文科立体几何证明
高考立体几何证明知识点
高考立体几何证明知识点立体几何是数学中的一个重要分支，旨在研究空间中的图形和物体的性质及其相互关系。
在高考中，立体几何是一个重要的考点，其中涉及到很多证明题。
本文将介绍几个高考常见的立体几何证明知识点，帮助考生更好地理解和掌握这些内容。
一、平行关系证明在立体几何中，平行关系是经常需要证明的一个知识点。
首先，我们需要了解平行的定义：若两条直线在同一个平面内，且不相交，则称这两条直线平行。
为了证明两条直线平行，我们可以利用以下几个常见的方法：1.同位角相等法：如果两条直线被平行线所截，那么可以利用同位角的性质来确定这两条直线平行。
同位角是指两条直线被平行线所截时，对应角或内错角两对角，它们的度数相等。
在证明过程中，我们需要找到直线间的对应角或内错角，将它们的度数相等证明出来，从而得出两条直线平行的结论。
2.共线错角相等法：如果两条直线被平行线所截，可以利用共线错角相等的性质来确定这两条直线平行。
共线错角是指两条直线被平行线所截时，同侧的内错角，它们的度数相等。
在证明过程中，我们需要找到两条直线间的共线错角，将它们的度数相等证明出来，从而得出两条直线平行的结论。
二、相似三角形证明相似三角形是立体几何中另一个重要的证明知识点。
首先，我们需要了解相似三角形的定义：若两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形是相似的。
证明相似三角形的方法主要有以下几个：1.对应边成比例法：若两个三角形的两对对应边成比例，那么可以证明这两个三角形相似。
在证明过程中，我们需要找到两个三角形中对应的边，并运用对应边成比例的性质来证明它们相似。
2.三角形内相等角法：若两个三角形中，其中一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角相等，那么可以证明这两个三角形相似。
在证明过程中，我们需要找到这两个相等的角，并证明它们与其他角的关系，从而得出两个三角形相似的结论。
三、垂直关系证明垂直关系也是立体几何中常见的一个证明知识点。
首先，我们需要了解垂直的定义：两条直线或线段在平面或空间中互相垂直，即两条直线或线段相交且相交的角度为90度。
必修2 立体几何证明
1.正方形ABCD交正方形ABEF于AB，M、N在对角线AC、FB上，且FNAM，求证：//MN 平面BCE
2 .已知ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH、
7 如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，M、N分别是BC和A1B1的中点. 求证：MN∥平面AA1C1.
8 已知P为△ABC所在平面外一点，G1、G2、G3分别是△PAB、△PCB、△PAC的重心. （1）求证：平面G1G2G3∥平面ABC；
9 .如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是BC、CC1、C1D1、A1A 的中点.求证：（1）BF∥HD1；（2）EG∥平面BB1D1D；（3）平面BDF∥平面B1D1H.
10 如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形. （1）求证：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH.
（2）若AB=4，CD=6，求四边形EFGH周长的取值范围.
11 正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一点P、Q，且AP=DQ. 求证：PQ∥平面BCE.。
立体几何常见证明方法
立体几何常见证明方法在几何学中，立体几何是研究物体在三维空间中的形状、大小、位置和相互关系的分支。
在证明一个立体几何问题时，我们通常需要运用一些常见的证明方法来得出结论。
本文将介绍几种常见的立体几何证明方法。
一、平行四边形面积证明法平行四边形面积证明法是一种常见的证明方法。
对于一个平行四边形，我们可以通过证明它的底边乘以高得到的面积与对角线的乘积相等来验证其正确性。
具体来说，我们可以按照以下步骤进行证明：1. 画出平行四边形的底边和高线；2. 证明底边乘以高得到的面积等于对角线的乘积。
可以通过运用三角形的面积公式和勾股定理进行证明。
二、等腰三角形证明法等腰三角形证明法是另一种常见的证明方法。
对于一个等腰三角形，我们可以通过证明其底边上的两个角相等来验证其正确性。
具体来说，我们可以按照以下步骤进行证明：1. 画出等腰三角形；2. 证明底边上的两个角相等。
可以通过等腰三角形的定义进行证明，即等腰三角形的两边相等，所以其对应的两个角也相等。
三、垂直证明法垂直证明法是证明两条线垂直的常见方法。
它通常基于垂直线的特性，如垂直线的斜率之积为-1等。
具体来说，我们可以按照以下步骤进行证明：1. 给定两条线段；2. 证明两条线段所在的直线的斜率之积为-1。
可以通过计算两条线段的斜率，然后对其进行运算得出结论。
四、相似三角形证明法相似三角形证明法常用于证明两个或多个三角形之间的相似关系。
它基于相似三角形的一些性质，如对应角相等、对应边成比例等。
具体来说，我们可以按照以下步骤进行证明：1. 给定两个或多个三角形；2. 证明对应角相等或对应边成比例，以确定两个或多个三角形之间的相似关系。
五、共面证明法共面证明法常用于证明多个点是否处于同一个平面上。
它基于共面点的一些性质，如共线的三个点必然共面等。
具体来说，我们可以按照以下步骤进行证明：1. 给定多个点的坐标或描述；2. 证明这些点共面。
可以通过计算这些点的坐标或应用共线点的条件来证明。
高中立体几何知识点(文科)2012.12.8
立体几何知识点(文科)一．平行关系1. 线线平行：方法一：用线面平行实现。
m l m l l ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊂βαβα方法二：用面面平行实现。
m l m l ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂=⋂βγαγβα 方法三：用线面垂直实现。
若αα⊥⊥m l,，则m l //。
方法四：用向量方法：若向量l 和向量m 共线且l 、m 不重合，则m l //。
2. 线面平行：方法一：用线线平行实现。
ααα////l l m m l ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂ 方法二：用面面平行实现。
αββα////l l ⇒⎭⎬⎫⊂方法三：用平面法向量实现。
若n 为平面α的一个法向量，⊥且α⊄l ,则α//l 。
3. 面面平行：方法一：用线线平行实现。
βααβ//',','//'//⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂⊂且相交且相交m l m l m m l l方法二：用线面平行实现。
βαβαα//,////⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂且相交m l m l 二．垂直关系： 2. 线面垂直：方法一：用线线垂直实现。
αα⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂=⋂⊥⊥l AB AC A AB AC AB l ACl ,方法二：用面面垂直实现。
αββαβα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥=⋂⊥l l m l m ,2. 面面垂直：方法一：用线面垂直实现。
βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥l l方法二：计算所成二面角为直角。
3. 线线垂直：方法一：用线面垂直实现。
m l m l ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα方法二：三垂线定理及其逆定理。
PO l OA l PA l αα⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪⊂⎭三 夹角问题。
(一) 异面直线所成的角：(1) 范围：]90,0(︒︒(2)求法：方法一：定义法。
l步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。
步骤2：解三角形求出角。
(常用到余弦定理)余弦定理：abc b a 2cos 222-+=θ(计算结果可能是其补角)(二) 线面角(1)定义：直线l 上任取一点P （交点除外），作PO ⊥α于O,连结AO ，则AO 为斜线PA 在面α内的射影，PAO ∠(图中θ)为直线l 与面α所成的角。
立体几何定理的推导与证明方法
立体几何定理的推导与证明方法一、概述立体几何是我们生活中常见的一种几何形式，它涉及到空间中的各种图形的性质和关系。
在立体几何中，有许多重要的定理和性质，这些定理和性质对于我们理解和应用立体几何至关重要。
在本文中，我们将探讨立体几何定理的推导和证明方法，希望能够为读者提供一些启发和帮助。
二、立体几何定理的推导方法1. 利用几何图形的性质在推导立体几何定理时，我们可以利用几何图形的性质来进行推导。
对于一个立体图形，我们可以利用它的各个面的性质和相互关系，来推导出一些定理和性质。
在推导过程中，我们可以通过作图和构造辅助线等方法，来帮助我们理解和推导定理。
2. 利用几何变换的性质在推导立体几何定理时，我们还可以利用几何变换的性质来进行推导。
我们可以通过平移、旋转、镜像等几何变换，来帮助我们理解和推导定理。
在推导过程中，我们可以通过构造适当的几何变换，来将一个复杂的问题转化为一个简单的问题，从而更容易理解和证明定理。
3. 利用解析几何的方法在推导立体几何定理时，我们还可以利用解析几何的方法来进行推导。
我们可以通过引入坐标系和方程等工具，来帮助我们理解和推导定理。
在推导过程中，我们可以通过求解方程组、计算向量等方法，来证明某个定理或性质的成立。
三、立体几何定理的证明方法1. 利用数学归纳法在证明立体几何定理时，我们可以利用数学归纳法来进行证明。
数学归纳法是一种常用的数学证明方法，它适用于形式化的推理过程。
通过证明基本情况成立，并假设某个结论对于一个整数成立，来证明该结论对于下一个整数也成立。
在证明立体几何定理时，我们可以通过数学归纳法来推导出某个定理的成立。
2. 利用反证法在证明立体几何定理时，我们可以利用反证法来进行证明。
反证法是一种常用的数学证明方法，它适用于证明某个命题的否定是否成立。
通过假设某个结论不成立，来推导出矛盾的结论，从而证明该结论的成立。
在证明立体几何定理时，我们可以通过反证法来证明某个定理的成立。
立体几何证明方法总结
、线线平行的证明方法1 、利用平行四边形。
2 、利用三角形或梯形的中位线。
3 、如果一条直线与一个平面平行,经过这条直线的平面与这个平面相交, 那么这条直线就与交线平行。
（线面平行的性质定理）4 、如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。
（面面平行的性质定理）5 、如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行。
（线面垂直的性质定理）6 、平行于同一条直线的两条直线平行。
7 、夹在两个平行平面之间的平行线段相等。
（需证明）二、线面平行的证明方法:1 、定义法:直线与平面没有公共点。
2 、如果平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行,那么这条直线与这个平面平行。
（线面平行的判定定理）3 、两个平面平行,其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面。
三、面面平行的证明方法:1 、定义法:两平面没有公共点。
2 、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行。
（面面平行的判定定理）3 、平行于同一平面的两个平面平行。
4 、经过平面外一点,有且只有一个平面与已知平面平行。
5 、垂直于同一直线的两个平面平行。
四、线线垂直的证明方法:1 、勾股定理。
2 、等腰三角形。
3 、菱形对角线。
圆所对的圆周角就是直角 点在线上的射影 。
如果一条直线与一个平面垂直 ,那么这条直线就与这个平面内任意的直线都垂直。
在平面内的一条直线 ,如果与这个平面一条斜线的射影垂直 ,那么它也与这条斜线垂直 。
（三垂线定理 ,需证明 ） 在平面内的一条直线 ,如果与这个平面一条斜线垂直 ,那么它也与这条斜线的射影垂直 。
（三垂线逆定理 ,需证 如果两条平行线中的一条垂直于一条直线 ,则另一条也垂直于这条直线 。
线面垂直的证明方法 :定义法 : 直线与平面内任意直线都垂直 。
点在面内的射影 。
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直 ,那么 这条直线垂直于这个平面 。
（线面垂直的判定定理 ） 如果两个平面互相垂直 ,那么在一个平面内垂直于它们 交线的直线垂直于另一个平面 。
立体几何证明主要步骤
立体几何证明主要步骤1.明确问题：首先需要明确待证明的问题是什么，明确目标是证明一些定理还是推导一些结论。
2.给出已知条件：给出已知的条件和信息，这是证明过程中的基础。
有时候需要通过已知条件使用一些已知定理或公式，进而推导出要证明的结论。
3.建立几何图形：根据已知条件，建立几何图形，使其符合题目要求。
对于一些特殊的问题，需要利用特殊的几何图形，例如平行四边形、正方体、正六面体等，从而更方便地推导证明。
4.根据图形特点和定理等运用逻辑：运用几何图形的特点、已知定理或定义，利用推理和逻辑，按照严密的证明思路，逐步推导出结论。
5.运用代数和几何方法：有时证明过程中需要运用代数方法，例如方程、向量等。
可以适当地将几何问题转化为代数问题，从而更容易推导证明。
6.合理使用辅助线和构造方法：为了更好地推导证明，有时需要引入辅助线或添加一些构造，使问题更好处理。
辅助线的引入可以分离角度、切分图形，构造方法可以帮助建立一些平行线、相似三角形等。
7.利用图形的对称性和比例关系：图形的对称性和比例关系可以提供一些有用的信息，可以将不易证明的问题化简为易证明的问题。
8.反证法和归谬法：有时证明过程中可以采用反证法，假设结论不成立，通过推理和推导，推出矛盾，从而证明结论的成立。
归谬法是证明过程中用到的一种常见的推理方式。
9.写出完整的证明过程：在证明的最后，需要将整个推导过程进行总结和归纳，确保对证明过程的论证逻辑完整和严密。
10.列出原则和定理：最后，可以总结出在证明过程中使用的原则和定理，这些原则和定理是对几何问题研究的基础和规律。
以上是立体几何证明的主要步骤，通过严密的逻辑推导和推理，可以得出准确的结论。
在实际应用中，常需要通过几何证明来解决复杂的空间关系问题。
高中数学的归纳立体几何基本定理与证明总结
高中数学的归纳立体几何基本定理与证明总结在高中数学中，立体几何是一个重要的内容领域。
归纳立体几何基本定理与证明是数学学习中的重要环节，本文将对高中数学中常见的归纳立体几何基本定理进行总结和证明，旨在帮助读者更好地理解和掌握这些定理。
一、半正多面体的顶点、棱和面数关系在立体几何中，一个多面体称为半正多面体，是指其每个顶点周围的所有面所成的角相等。
根据欧拉公式，半正多面体的顶点数V、棱数E和面数F满足以下关系：V - E + F = 2证明：考虑一个半正多面体中的一个顶点，该顶点周围有k个面，每个面的边数均为n。
那么根据半正多面体的定义，每个面所成的角相等，所以一个面的内角为360°/n，因此每个顶点所成的内角和为360°。
由于半正多面体的内角和为360°，所以我们可以得到以下等式：k × 360°/n = 360°进一步地，考虑每个面，每个面的所有顶点组成了一个简单多边形，所以每个面的顶点数为n。
而每个顶点都会被k个面共享，所以总的顶点数V可以表示为V = (n × k) / k = n。
同理，我们可以得到每个面的边数为E = n。
那么根据欧拉公式得到：V - E + F = 2n - n + F = 2F = 2所以半正多面体的顶点、棱和面数关系满足V - E + F = 2。
二、平行四边形面积公式在立体几何中，平行四边形是一个重要的概念。
对于平行四边形ABCD，其面积可以由向量的叉乘来表示。
证明：设平行四边形ABCD的对角线交点为O，且向量OA为a，向量OB为b。
由平行四边形的性质可知，向量AD与向量BO平行且长度相等，所以向量AD可以表示为向量BO的某个倍数。
设向量AD 为向量BO的倍数，即AD = k × BO。
由向量的性质可知，向量的叉乘可以表示平行四边形的面积，所以平行四边形ABCD的面积为：S = |向量AD ×向量BO| = |k ×向量BO ×向量BO|由于向量的叉乘具有交换律和结合律，所以：S = |k × (向量BO ×向量BO)| = |k × (0向量)| = 0所以平行四边形ABCD的面积为0。
(完整版)高考文科立体几何证明专题
图 4立体几何专题1．如图4，在边长为1的等边三角形ABC 中，,D E 分别是,AB AC 边上的点，AD AE =，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G ，将ABF∆沿AF 折起，得到如图5所示的三棱锥A BCF -，其中BC =． (1) 证明：DE //平面BCF ； (2) 证明：CF ⊥平面ABF ；(3) 当23AD =时，求三棱锥F DEG -的体积F DEG V -．【解析】（1）在等边三角形ABC 中，AD AE =AD AEDB EC∴=,在折叠后的三棱锥A BCF -中 也成立，//DE BC ∴ ,DE ⊄Q 平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，//DE ∴平面BCF ；（2）在等边三角形ABC 中，F 是BC 的中点，所以AF BC ⊥①，12BFCF ==. Q 在三棱锥A BCF -中，2BC =，222BC BF CF CF BF ∴=+∴⊥② BF CF F CF ABF ⋂=∴⊥Q 平面；（3）由（1）可知//GE CF ，结合（2）可得GEDFG ⊥平面.111111132323323324F DEG E DFGV V DG FG GF --⎛⎫∴==⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭【解析】这个题是入门级的题，除了立体几何的内容，还考查了平行线分线段成比例这个平面几何的内容.2．如图5所示，在四棱锥P-ABCD 中,AB ⊥平面PAD,AB CD,PD=AD,E 是PB 的中点，F 是DC 上的点且DF=21AB,PH 为∆PAD 中AD 边上的高． （1） 证明：PH ⊥平面ABCD ；（2） 若PH=1，AD=2,FC=1，求三棱锥E-BCF 的体积； （3） 证明：EF ⊥平面PAB ． 解：(1)ABCDPH PAD PAD AB PAD 平面所以平面，面又中的高为⊥=⋂⊥∴⊂⊥⊥∴∆AAD AB AB PH PH AD PH PH Θ(2):过B 点做BG G CD BG ，垂足为⊥；连接HB,取HB 中点M ，连接EM ，则EM 是BPH ∆的中位线ABCD )1(平面知：由⊥PH ΘABCD 平面⊥∴EM BCF 平面ＥＭ⊥∴即EM 为三棱锥B CF -E 底面上的高BG FC •=∆21S BCF =222121=⨯⨯2121=PH ＥＭ＝12221223131=⨯⨯=••=-EMS V BCF BCF E（3）：取AB 中点N ，PA 中点Q ，连接EN ，FN ，EQ ，DQ NFN EN FN AB NADF AB 21DF //EN PAB EN PAD PAD AB PAD ,//=⋂⊥∴∴=⊥∴∴∆⊥∴⊂⊥∴⊥是距形四边形又的中位线是又平面，平面平面ΘΘΘENAB PA PAAB PA CD CD AB3、如图，已知三棱锥A —BPC 中，AP ⊥PC ， AC ⊥BC ， M 为AB 中点，D 为PB 中点，且△PMB 为正三角形。
(完整word)高中数学立体几何证明公式
线线平行→线面平行如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
线面平行→线线平行如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。
线面平行→面面平行如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
面面平行→线线平行如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
线线垂直→线面垂直如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
线面垂直→线线平行如果连条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
线面垂直→面面垂直如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
线面垂直→线线垂直线面垂直定义：如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a垂直于平面α。
面面垂直→线面垂直如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
三垂线定理如果平面内的一条直线垂直于平面的血现在平面内的射影，则这条直线垂直于斜线。
立体几何常见证明方法
立体几何常见证明方法第一篇：立体几何常见证明方法立体几何方法归纳小结一、线线平行的证明方法1、根据公理4，证明两直线都与第三条直线平行。
2、根据线面平行的性质定理，若直线a平行于平面A，过a的平面B与平面A相交于b，则 a//b。
3、根据线面垂直的性质定理，若直线a与直线b都与平面A垂直，则a//b。
4、根据面面平行的性质定理，若平面A//平面B，平面C与平面A和平面B的交线分别为直线 a与直线 b，则a//b。
υυυρυυυρ5、由向量共线定理，若AB=xCD，且AB、CD不共线，则向量AB所在的直线a与向量cd所在的直线b平行，即a//b。
二、线面平行的证明方法1、根据线面平行的定义，证直线与平面没有公共点。
2、根据线面平行的判定定理，若平面 A内存在一条直线b与平面外的直线a平行，则a//A。
(用相似三角形或平行四边形)3、根据平面与平面平行的性质定理，若两平面平行，则一个平面内的任一直线与另一个平面平行。
4、向量法，向量c与平面A法向量垂直，且向量c所在直线c不在平面内，则c//A。
三、面面平行的证明方法1、根据定义，若两平面没有公共点，则两平面平行。
2、根据两平面平行的判定定理，一个平面内有两相交直线与另一平面平行，则两平面平行。
或根据两平面平行的判定定理的推论，一平面内有两相交直线与另一平面内两相交直线平行，则两平面平行。
3、垂直同一直线的两平面平行。
4、平行同一平面的两平面平行。
5、向量法，证明两平面的法向量共线。
四、两直线垂直的证明方法1、根据定义,证明两直线所成的角为90°2、一直线垂直于两平行直线中的一条,也垂直于另一条.3、一直线垂直于一个平面,则它垂直于平面内的所有直线.4、根据三垂线定理及逆定理,若平面内的直线垂直于平面的一条斜线(或斜线在平面内的射影),则它垂直于斜线在平面内的射影(或平面的斜线).5、向量法.五、线面垂直的证明方法1、根据定义,证明一直线与平面内的任一(所有)直线垂直,则直线垂直于平面.2、根据判定定理,一直线垂直于平面内的两相交直线,则直线垂直于平面.3、一直线垂直于两平行平面中的一个,也垂直于另一个.4、两平行直线中的一条垂直于一个平面,另一条也垂直于这个平面.5、根据两平面垂直的性质定理,两平面垂直,则一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.6、向量法,证明平面的法向量与表示该直线的向量共线.六、面面垂直的证明方法1、根据面面垂直的定义，两平面相交所成的二面角为直二面角，则两平面垂直。
文科生在立体几何证明题书写上常见错误及应对策略
文科生在立体几何证明题书写上常见错误及应对策略立体几何证明题是文科生展示数学能力的重要考察方式，通过分析、归纳、应用等，让数学思想展现出完整的证明结果。
然而，经常会因把握不够细节而思路混乱，从而出现一些容易犯错的问题，下面就来说一说立体几何证明题书写上常见错误及应对策略。
一、缺乏合理的证明思路未经谨慎思考，直观时会出现把握不准的泛泛性的证明表述，导致根本无法证明题目中的要求。
对于这类问题，应该先从题目出发，把问题分解，及时把问题釐清，如若还有不清晰的地方，则遣词造句，拿出未知量及性质，紧紧围绕题意，这样可以尽量减少出现不必要的书写。
二、无法完整的连接成果有的证明步骤结论与下一步的前提仍有差别，或者并没有指出上步结论依据什么进行的变形，从而无法真正证明题目。
对于这类错误，关键是要仔细比较，提出结论的根据要足够细致，关注前提与结论的一致性，保证每一步步骤之间的连贯性。
三、忽略客观条件有的证明过程中，可能会忽略客观条件，比如对平行线、垂直线进行处理时，想当然的认定它们互相平行或者垂直，从而支配证明走向，但实际上却并不满足客观条件，最终无法获得正确的结论。
因此，应当特别注意题干中客观条件的描述，尽量找出与题目描述一致性的条件，真实反映客观现实。
四、忽视定理的依据有的用定理证明的过程了解了定理的结论，使用定理的重要性，但忽略了定理的基本依据，从而无法获得最终的正确证明结论。
尤其是在使用新定理证明的过程中，要注意它的基本要求和依据，把握到位，这样才能最终证明出整个题目。
五、对某一概念错误理解有的时候，可能会出现一些问题参数究竟是假设，还是要求，或者有关概念的错误理解，把某一概念错误的理解为相反的内容，从而影响证明方向，甚至无法完成整个证明过程。
因此，在平时训练中，应当掌握相关知识，熟练掌握各种证明所对应的定理，在掌握知识的基础上，能够把握住有关概念及定理的位置和作用，这样有助于证明结果的准确性。
六、不注意图形解释有些证明过程既严谨，又准确，但文字表述时，可能会漏掉图形解释，使得书写了正确的步骤，但省略了此步骤的正确图形解释，从而无法将结论准确的通过图形说明出来。
高中数学中的立体几何证明案例详细步骤与演绎
高中数学中的立体几何证明案例详细步骤与演绎立体几何是数学中的一个重要分支，它研究的是三维空间中的图形和变换关系。
在高中数学中，立体几何的证明是一个重要的部分，它既考察了学生对几何图形性质的理解，同时也培养了学生的逻辑推理和分析问题的能力。
本文将以几个典型的立体几何证明案例为例，详细介绍其步骤与演绎。
一、案例1：平行四边形的性质证明平行四边形是一种特殊的四边形，它的对边是平行的。
我们来证明平行四边形的一个性质：对角线互相平分。
证明过程如下：1. 过平行四边形ABCD的顶点A和C分别作BD和AC的垂线，设分别交于点E和F；2. 由平行线性质，得到AE // CF和DE // AF；3. 观察△ADE和△CFE，可以发现它们是全等三角形；4. 因此，AE = CF，DE = AF，即对角线互相平分。
二、案例2：立体图形的相似性质证明相似是几何中一个重要的概念，它描述了两个图形在形状上的相似程度。
我们来证明两个立体图形相似的性质：对应边成比例。
证明过程如下：1. 设立体图形A和B，它们的形状相似，记作A ~ B；2. 假设A的一个边长为a，B对应的边长为b；3. 观察A和B的对应边，可以发现它们的长度比为a : b；4. 因此，对应边成比例,即A ~ B。
三、案例3：球的体积公式证明球是一种典型的立体图形，它表现了三维空间中的旋转对称性。
我们来证明球的体积公式：V = (4/3)πr³。
证明过程如下：1. 设球的半径为r；2. 将球划分为无数个小圆柱，每个小圆柱的截面都是圆；3. 假设一个小圆柱的高为h，半径为r；4. 计算小圆柱的体积，即V₁ = πr²h；5. 通过对所有小圆柱体积求和，得到球的体积，即V = ∑V₁；6. 由于球的位置对称性，每个小圆柱的高都是2r，即h = 2r；7. 求和化简得到V = ∑(πr²h) = ∑(πr²·2r) = 2πr³；8. 由于无数个小圆柱填满整个球，因此球的体积为V = 2πr³；9. 化简得到V = (4/3)πr³，即球的体积公式成立。
高中立体几何证明方法总结
垂直于这条直线。
2021/10/10
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五、线面垂直的证明方法：
1、定义法：直线与平面内任意直线都垂直。2、点在面内的射影。 3、如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么
这条直线垂直于这个平面。（线面垂直的判定定理） 4、如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们
交线的直线垂直于另一个平面。（面面垂直的性质定理） 5、两条平行直线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于
4、圆所对的圆周角是直角。
5、点在线上的射影。
6、如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线就和这个
平面内任意的直线都垂直。 7、在平面内的一条直线，如果和这个平面一条斜线的射影
垂直，那么它也和这条斜线垂直。（三垂线定理，需证明） 8、在平面内的一条直线，如果和这个平面一条斜线垂直，那
么它也和这条斜线的射影垂直。（三垂线逆定理，需证明） 9、如果两条平行线中的一条垂直于一条直线，则另一条也
2、如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个 平面互相垂直。（面面垂直的判定定理）
3、如果一个平面与另一个平面的垂线平行，那么这两个平 面互相垂直。
4、如果一个平面与另一个平面的垂面平行，那么这两个平 面互相垂直。
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立体几何复习
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一、线线平行的证明方法：
1、利用平行四边形。 2、利用三角形或梯形的中位线。 3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和
这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。 （线面平行的性质定理） 4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们 的交线平行。（面面平行的性质定理） 5、如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线 平行。（线面垂直的性质定理） 6、平行于同一条直线的两条直线平行。 20721、/10/夹10 在两个平行平面之间的平行线段相等。 （需证明） 2
【精品】立体几何常见证明方法
文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. 【关键字】精品立体几何方法归纳小结一、线线平行的证明方法1、根据公理4，证明两直线都与第三条直线平行。
2、根据线面平行的性质定理，若直线a平行于平面A ，过a的平面B与平面A相交于b ，则a//b。
3、根据线面笔直的性质定理，若直线a与直线b都与平面A笔直，则a//b 。
4、根据面面平行的性质定理，若平面A//平面B，平面C与平面A和平面B的交线分别为直线a与直线b，则a//b 。
5、由向量共线定理，若向量AB=x倍向量CD，且AB、CD不共线，则向量AB所在的直线a与向量cd所在的直线b平行，即a//b。
二、线面平行的证明方法1、根据线面平行的定义，证直线与平面没有公共点。
2、根据线面平行的判定定理，若平面A内存在一条直线b与平面外的直线a平行，则a/ /A 。
3、根据平面与平面平行的性质定理，若两平面平行，则一个平面内的任一直线与另一个平面平行。
4、向量法，向量c与平面A法向量笔直，且向量c所在直线c不在平面内，则c//A。
三、面面平行的证明方法1、根据定义，若两平面没有公共点，则两平面平行。
2、根据两平面平行的判定定理，一个平面内有两相交直线与另一平面平行，则两平面平行。
或根据两平面平行的判定定理的推论，一平面内有两相交直线与另一平面内两相交直线平行，则两平面平行。
3、笔直同一直线的两平面平行。
4、平行同一平面的两平面平行。
5、向量法，证明两平面的法向量共线。
四、两直线笔直的证明方法1、根据定义,证明两直线所成的角为90°2、一直线笔直于两平行直线中的一条,也笔直于另一条.3、一直线笔直于一个平面,则它笔直于平面内的所有直线.4、根据三垂线定理及逆定理,若平面内的直线笔直于平面的一条斜线(或斜线在平面内的射影),则它笔直于斜线在平面内的射影(或平面的斜线).5、向量法.五、线面笔直的证明方法1、根据定义,证明一直线与平面内的任一(所有)直线笔直,则直线笔直于平面.2、根据判定定理,一直线笔直于平面内的两相交直线,则直线笔直于平面.3、一直线笔直于两平行平面中的一个,也笔直于另一个.4、两平行直线中的一条笔直于一个平面,另一条也笔直于这个平面.5、根据两平面笔直的性质定理,两平面笔直,则一个平面内笔直于它们交线的直线笔直于另一个平面.6、向量法,证明平面的法向量与表示该直线的向量共线.六、面面笔直的证明方法1、根据面面笔直的定义，两平面相交所成的二面角为直二面角，则两平面笔直。
高考数学立体几何专题：证明
模块一：证明平行知识点一：直线与平面平行的判定定理（1）内容：若平面外的一条直线与平面上的一条直线平行，则平面外的这条直线与该平面平行。
（2）方法：第一步：在平面上找一条直线；第二步：证明两条直线平行。
（3）描述：如下图所示：直线//a 直线b ，直线⊂b 平面α ⇒直线//a 平面α。
第一类方法：棱柱。
知识点二：棱柱的特征。
（1）棱柱的两个底面中对应的边平行且相等。
举例：在三棱柱111C B A ABC -中：11//B A AB 且11B A AB =；11//C A AC 且11C A AC =；11//C B BC 且11C B BC =。
（2）棱柱的所有侧棱平行且相等。
举例：在三棱柱111C B A ABC -中：111////CC BB AA 且111CC BB AA ==。
（3）直棱柱：所有侧棱垂直于两个底面；斜棱柱：所有侧棱不垂直于两个底面。
举例：在直三棱柱111C B A ABC -中：⊥1AA 底面ABC ，⊥1AA 底面111C B A ； ⊥1BB 底面ABC ，⊥1BB 底面111C B A ； ⊥1CC 底面ABC ，⊥1CC 底面111C B A 。
（4）直棱柱：所有侧面都为矩形；斜棱柱：所有侧面都是平行四边形。
举例：在直三棱柱111C B A ABC -中：侧面11ABB A 为矩形；侧面11ACC A 为矩形； 侧面11BCC B 为矩形。
举例：在斜三棱柱111C B A ABC -中：侧面11ABB A 为平行四边形；侧面11ACC A 为平行四边形； 侧面11BCC B 为平行四边形。
题型一：棱柱的两个底面对应边平行。
例题：已知：在四棱柱1111D C B A ABCD -中，E 为1AA 的中点。
证明：直线//BD 平面E D B 11。
证明：根据棱柱两个底面对应边平行得到：11//D B BD 。
根据直线与平面平行的判定定理得到：11//D B BD ，⊂11D B 平面E D B 11⇒直线//BD 平面E D B 11。
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A B CDP EF立体几何证明题常见题型1、如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，侧棱⊥PD 底面ABCD ，1==DC PD ，E 是PC 的中点，作PB EF ⊥交PB 于点F ．(I) 证明： PA ∥平面EDB ；(II) 证明：PB ⊥平面EFD ；(III) 求三棱锥DEF P -的体积．2、如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为等腰梯形，AB ∥CD ,AC BD ⊥,垂足为H ，PH 是四棱锥的高。
（Ⅰ）证明：平面PAC ⊥ 平面PBD ;（Ⅱ）若6AB =,APB ADB ∠=∠=60°,求四棱锥P ABCD -的体积。
3、如图，矩形A B C D 中，A B E AD 平面⊥，2===BC EB AE ，F 为CE 上的点，且A C EBF 平面⊥. （Ⅰ）求证：BCE AE 平面⊥； （Ⅱ）求证；BFD AE 平面//；（Ⅲ）求三棱锥BGF C -的体积.4、如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直。
EF//AC ，AB=2,CE=EF=1 （Ⅰ）求证：AF//平面BDE ； （Ⅱ）求证：CF ⊥平面BDF;ABCDHPABCDEFABCD EF G5、在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，BCD A MA 平面⊥,PD ∥MA ,E G F 、、分别为MB 、PC PB 、的中点，且2MA PD AD ==.(Ⅰ) 求证：平面PDC EFG 平面⊥;(Ⅱ)求三棱锥的体积之比与四棱锥ABCD P MAB P --.6、如图所示，矩形ABCD 中，AD ⊥平面ABE ，AE=EB=BC=2，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE （1）求证：AE ⊥平面BCE ；（2）求证：AE ∥平面BFD ； （3）求三棱锥C-BGF 的体积。
7、在三棱锥S —ABC 中，∠SAB =∠SAC =∠ACB =90°，且AC =BC =5，SB =55。
（如图 所示） （Ⅰ）证明：SC ⊥BC ； （Ⅱ）求三棱锥的体积V S －AB C 。
8、如图在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，E 为BC 边中点 （1）求三棱锥D 1-DBC 的体积（2）证明BD 1//平面C 1DEGＢＡ Ｄ Ｃ ＦＥA 1B 1C 1D 19、如图1所示，已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 、L 、M 、N 分别为A 1D 1，A 1B 1，BC ，CD ，DA ，DE ，CL 的中点，求证：EF ⊥GF 。
10、如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝BC ，D 、E 分别为BB 1、AC 1的中点， 证明：ED 为异面直线BB 1与AC 1的公垂线。
11，如图，ABCD —A 1B 1C 1D 1是正四棱柱，求证：BD ⊥平面ACC 1A 1。
12，如图，在五面体ABCDEF 中，点O 是矩形ABCD 的对角线的 交点，面CDE 是等边三角形，棱12EF BC ∥。
（I ）证明FO ∥平面;CDE ；（II ）设3,BC CD =证明EO ⊥平面。
13、如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，AA 1 ＝2，D 是A 1B 1 中点．（1）求证C 1D ⊥平面A 1B ；（2）当点F 在BB 1 上什么位置时，会使得AB 1 ⊥平面C 1DF ？并证明你的结论。
ABC DEA 1B 1C 1 OFABC D A 1B 1C 1D 1DCABEOFM1B1DA 1C14，在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中，E 是AC 中点，求证：111A ACC BEC 平面平面⊥ 15，如图，△ABC 为正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，CE ＝CA ＝2 BD ， M 是EA 的中点，求证：（1）DE ＝DA ；（2）平面BDM ⊥平面ECA ； （3）平面DEA ⊥平面ECA 。
16、如图所示，正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面边长为22，侧棱长为4.E ，F 分别为棱AB ，BC 的中点，EF ∩BD =G 。
（Ⅰ）求证：平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1； 17、（1）如图，⊥SA 正方形ABCD 所在平面，过A 作与SC 垂直的平面分别交SB 、SC 、SD 于E 、K 、H ，求证：E 、H 分别是点A 在直线SB 和SD 上的射影．18、如图1所示，已知A 1B 1C 1—ABC 是正三棱柱，D 是AC 的中点。
（1）证明AB 1∥DBC 1；（2）假设AB 1⊥BC 1，BC=2。
求线段AB 1在侧面B 1BCC 1上的射影长。
19、已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，O 是底ABCD 对角线的交点． 求证：（1）C 1O//平面AB 1D 1； （2）A 1C ⊥平面AB 1D 1．20、如图，在长方体1111D C B A ABCD -中,1,11>==AB AA AD ，点E 在棱AB 上移动。
D 1ODBA C 1B 1A 1CD C 1B 1A1CBA B C A D EFM求证：E D 1⊥D A 1；21、如图平面ABCD ⊥平面ABEF ， ABCD 是正方形，ABEF 是矩形， 且,221==AD AF G 是EF 的中点， （1）求证平面AGC ⊥平面BGC ； （2）求空间四边形AGBC 的体积。
22、如图，在直三棱柱(侧棱与底面垂直的三棱柱)111ABC A B C -中，8AB =，6AC =，10BC =，D 是BC 边求证：1AB A C ⊥； （Ⅱ）求证：1A C ∥ 面1AB D ；的中点.（Ⅰ）23，如图，四边形ABCD 为矩形，AD ⊥平面ABE ，AE ＝EB ＝BC ＝2，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE ． （1）求证：AE ⊥BE ；（2）设M 在线段AB 上，且满足AM ＝2MB ，试在线段CE 上确定一点N ，使得MN ∥平面DAE.24、在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，3AB BC CA ===，M 为AB 的中点，四点P 、A 、M 、C 都在球O 的球面上。
（1）证明：平面PAB ⊥平面PCM ；_ M_ P_ C_ B_ AED CBA P S ABCDE25、如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，三角形ACD 为等边三角形，2AD DE AB ==，F 为CD 的中点（1）求证：//AF 平面BCE ；（2）求证：平面BCE ⊥平面CDE ；26、如图所示，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB=BB 1，AC 1⊥平面A 1BD ，D 为AC 的中点。
（I ）求证：B 1C//平面A 1BD ； （II ）求证：B 1C 1⊥平面ABB 1A（III ）设E 是CC 1上一点，试确定E 的位置，使平面A 1BD ⊥平面BDE ，并说明理由。
27、如图，四棱锥ABCD P -中，⊥PA 底面ABCD ，AD AB ⊥，CD AC ⊥，︒=∠60ABC ，BC AB PA ==， E 是PC 的中点．（1）求证：AE CD ⊥； （2）求证：⊥PD 面ABE ．28、如图，四棱锥P —ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，P A =AB ，底面ABCD 为直角梯形，∠ABC =∠BAD =90°， P A =BC =.21AD （I ）求证：平面P AC ⊥平面PCD ；（II ）在棱PD 上是否存在一点E ，使CE ∥平面P AB ？若存在，请确定E 点的位置；若不存在，请说明理由.29、如图，在四棱锥S ABCD -中，2SA AB ==，22SB SD ==，底面ABCD 是菱形，且60ABC ∠=︒，E 为CD 的中点．（1）证明：CD ⊥平面SAE ；（2）侧棱SB 上是否存在点F ，使得//CF 平面SAE ？并证明你的结论．30、P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，E 为PB 的中点，O 为AC ，BD 的交点. （1）求证：PCD EO 平面// ； （2）图中EO 还与哪个平面平行？31、在正三棱柱111C B A ABC - 中，E 是AC 中点，（1）求证：11//BEC AB 平面 ；（2）求证：111A ACC BEC 平面平面⊥ ；31、如图，已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别是AB 、PC 的 中点 （1）求证：//MN 平面PAD ；（2）（2）若4MN BC ==，43PA =， 求异面直线PA 与MN 所成的角的大小32、如图,正方形ABCD 与ABEF 不在同一平面内,M 、N 分别在AC 、BF 上，且AM FN = 求证：//MN 平面CBE33、如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，,E P 分别是11,BC A D 的中点，,M N 分别是1,AE CD 的中点，1,2AD AA a AB a ===，求证：//MN 面11ADD A 。
34、如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1 的棱长为a 。
证明：平面ACD 1 ∥平面A 1C 1B 。
35、P 是△ABC 所在平面外一点，A ′、B ′、C ′分别 是△PBC 、△PCA 、△PAB 的重心。
（1）求证：平面A ′B ′C ′∥平面ABC ；36、如图, 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AA 1＝4，点D 是AB 的中点， （I ）求证：AC ⊥BC 1；（II ）求证：AC 1//平面CDB 1；,37、如图，在底面为平行四边表的四棱锥P ABCD -中，AB AC ⊥，PA ⊥平面ABCD ，且PA AB =， 点E 是PD 的中点.（Ⅰ）求证：AC PB ⊥；（Ⅱ）求证：//PB 平面AEC ；HT AB C DFEMN。