a b c ．已知cos 23cos()1A B C -+=． (1) 求角A 的大小 (2) 若ABC △的面积S=b =5，求sin sin B C 的值．17．（2013江西理16） 在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知cos C+(cos A-sin A )cos B =0．(1) 求角B 的大小；(2) 若1a c +=，求b 的取值范围．18．（2013四川理17） 在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且232cos cos sin()sin 25A B B A B B ---=-． （1）求cos A 的值；（2）若a =5b =，求向量BA 在BC 方向上的投影．19. （2013江苏18）如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲.乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50m /min .在甲出发min 2后，乙从A 乘缆车到B ，在BBA处停留min 1后，再从匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130m /min ，山路AC 长为1260m ，经测量，1312cos =A ，53cos =C .（1）求索道AB 的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？ 20. (2013全国新课标卷理17）ABC △在内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知cos sin a b C c B =+.（1）求B ；（2）若2b =，求ABC △面积的最大值.21.（2015北京）在ABC △中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC= . 21.解析 在ABC △中，sin 22sin cos sin sin A A A C C =，由正弦定理得sin sin A aC c=，由余弦定理得2222225643cos 22564b c a A bc +-+-===⨯⨯，因此sin 24321sin 64A C =⨯⨯=. 22.（2015湖北）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD = m.22.解析 在△ABC 中，30BAC ∠=︒，105ABC ∠=︒，所以45ACB ∠=︒，因为600AB =，由正弦定理可得600sin 45sin 30BC=︒︒，即BC =，在Rt △BCD 中，因为30CBD ∠=︒，BC =所以tan 30CD BC ︒==CD =. 23.（2015全国1）在平面四边形ABCD 中，75A B C ∠=∠=∠=，2BC =，则AB 的取值范围是 .23.解析 解法一：如图所示，75B C BAC ∠=∠=∠=，延长BA ，CD 交于点E ， 则可知BE CE =，且在ADE △中，105DAE ∠=，45ADE ∠=，30E ∠=． 在BEC △中，由正弦定理可得sin 756sin 30BC BE CE ===+所以由题意可得(DE ∈．在ADE △中，由正弦定理可得sin 45sin105DE AE ==)1DE ，所以(0,AE ∈．又因为AB BE AE=-， 所以AB的取值范围是．EDCBA（解法一图） （解法二图）解法二（构造法）：如图所示，构造BEC △，使得75B BCE ∠=∠=， 则30BEC ∠=，取BE 边上一点A ，CE 边上一点D ，使得75BAD ∠=．若平移AD 使点D 与点C 重合，此时四边形ABCD 退化为A BC '△，且可在A BC '△中利用正弦定理求得2sin 306sin 75A B '==-C'A'EABCD若平移AD 使点D 与点E 重合，此时四边形ABCD 退化为BEC '△，且可在BEC △中利用正弦定理求得BE=2sin 756sin 30=+ 又因为ABCD 是平面四边形，所以点D 应在点C 与点E 之间，且不与点C与点E 重合，所以AB的取值范围是．24.（2015天津）在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，已知ABC △的面积为，2b c -=，1cos 4A =-，则a 的值为 . 24.解析 因为0πA <<，所以sin A ==，又1sin 28ABCS bc A ∆===24bc =， 解方程组224b c bc -=⎧⎨=⎩得64b c ==，，由余弦定理得2222212cos 64264644ab c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以8a =.25.（2015全国2）在ABC △中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD △是ADC △面积的2倍． (1)求sin sin BC； (2)若1,AD DC ==2，求BD 和AC 的长. 25.分析 (1)用正弦定理求面积的方法写出面积，然后根据已知条件中面积为2倍关系、角相等进行代换；(2)由(1)的结论得高相同，面积比等于边长比，再由余弦定理建立等式来求解. 解析 (1)根据题意可得右图，由正弦定理得，1sin 2ABD S AB AD BAD =⋅∠△， 1sin 2ADCS AC AD CAD =⋅∠△，ACD B又因为2ABDADC S S =△△， ,BAD CAD ∠=∠所以得2AB AC =. 由正弦定理得sin 1sin 2B AC C AB ==. (1) 由题意知，21ABD ADC S BD S DC ==△△，所以2BD DC =.又因为2DC =，所以BD =在ABD △和ADC △中，由余弦定理得，2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠， 2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠．故222222326AB AC AD BD DC +=++=．由(1)知2AB AC =，所以1AC =．即所求为BD =1AC =.26.（2015山东）设()2sin cos cos 4f x x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.(1)求()f x 的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，. 若02A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1a =，求△ABC 面积的最大值.26.解析（1）由题意知()1cos 2sin 2222x x f x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭=-=sin 21sin 222x x --=1sin 22x -． 由22222k x k ππ-+π+π??，k ∈Z ，可得44k x k ππ-+π+π剟，k ∈Z ； 由22222k x k π3π+π+π??，k ∈Z ，可得44k x k π3π+π+π剟，k ∈Z ． 所以()f x 的单调递增区间是,44k k ππ⎡⎤-+π+π⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ；单调递减区间是44k k π3π⎡⎤+π,+π⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ．（2）由1sin 022A f A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，得1sin 2A =，由题意知A为锐角，所以cos A =． 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，可得2212b c bc =+…，即2bc …且当b c =时等号成立，因此12sin 24bc A …．所以ABC △面积的最大值为24+．27.（2015四川）如图所示，,,,A B C D 为平面四边形ABCD 的四个内角. (1)求证：1cos tan2sin A AA-=； （2）若180A C ∠+∠=，6AB =，3BC =，4CD =，5AD =， 求tantan tan tan 2222A B C D+++的值. 27.分析（1）首先切化弦得sin2tan 2cos 2AA A=，为了将半角变为单角，可在分子分母同时乘2sin2A，然后逆用正弦与余弦的二倍角公式即可；（2）由题设知，该四边形的两对角互补. 再结合（1）的结果，有22tantan tan tan 2222sin sin A B C D A B+++=+，所以只需求出sin ,sin A B 即可. 由于已知四边，且cos cos C A =-，cos cos D A =-，故考虑用余弦定理列方程组求cos ,cos A B ，从而求出sin ,sin A B .解析 （1）2sin2sin 1cos 22tan 2sin cos 2sin cos 222A AA A A A A A-===. （2）由180A C ∠+∠=，得180C A ∠=-∠，180D B ∠=-∠. 由（1），有tantan tan tan 2222A B C D +++= ()()()()1cos 1801cos 1801cos 1cos sin sin sin 180sin 180A B A B A B A B ------+++=--22sin sin A B +.连接BD ，在ABD △中，有2222cos BD AB AD AB AD A =+-， 在BCD △中，有2222cos BD BC CD BC CD C =+-所以22222cos 2cos AB AD AB AD A BC CD BC CD A +-=++，则()()2222222265343cos 2265347AB AD BC CD A AB AD BC CD +--+--===+⨯+⨯，DCA所以sin 7A ===. 连接AC ，同理可得()()2222222263541cos 22635419AB BC AD CD B AB BC AD CD +--+--===+⨯+⨯，所以sin 19B ==.所以tantan tan tan2222A B C D+++=22sin sin A B +==. 28.（2015浙江）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知π4A =， 22b a -=122c . (1)求tan C 的值；(2)若ABC △的面积为3，求b 的值．28.（1）解析 解法一：由余弦定理222222cos a b c bc A b c =+-=+，又22221c a b =-，所以消去2a 2212c c -=，32c =，所以3sin B C =3π3sin 4C C ⎛⎫⇒=-⇒⎪⎝⎭2tan =C . 解法二: 由22221c a b =-及正弦定理得2221sin sin sin 2B A C -=，所以 C B 22sin 2121sin =-，23πcos 2sin cos 2sin 24B C C C ⎡⎤⎛⎫-==--=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2sin cos C C =，所以2tan =C ． （2）由2tan =C 得55cos ,552sin ==C C.又π4A =，所以10103sin =B ．由正弦定理得，b c 322=，（或由（1）知）所以1sin 32ABC S bc A ==△，所以2bc ==3=b ．29.（2015重庆）在ABC △中，120B =，AB =，A 的角平分线AD =AC =_______.29.解析 如图所示，由正弦定理易得sin sin AB AD ADB B =∠,即sin ADB =∠，故sin 2ADB ∠=,即ADB π∠=4，在ABC △，知120,B ADB π∠=∠=4，即12BAD π∠=．由于AD 是BAC ∠的角平分线，故26BAC BAD π∠=∠=． 在ABC △中，120,30B BAC ∠=∠=，易得30ACB ∠=．在ABC △中，由正弦定理得ACB AB ABC AC ∠=∠sin sin ，即2sin 60sin 30AC =， 所以6=AC ．ACDB30.（2016上海理9）已知ABC △的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于．30 不妨设3a =，5b =，7c =，则2221cos 22a b c C ab +-==-，故sin2C=，因此2sin 3c R C ==．31.（2016全国乙理17）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos ).C a B+b A c =（1）求C ；（2）若c=ABC △的面积为2，求ABC △的周长． 31.解析 （1）由已知及正弦定理得，2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=， 即2cos sin()sin C A B C +=，故2sin cos sin C C C =，可得1cos 2C =，所以3C π=.（2）由已知得，1sin 22ab C =.又3C π=，所以6ab =.由已知及余弦定理得，222cos 7a b ab C +-=，故2213a b +=，从而2()25a b +=.所以ABC △的周长为5+.32.（2016山东理16）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()tan tan 2tan tan cos cos A BA B B A+=+. （1）求证：2a b c +=；（2）求cos C 的最小值. 32.解析 （1）由题意知，sin sin sin sin 2cos cos cos cos cos cos A B A B A B A B A B⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 化简得()2sin cos sin cos sin sin A B B A A B +=+，即()2sin sin sin A B A B +=+.因为πA B C ++=，所以()()sinsin πsin A B C C +=-=.从而sin sin =2sin A B C +.由正弦定理得2a b c +=.（2）由（1）知2a b c +=，所以 2222222cos 22a b a b a b c C ab ab+⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭===311842b a a b +-⎛⎫ ⎪⎝⎭…，当且仅当a b =时，等号成立.故cos C 的最小值为12. 33.（2016四川理17）在ABC △中，角A ，B ， C 所对的边分别是a ， b ， c ，且cos cos sin A B Ca b c+=. （1）求证：sin sin sin A B C =； （2）若22265b c a bc +-=，求tan B . 33.解析（1）根据正弦定理，可设(0)sin sin sin a b ck k A B C===>， 则sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =.代入cos cos sin A B Ca b c+=中，有cos cos sin sin sin sin A B Ck A k B k C+=，可变形得sin sin sin cos +sin cos sin().A B A B B A A B ==+在ABC △中，由πA B C ++=，有()()sin sin πsin A B C C +=-=，所以sin sin sin .A B C =（2）由已知，22265b c a bc +-=，根据余弦定理，有2223cos 25b c a A bc +-==.所以sin A =45=.由（1）得，sin sin sin cos cos sin A B A B A B =+，所以443sin cos sin 555B B B =+，故sin tan 4.cos BB B==34.（2016全国丙理21）设函数()cos 2(1)(cos +1)f x a x a x =+-，其中0a >，记()f x 的最大值为A . （1）求()f x '； （2）求A ； （3）证明2.f x A '（）…34.解析 （1）()()2sin21sin f x a x a x '=---.（2）当1a …时，()()()cos 21cos 1f x a x a x =+-+≤()()21320a a a f +-=-=.因此32A α=-.当01a <<时，将()f x 变形为()()22cos 1cos 1f x a x a x =+--.令()()2211gt at a t =+--，则A 是()g t 在[]1,1-上的最大值，()1g a -=，()132g a =-，且当14a t a-=时，()g t 取得极小值，极小值为()2211611488a a a a g a a a --++⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭.令1114a a --<<，解得13a >-且15a >，所以15a >. （i ）当105a <…时，()g t 在()1,1-内无极值点， ()1g a -=，()123g a =-，()()11g g -<，所以23A a =-.（ii ）当115a <<时，在同一坐标中画出函数y x =，32y x =-，2618x x y x ++=在1,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上的图像.由如图所示的图形可知，我们得到如下结论当115a <<时，2618a a A a++=.综上可知，2123,05611,18532,1a a a a a a a a ⎧-<⎪⎪++⎪<<⎨⎪->⎪⎪⎩….（3）由（1）得()()2sin 21sin 21f x a x x a a α'=---+-….当105a <…时，()()1242232f x a a a A '+-<-=??； 当115α<<时，131884a A a =++…，所以()12f x a A '+<?； 当1a ≥时，()31642f x a a A '--=??.所以()2f x A '…； 综上所述有()2f x A '….35.（2017江苏18）如图所示，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm ，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为cm ，容器Ⅱ的两底面对角线EG ，11E G 的长分别为14cm 和62cm ． 分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm ． 现有一根玻璃棒l ，其长度为40cm （容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）.（1）将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A 处，另一端置于侧棱1CC 上，求l 没入水中部分的长度；（2）将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱1GG 上，求l 没入水中部分的长度．ACA 11容器ⅠE G 1H 1容器Ⅱ35.解析 （1）由正棱柱的定义，1CC ⊥平面ABCD ，所以平面11A ACC ⊥平面ABCD ，1CC AC ⊥． 记玻璃棒的另一端落在1CC 上点M 处，如图所示为截面11A ACC的平面图形．因为AC =40AM =，所以30MC ==，从而3sin 4MAC ∠=.记AM 与水面的交点为1P ， 过点1P 作11PQ AC ⊥，1Q 为垂足，则11PQ ⊥平面ABCD ，故1112PQ=，从而11116sin PQ AP MAC==∠．答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm ．问(1)AC 1A 1CMP 1Q 1（2）如图所示为截面11E EGG 的平面图形，O ，1O 是正棱台两底面的中心．由正棱台的定义，1OO ⊥平面EFGH ， 所以平面11E EGG ⊥平面EFGH ，1O O EG ⊥． 同理，平面11E EGG ⊥平面1111E FG H ，111O O E G ⊥．记玻璃棒的另一端落在1GG 上点N 处．过G 作11GK E G ⊥，K 为垂足，则132GK OO ==．因为 14EG =，1162E G =，所以16214242KG -==，从而1GG =40==．设1EGG α∠=，ENG β∠=，则114sin sin cos 25KGG KGG απ⎛⎫=+==⎪⎝⎭∠∠．因为2απ<<π，所以3cos 5α=-． 在ENG △中，由正弦定理可得4014sin sin αβ=，解得7sin 25β=． 因为02βπ<<，所以24cos 25β=， 于是()()sin sin sin =NEG αβαβ=π--=+∠sin cos cos sin αβαβ+4243735255255⎛⎫=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭．记EN 与水面的交点为2P ，过2P 作22PQ EG ⊥，2Q 为垂足，则22PQ ⊥平面EFGH ，故2212PQ =，从而22220sin P Q EP NEG==∠．答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm ．问(2)G O E Q 2P 2NG 1KE 1O 1评注 此题本质上考查解三角形的知识，但在这样的大背景下构造的应用题让学生有畏惧之感，且该应用题的实际应用性也不强．也有学生第（1）问采用相似法解决，解法如下：AC =40AM =，所以30CM ==，1112PQ =，所以由11AP A Q CM △△∽，111PQ AP CM AM=，即1123040AP =，解得116AP =． 答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm ． 36.(2017北京理15)在ABC △中，60A ∠=，37c a =. （1）求sin C 的值；（2）若7a =，求ABC △的面积.36.解析 （1）在ABC △中，因为60A ∠=，37c a =，所以由正弦定理得sin 3sin 7c A C a ===. （2）因为7a =，所以3737c =⨯=.由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得222173232b b =+-⨯⨯，解得8b =或5b =-（舍）.所以ABC △的面积11sin 8322S bc A ==⨯⨯=.37.（2017全国1理17）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为23sin a A. （1）求sin sin B C 的值；（2）若6cos cos 1B C =，3a =，求ABC △的周长.37.分析 本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用.解析 （1）因为ABC △的面积23sin a S A =且1sin 2S bc A =，所以21sin 3sin 2a bc A A =， 即223sin 2a bc A =.由正弦定理得223sin sin sin sin 2A B C A =，由sin 0A ≠，得2sin sin 3B C =.（2）由（1）得2sin sin 3B C =，又1cos cos 6B C =，因为πA B C ++=， 所以()()1cos cos πcos sin sinC cos cos 2A B C B C B B C =--=-+=-=.又因为()0πA ∈，，所以60A =，sin A =，1cos 2A =.由余弦定理得2229a b c bc =+-= ①由正弦定理得sin sin a b B A =⋅，sin sin a c C A =⋅，所以22sin sin 8sin a bc B C A=⋅= ②由①，②，得b c +=3a b c ++=+ABC △周长为338.（2017全国2理17）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2sin 8sin 2BA C +=． (1)求cosB ;(2)若6a c +=，ABC △的面积为2，求.b 38.解析 （1）依题得21cos sin 8sin84(1cos )22B B B B -==⋅=-． 因为22sin cos 1B B +=，所以2216(1cos )cos 1B B -+=，所以(17cos 15)(cos 1)0B B --=，得cos 1B =（舍去）或15cos 17B =. （2）由⑴可知8sin 17B =，因为2ABC S =△，所以1sin 22ac B ⋅=，即182217ac ⋅=，得172ac =.因为15cos 17B =，所以22215217a cb ac +-=，即22215a c b +-=，从而22()215a c ac b +--=，即2361715b --=，解得2b =．39.（2017全国3理17）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin 0A A =，a =2b =．（1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥，求ABD △的面积．39.解析 （1）由sin 0A A +=，得π2sin 03A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即()ππ3A k k +=∈Z ，又()0,πA ∈，所以ππ3A +=，得2π3A =.由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-⋅.又因为12,cos 2a b A ===-代入并整理得()2125c +=，解得4c =. （2）因为2,4AC BC AB ===，由余弦定理得222cos 2a b c C ab +-==因为AC AD ⊥，即ACD △为直角三角形，则cos AC CD C =⋅，得CD =从而点D 为BC的中点，111sin 222ABD ABC S S AB AC A ==⨯⨯⨯⨯=△40.(2017浙江理14)已知ABC △，4AB AC ==，2BC =. 点D 为AB 延长线上的一点，2BD =，联结CD ，则BDC △的面积是___________，cos BDC ∠=__________. 40.解析 如图所示，取BC 的中点为O ，在等腰ABC △中，AO OB ⊥，所以AO =sin sin CBDOBA?? 所以BDC △的面积为1sin 22BC BD OBA 创葱=．因为2BC BD ==，所以BDC △是等腰三角形，所以2πCBDBDC ??，21cos cos(π2)12cos 4CBDBDC BDC?-?-?-，解得cos BDC ?．ODC BA。
高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形第3讲两角和与差的正弦余弦和正切公式
(教材习题改编)已知
cos
α＝－35，α
是第三象限角，则
π cos(4
＋α)为( )
A．
2 10
C．7102
B．－
2 10
D．－7102
解析：选 A.因为 cos α＝－35，α 是第三象限的角， 所以 sin α＝－ 1－cos2α＝－ 1－（－35）2＝－45， 所以 cos(π4＋α)＝cos π4cos α－sin π4sin α＝ 22·(－35)－ 22·(－45) ＝ 102.
又 sin2α＋cos2α＝1，所以 sin α＝255，cos α＝ 55，则 cosα－π4
＝cos αcos π4＋sin αsin π4＝ 55× 22＋255× 22＝31010.
答案：3
10 10
三角函数公式的直接应用
(1)已知 α∈π2，π，sin α＝153，则 tanα＋π4＝(
2．若 α＋β＝34π，则(1－tan α)(1－tan β)的值是________． 解析：－1＝tan34π＝tan(α＋β)＝1t－antaαn＋αttaannββ， 所以 tan αtan β－1＝tan α＋tan β. 所以 1－tan α－tan β＋tan αtan β＝2， 即(1－tan α)(1－tan β)＝2. 答案：2
三角函数公式的活用 (高频考点) 三角函数公式的活用是高考的热点，高考多以选择题或填空题 的形式出现，研究三角函数的性质和解三角形常应用三角函数 公式．主要命题角度有： (1)两角和与差公式的逆用及变形应用； (2)二倍角公式的活用．
角度一 两角和与差公式的逆用及变形应用
(1)已知 sin α＋cos α＝13，则 sin2(π4－α)＝(
2024年高考数学总复习第四章三角函数与解三角形真题分类18解三角形
(1)求∠A；
(2)求 AC 边上的高． 解：(1)在△ ABC 中，因为 cos B＝－17 ，
所以 sin B＝ 1－cos2B ＝473 .
由正弦定理，得
sinA＝a
sin b
B
＝
3 2
.
由题设知π2 <∠B<π，所以 0<∠A<π2 .
所以∠A＝π3 .
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真题分类18 解三角形
＝sin [π－(∠C＋∠BDC)]
＝sin (∠C＋∠BDC)
＝sin ∠C·cos ∠BDC＋cos ∠C·sin ∠BDC
＝45
×
2 2
＋35
×
2 2
＝7102
.
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真题分类18 解三角形
高考·数学
4.(2016·课标全国Ⅱ，13,5分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝
又 A，B，C 为锐角，则 sin A≠0.
故
sin
B＝
3 2
，所以 B＝π3
.
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真题分类18 解三角形
高考·数学
(2)由 A＋B＋C＝π，得 C＝23π －A，
由△ ABC 是锐角三角形，得 A∈(π6 ，π2 ).
由
cos
C＝cos
2π (3
－A)＝－12
cos A＋
3 2
sin A，得
cos
A＋cos
B＋cos
C＝
3 2
sin A＋12
cos A＋12
＝sin (A＋π6
湖北省各地2017届高三最新考试数学理试题分类汇编：三角函数 含答案 精品
湖北省各地2017届高三最新考试数学理试题分类汇编三角函数2017.02一、选择、填空题1、（黄冈市2017届高三上学期期末）已知函数()()()sin 2cos 0y x x πϕπϕϕπ=+-+<<的图象关于直线1x =对称，则sin 2ϕ= A.35 B. 35- C. 45 D. 45- 2、（荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2017届高三2月联考）已知α为第四象限角，1sin cos 5αα+=，则tan 2α的值为 A.12-B.12C.13- D.13 3、（荆门市2017届高三元月调考）若将函数1π()sin(2)23f x x =+图象上的每一个点都向左平移π3个单位，得到()g x 的图象， 则函数()g x 的单调递增区间为A ．ππ[π,π]()44k k k Z -+∈B ．π3π[π,π]()44k k k Z ++∈C ．2ππ[π,π]()36k k k Z --∈D ．π5π[π,π]()1212k k k Z -+∈ 4、（荆州市五县市区2017届高三上学期期末）计算sin 46cos16cos314sin16⋅-⋅=AB．2CD ．125、（天门、仙桃、潜江市2017届高三上学期期末联合考试）已知1tan()42πα+=，且02πα-<<， 则22sin sin 2cos()4ααπα+-等于A． B．C．D6、（武汉市2017届高三毕业生二月调研考）已知函数()()17sin cos 0326f x x x ππωωω⎛⎫⎛⎫=+--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期为2π，则6f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭A.34 B. 327、（武汉市武昌区2017届高三1月调研）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ，若2sin a b C =，则tan tan tan A B C ++的最小值是（ ）A ．4 B．．8、（襄阳市2017届高三1月调研）已知2sin cos 2sin ,sin 22sin ,θθαθβ+==，则 A. cos 2cos βα= B. 22cos 2cos βα= C. cos 22cos 2βα= D. cos 22cos 2βα=-9、（襄阳市优质高中2017届高三1月联考）已知函数()()()()()sin ,0cos ,0x x f x x x αβ+≤⎧⎪⎨->⎪⎩是偶函数，则下列结论可能成立的是 A. ,48ππαβ==B. 2,36ππαβ== C. ,36ππαβ== D. 52,63ππαβ== 10、（孝感市七校教学联盟2017届高三上学期期末）下列命题中正确的是（ ）A ．函数y sin x =，[]0,2x π∈是奇函数B ．函数y sin26x π=-（））在区间-63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减 C ．函数y 2sin(2)cos 2()36x x x R ππ⎛⎫=--+∈ ⎪⎝⎭的一条对称轴方程是6x π= D ．函数y sin cos x x ππ=的最小正周期为2，且它的最大值为111、（湖北省部分重点中学2017届高三上学期第二次联考）已知()s i n2017c o s 201766f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为A,若存在实数12,x x 使得对任意实数x 总有()()()12f x f x f x ≤≤成立，则12A x x -的最小值为 A.2017πB.22017π C. 42017π D.4034π12、（荆州中学2017届高三1月质量检测）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线3y x =上，则sin(2)3πθ+=（ ）A ．310--B ． 410--C ．310-D ．410- 13、（荆门市2017届高三元月调考）在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos 2c B a b =+，若ABC △的面积为S =，则ab 的最小值为 ▲ .14、（荆州市五县市区2017届高三上学期期末）已知1tan()42πα-=，则sin cos sin cos αααα+-的值为A ．1/2B ．2C ．2 2D ．-215、（武汉市2017届高三毕业生二月调研考）在ABC ∆中，角60C =，且t an t a n 122A B+=，则sinsin 22A B⋅= . 16、（武汉市武昌区2017届高三1月调研）函数()sin 25sin 2f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的最大值为 ．二、解答题1、（黄冈市2017届高三上学期期末） 函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，将()y f x =的图象向右平移4π个单位长度后得到函数()y g x =的图象. （1）求函数()y g x =的解析式； （2）在ABC ∆中，角A,B,C 满足22sin 123A B g C π+⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，且其外接圆的半径R=2，求ABC ∆的面积的最大值.2、（荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2017届高三2月联考）已知函数3c o s s i n 2s i n 32)(2-+=x x x x f ，11[,]324x ππ∈． （Ⅰ）求函数)(x f 的值域；（Ⅱ）已知锐角ABC ∆的两边长分别为函数)(x f 的最大值与最小值，且ABC ∆的外接圆半径为423，求ABC ∆的面积．3、（荆门市2017届高三元月调考） 已知a ，b ，c 分别为锐角△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且（a ＋b ）（sinA －sinB ）＝（c －b ）sinC （Ⅰ）求∠A 的大小；（Ⅱ）若f （x 2cos cos 222x x x⋅＋，求f （B ）的取值范围．4、（荆州市五县市区2017届高三上学期期末）已知函数3c o s s i n 2s i n 32)(2-+=x x x x f ，11[,]324x ππ∈． （Ⅰ）求函数)(x f 的值域；（Ⅱ）已知锐角ABC ∆的两边长分别为函数)(x f 的最大值与最小值，且ABC ∆的外接圆半径为423，求ABC ∆的面积．5、（天门、仙桃、潜江市2017届高三上学期期末联合考试）已知函数()sin cos f x ax x x =+，且()f x 在4x π=. （Ⅰ）求a 的值，并讨论()f x 在[,]ππ-上的单调性；（Ⅱ）设函数1()ln(1),01xg x mx x x-=++≥+，其中0m >，若对任意的1[0,)x ∈+∞总存在2[0,]2x π∈，使得12()()g x f x ≥成立，求m 的取值范围.6、（襄阳市2017届高三1月调研）已知函数()22sin cos .f x x x x =+ (1)求函数()f x 的单调区间； (2)当,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值和最小值.7、（襄阳市优质高中2017届高三1月联考）在ABC ∆中，角,,A B C 的的对边分别为,,a b c （1）若,,a b c 成等比数列，12cos 13B =，求cos cos sin sin A CA C+的值；（2）若,,A B C 成等差数列，且2b =，设A α=，ABC ∆的周长为l ，求()l f α=的最大值.8、（湖北省部分重点中学2017届高三上学期第二次联考）在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若1cos .2b c a C -= （1）求角A ;（2）若()43,b c bc a +==ABC ∆的面积S .9、（荆州中学2017届高三1月质量检测）已知231()cos cos 224f x x x x =+-. （Ⅰ）求()y f x =的最小正周期T 及单调递增区间；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若5(),14f A a ==，求ABC ∆面积的最大值.参考答案一、选择、填空题1、D2、C3、B4、D5、A6、A7、C8、C9、B10、B 11、B 12、C13、1214、B1516、14.4二、解答题1、（Ⅰ）由图知，解得∵∴，即由于，因此……………………3分∴∴即函数的解析式为………………6分（Ⅱ）∵∴∵，即，所以或1（舍），……8分由正弦定理得，解得由余弦定理得∴，（当且仅当a =b 等号成立）∴∴的面积最大值为.……………………12分2、（Ⅰ）2()2sin cos 2sin(2)3f x x x x x π=+=-……….3分又117,2,sin(2)132433123x x x ππππππ≤≤∴≤-≤≤-≤ ∴函数()f x的值域为⎤⎦ ……………………………………6分（Ⅱ）依题意不妨设2,a b ABC ==∆的外接圆半径r =，sin 2323a b A B r r ======……………………8分1cos 3A B ==sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=…………………..10分11sin 2223ABC S ab C ∆∴==⨯=分 3、解：（1）因为()(sin sin )()sin .a b A B c b C +-=-由正弦定理有()()()a b a b c b c +-=- 即有222b c a bc +-=.由余弦定理得2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，60A ∴=︒ …………6分 （2）由题，21()cos cos sin 22262B B B f B B π⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭， 且在锐角ABC ∆中，62B ππ<<，2363B πππ<+<sin 16B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，()f B ∴的取值范围是32⎤⎥⎝⎦.…………12分4、（Ⅰ）2()2sin cos 2sin(2)3f x x x x x π=+=-……….3分又117,2,sin(2)132433123x x x ππππππ≤≤∴≤-≤≤-≤ ∴函数()f x的值域为⎤⎦ ……………………………………6分（Ⅱ）依题意不妨设2,a b ABC ==∆的外接圆半径r =，sin 2222a b A B r r ======分1cos 3A B ==sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=…………………..10分11sin 222ABC S ab C ∆∴==⨯=分 5、 【解析】（Ⅰ）∵()sin cos sin (1)sin cos f x a x ax x x a x ax x '=+-=-+ ………………1分222()(1)44f a a πππ'=-+=∴1a =，()cos f x x x '=………………………………………………………3分 当()0f x '>时，2x ππ-<<-或02x π<<当()0f x '<时，02x π-<<或2x ππ<<∴()f x 在(,),(0,)22πππ--上单调递增；在(,0),(,)22πππ-上单调递减 (6)分（Ⅱ）当[0,]2x π∈时，()f x 单调递增，∴min ()(0)1f x f ==，则只需()1g x ≥在[0,)x ∈+∞上恒成立即可 (7)分222()()(0,0)(1)(1)m m x m g x x m mx x -+'=≥>++①当2m ≥时，20m m-≥ ∴()0g x '≥在[0,)+∞上恒成立， 即()g x 在[0,)+∞上单调递增 又(0)1g =，∴()1g x ≥∴()1g x ≥在[0,)+∞上恒成立，故2m ≥时成立；………………………9分 ②当02m <<，x ∈时，()0g x '<，此时()g x 单调递减 ∴()(0)1g x g <=，故02m <<时不成立....................................11分 综上所述，m 的取值范围是[2,)+∞ (12)分6、(Ⅰ)解：错误！未找到引用源。
2017版高考数学(鲁、京、津专版理)一轮复习文档：第四章 三角函数、解三角形 4.4 含答案
1．y＝A sin（ωx＋φ）的有关概念y＝A sin(ωx ＋φ）（A>0，ω>0)，x∈R 振幅周期频率相位初相A T＝2πωf＝错误!＝错误!ωx＋φφ2.用五点法画y＝A sin（ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示：x错误!错误!错误!错误!错误!ωx＋φ0错误!π错误!2πy＝A sin(ωx＋φ）0A0－A03。
函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin（ωx＋φ）（A〉0,ω>0)的图象的步骤如下:【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1）利用图象变换作图时“先平移,后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致．（×）(2）y＝sin错误!的图象是由y＝sin错误!的图象向右平移错误!个单位得到的．( √)(3）由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内的图象中的最高点的值与最低点的值确定的．（√）（4)函数f(x）＝A sin(ωx＋φ)的图象的两个相邻对称轴间的距离为一个周期．（×)(5）函数y＝A cos（ωx＋φ）的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为错误!.（√）1．y＝2sin错误!的振幅、频率和初相分别为( ）A．2，错误!，－错误! B．2，错误!，－错误!C．2，错误!,－错误!D．2,错误!，－错误!答案A2．为了得到函数y＝sin（2x＋1）的图象，只需把函数y＝sin 2x的图象上所有的点（）A．向左平行移动错误!个单位长度B．向右平行移动错误!个单位长度C．向左平行移动1个单位长度D．向右平行移动1个单位长度答案A解析y＝sin 2x的图象向左平移错误!个单位长度得到函数y＝sin 2(x ＋错误!)的图象，即函数y＝sin(2x＋1)的图象．3．（2015·湖南)将函数f（x）＝sin 2x的图象向右平移φ错误!个单位后得到函数g(x）的图象，若对满足|f(x1）－g（x2)|＝2的x1，x2，有｜x1－x2｜min＝错误!，则φ等于（)A。
2017年高考数学真题三角函数(理科)
第四章三角函数第一节三角函数概念、同角三角函数关系式和诱导公式题型42终边相同的角的集合的表示与识别——暂无 题型43倍角、等分角的象限问题——暂无 题型44弧长与扇形面积公式的计算——暂无题型45题型46题型47题型48题型49题型501.（A ．(f C ．(f 解析π⎫⎪⎭上先递减后递增，所以D 选项错误.故选D.题型51根据条件确定解析式1.（2017天津理7）设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π.若528f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，08f11π⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()f x 的最小正周期大于2π，则（）. A.23ω=，12ϕπ= B.23ω=，12ϕ11π=- C.13ω=，24ϕ11π=- D.13ω=，24ϕ7π=解析解法一：由题意125π282118k k ωϕωϕπ⎧+=π+⎪⎪⎨π⎪+=π⎪⎩，其中12,k k ∈Z ，所以()2142233k k ω=--.又22T ωπ=>π，所以01ω<<，从而23ω=.由11212k ϕ=π+π，由ϕ<π，得π12ϕ=.故选A ． 解法二：由528f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，08f11π⎛⎫= ⎪⎝⎭，易知58x π=为()()2sin f x x ωϕ=+的一条对称轴，点11,08π⎛⎫⎪⎝⎭为()f x大于22.(2017（1（2解析（（26x π⎫+⎪⎭， 所以(f 所以f ⎣⎦题型52三角函数的值域（最值)——暂无 题型53三角函数图像变换1.（2017全国1理9）已知曲线1cos C y x =：，22πsin 23C y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭：， 则下面结论正确的是（）.A.把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CB.把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2C C.把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CD.把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2C解析1:cos C y x =，22π:sin 23⎛⎫=+⎪⎝⎭C y x . 首先曲线1C ，2C 统一为一三角函数名，可将1:cos C y x =用诱导公式处理．πππcos cos sin ⎛⎫⎛⎫==+-=+y x x x ．横坐标变换需将1=变成2=，即y =π3⎫⎪⎭．注意ω根据“2.（（1（24π个解析（所以fsin 3x ωπ⎫-⎪⎭.由题设知06f π⎛⎫=⎪⎝⎭，所以63k ωππ-=π，k ∈Z . 故62k ω=+，k ∈Z ，又03ω<<，所以2ω=.（2）由（1）得()23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()4312g x x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为3,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以2,1233x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当123x ππ-=-，即4x π=-时，()g x 取得最小值32-.第三节三角恒等变换题型54化简求值1.（17江苏05）若π1tan 46α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan α=．2.(2017轴对称.若sin α解析则sin β3.（解析[]01，，2y t =-4.(2017浙江理18)已知函数()()22sin cos cos f x x x x x x =--∈R .（1）求23f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）求()f x 的最小正周期及单调递增区间. 解析（1）由2sin 3π=21cos 32π=-，得222112322f π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（2）由22cos2cos sin x x x =-，sin22sin cos x x x =，得()cos 222sin 26f x x x x π⎛⎫=--=-+ ⎪⎝⎭， 所以()f x 的最小正周期是2π2T ==π. 由正弦函数的性质得3222,262k x k k πππ+π++π∈Z 剟，解得2,63k x k k ππ+π+π∈Z 剟. 所以()f x 的单调递增区间是2,63k k k ππ⎡⎤+π+π∈⎢⎥⎣⎦Z ，.题型551.（35B =. （1（2解析定理，得2b a =（2cos 2A 2.（()sin 12cos 2sin cos cos sin BC A C A C +=+，则下列等式成立的是（）.A.2a b =B.2b a =C.2A B =D.2B A = 解析因为s i n ()2s i n c o s 2s i n c o s c A C B C A C A C ++=+，所以2s i n c o s s i n c B C A C =，又02C π<<，得2sin sin B A =，即2b a =.故选A.题型56余弦定理的应用题型57判断三角形的形状——暂无 题型58解三角形的综合应用1.（2017江苏18）如图所示，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm ，容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为cm ，容器Ⅱ的两底面对角线EG ，11E G 的长分别为14cm 和62cm ．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm ．现有一根玻璃棒l ，其长度为40cm （容器厚度、玻璃棒粗细（1 （2 解析（40AM =，所以11AC⊥，1Q （2过G 作11GK E G ⊥，K 为垂足，则132GK OO ==． 因为 14EG =，1162E G =，所以16214242KG -==，从而1GG =40==．设1EGG α∠=，ENG β∠=，则114sin sin cos 25KGG KGG απ⎛⎫=+==⎪⎝⎭∠∠．因为2απ<<π，所以3cos 5α=-． 在ENG △中，由正弦定理可得4014sin sin αβ=，解得7sin 25β=． 因为02βπ<<，所以24cos 25β=， 于是()()sin sin sin =NEG αβαβ=π--=+∠sin 记故2P 评注AC 2.(2017（1（2）若7a =，求ABC △的面积.解析（1）在ABC △中，因为60A ∠=，37c a =，所以由正弦定理得sin 3sin 7214c A C a ==⨯=. （2）因为7a =，所以3737c =⨯=.由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得222173232b b =+-⨯⨯，解得8b =或5b =-（舍）.所以ABC △的面积11sin 83222S bc A ==⨯⨯⨯=3.（2017全国1理17）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为23sin a A.（1）求sin sin B C 的值；（2）若6cos cos 1B C =，3a =，求ABC △的周长.分析本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用.解析（1）因为ABC △的面积23sin a S A =且1sin 2S bc A =，所以21sin 3sin 2a bc A A =，即223sin 2a bc A =.由正弦定理得223sin sin sin sin A B C A =，由sin 0A ≠，得2sin sin B C =.（2所以又因为4.（(1)求(2)若a 解析因为（舍去）或cos B （21517B =，所以22215217a cb ac +-=，即22215a c b +-=，从而22()215a c ac b +--=， 即2361715b --=，解得2b =．5.（2017全国3理17）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin 0A A +=，a =2b =． （1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且 AD AC ⊥，求ABD △的面积．解析（1）由sin 0A A =，得π2sin 03A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即()ππ3A k k +=∈Z ，又()0,πA ∈，所以ππ3A +=，得2π3A =.由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-⋅.又因为12,cos 2a b A ===-代入并整理得()2125c +=，解得4c =.（2）因为2,4AC BC AB ===，由余弦定理得222cos 2a b c C ab +-=因为AC AD ⊥，即ACD △为直角三角形，则cos AC CD C =⋅，得CD . 从而点D 为BC的中点，111sin 222ABD ABC S S AB AC A ==⨯⨯⨯⨯=△CD ，则△解析以AO =所以所以，解得cos ?。
2013-2017年新课标I卷高考理科数学解答题—三角函数解三角形
2013-2017年新课标I 卷高考理科数学解答题三角函数、解三角形(本小题满分12分)1. 【2017，17】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为23sin a A． （1）求sin sin B C ；（2）若6cos cos 1B C =，3a =，求ABC △的周长．【解析】：本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用.（1）∵ABC △面积23sin a S A=.且1sin 2S bc A = ∴21sin 3sin 2a bc A A = ∴223sin 2a bc A = ∵由正弦定理得223sin sin sin sin 2A B C A =， 由sin 0A ≠得2sin sin 3B C =. （2）由（1）得2sin sin 3B C =，1cos cos 6B C = ∵πA B C ++=∴()()1cos cos πcos sin sinC cos cos 2A B C B C B B C =--=-+=-=又∵()0πA ∈，∴60A =︒，sin A =1cos 2A = 由余弦定理得2229a b c bc =+-= ① 由正弦定理得s i n s i n a b B A =⋅，s i n s i n a c C A=⋅ ∴22sin sin 8sin a bc B C A=⋅= ② 由①②得b c +=∴3a b c ++=+ABC △周长为32.【2016，17】（本小题满分12分）ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知c A b B a C =+)cos cos (cos 2．（Ⅰ）求C ； （Ⅱ）若7=c ，ABC ∆的面积为233，求ABC ∆的周长． 【解析】：⑴ ()2cos cos cos C a B b A c+=，由正弦定理得：()2cos sin cos sin cos sin C A B B A C ⋅+⋅= ()2cos sin sin C A B C ⋅+=，∵πA B C ++=，()0πA B C ∈、、，，∴()sin sin 0A B C +=>∴2cos 1C =，1cos 2C =，∵()0πC ∈，，∴π3C = ⑵ 由余弦定理得：2222cos c a b ab C =+-⋅，221722a b ab =+-⋅，()237a b ab +-=1sin 2S ab C =⋅==，∴6ab =，∴()2187a b +-=，5a b +=∴ABC △周长为5a b c ++=3.【2013，17】如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°.(1)若PB ＝12，求PA ； (2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA .解：(1)由已知得∠PBC ＝60°，所以∠PBA ＝30°.在△PBA 中，由余弦定理得PA 2＝11732cos 30424+-︒=.故PA (2)设∠PBA ＝α，由已知得PB ＝sin α.在△PBA sin sin(30)αα=︒-，α＝4sin α.所以tan α＝4，即tan ∠PBA ＝4.。
2017年高考数学—三角函数(解答+答案)
2017年高考数学—三角函数（解答+答案）1.（17全国1理17．（12分））△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为23sin a A（1）求sin sin B C ;（2）若6cos cos 1,3B C a ==，求△ABC 的周长.2.（17全国2理17.（12分））ABC ∆的内角A B C 、、所对的边分别为,,a b c ，已知2sin()8sin 2B AC +=， （1）求cos B ；（2）若6a c +=，ABC ∆的面积为2，求b ．3.（17全国3理17．（12分））ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin 0,2A A a b +===（1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥，求ABD △的面积．4.（17北京理（15）（本小题13分））在ABC ∆中，360,7A c a ∠==o（Ⅰ）求sin C 的值；（Ⅱ）若7a =，求ABC ∆的面积.已知函数())2sin cos 3f x x x x π=--（Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求证：当[,]44x ππ∈-时，1()2f x ≥-6.（17山东理16）设函数()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-，其中03ω<<.已知()06f π=. （Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在3[,]44ππ-上的最小值.7.（17山东文（17）（本小题满分12分））在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知b=3，6AB AC =-u u r u u u rg ,3ABC S ∆=，求A 和a 。
8.（17天津理15.（本小题满分13分））在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知a b >，5,6a c ==，3sin 5B =. （Ⅰ）求b 和sin A 的值； （Ⅱ）求πsin(2)4A +的值.在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知sin 4sin a A b B =，2225()ac a b c =--.（I ）求cos A 的值； （II ）求sin(2)B A -的值.10.（17浙江18．（本题满分14分））已知函数22()sin cos 23sin cos ()f x x x x x x R =--∈（Ⅰ）求2()3f π的值. （Ⅱ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间.11.（17江苏16. （本小题满分14分））已知向量(cos ,sin ),(3,3),[0,]a x x b x π==-∈. （1）若//a b ，求x 的值； （2）记,求()f x 的最大值和最小值以及对应x 的值参考答案：1.解：（1）由题设得21sin 23sin a ac B A =，即1sin 23sin ac B A=由正弦定理得1sin sin sin 23sin AC B A =故2sin sin 3B C =。
高三理数一轮复习 第四章 三角函数、解三角形4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数
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(2)由题意,得 sin x≥√23,作直线 y=√23交单位圆于 A,B 两点,连 接 OA,OB,则 OA 与 OB 围成的区域(图中阴影部分)即为角 x 的终
Байду номын сангаас
边的范围,故满足条件的角 x 的集合为
������
2������π
+
π 3
≤
������
≤ 2������π +
2π 3
,������∈Z
考点1
考点2
考点3
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(3)方法一(角的集合表示):
∵2kπ+π<α<2kπ+32π(k∈Z),
∴kπ+π2
<
������ 2
<kπ+34π
(k∈Z).
当
k=2n(n∈Z)时,2nπ+π2
<
������ 2
<2nπ+34π
,
������ 2
是第二象限角;
当 k=2n+1(n∈Z)时,2nπ+3π < ������<2nπ+7π , ������是第四象限角.
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知识梳理 双基自测
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5.(教材例题改编P13例3)若角θ同时满足sin θ<0,且tan θ<0,则角θ
的终边一定落在第
象限.
关闭
由sin θ<0,可知θ的终边可能位于第三或第四象限,也可能与y轴的非正半 轴重合.由tan θ<0,可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限,故θ的终边
.
思考角的终边在一条直线上与在一条射线上有什么不同?已知角
精美排版,出版打印2013——2017年全国卷《函数》真题汇总 - 正文
2013——2017全国卷《函数》真题汇总 2017年【全国卷Ⅰ·文科·8T 】 函数sin21cos x y x=-的部分图像大致为( )【全国卷Ⅰ·文科·9T 】已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则( )A ．()f x 在（0,2）单调递增B ．()f x 在（0,2）单调递减C ．()y f x =的图像关于直线x=1对称D ．()y f x =的图像关于点（1,0）对称【全国卷Ⅰ·文科·14T 】 曲线21y x x=+在点(1,2)处的切线方程为__________. 【全国卷Ⅰ·文科·21T 】 已知函数2()()x x f x e e a a x =--．（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若()0f x ≥，求a 的取值范围．函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是( )A ．(,2)-∞-B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．(4,)+∞【全国卷Ⅱ·文科·14T 】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(,0)x ∈-∞时，32()2f x x x =+,则(2)f =__________.【全国卷Ⅱ·文科·21T 】设函数2()(1)e x f x x =-.（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）当0x ≥时，()1f x ax ≤+，求a 的取值范围.函数2sin 1x y x x =++的部分图像大致为( ) A ． B ．C ．D ．【全国卷Ⅲ·文科·12T 】已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a =( )A ．12-B ．13C ．12D ．1 【全国卷Ⅲ·文科·16T 】 设函数10()20x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是__________. 【全国卷Ⅲ·文科·21T 】已知函数2()ln (21)f x x ax a x =+++．（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）当0a <时，证明3()24f x a≤--．2016年【全国卷Ⅰ·文科·8T 】若0a b >>，01c <<,则( )A.log log a b c c <B.log log c c a b <C.c c a b <D.a bc c >【全国卷Ⅰ·文科·9T 】函数2||2x y x e =-在[2,2]-的图象大致为( )【全国卷Ⅰ·文科·12T 】 若函数1()sin 2sin 3f x x x a x =-+在(,)-∞+∞单调递增,则a 的取值范围是() A.[1,1]- B.1[1,]3- C.11[,]33- D.1[1,]3-【全国卷Ⅰ·文科·21T 】已知函数2()(2)(1)x f x x e a x =-+-.(Ⅰ)讨论()f x 的单调性;(Ⅱ)若()f x 有两个零点,求a 的取值范围.下列函数中,其定义域和值域分别与函数lg 10x y =的定义域和值域相同的是( )A.y x =B.lg y x =C.2x y =D.y =【全国卷Ⅱ·文科·12T 】已知函数()(R)f x x ∈满足()(2)f x f x =-,若函数2|23|y x x =--与()y f x =图象的交点为11(,)x y ，22(,)x y ，…,(,)m m x y ,则1m i i x ==∑( )A.0B.mC.2mD.4m【全国卷Ⅱ·文科·20T 】已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--.(Ⅰ)当4a =时,求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程;(Ⅱ)若当(1,)x ∈+∞时, ()0f x >,求a 的取值范围.已知4213332,3,25a b c ===,则( )A.b a c <<B.a b c <<C.b c a <<D.c a b <<【全国卷Ⅲ·文科·16T 】已知()f x 为偶函数,当0x ≤时, 1()x f x e x --=-,则曲线()y f x =在点(1,2)处的切线方程是_________.【全国卷Ⅲ·文科·21T 】设函数()ln 1f x x x =-+.(Ⅰ)讨论()f x 的单调性; (Ⅱ)证明当(1,)x ∈+∞时,11ln x x x-<<; (Ⅲ)设1c >,证明当(0,1)x ∈时,1(1)x c x c +->.2015年【全国卷Ⅰ·文科·10T 】已知函数1222,1()log (1),1x x f x x x -⎧-≤=⎨-+>⎩且()3f a =-,则(6)f a -=( ) A.74- B.54- C.34- D.14- 【全国卷Ⅰ·文科·12T 】设函数()y f x =的图象与2x a y +=的图象关于直线y x =-对称,且(2)(4)1f f -+-=,则a =( )A.-1B.1C.2D.4【全国卷Ⅰ·文科·14T 】已知函数3()1f x ax x =++的图象在点(1,(1))f 处的切线过点(2,7),则a =__________.【全国卷Ⅰ·文科·21T 】设函数2()ln x f x e a x =-.(Ⅰ)讨论()f x 的导函数()f x '零点的个数;(Ⅱ)证明:当0a >时, 2()2lnf x a a a≥+.【全国卷Ⅱ·文科·11T 】如图,长方形ABCD 的边2,1,AB BC O ==是AB 的中点.点P 沿着边,BC CD 与DA 运动,记BOP x ∠=.将动点P 到,A B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ,则()y f x =的图象大致为( )【全国卷Ⅱ·文科·12T 】 设函数21()ln(1||)1f x x x =+-+,则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是( ) A.1(,1)3 B.1(,)(1,)3-∞+∞ C.11(,)33- D.11(,)(,)33-∞-+∞ 【全国卷Ⅱ·文科·13T 】已知函数3()2f x ax x =-的图象过点(1,4)-,则a =__________.【全国卷Ⅱ·文科·16T 】已知曲线ln y x x =+在点(1,1)处的切线与曲线2(2)1y ax a x =+++相切,则a =__________.【全国卷Ⅱ·文科·21T 】已知函数()ln (1)f x x a x =+-.(Ⅰ)讨论()f x 的单调性;(Ⅱ)当()f x 有最大值,且最大值大于22a -时,求a 的取值范围.2014年【全国卷Ⅰ·文科·5T 】设函数(),()f x g x 的定义域都为R ,且()f x 是奇函数,()g x 是偶函数,则下列结论中正确的是( )A.()()f x g x 是偶函数B.|()|()f x g x 是奇函数C.()|()|f x g x 是奇函数D.|()()|f x g x 是奇函数【全国卷Ⅰ·文科·12T 】已知函数32()31f x ax x =-+,若()f x 存在唯一的零点0x ,且00x >,则a 的取值范围是( )A.(2,)+∞B.(1,)+∞C.(,2)-∞-D.(,1)-∞-【全国卷Ⅰ·文科·15T 】 设函数113,1(),1x e x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪≥⎩则使得()2f x ≤成立的x 的取值范围是__________.【全国卷Ⅰ·文科·21T 】 设函数21()ln (1)2a f x a x x bx a -=+-≠,曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线斜率为0. (Ⅰ)求b ;(Ⅱ)若存在01x ≥,使得0()1a f x a <-,求a 的取值范围.【全国卷Ⅱ·文科·3T 】函数()f x 在0x x =处导数存在.若0:()0p f x '=；0:q x x =是()f x 的极值点,则( )A.p 是q 的充分必要条件B.p 是q 的充分条件,但不是q 的必要条件C.p 是q 的必要条件,但不是q 的充分条件D.p 既不是q 的充分条件,也不是q 的必要条件【全国卷Ⅱ·文科·11T 】若函数()ln f x kx x =-在区间(1,)+∞单调递增,则k 的取值范围是( )A.(,2]-∞-B.(,1]-∞-C.[2,)+∞D.[1,)+∞【全国卷Ⅱ·文科·15T 】偶函数()y f x =的图象关于直线2x =对称, (3)3f =,则(1)f -=__________.【全国卷Ⅱ·文科·21T 】已知函数32()32f x x x ax =-++,曲线()y f x =在点(0,2)处的切线与x 轴交点的横坐标为2-. (Ⅰ)求a ;(Ⅱ)证明:当1k <时,曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点.2013年【全国卷Ⅰ·文科·5T 】已知命题:R,23x x p x ∀∈<；命题32:R,1q x x x ∃∈=-,则下列命题中为真命题的是( )A.p q ∧B. p q ⌝∧C.p q ∧⌝D.p q ⌝∧⌝【全国卷Ⅰ·文科·12T 】已知函数22,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩若|()|f x ax ≥,则a 的取值范围是( )A.(,0]-∞B.(,1]-∞C.[2,1]-D.[2,0]-【全国卷Ⅰ·文科·20T 】已知函数2()()4x f x e ax b x x =+--,曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为44y x =+. (Ⅰ)求,a b 的值;(Ⅱ)讨论()f x 的单调性,并求()f x 的极大值.【全国卷Ⅱ·文科·8T 】设3log 2a =，5log 2b =，2log 3c =,则( )A.a c b >>B.b c a >>C.c b a >>D.c a b >>【全国卷Ⅱ·文科·11T 】已知函数32()f x x ax bx c =+++,下列结论中错误的是( )A.0R x ∃∈，0()0f x =B.函数()y f x =的图象是中心对称图形C.若0x 是()f x 的极小值点,则()f x 在区间0(,)x -∞单调递减D.若0x 是()f x 的极值点,则0()0f x '=【全国卷Ⅱ·文科·12T 】若存在正数x 使2()1x x a -<成立,则a 的取值范围是( )A.(,)-∞+∞B.(2,)-+∞C.(0,)+∞D.(1,)-+∞【全国卷Ⅱ·文科·21T 】已知函数2()x f x x e -=.(Ⅰ)求()f x 的极小值和极大值;(Ⅱ)当曲线()y f x =的切线1的斜率为负数时,求1在x 轴上截距的取值范围.。
2013-2017年高考理科数学大题真题(解析版)
高考大题真题训练（解析版）1.（2013年Ⅱ卷17题）（本小题满分12分）ABC ∆在内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos sin a b C c B =+。
（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若2b =，求ABC ∆面积的最大值。
解析：(1)由已知及正弦定理得sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B ．① 又A ＝π－(B ＋C )，故sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ．② 由①，②和C ∈(0，π)得sin B ＝cos B ，又B ∈(0，π)，所以π4B =.(2)△ABC的面积1sin 2S ac B ==.由已知及余弦定理得4＝a 2＋c 2－π2cos 4ac .又a 2＋c 2≥2ac，故ac ≤，当且仅当a ＝c 时，等号成立．因此△ABC.2.（2014年Ⅱ卷17题）（本小题满分12分） 已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+.（Ⅰ）证明{}12n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）证明：1231112na a a ++<…+.解：（Ⅰ）由131n n a a +=+得 n 111a 3().22n a ++=+ 又11322a +=，所以12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为32，公比为3的等比数列。
1322n n a +=，因此{}n a 的通项公式为312n n a -=。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知1231nn a =-. 因为当1n ≥时，13123n n --≥⨯，所以111.3123n n -≤-⨯ 于是1-1121111131311-.33232n n n a a a +++≤+++=<（） 所以 123111132n a a a a ++++<.3.（2015年Ⅱ卷17题）（本小题满分12分）ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC∠，ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍． (Ⅰ) 求sin sin BC∠∠；(Ⅱ)若1AD =，DC =BD 和AC 的长．【答案】(Ⅰ)12；(Ⅱ)1． (Ⅱ)因为::ABD ADC S S BD DC ∆∆=，所以BD =ABD ∆和ADC ∆中，由余弦定理得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠，2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠．222222326AB AC AD BD DC +=++=．由(Ⅰ)知2AB AC =，所以1AC =．考点：1、三角形面积公式；2、正弦定理和余弦定理．4.（2016年Ⅱ卷17题）（本题满分12分）n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且17=128.a S =，记[]=lg n n b a ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]0.9=0lg99=1，．（Ⅰ）求111101b b b ，，；（Ⅱ）求数列{}n b 的前1 000项和．【答案】（Ⅰ）10b =，111b =， 1012b =；（Ⅱ）1893.考点：等差数列的的性质，前n 项和公式，对数的运算.5.（2016年Ⅲ卷17题）（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a λ=+，其中0λ≠． （I ）证明{}n a 是等比数列，并求其通项公式； （II ）若53132S =，求λ． 【答案】（Ⅰ）1)1(11---=n n a λλλ；（Ⅱ）1λ=-．【解析】考点：1、数列通项n a 与前n 项和为n S 关系；2、等比数列的定义与通项及前n 项和为n S ．6.（2017年Ⅱ卷17题）（12分）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2sin()8sin 2B AC +=． (1)求cos B(2)若6a c += , ABC ∆面积为2,求.b【解析】（1）依题得：21cos sin 8sin 84(1cos )22B B B B -==⋅=-． ∵22sin cos 1B B +=， ∴2216(1cos )cos 1B B -+=， ∴(17cos 15)(cos 1)0B B --=， ∴15cos 17B =， （2）由⑴可知8sin 17B =． ∵2ABC S =△， ∴1sin 22ac B ⋅=， ∴182217ac ⋅=， ∴172ac =， ∵15cos 17B =，∴22215217a c b ac +-=， ∴22215a c b +-=， ∴22()215a c ac b +--=， ∴2361715b --=， ∴2b =．7.（2017年Ⅲ卷17题）（12分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 0A A =，a =，2b =． （1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥，求ABD △的面积．【解析】（1）由sin 0A A =得π2sin 03A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即()ππ3A k k +=∈Z ，又()0,πA ∈，∴ππ3A +=，得2π3A =.由余弦定理2222cos a b c bc A =+-⋅.又∵12,cos 2a b A ===-代入并整理得()2125c +=，故4c =.（2）∵2,4AC BC AB ===，由余弦定理222cos 2a b c C ab +-==. ∵AC AD ⊥，即ACD △为直角三角形，则cos AC CD C =⋅，得CD由勾股定理AD =又2π3A =，则2πππ326DAB ∠=-=， 1πsin 26ABDS AD AB =⋅⋅△8.（2013年Ⅱ卷18题）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别是AB ，1BB的中点，1AA AC CB AB ===。
2013年高考真题解析分类汇编(理科数学)3：三角函数学生卷和答案
2013高考试题解析分类汇编（理数）3：三角函数一、选择题1 ．（2013年普通高考浙江数学（理））已知210cos 2sin ,=+∈αααR ,则=α2tan A.34 B. 43 C.43- D.34-2 ．（2013年高考陕西卷（理））设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定3 ．（2013年普通高考天津数学（理））在△ABC 中, ,3,4AB BC ABC π∠==则sin BAC ∠ =4 ．（2013年普通高考山东数学（理））将函数sin(2)y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移8π个单位后,得到一个偶函数的图象,则ϕ的一个可能取值为（ ）(A) 34π (B) 4π (C)0 (D) 4π-5 ．（2013年普通高考辽宁数学（理））在ABC ∆,内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=且a b >,则B ∠=（）A.6πB.3π C.23π D.56π6 ．（2013年普通高考大纲版数学（理））已知函数()=cos sin 2f x x x ,下列结论中错误的是（）(A)()y f x =的图像关于(),0π中心对称 (B)()y f x =的图像关于直线2x π=对称(C)()f x的最大值为2(D)()f x 既奇函数,又是周期函数 7 ．（2013年普通高考山东数学（理））函数cos sin y x x x =+的图象大致为8 ．（2013年高考四川卷（理））函数()2sin(),(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示,则,ωϕ的值分别是( ) (A)2,3π-(B)2,6π-(C)4,6π-(D)4,3π9．（2013年普通高考重庆数学（理））04cos50tan 40-= ( )1 10．（2013年高考湖南卷（理））在锐角中ABC ∆,角,A B 所对的边长分别为,a b .若2sin ,a B A =则角等于A.12π B.6π C.4π D.3π11．（2013年高考湖北卷（理））将函数()sin yx x x R =+∈的图像向左平移()0m m >个长度单位后,所得到的图像关于y 轴对称,则m 的最小值是( ) A.12πB.6πC.3πD.56π二、填空题12．（2013年普通高考浙江数学（理））ABC ∆中,090=∠C ,M 是BC 的中点,若31sin =∠BAM ,则=∠BAC sin ________.13．（2013年高考新课标1（理））设当x θ=时,函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值,则cos θ=______14．（2013年普通高考福建数学（理））如图ABC ∆中,已知点D 在BC 边上,AD ⊥AC,sin 3BAC AB AD ∠===则BD 的长为_______________ 15．（2013年高考四川卷（理））设sin 2sin αα=-,(,)2παπ∈,则tan 2α的值是_________.16．（2013年高考上海卷（理））若12cos cos sin sin ,sin 2sin 223x y x y x y +=+=,则sin()_x y += 17．（2013年高考上海卷（理））已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对应边分别为a 、b 、c,若22232330a ab b c ++-=,则角C 的大小是_______________(结果用反三角函数值表示)18．（2013年普通高考大纲版数学（理））已知α是第三象限角,1sin 3a =-,则cot a =____________. 19．（2013年普通高考江苏卷（数学））函数)42sin(3π+=x y 的最小正周期为___________.20．（2013年普通高考安徽数学（理））设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c .若2b c a +=,则3sin 5sin ,A B =则角C =_____.21．（2013年普通高考新课标Ⅱ卷数学（理））设θ为第二象限角,若1tan()42πθ+=,则sin cos θθ+=________.22．（2013年高考江西卷（理））函数2sin2y x x =+的最小正周期为T 为_________.三、解答题23．（2013年高考北京卷（理））在△ABC 中,a =3,b B =2∠A .(I)求cos A 的值; (II)求c 的值.24．（2013年高考陕西卷（理））已知向量1(cos ,),,cos2),2x x x x =-=∈a b R , 设函数()·f x =a b . (Ⅰ) 求f (x)的最小正周期.(Ⅱ) 求f (x) 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.25．（2013年普通高考重庆数学（理））在ABC 中,内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,且222a b c +=.(1)求C ; (2)设()()2cos cos cos cos 5cos 5A B A B ααα++==,求tan α的值.26．（2013年普通高考天津数学（理））已知函数2()26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛⎫=++- ⎪+⎝⎭∈R .(Ⅰ) 求f (x )的最小正周期;(Ⅱ) 求f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.27．（2013年普通高考辽宁数学（理））设向量)(),sin ,cos ,sinx ,0,.2a x x b x x π⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦(I)若.a b x =求的值； (II)设函数()(),.f x a b f x = 求的最大值28．（2013年高考上海卷（理））(6分+8分)已知函数()2sin()f x x ω=,其中常数0ω>;(1)若()y f x =在2[,]43ππ-上单调递增,求ω的取值范围;(2)令2ω=,将函数()y f x =的图像向左平移6π个单位,再向上平移1个单位,得到函数()y g x =的图像,区间[,]a b (,a b R ∈且a b <)满足:()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点,在所有满足上述条件的[,]a b 中,求b a -的最小值.29．（2013年普通高考大纲版数学（理））设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,()()a b c a b c ac ++-+=.(I)求B (II)若1sin sin 4A C =,求C .30．（2013年高考四川卷（理））在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且232cos cos sin()sin cos()25A B B A B B A C ---++=-.(Ⅰ)求cos A 的值; (Ⅱ)若a =5b =,求向量BA 在BC方向上的投影.31．（2013年普通高考山东数学（理））设△ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且6a c +=,2b =,7cos 9B =. (Ⅰ)求,a c 的值; (Ⅱ)求sin()A B -的值.32．（2013年普通高考安徽数学（理））已知函数()4cos sin (0)4f x x x πϖϖϖ⎛⎫=⋅+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π.(Ⅰ)求ϖ的值; (Ⅱ)讨论()f x 在区间[]0,2上的单调性.33．（2013年普通高考福建数学（理））已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的周期为π,图像的一个对称中心为(,0)4π,将函数()f x 图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),在将所得图像向右平移2π个单位长度后得到函数()g x 的图像.(1)求函数()f x 与()g x 的解析式; (2)是否存在0(,)64x ππ∈,使得0000(),(),()()f x g x f x g x 按照某种顺序成等差数列?若存在,请确定0x 的个数;若不存在,说明理由.(3)求实数a 与正整数n ,使得()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2013个零点.34．（2013年普通高考江苏卷（数学））本小题满分14分.已知(c o s ,s i n)(c a b ααββ= ＝，,παβ<<<0.(1)若||a b -= 求证:a b ⊥ ;(2)设(0,1)c =,若a b c += ,求βα,的值.35．（2013年普通高考广东省数学（理）卷）已知函数()12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,x ∈R .(Ⅰ) 求6f π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值; (Ⅱ) 若3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.36．（2013年高考湖南卷（理））已知函数2()sin()cos().()2sin 632xf x x xg x ππ=-+-=.(I)若α是第一象限角,且()5f α=.求()g α的值; (II)求使()()f x g x ≥成立的x 的取值集合.37．（2013年普通高考江苏卷（数学））本小题满分16分.如图,游客从某旅游景区的景点A 处下山至C处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C ,另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ,然后从B 沿直线步行到C .现有甲.乙两位游客从A 处下山,甲沿AC 匀速步行,速度为min /50m .在甲出发min 2后,乙从A 乘缆车到B ,在B 处停留min 1后,再从匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为min /130m ,山路AC 长为m 1260,经测量,1312cos =A ,53cos =C . (1)求索道AB 的长;(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?38．（2013年高考湖北卷（理））在ABC ∆中,角A ,B ,C 对应的边分别是a ,b ,c .已知()cos23cos 1A B C -+=.(I)求角A 的大小;(II)若ABC ∆的面积S =,5b =,求sin sin B C 的值.39．（2013年普通高考新课标Ⅱ卷数学（理））△ABC 在内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知cos sin a b C c B =+.(Ⅰ)求B ; (Ⅱ)若2b =,求△ABC 面积的最大值.40．（2013年高考新课标1（理））如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB= 3 ,BC=1,P 为△ABC内一点,∠BPC=90°(1)若PB=12,求PA; (2)若∠APB=150°,求tan∠PBAC BA41．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）本题第一小题满分4分,第二小题满分9分.在平面直角坐标系xOy 中,点A 在y 轴正半轴上,点n P 在x 轴上,其横坐标为n x ,且{}n x 是首项为1、公比为2的等比数列,记1n n n P AP θ+∠=,n N *∈. (1)若31arctan 3θ=,求点A 的坐标; (2)若点A的坐标为(0,求n θ的最大值及相应n 的值.42．（2013年高考江西卷（理））在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知cosC+(conA-sinA)cosB=0.(1) 求角B 的大小;若a+c=1,求b 的取值范围2013高考试题解析分类汇编（理数）3：三角函数答案一、选择题1 ．（2013年普通高考浙江数学（理））已知210cos 2sin ,=+∈αααR ,则=α2tan A.34 B. 43 C.43- D.34-C 因为，又sin 2α+cos 2α=1，联立解得，或故tan α==，或tan α=3，代入可得tan2α===﹣，或tan2α===2 ．（2013年高考陕西卷（理））设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定B 【解析】因为cos cos sin bC c B a A +=，所以A A B C C B sin sin cos sin cos sin =+ 又A C B B C C B sin )sin(cos sin cos sin =+=+。
(完整word)(完整word版)2017年高考数学理试题分类汇编：三角函数,推荐文档
2017年高考数学理试题分类汇编：三角函数一．填空选择题1. (2017年天津卷文)设函数()2sin(),f x x x ωϕ=+∈R ，其中0,||πωϕ><．若5π11π()2,()0,88f f ==且()f x 的最小正周期大于2π，则（A ）2π,312ωϕ==（B ）211π,312ωϕ==-（C ）111π,324ωϕ==-（D ）17π,324ωϕ==【答案】A【解析】由题意得125282118k k ωϕωϕππ⎧+=π+⎪⎪⎨π⎪+=π⎪⎩，其中12,k k ∈Z ，所以2142(2)33k k ω=--，又22T ωπ=>π，所以01ω<<，所以23ω=，11212k ϕ=π+π，由||πϕ<得12ϕπ=，故选A ．2. (2017年天津卷理)设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π.若5()28f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则 （A ）23ω=，12ϕπ= （B ）23ω=，12ϕ11π=- （C ）13ω=，24ϕ11π=-（D ）13ω=，24ϕ7π=【答案】A【解析】由题意125282118k k ωππϕπωπϕπ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，其中12,k k Z ∈，所以2142(2)33k k ω=--，又22T ππω=>，所以01ω<<，所以23ω=，11212k ϕππ=+，由ϕπ<得12πϕ=，故选A ．3. ( 2017年全国Ⅲ卷文)ABC ∆内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知3,6,600===c b C ，则=A ________15【解析】 根据正弦定理有：Bsin 660sin 30=22sin =∴B 又b c >Θ045=∴B 075=∴A4. (2017年新课标Ⅰ) 9．已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2 C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2 D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2 【答案】D5. ( 2017年新课标Ⅱ卷理) 14.函数()23sin 4f x x x =-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是 ． 【答案】1【解析】()22311cos cos 44f x x x x x =-+-=-++ 2cos 12x ⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，那么[]cos 0,1x ∈，当cos x =时，函数取得最大值1. 6. (2017年浙江卷) 14．已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2. 点D 为AB 延长线上一点，BD=2，连结CD ，则△BDC 的面积是______，cos ∠BDC =_______.【答案】,24【解析】取BC 中点E ，DC 中点F ，由题意：,AE BC BF CD ⊥⊥，△ABE 中，1cos 4BE ABC AB ∠==，1cos ,sin 44DBC DBC ∴∠=-∠==，BC 1sin 22D S BD BC DBC ∴=⨯⨯⨯∠=△又21cos 12sin ,sin 44DBC DBF DBF ∴∠=-∠=-∴∠=，cos sin BDC DBF ∴∠=∠=，综上可得，△BCD cos BDC ∠=.7. ( 2017年新课标Ⅱ文). 13函数()cos sin =2+fx x x.8. ( 2017年新课标Ⅱ文) 16.△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若2b cosB=a cosC+c cosA,则B=3π9. ( 2017年新课标Ⅱ文) 3.函数()fx =πsin （2x+）3的最小正周期为 (C)A.4πB.2πC. πD.2π10. (2017年浙江卷) 11．我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位学.科.网，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积6S ，=6S .【解析】将正六边形分割为6个等边三角形，则233)60sin 1121(66=⨯⨯⨯⨯=οS11. (2017年北京卷理) （12）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=，cos()αβ-=___________. 【答案】79- 【解析】2227sin sin ,cos cos cos()cos cos sin sin cos sin 2sin 19βαβααβαβαβααα==-∴-=+=-+=-=-Q12. (2017年新课标Ⅰ文)已知π(0)2a ∈，,tan α=2，则πcos ()4α-____。
新高考数学(理)之三角函数与解三角形 专题04 三角恒等变换(解析版)
新高考数学（理）三角函数与平面向量04 三角恒等变换一、具本目标：1.两角和与差的三角函数公式 （1）会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；（2）能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；（3）能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；2.简单的三角恒等变换：能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）3.（1） 已知两角的正余弦，会求和差角的正弦、余弦、正切值. （2） 会求类似于15°，75°，105°等特殊角的正、余弦、正切值. （3） 用和差角的正弦、余弦、正切公式化简求值. （4）逆用和差角的正弦、余弦、正切公式化简求值. (5) 会配凑、变形、拆角等方法进行化简与求值. 二、知识概述：知识点一 两角和与差的正弦、余弦、正切公式两角和与差的正弦公式： ()sin sin cos cos sin α+β=αβ+αβ，()sin sin cos cos sin α-β=αβ-αβ.两角和与差的余弦公式：()cos cos cos sin sin α+β=αβ-αβ， ()cos cos cos sin sin α-β=αβ+αβ. 两角和与差的正切公式：()tan tan tan 1tan tan α+βα+β=-αβ，【考点讲解】()tan tan tan 1tan tan α-βα-β=+αβ.【特别提醒】公式的条件：1. 两角和与差的正弦、余弦公式中的两个角α、β为任意角.2.两角和与差的正切公式中两个角有如下的条件：(),,,.2222k k k k k z ππππα+β≠π+α-β≠π+α≠π+β≠π+∈知识点二 公式的变用1. 两角和与差的正弦公式的逆用与辅助角公式：()22sin cos sin a x b x a b x +=++ϕ（其中φ角所在的象限由a,b 的符号确定，φ的值由tan baϕ=确定），在求最值、化简时起着重要的作用. 2. ()tan tan tan 1tan tan α+βα+β=-αβ变形为()()tan tan tan 1tan tan α+β=α+β-αβ，()tan tan tan 1tan tan α+βα+β=-αβ变形为()tan tan tan tan 1tan α+βαβ=-α+β.()tan tan tan 1tan tan α-βα-β=+αβ变形为()()tan tan tan 1tan tan α-β=α-β+αβ，()tan tan tan 1tan tan α-βα-β=+αβ变形为()tan tan tan tan 1tan α-βαβ=-α-β来使用. 条件为：(),,,.2222k k k k k z ππππα+β≠π+α-β≠π+α≠π+β≠π+∈ 知识点三 二倍角公式： 1.22tan sin 22sin cos 1tan ααααα==+ 2222221tan cos 2cos sin 2cos 112sin 1tan ααααααα-=-=-=-=+ 22tan tan 21tan ααα=-2. 常见变形：（1）22cos 1sin 2αα-=，22cos 1cos 2αα+=（2）()2cos sin 2sin 1ααα+=+，()2cos sin 2sin 1ααα-=-；（3）αα2cos 22cos 1=+，αα2sin 22cos 1=-.3.半角公式：2cos 12sin αα-±=，2cos 12cos αα+±=，αααcos 1cos 12tan+-±=，αααααsin cos 1cos 1sin 2tan-=+=.1.【2019年高考全国Ⅱ卷文理】已知a ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sin α=（ ） A ．15B ．55 C ．33D ．255【解析】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查.2sin 2cos21αα=+Q ，24sin cos 2cos .0,,cos 02αααααπ⎛⎫∴⋅=∈∴> ⎪⎝⎭Q ，sin 0,α>2sin cos αα∴=，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5αα∴==，又sin 0α>，5sin 5α∴=，故选B ． 【答案】B2.【2019年高考全国Ⅲ卷文数】函数()2sin sin2f x x x =-在[0，2π]的零点个数为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】由()2sin sin 22sin 2sin cos 2sin (1cos )0f x x x x x x x x =-=-=-=，得sin 0x =或cos 1x =，[]0,2πx ∈Q ，0π2πx ∴=、或．()f x ∴在[]0,2π的零点个数是3，故选B ．【答案】B3.【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则（ ）A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为 4【真题分析】【解析】本题考查的是二倍角公式及余弦型函数的周期及最值问题.根据题意有()135cos 21(1cos 2)2cos 2222f x x x x =+--+=+，所以函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==，且最大值为()max 35422f x =+=，故选B. 【答案】B4.【2018年高考全国Ⅰ卷】若1sin 3α=，则cos2α=（ ） A ．89 B ．79 C ．79- D ．89-【解析】本题主要考查二倍角公式及求三角函数的值.2217cos 212sin 12()39αα=-=-⨯=.故选B. 【答案】B5．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1A a ，，()2B b ，，且2cos 23α=，则a b -=（ ）A ．15 B ．55 C ．255D ．1 【解析】本题主要考查任意角的三角函数和三角恒等变換根据条件，可知,,O A B 三点共线，从而得到2b a =，因为22212cos22cos 12131a ⎛⎫=-=⋅-= ⎪+⎝⎭αα，解得215a =，即55a =，所以525a b a a -=-=. 【答案】B6.【2017年高考全国Ⅰ卷文数】已知4sin cos 3αα-=，则sin 2α=（ ） A ．79-B ．29-C ．29D ．79【解析】()2sin cos 17sin 22sin cos 19ααααα--===--.所以选A. 【答案】A7.【2019年高考全国Ⅰ卷文数】函数3π()sin(2)3cos 2f x x x =+-的最小值为___________． 【解析】23π()sin(2)3cos cos 23cos 2cos 3cos 12f x x x x x x x =+-=--=--+23172(cos )48x =-++， 1cos 1x -≤≤Q ，∴当cos 1x =时，min ()4f x =-，故函数()f x 的最小值为4-．【答案】4-8.【2019年高考北京卷理数】函数f （x ）=sin 22x 的最小正周期是__________．【解析】本题主要考查二倍角的三角函数公式､三角函数的最小正周期公式，函数()2sin 2f x x ==1cos 42x -，周期为π2. 【答案】π29.【2019年高考江苏卷】已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 . 【解析】由()tan 1tan tan tan 2tan 1πtan 13tan 1tan 4αααααααα-===-++⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，得23tan 5tan 20αα--=， 解得tan 2α=，或1tan 3α=-.πππsin 2sin 2cos cos 2sin 444ααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭()2222222sin cos cos sin sin 2cos 2=22sin cos αααααααα⎛⎫+-=+ ⎪+⎝⎭2222tan 1tan =2tan 1ααα⎛⎫+- ⎪+⎝⎭， 当tan 2α=时，上式22222122==22110⎛⎫⨯+-⨯ ⎪+⎝⎭； 当1tan 3α=-时，上式=22112()1()2233[]=1210()13⨯-+--⨯-+. 综上，π2sin 2.410α⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 【答案】21010.【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知5π1tan()45-=α，则tan =α__________． 【解析】本题主要考查三角恒等变换，考查考生的运算求解能力.5πtan tan5πtan 114tan 5π41tan 51tan tan 4ααααα--⎛⎫-=== ⎪+⎝⎭+⋅，解方程得3tan 2=α.故答案为32. 【答案】3211.【2018年高考全国Ⅱ理数】已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则sin()αβ+=__________． 【解析】本题主要考查三角恒等变换.因为sin cos 1+=αβ，cos sin 0+=αβ，所以()()221sin cos 1,-+-=αα所以11sin ,cos 22==αβ， 因此()22111111sin sin cos cos sin cos 1sin 1.224442+=+=⨯-=-+=-+=-αβαβαβαα【答案】12-12.【2017年高考江苏卷】若π1tan(),46-=α则tan =α ．【解析】11tan()tan7644tan tan[()]14451tan()tan 1446ααααππ+-+ππ=-+===ππ---．故答案为75． 【答案】7513.【2018年高考全国Ⅰ理数】已知函数()2sin sin2f x x x =+，则()f x 的最小值是_____________．【解析】()()212cos 2cos 24cos 2cos 24cos 1cos 2f x x x x x x x ⎛⎫'=+=+-=+-⎪⎝⎭， 所以当1cos 2x <时函数单调递减，当1cos 2x >时函数单调递增，从而得到函数的递减区间为()5ππ2π,2π33k k k ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦Z ，函数的递增区间为()ππ2π,2π33k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ， 所以当π2π,3x k k =-∈Z 时，函数()f x 取得最小值，此时33sin ,sin222x x =-=-， 所以()min 33332222f x ⎛⎫=⨯--=- ⎪ ⎪⎝⎭，故答案是332-.【答案】332-14.【2017年高考全国Ⅱ理数】函数()23sin 3cos 4f x x x =+-(π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦)的最大值是 . 【解析】本题主要考查的是三角函数式的化简及三角函数的问题转化为二次函数的问题，二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”化简三角函数的解析式的综合考查.()2223131cos 3cos cos 3cos cos 1442f x x x x x x ⎛⎫=-+-=-++=--+ ⎪ ⎪⎝⎭，由自变量的范围：π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得：[]cos 0,1x ∈，当3cos 2x =时，函数()f x 取得最大值1.【答案】115.【2019年高考浙江卷】设函数()sin ,f x x x =∈R .（1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值； （2）求函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++的值域． 【解析】本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识.（1）因为()sin()f x x θθ+=+是偶函数，所以，对任意实数x 都有sin()sin()x x θθ+=-+， 即sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x θθθθ+=-+，故2sin cos 0x θ=，所以cos 0θ=． 又[0,2π)θ∈，因此π2θ=或3π2． （2）2222ππππsin sin 124124y fx f x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ππ1cos 21cos 2133621cos 2sin 222222x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭3π1cos 223x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． 因此，函数的值域是33[1,1]22-+． 【答案】（1）π2θ=或3π2；（2）33[1,1]22-+． 16．【2018年高考北京卷文数】已知函数2()sin 3sin cos f x x x x =+.（1）求()f x 的最小正周期； （2）若()f x 在区间[,]3m π-上的最大值为32，求m 的最小值. 【解析】本题主要考查二倍角公式、辅助角公式、正弦函数的性质. （1）1cos 23311π1()sin 2sin 2cos 2sin(2)2222262x f x x x x x -=+=-+=-+， 所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==. （2）由（1）知π1()sin(2)62f x x =-+.因为π[,]3x m ∈-，所以π5ππ2[,2]666x m -∈--.要使得()f x 在π[,]3m -上的最大值为32，即πsin(2)6x -在π[,]3m -上的最大值为1. 所以ππ262m -≥，即π3m ≥.所以m 的最小值为π3.【答案】（1）π；（2）π3.1. sin15°sin105°的值是（ ） A ．14 B ．14-C ．34D ．34-【解析】本题的考点二倍角的正弦和诱导公式：sin15°sin105°=sin15°cos15°=12sin30°=14，故选A ． 【答案】A2.已知sin2α=13，则cos 2（π4α-）=（ ） A ．34 B ．23 C ．45 D ．56【解析】本题考点二倍角的余弦，三角函数的化简求值.∵sin2α=13，∴cos 2（π4α-）=π11cos 211sin 22232223αα⎛⎫+-+⎪+⎝⎭===．故选B ． 【答案】B3.已知sin α=45-，α∈（π，3π2），则tan 2α等于（ ） A ．－2 B ．12 C ．12-或2 D ．－2或12【解析】∵sin α=45-，α∈（π，3π2），∴cos α=35-，∴tan α=43.∵α∈（π，3π2），∴2α∈（π2，3π4），∴tan 2α＜0. tan α=22tan21tan 2αα- =43，即2tan 22α+ 3tan2α－2=0，解得tan2α=－2，或tan2α=12（舍去），故选A ．【答案】A【模拟考场】4.设π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π0,4β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且tan α=1sin 2cos 2ββ+，则下列结论中正确的是（ ） A ．2π4αβ-=B ．π24αβ+=C ．π4αβ-=D ．π4αβ+= 【解析】本题的考点二倍角的余弦，二倍角的正弦..tan α=()222sin cos 1sin 2sin cos 1tan cos 2cos sin cos sin 1tan ββββββββββββ++++===---πtan 4β⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，πππ,442β⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以π4αβ-=．故选C ． 【答案】C5．已知角αβ，均为锐角，且cos α=35，tan （α−β）=−13，tan β=（ ） A ．13 B ．913 C ．139D ．3【解析】∵角α，β均为锐角，且cos α=35，∴sin α=21cos α- =45，tan α=43，又tan （α−β）=tan tan 1+tan tan αβαβ-=4tan 341+tan 3ββ-=−13， ∴tan β=3，故选D ．【答案】D6.设α为锐角，若π3cos()65α+=，则πsin()12α-=（ ） A ．210 B ．210- C ．45 D ．45- 【解析】因为α为锐角，所以ππ2π,663α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，因为π3cos()65α+=，所以π4sin()65α+=，故πππππsin()sin sin cos 126464ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ππ2432cos sin 6425510α⎛⎫⎛⎫+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选A.【答案】A7.设函数2()sin sin f x x b x c =++，则()f x 的最小正周期（ ）A ．与b 有关，且与c 有关B ．与b 有关，但与c 无关C ．与b 无关，且与c 无关D ．与b 无关，但与c 有关【解析】本题考查的是二倍角的降幂公式与三角函数的最小正周期，先利用三角恒等变换（降幂公式）化简函数()f x ，再判断b 和c 的取值是否影响函数()f x 的最小正周期．21cos 2cos 21()sin sin sin sin 222-=++=++=-+++x x f x x b x c b x c b x c ，其中当0=b 时，cos 21()22=-++x f x c ，此时周期是π；当0≠b 时，周期为2π，而c 不影响周期．故选B ． 【答案】B8．已知34cos sin =-αα，则=α2sin （ ） A ．97- B ．92- C ．92 D ．97【解析】本题的考点是二倍角的正弦正逆用，将34cos sin =-αα两边平方()2234cos sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛=-αα， 化简后可得916cos sin 2cos sin 22=-+αααα即=α2sin 97-.【答案】A 9．函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=6cos 3sin 51ππx x x f 的最大值为（ ） A ．56B ．1C ．53D ．51【解析】将()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=6cos 3sin 51ππx x x f 化简，利用两角和、差的正余弦公式及辅助角公式，三角函数 最值的性质可以求得函数最大值.由()6sin sin 6cos cos 3sin cos 3cos sin 51ππππx x x x x f ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+= x x x x sin 21cos 23cos 103sin 101+++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=x x x x cos 23sin 2156cos 533sin 53⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3sin 56πx ， 因为13sin 1≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤-πx ，所以函数的最大值为56.【答案】A10.若tan 2tan 5πα=，则3cos()10sin()5παπα-=-（ ） A.1 B.2 C.3 D.4【解析】本题考点是两角和与差的正弦（余弦）公式，同角间的三角函数关系，三角函数的恒等变换. 三角恒等变换的主要是求值，在求值时只要根据求解目标的需要，结合已知条件选用合适的公式计算．本例应用两角和与差的正弦（余弦）公式化简所求式子，利用同角关系式求出使已知条件可代入的值，然后再化简，求解过程中注意公式的顺用和逆用．3cos()10sin()5παπα-=-33cos cos sin sin 1010sin cos cos sin 55ππααππαα+-33cos tan sin 1010tan cos sin 55ππαππα+=-33cos 2tan sin 105102tan cos sin 555ππππππ+=- 33cos cos 2sin sin 510510sin cos 55ππππππ+=＝333cos cos sin sin sin sin 510510510sin cos 55ππππππππ++ =333cos cos sin 5101010sin cos 55ππππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=13cos sin 1025sin cos 55ππππ+1cos cos 10210sin cos 55ππππ+=1cos cos 1021014sin 210πππ+= 3cos103cos 10ππ==.【答案】C11．已知向量a r =（sin θ，2-），b r =（1，cos θ），且a r ⊥b r ，则sin 2θ+cos 2θ的值为（ ）A ．1B ．2C ．12D ．3 【解析】本题考点是三角函数的恒等变换及化简求值，数量积判断两个平面向量的垂直关系.由题意可得a r ·b r =sin θ－2cos θ=0，即tan θ=2．∴sin 2θ+cos 2θ=2222sin cos +cos cos +sin θθθθθ=22tan +11+tan θθ=1，故选A ． 【答案】A12.已知cos θ=－725，θ∈（－π，0），则sin 2θ+cos 2θ=（ ）A ．125B ．15±C ．15D ．15- 【解析】∵cos θ=－725，θ∈（－π，0）， ∴cos 22θ－sin 22θ=（cos 2θ+sin 2θ）（cos 2θ－sin 2θ）＜0，2θ∈（π2-，0）， ∴sin 2θ+cos 2θ＜0，cos 2θ－sin 2θ＞0，∵（sin 2θ+cos 2θ）2=1+sin θ=1－491625-=125，∴sin 2θ+cos 2θ=15-．故选D ．【答案】D13. =+οο75sin 15sin .【解析】本题考查的是三角恒等变换及特殊角的三角函数值的求解. 法一、6sin15sin 75sin15cos152sin(1545)2+=+=+=o o o o o o . 法二、6sin15sin 75sin(4530)sin(4530)2sin 45cos302+=-++==o o o o o o o o . 法三、62626sin15sin 75442-++=+=o o . 【答案】62. 14.在锐角三角形ABC 中，若sin 2sin sin A B C =，则tan tan tan A B C 的最小值是 .【解析】本题考查的是三角恒等变换及正切的性质，本题要求会利用三角形中隐含的边角关系作为消元依据，同时要记住斜三角形ABC 中恒有tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++，sin sin(B C)2sin sin tan tan 2tan tan A B C B C B C =+=⇒+=，因此tan tan tan tan tan tan tan 2tan tan 22tan tan tan tan tan tan 8A B C A B C A B C A B C A B C =++=+≥⇒≥，即最小值为8.【答案】8.15.【2018江苏卷16】已知,αβ为锐角，4tan 3α=，5cos()5αβ+=-． （1）求cos2α的值；（2）求tan()αβ-的值．【解析】（1）因为，，所以． 4tan 3α=sin tan cos ααα=4sin cos 3αα=因为，所以， 因此，． （2）因为为锐角，所以．又因为，所以， 因此．因为，所以， 因此，． 16.【2016高考山东理数】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tan tan 2(tan tan ).cos cos A B A B B A +=+ （Ⅰ）证明：a +b =2c ;（Ⅱ）求cos C 的最小值.【解析】试题分析：（Ⅰ）根据两角和的正弦公式、正切公式、正弦定理即可证明；（Ⅱ）根据余弦定理公式表示出cosC ，由基本不等式求cos C 的最小值.试题解析：()I 由题意知sin sin sin sin 2cos cos cos cos cos cos A B A B A B A B A B ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 化简得()2sin cos sin cos sin sin A B B A A B +=+，即()2sin sin sin A B A B +=+.因为A B C π++=,所以()()sin sin sin A B C C π+=-=.从而sin sin =2sin A B C +.由正弦定理得2a b c +=.()∏由()I 知2a b c +=, 所以 2222222cos 22a b a b a b c C ab ab +⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭==311842b a a b ⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭， 当且仅当a b =时，等号成立.故 cos C 的最小值为12. 17.已知函数()22sin sin 6f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，R x ∈ 22sin cos 1αα+=29cos 25α=27cos22cos 125αα=-=-,αβ(0,π)αβ+∈5cos()5αβ+=-225sin()1cos ()5αβαβ+=-+=tan()2αβ+=-4tan 3α=22tan 24tan 21tan 7ααα==--tan 2tan()2tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+(I)求()f x 最小正周期；(II)求()f x 在区间[,]34p p -上的最大值和最小值. 【解析】本题考点两角和与差的正余弦公式、二倍角的正余弦公式、三角函数的图象与性质.综合运用三角 知识，从正确求函数解析式出发，考查最小正周期的求法与函数单调性的应用，从而求出函数的最大值与最小值，体现数学思想与方法的应用.(I) 由已知，有1cos 21cos211313()cos2sin 2cos2222222x x f x x x x π⎛⎫-- ⎪⎛⎫-⎝⎭=-=+- ⎪⎝⎭ 311sin 2cos2sin 24426x x x π⎛⎫--=- ⎪⎝⎭. 所以()f x 的最小正周期22T ππ==. (II)因为()f x 在区间[,]36p p --上是减函数，在区间[,]64p p -上是增函数， 113(),(),()346244f f f πππ-=--=-=，所以()f x 在区间[,]34p p -上的最大值为34，最小值为12-. 【答案】(I)π; (II) max 3()4f x =,min 1()2f x =-.。
高考数学 第四章 三角函数与解三角形 专题17 解三角形考场高招大全-人教版高三全册数学试题
专题十七解三角形考点37 正弦定理与余弦定理考场高招1 应用正、余弦定理的解题技巧1.解读高招技巧解读适合题型典例指引边化角将表达式中的边利用公式a=2R sin A,b=2R sinB,c=2R sin C化为角的关系等式两边是边的齐次形式典例导引1(1)角化边将表达式中的角利用公式转化为边,出现角的正弦值用正弦定理转化,出现角的余弦值由余弦定理转化等式两边是角的齐次形式、a2+b2-c2=λab形式典例导引1(2)和积互化a2=b2+c2-2bc cos A=(b+c)2-2bc(1+cos A).可联系已知条件,利用方程思想进行求解三角形的边出现b+c,bc等结构形式典例导引1(4)方积互化与重要不等式相联系,由b2+c2≥2bc,得a2=b2+c2-2bc cos A≥2bc-2bc cos A=2bc(1-cos A),可探求边或角的X围问题求边、角、面积等取值X围问题典例导引1(3)2.典例指引1(1)△ABC的三个内角A,B,C对边的长分别为a,b,c,若a sin A sin B+b cos2A=a,则等于()A.2B.2C.D.(2)在△ABC中,内角A,B,C的对边长分别为a,b,c,已知a2-c2=b,且sin(A-C)=2cos A sin C,则b等于()A.6B.4C.2D.1(3)已知△ABC的三边a,b,c成等比数列,a,b,c所对的角依次为A,B,C,则sin B+cos B的取值X围是()A. B. C.(1, ] D.(4)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足a sin B=b cos A.若a=4,则△ABC周长的最大值为(2)(角化边)由题意,得sin A cos C-cos A sin C=2cos A sin C,即sin A cos C=3cos A sin C,由正、余弦定理,得a·=3c·,整理得2(a2-c2)=b2.①又a2-c2=b, ②联立①②得b=2,故选C.(3)设y=sin B+cos B=sin.∵a,b,c成等比数列,∴b2=ac,∴cos B=,∴0<B<<sin≤1,1<sin,故选C.(4)由正弦定理,可将a sin B=b cos A化为sin A sin B=sin B cos A.∵在△ABC中,sin B>0,∴si n A=cos A,即tan A=.∵0<A<π,∴A=.由余弦定理,得a2=16=b2+c2-2bc cos A=(b+c)2-3bc≥(b+c)2-3,则(b+c)2≤64,即b+c≤8(当且仅当b=c=4时等号成立),所以△ABC的周长=a+b+c=4+b+c≤12,即最大值为12.【答案】 (1)D(2)C(3)C(4)123.亲临考场1.(2016某某,理3)在△ABC中,若AB= 13,BC=3,∠C=120°,则AC=()A.1B.2C.3D.4【答案】 A由余弦定理得13=9+AC2+3AC⇒AC=1.故选A.2.(2016课标Ⅱ,理13)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,则b=.【答案】2113【解析】因为cos A=,cos C=,且A,C为△ABC的内角,所以sin A=,sin C=,sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sin A cos C+cos A sin C=.又因为,所以b=.3.(2015某某,理11)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=,sin B=,C=,则b=.考点38 解三角形及其应用考场高招2 判断三角形形状问题的规律1.解读高招规律解读典例指引角化边利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系,从而判断三角形的形状典例导引2(1)边化角利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系,通过三角函数恒等变形,得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用A+B+C=π这个结论典例导引2(2)温馨提醒注意在两种解法的等式变形中,一般两边不要约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解2.典例指引2(1)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,(b+c+a)(b+c-a)=3bc,则△ABC的形状是() A.直角三角形 B.等腰非等边三角形C.等边三角形D.钝角三角形(2)已知△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,若=2c ,则△ABC 的形状是()A.等边三角形B.锐角三角形C.等腰直角三角形D.钝角三角形(2)∵=2c ,∴由正弦定理可得=2sin C , 而≥2=2,当且仅当sin A=sin B 时取等号.∴2sin C ≥2,即sin C ≥1. 又sin C ≤1,故可得sin C=1,∴∠C=90°.又∵sin A=sin B ,∴A=B ,故三角形为等腰直角三角形,故选C. 【答案】 (1)C(2)C 3.亲临考场1.在△ABC 中，若sin B ·sin C ＝cos 2A2，且sin 2B ＋sin 2C ＝sin 2A ，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形【答案】D【解析】sin B ·sin C ＝1＋cos A2，∴2sin B ·sin C ＝1＋cos A ＝1－cos(B ＋C )， ∴cos(B －C )＝1，∵B 、C 为三角形的内角，∴B ＝C ，又sin2B＋sin2C＝sin2A，∴b2＋c2＝a2，综上，△ABC为等腰直角三角形．2.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为( ) A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定考场高招3 解三角形应用题的规律1.解读高招规律解读典例指引1实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解典例导引3(1)2 实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形,这时需作出这些三角形,先解够条件的三角形,然后逐步求解其他三角形,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解典例导引3(2)温馨提醒解三角形应用题的一般步骤:分析(画出图形)——建模(建立解斜三角形模型)——解模(利用正余弦定理有序地求解)——检验(检验上述所求三角形是否有实际意义)2.典例指引3(1)如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时气球的高度是60 m,则河流的宽度BC等于()A.240(-1) mB.180(-1) mC.120(-1) mD.30(+1) m(2)(2016某某某某一模)如图,为了测量河对岸A,B两点之间的距离,观察者找到一个点C,从C点可以观察到点A,B;找到一个点D,从D点可以观察到点A,C;找到一个点E,从E点可以观察到点B,C;并测量得到:CD=2,CE=2,∠D=45°,∠ACD=105°,∠ACB=48.19°,∠BCE=75°,∠E=60°,则A,B两点之间的距离为.(2)依题意知,在△ACD中,∠A=30°,由正弦定理得AC==2,在△BCE中,∠CBE=45°,由正弦定理得BC==3.∵在△ABC中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BC cos∠ACB=10,∴AB=.3.亲临考场1.(2017某某,11)我国古代数学家X徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π,理论上能把π的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”,将π的值精确到小数点后七位,其结果领先世界一千多年,“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6,S6=.【答案】【解析】将正六边形分割为6个等边三角形,则S6=6×.2.(2015某某,理13)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600 m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD=m.【答案】100考场高招4三角形与不等式相结合解题的规律1.解读高招方法解读典例指引利用三角形有解已知三角形的边a及对角A,求三角形有两解时边b的X围,根据b sinA<a<b,解出相应的不等式即可典例导引4(1)利用基本不等式余弦定理与重要不等式a2+b2≥2ab,三角形两个边的和与基本不等式a+b≥2,三角形面积公式与ab≤,通过这些结合点,求解X围问题,注意等号成立的条件典例导引4(2)利用函通过建立参数与已知角或边的关系,把角或边作为自变量,参数作为函典例导引数的值域数值,转化为函数关系,将原问题转化为求函数的值域问题.这里要利4(3)用条件中的X围限制,以及三角形自身X围限制2.典例指引4(1)(2017某某某某调研)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a ,b,c,若a=2b,△ABC的面积记作S ,则下列结论一定成立的是()A.B>30°B.A=2BC.c<bD.S≤b2(2)(2017某某某某、某某摸底联考)已知△ABC 中,角B, C,A成等差数列,且△ABC的面积为 ,则AB边的最小值是.(3)在等腰三角形ABC中,AB=AC,AC边上的中线BD长为6,则当△ABC的面积取得最大值时,AB的长为. 【解析】 (1)由a=2b,得sin A=2sin B ≤1,则sin B ≤,∵B不是最大角,∴B≤30°,故A错;sin A=2sin B与A=2B没有关系,故B错;若a=4,b=2,c=5,符合a=2b,但c>b,所以C错;三角形面积S=ab sin C=b2sin C≤b2,故选D.(2)∵B,C,A成等差数列,∴A+B=3C.又∵A+B+C=π,∴C=,由S△ABC=ab sin C=1+,得ab=2(2+).∵c2=a2+b2-2ab cos C=a2+b2-ab,a2+b2≥2ab,∴c2≥(2-)ab=4,解得c≥2,∴c的最小值为2.(3)根据题意,可设AB=AC=2x,则AD=x(2<x<6),由余弦定理,得cos A=,∴sin A=,∴S△ABC=AB·AC sin A=×4x2=2≤24,当x2=20,即x=2时等号成立,所以当△ABC的面积取得最大值时,AB的长为4.【答案】(1)D(2)2(3)43.亲临考场1.(2015课标Ⅰ,理16)在平面四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则AB的取值X围是.【答案】()2.(2014课标Ⅰ,理16)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边, a=2,且(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,则△ABC面积的最大值为【答案】。
【高考真题汇编】2017年高考数学理科真题汇编解析：第04章三角函数
第四章 三角函数第一节 三角函数概念、同角三角函数关系式和诱导公式题型42 终边相同的角的集合的表示与识别——暂无 题型43 倍角、等分角的象限问题——暂无 题型44 弧长与扇形面积公式的计算——暂无 题型45 三角函数定义题——暂无 题型46 三角函数线及其应用——暂无题型47 象限符号与坐标轴角的三角函数值——暂无 题型48 诱导求值与变形——暂无题型49 同角求值——已知角与目标角相同——暂无第二节 三角函数的图像与性质题型50 已知解析式确定函数性质1.（2017全国3理6）设函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则下列结论错误的是（ ）. A ．()f x 的一个周期为2-πB ．()y f x =的图像关于直线83x π=对称 C ．()f x +π的一个零点为6x π=D ．()f x 在上π,2⎛⎫π⎪⎝⎭单调递减 解析 函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像可由cos y x =向左平移π3个单位长度得到，由图可知，()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上先递减后递增，所以D 选项错误.故选D.π题型51 根据条件确定解析式1.（2017天津理7）设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π.若528f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，08f 11π⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()f x 的最小正周期大于2π，则（ ）.A.23ω=，12ϕπ= B.23ω=，12ϕ11π=- C.13ω=，24ϕ11π=- D.13ω=，24ϕ7π= 解析 解法一：由题意125π282118k k ωϕωϕπ⎧+=π+⎪⎪⎨π⎪+=π⎪⎩，其中12,k k ∈Z ，所以()2142233k k ω=--.又22T ωπ=>π，所以01ω<<，从而23ω=.由11212k ϕ=π+π，由ϕ<π，得π12ϕ=.故选A ．解法二：由528f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，08f 11π⎛⎫= ⎪⎝⎭，易知58x π=为()()2sin f x x ωϕ=+的一条对称轴，点11,08π⎛⎫⎪⎝⎭为()f x 的一个零点，则()11521884T k ππ-=+⨯，又因为2T ωπ= ，即()221=3k ω+.又0ω>，且()f x 的最小正周期大于2π，所以2=3ω，从而52+2832k ϕππ⨯=π+，又ϕ<π，所以=12ϕπ.故选A. 2.(2017浙江理18)已知函数()()22sin cos cos f x x x x x x =--∈R .（1）求23f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）求()f x 的最小正周期及单调递增区间. 解析 （1）由2sin 3π=21cos 32π=-，得222112322f π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. （2）由22cos2cos sin x x x=-，sin22sin cos x x x=，得()cos 222sin 26f x x x x π⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期是2π2T ==π. 由正弦函数的性质得3222,262k x k k πππ+π++π∈Z 剟，解得2,63k x k k ππ+π+π∈Z 剟. 所以()f x 的单调递增区间是2,63k k k ππ⎡⎤+π+π∈⎢⎥⎣⎦Z ，.题型52 三角函数的值域（最值)——暂无 题型53 三角函数图像变换1.（2017全国1理9）已知曲线1cos C y x =：，22πsin 23C y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭：， 则下面结论正确的是（ ）.A.把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CB.把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2CC.把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CD.把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2C解析 1:cos C y x =，22π:sin 23⎛⎫=+⎪⎝⎭C y x . 首先曲线1C ，2C 统一为一三角函数名，可将1:cos C y x =用诱导公式处理．πππcos cos sin 222⎛⎫⎛⎫==+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x x ．横坐标变换需将1=ω变成2=ω，即112πππsin sin 2sin 2224C y x y x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+−−−−−−−−−−→=+=+→⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭上各坐短到原的倍点横标缩来2ππsin 2sin 233y x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．注意ω的系数，左右平移需将2=ω提到括号外面，这时π4+x 平移至π3+x ， 根据“左加右减”原则，“π4+x ”到“π3+x ”需加上π12，即再向左平移π12．故选D. 2.（2017山东理1）设函数()sin sin 62f x x x ωωππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中03ω<<.已知06f π⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求ω；（2）将函数()y f x =的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图像向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图像，求()g x 在3,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值. 解析 （1）因为()sin sin 62f x x x ωωππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()1cos cos 2f x x x x ωωω=--3cos 2x x ωω=-1sin 2x x ωω⎫==⎪⎪⎭sin 3x ωπ⎫-⎪⎭.由题设知06f π⎛⎫=⎪⎝⎭，所以63k ωππ-=π，k ∈Z . 故62k ω=+，k ∈Z ，又03ω<<，所以2ω=.（2）由（1）得()23f x xπ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()4312g x x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为3,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以2,1233x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当123x ππ-=-，即4x π=-时，()g x 取得最小值32-.第三节 三角恒等变换题型54 化简求值1.（17江苏05）若π1tan 46α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan α= ． 解析 解法一（角的关系）：tan tan 44ααππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭7tan 1746551tan 64ααπ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭===π⎛⎫-- ⎪⎝⎭．故填75．解法二（直接化简）：πtan 11tan 41tan 6ααα-⎛⎫-== ⎪+⎝⎭，所以7tan 5α=．故填75． 2.(2017北京理12)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=，()cos αβ-=___________. 解析 由题作出图形，如图所示，1sin 3α=，则cos 3α=，由于α与β关于y 轴对称， 则()1sin sin 3βα=π-=，cos 3β=-，故()117cos 33339αβ⎛-=⨯-+⨯=- ⎝⎭.3.（2017全国2理14）函数()23s i n c o s 0,42f x x x x ⎛π⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的最大值是 ．解析 ()2233πsin 1cos 0442f x x x x x x ⎛⎫⎡⎤=+-=-+-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，，令c o sx t =且[]01t ∈，，214y t =-+21t ⎛=-+ ⎝⎭，当t ，即6x π=时，()f x 取最大值为1．4.(2017浙江理18)已知函数()()22sin cos cos f x x x x x x =--∈R . （1）求23f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）求()f x 的最小正周期及单调递增区间.解析 （1）由2sin 3π=21cos 32π=-，得222112322f π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. （2）由22cos2cos sin x x x=-，sin22sin cos x x x=，得()co 23s i n 22si n 26fx x x x π⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭， 所以()f x 的最小正周期是2π2T ==π. 由正弦函数的性质得3222,262k x k k πππ+π++π∈Z 剟，解得2,63k x k k ππ+π+π∈Z 剟. 所以()f x 的单调递增区间是2,63k k k ππ⎡⎤+π+π∈⎢⎥⎣⎦Z ，.第四节 解三角形题型55 正弦定理的应用1.（2017天津理15）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知a b >，5,6a c ==，3sin 5B =. （1）求b 和sin A 的值； （2）求πsin 24A ⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 解析 （1）在ABC △中，因为a b >，故由3sin 5B =，可得4cos 5B =.由已知及余弦定理，得2222cos 13b a c ac B =+-=，所以b =由正弦定理sin sin a bA B=，得sin sin a B A b ==.（2）由（Ⅰ）及a c <，得cos A =，所以12sin 22sin cos 13A A A ==，25cos 212sin 13A A =-=-，故πππsin 2sin 2cos cos 2sin 44426A A A ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭. 2.（2017山东理9）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC △为锐角三角形，且满足()sin 12cos 2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是（ ）.A.2a b =B.2b a =C.2A B =D.2B A = 解析因为s i n ()2s i n c o s 2s i A C B C A C A C++=+，所以2sin cos sin cos B C A C =，又02C π<<，得2sin sin B A =，即2b a =.故选A.题型56 余弦定理的应用题型57 判断三角形的形状——暂无 题型58 解三角形的综合应用1.（2017江苏18）如图所示，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm ，容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为cm ，容器Ⅱ的两底面对角线EG ，11E G 的长分别为14cm 和62cm ． 分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm ． 现有一根玻璃棒l ，其长度为40cm （容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）.（1）将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A 处，另一端置于侧棱1CC 上，求l 没入水中部分的长度；（2）将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱1GG 上，求l 没入水中部分的长度．ACA 11容器ⅠE G 1H 1容器Ⅱ解析 （1）由正棱柱的定义，1CC ⊥平面ABCD ，所以平面11A ACC ⊥平面ABCD ，1CC AC ⊥．记玻璃棒的另一端落在1CC 上点M 处，如图所示为截面11A ACC的平面图形．因为AC =40AM =，所以30MC ==，从而3sin 4MAC ∠=.记AM 与水面的交点为1P ， 过点1P 作11PQ AC ⊥，1Q 为垂足，则11PQ ⊥平面ABCD ，故1112PQ =，从而11116sin PQ AP MAC==∠．答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm ．问(1)AC 1A 1CMP 1Q 1（2）如图所示为截面11E EGG 的平面图形，O ，1O 是正棱台两底面的中心．由正棱台的定义，1OO ⊥平面EFGH ， 所以平面11E EGG ⊥平面EFGH ，1O O EG ⊥． 同理，平面11E EGG ⊥平面1111E F G H ，111O O E G ⊥． 记玻璃棒的另一端落在1GG 上点N 处．过G 作11GK E G ⊥，K 为垂足，则132GK OO ==． 因为 14EG =，1162E G =，所以16214242KG -==，从而1GG =40==．设1EGG α∠=，ENG β∠=，则114sin sin cos 25KGG KGG απ⎛⎫=+==⎪⎝⎭∠∠． 因为2απ<<π，所以3cos 5α=-． 在ENG △中，由正弦定理可得4014sin sin αβ=，解得7sin 25β=． 因为02βπ<<，所以24cos 25β=， 于是()()sin sin sin =NEG αβαβ=π--=+∠sin cos cos sin αβαβ+4243735255255⎛⎫=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭． 记EN 与水面的交点为2P ，过2P 作22P Q EG ⊥，2Q 为垂足，则22P Q ⊥平面EFGH ， 故2212P Q =，从而22220sin PQ EP NEG==∠．答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm ．问(2)G O E Q 2P 2NG 1KE 1O 1评注 此题本质上考查解三角形的知识，但在这样的大背景下构造的应用题让学生有畏惧之感，且该应用题的实际应用性也不强．也有学生第（1）问采用相似法解决，解法如下：AC =40AM =，所以30CM ==，1112PQ =，所以由11AP A Q CM △△∽，111PQ AP CM AM =，即1123040AP =，解得116AP =． 答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm ． 2.(2017北京理15)在ABC △中，60A ∠=，37c a =. （1）求sin C 的值；（2）若7a =，求ABC △的面积.解析 （1）在ABC △中，因为60A ∠=，37c a =，所以由正弦定理得sin 3sin 7c A C a ===. （2）因为7a =，所以3737c =⨯=.由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得222173232b b =+-⨯⨯，解得8b =或5b =-（舍）.所以ABC △的面积11sin 8322S bc A ==⨯⨯=3.（2017全国1理17）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC△的面积为23sin a A.（1）求sin sin B C 的值；（2）若6cos cos 1B C =，3a =，求ABC △的周长.分析 本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用.解析 （1）因为ABC △的面积23sin a S A =且1sin 2S bc A =，所以21sin 3sin 2a bc A A =，即223sin 2a bc A =.由正弦定理得223sin sin sin sin 2A B C A =，由sin 0A ≠，得2sin sin 3B C =. （2）由（1）得2sin sin 3B C =，又1cos cos 6B C =，因为πA B C ++=， 所以()()1cos cos πcos sin sinC cos cos 2A B C B C B B C =--=-+=-=.又因为()0πA ∈，，所以60A =，sin A =，1cos 2A =. 由余弦定理得2229a b c bc =+-= ① 由正弦定理得sin sin a b B A =⋅，sin sin a c C A =⋅，所以22sin sin 8sin a bc B C A=⋅= ②由①，②，得b c +=3a b c ++=ABC △周长为34.（2017全国2理17）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2sin 8sin 2B AC +=． (1)求cos B ; (2)若6a c +=，ABC △的面积为2，求.b解析 （1）依题得21cos sin 8sin 84(1cos )22B B B B -==⋅=-． 因为22sin cos 1B B +=，所以2216(1cos )cos 1B B -+=，所以(17cos 15)(cos 1)0B B --=，得c o s 1B =（舍去）或15cos 17B =. （2）由⑴可知8sin 17B =，因为2ABC S =△，所以1sin 22ac B ⋅=，即182217ac ⋅=，得172ac =.因为15cos 17B =，所以22215217a cb ac +-=，即22215a c b +-=，从而22()215a c ac b +--=， 即2361715b --=，解得2b =．5.（2017全国3理17）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知s i n c o s 0A A =，a =2b =．（1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且 AD AC ⊥，求ABD △的面积．解析 （1）由sin 0A A =，得π2sin 03A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即()ππ3A k k +=∈Z ， 又()0,πA ∈，所以ππ3A +=，得2π3A =.由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-⋅.又因为12,cos 2a b A ===-代入并整理得()2125c +=，解得4c =.（2）因为2,4AC BC AB ===，由余弦定理得222cos 2a b c C ab +-==因为AC AD ⊥，即ACD △为直角三角形，则cos AC CD C =⋅，得CD从而点D 为BC的中点，111sin 222ABD ABC S S AB AC A ==⨯⨯⨯⨯=△6.(2017浙江理14)已知ABC △，4AB AC ==，2BC =. 点D 为AB 延长线上的一点，2BD =，联结CD ，则BDC △的面积是___________，cos BDC ∠=__________. 解析 如图所示，取BC 的中点为O ，在等腰ABC △中，AO OB ⊥，所以AO =sin sin 4CBD OBA ??， 所以BDC △的面积为1sin 2BC BD OBA 创葱=．因为2BC BD ==，所以BDC△是等腰三角形，所以2πC B D B D C ??，21cos cos(π2)12cos 4CBDBDC BDC ?-?-?-，解得cos BDC ?OD C B A。
2013-2017高考数学(文)真题分类汇编第4章+三角函数++第2节++三角函数的图像与性质新版
第四章 三角函数第2节 三角函数的图像与性质题型51 已知解析式确定函数性质1.（2013浙江文6）函数()sin cos f x x x x =⋅+的最小正周期和振幅分别是 A.π1，B.π2，C. 2π1，D. 2π2， 1.分析 把函数的解析式化简为只含一个三角函数名的三角函数式，再求周期和振幅.解析 ()1sin 22sin 223f x x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，所以最小正周期为22T π==π，振幅1A =.故选A.2.（2013江苏1）函数π3sin 24y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期为 . 2.分析 利用函数()sin y A x ωϕ=+的周期公式求解. 解析 函数3sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期T 2π==π2. 3.（2014陕西文2）函数()πcos 2+4f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的最小正周期是（ ）.A.π2B.πC.2πD.4π 4.（2014新课标Ⅰ文7）在函数①cos 2y x =，②cos y x =，③cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，④tan 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭中，最小正周期为π的所有函数为（ ）A.①②③B. ①③④C. ②④D. ①③5.（2014天津文8）已知函数()()cos 0,.f x x x x ωωω=+>∈R 在曲线()y f x =与直线1y =的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则()f x 的最小正周期为（ ）.A.π2 B.2π3C.πD.2π6. （2014山东文12）函数22cos 2y x x =+的最小正周期为 . 7.（2014福建文18）（本小题满分12分） 已知函数()2cos (sin cos )f x x x x =+.（1）求5()4f π的值； （2）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间.8.（2015四川文5）下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（ ）. A.πsin 22y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭ B. πcos 22y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C.sin 2cos 2y x x =+D. sin cos y x x =+ 8.解析 由2πT ω=，可知选项A ，B ，C 的周期都是π，选项D 的周期为2π.通过化简可得，选项A ：cos 2y x =，为偶函数； 选项B 为：sin 2y x =-，为奇函数；选项C为：π24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，为非奇非偶函数.故选B.9.（2015全国1文8）函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）. A. ()13π,π44k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z B. ()132π,2π44k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z C. ()13,44k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z D. ()132,244k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z 9.解析 由图可知511244T =-=，得2T =，2ππTω==.画出图中的一条对称轴0x x =，如图所示.由图可知034x =，则3πcos 14ϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，可得3π2ππ4k ϕ+=+， 则()π2π4k k ϕ=+∈Z ，得()πcos π4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.由π2ππ2ππ4k x k ++剟， 得132244k x k -+剟.故选D. 4.（2015湖南文）已知0ω>，在函数2sin y x ω=与2cos y x ω=的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离为ω= . 4.解析 令2sin 2cos x x ωω=，解得2ππ4k x ωω=+和2π5π4k x ωω=+，k ∈Z.2ππ2sin 4k ωωω⎛⎫+= ⎪⎝⎭2π5π2sin 4k ωωω⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以交点的坐标为2ππ4k ωω⎛+ ⎝，2π5π,4k ωω⎛+ ⎝.k ∈Z.距离最短的两个交点一定在同一个周期内，所以((2222π5π2ππ44k k ωωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-++= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，解得π2ω=. 5.（2015浙江文）函数()2sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是 ，最小值是 ． 5.解析 ()1cos 21π3sin 2122242x f x x x -⎛⎫=++=-+ ⎪⎝⎭，所以2ππ2T ==，()min f x =6.（2015天津文）已知函数()()sin cos 0,,f x x x x ωωω=+>∈R 若函数()f x 在区间(),ωω-内单调递增，且函数()f x 的图像关于直线x ω=对称，则ω的值为 ．6.解析 由()f x 在区间(),ωω-内单调递增，且()f x 的图像关于直线x ω=对称，可得π2ωω…，即2π2ω…，且()222πsin cos sin 14f ωωωω⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，所以2ππ42ωω+=⇒= 7.（2015安徽文）已知函数2()(sin cos )cos2f x x x x =++（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.7.解析 （1）因为()()2sin cos cos 21sin 2cos 2f x x x x x x =++=++=π214x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期2π2ππ2T ω===.（2）因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ5π2,444x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则πsin 24x ⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，所以()max 1f x =()min 0f x =.8.（2015北京文）已知函数()2sin 2x f x x =- （1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 在区间2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值.8. 解析 （1）()21cos sin sin 22x xf x x x -=-=-=πsin 2sin 3x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭()f x 的最小正周期2πT =.（2）当（1）知()π2sin 3f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，当2π03x 剟，πππ33x +剟，π0sin 13x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭剟，()2f x函数()f x 在区间2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为9.（2016浙江文3）函数2sin y x =的图像是（ ）.A. B. C. D.9. D 解析 易知为偶函数，所以它的图像关于轴对称，排除A ，C 选项； 当，即，排除B 选项.故选D. 10.（2016上海文8）方程3sin 1cos2x x =+在[]0,2π区间上的解为 . 10.， 解析 ，即， 所以，故.由于，故，. 11.（2016江苏9）定义在区间[]0,3π上的函数sin 2y x =的图像与cos y x =的图像的交点个数是.11.解析 解法一（图像法）：画出函数图像草图，如图所示.共个交点.解法二（解方程）：即解方程，即. 所以或，由. 2sin y x =y 2π2x =x =max 1y =π65π623sin 22sin x x =-22sin 3sin 20x x +-=()()2sin 1sin 20x x -+=1sin 2x =[]0,2πx ∈π6x =5π677sin 2cos x x =2sin cos cos x x x =cos 0x =1sin 2x =[]0,3πx ∈当时，；当时，. 共个根，即共个交点.12.（2016山东文17）设2()π)sin (sin cos )f x x x x x =---. （1）求()f x 的单调递增区间；（2）把()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图像向左平移π3个单位，得到函数()y g x =的图像，求π6g ⎛⎫⎪⎝⎭的值. 12.解析 （1）由，由，得， 所以的单调递增区间是，（或写为）.（2）由（1）知， 把的图像上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）， 得到的图像， 再把得到的图像向左平移个单位，得到的图像， 即所以 13.（2017全国2文3）函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期为（ ）. cos 0x =,,222x π3π5π=1sin 2x =,,,6666x π5π13π17π=77()()()2πsin sin cos f x x x x x =---=()212sin cos x x x --)1cos 2sin 21x x =-+-=sin 21x xπ2sin 213x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()πππ2π22π232k x k k --+∈Z 剟()π5πππ1212k x k k -+∈Z 剟()f x ()π5ππ,π1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ()π5ππ,π1212k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ()fx π2sin 213x ⎛⎫=-⎪⎝⎭()y f x =2y=π2sin 13x ⎛⎫=-⎪⎝⎭π3y 2sin 1x =()2sin 1.g x x =ππ2sin 166g ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭A.4πB.2πC. πD.π213.解析 由题意，22T π==π.故选C.14.（2017山东文7）函数2cos2y x x =+的最小正周期为（ ）. A.π2 B.2π3C.πD. 2π 14.解析 由题意，得2sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，其最小正周期22T π==π.故选C.15.（2017浙江18）已知函数()()22sin cos cos f x x x x x x =--∈R . （1）求23f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）求()f x 的最小正周期及单调递增区间.15.解析 （1）由2sin 3π=21cos 32π=-，得222112322f π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. （2）由22cos 2cos sin x x x =-，sin 22sin cos x x x =，得()cos 222sin 26f x x x x π⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期是2π2T ==π.由正弦函数的性质得3222,262k x k k πππ+π++π∈Z 剟，解得2,63k x k k ππ+π+π∈Z 剟. 所以()f x 的单调递增区间是2,63k k k ππ⎡⎤+π+π∈⎢⎥⎣⎦Z ，.题型52 函数的值域(最值)1. (2013天津文6）函数π()sin 24f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是( ).A. 1-B.C.D. 01.分析：确定出π24x -的范围，根据正弦函数的单调性求出最小值. 解析 因为π0,,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以ππ3π2,444x --≤≤所以当ππ244x -=-时，()πsin 24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭有最小值故选B. 2.（2013江西文13）设sin3cos3f x x x =+（），若对任意实数x 都有||f x a （）…，则实数a 的取值范围是 .2.解析 由于()π3cos32sin 36f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则()π2sin 326f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭≤，要使()f x a ≤恒成立，则2a ≥.答案[)2,+∞.3. (2013陕西文14）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x 为 m .3.解析 设矩形花园的宽为y m ，则404040x y-=，即40y x =-,矩形花园的面积()()22404020400S x x x x x =-=-+=--+，当20x =m时，面积最大．4. （2013江苏18）如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲.乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50m /min .在甲出发min 2后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留min 1后，再从匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130m /min ，山路AC 长为1260m ，经测量，1312cos =A ，53cos =C . （1）求索道AB 的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ （3）为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？4.分析 （1）由c o s A ，cos C 的值可求得sin B 的值，然后在ABC △中利用正弦定理可得AB 的长度；（2）利用余弦定理将乙与甲之间的距离表示为出发时间的 函数，然后求得函数的最小值，即得最短距离.（3）利用正弦定理求出BC 的长，再根据题 意列不等式求解.解析 （1）在ABC △中，因为12cos 13A =，3cos 5C =，所以54sin ,sin 135A C ==.从而()()sin sin sin B A C A C =π-+=+⎡⎤⎣⎦sin cos cos sin A C A C=+ CBA40m531246313513565=⨯+⨯=. 由正弦定理sin sin AB AC C B =，得()12604sin 1040m 63sin 565AC AB C B =⋅=⨯=.所以索道AB 的长为1040m .（2）假设乙出发min t 后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了()10050m t +，乙距离A 处130m t ，所以由余弦定理得()()22210050130d t t =++()213010050t t -⨯⨯+⨯()212200377050.13t t =-+ 由于10400130t ≤≤，即08t ≤≤，故当()35min 37t =时，甲、乙两游客距离最短.（3）由正弦定理sin sin BC AC A B =，得()12605sin 500m 63sin 1365AC BC A B=⋅=⨯=.乙从B 出发时，甲已走了()()50281550m ⨯++=，还需走710m 才能到达C . 设乙步行的速度为m/min v ，由题意得5007103350v --≤≤，解得1250625434v ≤≤， 所以为使两游客在C 处互相等待的时间不超过3min ，乙步行的速度应控制在()1250625,m /min 4314⎡⎤⎢⎥⎣⎦单位：范围内. 5.（2013山东文18）设函数2()sin cos (0)f x x x x ωωωω=-->，且y =()f x图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4．（1） 求ω的值；（2）求()f x 在区间3ππ,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． 5.分析 （1）先利用倍角公式，两角和、差的三角公式把函数()f x 的解析式进行化简整理， 再利用对称中心到最近的对称轴的距离为4π求出ω；（2）先根据x 的取值范围求出23x π-的取值范围，然后利用三角函数的图象，并结合其单调性求出()f x 的最值. 解析 （1）()2sin cos f x x x x ωωω=-1cos 21sin 222x x ωω-=-12sin 22x x ωω=-sin 23x ωπ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. 因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4π，又0ω>，所以24ωππ=⨯24.因此1ω=.（2）由（1）知()sin 2f x x π⎛⎫=-- ⎪3⎝⎭. 当x 3ππ2≤≤时，2x 5ππ8π-332≤≤.所以sin 2x π⎛⎫-1 ⎪3⎝⎭≤.因此()f x -12≤≤.故()f x 在区间3,2π⎡⎤π⎢⎥⎣⎦1-. 6. (2013安徽文16）设函数()sin sin 3f x x x π⎛⎫=++⎪⎝⎭. （1）求()f x 的最小值，并求使()f x 取得最小值x 的集合；（2）不画图，说明函数()y f x =的图象可由sin y x =的图象经过怎样变化得到.6. 分析 （1）先逆用两角和正弦公式把()f x 化成关于一个角的三角函数，再利用正弦函 数性质计算；（2）利用三角函数图象的变换规律求解.解析 （1）因为()1sin sin 22f x x x x =++3sin 226x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.所以当()26x k k ππ+=π-∈2Z ，即()223x k k π=π-∈Z 时，()f x 取得最小值此时x 的取值集合为22,3x x k k ⎧π⎫=π-∈⎨⎬⎩⎭Z .（2）先将sin y x =，得y x =的图象；再将y x =的图象上所有的点向左平移π6个单位，得()y f x =的图象.7. (2013陕西文16）已知向量)1cos cos22x x x x ⎛⎫=-=∈ ⎪⎝⎭R ，，，，a b ，设函数()f x =⋅a b .（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值和最小值.7.分析 利用向量数量积运算及辅助角公式将()f x 化为一个角的一种三角函数，利用公式 确定周期；利用正弦函数的性质确定最值．解析 ())1c o s ,3s i n ,c o s 22fx x x x⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭11sin cos 22cos 2222x x x x x =-=-πππcos sin 2πsin cos 2πsin 2666x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.（1）()f x 的最小正周期为2π2ππ2T ω===，即函数()f x 的最小正周期为π.（2）因为π02x ≤≤，所以ππ5π2666x --≤≤.由正弦函数的性质，得当ππ262x -=，即π3x =时，()f x 取得最大值1；当ππ266x -=-，即0x =时，()102f =-；当π52π66x -=，即π2x =时，π122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小值为12-. 因此，()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是1，最小值是12-．8. (2013重庆文18）在ABC △中，内角AB C ，，的对边分别是a b c ，，，且222a b c =+.（1）求A ；（2）设a S =为ABC △的面积，求3cos cos S B C +的最大值，并指出此时B 的值. 8.分析 利用正、余弦定理及差角三角函数直接运算解答.解析 （1）由余弦定理得222cos 222b c a A bc bc +-===-又因为0πA <<，所以5π6A =.（2）由（1）得1sin 2A =.又由正弦定理及a = 11sin sin sin 3sin sin 22sin a B S ab C a C B C A==⋅⋅=，因此，3cos cos S B C +()3sin sin cos cos B C B C =+()3cos B C =-. 所以，当B C =，即ππ212A B -==时，2cos cos S B C +取最大值3.9.（2013辽宁文17） 设向量)()πsin cos sin 02a x x b x x x ⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦，，，，，.（1）若a b =，求x 的值；（2）设函数()f x a b =⋅，求()f x 的最大值.9.分析 分别表示两向量的模，利用相等求解x 的值；利用数量积运算及辅助角公式化为一 个角的一种函数求解.解析 （1）由)2222sin 4sin x x x =+=a ，222cos sin 1x x =+=b ，及=a b ，得24sin 1x =.又π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，从而1sin 2x =，所以π6x =.（2）()2cos sin f x x x x =⋅=⋅+a b 112cos 222x x =-+1sin 262x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当ππ0,32x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦时，πsin 26x ⎛⎫- ⎪⎝⎭取最大值1． 所以()f x 的最大值为32． 10.（2014新课标Ⅱ文14）函数()sin()2sin cos f x x x ϕϕ=+-的最大值为 .11.（2014江苏14）若ABC △的内角满足sin 2sin A B C =，则cos C 的最小值是 ．12.（2014北京文16）（本小题满分13分）函数()π3sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的部分图像如图所示.（1）写出()f x 的最小正周期及图中0x ，0y 的值； （2）求()f x 在区间ππ,212⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.12. 解析 （I ）()f x 的最小正周期为π.007π36x y =⋅=. （II ）因为ππ,212x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，所以π5π2,066x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦.于是，当π206x +=，即π12x =-时，()f x 取得最大值0；当ππ262x +=-，即π3x =-时，()f x 取得最小值3-. 评注 本题主要考查函数()sin y A x ωϕ=+的图像和性质，熟练掌握三角函数的图像是解题的关键，属基础题.13．（2014湖北文18）（本小题满分12分） 某实验室一天的温度（单位：C ）随时间t （单位：h ）的变化近似满足函数关系：()ππ10sin 1212f t t t =-，[)024t ∈，. （Ⅰ）求实验室这一天上午8时的温度； （Ⅱ）求实验室这一天的最大温差.14.（2016全国甲文11）函数()πcos26cos 2f x x x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭的最大值为（ ）. A.4 B.5 C.6 D.714. B 解析 ，()()cos 26sin f x x x =+22sin 6sin 1x x =-++23112sin 22x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭所以当时，取得最大值.故选B.15.（2016江苏14）在锐角三角形ABC 中，若sin 2sin sin A B C =，则ta n t a n t a n A B C 的最小值是 .15.分析 求解多元最值问题，首要的关键是考虑如何消参.解析 解法一：由 （*） 由三角形为锐角三角形，则， 同时除以得. 又，所以.故，不妨设，故，所以当，即时，. 此时，，解得（或互换）， 此时均为锐角，满足条件.解法二：由解法一部分可知， 在锐角三角形中，， 而，即，从而（这个公式课本中作为例题出现要求证明）.故整理得，当且仅当，， 解得（或互换），sin 1x =()f x 2615-++=8()sin sin A B C =+sin cos cos sin2sin sin B C B C B C =+=ABC cos 0,cos 0B C >>cos cos B C tan tan 2tan tan B C B C +=()tan tan tan tan 01tan tan B CA B C B C+=-+=->-tan tan 1B C >tan tan tan A B C tan tan 2tan tan 1tan tan B C B C B C +⎛⎫=-⎪-⎝⎭tan tan t B C =()1t >2222tan tan tan 111t A B C t t t==--+112t =2t =()min tan tan tan 8A B C =tan tan 4B C +=tan tan 2B C =tan 224B C A ==+=tan ,tan B C ,,A B C tan tan 2tan tan B C B C +=tan ,tan ,tan 0A B C >()tan tan tan tan 1tan tan B CA B C B C+=-+=--()tan 1tan tan tan tan A B C B C -+=+tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++tan tan tan tan 2tan tan A B C A B C =+…tan tan tan 8A B C …tan tan 4B C +=tan 2tan tan 4A B C ==tan 224B C A ==+=tan ,tan B C此时均为锐角，满足条件.评注 从表面此题看似等价，但构造等腰三角形求解出的最值却不正确，因此等价的思想也需慎用.如果注意到此题的结构，我们优先考虑切化弦，且优先考虑搭配， 则有：解法三：（因为）.最后检验一下是否存在即可.16.（2017全国2文13）函数()cos sin =2+f x x x 的最大值为 .16.解析因为()())tan 2f x x ϕϕ=+=，所以()max f x 17.（2017全国3文6）函数()1ππsin cos 536f x x x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为（ ）. A ．65B ．1C ．35D ．1517.解析 11()sin sin sin sin 5362533f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-+=+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 6sin 53x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭.故选A. 评注 本题属于中档题，基础差一点的学生在解题思路方面可能会存在一定问题，三角恒等变换中公式的选择对于学生来说是一个难点，对于老师教学来说是一个重点，选择合适的公式能起到事半功倍的效果！18.（2017江苏16）已知向量()cos ,sin x x =a，(3,=b ，[]0,πx ∈． （1）若∥a b ，求x 的值；（2）记()f x =⋅a b ，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值．18.解析 （1）因为()cos ,sin x x =a，(3,=b ，∥a b ，所以3sin x x =，若cos 0x =，则sin 0x =，与22sin cos 1x x +=矛盾，因此cos 0x ≠．,,A B C ,B C sin sin B C sin sin sin tan tan tan =cos cos cos A B CA B C A B C=()22sin sin 1sin sin cos cos cos cos B C B C B C B C⨯-…()222sin sin 8sin sin 2B C B C =⎛⎫⎪⎝⎭22a b ab +⎛⎫ ⎪⎝⎭…所以tan 3x =-，由[]0,πx ∈，所以56x =π．（2）()()(cos ,sin 3,x x f x =⋅=⋅ab 3cos 6x x x ⎛⎫=-=+⎝π⎪⎭． 因为[]0,πx ∈，所以,666x ππ7⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦π，所以1cos 62x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭π剟． 所以当66x +ππ=，即0x =时，()f x 的最大值为3； 当6x +π=π，即6x 5π=时，()f x的最小值为-题型53 根据条件确定解析式1. （2013四川文6）函数()()ππ2sin >0<<22f x x ωϕωϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，的部分图象如图所示，则ωϕ，的值分别是（ ）.A. π23-，B. π26-，C. π46-，D. π43， 1.分析 借助三角函数的图象和性质求解.解析 因为115,21212T =π-π所以T =π. 又()20T ωωπ=>，所以2ωπ=π，所以2ω=.由五点作图法可知当512x =π时，x ωϕπ+=2，即52122ϕπ⨯π+=，所以3ϕπ=-. 故选A.2.（2014江苏5）已知函数cos y x =与()sin 2y x ϕ=+()0ϕ<π≤，它们的图像有一个横坐标为3π的交点，则ϕ的值是 ． 3.（2014大纲文16）直线1l 和2l 是圆222x y +=的两条切线，若1l 与2l 的交点为（1，3），则1l 与2l 的夹角的正切值等于 .4.（2016全国甲文3）函数的部分图像如图所示，则（ ）.A.π2sin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B.π2sin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C.π2sin 6y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭D.π2sin 3y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭4.A 解析 解法一：当时，，排除C ，D.当时，，代入A 满足.故选A.5.（2016上海文17）设a ∈R ，[]0,2πb ∈.若对任意实数x 都有πsin 33x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭()sin ax b +，则满足条件的有序实数对(),a b 的对数为（ ）.A.1B.2C.3D.4 5.解析 ①当时，则；②当时，则.共组.故选B.评注 事实上确定了，则能唯一确定，因此共组. 6.（2016天津文8）已知函数)0(21sin 212sin)(2>-+=ωωωx xx f ，x ∈R .若)(x f 在区间(π,2π)内没有零点，则ω的取值范围是（ ）. A.10,8⎛⎤ ⎥⎝⎦ B.150,,148⎛⎤⎡⎫ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ C.50,8⎛⎤⎥⎝⎦ D.1150,,848⎛⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦6. D 解析 由题意()f x =1cos 2x ω-+sin 122x ω-=π24x ω⎛⎫- ⎪⎝⎭. 由，即，得.又，因此， 0x =0y <3x π=2y =3a =3b 5π=3a =-4π3b =2a b 2()0f x =πsin 04x ω⎛⎫-= ⎪⎝⎭()ππ+4k x k ω=∈Z ()()ππ+4π,2πk x k ω=∉∈Z 115599,,,848484ω⎛⎫⎛⎫⎛⎫∉⋅⋅⋅=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭115,,848⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以.故选D. 7.（2016全国乙文12）若函数1()sin 2sin 3f x x x a x =-+在(),-∞+∞上单调递增，则a 的取值范围是（ ）.A.[]1,1-B.11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C.11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D.11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦7. C 解析 问题转化为对恒成立， 故，即恒成立. 令，得对恒成立. 解法一：构造，开口向下的二次函数的最小值的可能值为端点值，故只需保证，解得.故选C.解法二：①当时，不等式恒成立； ②当时，恒成立，由在上单调递增， 所以，故；③当时，恒成立.由在上单调递增，，所以. 综上可得，.故选C. 1150,,848ω⎛⎤⎡⎤∈ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦()21cos2cos 03f x x a x '=-+…x ∈R ()2212cos 1cos 03x a x --+…245cos cos 033a x x -+…cos x t =245033t at -++…[]1,1t ∈-()24533g t t at =-++()g t ()()11031103g a g a ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩……1133a -剟0t =01t <…1543a t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭…y =1543t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭01t <…()1511445333t t ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭…13a -…10t -<…1543a t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭…y =1543t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭10t -<…()1511445333t t ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭...13a (1)133a -剟评注 曾经谈到必要条件的问题，如取，则转化为，因此直接选择C 选项.这缘于运气好，若不然取，则式子恒成立；取，则，此时只能排除A 选项.此外，可在未解题之前取，此时，则，但此时，不具备在上单调递增，直接排除A ，B ，D.故选C.8. （2016浙江文11）已知22cos sin2sin()(0)x x A x b A ωϕ+=++>，则A =________，b =________.8.解析 ，所以，.9.（2016上海文5）若函数()4sin cos f x x a x =+的最大值为5，则常数a =. 9.解析 由辅助角公式可知函数，故.10.（2016北京文16）已知函数()()2sin cos cos20f x x x x ωωωω=+>的最小正周期为π. （1）求ω的值；（2）求()f x 的单调递增区间. 10.解析 （1）因为，所以的最小正周期.依题意，解得. （2）由（1）知，.函数的单调递增区间为. cos 1x =13a -…cos 0x =cos 1x =-13a …1a =-()1sin 2sin 3f x x x x =--()21cos2cos 3f x x x '=--()22011033f '=--=-<(),-∞+∞12π2cos sin 2214x x x ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭A =1b =3±()f x 5=3a =±()2sin cos cos2sin2cos2f x x x x x x ωωωωω=+=+=π24x ω⎛⎫+ ⎪⎝⎭()f x 2ππ2T ωω==ππω=1ω=()π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭sin y x =()ππ2π,2π22k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z由，得.所以的单调递增区间为. 11.（2017天津文7）设函数()2sin(),f x x x ωϕ=+∈R ，其中0,||πωϕ><.若5π28f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，11π08f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()f x 的最小正周期大于2π，则（ ）. A.2π,312ωϕ== B.211π,312ωϕ==- C.111π,324ωϕ==- D.17π,324ωϕ== 11.解析 解法一：由题意，得125π282118k k ωϕωϕπ⎧+=π+⎪⎪⎨π⎪+=π⎪⎩，其中12,k k ∈Z ，所以()2142233k k ω=--.又22T ωπ=>π，所以01ω<<，所以23ω=，11212k ϕ=π+π，由ϕ<π，得π12ϕ=.故选A ． 解法二：由5π28f ⎛⎫=⎪⎝⎭，11π08f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，知()11π5π3π214884T k +=-=，所以3π21T k =+.又()f x 的最小正周期2πT >，故0k =，3πT =，2π23T ω==，所以将5π8x =代入()2sin()f x x ωϕ=+，得125ππ2π382k ϕ⨯+=+，1k ∈N ，||πϕ<，解得π12ϕ=.题型54 三角函数图像变换1. （2013湖北文6）将函数sin ()y x x x =+∈R 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ）. A ．π12B ．π6C ．π3D ．5π61.分析 先将函数解析式化简，再写出平移后的解析式，然后根据函数为偶函数求得m 的值.πππ2π22π242k x k -++剟3ππππ88k xk -+剟()f x ()3πππ,π88k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z解析 由于πsin 2cos 6y x x x ⎛⎫=+=-⎪⎝⎭，向左平移()0m m >个单位长度后得到函数π2cos 6y x m ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象，由于该图象关于y 轴对称，所以()ππ6m k k -=∈Z ，于是()ππ6m k k =+∈Z ，又0m >，故当0k =时，m 取最小值π6.故选B. 2．(2013福建文9）将函数()()ππsin 222f x x θθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图像向右平移()1ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x 的图像，若()(),f x g x 的图像都经过点0P ⎛ ⎝⎭，则ϕ的值可以是（ ）.A ．5π3 B ．5π6 C ．π2 D ．π62.分析 先求出解析式中的字母的聚取值，再利用代入法确定答案.解析 因为P ⎛ ⎝⎭在()f x 的图象上，所以()0sin 2f θ==. 因为ππ22θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，所以π=3θ，所以()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 所以()()πsin 23g x x ϕ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦.因为()02g =，所以sin 232ϕπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.验证，5π6ϕ=时，ππ54sin 2sin πsin π33332ϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选B. 3.（2014四川文3）为了得到函数()sin 1y x =+的图像，只需把函数sin y x =的图像上所有的点（ ）.A.向左平行移动1个单位长度B.向右平行移动1个单位长度C.向左平行移动π个单位长度D.向右平行移动π个单位长度 4.（2014福建文7）将函数sin y x =的图像向左平移2π个单位，得到函数()y f x =的图像，则下列说法正确的是（ ）.A.()y f x =是奇函数B. ()y f x =的周期是πC. ()y f x =的图像关于直线2x π=对称 D. ()y f x =的图像关于点02π⎛⎫- ⎪⎝⎭，对称5. （2014安徽文7）若将函数()sin2cos2f x x x =+的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是（ ） A.8π B.4π C.83π D.43π5. 解析 由()πsin 2cos 224f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭知()f x 图像的对称轴方程为()ππ28k x k =+∈Z ，因此在y 轴左侧且离y 轴最近的对称轴方程为3π8x =-.依题意结合图像知，ϕ的最小正值为3π8，故选C.评注 本题考查三角函数的图像和性质. 6. （2014辽宁文11）将函数3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移2π个单位长度，所得图像对应的函数（ ）. A ．在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 B ．在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增7.（2014浙江文4）为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数y x 的图像（ ）.A ．向右平移π12个单位 B ．向右平移π4个单位 C ．向左平移π12个单位 D ．向左平移π4个单位8.（2014重庆文13）将函数()()sin 022f x x ωφωφππ⎛⎫=+>-< ⎪⎝⎭，≤图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移6π个单位长度得到x y sin =的图像，则6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭______. 9.（2015山东文）要得到函数sin 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 4y x =的图像（ ）. A. 向左平移12π个单位B. 向右平移12π个单位 C. 向左平移3π个单位 D. 向右平移3π个单位 9.解析 因为ππsin 4sin 4312y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以要得到πsin 43y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像， 只需要将函数sin 4y x =的图像向右平移π12个单位.故选B. 10.（2015陕西文）如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数π3sin()6y x k ϕ=++，据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为（ ）．A ．5B ．6C ．8D ．1010.解析 由图像得，当πsin 16x ϕ⎛⎫+=-⎪⎝⎭时，即π3sin 6y k ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最小值 为2，求得，所以π3sin 56y ϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭，max 358y =+=. 11.（2015重庆文）已知函数()21sin22f x x x =. （1）求()f x 的最小周期和最小值；（2）将函数()f x 的图像上每一点的横坐标伸长到原来min 2y =5k =时间/h的两倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图像.当π,π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()g x 的值域.11.解析 （1）())211sin 2sin 21cos 222f x x x x x ==+=1sin 22sin 222232x x x π⎛⎫--=--⎪⎝⎭因此()f x 的最小正周期为π，最小值为．（2）由条件可知：()sin 23x g x f x π⎛⎫⎛⎫==-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当,2x π⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦时有，2,363x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，从而sin 3x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，那么sin 3x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值域为⎣⎦，故()g x 在区间,2π⎡⎤π⎢⎥⎣⎦上的值域是1222⎡-⎢⎣⎦.12.（2015福建文）已知函数()2cos 10cos 222x x xf x =+. （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）将函数()f x 的图像向右平移π6个单位长度，再向下平移a （0a >）个单位长度后得到函数()g x 的图像，且函数()g x 的最大值为2． （ⅰ）求函数()g x 的解析式；（ⅱ）求证：存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >．12.分析 （1）先利用二倍角公式和余弦降幂公式将()f x 化为()π10sin 56f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，然后利用2πT ω=求最小正周期；（2由函数()f x 的解析式中给x 减π6，再将所得解析式整体减去a 得()g x 的解析式为()10sin 5g x x a =+-，当sin x 取1时，()g x 取得最大值105a +-，列方程求得13a =，从而()g x 的解析式可求；欲证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >，可解不等式()00g x >，只需解集的长度大于1，此时解集中一定含有整数，由周期性可得，必存在无穷多个互不相同的正整数0x ．解析 （1因为()2cos 10cos 222x x x f x =+=π5cos 510sin 56x x x ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭.所以函数()f x 的最小正周期2πT =． （2（i ）将()f x 的图像向右平移π6个单位长度后得到10sin 5y x =+的图像，再向下平移()0a a >个单位长度后得到()10sin 5g x x a =+-的图像．又函数()g x 的最大值为2，所以1052a +-=，解得13a =． 所以()10sin 8g x x =-．（ii ）要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得010sin 80x ->，即04sin 5x >．由452<知，存在0π03α<<，使得04sin 5α=． 由正弦函数的性质可知，当()00,πx αα∈-时，均有4sin 5x >． 因为sin y x =的周期为2π，所以当()()002π,2π+πx k k k αα∈+-∈Z 时，均有4sin 5x >． 因为对任意的整数k ，()()000π2π+π2ππ213k k ααα--+=->>，所以对任意的正整数k ，都存在正整数()()002π,2ππk x k k k αα∈++-∈Z ，使得4sin 5k x >．即存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >． 13.（2015湖北文）某同学将“五点法”画函数()()πsin 02f x A x ωϕωϕ，⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭在某一个时期内的图像时，列表并填入部分数据，如表所示：（1）请将上述数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数()f x 的解析式；（2）将(y f x =()y g x =图像，求()y g x =的图像离原点O 最近的对称中心.13.解析 (1)根据表中已知数据，解得π5,2,6A ωϕ===. 数据补全如表所示：且函数表达式为()π5sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.(2由(1)知π()5sin(2)6f x x =-，因此 πππ()5sin 25sin 2666g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.因为sin y x =的对称中心为()π0k ，，k ∈Z . 令π2π6x k +=，解得ππ212k x =-，k ∈Z ，即()y g x =图像的对称中心为ππ0212k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，k ∈Z ， 其中离原点O 最近的对称中心为π012⎛⎫- ⎪⎝⎭，. 14.（2016四川文4） 为了得到函数πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需把函数sin y x =的图像上所有的点（ ）.A. 向左平行移动π3个单位长度 B. 向右平行移动π3个单位长度 C. 向上平行移动π3个单位长度 D. 向下平行移动π3个单位长度14.A 解析 由题意，为得到函数，只需把函数的图像上所有的点向左移个单位.故选A. 15.（2016全国乙文6）若将函数π2sin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为（ ）. A.π2sin 24y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭ B.π2sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C.π2sin 24y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭ D.π2sin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭15. D 解析 将函数的图像向右平移个周期，即向右平移个单位， 故所得图像对应的函数为.故选D. 16.（2014全国丙文14）函数sin y x x =图像可由函数2sin y x =的图像至少向右平移______个单位长度得到. 16.解析 由，得，所以可由函数至少向右平移才能得到.πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭sin y x =π3π2sin 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭14π4ππ2sin 246y x ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦π2sin 23x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π3sin y x x =π2sin 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭2sin y x =π3。
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第四节 解三角形题型55 正弦定理的应用1. (2013天津理6）在ABC △中，π,3,4AB BC ABC =∠==则sin BAC ∠=（ ）. ABCD2. (2013湖南理3）在锐角中ABC △，角,A B 所对的边长分别为,a b .若2sin ,a B =A 则角等于（ ）. A ．π12 B ．π6 C ．π4 D ．π33.(2013安徽12)设ABC △的内角AB C ，，所对边的长分别为a b c ，，.若23sin 5sin b c a A B +==，，则角C = .4.（2013浙江理16）ABC △中，90C ∠=，M 是BC 的中点，若31sin =∠BAM ，则=∠BAC sin ________.5.（2014 北京理 15）如图所示，在ABC △中，π3B ∠=，8AB =，点D 在BC 边上，且71cos ,2=∠=ADC CD . （1）求BAD ∠sin ； （2）求AC BD ,的长.6.（2015广东）设ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c．若a =1sin 2B =，6C π=，则b = ．6.解析 解法一：因为且()0,B ∈π，所以6B π=或6B 5π=． 又6C π=，所以6B π=，所以b c =，且23A B C π=π--=．又a =2222cos a b c bc A =+-，所以22232cos3b c bc π=+-．又b c =，解得21b =，所以1b =． 解法二：因为且()0,B ∈π，所以6B π=或6B 5π=．又6C π=，所以6B π=， 1sin 2B =1sin 2B =D A23A B C π=π--=．又a =sin 1sin a Bb A==．故应填1. 7.（2015湖南）设ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan a b A =，且B 为钝角.（1）证明：π2B A -=； （2）求sin sin A C +的取值范围. 7.解析（1）由tan a b A =及正弦定理，得sin sin cos sin A a AA b B==,所以sin cos B A =， 即πsin sin 2B A ⎛⎫=+⎪⎝⎭，又B 为钝角，因此π2A +∈π,π2⎛⎫⎪⎝⎭，故π2B A =+，即π2B A -=.（2）由（1）知，()ππππ22022C A B A A ⎛⎫=-+=-+=-> ⎪⎝⎭，所以π0,4A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 于是πsin sin sin sin 2sin cos 22A C A A A A ⎛⎫+=+-=+=⎪⎝⎭22sin sin 1A A -++2192sin 48A ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，因为π04A <<,所以0sin A <<,因此2<21992sin 488A ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭…，由此可知sin sin A C +的取值范围是928⎛⎤ ⎥ ⎝⎦. 8.（2016全国甲理13）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4cos 5A =，5cos 13C =，1a =，则b = ． 8.2113解析 解法一：由题可知3sin 5A =，12sin 13C =.由正弦定理sin sin a c A C =可得2013c =.由射影定理可得21cos cos 13b a Cc A =+=.解法二：同解法一，可得2013c =.又()cos cos B A C =-+=sin cos cos cos A C A C -=1665.由余弦定理可得2113b =. 解法三：因为4cos 5A =，5cos 13C =，3sin 5A =，12sin 13C =，()sin sin B A C =+=63sin cos +cos sin 65A C A C =.由正弦定理得sin sin b aB A=，解得2113b =．9.（2016江苏15）在ABC △中，6AC =，4cos 5B =，π4C =． （1）求AB 的长； （2）求πcos 6A ⎛⎫-⎪⎝⎭的值． 9. 解析 （1）因为4cos 5B =，而()0,B ∈π，所以3sin 5B ==. 由正弦定理sin sin AB AC C B =，故sin sin AC AB C B=65==（2）因为()cos cos sin sin cos cos A C B B C B C =-+=-，所以cos 10A =-. 又()0,A ∈π，所以sin 10A ==，故π1cos sin 62A A A ⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭． 10.（2016浙江理16）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c .已知2cos b c a B +=.（1）求证：2A B =；（2）若ABC △的面积24a S =，求出角A 的大小.10.解析 （1）由正弦定理得sin +sin 2sin cos B C A B =，故2sin cos sin sin()sin sin cos cos sin A B B A B B A B A B =++=++， 于是sin sin().B A B =-又A ，()0,πB ∈，故0πA B <-<，所以π()B A B =--或B A B =-，因此=πA （舍去）或2A B =，所以2.A B =（2）由24a S =，得21sin 24a ab C =.由正弦定理得1sin sin sin 2sin cos 2B C B B B ==，因为sin 0B ≠，得sin cos C B =．又Β，()0,πC ∈，所以π2C B =±． 当π2B C +=时，由πA B C ++=，2A B =，得π2A =； 当π2C B -=时，由πA B C ++=，2A B =，得π4A =．综上所述，π2A =或π4A =． 11.（2017天津理15）在中，内角所对的边分别为.已知，，. （1）求和的值； （2）求的值. 11.解析 （1）在中，因为，故由，可得.由已知及余弦定理，得，所以.由正弦定理，得. （2）由（Ⅰ）及，得，所以，，故. 12.（2017山东理9）在中，角，，的对边分别为，，．若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是（ ）.A. B. C. D. 12.解析 因为，所以，又，得，即.故选A. 题型56 余弦定理的应用1. (2013重庆理20）在ABC △中，内角AB C ，，的对边分别是a b c ，，，且222a b c +=.（1）求C ；ABC △,,A B C ,,a b c a b >5,6a c ==3sin 5B =b sin A πsin 24A ⎛⎫+⎪⎝⎭ABC △a b >3sin 5B =4cos 5B =2222cos 13b a c ac B =+-=b =sin sin a b A B=sin sin a B A b ==a c<cos A =12sin 22sin cos 13A A A ==25cos 212sin 13A A =-=-πππsin 2sin 2cos cos 2sin 44426A A A ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭ABC △A B C a b c ABC △()sin 12cos 2sin cos cos sin B C A C A C +=+2a b =2b a =2A B =2B A =sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+2sin cos sin cos B C A C =02C π<<2sin sin B A =2b a =（2）设()()2cos cos cos cos 5cos 5A B A B ααα++==，，求tan α的值. 2.（2013山东理17）设ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且6a c +=，2b =，7cos 9B =. （1）求a ，c 的值； （2）求()sin A B -的值.3.（2014 江苏理 14）若ABC △的内角满足sin 2sin A B C =，则cos C 的最小值是 ．4.（2014 天津理 12）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c .已知14b c a -=，2sin B 3sin C =，则cos A 的值为_______.5.（2014 湖南理 18）如图所示，在平面四边形ABCD 中，1AD =，2CD =，AC =. （1）求cos CAD ∠的值；（2）若cos BAD ∠=，sin CBA ∠=BC 的长.6.（2015安徽）在ABC △中，3,6,4A AB AC π∠===点D 在BC 边上，AD BD =，求AD 的长．6.解析 解法一：设ABC △的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，由余弦定理得(222222cos 6a b c bc BAC =+-∠=+-326cos4π⨯⨯=1836+- ()3690-=，所以a =所以由正弦定理得sin sin b BACB a∠===，由题设知04B π<<，所以cos B ===在ABD △中，由正弦定理得()sin sin 2AB B AD B ==π-6sin 32sin cos cos B B B B==ABCD解法二：如图所示，设AD BD x ==．由余弦定理得222BC AB AC =+-(222cos 6AB AC BAC ∠=+-326cos4π⨯⨯=90，所以BC =在ABD △中，设ADB θ∠=，则ADC θ∠=π-，故222AB AD BD =+-2cos AD BD θ，即223622cos x x θ=- ①222AC AD DC =+-()2cos AD DC θπ-，即()()22182cos x xx x θ=++ ②由式①，式②得x =，即AD =7.（2015福建）若锐角ABC △的面积为，且5,8AB AC == ，则BC = ．7.解析 由已知得ABC △的面积为1sin 20sin 2AB AC A A ==所以sin A =．又因为0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3A π=．由余弦定理得222BC AB AC =+-2cos 49AB AC A =，所以7BC =． 8.（2015江苏）在ABC △中，已知2AB =，3AC =，60A =︒． （1）求BC 的长； （2）求sin 2C 的值． 8.解析 （1）由余弦定理2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅14922372=+-⨯⨯⨯=，解得BC =（2）222cos 2AC BC AB C AC BC +-=⋅==.因为()0,C ∈π，故sin C ==， DCBA故sin22sin cosC C C=⋅2==．评注可不化简，有时候会利于下面的运算．9.（2015陕西）CAB△的内角,,A B C所对的边分别为a，b，c．向量()a=m与()cos,sinA B=n平行．（1）求A；（2）若a=2b=，求CAB△的面积．9.解析（1）由//m n可知，cos sinaA B=，由正弦定理，得sincosAA=tan A=π3A⇒=.(2)由余弦定理，得2222147cos2222b c a cAab c+-+-=⇒=⇒⨯3c=.所以11πsin23sin223ABCS bc A==⨯⨯⨯=△10.（2016天津理3）在ABC△中，若AB，3BC=，120C∠=，则AC=（）.A.1B.2C.3D.410.A解析由余弦定理得21393AC AC=++，解得1AC=.故选A.11.（2016全国丙理8）在ABC△中，π4B=，BC边上的高等于13BC，则c o s=A（）.C.-D.-11. C 解析如图所示.依题意，3AB BC=，3AC BC=.在ABC△中，由余弦定理得222cos2AB AC BCAAB AC+-==⋅2222252BC BC BC BC+--==故选C.A12.（2016北京理15）在ABC △中，222a cb +=. （1）求B ∠的大小；（2cos cos A C +的最大值. 12. 解析 （1）由题设可得222ac b +-=.由余弦定理，可得222cos 222a cb B ac ac +-===.又0πB <∠<，所以π4B ∠=.（2）由（1）可得，3π4A C +=，3π0,4A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 再由()πA B C++=，得πcos cos()cos 4C A B A ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，πcos cos 4A C A A ⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭A A A ⎫-=⎪⎪⎝⎭πcos sin 224A A A ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭.由3π0,4A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得ππ,π44A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以当且仅当ππ42A +=，即π4A =cos A C + 取到最大值，且最大值是1. 题型57 判断三角形的形状1. (2013陕西理7） 设ABC △的内角AB C ，，所对的边分别为a b c ，，，若cos cos sin b C c B a A +=，则ABC △ 的形状为（ ）.A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不确定 题型58 解三角形的综合应用1. (2013陕西理9） 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于2300m 的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x （单位m ）的取值范围是（ ）. A. []1520， B. []1225， C. []1030， D. []2030，2.（2014 江西理4）在ABC △中，内角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c .若()226c a b =-+，3C π=，则ABC △的面积是（ ）. 40mA.3B.2C.2D. 3.（2014 新课标2理4）钝角三角形ABC 的面积是12，1AB =，BC = ，则AC = （ ）.A.5C.2D. 14.（2014 重庆理 10）已知ABC △的内角,,A B C 满足()sin2sin A A B C +-+=()1sin 2C A B --+，面积S 满足12S 剟，记,,a b c 分别为,,A B C 所对的边，则下列不等式成立的是（ ）. A. ()8bc b c +> B.()ab a b +> C. 612abc 剟D. 1224abc 剟 5.（2014 福建理 12）在ABC △中，60A =︒，4AC =，BC =ABC △的面积等于 .6.（2014 广东理 12）在ABC △中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,.已知b Bc C b 2cos cos =+，则=ba. 7.（2014 山东理 12）在ABC △中，已知tan AB AC A ⋅=uu u r uu u r ，当π6A =时，ABC △的面积为 .8.（2014 四川理 13）如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸,B C 的俯角分别为67，30，此时气球的高是46m ，则河流的宽度BC 约等于 m .（用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：sin 670.92≈，cos670.39≈，sin 370.60≈，cos370.80≈，1.73≈）9.（2014 新课标1理16）已知,,a b c 分别为ABC △的三个内角,,A B C 的对边，2a =，且()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-，则ABC △面积的最大值为 .10.（2014 浙江理 17）如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练. 已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面的射击线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小.若15m,25m,30AB AC BCM ==∠=，则tan θ的最大值 .11.（2014 大纲理 17） ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已13cos 2cos tan 3a C c A A ==，.求B . 12.（2014 江苏理 18）如图，为了保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆．且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m ．经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处，点C 位于点O 正东方向170m 处（OC 为河岸），4tan 3BCO ∠=． （1）求新桥BC 的长；（2）当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？13.（2014 山东理 16）已知向量()(),cos2,sin 2,m x x n ==a b ，函数()f x =⋅a b ，且()y f x =的图像过点π12⎛ ⎝和点2π,23⎛⎫- ⎪⎝⎭.（1）求,m n 的值；PMCBA（2）将()y f x =的图像向左平移()0πϕϕ<<个单位后得到函数()y g x =的图像，若()y g x =图像上各最高点到点()0,3的距离的最小值为1，求()y g x =的单调递增区间.14.（2014 浙江理 18）（本题满分14分）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知a b ≠，c =22cos cos cos cos .A B A A B B -=（1）求角C 的大小；（2）若4sin ,5A =求ABC △的面积. 15. (2013福建理13）如图，在ABC △中，已知点D 在BC 边上，AD AC ⊥，sin 3BAC ∠=，AB =3=AD , 则BD 的长为 . 16．（2013湖北理17）在ABC △中，,,A B C 对应的边分别是 ,,a b c ．已知cos 23cos()1A B C -+=．(1) 求角A 的大小(2) 若ABC △的面积S =b =5，求sin sin B C 的值．17．（2013江西理16） 在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知cos C+(cos A-sin A )cos B =0．(1) 求角B 的大小；(2) 若1a c +=，求b 的取值范围．18．（2013四川理17） 在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且232cos cos sin()sin 25A B B A B B ---=-． （1）求cos A 的值；（2）若a =5b =，求向量BA 在BC 方向上的投影．19. （2013江苏18）如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲.乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50m /min .在甲出发min 2后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留min 1后，再从匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130m /min ，山路AC 长为1260m ，经测量，1312cos =A ，53cos =C .BA（1）求索道AB 的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？20. (2013全国新课标卷理17）ABC △在内角AB C ，，的对边分别为a b c ，，，已知cos sin a b C c B =+.（1）求B ；（2）若2b =，求ABC △面积的最大值.21.（2015北京）在ABC △中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC= . 21.解析 在ABC △中，sin 22sin cos sin sin A A A C C =，由正弦定理得sin sin A aC c=， 由余弦定理得2222225643cos 22564b c a A bc +-+-===⨯⨯，因此sin 24321sin 64A C =⨯⨯=. 22.（2015湖北）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD = m.22.解析 在△ABC 中，30BAC∠=︒，105ABC ∠=︒，所以45ACB ∠=︒，因为600AB =，由正弦定理可得600sin 45sin30BC=︒︒，即BC =，在Rt △BCD 中，因为30CBD ∠=︒，BC =，所以tan 30CD BC ︒==CD =. 23.（2015全国1）在平面四边形ABCD 中，75A B C ∠=∠=∠=，2BC =，则AB的取值范围是 .23.解析 解法一：如图所示，75B C BAC ∠=∠=∠=，延长BA ，CD 交于点E ， 则可知BE CE =，且在ADE △中，105DAE ∠=，45ADE ∠=，30E ∠=． 在BEC △中，由正弦定理可得sin 756sin 30BC BE CE===+所以由题意可得(DE ∈．在ADE △中，由正弦定理可得sin 45sin105DE AE ==)1DE ，所以(0,AE ∈．又因为AB BE AE =-，所以AB的取值范围是．（解法一图） （解法二图）解法二（构造法）：如图所示，构造BEC △，使得75B BCE ∠=∠=， 则30BEC ∠=，取BE 边上一点A ，CE 边上一点D ，使得75BAD ∠=．若平移AD 使点D 与点C 重合，此时四边形ABCD 退化为A BC '△，且可在ABC '△中利用正弦定理求得2sin 306sin 75A B '==-若平移AD 使点D 与点E 重合，此时四边形ABCD 退化为BEC '△， 且可在BEC △中利用正弦定理求得BE =2sin 756sin 30=+EDCBAC'A'EA BCD又因为ABCD 是平面四边形，所以点D 应在点C 与点E 之间，且不与点C 与点E 重合，所以AB的取值范围是．24.（2015天津）在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为，2b c -=，1cos 4A =-，则a 的值为 . 24.解析 因为0πA <<，所以sin A ==又1sin 28ABCS bc A ∆===，所以24bc =， 解方程组224b c bc -=⎧⎨=⎩得64b c ==，，由余弦定理得2222212cos 64264644ab c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以8a =.25.（2015全国2）在ABC △中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD △是ADC △面积的2倍． (1)求sin sin BC； (2)若1,AD DC ==2，求BD 和AC 的长. 25.分析 (1)用正弦定理求面积的方法写出面积，然后根据已知条件中面积为2倍关系、角相等进行代换；(2)由(1)的结论得高相同，面积比等于边长比，再由余弦定理建立等式来求解. 解析 (1)根据题意可得右图，由正弦定理得，1sin 2ABD S AB AD BAD =⋅∠△， 1sin 2ADCS AC AD CAD =⋅∠△，又因为2ABD ADC S S =△△， ,BAD CAD ∠=∠ 所以得2AB AC =.由正弦定理得sin 1sin 2B AC C AB ==. (1) 由题意知，21ABD ADC S BD S DC ==△△，所以2BD DC =.又因为DC =，所以BD = ACD B在ABD △和ADC △中，由余弦定理得，2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠，2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠．故222222326AB AC AD BD DC +=++=．由(1)知2AB AC =，所以1AC =．即所求为BD 1AC =.26.（2015山东）设()2sin cos cos 4f x x x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭. (1)求()f x 的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，. 若02A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1a =，求△ABC 面积的最大值.26.解析（1）由题意知()1cos 2sin 2222x x f x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭=-=sin 21sin 222x x --=1sin 22x -． 由22222k x k ππ-+π+π??，k ∈Z ，可得44k x k ππ-+π+π剟，k ∈Z ； 由22222k x k π3π+π+π??，k ∈Z ，可得44k x k π3π+π+π剟，k ∈Z ． 所以()f x 的单调递增区间是,44k k ππ⎡⎤-+π+π⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ；单调递减区间是44k k π3π⎡⎤+π,+π⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ．（2）由1sin 022A f A ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，得1sin 2A =，由题意知A为锐角，所以cos A = 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，可得2212b c bc =+…，即2bc … 且当b c =时等号成立，因此12sin 24bc A …．所以ABC △面积的最大值为24+． 27.（2015四川）如图所示，,,,A B C D 为平面四边形ABCD 的四个内角. (1)求证：1cos tan2sin A AA-=； （2）若180A C ∠+∠=，6AB =，3BC =，4CD =，5AD =，求tantan tan tan 2222A B C D+++的值. 27.分析（1）首先切化弦得sin2tan 2cos 2AA A=，为了将半角变为单角，可在分子分母同时乘2sin 2A，然后逆用正弦与余弦的二倍角公式即可；（2）由题设知，该四边形的两对角互补. 再结合（1）的结果，有22tantan tan tan 2222sin sin A B C D A B+++=+，所以只需求出sin ,sin A B 即可. 由于已知四边，且cos cos C A =-，cos cos D A =-，故考虑用余弦定理列方程组求cos ,cos A B ，从而求出sin ,sin A B .解析 （1）2sin2sin 1cos 22tan 2sin cos 2sin cos 222A AA A A A A A-===. （2）由180A C ∠+∠=，得180C A ∠=-∠，180D B ∠=-∠.由（1），有tantan tan tan 2222A B C D+++= ()()()()1cos 1801cos 1801cos 1cos sin sin sin 180sin 180A B A B A B A B ------+++=--22sin sin A B +. 连接BD ，在ABD △中，有2222cos BD AB AD AB AD A =+-， 在BCD △中，有2222cos BD BC CD BC CD C =+-所以22222cos 2cos AB AD AB AD A BC CD BC CD A +-=++，则()()2222222265343cos 2265347AB AD BC CD A AB AD BC CD +--+--===+⨯+⨯，所以sin A ===.连接AC ，同理可得()()2222222263541cos 22635419AB BC AD CD B AB BC AD CD +--+--===+⨯+⨯，所以sin B ===DCA所以tantan tan tan2222A B C D +++=22sin sin A B +==. 28.（2015浙江）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知π4A =， 22b a -=122c . (1)求tan C 的值；(2)若ABC △的面积为3，求b 的值．28.（1）解析 解法一：由余弦定理222222cos a b c bc A b c =+-=+，又22221c a b =-，所以消去2a 2212c c -=，32c =，所以3sin B C =3π3sin 4C C ⎛⎫⇒=-⇒ ⎪⎝⎭2tan =C . 解法二: 由22221c a b =-及正弦定理得2221sin sin sin 2B AC -=， 所以 C B 22sin 2121sin =-，23πcos 2sin cos 2sin 24B C C C ⎡⎤⎛⎫-==--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2sin cos C C =，所以2tan =C ．（2）由2tan =C 得55cos ,552sin ==C C .又π4A =，所以10103sin =B ． 由正弦定理得，b c 322=，（或由（1）知）所以1sin 32ABC S bc A ==△，所以2bc ==，所以3=b ．29.（2015重庆）在ABC △中，120B =，AB=，A 的角平分线ADAC =_______.29.解析 如图所示，由正弦定理易得sin sin AB AD ADB B =∠,即sin sin ADB B=∠，故sin ADB ∠=,即ADB π∠=4，在ABC △，知120,B ADB π∠=∠=4，即12BAD π∠=．由于AD 是BAC ∠的角平分线，故26BAC BAD π∠=∠=． 在ABC △中，120,30B BAC ∠=∠=，易得30ACB ∠=． 在ABC △中，由正弦定理得ACB AB ABC AC ∠=∠sin sin ，即2sin 60AC =，所以6=AC ．30.（2016上海理9）已知ABC △的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于 ．30．3解析 不妨设3a =，5b =，7c =，则2221cos 22a b c C ab +-==-，故sin C =，因此2sin c R C ==．31.（2016全国乙理17）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos ).C a B+b A c =（1）求C ；（2）若c =ABC △ABC △的周长． 31.解析 （1）由已知及正弦定理得，2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=， 即2cos sin()sin C A B C +=，故2sin cos sin C C C =，可得1cos 2C =，所以3C π=. （2）由已知得，1sin 2ab C =.又3C π=，所以6ab =.由已知及余弦定理得，222cos 7ab ab C +-=，故2213a b +=，从而2()25a b +=.所以ABC △的周长为5+.32.（2016山东理16）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()tan tan 2tan tan cos cos A BA B B A+=+. （1）求证：2a b c +=；（2）求cos C 的最小值.32.解析 （1）由题意知，sin sin sin sin 2cos cos cos cos cos cos A B A B A B A B A B ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 化简得()2sin cos sin cos sin sin A B B A A B +=+，即()2sin sin sin A B A B +=+.ACDB因为πA B C ++=，所以()()sinsin πsin A B C C +=-=.从而sin sin =2sin A B C +.由正弦定理得2a b c +=.（2）由（1）知2a b c +=，所以 2222222cos 22a b a b a b c C ab ab+⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭===311842ba ab +-⎛⎫ ⎪⎝⎭…，当且仅当a b =时，等号成立.故cos C 的最小值为12.33.（2016四川理17）在ABC △中，角，， 所对的边分别是， ， ，且. （1）求证：； （2）若，求. 33.解析（1）根据正弦定理，可设(0)sin sin sin a b ck k A B C===>， 则sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =.代入cos cos sin A B Ca b c+=中，有cos cos sin sin sin sin A B Ck A k B k C+=，可变形得sin sin sin cos +sin cos sin().A B A B B A A B ==+在ABC △中，由πA B C ++=，有()()sin sin πsin A B C C +=-=，所以sin sin sin .A B C =（2）由已知，22265b c a bc +-=，根据余弦定理，有2223cos 25b c a A bc +-==.所以sin A=45=.由（1）得，sin sin sin cos cos sin A B A B A B =+，所以443sin cos sin 555B B B =+，故sin tan 4.cos BB B==34.（2016全国丙理21）设函数，其中，记的最大值为.A B C a b c cos cos sin A B Ca b c+=sin sin sin A B C =22265b c a bc +-=tan B ()cos 2(1)(cos +1)f x a x a x =+-0a >()f x A（1）求； （2）求； （3）证明34.解析 （1）()()2sin 21sin f x a x a x '=---. （2）当1a …时，()()()cos 21cos 1f x a x a x =+-+≤()()21320a a a f +-=-=.因此32A α=-. 当01a <<时，将()f x 变形为()()22cos 1cos 1f x a x a x =+--.令()()2211gt at a t =+--，则A 是()g t 在[]1,1-上的最大值，()1g a -=，()132g a =-，且当14a t a-=时，()g t 取得极小值，极小值为()2211611488a a a a g a a a --++⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭.令1114a a --<<，解得13a >-且15a >，所以15a >. （i ）当105a <…时，()g t 在()1,1-内无极值点，()1g a -=，()123g a =-，()()11g g -<，所以23A a =-.（ii ）当115a <<时，在同一坐标中画出函数y x =，32y x =-，2618x x y x ++=在1,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上的图像.由如图所示的图形可知，我们得到如下结论当115a <<时，2618a a A a++=.综上可知，2123,05611,18532,1a a a a a a a a ⎧-<⎪⎪++⎪<<⎨⎪->⎪⎪⎩…. （3）由（1）得()()2sin 21sin 21f x a x x a a α'=---+-….()f x 'A 2.f x A '（）…当105a <…时，()()1242232f x a a a A '+-<-=??； 当115α<<时，131884a A a =++…，所以()12f x a A '+<?； 当1a ≥时，()31642f x a a A '--=??.所以()2f x A '…； 综上所述有()2f x A '….35.（2017江苏18）如图所示，水平放置的正四棱柱形玻璃容器和正四棱台形玻璃容器的高均为，容器的底面对角线的长为，容器的两底面对角线，的长分别为和．分别在容器和容器中注入水，水深均为． 现有一根玻璃棒，其长度为（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）.（1）将放在容器中，的一端置于点处，另一端置于侧棱上，求没入水中部分的长度；（2）将放在容器中，的一端置于点处，另一端置于侧棱上，求没入水中部分的长度．35.解析 （1）由正棱柱的定义，平面，所以平面平面，．记玻璃棒的另一端落在上点处，如图所示为截面的平面图形．因为，，所以，从而.记与水面的交点为， 过点作，为垂足，则平面，ⅠⅡ32cm ⅠAC cm ⅡEG 11E G 14cm 62cm ⅠⅡ12cm l 40cm l Ⅰl A 1CC l l Ⅱl E 1GGl ACA 11容器ⅠE G 1H 1容器Ⅱ1CC ⊥ABCD 11A ACC ⊥ABCD 1CC AC ⊥1CC M 11AACC AC =40AM =30MC ==3sin 4MAC ∠=AM 1P 1P 11PQ AC ⊥1Q 11PQ ⊥ABCD故，从而．答：玻璃棒没入水中部分的长度为．（2）如图所示为截面的平面图形，，是正棱台两底面的中心．由正棱台的定义，平面， 所以平面平面，． 同理，平面平面，． 记玻璃棒的另一端落在上点处．过作，为垂足，则．因为，，所以， 从而．设，，则．因为，所以． 在中，由正弦定理可得，解得． 因为，所以， 于是1112PQ =11116sin PQ AP MAC==∠l 16cm 问(1)AC 1A 1CMP 1Q 111E EGG O 1O 1OO ⊥EFGH 11E EGG ⊥EFGH 1O O EG ⊥11E EGG ⊥1111E FG H 111O O E G ⊥1GG N G 11GK E G ⊥K 132GK OO == 14EG =1162E G =16214242KG -==1GG =40=1EGG α∠=ENG β∠=114sin sin cos 25KGG KGG απ⎛⎫=+==⎪⎝⎭∠∠2απ<<π3cos 5α=-ENG △4014sin sin αβ=7sin 25β=02βπ<<24cos 25β=()()sin sin sin =NEG αβαβ=π--=+∠． 记与水面的交点为，过作，为垂足，则平面，故，从而．答：玻璃棒没入水中部分的长度为．评注 此题本质上考查解三角形的知识，但在这样的大背景下构造的应用题让学生有畏惧之感，且该应用题的实际应用性也不强．也有学生第（1）问采用相似法解决，解法如下：，，所以，，所以由，，即，解得． 答：玻璃棒没入水中部分的长度为． 36.(2017北京理15)在中，，. （1）求的值；（2）若，求的面积.36.解析 （1）在中，因为，，所以由正弦定理得. （2）因为，所以.由余弦定理，得sin cos cos sin αβαβ+4243735255255⎛⎫=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭EN 2P 2P 22PQ EG ⊥2Q 22PQ ⊥EFGH 2212PQ =22220sin P Q EP NEG==∠l 20cm 问(2)G O E Q 2P 2NG 1KE 1O1AC =40AM =30CM ==1112PQ =11AP A Q CM △△∽111PQ AP CM AM =1123040AP =116AP =l 16cm ABC △60A ∠=37c a =sin C 7a =ABC △ABC △60A ∠=37c a=sin 3sin 7214c A C a ==⨯=7a =3737c =⨯=2222cos a b c bc A =+-，解得或（舍）.所以的面积37.（2017全国1理17）ABC △的内角，，的对边分别为，，，已知的面积为.（1）求的值；（2）若，，求的周长.37.分析 本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用. 解析 （1）因为的面积且，所以， 即.由正弦定理得，由，得.（2）由（1）得，又，因为， 所以. 又因为，所以，，.由余弦定理得 ① 由正弦定理得，，所以 ② 由①，②，得周长为38.（2017全国2理17）的内角的对边分别为，已知． (1)求;(2)若，的面积为2，求 38.解析 （1）依题得． 222173232b b =+-⨯⨯8b =5b =-ABC △11sin 8322S bc A ==⨯⨯=A B C a b c ABC△23sin a Asin sin B C 6cos cos 1B C =3a =ABC △ABC △23sin a S A =1sin 2S bc A =21sin 3sin 2a bc A A =223sin 2a bc A =223sin sin sin sin 2A B C A =sin 0A ≠2sin sin 3B C =2sin sin 3B C =1cos cos 6B C =πA B C ++=()()1cos cos πcos sin sinC cos cos 2A B C B C B B C =--=-+=-=()0πA ∈，60A =sin A 1cos 2A =2229a b c bc =+-=sin sin a b B A =⋅sin sin a c C A =⋅22sin sin 8sin a bc B C A=⋅=b c +3a b c ++=ABC △3ABC △,,A B C ,,a b c ()2sin 8sin 2BA C +=cosB 6a c +=ABC △.b 21cos sin 8sin84(1cos )22B B B B -==⋅=-因为，所以，所以，得（舍去）或. （2）由⑴可知，因为，所以，即，得.因为，所以，即，从而，即，解得．39.（2017全国3理17）的内角的对边分别为 ，已知，，．（1）求；（2）设为边上一点，且，求的面积． 39.解析 （1）由，得，即，又，所以，得.由余弦定理得. 又因为代入并整理得，解得. （2）因为，由余弦定理得. 因为，即为直角三角形，则，得从而点为的中点，40.(2017浙江理14)已知ABC △，，. 点为延长线上的一点，，联结，则的面积是___________，__________.40.解析 如图所示，取的中点为，在等腰中，，所以，所以的面积为．因为，所以是等腰三角形，所以，，解得． 22sin cos1B B +=2216(1cos )cos 1B B -+=(17cos 15)(cos 1)0B B --=cos 1B =15cos 17B =8sin 17B =2ABC S =△1sin 22ac B ⋅=182217ac ⋅=172ac =15cos 17B =22215217a cb ac +-=22215a c b +-=22()215a c ac b +--=2361715b --=2b =ABC △,,A B C ,,a b c sin 0A A =a =2b =c D BCAD AC ⊥ABD △sin 0A A =π2sin 03A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()ππ3A k k +=∈Z ()0,πA ∈ππ3A +=2π3A =2222cos a b c bc A =+-⋅12,cos 2a b A ===-()2125c +=4c =2,4AC BC AB ===222cos 2a b c C ab +-==AC AD ⊥ACD △cos AC CD C =⋅CD =D BC 111sin 222ABD ABC S S AB AC A ==⨯⨯⨯⨯=△4AB AC ==2BC =D AB 2BD =CD BDC △cos BDC ∠=BC O ABC △AO OB ⊥AO ==sin sin CBDOBA??BDC △1sin 22BCBD OBA 创葱=2BC BD ==BDC △2πCBDBDC??21cos cos(π2)12cos 4CBD BDC BDC?-?-?-cos BDC ?ODC BA。