泰勒公式简介

泰勒公式简介

泰勒公式是一元函数微分学的重要内容。在数一数二中对它的要求是理解，属于重点考查的内容，数三中的要求是了解。但从近几年的试题来看，对泰勒公式的要求数三与数一数二的在逐渐模糊。这就对数三的考生也提出了更高的要求，要以更高的标准来要求自己。

在考研数学中，泰勒公式主要在计算极限、高阶导数及一些证明题中有重要应用，在下册中无穷级数里也会用到泰勒公式的一些内容。本文先介绍泰勒公式的主要内容及对考生的基本要求，最后再通过一些简单的例题来演示泰勒公式在具体的解题过程中的应用。

一．定理内容

泰勒中值定理：设函数()f x 在含0x 的区间(,)a b 具有1n +阶导数，在[],a b 内有n 阶连续导数，则[],x a b ∀∈有

()()()''()2'

0000000()()()()()...()2!!

n n

n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n =+-+-++-+

其中()()(1)1

0()()1!

n n n f R x x x n ξ++=-+，ξ为x 与0x 间的某一实数，称为拉格朗日余项，式中的

ξ也可以写作()00,01x x x ξθθ=+-<<。

把条件减弱为()f x 在0x 处有直到n 阶导数，余项()n R x 也可以写作(){

}

0()n

n R x o x x =-，

称之为皮亚诺余项。

麦克劳林公式：00x =的泰勒公式又称为麦克劳林公式。

也即''()'

2(0)(0)()(0)(0)...()2!!

n n

n f f f x f f x x x R x n =+++++ ()(1)1

()()1!

n n n f x R x x n θ++=+或()()n n R x o x =。

点评：高数研究的一大课题就是如何用简单的函数来代替复杂的函数。能够被我们的思维所掌握的最简单的函数就是多项式，泰勒公式实际上就是利用多项式来近似代替复杂函数的理论结果。它告诉了利用多项式

()()()''()

2'

0000000()()()()()...2!!

n n

n f x f x p x f x f x x x x x x x n =+-+-++-近似代替函数

()f x 的条件，并给出了近似的误差（余项()n R x ）的估计。也就是说，泰勒中值定理实际

上告诉了我们当函数具有所要求的阶数的导数时，函数()f x 可以用多项式()n p x 近似代替，代替的误差是()n R x ，在不同的条件下()n R x 具有不同的表达形式，分别称之为拉格朗日余

项（()()(1)1

0()1!

n n f x x n ξ++-+）和皮亚诺余项（(){}

0n o x x -）

。从余项的估计可以看出，只有当x 与0x 比较接近时，余项才会比较小。因此，泰勒公式要在局部范围内才有意义，一般来说只在x 与0x 比较接近时或取极限时使用。

麦克劳林公式是泰勒公式的特殊形式，之所以把它单独列出来是因为它是泰勒公式中用得最多的情况。

二．常见函数的泰勒展开

要应用泰勒公式，首先需要记住泰勒定理的内容以及如下五种常见函数的麦克劳林公式：

2112!!(1)!

n x

n x x e e x x n n ξ

+=++++++ ；

(1)352123

11(1)(1)cos sin 3!5!(21)!(23)!n n n n x x x x x x n n ξ+++--=-+-++++ ；

123111(1)(1)ln(1)23(1)(1)

n n

n n n

x x x x x x n n ξ-+--+=-+-++++ ； 121

(1)(1)(1)(1)()(1)(1)12!!(1)!

a n a

n n a a a a a n a a a n x ax x x x n n ξ--+---+--++=++++++

()

242122

(1)(1)cos cos 1...24!2!22!n n n n x x x x x n n ξ++--=-+-+++。

并能利用它们计算其它简单函数的泰勒展开。

例1：将下列函数在0x =处展开到所需阶数 1）tan y x =展开到第三阶 2）sin x y e =展开到第五阶 3）ln cos y x =展开到第四阶 【解】：

1）逐一计算各阶导数

20

202220

tan 00

(tan )'sec (tan )'

1

(tan )''2sec tan (tan )''

(tan )'''6sec tan 2sec (tan )'''

2

x x x x x x x x x x x x x x x =====⇒==⇒==+⇒=

代入公式得3

31tan ()3

x x x o x =+

+

2）先由sin x 的展开式得35

511sin ()3!5!

x x x x o x =-++ 于是35511

()sin 3!5!

x x x o x x

y e

e

-++==，再由x

e 的展开式得

35511

()35535523!5!

11111

1(())(())3!5!2!3!5!

x x x o x y e x x x o x x x x o x -++==+-

+++-+++ 35555111

(())()5!3!5!

x x x o x o x +

-+++ 35524535545111111

1[()][()][()][()]3!5!2!33!4!x x x o x x x o x x x o x x o x =+-+++-++-+++

5551

[()]()5!

x o x o x +++ 245

51131()2620

x x x x o x =++--+

3）先由cos x 的展开式得2466

111cos 1()2!4!6!

x x x x o x =-+-+

于是2466111ln cos ln 1()2!4!6!y x x x x o x ⎡

⎤

==-

+-+⎢⎥⎣⎦

，再由ln(1)x +的展开式得 ()()246624662

3

246624666

6

46

2466246111111ln 1()()2!4!6!2!4!6!111111()()2!4!6!2!4!6!2311111184242!4!6!23

1123212360

y x x x o x x x x o x x x x o x x x x o x o x x x x x x x o x x x x o ⎡⎤⎡⎤

=-+-+=-+-+⎢⎥⎢⎥

⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤-+-+-+-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-++--=-+--++=---+()6x

点评：记住定理内容和五个常见函数的麦克劳林公式是学习之初最重要的工作，尤其是后者，它们对泰勒公式以及下册中幂级数的学习都有很基本的意义。

三．泰勒公式的应用

1．计算极限

例2：求下列极限 1）22

4

0cos lim

x x x e x -→-

2

）2x →