1.6三角函数模型的简单应用第一课时
1.6三角函数模型的简单应用
y 2 sin(2 x / 3)
例5. 如图,某地一天从6~14时的温度变化曲线近 y y A sin( x ) b 似满足函数 (1)求这一天6~14时的最大温差; 30 (2)写出这段曲线的函数解析式. 20
解:(1)由图可知,这段时间的最大温差是200C. (2)从图中可以看出,从6~14时的图象是 6 0 10 14 x 函数 y A sin( x ) b的半个周期 1 1 的图象， 所以，A 30 10 10, b 30 10 20 2 2 3 1 2 14 6 . 将x 6, y 10代入上式，解得＝ . 8 4 2
y 2
A
4
T
又T
2
(3) y 2 sin( x ) 2
A点的坐标为(
2sin(2
2
12
O
6
12
x
, 2)
2
12
) 2
sin( ) 1 6 2k , k Z
6 2
一般取：| |≤π 2k , k Z 3 y 2 sin( 2 x 2k )
1. 由图象求振幅A, b
y 2 sinx
y
5 4 向上平移3个单位长度 3 2 sin x 3 2 1
O
5 1 最大值 最小值 A 2 2 2 b 5 1 最大值 最小值 3 y A sinx b 的A, b
y
最 大 值 最 小 值 A 2 4 ( 2) 3 2
10
一般的，所求出的函数模型只能近似刻画 这天某个时刻的温度变化情况，因此应当特 别注意自变量的变化范围.
课件8：§1.6 三角函数模型的简单应用
解：(1)以圆心 O 为原点，建立如图所示的坐标系， 则以 Ox 为始边，OB 为终边的角为 θ－2π，故 B 点 坐标为4.8cosθ－2π，4.8sinθ－π2. ∴h＝5.6＋4.8sinθ－2π.
(2)点 A 在圆上转动的角速度是3π0，故 t s 转过的弧度数为3π0t . ∴h＝5.6＋4.8sin3π0t－π2，t∈[0，＋∞)． 到达最高点时，h＝10.4 m. 由 sin3π0t－π2＝1，得3π0t－π2＝π2＋2kπ，k∈N， ∴tmin＝30(s)． 即缆车到达最高点时，用的时间最少为 30 秒．
练一练 3．一物体相对于某一固定位置的位移 y(cm)和时间 t(s) 之间的一组对应值如下表所示，则可近似地描述该物 体的位移 y 和时间 t 之间的关系的一个三角函数式为 ________．
t 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 y －4.0 －2.8 0.0 2.8 4.0 2.8 0.0 －2.8 －4.0
由 t＝0，y＝1.5，得 A＋b＝1.5；由 t＝3，y＝1.0， 得 b＝1.0.
∴A＝0.5，b＝1.∴y＝12cos π6t＋1.
(2)由题知，当 y>1 时才可对冲浪爱好者开放，
∴12cos
6πt＋1>1.∴cos
π 6t>0.
∴2kπ－π2<6πt<2kπ＋2π(k∈Z)，
即 12k－3<t<12k＋3(k∈Z)．①
【解析】设 y＝Asin(ωt＋φ)，则从表中可以得到 A＝4，
ω＝2Tπ＝02.π8＝52π，又由 4sin φ＝－4.0，可得 sin φ＝－1，
取 φ＝－π2，故 y＝4sin52πt－π2，即 y＝－4cos
高一数学1.6三角函数模型的简单应用(教、学案)
．
设计意图：变式练习，开阔思路，启迪思维，培养能力。数行结合求周期。 （四）应用数学知识解决实际问题
例 3．如图，设地球表面某地正午太阳高度角为
， 为此时太阳直射纬度，
为该地
的纬度值，那么这三个量之间的关系是
90
．当地夏半年 取正值，冬半年
取负值．
如果在北京地区 ( 纬度数约为北纬 40 ) 的一幢高为 h0 的楼房北面盖一新楼， 要使新楼一
十、教后反思 以问题引导教学，让学生听有所思，思有所获，获有所感。问题串的设计，使学习内容 在难度和强度上循序渐进而又螺旋上升， 并通过互动逐一达成教学目标， 突出重点， 突破难 点，较好的提高了课堂教学的有效性。
一、预习目标
1.6 三角函数模型的简单应用
课前预习学案
3
预习三角函数模型的简单问题，初步了解三角函数模型的简单应用 二、预习内容 1、三角函数可以作为描述现实世界中 _________现象的一种数学模型 .
O 0 ）来刻画，试10求该函数t /表h 达式。
设计意图：教师组织学生反思总结本节课的主要内容，并进行当堂检测。
八、发导学案、布置预习。 设计意图： 布置下节课的预习作业， 并对本节课巩固提高。 教师课后及时批阅本节的
延伸拓展训练。 九、板书设计
三角函数模型的简单应用
例 1．
例 2. 例 3.
练习： 小结：
6
④探究其他解法：
14
6
2或
14
2
2等 0
设计意图：培养学生多角度考虑问题的习惯，培养学生的发散思维，培养学生的学习兴 趣。
⑤借助三角函数模型研究的思想方法研究一些较复杂的三角函数。 设计意图：升华为思想方法。
（三）由解析式作出图象并研究性质
1.6三角函数模型的简单应用教案
1.6三角函数模型的简单应用（第一课时）教案一、教材地位：本节内容是人教版高中数学必修4第一章最后一节，其内容与实际问题联系，解决三角函数实际问题，从而建立数学模型，应用于生活、生产实际问题中。
二、教学目标：（1）知识与技能1.学习三角函数模型的简单应用，让学生初步学会由图像求解析式；2.学生根据解析式作出图像，从图像探究性质；3.用三角函数模型解决实际问题；4.理解三角函数是描述周期变化现象的函数模型。
（2）过程与方法让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想，培养学生建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力与方法。
（3）情感态度与价值观让学生自己感受数学建模，体验数学在解决实际问题中的价值和作用，激发学生学习兴趣，培养刻苦、勇敢探索、勤于思考的精神。
三、教学重难点：重点：准确模型的应用，由图像求解析式和由解析式研究图像与性质；难点：从实际问题中取基本的数学关系来建立数学模型，并调动相关学科的知识来解决问题。
四、教学过程：（一）复习三角函数的图像和基本性质1、怎样画出正弦、余弦、正切函数图像？正弦、余弦函数用五点法作图容易。
2、从图像寻找性质，推广到三角函数型函数。
（二）由图像探究求三角函数模型的解析式（1）.课本60页的例题1（2）.解决这类问题的一般程序：1、审题：逐字逐句的阅读题意，审清楚题目条件、要求、理解数学关系；2、建模：分析题目变化趋势，选择适当函数模型；3、求解：对所建立的数学模型进行分析研究得到数学结论；4、还原：把数学结论还原为实际问题的解答。
（三）课堂练习变式一、设y＝f（t）是某港口水的深度y（米）关于时间t（小时）的函数，其中0≤t≤24．下表是该港口某天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系一个能近似表示表中数据间对应关系的函数。
（四）课堂小结1.本节课学习了什么内容和思想方法？2.是否会应用三角函数模型解决简单的实际问题？（五）课内外作业课本65页练习（六）教学反思。
高中数学必修四1：1.6 三角函数模型的简单应用
(1) 本题的解题关键是建立三角函数的模型，选择适当的角作为变量．方法比 较灵活，突出了对能力的考查．
(2)第(2)问是探索性问题，考生找不到问题的突破口是造成失分的主要原 因．另外计算错误也是常见失分原因．
课堂练习
如果某地夏天从8~14时用电量变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b,如图 所示. (1)求这一天的最大用电量和最小用电量; (2)写出这段曲线的函数解析式.
新课引入
. 简单应用——学以致用，解决生活中的 实际问题 ②数学模型——具体的数学函数关系 ③三角函数模型——三角函数关系
探究点1
• 正弦型函数
y Asin(x ),( A 0, 0)
• 1、物理情景—— • 2、地理情景—— • 3、心理、生理现象—— • 4、日常生活现象——
探究点2
根据图象建立解析式 根据解析式作出图象 将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型 利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数
拟合，从而得到函数模型
探究点3
解三角函数应用题的一般步骤： (1)阅读理解材料：将文字语言转化为符号语言； (2)建立变量关系：抽象成数学问题，建立变量关系； (3)讨论变量性质：根据函数性质讨论变量性质； (4)作出结论．
第一章 三角函数 §1.6 三角函数模型的简单应用
高中数学必修4·精品课件
学习目标
1、知识目标：a通过对三角函数模型的简单应用的学习，使学生初步 学会由图象求解析式的方法；b体验实际问题抽象为三角函数模型问题 的过程；c体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．
2、能力目标：让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学 “建模”思想,从而培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括 等能力．
高中数学 第一章 三角函数 1.6 三角函数模型的简单应用课件1 新人教A版必修4
解析：设出厂价波动函数为 y1＝6＋Asin(ω1x＋φ1)．由
题意，知 A＝2，T1＝8，ω1＝π4.当 x＝3 时，34π＋φ1＝π2，
∴
φ1
＝
－
π 4
，
∴
出
厂
价
的
函
数
关
系
为
y1
＝
6＋
2sin(
π 4
x
－
π4)．设销售价波动函数为 y2＝8＋Bsin(ω2x＋φ2)．由题意，
知 B＝2，T2＝8，ω2＝π4.当 x＝5 时，有54π＋φ2＝π2，∴φ2
5
探究一：
根据图象建立三角函数关系：
T/℃
例1.如图，某地一天从6～ 30
14时的温度变化曲线近似满 20
足函数
10
y A sin( x ) b.
O 6 810 12 14 t/h
（1）求这一天6～14时的最大温
差.
（2）写出这段曲线的函数解析式.
6
解：（1）观察图象可知，这段时间的最大温差是20 ℃.
17
【变式练习】
以一年为一个周期调查某商品的出厂价格及该商品 在商店的销售价格时发现：该商品的出厂价格是在 6 元 的基础上按月份随正弦曲线波动的，已知 3 月份出厂价 格最高为 8 元，7 月份出厂价格最低为 4 元；而该商品在 商店的销售价格是在 8 元基础上按月份也是随正弦曲线 波动的，并已知 5 月份销售价最高为 10 元，9 月份销售 价最低为 6 元．请分别建立出厂价、销售价随时间变化 的函数关系式．
所以，函数 y sin是x以π为周期的函数.
利用函数图象的直观性,通过观察图象而获得对函数 性质的认识,这是研究数学问题的常用方法.
2019A新高中数学必修第一册：1.6 三角函数模型的简单应用(第1课时)
解: 将原函数化为分段函数得
sinx x[2k, 2k +),
y=
kZ.
-sinx x[2k +, 2k +2),
画函数的图象如下: y
1
-3-
52-2-
3
2
-
-
O 2-1
3 2 5 3
2
2
2
x
函数的周期是 T = .
由基本函数的图象画变形函数的图象, 并由图象观察性质.
例3. 如图, 设地球表面某地正午太阳高度角为 q, d 为此
挡, 两楼的距离不应小于多少? 这是一个解三角形的实际问题,
背景是一个地理知识, 在解决一些 实际问题时, 往往需要用到多学科
j-d q
j d 太阳光
知识. 我们从中要学习从复杂的背景
中抽取基本的数学关系, 然后应用 数学知识解决问题.
B P
A
j-d
q
D
j = 40
O d 南2326
C
练习: (课本65页)
图∴象这y是=段由解10曲得syi线n=w18的0=(sx解i8n-;(析180式)x++为2j0),
数OA, w6, 8j1, 0b1.214并 x
的图注象意向定上义平域易.移 t/h
20个单即位y而=得10,sin∴(8bx=-2504; )+ 20, x[6, 14].
例 2. 画出函数 y = |sinx| 的图象并观察其周期.
挡, 两楼的距离不应小于多少? 解: 如图, 光线CD直射南纬
2326时, 原楼房AP的影长PB最长.
在Rt△APB中, ∠ABP=q
j-d q
j d 太阳光
1.6 三角函数模型的简单应用课件人教新课标
M 目标导航
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
(3)讨论变量关系.
根据上一步中建立起来的变量关系,结合题目的要求,与已知数
学模型的性质对照,转化为讨论y=Asin(ωx+φ)+b的性质,从而得到
所求问题的理论参考值.
∵函数的最大值为 10,∴A=10.
π
∴I=10sin 100π + 6 .
1
1
1
×2=50.
300 300
1
π
当 t=50时,I=10sin 100π × 50 + 6 =5(安).
答案:5
-9-
1.6
三角函数模型的简单应用
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Z 知识梳理
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Z 重难聚焦
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D典例透析
IANLI TOUXI
解三角函数型实际问题的步骤
剖析:(1)审清题意,读懂题.
三角函数型实际问题的语言情势多为文字语言和图形语言并用,
阅读材料时要读懂题目所反应的实际问题的背景,领会其中的数学
本质,在此基础上分析出已知什么、求什么,从中提炼出相应的数
Z 重难聚焦
HISHI SHULI
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
2
【做一做 2】电流强度 I(单位:安)随时间 t(单位:秒)变化的函数
π
1
I=Asin + 6 (A>0,ω>0)的图象如图,则当 t=50秒时,电流强度是
三角函数模型的简单应用第一课时最后更新PPT课件
教学重点：根据已知图象求解析式；将实际问题抽象为三角函数模 型。
教学难点：分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学 关系来建立数学模型，并调动相关学科的知识来解决问题．
备注：①三角函数模型——三角函数关系
②简单应用——学以致用，解决生活中的实际问题
在我们现实生活中有很多现象在进行周而复始地变 化，用数学语言可以说这些现象具有周期性，而我们所 学的三角函数就是刻画周期变化的典型函数模型，比如 下列现象就可以用正弦型函数模型来研究，这节课我们 就来探讨三角函数模型的简单应用.
…………
1做．一如做图：是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置，经过12周期后，乙点的位置将 移至(1．D如图) 是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置，经过12周期后，乙点的位置将
移至( D )
((AA))甲甲 ((BB))乙乙 (解(解2CC．析)析)丙丙如：：图利利((D所D用用))示丁三丁三为角角一函函简数数谐周周振期期动性性的的的图变变象化化，判判则断断下可可列知知判，，断选选正DD确. . 的是( B ) 2．如图所示为一简谐振动的图象，则下列判断正确的是( B )
－8
7
根据图象建立三角函数关系： T/℃
30
例1.如图，某地一天从6～14时 20 的温度变化曲线近似满足函数: 10
y Asin( x ) b
o 6 10 14 t/h
思考1：这一天6～14时的最大温差是多少？ 30°-10°=20°
思考2：函数式中A、b的值分别是多少？弦函数y=sinx 余弦函数y=cosx
y Asin( x ) ( A 0, 0)
•1、物理情景—— •①简单和谐运动 •②星体的环绕运动
B06--1.6 三角函数模型的简单应用(2课时)
第一课时： 1.6 三角函数模型的简单应用（一）教学要求：掌握用待定系数法求三角函数解析式的方法；选择合理三角函数模型解决实际问题；培养学生用已有的知识解决实际问题的能力.教学重点：待定系数法求三角函数解析式.教学难点：选择合理数学模型解决实际问题.教学过程：一、复习准备：1. 函数f (x )的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移2π个单位所得的曲线是1sin 2y x =的图像，试求()y f x =的解析式.2. 函数sin(),(0,0,||)2y A x A πωϕωϕ=+>><的最小值是-2，其图象最高点与最低点横坐标差是3π，且图象过点(0,1)，求函数解析式.二、讲授新课：1. 教学典型例题：① 出示例1：如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数sin()y A x b ωϕ=++，试求这段曲线的函数解析式.讨论：如何由图中的几何特征得到曲线的各参量？（由周期、振幅确定A 、b 、ω；再由特殊点确定初相ψ）教师示例 → 小结：观察几何特征，转化为相应的数量关系.② 练习：如图，它表示电流sin()(0,0)I A t A ωϕω=+>>在一个周期内的图象.（i ）试根据图象写出sin()y A t ωϕ=+的解析式.（ii ）在任意一段3100秒的时间内，电流I 既能取得最大值A ，又能取得最小值－A 吗？ （答案：1003sin()33I t ππ+； 由3350100T =>得不可能） ② 出示例2：作出函数y ＝｜sin x ｜的图象，指出它的奇偶性、周期和单调区间.讨论：绝对值的几何意义？ → 作简图 → 由图说性质变式：研究y ＝｜cos x ｜、y ＝｜tan x ｜. 小结：数形结合思想研究函数性质.2. 练习：如图，单摆从某点给一个作用力后开始来回摆动，离开平衡位置O 的距离s 厘米和时间t 秒的函数关系为6sin(2)6s t ππ=+. （1）单摆摆动5秒时，离开平衡位置多少厘米？（2）单摆摆动时，从最右边到最左边的距离为多少厘米？（3）单摆来回摆动10次所需的时间为多少秒？3. 小结：给图求式；给式应用；待定系数法.三、巩固练习：1. 练习：教材P73 练习1题.2. 作业：书P73 习题1、2题.第二课时： 1.6 三角函数模型的简单应用（二）教学要求：掌握用待定系数法求三角函数解析式的方法；选择合理三角函数模型解决实际问题；培养学生用已有的知识解决实际问题的能力.教学重点：待定系数法求三角函数解析式；用三角函数模型解决实际问题.教学难点：选择合理数学模型解决实际问题.教学过程：一、复习准备：1. 函数sin()(0,0,)y A x A ωϕωϕπ=+>><最高点D 的坐标是(2,，由最高点运动到相邻的最低点时，函数图象与x 轴的交点坐标是(4，0)，求此函数的表达式. （答案：4y x π）2. 讨论：如何由图观察得到三角函数的各系数？ 如何确定初相？（特殊点法）3. 讨论：在现实生活中，哪些现象具有周期性？（温度、白昼、振动、情绪、智力、体力等）二、讲授新课：1. 教学三角函数应用模型：① 出示例：某港口水深y （米）是时间t （0≤t ≤24，单位：小时）的函数，记为y =)(t f ，下（i ）根据以上数据求出y =)(t f 的近似表达式；（ii ）船底离海底5米或者5米以上是安全的，某船的吃水深度为6.5米（船底离水面距离），如果此船在凌晨4点进港，希望在同一天安全出港，那么此船最多在港口停留多少时间？教法：从表中读到一些什么数据？ → 依次求各系数 → 应用模型解决问题答案：3sin 106ty π=+（0≤t ≤24）； 13（小时）. 小结：读取与分析表中的数据，是一种数学思维能力的训练. 求得模型后，把第（2）问的情景转化为一个简单的三角不等式，再运用整体思想，借助函数的图象或者单位圆可以求解. ② 练习：某海滨浴场的海浪高度y （米）是时间t （0≤t ≤24，单位：小时）的函数，经过长期观察，该函数的图象可以近似地看成sin()y A t b ωϕ=++. 下表是测得的某日各时的浪高数据：2. 练习：某商品一年内出厂价格在6元的基础上按月份随正弦曲线波动，已知3月份达到最高价格8元，7月份价格最低为4元. 该商品在商店内的销售价格在8元基础上按月份随正弦曲线波动，5月份销售价格最高为10元，9月份销售价最低为6元.（1）试建立出厂价格、销售价格的模型，并求出函数解析式;（2）假设商店每月购进这种商品m 件，且当月销完，试写出该商品的月利润函数.3. 小结：三角函数应用模型的三种模式：一是给定呈周期变化规律的三角函数模型，根据所给模型，结合三角函数的性质，解决一些实际问题；而是给定呈周期变化的图象，利用待定系数法求出函数模型，再解决其他问题；三是搜集一个实际问题的调查数据，根据数据作出散点图，通过拟合函数图象，求出可以近似表示变化规律的函数模型，进一步用函数模型来解决问题.三、巩固练习：作业：读《数学周报》第43期第2版文章《三角函数模型应用举例》。
1.6《三角函数模型的简单应用》展示课件
（3）求 : 先根据图像求T,再由T 2 解得
（4）求：把已知点代入函数式(常常选取最值点代入)
感受高考
函数f
x
A
sin
x
6
1
A>0,
0的最大值为3，其图像相邻
两条对称轴之间的距离为 ，求函数的解析式。【2012年陕西卷】
2
解： 函数f x的最大值为3
A1 3
1.6 三角函数模型的简单应用
第一课时
一、情景引入 在我们现实生活中存在着大量的周期性变化现象。
正弦型函数：y A sin(x ) b A>0, >0
二、逐步探究
引例 （1）函数y 2sin x的图像如何变换得到y 2sin x 3的图像?
y 2sin x 3
y
向上平移单位长度 5
的图象求解析式；
2、根据函数解析式作出图像，并根据图像 认识性质。
四、课后作业
配套练习一份
2
最大值 最小值 2
探究一：根据函数图象求解析式 例1.如图，某地一天从6～14时 的温度变化曲线近似满足函数:
y Asin(x ) b
问题一： 这一天6～14时的 最大温差是多少？
T/℃ 30 20 10
o 6 10 14 t/h
30°-10°=20°
探究一：根据函数图象求解析式
例1.如图，某地一天从6～14时 T/℃
验证:|sin(x+π)|=|-sinx|=|sinx|
即 f (x+ ) f (x)
根据图像还能看出该函数的哪些性质？
归纳小结
利用函数图像的直观性,通过观察图 像而获得对函数性质的认识,这是研 究数学问题的常用方法。
课题三角函数模型的简单应用第1课时
课题：三角函数模型的简单应用（第1课时）一、教材分析1．设计思想：引导学生观察日常生活，通过对具有周期性变化这一类实际问题进行建模练习，让学生尝到数学建模成功的“甜”和难于解决实际问题的“苦”，从而拓广视野，增长知识，积累经验；在建模过程中，让学生自觉地运用问题所给的条件进行自主探究，寻求解决问题的最佳方法和途径，从而培养学生的创新精神和实践能力。
2．地位和作用：本节课是在学习了三角函数图象和性质的前提下来学习三角函数模型的简单应用，让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想，从而培养学生的创新精神和实践能力。
二、学情分析学生学习了三角函数的图象及其性质，已经具有用数学知识解决这类实际问题的能力；另外，本班学生思维活跃，学习积极性高，已经形成对数学问题进行自主探究、合作探究的意识与能力。
三、教学目标1．知识与技能：掌握三角函数模型应用的基本步骤：（1）根据解析式作出图象；（2）根据图象建立解析式；（3）将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型。
2．过程与方法：师生共同探究，通过设计一系列阶梯型问题，由浅入深，由易而难，引起学生学习的兴趣和探究的热情。
在此过程中，体会和感受数学建模思想的内涵及数学本质，逐步提高创新精神和实践能力。
3．情感、态度与价值观：培养学生的数学应用意识，认识到信息技术处理某些问题带来的优越，并体验数学在解决实际问题中的价值和作用及数学和日常生活、其他学科的联系，从而使学生热爱数学学习。
四、教学重难点分析1．教学重点：用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的问题。
2．教学难点：将某些实际问题抽象为三角函数模型。
五、教法及学法分析：教学方法——启发式（辅以信息技术的运用）、讲练结合式学习方法——自主探究、合作交流式教学手段——使用多媒体辅助教学六、预习学案1．函数()sin (0)f x A x b A =+>的最大值为32，最小值为12-，则A = ，b = 。
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6
x 5的图象与直线 y 5.5有两个交点
6
x 0.2014, 或 y 8 6A
6
x 0.2014
x A 0.3848 , xB 5.6152
B y=5.5
C
D
由函数的周期性易得: 4 xC 12 0.3848 12.3848 , x 12 5.6152 17.6152 2
通过计算.在6时的水深约为5米, 此时货船的安全水深约为4.3 米.6.5时的水深约为4.2米,此时 货船的安全小深约为4.1米;7时 的小深约为3.8米,而货船的安 全小深约为4米.因此为了安全, 货船最好在6.5时之前停止卸货, 将船驶向较深的水域.
y 8 6 4
y 2.5sin
6
x5
P
思考5：这一天12时的温度大概是多少 （℃）？ 27.07℃.
题型总结：
求函数f(x)= Asin(x + )+ b的方法：
1 A= f x max - f x min 2
1 b= f x max + f x min 2
利用最低点或最高点在图象上, 该点的坐标满足函数解析式可求得φ
y A sin( x )
( A 0, 0)
探究一：根据图象建立三角函数关系 【背景材料】如图，某地一天从6～14时 的温度变化曲线近似满足函数:
y A sin( x ) b
思考1：这一天6～14 时的最大温差是多少？ 30°-10°=20°
30 20 10 o
T/℃
6 10 14
t/h
y A sin( x ) b
思考2：函数式中A、b 的值分别是多少？
1 A 30 10 10 2
T/℃
30
20 10 o 6 10 14 t/h
1 b 30 10 20 2
思考3：如何确定函数 式中 w和 j 的值?
1 2 14 6 2
8
3 4
将x=6,y=10代入上式,解得
y A sin( x ) b
思考4：这段曲线对 应的函数是什么？
T/℃
30
20 10 o 6 10 14 t/h
3 y 10 sin( x ) 20, x [6,14]. 8 4
货船需要的安全水深为4+1.5=5.5(米), 所以当y≥5.5时就可以进港 .
2.5 sin
6
x 5 5.5
MODE sin-1
sin
6
x 0.2
由计算器可得 MODE SHIFT
2
=
0.2
0.20135792≈0.2014
在区间0,12内, 函数y 2.5 sin A, B, 因此
y 8 6 4 2 o
6
12
18
3
24
x
y Asin( x ) h
y 8 6 4 2 o 6 12 18 24 x
思考4：用函数 y Asin( x ) h 来 刻画水深和时间之间的对应关系，如何 确定解析式中的参数值？ A 2.5, h 5, T 12, 0,
y 5.5 0.3 x 2
2
O 2 4 6 8
10
x
理论迁移 例 弹簧上挂的小球做上下振动时，小 球离开平衡位置的距离s（cm）随时间t （s）的变化曲线是一个三角函数的图 象，如图. s/cm （1）求这条曲线对 4 应的函数解析式； 7p （2）小球在开始振 12 O p t/s 动时，离开平衡位 12 置的位移是多少？ -4
也可以利用函数的零值点来求．
2π 利用T = ，求得ω ω
探究二：根据相关数据进行三角函数拟合
【背景材料】 海水受日月的引力，在一 定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地， 早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船 在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后， 在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季 节每天的时间与水深关系表：
时刻 12:00 13:00 14:00 15:00 16:00 17:00 18:00 19:00 20:00 21:00 22:00 23:00 水深 5.000 6.250 7.165 7.5 7.165 6.250 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754
思考6：一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为 4米， 安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与洋底的 距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？
时刻 0:00 1:00 2:00 3:00 4:00 5:00 6:00 7:00 8:00 9:00 10:00 11:00 水深 5.000 6.250 7.165 7.5 7.165 6.250 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754
时刻 12:00 13:00 14:00 15:00 16:00 17:00 18:00 19:00 20:00 21:00 22:00 23:00 水深 5.000 6.250 7.165 7.5 7.165 6.250 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754
课堂小结:
解决实际问题的步聚:
实际问题
读 懂 问 题 抽 象 慨 括
实际问题的解
审题 读懂概念丶字母 读出相关制约. 在抽象、简化、明确变 量和参数的基础上建立 一个明确的数学关系.
数学建模
演 算 推 理
还 原 说 关键 明
数学模型的解
作业： P65 练习:1，2，3.
6
思考5：这个港口的水深与时间的关系可 用函数 y 2.5sin
6
x 5 近似描述，你能
根据这个函数模型，求出各整点时水深 的近似值吗？（精确到0.001）
时刻 0:00 1:00 2:00 3:00 7.5 4:00 5:00 6:00 7:00 8:00 9:00 10:00 11:00 水深 5.000 6.250 7.165 7.165 6.250 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754
时刻
0 5.0
3 7.5
6 5.0
9 2.5
12 5.0
15 7.5
18 5.0
21 2.5
24 5.0
水深/米
时刻
0 5.0
3 7.5
6 5.0
9 2.5
12 5.0
15 7.5
18 5.0
21 2.5
24 5.0
水深/米
思考1：观察表格中的数据，每天水深 的变化具有什么规律性？
呈周期性变化规律.
时刻
0 5.0
3 7.5
6 5.0
9 2.5
12 5.0
15 7.5
18 5.0
21 2.5
24 5.0
水深/米
思考2：设想水深y 是时间x的函数， 作出表中的数据对 应的散点图，你认 为可以用哪个类型 的函数来拟合这些 数据？
y 8
6
4
2
o 6 12 18 24 x
思考3: 用一条光滑曲线连结这些点， 得到一个函数图象，该图象对应的函数 解析式可以是哪种形式？
D
y 2.5sin
6
x5
O
5
10
15
x
因此,货船可以在0时30分左右进港,早晨5时30分左右出港;或 在中午12时30分左右进港,下午17时30分左右出港.每次米，安全间隙为1.5 米，该船在2：00开始卸货，吃水深度以每小时 0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止 卸货，将船驶向较深的水域？ 设在时刻x货船的安全水深为y,那么y=5.5-0.3(x-2) (x≥2).在同一坐标系内作出这两个函数,可以看到 在6～7时之间两个函数图象有一个交点.
备注
①简单应用——学以致用，解决生活中的 实际问题 ②数学模型——具体的数学函数关系 ③三角函数模型——三角函数关系
函数模型的应用示例
• 正弦型函数
• • • • • • • • • • • • 1、物理情景—— ①简单和谐运动 ②星体的环绕运动 2、地理情景—— ①气温变化规律 ②月圆与月缺 3、心理、生理现象—— ①情绪的波动 ②智力变化状况 ③体力变化状况 4、日常生活现象—— ①涨潮与退潮 ②股票变化 …………