2011年福建省高考《数学(理)》模拟测试试卷(2)-中大网校
2011年福建省高考理综模拟试卷及答案（2）-完整
2011年福建省高考模拟试卷（2）理科综合能力测试本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷。
第Ⅰ卷均为必考题，第Ⅱ卷包括必考和选考两个部分。
相对原子质量（原子量）：O 16 Na 23 S 32 Br 80 K 39 Cu 64第I卷（必考）本卷共18小题，每小题6分，共108分。
一、选择题（本题共12小题。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
）1．流感是一种由流感病毒引起的常见病。
有人注射了一种流感疫苗后，在流感流行期间未患流感，但流感再次流行时，却患了流感。
其原因可能是①流感病毒发生了突变②抗体在体内存留的时间短③流行的流感病毒与注射的流感疫苗不是同种类型④流感病毒使人的免疫系统受损A．①②③B．①②④C．①③④D．①②2．离体的叶绿体在光照下进行光合作用，如果突然中断CO2气体的供应，短暂时间内叶绿体中C3化合物和C5化合物相对含量的变化是A.C3化合物增多、C5化合物减少B.C3化合物增多、C5化合物增多C.C3化合物减少、C5化合物增多D.C3化合物减少、C5化合物减少3．用高倍显微镜观察洋葱根尖细胞的有丝分裂。
下列描述正确的是A．处于分裂间期和中期的细胞数目大致相等B．视野中不同细胞的染色体数目可能不相等C．观察处于分裂中期的细胞，可清晰看到赤道板和染色体D．细胞是独立分裂的，因此可选一个细胞持续观察它的整个分裂过程4．下列对有关图形所表达的生物学含义的叙述正确的是A ．甲图表示杂合子Aa 连接自交若干代，后代中显性纯合子所占比例B ．乙图中，土壤中的某元素浓度分别为a 、b 、c 时，在b 浓度时施用含该元素的肥料最有利于植物生长C ．丙图中，某激素是指胰高血糖素D ．丁图中S 型增长曲线受种群密度等因子的制约5．下列叙述正确的是A ．某种群中若A 的基因频率在一段时间后由0.4增加到0.6，a 的基因频率由0.6降低到0.4，因为无新基因产生，可认为该种群没有进化B ．用皮康霜治疗皮肤病，使用一段时间后药效下降。
福建省福州三中2011届高三毕业模拟考试(数学理)
福州三中2011年高三数学第六次模拟考（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分共150分，考试时间120分钟。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．考生作答时，将答案答在答题卡上。
请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
在草稿纸、试题卷上答题无效。
3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
4．保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
参考公式：样本数据x 1，x 2，… ，x n 的标准差 台体的体积公式h S SS S V )''(31++= 其中x 为样本平均数 其中S 、'S 是上下底面积，h 为高柱体体积公式 V =Sh其中S 为底面面积，h 为高 球的表面积、体积公式锥体体积公式 V =31Sh 24S R =π，343V R =π 其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．计算2(1)i i -等于（ ）A ．22i -B ．22i +C ．2-D ． 2 2．已知命题:2p x >是24x >的充要条件，命题b a c b c a q >>则若,:22，则 ( )A.“p 或q ”为真B.“p 且q ”为真C. p 真q 假D. ,p q 均为假 3．如图所示程序框图运行后输出的结果为 ( ) A ．36 B ．45C ．55D ．564．已知m 、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两 不重合的平面，则下列四个命题中真命题的是（ ） A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若m ∥α，m ∥n ，则n ∥αC ．若α∥β，α∩γ=m ，β∩γ= n ，则m ∥nD ．若m ⊂α，n ⊂β，m ∥n ，则α∥β 5．已知函数)(x f y =的大致图象如图所示， 则函数)(x f y =的解析式应为（ ）A.)ln()(x e x f x= B. |)ln(|)(x ex f x-=C. |)ln(|)(x e x f x =D. |)ln(|)(||x e x f x =6A．36 B．72C．144 D．2887.函数tan()42y xππ=-的部分图象如图所示，则()OA OB AB∙+=（）A．6-B．4-C．4D．68．由不等式组502x yy tx-+≥0⎧⎪≥⎨⎪≤≤⎩，，围成的三角形区域内有一个内切圆，向该三角形区域内随机投一个点，该点落在圆内的概率是关于t的函数()P t，则（A．'()0P t>B．'()0P t<C．'()0P t=D．'()P t9．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左右焦点分别为12,F F，一象限的交点为P，12PF F∆是以1PF为底边的等腰三角形．若110PF=的离心率分别为12,e e，则12e e⋅的取值范围是（）A.(0,)+∞ B.1(,)3+∞ C.1(,)5+∞ D.1(,)9+∞10．已知f(x)=33x x m-+，在区间[0,2]上任取三个数,,a b c,均存在以(),f a f为边长的三角形，则m的取值范围是（）A. 2m> B. 4m> C. 6m> D. 8m>第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡相应横线上11．已知集合{}{}11,124xA x R xB x R=∈-≤<=∈<≤，则()RA C B=________．12.将函数()2sin()3f x xπ=-的图象上各点的横坐标缩小为原来的一半，纵坐标保持不变得到新函数()g x，则()g x的最小正周期是________．13．某项游戏活动的奖励分成一、二、三等奖且相应获奖概率是以1a为首项公比为2的等比数列，相应获得的奖金是以700元为首项，公差为140-元的等差数列，则参与该游戏获得奖金的期望为________元。
福建省高考模拟试题数学(理科)试卷
2011年福建省高考模拟试题（1）数学（理科）试卷命题人：安溪八中 2011-3-29（考试时间：120分钟；满分：150分）第Ⅰ卷（选择题 共60分）考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
共21道题。
满分值：150分，考试时间：120分钟。
考生只交第Ⅰ卷答题卡和第Ⅱ卷.第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．设U =R ，集合{}|1A y y x =≥，}{240B x Z x =∈-≤，则下列结论正确的是（ ）A ．}{2,1A B =--I B ． ()(,0)U A B=-∞U ð C ．[0,)A B =+∞UD ． }{()2,1U A B =--I ð 2．已知向量(1a =r，(1,0)b =-r ，则|2|a b +=r r （ ） A ．1 B. C. 2 D. 43．如图：正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 、K 、L 分别为AB 、BB 1、B 1C 1、C 1D 1、D 1D 、DA 的中点，则六边形EFGHKL 在正方体面上的射影可能是（ ）4．已知i 是虚数单位，使(1)ni +为实数的最小正整数n 为（） A ．2B ．4C ．6D ．85．已知sin()sin 0,352ππααα++=--<<则2cos()3πα+等于（ ）A ．45- B ．35- C ．35 D ．456．下列说法中,不正确．．．的是（ ） A ．“x y =”是“x y =”的必要不充分条件；B ．命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤，则:p x ⌝∃∈R ，sin 1x >；C ．命题“若,x y 都是偶数，则x y +是偶数”的否命题是“若,x y 不是偶数，则x y +不是偶数”；D ．命题:p 所有有理数都是实数,:q 正数的对数都是负数，则()()p q ⌝∨⌝为真命题. 7．已知实数,m n 满足01n m <<<,给出下列关系式①23m n = ②23log log m n = ③23m n =其中可能成 ） A ．0个B ．1个C ．2个8．福建泉州市2008年的生产总值约为 3151亿元人民币，如果从此泉州市生产 总值的年增长率为10.5%，求泉州市最早 哪一年的生产总值超过8000亿元人民币？B C D A B C D A 1B 1C 1D 1 H G KLE某同学为解答这个问题设计了一个程序框图， 但不慎将此框图的一个处理框中的内容污染 而看不到了，则此框图中因被污染而看不到的 内容应是 （ ）A ．a a b =+B ．a a b =⨯C ．()na ab =+ D ．na ab =⨯9．设函数()x f y =的定义域为R +，若对于给定的正数K ， 10．定义函数()()()()⎩⎨⎧>≤=,,,,K x f x f K x f K x f K 则当函数()x x f 1=,1=K 时，()dx x f K ⎰241的值为（ ） A ．22ln 2+B ．12ln 2-C ．2ln 2D ．12ln 2+10．若在直线l 上存在不同的三个点C B A ，，，使得关于实数x 的方程20x OA xOB BC ++=u u u r u u u r u u u r r有解（点O 不在l上），则此方程的解集为（ ）(A) {}1- (B) ∅ (C)1515,22⎧⎫-+--⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭(D){}1,0-第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题:本大共5小题,每小题4分，满分20分.11. 某体育赛事志愿者组织有1000名志愿者，其中参加过2008年北京奥运会志愿服务的有250名，新招募的2010年广州亚运会志愿者750名.现用分层抽样的方法从中选出100名志愿者调查他们 的服务能力，则选出新招募的广州亚运会志愿者的人数是 ． 12. 如图，在矩形ABCD 中，O AC AB ,2,1==为AC 中点，抛物线 的一部分在矩形内，点O 为抛物线顶点，点D B ,在抛物线上，在矩形内随机地放一点，则此点落在阴影部分的概率为 .13. 上海世博园中的世博轴是一条1000m 长的直线型通道，中国馆位于世博轴的一侧（如下图所示）. 现测得中国馆到世博轴两端的距离相等，并且从中国馆看世博轴两端的视角为120o. 据此数据计算，中国馆到世博轴其中一端的距离是 m .14. 若实数x 、y 满足20,,,x y y x y x b -≥⎧⎪≥⎨⎪≥-+⎩且2z x y =+的最小值为3，则实数b 的值为_____.CB世博轴·A 中国馆120º15．若等差数列{}n a 的首项为1,a 公差为d ，前n 项的和为n S ，则数列{}nS n为等差数列，且通项为1(1)2n S da n n =+-⋅．类似地，若各项均为正数的等比数列{}nb 的首项为1b ，公比为q ，前n 项的积为n T ，则数列{}n n T 为等比数列,通项为____________________.三、解答题:本大题共6小题,16—19各13分，20—21各14分，满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（本题满分13分）泉州市为鼓励企业发展“低碳经济”，真正实现“低消耗、高产出”，施行奖惩制度.通过制定评 分标准，每年对本市50%的企业抽查评估，评出优秀、良好、合格和不合格四个等次， 并根据等级给予相应的奖惩（如下表）.某企业投入100万元改造，由于自身技术原因，能达到以上四个等次的概率分别为111123824，，，，且由此增加的产值分别为60万元、40万元、20万元、5-万元.设该企业当年因改造而增加利润为ξ.(Ⅰ)在抽查评估中，该企业能被抽到且被评为合格以上等次的概率是多少？ （Ⅱ）求的数学期望.评估得分(0,60)[)7060， [)8070， []10080，评定等级 不合格 合格 良好 优秀 奖惩（万元） 80-306010017．（本题满分13分）如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1AD 上的点，且满足1(0)D P PA λλ=>u u u u r u u u r.（Ⅰ）当1λ=时，求证：平面11ABC D ⊥平面PDB ； （Ⅱ）试证无论λ为何值，三棱锥1D PBC -的体积恒为定值；（Ⅲ）求异面直线1C P 与1CB 所成的角的余弦值.第17题图18．（本题满分13分） 如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池)(ABCD 的池底水平铺设污水净化管道FHE Rt ∆(，H 是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.设计要求管道的接口H 是AB 的中点，FE ,分别落在线段AD BC ,上.已知20=AB 米，310=AD 米，记θ=∠BHE .（1）试将污水净化管道的长度L 表示为θ的函数，并写出定义域；（2）若2cos sin =+θθ，求此时管道的长度L ； （3）当θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度.19．（本题满分13分）已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>），其焦距为2c，若c a =0.618≈），则称椭圆C 为“黄金椭圆”．（1）求证：在黄金椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）中，a 、b 、c 成等比数列．E（2）黄金椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点为2(,0)F c ，P 为椭圆C 上的任意一点．是否存在过点2F 、P 的直线l ，使l 与y 轴的交点R 满足23RP PF =-u u u r u u u u r？若存在，求直线l 的斜率k ；若不存在，请说明理由．（3）在黄金椭圆中有真命题：已知黄金椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别是1(,0)F c -、2(,0)F c ，以(,0)A a -、(,0)B a 、(0,)D b -、(0,)E b 为顶点的菱形ADBE 的内切圆过焦点1F 、2F ．试写出“黄金双曲线”的定义；对于上述命题，在黄金双曲线中写出相关的真命题，并加以证明．20．（本题满分14分）已知二次函数()2f x ax bx c =++和“伪二次函数”()2g x ax =+ ln bx c x +（a 、b 、,c R ∈0abc ≠），（I ）证明：只要0a <，无论b 取何值，函数()g x 在定义域内不可能总为增函数；（II ）在二次函数()2f x ax bx c =++图象上任意取不同两点1122(,),(,)A x y B x y ，线段AB 中点的横坐标为0x ，记直线AB 的斜率为k ， （i ）求证：0()k f x '=；（ii ）对于“伪二次函数”()2ln g x ax bx c x =++，是否有（i ）同样的性质?证明你的结论.21．本题有(1)、(2)、(3)三个选答题,每题7分,请考生任选2题作答,满分14分.如果多作,则按所做的前两题计分.作答时,先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将选题号填入括号中. (1)(本小题满分7分) 选修4一2:矩阵与变换若点A （2，2）在矩阵cos sin sin cos αααα-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 对应变换的作用下得到的点为B （－2，2），求矩阵M 的逆矩阵．(2)(本小题满分7分) 选修4一4:坐标系与参数方程已知极坐标系的极点O 与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合，曲线C 1：cos()4ρθπ+=与曲线C 2：24,4x t y t ⎧=⎨=⎩（t ∈R ）交于A 、B 两点．求证：OA ⊥OB ．(3)(本小题满分7分) 选修4一5:不等式选讲求证:*N n ∈∀,132212111+≥+++++n nn n n Λ.2011年福建省高考模拟试题（1）数学（理科）试卷一、选择题：本题主要考查基础知识和基本运算．1．B 2．C 3．D 4．D 5．B 6．C 7．C 8．B 9．D 10．A 二、本大题共4个小题；每小题5分，共20分.本题主要考查基础知识和基本运算．11．75 12．3113 14．94 1511n b -= 三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.解：（Ⅰ）设该企业能被抽中的概率且评为合格以上等次的概率为P ，则第18题图111123238248P ⎛⎫=++⨯= ⎪⎝⎭…………………4分 （Ⅱ）依题意，ξ的可能取值为185,105,80,60,50,40,0,60,------则1612181)50(,612131)0(,412121)60(=⨯=-==⨯===⨯==ξξξP P P412121)40(,48121241)185(=⨯=-==⨯=-=ξξP P ，111111111(60),(80),(105)326821624248P P P ξξξ=-=⨯==-=⨯==-=⨯=则其分布列为ξ 185- 105- 80- 60- 50- 40- 060P148148161 1611614161410分∴1111115(60406050801851054616486E ξ=-⨯+-⨯+--⨯+--⨯=-）（）（）（）（万元） ………………………………13分18．解：方法一、证明：（Ⅰ）∵正方体1111ABCD A B C D -中，AB ⊥面11AA D D ， 又11AB ABC D ⊂∴平面11ABC D ⊥平面11AA D D ， ………………2分 ∵1λ=时，P 为1AD 的中点，∴1DP AD ⊥， 又∵平面11ABC D I 平面11AA D D 1AD =， ∴DP ⊥平面11ABC D ，又DP ⊂平面PDB ，∴平面11ABC D ⊥平面PDB ．………4分 （Ⅱ）∵11//AD BC ， P 为线段1AD 上的点， ∴三角形1PBC 的面积为定值，即112212PBC S ∆=⨯⨯=， ………………6分又∵//CD 平面11ABC D ，∴点D 到平面1PBC 的距离为定值，即22h =， ………………8分 ∴三棱锥1D BPC -的体积为定值，即111122133226D PBC PBC V S h -∆=⋅⋅=⨯⨯=． 也即无论λ为何值，三棱锥1D PBC -的体积恒为定值16；………………………10分（Ⅲ）∵由（Ⅰ）易知1B C ⊥平面11ABC D ，又1C P ⊂平面11ABC D ，∴11B C C P ⊥， …………………………12分 即异面直线1C P 与1CB 所成的角为定值90o，从而其余弦值为0．…………………13分 方法二、如图，以点D 为坐标原点，建立如图所示的坐标系．11(,0,)22P ，又（Ⅰ）当1λ=时，即点P 为线段1AD 的中点，则(0,0,0)D 、(1,1,0)B ∴11(,0,)22PD =--u u u r ，11(,1,)22PB =-u u u r ，设平面PDB 的法向量为(,,)n x y z =r，……1分则00PD n PB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r r u u u r r r ，即11002211022x z x y z ⎧-+-=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩，令1y =，解得(1,1,1)n =-r ， …2分 又∵点P 为线段1AD 的中点，∴1DP AD ⊥，∴DP ⊥平面11ABC D ，∴平面11ABC D 的法向量为11(,0,)22PD =--u u u r ， ……………3分∵110022PD n ⋅=+-=u u u r r ，∴平面11ABC D ⊥平面PDB ， ………………………4分（Ⅱ）略；（Ⅲ）∵1(0)D P PA λλ=>u u u u r u u u r ，∴1(,0,)11P λλλ++， …………………10分又1(0,1,1)C 、(0,1,0)C 、1(1,1,1)B ， ∴1(,1,)11C P λλλλ-=-++u u u r ，1(1,0,1)CB =u u u r ， ……………………………11分 ∵110011C P CB λλλλ-⋅=++=++u u u r u u u r …………………………………12分∴不管λ取值多少，都有11C P CB ⊥，即异面直线1C P 与1CB 所成的角的余弦值为0.……13分18．（1）解：10cos EH θ=，10sin FH θ=，10(0)sin cos 2EF πθθθ==<<.由于10tan BE θ=≤10tan AF θ=≤tan θ≤≤[,]63ππθ∈. 所以101010cos sin sin cos L θθθθ=++，[,]63ππθ∈.…………4分 （2）解：当sin cos θθ+=1sin cos 2θθ=，10(sin cos 1)1)sin cos L θθθθ++==（米）. ……7分（3）解：10(sin cos 1)sin cos L θθθθ++=，设sin cos t θθ+=，则21sin cos 2t θθ-=，所以201L t =-.由于[,]63ππθ∈，所以sin cos )4t πθθθ=+=+∈.由于201L t =-在上单调递减，所以当t =6πθ=或3πθ=时，L取得最大值1)米.答：当6πθ=或πθ=时，污水净化效果最好，此时管道的长度为1)米. ……13分19．（1）证明：由c a =及222b a c =-，得222222)b a c a =-=-=ac =，故a 、b 、c 成等比数列．（3分）（2）解：由题设，显然直线l 垂直于x 轴时不合题意，设直线l 的方程为()y k x c =-，得(0,)R kc -，又2(,0)F c ，及23RP PF =-u u u r u u u u r ，得点P 的坐标为3(,)22c kc，（5分）因为点P 在椭圆上，所以22223221c kc a b ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，又2b ac =，得229144c k c a a ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭，20k >，故存在满足题意的直线l，其斜率k =（6分） （3）黄金双曲线的定义：已知双曲线C ：22221x y a b-=，其焦距为2c ，若c a =a c =0.618≈），则称双曲线C 为“黄金双曲线”．（8分）在黄金双曲线中有真命题：已知黄金双曲线C ：22221x y a b-=的左、右焦点分别是1(,0)F c -、2(,0)F c ，以1(,0)F c -、2(,0)F c 、(0,)D b -、(0,)E b 为顶点的菱形12F DF E 的内切圆过顶点(,0)A a -、(,0)B a ．（10分） 证明：直线2EF 的方程为0bx cy bc +-=，原点到该直线的距离为d =，将2b ac =代入，得d ==，又将c =代入，化简得d a =，故直线2EF 与圆222x y a +=相切，同理可证直线1EF 、1DF 、2DF 均与圆222x y a +=相切，即以(,0)A a -、(,0)B a 为直径的圆222x y a +=为菱形12F DF E 的内切圆，命题得证．（13分） 20．解：（I ）如果0,()x g x >为增函数,则22()20c ax bx cg x ax b x x++'=++=>(1)恒成立, --------1分 当0x >时恒成立, 220ax bx c ++>(2)0,a <Q 由二次函数的性质, (2)不可能恒成立.则函数()g x 不可能总为增函数. --------4分（II ）（i ）()()()222121212121()f x f x a x x b x x k x x x x --+-==--=02ax b +. --------6分由()2,f x ax b '=+00()2f x ax b '∴=+,……..7分 则0()k f x '=--------7分 （ii ）不妨设21x x >,对于“伪二次函数”:法一:()2ln ()ln g x ax bx c x f x c x c =++=+-.()()2212112121()()ln x f x f x c g x g x x k x x x x -+-==--21021ln(),x c x f x x x '=+- (3)--------9分又()000()cg x f x x ''=+,法二:()()()22221212112121()ln x a x x b x x c g x g x x k x x x x -+-+-==-- =21021ln 2x c x ax b x x ++-, (3) --------9分由(ⅰ)中(1)()0002cg x ax b x '=++,如果有(ⅰ)的性质，则()0g x k '= , (4)比较(3)( 4)两式得21210ln x c x c x x x =-，0,c ≠ 即：212112ln 2x x x x x x =-+，(4) --------12分 不妨令21, 1, x t t x =>ln 211t tt =-+， (5) 设22()ln 1t s t t t -=-+，则22212(1)2(1)(1)()0(1)(1)t t t s t t t t t +---'=-=>++，∴()s t 在(1,)+∞上递增， ∴()(1)0s t s >=.∴ (5)式不可能成立,（4）式不可能成立,()0g x k '≠. --------13分 ∴“伪二次函数”()2ln g x ax bx c x =++不具有(ⅰ)的性质. --------14分21．.解（1）．解：2222-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦M ，即2cos 2sin 22sin 2cos 2αααα--⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦，……………………2分 所以cos sin 1,sin cos 1.αααα-=-⎧⎨+=⎩ 解得cos 0,sin 1.αα=⎧⎨=⎩ ……………………5分 所以0110M -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．由1M M -=1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦，得10110M -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦．……………7分 另解：01=M 10-＝10≠， 10110-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M ．另解：01cos90sin 9010sin 90cos90-︒-︒⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥︒︒⎣⎦⎣⎦M ，看作绕原点O 逆时针旋转90°旋转变换矩阵，于是1cos(90)sin(90)sin(90)cos(90)--︒--︒⎡⎤=⎢⎥-︒-︒⎣⎦M 0110⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦． （2）．曲线1C 的直角坐标方程4x y -=，曲线2C 的直角坐标方程是抛物线24y x =， 4分设11(,)A x y ，22(,)B x y ，将这两个方程联立，消去x ，得212416016y y y y --=⇒=-，421=+y y ．………………3分 016)(42)4)(4(212121212121=+++=+++=+∴y y y y y y y y y y x x ．……5分 ∴0OA OB ⋅=u u u r u u u r ，∴OB OA ⊥．………………………………………7分（3）．[]22)2()1(212111n n n n n n n ≥+++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++ΛΛ,所以 132232)1(2121112222+=+=++≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++n n n n n n n n n n n n Λ………………………… 7分。
福建省三明二中2011届高三第二次模拟 (数学理)
福建省三明二中2011届高三第二次模拟数学(理科)试题一、选择题(共10小题,每小题5分,共50分)1.若,则点Q位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.某流程如图所示,现输入如下四个函数,则可以输出的函数是3.已知向量,则=A. B. C.5 D.254.将参加夏令营的100名学生编号为001,002,......,100,采用系统抽样的方法抽取一个容量为20的样本,且在第一组随机抽得的号码为003.这100名学生分住在三个营区,001到047住在第I营区,048到081住在第II营区,082到100住在第III营区,则三个营区被抽中的人数依次为A.10,6,4B.9,7,4C.10,7,3D.9,6,55.设函数,则下列结论正确的是A.f(x)的图像关于直线对称B.f(x)的图像关于点对称C.把f(x)的图像向左平移个单位,得到一个偶函数的图像D.f(x)的最小正周期为,且在上为增函数6.已知c 是双曲线的半焦距,则的取值范围是A. B.(-2,-1) C. D.(-1,0)7.已知命题:“若,则”成立,那么字母x,y,z在空间所表示的几何图形不能．．A.都是直线B.都是平面C.x,y是直线,z是平面D.x,z是平面,y是直线8.为了解某校高三学生的视力情况,随机地抽查方图.由于不慎丢失部分数据,但知道前4组的频数成等比数列,后6组的频数成等差数列,设最大频率为a,视力在4.6到4.9之间的学生数为b,则a,b的值分别为C.2.7,132D.2.7,1669.某几何体的一条棱长为,在该几何体的正视视力图中,这条棱的投影是长为的线段,在该几何体的侧视图与俯视图中,这条棱的投影分别是长为a和b的线段,则a+b的最大值为A. B. C.4D.10.对任意实数x,y,定义运算x*y=ax+by+c xy,其中a,b,c为常数.现已知1*2=4,2*3=6,若有一个非零实数m,使得对任意实数x都有x*m=x,则m=A.5B.10C.15D.20二、填空题(共5小题,每小题4分,共20分)11.化简：= .12.设P是曲线y2=4x上的一个动点,则点P到点A(-1,1)的距离与点P到直线x= -1的距离之和的最小值为.13.用红、黄、蓝、白、黑五种颜色在“田”字型的4个小方格内涂色,每格涂一种颜色,相邻两格涂不同的颜色,共有种不同的涂色方法.14.设y=f(x)为区间[0,1]上的连续函数,且恒有,可以用随机模拟方法近似计算积分.先产生两组(每组N个)区间[0,1]上的均匀随机数x1,x2,......x N和y1,y2,......,y N,由此得到N个点(x i,y i)(i=1,2,......,N),再数出其中满足y i(i=1,2,......,N)的点的个数N1,那么由随机模拟方法可得积分的近似值为.15.设数列{a n}是各项均为1的无穷数列.若在数列{a n}的首项a1后面插入1,隔2项,即a3后面插入2,再隔3项,即a6后面插入3,......,这样得到一个新数列{b n},则数列{b n}的前2011项的和为.三、解答题(共6小题,共80分)16.(本小题满分13分)已知向量与共线,且有函数y=f(x).(I)求函数y=f(x)的最小正周期及最大值;(II)在锐角中,若有,求AC的长.17.(本小题满分13分)已知F(3,0)是椭圆C的一个焦点,且椭圆C上的点到点F的最大距离为8.(I)求椭圆C的标准方程;(II)已知圆O:x2+y2=1,直线t:mx+n y=1.试证明当点P(m,n)在椭圆C上运动时,直线t与圆O恒相交;并求直线t被圆O所截得的弦长的取值范围.18.(本小题满分13分)某学校举行知识竞赛,第一轮选拔共设有A、B、C、D四个问题,规则如下：(1)每位参赛者计分器的初始分均为10分,答对问题A、B、C、D分别加1分、2分、3分、6分,每答错一题则减2分.(2)每回答一题,计分器显示累计分数,当累计分数小于8分时,答题结束,淘汰出局;当累计分数大于或等于14分时,答题结束,进入下一轮;当答完四题,累计分数仍不足14分时,答题结束,淘汰出局.(3)每位参赛者按问题A、B、C、D顺序作答,直至答题结束.假设甲同学对问题A、B、C、D 回答正确的概率依次为,且各题回答正确与否相互之间没有影响.(I)求甲同学能进入下一轮的概率;(II)用X 表示甲同学本轮答题结束时答题的个数,求X 的分布列和数学期望E(X ). 19.(本小题满分13分)如图,已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直,AA 1=AB=AC=1,M 是CC 1的中点,N 是BC 的中点,点P 在A 1B 1上,且满足.(I)求证: PN AM;(II)当为何值时,直线PN 与平面ABC 所成的角最大?并求出该角最大值的正弦值; (III)若平面PMN 与平面ABC 所成的锐二面角为45,试确定点P 的位置.20.(本小题满分14分) 已知曲线C 1:(e 为自然对数的底数),曲线C 2:y =2eln x和直线m :y =2x .(I)求证:直线m 与曲线C 1、C 2都相切,且切于同一点; (II)设直线x =t (t >0)与曲线C 1、C 2及直线m 分别交于M 、N 、P,记f (t )= |M P|-|PN|,求f (t )在[e -3,e 3]上的最大值; (III)设直线x =e m (mN)与曲线C 1、C 2的交点分别为A m 、B m ,问是否存在正整数n,使得|A 0B 0|=|A n B n |,若存在,求出n 的值;若不存在,请说明理由.(参考数据) 21.(1)(本小题满分7分)选修4-2:矩阵与变换设M 是把坐标平面上的横坐标伸长到2倍,纵坐标伸长到3倍的伸缩变换. (I)求矩阵M 的特征值及相应的特征向量; (II)求逆矩阵M -1及椭圆在M -1的作用下的新曲线的方程.(2)(本小题满分7分)选修4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系x O y 中,曲线C 的参数方程为为参数),点M 是曲线C 上的动点.(I)求线段OM 的中点P 的轨迹的直角坐标方程;(II)以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,若直线m 的极坐标方程为,求点P 到直线m 距离的最大值. (3)(本小题满分7分)选修4-5:不等式选讲 解不等式:|2x -1|<|x |+1.三明二中2011届高三质量检查数学(理科)参考答案 1—5 DDCBC 6—10 DCACA 11.i; 12.; 13.260; 14.; 15.3841.16.(I) y max =2.(II)在锐角中,,由正弦定理得AC=2.17.(I); ABCM NPA 1B 1C 1(II)因为点P(m ,n)在椭圆C 上运动,所以1=,从而圆心O 到直线t :mx +n y =1的距离d=,所以直线t 与圆O 恒相交,且直线t 被圆O 截得的弦长L=.18.(I)记A,B,C,D 分别为第1,2,3,4个问题,用M i (i=1,2,3,4)表示甲同学第i 个问题回答正确,用(i=1,2,3,4)表示甲同学第i 个问题回答错误,则.根据答题和计分规则,若甲答对第1,2题则得13分,还需继续答题;若第1,2题均答错则得6分,答题结束并淘汰出局.照此思路进行分类讨论.若记”甲同学能进入下一轮”为事件K,则 K=M 1M 2M 3+M 2M 3M 4+M 1M 3M 4+M 1M 2M 4+M 2M 4,由于每道题的回答相互独立,;(II)如图,建立坐标系A-xy z,则19.(I)..(II)是平面ABC 的一个法向量,故而,故最大当且仅当sin 最大,由上式可知时,.(III)设为平面P M N 的一个法向量,由(I)有,由待定系数法可取,于是有,故点P 在B 1A 1的延长线上,且.20.(I)对于曲线C 1:,设切点P(a ,b ),有,故切点为P(e,2e),切线:y -2e=2(x -e),即y =2x .所以直线m 与曲线C 1相切于点P(e,2e). 同理可证直线m 与曲线C 2也相切于点P(e,2e). (II),,在[e -3,e 3]上单调增,故y max =f (e 3)=e 5-4e 3+7e.(III)设,故,故g(n)在[0,1]上递减,g(n)在上递增,又因,且,故不存在正整数n,使得|A 0B 0|=|A n B n |. 21.(1)(I)同条件得矩阵,它的特征值为2、3,对应的特征向量为、;(II),新曲线方程为x 2+y 2=1.(2)(I)x 2+y 2=4; (II).(3) 当x <0时,原不等式可化为211,0x x x -+<-+>解得又0,x x <∴不存在;当102x ≤<时,原不等式可化为211,0x x x -+<+>解得;又110,0;22x x ≤<∴<< 当11,222x x ≥∴≤<综上,原不等式的解集为{|02}.x x <<.。
福建省福州一中2011届高三高考模拟考试题数学理
福州一中2011年高三模拟考试数学（理科）试卷（完卷时间：120分钟 满分：150分）第I 卷（选择题 共50分）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）,第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题为必考题.本试卷共5页.满分150分。
考试时间120分钟。
参考公式:样本数据nx x x ,,,21的标准差锥体体积公式222121s ()()()n x x x x x x n⎡⎤=-+-++-⎣⎦13V Sh =其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式球的表面积、体积公式V Sh =2344,3S R V R ππ==其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径一、选择题：本大题共10小题,每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1。
设全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =,集合{1,2,3,5}A =,{2,4,6}B =，则图中的阴影部分表示的集合为（ ) A ．{}2 B．{}4,6 C．{}1,3,5 D ．{}4,6,7,82。
“1cos =x "是“0sin =x ”的( ） A.充分而不必要条件B 。
必要而不充分条件C ．充分必要条件D 。
既不充分也不必要条件 3.人们对声音的感觉程度可以用强度2(/)I w m 来表示,但在实际测量时,常用声音的强度水平β(分贝)表示，它们满足以下公式:1210lg(10)I β⋅＝。
已知沙沙的树叶声的声音强度是1210-2(/)w m ,则求它的强度水平是（ ）A 。
0分贝B 。
10分贝C 。
12分贝D 。
24分贝 4。
设[)[]⎪⎩⎪⎨⎧∈∈=22,1,11,0,)(e x xx x x f （其中e 为自然对数的底数）,则⎰20)(e dx x f 的值为（ ）A ．34 B 。
35 C. 37 D 。
38 5。
设等差数列{}na 的前n 项和为nS ，若,3,3811811=-=-S S a a则使0>n a 的最小正整数n 的值是（ ）8.A 9.B 10.C11.D6．某调查机构对本市小学生课业负担情况进行了调查，设平均每人每天做作业的时间为x 分钟。
2011年高考试题(福建卷理)
绝密☆启用前2011年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷第3至6页。
第Ⅱ卷第21题为选考题,其他题为必考题。
满分150分。
注意事项: 1. 答题前,考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号,姓名”与考生本人准考证号,姓名是否一致。
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答,在试题卷上作答,答案无效。
3. 考试结束,考生必须将试题卷和答题卡一并交回。
参考公式:样本数据x 1,x 2,…,x a 的标准差 锥体体积公式13V Sh =其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积,h 为高 柱体体积公式 球的表面积,体积公式 V=Sh 2344,3S R V R ππ==其中S 为底面面积,h 为高 其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1. i 是虚数单位,若集合S=}{1.0.1-,则A.i S ∈B.2i S ∈ C. 3i S ∈ D.2S i∈ 2.若a ∈R,则a=2是（a-1）（a-2）=0的A.充分而不必要条件 B 必要而不充分条件C.充要条件 C.既不充分又不必要条件 3.若tan α=3,则2sin 2cos aα的值等于A.2B.3C.4D.64.如图,矩形ABCD 中,点E 为边CD 的中点,若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q,则点Q 取自△ABE 内部的概率等于A.14B.13C.12D.235.10⎰（e 2+2x ）dx 等于A.1B.e-1C.eD.e+1 6.(1+2x)3的展开式中,x 2的系数等于A.80B.40C.20D.107.设圆锥曲线r 的两个焦点分别为F 1,F 2,若曲线r 上存在点P 满足1122::PF F F PF =4:3:2,则曲线r 的离心率等于A.1322或B.23或2C.12或2 D.2332或 8.已知O 是坐标原点,点A （-1,1）若点M （x,y ）为平面区域,上的一个动点,则OA ·的取值范围是A.[-1.0]B.[0.1]C.[0.2]D.[-1.2] 9.对于函数f （x ）=asinx+bx+c(其中,a,b ∈R,c ∈Z),选取a,b,c 的一组值计算f （1）和f （-1）,所得出的正确结果一定不可能．．．．．是 A.4和6 B.3和1 C.2和4 D.1和210.已知函数f(x)=e+x,对于曲线y=f （x ）上横坐标成等差数列的三个点A,B,C,给出以下判断:①△ABC 一定是钝角三角形 ②△ABC 可能是直角三角形 ③△ABC 可能是等腰三角形 ④△ABC 不可能是等腰三角形 其中,正确的判断是A.①③B.①④C. ②③D.②④2011年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数 学(理工农医类)注意事项:用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写答案,在试题卷上作答,答案无效。
2011年福建省高考理综模拟试卷(2)参考答案
2011年福建省高考模拟试卷（2） 理科综合能力测试参考答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷。
第Ⅰ卷共18小题，每小题6分，共108分。
一、选择题：选对的给6分，选错或未选的给0分。
1．A 2．C 3．B 4．D 5．D 6．B 7．C 8．C 9．A 10．A 11．D 12．B二、选择题：全部选对的给6分，选对但不全的给3分，有选错的或未选的给0分。
13．B 14．AC 15．CD 16．A 17．C 18．B第Ⅱ卷必考部分共9题，共157分。
19．（18分）（1）1（2分），0.15（2分） （2）①如图甲所示；（2分）②如图乙所示 （4分） ③ 8.7（2分）；172（2分）20．（15分）（1）0.6s 。
最长的反应时间，对应刹车之前最大可能运动距离。
（4分） （2）0.32。
最小的动摩擦因数，对应最大的刹车距离。
（4分） （3）考虑最高车速v 、最长反应时间t 及最小动摩擦因数μ的极限情况。
因汽车在驾驶员反应时间t 内匀速行驶距离为图甲图乙m 20m 6.036001012031=⨯⨯=⋅=t v s m （2分） 刹车后，汽车做减速运动，加速度大小为 g mmga μμ==汽车减速过程行驶距离为 m 6.173m 1032.02)3/100(2222=⨯⨯==g v s m μ （3分）所以 m 200m 6.19321≈=+=s s s ，因此200m 的安全距离是必要的。
（2分） 21．（19分）(1)小球从开始自由下落到到达管口B 的过程中机械能守恒，故有：2214B mv R mg =⋅ (2分)到达B 点时速度大小为gR v B 8=(1分)(2) 设电场力的竖直分力为F y 、，水平分力为F x ，则F y =mg (方向竖直向上)。
小球从B 运动到C 的过程中，由动能定理得：2221212C B x mv mv R F -=⋅ (2分)小球从管口C 处脱离圆管后，做类平抛运动，由于其轨迹经过A 点，有 t v R y C ==4(2分) 222212t mF t a R x x x === (2分) 联立解得： F x =mg(1分)电场力的大小为： mg F F qE y x 222=+=(1分) 设电场力的合力方向与水平方向成θ角，则1tan ==xy F F θ(1分) 小球所受电场力方向与水平方向间的夹角︒=45θ(1分)(3)小球经过管口C 处时，向心力由Fx 和圆管的弹力N 提供，设弹力N 的方向向左，则Rv m N F Cx 2=+(2分)解得：N=3mg (方向向左) (2分)根据牛顿第三定律可知，小球经过管口C 处时对圆管的压力为 mg N N 3=='，方向水平向右 (2分)22．（20分）（1）粒子绕行n 圈获得的动能等于电场力对粒子做的功，设粒子绕行n 圈获得的速度为n v ，根据动能定理，有 由 221n mv nqU = （4分） 解得 mnqUv n 2=（2分） 粒子在环形区域磁场中，受洛伦兹力作用做半径为R 的匀速圆周运动，根据牛顿第二定律和向心力公式，得 Rv m B qv nn n 2= （4分）解得 qn m UR qR mv B n n 21==（2分） （2）粒子绕行第n 圈所需时间nqUmR v R T n n 12π2π2⋅==（4分）粒子绕行n 圈所需总时间为⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⋅⋅⋅+++=n qU m Rt n 13121122π （4分）23．（15分）(1) CuO+2H +==Cu 2++H 2O 、Fe 2O 3+6H +==2Fe 3++3H 2O 、Cu+2Fe 3+==2Fe 2++ Cu 2+ （任写其中2个即可） （各2分）SiO 2 + 2NaOH==Na 2SiO 3 +H 2O （2分） 水玻璃 （1分） (2) FeSO 4•7H 2O （2分）4Fe2++O2+4H+==4Fe3+ +2H2O （2分）(3) 4OH－－4e－== O2＋2H2O （2分）(4) H2SO4 （（2分）24．（15分）（1）B（2分）（2）①（制氨装置图如右，可用锥形瓶、集气瓶替代烧瓶或其它合理装置（3分）方案一，②能（2分）③安全瓶，防D中水倒吸进入B中（2分）；吸收未反应的NH3 （2分）方案二，①2NH4Cl + Ca(OH)22+ 2NH3↑+2H2O (2分)②NH3可与镁反应生成Mg（NH2）2 （2分）25．（15分）【假设与猜想】增大Cu2+的浓度，平衡向正反应方向移动，生成配合物的浓度增大，溶液颜色加深；（2分）勒沙特列原理（或化学平衡移动原理）。
2011年高考福建省数学试卷-理科(含详细答案)
2011年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．i 是虚数单位，若集合{}1,0,1S =-，则（ ）．A ．i S ∈B ．2i S ∈C ． 3i S ∈D ．2iS ∈ 【解】2i 1S =-∈．故选B ．2．若a ∈R ，则2a =是()()120a a --=的（ ）．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件 C ．既不充分又不必要条件【解】当2a =时，()()120a a --=，所以2a =是()()120a a --=的充分条件， 但是()()120a a --=时，1a =或2a =，所以2a =不是()()120a a --=的必要条件．故选A ． 3．若tan 3α=，则2sin 2cos αα的值等于（ ）． A ．2 B ．3 C ．4 D ．6【解】22sin 22sin cos 2tan 6cos cos ===αααααα．故选D ． 4．如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自ΔABE 内部的概率等于（ ）．A ．14B ．13C ．12D ．23 【解】因为Δ12ABE ABCD S S =，则点Q 取自ΔABE 内部的概率Δ12ABE ABCD S P S ==．故选C ． 5．()10e 2x x dx +⎰等于（ ）．A ．1B ．e 1-C ．eD ．e 1+【解】()()112000e 2e e 1e 0e x x x dx x +=+=+--=⎰．故选C ． 6．()512x +的展开式中，2x 的系数等于（ ）．A ．80B ．40C ．20D ．10D C BE A【解】15C 2r r r r T x +=，令2r =，则2x 的系数等于225C 240=．故选B ．7．设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为12,F F ，若曲线Γ上存在点P 满足1122::4:3:2PF F F PF =，则曲线Γ的离心率等于（ ）． A ．12或32 B ．23或2 C ．12或2 D ．23或32【解】因为1122::4:3:2PF F F PF =，所以设14PF λ=，123F F λ=，22PF λ=．若Γ为椭圆，则12122426,23,PF PF a λλλF F c λ⎧+==+=⎪⎨==⎪⎩所以12c e a ==． 若Γ为双曲线，则12122422,23,PF PF a λλλF F c λ⎧-==-=⎪⎨==⎪⎩所以32c e a ==．故选A ． 8．已知O 是坐标原点，点()1,1A -，若点(),M x y 为平面区域2,1,2x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，则OA OM ⋅的取值范围是（ ）．A ．[]1,0-B ．[]0,1C ．[]0,2D ．[]1,2-【解】设()()1,1,z OA OM x y x y =⋅=-⋅=-+．作出可行域，如图．直线z x y =-+，即y x z =+经过()1,1B 时，z 最小，min 110z =-+=，y x z =+经过()0,2C 时，z 最大，max 022z =+=，所以OA OM ⋅的取值范围是[]0,2．故选C ．9．对于函数()sin f x a x bx c =++(其中，,a b ∈R ，c ∈Z )，选取,,a b c 的一组值计算()1f 和()1f -，所得出的正确结果一定不可能是（ ）．A ．4和6B ．3和1C ．2和4D ．1和2【解】()()()11sin1sin 12f f a b c a b c c +-=+++--+=，因为c ∈Z ，则()()11f f +-为偶数，四个选项中，只有Ｄ，123+=不是偶数.故选D ．10．已知函数()e x f x x =+，对于曲线()y f x =上横坐标成等差数列的三个点,,A B C ，给出以下判断：①ΔABC 一定是钝角三角形②ΔABC 可能是直角三角形③ΔABC 可能是等腰三角形④ΔABC 不可能是等腰三角形其中，正确的判断是（ ）．A ．①,③B ．①,④C ．②,③D ．②,④【解】设a b <．首先证明()()22f a f b a b f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭． ()()22f a f b a b f ++⎛⎫- ⎪⎝⎭222a b a b e a e b a b e +++++=-- 22a b a be e e ++=-2220a ba b a b e e e +++≥=-=，当且仅当a b =时等号成立，由于a b <，所以等号不成立，于是()()022f a f b a b f ++⎛⎫-> ⎪⎝⎭， ()()22f a f b a b f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭． ① 设点(),A A A x y ，(),B B B x y ，(),C C C x y ，且,,A B C x x x 成等差数列，A B C x x x <<．由()f x 是R 上的增函数，则A B C y y y <<， ②如图，D 为AC 的中点，过,,A B C 作x 轴的垂线，垂足依次为,,M N P ． 因为2A CB x x x +=，所以D 在直线BN 上，作AE BN ⊥交BN 于E ，作B FC P ⊥交CP 于F ． 因为()()22A C A CD f x f x y y y ++==，2AC B x x y f +⎛⎫= ⎪⎝⎭， 由①式，D B y y >，，D A DE y y =-，D B DB y y =-，由②，DE DB >，所以点B 在DE 的内部， 因而90DBA DEA ∠>∠=︒，又CBA DBA ∠>∠，所以ABC ∆一定是钝角三角形．结论①正确．若ABC ∆是等腰三角形，因为D 为AC 的中点，则BD AC ⊥，因而//AC x 轴，这是不可能的，所以ABC ∆不是等腰三角形．结论④正确；所以结论①，④正确．故选Ｂ．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．11．运行如图所示的程序，输出的结果是_______．【解】3．123a =+=．所以输出的结果是3．12．三棱锥P ABC -中，PA ABC ⊥底面，3PA =，底面ABC 是边长为2的正三角形，则三棱锥P ABC -的体积等于______．【解2Δ1123334ABC V S PA =⋅=⨯⨯= 13．何种装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于_______．【解】35． 所取出的2个球颜色不同的概率113225C C 233C 105P ⨯===． 14．如图，ΔABC 中，2AB AC ==，BC =点D 在BC边上，45ADC ∠=︒，则AD 的长度等于______．【解．解法1．由余弦定理222cos 22AC BC AB C AC BC +-===⋅⋅, 所以30C =︒.再由正弦定理s i n s i n A D A C C A D C =∠，即2sin 30sin 45AD =︒︒，所以AD = 解法2．作AE BC ⊥于E ，因为2AB AC ==，所以E 为BC的中点，因为BC =，则EC =．D B C AE D B CA于是1AE ==，因为ΔADE 为有一角为45︒的直角三角形．且1AE =，所以AD =15．设V 是全体平面向量构成的集合，若映射:f V →R 满足：对任意向量()11,a x y V =∈，()22,b x y V =∈，以及任意λ∈R ，均有()()()()()11f a b f a f b +-=+-λλλλ则称映射f 具有性质P ．先给出如下映射：① ()()11:,,,f V f m x y m x y V→=-=∈R ； ② ()()222:,,,f V f m x y m x y V →=+=∈R ；③ ()()33:,1,,f V f m x y m x y V →=++=∈R ．其中，具有性质P 的映射的序号为________．（写出所有具有性质P 的映射的序号）．【解】①，③．设()11,a x y V =∈，()22,b x y V =∈，则()()()()()()()112212121,1,1,1a b x y x y x x y y +-=+-=+-+-λλλλλλλλ． 对于①，()()()()()()1212111f a b x x y y +-=+--+-λλλλλλ()()()11221x y x y =-+--λλ， ()()()()()()112211f a f b x y x y +-=-+--λλλλ，所以()()()()()11f a b f a f b +-=+-λλλλ成立，①是具有性质P 的映射； 对于②， ()()()()()()21212111f a b x x y y +-=+-++-λλλλλλ()()()()2121211x x y y =+-++-λλλλ ()()()22221122121121x y x y x x =++-+-+-λλλλλλ， ()()()()()()22112211f a f b x y x y +-=++--λλλλ，显然，不是对任意λ∈R ，()()()()()11f a b f a f b +-=+-λλλλ成立，所以②不是具有性质P 的映射；对于③， ()()()()()()12121111f a b x x y y +-=+-++-+λλλλλλ()()()112211x y x y =++-++λλ， ()()()()()()11221111f a f b x y x y +-=+++-++λλλλ()()()()112211x y x y =++-+++-λλλλ()()()112211x y x y =++-++λλ．所以()()()()()11f a b f a f b +-=+-λλλλ成立，③是具有性质P 的映射． 因此，具有性质P 的映射的序号为①，③．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16.（本小题满分13分）已知等比数列{}n a 的公比3q =，前3项和3133S =． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若函数()sin(2)(0,0)f x A x A =+><<ϕϕπ在6x π=处取得最大值，且最大值为3a ，求函数()f x 的解析式．【解】（Ⅰ）由3q =，3133S =得()311313133a -=-，解得113a =． 所以11211333n n n n a a q ---==⨯=． （Ⅱ）由（Ⅰ），32333a -==，所以函数()f x 的最大值为3，于是3A =．又因为函数()f x 在6x π=处取得最大值， 则sin 216⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭πϕ，因为0<<ϕπ，所以6=πϕ． 函数()f x 的解析式为()3sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π． 17.（本小题满分13分）已知直线:l y x m =+，m ∈R ．（Ⅰ）若以点()2,0M 为圆心的圆与直线l 相切与点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程；（Ⅱ）若直线l 关于x 轴对称的直线为l '，问直线l '与抛物线2:4C x y =是否相切？说明理由．【解】（Ⅰ）解法1．由题意，点P 的坐标为()0,m ．因为以点()2,0M 为圆心的圆与直线l 相切与点P ，所以MP l ⊥．01102MP l m k k -⋅=⋅=--，所以2m =． 点P 的坐标为()0,2．设圆的方程为()2222x y r -+=， 则r MP === 所以，所求的圆的方程为()2228x y -+=．解法2．设圆的方程为()2222x y r -+=， 因为以点()2,0M 为圆心的圆与直线l 相切与点()0,P m ，所以224,,m r r ⎧+==解得2,m r =⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以，所求的圆的方程为()2228x y -+=． （Ⅱ）解法1．因为直线:l y x m =+，且直线l '与直线l 关于x 轴对称，则:l y x m '=--．由24,,x y y x m ⎧=⎨=--⎩得2440x x m ++=，2Δ4440m =-⨯=，解得1m =．所以，当1m =时，Δ0=，直线l '与抛物线2:4C x y =相切，当1m ≠时，Δ0≠，直线l '与抛物线2:4C x y =不相切．解法2．因为直线:l y x m =+，且直线l '与直线l 关于x 轴对称，则:ly xm '=--．设直线l '与抛物线214y x =相切的切点为()00,x y ， 由214y x =得12y x '=，则0112x =-，02x =-，()022y m m =---=-． 所以切点为()2,2m --，窃电在抛物线214y x =上，则21m -=，1m =． 所以，当1m =时，直线l '与抛物线2:4C x y =相切，当1m ≠时，直线l '与抛物线2:4C x y =不相切．18．（本小题满分13分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克）满足关系式210(6)3a y x x =+--，其中36x <<，a 为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克。
2011年福州高三质检数学参考答案
2011年福州市高中毕业班质量检查理科数学试卷参考答案及评分标准一、选择题1. C2. A3. B4. D5. D6. A7. B8. C9. C 10. C 二、填空题 11. 638-12.3 13. 6 14.14π- 15. 21n-三、解答题16. 解：（Ⅰ）∵1()cos 2f x x x ππ=+ =sin()6x ππ+··· 2分∵x R ∈ ∴1sin()16x ππ-≤+≤，∴函数()f x 的最大值和最小值分别为1，—1． ············ 4分 （Ⅱ）解法1：令()sin()06f x x ππ=+=得,6x k k Z πππ+=∈,∵[1,1]x ∈- ∴16x =-或56x = ∴15(,0),(,0),66M N - ······ 6分由sin()16x ππ+=，且[1,1]x ∈-得13x = ∴ 1(,1),3P ······· 8分∴11(,1),(,1),22PM PN =--=- ················ 10分∴cos ,||||PM PNPM PN PM PN ⋅<>=⋅35= ············· 13分 解法2：过点P 作PA x ⊥轴于A ,则||1,PA =由三角函数的性质知1||12MN T ==, ··············· 6分||||2PM PN ===, ·················· 8分 由余弦定理得222||||||cos ,2||||PM PN MN PM PN PM PN +-<>=⋅ ······ 10分=521345524⨯-=⨯． ··········· 13分解法3：过点P 作PA x ⊥轴于A ,则||1,PA =由三角函数的性质知1||12MN T ==, ·················· 6分||||PM PN ===··················· 8分 在Rt PAM ∆中，||cos ||PA MPA PM ∠===········· 10分 ∵PA 平分MPN ∠ ∴2cos cos 22cos 1MPN MPA MPA ∠=∠=∠-232(155=⨯-=． ······················ 13分 17. 解：（Ⅰ）玩家甲、乙双方在1次游戏中出示手势的所有可能结果是：（石头，石头）；（石头，剪刀）；（石头，布）；（剪刀，石头）；（剪刀，剪刀）；（剪刀，布）；（布，石头）；（布，剪刀）；（布，布）．共有9个基本事件， ··········· 3分 玩家甲胜玩家乙的基本事件分别是：（石头，剪刀）；（剪刀，布）；（布，石头），共有3个．所以，在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率3193P ==． ······ 6分 （Ⅱ）X 的可能取值分别为0，1，2，3．()303280327P X C ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，()1213121213327P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅=⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()212312623327P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()333112327P X C ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭．····················· 10分11分812610123127272727EX =⨯+⨯+⨯+⨯= （或：1~(3,)3X B ，1313EX np ==⨯=）． ·············· 13分18. 【解析】 方法一：（Ⅰ）证明：在△BCE 中，BC ⊥CF,BC=AD=3,BE=3，∴EC= 在△FCE 中，CF 2=EF 2+CE 2，∴EF ⊥CE ········ 3分由已知条件知，DC ⊥平面EFCB,∴DC ⊥EF ，又DC 与EC 相交于C ， ············· 5分 ∴EF ⊥平面DCE ················ 6分 （Ⅱ）过点B 作BH ⊥EF交FE 的延长线于H ，连结AH ． 由平面ABCD ⊥平面BEFC ，平面ABCD ∩平面BEFC=BC, AB ⊥BC ，得AB ⊥平面BEFC ，从而AH ⊥EF ．所以∠AHB 为二面角A-EF-C 的平面角．······················· 8分 在Rt △CEF 中，因为EF=2，CF=4．EC=∴∠CEF=60°，由CE ∥BH ，得∠BHE=60°， 又在RT △BHE 中，BE=3， ∴sin 2BH BE BEH =⋅∠=········ 10分 由二面角A-EF-C 的平面角∠AHB=60°，A BEFCHD在RT △AHB 中，解得9tan 2AB BH AHB =⋅∠=， 所以当92AB =时，二面角A-EF-C 的大小为60° · 13分 方法二：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）如图，以点C 为坐标原点，以CB ，CF 和CD 分别作为x 轴，y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系C-xyz ． ·············· 7分设AB=a （a >0），则C(0,0,0)，a )，B0，0），E3，0），F （0，4，0）．从而(,0),(0,3,),EF AE a ==-······ 9分设平面AEF 的法向量为(,,)n x y z =，由0,0EF n AE n ⋅=⋅= 得， 030y y az ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，取x=1，则y z ==，即n = ， ··············· 11分不妨设平面EFCB 的法向量为(0,0,)BA a =，由条件，得1|cos ,|2||||n BA n BA n BA ⋅<>===解得92a =．所以以当92AB =时，二面角A-EF-C 的大小为60°． ·································· 13分 19．解：（Ⅰ）依题意N (k,－l )，且∵klmn ≠0及MP 、NP 与x 轴有交点知： ·· 2分M 、P 、N 为不同点，直线PM 的方程为()n ly x m n m k-=-+-， ···· 3分 则E nk mlx n l-=-， 同理可得F nk mlx n l+=+ ···················· 5分（Ⅱ）∵M,P 在圆C ：x 2+y 2=R 2上,222222m R n k R l⎧=-∴⎨=-⎩,222222222222222()()E F n k m l n R l R n l x x R n l n l ----⋅===--(定值). E F x x ∴⋅的值与点M 、N 、P 的位置无关. ················· 8分同理∵M,P 在椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>上,2222222222a n m a b a lk a b ⎧=-⎪⎪∴⎨⎪=-⎪⎩,2222222222222222222()()E F a l a n n a a l n k m l b b x x a n l n l ----⋅===--(定值).∴E F x x ⋅的值与点M 、N 、P 的位置无关. ················ 11分（Ⅲ）一个探究结论是：0E F x x +=． ················· 13分 证明如下：依题意, E nk ml x n l -=-,F nk mlx n l+=+. ∵M,P 在抛物线C ：y 2=2px (p >0)上,∴n 2=2pm,l 2=2pk.2222222()2(22)0E F n k ml pmk pmk x x n l n l--+===--. ∴E F x x +为定值.20．解：(Ⅰ)F (x )= e x+sinx －ax,'()cos x F x e x a =+-.因为x =0是F (x )的极值点,所以'(0)110,2F a a =+-==……………………………2分 又当a =2时,若x <0, '()cos 0xF x e x a =+-<;若 x >0, '()cos 0xF x e x a =+->.（由()sin 0()xF x e x x o ''=->>及'(0)0F =可证）∴x =0是F (x )的极小值点, ∴a=2符合题意. ……………………………………………4分(Ⅱ) ∵a =1, 且PQ //x 轴,由f (x 1)=g (x 2)得:121sin x x e x =+,所以12111sin x x x e x x -=+-.令()sin ,'()cos 10x x h x e x x h x e x =+-=+->当x >0时恒成立.∴x ∈[0,+∞)时,h (x )的最小值为h (0)=1.∴|PQ|mi n =1. ……………………………………9分(Ⅲ)令()()()2sin 2.x x x F x F x e e x ax ϕ-=--=-+-则'()2cos 2.x x x e e x a ϕ-=++-()''()2sin x x S x x e e x ϕ-==--.因为'()2cos 0x x S x e e x -=+-≥当x ≥0时恒成立, …………………………………11分 所以函数S (x )在[0,)+∞上单调递增, ……………………………………………………12分∴S (x )≥S (0)=0当x ∈[0,+∞)时恒成立;因此函数'()x ϕ在[0,)+∞上单调递增, '()'(0)42x a ϕϕ≥=-当x ∈[0,+∞)时恒成立. 当a ≤2时,'()0x ϕ≥,()x ϕ在[0,+∞)单调递增,即()(0)0x ϕϕ≥=.故a ≤2时F (x )≥F(－x )恒成立.…………………………………………………………… 13分[)[)[)[)(]00002'()0,'()0,(0,),0'()0.()0,(0)0(0,)()0()()00,21a x x x x x x x x x x F x F x x a a ϕϕϕϕϕϕ><+∞∴∈+∞<=∴∈<--≥∈+∞∴>∞⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 当时，又在单调递增，总存在使得在区间，上导致在递减，而，当时，，这与对恒成立不符，不合题意.综上取值范围是-,24分21. （1）解：设M =a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11⎡⎤⎢⎥⎣⎦=311⎡⎤⎢⎥⎣⎦=33⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故3,3.a b c d +=⎧⎨+=⎩···· 3分 a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦12-⎡⎤⎢⎥⎣⎦=915⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故29,215.a b c d -+=⎧⎨-+=⎩ ·················· 5分联立以上两方程组解得a =1-，b =4，c =3-，d =6，故M =1436-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦． ····· 7分 （2）解：曲线C 的直角坐标方程是22(2)4x y -+=， ··········· 3分 因为222x y ρ+=，cos y ρθ=，…5分故曲线C 的极坐标方程为24cos 0ρρθ-=，即4cos ρθ=． ········ 7分 （3）解：令214y x x =+--，则1521334254x x y x x x x ⎧---⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪+⎪⎩， ，， ，， ．≤≥ ···· 3分作出函数214y x x =+--的图象，它与直线2y =的交点为(72)-，和523⎛⎫ ⎪⎝⎭， ················· 6分所以2142x x +-->的解集为5(7)3x x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，， ············ 7分。
2011年福建高考理科数学试卷及答案解析(Word)
2011年普通高等学校招生全国统一考试【福建卷】（理科数学）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页．全卷满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：（每小题5分，共60分）【2011⋅福建理，1】1．i 是虚数单位，若集合=S {1,0,1}-，则( )． A ．i S ∈ B ．2i S ∈ C ．3i S ∈ D ．2S i∈ 【答案】B ．【解析】2i 1S =-∈．故选B ．【2011⋅福建理，2】2．若a R ∈，则2a =是()()120a a --=的( )． A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 【答案】A ．【解析】 当2a =时，()()120a a --=，所以2a =是()()120a a --=的充分条件， 但是()()120a a --=时，1a =或2a =，所以2a =不是()()120a a --=的必要条件．故选A ． 【2011⋅福建理，3】3．若tan 3α=，则2sin 2cos aα的值等于( )． A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 【答案】D ． 【解析】22sin 22sin cos 2tan 6cos cos ===αααααα．故选D ．【2011⋅福建理，4】4．如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自ABE ∆内部的概率等于( )．A ．14 B ．13 C ．12 D ．23【答案】C ． 【解析】因为Δ12ABE ABCD S S =，则点Q 取自ΔABE 内部的概率Δ12ABE ABCD S P S ==．故选C ．【2011⋅福建理，5】5．1⎰()2xe x dx +等于( )．A ．1B ．1e -C ．eD ．1e + 【答案】C ． 【解析】()()11200210xxex dx e xe e e +=+=+--=⎰．故选C ．【2011⋅福建理，6】6．()312x + 的展开式中，2x 的系数等于( )． A ．80 B ．40 C ．20 D ．10 【答案】B ．【解析】 15C 2r r r r T x +=，令2r =，则2x 的系数等于225C 240=．故选B ．【2011⋅福建理，7】7．设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为1F ，2F ，若曲线Γ上存在点P 满足1PF ：12F F ：2PF 4:3:2=，则曲线Γ的离心率等于( )．A ．1322或B ．223或C ．122或D ．2332或 【答案】A ．【解析】 因为1122::4:3:2PF F F PF =，所以设14PF λ=，123F F λ=，22PF λ=． 若Γ为椭圆，则1212242623PF PF a λλλF F c λ⎧+==+=⎪⎨==⎪⎩ ， 所以12c e a ==．若Γ为双曲线，则1212242223PF PF a λλλF F c λ⎧-==-=⎪⎨==⎪⎩ ， 所以32c e a ==．故选A ．【2011⋅福建理，8】8．已知O 是坐标原点，点(1,1)A -若点(,)M x y 为平面区域212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，则OA OM ⋅u u u r u u u u r的取值范围是( )．A ．[-1.0]B ．[0.1]C ．[0.2]D ．[-1.2] 【答案】C ．【解析】 设()()1,1,z OA OM x y x y =⋅=-⋅=-+u u u r u u u u r．作出可行域，如图．直线z x y =-+，即y x z =+经过()1,1B 时，z 最小，min 110z =-+=，y x z =+经过()0,2C 时，z 最大，max 022z =+=，所以OA OM ⋅u u u r u u u u r的取值范围是[]0,2．故选C ．解析二：【2011⋅福建理，9】9．对于函数()sin f x a x bx c =++(其中，,a b R ∈，c Z ∈)，选取,,a b c 的一组值计算()1f 和()1f -，所得出的正确结果一定不可能．．．．．是( )． A ．4和6 B ．.3和1 C ．2和4 D ．1和2 【答案】D ．【解析】 ()()()11sin1sin 12f f a b c a b c c +-=+++--+=，因为c ∈Z ，(1,1)(1,2)21BAOy C则()()11f f +-为偶数，四个选项中，只有Ｄ，123+=不是偶数．故选D ．【2011⋅福建理，10】10．已知函数()xf x e x =+，对于曲线()y f x =上横坐标成等差数列的三个点A,B,C ，给出以下判断： ①△ABC 一定是钝角三角形； ②△ABC 可能是直角三角形； ③△ABC 可能是等腰三角形； ④△ABC 不可能是等腰三角形． 其中，正确的判断是 ( )．A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④ 【答案】B ．【解析】设a b <．首先证明()()22f a f b a b f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭．()()22f a f b a b f ++⎛⎫- ⎪⎝⎭222a b a b e a e b a b e +++++=--22a ba b e e e ++=-2220a b a b a b a be e eee+++≥⋅-=-=，当且仅当a b =时等号成立，由于a b <，所以等号不成立， 于是()()022f a f b a b f ++⎛⎫-> ⎪⎝⎭，()()22f a f b a b f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭． ①设点(),A A A x y ，(),B B B x y ，(),C C C x y ，且,,A B C x x x 成等差数列，A B C x x x <<． 由()f x 是R 上的增函数，则A B C y y y <<， ②如图，D 为AC 的中点，过,,A B C 作x 轴的垂线，垂足依次为,,M N P ． 因为2A CB x x x +=，所以D 在直线BN 上，作AE BN ⊥交BN 于E ，作BF CP ⊥交CP 于F ． 因为()()22AC A CD f x f x y y y ++==，2AC B x x y f +⎛⎫= ⎪⎝⎭， 由①式，D B y y >，，D A DE y y =-，D B DB y y =-，由②，DE DB >，所以点B 在DE 的内部，因而90DBA DEA ∠>∠=︒，又CBA DBA ∠>∠，所以ABC ∆一定是钝角三角形．结论①正确．若ABC ∆是等腰三角形，因为D 为AC 的中点，则BD AC ⊥，因而//AC x 轴，这是不可能的，所以ABC ∆不是等腰三角形．结论④正确； 所以结论①，④正确．故选Ｂ．第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：（每小题4分，共16分）【2011⋅福建理，11】11．运行如图所示的程序，输出的结果是 ．【答案】 3．【解析】 123a =+=．所以输出的结果是3．【2011⋅福建理，12】12．三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，3PA =，底面ABC 是边长为2的正三角形，则三棱锥P ABC -的体积等于 ．【解析】2Δ1123334ABC V S PA =⋅=⨯⨯⨯=ED BCA【2011⋅福建理，13】13．盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于 ． 【答案】35． 【解析】所取出的2个球颜色不同的概率113225C C 233C 105P ⨯===． 【2011⋅福建理，14】14．如图，ABC ∆中，2AB AC ==，3BC =D 在BC 边上，ADC ∠=45o ，则AD 的长度等于 ．2．【解析】解法1：由余弦定理2223cos 22223AC BC AB C AC BC +-===⋅⋅⨯⨯所以30C =︒. 再由正弦定理sin sin AD AC C ADC =∠，即2sin 30sin 45AD =︒︒，所以2AD = 解法2：作AE BC ⊥于E ，因为2AB AC ==，所以E 为BC 的 中点，因为23BC =3EC =． 于是221AE AC EC -=，因为ΔADE 为有一角为45︒的直角三角形．且1AE =，所以2AD =【2011⋅福建理，15】15．设V 是全体平面向量构成的集合，若映射:f V R →满足：对任意向量1122(,),(,),a x y V b x y V =∈=∈以及任意R λ∈，均有((1))()(1)(),f a b f a f b λλλλ=-=+-则称映射f 具有性质P ．先给出如下映射：① 1:f V R → ()1f m x y =- (),m x y V =∈；② 2:f V R → ()2f m x y =+ (),m x y V =∈； ③ 3:f V R → ()31f m x y =++ (),m x y V =∈．其中，具有性质P 的映射的序号为 ．（写出所有具有性质P 的映射的序号） 【答案】①③．【解析】设()11,a x y V =∈r，()22,b x y V =∈r ，则()()()()()()()112212121,1,1,1a b x y x y x x y y +-=+-=+-+-λλλλλλλλr r．对于①，()()()()()()1212111f a b x x y y +-=+--+-λλλλλλr r()()()11221x y x y =-+--λλ，()()()()()()112211f a f b x y x y +-=-+--λλλλr r，所以()()()()()11f a b f a f b +-=+-λλλλr r r r成立，①是具有性质P 的映射；对于②，()()()()()()21212111f a b x x y y +-=+-++-λλλλλλr r()()()()2121211x x y y =+-++-λλλλ()()()22221122121121x y x y x x =++-+-+-λλλλλλ，()()()()()()22112211f a f b x y x y +-=++--λλλλr r ，显然，不是对任意λ∈R ，()()()()()11f a b f a f b +-=+-λλλλr r r r成立，所以②不是具有性质P 的映射； 对于③，()()()()()()12121111f a b x x y y +-=+-++-+λλλλλλr r()()()112211x y x y =++-++λλ，()()()()()()11221111f a f b x y x y +-=+++-++λλλλr r()()()()112211x y x y =++-+++-λλλλ()()()112211x y x y =++-++λλ．所以()()()()()11f a b f a f b +-=+-λλλλr r r r成立，③是具有性质P 的映射．因此，具有性质P 的映射的序号为①、③．三、解答题：（本大题共6小题，共80分）【2011⋅福建理，16】16．（本小题满分13分）已知等比数列{}n a 的公比3q =，前3项和S 3=133． (Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ) 若函数()sin(2)(0,0)f x A x A p ϕϕπ=+><<<在6x π=处取得最大值，且最大值为3a ，求函数()f x 的解析式．【解析】本小题主要考查等比数列、三角函数等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想．（Ⅰ）由3q =，3133S =得()311313133a -=-，解得113a =．所以11211333n n n n a a q---==⨯=． （Ⅱ）由（Ⅰ），32333a -==，所以函数()f x 的最大值为3，于是3A =．又因为函数()f x 在6x π=处取得最大值，则sin(2)16πϕ⨯+=，因为0<<ϕπ，所以6=πϕ．函数()f x 的解析式为()3sin(2)6f x x π=+．【2011⋅福建理，17】17．（本小题满分13分）已知直线:l y x m =+，m R ∈．(Ⅰ) 若以点()2,0M 为圆心的圆与直线l 相切与点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程； (Ⅱ) 若直线l 关于x 轴对称的直线为l '，问直线l '与抛物线2:4C x y =是否相切？说明理由． 【解析】本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想．（Ⅰ）解法1：由题意，点P 的坐标为()0,m ． 因为以点()2,0M 为圆心的圆与直线l 相切与点P ，所以MP l ⊥．01102MP l m k k -⋅=⋅=--，所以2m =． 点P 的坐标为()0,2．设圆的方程为()2222x y r -+=，则()()2202208r MP ==-+-=，所以，所求的圆的方程为()2228x y -+=． 解法2：设圆的方程为()2222x y r -+=，因为以点()2,0M 为圆心的圆与直线l 相切与点()0,P m ，所以224,20,2m r m r ⎧+=-+=解得2,2 2.m r =⎧⎪⎨=⎪⎩所以，所求的圆的方程为()2228x y -+=．（Ⅱ）解法1：因为直线:l y x m =+，且直线l '与直线l 关于x 轴对称，则:l y x m '=--．由24,,x y y x m ⎧=⎨=--⎩得2440x x m ++=， 2Δ4440m =-⨯=，解得1m =．所以，当1m =时，Δ0=，直线l '与抛物线2:4C x y =相切，当1m ≠时，Δ0≠，直线l '与抛物线2:4C x y =不相切．解法2：因为直线:l y x m =+，且直线l '与直线l 关于x 轴对称，则:l y x m '=--． 设直线l '与抛物线214y x =相切的切点为()00,x y ， 由214y x =得12y x '=，则0112x =-，02x =-，()022y m m =---=-．所以切点为()2,2m --，窃电在抛物线214y x =上，则21m -=，1m =． 所以，当1m =时，直线l '与抛物线2:4C x y =相切，当1m ≠时，直线l '与抛物线2:4C x y =不相切．【2011⋅福建理，18】18．（本小题满分12分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克）满足关系式210(6)3ay x x =+--，其中36x <<，a 为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (Ⅰ) 求a 的值；(Ⅱ) 若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．【解析】本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想． （Ⅰ）因为5x =时，11y =，由函数式210(6)3ay x x =+-- 得 11102a=+，所以2a =． （Ⅱ）因为2a =，所以该商品每日的销售量为2210(6)3y x x =+--，()36x <<． 每日销售该商品所获得的利润为()()()222310(6)2103(6)3f x x x x x x ⎡⎤=-+-=+--⎢⎥-⎣⎦，()36x <<．()()()()()()21062363064f x x x x x x ⎡⎤'=-+--=--⎣⎦．于是，当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：x()3,44 ()4,6()f x ' +-()f x单调递增极大值42单调递减由上表可以看出，4x =是函数在区间()3,6内的极大值点，也是最大值点．所以，当4x =时，函数()f x 取得最大值42．因此当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．【2011⋅福建理，19】19．（本小题满分13分）某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X 依次为1,2，……，8，其中5X ≥为标准A ，3X ≥为标准B ，已知甲厂执行标准A 生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B 生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准．(Ⅰ) 已知甲厂产品的等级系数1X 的概率分布列如下所示：且1X 的数字期望16EX =，求,a b 的值；(Ⅱ) 为分析乙厂产品的等级系数2X ，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：3 5 3 3 8 5 5 6 34 6 3 4 75 3 4 8 5 38 3 4 3 4 4 7 5 6 7用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数2X 的数学期望． (Ⅲ) 在(Ⅰ)、(Ⅱ)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．注：（1）产品的“性价比”=产品的零售价期望产品的等级系数的数学；（2）“性价比”大的产品更具可购买性．【解析】本小题主要考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查函数与方程思想、必然与或然思想、分类与整合思想．（Ⅰ）因为16EX =，所以50.46780.16a b ⨯+++⨯=，即67 3.2a b +=， 又0.40.11a b +++=，所以0.5a b +=，解方程组67 3.2,0.5a b a b +=⎧⎨+=⎩解得0.3a =，0.2b =．（Ⅱ）由样本的数据，样本的频率分布表如下：2X3 4 5 6 7 8 f0.30.20.20.10.10.1用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数2X 的概率分布列如下表：2X3 4 5 6 7 8P 0.3 0.20.2 0.1 0.1 0.1所以230.340.250.260.170.180.1 4.8EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． （Ⅲ）甲厂的产品的等级系数的数学期望为6，价格为6元/件，所以性价比为616=， 甲厂的产品的等级系数的数学期望为4.8，价格为4元/件，所以性价比为4.81.214=>． 所以，乙厂的产品更具可购买性．【2011⋅福建理，20】20．（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 中，AB AD ⊥，4AB AD +=，2CD =，CDA ∠=45o ．(Ⅰ) 求证：平面PAB ⊥平面PAD ； (Ⅱ) 设AB AP =．()i 若直线PB 与平面PCD 所成的角为︒30，求线段AB 的长；()ii在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？说明理由．【解析】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、抽象根据能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想．【解析二】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、抽象根据能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想．（Ⅰ）因为PA ABCD ⊥底面，AB ABCD ⊂底面，所以PA AB ⊥．又AB AD ⊥，PA AD A =∩，所以P AB AD ⊥面平，又P AB AB ⊂面平，P PAB AD ⊥面平面平．（Ⅱ）以A 为坐标原点，建立如图乙的空间直角坐 标系A xyz -．在平面ABCD 内，作//CE AB 交AD 于E ． 则CE AD ⊥．在Rt ΔCDE 中，2sin 45212DE CD =︒=⋅=． 设AB AP t ==，则(),0,0B t ，()0,0,P t ．由4AB AD +=，则4AD t =-，所以()0,3,0E t -，()0,4,0D t -，()1,3,0C t -．()1,1,0CD =-u u u r ，()0,4,PD t t =--u u u r，（i ）设平面PCD 的法向量为(),,n x y z =r ，由n CD ⊥u u u r r ，n PD ⊥u u u r r 得0,0,n CD n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r u u u rr ()0,40,x y t y tz -+=⎧⎨--=⎩取x t =，则y t =，4z t =-．(),,4n t t t =-r， 又(),0,PB t t =-u u u r，由直线PB 与平面PCD 所成的角为︒30，得()22222241cos 60242t t n PB n PB t t t t -⋅︒===⋅++-⋅u u u r r u u u r r ． 解得45t =或4t =（因为40,4AD t t =-><，故舍去） 所以45AB =． （ii ）假设线段AD 上存在一个点G ，使得点G 到点,,,P B C D 的距离都相等，设()0,,0G m ，()04m t ≤≤-．则()1,3,0GC t m =--u u u r， ()0,4,0GD t m =--u u u r ，()0,,GP m t =-u u u r，则由GC GD =u u u r u u u r 得()()22134t m t m +--=--，即3t m =-，① 由GP GD =u u u r u u u r 得()2224t m m t --=+， ②从①，②消去t ，并化简得2340m m -+= ③ 方程③没有实数根，所以在线段AD 上不存在一个点G ，使得点G 到点,,,P B C D 的距离都相等．解法2：假设线段AD 上存在一个点G ，使得点G 到 点,,,P B C D 的距离都相等，由GC GD =得45GCD GDC ∠=∠=︒， 从而90CGD ∠=︒，则CG GD ⊥，设AB λ=，则由4AB AD +=，得4AD λ=-，3AG AD GD λ=-=-．在Rt ΔABG 中，()222223932122GB AB AG λλλ⎛⎫=+=+-=-+> ⎪⎝⎭与1GB GD ==矛盾，所以在线段AD 上不存在一个点G ，使得点G 到点,,,P B C D 的距离都相等．【2011⋅福建理，21】21．（本小题满分14分）本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分，做答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中． (1)（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换设矩阵 00a M b ⎛⎫= ⎪⎝⎭（其中0a >，0b >）．（I ）若2a =，3b =，求矩阵M 的逆矩阵1M -；（II ）若曲线22:1C x y +=在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线C '：2214x y +=，求,a b 的值．【解析】本小题主要考查矩阵与交换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想． （Ⅰ）设矩阵M 的逆矩阵11122x y Mx y -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则11001MM -⎛⎫= ⎪⎝⎭， 因为2003M ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以112220100301x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以121x =，120y =，230x =，231y =，即112x =，10y =，20x =．213y =， 所以1102103M -⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭． （Ⅱ）设曲线C 上的任意一点为(),P x y ，在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到点(),P x y '''．则00a x x b y y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即,ax x by y'=⎧⎨'=⎩， 又点(),P x y '''在曲线22:14x C y '+=上，所以2214x y ''+=， 即222214a xb y +=为曲线22:1C x y +=的方程，则24a =，21b =， 又因为0,0a b >>，则2,1a b ==．(2)（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程在直接坐标系xOy 中，直线l 的方程为40x y -+=，曲线C的参数方程为sin x ay a⎧=⎪⎨=⎪⎩.（I ）已知在极坐标（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，点P 的极坐标为(4,)2π，判断点P 与直线l 的位置关系；（II ）设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．【解析】本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化、椭圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想． （Ⅰ）点P 的极坐标为(4,)2π，则直角坐标为()0,4，把()0,4P 代入直线l 的方程40x y -+=，因为0440-+=，所以点P 在直线l 上．（Ⅱ）因为点Q 是曲线C 上的一个动点，则点Q的坐标可设为,sin )Q αα． 点Q 到直线l 的距离为2cos()4)6d παπα++===++．所以当cos()16πα+=-时，d．(3)（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲 设不等式211x -<的解集为M ． （I ）求集合M ；（II ）若,a b M ∈，试比较1ab +与a b +的大小．【解析】本小题主要考查绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想． （Ⅰ）由|21|1x -<得1211x -<-<，解得01x <<， 所以{}01M x x =<<．（Ⅱ）因为,a b M ∈，则01a <<，01b <<，(1)()(1)(1)0ab a b a b +-+=-->，所以1ab a b +>+．。
2011年福建省高考《理综综合》模拟测试试卷(1)-中大网校
2011年福建省高考《理综综合》模拟测试试卷(1)总分：300分及格：180分考试时间：150分本卷共18小题，每小题6分，共108分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
(1)下列有关细胞生命历程的叙述，正确的是（）(2)下列与细胞膜有关的叙述不正确的是（）(3)下图表示细胞中蛋白质合成的部分过程，相关叙述不正确的是（）<Ahref="javascript:;"></A>(4)现代生物进化理论认为（）(5)在洋葱表皮细胞质壁分离实验中，滴加蔗糖溶液后，观察到部分细胞未发生质壁分离，分析其原因，不可能是（）(6)针对节能减排课题，某研究性学习小组提出如下方案，你认为不符合课题要求的是（）(7)下列说法正确的是（）(8)类比推理是化学学习中的一种重要方法。
下列类推结论正确的是（）(9)设M是阿伏加德罗常数的值，下列说法正确的是（）(10)化学在生产和日常生活中有着重要的应用。
下列说法不正确的是（）(11)1807年化学家戴维用电解熔融氢氧化钠制得钠：<A href="javascript:;"></A>(12)下列应用套管实验装置(部分装置画出)进行的实验，叙述错误的是（）<Ahref="javascript:;"></A>(13)某交流发电机中，矩形金属线圈在匀强磁场中匀速转动，产生的感应电动势与时间的关系如图所示。
如果此线圈和一个R=100 Ω的电阻构成闭合电路，不计电路的其官电阻，下列叙述正确的是（）(14)用红光和紫光做光学实验时，下列说法正确的是（）(15)木星至少有l6颗卫星，l610年1月7日伽利略用望远镜发现了其中的4颗。
这4颗卫星被命名为木卫1、木卫2、木卫3和木卫4。
他的这个发现对于打破“地心说”提供了重要的依据。
若将木卫1、木卫2绕木星的运动看做匀速圆周运动，已知木卫2的轨道半径大于木卫1的轨道半径，则它们绕木星运行时（）(16)所谓正电子(又称阳电子、反电子、正子)，带正电荷，电量大小和质量都与负电子相等。
2011年福建省高考数学试卷(理科)答案与解析
2011年福建省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2011•福建）i是虚数单位，若集合S={﹣1，0，1}，则（）23∈S C．i∈S D． A．i∈S B．i【考点】虚数单位i及其性质．【专题】计算题．23【分析】根据虚数单位i及其性质，我们分别计算出i，i，，再根据集合元素与集合的关系，逐一判断它们与集合S的关系，即可得到答案．【解答】解：∵S={﹣1.0.1}，∴i∉S，故A错误； 2i=﹣1∈S，故B正确； 3i=﹣i∉S，故C错误；∉S，故D错误；故选B 【点评】本题考查的知识点是虚数单位i及其性质，元素与集合的关系，其中利用虚数单位23i及其性质，计算出i，i，，是解答本题的关键．2．（5分）（2011•福建）若a∈R，则a=2是（a﹣1）（a﹣2）=0的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据一元二次方程根的定义，我们判断出a=2⇒（a﹣1）（a﹣2）=0及（a﹣1）（a ﹣2）=0⇒a=2的真假，进而根据充要条件的定义即可得到答案．【解答】解：当a=2时，（a﹣1）（a﹣2）=0成立故a=2⇒（a﹣1）（a﹣2）=0为真命题而当（a﹣1）（a﹣2）=0，a=1或a=2，即a=2不一定成立故（a﹣1）（a﹣2）=0⇒a=2为假命题故a=2是（a﹣1）（a﹣2）=0的充分不必要条件故选A 【点评】本题考查的知识点是充要条件，其中判断a=2⇒（a﹣1）（a﹣2）=0及（a﹣1）（a﹣2）=0⇒a=2是解答本题的关键．3．（5分）（2011•福建）若tanα=3，则的值等于（）A．2 B．3 C．4 D．6 【考点】二倍角的正弦；弦切互化．【专题】计算题． 1【分析】利用两角和公式把原式的分母展开后化简，把tanα的值代入即可．【解答】解：==2tanα=6 故选D 【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换及化简求值．考查了基础知识的运用． 4．（5分）（2011•福建）如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于（）A． B． C． D．【考点】几何概型．【专题】常规题型．【分析】利用几何概型的计算概率的方法解决本题，关键要弄准所求的随机事件发生的区域的面积和事件总体的区域面积，通过相除的方法完成本题的解答．【解答】解：由几何概型的计算方法，可以得出所求事件的概率为P=．故选C．【点评】本题考查概率的计算，考查几何概型的辨别，考查学生通过比例的方法计算概率的问题，考查学生分析问题解决问题的能力，考查学生几何图形面积的计算方法，属于基本题型．x5．（5分）（2011•福建）（e+2x）dx等于（）2A．1 B．e﹣1 C．e D．e+1 【考点】定积分．【专题】计算题．【分析】求出被积函数的原函数，将积分的上限代入减去将下限代入求出差．xx21【解答】解：（e+2x）dx=（e+x）|=e+1﹣1=e 0故选C．【点评】本题考查利用微积分基本定理求定积分值．326．（5分）（2011•福建）（1+2x）的展开式中，x的系数等于（）A．80 B．12 C．20 D．10 【考点】二项式系数的性质．【专题】计算题．2【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为2，求出展开式的x的系数．rrr【解答】解：展开式的通项为T=2Cx r+13 2222令r=2的展开式中x的系数等于2C=12 3故选B 【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题． 7．（5分）（2011•福建）设圆锥曲线r的两个焦点分别为F，F，若曲线r上存在点P满足12|PF|：|FF|：|PF|=4：3：2，则曲线r的离心率等于（）1122A． B．或2 C．2 D．【考点】圆锥曲线的共同特征．【专题】计算题；压轴题．【分析】根据题意可设出|PF|，|FF|和|PF|，然后分曲线为椭圆和双曲线两种情况，分别1122利用定义表示出a和c，则离心率可得．【解答】解：依题意设|PF|=4t，|FF|=3t，|PF|=2t，1122若曲线为椭圆则2a=|PF|+|PF|=6t，c=t 12则e==，若曲线为双曲线则，2a=4t﹣2t=2t，a=t，c=t ∴e== 故选A 【点评】本题主要考查了圆锥曲线的共同特征．关键是利用圆锥曲线的定义来解决．8．（5分）（2011•福建）已知O是坐标原点，点A （﹣1，1），若点M（x，y）为平面区域，上的一个动点，则•的取值范围是（） A．[﹣1，0] B．[0，1] C．[0，2] D．[﹣1，2] 【考点】简单线性规划的应用；平面向量数量积的运算．【专题】数形结合．【分析】先画出满足约束条件的平面区域，求出平面区域的角点后，逐一代入•分析比较后，即可得到•的取值范围．的平面区域如下图所示：【解答】解：满足约束条件 3将平面区域的三个顶点坐标分别代入平面向量数量积公式当x=1，y=1时，•=﹣1×1+1×1=0 当x=1，y=2时，•=﹣1×1+1×2=1 当x=0，y=2时，•=﹣1×0+1×2=2 故•和取值范围为[0，2] 解法二：z=•=﹣x+y，即y=x+z 当经过P点（0，2）时在y轴上的截距最大，从而z最大，为2．当经过S点（1，1）时在y轴上的截距最小，从而z最小，为0．故•和取值范围为[0，2] 故选：C 【点评】本题考查的知识点是线性规划的简单应用，其中画出满足条件的平面区域，并将三个角点的坐标分别代入平面向量数量积公式，进而判断出结果是解答本题的关键． 9．（5分）（2011•福建）对于函数f（x）=asinx+bx+c（其中，a，b∈R，c∈Z），选取a，b，c的一组值计算f（1）和f （﹣1），所得出的正确结果一定不可能是（）A．4和6 B．3和1 C．2和4 D．1和2 【考点】函数的值．【专题】计算题；压轴题．【分析】求出f（1）和f（﹣1），求出它们的和；由于c∈Z，判断出f（1）+f（﹣1）为偶数．【解答】解：f（1）=asin1+b+c ① f（﹣1）=﹣asin1﹣b+c ② ①+②得： f（1）+f （﹣1）=2c 4∵c∈Z ∴f（1）+f（﹣1）是偶数故选：D 【点评】本题考查知函数的解析式求函数值、考查偶数的特点．x+x10．（5分）（2011•福建）已知函数f（x）=e，对于曲线y=f（x）上横坐标成等差数列的三个点A，B，C，给出以下判断：①△ABC一定是钝角三角形；②△ABC可能是直角三角形；③△ABC可能是等腰三角形；④△ABC不可能是等腰三角形．其中，正确的判断是（） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【考点】数列与函数的综合．【专题】综合题；压轴题；探究型；数形结合；数形结合法．x【分析】由于函数f（x）=e+x，对于曲线y=f（x）上横坐标成等差数列的三个点A，B，C，由函数的定义及函数单调性进行判断即可得出正确选项，对于①正确，由函数的图象可以得出，角ABC是钝角，②亦可由此判断出；③④可由变化率判断出．x【解答】解：由于函数f（x）=e+x，对于曲线y=f（x）上横坐标成等差数列的三个点A，B，C，且横坐标依次增大由于此函数是一个单调递增的函数，故由A到B的变化率要小于由B到C的变化率．可得出角ABC一定是钝角故①对，②错．由于由A到B的变化率要小于由B到C的变化率，由两点间距离公式可以得出AB＜BC，故三角形不可能是等腰三角形，由此得出③不对，④对．故选B．【点评】此题考查了数列与函数的综合，求解本题的关键是反函数的性质及其变化规律研究清楚，由函数的图形结合等差数列的性质得出答案．二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）11．（4分）（2011•福建）运行如图所示的程序，输出的结果是3 ．【考点】伪代码．【专题】图表型．【分析】根据赋值语句的含义对语句从上往下进行运行，最后的a就是所求．【解答】解：a=1，b=2，接下来：a=1+2=3 故最后输出3．故答案为：3．【点评】本题主要考查了赋值语句，理解赋值的含义是解决问题的关键，属于基础题． 512．（4分）（2011•福建）三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，PA=3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥P﹣ABC的体积等于．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；压轴题．【分析】由题意求出底面面积，然后求出三棱锥的体积．【解答】解：三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，PA=3，底面ABC是边长为2的正三角形，所以底面面积为：；三棱锥的体积为：= 故答案为：【点评】本题是基础题，考查三棱锥的体积的计算，注意三棱锥的特征是解题的关键． 13．（4分）（2011•福建）盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题．【分析】先判断出此题是古典概型；利用排列、组合求出随机取出2个球的方法数及取出的2个球颜色不同的方法数；利用古典概型概率公式求出值．【解答】解：从中随机取出2个球，每个球被取到的可能性相同，是古典概型2从中随机取出2个球，所有的取法共有C=10 511所取出的2个球颜色不同，所有的取法有C•C=6 32由古典概型概率公式知P= 故答案为【点评】本题考查利用排列、组合求完成事件的方法数、考查利用古典概型概率公式求事件的概率．14．（4分）（2011•福建）如图，△ABC中，AB=AC=2，BC=，点D 在BC边上，∠ADC=45°，则AD的长度等于．【考点】解三角形．【专题】计算题；压轴题．【分析】由A向BC作垂线，垂足为E，根据三角形为等腰三角形求得BE，进而再Rt△ABE中，利用BE和AB的长求得B，则AE可求得，然后在Rt△ADE中利用AE和∠ADC求得AD．【解答】解：由A向BC作垂线，垂足为E，∵AB=AC ∴BE=BC= 6∵AB=2 ∴cosB== ∴B=30°∴AE=BE•tan30°=1 ∵∠ADC=45°∴AD== 故答案为：【点评】本题主要考查了解三角形问题．考查了学生分析问题和解决问题的能力．15．（4分）（2011•福建）设V是全体平面向量构成的集合，若映射f：V→R满足：对任意向量=（x，y）∈V，=（x，y）∈V，以及任意λ∈R，均有f（λ+（1﹣λ））=λf（）1122+（1﹣λ）f（）则称映射f具有性质P．先给出如下映射：①f：V→R，f（）=x﹣y，=（x，y）∈V；112②f：V→R，f（）=x+y，=（x，y）∈V；22③f：V→R，f（）=x+y+1，=（x，y）∈V．33其中，具有性质P的映射的序号为①③ ．（写出所有具有性质P的映射的序号）【考点】映射．【专题】压轴题；阅读型．【分析】求出两个向量的和的坐标；分别对三个函数求与的值，判断哪个函数具有．【解答】解：，则+（1﹣λ）y} 2对于①，=λx+（1﹣λ）x﹣λy﹣（1﹣λ）y=λ（x﹣y）+（1﹣λ）121211（x﹣y）22而=λ（x﹣y）+（1﹣λ）（x﹣y）满足性质P 11222]]，λf对于②f（λa+（1﹣λb））=[λx+（1﹣λ）x+[λy+（1﹣λ）y（a）+（1﹣λ）f（b）212122222=λ（x+y）+（1﹣λ）（x+y）1122∴f（λa+（1﹣λb））≠λf（a）+（1﹣λ）f（b），∴映射f不具备性质P．2222 7对于③=λx+（1﹣λ）x+λy+（1﹣λ）y+1=λ（x+y）+（1﹣λ）121211（x+y）+1 22而=λ（x+y+1）+（1﹣λ）（x+y+1）═λ（x+y）+（1112211﹣λ）（x+y）+1 22满足性质p 故答案为：①③．【点评】本题考查理解题中的新定义、考查利用映射的法则求出相应的像．三、解答题（共6小题，满分80分）16．（13分）（2011•福建）已知等比数列{a}的公比q=3，前3项和S=．n3（Ⅰ）求数列{a}的通项公式；n（Ⅱ）若函数f （x）=Asin（2x+φ）（A＞0，0＜φ＜π）在处取得最大值，且最大值为a，求函数f（x）的解析式．3【考点】等比数列的通项公式；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】综合题．【分析】（Ⅰ）根据等比数列的前n项和的公式及q=3化简S=，得到关于首项的方程，3求出方程的解得到首项的值，然后根据首项和公比即可写出数列的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）求出的通项公式求出a的值，即可得到A的值，然后把代入正弦函3数中得到函数值等于1，根据φ的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出φ的值，把φ的值代入即可确定出f（x）的解析式．【解答】解：（Ⅰ）由q=3，S=得：=，解得a=，31n1n2﹣﹣所以a=×3=3；nn2﹣（Ⅱ）由（Ⅰ）可知a=3，所以a=3，n3因为函数f（x）的最大值为3，所以A=3；又因为当x=时，f（x）取得最大值，所以sin（2×+φ）=1，．由0＜φ＜π，得到φ=）．则函数f（x）的解析式为f （x）=3sin（2x+【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的前n项和的公式及通项公式化简求值，掌握正弦函数的图象与性质以及会利用待定系数法求函数的解析式，是一道中档题．17．（13分）（2011•福建）已知直线l：y=x+m，m∈R．（Ⅰ）若以点M（2，0）为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在y轴上，求该圆的方程； 82（Ⅱ）若直线l关于x轴对称的直线为l′，问直线l′与抛物线C：x=4y是否相切？说明理由．【考点】直线与圆的位置关系；直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】计算题．【分析】（I）利用待定系数法求本题中圆的方程是解决本题的关键，利用直线与圆相切的数学关系列出关于圆的半径的方程，通过求解方程确定出所求圆的半径，进而写出所求圆的方程；（II）设出直线为l'的方程利用直线与抛物线的位置关系解决该题，将几何问题转化为代数方程组问题，注意体现方程有几个解的思想．222【解答】解：（I）设所求圆的半径为r，则圆的方程可设为（x﹣2）+y=r．由题意，所求圆与直线l：y=x+m相切于点P（0，m），则有22，解得，所以圆的方程为（x﹣2）+y=8．（II）由于直线l的方程为y=x+m，所以直线l′的方程为y=﹣x﹣m，由消去y22得到x+4x+4m=0，△=4﹣4×4m=16（1﹣m）．2①当m=1时，即△=0时，直线l′与抛物线C：x=4y相切；2②当m≠1时，即△≠0时，直线l′与抛物线C：x=4y不相切．22综上，当m=1时，直线l′与抛物线C：x=4y相切；当m≠1时，直线l′与抛物线C：x=4y不相切．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系，考查学生对直线与圆相切，直线与抛物线相切的问题的转化方法，考查学生的方程思想和运算化简能力，属于基本题型．18．（13分）（2011•福建）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：2千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式y=+10（x﹣6），其中3＜x＜6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．【考点】函数模型的选择与应用；利用导数研究函数的单调性．【专题】应用题．【分析】（Ⅰ）由f（5）=11代入函数的解析式，解关于a的方程，可得a值；（Ⅱ）商场每日销售该商品所获得的利润=每日的销售量×销售该商品的单利润，可得日销售量的利润函数为关于x的三次多项式函数，再用求导数的方法讨论函数的单调性，得出函数的极大值点，从而得出最大值对应的x 值．【解答】解：（Ⅰ）因为x=5时，y=11，所以+10=11，故a=2 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，该商品每日的销售量y= 所以商场每日销售该商品所获得的利润为 92从而，f′（x）=10[（x﹣6）+2（x﹣3）（x﹣6）]=30（x﹣6）（x﹣4）于是，当x变化时，f（x）、f′（x）的变化情况如下表：x 4 （3，4）（4，6） + 0 f'（x）﹣ f（x）单调递增极大值42 单调递减由上表可得，x=4是函数f（x）在区间（3，6）内的极大值点，也是最大值点．所以，当x=4时，函数f（x）取得最大值，且最大值等于42 答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．【点评】本题函数解析式的建立比较容易，考查的重点是利用导数解决生活中的优化问题，属于中档题．19．（13分）（2011•福建）某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1，2， (8)其中X≥5为标准A，X≥3为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准（Ⅰ）已知甲厂产品的等级系数X的概率分布列如下所示：15 6 7 8 X 1 P 0.4 a b 0.1 且X的数字期望EX=6，求a，b 的值；11（Ⅱ）为分析乙厂产品的等级系数X，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系2数组成一个样本，数据如下： 3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 5 6 7 用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X的数学期望．2（Ⅲ）在（Ⅰ）、（Ⅱ）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．注：（1）产品的“性价比”=；（2）“性价比”大的产品更具可购买性．【考点】概率的应用；随机抽样和样本估计总体的实际应用；离散型随机变量的期望与方差．【专题】计算题；应用题．【分析】（Ⅰ）根据题意，结合期望的计算与频率分布列的性质，可得，解即可得答案；（Ⅱ）依据题意中，用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，先由数据得到样本的频率分布列，进而可得其概率分布列，由期望公式，计算可得答案；（Ⅲ）由题意与（Ⅱ）的结论，可得两厂产品的期望，结合题意，计算可得他们产品的“性价比”，比较其大小，可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，因为X的数字期望EX=6，则5×0.4+6a+7b+8×0.1=6，化简11可得6a+7b=3.2； 10又由X的频率分布列，可得0.4+a+b+0.1=1，即a+b=0.5；1即，解可得a=0.3，b=0.2；（Ⅱ）由已知得，样本的频率分布列为3 4 5 6 7 8 X 2 f 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1 用这个样本的频率分布估计总体的分布，将其频率视为概率，可得X的概率分布列如下：2 3 4 5 6 7 8 X 2p 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1 所以EX=3×0.3+4×0.2+5×0.2+6×0.1+7×0.1+8×0.1=4.8．2即乙产品的等级系数的数学期望等于 4.8；（Ⅲ）乙厂的产品更具有可购买性，理由如下：甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为6元/件，所以其性价比为=1，乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8，价格为4元/件，所以其性价比为=1.2；据此乙厂的产品更具有可购买性．【点评】本题考查概率的实际运用，是应用性的题目，整体难度不大；解题时需要认真分析、理解题意，并根据题意，选择合适的数学统计量来计算应用．20．（14分）（2011•福建）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD中，AB⊥AD，AB+AD=4，CD=，∠CDA=45°．（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面PAD；（Ⅱ）设AB=AP．（i）若直线PB与平面PCD所成的角为30°，求线段AB的长；（ii）在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？说明理由．【考点】平面与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算．【专题】压轴题；转化思想；空间位置关系与距离．【分析】（I）根据线面垂直的定义可得PA⊥AB，再结合DA⊥AB得到AB⊥平面PAD，最后根据平面与平面垂直的判定定理可得平面PAB与平面PAD垂直；（II）（i）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，根据已知数据设出B、P、E、C、D的坐标，用法向量的方法结合数量积计算公式，可得线段AB的长；（ii）先假设存在点G满足条件，再通过计算GB之长，与GD长加以比较，得出GB＞GD，与已知条件GB=GD=1矛盾，故不存在满足条件的点G．【解答】解：（I）证明：∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD ∴PA⊥AB 11又∵AB⊥AD，PA∩AD=A ∴AB⊥平面PAD 又∵AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD （II）（i）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A﹣xyz（如图）在平面ABCD内，作CE∥AB交于点E，则CE⊥AD 在Rt△CDE中，DE=CD•cos45°=1，CE=CD•sin45°=1 设AB=AP=t，则B（t，0，0），P（0，0，t）由AB+AD=4，得AD=4﹣t，所以E（0，3﹣t，0），C（1，3﹣t，0），D（0，4﹣t，0），设平面PCD 的法向量为=（x，y，z）由，，得取x=t，得平面PCD的一个法向量为又，故由直线PB与平面PCD所成的角为30°得cos（90°﹣30°）== 即解得或t=4（舍去，因为AD=4﹣t＞0）所以AB= （ii）假设在线段AD上存在一个点G到P、B、C、D 的距离都相等由GC=GD，得∠GCD=∠GDC=45°从而∠CGD=90°，即CG⊥AD 所以GD=CD•cos45°=1 设AB=λ，则AD=4﹣λ，AG=AD﹣GD=3﹣λ 在Rt△ABG中，GB= 这GB=GD与矛盾．所以在线段AD上不存在一个点G，使得点G到B、C、D的距离都相等． 12从而，在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点P、B、C、D的距离都相等．【点评】本小题主要考查空间中的线面关系，考查面面垂直的判定及线面角的计算，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力，考查转化思想，属于中档题． 21．（14分）（2011•福建）本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分，作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．（1）选修4﹣2：矩阵与变换设矩阵（其中a＞0，b＞0）．1﹣（Ⅰ）若a=2，b=3，求矩阵M的逆矩阵M；22（Ⅱ）若曲线C：x+y=1在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C′：，求a，b的值．（2）（本小题满分7分）选修4﹣4：坐标系与参数方程在直接坐标系xOy中，直线l的方程为x﹣y+4=0，曲线C的参数方程为．（Ⅰ）已知在极坐标（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为（4，），判断点P与直线l的位置关系；（Ⅱ）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．（3）（本小题满分7分）选修4﹣5：不等式选讲设不等式|2x﹣1|＜1的解集为M．（Ⅰ）求集合M；（Ⅱ）若a，b∈M，试比较ab+1与a+b的大小．【考点】逆变换与逆矩阵；椭圆的参数方程；绝对值不等式的解法．【专题】计算题；压轴题；选作题． 13【分析】（1）（Ⅰ）直接根据求逆矩阵的公式求解，即M=，则代入a，b即可求解22（Ⅱ）设出曲线C：x+y=1任意一点为（x，y）经矩阵M所对应的线性变换作用下得到00的点为（x，y），即可根据矩阵乘法M（x，y）=（x，y）得到关于x，y与x，y间的关000022系，即将之代入得到的含x，y的方程应与x+y=1相同，根据待定系00数即可运算（2）（Ⅰ）将P的极坐标（4，）根据公式化为直角坐标坐标为（0，4），则根据直角坐标系下点与直线的位置关系判断即可（Ⅱ）根据曲线C的参数方程为，设出曲线C上任一点到直线l的距离为d，则根据点到直线的距离公式知d=，即d=，而2sin（）∈[﹣2，2]，则d的最小值为（3）（Ⅰ）直接根据绝对值不等式的意义（（|a﹣b|表示a﹣b与原点的距离，也表示a与b之间的距离）知：﹣1＜2x﹣1＜1即可求解（Ⅱ）要比较ab+1与a+b的大小，只需比较（ab+1）﹣（a+b）与0的大小，而（ab+1）﹣（a+b）=（a﹣1）（b﹣1）再根据a，b∈M即可得到（a﹣1）（b﹣1）的符号，即可求解．【解答】（1）解：（Ⅰ）∵∴将a=2，b=3代入即得：22（Ⅱ）设出曲线C：x+y=1任意一点为（x，y）经矩阵M所对应的线性变换作用下得到00的点为（x，y），∵M（x，y）=（x，y）00∴ 14将之代入得：即∵a＞0，b＞0 ∴），（2）（Ⅰ）解∵P 的极坐标为（4，∴P的直角坐标为（0，4）∵直线l的方程为x﹣y+4=0 ∴（0，4）在直线l上（Ⅱ）∵曲线C的参数方程为，直线l的方程为x﹣y+4=0 设曲线C的到直线l的距离为d 则d== ∵2sin（）∈[﹣2，2] ∴d的最小值为（3）（Ⅰ）解：∵|2x﹣1|＜1 ∴﹣1＜2x﹣1＜1 即0＜x＜1 即M为{x|0＜x＜1} （Ⅱ）∵a，b∈M ∴a﹣1＜0．b﹣1＜0 ∴（b﹣1）（a﹣1）＞0 ∴（ab+1）﹣（a+b）=a（b﹣1）+（1﹣b）=（b﹣1）（a﹣1）＞0 即（ab+1）＞（a+b）【点评】本题考查了逆变换与逆矩阵，以及待定系数法求解a，b的方法，椭圆的参数方程，绝对值不等式的解法，作差法比较大小的相关知识，属于基础题． 15。
2011年高考理科数学试卷(福建卷) 免费下载-推荐下载
样本数据 x1 ， x2 ，…， xn 的标准差
s
1[ n
(
x1
其中 x 为样本平均数
柱体体积公式
V Sh
其中 S 为底面面积， h 为高
x)2
(
x2
x)2
++(
xn
x)2
第Ⅰ卷（选择题 共 50 分）
]
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，
x2
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13 16.（本小题满分 13 分）已知等比数列{ an }的公比 q =3，前 3 项和 S3 = 3 . （I）求数列{ an }的通项公式； （II）若函数 f (x) = Asin(2x ) （ A ＞0,0＜ ＜ ）在 x 处取得最大值，且最大
y)
D.10
为平面区域
C.2 和 4
23
D. 或
32
x y 2
x
y 2
1
D.[-1.2]
上的一个动
D.1 和 2
2 / 18
15.设V 是全体平面向量构成的集合，若映射
∈V ， b =( x2 ， y2 )∈V 以及任意 ∈ R ，均有 f (a+(1 )b) = f (a)+(1 ) f (b)
B 必要而不充分条件
C.既不充分又不必要条件
C.4
4.如图，矩形 ABCD 中，点 E 为边 CD 的中点，若在矩形 ABCD 内部随机取一个点 Q，则
点 Q 取自△ABE 内部的概率等于
福建省永安一中2011届高三高考模拟试题数学理
2011年高考模拟试卷高三数学（理科）试卷（考试时间：120分钟 总分150分）一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设i 为虚数单位，复数(1)z i i =+，则复数z 在复平面上对应的点在 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2.已知全集U=}44{≤<-x x ，若集合A=}41{<<-x x ，则C U A=（ ）A ．}44{<<-x xB ．}14{-≤<-x xC ．}414{=-≤<-x x x 或D ．}41{>-≤x x x 或3.2(sin cos )1y x x =+-是（ ） A. 最小正周期为2π的奇函数 B.最小正周期为2π的偶函数C. 最小正周期为π的奇函数D. 最小正周期为π的偶函数4. 若m 、n 为空间两条不同的直线，α、β为空间两个不同的平面，则m α⊥的一个充分不必要条件是（ ）A ．m ∥β且α⊥βB ．m ⊂β且α⊥βC ．m n ⊥且n ∥αD ．m ⊥β且α∥β5.读右面的程序：上面的程序在执行时如果输入6，那么输出的结果为（ ） A ．6 B ．720C ．120 D.16.如图所示是直三棱柱A 1B 1C 1-ABC 的三视图，D 、E 分别是棱CC 1和棱B 1C 1的中点，则三棱锥E-ABD 在平面11ACC A 的投影的面积为（ ） A ．2 B ．25C ．3D ．47.函数223,0)=1+ln ,>0x x x f x x x x ⎧--≤⎨-⎩（的零点个数为 ( )A ．0B ．1C ．2D ．38.若46ln 2=a ，3ln 2ln ⋅=b ，4ln 2π=c ，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A ．a>b>cB ．c>a>bC ．c>b>aD ．a>c>b9.已知斜率为2的直线l 过抛物线2y ax =的焦点F ，且与y 轴相交于点A ，若 △OAF （O 为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（ ）A ．24y x = B ．28y x = C ．24y x =或24y x =- D ．28y x =或28y x =-10. 关于x 的方程()011222=+---k x x ，给出下列四个命题： ①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根. 其中假命题的个数是 （ ）A. 0B. 1C. 2D. 3 二、填空题： 本大题共5小题，每小题4分，共20分． 11.计算定积分131(3)x x dx -+=⎰.12.若52345012345(23)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则123452345a a a a a ++++等于________.13. 已知(43,2)a m m n =--，(,1)b x =-，且()f x a b =⋅，x ∈[0，1]，若f(x)≤2恒成立，则t m n =+的最大值为 .14. 一舰艇在航空母舰的正东方向上，接到紧急任务后，立即出发向 正北方向行驶，行驶到某处后，救起一人，此时位置在航空母舰东偏北15°方向上，而且距离要到达的目的地还有30公里，因此继续行驶.当到达目的地后，测得在航空母舰东偏北45°方向上，若航空母舰一直未变动位置，则舰艇接到任务时与目的地的距离为 公里 .15.设集合D={1，2，3，4，5，6，7，8}，A 是D 的非空子集。
福建省师大附中高考数学模拟试卷 理【名校特供】
2011年福建师大附中高考模拟考试数学试题（理科）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题),第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题为必考题．本试卷共6页．满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时,将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效．3．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号;非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚． 4．做选考题时、考生按照题目要求作答,并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．5．保持答题卡卡面清洁,不折叠、不破损.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式：样本数据x 1,x 2,…,x n 的标准差])()()[(122221x x x x x x ns n -++-+-=其中x 为样本平均数; 柱体体积公式 Sh V =其中S 为底面面积,h 为高锥体体积公式Sh V 31=其中S 为底面面积,h 为高 球的表面积、体积公式24R S π= ，334R V π=其中R 为球的半径第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题有10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．若复数()21i a ⋅+（i 为虚数单位）是纯虚数，则实数=aA .1±B .1-C .0D .1 2．已知集合{||2|1,}P x x x =-≤∈R ，{|},Q x x =∈N 则PQ 等于A ．[]1,3B ．{1,2}C ．{2,3}D ．{1,2,3}3．已知定义在R 上的函数)(x f 满足)()1(x f x f -=+，且]1,1(-∈x 时⎩⎨⎧≤<-≤<-=)10(,1)01(,1)(x x x f ，则=)3(f A ．-1 B ．0 C ．1 D ．1或04．在△ABC 中，若B 、C 的对边边长分别为b c 、，45,B c b ===，则C 等于A ．30B ．60C ．120D ．60或1205．已知,a b 为非零向量，则“函数2()()f x ax b =+ 为偶函数”是“a b ⊥”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知A 、B 是两个不同的点，n m 、是两条不重合的直线，βα、是两个不重合的平面，则①α⊂m ，α∈⇒∈A m A ；②A n m = ，α∈A ，α∈⇒∈B m B ；③⊂m α，βαβ⊥⇒⊥m ；④α⊂m ，β⊂n ，βα////⇒n m ．其中真命题为A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④7．若连掷两次骰子，得到的点数分别为m 、n ，记向量()m n ，a =与向量(11)=-，b 的夹角为θ，则0θπ⎛⎤∈ ⎥2⎝⎦，的概率是 A ．712B ．12C ．512D ．568. 已知在函数||y x =（[1,1]x ∈-）的图象上有一点(,||)P t t ，该函数的图象与 x 轴、直线x ＝－1及 x ＝t 围成图形（如图阴影部分）的面积为S ，则S 与t 的函数关系图可表示为9．己知双曲线的方程为2213y x -=，直线m 的方程为12x =，过双曲线的右焦点F 的直线l 与双曲线的右支相交于P 、Q ，以PQ 为直径的圆与直线m 相交于M 、N ，记劣弧MN的长度为n ，则nPQ的值为 A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 10. 若在曲线(,)0f x y =(或()y f x =)上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线(,)0f x y =(或()y f x =)的自公切线，下列方程的曲线:①221x y -= ②3sin 4cos y x x =+ ③ 2||y x x =-④||1x +=存在自公切线的是A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题有5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置. 11．在二项式62)的展开式中，2x 的系数是 ;12．若等比数列{ n a }的首项为23，且441(12)a x dx =+⎰，则公比等于_____________;13．运行右图示的程序框图，当输入4m =-时的输出结果为n ，若变量,x y 满足31x y x y y n +≤⎧⎪-≥-⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为 ; 14．若函数在x x x f +-=331)(在()2,10a a -上有最大值， 则实数a 的取值范围为 ;15．如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横纵坐标分别对应数列{}*()n a n N ∈的前12项，如下表所示： 按如此规律下去，则200920102011a a a ++= .三、解答题:本大题有6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本题满分13分）设函数)(cos sin 322cos )(R x x x x x f ∈+=的最大值为M ,最小正周期为T . (Ⅰ)求M 、T ；(Ⅱ)若有10个互不相等的正数i x 满足),10,,2,1(10,)( =<=i x M x f i i π且求1210x x x +++的值.17．（本题满分13分）在如图的多面体中，EF ⊥平面AEB ，AE EB ⊥,//AD EF ，//EF BC ，24BC AD ==，3EF =，2AE BE ==，G 是BC 的中点．(Ⅰ) 求证：//AB 平面DEG ； (Ⅱ) 求二面角C DF E --的余弦值.18．（本题满分13分）投掷四枚不同的金属硬币A B C D 、、、，假定A B 、两枚正面向上的概率均为12，A DFEBG C另两枚C D 、为非均匀硬币，正面向上的概率均为(01)a a <<，把这四枚硬币各投掷一次，设ε表示正面向上的枚数.(Ⅰ)若A B 、出现一枚正面向上一枚反面向上与C D 、出现两枚正面均向上的概率相等，求a 的值；(Ⅱ)求ε的分布列及数学期望（用a 表示）；(Ⅲ)若出现2枚硬币正面向上的概率都不小于出现1枚和3枚硬币正面向上的概率，求a 的取值范围.19．（本题满分13分）一个截面为抛物线形的旧河道(如图1)，河口宽4AB =米，河深2米，现要将其截面改造为等腰梯形(如图2)，要求河道深度不变，而且施工时只能挖土，不准向河道填土．(Ⅰ)建立恰当的直角坐标系并求出抛物线弧AB 的标准方程；(Ⅱ)试求当截面梯形的下底（较长的底边）长为多少米时，才能使挖出的土最少？20．（本题满分14分）已知函数)0(21)(,ln )(2≠+==a bx ax x g x x f (Ⅰ)若2-=a 时，函数()()()h x f x g x =-在其定义域上是增函数，求b 的取值范围； (Ⅱ)在（Ⅰ）的结论下，设函数)(],2ln ,0[,)(2x x be ex x xϕϕ求函数∈+=的最小值；(Ⅲ)设函数)(x f 的图象C 1与函数)(x g 的图象C 2交于P 、Q ，过线段PQ 的中点R作x 轴的垂线分别交C 1、C 2于点M 、N ，问是否存在点R ，使C 1在M 处的切线与C 2在N 处的切线平行？若存在，求出R 的横坐标；若不存在，请说明理由.21．本题有(1)、(2)、(3)三个选答题,每题7分,请考生任选2题作答,满分14分.如果多作,则按所做的前两题计分.作答时,先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,AB（图1）AB（图2）并将选题号填入括号中.(1)(本小题满分7分) 选修4一2:矩阵与变换设矩阵M 所对应的变换是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸缩变换．（Ⅰ）求矩阵M 的特征值及相应的特征向量；（Ⅱ）求逆矩阵1M -以及椭圆22149x y +=在1M -的作用下的新曲线的方程．(2)(本小题满分7分) 选修4一4:坐标系与参数方程已知直线11cos :sin x t C y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），2cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.（Ⅰ）当3πα=时，求1C 与2C 的交点坐标；（Ⅱ）过坐标原点O 做1C 的垂线，垂足为A ，P 为OA 中点，当α变化时，求P 点的轨迹的参数方程.(3)(本小题满分7分) 选修4一5:不等式选讲已知,,a b c 均为正实数，且1a b c ++=..2011年福建师大附中高考模拟考试数学（理科）参考解答及评分标准一、选择题：本大题有10小题，每小题5分，共50分.本题主要考查基础知识和基本运算．1．A 2．D 3．A 4．D 5．C 6．A 7．A 8．B 9．C 10．C二、本大题共5个小题；每小题4分，共20分.本题主要考查基础知识和基本运算． 11．60 12．3 13．5 14．[2,1)- 15．1005三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. 解：()2cos 22sin(2)6f x x x x π=+=+ …………4分(Ⅰ)M=2 ， T=ππ=22 …………6分 (Ⅱ),2262,2)(πππ+=+∴=k x x f i i 即)(6Z k k x i ∈+=ππ …………9分又9,,1,0,100 =∴<<k x i π …………11分1210(129)106x x x ππ∴+++=++++⨯=1403π…………13分17.解： (Ⅰ)证明：∵//,//AD EF EF BC ， ∴//AD BC .又∵2BC AD =,G 是BC 的中点， ∴//AD BG ，∴四边形ADGB 是平行四边形， ∴ //AB DG .∵AB ⊄平面DEG ，DG ⊂平面DEG ， ∴//AB 平面DEG .…………6分 (Ⅱ)∵EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ，BE ⊂平面AEB ， ∴EF AE ⊥，EF BE ⊥，又AE EB ⊥,∴,,EB EF EA 两两垂直. ……………………7以点E 为坐标原点，,,EB EF EA 分别为,,x y z 直角坐标系.由已知得，A （0，0，2），B （2，0，0）， C （2，4，0），F （0，3，0），D （0，2，2）， G （2，2，0）. …………………………8分由已知得(2,0,0)EB =是平面EFDA 的法向量. …………………9分 设平面DCF 的法向量为(,,)x y z =n ，∵(0,1,2),(2,1,0)FD FC =-=，∴00FD n FC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020y z x y -+=⎧⎨+=⎩，令1z =,得(1,2,1)=-n . …………………11分设二面角C DF E --的大小为θ， 则cos cos ,EB =<>==θn， ∴二面角C D F E --的余弦值为………13分 H ADFEBCABO18．解：（Ⅰ）由题意，得21121222.a a ⨯-=∴=⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭……………………3分（Ⅱ）ε=0，1，2，3，4. …………………4分020222211(0)(1)(1)(1)24;p C C a a ε==--=-…………5分10202122221111(1)(1)(1)(1)(1)(1)2222p C C a C C a a a ε==--+--=-；……………6分22021102222222221111(2)(1)(1(1)2222((1)p C C a C C a a C C aε==-+--+-21(122);4a a =+-……7分2211222222111(3)(1)(1,2222(a p C C a C C a a ε==-+-=…………………………8分222222211(4).24()p C C a a ε===………………………………………9分ε的数学期望为：221111(1)2(122)3421,2424a E a a a a a ε=⨯-+⨯+-+⨯+⨯=+……10分（Ⅲ）22111(2)(1)(122)(1)(241)424p p a a a a a ξξ=-==+---=--+由≥0 .2211(2)(3)(122)(21)424a p p a a a ξξ=-==+--=--且≥0 .………12分222410,222210.a a a a -+≤≤≤-≤⎧⎪⎨⎪⎩得解得2.a -⎡⎢即的取值范围是…13分 19. 解：（1）如图：以抛物线的顶点为原点，AB 中垂线为y 轴建立直角坐标系------1分则(2,2),(2,2)A B - ------2分设抛物线的方程为22(0)x py p =>，将点(2,2)B 代入得 -------3分所以抛物线弧AB 方程为22x y =（22x -≤≤）------4分（2）解法一：设等腰梯形的腰与抛物线相切于21(,),2P t t (0)t >不妨则过21(,)2P t t 的切线l 的斜率为'x tyt ==所以切线l 的方程为：2()2t y t x t -=-，即22t y tx =-令0y =，得2t x =， 令2y =，得22t x t=+，所以梯形面积1222()222()222t t S t t t⎡⎤=⋅++⋅⋅=+≥⎢⎥⎣⎦ -----10分当仅当2t t=，即t =""=成立此时下底边长为2(2+= -----12分答：当梯形的下底边长等于-----13分解法二：设等腰梯形的腰与抛物线相切于21(,),2P t t (0)t >不妨则过21(,)2P t t 的切线l 的斜率为'x tyt ==所以切线l 的方程为：2()2t y t x t -=-，即22t y tx =-运用定积分计算抛物线与等腰梯形间的面积：222222220222(())(2())2222t t tt x x t t S dx tx dx tx dx +⎡⎤=+--+--⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ -----10分22222222222022222()2()2222t t t t t t t x x t tdx dx tx dx dx tx dx ++⎡⎤=+--+--⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰222222202222()22t t t tt x t dx dx tx dx ++⎡⎤=+--⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰2222422222(2)()()(3222222422t t t t t t t t t t t t ⎡⎤=+⋅+--⋅++⋅++⋅-⋅⎢⎥⎣⎦2823t t ⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦163≥当仅当2t t =，即t =时，""=成立，此时下底边长为= ---12分答：当梯形的下底边长等于-----------13分解法三：设等腰梯形上底（较短的边）长为2a 米，则一腰过点(,0),(0)a a >，可设此腰所在直线方程为(),(0)y k x a k =->， 联立2()12y k x a y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩，得2220x kx ka -+=，令2480k ka ∆=-=，得2k a =，或0k =（舍）， 故此腰所在直线方程为2()y a x a =-，令2y =，得1x a a=+，故等腰梯形的面积：1112[()]22(2)2S a a a a a=⨯++⨯=+≥------------10分当且仅当12a a =，即2a =时，有min S =此时，下底边长12()a a +== ------------12分答：当梯形的下底边长等于 ----------13分 20．解：（1）依题意：.ln )(2bx x x x h -+=∵),0()(+∞在x h 上是增函数， ∴),0(021)(+∞∈≥-+=x b x x x h 对恒成立，……………………2分 ∴.21x x b +≤∵.2221,0≥+>x xx 则 ∴b 的取值范围为].22,(-∞……………4分（2）设]2,1[,,2∈+==t bt t y e t x则函数化为，即22()24b b y t =+- ,[1,2]t ∈…5分∴当]2,1[,222,12在函数时即y b b ≤≤-≤-上为增函数，当t=1时，.1m i n +=b y …6分 当,2,24,221时当时即b t b b -=-<<-<-<;42min b y -=…………7分 当2,4,[1,2]2b b y -≥≤-即时函数在上为减函数，当t=2时，m i n 42.y b=+……………8分 综上所述，当.1)(,222+≤≤-b x b 的最小值为时ϕ 当.2)(,242b x b --<<-的最小值为时ϕb x b 24)(,4+-≤的最小值为时当ϕ…………9分（3）设点P 、Q 的坐标是.0),,(),,(212211x x y x y x <<且则点M 、N 的横坐标为.221x x x += C 1在M 处的切线斜率为.2211x x k += C 2在点N 处的切线斜率.2)(212b x x a k ++= 假设C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线平行，则21k k = 即.2)(22121b x x a x x ++=+ 则)(2)()(21221222112x x b x x a x x x x -+-=+-)2()2(121222bx x a bx x a +-+= 12y y -=12ln ln x x -= 12ln x x =，12122112121)1(2)(2ln x x x x x x x x x x +-=+-=∴…………12分设212(1)1,ln ,11x u u u u x u-=>=>+则…………………………① 令.1,1)1(2ln )(>+--=u u u u u r 则.)1()1()1(41)(222+-=+-='u u u u u u r ∵1>u ∴.0)(>'u r所以),1[)(+∞在u r 上单调递增，故0)1()(=>r u r ， 则1)1(2ln +->u u u 这与①矛盾，假设不成立,故C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线不平行.……14分21.解: （Ⅰ）由条件得矩阵2003M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 它的特征值为2和3，对应的特征向量为10⎡⎤⎢⎥⎣⎦及01⎡⎤⎢⎥⎣⎦；……4分（Ⅱ）1102103M -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，椭圆22149x y +=在1M -的作用下的新曲线的方程为221x y +=.…7分 （2）解： （Ⅰ）当3πα=时，1C的普通方程为1)y x =-， 2C 的普通方程为221x y +=.联立方程组221)1y x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩， 解得1C 与2C 的交点为（1,0）,1(,2. ……4分 （Ⅱ）1C 的普通方程为sin cos sin 0x y ααα--=.A 点坐标为2(sin ,cos sin )ααα-，故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为：21sin 21sin cos 2x y ααα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(α为参数)……7分 （3）解：由柯西不等式得()222141141141(111)(414141)a b c a b c +++++≤+++++++ 3[4()3]21a b c =+++= ………5分当且仅当a=b=c=13时等号成立.……………7分。
2011年福建卷(理科数学)
2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（福建卷）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.i 是虚数单位，若集合{1,0,1}S =-，则A.i S ∈B.2i S ∈C.3i S ∈D.2S i∈ 2.若a R ∈，则“2a =”是“(1)(2)0a a --=”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3.若tan 3α=，则2sin 2cos aα的值等于 A ．2 B ．3 C ．4 D ．64.如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自ABE ∆内部的概率等于 A.14 B.13 C.12 D.235.10(2)x e x dx +⎰等于 A ．1 B ．1e - C ．e D ．1e +6.5(12)x +的展开式中，2x 的系数等于A ．80B ．40C ．20D ．107.设圆锥曲线C 的两个焦点分别为1F ，2F ，若曲线C 上存在点P 满足112::PF F F 2PF 4:3:2=，则曲线C 的离心率等于 A.12或32 B.23或2 C.12或2 D.23或32B8.已知O 是坐标原点，点(1,1)A -，若点(,)M x y 为平面区域21y 2x y x +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，则OA u u u r ·OM u u u u r 的取值范围是A.[1,0]-B.[0,1]C.[0,2]D.[1,2]-9.对于函数()sin f x a x bx c =++(其中a ，b R ∈，c Z ∈),选取a ，b ，c 的一组值计算(1)f 和(1)f -，所得出的正确结果一定不可能．．．．．是 A.4和6 B.3和1 C.2和4 D.1和210.已知函数()x f x e x =+，对于曲线()y f x =上横坐标成等差数列的三个点A ，B ，C ，给出以下判断：①ABC ∆一定是钝角三角形 ②ABC ∆可能是直角三角形③ABC ∆可能是等腰三角形 ④ABC ∆不可能是等腰三角形 其中，正确的判断是A.①③B.①④C.②③D.②④二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.11.运行如图所示的程序，输出的结果是 .12.三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，3PA =，底面ABC 是边长为2的正三角形，则三棱锥P ABC -的体积等于 .13.盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个.若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于 .14.如图，ABC ∆中，2AB AC ==，BC =D 在BC 边上，45ADC ∠=o ，则AD 的长度等于 .15.设V 是全体平面向量构成的集合，若映射f ：V R →满足：对任意向量a=1 b=2 a=a+b PRINT a END A CB11(,)a x y =rV ∈，22(,)b x y V =∈r ，以及任意R λ∈，均有)()1()())1((b f a f b a f λλλλ-+=-+ 则称映射f 具有性质P .先给出如下映射：（1）1f ：V R →，1()f m x y =-，(,)m x y V =∈；（2）2f ：V R →，22()f m x y =-，(,)m x y V =∈；（3）3f ：V R →，3()1f m x y =++，(,)m x y V =∈；，其中，具有性质P 的映射的序号为 .（写出所有具有性质P 的映射的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.（本小题满分13分）已知等比数列{}n a 的公比3q =，前3项和3133S =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若函数()sin(2)f x A x ϕ=+（0A >，0p ϕπ<<<）在6x π=处取得最大值，且最大值为3a ，求函数()f x 的解析式.17.（本小题满分13分）已知直线l ：y x m =+，m R ∈.（Ⅰ）若以点(2,0)M 为圆心的圆与直线l 相切与点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程；（Ⅱ）若直线l 关于x 轴对称的直线为l '，问直线l '与抛物线C ：24x y =是否相切？说明理由.18.（本小题满分13分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克）满足关系式210(6)3a y x x =+--，其中36x <<，a 为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.（Ⅰ）求a 的值（Ⅱ）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.19.（本小题满分13分）某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X 依次为1，2，3，4，5，6，7，8，其中5X ≥为标准A ，3X ≥为标准B ，已知甲厂执行标准A 生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B 生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准（Ⅰ）已知甲厂产品的等级系数1X 的概率分布列如下所示：且1X 的数学期望16EX =，求a ，b 的值；（Ⅱ）为分析乙厂产品的等级系数2X ，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：3 5 3 3 8 5 5 6 3 46 3 47 5 3 48 5 38 3 4 3 4 4 7 5 6 7用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数2X 的数学期望.（Ⅲ）在（Ⅰ）、（Ⅱ）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由.注：（1）产品的“性价比”=产品的零售价期望产品的等级系数的数学； （2）“性价比”大的产品更具可购买性.20.（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 中，AB AD ⊥，4AB AD +=，CD =45CDA ∠=o .（Ⅰ）求证：平面PAB ⊥平面PAD ；（Ⅱ）设AB AP =.①若直线PB 与平面PCD 所成的角为30o ，求线段AB 的长；②在线段AD 上是否存在一个点G ，使得点G 到点P ，B ，C ，D 的距离都相等？说明理由.21.本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分.（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a M 00（其中0a >，0b >）.（Ⅰ）若2a =，3b =，求矩阵M 的逆矩阵1M -； （Ⅱ）若曲线C ：221x y +=在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线1C ：2214x y +=，求a ，b 的值. （2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xoy 中，直线l 的方程为40x y -+=，曲线C 的参数方程为x y sin θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）. （Ⅰ）已知在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，点P 的极坐标为(4,)2π，判断点P 与直线l 的位置关系； （Ⅱ）设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值.（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲 设不等式211x -<的解集为M .（Ⅰ）求集合M ； A B C D P（Ⅱ）若a，b M+的大小.∈，试比较1ab+与a b。
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2011年福建省高考《数学(理)》模拟测试试卷(2) 总分：150分及格：90分考试时间：120分
本大题共10小题,每小题5分,共50分.在选项中,只有一个符合题意.
(1)
(2)
A.
B.
C.
D.
(3)在AABC中，n、b分别是角A、B所对的边，则“a=b”是“sinA=sinB”的（）
(4)
(5)
(6)设a、β是两个不同的平面，l、m是两条不重合的直线，下列命题中正确的是（）
(7)
(8)
(9)
(10)
共5小题,每小题5分.共20分.把答案填在题中横线上.
(1)如图2，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图是一个圆，
那么该几何体的体积是
(2)
(3)农科院小李在做某项实验中，计划从花生、大白菜、土豆、玉米、小麦、苹果这6种种子中选出4种．分别种植在四块不同的空地上(一块空地只能种一种作物)，若小李已决定在第一块空地上种玉米或苹果，则不同的种植方案有__________ 种(用数字作答)．
(4)
(5)
本大题共6小题,共80分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(1)
(2)从某自动包装机包袋的食盐中，随机抽取20袋作为样本，按各袋的质量(单位：g)分成四组，[490,495)，[495，500)，[500，505)，[505，510]，相应的样本频率分布直方图如图4所
示．(Ⅰ)估计样本的中位数是多少?落人[500，505)的频数是多少(Ⅱ)现从这台自动包装机包装的大批量食盐中．随机抽取3袋，记ξ表示食盐质量属于[500，505)的袋数，依样本估计
总体的统计思想，求ξ的分布列及其期望．
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
答案和解析
本大题共10小题,每小题5分,共50分.在选项中,只有一个符合题意.
(1) :B
【命题立意】本题主要考查集合的运算．
(2) :C
【命题立意】本题主要考查一次函数图象与对数函数图象．
(3) :A
【命题立意】本题主要考查充分必要条件及三角函数三角形知识．
(4) :B
【命题立意】本题主要考查等差数列性质及前n项和公式．
(5) :D
【命题立意】本题主要考查概率知识．
(6) :D
【命题立意】本题主要考查空间线线、线面、面面关系．A中1与m也可能异面，故A不正确；B中l也可能在a内，故B不正确；C中l与m可能相交也可能异面，故C不正确．D 正确．
【失分警示】空间想象力差．(7) :C
【命题立意】本题主要考查向量知识．
(8) :B
【命题立意】本题主要考查定积分及二项式定理．
(9) :A
【命题立意】本题主要考查函数与方程．
(10) :C
【命题立意】本题主要考查直线与圆，直线与椭圆的公共点．
共5小题,每小题5分.共20分.把答案填在题中横线上.
(1) :
【命题立意】本题主要考查三视图及直观图体积的求解．由三视图可知该几何体为圆锥母线长为2，底面半径为1．
【失分警示】不能正确识别三视图由此得到几何体直观图的形状．(2) :
4【命题立意】本题主要考查复数及二项式定理．
(3) :
120【命题立意】本题主要考查排列组合知识．
(4) :
【命题立意】本题主要考查程序框图．
(5) : 1【命题立意】本题主要考查函数的单调性．
本大题共6小题,共80分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (1) :
【命题立意】本题主要考查数列及直线．
(2) :
本题主要考查频率分布直方图，中位数，分布列及期望．
(3) :
【命题立意】本题主要考查空间线面，面面关系．
【思路分析】法一：建立空间坐标系求解．法二：(I)先证明线线平行，再证明线面平行；(Ⅱ)
找出二面角的平面角，再求其余弦值．
【解题过程】解法一：依条件可知AB、AC，AAl两两垂直，如图，以点A为原点建立空间直角坐标系A-xyz．根据条件容易求出如下各点坐标：
(4) : 【命题立意】本题主要考查直线、抛物线、圆.
【思路分析】(I)求出P，抛物线方程极易求出；
(Ⅱ)先证点丁在以FM为直径的圆上，同理可证S在FM为直径的圆上；(Ⅱ)联立直线AB与抛物线方程，联而不解。
(5) : 【命题立意】本题主要考查函数的导数，最值，方程的解，不等式的证明．
(6) :
【命题立意】本题主要考查矩阵与变换．
(7) :
(8) :。