2013年唐山市第二次模拟理科数学试题

河北省唐山市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

（1）复数z 满足()+=+1243i z i ，则复数z=（A ）i -2（B ）i +2 （C ）-+2i （D ）--2i（2）双曲线xy-=22154的顶点和焦点到其渐近线距离的比是（A ）35（B ）53（C5（D3（3）,a b 是两个向量，||a =1 ，||b =2 ，且()a b a +⊥，则a 与b的夹角为（A ）︒30 （B ）︒60 （C ）︒120 （D ）︒150（4）在等差数列{}n a 中，2a 4+a 7=3，则数列{}n a 的前9项和等于（A ）9（B ）6（C ）3（D ）12（5）执行如图所示的程序框图，则输出的c 的值是（A ）8 （B ）13（C ）21 （D ）34 （6）(1-x)3(1-x1)3展开式中常数项是 A －20 B 18 C 20 D 0 （7）已知函数y kx a=+的图象如右图所示，则函数x ky a+=的可能图象是（8）若命题“x ∃∈0R ，使得x 02+mx 0+2m-3<0”为假命题，则实数m 的取值范围是（A ）[2,6]（B ）[-6,-2]（C ）(2,6)（D ）(-6,-2)(9)设变量x,y 满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+<-+>>02204200y x y x y x ，则目标函数z=x 2+y 2的取值范围是A （516,54） B （16,54） C （16,1） D （4,516）（10）已知函数()sin()f x x α=+2在x π=12时有极大值，且()f x β-为奇函数，则,αβ的一组可能值依次为（A ）,ππ-612（B ）,ππ612（C ）,ππ-36（D ）,ππ36（11）函数23sin 2)(x x x x f --=π所有零点的和等于（A ）6（B ）7.5（C ）9（D ）12（12）一个由八个面围成的几何体的三视图如图所示，它的表面积为（A） （B ）8（C ）12 （D）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

（13）如图是甲、乙两名篮球运动员2012年赛季每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人比赛得分的中位数之和是______。

（14）设,F F 12分别是椭圆xy+=2211612的左、右焦点，点P 在椭圆上，若△PF F 12为直角三角形，则△PF F 12的面积等于____。

（15）四棱锥P A B C D -的底面是边长为的正方形，侧棱长都等于，则经过该棱锥五个顶点的球面面积为__________。

（16）在数列{}n a 中，,a a ==1212，n a +2等于n n a a ++1除以3的余数，则{}n a 的前89项的和等于________。

三、解答题：本大题共70分，（17）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ac=b 2-a 2,A=6π,求B（18）某校学习小组开展“学生语文成绩与外语成绩的关系”的课题研究，对该校高二年级800名学生上学期期末语文和外语成绩，按优秀和不优秀分类得结果：语文和外语都优秀的有60人，语文成绩优秀但外语不优秀的有140人，外语成绩优秀但语文不优秀的有100人。

（Ⅰ）能否在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生的语文成绩与外语成绩有关系？（Ⅱ）将上述调查所得到的频率视为概率，从该校高二年级学生成绩中，有放回地随机抽取3名学生的成绩，记抽取的3 个成绩中语文，外语两科成绩至少有一科优秀的个数为X ，求X 的分布列和期望E （x ） 附：()()()()()n ad bc Ka b c d a c b d -=++++22（19）如图，直三棱柱A B C A B C -111中，AB=BC ，∠=︒90A B C ，Q 是AC 上的点，AB 1//平面BC 1Q（Ⅰ）确定点Q 在AC 上的位置（Ⅱ）若QC 1与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为42，求二面角Q －BC 1—C 的余弦值（20）已知函数Ra x a x x x f ∈-=,2ln )(2（Ⅰ）若()f x 在（0，∞+）单调递减，求a 的最小值 （Ⅱ）若f(x)有两个极值点，求a 的取值范围。

（21）（本小题满分12分）已知动圆C 经过点（0,m ）(m>0)，且与直线y=-m 相切，圆C 被x 轴截得弦长的最小值为1，记该圆 圆心的轨迹为E 。

（Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）是否存在曲线C 与曲线E 的一个公共点，使它们在该点处有相同的切线？若存在，求出切线方程；若不存在，说明理由（23）已知直线cos :sin x m t l y t αα=+⎧⎨=⎩（t为参数）经过椭圆cos :x C y ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩2（ϕ为参数）的左焦点F 。

（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，求||||FA FB 的最大值和最小值。

（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图所示，AC 为O 的直径，D 为 BC 的中点，E 为BC 的中点。

（Ⅰ）求证：//D E A B ；（Ⅱ）求证：A C B C A D C D =2 。

（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知()||||f x ax ax =--+48，a ∈R （Ⅰ）当a =2时，解不等式()f x <2； （Ⅱ）若()f x k ≤恒成立，求k 的取值范围。

唐山市2012—2013学年度高三年级第二次模拟考试理科数学参考答案一、选择题A 卷：BDCAB CBABD CA B 卷：DABCC ABDAD BD 二、填空题（13）54 （14）6 （15）100π （16）100 三、解答题 （17）解：由余弦定理得，a 2－b 2＝c 2－2bc cos A ，将已知条件代入上式，得ac ＝3bc －c 2，则3b －c ＝a ，再由正弦定理，3sin B －sin C ＝sin π6．…4分又sin C ＝sin (5π6－B )＝ 1 2cos B ＋32sin B ，所以32sin B － 1 2cos B ＝ 1 2，即sin (B － π 6)＝ 1 2．…10分因为－π 6B － π 6＜5π6，所以B － π 6＝ π 6，即B ＝ π3． …12分（18）解：因为K 2＝800(60160×640×200×600≈16.667＞10.828，所以能在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生母语对于学习和掌握一门外语有关系． …5分（Ⅱ）由已知数据，语文、外语两科成绩至少一科为优秀的频率是 38．则X ～B (3， 3 8，P (X ＝k )＝C k 8( 3 8)k ( 5 8)8－k ，k ＝0，1，2，3．X 的分布列为…10分 E (X )＝3× 3 8＝ 98． …12分（19）解：（Ⅰ）连接B 1C 交BC 1于点P ，连接PQ ．因为直线AB 1∥平面BC 1Q ，AB 1⊂平面AB 1C ，平面BC 1Q ∩平面AB 1C ＝PQ ， 所以AB 1∥PQ ．因为P 为B 1C 的中点，且AB 1∥PQ ，所以，Q 为AC 的中点． (4)分 （Ⅱ）如图建立空间直角坐标系． 设AB ＝BC ＝a ，BB 1＝b ，则面BC 1C 的法向量为m ＝(1，0，0)． B (0，0，0)，C 1(0，a ，b )，Q (34a ，1 4a ，0)，BC 1→＝(0，a ，b )，QC 1→＝(－34a ， 3 4a ，b )． 因QC 1与面BC 1C 所成角的正弦值为24，A故|m ·QC 1→|___________|m |·|QC 1→|＝34a ___________√________ 3 42＋b 2＝24b ＝3 2a .…8分设平面C 1BQ 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·QC 1→＝0，n ·BC 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－3 4ax ＋ 3 4ay ＋32az ＝0，ay ＋32az ＝0，取n ＝(1，－3，2)．…10分所以有cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝24．故二面角Q -BC 1-C 的余弦值为24．…12分（20）解：（Ⅰ）f '(x )＝ln x ＋1－ax ．f (x )单调递减当且仅当f '(x )≤0，即∀x ∈(0，＋∞)， a ≥ln x ＋1x． ①设g (x )＝ln x ＋1x ，则g '(x )＝－ln xx2．当x ∈(0，1)时，g '(x )＞0，g (x )单调递增； 当x ∈(1，＋∞)时，g '(x )＜0，g (x )单调递减． 所以g (x )≤g (1)＝1，故a 的最小值为1． …5分 （Ⅱ）（1）由（Ⅰ）知，当a ≥1时，f (x )没有极值点．（2）当a ≤0时，f '(x )单调递增，f '(x )至多有一个零点，f (x )不可能有两个极值点．…7分（3）当0＜a ＜1时，设h (x )＝ln x ＋1－ax ，则h '(x )＝ 1x－a ．当x ∈(0， 1a )时，h '(x )＞0，h (x )单调递增；当x ∈( 1a ，＋∞)时，h '(x )＜0，h (x )单调递减． …9分因为f '( 1 a )＝h ( 1 a )＝ln 1 a ＞0，f '( 1 e )＝h ( 1 e )＝－ ae0，所以f (x )在区间( 1 e ， 1a)有一极小值点x 1． …10分由（Ⅰ）中的①式，有1≥ln x ＋1x ，即ln x ≤x －1，则ln 1 a ≤ 1a－1，故f '( 2 a 2)＝h ( 2 a 2)＝ln 2＋2ln 1 a ＋1－ 2 a ≤ln 2＋2( 1 a 1)＋1－ 2 a＝ln 2－1＜0．所以f (x )在区间( 1 a ， 2a2)有一极大值点x 2．综上所述，a 的取值范围是(0，1)． …12分 （21）解：（Ⅰ）依题意，曲线E 是以(0，m )为焦点，以y ＝－m 为准线的抛物线． 曲线E 的方程为x 2＝4my ． …2分设动圆圆心为A (a ，a 24m ，则圆C 方程为(x －a )2＋(y －a 24m )2＝(a 24m ＋m )2，令y ＝0，得(x －a )2＝a 22m 2．当a ＝0时，圆C 被x 轴截得弦长取得最小值2m ，于是m ＝ 12，故曲线E 的方程为x 2＝2y ． …5分（Ⅱ）假设存在题设的公共点B (b ， 1 2b 2)．圆C 方程为(x －a )2＋(y － 1 22)2＝( 1 2a 2＋ 1 2)2，将点B 坐标代入上式，并整理，得(b －a )2[1＋ 1 4(a ＋b )2]＝ 1 4(a 2＋1)2．① …7分对y ＝ 1 2x 2求导，得y '＝x ，则曲线E 在点B 处的切线斜率为b ．又直线AB 的斜率k ＝ 1 2b 2－ 1 2a 2b －a12(a ＋b )．由圆切线的性质，有 12a ＋b )b ＝－1． ② …8分由①和②得b 2(b 2－8)＝0． 显然b ≠0，则b ＝±22． …9分 所以存在题设的公共点B ，其坐标为(±22，4)，公切线方程为 y ＝22(x －22)＋4或y ＝－22(x ＋22)＋4，即y ＝±22x －4． …12分 （22）证明：（Ⅰ）连接BD ，因为D 为BC ︵的中点，所以BD ＝DC ．因为E 为BC 的中点，所以DE ⊥BC ．因为AC 为圆的直径，所以∠ABC ＝90︒， 所以AB ∥DE ． …5分 （Ⅱ）因为D 为BC ︵的中点，所以∠BAD ＝∠DAC ， 又∠BAD ＝∠DCB ，则∠DAC ＝∠DCB ．又因为AD ⊥DC ，DE ⊥CE ，所以△DAC ∽△ECD ．所以AC CD ＝ADCE，AD ·CD ＝AC ·CE ，2AD ·CD ＝AC·2CE ，因此2AD ·CD ＝AC ·BC ． …10分（23）解：（Ⅰ）将椭圆C 的参数方程化为普通方程，得x 24＋y 23＝1．a ＝2，b ＝3，c ＝1，则点F 坐标为(－1，0)． l 是经过点(m ，0)的直线，故m ＝－1． …4分（Ⅱ）将l 的参数方程代入椭圆C 的普通方程，并整理，得 (3cos 2α＋4sin 2α)t 2－6t cos α－9＝0．设点A ，B 在直线参数方程中对应的参数分别为t 1，t 2，则|FA |·|FB |＝|t 1t 2|＝93cos 2α＋4sin 2α＝93＋sin 2α．当sin α＝0时，|FA |·|FB |取最大值3；当sin α＝±1时，|FA |·|FB |取最小值 94．…10分（24）解：（Ⅰ）当a ＝2时，f (x )＝2(|x －2|－|x ＋4|)＝⎩⎪⎨⎪⎧12，x ＜－4，－4x －4，－4≤x ≤2，－12，x ＞2．当x ＜－4时，不等式不成立；当－4≤x ≤2时，由－4x －4＜2，得－ 32＜x ≤2；当x ＞2时，不等式必成立．综上，不等式f (x )＜2的解集为{x |x ＞－ 32}．…6分（Ⅱ）因为f (x )＝|ax －4|－|ax ＋8|≤|(ax －4)－(ax ＋8)|＝12， 当且仅当ax ≤－8时取等号． 所以f (x )的最大值为12．故k 的取值范围是[12，＋∞)．…10分。