高一必修一人教版球的体积和表面积

球的体积 A A
O
C2
O
B2
r1 = R = R,
2
R r2 = R − ( )2 , n
2
2R 2 r3 = R − ( ) , n
2
A
球的体积
ri
O
R (i − 1) n
R
O
i 小圆片” 半径： 第 层“小圆片”下底面的 半径：
ri = R R −[ (i − 1)]2 , i = 1,2⋯ n. , n
球的表面积
第 三 步： 化 为 准 确 和
∆hi
∆S i
∆Vi
如果网格分的越细, 如果网格分的越细,则: “小锥 小锥 体”就越接近小棱锥
R ∆hi的值就趋向于球的半径
1 ∴∆Vi = ∆Si R 3 1 1 1 1 V = ∆Si R + ∆S2 R + ∆S3 R +⋯+ ∆Sn R 3 3 3 3
例题讲解
(变式1)一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它 变式1 一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它 变式 一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm, 的内径.(钢的密度是7.9g/cm .(钢的密度是 的内径.(钢的密度是7.9g/cm2) 设空心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是 解:设空心钢球的内径为 设空心钢球的内径为 则钢球的质量是
Rt , 解：在 ∆OO′A中∵OA2 = O′O2 + O′A2 ,
R 2 2 3 2 ) , ∴R = ( ) + ( 2 3
2
4 ∴R = . 3
4 3 4 4 3 256 V = πR = π ( ) = π; 3 3 3 81
O A
O′
C
16 64 π. S = 4πR = 4π × = 9 9
2
球的体积
R ri = R −[ (i −1)]2 , i = 1,2,⋯, n n R πR3 i −1 2 2 Vi ≈ πri ⋅ = [1− ( ) ], i = 1,2⋯, n n n n
2
V半球 = V1 +V2 +⋯+Vn
12 + 22 +⋯+ (n − 1)2 [n − ] ≈ 2 n n
4 4 5 3 125 3 V = πR = π ⋅ ( ) = πcm3 3 3 2 6
(变式1)一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它 变式1 一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它 变式 一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm, 的内径.(钢的密度是7.9g/cm2) 的内径.(钢的密度是7.9g/cm .(钢的密度是
球的表面积
∆S i
o
o
球的表面积 球面被分割成n个网格，表面积分别为： 球面被分割成n个网格，表面积分别为：
第 一 步： 分 割
∆S1，∆S2，∆S3 ,⋯, ∆Sn
O 则球的表面积： 则球的表面积：
S = ∆S1 + ∆S2 + ∆S3 +⋯+ ∆Sn
设“小锥体”的体积为Vi 小锥体” ∆
∆S i
πR3
1 (n −1) ⋅ n⋅ (2n −1) [n − 2 ⋅ ] = n n 6
1 (n −1)(2n −1) ] = πR [1− 2 ⋅ n 6
3
πR3
球的体积
V半球 1 1 (1 − )(2 − ) n n ] = πR3[1 − 6
1 . →0 n
n , 当 →∞ 时
2 πR3 V ∴ 半球 = 3 4 V = πR3 . 从 而 3
球的体积
学习球的知识要注意和圆的有关指示结合起来． 学习球的知识要注意和圆的有关指示结合起来．所以 我们先来回忆圆面积计算公式的导出方法． 我们先来回忆圆面积计算公式的导出方法．
我们把一个半径为R的圆分成若干等分， 我们把一个半径为 的圆分成若干等分，然后如上图重新 的圆分成若干等分 拼接起来， 拼接起来，把一个圆近似的看成是边长分别是 πR和R的矩形 .
用料最省时,球与正方体有什么位置关系? 用料最省时,球与正方体有什么位置关系? 球内切于正方体
侧棱长为5cm 侧棱长为
S侧 = 6× 5 = 150cm
2
2
例题讲解
2.如图 正方体ABCD 如图， ABCD的棱长为a, a,它的各 例2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各 个顶点都在球O的球面上，问球O的表面积。 个顶点都在球O的球面上，问球O的表面积。
O A
O′
∵O′O =
R , ∆ABC是正三角形， 是正三角形， 2
C
2 3 2 3 O′A = × AB = =r 3 2 3
B
例题讲解
已知过球面上三点A、 、 的截面到球心 的截面到球心O的距离 例３.已知过球面上三点 、B、C的截面到球心 的距离 已知过球面上三点 等于球半径的一半， 等于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的体积， ２ ，求球的体积， 表面积． 表面积．
2
B
练习一
课堂练习
1.球的直径伸长为原来的 倍,体积变为原来的＿倍. 球的直径伸长为原来的2倍 体积变为原来的 8 体积变为原来的＿ 球的直径伸长为原来的 2.一个正方体的顶点都在球面上 它的棱长是 一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是 一个正方体的顶点都在球面上 它的棱长是4cm, 32 3π 这个球的体积为＿＿＿ ＿＿＿cm 这个球的体积为＿＿＿ 3. 3.有三个球 一球切于正方体的各面 一球切于正 有三个球,一球切于正方体的各面 有三个球 一球切于正方体的各面,一球切于正 方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点 一球过正方体的各顶点,求这三 方体的各侧棱 一球过正方体的各顶点 求这三 个球的体积之比_________. 个球的体积之比 1 : 2 2 : 3 3
4 3 定理： R的球的体积为： V 定理：半径是 的球的体积为： = πR 3
球的表面积 球面不能展开成平面图形， 球面不能展开成平面图形，所以求球的表面积无法用展开图 求出，如何求球的表面积公式呢?回忆球的体积公式的推导方法, 求出，如何求球的表面积公式呢?回忆球的体积公式的推导方法, 是否也可借助于这种极限思想方法来推导球的表面积公式呢? 极限思想方法来推导球的表面积公式呢 是否也可借助于这种极限思想方法来推导球的表面积公式呢?
1 1 = R(∆Si + ∆S2 + ∆S3 + ... + ∆Sn ) = RS 3 3
∆S i
R
O
∆Vi
4 1 3 S πR = RS, 从而 = 4πR2 3 3
4 3 又球的体积为： = πR 又球的体积为： V 3
例题讲解
例1.钢球直径是5cm,求它的体积. 1.钢球直径是5cm,求它的体积. 钢球直径是5cm,求它的体积
重点难点
教学重点
球的体积公式及应用 球的表面积公式及应用
教学难点
球的表面积公式的推导 球的体积公式的推导
分割⇒ 求近似和⇒ 化为准确和思想方法
球的体积
高等于底面半径的旋转体体积对比
R α
1 3 V圆锥 = πR 3
V半球 = ?
3 3 V圆柱 = πR 3
2 3 4 V 猜测:V半球 = πR , 从而 = πR3 . 3 3
1.3.2《球的表面积和体积》 1.3.2《球的表面积和体积》
教学目标 例题讲解
重点难点 课堂练习
球的体积 课堂小结
球表面积 退出 课堂作业 封底
教学目标
掌握球的体积、表面积公式． 掌握球的体积、表面积公式． 掌握球的表面积公式、 掌握球的表面积公式、体积公式的推导过程及主要思 想进一步理解分割→近似求和 精确求和的思想方法． 近似求和→精确求和的思想方法 想进一步理解分割 近似求和 精确求和的思想方法． 会用球的表面积公式、体积公式解快相关问题，培养 会用球的表面积公式、体积公式解快相关问题， 学生应用数学的能力． 学生应用数学的能力． 能解决球的截面有关计算问题及球的“内接” 能解决球的截面有关计算问题及球的“内接”与“外 的几何体问题． 切”的几何体问题．
分析：正方体内接于球， 分析：正方体内接于球，则由球和正方 体都是中心对称图形可知， 体都是中心对称图形可知，它们中心重 则正方体对角线与球的直径相等。 合，则正方体对角线与球的直径相等。
略解： Rt ∆ B 1 D 1 D 中 : 略解： (2 R ) = a + ( 2a ) , 得
2 2 2
D A D1 A1 D A D1 A1 O B O B
4 5 3 4 3 7.9 ⋅ [ π ⋅ ( ) − πx ] = 142 3 2 3
5 3 142× 3 x =( ) − ≈ 11.3 2 7.9× 4 π
3
由计算器算得: 由计算器算得
x ≈ 2.24
2x ≈ 4.5
空心钢球的内径约为4.5cm. 答:空心钢球的内径约为 空心钢球的内径约为
例题讲解 (变式2)把钢球放入一个正方体的有盖纸盒中, 变式2)把钢球放入一个正方体的有盖纸盒中, 2)把钢球放入一个正方体的有盖纸盒中 至少要用多少纸? 至少要用多少纸?
于 那么圆的面积就近似等 πR2 .
球的体积
当所分份数不断增加时，精确程度就越来越高； 当所分份数不断增加时，精确程度就越来越高；当 份数无穷大时，就得到了圆的面积公式． 份数无穷大时，就得到了圆的面积公式． 分割 求近似和 化为准确和
法导出球的体积公式 下面我们就运用上述方
即先把半球分割成n部分，再求出每一部分的近似体积， 即先把半球分割成 部分，再求出每一部分的近似体积， 部分 并将这些近似值相加，得出半球的近似体积，最后考虑n变 并将这些近似值相加，得出半球的近似体积，最后考虑 变 为无穷大的情形，由半球的近似体积推出准确体积． 为无穷大的情形，由半球的近似体积推出准确体积．