第2章优化设计
优化设计
现代设计方法
100 90 80 70 60 50 40 30 20 10
x2
g 4 ( x) 0
最优解是等值线在函 数值下降方向上与可 行域的最后一个交点。
约束方程： g1 ( X ) 9 x1 4 x2 360 ＝0 g 2 ( X ) 3 x1 10x2 300 ＝0 g 3 ( X ) 4 x1 5 x2 200 ＝0 g 4 ( X ) x1＝0 g 5 ( X ) x2＝0
现代设计方法
（2）设计空间: n 个设计变量的坐标轴所形成的n维实
空间称为设计空间，用Rn表示。设计空间中，n 个设计
变量的坐标值组成一个设计点，并代表一个设计方案，
可采用如下向量表示：
x1 x 2 T X x1 , x 2 , , x n x n
(k )
S (k )
(k )
X ( k 1) X ( k ) ( k ) S ( k )
基本迭代公式
现代设计方法
由于每次迭代求得的新点均为使函数值有所 下降的适用点（如果不是适用点，可改变方向和
步长另行搜索适用点），则所得各点必将逐步向
该函数的极小值点逼近，最后总可求得非常接近 该函数理论最优点的近似最优点 X* 。
hv ( x1 , x2 , x3 , , xn ) 0(等式约束)
现代设计方法
用“max、min‖表示极大、极小化，用“ s.t‖ 表示“满足于”，“m、p‖表示不等式约束与等式 约束的个数，则表示如下形式：
min(max)f ( X ) s.t.
X R
n
gu ( X ) 0 hv ( X ) 0
100 90 80 70 60 50 40 30 20 10
02机械优化设计第二章(哈工大—孙靖民)PPT优秀课件
参见教材例题P30
16
*
2 f
G(
x0
)
x12 2 f
x2x1
2 f
x1x2
2 f
x22
海赛矩阵是由函数 f (x1,x2) 在点 x 0 处的二阶偏
导数组成的方阵。由于函数的二次连续性，有：
2 f 2 f x2x1 x1x2
所以 G(x0 ) 矩阵为对阵方阵。
凡满足上式的点称为函数的驻点
27
*
如f y'下图0 所是示个的驻二点元，函但数它，不在是M极0值点点虽。有
f
' x
0
和
28
*
定理2：若二元可微函数 f (x1,x2)在 x0 x10,x20 的
某个邻域取得极小值的充分条件是要求在该点 2 ) f(x 1,0 x 2)0 0
11212223242526221方向导数1020201020fxxx10201020102010120fxxx方向导数21多元函数的方向导数和梯度二维空间中的方向偏导数与方向导数的关系44三元函数点处沿s方向的方向导数302010coscoscoscoscoscoscos552二元函数的梯度coscoscoscoscos66当梯度方向和当梯度方向和dd方向重合时方向导数值方向重合时方向导数值最大即梯度方向是函数值变化最快方向最大即梯度方向是函数值变化最快方向而梯度的模就是函数值变化率的最大值
依次类推，即可得到n元函
数在点x0处沿s方向的方向导数
f d
x0
f x1
cos 1
x0
f x2
cos 2
x0
.......
f xn
x0
第2章复合材料的界面和优化设计.
第二阶段：聚合物的固化过程。固化阶段受第一阶段的影响，同时它也 直接决定着所形成的界面层的结构。如热固性树脂固化时的胶粒和胶絮。
界面层的结构包括：界面结合力的性质、界面层的厚度、界面层的组成和 微观结构。面作用机理
（1）界面浸润性理论
2.2 复合材料的界面
复合材料
郭连贵
湖北工程学院化学与材料科学学院
第2章 复合材料的界面和优化设计
石墨烯
掌握界面定义、组成 掌握界面的作用
掌握界面理论
掌握界面设计方法
了解界面表征方法
多壁碳纳米管
2
2.1 复合材料界面的概念
2.1 复合材料界面的概念
一、复合材料界面的定义
复合材料界面示意图
复合材料界面区成分比较复杂
不同界面结合强度断裂纤维周围基体形态模型
a. 弱界面结合状况 b. 界面结合适中状况 c. 界面结合过强状况
2.2 复合材料的界面
一、聚合物基复合材料的界面
1、界面的形成
第一阶段：基体与增强体的接触与浸润过程。在复合材料的制备过程中， 要求组份间能牢固的结合并有足够的强度，要实现这一点必须要使材料在 界面上形成能量最低结合，通常存在液态对固体的相互浸润。
一、聚合物基复合材料的界面
2、界面作用机理
（1）界面浸润性理论
2.2 复合材料的界面
（2）化学键理论
2.2 复合材料的界面
（3）扩散理论
2.2 复合材料的界面
（4）电子静电理论
2.2 复合材料的界面
（5）机械联接理论
2.2 复合材料的界面
（6）变形层理论和抑制层理论
2.2 复合材料的界面
关，也与复合材料各组分的浸润性、相容性、
Kuhn-Tucker条件
第六节 不等式约束优化问题的极值条件
在工程中大多数优化问题，可表示为不等式约束 条件的优化问题。
有必要引出非线性优化问题的重要理论，是不等式 约束的多元函数的极值的必要条件。
库恩-塔克（Kuhn-Tucker）条件
一、一元函数在给定区间上的极值条件
h1 x, a1 g1 x a12 a x a12 0 h2 x,b1 g2 x b12 x b b12 0
则该问题的拉格朗日函数
F x, a1,b1, 1, 2 f x 1h1 x, a1 2h2 x,b1
f x 1 a x a12 2 x b b12
微函数f(x)在某一点 x(k )的一阶偏导数为：
f (xk ) ，f (xk ) ，… ，f (xk )
x1
x2
xn
它表示函数f(x)值在x(k )点沿各坐标轴方向的变
化率。
有一个二维函数，如图2-1所示。
图2-1 函数的方向导数
其函数在 x0点沿d方向的方向导数为
f x0
f
x (0) 1
f x0 T
f x0
,
,...
x1
x2
xn
沿d方向的方向向量
cos1
d
cos
2
...
cos
n
即
f d
x0
f
x 0 T
d
f x 0 T
cosf ,d
图2-5 梯度方向与等值面的关系
第二节 多元函数的泰勒展开
若目标函数f(x)处处存在一阶导数，则极值点 的必要条件一阶偏导数等于零，即
对于二维函数 f x1, x2 在 x0 点处的梯度
优化设计第2章 优化设计
X [d l ]T [ x1 x2 ]T
目标函数的极小化： 约束条件：
1 1 min f ( X ) V d 2l x12 x2 0.785 x12 x2 4 4
g1 ( X ) 8.33l d 3 8.33x2 x13 0 g 2 ( X ) 6.25 d 3 6.25 x13 0
f ( X ( k 1) ) f ( X ( k ) ) 2
（2-8）
3 5 式中， 2 —— 给定的计算精度，一般可取 10 10 。
（３）函数梯度充分小准则 目标函数在迭代点的梯度已达到充分小，即
f ( X ( k 1) ) 3
（2-9）
3 —— 给定的计算精度，一般可取 103 。 式中，
这一迭代过程用数学式子表达，得数值迭代法的基本迭代格式为：
X ( k 1) X ( k ) ( K ) S ( k ) f ( X ( k 1) ) f ( X ( k ) ) gu ( X ( k 1) ) 0 (u 1, 2, , m) (k 0,1, 2, )
(k )
一维搜索方法一般分两步进行：
■ 首先在方向 S ( k ) 上确定一个包含函数极小点的初始区间，即
确定函数的搜索区间，该区间必须是单峰区间；
■ 然后采用缩小区间或插值逼近的方法得到最优步长，即求出
该搜索区间内的最优步长和一维极小点。 一维搜索方法主要有： 分数法 黄金分割法（0.618法） 二次插值 三次插值法等 本节介绍最常用的黄金分割法和二次插值法。
2.迭代计算的终止准则
目前，通常采用的迭代终止准则有以下几种：
● 点距足够小准则 ● 函数下降量足够小准则 ● 函数梯度充分小准则
工程设计优化管理办法(试行)
优化设计管理办法（试行）第一章优化设计的原则第一条优化设计的原则是不降低设计标准、不影响使用功能并确保工程质量、合同工期、投资控制的目标。
第二章优化设计的内容第二条路线优化：在工程开工之前，根据设计文件和现场核查情况，对线路走向、纵坡、线位地质、工程结构物规模与数量、土石方数量、软基处理、路基填料及征地拆迁的类别与数量等项目进行统计分析、综合评估，通过线位方案比选，选定更为合理的路线方案。
第三条软土路基：通过现场挖深坑、触探等方法对照设计图进行地质核对，对设计漏探的位置进行补探、核对设计图中软基的深度、宽度、长度。
并根据核对的结果合理调整软基处理的范围及深度，或合理调整工程处理措施等方式的设计变更。
第四条路基防护：通过进一步的地质勘探与分析计算，对通过降缓路埑边坡取消挡护或更改防护类型，既能利用降坡土方填筑路基，又能起到生态防护的作用；挡护合并或增减挡护长度，高度等方式的设计变更。
第五条结构物的平面位置、标高、规模及数量的优化1.涵渠、通道位置与沟槽或既有道路是否吻合；涵渠出入口标高与路面、水渠流水面或水沟是否顺接，上游流水是否顺利兼顾；孔跨能否满足要求；有无沟渠合并或倒虹吸管改圆管涵的可能；立交与排洪或灌溉能否兼顾；有无涵渠合并或取消以及结构型式的改变的必要。
2.核对设计结构物地基承载力，并根据核对的结果，合理调整结构物基底处理方式或基础结构型式。
3.桥墩台位置是否避开道路或沟心，有无必要移位或调整交角角度；孔跨和净高能否满足要求；桩孔开挖方法是否变更；桩底标高是否合理；上部构造设计是否经济。
4.核对隧道的地质围岩级别是否与设计相符，并根据围岩级别的变化，合理调整施工临时支护措施及永久支护厚度等。
第六条采用新技术、新工艺、新设备，达到减少投资、加快速度、保证质量的目的。
第三章优化设计的提出第七条设计优化工作要贯穿工程建设的全过程，在通过实地调研、收集资料、研究论证和评审后。
总承包项目部、驻地办、总监办、设计单位、公司均可提出设计优化方案。
第二章 章末整合-高中同步学案优化设计数学A版必修第一册配人教版教学课件
1)x-1=0有两个实数根.
(2)解 由根与系数的关系知x1+x2=
由题意知x1+x2=0,∴k=1.
−1
,
ห้องสมุดไป่ตู้
1
(3)解 当 k>0 时,x1=1,x2=- <0,不符合题意;
1
- > 2,
1
1
当-1≤k<0 时,x1=- ,x2=1,2< <3,得 1
解得-2<k<-3;当 k<-1
4 ≠ 0,
2
= (-4) -4 × 4( + 1) = -16 ≥ 0,
解得 k<0.又 x1,x2 是一元二次方程 4kx2-4kx+k+1=0 的两个实数根,∴
1 + 2 = 1,
1 2 =
+1
4
.
∴(2x1-x2)(x1-2x2)=2(12
+
+9 3
9
2
2
2 )-5x1x2=2(x1+x2) -9x1x2=- 4 =-2.∴k=5.又
式,可分a>0和a<0两类,借助(1)(2)两种情况进行解答.
变式训练3设函数y=ax2+(b-2)x+3(a≠0).
(1)若不等式y>0的解集为{x|-3<x<1},求a,b的值;
(2)若b=-a,求不等式y≤1的解集.
解 (1)由不等式 y>0 的解集为{x|-3<x<1},可知方程 ax2+(b-2)x+3=0 的两
3
(1)是否存在实数 k,使(2x1-x2)(x1-2x2)=-2成立?若存在,求出 k 的值;若不存
人教八年级上册物理同步优化设计第二章综合训练
第二章综合训练一、选择题(本大题共8小题。
下列各题给出的四个选项中,只有一项符合题意)1.手掌按住正在发声的鼓面,鼓声消失了,原因是()A.不能传播声音B.吸收了声波C.把声音反射回去了D.使鼓面振动停止了2.学校在进行紧急疏散演练时,会拉响警报。
警报声之所以能传播很远的距离,是因为它的()A.音调高B.响度大C.音色美D.节奏快3.声乐中的高音和低音,是指声音的()A.响度B.音调C.音色D.振幅4.下列声现象能说明声音的传播需要介质的是()5.下列关于声现象的表述,你认为正确的是()A.考场周边禁止鸣笛,是在声源处减弱噪声B.“不敢高声语”中的“高”指声音的音调高C.超声波的传播不需要介质D.声音在空气中的传播速度为3×108 m/s6.天坛公园的回音壁如图所示,它是我国建筑史上的一大奇迹,回音壁应用的声学原理是()A.声音的反射B.声音在不同介质中的传播速度不同C.声音的音调不同D.发声的物体在振动7.我们生活在声的海洋里,美妙的音乐可以让人心旷神怡,而一些机器的轰鸣声也能使人心烦意乱。
下列关于声音的描述正确的是()A.声音是由物体振动产生的B.如果在月球上发生爆炸,只要爆炸足够剧烈,地球上的人也可以听到C.超声波的传播速度比次声波的传播速度快D.声音可以在空气中传播,不能在固体和液体中传播8.每一位市民的文明举止,是城市文明的重要标志,开车时不乱鸣笛就是其中之一。
道路交通“禁止鸣笛”的标志如图所示,主要目的是控制城市中的噪声污染,这种控制噪声的途径是()A.在人耳处B.在传播途中C.在声源处D.以上方式都有二、填空题9.人听到蚊子飞行的“嗡嗡”声,是由蚊子翅膀产生的,通过空气传入人耳。
但人听不到蝴蝶飞行的声音,是因为蝴蝶发出声音的不在可听声的范围内。
10.弹钢琴时手指按压不同的琴键是为了改变声音的;利用超声波清洗眼镜说明声波能够传递;利用声呐系统向海底垂直发射声波,经2 s 后收到回声,已知声音在海水中的传播速度为1 531 m/s,则此处海水的深度为 m;利用超声波不能测量地球和月球之间的距离,这是因为。
第二章 优化设计
l 。这是一个合理选择 d 和 l
Fl w 0.1d 3
T 3 0.2d
②刚度条件：
挠度表达式
Fl 3 64 Fl 3 f f 3EJ 3Ed 4
③结构尺寸边界条件： l lmin 8 cm 将题意的有关已知数值代入，按优化数学模型的规范形式，可归纳为 如下数学模型：
3
例2-2 现用薄钢板制造一体积为5 m ，长度不小于4m的无上盖 的立方体货箱。要求该货箱的钢板耗费量最少，试确定货箱的长、 宽和高的尺寸。 解：分析可知，钢板的耗费量与货箱的表面积成正比。 设货箱的长、宽、高分别为 x1 , x2 , x3，货箱的表面积为S，则 该问题的物理表达式为： (1) 货箱的钢板耗费量（即货箱的表面积用料）最少：
设计变量：
X [ x1 x2 ]T
1 1 ) x2 x1
目标函数的极小化： min f ( X ) x1 x2 2( x1 x3 x2 x3 ) x1 x2 10(
约束条件：
g1 ( X ) 4 x1 0 g 2 ( X ) x2 0 h( X ) 5 x1 x2 x3 0
例2-3 某车间生产甲、乙两种产品。生产甲种产品每件需使用材 料9kg、3个工时、4kw电，可获利润60元。生产乙种产品每件需用材 料4kg、10个工时、5kw电，可获利120元。若每天能供应材料360kg， 有300个工时，能供200kw电。试确定两种产品每天的产量，以使每天 可能获得的利润最大。 解：这是一个生产计划问题，可归结为既满足各项生产条件，又 使每天所能获得的利润达到最大的优化设计问题。 设每天生产的甲、乙两种产品分别为 x1 , x2 件，每天获得的利润可 用函数 f ( x1 , x2 ) 表示，即
优化设计 第二章(基本概念)
( 0) (0) 其中： ∇f ( x ( 0) ) = ∂f ( x ) , ∂f ( x ) T
∂x1
∂x2
是 X(0)点的梯度。
s方向的单位向量: S = cos 2 α1 + cos 2 α 2 = 1 。
(k))，f(x)
总有一个定值c 与之对应；而当f(x)取定值 c 时，则有无限多个设计点 X(i)(x1(i), x2(i), …,xn(i) ) （i=1,2, … ）与之对应，这些点集构成一个曲 面，称为等值面。 当 c 取c1,c2, …等 值时，就获得一族曲面 族，称为等值面族。 当f(x)是二维时，获 得一族等值线族； 当f(x)是三维时，获 得一族等值面族； 当f(x)大于三维时， 获得一族超等值面族。
它将设计空间分成两部分：满足约束条件 gu(X) ≤ 0 的部分和不满足约 束条件 gu(X) > 0 的部分。
设计可行域（简称为可行域） 对于一个优化问题，所有约束的约束面将组成一个复合的约束 曲面，包围了设计空间中满足所有约束条件的区域，称为设计 可行域 。 记作
=
{x
g u(x) ≤ 0 h v (x) = 0
第二章 优化问题的数学模型和基本概念
§2.1 优化设计的数学模型 §2.2 优化设计的三大要素 §2.3 优化设计的分类 §2.4 优化设计的数学基础 §2.5 优化设计的最优解及获得最优解的条件 §2.6 优化设计问题的数值迭代法及其收敛条件
§2.1 优化设计的数学模型
一. 机械优化设计方法解决实际问题的步骤
§2.2 优化设计的三大要素
第2章 复合材料的界面和优化设计
余应力。因而不能选用模量很低的基体与模量很高的纤维复合，否则
纤维容易发生屈曲。在选择金属基复合材料的组分材料时，为避免过 高的残余应力，要求增强体与基体的热膨胀系数不要相差太大。
界面的作用机理：
界面作用机理是指界面发挥作用的微观机理。
1、界面浸润性理论
浸润性是表示液体在固体表面上铺展的程度。 该理论认为，填充剂被液态树脂良好浸润是非常重要 的，若浸润不好会在界面上产生孔隙，易使应力集中而使 复合材料开裂，如果两组组分完全浸润，则树脂与填充剂 之间的黏结强度将超过基体的内聚强度。
价值、能否推广使用的一个极重要的问题。
界面效应既与界面结合状态、形态和物理--化
学性质等有关，也与界面两侧组分材料的浸润性、
相容性、扩散性等密切相联。
复合材料中的界面并不是一个单纯的几何面，
而是一个多层结构的过渡区域，界面区是从与增
强剂内部性质不同的某一点开始，直到与基体内
整体性质相一致的点间的区域。
31
4、扩散理论
复合材料的基体与增强材料间可以发生 原子或分子的互扩散或发生反应，从而形成反 应结合或互扩散结合。对于聚合物来说，这种 粘结机理可看作为分子链的缠结(如图所示)。
上述每一种理论都有一定的实验支待，
但每一种理论都有它的局限性，这是因为
界面相是一个结构复杂而具有多重行为的相。
二、金属基复合材料的界面
1、界面类型
类型
I类界面
基体与增强材料之 间既不相互反应，也不 互溶，这类界面微观是 平整的，而且只有分子 层厚度，界面除了原组 成物质外，基本上不含 其它物质。
数学高考总复习优化设计一轮-第2章-一元二次函数、方程和不等式-第1节等式性质与不等式性质【课件】
解析 ∵a+b=1,∴(a+b) =1=a +b +2ab≤2(a +b ),∴a +b ≥
2
2
2
2
2
2
2
1
,当且仅当
2
1
a=b=2时,等号成立,故 A 正确;∵a+b=1,a>0,b>0,∴a+1=2a+b>b,∴a-b>-1,
1
1
a-b
-1 1
∴2 >2 = ,故 B 正确;∵a+b=1≥2 ,∴ab≤ ,当且仅当 a=b= 时,等号成
可开方性
a>b>0,n∈N,n≥2⇒
>
1 1
微思考对于非零实数a,b,如果a>b,是否一定有 <
提示 不一定.当 a>b>0
a>0>b
1
时,
>
1
.
1
时,一定有
<
1
,当
0>a>b
?
1
时,也一定有
<
1
,但当
常用结论
1.倒数性质:若 0<a<x<b 或
2.若
b
a>b>0,m>0,则a
例 1(1)(2024·山东日照模拟)若
A.a<b<cຫໍສະໝຸດ B.c<b<a
C.a<c<b
D.b<a<c
1
a=2ln
第2章优化设计-2
如此进行下去，直到求得的解
满足收敛条件为止。
式中 (k)
为最优步长。
关于的梯度法迭代计算步骤见教材。
例2-A 已知一目标函数为 f ( X ) 60 10x1 4x2 x12 x22 x1x2 ，
为了克服DFP变尺度法计算稳定性不够理想的缺点，Broydon
等人在 DFP法 的基础上提出了另一种变尺度法
称为BFGS
变尺度法。
BFGS变尺度法与DFP变尺度法的迭代步骤相同，不同之点，只 是校正矩阵的计算公式不一样。
BFGS变尺度法的变尺度矩阵迭代公式仍为
A(k1) A(k) A(k)
(2-47)
式中: A(k)
变尺度矩阵，是一n×n阶对称正定矩阵，
在迭代过程中,它是逐次形成并不断修正，
即从一次迭代到另一次迭代是变化的，故称变尺度矩阵。
由式(2-47)，不难看出： 当 A(k) I（单位矩阵）时：式 (2-47) 变为梯度法的迭代公式； 当 A(k) [H (X (k) )]1 时：式 (2-47) 就变为牛顿法的迭代公式。
为求得满足精度要求的近似极小点 ，
可将
X
*
作为下一次迭代的起始点 X (k1) ，即得
X (k1) X (k) [H ( X (k) )]1f ( X (k) )
（2-44）
上式就是原始牛顿法的迭代公式。
由上式(2-44)可知，牛顿法的搜索方向为
S (k) [H ( X (k) )]1f ( X (k) )
[X (k ) ]T g (k )
优化设计模拟试题
第二章 优化设计模拟试题一、单项选择题1、优化设计的自由度是指（ ）。
A 、设计空间的维数B 、可选优化方法数C 、所提目标函数数D 、所提约束条件数 2、在约束优化方法中，容易处理含等式约束条件的优化设计方法是（ ）。
A 、可行方向法 B 、复合形法 C 、内点罚函数法 D 、外点罚函数法 3、如果目标函数的导数求解困难时，适宜选择的优化方法为（ ）。
A 、梯度法 B 、变尺度法 C 、共轭梯度法 D 、Powell 法4、对于2个变量的函数F(X)的Hessian 矩阵是2×2的二阶偏导数矩阵，该矩阵是（ ）。
A 、三角矩阵 B 、对称矩阵 C 、非对称矩阵 D 、分块矩阵5、函数122214x x x )X (F -+=在点（2，0）处的梯度为（ ）。
A 、｛2，0｝ B 、｛0，0｝ C 、｛0，2｝ D 、｛2，2｝6、0.618法在迭代运算过程中，迭代区间不断缩小，其区间的缩小率在迭代运算过程中（ ）。
A 、逐步变小 B 、不变 C 、逐步变大 D 、不确定7、下列关于函数梯度的说法不正确的是（ ）。
A 、函数的梯度是标量B 、函数的梯度是矢量C 、函数值沿梯度方向变化最大D 、求函数的极小值时常沿负梯度方向搜索 8、一个单值、连续、可微的不受任何约束的一元函数F(X)，再x=x *点处有极小值的充分条件是（ ）。
A 、F ’(x *)=0 B 、F ’(x *)=0 , F ’’(x *)>0 C 、F ’’(x *)=0 D 、F ’(x *)=0, F ’’(x *)<0 9、多元函数F(X)在x *点附近一阶偏导数连续，则该点为极大值点的充分条件为（ ）。
A 、∇F(X *) =0B 、∇F(X *) =0 ，H(X *) 正定C 、H(X *)=0D 、∇F(X *) =0，H(X *) 负定10、黄金分割法中，每次缩短后的新区间长度与原区间长度的比值始终是一个常数，此常数是（ ）。
第2章 优化问题的数学模型及几何解释
(0) (2)
X d(k) X(k)
(k+1)
x k 1 x k k S k x1 x 2
k 1
x1 x2
k
k s1 s 2
x * (2,0)
f ( x* ) 0
约束方程所围成的可行域是D.
x2 ， g3(x)=0 g2(x)=0
2
g1(x)=0
min f ( x ) x12 x22 4 x1 4 s.t. g1 ( x ) x1 x2 2 0 g 2 ( x ) x12 x2 1 0
目标函数等值面
目标函数是n维变量的函数，它的函数图像只能 在 n + 1 维空间中描述出来。为了在 n 维设计空间 中反映目标函数的变化情况，常采用目标函数等 值面的方法。目标函数的等值面，其数学表达式 为： f ( x) c （c为一系列常数），代表一族n维超曲面。如在 二维设计空间中，f (x 1 , x 2 ) = c 代表 x – x 设计平 面上的一族曲线。
（2）根据要解决设计问题的特殊性来选择设计变量。
例如，圆柱螺旋拉压弹簧的设计变量有4个，即钢丝直径d，弹簧中径D，工 作圈数n和自由高度H。在设计中，将材料的许用剪切应力 和剪切模量Ｇ等 作为设计常量。在给定径向空间内设计弹簧，则可把弹簧中径D作为设计常量。
[τ]
（3）注意独立变量和相关变量。
k
运用迭代法， 新点在可行域 内（可行性条 件）：
解释计算机计算的迭 代法。方向的表示。
运用迭代法，每次迭代所得新的点的目标函数都 应满足函数值下降的要求（适用性条件）：
ansys 优化设计教程
ansys 优化设计教程ANSYS高级技术分析指南优化设计第一章优化设计什么是优化设计?优化设计是一种寻找确定最优设计方案的技术。
所谓“最优设计”，指的是一种方案可以满足所有的设计要求，而且所需的支出,如重量，面积，体积，应力，费用等,最小。
也就是说，最优设计方案就是一个最有效率的方案。
设计方案的任何方面都是可以优化的，比如说:尺寸,如厚度,，形状,如过渡圆角的大小,，支撑位臵，制造费用，自然频率，材料特性等。
实际上，所有可以参数化的ANSYS选项都可以作优化设计。
,关于ANSYS参数，请参看ANSYS Modeling and Meshing Guide 第十四章。
,ANSYS程序提供了两种优化的方法，这两种方法可以处理绝大多数的优化问题。
零阶方法是一个很完善的处理方法，可以很有效地处理大多数的工程问题。
一阶方法基于目标函数对设计变量的敏感程度，因此更加适合于精确的优化分析。
对于这两种方法，ANSYS程序提供了一系列的分析——评估——修正的循环过程。
就是对于初始设计进行分析，对分析结果就设计要求进行评估，然后修正设计。
这一循环过程重复进行直到所有的设计要求都满足为止。
除了这两种优化方法，ANSYS程序还提供了一系列的优化工具以提高优化过程的效率。
例如，随机优化分析的迭代次数是可以指定的。
随机计算结果的初始值可以作为优化过程的起点数值。
基本概念,在介绍优化设计过程之前，我们先给出一些基本的定义:设计变量，状态1-1ANSYS高级技术分析指南优化设计变量，目标函数，合理和不合理的设计，分析文件，迭代，循环，设计序列等。
我们看以下一个典型的优化设计问题: 在以下的约束条件下找出如下矩形截面梁的最小重量:, 总应力,不超过, [,,,] maxmax, 梁的变形,不超过,[,,,] maxmax, 梁的高度h不超过h[h,h] maxmax图1-1 梁的优化设计示例设计变量,DVs,为自变量，优化结果的取得就是通过改变设计变量的数值来实现的。
优化设计的数学模型及基本要素
第2章 优化设计的数学模型及基本要素Chapter 2 Mathematical Modeling for Optimization2-1 数学模型的建立 (mathematical modeling)建立数学模型，就是把实际问题按照一定的格式转换成数学表达式的过程。
数学模型建立的合适、正确与否，直接影响到优化设计的最终结果。
建立数学模型，通常是根据设计要求，应用相关基础和专业知识，建立若干个相应的数学表达式。
如机械结构的优化设计，主要是根据力学、机械设计基础等专业基础知识及机械设备等专业知识来建立数学模型的。
当然，要建立能够反映客观实际的、比较准确的数学模型并非容易之事。
数学模型建的过于复杂，涉及的因素太多，数学求解时可能会遇到困难；而建的太简单，又不接近实际情况，解出来也无多大意义。
因此，建立数学模型的原则：抓主要矛盾，尽量使问题合理简化。
Principle ：The problem is simplified as much as possible.由于设计对象千变万化，即使对同一个问题，由于看问题的角度不同，数学模型建的可能也不一样。
建立数学模型不可能遵循一个不变的规则，本课也不准备把大量的时间花在数学模型的建立上。
仅想以几个例子来演示一下数学模型的建立过程，使学生从中得到一些启发。
Exp. 2-1例2-1 用宽度为cm 24，长度cm 100的薄铁皮做成cm 100长的梯形槽，确定折边的尺寸x 和折角θ（如图 2-1所示），使槽的容积最大。
解: 由于槽的长度就是板的长度，槽的梯形截面积最大就意味着其容积最大。
因此，该问题就由，求体积最大变成求截面积最大。
槽的梯形截面积为： 图 2-1⨯=21S 高 ⨯（上底边+下底边） 其中，上底边=x 224-；下底边=θcos 2224x x +-；高=θsin x 定义：该优化设计问题的目标函数是槽的梯形截面积S ，设计变量为θ,x 。
问题可以简单地归结为：选择适当的设计变量θ,x ，在一定的限制条件下，使目标函数S 达到最大，限制条件为: 120,20<<<<x πθExp. 2-2例2-2 如图 2-2所示是一根简化了的机床主轴。
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Design variables
x(i )
优化设计概述
• 设计属于综合决策的范畴。设计就是决策，决策就是要找最优。 设计属于综合决策的范畴。设计就是决策，决策就是要找最优。 • 优化设计是使实际设计问题转化为在规定的各种设计限制条件下的最 优化问题，并通过分析，建立优化数学模型，运用最优化原理和方法， 优化问题，并通过分析，建立优化数学模型，运用最优化原理和方法， 在计算机上进行自动寻优计算，选出最优设计方案。 在计算机上进行自动寻优计算，选出最优设计方案。 • 例1：直齿圆柱齿轮副的优化设计。 ：直齿圆柱齿轮副的优化设计。 已知：传动比i，转速n 功率P，小齿轮许用接触应力[σ] 已知：传动比 ，转速 1，功率 ，小齿轮许用接触应力 H1，小 齿轮许用弯曲应力[σ] 大齿轮许用弯曲应力[σ] 齿轮许用弯曲应力 F1，大齿轮许用弯曲应力 F2，并已知两齿轮所 用材料及热处理后的硬度。设计齿轮副，使其体积最小。 用材料及热处理后的硬度。设计齿轮副，使其体积最小。 分析：根据已知条件，可构成如下表达式： 分析：根据已知条件，可构成如下表达式： （1） 圆柱齿轮的体积 ，可近似看成是其分度圆面积与齿宽的 ） 圆柱齿轮的体积V， 乘积： 乘积：
优化设计
王建文
一个例子
多速齿轮传动链设计依据
• 输入速度； 输入速度； • 输出速度； 输出速度； • 空间位置限制； 空间位置限制； • 重量限制； 重量限制； • 功率传递能力； 功率传递能力； • 传递零件的可靠性； 传递零件的可靠性； • 振动安全性； 振动安全性； • 操作条件。 操作条件。
运动设计与强度设计
• 已知输入速度，通过齿轮链的设计获得需要的多个需要的输出速度 已知输入速度， （或者输出速度范围），称为运动学设计。通过运动学设计可以得到 或者输出速度范围），称为运动学设计。 ），称为运动学设计 转轴速度、啮合齿轮的空间布置、齿数、每个齿轮的转速等。 转轴速度、啮合齿轮的空间布置、齿数、每个齿轮的转速等。 • 齿轮链工作能力和传动及零件的可靠性取决于可能的失效形式，需要 齿轮链工作能力和传动及零件的可靠性取决于可能的失效形式， 有相应的设计准则。即所谓的强度设计。 有相应的设计准则。即所谓的强度设计。强度设计的结果是确定各配 对齿轮的关键参数，如齿宽、模数、分度圆直径等。 对齿轮的关键参数，如齿宽、模数、分度圆直径等。 • 运动学设计是强度设计的基础。 运动学设计是强度设计的基础。
（3）设计变量： ）设计变量：
X = [m, z1 , b]
• 例2：设计一台换热器使其价格最低。 ：设计一台换热器使其价格最低。 已知：单位长度的管子价格为α 已知：单位长度的管子价格为 2， 外壳价格为α 外壳价格为 3D2.5L，热交换器所占的 ， 地面价格为α 地面价格为 4，抽冷却液的价格为 α5L/d5N2，维修费用为 6NdL。要求 维修费用为α 。 管子的总长度至少为α 管子的总长度至少为 1，每根管子占 去宽和高均为d的矩形截面空间 的矩形截面空间， 去宽和高均为 的矩形截面空间，热传 导量应大于一个规定量α 导量应大于一个规定量 9，传到冷却 液的热能设为（ 液的热能设为（ α7/N1.2dL1.4)+(α8/d0.2L)，换热器期望寿命 10年。 ，换热器期望寿命α 分析：根据已知条件，可得下列表达式： 分析：根据已知条件，可得下列表达式： （1）总价格： ）总价格：
R
120
150
设计变量： 设计变量：
X = [ x1 , x 2 , x3 ]
目标函数极小化： 目标函数极小化：
x 2 min f ( X ) = ∑ Ri − x1 exp t + x i =1 3 i
2
2
优化设计的数学模型
• 设计变量：在设计过程中进行选择并最终必须确定的各个独立参数。 设计变量：在设计过程中进行选择并最终必须确定的各个独立参数。 在机械设计中常用的独立参数有结构尺寸、材料性质等。 在机械设计中常用的独立参数有结构尺寸、材料性质等。设计变量的 数目称为优化设计的维数。 数目称为优化设计的维数。
n j +1
n j +1 − n φ
即相对轴速变化率为常数！ 即相对轴速变化率为常数！
某种车床的速比Φ系列 某种车床的速比 系列
与速度范围比B之间的关系 速比Φ与速度范围比 之间的关系 与速度范围比
φ
N −1
nmax = =B nmin
B 6~10 50~200 Up to 400
最终得到的速度图谱
计算得到的3 计算得到的3级4轴18输出速度的结果 18输出速度的结果
齿轮系统优化设计的一般问题
• 齿轮系统设计的优化目标：长寿命、低冲击、高精度、低噪声、低振 齿轮系统设计的优化目标：长寿命、低冲击、高精度、低噪声、 低重量（小体积）、低成本等。 ）、低成本等 动、低重量（小体积）、低成本等。 • 约束条件为：强度约束（弯曲强度、耐磨性、振动稳定性）、轮齿几 约束条件为：强度约束（弯曲强度、耐磨性、振动稳定性）、轮齿几 ）、 何参数约束（宽径比、重合度、干涉、根切）、尺寸约束（外径、齿 何参数约束（宽径比、重合度、干涉、根切）、尺寸约束（外径、 ）、尺寸约束 数比、中心距） 数比、中心距）等。
f ( X ) = α 2 NL + α 3 D L + α 4 DL + α 10 (
2.5
α5L
d N
5 2
+ α 6 NdL)
（2）设计必须满足的条件： ）设计必须满足的条件：
g1 ( X ) = α 1 − NL ≤ 0 g2 (X ) = α9 −
α7
N dL
1.2 1.4
−
α8
d
0.2
L
≤0
g 3 ( X ) = Nd 2 −
（3）设计变量： ）设计变量：
πD 2
4
≤0
X = [D, N , d , L ]
• 例3：多参数曲线拟合问题。 ：多参数曲线拟合问题。 已知：热敏电阻R依赖于温度 的函数关系为： 依赖于温度t的函数关系为 已知：热敏电阻 依赖于温度 的函数关系为：
x2 R = x1 exp t + x 3
优化问题一： 优化问题一：总体中心距最小
优化问题一：总体中心距最小 优化模型 优化问题一：总体中心距最小-优化模型
m Φ = ∑ [ x(2i − 1) + x(2i ) ] i =1 2
L
Minimize
S.T.
x(2i − 1) VO ( L,1) Π − =0 i =1 x (2i ) VI (1,1)
切削速度与主轴转速
v=
nmin 60000vmin = π d max
π dn
60000
nmax 60000vmax = π d min
主轴所需提供的速度范围比
nmax B= nmin
切削速度与切削直径的关系图
不同旋转速度对应不同的直径范围
60000vmax 60000vmin n j +1 = = π d j +1 π d j +2
6速4轴传动链的可能布置方案 速 轴传动链的可能布置方案
8. 确定可能的传递公式： 确定可能的传递公式： 6 = 3* 2*1 6 = 3* 1*2 6 = 1* 2*3 9. 10. 消除重复的传递公式： 消除重复的传递公式：无 保存所有的不重复传递公式，作为可能的运动学设计方案。 保存所有的不重复传递公式，作为可能的运动学设计方案。 6 = 2* 3* 1 6 = 2*1 * 3 6 = 1* 2* 3
6速4轴传动链的可能布置方案 速 轴传动链的可能布置方案
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. N = 6；NSR（实际需要轴数）= 4； ； （实际需要轴数） ； 传递公式： ）；6 传递公式：N = Z（1）* Z（2）； = 3* 2； （ ） （ ）； ； 确定传动级数： 确定传动级数：L = 2； ； 确定传动轴数：NS = L + 2 = 3； 确定传动轴数： ； 判断轴数NS是否等于 判断轴数 是否等于NSR；若相等转到 步； 是否等于 ；若相等转到7步 增加传动级数（单对齿轮 （ ） ）， ），i 增加传动级数（单对齿轮Z（i）= 1）， 从NS+1到NSR，L=3； 到 ， ； 重写传递公式N ）；6 重写传递公式 = Z（1）* Z（2）*Z（3）； = 3* 2*1； （ ） （ ） （ ）； ；
运动学设计与强度设计
• 运动学设计一般具有确定性；强度设计具有不确定性。 运动学设计一般具有确定性；强度设计具有不确定性。 • 强度设计的不确定性通过安全系数来消除。但是安全系数的统计特性 强度设计的不确定性通过安全系数来消除。 的研究较少。 的研究较少。 • 啮合齿轮的相对运动、齿廓误差和空间误差、载荷波动、材料机械性 啮合齿轮的相对运动、齿廓误差和空间误差、载荷波动、 能的波动（强度、刚度） 都会引起啮合频率和振幅的变化。 能的波动（强度、刚度）等，都会引起啮合频率和振幅的变化。 • 所以齿轮传动中得不确定性可以通过振动信号来反映。 所以齿轮传动中得不确定性可以通过振动信号来反映。 • 一种复杂的广谱频率是齿轮啮合频率。最低频率等于轴的圆频率，最 一种复杂的广谱频率是齿轮啮合频率。最低频率等于轴的圆频率， 高频率等于齿数与圆频率的乘积。 高频率等于齿数与圆频率的乘积。
什么是一个好的设计？ 什么是一个好的设计？
• 准确的输出速度； 准确的输出速度； • 最小的空间占用； 最小的空间占用； • 最小的重量； 最小的重量； • 较好的功率传递能力； 较好的功率传递能力； • 长寿命； 长寿命； • 良好的振动稳定性。 良好的振动稳定性。
以车床变速系统为例建立速度图谱
i ti Ri 1 50 2 60 3 70 4 80 5 90 8261 6 100 6005 7 110 4427 8 120 3307