2017-2018学年下学期高一数学必修5期中复习导学案 专题3 不等式

2017-2018学年下学期高一数学必修5期中复习导学案专题3 不等式思维导图知识点1：线性规划问题【要点回顾】1.线性规划在实际中的类型主要有：(1)给定一定数量的人力、物力资源，如何运用这些资源，使完成任务量最大，收到的效益最高；(2)给定一项任务，怎样统筹安排，使得完成这项任务耗费的人力、物力资源最少．2．解析线性规划应用题的步骤：(1)列：设出未知数，列出约束条件，确定目标函数．(2)画：画出线性约束条件所表示的可行域．(3)移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线．(4)求：通过解方程组求出最优解．(5)答：作出答案．【典例分析】例1设,x y满足约束条件30{02x yx yx-+≥+≥≤,则的最大值为________．【解析】不等式组表示的平面区域如图阴影所示，(),x y 到()0,0距离，由图可知，点A 到原点的距离最远， 2{30x x y =-+=，得2{5x y ====【迁移训练】1.若,x y 满足约束条件20{20 220x y x y x y +-≥--≤--≥，则2z x y =+的最小值为（ ）A. 4-B. 83C. 1D. 2 【答案】D【解析】根据约束条件作出可行域如图：当12y x =-越向下移动时，直线的截距越小，即z 越小，因此当直线过()0,2A -时， z 取得最小值4-.故选D.2．小王计划租用,A B 两种型号的小车安排30名队友（大多有驾驶证，会开车）出去游玩， A 与B 两种型号的车辆每辆的载客量都是5人，租金分别为1000元/辆和600元/辆，要求租车总数不超过12辆且不少于6辆，且A 型车至少要有1辆，则租车所需的最少租金为（ ） A. 1000元 B. 2000元 C. 3000元 D. 4000元 【答案】D作出可行域：当直线5y 3600z x =-+经过D 点时，z 最小，此时D （1,5） ∴租车所需的最少租金为1100056004000⨯+⨯= 故选：D知识点2：利用基本不等式求最值 【要点回顾】基本不等式是证明不等式、求某些函数的最大值及最小值的理论依据，在解决数学问题和实际问题中应用广泛．(1)基本不等式通常用来求最值，一般用a ＋b ≥2ab (a >0，b >0)解“定积求和，和最小”问题，用ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22解“定和求积，积最大”问题． (2)在实际运用中，经常涉及函数f (x )＝x ＋k x(k >0)，一定要注意适用的范围和条件：“一正、二定、三相等”．特别是利用拆项、添项、配凑、分离变量、减少变元等，构造定值条件的方法和对等号能否成立的验证． 【典例分析】 例2设函数 f (x )＝x ＋ax ＋1，x ∈[)0，＋∞.(1)当a ＝2时，求函数 f (x ) 的最小值； (2)当0<a <1时，求函数 f (x ) 的最小值．【分析】 (1)将原函数变形，利用基本不等式求解． (2)利用函数的单调性求解．(2)当0<a <1时， f (x ) ＝x ＋1＋ax ＋1－1若x ＋1＋ax ＋1≥2a ，则当且仅当x ＋1＝ax ＋1时取等号，此时x ＝a －1<0(不合题意)， 因此，上式等号取不到．f (x ) 在[)0，＋∞上单调递增．∴ f (x ) min ＝ f (0)＝a . 【迁移训练】3.已知0m >， 0n >，若212m n =-，则327m n+的最小值为__________． 【答案】96【解析】因为212m n =-，所以221m n +=，()32732765422606096n m m n m n m n m n⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭ 当且仅当654n m m n =，即13,88m n ==时等号成立，故最小值为96. 4.（1）求函数()4(04)y x x x =-<<的值域，并求y 取最大值时相应的x 的值.（2）若x R ∈,求函数2452x x y x -+=-的值域.【解析】(1)因为()()2424(04)y x x x x =-=--+<<利用二次函数的性质可知， 函数的值域为(]0,4，当x=2时，最大值是4 .（2）2x t -=令， ()()222145112222x x x y x t x x x t-+-+===-+=+---，故其值域为][(),22,-∞-⋃+∞. 知识点3：不等式的恒成立问题 【考向解读】不等式是高考中的难点所在，其单一考查难度不大，主要跟其他知识进行综合考查，如不等式恒成立问题，含参不等式问题经常出现，在解决这类问题时需要进行分类讨论. 【典例分析】例3 若不等式x 2＋ax ＋3－a >0对于满足－2≤x ≤2的一切实数 x 恒成立，求实数 a 的取值范围． 【分析】 因为(x －1)的符号不确定，所以参变量 a 不能分离，只好研究二次函数 y ＝x 2＋ax ＋3－a .【技能点拨】对于恒成立不等式求参数范围的问题常见的类型及解法有以下几种：1．变更主元法根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量要看做主元． 2．分离参数法若f (a )<g (x )恒成立，则f (a )<g (x )min . 若f (a )>g (x )恒成立，则f (a )>g (x )max . 3．数形结合法利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图象直观化． 【迁移训练】5．在R 上定义运算：⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d＝ad －bc .若不等式⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －1a ＋1 a －2x ≥1对任意实数 x 恒成立，则实数a的最大值为( )A ．－12B ．－32 C.13 D.32【答案】 D【解析】 原不等式等价于x (x －1)－(a －2)(a ＋1)≥1，即x 2－x －1≥(a ＋1)(a －2)对任意x 恒成立，x 2－x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－54≥－54，所以－54≥a 2－a －2，解得－12≤a ≤32.故选D.6．已知函数()()331,2xf x x xg x a =--=-，若对任意[]10,2x ∈，存在[]20,2x ∈使得()()122f x g x -≤，则实数a 的取值范围是( )A. []1,5B. []2,5C. []2,2-D. []5,9 【答案】B【解析】()()122f x g x -≤，()()()()()()()21222min max 222,2g x f x g x g x f x f x g x ⇒-+≤≤+⇒-+≤≤+ ()23301f x x x =-=⇒=∴'（负舍） ()()()()min max 13,21f x f f x f ==-==因此()()()()()2222223,121,1,1g x g x g x g x g x -+≤-≤+∴≤-≥-∴=- []20,2x ∈在有解，所以[]212,5x a =+∈ ，选B.7．已知函数()()621,21f x x x f x m x R =+--<+∈若对恒成立，则实数m 的取值范围为_______ 【答案】()3,+∞【解析】()81621{34,6 1 8,6x x f x x x x x x x -≥=+--=+-<<-+≤-，,当x 1≥时， ()7f x ≤； 当61x -<<时， ()7f x <； 当6x ≤-时， ()14f x ≤-；∴函数()f x 的最大值为7，又()21x m x R <+∈对恒成立， ∴217m +>， m 3> 故答案为： ()3,+∞知识点4：分类讨论思想在解不等式中的应用 【考向解读】从近五年高考试题来看,分类讨论思想在高考试题中频繁出现,现已成为高考数学的一个热点,也是高考的难点.高考中经常会有几道题,解题思路直接依赖于分类讨论,特别在解答题中(尤其导数与函数)常有一道分类讨论求解的把关题,选择题、填空题也会出现不同情形的分类讨论题. 【典例分析】例4 若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，2x 2＋k ＋x ＋5k <0的整数解只有－2，求k 的取值范围．【分析】 不等式组的解集是各个不等式解集的交集，分别求解两个不等式，取交集判断． 【解析】 由x 2－x －2>0，得x <－1或x >2. 对于方程2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k ＝0有两个实数解x 1＝－52，x 2＝－k .(1)当－52>－k ，即k >52时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－k <x <－52，显然－2∉⎝ ⎛⎭⎪⎫－k ，－52.(2) 当－k ＝－52时，不等式2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k <0的解集为∅.(3)当－52<－k ，即k <52时，不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－52<x <－k .∴不等式组的解集由⎩⎪⎨⎪⎧x <－1，－52<x <－k或⎩⎪⎨⎪⎧x >2，－52<x <－k 确定．∵原不等式组整数解只有－2， ∴－2<－k ≤3，故所求k 的范围是－3≤k <2. 【技能点拨】含参数的一元二次不等式的分类和讨论步骤：(1)对二次项系数含有参数的一元二次不等式，要注意对二次项系数是否为零进行讨论，特别当二次项系数为零时需转化为一元一次不等式问题来求解．(2)对含参数的一元二次不等式，在其解的情况不明确的情况下，需要对其判别式分Δ>0，Δ＝0，Δ<0三种情况并加以讨论．(3)若含参数的一元二次不等式可以转化成用其根x 1，x 2表示的形如a (x －x 1)(x －x 2)的形式时，往往需要对其根分x 1>x 2、x 1＝x 2，x 1<x 2三种情况进行讨论，或用根与系数的关系帮助求解． 【迁移训练】8．若不等式()()2422210a x a x -+--<对一切x R ∈恒成立，则a 的取值范围是_______.【答案】22a -<≤9．解关于x 的不等式： 2104ax x --≥， 0a ≠. 【解析】试题分析：解含参的二次不等式要进行讨论，不等式解集的端点是对应方程的根，所以对∆进行讨论， 0∆<， 0∆=， 0∆>，还要注意到二次函数开口的方向，分0a >， 0a <. 试题解析：由题意可知21014ax x a --=∆=+的， （1）当1a <-时， 0∆<，不等式无解；（2）当1a =-时， 0∆=不等式的解是12x =-；（3）当10a -<<时， 0∆>x ≤≤；（4）当0a >时， 0∆>不等式的解是x x ≤≥； 综上所述：当1a <-时，不等式解集φ； 当=1a -时，不等式的解集12⎧⎫⎨⎬⎩⎭；当10a -<<时，不等式的解集 x x ⎧⎫⎪⎪≤≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭；当0a >时，不等式的解集|x x x ⎧⎫⎪⎪≤≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭； 10．（1）求函数的定义域； （2）若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围.【解析】试题分析：（1）根据函数的解析式中真是大于零，列出不等式，求出解集即可得到函数的定义域；（2）由于二次项系数含有参数，故应为分类讨论，当时，且，从而可求实数的取值范围.。